Universidade Estadual de Campinas

A Função Zeta de Riemann

Iago Aédon Silva Prior 141744

Monografia referente à disciplina

MA044 CálculoIV, ministrada no

segundo semestre de 2015 pelo

prof. Dr. Fernando Eduardo Tor-

res Orihuela.

CAMPINAS

SÃO PAULO - BRASIL

OUTUBRO/2015

SUMÁRIO

1. Introdução ……………………………………………….. Página 1

2. Série de Dirichlet.......................................................... Página 3

3. Função Zeta de Riemann........................................... Página 3

4. Funções Holomorfas ................................................... Página 4

4.1. Extensões de Funções Holomorfas ...................... Página 5

5. Números de Bernoulli ................................................. Página 7

5.1.Polinômios de Bernoulli ......................................... Página 7

6. Função Gama ............................................................ Página 7

6.1.Fórmula da Reflexão ............................................. Página 10

7. Extensão de para todo o plano para Re(s)>1.......Página 11

7.1.Teorema 1..............................................................Página 12

7.2.Corolário 1..............................................................Página 13

8. Equação Funcional .....................................................Página 14

9. Características da Função Zeta de Riemann..............Página 15

10. Zeros da Função Zeta de Riemann.......................... Página 16

10.1.Teorema 2............................................................ Página 17

Conclusão .......................................................................Página 18

Referências Bibliográficas...............................................Página 19

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1. Introdução

George Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866) foi um matemático alemão, e

teve contribuições fundamentais para a análise e a geometria diferencial.

Estudou nas universidades de Göttingen e Berlim. Obteve o doutoramento na

Universidade de Göttingen em 1851. Em 1854 foi nomeado Privatdozent (professor sem

salário) em Göttingen e, depois de ter sido promovido a professor assistente por

Dirichlet que em 1885 foi nomeado para a cadeira de Gauss quando este morreu,

acabou por suceder a Dirichlet na mesma cadeira, em 1859, onde se manteve até ter

morrido com apenas 39 anos.

Riemann grandes contribuições, como no campo da matemática não-euclidiana,

onde criou uma teoria que dizia que o espaço tinha 4 dimensões ao invés de

três(comprimento, largura e altura). Na literatura matemática são famosas as chamadas

função zeta de Riemann e a Hipótese de Riemann, onde desempenham um papel

fundamental para a teoria dos números.

A primeira vez que esta função surgiu foi no trabalho de Leonhard Euler ao

estudar a distribuição dos números primos, mostrando que a série

era uma série divergente.

A prova de Euler se baseou na identidade

2

em que o produto percorre todos os números primos.

Euler, e mais tarde, Pafnuti Tchebychev, haviam usado esta identidade,

respectivamente, para s igual a um e para s real. Riemann, em 1858, tratou s como

uma variável complexa, e estudou a série

por técnicas da teoria das funções analíticas, publicando em 1859 um artigo dedicado à

distribuição dos números primos onde introduziu a função zeta de Riemann. Esta série

converge apenas em parte do plano complexo, mas define, por continuação analítica,

uma função única para todos os números complexos, exceto para o polo em s = 1.

Riemann usou a letra grega zeta para escrever esta função, e por causa disto ela é

chamada de função zeta de Riemann.

Riemann anunciou várias propriedades importantes dessa função, porém

suas provas eram incompletas. Seu trabalho foi completado por Hadamard , em 1893, e

por Mangoldt, em 1894.

Essa função levou à criação de importantes subáreas da matemática nos

cem anos seguintes. Formulou também a hipótese de Riemann que permanece sem

solução até hoje.

Foi então um dos matemáticos que mais influenciou futuros

desenvolvimentos da matemática.

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2. Série de Dirichlet

Johan Peter Gustav Lejeune Dirichlet(1805-1859) teve contribuições em várias

áreas da matemática, em publicações como “O Último Teorema de Fermat”,em

1825. Trabalhos no campo da trigonometria sobre séries trigonométricas que

representam funções e sobre a Teoria Algébrica dos números, e em mecânica

também.

É conhecido também pelo Princípio de Dirichlet e pela Série de Dirichlet.

Segundo os conceitos da matemática, a série de Dirichlet se dá pela forma geral:

A série de Dirichlet é de grande importância na teoria analítica dos números. Seu

nome deve-se ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, que

desenvolveu suas pesquisas a partir dos estudos das séries, trabalhando com o

desenvolvimento da teoria das séries de Fourier.

3. Função zeta de Riemann

Se considerarmos a série de Dirichlet para an = 1, temos o caso particular da

função zeta de Riemann.

Seja e , com .

Por outro lado, a expressão para será definida como .

Sendo assim, podemos definir a série de para z ∈ ℂ.

Então, consequentemente, teremos :

Por fim, teremos que:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Alem%C3%A3eshttps://pt.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet

4

○ Se , é tão pequeno e a série f(s) diverge, não podemos

aplicar essa série para esse caso;

○ Se :

, obtemos uma série harmônica que diverge lentamente;

○ Se , a série converge, e obtemos a região boa para o estudo da

analiticidade, definindo então a função zeta de Riemann:

para .

4. Funções Holomorfas

Temos que a função zeta de Riemann, ela possui a característica de ser uma função

holomorfa.

Uma função holomorfa é dita holomorfa, se :

Dado uma função complexa , e dado um subconjunto aberto G definido sobre o

plano complexo , essa função for diferenciável em todos os pontos de G. Ou seja, se

Existir, com .

Seguindo a análise por esta função, teremos que o ponto pode se

aproximar de por diferentes direções, como ilustra a figura 1.

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Figura 1. Semi-plano dos complexos para z+h se aproximando de z.

Essa condição é extremamente forte em relação ao caso de variáveis reais.

Analisando a função zeta de Riemann, temos que ela é holomorfa no semi-plano dos

complexos para , como podemos ver na figura 2.

Figura 2.Semi-plano Re(s)>1.

4.1. Extensão de funções holomórficas

A singularidade é uma das propriedades das funções holomórficas. No sentido

de que:

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Se duas funções holomorfas e definidas em um domínio são iguais em

uma sequência ∈ , então,

,

E ,assim, para

Então em . Como podemos ver na figura 3.

Figura 3. Sequência de pontos .

Essa propriedade, no entanto, não é válida para funções em cálculos de

variáveis reais.

Por outro lado:

Seja uma função holomórfica definida no domínio .

Seja uma função holomórfica definida no domínio .

Com e na intersecção;

Teremos que será determinado unicamente por como podemos ver na

figura 4.

Figura 4. Extensões holomórficas.

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5. Números de Bernoulli

Jacob Bernoulli (1654-1705), foi o primeiro matemático a desenvolver o cálculo

infinitesimal, postulou uma fórmula para a soma finita de potências de números inteiros

consecutivos, que será dada por . Seguindo essa lógica,

Bernoulli postulou que o polinômio é um polinômio em de grau .

A demonstração da fórmula geral é feita da seguinte forma:

Vamos expandir em séries de potência a seguinte função:

Para

Obtemos então os números de Bernoulli:

,.....

5.1. Polinômios de Bernoulli

Os polinômios de Bernoulli são definidos pelos termos dos números de Bernoulli,

como se apresenta na demonstração abaixo:

De outro modo, podemos fazer a expansão de uma função analítica complexa

como se ilustra abaixo:

para .

6. Função Gama

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A função gama( ) é uma extensão da função fatorial para o conjunto dos

números reais e complexos. Se temos um caso em que n é um inteiro positivo, a função

se definirá da seguinte forma:

, ou

Essa função é estendida por uma continuação analítica (ou extensão analítica)

para todos números complexos.

Podemos também representar a função gama na forma de uma integral

imprópria convergente, com s ∈ ℂ e Re(s) > 1 com x ∈ R.

Vamos agora analisar graficamente a função gamma:

Figura 5.Gráfico da função Gamma.

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Figura 6. Gráfico de superfície do eixo dos reais da função gamma.

Figura 7.Gráfico de superfície do eixo dos imaginários da função gamma.

Como podemos ver nas figuras 5, 6 e 7, a função gamma é bem comportada para

, e possui vários polos no eixo negativo e em torno de 0.

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6.1. Fórmula da Reflexão

Uma das propriedades importantes da função gama é a fórmula da reflexão:

Essa relação conecta valores de relacionados pela reflexão sobre a linha

.

Vamos analisar agora graficamente :

Figura 8. Gráfico de .

Como podemos ver na figura 8, essa propriedade faz obter uma função periódica com

polos em .

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7. Extensão de ζ(s) para todo o plano para Re(s)>1

Vamos partir da função gama e fazer algumas manipulações.

Fazendo a substituição , na função gama, obtemos:

Portanto:

Como , substituindo na fórmula obtida acima, obtemos:

.

Temos que a série geométrica é dada pela seguinte forma:

substituindo , obtemos:

Então:

Que fica:

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7.1. Teorema 1

Para :

Em que está definido no complementar do eixo real positivo como

para .

Demonstração: Dada uma integral de característica convergente, pode-se considerar um círculo

de raio cercando um ponto na origem — considerando Teorema de Cauchy — que se

traça pelo caminho mostrado na figura 9.

Figura 9. Integral do caminho C.

Segundo o Teorema de Cauchy, o valor independe do percurso de C, sendo que

C não cercaria nenhum múltiplo não-nulo de . Desse modo, podemos fazer , e

a integral sobre o círculo tende a 0 com .

Ficamos agora com a integral sobre as semirretas acima e abaixo do eixo real

positivo.

Sobre a semirreta superior, temos . Sobre a semirreta

inferior, temos . Substituindo na integral, obtemos:

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Com as devidas substituições feitas, se dará de tal modo:

,

Assim, obtemos a equação como queríamos provar.

Temos que a função é meromorfa com pólos em s=1,2,..., como

podemos ver na figura 10.

Figura 10. Função (1-s) e seus zeros.

Como essa função é meromorfa para todos valores de , então a fórmula pode

ser usada para estender à uma função meromorfa no plano complexo. Dado que

é analítica em , os pólos nos inteiros devem cancelar os zeros da

integral.

7.2. Corolário 1

A função pode ser estendida a uma função meromorfa no plano complexo cujo

único polo é um polo simples em com resíduo .

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Temos que em , a função tem um pólo simples com resíduo 1.

De modo que, aplicando-se a fórmula, apresenta-se assim:

Então terá também o resíduo 1. Assim, podemos calcular os valores

nos inteiros negativos e no zero explicitamente. Temos:

Onde estamos utilizando o polinômio de Bernoulli.

Fazendo a substituição, obtemos:

Temos então que:

,

(obtemos os zeros triviais da função),

para todo inteiro positivo m.

8. Equação Funcional

Bernhard Riemann observou que há uma maneira simples de relacionar

com , de tal maneira como se ilustra abaixo:

Para .

Para .

A equação funcional fornece uma forma de extensão holomórfica da do plano

para , como podemos ver na figura 11.

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Figura 11. Domínio da extensão holomórfica do semi-plano dos Re(s)>0 para Re(s)

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Figura 13. Função zeta de Riemann ampliada no eixo dos Reais negativos para mostrar seus zeros

nesses pontos.

Figura 14. Função zeta de Riemann ampliada em torno de s = 1.

Como podemos ver nas figuras 12, 13 e 14, todos os zeros reais estão

localizados no eixo real negativo localizados nos pontos isto

é, . Pela figura, observamos que a origem se dá por

e possui

uma singularidade em . Logo, podemos ver que a evidência será para

; e será quando .

10. Os zeros da função zeta de Riemann

Analisando as características da função , conforme podemos ver nas figuras

12,13 e 14, temos que essa função possui zeros triviais no semiplano , em

detrimento de possuir zeros no semiplano . Então os zeros não-triviais estão

no intervalo

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A conjectura de Riemann afirma que todos os zeros não triviais estão na reta

crítica

.

10.1. Teorema 2

Para , o número de zeros com . Onde esses zeros são os zeros

não triviais.

Adicionalmente, foi conjecturada a seguinte representação como produto para

:

Com constantes e percorrendo todos os zeros não triviais de .

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Conclusão:

Temos que a função zeta de Riemann é importante em várias aplicações da

matemática e podendo conectá-la com várias outras funções importantes também

como a função gamma. Também podemos ter aplicações físicas, como podemos ver

abaixo:

Aplicações na teoria quântica dos efeitos do transporte(Condutividade Térmica e

Elétrica), onde aparece esse tipo de integral:

Aproximação de Bloch-Gruneisen para a resistência, em um metal monovalente

absoluto com temperatura T:

Onde é a temperatura de Debye característica do Metal.

Onde para , a equação se aproxima de:

Tem aplicações também na energia irradiada por um corpo negro, e na distribuição de

Fermi para a densidade de energia para um neutrino.

Vemos então a importância do desenvolvimento da função zeta de Riemann em

diversas áreas do conhecimento.

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Referências Bibliográficas:

[1] Ahlfors, Lars V., Complex Analysis, 1979.

[2] Arfken,Weber and Harris; Mathematical Methods for Physicists;seventh edition;2013.

[3] Dwilewicz,Minác;Materials Matemàtics - Departament de Matemàtiques - UAB;

Volum 2009, treball no. 6, 26 pp.

[4] https://gigantesdamatematica.wordpress.com/2015/12/21/dirichlet-1805-1859/

[5] https://pt.wikipedia.org/wiki/Série_de_Dirichlet

[6] https://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann

[7] https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~lmagal/ACAp4.pdf

https://gigantesdamatematica.wordpress.com/2015/12/21/dirichlet-1805-1859/https://pt.wikipedia.org/wiki/Série_de_Dirichlethttps://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttps://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~lmagal/ACAp4.pdf