A existência de segmentos incomensuráveis implica na insuficiência dos sistemas numéricos conhecidos – números naturais e racionais -  para efetuar medidas dos objetos geométricos mais simples, como o quadrado e o círculo. >>>>>A solução que se impôs, na época, e que levou séculos para ser  adotada, era a de ampliar o conceito de número, introduzindo os chamados números irracionais, de tal modo que, fixando uma unidade de comprimento arbitrária, qualquer segmento de reta pudesse ter uma medida numérica. >>>>>Quando o segmento considerado é comensurável com o segmento unitário correspondente à unidade escolhida, sua medida é um número racional (inteiro ou fracionário). Os números irracionais representam medidas de segmentos que são incomensuráveis com a unidade. Número irracional, portanto, é um número obtido das medidas de segmentos e que não pode ser expresso como uma razão entre dois números inteiros.>>>>>Demonstra-se que a diagonal e o lado do quadrado são segmentos incomensuráveis e também que o número \/2 obtido pela razão entre suas medidas  não é racional.Conseqüência da crise da comensurabilidade, define-se o conjunto dos números reais, reunindo o maior sistema numérico conhecido –  números racionais – aos novos números irracionais.