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A GEOMETRIA DINÂMICA NA PAVIMENTAÇÃO DE UM PLANO: tecnologias, artes e mosaicos no ensino de matemática
Sueli Costa1
Marcos Lübeck2
Resumo O presente artigo sintetiza as etapas desenvolvidas pelos seus autores no decorrer do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) realizado no período de 2016/2017 na disciplina de matemática. O estudo consistiu em reunir as esferas de tecnologias, matemática e artes no ensino da geometria, em especial na pavimentação de um plano, com a utilização do software GeoGebra. As ações foram realizadas em um colégio da rede estadual de ensino, no município de Toledo/PR, com os alunos de um oitavo ano do ensino fundamental, as quais objetivaram, sobretudo, despertar um maior interesse por conteúdos específicos de geometria euclidiana plana. E para embasar o desenvolvimento do projeto, elaborou-se uma pesquisa usando um formulário no Google-Docs, e através das respostas, fez-se um diagnóstico sobre os conhecimentos e o uso das tecnologias nas aulas de matemática. Com base nas respostas obtidas, também, foram organizadas as atividades que estruturaram a Produção Didático-Pedagógica desenvolvida no colégio. Assim, relatam-se aqui as principais ações e resultados obtidos, onde, por meio da integração entre o GeoGebra e o conhecimento matemático, foi possível despertar, na maioria do alunos, o interesse e o prazer pelo estudo de formas geométricas e a sua criatividade para a pavimentação de um plano empregando diferentes mosaicos. Palavras-Chave: GeoGebra. Geometria Dinâmica. Mosaicos. Tecnologias. Ensino de Matemática. 1 Introdução
Um dos grandes desafios dos educadores atualmente é avivar no educando
o prazer por aprender os conteúdos escolares, mostrando-lhes a importância destes
para o desenvolvimento da humanidade. Com a evolução da tecnologia, as pessoas,
em sua maioria, foram e são influenciadas no seu modo de ser, de fazer e aprender.
E a escola, como parte integrante da sociedade, precisa acompanhar tais avanços,
com o intuito de melhorar os processos de ensino-aprendizagem, tornando-os mais
significativos e contextualizados para os estudantes.
Entretanto, ao analisarmos os efeitos disso em sala de aula, verifica-se que
a aprendizagem dos educandos ainda é muito insatisfatória, o que faz necessária a
busca constante por novas formas de abordagem dos conteúdos, para que seja
possível mostrar sua utilização em situações cotidianas, sem, contudo, esvazia-los
dos seus conceitos. Assim, por acreditar que uma metodologia pautada nas mídias
tecnológicas pode corroborar na relação de ensino-aprendizagem, foi elaborado um
1 Professora na Rede Pública de Ensino da Secretaria de Estado da Educação do Paraná – SEED – no município de Toledo/PR. E-mail: [email protected]. 2 Doutor em Educação Matemática. Docente na Universidade Estadual do Oeste do Paraná – 2 Doutor em Educação Matemática. Docente na Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu/PR. E-mail: [email protected].
projeto de intervenção pedagógica a fim de despertar o interesse dos educandos
pela matemática, em especial pela geometria euclidiana plana, através de mosaicos.
Desta forma, buscou-se trabalhar, interdisciplinarmente, matemática, mídias
tecnológicas e arte, por meio de uma unidade didática composta de treze atividades,
que foram apreciadas e aperfeiçoadas com contribuições dos colegas no Grupo de
Trabalho em Rede (GTR), e realizadas pelos alunos no colégio. Para começar, dois
questionários foram elaborados, para o diagnóstico inicial e para o final, utilizando a
ferramenta Google-Docs, cujos dados direcionaram o projeto e a escrita deste artigo,
o qual compreende esta introdução, a contextualização, os objetivos, a descrição da
aplicação do projeto, as considerações finais, os agradecimentos e as referências.
2 Contextualização A matemática não se dissocia da história humana, uma vez que esta se fez e
faz presente em diferentes épocas como uma ferramenta instrumental e como uma
ciência viva atual, que sempre leva ao pensamento e à ações críticas sobre diversas
situações cotidianas. De fato, o conhecimento matemático pode induzir um indivíduo
ao raciocínio, bem como às deduções, representações e comprovações numéricas,
geométricas e algébricas. No entanto, não é raro, ainda, nos depararmos enquanto
professores e admiradores desta ciência, com pessoas que afirmam não gostar da
matemática, não compreendê-la e até mesmo rejeitá-la.
Entretanto, de acordo com as Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática
(DCE), “aprende-se matemática não somente por sua beleza ou pela consistência
de suas teorias, mas, para que a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e,
por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade” (PARANÁ, 2008,
p. 48). Ou seja, aprende-se matemática para saber, fazer e viver mais e melhor.
Além disso, metodologias que envolvem e motivam os educandos a aprender
conceitos matemáticos é a principal busca de muitos educadores da área. Por isso,
Lübeck (2010, p. 107) afirma que “é preciso que haja sobretudo uma mudança de
postura por parte do professor, que se julga detentor de um saber matemático quase
mágico, e este se volte para aprender com seu aluno, valorizando igualmente o seu
saber.”
Outrossim, o histórico de defasagem tecnológica da instituição escolar pública
não contribui para o cenário idealizado pelos educadores. O avanço tecnológico é de
suma importância na construção do aluno e do cidadão moderno, e o ensino da
matemática precisa acompanhar esses avanços, se reinventando. Portanto: Na disciplina de matemática, como em qualquer outra disciplina escolar, o envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vistas a atingir um objetivo. Esse é, precisamente, um dos aspectos fortes das investigações. Ao requerer a participação do aluno na formulação das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer seu envolvimento na aprendizagem. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p. 23).
Agora, objetivando um maior envolvimento do educando, de forma a favorecer
o seu aprendizado, é que foi pensado e elaborado um Projeto de Intervenção
Pedagógica para averiguar se o uso de recursos tecnológicos, como metodologia,
poderia despertar o interesse e um maior envolvimento dos alunos para aprender
conteúdos matemáticos, em especial, de geometria euclidiana plana.
Mas, será que a tecnologia pode amenizar a falta de interesse do educando?
E qual a contribuição desta para a compreensão de conteúdos? Para D’Ambrosio
(1986, p. 25), um aluno montra interesse pelo objeto de estudo quando este se
apresenta de forma que faça sentido e estimule sua curiosidade, de maneira que “a
adoção de uma forma de ensino mais dinâmica, realista e menos formal, mesmo que
no esquema de disciplinas tradicionais, permitirá atingir objetivos mais adequados à
nossa realidade”.
Neste sentido, é necessário ir além da simples informatização dos conteúdos,
conforme diz Valente (1999, p. 98): O uso de computadores para auxiliar o aprendiz a realizar tarefas, sem compreender o que está fazendo, é uma mera informatização do atual processo pedagógico. Já a possibilidade que o computador oferece como ferramenta para ajudar o aprendiz a construir conhecimento e a compreender o que faz, constitui uma verdadeira revolução do processo de aprendizagem e uma chance para transformar a escola.
Aliás, através da prática docente, percebe-se que uma parte significativa dos
alunos matriculados no ensino fundamental encontram dificuldades em manusear
instrumentos de medidas, como régua, compasso, transferidor e outros, de modo
que a compreensão de conceitos, bem como a representação geométrica dos
mesmos, torna-se mais difícil e desinteressante.
Sobre a importância de se estudar geometria, Lorenzato (1995, p. 5) diz que: Na verdade, para justificar a necessidade de se ter a geometria na escola, bastaria o argumento de que sem estudar geometria as pessoas não desenvolvem o pensar geométrico ou o raciocínio visual e, sem essa
habilidade, elas dificilmente conseguirão resolver as situações de vida que forem geometrizadas; também não poderão se utilizar da geometria como fator altamente facilitador para a compreensão e resolução de questões de outras áreas de conhecimento humano. Sem conhecer geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação das ideias fica reduzida e a visão da matemática torna-se distorcida.
O mesmo autor ainda explana sobre a importância do conteúdo de geometria
na inter-relação com os demais conhecimentos matemáticos: A geometria é a mais eficiente conexão didático-pedagógica que a matemática possui: ela se interliga com a aritmética e com a álgebra porque os objetos e relações dela correspondem aos das outras; assim sendo, conceito, propriedades e questões aritméticas ou algébricas podem ser classificados pela geometria, que realiza uma verdadeira tradução para o aprendiz. (LORENZATO, 1995, p. 6).
Segundo as DCE (PARANÁ, 2008), sugere-se a abordagem dos conteúdos
disciplinares na educação básica através das diversas Tendências Metodológicas
para a Educação Matemática, para assim fundamentar melhor a prática docente.
Dentre essas tendências, a escolha pelas Mídias Tecnológicas foi bem natural por
acreditarmos que o seu uso, como recurso metodológico, poderia mudar o cenário
atual, a começar pelo interesse e, consequentemente, o aprendizado dos alunos.
Dentre as possibilidades de recursos tecnológicos para trabalhar conceitos de
geometria, optou-se pelo GeoGebra, um software de geometria dinâmica, criado
pelo austríaco Markus Hohenwarter, da Universidade de Salzburg. O GeoGebra é
uma ferramenta multiplataforma, gratuita, que permite trabalhar, concomitantemente,
duas representações de um mesmo objeto, a saber, sua representação geométrica e
sua representação algébrica, ampliando assim as possibilidades de observação e
experimentação, o que não é tão fácil com o simples uso de materiais manipuláveis,
como lápis e papel, ou mesmo régua, transferidor e compasso.
O emprego adequado das Mídias Tecnológicas, como o software GeoGebra,
por exemplo, podem auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, porém, estas
por si só não garantem que o conhecimento de fato se concretize: Esse suporte tecnológico permite o desenho, a manipulação e a construção de objetos geométricos, facilita a exploração de conjecturas e a investigação de relações que precedem o uso do raciocínio formal. Vários estudos empíricos destacam também que, na realização de investigações, a utilização dessas ferramentas facilita a recolha de dados e o teste de conjecturas, apoiando, desse modo, explorações mais organizadas e completas e permitindo que os alunos se concentrem nas decisões em termos de processo. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p. 83).
As tecnologias no ensino de matemática tem o poder de facilitar e agilizar as
construções e ou representações da geometria, sendo mais precisas em relação às
medidas de comprimento, de ângulos e de áreas, elementos assaz importantes para
a compreensão do aluno. Além disso, a geometria combina com a arte. As Diretrizes
Curriculares da disciplina de Arte mencionam que a “arte concentra, em sua
especificidade, conhecimentos de diversos campos, possibilitando um diálogo entre
as disciplinas escolares e ações que favoreçam uma unidade no trabalho
pedagógico” (PARANÁ, 2008, p. 23). Logo, nas diversas manifestações artísticas,
podemos encontrar matemática e geometria aliadas à arte, como ocorre na música,
na arquitetura, no cinema, na culinária e nas artes plásticas, por exemplo, com os
mosaicos.
Com efeito, mosaicos são representações artísticas e seus desenhos utilizam-
se dos mais variados materiais em forma de figuras geométricas e simetrias, com a
finalidade de criar obras harmônicas a partir da pavimentação de um plano.
Entendidos como resultados de pavimentações ou como um “embutido de pequenas
pedras ou de outras peças de cores, que pela sua disposição aparentam desenho”
(FERREIRA, 1999, p. 1369), os mosaicos estão presentes em diversas culturas.
Para Barbosa (1993, p.1): Os mosaicos, resultados das pavimentações, são conhecidos desde os tempos antigos. Estiveram presentes nas civilizações assíria, babilônica, persa, egípcia, grega, chinesa e outras, empregados em padrões que não raro permaneceram até os dias atuais [...]. O objetivo do artífice era e é encontrar certo tipo de simetria ornamental com o emprego de figuras relativamente simples, cuja repetição e interação formem um todo harmonioso e estético.
Um grande admirador da matemática, de suas formas e transformações, foi o
holandês Maurits Cornélis Escher (1898-1972), artista gráfico que representou em
suas obras formas geométricas e suas transformações, bem como conhecimentos
sobre simetrias. Hoje, a originalidade e harmonia dos mosaicos ainda está presente
em obras de arte e na arquitetura, em tapeçarias e, geralmente, como decoração de
espaços como paredes, tetos e vitrais.
Agora, para terminar esta contextualização, basta dizer que este estudo se
efetivou no Colégio Estadual Jardim Porto, sediado no município de Toledo/PR, no
bairro Jardim Porto Alegre, o qual compartilha espaço físico com a Escola Municipal
Alberto Santos Dumont, desde o ano de 1984. Ele atende nos níveis fundamental,
médio, profissional e pós-médio, totalizando em 2017 perto de 1200 matrículas.
Contabilizando os alunos que participam de projetos, em contra turno escolar,
soma-se um total de 1500 estudantes, estes residentes no próprio bairro, em bairros
próximos e também no interior do município. Além disso, os alunos do colégio se
distribuem nos turnos matutino, vespertino e noturno. Já os alunos que participaram
deste projeto pertencem ao 8º Ano, sala C, turno vespertino.
3 Objetivos Trabalhar de modo interdisciplinar tecnologia, matemática e arte, utilizando as
potencialidades do Software GeoGebra, através de uma metodologia diferenciada,
para despertar o interesse e a participação dos alunos nas aulas de matemática, em
especial no estudo de conceitos de geometria euclidiana plana para a pavimentação
de um plano com mosaicos.
4 Aplicação do Projeto
De inicio, foi apresentado o resumo do projeto ao público do colégio ao qual
se destinava, utilizando slides explicativos com um projetor multimídia em sala de
aula. No laboratório de informática da instituição, foi disponibilizado aos alunos um
questionário diagnóstico a fim de, a partir das respostas obtidas, conhecer os alunos
e assim direcionar as formas de abrangência necessárias para despertar a
curiosidade para este estudo diferenciado de geometria euclidiana plana.
O questionário (disponível no link https://goo.gl/DmNXSD) abrangia questões
sobre o uso de recursos tecnológicos nas aulas de matemática e sobre alguns
conceitos de geometria. Com as respostas obtidas com o questionário (disponíveis
no link: https://goo.gl/tB85tZ) foi possível conhecer melhor as preferências e opiniões
sobre a relevância do projeto, como expõe o Quadro 1: Quadro 1: Porcentagens obtidas e conclusões a cerca do questionário diagnóstico.
! 96% dos entrevistados acham importante estudar geometria;
! 35% disseram que não gostam da disciplina de matemática, porém estudam pouco;
! 73,3% acreditam que o uso de recursos tecnológicos pode auxiliar e aumentar o
interesse para o aprendizado de conceitos matemáticos;
! 39% não conheciam o software GeoGebra;
! 42% não conhecem lugares onde encontramos mosaicos.
Fonte: Autores, 2017.
De posse das informações do questionário, foi planejada a melhor forma de
abordagem do assunto e os ajustes necessários em relação aos planos iniciais. Já
nas primeiras aulas de aplicação do projeto, vídeos sobre geometria euclidiana
plana foram exibidos para os alunos, onde houve o cuidado de dar especial atenção
à imagens de mosaicos em diferentes culturas, buscando inspirar e estimular o lado
criativo dos alunos.
Em outro encontro, foram iniciadas as primeiras atividades práticas, de posse
de papel de ofício, lápis de cor, régua e transferidor, os alunos tiveram a liberdade
de criar, combinar cores e construir malhas regulares utilizando polígonos (Figura
1A). Um a um os alunos foram questionados sobre as dificuldades encontradas, e o
uso das ferramentas tradicionais, como régua e transferidor, foi a mais mencionada.
Note que a relevância deste projeto está em dar aos alunos uma oportunidade
de utilizar outras ferramentas que lhe possibilitem estudar geometria. Não se busca
a total substituição das formas tradicionais de ensino, mas sim a ajuda mútua entre
ferramentas inovadoras na formação do conhecimento matemático. E, a partir dessa
necessidade, iniciou-se a etapa de apresentação do software GeoGebra aos alunos
(Figura 1B).
Figura 1: A) Malhas regulares criadas pelos alunos utilizando régua e transferidor.
B) Apresentação do software GeoGebra aos alunos no laboratório de informática. Fonte: Autores, 2017.
Ao todo, foram realizados 13 encontros, em contra turno escolar, para a
realização das atividades e o desenvolvimento do projeto com os alunos do oitavo
ano. Logo de início, no quarto encontro, mais precisamente, foi introduzido na rotina
do projeto o reconhecimento e o uso das ferramentas do software GeoGebra e suas
possibilidades. Com o auxílio de um projetor multimídia, foi apresentado aos alunos
a interface do programa, por meio de um tutorial simplificado, visando familiarizar os
mesmos com as telas, menus e ferramentas. O tutorial exposto é exemplificado nas
Figuras 2, 3 e 4.
Figura 2: Tela inicial do GeoGebra.
Fonte: Autores, 2017.
Como apresentação do software GeoGebra, logo na parte superior da tela,
encontram-se a barra de menus com os comandos: Arquivo, Editar, Opções,
Ferramentas e Ajuda. Logo abaixo dos menus, a barra de ferramentas é composta
por 12 ícones ilustrativos, como expõe em detalhes a Figura 3.
Figura 3: Barra de menus e de ferramentas do GeoGebra.
Fonte: Autores, 2017.
Na barra de ferramentas, cada um dos ícones se abre em janelas, ou opções
de trabalho, como exemplifica a Figura 4, para o ícone ponto.
Figura 4: Ícone ponto e suas ferramentas.
Fonte: Autores, 2017.
Partindo dessa primeira explanação sobre os ícones e suas localizações, foi
solicitado que os alunos explorassem as mais variadas ferramentas do software que
seriam utilizadas mais detalhadamente no decorrer do projeto.
No encontro seguinte, foi solicitado a construção de alguns polígonos, mais
especificamente, três pontos deveriam ser marcados na tela de visualização e
ligados uns aos outros por meio da ferramenta segmento. O resultado inicial foram
polígonos totalmente diferentes em tamanhos e formas, já que não foram dados
medidas de lados e ângulos, conforme mostra a Figura 5A.
Dando prosseguimento, foi solicitado que cada aluno, utilizando a ferramenta
Ângulo e da ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro obtivessem as
medidas angulares e dos lados de seus respectivos polígonos e respondessem ao
pequeno roteiro de apoio que foi distribuído em sala de aula. - Quanto mede cada ângulo de seu polígono?
- Quanto é a soma de seus ângulos internos?
- Quanto é a soma dos ângulos externos de seu triângulo?
Procedeu-se de modo similar com a construção de quadriláteros e pentágonos.
Em relação aos quadriláteros, inicialmente a grande maioria dos alunos construiu
retângulos e quadrados, somente após colocar a definição e exemplificar aos alunos
foi que surgiram outras construções, como ilustram as figuras abaixo (Figura 5B e
5C). Percebe-se que até este momento o conceito de quadrilátero não estava claro
para a maioria dos estudantes.
Quanto as construções, estas então foram salvas em formato GGB, um padrão
do software, e enviados por email para a professora da turma em forma de anexo,
para que fosse possível acompanhar cada construção dos alunos individualmente.
Na sequência de atividades, foram construídos polígonos regulares, utilizando
a ferramenta Polígono Regular. Em cada figura, verificou-se as medidas dos ângulos
internos bem como as medidas das arestas, comprovando que em qualquer
polígono regular, os ângulos internos são congruentes e as arestas possuem
medidas iguais.
Figura 5: A) Triângulos. B) Quadriláteros. C) Polígonos irregulares.
Fonte: Autores, 2017.
Logo depois das construções e do estudo das características de polígonos
regulares e não regulares, introduziu-se os conceitos de simetria e de isometria.
Primeiramente, foram selecionadas algumas figuras que possuíam pelo menos um
eixo de simetria, e outras que não possuíam simetria alguma, a fim de que os alunos
percebessem que o(s) eixo(s) de simetria funcionam como um espelho e que os
pontos da figura mantinham a mesma distância em relação ao eixo de simetria.
Com o conhecimento sobre simetria, um polígono similar a um “ratinho”
(Figura 6A) foi criado em coordenadas cartesianas. Inicialmente, a figura foi
transladada por um vetor, na sequência refletida por um eixo, e posteriormente, a
mesma imagem sofreu um movimento de rotação a partir de um ponto fixo,
conhecido como simetria central. Com o conhecimento dos conceitos de reflexão,
translação e rotação, mais a prática do software, ficou claro aos alunos quais
características da figura se mantinham e quais sofriam alterações (este exemplo é
uma adaptação do exercício disponível em: https://goo.gl/jrwCnm. Acessado em: 19
nov. 2016).
Figura 6: A) Ratinho construido a partir de coordenadas cartesianas. B) Ratinho transladado
pelo vetor u. Fonte: Autores, 2017.
Ao transladar a figura pelo vetor u (Figura 6B acima), os alunos perceberam que a
imagem transladada ficava na direção que o vetor indicava e a distância entre a figura
construída e a figura transladada dependia do comprimento do vetor. Mesmo que de um
modo superficial, os alunos tiveram contato com o conceito de vetor, que posteriormente
utilizariam na construção de mosaicos.
Um processo análogo ao de transladar o “ratinho” foi usado com imagens prontas,
que os próprios alunos obtiveram da web. As imagens foram inseridas na janela de
visualização, depois foram inseridos dois vetores, e então foi realizado a translação das
imagens inúmeras vezes, como expõe as Figuras 7 e 8.
Figura 7: Imagem transladada por vetor.
Fonte: https://goo.gl/t3Dy4Q.
Figura 8: Imagem transladada por um vetor para a direita e outro no sentido vertical.
Fonte: https://goo.gl/KxoPRb.
Ainda, aplicando conceitos simples de geometria com o software GeoGebra,
foi possível elucidar aos estudantes as principais modificações que uma imagem
sofre em decorrência do conceito aplicado. Na reflexão por um eixo, os estudantes
puderam comprovar que a imagem resultante é simétrica, e que o tamanho e a
distância entre os pontos eram mantidas, porém de maneira espelhada e invertida,
como expõe a Figura 9.
Figura 9: Transformação isométrica de reflexão.
Fonte: Autores, 2017.
Assim, prosseguiu-se com atividades de simetria central, a rotação da figura
inicial A, através de um ângulo de 45º, em sentido anti-horário, o que resultou na
figura A’, rotacionada em 90º, resultou na A”, e assim sucessivamente (Figura 10).
Neste tipo de simetria, os estudantes puderam verificar que, ao rotacionar a
figura por um ponto, precisariam de uma medida angular e do sentido horário ou do
anti-horário e que isso faria toda diferença na imagem final.
Figura 10: Aplicação do conceito de simetria central na rotação da imagem.
Fonte: Autores, 2017.
Seguindo os roteiros propostos, os estudantes criaram, dentro da plataforma
do software, as rosetas. Rosetas são imagens circulares resultantes da rotação de
um determinado ornamento utilizando conceitos matemáticos, como na Figura 11,
onde há um ornamento composto por dois triângulos e um quadrilátero, que foi
rotacionado em torno de um ponto, resultando numa roseta.
Após a construção dessa imagem no GeoGebra, eles deram movimento à
construção através da comando Animar, aplicada ao controle deslizante. A imagem
em movimento foi o que mais chamou a atenção dos alunos, pois perceberam que a
roseta se abria e se fechava até o limite que eles estipularam para o controle
deslizante.
Figura 11: Roseta confecionada pela rotação de um ornamento.
Fonte: Autores, 2017.
Na sequência, utilizando um projetor multimídia, foram mostradas imagens do
que significa pavimentar um plano com figuras geométricas. Para Barbosa (1993),
um conjunto de polígonos é uma pavimentação do plano, se e só se, o conjunto de
polígonos cobre sem cruzamentos o plano. O mesmo autor descreve que na prática,
não se consegue uma pavimentação do plano, mas pode-se idealiza-la.
Em sala de aula, vários exemplos de pavimentações com polígonos regulares
foram expostos, e nesta primeira etapa, sem a preocupação com as configurações
ao redor de cada vértice, somente verificando se a soma completaria 360°. Para
saber quais polígonos regulares pavimentam o plano sem experimentar, segundo
Barbosa (1993), utiliza-se a equação K * i = 360º, onde k é o número de polígonos
colocados e i é a medida do ângulo interno de cada polígono.
Exemplificando, é possível pavimentar um plano utilizando três hexágonos
regulares encaixados em um vértice. Substituímos k por 3 e multiplicamos por 120
(medida do ângulo interno do hexágono regular), e o resultado é 360º. No exemplo
dado, é possível pavimentar utilizando hexágonos regulares, uma vez que, fazendo
as substituições, isso satisfaz a equação. A propósito, os únicos polígonos regulares
que pavimentam um plano são o triângulo, o quadrado e o hexágono.
Para pavimentar com polígonos regulares de diferentes tipos, procedemos de
forma análoga. Calcula-se o valor do ângulo interno de cada polígono, somamos as
medidas ao redor de cada vértice, tendo que perfazer 360º. Barbosa (1993) ainda
ressalta que existem oito possibilidades de configurações ao redor de um vértice,
utilizando polígonos regulares para pavimentar um plano. As mais utilizadas foram
as configurações (4,6,12), isto é, quadrados, hexágonos e dodecágonos; e (4,8,8),
ou seja, quadrados, octógonos e octógonos; e (3,3,6,6), triângulos e hexágonos.
Ao final das atividades propostas nos roteiros, os alunos produziram os seus
próprios mosaicos (Figura 12), com o auxílio do software, utilizando os exemplos das
atividades anteriores. Esta atividade foi a que demandou um tempo maior para ser
realizada. Sem o auxílio dos roteiros, os alunos precisaram usar da sua criatividade
e utilizar os conceitos repassados anteriormente para contruir suas pavimentações
na forma de mosaicos dentro da plataforma do GeoGebra.
Figura 12: Mosaicos criados pelos alunos.
Fonte: Autores, 2017.
Após realizar as atividades no laboratório de informática, os arquivos foram
transformados em imagens e impressos para compor um painel. Algumas imagens
foram reproduzidas utilizando uma base de papelão e recortes em EVA, como pode
ser visto na Figura 13.
Figura 13: A) Alunos em sala reproduzindo mosaicos em EVA. B) Mosaico em EVA de
configuração (4,8,8). Fonte: Autores, 2017.
Os mosaicos em EVA construídos pelos educandos, bem como todas as outras
produções realizadas, foram expostos em murais nos corredores do colégio (Figura
14), despertando em toda comunidade escolar o interesse por conhecer mais sobre
as formas geométricas e os belos mosaicos reproduzidos.
Figura 14: Exposição das atividades realizadas durante a execução do projeto no colégio.
Fonte: Autores, 2017.
Lembre-se que, no início do projeto, um questionário serviu de guia para as
atividades que se seguiriam. Nele, estavam contidas as expectativas dos alunos
sobre o projeto. E, agora, para findar o mesmo, um questionário final (disponível no
link: https://goo.gl/hSpQod) também foi aplicado. O objetivo deste questionário foi
comprovar o que o trabalho em sala de aula já mostrava, isto é, que a participação e
o interesse dos alunos diante das atividades propostas foram enaltecidos.
5 Considerações Finais Por fim, vale ressaltar que todas atividades constantes na proposta didático-
pedagógica foram apreciadas por colegas que participaram do GTR e que algumas
das sugestões dadas pelos colegas professores da disciplina foram incorporadas às
atividades e inseridas em roteiros elaborados previamente para que os educandos
pudessem realizá-las à contento no colégio onde ocorreu a implementação.
Note que as atividades foram desenvolvidas no contra turno escolar devido a
quantidade de alunos, pois não havia computadores suficientes para que o trabalho
fosse realizado individualmente ou em duplas. Nisto, os alunos que se destacavam e
que demonstravam maior interesse pelas atividades auxiliaram, como monitores, os
seus colegas quando era necessário. O envolvimento dos estudantes superou todas
as expectativas e, de um modo geral, foi muito bom.
Pelas respostas enviadas no questionário final, pôde-se notar um despertar
de interesses e que as atividades foram bastante significativas para todos alunos, e
que eles gostariam de ter continuidade com atividades similares. Assim, este projeto
termina com um parecer muito satisfatório, com uma adequada participação dos
estudantes no decorrer dos encontros e com belas atividades feitas, importantes
comprovações de que os objetivos do mesmo foram alcançados.
Agradecimentos Agradeço à todas as pessoas que, de alguma forma, contribuíram para que
este projeto se realizasse, a começar pela minha família e filhos. Agradeço em
especial ao meu orientador Marcos Lübeck que, com muita sabedoria, me ajudou a
construir cada etapa deste trabalho que, para mim, tem um grande significado. À
todos os colegas que participaram do GTR, aos funcionários do Núcleo Regional de
Educação (NRE) de Toledo, em especial à Alice Bonhen, coordenadora do PDE,
pelos auxílios prestados. À toda equipe diretiva do Colégio Estadual Jardim Porto
Alegre, aos funcionários e também aos alunos do 8º Ano C que participaram de
todas as atividades assiduamente, com alegria e dedicação. Meu muito obrigada.
Referências D’AMBROSIO, Ubiratan. Da Realidade à Ação: reflexões sobre educação e matemática. São Paulo: UNICAMP, 1986. BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo Padrões em Mosaicos. São Paulo: Atual, 1993. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Dicionário da Língua Portuguesa. 3. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1999. LORENZATO, Sérgio. Por que não Ensinar Geometria?: Educação Matemática em Revista, SBEM, n. 4, São Paulo, 1º sem. 1995. LÜBECK, Marcos. Etnomatemática: Pesquisa e Educação na Prática de Ensino. In: SILVA, Adailton Alves da et al. (Org.). Educação Etnomatemática: concepções e trajetórias. Goiânia: PUC Goiás, 2010, p. 99-121. PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática. Curitiba: SEED, 2008. PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Arte. Curitiba: SEED, 2008.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2009. VALENTE, José Armando (Org.). O Computador na Sociedade do Conhecimento. Campinas: UNICAMP/NIED, 1999. Disponível em: <http://www.fe.unb.br/catedraunescoead/areas/menu/publicacoes/livros-deinteresse-na-area-de-tics-na-educacao/o-computador-na-sociedade-do-conhecimento>. Acesso em: 20 mai. 2016.
