a geometria plana presente nas linhas que demarcam um campo de

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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR

CAMPUS DE JI-PARANÁ

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME

A GEOMETRIA PLANA PRESENTE NAS

LINHAS QUE DEMARCAM UM CAMPO DE

FUTEBOL

DAIANE FERREIRA DA SILVA

Ji-Paraná – RO

Junho de 2015

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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR

CAMPUS DE JI-PARANÁ

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME



FUTEBOL


Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à comissão julgadora da Universidade Federal de Rondônia – UNIR Campus de Ji-Paraná, como parte dos requisitos para obtenção do título de Licenciado em Matemática, sob a orientação do professor Me. Enoque da Silva Reis e coorientação do professor Wanderson Pinheiro.

Ji-Paraná

Maio de 2015

3




FUTEBOL

Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado como parte dos requisitos para obtenção do título de Licenciada em Matemática e teve o parecer final como Aprovado, no dia 24.06.2015, pelo Departamento de Matemática e Estatística, da Universidade Federal de Rondônia, Campus de Ji-Paraná.

Banca Examinadora

___________________________________________

Me. Fernando Luiz Cardoso

Departamento de Matemática e Estatística - DME

___________________________________________

Me. Simone dos Santo França

Universidade Panamericana de Ji-Paraná – RO

Departamento de Matemática e Estatística – DME

4

Silva, Daiane Ferreira da S586a 2015

A geometria plana presente nas linhas que demarcam um campo de futebol / Daiane Ferreira da Silva; orientador, Enoque da Silva Reis. -- Ji-Paraná, 2015

42 f. : 30 cm Trabalho de conclusão do curso Licenciatura em

Matemática. – Universidade Federal de Rondônia, 2015 Inclui referências 1.Geometria plana. 2. Matemática. I. Reis, Enoque da

Silva. II. Universidade Federal de Rondônia. III. Titulo

CDU 514.112

Bibliotecária: Marlene da Silva Modesto Deguchi CRB 11/ 601

5

Dedico à minha família.

6

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço a Deus (nas pessoas como o Pai, o Filho Jesus Cristo e o

Espírito Santo) o centro e o fundamento de tudo em minha vida, por renovar a cada momento

a minha força e disposição e pelo discernimento concedido ao longo dessa jornada.

Aos meus familiares por acreditarem em mim e que se mantiveram ao meu lado em

todos os momentos, avó, tios, primos, meu irmão Valdir e irmã Eliane, e principalmente a minha

irmã Tatiane e minha mãe Maria Aparecida que indiferente do momento ou da situação

depositou sua confiança em mim e me ampararam.

A minha irmã gêmea Tatiane companheira inseparável dessa graduação, por entender

os momentos de estresse e se colocar sempre à disposição de ajudar, por tudo que vivemos

juntas em nossas vidas e ao longo do curso, pela amizade e companheirismo que, sem dúvida

alguma, se estenderá por toda vida.

Ao meu namorado, melhor amigo e companheiro de todas as horas, Bruno Luiz da Silva

Rodrighero, pelo carinho, compreensão, amor e solidariedade inefável. Por sempre me apoiar

em todas as minhas decisões e pelo incentivo para finalização desse trabalho.

A meu orientador Professor Enoque da Silva Reis e coorientador Wanderson Pinheiro,

que ouviram pacientemente as minhas considerações partilhando comigo as suas ideias,

conhecimento e experiências e que sempre me motivaram. Pela dedicação, auxílio e paciência

no desenvolvimento desta monografia.

Aos colegas de turma Tatiane, Verônica, Joicelene, Cristiane, Ronaldo e Judsy e as

amigas Amanda e Daiane que nos momentos difíceis dessa longa trajetória me incentivaram e

apoiaram com suas palavras, para que eu seguisse firme na conquista do meu objetivo.

A babá da minha sobrinha Jaqueline onde nos momentos que eu e minha irmã

precisamos nos ausentar de casa para estudos ela sempre apoiou e ajudou.

A todos os professores que fizeram parte da minha formação acadêmica, que serão

lembrados como referência em minha carreira.

Não foi minha intenção deixar de listar aqui nenhum nome de meus entes e pessoas

queridas, para isso precisaria bem mais que as páginas aqui presentes, por isso agradeço a todos

tornasse real.

este momento se para queque passaram em meu caminho, e que de algum modo contribuíram

7

RESUMO O presente trabalho tem como objetivo geral analisar alguns conceitos da Geometria Plana presentes nas linhas que demarcam um campo de futebol, assim delineamos os seguintes objetivos específicos: caracterizar as figuras planas a partir de uma pesquisa bibliográfica; analisar aspectos referentes ao futebol e por fim abordar quais figuras e formas geométricas existem no campo de futebol. A fonte primária foi o desenho oficial do campo de futebol. Como referencial teórico utilizamos os conceitos primitivos da Geometria Plana, assim como, os conceitos e definições de paralelismo, perpendicularismo, as classificações dos quadriláteros, os círculos, circunferência, arco e corda. Tais elementos foram pesquisados em livros, periódicos, artigos científicos e internet. Para tal pesquisa, a metodologia utilizada foi a pesquisa bibliográfica. Os resultados obtidos foram satisfatórios, pois logo é possível perceber, que se atentar para o ensino da disciplina de matemática, em particular, o ensino da Geometria Plana têm-se um atrativo diferencial com a explanação do campo de futebol, pois destacamos a presença de elementos da Geometria como: ponto, segmento de reta, segmentos paralelos, segmentos ortogonais, Retângulos, círculo, circunferência, arco e corda, além da ausência dos seguintes quadriláteros: Quadrado, Trapézio e Losango.

Palavras-Chave: Ensino de Matemática. Geometria Plana. Campo de Futebol.

8

ABSTRACT

The following monograph has the objective to analyze some of the concepts of plane geometry present in the lines that demarcate a soccer field. Therefore we outline the following specific objectives: to characterize the plane figures from a bibliographical research; analyze the aspects referring to soccer and lastly we approach which geometrical figures and forms exist in a soccer field. The primary source used in this research was the official drawing from the soccer field. As theoretical reference, we used the primitive concepts of plane geometry, just as the concepts and definitions of parallelism, perpendicularity, the classification of the quadrangle, the circles, circumferences, arc and string. Such elements were researched in books, periodicals, scientific articles and the internet. For this research, the methodology used was the bibliographic research. The results obtained were satisfactory, in particular, the teaching of plane geometry has a differential as an explanation of the soccer field, because we highlighted the presence of geometric elements such as: the point, straight line segment, parallel segment, orthogonal segment, rectangles, circles, circumference, arc and string, besides the absence of the following quadrilateral: square, trapezium and lozenge.

KEYWORDS: Teaching of Mathematics. Plane Geometry. Soccer Field.

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LISTA DE FIGURAS

Descrição Pág.

Figura 01: Bola de futebol usada no final do século XIX. 13

Figura 02: Representação de ponto. 20

Figura 03: Representação de reta. 21

Figura 04: Representação de semirreta. 21

Figura 05: Representação de segmento de reta. 21

Figura 06: Representação de plano. 22

Figura 07: Reta paralela. 22

Figura 08: Dois planos distintos são paralelos. 23

Figura 09: Paralela a um plano. 23

Figura 10: Contida num plano. 23

Figura 11: As intersecções são duas retas paralelas. 23

Figura 12: Duas retas concorrentes. 24

Figura 13: São concorrentes. 24

Figura 14: Determinado ponto. 24

Figura 15: Plano α, plano β. 25

Figura 16: Dois planos secantes. 25

Figura 17: Intersecção. 25

Figura 18: Trapézio isóscele. 26

Figura 19: Trapézio escaleno. 27

Figura: 20: Trapézio Retângulo. 27

Figura 21: Paralelogramo. 27

Figura 22: Retângulo. 28

Figura 23: Losango. 28

Figura 24: Quadrado. 28

Figura 25: A circunferência limita o círculo. 29

Figura 26: Diâmetro e raio. 29

Figura 27: Corda e segmentos. 30

Figura 28: Arco. 30

Figura 29: O campo e suas medidas oficiais. 32

Figura 30: Exemplo de Segmentos de reta nas linhas que demarcam o campo de futebol.

33

10

Figura 31: Exemplo de Segmentos de reta paralelos nas linhas que demarcam o campo de futebol.

35

Figura 32: Exemplo de Segmentos de reta perpendiculares nas linhas que demarcam o campo de futebol.

36

Figura 33: Exemplo de quadriláteros nas linhas que demarcam o campo de futebol. 38

Figura 34: Exemplo de círculo e circunferência s nas linhas que demarcam o campo de futebol.

39

Figura 35: Visualização de da projeção da circunferência com cento na marca do pênalti nas linhas que demarcam o campo de futebol.

39

Figura 36: Observação da vantagem se não houvesse o arco na grande área. 40

11

SUMÁRIO

1 UMA BREVE HISTÓRIA DO SURGIMENTO DO CAMPO DE FUTEBOL.........13 2 GEOMETRIA...................................................................................................................17 2.1 Conceitos Fundamentais de Geometria Plana ......................................................... 20

2.2 Paralelismo .................................................................................................................. 22

2.3 Perpendicularidade ..................................................................................................... 24

2.3.1 Retas e planos perpendiculares...................................................................................24

2.3.2 Planos perpendiculares............................................................................................... 25

2.4 Quadriláteros .............................................................................................................. 26

2.4.1 Trapézio...................................................................................................................... 26

2.4.2 Paralelogramo.............................................................................................................27

2.4.3 Retângulo....................................................................................................................28

2.4.4 Losango...................................................................................................................... 28

2.4.5 Quadrado.................................................................................................................... 28

2.5 Círculo e Circunferência ............................................................................................ 29

2.6 Corda ........................................................................................................................... 30

2.7 Arco .............................................................................................................................. 30

3 PROCEDIMENTOS DA PESQUISA ............................................................................31

4 IDENTIFICAÇÃO E ANÁLISE DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PRESENTES NAS LINHAS QUE DEMARCAM O CAMPO DE FUTEBOL.........................................32 4.1 Ponto e Segmentos de Reta nas linhas que demarcam o campo de futebol ........... 32

4.2 Paralelismo nas linhas que demarcam o campo de futebol .................................... 34

4.3 Perpendicularidade nas linhas que demarcam o campo de futebol ....................... 35

4.4 Quadriláteros presentes nas linhas que demarcam o campo de futebol ................ 37

4.5 Circunferência, Círculo, Arco e Corda nas linhas que demarcam o campo de futebol.......................................................................................................................................38

CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................................41 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................42

12

INTRODUÇÃO

Este trabalho se propõe por meio de uma pesquisa bibliográfica, analisar alguns

conceitos da Geometria Plana presentes nas linhas que demarcam um campo de futebol. Tais

conceitos foram inicialmente estudados, analisados e descritos nesse trabalho, para que em

seguida fossem aplicados, tendo como fonte as linhas do campo de futebol, a fim de observar

fatores que possam contribuir com o processo de ensino e aprendizagem dessa parte da

matemática que é a Geometria Plana.

No primeiro capítulo, fazemos uma breve abordagem a respeito de como surgiu o

futebol, começando por seus primórdios na China Antiga, no Japão Antigo, na Grécia e Roma,

e na Itália Medieval até chegar a Inglaterra que por ser uma potência mundial na época, poderia

ajudar a espalhar o futebol pelo mundo, até torná-lo o esporte que é hoje, ainda neste capítulo

estão também elencadas as primeiras 14 regras as quais o esporte era submetido.

O segundo capítulo traz uma introdução da Geometria de um modo geral, com autores

e pesquisadores na linha da didática da matemática que falam sobre este conteúdo em especial.

Ainda neste capítulo, temos elencadas as definições e conceitos fundamentais da Geometria

Plana, essenciais para a compreensão do que será abordado, com relação à análise das figuras

geométricas presentes em nosso objeto de estudo que é o campo de futebol.

Em seguida, no terceiro capítulo, falamos sobre o método e os procedimentos utilizados

na pesquisa, que tem por objetivo específico desenvolver um estudo das linhas que demarcam

um campo de futebol. O método utilizado foi a pesquisa bibliográfica que classificamos como

estudo teórico em diversas fontes encontradas em bibliotecas físicas e virtuais.

No quarto capítulo, apresentamos a análise do nosso objeto de estudo, em que

primeiramente temos a figura do campo com todas as suas formas e detalhes. O primeiro desses

detalhes são os pontos, o segundo os segmentos de reta, o terceiro a circunferência, e por último

o arco, não necessariamente nesta ordem. Temos ainda, a realização de alguns cálculos e

características geométricas dos segmentos de reta, e por fim, apresentamos estes juntamente

com as demais análises pertinentes.

13

1 UMA BREVE HISTÓRIA DO SURGIMENTO DO CAMPO DE

FUTEBOL

O futebol se tornou o esporte que todos nós conhecemos hoje, com regras e tudo mais,

na Inglaterra. Isso é fato, ninguém discute. Mas até hoje, há dúvidas de quem deu os primeiros

passos no esporte. Por mais que seja diferente do verdadeiro futebol praticado nos dias atuais,

foi o início para desencadear o esporte mais popular do mundo. Há algumas histórias, que dizem

que o atual esporte mais praticado no mundo, teve seus primórdios ou na China Antiga, ou no

Japão Antigo, ou na Grécia e Roma, ou na Itália Medieval. No entanto, não se tem documentos

oficiais que apontam ao certo em qual desses lugares iniciou o esporte.

Figura 01: Bola de futebol usada no final do século XIX

Fonte: http://www.suapesquisa.com/futebol/ Acesso em: 22 mai. 2015.

Talvez das histórias dos primórdios do futebol, a do Japão antigo seja a que mais se

assemelha ao que o futebol é hoje. O jogo se chamava Kemari, e era uma disputa de chineses

versus japoneses. Era jogado num campo de mais ou menos 200 metros Quadrados, no qual era

proibido o contato físico. A bola era feita das fibras do bambu. Era praticado por 16 jogadores

(8 de cada equipe) e era jogado por membros da corte do imperador japonês.

Também podemos destacar que na China Antiga houve uma época em que os militares

chineses praticavam uma atividade após as guerras que consistia em chutar as cabeças dos

inimigos. Com o tempo, essa prática militar, foi se desenvolvendo, e as cabeças dos adversários

foram substituídas por bolas de couro revestidas com cabelo. O objetivo era tocar a bola de pé

em pé, sem deixá-la cair no chão. O jogo era esse, não havia nenhuma regra como há hoje.

Um outro ponto que podemos mencionar é a Grécia e a Roma que por volta do século I

a.C. os gregos criaram um jogo denominado de Episkiros. Os soldados gregos se dividiam em

duas equipes de 9 jogadores cada e jogava num terreno retangular enorme. A bola era feita de

bexiga de boi, cheia de areia ou terra. Porém, quando os romanos dominaram a Grécia,

14

aprovaram o jogo, e também começaram a jogar, só que transformaram num jogo muito

violento, um verdadeiro campo de guerra.

Já na Itália Medieval apareceu um jogo chamado Gioco del Calcio. O objetivo dos 27

jogadores de cada equipe, era levar a bola até dois postes que ficavam em dois cantos extremos

da praça. A violência era comum, como não havia regras, era permitido usar socos, pontapés,

rasteiras e outros golpes violentos. Porém, devido à violência, e o lugar onde era praticado,

causava muito barulho, além de ser desorganizado. Com isso, o rei na época Eduardo II, proibiu

o jogo. Seria o fim do futebol? Não, pois a camada nobre da população italiana "reinventou" o

jogo, acrescentando regras que não permitiam violência.

Pesquisadores chegaram à conclusão que o futebol saiu da Itália, onde era conhecido

como Gioco del Calcio. No entanto, foi na Inglaterra que ele se desenvolveu, criando regras e

se sistematizando. No ano de 1848 numa conferência de Cambridge, algumas regras foram

feitas. Mas não eram respeitadas, pois cada escola queria jogar do seu jeito. Uma por exemplo,

queria que chutasse na canela do adversário fosse permitido. Em outra, segurar o adversário

pelo pescoço era válido.

No dia 23 de Outubro de 1863, representantes de 12 clubes e escolas reuniram-se na

Freemason's Tavern, na Queen Street, no centro de Londres. O objetivo era unificar as regras,

já que cada um "jogava seu jogo", devido à falta de entendimento, pois como já foi citado acima,

cada um queria uma coisa. Sendo assim, a tarefa não foi fácil, tentavam entrar em um acordo

desde 1848, mas só naquela manhã de 23 de outubro de 1863, chegariam a um acordo, e as

primeiras regras foram criadas.

Lá no centro de Londres, também não foi fácil fazer com que todos aceitassem as

primeiras 14 regras. Por exemplo: a escola Blackheat não aceitou que o chute abaixo do joelho

fosse considerado uma falta, e por isso, abandonou a reunião. As 12 escolas, e os clubes que

participaram dessa reunião foram os seguintes: Forest, NN Kilburn, Barnes, War Office,

Crusaders, Perceval House, Crystal Palace, Blackheat, Kennington School, Surbiton, Blackheat

School (abandonou) e a Charterhouse School.

As 11 escolas que seguiram na reunião fundaram a primeira entidade que comandaria o

futebol mundial, a Football Association, que, comandada por Ebenezer Cobb Morley, o

primeiro cartola do futebol.

Eles, junto com os ingleses, criaram 14 regras. Eram elas:

A - O campo podia ter até 200 jardas (182,88 m) de comprimento e 100 jardas de largura (91

m). Os limites deviam ser marcados com bandeiras. O gol era marcado por dois postes com 8

jardas (7,28 M) de distância entre eles, sem limite de altura.

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B - Um sorteio para a escolha dos lados devia ser efetuado e a saída se dava no meio do campo.

Os adversários deviam ficar a 10 jardas (9,14 m) da bola.

C - A cada gol, os times trocavam de lado.

D - Um gol era marcado quando a bola passava entre os postes ou sobre o espaço entre eles (em

qualquer altura) sem ser arremessada, parada ou carregada.

E - Para a bola voltar ao jogo, o primeiro jogador a tocá-la devia arremessá-la do ponto da linha

lateral em que ela tivesse deixado o campo. A bola só estaria em jogo quando tocasse no chão.

F - Quando um jogador chutasse, qualquer jogador do mesmo time que estivesse mais perto da

linha de meta do oponente estava fora de jogo a não podia tocar a bola, nem atrapalhar um

adversário que pretendesse tocá-la.

H - Se a bola ultrapassasse a linha de fundo, ela pertenceria ao time que a tocasse primeiro. Se

o time que estivesse se defendendo tocasse primeiro na bola, teria um tiro livre na linha do gol.

Se o time que estivesse no ataque a tocasse primeiro, teria um tiro livre a 15 jardas (13,7 m) do

gol.

I - Se um jogador agarrasse firmemente a bola, ele podia bater um tiro livre do ponto em que a

recebesse assim que pedisse o fair catch, marcando com seu calcanhar o local. Para bater esse

tiro livre, ele podia tomar a distância que quisesse e nenhum adversário podia atrapalhá-lo.

J - Não era permitido correr com a bola.

K - Derrubar ou atingir os adversários não era permitido, tampouco usar as mãos para empurrar

ou segurar o adversário.

L - Não era permitido passar a bola com as mãos.

M - Não era permitido pegar a bola do chão com as mãos.

N - Era permitido passar a bola ou arremessá-la após um fair catch ou se o jogador segurasse a

bola após um quique.

O - Não era permitido usar travas, placas de ferro, ou guittapercha (um látex rígido) nas solas

ou calcanhares dos sapatos.

Porém, algumas disputas de regras continuariam até o meio da década de 1880, quando

a associação inglesa fez um convite a suas irmãs britânicas - as associações galesa, escocesa e

irlandesa. O convite para tornar as regras únicas, e valer para todos, significou o nascimento da

International Football Association Board (IFAB), a detentora das regras do jogo. Até hoje, as

associações britânicas têm assento cativo na IFAB. Tornar as regras homogêneas era

fundamental, porque o futebol não tinha mais fronteiras. Em 1872, Inglaterra e Escócia já

haviam disputado em Glasgow, um "amistoso" que inaugurou a vocação internacional da bola.

16

Foi um 0x0 "morno", com pouco mais de 4 mil espectadores. Na época, a Inglaterra era uma

potência mundial, o que ajudava a espalhar o futebol pelo mundo, e se tornar o que é hoje.

17

2 GEOMETRIA

Para conhecer o significado da palavra Geometria é preciso dividi-la: geo (terra) +

metria (medida), portanto Geometria significa medida de terra. A Geometria surgiu de forma

intuitiva, e como tantos outros ramos do conhecimento, da necessidade e da observação

humana. Os conhecimentos geométricos foram necessários aos sacerdotes por serem os

coletores de impostos da época, a eles eram incumbidos a demarcação das terras que eram

devastadas pelas enchentes do Rio Nilo.

A partilha da terra era feita diretamente proporcional aos impostos pagos. Enraizada

nessa necessidade puramente humana, nasceu o cálculo de área. Em 300 a.C. o grande geômetra

Euclides de Alexandria desenvolveu grandiosos trabalhos matemático-geométricos e os

publicou em sua obra intitulada Os Elementos.

Euclides foi o primeiro a apresentar, de maneira sistemática, a Geometria como ciência

dedutiva. Isto significa que toda afirmação deve ser deduzida logicamente e de forma

generalizada de outras afirmações mais simples.

Se remetermos a ao termo Geometria agora tendo como foco o ensino da mesmo

observamos que quando bem articulada pode possibilitar ao aluno uma integração com sua

realidade, pois oferece oportunidades de relacionar a teoria com a prática de forma

compreensível, partindo de observações para elaborações e formulações conceituais mais

sólidas. Nesta perspectiva, torna-se relevante mostrar aos estudantes a importância da

Geometria para o processo de aprendizagem da Matemática como um todo, e também ir além

das explicações orais e da memorização de regras e conceitos, uma vez que estas, não

possibilitam a compreensão adequada do conteúdo abordado. É necessário trabalhar com

conceitos que estejam presentes no cotidiano dos estudantes.

Esta perspectiva do estudo geométrico está presente em autores como Lorenzato,

quando ele se refere à Geometria:

A Geometria está por toda parte..., mas é preciso conseguir enxerga - lá..., mesmo não querendo, se lida no cotidiano com as ideias de paralelismo, perpendicularismo, semelhança, proporcionalidade, medição (comprimento, área, volume), simetria: seja pelo visual (formas), seja pelo uso no lazer, na profissão, na comunicação oral, cotidianamente se está envolvido com a Geometria (LORENZATO, 1995, p.5).

Diante da necessidade de levar o conhecimento adquirido em sala de aula e aplicá-lo ao

nosso dia-a-dia, temos que abusar da criatividade, inventar e falar a linguagem que o aluno

consiga entender de forma fácil, prazerosa e interessante.

A Geometria é descrita como um corpo de conhecimentos fundamental para a

compreensão do mundo e participação ativa do homem na sociedade, pois facilita a resolução

18

de problemas de diversas áreas do conhecimento e desenvolve o raciocínio visual. Está presente

no dia-a-dia, de diversas formas, nas embalagens dos produtos, na arquitetura das casas e

edifícios, na planta de terrenos, no artesanato, na tecelagem, nos campos de futebol e quadras

de esporte, nas coreografias das danças e até mesmo na grafia das letras. Em inúmeras ocasiões,

precisamos observar o espaço tridimensional como, por exemplo, na localização e trajetória de

objetos e na melhor ocupação de espaços (FILLOS, 2006).

Percebe-se que os autores dizem que só conseguiremos alcançar o nosso objetivo de

tornar a Matemática uma ciência gostosa e interessante quando torná-la aplicada, mostrando

suas aplicações principalmente fora da escola, na vida real do aluno. No caso específico da

Geometria Plana, por exemplo, esta enfrenta vários problemas que atrapalham o aprendizado

do aluno. Segundo Manrique (2004), alguns livros didáticos deixam a desejar, pois os

problemas geométricos propostos por estes, privilegiam resoluções algébricas, e poucos exigem

raciocínio dedutivo ou demonstração. E ainda, quase não existe a passagem da Geometria

empírica (Geometria de experiências, observações), para a Geometria dedutiva, além de poucos

trabalhos focarem a leitura e a interpretação de textos matemáticos.

Pavanello citado por Nascimento (2004) vai além, dizendo que outro fator importante é

o tempo, ou seja, em algumas escolas o conteúdo geométrico é tratado apenas no final do livro

didático e muitas vezes não dá tempo para ver o conteúdo, e quando sobra tempo, o mesmo não

é visto completo e tem ficado relegado a um plano secundário. Uma forma de se melhorar esta

questão do tempo é intercalar as aulas de Geometria com as de Matemática algébrica, não

deixando a Geometria para o final do ano.

Como foi visto, existem vários fatores que atrapalham o aprendizado do aluno e

contribuem para que ele se afaste cada vez mais da Geometria. Mas existe meios para

revertemos esse quadro, principalmente mostrando a importância da Geometria, e isso é

possível com criatividade.

Lorenzato (1995) diz que a Geometria tem função essencial na formação dos indivíduos,

pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente

de ideias e uma visão mais equilibrada da Matemática. Já Hershkowitz citado por Fainguelernt

(1999), diz que a Geometria é o ponto de encontro entre a Matemática como teoria e a

Matemática como um recurso, ou seja, a Geometria é a ponte, a ligação do conteúdo teórico e

o conteúdo prático.

Pode-se considerar também que a Geometria está sempre presente em nossas vidas,

basta olhar ao redor, sempre tem uma figura geométrica, um ângulo, uma área, um volume para

19

ser calculado, uma medida para ser transformada e um espaço para ser inovado. Isso é possível

com a ajuda da Geometria.

Para tornar o ensino mais aplicado, mais acessível para o aluno, de forma que ele consiga

usar a Matemática e a Geometria como uma ferramenta que irá ajudá-lo na sua caminhada, a

linguagem desempenha um papel importante na constituição deste conhecimento. Freitas citado

por Zuchi (2004, p. 49), diz que ao mesmo tempo em que a linguagem é um fator importante

para o desenvolvimento mental da criança, exercendo uma função organizadora e planejadora

do seu pensamento, ela tem também uma função social e comunicativa. Pois, muitas vezes o

professor falando com uma linguagem científica não conseguem passar as informações devidas

aos alunos, já o colega de classe, às vezes falando uma linguagem mais simples, consegue lhe

transmitir o que o professor desejava.

Pretende-se assim, com este trabalho, ilustrar uma Geometria mais aplicada, mais

prática, mostrando que se pode visualizar a Geometria Plana em parceria com um esporte que

é uma paixão nacional, o futebol. Segundo (FILLOS, 2006), a Geometria está em todos os

lugares, principalmente nos campos e nas quadras de futebol. Já Morelli citado por Corrêa

(2001), fala sobre a Geometria da bola e seu formato, formada por um icosaedro truncado. Silva

(2004), fala sobre a Geometria aplicada no campo de futebol e algumas curiosidades

interessantes, como área do campo de jogo, área do círculo central, as figuras geométricas

encontradas no campo, e ainda mostra vários esquemas de times de todo o mundo e as figuras

geométricas formadas por estes esquemas. Como se pode observar, os três autores falam dos

conceitos matemáticos aplicados ao futebol e algumas curiosidades, que muitas vezes não são

notados. Deste modo é possível tornar o ensino da Matemática, ou seja, da Geometria mais

atraente, mais útil, mais interessante e instigante ao aluno. Aprendendo Geometria e ao mesmo

tempo descobrindo os encantos de um esporte que é a paixão da maioria dos brasileiros.

Com isso, aproveitou-se a oportunidade para abordá-los de forma diferenciada, em um

contexto que provoca muito interesse nos alunos: o futebol, que é um esporte muito praticado

na escola e no cotidiano dos educandos.

Já repararam em como o campo de futebol é geométrico? Além do Retângulo de jogo,

temos o grande círculo às meias-luas, as pequenas e grandes áreas, os cantos, isto apenas nas

marcações. Como se não bastasse, os treinadores procuram orientar as equipes de acordo com

as formas geométricas. Neste sistema de jogo também há Losangos, triângulos e Quadrados.

Todas as táticas são baseadas em formas e feitos geométricos.

Um treinador não pode ser despreparado, tem que entender muito de Matemática e de

Geometria para conseguir vencer no mundo do futebol. É provável que Mourinho (que em

20

janeiro de 2011 foi eleito pela FIFA o melhor treinador do mundo) tinha excelentes notas de

Matemática. A maioria dos jogadores dos grandes clubes que são vistos na televisão têm

capacidades de realizarem cálculos matemáticos, mesmo sem perceberem.

Ao observarmos o campo de futebol podemos identificar nele várias figuras

geométricas, vários ângulos, segmentos de retas, pontos, circunferências, raio, diâmetro,

perímetro, áreas, arco, podemos trabalhar também com medidas e suas transformações, ou seja,

metros e centímetros.

Assim observar –se que a Geometria está presente no nosso dia-a-dia, como por

exemplo, nos campos de futebol, nas quadras de esporte, na arquitetura, na engenharia, no

artesanato, nas salas de aula e em outros ambientes, por isso podemos considerar que a

Geometria pode ser descrita como um corpo de conhecimento fundamental para a compreensão

do mundo e participação ativa do homem na sociedade.

2.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA PLANA

Existem quatro conceitos essenciais no estudo geral da Geometria Plana, são eles:

ponto, plano, reta e espaço. Estes quatro conceitos são considerados “primitivos”, pois não

possuem uma definição rigorosa, porém são de fácil compreensão, além de ser a base para o

estudo da Geometria Plana. Desse modo, esse capítulo se propõe especialmente a conhecer tais

conceitos e em seguida, caracterizar teoricamente os quadriláteros, a circunferência, o círculo,

a corda e por fim o arco, pois serão elementos necessários para alcançarmos o objetivo de nossa

análise das linhas que demarcam um campo de futebol.

Conforme Dolce (2005), a Geometria é construída a partir de três ideais: a de ponto, de

reta e de plano, ou seja, os conceitos primitivos, pois são adotadas sem definição, e neste caso,

os matemáticos aceitam tais conceitos sem tentar defini-las.

Figura 02: Representação de ponto.

Fonte: http://www.pedagogia.com.br/artigos/Geometriafutebol/index.php?pagina=2 Acesso em: 22 mai. 2015.

Observe que o ponto é representado por uma letra maiúscula latina: A, B, C, ...

21

Para termos a ideia de reta podemos imaginar um fio, sem começo nem fim, bem

esticado. Uma reta é um conjunto de pontos infinitos, e é sempre representada por uma letra

minúscula latina: a, b, c...

Figura 03: Representação de reta.


Quando existe um ponto de origem, pertencente à reta, ou seja, sabe-se onde começa a

reta, mas não sabemos o fim, chamamos de semirreta.

Figura 04: Representação de semirreta.


Agora, se considerarmos apenas um pedaço dessa reta, com origem e fim, teremos a

ideia de segmento, ou seja, segmento de reta AB.

Figura 05: Representação de segmento de reta.


Um outro conceito primitivo é o plano, o tampo de uma mesa é um plano, o chão da

sala, imaginando que sempre prolonga, não tem fim. Para traçar um plano são necessários pelo

menos três pontos não alinhados. Podemos concluir também que dado um plano, nele existem

infinitos pontos e infinitas retas pertencentes a este plano.

22

Figura 06: Representação de plano.


Após a explicitação dos conceitos primitivos de Geometria Plana, passamos então

para alguns conceitos não primitivos, são eles: Paralelismo, Perpendicularísmo.

2.2 PARALELISMO

Na intenção de desenvolver uma base sólida para entendimento dos quadriláteros, das

circunferências e dos Círculos, optamos em realizar uma breve abordagem a respeito do

paralelismo e da perpendicularidade.

Para iniciar destacamos que, por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta

dada. Na figura abaixo, dada a reta r, temos: P Є s, s // r, s é única.

Figura 07: Reta paralela (Fonte: Iezzi, 2002 p.31)

Esse postulado, conhecido também como postulado de Euclides (300 a.C.), é a

propriedade que caracteriza a Geometria Euclidiana. Por outro lado, podemos destacar que duas

retas distintas são paralelas quando são coplanares e não têm ponto comum, ou seja, são duas

retas pertencentes ao mesmo plano e que nenhum ponto pertencente a uma delas, também seja

pertencente à outra.

Algumas propriedades do paralelismo:

Primeira: Quando dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles é

paralela ao outro. Se os planos são paralelos, existem infinitos pares de pontos que realizam a

menor distância: para cada ponto do plano existe um ponto do plano que está à distância

mínima. De fato, o ponto que se situa a menor distância, é exatamente aquele que se encontra

na interseção da reta que passa, porque é perpendicular aos planos e o plano. Portanto, a

distância dos dois planos é o comprimento do segmento de reta entre estes dois pontos.

23

Figura 08: dois planos distintos são paralelos.

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/paralelismo-1.htm (acesso em: 18 mai.2015).

Segunda: Se uma reta não tem ponto comum com um plano, ela é paralela a esse plano.

Quando uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a pelo menos uma reta desse plano.

Figura 09: paralela a um plano. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/paralelismo-1.htm Acesso em: 18 mai.2015.

Terceira: Quando uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do plano,

ela é paralela ao plano.

Figura 10: contida num plano.

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/paralelismo-1.htm Acesso em: 18 mai.2015.

Quarta: Se um plano intersecta dois planos paralelos, as intersecções são

duas retas paralelas.

Figura 11: as intersecções são duas retas paralelas. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/paralelismo-1.htm (acesso em: 18 mai.2015).

24

Quinta: Quando um plano contém duas retas concorrentes, paralelas a outro plano,

então os planos considerados são paralelos.

Figura 12: duas retas concorrentes.

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/paralelismo-1.htm Acesso em: 18 mai.2015.

2.3 PERPENDICULARIDADE

Conforme Dolce (2005), duas retas r e s são perpendiculares se, e somente se, são

concorrentes e formam ângulos “retos”.

Figura 13: são concorrentes. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/perpendicularidade.htm Acesso em: 18 mai.2015.

Indicamos se são paralelas da seguinte forma: 𝑠 ⊥ 𝑟

2.3.1 Retas e planos perpendiculares

Uma reta concorrente com um plano, num determinado ponto, é perpendicular ao

plano quando é perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto determinado.

Figura 14: determinado ponto. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/perpendicularidade.htm (acesso em: 18 mai.2015).

25

Indicaremos que r é perpendicular a α por r ┴ α ou por α ┴ r. Se uma reta a é perpendicular

a duas retas, b e c, concorrentes de um plano α, então ela é perpendicular ao plano.

2.3.2 Planos perpendiculares

Por definição, temos que dois planos são perpendiculares quando um deles contém uma

reta perpendicular ao outro. Indicamos que um plano α é perpendicular a um plano β pelo

símbolo α ┴ β ou β ┴ α.

Figura 15: plano α, plano β. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/perpendicularidade.htm Acesso em: 18 mai.2015.

Quando dois planos secantes não são perpendiculares, eles são ditos oblíquos.

Observe a figura:

Figura 16: dois planos secantes. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/perpendicularidade.htm Acesso em: 18 mai.2015.

Se dois planos, α e β, são perpendiculares e uma reta r de um deles α é perpendicular à

intersecção i dos planos, então ela é perpendicular ao outro plano β.

Figura 17: intersecção. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/perpendicularidade.htm Acesso em: 18 mai.2015.

26

2.4 QUADRILÁTEROS

Após explanação dos conceitos primitivos, de ponto, de reta, de plano, e das

propriedades de paralelismo e perpendicularismo, podemos nos estender aos conceitos de figura

geométrica. A figura geométrica é composta por pontos, e esse é um dos entes fundamentais da

Geometria. Uma figura geométrica é plana se todos os seus pontos pertencerem a um mesmo

plano.

As figuras geométricas que iremos explorar nesta pesquisa são os quadriláteros, a

circunferência e o círculo, pois são elas que se encontram presentes nas linhas que demarcam o

campo de futebol.

Iezzi (1985, p. 92) define quadrilátero como: “Sejam A, B, C e D quatro pontos de um

mesmo plano, todos distintos e três a três deles não colineares. Se o segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e

𝐷𝐴̅̅ ̅̅ interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um

quadrilátero.”

Os quadriláteros são polígonos simples de quatro lados, os polígonos são denominados

matematicamente como superfícies planas, limitadas por uma linha poligonal fechada. A linha

poligonal é uma linha que é formada apenas por segmentos de reta. Alguns quadriláteros que

possuem propriedades particulares são chamados quadriláteros notáveis. Os quadriláteros

notáveis são os Trapézios, os Paralelogramos, os Retângulos, os Losangos e os Quadrados.

2.4.1 Trapézio

Nas palavras de Dolce (2005, p. 100) “um quadrilátero plano convexo1 é um Trapézio

se, e somente se possui dois lados paralelos.”

O Trapézio pode ser classificado em:

a) Trapézio Isóscele: os lados opostos paralelos são de comprimentos diferentes, os lados

opostos não paralelos são congruentes, e apresenta um eixo de simetria.

1 Os quadriláteros podem ser classificados em convexos ou côncavos. Um quadrilátero é classificado como convexo, quando a região plana limitada por seus lados é convexa.

27

Figura 18: Trapézio isóscele.


b) Trapézio Escaleno: se os outros dois lados não forem congruentes.

Figura 19: Trapézio escaleno.


b) Trapézio Retângulo ou Bi-Retângulo: quando tem dois ângulos retos.

Figura 20: Trapézio Retângulo.


2.4.2 Paralelogramo

Um quadrilátero plano convexo é denominado Paralelogramo se, e somente se possui

os lados opostos paralelos (DOLCE, 2005).

Figura 21: Paralelogramo.


28

2.4.3 Retângulo

Denominamos de Retângulo o quadrilátero convexo se, e somente se, possui os quatro

ângulos congruentes. (DOLCE, 2005)

Figura 22: Retângulo.


2.4.4 Losango

Dolce (2005, p. 101) define Losango da seguinte forma: “Um quadrilátero convexo é

um Losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes”.

Figura 23: Losango.


2.4.5 Quadrado

Por definição, temos que um quadrilátero plano convexo é denominado Quadrado se, e

somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes (DOLCE,

2005).

Figura 24: Quadrado.


29

Ao trabalharmos com os quadriláteros convexos, mais precisamente com seus ângulos,

podemos observar que a soma dos ângulos internos é igual a 360º, assim como a soma dos

ângulos externos.

2.5 CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA

Os estudos relacionados à Geometria são responsáveis pela análise das formas

encontradas na natureza. Tais estudos formulam expressões matemáticas capazes de calcular o

perímetro, a área, o volume e outras partes dos objetos. Duas figuras importantes são o círculo

e a circunferência. Mas qual a diferença entre as duas formas?

De acordo com a Geometria Euclidiana, circunferência é o espaço geométrico de uma

região circular que compreende todos os pontos de um plano, localizados a uma determinada

distância diferente de zero, denominada raio, de um ponto chamado centro. Podemos definir o

círculo como a reunião da circunferência com o seu interior. A circunferência limita o círculo,

observe a ilustração a seguir: (DOLCE, 2005).

Figura 25: A circunferência limita o círculo. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/circulo-ou-circunferencia.htm Acesso em: 22 mai. 2015.

A circunferência e o círculo possuem um elemento denominado diâmetro, que constitui

um segmento que passa pelo centro da figura. Outro segmento importante pertencente às duas

figuras é o raio, que corresponde à metade do diâmetro. Observe a figura:

30

Figura 26: diâmetro e raio. Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/circulo-ou-circunferencia.htm Acesso em: 22 mai. 2015.

Podemos dizer em palavras mais simples que, o círculo é o interior da circunferência,

enquanto que a circunferência é o contorno do círculo, seria algo como conteúdo e embalagem,

o círculo é o conteúdo embalado na circunferência.

2.6 CORDA

Dada uma circunferência de centro O e os pontos A, B, C e D pertencentes a ela, temos

os seguintes elementos: 𝐴𝐵 e CD. Os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ têm suas extremidades nessa

circunferência. Dizemos que os segmentos determinados por dois pontos quaisquer da

circunferência são cordas da circunferência.

Figura 27: corda e segmentos.

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/elementos-circunferencia.htm Acesso em: 22 mai. 2015.

Desse modo, podemos dizer que a corda é a medida da distância entre as extremidades

da circunferência.

2.7 ARCO

Considere agora está circunferência:

Figura 28: Arco.

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/elementos-circunferencia.htm Acesso em: 22 mai. 2015.

Observe que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma das

partes são chamadas de arco de circunferência.

31

3 PROCEDIMENTOS DA PESQUISA

Como o objetivo geral trata especificamente de analisar os conceitos da Geometria Plana

presentes nas linhas que demarcam o campo de futebol. E para alcançá-lo, realizamos

primeiramente uma pesquisa bibliográfica em livros, que nos deu base para caracterizar as

seguintes figuras planas: Quadriláteros, Circunferências, Circunferência, Círculo, Corda e

Arco. Tal pesquisa teve como fontes, livros, periódicos, artigos científicos encontrados na

biblioteca da Universidade Federal de Rondônia, biblioteca Pública Municipal da cidade de Ji-

Paraná/RO, em acervo particular e também em sites.

Como qualquer outra modalidade de pesquisa, a bibliográfica, desenvolve-se ao longo

de uma série de etapas. Tudo começa na escolha do tema, de posse do tema escolhido, começa

então o levantamento bibliográfico preliminar, que facilita na formulação do problema. Esse

levantamento bibliográfico preliminar pode ser entendido como um estudo exploratório, que

tem a finalidade de proporcionar a familiaridade do aluno com a área de estudo a qual está

interessado, bem como sua delimitação. Essa familiaridade foi essencial para que o problema

fosse formulado de maneira clara e precisa (GIL, 2008).

Para dar continuidade ao trabalho que também tem por objetivo específico desenvolver

um estudo da criação do campo de futebol realizamos um segundo momento que classificamos

como estudo teórico em sites, periódicos e artigos científicos. Para analisar aspectos referentes

ao futebol mais especificamente a história e as regras, começamos então, a leitura do material

para a obtenção de respostas para nosso problema, na identificação das informações e para

analisar a consistência das informações e dados apresentados pelos autores.

Após ter feito a pesquisa e estudo sobre as características de algumas figuras planas e a

criação do campo de futebol, finalizamos com nossa análise abordando quais figuras e formas

geométricas existem no campo de futebol.

32

4 IDENTIFICAÇÃO E ANÁLISE DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS

PRESENTES NAS LINHAS QUE DEMARCAM O CAMPO DE

FUTEBOL

Como nosso referencial teórico nos fornece uma base matemática para trabalharmos

Geometria Plana a partir das linhas que demarcam um campo de futebol, iniciamos nossa

análise construindo a figura do campo utilizando elementos geométricos. O primeiro deles o

ponto (representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino), o segundo os segmentos de

reta, terceiro a circunferência e por último o arco, não necessariamente nesta ordem.

Figura 29: O campo e suas medidas oficiais

Fonte: http://wallpaper.pickywallpapers.com/1680x1050/schematic-green-soccer-field.jpg Acesso em: 01 jun. 2015.

4.1 PONTO E SEGMENTOS DE RETA NAS LINHAS QUE DEMARCAM O CAMPO DE FUTEBOL

Observa-se que na figura 29 é possível destacar 25 pontos que denotamos pelas letras

de A a Z, desses pontos apenas 2 não são pertencentes a um segmento de reta, são eles X e W.

Se considerarmos que conforme a Geometria euclidiana um ponto é um conceito primitivo, e

ainda, um segmento de reta é definido por infinitos pontos colineares contendo um ponto inicial

33

assim como um ponto final, destaca-se na respectiva figura uma gama de segmentos com tais

propriedades como pode ser visto a seguir.

Com referência aos segmentos pertencentes as linhas que demarcam o campo de futebol,

juntamente com suas medidas oficiais destacamos os seguintes elementos: quanto aos

segmentos AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅ ̅̅ , JI̅, IH̅̅̅ podemos observar que eles formam a lateral do campo. Considerando

que as medidas oficiais de um campo podem variar em sua lateral, indo de 90 a 120 metros,

neste trabalho utilizaremos como referência para os cálculos sempre o número maior.

Logo, AB ̅̅ ̅̅̅ = BC̅̅̅̅ = JI̅ = IH̅̅̅ = 60 metros. Já os segmentos JA ̅̅̅̅ = JK̅ + KL̅̅̅̅ + LM̅̅ ̅̅ +

MN̅̅ ̅̅̅ + NA̅̅ ̅̅ e HC̅̅ ̅̅ = HG̅̅ ̅̅ + GF̅̅̅̅ + FE ̅̅ ̅̅ + ED̅̅̅̅̅ + DC̅̅ ̅̅ formam as linhas de fundo ambos com

medidas JA = HC = 90 metros. Observe que os segmentos supracitados, são todos referentes as

linhas limitadoras do campo. No entanto, temos os segmentos internos, são eles:UO̅̅ ̅̅ = VP̅̅̅̅ =

40,3 metros = KN̅̅ ̅̅ = GD̅̅ ̅̅ (KN̅̅ ̅̅ e GD̅̅ ̅̅ não internos). Os segmentos SQ̅̅̅̅ = TR̅̅ ̅̅ =

18,3 metros = LM ̅̅ ̅̅ ̅ = FE̅̅̅̅ ( LM̅̅ ̅̅ ̅ e FE̅̅̅̅ não internos). Temos ainda como segmentos

internos, NO̅̅ ̅̅ ̅ = KU̅̅ ̅̅ = PD ̅̅ ̅̅̅ = VG̅̅̅̅ = 16,5 metros, MQ ̅̅ ̅̅ ̅ = LS̅̅ ̅ = RE̅̅̅̅ = TF̅̅̅̅ =

5,5 metros e BI̅ = 90 metros.

Sendo assim é possível perceber que as linhas que demarcam o campo, podem ser

divididas em 51 segmentos distintos, são

eles: AB̅̅ ̅̅ , AC̅̅̅̅ , BC̅̅̅̅ , NO̅̅ ̅̅ , PE̅̅̅̅ , MQ̅̅̅̅̅, RE̅̅̅̅ , LS̅̅ ̅, TF̅̅̅̅ , KO̅̅ ̅̅ , VG̅̅ ̅̅ , JI̅, JH̅̅̅, IH̅̅ ̅̅ , CD̅̅ ̅̅ ,

CE̅̅̅̅ , CF̅̅̅̅ , CG̅̅̅̅ , CH̅̅ ̅̅ , DE̅̅ ̅̅ , DF̅̅̅̅ , DG̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐻̅̅ ̅̅ , ES̅̅ ̅, EG̅̅̅̅ , EH̅̅ ̅̅ , FG̅̅̅̅ , FH̅̅ ̅̅ , GH̅̅ ̅̅ , RT̅̅ ̅̅ , PV̅̅̅̅ , BZ̅̅̅̅ , BI̅, ZI̅̅ ̅, OU̅̅ ̅̅ , QS̅̅̅̅ , NA̅̅ ̅̅ , AM̅̅̅̅̅, AL̅̅̅̅ ,

AK̅̅ ̅̅ , AJ̅, NM̅̅ ̅̅̅, NL̅̅ ̅̅ , NK̅̅ ̅̅ , NJ̅̅ ̅, ML̅̅ ̅̅ , MK̅̅̅̅̅, MJ̅̅̅̅ , LK̅̅ ̅̅ , LJ̅̅ ̅, KJ̅. Apesar de termos 51 segmentos, pode-se

observar que em questão de medidas aparem somente 14 medidas distintas.

Figura 30: Exemplo de Segmentos de reta nas linhas que demarcam o campo de futebol Fonte: http://wallpaper.pickywallpapers.com/1680x1050/schematic-green-soccer-field.jpg Acesso em: 01 jun.

2015. Grifo nosso.

34

4.2 PARALELISMO NAS LINHAS QUE DEMARCAM O CAMPO DE FUTEBOL

Após análise das linhas que demarcam o campo, vista na perspectiva geométrica dos

segmentos de retas, passamos então para perspectiva do paralelismo, ainda com base nos

segmentos. Como explicitado anteriormente, duas retas distintas são paralelas quando são

coincidentes ou coplanares e não têm nenhum ponto em comum. Reescrevendo tal definição a

partir de segmentos de reta, imediatamente temos que dois segmentos de reta distintos são

paralelos quando são coincidentes ou coplanares e não têm nenhum ponto em comum mesmo

que seja realizada sua projeção linearmente para ambas as extremidades. Logo, podemos

observar na figura do campo que uma das condições já é satisfeita, ou seja, todos os segmentos

são pertencentes ao mesmo plano, logo são coplanares. Basta então, relacionar quais deles são

coincidentes ou não possuem nenhum ponto em comum.

Dessa forma temos: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ // JI̅, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ // IH̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ // JH̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ // JI̅, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ // IH̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ // JH̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ // JI̅,

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ // IH̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ // JH̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ // NO̅̅ ̅̅ ̅, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ // PD̅̅̅̅̅, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ // KU̅̅ ̅̅ ̅, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ // VG̅̅̅̅̅, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ // NO̅̅ ̅̅ ̅, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ // PD̅̅̅̅̅,

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ // KU̅̅ ̅̅ ̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ // VG̅̅̅̅̅, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ // NO̅̅ ̅̅ ̅, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ // PD̅̅̅̅̅, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ // KU̅̅ ̅̅ ̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ // VG̅̅̅̅̅, 𝑁𝑂̅̅ ̅̅ // MQ̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝑂̅̅ ̅̅ // LS̅̅ ̅̅ ,

𝑁𝑂̅̅ ̅̅ // KV̅̅̅̅̅, 𝑁𝑂̅̅ ̅̅ // VG̅̅̅̅̅, 𝑁𝑂̅̅ ̅̅ // TF̅̅ ̅̅ , 𝑁𝑂̅̅ ̅̅ // RE̅̅ ̅̅ , 𝑁𝑂̅̅ ̅̅ // JI̅, 𝑁𝑂̅̅ ̅̅ // IH̅̅ ̅̅ , 𝑁𝑂̅̅ ̅̅ // JH̅̅ ̅̅ , 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ // MQ̅̅ ̅̅ ̅,

𝑃𝐷̅̅ ̅̅ // LS̅̅ ̅̅ , 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ // KV̅̅̅̅̅, 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ // VG̅̅̅̅̅, 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ // TF̅̅ ̅̅ , 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ // RE̅̅ ̅̅ , 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ // JI̅, 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ // IH̅̅ ̅̅ , 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ // JH̅̅ ̅̅ ,

𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ // LS̅̅ ̅̅ , 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ // KV̅̅̅̅̅, 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ // VG̅̅̅̅̅, 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ // TF̅̅ ̅̅ , 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ // JI̅, 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ // IH̅̅ ̅̅ , 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ // JH̅̅ ̅̅ ,𝑅𝐸̅̅ ̅̅ // LS̅̅ ̅̅ ,

𝑅𝐸̅̅ ̅̅ // KV̅̅̅̅̅, 𝑅𝐸̅̅ ̅̅ // VG̅̅̅̅̅, 𝑅𝐸̅̅ ̅̅ // TF̅̅ ̅̅ , 𝑅𝐸̅̅ ̅̅ // JI̅, 𝑅𝐸̅̅ ̅̅ // IH̅̅ ̅̅ , 𝑅𝐸̅̅ ̅̅ // JH̅̅ ̅̅ , 𝐿𝑆̅̅ ̅ // KV̅̅̅̅̅, 𝐿𝑆̅̅ ̅ // VG̅̅̅̅̅, 𝐿𝑆̅̅ ̅ // JI̅,

𝐿𝑆̅̅ ̅ // IH̅̅ ̅̅ , 𝐿𝑆̅̅ ̅ // JH̅̅ ̅̅ , 𝑇𝐹̅̅̅̅ // KV̅̅̅̅̅, 𝑇𝐹̅̅̅̅ // VG̅̅̅̅̅, 𝑇𝐹̅̅̅̅ // JI̅, 𝑇𝐹̅̅̅̅ // IH̅̅ ̅̅ , 𝑇𝐹̅̅̅̅ // JH̅̅ ̅̅ , 𝐾𝑉̅̅ ̅̅ // JI̅, 𝐾𝑉̅̅ ̅̅ // IH̅̅ ̅̅ ,

𝐾𝑉̅̅ ̅̅ // JH̅̅ ̅̅ , 𝑉𝐺̅̅ ̅̅ // JI̅, 𝑉𝐺̅̅ ̅̅ // IH̅̅ ̅̅ , 𝑉𝐺̅̅ ̅̅ // JH̅̅ ̅̅ . Para facilitar o entendimento do leitor, os demais

segmentos paralelos serão escritos de forma diferente, observe:

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐶𝐸̅̅̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐶𝐹̅̅̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐶𝐺̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐶𝐻̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐷𝐸̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐷𝐹̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐷𝐺̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐷𝐻̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐸𝐹̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐸𝐺̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐸𝐻̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐹𝐺̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

35

𝐹𝐻̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐺𝐻̅̅ ̅̅ // RT,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

RT̅̅̅̅ //𝑃𝑉̅̅ ̅̅ , 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝑃𝑉̅̅ ̅̅ //𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝑍𝐼̅̅̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐵𝑍̅̅ ̅̅ //𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝐵𝐼̅̅ ̅//𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝑍𝐼̅̅ ̅//𝑂𝑈̅̅ ̅̅ , 𝑄𝑆̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝑂𝑈̅̅ ̅̅ //𝑄𝑆̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

𝑄𝑆̅̅̅̅ //𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

Não se pode deixar de lembrar da seguinte propriedade de paralelismo, se a // b então

b // a, logo, se temos que 𝑄𝑆̅̅̅̅ //𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅

então , 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝐾𝐽̅̅ ̅// 𝑄𝑆̅̅ ̅̅ , portanto isso

vale para todos o segmentos paralelos anteriormente mencionados. Logo, para evitar

redundância na explicitação dos segmentos paralelos procuramos não repetir a propriedade

caso já tenha sido mencionado, em outras palavras, no caso de colocarmos inicialmente que

𝑄𝑆̅̅̅̅ //𝐴𝑁̅̅ ̅̅ e posteriormente aparecer 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ // 𝑄𝑆̅̅ ̅̅ o último não aparecerá, uma vez que já foi

mencionado anteriormente.

Figura 31: Exemplo de Segmentos de reta paralelos nas linhas que demarcam o campo de futebol.

Fonte: http://wallpaper.pickywallpapers.com/1680x1050/schematic-green-soccer-field.jpg Acesso em: 01 jun. 2015. Grifo nosso.

4.3 PERPENDICULARIDADE NAS LINHAS QUE DEMARCAM O CAMPO DE FUTEBOL

No que tange a perpendicularidade, em sua definição temos: duas retas são

perpendiculares se, e somente, se são concorrentes e formam ângulo reto, assim, analisando tal

definição podemos dizer que dois segmentos de reta são considerados perpendiculares se, e

36

somente se, estão contidos em retas perpendiculares, tendo um ponto em comum e formando

ângulo reto (DOLCE, 2005). A partir dessa definição podemos observar e elencar os seguintes

segmentos de reta perpendiculares contidos nas linhas que demarcam um campo de futebol.

São eles:

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐺,̅̅ ̅̅̅ 𝐶𝐻̅̅ ̅̅

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅

𝑁𝑂̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ , 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿,̅̅ ̅̅̅ 𝑁𝐾,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑂𝑈̅̅ ̅̅

𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅ ⊥ 𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅, 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝐿,̅̅ ̅̅̅ 𝑁𝐾,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑀𝐾,̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑀𝐽,̅̅ ̅̅̅ 𝑄𝑆̅̅ ̅̅

𝐿𝑆̅̅ ̅ ⊥ 𝐴𝐿̅̅̅̅ , 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝐿,̅̅ ̅̅̅ 𝑁𝐾,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐿,̅̅ ̅̅ ̅ , 𝑀𝐾,̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑀𝐽,̅̅ ̅̅̅ 𝐿𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐿�̅�, 𝑄𝑆̅̅ ̅̅

𝐾𝑈̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐴𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐽̅̅ ̅, 𝑁𝐾̅̅̅̅̅, 𝑁𝐽̅̅̅̅ , 𝑀𝐾̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀𝐽̅̅ ̅̅ , 𝐿𝐾,̅̅ ̅̅̅ 𝐿𝐽,̅̅̅̅ 𝐾𝐽̅̅ ̅, 𝑂𝑈̅̅ ̅̅

𝐽�̅� ⊥ 𝐽𝐾̅̅ ̅, 𝐽�̅�, 𝐽𝑀̅̅ ̅̅ , 𝐽𝑁̅̅̅̅ , 𝐽𝐴̅̅ ̅, 𝐼𝑍̅̅̅, 𝐼𝐵̅̅ ̅

𝐽𝐻̅̅̅̅ ⊥ 𝐽𝐾̅̅ ̅, 𝐽�̅�, 𝐽𝑀̅̅ ̅̅ , 𝐽𝑁̅̅̅̅ , 𝐽𝐴̅̅ ̅, 𝐼𝑍̅̅̅, 𝐼𝐵̅̅ ̅, 𝐻𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐹,̅̅ ̅̅ ̅ 𝐻𝐺 ̅̅ ̅̅ ̅

𝑃𝐷̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐹,̅̅ ̅̅ ̅ 𝐷𝐺,̅̅ ̅̅ ̅ 𝐷𝐻̅̅ ̅̅ , 𝑃𝑉̅̅ ̅̅

𝑅𝐸̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐹,̅̅ ̅̅ ̅ 𝐷𝐺,̅̅ ̅̅ ̅ 𝐷𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹,̅̅ ̅̅̅ 𝐸𝐺̅̅ ̅̅ 𝐸𝐻,̅̅ ̅̅ ̅ 𝑅𝑇̅̅ ̅̅

𝑇𝐹̅̅̅̅ ⊥ 𝐶𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐹,̅̅ ̅̅ ̅ 𝐷𝐺,̅̅ ̅̅ ̅ 𝐷𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐻,̅̅ ̅̅ ̅ 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐻̅̅ ̅̅ , 𝑅𝑇̅̅ ̅̅

𝑉𝐺̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐺,̅̅ ̅̅̅ 𝐹𝐻,̅̅ ̅̅ ̅ 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ , 𝑉𝑃̅̅ ̅̅

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝐵𝑍̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐺,̅̅ ̅̅̅ 𝐶𝐻̅̅ ̅̅

𝐼𝐻̅̅̅̅ ⊥ 𝐼𝑍̅̅̅, 𝐼𝐵̅̅ ̅, 𝐻𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐷,̅̅ ̅̅ ̅ 𝐻𝐶̅̅ ̅̅

Figura 32: Exemplo de Segmentos de reta perpendiculares nas linhas que demarcam o campo de futebol.


Como por definição temos que, se 𝑎 ⊥ 𝑏 então, 𝑏 ⊥ 𝑎, dessa forma, destacamos a

utilização dessa propriedade para não sermos redundantes na escrita, sendo assim, se

37

inicialmente explicitamos que 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐵𝐼̅̅ ̅ posteriormente se encontrarmos 𝐵𝐼̅̅ ̅ ⊥ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ não

escrevemos novamente.

4.4 QUADRILÁTEROS PRESENTES NAS LINHAS QUE DEMARCAM O CAMPO DE FUTEBOL

Por definição temos, A, B, C e D quatro pontos coplanares, todos distintos e três a três

deles não colineares. Se o segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ interceptam-se apenas nas

extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero e os quadriláteros são

classificados em, Losango, Trapézio, Paralelogramo, Retângulo e Quadrado como pode ser

visto no item 2.5 deste trabalho.

Analisando as linhas que demarcam o campo de futebol e confrontando com as

definições dos quadriláteros destacamos a existência de sete quadriláteros, que são formados

pelos seguintes segmentos:

Quadrilátero 01: 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐽̅̅̅̅ , 𝐽𝐴̅̅ ̅̅ ;

Quadrilátero 02: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐼̅̅ ̅, 𝐼�̅�, 𝐽𝐴̅̅ ̅;

Quadrilátero 03: 𝑁𝑂̅̅ ̅̅ , 𝑂𝑈̅̅ ̅̅ ̅, 𝑈𝐾̅̅ ̅̅ , 𝐾𝑁̅̅̅̅̅;

Quadrilátero 04: 𝑀𝑄̅̅ ̅̅ ̅, 𝑄𝑆̅̅ ̅̅ , 𝑆𝐿̅̅ ̅, 𝐿𝑀̅̅ ̅̅ ;

Quadrilátero 05: 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐻̅̅ ̅̅ ̅, 𝐻𝐼̅̅̅̅ , 𝐼𝐵̅̅ ̅̅ ;

Quadrilátero 06: 𝐷𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐺𝑉̅̅ ̅̅ , 𝑉𝑃̅̅ ̅̅ , 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ ;

Quadrilátero 07: 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐹𝑇̅̅ ̅̅ , 𝑇𝑅̅̅ ̅̅ , 𝑅𝐸̅̅ ̅̅ .

Observa-se então a ausência do Quadrado, pois não há nenhuma figura que possui os

quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes. Assim como não há nenhum

Losango, pois para que seja, deve ter os quatro lados congruentes.

Se observarmos a definição de Retângulo que diz que um quadrilátero plano convexo é

denominado Retângulo se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes podemos

destacar que nas linhas que demarcam o campo de futebol existem sete Retângulos, ou seja,

todos os quadriláteros formados pelas linhas são Retângulos.

38

Figura 33: Exemplo de quadriláteros nas linhas que demarcam o campo de futebol.


Se observarmos a definição de Paralelogramo que diz que um quadrilátero plano

convexo é denominado Paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos,

temos que todo Retângulo é um Paralelogramo, assim sendo, podemos indagar que todos os

quadriláteros que aparecem demarcados pelas linhas do campo, são Paralelogramos.

Ao observarmos a definição ao qual diz que um quadrilátero convexo é um Trapézio se

e somente se possui dois lados paralelos, podemos concluir, que os Retângulos podem ser

classificados como um tipo especial de Trapézio, sendo assim, temos que os sete quadriláteros

que aparecem demarcados pelas linhas do campo de futebol podem ser classificados como

Trapézios.

4.5 CIRCUNFERÊNCIA, CÍRCULO, ARCO E CORDA NAS LINHAS QUE DEMARCAM O CAMPO DE FUTEBOL

Conforme as definições de círculo e circunferência, abordados no item 2.5 deste

trabalho, na figura do campo de futebol é possível observar a presença do círculo e da

circunferência na área central do campo, e como pode ser visto, essa circunferência tem centro

no ponto Z e raio 9,15 metros. Uma outra circunferência pode ser observada a partir da junção

dos arcos que aparecem com centro nos pontos A, C, H e J. Para o trabalho com círculo, que

por definição possui uma área, tem-se se também os mesmos pontos citados para a

circunferência.

39

Figura 34: Exemplo de círculo e circunferência s nas linhas que demarcam o campo de futebol. Fonte: http://wallpaper.pickywallpapers.com/1680x1050/schematic-green-soccer-field.jpg Acesso em: 01 jun.

2015. Grifo nosso.

Ao tratarmos de Arco e Corda, notamos a presença do arco, nos locais em que ocorrem

as cobranças de escanteio, assim, vemos a existência de ¼ de circunferência que corresponde

aos conceitos do arco elencados no item 2.7 e também na marcação fora da grande área. Como

mostra a figura a seguir.

Figura 35: Visualização de da projeção da circunferência com cento na marca do pênalti nas linhas que

demarcam o campo de futebol Fonte: http://wallpaper.pickywallpapers.com/1680x1050/schematic-green-soccer-field.jpg Acesso em: 01 jun.

2015. Grifo nosso.

Conforme a definição de corda exposta no item 2.6, fora da grande área existe a figura

de uma meia lua, e se dermos continuidade ao desenho teremos uma circunferência em que o

centro é o ponto marcado no local onde ocorre a cobrança dos pênaltis (ponto W e X), se

fizermos o contorno desse ponto baseando-se na medida do raio, teremos outros dois círculos e

circunferências presentes na figura do campo.

É importante ressaltar, que tal figura ao ser projetada forma uma circunferência com

centro na marca do pênalti, pois se não houvesse este critério, no momento da cobrança da

penalidade, por regra, exceto o goleiro, todos os outros jogadores devem estar a uma distância

40

mínima, no caso o raio, o jogador que estivesse na linha da grande área de forma perpendicular

a marca do pênalti estaria em vantagem, isso pode ser visto na figura abaixo.

Figura 36: Observação da vantagem se não houvesse o arco na grande área.


Nota-se então, que o jogador que estiver em A1 ou A3 estará em desvantagem para o

jogador em A2, ou melhor dizendo, qualquer lugar que esteja o jogador que não seja em A2

estará em desvantagem, caso na cobrança da penalidade a bola bata na trave ou o goleiro rebata.

41

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Diante do exposto neste trabalho, pode-se observar que o futebol vem sendo praticado

há milênios, no entanto, ainda há dúvidas de quem deu os primeiros passos no esporte. Porém

existem registros do mesmo, nas civilizações da China Antiga, no Japão Antigo, na Grécia e

Roma, e ainda na Itália Medieval, mas foi sua chegada à Inglaterra que impulsionou o

reconhecimento mundial.

Haja vista, a existência milenar de tal esporte, o futebol, que é praticado em um campo

delimitado por diversos segmentos de reta, elemento esse definido pela Geometria Plana, em

nossa análise, destacamos após uma infindável busca e estudo dessa parte da matemática, a

presença significativa de pontos, segmentos de reta, segmentos paralelos, segmentos

perpendiculares, quadriláteros, círculo, circunferência, arco e corda, ambos visíveis nas linhas

que demarcam um campo de futebol.

A presença desses fundamentos da Geometria nas linhas que demarcam o campo de

futebol, torna-se um elemento em que o professor de matemática possa utilizar para

exemplificar a existência, aplicação e a importância desses conceitos geométricos, uma vez que,

estão presentes em um dos ícones esportivos do Brasil, por que não dizer nas linhas que

demarcam o campo de futebol, que é esporte mais praticado entre os brasileiros e conhecido

mundialmente. Em outras palavras, esporte que certamente encontra-se presente da vida do

educando.

Por se tratar de um trabalho de conclusão de curso desenvolvido apenas em dois

semestres em que gostaríamos de aprofundar cada vez mais nesta temática e por falta de tempo

não foi possível tal ação, deixo ao caro leitor dois pontos que dariam continuidade a nossa

pesquisa, o primeiro trata exclusivamente das táticas e jogadas presentes nesse esporte que

carrega em si diversos elementos geométricos para serem estudados; e o segundo, a construção

de um material didático físico composto por segmentos, pontos, circunferência, arco e corda

em formato de quebra-cabeça para que o aluno monte, e no final tenha o desenho de um campo

de futebol.

Em suma, em nossa pesquisa observamos que se trabalhado a Geometria Plana de forma

consciente e com material apropriado, tendo como base o campo de futebol, o professor

certamente proporcionará a seus alunos uma aula diferenciada e significativa.

42

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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a geometria plana presente nas linhas que demarcam um campo de