III. CONDUTORESIII. CONDUTORES (Modelo de Sommerfeld(Modelo de Sommerfeld))

3.1 Distribuições Estatísticas3.1 Distribuições Estatísticas

Tk

EMB

Be

TEf 1

,,

Maxwell-Boltzmann

1

1,,

Tk

EFD

Be

TEf

Fermi-Dirac

Em equilíbrio: = EF0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

Energia [eV]

Pro

babi

lidad

e

Distribuições

Fermi-Dirac

Maxwell-Boltzmann

PotencialEletroquímico

Energia [eV]

dETEfn FD ,,(*)

3.2 Fermi-Dirac3.2 Fermi-Dirac

0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Energia [eV]

Pro

babi

lidad

eDistribuiçao de Fermi-Dirac

T1 > T2 > T3 > T4 = 0 K

kBT

Energia de Fermi

/ Energia de Fermi [eV]

3.3 Equação de Schrödinger3.3 Equação de Schrödinger

02

22

rE

m

• Condição de contorno de Born-von Karman: Todos elétrons estão contidos no sólido:

Busca soluções da forma: rkiAer

Rrr

Lâx

Lây

Lâz

R =

Rrkirki AeAe

1Rkie

L

Ck

2 ; = x, y, z

• Substitui de volta na equação de Schrödinger:

m

kkE

2

22 ; k = |k|

3.4 Nível de Fermi3.4 Nível de Fermi

m

kE

2

22Energia de um elétron livre:

k

E

EF

00.

51

1.5

0

0.51

1.5

Ene

rgia

[eV

]

Probabilidade

Max

wel

l-Bol

tzm

ann

Fer

mi-D

irac

Exemplo 3.1Exemplo 3.1

• Qual energia de Fermi de um sistema sabendo que o vetor de onda equivalente tem módulo de 5.12 109

[Kg/Js]½. Qual a probabilidade de se encontrar um elétron com energia de 1.2 eV neste sistema?

eV

m

kE

F

F 11011.92

1012.510055.1

2 31

2923422

%04.01

1

1,,

1

3001063.8

12.15

e

e

TEfTk

EFD

B

3.5 Efeito Seebeck3.5 Efeito Seebeck

3.6-1 Não-Equilíbrio3.6-1 Não-Equilíbrio

1

1,0,, 0

rTk

kE

Be

krgtkrg

',,'

',, 0 ttPkrg

t

dttkrdg

t

ttPtkrgt

dttkrg ',,,

'

',, 0

'',

'

',

t

ttP

t

ttP

t

t

ttPtkrgdttkrg

'

',,,',, 0

• Integra por partes:

t

t

tkrgttPdttkrgtkrg

'

,,',',,,,

00

3.6-2 Não-Equilíbrio3.6-2 Não-Equilíbrio

''''

, 0000

t

r

r

g

t

r

r

T

T

g

t

k

k

E

E

g

t

krg

vt

r

vt

r

rT

r

T

1

0 1,

rTk

kE

Bekrg

E

fef

TkE

g Tk

E

B

B

2

0 1

E

fef

Tk

g Tk

E

B

B

2

0 1E

f

T

E

Tk

Eef

TkT

g

B

Tk

E

B

B

22

0 1; ;

v

m

p

m

k

m

k

k

E

m

kE

222

2

qEFma

t

vm

t

p

t

k

1

(a) =

(a)

vqE

3.7-1 Condutividade Fora-de-Equilíbrio3.7-1 Condutividade Fora-de-Equilíbrio

t

TT

qEvf

ttPdtkrgtkrg

',',,, 0

'',

'

',

t

ttP

t

ttP

'

',tt

ettP

fkkvqEkgkg

0

• Campo estático, sem gradientes de potencial eletroquímico e temperatura:

Equilíbrio Não-Equilíbrio

kgkvkd

qJ

34Sommerfeld

dkf

kkvkvq

3

2

4

Com c.c.: P(t,t) = 1.

3.7-2 Condutividade Fora-de-Equilíbrio3.7-2 Condutividade Fora-de-Equilíbrio

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Energia/Energia de Fermi

f,

dkf

kkvkvq

3

2

4

3.8 Condutividade Termoelétrica3.8 Condutividade Termoelétrica

t

TT

qEvf

ttPdtkrgtkrg

',',,, 0

kgkvkd

qJ

34

T

E

LL

LL

J

JT

2221

1211

2

22

22

22

2112

11

3

3

q

TkL

Tkq

LTL

L

B

B

TJ

J

LL

LL

T

E1

2221

1211

T

J

J

ET

: Resistividade: Potência termoelétrica: Coeficiente Peltier: Condutividade térmica

3.9 Efeito Seebeck rvst’d3.9 Efeito Seebeck rvst’d

T

J

J

ET

TE

LT0

T1

x

L

TT

x

TE xxx

010

TVSeebeck 0

Material Al Cu Ag W (Bi,Sb)2Te3 Bi2(Te,Se)3 ZnSb InSb Ge TiO2

Seebeck voltage [µV/K](Vhot - Vcold)

-0,20 +3,98 +3,68 +5,0 +195 -210 +220 -130 -210 -200

700 oCRT

Exemplo 3.2Exemplo 3.2

• Qual a diferença de potencial elétrico gerada em um transdutor de ZnSb, sabendo que existe uma diferença de 20oC nas suas duas extremidades separadas por 10 cm ?

mVTTV 4.42010220 612

3.10-1 Termopares (3.10-1 Termopares (ThermocouplesThermocouples))

t

TT

qEvf

ttPdtkrgtkrg

',',,, 0

Fios tem que ser diferentes!

Fio A

Fio B

T0T1

Tipos mais comuns:

K (níquel-cromo/níquel-alumínio ou cromel/alumel), E: cobre/níquel = constantan.

1

0

T

T

dTVTxEx

TE

ooT

T

TTdTTTV21

2

1

1221

3.10-2 Termopares3.10-2 Termopares

Exemplo 3.3Exemplo 3.3

• Um termopar constituído de uma junção Cu-Al tem seu lado quente submetido a 500oC em relação ao seu lado frio. Qual a tensão medida entre seus terminais?

mVTTV oo 1.2500102.098.3 61221

• Se ambos coeficientes dependessem linearmente da temperatura(oT) que tensão seria gerada entre 500K e 300K?

ooT

T

TTdTTTV2112

2

1

2221 2

1

mVV 3342.098.33005002

1 22

3.11 Efeito Peltier3.11 Efeito Peltier

T

J

J

ET

JJ T

Module Imax

[A]

Qmax

[W]

Uma

x

[V]

dTma

x

[K]

Dimensions

Unit Price[Euro] A [mm] B [mm] C [mm] D [mm] H [mm]

TECM-4-4-1b/69 1,4 0,7 0,9 69 4,3 4,3 4,3 4,3 2,95 28,75

TECM-4-5-1/67 0,7 0,4 1,0 67 3,4 3,4 3,4 5,0 2,30 29,50

TECM-5-7-1/67 0,7 0,9 2,2 67 5,0 5,0 5,0 6,6 2,30 38,50

TECM-7-8-2/67 0,7 1,7 3,9 67 6,6 6,6 6,6 8,3 2,30 52,50

TECM-9-12-4/67 0,7 3,5 8,0 67 9,1 9,9 9,1 11,5 2,30 66,25

TECM-12-6-4/69 1,7 4,4 4,3 69 6,0 12,0 6,0 12,0 2,75 57,50

T;

Relação de Kelvin