A função delta de Dirac - sbm.org.br · revisar a parte básica a ser assumida; bem como motivar e apresentar situações em que a noção de funções generalizadas são necessárias

A função delta de Dirac

José Ruidival dos Santos Filho

U F S C a r

2o Colóquio da Região Sudeste

Janeiro de 2013

Sumário

Introdução v

1 Da função delta para distribuições 1

2 Métodos para D′(X) e Aplicações 11

3 Análise de Fourier 193.1 O caso linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 O caso não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Referências Bibliográficas 47

iii

Introdução

Este minicurso visa apresentar o desenvolvimento e algumas aplicações de umaclasse importante de funções generalizadas, à saber a Teoria das Distribuições. O nossoponto de partida será a função delta de Dirac. Como pré-requisitos o estudante deverádominar conceitos e resultados de um curso de Análise Real, bem como aspectos geraisda topologia de espaços normados e métricos, uma referência que contém este materialé o livro de W. Rudin, [11].

O matemático inglês Oliver Heaviside(1850-1925) introduziu o cálculo operacionalpara resolver equações diferenciais de circuitos elétricos, tornando-as equaçõesalgébricas. Alguns métodos só viriam a ser matemáticamente formalizados muitotempo depois. Uma função apareceu naturalmente no processo, à saber a função comvalores reais, definida para 0 6= t ∈ R dada por H(t) = 0, se t < 0 e H(t) = 1, se t ≥ 0.Representava então a função voltagem; que assumia valor constante > 0 quando sefechava o circuito a partir do instante t = 0 e era nula quando t < 0.

Algum tempo depois o físico inglês Paul Dirac(1902-1984) fez sua graduaçãoem Engenharia Elétrica, após o qual passou dois anos estudando Matemática; seudoutorado foi obtido em 1926; no ano 1932 tornou-se professor em Matemática naUniversidade de Cambridge. Em 1933 dividiu o Prêmio Nobel em Física com ErwinSchrödinger. No seu livro Principles of Quantum Mechanics, em 1930, incorporouo prévio trabalho de Werner Heisenberg e o de Erwin Schrödinger num únicoformalismo matemático, no processo introduziu, simbolicamente, a função δ quegozaria das seguintes propriedades:1) δ(x) = 0 se x 6= 0, 2) δ(0) = ∞ e 3)

∫ +∞−∞ δ(x)dx = 1.

Se realmente δ fosse uma função real integrável, em algum sentido, teríamos queH(x) =

∫ x−∞ δ(t)dt. Passamos agora a restringir nossa discussão as propriedades 1) e

3).Na teoria de integração do matemático alemão Bernhard Riemann(1826-1866),

como nós bem sabemos de Cálculo Integral, se δ fosse integrável a Riemann, implicariaque δ seria limitada; que não pode ser válido de 1) e 2). Também a teoria de integraçãodo matemático francês Henri Lebesgue (1875-1941), apesar de muito mais rica que ade Riemann, não comporta δ como função integrável; pois uma função integrável aLebesgue, satisfazendo 1) implicaria que

∫ +∞−∞ δ(x)dx = 0.

O matemático francês Laurent Schwartz(1915-2002), finalmente colocou a função deDirac num contexto matematico defensável, propondo a Teoria das Distribuições, ver[13]. Também referida como uma teoria de funções generalizadas o primeiro trabalhoproposto, devido ao matemático russo S. Sobolev(1908-1989), data de 1936, o tambémrusso Israel Gelfand(1913-2009) divulgou numa série de textos a teoria de funçõesgeneralizadas, inclusive a teoria de Schwartz. Como comsequência desta teoria L.

v

Schwartz recebeu a Medalha Fields em 1950. Esta teoria tem impacto em AnáliseMatemática desde sua criação até os dias de hoje.

Em Rn com a topologia euclidiana, δ será um funcional linear contínuo, suportadonum dado ponto, definido em C(Rn), = funções contínuas de em R, aqui a topologiadeste espaço funções é da convergência uniforme sobre compactos. Exploraremos asignificância deste funcional linear na teoria de Schwartz; em particular como podemser obtidas a topologia do espaço das distribuições (= D′) e os seus principaisteoremas interpretados. Ressaltaremos também como a referida função apareceem Probabilidade, como pode ser utilizado para demonstrar teoremas de CálculoDiferencial tais como o de Green-Gauss, e sua necessidade quando considerarmosoperadores diferenciais ordinários lineares que não podem ser escritos na formanormal usual (por exemplo, u(x) 7→ xu′(x)), entre outras aplicações. Finalmente,apresentamos como a Análise de Fourier se desenvolve para um sub-espaço de D′,à saber o das distribuições temperadas. Muitas aplicações da teoria foi objeto deestudo do matemático sueco Lars Hörmander(1931-2012), medalista Fields em 1962,seu grande livro Linear Partial Differential Operators, [6], sintetizou a partir de suatese de doutorado diretrizes para o desenvolvimento da teoria de equações diferenciaisparciais. O impacto deste, de outros livros e artigos de Hörmander guiou, e ainda guia,pela profundidade e estilo do material apresentado, muitos matemáticos da área.

O minicurso será dividido em três capítulos:O primeiro dele será devotado as preliminares, objetivando introduzir notações erevisar a parte básica a ser assumida; bem como motivar e apresentar situações emque a noção de funções generalizadas são necessárias.O segundo capítulo trará a topologia do espaço das funções testes (isto é, das funçõesinfinitamente diferenciáveis com suporte compacto), aqui denotada por C∞

c (Ω), comΩ um aberto de Rn e a partir da mesma introduzir o espaço das distribuições, ou sejados funcionais lineares contínuos definidos em C∞

c (Ω). Alguns resultados centrais dateoria serão enunciados, entre eles destacamos: O teorema de Peetre,Aproximaçõessuaves de distribuições, a Caracterização de distribuições como derivadas de funçõescontínuas e o Teorema do Núcleo de Schwartz.

Nestes dois primeiros capítulos nos referimos a [6], [9] e [15] como referênciaspara uma primeira apresentação de alguns dos tópicos aqui tratados e [7] para umtratamento mais completo.

No terceiro capítulo, dividido em duas seções, ressaltamos a importância daAnálise de Fourier em distribuições e escalas de espaços de funções serão introduzidos.J. Fourier(1768 - 1830) foi um matemático francês cujas contribuições está naorigem de várias técnicas importantes de Análise Matemática e aplicações. Nossoprincipal objetivo na apresentação será estabelecer as caracterizações, em termos dedecomposição de Littlewood-Paley, dos espaços de Sobolev e o de Besov; fazendoo contra-ponto com o decaimento dos coeficientes da série de Fourier para medirregularidade.

Pretendemos com isto, mostrar que avanços importantes em Análise Harmonicateve sua aplicabilidade para problemas não-lineares, assegurado a partir do trabalhode J. M. Bony, ver [2]. Para tal nos referimos ao artigo de divulgação [3] e paramais detalhes os textos [1], [5], [8] e [10]. A parte básica será referida ao livro doD. de Figueiredo, [4], para da Análise de Fourier à nível de graduação e o livro deL. Hörmander ( [7]) para um tratamento mais completo. A parte não-básica referimos

essencialmente ao livro recente de H. Bahouri, J.-Y. Chemin e R. Danchin, [1], que comoem [5], [8] e [10], discorre sobre a decomposição de Littlewood-Paley e contém muitasaplicações da teoria.

Exercícios serão propostos ao longo do texto em adesão aqueles encontrados nostextos [4], [7], [9] e [15]. Ressaltamos que nosso objetivo não é ser completo nem auto-suficiente, mas apresentar uma introdução para a teoria, a escolha se satisfazer a algumprincípio será ao meu gosto pessoal.

Dedico estas notas a memória de Lars Hörmander, esperando, que pelo menosminimamente, honre a grande contribuição matemática deixada por ele.

Capítulo 1

Da função delta para distribuições

Considere Rn com a topologia euclidiana e x0 ∈ Rn, seja δx0 é o funcional linearcontínuo, definido em C(Rn) ( = funções contínuas definidas em Rn com valores emR), por

δx0( f ) = f (x0).

Aqui a topologia C(Rn) é da convergência uniforme sobre compactos. Tal topologianão é obtida por uma norma (Exercício 1.1), por outro lado ela é obtida por umafamília enumerável de semi-normas, no seguinte sentido: Para cada j ∈ N, considereN0

j ( f ) = Maxx∈Bj(0)| f (x)|, com Bj(0) é a bola fechada centrada na origem 0 ∈ Rn e

raio j. Tais N0j não são normas pois para cada j existe f j 6= 0 tal que N0

j ( f j) = 0( Exercício 1.2), por outro lado podemos usá-las para obter uma distância d no espaço,da qual se obtém que a referida topologia é de espaço métrico completo, à saber

tomando d( f , g) = Σj∈NN0

j ( f−g)

2j(1+N0j ( f−g))

.

Observações 1.1 - Se V é um espaço vetorial e nγ; γ ∈ Γ é uma família de semi-normas definidas em V temos que:

a) A única propriedade que difere uma norma de uma semi-norma é que para asegunda podemos ter que nγ(x) = 0 sem que necessariamente temos que x = 0.

b) A topologia gerada pelas nγ’s terá como base de vizinhanças da origem(translade-a para obter uma base de abertos da topologia) as semi-bolas x; nγ(x) <1/j, para cada γ ∈ Γ e j ∈ Z+. Esta base de vizinhanças é convexa, sob estas condiçõeso espaço é dito ser localmente convexo.

(c) A topologia de (b) é de Hausdorff se, e só se, para todo x ∈ V não-nulo temosque existe γ tal que nγ(x) 6= 0. Diz-se que (xk) uma sequência de pontos de V é deCauchy se para todo ε > 0 e nγ existe k0 ∈ Z+ e tal que nγ(xk − xk′) < ε, se k, k′ ≥ k0.Observe que como no caso acima C(Rn), se a coleção de seminormas for enumerável efor de Hausdorff a métrica definida funciona, e a métrica garante os mesmos abertos.

(d) Estes espaços topológicos são denominados Espaços Vetoriais Topológicos;em tais as operações de espaço vetorial são contínuas. Quando existir umamétrica invariante completa(no sentido de todas as sequências de Cauchy seremconvergentes), diz-se que se trata de um espaço de F-espaço, e se além disso forlocalmente convexa é chamado de Espaço de Fréchet. Nos referimos a e [12] e[14]para amplo detalhamento da teoria ds EVT’s. voltaremos a esta teoria para mostrarcomo se estende os teoremas usuais de Análise Funcional para esta classe de espaços.

1

2 Capítulo 1: Da função delta para distribuições

Nos limitando a subconjuntos compactos K de Rn, que neste contexto podemosconsiderar Kj = Bj(0), obviamente teremos que (C(Kj), N0

j ) é normado completo. Poroutro lado, a integral de Riemann, f ∈ C(Kj) 7−→ IR( f ) =

∫k f (x)dx é um funcional

linear contínuo, segundo a norma N0j .

Observações 1.2 Por outro lado, dois resultados de Análise Real, para n = 1, destaca-seneste contexto:

(a) Dada f uma função real definida em Kj ela é integrável no sentido de Riemann,se, e só se, o conjunto de descontinuidades de f é de conteúdo nulo, ver [10].

(b)D ⊂ Kj é o conjunto dos pontos de descontinidades de uma função f realdefinida em Kj se, e só se, D for um Fσ. Diz-se que um conjunto é um Fσ se for uniãoenumerável de subconjuntos fechados.Poderíamos dizer que o primeiro item tem aspecto quantitativo enquanto que osegundo é qualitativo, digamos as aspectos analíticos e topológicos, respectivamente.Por outro lado um Fσ não é obtido por operações típicas em Topologia Geral.Poderíamos dizer que isto justifica termos considerar outras noções de integral, claro adeficiência padrão resaltada é não podermos estudar a convergência de IR( fn), quandofn ∈ C(Kj). Com o objetivo de colocar (a) e (b) no próprio contexto, primeiramenteconsideremos o completamento do espaço vetorial normado (C(Kj), ‖ ‖1), com ‖ f ‖1 =IR(| f |). Ora nós sabemos que o completamento de um espaço normado, é eletambém normado, pois a lei do paralelogramo continua valendo, para a métrica docompletamento, ver [10]. O trabalho de H. Lebesgue descreve a norma assim obtida;em particular mostra que existe um integral aqui denominada por IL; usando a mesmanotação é ‖ f ‖1 = IL(| f |), com f ∈ C(K). Este completamento C(Kj) no contexto deintegração recebe a notação L1(Kj).A teoria de integração de Lebesgue é pois o lugar natural onde os elementos de (a) e (b)aparecem, ver [10] para uma breve introdução a teoria. Além de Análise Matemática,por conseguinte em Geometria e Topologia, uma área de concentração da Matemática,a saber, a Probabilidade, recebeu influência determinante da teoria e suas técnicas.Afinal os conjuntos medíveis no sentido de Lebesgue, ou seja aqueles A ⊂ Kj tais quea função característica de A aqui denotada por XA ∈ L1(Kj), dada por XA(x) = 1 sex ∈ A e Xa(x) = 0 caso contrário, tais conjuntos são denominados como mensuráveisà Lebesgue, nos fornece probabilidades tais como µA(B) = ‖XB∩A‖1/‖XA‖1, ou maisgeralmente se f ∈ L1(Kj), com ‖ f ‖1 > 0, tomamos µ f (B) = ‖XB f ‖1/‖ f ‖1.A teoria de Lebesgue sugere espaços de funções que são normados e completos; defato modelado nas normas usuais de Rn, à saber as normas ‖x‖p = (Σn

j=1|xj|p)1/p se1 ≤ p < ∞. Um última é obtida pelo limite quando p→ ∞, no caso ‖x‖∞ = Max|xj|.Exercício 1.3 - Prove a última observação acima.Dado X um subconjunto aberto de Rn, os espaços acima mencionados são dados por

Lp(X) = f ; f : X → C mensuráveis tal que (∫

X| f (x|pdx)1/p < ∞

se 1 ≤ p < ∞ com ‖ f ‖p = (∫

X | f (x|pdx)1/p. L∞(X1) é o espaço das funções f ’smensuráveis a Lebesgue tais que existe uma constante C e um conjunto E de medidanula com | f (x)| ≤ C a menos que x ∈ E. O ínfimo de tais C’s é denotado por ‖ f ‖∞.Note que devemos considerar f como a classe de equivalência de funções segundo arelaçao de equivalência dada por f ≡ g se f = g exceto num conjunto de medida

3

nula. O resultado abaixo sumariza os resultados que usaremos sobre estes espaçosnormados:

Teorema 1.1 Com a norma acima teremos que Lp satisfaz as seguintes propriedades:a) (Desigualdade de Hölder) ‖ f (x)g(x)‖1 ≤ ‖ f ‖p‖g‖q se 1/p + 1/q = 1.b) O espaço dos funcionais lineares contínuos de Lp em C, se 1 ≤ p < ∞, é identificado comoLq, com (p, q) dado pela relação em a). Tais funcionais são dados por f 7−→

∫f (x)g(x)dx. A

norma será determinada pela desigualdade de Hölder.

Retornando a função delta, vemos que em Probabilidade, quando o conjuntode amostras é um conjunto finito X = x1, ..., xn, naturalmente considera-se aprobabilidade de contagem com pesos pi ∈ [0, 1] e Σi pi = 1, mais precisamete seA = xi1 , ..., xij ⊂ X, define-se σ(A) = Σi∈A pi. Nestes termos podemos tomar afunção δ suportada num ponto x1, com p1 = 1, como uma integral onde o conjuntomensuráveis é o conjunto das partes, escrevemos δx1(B) = 1, se x1 ∈ B e = 0 se x /∈ B,mais geralmente tem-se que toda toda função é mensurável e também integrável,coerentemente denotaremos a integral como

∫f (x)d(δx1)(x) que é compatível com

a notação da Integral de Riemann-Stieltjes. Assim, podemos considerar medidas,em particular probabilidades, como funcionais reais contínuos em C(Rn). Por outrolado para o propósito de estudar soluções de equações diferenciais devemos terfunções generalizadas mais gerais do que simplesmente as medidas. Concluiremosesta discussão discussão propondo o seguinte problema:Exercício 1.3 -a) Dado µ uma medida finita em Rn (isto é, a sua variação totalSupPΣ|µ(Pj)|, com = P1, ..., Pl partição finita é finita), denomina-se suporte deµ e denota-se por S(µ) ao conjunto fechado dado por pela união de todos os abertos Utais que a restrição de µ a U é a medida nula. Mostre que qualquer fechado é suportede uma medida finita, não-negativa.b) Se µ = µ f , com f contínua, mostre que S(u) = x; f (x) 6= 0.

Dado X ⊂ Rn aberto, denotaremos G(X ) o espaço vetorial das funçõesgeneralizadas que estamos interessados em definir, e assumiremos que goze algumaspropriedades, e aqui antes de enuncia-las as motivaremos. A nossa meta é que G(X )seja o dual de um espaço topológico completo F (X ) de funções definidas em X, ouseja dos funcionais lineares contínuos definidos neste espaço de funções.A discussão feita anteriormente justifica as seguintes propriedades:

(P1) F (X) ⊂ C(X) além disso a aplicação inclusão é contínua, aqui a topologiade C(X) é dada pelas semi-normas pj( f ) = Maxx∈Kj| f (x)|, aqui Kj = x ∈X; d(x, Front(X) ≤ 1/j ∩ Bj(0). (Estendendo assim o caso em que X = Rn).

(P2) O conjunto das medidas do tipo Σ∞j=1cjδxj , com Σ∞

j=1|cj| convergente, estácontido em G(X).Observações 1.3

a)De (P2) segue que

F (X) ⊂ Cc(X)(= f ∈ C(X); S( f ) é compacto).

De fato, tomando xj ∈ X tal que xj convirga para um ponto da fronteira de X oupara infinito, considere µ = Σcjδxj , cj > 0 ∀j e Σcj < ∞. Tome ϕ ∈ C(x) tal queΣcj f (xj) = +∞, teremos portanto µ(ϕ) = +∞.


b) Dado f ∈ C(X), e fixado uma ϕ ∈ Cc(X) temos que a integral de Riemann

IR( f ϕ) = limk→∞Σiki=1∆k

i f (xki )ϕ(xk

i ) = limk→+∞[Σiki=1∆k

i f (xki )δxk

i](ϕ).

Isto significa que as medidas que precisamos tomar são limites de combinações linearesde medidas de Dirac. A função generalizada obtida através da integral será denotadapor Tf ∈ G.

c) Mais geralmente, como a integral de Lebesgue estende a de Riemann, e asfunções integráveis à Lebesgue é limite de funções contínuas de suporte compacto,na norma L1. As funções testes tem suporte compacto, o que permite esperar queTf ∈ G. Olhando para medidas este é o caso, o surpreendente é que a topologia de Fé tão restrita que nos permite mostrar que a topologia de G é tão fraca que nos permitemostrar que convergência pontual de funções generalizadas é função generalizada.

d)Note também que uma vez que as funções testes tem suporte compacto ao invésde tomar funções integráveis à Lebesgue podemos flexibilizar mais e considerar Tf

com f ∈ L1loc(X) = f : X → R; as restrições de f aos compactos Kj são integráveis

a Lebesgue, ∀j. Este último espaço é chamado das funções localmente integráveis.Observamos que para funções integráveis a Lebesgue, para que tenhamos uma normadeveríamos tomar uma relação de equivalência, pois duas funcoes f e g se diferiremnum conjunto de medida nula teremos que a distância entre elas é nula. (Este tambémé o caso se tomarmos d( f , g) = IR( f − g) para as funções integráveis à Riemann, videObservação 1.2 a)).

e) Note que podemos expressar o limite do quociente de Newton em termos decombinações finitas de δ’s. ‘A saber,

limh→0(δx0+hei − δx0

h)(ϕ) = ∂xi ϕ(x0).

A proposição abaixo motivará estas escolhas.

Proposição 1.2 Seja λ um número real que não seja um inteiro negativo e tome P = x ddx − λI

o operador diferencial ordinário dado por ϕ ∈ C1(R) 7−→ ψ com ψ(x) = xϕ′(x)− λϕ(x).Então temos que o núcleo de P tem dimensão igual a dois, com as seguintes resalvas:

(a) Se λ > 1 então o núcleo está contido em C1(R).(b) Se λ = 0 então o núcleo é gerado por H(x) e H(−x); e portando suas derivadas são

múltiplas de δ0.(c) Para os outros valores de λ use que d

dx Pλ = Pλ−1 ddx para concluir a afirmação, com

o núcleo em espaços mais irregulares.

Nota: Poderíamos ser mais precisos em (a) e (c), mas para isto precisariamos introduzirespaços de Hölder.Demonstração: . Se λ > 1 uma integração pura e simples mostra que o núcleo de P égerado por ϕ+, ϕ−; com ϕ+(x) = xλ se x > 0 e = 0 se x ≤ 0 e ϕ−(x) = ϕ+(−x).Note que se λ for > 1 de fato o núcleo está contido em C1(R), enquanto que se0 < λ < 1 o núcleo está contido em C(R) ∩ L1

loc(R).No caso λ = 0 temos que o núcleo é gerado pela função H de Heaviside(verIntrodução) e sua reflexão com respeito a x = 0. Observe que para fazer sentidodevemos proceder da seguinte maneira: Primeiro observe que H′(ψ) = −H(ψ′)

5

por (P2), daí teremos que H(ψ′) =∫ ∞

0 ψ′(x)dx = −ψ(0) = −δ0(ψ) pelo TeoremaFundamental do Cálculo. Daí P(H)(ϕ) = (xH′)(ϕ) = H′(xϕ) = −δ0(xϕ) =(xϕ)(0) = 0. 2

Observações 1.4.a) A proposição também se estende para o caso em que λ ∈ C nos referimos a [6]

para o estudo do caso geral, lá considerado como distribuições homogêneas de R.b) Note que precisamos que as funções testes sejam infinitamente diferenciáveis

pois certamente o necessitaremos se aumentarmos a ordem do operador. Por outrolado elas devem ter suporte compacto para que ao aplicarmos o Teorema Fundamentaldo Cálculo no caso λ = 0 posssamos concluir que

∫ ∞0 ψ′(x)dx = −ψ(0).

Imporemos pois:(P3) - G deve ser invariante pelos operadores diferenciais parciais ∂α, ∀α ∈ Nn, ou

seja ∂αu ∈ G, ∀u ∈ G, com

(∂αu)(ϕ) = (−1)|α|u(∂α ϕ), ∀u ∈ G.

Aqui ϕ percorrerá o espaço vetorial C∞c (Rn) das funções infinitamente deriváveis com

suporte compacto. Daqui para frente tal espaço vetorial será denominado como o dasfunções testes. Observe que esta noção de derivada força que a fórmula integração porpartes vale, é verdade quando u = Tf , para f suficientemente regular; em particulard

dx TH = δ0.O candidato a ser oF é C∞

c (X). Como é visto em cursos básicos de Análise Real, talespaço vetorial é não-trivial, tais funções aparecem para estabeler partição da unidadesuaves. Um exemplo muito popular é ϕ(x) = exp(− 1

1−|x|2 ) se |x| < 1 e = 0 casocontrário, verifica-se que 0 6= ϕ ∈ C∞

c (Rn).Nosso objetivo afinal será o de determinar a mais fraca topologia de C∞

c (X), desorte que seja completo e que o seu dual tenha as propriedades listadas acima. Comono caso C(X), descrito para X = Rn no primeiro parágrafo deste capítulo, a topologiade C∞(X) é dada pelas semi-normas Nk

j (ϕ) = Max|α|≤kMaxx∈Kj|∂α ϕ(x)|. Comtal topologia C∞(X) é completo, aqui também metrizável como no caso C(X).(Observamos bastava pegar, N j

j mas aproveitamos a oportunidade para estabelecera notação). Mas não é normado, com esta topologia, para a demonstração deste fatonos referimos a [12].

(P4) - A topologia de F = C∞c (X) é mais fina que a topologia induzida por

N jj ; j ∈ N.

Exercício 1.4 - Mostre que C∞c (X) com a topologia dada por N j

j ; j ∈ N é de Hausdorffmas não é completo. (Ver Observação 1.1).

Seja ρ = (ρα)α∈ BbbNn tais que cada ρα ∈ C(X) e que S(ρα); α ∈ Nn seja localmentefinita, isto é, para cada compacto K ⊂ X o conjunto α; S(ρα)∩K 6= ∅ é finito. Denoteeste conjunto de ρ’s por P. Para cada ρ ∈ P e ϕ ∈ C∞

c (X) considere:

Nρ(ϕ) = Σα∈Nn Maxx∈X|(ρα∂α ϕ)(x)|

Exercicio 1.5 - Seja ϕ ∈ C∞(X), mostre que Nρ(ϕ) < ∞ ∀ρ ∈ P, se, e só se, S(ϕ) écompacto.


(P5) - Existe uma família de seminormas em C∞c tal que a topologia induzida seja

de um espaço vetorial topológico completo.Exercício 1.6 - Mostre que a família Nρ; ρ ∈ P satisfaz (P5).Finalmente, com esta topologia denote C∞

c (X) por D(X), e daí tome G = D′(X)=espaço dos funcionais lineares contínuos definidos em D(X). A partir de agora esta éa notação a ser considerada. Um funcional linear é contínuo se for contínuo na origem,e neste caso significa que ∀ε > 0 existem δ > 0 e Nρ tais que |u(ϕ)| < ε se Nρ(ϕ) < δ.Observe que, por linearidade, temos que u(ϕ) = 0 se Nρ(ϕ) = 0. Assumindo pois queNρ(ϕ) > 0 temos que |u(δϕ/(2Nρ(ϕ))| < ε, daí segue que |u(ϕ)| < 2ε/δNρ(ϕ).Consequentemente, temos que existem C > 0 e Nρ tais que

|u(ϕ)| < CNρ(ϕ) ∀ϕ ∈ D(X) (1.1)

Sendo tal desigualdade equivalente a continuidade. Ou equivalentemente, ∀K ⊂ Xcompacto, existem C > 0 e k ∈ N tais que

|u(ϕ)| < CΣ|α|≤ksup|∂α ϕ(x)| ∀ϕ ∈ D(X) com S(ϕ) ⊂ K (1.1)′

Se a desigualdade (1.1)’ vale para qualquer ϕ ∈ D(X) dizemos que u tem ordemfinita, e a ordem é o menor k possível. Isto não é o caso em geral, como pode ser vistotomando (xj) uma sequencia de pontos tendendo para a fronteira de X, e considerandou = Σ∂jδxj , para n = 1, por simplicidade.

Agora podemos descrever a convergência em D(X) sem fazer menção as semi-normas Nρ’s:

Lema 1.3 ϕj ∈ D(X) converge para 0 quando j→ ∞ se, e somente se,(a) Para cada α a sequencia ∂α ϕj converge uniformemente para 0.e(b) Existe um conjunto compacto K de X tal que todas as ϕj tem suporte contido em K.

Demonstração: Use a caracterização em termos de Nρ para demonstrar aaparentemente mais restrita condição dada por (a)− (b).

2

Como consequência desta caracterização mostra-se, como no caso normado, quecontinuidade por ε e Nρ é equivalente com a continuidade por sequência, isto é:

Proposição 1.4 Uma aplicação linear u em D(X) é uma distribuição se, e somente se,u(ϕj)→ 0 para toda ϕj → 0, no sentido prescrito em Lema 1.1.

Demonstração: Se u ∈ D′(X) então de (1.1)’ segue imediatamente que u(ϕj) → 0 se(a) e (b) do Lemma 1.1 valem.Suponha agora que (1.1)’ não vale, logo existe K compacto de X tal que para cada jpodemos encontrar ϕj ∈ D(X), com S(ϕj) ⊂ K tal que u(ϕj) = 1 e sup|∂α ϕj(x)| ≤ 1/j,para |α| ≤ j. O que é uma contradição da hipótese. 2

Num certo sentido a condição de continuidade (1.1)’ nos permite trabalhar como espaço de Fréchet C∞(K) = ϕ ∈ C∞

c (X); S(ϕ) ⊂ K; sob esta hipótese a grande

7

vantagem de trabalhar com a estrutura de EVT é que teoremas básicos de AnáliseFuncional para espaços normados completos valem neste contexto, por exemplo oTeorema de Baire, Teorema de de Banach-Steinhauss (Limitação Uniforme) e o Teoremade Hahn-Banach.Aqui nos limitaremos a enunciar tais teoremas, demonstrar os dois primeiros e fazeralguns comentários, nos referiremos a [12] e [14] para uma mais extensiva e completadiscussão sobre estes tópicos.

Teorema 1.5 (Baire) Seja X um espaço métrico completo, ou for um espaço localmentecompacto de Hausdorff então X não pode ser união enumerável de fechados com interior vazio.

Demonstração: . Obviamente a hipótese pode se traduzir aos seus complementares,que agora se lê como a interseção de abertos densos não pode ser o conjunto vazio. SejaA1, A2, ... os tais abertos. Tome B1 aberto, por exemplo uma bola aberta não-vazia deraio 1 no primeiro caso e um aberto não-vazio com fecho compacto no segundo caso.Note que em ambos casos A1 ∩ B1 6= ∅. Indutivamente, tome Bk aberto não-vaziotal que seja uma bola de raio de raio 1/k no primeiro caso, e com fecho compacto nosegundo caso, tal que Bk ⊂ ∩k

j=1Aj ∩ Bk−1. Em ambos os casos teremos que a interseçãode todos os Bj’s é não-vazio. 2

Utilizando Teorema 1.1 temos uma alternativa de mostrar que Rn não pode serunião enumerável de subespaços não-triviais.(Para n = 1 dirá que o espaço é não-enumerável). Uma consequência deste resultado é o teorema abaixo afirma que, sobcondições apropriadas nos espaços, uma sequência de operadores limitados (Tn) forlimitada pontualmente o será também uniformemente. Diz-se que um subconjunto deespaço topológico é de primeira categoria se for a união enumerável de subconjuntosdensos em parte alguma (= o fecho tem interior vazio). Um subconjunto é de segundacategoria se não for de primeira.Observação 1.5. Aqui já se apresenta uma boa justificativa a não restrigirmos a nossaAnálise Funcional a espaços normados e mesmo métrico.

(D(X), (Nρ)ρ∈P),

é um espaço vetorial topológico que é completo mas não é metrizável.A demonstração deste fato segue do seguinte argumento: Se o fosse, pelo Teoremade Baire, ele seria de segunda Categoria, ou seja não poderia ser a união enumerávelde fechados com interior vazio. Mas se tomarmos Kj uma sequencia ascendenteenumerável de subconjuntos compactos ∅ 6= Int(Kj) ⊂ Kj ⊂ Int(Kj+1), cuja uniãoseja X, digamos tomando uma subsequencia de K0

j = x ∈ X; d(x, Front(X)) ≥1/j com d(x, 0) ≤ j, se X 6= Rn; caso contrário tome Kj = Bj(0). É claro queD(X) = ∪C∞

Kj, mas cada C∞

Kjé fechado e tem interior vazio em D(X). Logo a topologia

de D(X) não pode ser metrizável pelo Teorema 1.2.Uma demonstração sem usar o Teorema de Baire pode ser conseguida, à saber: TomeKj, como acima, e ϕj ∈ D(X) tal que ϕ = 1 numa vizinhança de Kj. Assim se D(X)fosse metrizável, com métrica d, tomando εj > 0 tal que d(εj ϕj, 0) < 1/j teríamos quea sequência (εj ϕj) convergeria para 0 com respeito a d, mas certamente tal sequêncianão converge com respeito a topologia de D(X), pelo Lema 1.3.


Teorema 1.6 (Banach-Steinhauss) Se X e Y são espaços vetoriais topológicos, e Γ uma famíliade operadores lineares contínuos de X em Y, e B o conjunto de todas os x ∈ X tais que a órbita

Γ(x) = γ(x); γ ∈ Γ

seja limtado em Y. Se B for de segunda categoria em X, então B = X e Γ é equicontínua. Logose X for um F-espaço então Γ é equicontínua; e portanto se Γ for uma sequencia que convergepontualmente, então o limite é um operador linear contínuo.

Demonstração: Tome vizinhanças Uj, j ∈ 1, 2, da origem de X tal que tx ∈ Uj sex ∈ Uj e |t| ≤ 1. Tome-as tais que U1 + U1 ⊂ U2. Tome

E = ∩γ∈Γγ−1(U).

Daí se x ∈ B então Γ(x) ⊂ nU, para algum k, daí x ∈ kE. Logo

B ⊂ ∪∞k=1kE.

Consequentemente ao menos um kE é de segunda categoria. Como x → kx é umhomeomorfismo segue E é de segunda categoria; mas como E é fechado; logo contémum ponto interior x′; seja U3 ⊂ E uma vizinhança aberta de x′. Consequentementeγ(x′ −U3) = γ(x′)− γ(U3) ⊂ U1 −U1 ⊂ U2, ∀γ ∈ Γ. Demonstrando assim que Γ éequicontínua.Usando que Γ é equicontínua mostra-se que existe vizinhança aberta da origem contidaem B o que por linearidade que B = X. 2

O terceiro e último resultado de Análise Funcional aqui apresentado trata extensõesde de funcionais lineares. Para a demonstração nos referimos a [12], por exemplo.

Teorema 1.7 (Hahn-Banach) Suponha que Y seja um subespaço do espaço vetorial X. Seja puma seminorma em X, e γ um funcional linear em Y tal que

|γ(x)| ≤ p(x), se x ∈ Y.

Então γ se estende para um funcional linear γ em X tal que

|γ(x)| ≤ p(x), se x ∈ X.

Uma interessante aplicação da teoria, em particular da derivada no sentido dasdistribuições de funções não-deriváveis, é a Fórmula de Green-Gauss, como é propostoem [7].Primeiramente, consideramos a descrição local abertos com fronteiras de classe C1.Seja Y ⊂ X, diz-se que Y tem fronteira de class C1 em X se para cada x0 ∈ X∩ Front(Y)se existe vizinhança aberta U de x0 e ψ ∈ C1(U) tal que

∇ψ(x0) 6= 0, Y ∩U = x ∈ U; ψ(x) < ψ(x0),

Aqui ∇ψ é o vetor gradiente de ψ. Observamos que tal caracterização local pode serglobalizada, ou seja:

9

Exercício 1.7 - Mostre que usando partição da unidade é possível determinar ψ ∈C1(X) tal que ψ(x) = 0 e ∇ψ(x) 6= 0 para todo x ∈ Front(Y) e além disso queY ∩ X = x ∈ X; ψ(x) < 0.Seja XY a função característica de Y, ou seja XY(x) = 1 se x ∈ Y e = 0 caso contrário.(Um exemplo de tal situação para X = R e Y = (0,+∞), neste caso XY = H.Obviamente temos que XY é diferenciável em todos os pontos de x ∈ Y ∪ (Y)c e adiferencial é nula aí. Por conseguinte, para todo j temos que S(∂ejXY) ⊂ Front(Y).Para calcular a ação de ∂ejXY em funções testes, usando Proposição 1.2, aproximaremosXY por funções suaves, de fato por funções de classe C1. Observe também que maisuma vez usando partição da unidade e (1) a ação pode ser restrita a funções testesde suporte pequeno perto de pontos de Front(Y). Ao considerar esta localização,sem perda de generalidade, suporemos que x0 ∈ Front(Y) e que ∂e1ψ(x0) 6= 0.Daí podemos considerar a aplicação de classe C1; invertível com inversa C1 numavizinhança U de x0, dada por x 7→ (ψ(x), x2, ..., xn); logo ψ(x) = 0 perto de x0 éequivalente a x1 = θ(x2, ..., xn), para θ de classe C1. Daí ∂e1ψ < 0, digamos em x0,então Y será dada por x1 > θ(x′), com x′ = (x2, ..., xn). Finalmente podemos propor aseguinte aproximação de XY, para tal tome h ∈ C∞ se anulando em (−∞, 0) e = 1 em(1,+∞), daí

XY = limε→0h((x1 − θ(x′))/ε) em U,

que converge pontualmente mas tambem em L1loc e por conseguinte em distribuições.

Exercício 1.8. Além de verificar a última afirmação mostre que

∂ejXY(ϕ) =∫

µj(x′)ϕ(θ(x′), x′)dx′,

aqui µ/(1 + |∇′θ|2(x′))1/2 = n, com n igual a normal interior de Front(Y),consequentemente

∂ejXY = njdS,

em U, logo em todo X, com dS= medida de superfície Euclidiana em Front(Y).Consequentemente teremos a Fórmula de Green-Gauss:∫

Ydiv(F)dx = −

∫Front(Y)

< F, n > dS.

uma vez que∫

Y div(F)dx =∫

X XYdiv(F)dx, com F = ( f1, .., fn) um campo de classeC1.

Ainda nos baseando em [7], apresentaremos uma segunda aplicação, neste casosem demonstração.

Proposição 1.8 Seja P = Σaj(x)∂xj + b(x), com aj ∈ C1(X) e b ∈ C(X) com X ⊂ Rn

aberto. Se u é diferenciável em cada ponto de X e exista f ∈ C(X) tal que Pu(x) = f (x) paracada x ∈ X, então Pu = f no sentido das distribuições.

Note que u ∈ C(X) logo u ∈ D′(X) é de ordem 1, e portanto faz sentido de(aj∂xj Tu)(ϕ) = −

∫u(x)(∂xj(aj ϕ))(x)dx, se ϕ ∈∈ C1

c (X).


Capítulo 2

Métodos para D′(X) e Aplicações

Iniciamos este capítulo apresentando um resultado que nos dá condições para queexista o valor a fronteira de funções holomorfas e que o mesmo seja uma distribuição,nossa referência é [7]. A recíproca do resultado vale e ambos se estendem para funçõesde várias variáveis complexas. É um resultado de Equações Diferenciais Parciais poistrata de soluções homogeneas do operador de Cauchy-Riemann, sendo este últimodado por ∂z = 1

2(∂x + i∂y). Extensões do resultado tem sido obtido para outrosoperadores diferenciais parciais.

Seja I um intervalo aberto de R e λ > 0, considere Ωλ = z ∈ C; 0 < Im(z) < λ,aqui z = x+ iy, x, y ∈ R e Im(z) = y. Seja f ∈ H(Ωλ) = espaço das funções holomorfasdefinidas em Ωλ. Segue o seguinte resultado:

Teorema 2.1 Se existe uma constante C e um inteiro não-negativo N tais que

| f (z)| ≤ C(Im(z))−N, se z ∈ Ωλ (2.1)

então f (. + iy)) converge em D′(I) quando y → 0. Além disso, a ordem do limite é finita elimitada por N + 1.

Demonstração: A primeira etapa será o de primitivar a f , uma vez que ao fazeristo deveremos regularizar o problema. Aqui regularizar significa diminuir o N de(1.2). Suponha que N > 0. Tome z0 ∈ Ωλ, e tome γz0,z(t) a curva formada por doissegmentos paralelos aos eixos coordenados, ligando z0 a z, primeiramente tomando osegmento horizontal e em seguida o vertical. e daí considere

F(z) =∫

Γz0,zf (ξ)dξ

Daí se I for limitado temos que existem constantes C1 e C2 tais que

|F(z)| ≤ C1(Im(z))−N+1 se N > 1 e ≤ −C1log(Imz) + C2 se N = 1.

Por conseguinte se N = 1 integrando F da mesma forma obtemos uma funçãoholomorfa G ∈ H(Ωλ) ∩ C(Ωλ). No caso em que N > 1 integrando N vezes obtemosG ∈ H(Ωλ) ∩ C(Ωλ) tal que

f (z) = GN+1(z),

11

12 Capítulo 2: Métodos para D′(X) e Aplicações

Nos dois casos usando as equações de Cauchy-Riemann obtemos que

limy→0 f (. + iy) =dN+1

dxN+1 TG|I (2.2)

com G|I a restrição de G a I, portanto o lado direito de (1.3) é uma distribuição deordem N + 1. 2

Observamos que pode se pensar neste resultado como o início de uma teoriade funções generalizadas mais geral que as distribuições, à saber a Teoria daHiperfunções. A ideia é fazer sentido ao limite a fronteira de funções holomorfas quenão satisfaz a condição (2.1). Tal teoria foi proposta pelo matemático japonês M. Satono início dos anos 60’s. Agora flexibilizaremos o critério para obter distribuição vialimites de distribuições, à saber:

Teorema 2.2 O limite pontual de sequência de distribuições é uma distribuição.

Demonstração: Usaremos a caracterização (1.1)’ de uma distribuição. Daí o resultadosegue do Teorema 1.6 se tomarmos o F-espaço dado por C∞

K (X), com K um compactode X. 2

Na demonstração do Teorema 2.1 vimos que a distribuição é obtida como derivada,no sentido das distribuições, de uma função continua. O próximo resultado nos dizque, localmente, este é sempre o caso independente da distribuição que tomemos.Tome X e X1 abertos de Rn tal que X1 é compacto e está contido em X, neste casodiz-se que X1 é um relativamente compacto contido em X.

Teorema 2.3 Dado u ∈ D′(X). Então existe uma função u1 ∈ L∞(X1) e m um inteiro nãonegativo tal que

u = ∂mx1

...∂mxn Tu1 em X1 (2.3)

Antes de partir para a demonstração proporemos:Exercício 2.1. Mostre que, se X1 for um cubo de faces paralelas aos planos coordenados,a partir de u1 podemos obter u2 ∈ C(X1) tal que u = ∂m1

x1 ...∂m1xn Tu2 , para algum inteiro

m1. Determine hipóteses mais gerais sobre X1 para que o resultado também valha.Se considerarmos duas partições de X, ambas formada por cubos abertos com ladosparalelos aos planos coordenados, com C1

i ⊂ C2i ⊂ C2

i ⊂ X, com ambas C1i ; i ∈

N e C1i ; i ∈ N localmente finita, propriedade esta introduzida logo abaixo da

propriedade (P5). Considere φi partição da unidade em D(X) associdas a estaspartições, isto é S(φi) ⊂ C2

i , φi = 1 em C1i e Σφi = 1 em X. Denote P = ∂x1∂x2 ...∂xn , e

usando o exercício anterior temos que se mi e Tui , com ui ∈ C(C2i ), tais que Pmi ui = u

em C2i , teremos que

Σ φiPmi(Tui) = u, em X. (2.4)

Demonstração:Se (2.3) vale teremos que

u(ϕ) = (−1)nm∫

u1(x)∂mx1

...∂mxn ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(X1)

13

logo

|u(ϕ)| ≤ ‖u1‖∞

∫|∂m

x1...∂m

xn ϕ(x)|dx ≤ ‖u1‖∞‖XK‖1Nkj (ϕ),

se S(ϕ) ⊂ Kj ⊂ X1, com K compacto e k = nm, demonstrando assim que u é umadistribuição de ordem ≤ nm.Reciprocamente, se demonstrarmos uma desigualdade do tipo

|u(ϕ)| ≤ C∫|∂m

x1...∂m

xn ϕ(x)|dx ∀ϕ ∈ D(X1) (2.5)

então segue do Teorema 1.4 que a aplicação linear

(−1)nm∂mx1

...∂mxn ϕ(x) 7−→ u(ϕ)

pode ser estendido como um funcional linear contínuo definido em L1(X1). Mas peloTeorema 1.1 temos que existe u1 ∈ L∞(X1) tal que (2.3) é válida. 2

Retornando a função delta de Dirac, mostraremos:

Proposição 2.4 Qualquer u ∈ D′(X) pode ser obtida como limite de combinações linearesfinitas de funções delta’s de Dirac.

Demonstração: Recorde que se u ∈ C(X), baseado na Observação 2) b) (do Capítulo1), tomando Kj como em (P1), teremos que a combinação linear associada a Kj.Associado a (j, k j) a Kj para cada j demonstra-se a afirmação neste caso. No casogeral primeiramente a partir do Exercício 2.1, como a afirmação sobre convergênciaé pontual pelo Teorema 2.2, ou melhor por (2.4); podemos primeiro aproximar cada uipor combinhações lineares finitas de δ’s; em seguida aplicamos os Pmi a estas delta’sé suficiente aproximar derivadas de delta’s por combinações lineares finitas de deltas.A idéia de como faze-lo foi introduzida em e) da Observação 1.3 do Capítulo 1. Maisgeralmente, podemos usa-la para demonstrar o caso geral por indução finita em k com|α| = |(α1, ..., αn)| = α1 + ... + αn = k, onde α ∈ Nn. 2

Se u ∈ D′(X) com propriedades especiais é de se imaginar que eventualmentepodemos reduzir o número de informações contidas em u(ϕ); ϕ ∈ D(X).Exploraremos pois este filão.Denota-se por E ′(X) o subespaço das distribuições em X com suporte compacto.Observe que se φ ∈ D(X) é tal que φ = 1 numa vizinhança aberta de S(u), comu ∈ E ′(X), então u(ϕ) = u(φϕ), se ϕ ∈ D(x). Logo admite extensão contínuapara C∞(X). Com esta observação obtém-se que se tomarmos E(X) = C∞(X), coma topologia dada pelas semi-normas N j

jj∈N, teremos que de fato E ′(X) é o dualde E(X). Obviamente tais distribuições tem ordem finita. Em termos como umadistribuição com suporte compacto atua em funções testes temos um resultado maispreciso, à saber:

Teorema 2.5 Seja u ∈ E ′, com ordem k, então u(φ) = 0 se φ ∈ E(X) e todas as derivadas deφ de ordem ≤ k se anulam em S(u).

Para a demonstração deste resultado nos referimos a [7].Uma imediata aplicação do Teorema 2.5 é:


Proposição 2.6 Suponha que u ∈ D′(X) é tal que exista x0 ∈ X tal que u é a distribuiçãonula em X\x0, ou seja u(ϕ) = 0 ∀ϕ ∈ D(X\x0)(ou ainda S(u) ⊂ x0. Então existem ∈ N, cα ∈ R, com |α| ≤ m tal que

u = Σ|α|≤mcα∂αδx0 .

Demonstração: Tome m = ordem da distribuição u. Dado uma função teste φ ∈ E(X),considere a expanssão de Taylor de φ de ordem m em torno de x0, isto é

φ(x) = Σ|α|≤m∂αφ/α!(x− x0)α + ψ(x)

com α = (α1, ..., αn) ∈ Nn, α! = α1!...αn! e ψ ∈ E é tal que ∂αψ(x0) = 0 se |α| ≤ m.Logo pelo Teorema 2.4 segue que

u(φ) = Σ|α|≤m[(−1)|α|u((x− x0)α)/α!]∂αδx0(φ.)

2

Voltando a medidas de probalidade temos:

Proposição 2.7 Se u ∈ D′(X) é tal que u(φ) ≥ 0 se ϕ for não-negativa, então u é umamedida positiva.

Demonstração: Dado K um compacto de X considere X uma função C∞c (X) tal que

0 ≤ X (x) ≤ 1 e X (x) = 1 em K. Então

X‖ϕ‖∞ ± ϕ ≥ 0

Logo pela hipótese teremos que

|u(ϕ)| ≤ u(X )N00 (ϕ).

2

Existem dois procedimentos válidos para certos espaços de funções que seestendem para espaços apropriados de distribuições, à saber, uma operaçãobilinear denominadas Convolução e o operador Transformada de Fourier. Estesprocedimentos estão entrelaçados, na verdade J. Fourier está na origem de ambos;obviamente no segundo deles deve vos parecer óbvio, assim algumas palavras devemser ditas com relação ao primeiro deles. Em 1822, Fourier publicou sua teoria analíticado calor; em particular ele implementou um modelo para condução do calor queainda hoje é apresentado como exemplo básico na Teoria de Equações DiferenciaisParciais e Aplicações, veja [4]. Vale ser dito que Euler, D’Alembert e D. Bernoulli jáhaviam utilizado noutro contexto as funções trigonométricas para expressar soluçõesde algumas Equações Diferenciais Parciais. Fourier considerou a transmissão de calorem cabos, segundo a qual a modelagem, na situação degenerada, em que o cabo é R,nos leva ao problema de valor inicial dada por:

(∂tu− ∂2xu)(x, t) = 0 com u(x, 0) = f (x) (2.6)

15

aqui f (x) representa a temperatura no ponto x ∈ R. Obtendo então a solução, que nasua forma fechada, se escreve como

u(x, t) =1

2√

πt

∫e−

(x−y)24t f (y)dy (2.7)

Observamos que no, caso mais físico, em que o cabo é um segmento é também tratado;e é o modelo inicialmente atacado por Fourier; gerando o que é conhecido por Sériesde Fourier. Neste problema valores de fronteira são adicionados, aqui o Método deSeparação de Variáveis recebeu divulgação especial.

Um dos objetivos deste mini-curso, ou melhor destas notas, é o de tentar mostrarcomo a Teoria de Integração de Lebesgue e Análise de Fourier é um conhecimentoamplo e importante para matemáticos puros ou aplicados, e com um certo exageropara cientistas que usam matemática de uma maneira não-elementar para descrever oseu métier.

Aqui, em (2.7), creio ser o primeiro aparecimento formal do produto de convolução:

( f , g) 7−→ ( f ∗ g)(x) =∫

f (x− y)g(y)dy (2.8)

Para esta integral ser convergente algum decaimento, num certo sentido, sobre fe(ou) g tem que ser assumido. Observamos que o fantástico matemático alemão K.Weierstrass (1815-1897) usou que num sentido a ser especificado que

limt→0+u(x, t) = f (x)

ou seja a condição inicial do P.V.I. (2.6) deve ser válida. Em suma, podemos aproximarf (.), que pode ser pouco regular, pela função mais regular u(., t), já que o calordeve suavizar a distribuição de temperatura na barra instantanemente. Esta idéiapode ser a explicação informal que qualquer função real contínua em compactospode ser uniformemente aproximada por polinômios. Este é o conhecido Teoremade Aproximação de Weierstrass, veja [11].

O restante deste capítulo será devotado a expor resultados sobre o produto deconvolução.Para iniciar o processo propomos o seguinte:Exercício 2.2. A expressão (2.8), isto é o produto de convolução é um operador contínuode D(Rn) × D(Rn) → D(Rn). Além disso, valem S(ϕ1 ∗ ϕ2) ⊂ S(ϕ1) + S(ϕ2) eϕ1 ∗ ϕ2 = ϕ2 ∗ ϕ1, se ϕj ∈ D(Rn) para j ∈ 1, 2.Uma extensão natural é considerar este produto de D′(Rn)× D(Rn) → E(Rn). Estaextensão tem a seguinte expressão:

(u ∗ ϕ)(x) = u(τx(ϕ)) (2.9)

com ϕ(x) = ϕ(−x) e τx(φ)(y) = φ(y − x), ou seja τx(ϕ) é a função obtida pela ϕtomando a reflexão com respeito a origem em Rn seguida da translação (à direita) porx. Veja que com a identificação ϕ ≡ Tϕ, isto é função com distribuição, o resultado de(2.8) coincide com Tϕ1∗ϕ2 .Para verificar (2.9) enunciamos, sem demonstração, dois resultados que serão úteisnão só neste caso, nos referimos a [7] e [9] para as demonstrações. Sem grande esforçopoderão ser considerados como exercícios extras.


Proposição 2.8 Se X é um aberto de Rn, u ∈ D′(X), φ ∈ E(X × Y) com Y ⊂ Rn é aberto eexista um compacto K ⊂ X tal que φ(x, y) = 0 quando x /∈ K então

y 7−→ u(φ( . , y)) ∈ E(Y)

e ∂βy u(φ( . , y)) = u(∂β

y φ( . , y)).

Para a demonstração ver [7].O procedimento abaixo se aplica em muitos casos. L′ é chamado o transposto formalde L.

Proposição 2.9 Se L, L′ : D(X)→ D(X) são lineares e contínuos são tais que∫X

L(ϕ1)(x)ϕ2(x)dx =∫

Xϕ1(x)L′(ϕ2)(x)dx

neste caso podemos estender L para um operador L linear contínuo definido deD′(X) emD′(X)dado por Lu(φ) = u(L′(φ)).

Demonstração: Ver [9] para a demonstração. 2

Por volta de 1960 o matemático sueco J. Peetre demonstrou o resultado abaixoque explica não só a eficácia da operação nos resultados já existentes mas tambémresultados que estavam por vim.

Teorema 2.10 Se L for uma aplicação linear de D(Rn) em E(Rn) e contínua no sentido deL(ϕj) → 0 em C(Rn) quando ϕj → 0 em D(Rn) e comuta com todas as translações, entãoexiste uma única distribuição u tal que L(ϕ) = u ∗ ϕ.

Aqui diz-se que L comuta com as translações se L(τh(ϕ)) = τh(L(ϕ)), ∀ϕ, com(τhφ)(x) = φ(x− h).

Demonstração: Por hipótese temos que o funcional linear L(ϕ)(0) = (u ∗ ϕ)(0),para algum u ∈ D′. Agora se substituirmos ϕ por τ−h ϕ e usando que L comuta comtranlações e com o operador convolução temos que L(ϕ)(h) = (u ∗ ϕ)(x). 2

Exemplo 2.1(δ ∗ ϕ)(x) = ϕ(x) (2.10)

Se formalmente identificarmos δx = δ0(x− y), parece natural olhar o lado direito comoa ação de uma distribuição em Rn ×Rn, de fato; considere

∆ = (x, x) ∈ Rn ×Rn, com x ∈ Rn, )

a variedade diagonal de Rn ×Rn, e daí a distribuição

δ∆(ϕ) =∫Rn

ϕ(x, x)dx.

Desta compatibilizando com (2.9) escrevemos

(T(δ∗ϕ1), ϕ2) = (δ∆, (ϕ1 ⊗ ϕ2)).

17

Aqui toma-se (ϕ1 ⊗ ϕ2)(x1, x2) = ϕ1(x1)ϕ2(x2), que se trata de uma função teste emD(Rn ×Rn), que toma o apropriado nome de produto tensorial de ϕ1 com ϕ2.Exercício 2.3 Mostre que o espaço vetorial gerado por ϕ1 ⊗ ϕ2; ϕj ∈ D(Rn) é densoem D(Rn ×Rn).

Observe que agora parece natural considerar:Definição 2.1 Dado L um operador linear contínuo de D(X) em D′(Y) denota-senúcleo de Schwartz de L a distribuição KL = D′(X×Y) satisfazendo a relação

KL(ϕ1 × ϕ2) = (L(ϕ1), ϕ2).

Exercício 2.4 Determine o KL associado aos L’s descritos no Teorema 2.10 e noutrosoperadores descritos até agora.

O seguinte teorema, devido a L. Schwartz, é um fantástico convite para o estudodas distribuições. Uma referência moderna para a sua demonstração é o livro [7].

Teorema 2.11 (Teorema do Núcleo de Schwartz) Todo operador nas hipóteses descritas naDefinição 2.1 tem um núcleo de Schwartz.

Por este teorema temos que todas as informações sobre L estão codificadas em KL. EmÁlgebra Linear pode-se dizer que o análogo a KL é uma matriz associada ao operadorlinear L, digamos L : Rn → Rm; com produtos internos fixados em Rn e em Rm.

Os operadores que a teoria se debruçou, e ainda pode se esperar mais ainda, sãoos diferenciais parciais lineares. Dado m ∈ N, para α ∈ Nn, com |α| ≤ m tomemosaα ∈ E(X), com X aberto contido em Rn. Para j ∈ 1, 2, ..., n tomemos Dj = 1

i ∂xj ( arazão de toma-lo ao invés de ∂xj será mais claro no próximo capítulo). Os operadoresdiferenciais parciais lineares com coeficientes infinitamente suaves são estão dados por

P(x, D) = ∑|α|≤m

aα(x)Dα (2.11)

aqui D = (D1, ..., Dn), Dα = Dα11 ...Dαn

n e L = P(x, D) assim definido é linear e contínuode D(X) em D(X).Exemplo 2.2 Seja L = P(x, D) da forma (2.10). Então KL = ∑|α|≤m(−D)α(aα(x)δ∆, paraver isto é suficiente determinar o núcleo de Schwartz para cada parcela monoidal deL, ou seja de Lα = aαDα. Segue facilmente que se trata de KLα = (−D)α(aαδ∆), comδ∆ definida no Exemplo 2.1. Note que quando somamos duas distribuições deste tipomuitos fenômenos podem acontecer; a ação de derivadas em δD aumenta a ordem dadistribuição, no entanto o produto com funções de E(X) pode manter a ordem igual oudecrescer. Isto pode ser visto olhando para a δx0 e a multiplicando por f (x) = (x− x0),de fato (x− x0)δx0 = 0.

Resumo de Propriedades Temos que D′(X) e E ′(X) tratam-se de espaços vetoriaissobre C, são também módulos sobre E(X). Além disso o produto de convoluçãoestá bem definido D(X) × D′(X) → E(X) e de E(X) × E ′(X) → E(X), se X = Rn.Finalizaremos este capítulo discorrendo sobre extensões do produto de convoluçãopara distribuições.Mostraremos que o produto de duas convoluções está bem definido se uma delas tiversuporte compacto, de fato, existem u ∗ v e v ∗ u, se u ∈ D′ e v ∈ E ′, e elas são iguais.De fato, observamos que D ∗ E ′ ⊂ D; consequentemente temos que

ϕ ∈ D → u ∗ (v ∗ ϕ)


é linear contínua e invariante por translação, logo pelo Teorema 2.5 existe uma únicadistribuição w tal que u ∗ (v ∗ ϕ) = w ∗ ϕ. Assim toma-se w = u ∗ v, claro se u, v ∈ E ′o mesmo vale para w.

Uma aplicação muito interessante da relação (2.10) é no tratamento de EquaçõesDiferenciais Parciais lineares com coeficientes constantes. Senão vejamos:

Ora para resolver P(D)u = f ∈ D(Rn) é suficiente determinar E ∈ D′(Rn) tal queP(D)E = δ0. Pois assim fazendo teremos que

P(D)(E ∗ f ) = (P(D)E) ∗ f = δ0 ∗ f = f .

Uma tal E é chamada de solução fundamental de P(D).Seja ∆n = ∂2

x1+ ... + ∂2

xn o operador de Laplace.Exercicio 2.5 Determine a constante Cn tal que ∆2[C2ln‖x‖] = δ0 em R2 e∆n[Cn‖x‖2−n] = δ0 em Rn se n ≥ 3.Observamos que no caso n = 2 podemos usar a teoria de Funções de uma Variávelcomplexa para determinar a solução fundamental exibida no exercício acima. Veremosque usar transformada de Fourier é a técnica natural para resolver o problema emgeral.

Capítulo 3

Análise de Fourier

3.1 O caso linear

Como foi referido no Capítulo 2, um método eficaz para determinar soluções deEquação Diferencial Parcial(=EDP) Linear é o Método de Separação de Variáveis Asetapas do método, em situações especiais, digamos problemas de valores iniciais, sãoas seguintes:1) Escolher uma base apropriada do espaço de funções (dos valores iniciais). Para(2.6) as f ’s serão autovetores de P = ∂2

x, que formalmente deverão estar relacionadox,por exemplo, com um problema de fronteira para P; se o teorema espectral se aplicarpoderemos obter um espaço de funções no qual os autovetores formarão uma base;aqui será uma base de Schauder , numa tal base poderemos considerar séries geradaspelos autovetores, e não base de Hamel,já que nesta última só se considera vetoresfinitamente gerados pela base. Pretendemos ter o maior espaço em que o problematem solução.2) Para cada autovetor fλ, associado ao autovalor λ, como dado inicial a solução uλ

será do tipo fλ(x)gλ(t), gerando pois uma Equação Diferencial Ordinária(=EDO) paragλ. Em seguida, sendo o número de λ’s no máximo enumerável, podemos soma-las de forma que esteja no espaço determinado acima. Este método recebe o nomede superposição, que sendo o problema linear desde que suportado por teoremas deAnálise Real podemos derivar dentro do sinal de somatório.3) Tal como nós estamos acostumados a fazer desde nosssos tempos de Cálculo resta-nos obter uma forma fechada da solução, para a partir da mesma lê propriedadesrelevantes das soluções. No nosso contexto seria obter o “Núcleo´´ associado aoproblema proposto para a EDP.

É razoável pensar que a Análise Harmonica; teve sua origem em Análise de Fourier,assim sendo dando mais uma justificativa para estudar esta segunda.No caso do problema de valor inicial e fronteira do problema de condução do calorunidimensional

∂tu = ∂2xu em [0, 2π]× [0, ∞) com u(x, 0) = f (x), u(0, t) = f (0) e u(2π, t) = f (2π)

(3.1)aqui f ∈ Ck

2π(R) = funções na classe Ck, periódicas de período 2π, o método acima seaplica, note que o fato do operador ser linear é muito importante. Assim o método nos

19

20 Capítulo 3: Análise de Fourier

dá a decomposição de uma função em Série de Fourier, à saber

f (x) = a0 +∞

∑j=1

(ajcos(jx) + bjsen(jx).

O tal desenvolvimento ou expansão, diferentemente do caso de séries de potências temuma grande vantagem, ele se aplica para inclusive para distribuições periódicas, umamaneira intrínsica é olhar por distribuições em S1= circunferência centrada na origemou seja a esfera 1-dimensional. Assim sendo precisamos exprimir distribuições emvariedades. Mas novamente, olhando a ação de difeomorfismos em distribuições dotipo Tg com g ∈ L1

loc(X), à saber, se Ψ for um difeomorfismo de X, segue pelo teoremamudança de variável para integral que:

TgΨ(ϕ) =∫

g Ψ(y))ϕ(x)dx =∫

g(x)(ϕ Ψ−1)(x)|det(Ψ′(Ψ−1(x))|−1dx

Assim estende-se para distribuições arbitrárias, tomando o lado direito comodefinição. Observe que o caso o fato de ϕ ∈ D(X) implica que ϕ Ψ−1 ∈ D(X).Obviamente sobre a variedade devemos ter: Uma medida de volume, ou uma 1/2-densidade para absorver o termo determinante do Jacobiano e caso e considerarmosg ∈ C(X) para não precisarmos tomar L1

loc(X).No espaço n-dimensionatal o S1 será substituido pelo toro Tn, uma vez que trataremosdas funções em Rn que sejam 2π-periódica em cada uma das variáveis.Logo a pergunta é saber qual o fecho das combinações lineares finitas das ei2π<x,j>,com j ∈ Zn. A resposta a esta pergunta depende de saber como obter os aj’s,aqui ao invés de tomar soma de polinomios trigonométricos tomaremos a soma deexponenciais complexas, afinal nos parece mais natural assim escrever cj(x) = cos(jx)e sj(x) = sen(jx) em termos de ej = 1√

2πeijx e e−j = 1√

2πe−ijx, pela Fórmula de

Euler. Uma razão, que escolhemos neste ponto, para tal escolha é que fica mais fácildemonstrar que de fato; ambos são geradores do mesmo auto-espaço associado aoautovetor −j2 de ∂2

x; por outro lado também fica fácil observar que para esta últimaescolha é obviamente constituida de autovetores ortonornais, aqui a escolha naturalde produto interno é o do espaço L2 = L2(S1,C), ou seja :

< f , g >=1

2π

∫ 2π

0f (x)g(x)dx.

Note que

aj =∫ 2π

0f (x)ej(x)dx =< f , ej > .

Como se pode ver em [4] para o caso n = 1 os aj’s dão a melhor aproximação de f emL2.Observe que tudo que foi feito acima parece ser objetos que aparecem em dimensãofinita: Temos um operador P = ∂2

x auto-adjunto em L2 os seus autovalores são −j2

com auto-espaço gerado por ej, e−j, que forma um conjunto vetores ortonormais.Obviamente a primeira pergunta é saber se eles forma uma base. De fato, este é o caso,e para isto precisamos que:

< f , ej >= 0 ∀j então f = 0 (3.1)

Uma maneira de demonstrar isto é isola-la em dois fatos:

3.1: O caso linear 21

Proposição 3.1 Se f for contínua então (3.1) vale.

Demonstração: Segue do fato que combinação lineares finitas de ejj∈Z é denso emC(S1) na norma ‖ ‖∞, cuja demonstração segue do Teorema de Stone-Weierstrass, ver[11]. De fato, a norma de L2 é dominada pela norma de L∞. 2

O outro fato é:

Proposição 3.2 O espaço das C(S1) é um subconjunto denso de L2.

Um demonstração possível é tal como o fizemos para L1, podemos tomar Lp com1 ≤ p < ∞, em seguida tomar o fecho de C1

c (R). Antes de apresentar uma segundademonstração cabe-nos lembrar que C(S1) é um subespaço fechado em L∞. De fato,estamos aptos a demonstrar usando uma técnica mais geral e mais concreta, para taluma preparação se faz necessário. Na realidade vamos seguir a idéia de Weierstrass,aquela cuja origem foi de usar a solução dada por Fourier para suavizar funçõescontínuas, agora faremos o mesmo para funções em Lp. O que faz funcionar é seobservarmos que em (2.7) temos

ψs(x) =1sn ψ(x/s)

com ψ(y) = 1(√

π)n e−‖y‖2. Observe que se ψ ∈ L1 com

∫ψ(y)dy = 1, então tem-se

que gs ∗ f converge em Lp para uma função f ∈ Lp dada, se 1 ≤ p < ∞. A razãopara tal é que desigualdade de Hölder(Teorema 1.1 a)) implica que ψs ∗ f ∈ Lp, e éuniformemente limitada. A razão de convergir é que de fato ψ ≥ 0 e

∫ψ(x)dx = 1

então gs → δ0, mas por (2.10) pelo menos sob certas condições teremos o resultado(o Weierstrass demonstrou o seu teorema de aproximação tirando partido que emcompactos polinomios de Taylor de ψ converge uniformemente para ela).Para estabelecer outra demonstração do fato usamos a teoria de integração deLebesgue procedendo da seguinte maneira, primeiramente observamos que:

‖ψs ∗ f ‖p = (∫|∫

ψ(y)( f (x− sy)− f (x))dy|pdx)1/p (3.2)

Sem perda de generalidade podemos supor que S(Tf ) é compacto contido em X, já que∫X| f (x)|pdx =

∞

∑j=1

∫IntKj+1\Kj

| f (x)|pdx +∫

K1

| f (x)|pdx

logo como a série é convergente teremos que para todo ε > 0 existe j suficientementegrande tal que

∫Kc

j| f (x)|pdx < ε/2; assim basta aproximar XKj f por uma função

suave, por exemplo a menos de um erro ε/2 na norma Lp. Agora tome λ > 0 talque λ < dist(Kj, Front(X)). Assim sendo tomemos ψ0 ∈ D(Rn) tal que S(ψ0) ⊂ Bλ(0),ψ0(x) ≥ 0 ∀x e

∫ψ0(x)dx = 1. Estendendo a propriedade sobre o suporte do Exercício

2.2 neste caso teremos que S((ψ0)s ∗ XKj f ) ⊂ S((ψ0)s) + S(XKj f ) ⊂ X, se 0 < s < 1.Usando a desigualdade triangular(Desigualdade de Minkowski para Lp) na formaintegral para a norma p obtemos que de (3.2) segue

‖(ψ0)s ∗ f ‖p ≤∫

ψ0(y)‖(τsy f − f )(x)‖pdx


Agora observando que ‖(τsy f − f )(x)‖p tende a zero quando s → 0; uniformementeem y, já que o Teorema da Convergência Dominada(ver [11]) pode ser aplicado. Daídecorre a afirmação da Proposição nesta versão mais geral.

Observamos que o Teorema da Convergência Dominada é uma das ferramentasque temos para a Teoria de Integração de Lebesgue que não vale para a Teoria deIntegração de Riemann. Seu enunciado é:

Teorema 3.3 Suponha que que fn ∈ L1(Rn), para cada n, e que convirga para uma função fquase por toda parte( isto é, exceto num conjunto de medida zero) e | fn|(x) ≤ g(x) quase portoda parte ∀n e que g ∈ L1 então f ∈ L1(Rn) e a convergência se dá na norma de L1(Rn).

Exemplo 3.1 (Função de Dirichlet) Seja qk; k ∈ N um enumeração dos racionaisem [0, 1], e considere fk ∈ IR([0, 1]), e portanto limitada e ∈ L1([0, 1]), definida porfk(x) = 0 se x ∈ q1, ..., qk e = 1 caso contrário. O Teorema 3.1 se aplica no entanto olimite não é integrável no sentido de Riemann.

Voltando para o produto de Convolução para distribuições primeiramente temos:

Teorema 3.4 Sejam u ∈ E ′(X) e ψ0 como acima com S( f ) substituido por S(u) então(ψ0)s ∗ u ∈ D(X) e T(ψ0)s∗u converge para u em E ′(X).

Assim temos pois um padrão de questões: para quais espaços de funções vale aafirmação correspondente. A resposta é que quase todos os espaços clássicos estãonesta condição. Veja que L∞ está fora desta lista, pois o subespaço C(X) ∩ L∞(X)em L∞ é fechado. A Proposição 3.2 já é um resultado nesta direção, o que se esperaé o seguinte: A regularidade da convolução, não deve ser inferior a regularidadedos fatores mas de fato melhor que a soma da regularidade dos fatores. Claroalgum cuidado deve ser tomado com respeito a integrabilidade e precisar comomedir regularidade. A principio se fossem distribuições seria a ordem, quantomenor a ordem mais regular ela o será. Sumarizaremos em um resultado nestadireção quando consideramos mais um espaço de funções clássico. Seja Ck

c (X) oespaço das funções k-vezes diferenciáveis de suporte compacto definidas num abertopróprio X de Rn, tomaremos as seminormas (já introduzidas no Capítulo 1) dadas porNk

j ( f ) = Max|α|≤k‖∂α f ‖L∞(Kj), com Kj a cadeia ascendente de compactos exaurindo

X apresentada no Capítulo 1. Se X = Rn exclua a restrição em j e tome a normaNk( f ) = Max|α|≤k‖∂α f ‖L∞(X). Seja ψ ∈ Cj

c(Bε(0)) tal que∫

ψ(x)dx = 1 e ψ(x) ≥ 0 ∀x.Considere ψl(x) = l−nψ(l−1x), com l > 0.

Teorema 3.5 Se X aberto de Rn. Seja f ∈ Ckc (X). Se X 6= Rn considere l0 tal que

S( f ) + B1/l0(0) ⊂ X. Se X 6= Rn tome l ≥ l0 então

ψl ∗ f ∈ Ck+jc (X)

e converge na topologia de Ckc (X), analogamente para o caso em X 6= Rn.

Demonstração: Se faz análogo a proposiçao acima, observe que neste caso poderiamostomar a integrais no sentido de Riemann. 2


A série de Fourier nos fornece um operador muito interessante:

∧ : L2(S1)→ `2(Z) dada por f 7−→ (ak) (3.3)

Aqui ak( f ) = 1√2π

∫e−ixk f (x)dx, que passamos a denotar por f (k), e `2(Z) é o

espaço normado completo das sequencias complexas (ak)k∈Z, cuja norma é descritapelo produto interno < (ak), (bk) >= ∑ akbk. De fato, por (3.1) temos que ∧ é umoperador bijetivo, e além disso uma isometria. De fato∫

f (x)g(x)dx = ∑ akbk (3.4)

A medida que dá o espaço `2(Z) é a medida de ∑k∈Z δk. Agora veremos como osseguintes três operadores, ∗, d

dx e Mx, ou sejam o produto de convolução, o operadorderivada e o operador multiplicação por x, se transformam em `2(Z).Primeiramente∫

e−ikx∫

f (x− y)g(y)dydx ==∫ ∫

e−ik(x−ye−iky f (x− y)g(y)d(x− y)dy

pelo Teorema de Fubini(veja [11]). Portanto

ak( f ∗ g) = ak( f )ak(g) (3.5)

aqui an(h) é o n-ésimo coeficiente de Fourier de h.No caso d

dx , assuma que f ∈ C12π(R)= funções C1 periódicas de período 2π, então∫

e−ikx f ′(x)dx = ik∫

e−ikx f (x)dx,

por integração por partes. Daí

ak(1i

ddx

f ) = kak( f ) (3.6)

Finalmente o operador Mx∫e−ikxx f (x)dx = −

∫ 1i

ddk

e−ikx f (x)dx,

justificamos a igualdade acima considerando os coeficientes da Série de Fourier comoa discretização de

f (ξ) =1√2π

∫e−iξx f (x)dx (3.7)

observe que mesmo que Tf seja substituido por uma distribuição u ∈ E ′(S1) podemosproceder todos os passos acima; por exemplo, para justificar que podemos tomar aderivada no sinal de integração segue da Proposição 2.4. Como conclusão teremosentão

ak(M 1i x f ) =

ddk

ak( f ) (3.8)

Sobre a Séries de Fourier muito se conhece e aplicações recentes revigora a teoria,chamo especial atenção a Teoria dos Números, muito se devendo a matemáticos como


Jean Bourgain e Terence Tao, ambos foram recentemente agraciados pela MedalhaFields. Escreverei mais um pouco sobre um aspecto clássico da teoria, o que tratasobre a convergência pontual da Série de Fourier.

A convergência pontual da série de Fourier depende de quão rápido os coeficientesaj’s convergem para zero. Um primeiro resultado positivo é o seguinte:

Proposição 3.6 Seja f ∈ L1(S1), que como sempre a identificamos como uma função periódicana reta, então

f (k)→ 0, quando |k| → ∞.

Demonstração: Usando a Proposição 3.2 e o Teorema de aproximação de Weierstrasstemos que ∀ε > 0 existe p(x) = ∑|j|≤N cjeixj (polinômio trigonométrico) tal que‖ f − p‖1 < ε; assim temos pela ortogonolidade dos ej’s que

| f (k)| = |( f − p)(k)| ≤ ‖ f − p‖1 < ε

mas como ε é arbitrário segue o resultado. 2

Note que o mesmo resultado segue para L1(Rn), se tomarmos a mesma expressão daintegral com ξx substituido por < ξ, x >, uma vez que tomemos um cubo centrado naorigem de lado suficientemente grande tal que a norma L1 de f seja suficientementepequena fora do cubo, e claro usemos a densidade de Cc em L1 em compactos e emseguida ...Exercício 3.2 Complete os detalhes do argumento acima esboçados de formaincompleta.

Dentre as patologias do espaço das funções contínuas a Análise de Fourieracrescenta mais uma.Considere a soma parcial de Fourier de uma função f ∈ C2π

Sk( f )(x) = ∑|j|≤k

ajeixj (3.9)

Usando que núcleo de Sk é, conforme determinado por exemplo em [4], dado pelaconvolução com Dk(x) = c sen((k+1/2)x/2)

sen(x/2) , que é conhecido como Núcleo de Dirichlet, épossível demonstrar que:

S∗( f )(x) = supk|Sk( f )(x)|

é possível demostrar:

Proposição 3.7 Existe um conjunto F ⊂ C(S1) que é interseção de abertos densos em C(S1)tal que para cada f ∈ F o conjunto x; S∗( f )(x) = ∞ é um conjunto que é denso em S1.

Resultados nesta direção foram obtidos por P. du Bois-Reymond a partir de 1876 e porL. Fejér em 1909. O Teorema 1.6 (Banach-Steinhauss) fornece o resultado não-explícitoacima. Utilizando o núcleo de Dirichlet, que corresponde a etapa 3) apresentada noinício deste capítulo, resultados positivos de convergência da Série de Fourier tem


sido apresentado, nos referimos a [4] para uma idéia de tipos de teoremas que pode-se demonstrar. A obra clássica de A. Zygmund, chamada Trigonometric Series, podesaciar a curiosidade do leitor.

Por outro lado como em L2 a Sk( f ) converge em L2, sabemos como fato geral de Lp

que a convergencia pontual(quase por toda parte) vale para alguma subsequência. Nosanos 60’s, via uma demonstração surpreendente, L. Carleson, recepiente do PrêmioAbel, mostrou que a convergência se dá sem passar para subsequência. O resultadologo depois foi demonstrado para Lp, 1 < p < ∞. O resultado mais próximo destetinha sido obtido no final dos anos 30’s por J. Littlewood e R. Paley, neste resultadomostraram que a convergência pontual se dá para a subsequência diádica S2k( f ).Logo voltaremos a citar este resultado. Mas antes de tudo lembremos o seguinteresultado, que dá uma idéia da sutileza de tais resultados: Se série de números reaisconverge, mas não o faz absolutamente, então qualquer número ser soma de algumrearranjamento da série.Observação 3.1

a) Se considerarmos a possibilidade de estender, o que passaremos a chamar,aAnálise de Fourier em variedades compactas(mais especificamente, aqui Tn= toro n-dimensional) para variedades não-compactas, note que no primeiro caso temos queD′(M) = E ′(M). Que obviamente não é o caso se M não for compacta. Nosrestrigiremos a considerar M = Rn.

b) Levando em conta a Proposição 2.5, objetivaremos considerar um espaço defunções testes, lembro que por enquanto temos D(Rn) e E(Rn), para o qual com atopologia a ser determinada o seu dual contenha E ′(Rn). Note que a escolha não recaineste último espaço pois de (3.7) segue que f (ξ) não terá suporte compacto a não quef = 0, pois se trata de uma função analítica real em ξ, daí se tiver um ponto que seanule de ordem infinita terá que ser nula. De fato pode ser estendida que o espaçoH(Cn) das funções holomorfas. Recomendamos que o leitor considere consultar oTeorema de Paley-Wiener, que dita uma condição necessária e suficiente para que umafunção emH(Cn) seja a Transformada de Fourier de uma distribuição em E ′(Rn). Aquiconsideramos em Rn

f (ξ) =1

(2π)n/2

∫e−i<ξ,x> f (x)dx (3.7′)

Chame tal operador de Transformada de Fourier de f .c) Assim nos propomos a determinar um subespaço S de E contendo D tal que:

i) ψ 7−→ ψ. seja um operador contínuo e invariante em S .ii) A inclusão D → S seja contínua.iii) Os operadores (1

i ∂)α e Mxα são continuos em S .A resposta a c) acima foi dada por L. Schwartz e é dado na proposição abaixo:

Proposição 3.8 Seja S(Rn) o espaço vetorial das funções ψ ∈ C∞(Rn) tais que xβ∂αψ ∈ L∞,∀α, β ∈ Nn. Então S(Rn) satisfaz o item c) da Observação 3.1.

Aqui, mais uma vez, a topologia S será dada por um coleção enumerável de semi-normas, de fato normas, que no caso é dada por

NSk (ψ) = Max|α|,|β|≤k‖xβ∂αxψ‖∞.


Demonstração: A continuidade da transformada de Fourier segue da extensão daspropriedades (3.6)-(3.8) acima da estimativa

|∫

e−i<ξ,x>ψ(x)dx| ≤ (∫(1 + |x|)−(n+1)dx)NSn+1(ψ).

Pode-se mostrar facilmente que∫(1+ |x|)−(n+1)dx usando a mudança de coordenadas

em coordenadas esféricas é finita. As outras afirmações são facilmente verificadas. 2

Exemplo 3.2. Uma função de S que não está em D é ψ0(x) = e−|x|2/2.

Exercício 3.1 Seja ψ0 dado no exemplo acima, mostre que ψ0(ξ) = ψ0(ξ) (conforme(3.7’)), e que

∫ψ0(x)dx = (2π)n/2.

Sugestão: Para a primeira afirmação complete o quadrado e use o teorema de Cauchy)e para a segunda use coordenadas polares.Como antecipamos defina de S ′, assim teremos que ax inclusões

E ′(Rn) ⊂ S ′(Rn) ⊂ D′(Rn)

são contínuas. A extensão da transformada de Fourier em S ′ é como previsto:

u(ψ) = u(ψ) (3.9)

Agora a invertibilidade da transformada de Fourier pode ser demonstrada.Baseado no caso de séries de Fourier o candidato a ser o operador Inverso daTransformada de Fourier é:

f (η) =1

(2π)n/2

∫ei<η,x> f (x)dx (3.9)

Proposição 3.9 O operador definido por (3.9) é o operador inverso da Transformada de Fourier.

Demonstração: De fato precisamos calcular∫ei<x,ξ>dξ

∫φ(y)e−i<y,ξ>dy,

para φ ∈ S(Rn). Como tal integrando não é absolutamente integrável nas duasvariáveis, não é permitido usar o Teorema de Fubini. A ideia é modificar a integralcolocando um fator que nos garante a integrabilidade, e este fator dependa de umparâmetro que no limite a integral convirga para o valor desejado. Tome um ψ0 ∈ Sdado em Exemplo 3.2, que satisfaz as propriedades enunciadas no Exercicio 3.1, econsidere ψ(ξ) = ψ0(εξ). Assim modifique a igualdade acima para

1(2π)n/2

∫ei<x,ξ>ψ(εξ)dξ

∫φ(y)e−i<y,ξ>dy =

∫ψ(y− x)φ(y)du =

∫ψ(y)φ(x+ y)dy.

Note que ψ(y) = ε−nψ(y/ε). Logo obtermos∫φ(ξ)ψ(εξ)ei<x,ξ>dξ =

∫ψ(y)φ(x + εy)dy,

novamente usando o Teorema da Convergência Dominada, veja Teorema 3.1, logo∫φ(ξ)ψ(0)ei<x,ξ>dξ =

∫φ(x)ψ(y)dy,

usando o Exercício 3.1, segue o resultado. 2

3.2: O caso não-linear 27

3.2 O caso não-linear

Ao final dos anos 70’s um grande avanço nas EDP’s lineares foi atingido; emespecial o papel do estudo das singularidades de soluções recebeu muita atenção. Ageometria simplética passou a ser o laço entre resolubilidade de soluções e a geometriadas singularidades; O aparecimento dos Operadores Integrais de Fourier devido aJ. Duistermaat e L. Hörmander apareceram na Acta Mathematica no início dos 70’s.Algumas resultados esporádicos foram obtidos no contexto não-linear, mas eis que em1981, no artigo [2], J.-M. Bony, demonstrou uma extensão do resultado de propagaçãode singularidades devido a Duistermaat-Hörmander para o contexto não-linear. Atécnica apresentada tem sido a apropriada para abordar extensões de resultados dateoria linear para a não-linear, objetivamente, estende a Análise de Fourier para tratarproblemas não-lineares.

Passaremos agora a descrever alguns principios básicos da Teoria de Bony, na linhaque este texto objetiva discorrer. Anteciparemos os dois aspectos que aqui trataremos:a Decomposição de Littlewood-Paley e Para-Multiplicação de Bony.

Note que facilmente se deduz que se u ∈ E ′(Rn) então a transformada deFourier é C∞, aplicando Proposição 2.4, de fato admite extensão holomorfa para Cn,e voltando para as variáveis reais pelo fato de u ter ordem finita(globalmente) entãocresce polinomialmente. Novamente olhando séries de Fourier é natural denominar-seξ ∈ Rn o espaço das frequéncias; já que está associado o quanto eξ(x) = 1

(2π)n/2 ei<x,ξ>

oscila. Como pode-se entender estas eξ como autovetores que diagoliza operadoresdiferenciais parciais lineares com coeficientes constantes, denotado por p(D), nosdisposemos a olhar p(ξ) como os pontos do espectro do operador, uma vez que:p(D)ϕ(x) = (p(ξ) f (ξ))∨, ou seja a transformada de Fourier conjuga P(Dx) em Mp(ξ),na base ‘eξ´ este último operador é ‘diagonal´.

O lema abaixo será útil para ver como a localização no espectro estima a função.

Lema 3.10 (Bernstein) Sejam C uma coroa e B uma bola em Rn, centradas na origem. Existeuma constante C > 0 tal que, para todo inteiro não-negativo k, toda dupla de números reaisp, q, com q ≥ p ≥ 1, e toda função u de Lq, temos:

S(u) ⊂ λB ⇒ sup|α|=k‖∂αu‖Lq ≤ Ck+1λ

k+n( 1p−

1q )‖u‖Lp (3.11)

S(u) ⊂ λC ⇒ C−k−1λk‖u‖Lp ≤ sup|α|=k‖∂αu‖Lp ≤ Ck+1λk‖u‖Lp (3.12)

Demonstração: Procedendo por mudança de escala, podemos assumir que λ = 1.De fato, se u ∈ Lq é tal que S(u) ⊂ λB, defindo v = u(λ−1·), temos que S(u) ⊂ B.Assim, se (3.11) vale para λ = 1,

sup|α|=k‖∂αv‖Lp ≤ Ck+1‖v‖Lp .

Mas, pelo Teorema de mudança de variáveis, ‖v‖Lp = λnp ‖u‖Lp , ∂αv(x) =


λ−|α|∂αu(λ−1x) e assim ‖∂αv‖Lq = λ(−|α|+ n

q )‖∂αu‖Lq . Deste modo,

sup|α|=k‖∂αu‖Lq = sup

|α|=kλ(|α|− n

q )‖∂αv‖Lq

≤ Ck+1λ(k− n

q )‖v‖Lp

= Ck+1λk+d( 1

p−1q )‖u‖Lp

obtendo (3.11) para λ qualquer. Em (3.12), procedemos de maneira análoga.Para a prova do lema, fixemos uma função suave φ compactamente suportada e talque φ ≡ 1 em uma vizinhança da bola B. Como S(u) ⊂ B,

u(ξ) = φ(ξ)u(ξ).

Seja g = φ. Então(u ∗ g)∧ = ug = uφ = u,

e daí u ∗ g = u. Portanto, para todo multi-índice α,

∂αu = ∂αg ∗ u

A desigualdade de Young, ver [7], nos diz que

‖∂αu‖Lq ≤ ‖∂αg‖Lr‖u‖Lp ,

com r ∈ [1, ∞] satisfazendo1p+ 1 =

1r+

1q

.

Agora,

‖∂αg‖Lr =

(∫|∂αg(x)|rdx

)1/r

=

(∫|∂αg(x)|r (1 + |x|

2)rd

(1 + |x|2)rd dx

)1/r

≤ C‖(1 + | · |2)d∂αg‖L∞

(1)≤ C‖(Id− ∆)d((·)αφ)‖L1

(2)≤ Ck+1

sendo que, em (1), utilizamos que ‖ f ‖∞ ≤ (2π)n/2‖ f ‖1 e (2) segue do fato deque ‖(Id − ∆)d((·)αφ)‖L1 é estimada pela soma finita de integrais com termo típico(·)α−β∂βφ, onde |β| ≤ 2d, limitada por∫

S(φ)(x)α−β∂βφ(x)dx ≤ Cβ

∫B(0,R)

|x||α−β||∂βφ(x)|

≤ Rk sup|β|≤2d

Cβ‖∂βφ‖L1 ≤ Ck+1.


A segunda desigualdade de (3.12) segue aplicando-se (3.11). Para a prova daprimeira desigualdade, consideramos φ ∈ C∞

c (Rd\ 0) valendo 1 perto da coroa Ce definimos gα = ((iξ)α|ξ|−2kφ(ξ))∨. Temos a seguinte identidade algébrica

|ξ|2k = ∑1≤j1,··· ,jk≤d

ξ2j1 · · · ξ2

jk

= ∑|α|=k

(iξ)α(−iξ)α

Logo, pelas propriedades da Transformada de Fourier a respeito de derivação econvolução, temos(

∑|α|=k

gα ∗ ∂αu)∧

= ∑|α|=k

(−iξ)α gαu

= ∑|α|=k

(−iξ)α(iξ)α|ξ|−2kφ(ξ)u(ξ)

= φ(ξ)u(ξ) = u(ξ)

e assim,u = ∑

|α|=kgα ∗ ∂αu (3.13)

Repetindo o argumento utilizando em (2), obtemos ‖gα‖L1 ≤ Ck+1. Então, aplicando adesigualdade de Young, segue que

‖u‖Lp ≤ ∑|α|=k‖gα ∗ ∂αu‖Lp

≤ ∑|α|=k‖gα‖L1‖∂αu‖Lp

≤ Ck+1 sup|α|=k‖∂αu‖Lp

2

Inicialmente, vamos construir uma Partição Diádica da Unidade, que será utilizadano decorrer do texto e nos conduzirá à decomposição de Littlewood-Paley.

Teorema 3.11 Existem funções radiais ϕ e χ de classe C∞(Rn), com valores no intervalo [0, 1],suportadas na coroa C = C(0, 3

4 , 83) e na bola B = B(0, 4

3), respectivamente, tal que

χ(ξ) + ∑j≥0

ϕ(2−jξ) = 1, ∀ξ ∈ Rd (3.14)

∑j∈Z

ϕ(2−jξ) = 1, ∀ξ ∈ Rn\ 0 (3.15)

Demonstração: Consideremos um número real α no intervalo (1, 43), e denotamos por

C ′ a coroa C ′ = C(0, α−1, 2α). Como C ′ ⊂ C, usando a construção de função em D,


apresentada logo abaixo da propriedade (P3) no Capítulo 1, existe uma função radialθ ∈ C∞

c (C) igual a 1 numa vizinhança de C ′.Observemos que ⋃

j∈Z2jC ′ = Rn\ 0 (3.16)

De fato, se x ∈ Rn e |x| = r > 0, existe j ∈ Z tal que 2j < rα ≤ 2j+1, ou seja, 2jα−1 < |x|e |x| = r ≤ α−12j+1 = 2j(2α−1) < 2j(2α), pois α−1 < 1 < α. Assim, x ∈ 2jC ′.Uma propriedade fundamental a respeito desta cobertura é que se j, j′ ∈ Z satisfazem|j− j′| ≥ 2 então

2jC ∩ 2j′C = ∅. (3.17)

Com efeito, se 2jC ∩ 2j′C 6= ∅ , com j ≥ j′, existe x tal que

2j 34< |x| < 2j 8

3e 2j′ 3

4< |x| < 2j′ 8

3,

o que nos dá 2j 34< 2j′ 8

3, isto é, 2j−j′ <

329

< 4. Assim, j− j′ < 2.Seja

R(ξ) = ∑j∈Z

θ(2−jξ).

Por (3.17), esta soma é localmente finita em ξ ∈ Rd\ 0. Então a função R é de classeC∞ neste espaço. Segue da escolha de θ e da propriedade de cobertura (3.16) que Rassume valores maiores ou iguais a 1 em Rn\ 0.Assim, podemos definir a função de classe C∞

ϕ =θ

R

Como R não se anula, S(ϕ) ⊂ S(θ). Logo, ϕ ∈ C∞c (C) e, pela construção de R, se

ξ ∈ Rn\ 0,∑j∈Z

ϕ(2−jξ) = 1

Por outro lado, a função 1−∑j≥0

ϕ(2−jξ) é de classe C∞, por (3.17). Como o suporte de

ϕ está contido em C, para j ≤ −1 temos que S(ϕ(2−j·)) ⊂ 2jC ⊂ B. Deste modo, se

ξ ∈ Rd é tal que |ξ| ≥ 43

,

1 = ∑j∈Z

ϕ(2−jξ) = ∑j≥0

ϕ(2−jξ)

Assim, definindoχ(ξ) = 1−∑

j≥0ϕ(2−jξ)

resultará em χ ∈ C∞c (B, [0, 1]) satisfazendo (3.11). 2


Observação 3.12 Algumas propriedades a respeito das funções χ e ϕ obtidasanteriormente serão úteis no desenvolvimento do texto e destacaremos abaixo.Primeiramente, como S(ϕ(2−j·)) ⊂ 2jC, então se |j− j′| ≥ 2,

S(ϕ(2−j·)) ∩ S(ϕ(2−j′ ·)) = ∅. (3.18)

Também, se j ≥ 1, como 2j 34≥ 4

3, teremos B ∩ 2jC = ∅ e assim

S(χ) ∩ S(ϕ(2−j·)) = ∅.

Segue, juntamente com a propriedade (3.17), que para cada ξ fixado, a expressãoχ(ξ) + ∑

j≥0ϕ(2−jξ) reduz-se a no máximo três termos, cuja soma é igual a 1. Pelo

método dos multiplicadores de Lagrange, mostra-se que para números positivos a, b, c

tais que a + b + c = 1, a soma dos seus quadrados vale ao menos13

. Assim,

13≤ χ2(ξ) + ∑

j≥0ϕ2(2−jξ).

Por outro lado, como as funções χ e ϕ tem a sua imagem no intervalo [0, 1], temos

χ2(ξ) + ∑j≥0

ϕ2(2−jξ) ≤ χ(ξ) + ∑j≥0

ϕ(2−jξ) = 1

Portanto, para todo ξ ∈ Rn,

13≤ χ2(ξ) + ∑

j≥0ϕ2(2−jξ) ≤ 1 (3.19)

De maneira semelhante, prova-se que

12≤ ∑

j∈Zϕ2(2−jξ) ≤ 1, ∀ξ ∈ Rn\ 0 . (3.20)

Daqui em diante, fixemos duas funções ϕ e χ satisfazendo as conclusões doTeorema 3.11. Para u ∈ S ′(Rn) e j ∈ Z, definimos os operadores

∆judef=

(χu)∨, se j = −1

(ϕ(2−j·)u)∨, se j ≥ 0.

e ∆ju = 0, se j ≤ −2.Também, para cada j ∈ Z,

Sjudef= ∑

j′≤j−1∆j′u.

O principal objetivo desta seção é provar que, para toda distribuição temperadau ∈ S ′, a sequência (Sju)j∈Z converge a u no espaço S ′. Deste modo, podemosrepresentar u pela série

u = ∑j∈Z

∆ju


denominada a Decomposição de Littlewood-Paley de u, note em particular sendoassim uma distribuição temperada, isto é ∈ S ′ é limite de uma série de funções emC∞ ∩ S ′ com espectro compacto.

Discutiremos inicialmente algumas propriedades referente aos operadoresdefinidos anteriormente e que serão importantes para a obtenção de tal decomposição.Observação 3.2 Para toda u ∈ S ′ e f ∈ S , 〈∆ju, f 〉 = 〈u, ∆j f 〉 Por definição,

〈∆ju, f 〉 = 〈(∆ju)∧, f 〉= 〈ϕ(2−j·)u, f 〉= 〈u, (ϕ(2−j·) f )∧〉

Como f ∈ S ,f (x) = f (−x), ∀x ∈ Rn.

Deste modo,

(ϕ(2−j·)∧ f )(ξ) =∫

e−ixξ ϕ(2−jx) f (x)dx

= (2π)−d∫

e−ixξ ϕ(2−jx) f (−x)dx

(1)= (2π)−d

∫eixξ ϕ(−2−jx) f (x)dx

(2)= (2π)−d

∫eixξ ϕ(2−jx) f (x)dx

= (ϕ(2−j·) f )∧ = ∆j f ,

sendo que, em (1), fizemos uma mudança linear de variáveis e, em (2), utilizamos ofato de que ϕ é radial.Quando j = −1, o procedimento é análogo.Mostremos agora que, para toda distribuição temperada u,

Sju = F−1(χ(2−j·)u), ∀j ≥ 0 (3.21)

Pela comutatividade dos operadores ∆j, garantida pela Observação 3.2, é suficienteverificar a igualdade para funções f ∈ S . Neste caso,

(Sj f )(ξ) = ∑j′≤j−1

(∆j′ f

)(ξ)

=(

χ(ξ) + ∑0≤j′≤j−1

ϕ(2−j′ξ))

f (ξ)

=(

1− ∑j′≥0

ϕ(2−j′ξ) + ∑0≤j′≤j−1

ϕ(2−jξ))

f (ξ)

=(

1− ∑j′≥j

ϕ(2−j′ξ))

f (ξ)

=(

1− ∑j′≥0

ϕ(2−j′2jξ))

f (ξ) = χ(2−jξ) f


Por esta nova caracterização, para cada u ∈ S ′, como o suporte da transformada deFourier dos operadores ∆ju e Sju é compacto, o fato de ser a transformada de Fourierinversa de uma distribuição de suporte compacto nos garante que ∆ju e Sju são funçõesde classe C∞. Pelas propriedades da convolução, para todo multi-índice α ∈ Nd eu ∈ S ′,

∆j∂αu = ∂α∆ju.

Também, os operadores ∆j e Sj mapeiam Lp em Lp continuamente. Mais ainda, existeuma constante C > 0, independente de j e de u para o qual

‖∆ju‖Lp ≤ C‖∆ju‖Lp e ‖Sju‖Lp ≤ C‖∆ju‖Lp

De fato, para u ∈ Lp, j ≥ 0, as convoluções 2jd ϕ(2n·) ∗ u e 2jdχ(2n·) ∗ u estão bemdefinidas e satisfazem

(2jn ϕ(2n·)∧ ∗ u) = ϕ(2−j·)u(2jnχ(2n·)∧ ∗ u) = χ(2−j·)u

Daí, se u ∈ Lp, como ∆ju = 2jn ϕ(2n·) ∗ u, segue da desigualdade de Young que∆ju ∈ Lp e vale a seguinte estimativa:

‖∆ju‖Lp ≤ ‖2jd ϕ(2d·)‖L1‖u‖Lp

= C1‖u‖Lp ,

onde C1 = ‖ϕ‖L1 . De modo análogo, se j = −1, observando que ∆−1u = 2−nχ(2n·) ∗ ue aplicando novamente a desigualdade de Young,

‖∆ju‖Lp ≤ C2‖u‖Lp , com C2 = ‖χ‖L1 .

Tomando C = maxC1, C2, segue a primeira desigualdade.Para os operadores Sj, procedemos de maneira análoga, pois Sju = 2jnχ(2n·) ∗

u, ∀j ≥ 0.

Teorema 3.13 Seja u ∈ S ′(Rn). Então, no sentido de convergência do espaço S ′(Rn),

u = limj→∞

Sju

Demonstração: Por consequência da Observação 3.2 e da expressão (3.21) vale que,para toda f ∈ S ,

〈u− Sju, f 〉 = 〈u, f − Sj f 〉.Deste modo, é suficiente mostrarmos que no espaço S , temos f − Sj f → 0 quandoj→ ∞. Para este caso, é conveniente utilizarmos a família de semi-normas

‖ f ‖k = sup|α|≤kξ∈Rd

(1 + |ξ|)k |∂α f (ξ)|.

Então, calculando ‖ f − Sj f ‖k =

sup|α|≤kξ∈Rn

(1 + |ξ|)k |∂α( f (ξ)− (Sj f ) (ξ))| = sup|α|≤kξ∈Rn

(1 + |ξ|)k |∂α( f (ξ)− χ(2−jξ) f (ξ)| (3.22)


Desenvolvendo a expressão ∂α( f (ξ)− χ(2−jξ) f (ξ)) pela fórmula de Leibniz,

∂α((1− χ(2−jξ)) f (ξ)) = (1− χ(2−jξ))∂α f (ξ) + ∑0<β≤α

Cα,β2−j∂βχ(2−jξ) ∂α−β f (ξ)

Como χ vale 1 numa vizinhança de zero, a fórmula de Taylor nos permite escrever∣∣∣1− χ(2−jξ)∣∣∣ = |χ(2−jξ)− χ(0)| =

∣∣∣∣∫ 1

0χ′(0 + t2−jξ).(2−jξ) dt

∣∣∣∣(∗)≤ 2−j

∫ 1

0

d

∑l=1|∂lχ(t2−jξ)| |ξl| dt ≤ C2−j

d

∑l=1|ξl| ≤ C2−j(1 + |ξ|) (3.23)

sendo que, em (∗), utilizamos o fato de que χ e suas derivadas são limitadas.Do mesmo modo,

∑0<β≤α

∣∣∣Cα,β2−j∂βχ(2−jξ) ∂α−β f (ξ)∣∣∣ ≤ C2−j ∑

0<β≤α

∣∣∣∂α−β f (ξ)∣∣∣ (3.24)

Com as duas limitações obtidas em (3.23) e (3.24), segue de (3.22) que

‖ f − Sj f ‖k ≤ sup|α|≤kξ∈Rn

(1 + |ξ|)k

[C2−j(1 + |ξ|)

(|∂α f |+ ∑

0≤β<α

|∂α−β f |)]

≤ C2−j sup|α|≤k+1

ξ∈Rn

(1 + |ξ|)k |∂α f |

= C2−j‖ f ‖k+1

2

Com as notações estabelecidas anteriormente, consideremos

Definição 3.14 Seja s um número real e (p, r) ∈ [1, ∞]. O espaço de Besov não-homogêneoBs

p,r é o espaço de todas as distribuições temperadas tal que

‖u‖Bsp,r

def=∥∥∥(2js‖∆ju‖Lp)j∈Z

∥∥∥`r(Z)

< ∞ (3.25)

O primeiro passo é verificar a invariância com respeito a escolha da partição diádicada unidade utilizada na definição anterior. Para isto, será importante garantirmos aconvergência em S ′ para séries em que a Transformada de Fourier de cada parcela estásuportada em coroas.

Lema 3.15 Seja (uj)j∈N uma sequência de funções limitadas tal que a transformada de Fourierde uj está suportada em 2jC, onde C é um anel dado. Suponhamos que

‖uj‖L∞ ≤ C2jN

para constantes C, N > 0. Então a série ∑j∈N

uj é convergente em S ′.


Demonstração: Consideremos φ ∈ C∞c (Rn\ 0) identicamente 1 numa vizinhança da

coroa C e, para k um inteiro a ser escolhido, definimos

gα =((iξ)α|ξ|−2kφ(ξ)

)∨, |α| = k

Observemos que

(gα(2j·))∧(ξ) = 2−jd gα(2−jξ)

= 2−jd((iξ)α|ξ|−2kφ(ξ)

).

Procedendo como na demonstração de (3.13), no lema de Bernstein obtemos que,para cada j ∈ N,

uj = 2−jk ∑|α|=k

2jdgα(2j·) ∗ ∂αuj

Assim, se φ ∈ S ,

〈uj, φ〉 = 2−jk ∑|α|=k〈2jdgα(2j·) ∗ ∂αuj, φ〉 = 2−jk ∑

|α|=k〈uj, 2jdgα(2j·) ∗ ∂αφ〉 (3.26)

Logo

|〈uj, φ〉| ≤ ∑|α|=k

2−jk∣∣∣∣∫ uj(x)2jd gα(2j·) ∗ ∂αφ(x) dx

∣∣∣∣≤ 2−jk‖uj‖L∞ ∑

|α|=k‖2jd gα(2j·) ∗ ∂αφ‖L1

≤ C2−jk2jN ∑|α|=k‖2jd gα(2j·)‖L1‖∂αφ‖L1

= C2−j(k−N) ∑|α|=k‖∂αφ‖L1

Escolhendo k > N, a sequência ∑j∈N〈uj, φ〉 é convergente em R, para cada φ ∈ S . Segue

da Proposição 1.4 que ∑j∈N

uj é convergente em S ′.

2

Teorema 3.16 Seja C ′ uma coroa em Rn, s um número real e p, r ≥ 1. Seja (uj)j∈N umasequência de funções suaves tais que

S(uj) ⊂ 2jC ′ e∥∥∥(2js‖uj‖Lp)j∈N

∥∥∥`r< ∞.

Entãou = ∑

j∈Nuj ∈ Bs

p,r e ‖u‖Bsp,r ≤ Cs

∥∥∥(2js‖uj‖Lp)j∈N

∥∥∥`r


Demonstração: Por hipótese, existe C > 0 tal que 2jrs‖uj‖rLp ≤ C, ou ainda,

‖uj‖Lp ≤ C1/r2−js (3.27)

Utilizando o Lema de Bernstein e a desigualdade (3.27), temos que

‖uj‖L∞ ≤ C‖u‖Lp

≤ C(2j)n/p2−jsC1/r ≤ C2j(n/p−s)

Pela Lemma 3.16, a série que define u é convergente em S ′. É interessante entãoanalizarmos o comportamento dos operadores ∆j′u.Como C e C ′ são duas coroas, existe um inteiro N0 > 0 tal que

|j− j′| ≥ N0 ⇒ 2jC ∩ 2j′C ′ = ∅

Daí, se |j− j′| ≥ N0,(∆j′uj)

∧ = 0⇒ ∆j′uj = 0.

Assim, podemos escrever

‖∆j′u‖Lp =

∥∥∥∥∥∑j≥0

∆j′uj

∥∥∥∥∥Lp

≤ C ∑j≥0

|j−j′ |≤N0

‖uj‖Lp

Consequentemente,

2j′s‖∆j′u‖Lp ≤ C ∑j≥0

|j−j′ |≤N0

2j′s‖uj‖Lp

≤ C ∑j≥0

|j−j′ |≤N0

2js‖uj‖Lp

Deste modo obtemos que

2j′s‖∆j′u‖Lp ≤ ((ck)k∈Z ∗ (dl)l∈Z)(j′),

com ck = C 1[−N0,N0](k) e dl = 1N2ls‖ul‖Lp . Como a sequência ck pertence a `1,utilizando a propriedade clássica da convolução entre `1(Z) e `r(Z) (ou a Desigualdadede Young), segue que∥∥∥(2j′s‖∆j′u‖Lp)j

∥∥∥`r≤ ‖(ck)‖`1

∥∥∥(2js‖uj‖Lp)j

∥∥∥`r

,

isto é,‖u‖Bs

p,r ≤ Cs


∥∥∥`r

.

2

O Teorema anterior implica diretamente o seguinte:


Corolário 3.17 O espaço Bsp,r independe da escolha das funções χ e ϕ utilizadas na definição

3.15.

Considere Hs = u ∈ S ′(Rn); u ∈ L1loc com ‖u‖2

s =∫|u|2(ξ)(1 + |ξ|2)sdξ < ∞.

Vamos agora relacionar os espaços de Sobolev com os espaços de Besov, o que nosdará a expansão de Littlewood-Paley para eles, nos indicará um importante exemplode espaço de Besov.

Teorema 3.18 Os espaços Hs e Bs2,2 são iguais e suas normas satisfazem

C−|s|−1‖u‖Bs2,2≤ ‖u‖Hs ≤ C|s|+1‖u‖Bs

2,2

Demonstração: Observemos que existe uma constante C > 0 tal que

2js 1C|s|+1

‖∆ju‖L2 ≤ ‖∆ju‖Hs ≤ 2jsC|s|+1‖∆ju‖L2 (3.28)

De fato, para j ≥ 0, como S(F (∆ju)) ⊂ 2jC, temos que

‖∆ju‖2Hs =

∫2jC

(1 + |ξ|2)s|∆ju|2dξ (3.29)

Vamos supor que s ≥ 0, pois a demonstração para o caso s < 0 é análoga.Para ξ ∈ 2jC,

(1 + |ξ|2)s ≤(

1 +(

2j 83

)2)s≤ 22js

(1 +

(83

)2)s

= Cs22js

(1 + |ξ|2)s ≥(

1 +(

2j 34

)2)s≥ 2−2js

(1 +

(34

)2)s

= Cs2−2js,

Substituindo em (3.29) e utilizando a Identidade de Fourier-Plancherel, obtemos

‖∆ju‖2Hs ≤ Cs22js

∫|∆ju|2dξ = Cs22js‖∆ju‖2

L2

e‖∆ju‖2

Hs ≥ Cs22js∫|∆ju|2dξ = Cs2−2js‖∆ju‖2

L2

Para j = −1 repetimos o argumento, sendo que o supremo e o ínfimo de ρ(ξ) =(1 + |ξ|2)s são tomados sobre a bola B.

Agora, em posse de (3.29), combinado com a expressão (3.19),

‖u‖2Hs =

∫(1 + |ξ|2)s|u(ξ)|2dξ

≤ 3∫(1 + |ξ|2)s

(χ2(ξ) + ∑

j≥0ϕ2(2−jξ)

)|u(ξ)|2dξ

= 3

(‖∆−1u‖2

Hs + ∑j≥0‖∆ju‖2

Hs

)

≤ 3C|s|(

∑j≥−1

22js‖∆ju‖2L2

)= 3C|s|‖u‖2

Bs2,2


A outra desigualdade é análoga. 2

Proposição 3.19 O espaço B0p,1 está continuamente mergulhado em Lp e o espaço Lp mergulha

continuamente em B0p,∞.

Demonstração: Seja u ∈ B0p,1. Então a série ∑

j‖∆ju‖Lp converge. Isto implica que

‖Sj+qu− Sju‖Lp ≤j+q−1

∑j′=j‖∆j′u‖Lp

j→∞−→ 0

Portanto, a sequência (Sju)j≥0 é de Cauchy em Lp. Como Lp é completo, existev ∈ Lp tal que Sju converge a v em Lp. Mas Lp → S ′, logo Sju→ v em S ′.

Por outro lado, pela decomposição de Littlewood-Paley, (Sju)j≥−1 é uma sequênciaconvergindo a u em S ′. Da unicidade do limite segue que u = v ∈ Lp.

Agora, se u ∈ Lp, uma vez que, para todo j ≥ −1, ‖∆ju‖Lp ≤ C‖u‖Lp , temos

supj≥−1‖∆ju‖Lp ≤ C‖u‖Lp ,

isto é,‖u‖B0

p,∞≤ C‖u‖Lp .

2

Teorema 3.20 Seja 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ e 1 ≤ r1 ≤ r2 ≤ ∞. Para todo número real s, o espaço

Bsp1,r1

é continuamente incluído em Bs−n

(1

p1− 1

p2

)p2,r2 .

Demonstração: Como S ((∆−1u)∧) ⊂ B, pelo Lema de Bernstein,

‖∆−1u‖Lp2 ≤ C‖∆−1u‖Lp1 . (3.30)

Do mesmo modo, para j ≥ 0, como S(∆ju))∧ ⊂ 2jC,

‖∆ju‖Lp2 ≤ C2jn(

1p1− 1

p2

)‖∆−1u‖Lp1 . (3.31)

Utilizando as desigualdades (3.30) e (3.31) e o fato de que `r1 → `r2 , obtemos

‖u‖B

s−n( 1p1− 1

p2 )p2,r2

=

(∑

j≥−12jr2

(s−n

(1

p1− 1

p2

))‖∆ju‖r2

Lp2

)1/r2

≤ C

(∑

j≥−12jr2

(s−d

(1

p1− 1

p2

))2r2

(jd(

1p1− 1

p2

))‖∆ju‖r2

Lp1

)1/r2

= C

(∑

j≥−12jr2s‖∆ju‖r2

Lp1

)1/r2

≤ C

(∑

j≥−12jr1s‖∆ju‖r1

Lp1

)1/r1

= ‖u‖Bsp1,r1


2

Uma propriedade topológica importante acerca dos Espaços de Besov é que aexpressão em (3.25) é uma norma que torna o espaço Bs

p,r completo, como especificao seguinte resultado:

Teorema 3.21 Se 1 ≤ p, r ≤ ∞, o espaço Bsp,r equipado com a norma ‖ · ‖ é um espaço de

Banach satisfazendo a propriedade de Fatou: se (un)n∈N é uma sequência limitada de Bsp,r que

converge para u ∈ S ′, então u ∈ Bsp,r e

‖u‖Bsp,r ≤ lim inf

n→∞‖un‖Bs

p,r

Demonstração: Ver [1]. 2

Proposição 3.22 O espaço Bsp,r é continuamente incluído em S ′.

Demonstração: Por definição, Bsp,r é um subespaço de S ′. Para provarmos a

continuidade, mostremos a existência de uma constante C e um inteiro positivo Mtal que, para toda função φ em S ,

|〈u, φ〉| ≤ C‖u‖Bsp,r‖φ‖M,S .

Para isto, escolhemos um inteiro positivo N satisfazendo N ≥ n/p− s. Pela relação(3.26), uma vez que S((∆ju)∧) ⊂ 2jC, podemos escrever

〈∆ju, φ〉 = 2−j(N+1) ∑|α|=N+1

〈∆ju, 2jngα(2j·) ∗ ∂αφ〉

Deste modo,

|〈∆ju, φ〉| ≤ 2−j2−N ∑|α|=N+1

‖∆ju‖L∞‖2jdgα(2j·) ∗ ∂αφ‖L1

≤ 2−j2−jN ∑|α|=N+1

‖∆ju‖L∞‖2jdgα(2j·)‖L1‖∂αφ‖L1

≤ C2−j supj≥−1

2−jN‖∆ju‖L∞ sup|α|=N+1

‖∂αφ‖L1

= C2−j‖u‖B−N∞,∞

sup|α|=N+1

‖∂αφ‖L1 (3.32)

Pela escolha de N, segue do Teorema anterior que Bsp,r está continuamente

mergulhado em B−N∞,∞. Assim, existe C > 0 tal que

‖u‖B−N∞,∞≤ C‖u‖Bs

p,r


Também,

sup|α|=N+1

‖∂αφ‖L1 = sup|α|=N+1

∫|∂αφ(x)|dx

= sup|α|=N+1

∫ |(1 + |x|)N+1∂αφ(x)|(1 + |x|)N+1 dx

≤ C sup|α|=N+1

∫(1 + |x|)N+1|∂αφ(x)|dx

= C‖φ‖SN+1

Substituindo em (3.32), concluímos que

|〈∆ju, φ〉| ≤ C2−j‖u‖Bsp,r‖φ‖

SN+1

Finalmente, utilizando a decomposição de Littlewood-Paley,

|〈u, φ〉| ≤ ∑j≥−1|〈∆ju, φ〉|

≤ C ∑j≥−1

2−j‖u‖Bsp,r‖φ‖

SN+1

≤ C‖u‖Bsp,r‖φ‖

SN+1

2

Finalmente esboçaremos a Decomposição de Bony.Sejam u e v duas distribuições temperadas. Pela decomposição de Littlewood-

Paley, temosu = ∑

j′∆j′u e v = ∑

j∆ju

Formalmente, o produto, quando ele existe, pode ser representado pela expressão

uv = ∑j,j′

∆j′u∆jv (3.33)

Nesta seção, veremos como a Decomposição de Littlewood-Paley dá condiçõespara que o produto de duas distribuições temperadas uv esteja definido, bem comoresultados de continuidade para a aplicação (u, v) 7→ uv.

A idéia fundamental do Cálculo Paradiferencial é distinguir três parcelas noproduto uv. A primeira parte Tuv corresponde aos termos ∆ju∆j′v quando j é pequenoem comparação com j′. Um segundo termo Tvu é a contraparte simétrica de Tuv efinalmente uma terceira parte onde as frequências de u e v têm o mesmo tamanho.

Definição 3.23 Definimos o paraproduto de u e v, e denotaremos por Tuv o operador bilinear

Tuvdef= ∑

j∈ZSj−1u∆ju = ∑

j′≤j−2∆j′u∆jv

Também, definimos o Resto de u e v, e indicaremos por R(u, v) o operador

R(u, v)def= ∑|j−j′|≤1

∆j′u∆jv


Segue de (3.33) queuv = Tuv + Tvu + R(u, v)

A expressão acima é conhecida como a Decomposição de Bony.Como ilustração desta técnica, vamos analisar como o produto age nos espaços de

Besov. Mais precisamente, mostraremos que o produto é uma forma bilinear contínuano espaço L∞ ∩ Bs

p,r, quando s > 0.

Proposição 3.24 Para todo número real s, existe uma constante C tal que, para toda (p, r) ∈[1, ∞]2, temos

‖Tuv‖Bsp,r ≤ C‖u‖L∞‖v‖Bs

p,r , ∀(u, v) ∈ L∞ × Bsp,r

Em outras palavras, se u ∈ L∞, o operador Tu leva continuamente Bsp,r em Bs

p,r.Demonstração: Temos que

S((Sj−1u∆jv)∧) = S(F (Sj−1u) ∗ F (∆jv))⊂ S(F (Sj−1u)) + S(F (∆jv))

⊂ 2j−1B + 2jC = 2jC,

onde C = C(0, 112 , 10

3 ). Também, pela desigualdade de Hölder e a continuidade dosoperadores Sj em Lp,

‖Sj−1u∆jv‖Lp ≤ ‖Sj−1u‖L∞‖∆jv‖Lp

≤ C‖u‖L∞‖∆jv‖Lp

Assim,

∑j(2js‖Sj−1u∆jv‖Lp)r ≤ Cr‖u‖r

L∞ ∑j

2jrs‖∆jv‖rLp

= Cr‖u‖rL∞‖v‖r

Bsp,r

Extraindo a r-ésima raíz, obtemos:(∑

j

(2js‖Sj−1u∆jv‖Lp

)r)1/r

≤ C‖u‖L∞‖v‖Bsp,r < ∞ (3.34)

Pelo Lema 3.16, obtemos que Tuv ∈ Bsp,r e assim, pela estimativa (3.34),

‖Tuv‖Bsp,r ≤ Cs‖(2js‖Sj−1u∆jv‖Lp)‖`r

≤ C‖u‖L∞‖v‖Bsp,r

2

Para o estudo do comportamento do operador resto, vamos precisar considerartermos do tipo ∆ju∆jv. A Transformada de Fourier destes não está suportadas emcoroas, mas em bolas do tipo 2jB. Precisamos então de uma versão do Teorema 3.16que contorne esta situação:


Lema 3.25 Seja B uma bola, s > 0 e (p, r) ∈ [1, ∞]2. Seja (uj)j∈N uma seqüência tal que

S(uj) ⊂ 2jB e∥∥∥(2js‖uj‖Lp)j

∥∥∥`r< ∞.

Entãou = ∑

j∈Nuj ∈ Bs

p,r e ‖u‖Bsp,r ≤ Cs


∥∥∥`r

Demonstração: Por hipótese, existe C > 0 tal que

2js‖uj‖Lp ≤ C ⇒ ‖uj‖Lp ≤ C2−js

Então ∥∥∥l+k

∑j=1

uj −l

∑j=1

uj

∥∥∥Lp≤

l+k

∑j=l+1

‖uj‖Lp ≤ Cl+k

∑j=l+1

2−js l→∞−→ 0.

Da completude de Lp, segue que u = ∑j∈N

uj ∈ Lp. Também, existe N0 tal que

j′ ≥ j + N0 ⇒ 2j′C ∩ 2jB = ∅

Daí, se j′ ≥ j + N0, F (∆j′uj) = ϕ(2−j′ ·)uj = 0, ou ainda, ∆j′uj = 0. Assim,

‖∆j′u‖Lp =

∥∥∥∥∥∑j∆j′uj

∥∥∥∥∥Lp

≤ ∑j≥j′−N0

‖∆j′uj‖Lp

≤ C ∑j≥j′−N0

‖uj‖Lp

Deste modo,

2j′s‖∆j′u‖Lp ≤ C ∑j≥j′−N0

2(j−j′)s2js‖uj‖Lp

≤ ((ck) ∗ (dk))(j′)

onde

ck = C 1[−N0,∞)(k) 2−ks ∈ `1

dl = 2ls‖ul‖Lp ∈ `r

Aplicando a desigualdade de Young, obtemos que

‖u‖Bsp,r ≤ ‖ck‖`1

∥∥∥(2j′s‖uj′‖Lp)j

∥∥∥`r

= Cs

∥∥∥(2j′s‖uj′‖Lp)j

∥∥∥`r

2


Proposição 3.26 Sejam s1, s2 números reais tal que s1 + s2 > 0 . Então existe uma constanteC tal que, para (p1, p2, r1, r2) ∈ [1, ∞]4,

1p

def=

1p1

+1p2≤ 1 e

1r1

+1r2

def=

1r≤ 1

tem-se, para quaisquer (u, v) ∈ Bs1p1,r1 × Bs2

p2,r2 ,

‖R(u, v)‖B

s1+s2p,r≤ C‖u‖B

s1p1,r1‖v‖Bs2

p2,r2

Demonstração: Por definição de operador resto,

R(u, v) = ∑j

Rj, com Rj =1

∑l=−1

∆j−lu∆jv

Pela linearidade da Transformada de Fourier e o fato de que o suporte da convoluçãoestá contido na soma dos suportes, temos S((Rj)

∧) ⊂ 2jB(0, 8).Por outro lado, pela desigualdade de Hölder,

2j(s1+s2)‖Rj‖Lp ≤1

∑l=−1

2js1‖∆j−lu‖Lp1 2js2‖∆jv‖Lp2

Deste modo,∥∥∥(2j(s1+s2)‖Rj‖Lp)j

∥∥∥`r≤

1

∑l=−1

∥∥∥2js1‖∆j−lu‖Lp1 2js2‖∆jv‖Lp2 )j

∥∥∥`r

(3.35)

Para cada l = −1, 0, 1, como (2js1‖∆j−lu‖Lp1 )j∈Z ∈ `r1 e (2js2‖∆jv‖Lp2 )j∈Z ∈ `r2 , adesigualdade de Hölder e a estimativa (3.35) nos dá que∥∥∥(2j(s1+s2)‖Rj‖Lp)j

∥∥∥`r≤ C‖u‖B

s1p1,r1‖v‖Bs2

p2,r2.

Como s1 + s2 > 0, a demonstração segue do Lema 3.25.2

Corolário 3.27 Para todo s positivo, o espaço L∞ ∩ Bsp,r é uma álgebra. Além disso, existe uma

constante C > 0 tal que

‖uv‖Bsp,r ≤ C(‖u‖L∞‖v‖Bs

p,r + ‖u‖Bsp,r‖v‖L∞)

Demonstração: De acordo com as Proposições 3.26 e 3.24, temos

‖R(u, v)‖Bsp,r ≤ C‖u‖Bs

p,r‖v‖B0∞,∞

‖Tuv‖Bsp,r ≤ C‖u‖L∞‖v‖Bs

p,r

‖Tvu‖Bsp,r ≤ C‖v‖L∞‖u‖Bs

p,r

Como L∞ → B0∞,∞, aplicando a decomposição de Bony segue o resultado.

2

Ainda referente aos espaços de Besov, outras propriedades a respeito do produtosão descritas na seguinte proposição:


Proposição 3.28 Sejam 1 ≤ p, r ≤ ∞ e s ∈ R.

(i) Se σ > 0 e 1 ≤ r1, r2 ≤ ∞ são tais que1r=

1r1

+1r2

, então existe C > 0 tal que

‖Tuv‖Bs−σp,r≤ C|s−σ|+1

σ‖u‖B−σ

∞,r1‖v‖Bs

p,r2,

(ii) Seja (s1, s2) ∈ R2, 1 ≤ p1, p2 ≤ ∞ e 1 ≤ r1, r2 ≤ ∞ tal que

s1 + s2 > 0,1p≤ 1

p1+

1p2≤ 1 e

1r≤ 1

r1+

1r2≤ 1,

Então o operador resto é uma aplicação bilinear e contínua de Bs1p1,r1 × Bs2

p2,r2 em Bσ1,2p,r ,

com σ1,2 = s1 + s2 + n(

1p −

1p1− 1

p2

)e existe uma constante C > 0 tal que

‖R(u, v)‖B

σ1,2p,r≤ Cs1+s2+1

s1 + s2‖u‖B

s1p1,r1‖v‖Bs2

p,r2

Demonstração: Ver [1]. 2

Para o estudo de problemas que tenham alguma propriedade de invariância porescala, é desejável considerarmos espaços de funções que admitam invariância pordilatação. Espaços de Sobolev Homogêneo, tal escala de espaços é obtido substituidoo peso (1+ |ξ|2)s por |ξ|2s, possuem tal propriedade, no sentido de que se f ∈ Hs entãofλ = f (λ·) ∈ Hs. Nosso objetivo nesta seção é obter uma decomposição diádica quecaracterize estes espaços. A referência adotada é [1].

Sejam (χ, ϕ) como antes. Para u ∈ S ′(Rd), definimos

Sjudef= 2jd χ(2j·) ∗ u, ∀j ∈ Z

∆judef= Sj+1u− Sju, ∀j ∈ Z

Definição 3.29 Denotamos por S ′h o espaço das distribuições temperadas tal que

limj→−∞

Sju = 0 em S ′

Exemplo 3.1 Se uma distribuição temperada u é tal que sua transformada de Fourier ué localmente integrável perto de 0, então u pertence a S ′h.

O lema abaixo caracteriza o conjunto S ′h mediante a decomposição de Littlewood-Paley:

Lema 3.30 S ′h é o espaço das distribuições temperadas que satisfazem

u = ∑j∈Z

∆ju (3.36)


Neste caso, a série acima é denominada a decomposição de Littlewood-Paleyhomogênea de u.Demonstração: Observemos que, para qualquer j ≥ 0,

∆ju = Sj+1u− Sju = Sj+1u− Sju = ∆ju

e, para j = −1,∆−1u = S0u− S−1u = ∆−1u− S−1u.

Então, pela decomposição de Littlewood-Paley,

∑j∈Z

∆ju = ∑j≥0

∆ju + (∆−1u− S−1u) + ∑j≤−1

∆ju

= ∑j≥−1

∆ju− S−1u + limN→−∞

N

∑j=−1

(Sj+1u− Sju)

= u + limN→−∞

SNu

Assim, vale (??) se, e só se, limN→−∞

SNu = 0 em S ′, ou seja, quando u ∈ S ′h.2

Em contraste com o caso não-homogêneo, não temos Sju = ∑j′≤j−1

∆j′u. No entanto,

esta expressão se verifica para distribuições em S ′h.Observação 3.3 O espaço S ′h não é um subespaço fechado de S ′ com a topologia daconvergência fraca. De fato, consideremos uma sequência ( fn)n∈N, com

fn(x) = f( x

n

), f ∈ S tal que f (0) = 1.

Então, f converge para a função constante 1 que não pertence a S ′h.De maneira análoga a abordagem do caso não-homogêneo, uma vez construída a

decomposição de Littlewood-Paley homogênea, podemos definir os Espaços de Besovhomogêneo:

Definição 3.31 Se s ∈ R e 1 ≤ p, r ≤ ∞, o espaço de Besov homogêneo Bsp,r é o conjunto das

distribuições u ∈ S ′h tais que ‖u‖Bsp,r

é finito, com

‖u‖Bsp,r

=∥∥∥(2js‖∆ju‖Lp)j∈Z

∥∥∥`r(Z)

Com a mesma técnica de demonstração utilizada no caso não-homogêneo,associado com a desigualdade (3.20), prova-se que os espaços Hs e Bs

2,2 coincidem.A proposição a seguir descreve a propriedade de invariância por escala para Bs

p,r:

Proposição 3.32 Se u ∈ Bsp,r, então ‖uλ‖Bs

p,ré finito e temos

‖uλ‖Bsp,r≈ λ

s− np ‖u‖Bs

p,r.


Demonstração: Seja α um número real positivo. Temos

(ϕ(α−1·)uλ)∨(x) = αn

∫ϕ(α(x− y))u(λy)dy.

Pela mudança de variáveis z = λy, segue que

(ϕ(α−1·)uλ)∨(x) = αnλ−n

∫ϕ(αx− αλ−1z)u(z)dz = (ϕ(λα−1·)u)∨(λx) (3.37)

Para j ∈ Z, sejavj = (ϕ(2[log2 λ]−log2 λ−j·)uλ)

∨,

onde [m] indica a parte inteira de m.Escolhendo α = 2j−[log2 λ]λ na igualdade (??), obtemos

vj(x) = F−1(ϕ(2[log2 λ]−j·)u)(λx),

e assim,‖vj‖Lp = λ

− np ‖∆j−[log2 λ]u‖Lp .

Ora, as quantidades λ−s e 2−[log2 λ]s são comparáveis. Assim,

2js‖vj‖Lp ≈ λs− n

p 2(j−[log2 λ])s‖∆j−[log2 λ]u‖Lp

Calculando a norma `r em ambos os membros, segue que(∑j∈Z

2jrs‖vj‖rLp

)1/r

≈ λs− n

p ‖u‖Bsp,r

(3.38)

Como S(vj) ⊂ 2jC(0, 34 , 16

3 ), temos

∆j′uλ = ∑|j−j′|≤2

∆j′vj.

Aplicando a norma de Bsp,r e a estimativa (??), segue o resultado.

2

Para distribuições u, v pertencentes a S ′h, definimos

Tuv = ∑j∈Z

Sj−1u∆jv e R(u, v) = ∑|j−j′|≤1

∆j′u∆jv

Formalmente, temos a seguinte decomposição de Bony homogênea

uv = Tuv + Tvu + R(u, v)

As propriedades de continuidade do paraproduto e resto sobre espaços de Besovnão-homogêneos, abordados na seção anterior, permanecem válidas para o casohomogêneo, desde que verificadas as condições adicionais:

(i) s < d/p ou s = d/p e r = 1, no caso do Corolário 3.27;

(ii) s− σ < d/p ou s− σ = d/p e r = 1, item (i) da Proposição 3.28;

(iii) σ1,2 < d/p ou σ1,2 = d/p e r = 1, item (ii) da Proposição 3.28.

A demonstração destes resultados e uma exposição mais completa pode ser vistaem [1].

Referências Bibliográficas

[1] Bahouri, H., Chemin, J.-Y., Danchin, R.(2011), Fourier Analysis and Nonlinear PartialDifferential Equations . Grund. der Math. Wiss. - Vol. 343, Springer Verlag.

[2] Bony, J.-M.(1981), Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équationsaux dérivéspartielles non linéaires. Annales de l’École Normale Supérieure, 14,pp.209-246.

[3] Bényi, A., Maldonado, D., Naibo, V.(2010) What is ...a Paraproduct? . Notices of theAMS, Vol. 7, pp. 858-860.

[4] de Figueiredo, D. G.(1977) Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. ProjetoEuclides - IMPA.

[5] Ebert, M., Santos Filho, J. R. (2009) Problema de Cauchy para Operadores DiferenciaisParciais Publicações Matemáticas - 27o Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA.

[6] Hörmander, L. (1963) Linear Partial Differential Operators . Grund. der Math. Wiss.- Vol.116 - Springer Verlag.

[7] Hörmander, L. (1983) The Theory of Linear Partial Differential Equations . Vol.I,Grund. der Math. Wiss. - Vol.256 - Springer Verlag.

[8] Hörmander, L. (1997) Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations.Mathématiques& Applications 26 - Springer Verlag.

[9] Hounie, J. (1979) Teoria Elementar das Distribuições. Publicações Matemáticas - 12oColóquio Brasileiro de Matemática, IMPA.

[10] Métivier, G.(2008) Para-Differential Calculus and Applications to the Cauchy Problemfor Nonlinear Systems CRM Series - Pisa, Edizioni della Normale

[11] Rudin, W. (1976) Principles of Mathematical Analysis. Int. Series in Pure and AppliedMathematics. Third Edition - McGraw-HIll.

[12] Rudin, W. (1991) Functional Analysis. Int. Series in Pure and Applied Mathematics.Third Edition - McGraw-HIll.

[13] Schwartz, L.(1950-51) Théorie des distributions I et II. Hermann.

[14] Treves, F.(1967) Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels . Academic Press.

[15] Zuily, C.(2002) Éléments de distributions e d’équations aux dérivées partielles SciencesSup - Dunod.

47

Documents

A função delta de Dirac - sbm.org.br · revisar a parte básica a ser assumida; bem como motivar e apresentar situações em que a noção de funções generalizadas são necessárias