A Importância da Estatística na Pesquisa Científica e na Tomada …congresso.uepb.edu.br/pibic/download/Apresenta1.pdf · A ideia da utilização de um Modelo Estatístico na solução

A Importância da Estatística na Pesquisa Científicae na Tomada de Decisão

Ricardo Alves de Olinda

Universidade Estadual da Paraíba - UEPBCentro de Ciências e Tecnologia - CCT

Departamento de Estatí[email protected]

Novembro de 2015

Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de 2015 1 / 74

Investigação Científica“Por serem mais precisos do que as palavras, os números sãoparticularmente mais adequados para transmitir as conclusõescientíficas"(PAGANO e GAUVRE, 2004).

2+2=? (Você quer que dê quanto?)No entanto tal como se pode mentir com palavras, pode-se fazer omesmo com números.


Investigação Científica“Por serem mais precisos do que as palavras, os números sãoparticularmente mais adequados para transmitir as conclusõescientíficas"(PAGANO e GAUVRE, 2004).

2+2=? (Você quer que dê quanto?)No entanto tal como se pode mentir com palavras, pode-se fazer omesmo com números.


Pesquisa Científica × EstatísticaÉ atribuída ao primeiro ministro Britânico Benjamin Dissaeli aseguinte frase:“Existem 3 tipos de mentiras: mentiras, mentiras condenáveis eestatísticas"

É fácil mentir com a estatística, mas é mais fácil mentir sem ela.


Pesquisa Científica × EstatísticaÉ atribuída ao primeiro ministro Britânico Benjamin Dissaeli aseguinte frase:“Existem 3 tipos de mentiras: mentiras, mentiras condenáveis eestatísticas"

É fácil mentir com a estatística, mas é mais fácil mentir sem ela.


Atitude CríticaOs dados estatísticos podem ser manipulados para determinadosobjetivos, comerciais, sociais, políticos, e apresentados de formaa fazer crer na mensagem que se deseja promover.Com efeito, mesmo sendo corretos, os dados estatísticos podemser usados de uma forma sensacionalista ou confusa, dandoorigem a interpretações equivocadas.É necessário manter uma atitude vigilante e crítica face àsmensagens estatísticas com que, frequentemente, nosdeparamos


Pesquisa CientíficaA pesquisa científica tem por finalidade o descobrimento deprincípios gerais ou “leis naturais".

Esses princípios nada mais são do que hipóteses que formuladaspara explicar o fenômeno, são postas à prova por meio deexperimentos e podem ser aceitas como verdadeiras.

Novas hipóteses mais gerais são formuladas as quais devemexplicar os fatos velhos e os novos.

Em seguida, as hipóteses são postas à prova por meio de novosexperimentos, dessa forma, a pesquisa científica é circular.

O método científico consiste em aplicar normas racionais ao estudode um fenômeno e abrange várias fases:


Pesquisa Científica1 Um exame daquilo que já é conhecido acerca do fenômeno que

nos interessa;2 Formulação de uma hipótese que procura explicar

satisfatoriamente a natureza do mesmo;3 Delineamento experimental para pôr em prova a hipótese

formulada;4 Coleta de observações ou dos dados que representam o

resultado do experimento;5 A análise dos dados que nos levarão à aceitação ou rejeição da

hipótese.

A Estatística pode ser de grande utilidade para o pesquisador nas 3últimas fases do processo, se bem que é na fase de formulação dashipóteses do trabalho que o estatístico pode influir de maneirasatisfatória.


O que a Estatística Proporciona ao Método Científico?

Esquemas eficientes para a tomada das observações, tópicoconhecido como delineamento de experimentos ou esquemas deamostragem;

Técnicas para a eliminação ou redução das fontes de erro natomada das observações propriamente ditas;

Métodos para a comparação dos resultados obtidos com osesperados pela teoria, com o uso dos testes de hipóteses.

A ideia da utilização de um Modelo Estatístico na solução de umproblema científico é comum nos diferentes setores da ciência.



“Todos os experimentos são planejados. A diferença é que alguns sãomal planejados e outros são bem planejados"(MONTGOMERY, 2001).Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de 2015 9 / 74

Seus conceitos podem ser aplicados aos diversos campos queincluem

1 Agricultura: Comparar vários tipos de fertilizantes e tipos de solopara a plantação de laranja;

2 Indústria: Reduzir variabilidade, tempo e custo na produção deum componente eletrônico;

3 Biologia: Comparar a resistência de diferentes tipos bactérias àtemperaturas extremas;

4 Saúde: Estabelecer a dosagem ótima de um antibiótico notratamento de uma infecção;

5 Economia: Comparar o desempenho de carteiras deinvestimento;

6 Física: Estudar o impacto de fontes radioativas em certosambientes;

7 Psicologia: Estudar se métodos de ensino diferentes produzembenefícios aos alunos.


PROBLEMAS OBSERVADOSAlta incidência de erros em delineamentos experimentais eanálise estatística nos periódicos “Anesthesia and Analgesia" e“Anesthesiology"(AVRAM et al., 1985).

Os erros mais frequentes envolvem o emprego de testes dehipóteses elementares:

I Testes para observações independentes e pareadas;I Testes para comparar 2 grupos e mais de dois grupos.

73,5% dos artigos tinham algum erro de estatística (CRUESS,1989).

Problemas mais comuns:

I Não definição do teste estatístico;I Observações pareadas tratadas como independentes.


Pesquisa Científica × Estatística








Causa dos erros

Segundo Colton (1975), na opinião de professores que ministramcursos de Bioestatística em relação aos estudantes, elesacreditam que:

I 4% acham “aborrecedor";I 31% não gostam;I 49% toleram.

Uma pesquisa comparando 18 Disciplinas para estudantes deMedicina na Grã Bretanha a Estatística ficou em último lugar noranking em interesse e a primeira em dificuldade.

Para Glantz (1980), a principal causa dos erros é:I Poucos pesquisadores e clínicos tiveram treinamento formal nas

disciplinas de Bioestatística.


Causa dos erros

Os trabalhos que necessitam de maior revisão estatística são osque utilizam métodos mais simples:

I Metodologias discutidas em livros básicos e cursos introdutórios deestatística.

Análises são normalmente realizadas pelo próprio pesquisado:I Algumas vezes sem conhecimento de conceitos básicos de

estatística.

Austin e Attanasio (1991), criticam a utilização de média, desviopadrão ou variância para variáveis ordinais.

Aritmeticamente correta mas totalmente inapropriada:I Para observações nominais e ordinais são mais apropriadas

tabelas de frequência absolutas e relativas, mediana ou moda.


Becker et al. (1995)51% dos artigos publicados em periódicos da área médicautilizam metodologia estatística INCORRETA;Mas essa porcentagem pode ser MAIOR, pois 16% dos artigosnão especificaram a metodologia e podem ter utilizado processosnão adequados.

Wang e Zhang (2008)Entre os que usaram estatística, a porcentagem que utilizoumétodos impróprios aumentou de 25% a 48% de 1995 para 2005Problemas mais comuns:

I Apresentação do p-valor sem especificar o teste usado;I Uso de múltiplos teste t no lugar de análise de variância;I Uso de teste t não pareado quando testes pareados deveriam ser

utilizados.


Segundo Moses e Louis (1984), os erros ocorrem porquenormalmente a conversa entre o pesquisador e o estatístico é muitasvezes feita por telefone começando pela frase:

“Eu tenho um simples problema de estatística e precisaria tomar umminuto de seu tempo"

Após o mesmo já ter coletado os dados ou mesmo após o trabalho terretornado para a correção da análise estatística.



Comparação de Duas Médias: Amostras IndependentesExemplo: Suplementação alimentar ajuda no emagrecimento?

Ind.(j) Suplemento(y1j ) Ind.(j) Placebo(y2j ) Ind.(j) Suplemento(y1j ) Ind.(j) Placebo(y2j )1-S 1,85 1-P -1,62 6-S 4,04 6-P -4,872-S 2,40 2-P -0,75 7-S 4,96 7-P -2,343-S -1,21 3-P 1,70 8-S 0,15 8-P 3,024-S 0,35 4-P 2,12 9-S -0,59 9-P -0,085-S 3,52 5-P 3,98 10-S 2,57 10-P -1,27


Comparar médias de 2 gruposQual técnica estatística podemos usar?

Teste t (amostras independentes)Suposições: yij ∼ N(µi , σ

2), i = 1,2; j = 1,2, · · · ,10Hipóteses: H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 6= µ2

Estatística do teste: t0 = y1·−y2·√2S2

pn

H0∼ t2(n−1)

em queyi· = 1

n∑n

j=1 yij e S2p =

(n−1)S21+(n−1)S2

22(n−1)

E se as variâncias forem diferentes?Estatística do teste sob H0: t0 = y1·−y2·√

S21

n1+

S22

n2

≈ tν , em que,

ν =

(s21

n1+

s22

n2

)2

1n1−1

(s21

n1

)2

+ 1n2−1

(s22

n2

)2




2), i = 1,2; j = 1,2, · · · ,10Hipóteses: H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 6= µ2


pn

H0∼ t2(n−1)

em queyi· = 1

n∑n

j=1 yij e S2p =

(n−1)S21+(n−1)S2

22(n−1)

E se as variâncias forem diferentes?

Estatística do teste sob H0: t0 = y1·−y2·√S2

1n1

+S2

2n2

≈ tν , em que,

ν =

(s21

n1+

s22

n2

)2

1n1−1

(s21

n1

)2

+ 1n2−1

(s22

n2

)2




2), i = 1,2; j = 1,2, · · · ,10Hipóteses: H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 6= µ2


pn

H0∼ t2(n−1)

em queyi· = 1

n∑n

j=1 yij e S2p =

(n−1)S21+(n−1)S2

22(n−1)

E se as variâncias forem diferentes?Estatística do teste sob H0: t0 = y1·−y2·√

S21

n1+

S22

n2

≈ tν , em que,

ν =

(s21

n1+

s22

n2

)2

1n1−1

(s21

n1

)2

+ 1n2−1

(s22

n2

)2


Teste t (amostras independentes)

As variâncias são iguais?


Teste para Igualdade das Variâncias

H0 : σ21 = σ2

2 versus H1 : σ21 6= σ2

2.

Por definição temos que: F =S2

1S2

2∼ F[n1−1,n2−1], sob H0, em que ni é o

tamanho da amostra do grupo i = 1,2, lembrando que (ni−1)S2i

σ2i

.

Valor observado f =s2

1s2

2

Checar suposições do teste t

1 Normalidade2 Independência das populações3 Observações são variáveis aleatórias independentes4 Variâncias iguais


Comparação de Duas Médias: Amostras PareadasExemplo: Suponha que queremos testar se existe diferença nodesempenho dos alunos entre a Prova 1 e Prova 2.

Aluno(j) Nota P1(y1j ) Nota P2(y2j ) Aluno(j) Nota P1(y1j ) Nota P2(y2j )1 7,5 6,3 6 9,2 7,72 3,2 4,5 7 7,9 8,53 5,4 6,2 8 3,5 1,24 1,5 2,7 9 4,7 7,25 6,0 6,9 10 6,2 6,5


Teste t (amostras pareadas)Diferença: dj = y1j − y2j , j = 1,2, . . . ,nHipóteses: H0 : µd = 0

H1 : µd 6= 0Estatística do Teste: t0 = d

Sd/√

nH0∼ tn−1, em que,

d = 1n∑n

j=1 dj e S2d = 1

n−1∑n

j=1(dj − d)2


Exemplos de motivaçãoUm engenheiro está interessado em investigar a resistência deuma nova fibra sintética usada na produção de camisas. Sabendoque a resistência é afetada pela quantidade de algodão usada nafibra, e que a quantidade desejada de algodão no produto finaldeve estar no intervalo de 10 a 40%, o engenheiro planeja umexperimento controlando as condições experimentais, com asseguintes quantidades de algodão: 15, 20, 25, 30 e 35%, e cincorepetições por tratamento.


Fator Simples

Experimento na Área Industrial:

Investigar a resistência àtensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos.Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão.Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35%Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas.Repetição:cinco repetiçõesUnidades Experimentais:25 unidades experimentais.Modelo Estatístico: yij = µ+ τi + εij

ObjetivosAvaliar o efeito da porcentagem de algodão na resistência da fibrasintética;Identificar a porcentagem ideal de algodão de forma a se obtermáxima resistência.


Fator Simples

Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência àtensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos.Fator (ou Tratamento):

Porcentagem de algodão.Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35%Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas.Repetição:cinco repetiçõesUnidades Experimentais:25 unidades experimentais.Modelo Estatístico: yij = µ+ τi + εij



Fator Simples

Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência àtensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos.Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão.Níveis do Fator:

15%, 20%, 25%, 30% e 35%Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas.Repetição:cinco repetiçõesUnidades Experimentais:25 unidades experimentais.Modelo Estatístico: yij = µ+ τi + εij



Fator Simples

Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência àtensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos.Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão.Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35%Variável Resposta:

Resistência à tensão das fibras sintéticas.Repetição:cinco repetiçõesUnidades Experimentais:25 unidades experimentais.Modelo Estatístico: yij = µ+ τi + εij



Fator Simples

Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência àtensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos.Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão.Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35%Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas.Repetição:

cinco repetiçõesUnidades Experimentais:25 unidades experimentais.Modelo Estatístico: yij = µ+ τi + εij



Fator Simples

Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência àtensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos.Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão.Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35%Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas.Repetição:cinco repetiçõesUnidades Experimentais:

25 unidades experimentais.Modelo Estatístico: yij = µ+ τi + εij



Fator Simples

Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência àtensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos.Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão.Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35%Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas.Repetição:cinco repetiçõesUnidades Experimentais:25 unidades experimentais.Modelo Estatístico:

yij = µ+ τi + εij



Fator Simples

Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência àtensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos.Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão.Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35%Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas.Repetição:cinco repetiçõesUnidades Experimentais:25 unidades experimentais.Modelo Estatístico: yij = µ+ τi + εij

Objetivos

Avaliar o efeito da porcentagem de algodão na resistência da fibrasintética;Identificar a porcentagem ideal de algodão de forma a se obtermáxima resistência.


Fator Simples

Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência àtensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos.Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão.Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35%Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas.Repetição:cinco repetiçõesUnidades Experimentais:25 unidades experimentais.Modelo Estatístico: yij = µ+ τi + εij



Tabela 1: Dados de resistência (em libras/pol2) para o experimento de fibrasintética.

Porcentagem Observaçãode Algodão (%) 1 2 3 4 5

15 7 7 15 11 920 12 17 12 18 1825 14 18 18 19 1930 19 25 22 19 2335 7 10 11 15 11

Fonte: Montgomery, D. C. John Wiley & Sons, 1998.

> y = c(7,7, . . . ,15,11); w = gl(5,5, labels = c(15,20,25,30,35))> tapply(y ,w , sum) #soma dos totais> tapply(y ,w ,mean) #média de cada nível> mean(tapply(y ,w ,mean)) #média geral


> boxplot(y w); plot(as.numeric(w), y); points(tapply(y ,w ,mean),> pch = 20, col = ”red”)

Queremos testar se há diferença entre as médias da resistênciados cinco níveis da porcentagem de algodão⇒ Análise deVariância.


A Análise de VariânciaQueremos testar se existe diferença entre as resistências médiapara todos os a=5 níveis do fator porcentagem de algodão.

E por que não aplicar o teste t para todos os pares de médias?

P(não rejeitar H0|H0 é verdadeira)=(1− 0,05)10 = 0,60P(Erro Tipo I) = 1− 0,60 = 0,40

O procedimento apropriado para testar a igualdade de váriasmédias é conhecido como Análise de Variância


Análise de Variância (ANOVA)Use o modelo estatístico


para o tratamento i = 1, . . . ,a e repetição j = 1, . . . ,n.

Observação yij (i-ésimo tratamento e j-ésima repetição)

O parâmetro µ é comum a toda observação (Média geral)

O parâmetro τi refere-se ao i-ésimo tratamento (o efeito do i-ésimotratamento)

O termo εij refere-se ao componente do erro aleatório

Sob a suposição: εijiid∼ N(0, σ2).


Efeito dos Tratamentos τi

Fixo: Os “a" tratamentos são fixados(escolhidos) pelopesquisador. Testes e conclusões só serão aplicados aos níveisdo fator considerado (Modelo de Efeito Fixo).

Outros exemplos:Estudar o efeito da Classe Social (Alta, Média ou Baixa) no pesodas crianças. (Fator: Classe Social, três níveis qualitativos).Estudar o efeito de Dose do Adubo (0, 20, 40, 60 e 80 kg/ha) naprodução de uma determinada cultura. (Fator: Doses de adubo,cinco níveis quantitativos, crescentes e igualmente espaçados).


Aleatório: Os “a" tratamentos é uma amostra aleatória dapopulação dos possíveis níveis. Somos capazes de extender asconclusões para todos os tratamentos da população (Modelo deEfeitos Aleatórios).

Outros exemplos:Suponhamos que o Governo do Estado queira saber se a marcada vacina interfere no controle de uma determinada virose. Comoexistem no mercado várias marcas, o pesquisador casualiza tmarcas para o experimento. O experimento trará informaçõessobre a população de vacinas, não apenas para os t tratamentos.Este é um caso de fator de efeito aleatório.

Voltando ao exemplo do algodão...


Modelo de efeitos fixosOs efeitos do fator τi são usualmente definidos como os desviosem relação à média geral

µ =1a

a∑i=1

µi =1a

a∑i=1

(µ+ τi) = µ+1a

a∑i=1

τi ,

assim, temos uma restrição desses efeitos, a saber

a∑i=1

τi = 0.

Aqui, µi = E(yij) é a média de todas as observações yij do i-ésimotratamento.OBS: Temos k médias µi = µ+ τi : média populacional do Fator Ik + 1 parâmetros! Identificabilidade!


Decomposição da ANOVAEstamos interessados em testar a igualdade das médias dos atratamentos:

H0 = µ1 = µ2 = . . . = µa ⇔ H0 = τ1 = τ2 = . . . = τa

que é equivalente a testar a igualdade dos efeitos de todos ostratamentos.

A decomposição da soma de quadrados é validaSQtotal = SQtrat . + SQres.,

em que SQtrat . é a Soma de Quadrado devido aos Tratamentos, queestá relacionada apenas com os efeitos dos tratamentos τi . Sendoassim, temos

a∑i=1

n∑j=1

(yij − µ)2 =a∑

i=1

n∑j=1

(µi − µ)2 +a∑

i=1

n∑j=1

(yij − µi)2


µ é o estimador da média geral µ, onde assumimos que todos osyij pertencem a mesma população. Portanto, a estimativa é dadapor:

µ =1N

a∑i=1

n∑j=1

yij = y··,

em que N = an é o número total de observações.µi é o estimador da média do i-ésimo tratamento. Isto dá aestimativa

µi =1n

n∑j=1

yij = yi·

Em conjunto isto dá

a∑i=1

n∑j=1

(yij − y··)2 = na∑

i=1

(yi· − y··)2 +a∑

i=1

n∑j=1

(yij − yi·)2


Portanto, a variabilidade total dos dados pode ser particionadaem uma soma de quadrados das diferenças entre as médias dostratamentos e da média geral, além de uma soma de quadradosdas diferenças entre as observações e as médias dostratamentos.

Tabela 2: Tabela da Análise de Variância(ANOVA)

Fonte de Graus de Soma de Quadrados FVariação Liberdade Quadrados Médios Calculado

Entre Trat. a − 1 SQtrat. QMtrat. QMtrat./QMres.

Dentro de Trat. (Erro) N − a SQres. QMres.

Total N − 1 SQtotal


Construção do Teste FO valor esperado de cada Quadrado Médio:

E(QMres.) = E(

SQres.

N − a

)= σ2

E(QMtrat .) = E(

SQtrat .

a− 1

)= σ2 +

n∑a

i=1 τ2i

a− 1

QMres. é um estimador não viciado de σ2

Sob H0 : τ1 = τ2 = · · · = τa, QMtrat . também é um estimador nãoviciado de σ2.Então, um teste de hipótese para testar igualdade das médiaspode ser elaborado através da comparação de QMres. e QMtrat ..


Construção do Teste F

Assumimos que εijiid∼ N(0, σ2)

Isso implica que yijiid∼ N(µ+ τi ;σ

2)

Então, as quantidades SQtotal , SQtrat . e SQres. são somas dequadrados de variáveis aleatórias normais e pode-se mostrar que

SQtotal

σ2 ∼ χ2N−1

SQres.

σ2 ∼ χ2N−a

SQtrat .

σ2H0∼ χ2

a−1

SQres. e SQtrat . são independentes?


Construção do Teste FTeorema de Cochran

Seja Ziiid∼ N(0,1) para i = 1,2, . . . , ν e

ν∑i=1

Z 2i = Q1 + Q2 + . . .+ Qs,

em que, s ≤ ν e Qi tem νi graus de liberdade (i = 1,2, . . . , s). EntãoQ1,Q2, . . . ,Qs são variáveis aleatórias qui-quadrado independentescom graus de liberdade ν1, ν2, . . . , νs, respectivamente, se a somentese

ν = ν1 + ν2 + · · ·+ νs.


Construção do Teste FComo gltrat . + glres. = gltotal(a-1)+(N-a)=N-1pelo Teorema de Cochran temos que SQtrat ./σ

2 e SQres./σ2 são

variáveis aleatórias qui-quadrado independentes.Temos então a estatística teste

Fcalculado =SQtrat ./(a− 1)

SQres./(N − a)=

QMtrat .

QMres.∼ F[a−1,N−a]

Se H0 é falsa, o valor esperado de QMtrat . é maior que o valoresperado de QMres. e então, devemos rejeitar H0 para valoresgrandes de Fcalculado, isto é, rejeita-se H0 se

Fcalculado > F[a−1,N−a;α]


Teste F para análise de variância

Figura 1: Distribuição F.

Fcalculado < Ftab a 5%- o teste não é significativo no nível de 5% deprobabilidadeFcalculado ≥ Ftab a 5%- o teste é significativo no nível de 5% deprobabilidade.



Dados de fibra sintética: TesteH0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 versusH1: pelo menos um par de médias difere

Tabela 3: Tabela da Análise de Variância(ANOVA) para verificar o efeito daporcentagem de algodão na resistência da fibra sintética

Fonte de Graus de Soma de QuadradosVariação Liberdade Quadrados Médios F[4;20] p-valor

Porcentagem de Algodão 4 475,76 118,94 14,76 < 0, 001Erro(Dentro dos Trat.) 20 161,20 8,06

Total 24 639,96

Assim, rejeitamos H0 e concluímos que há diferença entre asporcentagens de algodão na resistência da fibra sintética.

> summary(aov(y ∼ w))


Além disso, QMres. é um estimador não viesado para σ2 e ointervalo de confiança (1− α) para a i-ésima média do tratamentoé dado por: [

yi· ± t[N−a;1−α/2] ×√

QMres./n]

Teste de Bartlett para igualdade de variâncias:H0 : σ2

1 = σ22 = · · ·σ2

a

K 2 é baseado nas variâncias amostrais seguindo aproximadamenteχ2

a−1.

=⇒ Concluindo que as variâncias são estatisticamente iguaisOBS: Este teste é sensível a suposição de normalidade!


Tabela 4: Exemplo: Valores de quatro diferentes métodos de estimação davazão máxima(metro cúbico por segundo) de uma bacia hidrográfica.

Método Vazão Máxima(m3/s) yi· Si

A 0,34 0,12 1,23 0,70 1,75 0,12 0,71 0,66B 0,91 2,94 2,14 2,36 2,86 4,55 2,63 1,09C 6,31 8,37 9,75 6,09 9,82 7,24 7,93 1,66D 17,15 11,82 10,95 17,20 14,35 16,82 14,72 2,77

> y = c(0.34, 0.12, · · · , 14.35, 16.82);m = gl(4, 6, labels = c(“A”, “B”, “C”, “D”))


> r = residuals(ajuste); f = fitted(ajuste); plot(f , r)> ls = log(tapply(y ,m, sd)); lm = log(tapply(y ,m,mean))> plot(lm, ls); abline(lm(ls ∼ lm)) #inclinação de 0.45


O teste de Bartlett rejeita a igualdade de variâncias. Assimanalisamos y∗ =

√y .


> r < −residuals(aov(ry ∼ m)); f < −fitted(aov(ry ∼ m)); plot(f , r)> library(MASS); boxcox(y ∼ m); abline(v = 0.55, col = “red”)


Teste de Kruskal-WallisSe a suposição de normalidade não se justifica, uma alternativanão paramétrica ao teste F da ANOVA deve ser utilizado paraverificar as diferenças das médias µi dos “a" tratamentos.

Com o teste de Kruskal-Wallis podemos testar H0 : µ0 = · · · = µa.Para os dados de tensão temos

Estamos novamente rejeitando a hipótese nula e concluímos que hádiferença significativa entre os tratamentos.

Esta é a mesma conclusão do teste F da ANOVA.



Interpretação Prática dos ResultadosAté agora, assumimos que os fatores (tratamentos) envolvidos noexperimento é quantitativo ou qualitativo. Com um fatorquantitativo geralmente o pesquisador está interessado numestudo de análise de regressão.Exemplo Para a resistência à tensão y de novas fibras sintéticasassumimos os modelos de regressão linear e cúbica naporcentagem de algodão x . Uma análise previa mostra que aresistência máxima à tensão ocorre quando x ≈ 30% (processode otimização).


> p2 < −predict(m2, data.frame(x = seq(15, 35)))> p3 < −predict(m3, data.frame(x = seq(15, 35)))> plot(x , y); points(seq(15, 35, 5), tapply(y ,w ,mean), pch = 20, col = “red”)> lines(15 : 35, p2); lines(15 : 35, p3)

Exercício: Como escolher o melhor modelo??



Comparações MúltiplasNa Análise de Variância, realizamos o teste F para verificar aigualdade de todas as médias dos tratamentos.Suponha que H0 é rejeitada, ou seja, existe diferença entre asmédias. Mas a partir desse teste não sabemos dizer exatamentequais médias diferem.Para isso, utilizamos os chamados Métodos de ComparaçõesMúltiplasEstes fazem comparações entre pares de médias de tratamentosou combinações lineares das médias.Suponha que queremos testar todas as possíveis combinaçõesde pares de médias:

H0 : µi = µj

H1 : µi 6= µj , para todo i 6= j

E por que não devemos usar testes t individuais de nível parafazer tais comparações?


Comparações MúltiplasExistem procedimentos para fazer tais comparações controlandoo nível de significância geral.

Teste de TukeyTukey (1953) propôs um procedimento para comparar todos osa(a-1)/2 possíveis pares de médias.Nível de significância geral:exatamente α (balanceado)no máximo α (desbalanceado)Quando pode ser aplicado, esse procedimento produz intervalosde confiança mais estreitos que qualquer outro teste decomparação das médias


Teste de TukeyBaseado na distribuição da amplitude estudentizada

q =ymax − ymin√

QMres./n

onde ymax e ymin são a maior e a menor média dos tratamentos,respectivamente.Regra de decisão: duas médias µi e µj são significativamentediferentes se

|yi· − yj·| > DMS,

sendo a Diferença Mínima Significativa (DMS)= q[a,N−a;α]

√QMres.

n

Teste de Tukey é utilizado para testar todo e qualquer contrasteentre duas médias. Limitação: não permite comparar grupos demédias entre si.



Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética)Temos a = 5 tratamentos. Para α = 0,05, temos

DMS = q[5,20;0,05]

√MQres.

n = 4,23√

8,065 = 5,37


Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética)> plot(tTukey , sub = “Tukey ′sTest”, las = 1)


Voltando aos problemas observados...

Estudo realizado com residentes na área de cirurgia nos EstadosUnidos(JUZYCH et al., 1992)

I 25% a compreensão de procedimentos estatísticos é muitoimportante para a leitura e completa compreensão de um artigo;

I 25% responderam ser importante.

Quando questionados sobre o seu conhecimento em Estatística:

I 57% responderam que tinha muito pouco conhecimento;I 10% disseram que não tinham nenhum.


Exemplos de Motivação: Controle da AnsiedadePesquisadores querem testar um novo medicamento no combatea ansiedade. Eles irão testar três dosagens (0mg, 50mg e100mg). 21 pacientes participaram do estudo e foram divididosigualmente entre os três grupos. Depois de tomar a medicação,os pacientes dão uma nota de 1 a 10 para o nível de ansiedade.

Pergunta: Existe diferença entre as dosagens da medicação nocontrole da ansiedade?


Nível de Ansiedade(yij )Dosagem(mg) 1 2 3 4 5 6 7 yi· yi·

0 9 8 8 7 8 9 8 57 8,1450 7 6 6 6 7 7 6 47 6,71

100 4 3 3 2 3 3 2 21 3


Teste de DunnettSuponha que o tratamento a é o controle e então iremos testar

H0 : µi = µa

H1 : µi 6= µa, i = 1,2, . . . ,a− 1

Para cada hipótese, calculamos a diferença:

|yi· − ya·|, i = 1,2, . . . ,a− 1

Rejeitamos H0 se

|yi· − ya·| > d[a−1,N−a;α]

√2×QMres.

n

em que d[a−1,N−a;α] é o quantil estutentizado da Tabela deDunnett; α é o nível de significância conjunto dos a− 1 testes


Teste de Dunnett (Exemplo Ansiedade)Nesse exemplo temos a = 3 tratamentos, sendo um placebo (0mg) eduas dosagens (50mg e 100mg)Lembre-se que: y1· = 8,14; y2· = 6,71; y3· = 3

Calculamos:d[2,18;0,05]

√2×MQres.

n = 2,40√

2×0,5717 = 0,97

e

|y2· − y1·| = |6,71− 8,14| = 1,43∗

|y3· − y1·| = |3,00− 8,14| = 5,14∗

Ambas as dosagens diferem significativamente do placeboO teste de Dunnett serve para comparações múltiplas ondeapenas um tratamento serve de referência, quer dizer, deseja-seapenas comparar todos com apenas um. Por exemplo, otratamento padrão (pode ser chamado de controle) não havendointeresse na comparação dos demais tratamentos entre si.


ContrastesMuitos métodos de comparações múltiplas usam a ideia decontrastesNo exemplo da fibra sintética, a engenheira suspeita que aresistência aumenta com a % de algodão. Então podemos, porexemplo, comparar os níveis extremos:

H0 : µ1 = µ5

H1 : µ1 6= µ5

ou de forma equivalente,

H0 : µ1 − µ5 = 0H1 : µ1 − µ5 6= 0


Voltando ao exemplo da ansiedade...

Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade)

Dosagem (mg) Coeficientes0 (placebo) -2 050 (nível 1) 1 -1100(nível 2) 1 1

Veja que os contrastes com ci = −2,1,1 e di = 0− 1,1 sãoortogonais.Contraste I com coeficientes ci = −2,1,1

−2µ1 + µ2 + µ3 = 0→ µ1 =µ2 + µ3

2

Contraste II com coeficientes di = 0− 1,1

0µ1 − µ2 + µ3 → µ2 = µ3


Voltando ao exemplo da ansiedade...

Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade)

Hipóteses ContrastesH0 : 2µ1 = µ2 + µ3 C1 = −2y1· + y2· + y3·H0 : µ2 = µ3 C2 = −y2· + y3·

Calculando o valor dos contrastes e suas Somas de Quadrados:C1 = −2× (8,14) + 6,71 + 3 = −6,57; C2 = −6,71 + 3 = −3,71SQC1 = (−6,57)2

1/7×6 = 50,38; SQC2 = (−3,71)2

1/7×2 = 48,29

Tabela 5: Tabela da ANOVAFonte de Graus de Soma de QuadradosVariação Liberdade Quadrados Médios F p-valor

Dosagem (2) 98,67 49,33 86,33 < 0, 001C1 1 50,38 50,38 88,17 < 0, 001C2 1 48,29 48,29 84,50 < 0, 001

Erro(Dentro dos Trat.) 18 10,29 0,57Total 20 108,95


Modelo de efeitos aleatórios: Estamos interessados em umfator que possui um número elevado de possíveis níveis. Se opesquisador seleciona aleatoriamente “a" desses níveis de umapopulação de níveis desse fator, então dizemos que o fator éaleatório.

Exemplo: Uma empresa têxtil tece tecidos num grande númerode teares. Os teares são considerados homogêneos, de modoque o tecido desses teares possuem uma resistência uniforme. Oestatístico responsável pelo controle de qualidade da empresa,seleciona 4 teares de forma aleatória e mede a determinação daresistência em 4 tecidos.


ObservaçõesTeares yi·

A 98 97 99 96 390B 91 90 93 92 366C 96 95 97 95 383D 95 96 99 98 388

Novamente, o modelo é:


mas ambos, τi e εij são variáveis aleatória agora. Se eles sãoindependentes e Var(τi) = σ2

τ e Var(εij) = σ2, então a variânciade qualquer observação é

Var(yij) = σ2τ + σ2,

σ2τ e σ2 são chamados de componentes de variância.


Para testar hipóteses precisamos definir

τiiid∼ N(0, σ2

τ ) e εijiid∼ N(0, σ2).

Hipóteses individuais sobre os efeitos dos tratamentos não têmsentido. Em vez disso, testamos

H0 : σ2τ = 0 versus H1 : σ2

τ > 0.

Se σ2τ = 0 : todos os tratamentos são iguais; σ2

τ > 0 : existevariabilidade entre os tratamentos.

A decomposição da ANOVA SQtotal = SQtrat . + SQres. ainda évalido. Assim, sob a hipótese nula de que σ2

τ = 0 eτ1 = τ2 = . . . = τa = 0, a razão

F =SQtrat ./(a− 1)

SQres./(N − a)=

QMtrat .

QMres.

tem distribuição F com a− 1 e N − a graus de liberdade. É fácil verque

E(QMtrat .) = σ2 + nσ2τ e E(QMres.) = σ2.


Assim, sob H0 ambos são estimadores não viesados de σ2. Mas, sobH1 é esperado que o numerador seja maior que o denominador. Entãorejeitamos H0 para valores de F maiores que F > F[1−α;a−1,N−a]

Como encontrar os estimadores dos componentes de variância?Método AoV: Igualando os quadrados médios esperados eobservados

QMtrat . = σ2 + nσ2τ e QMres. = σ2

σ2 = QMres. e σ2τ =

1n

(QMtrat . −QMres.)

Observe que σ2τ pode ser negativo!!

Exemplo: Os teares são homogêneos?


Sendo assim, rejeitamos H0 e concluímos que há variabilidade entreos teares.

Obtemos também a estimativa de σ2 = QMres. = 1,90 eσ2τ = (QMtrat . −QMres.)/4 = 6,96.

A variância de qualquer observação sobre a resistência nos tecidos éestimado por σ2 + σ2

τ = 8,86.A maior parte dessa variabilidade é atribuída a diferença entre teares.

O engenheiro de processo agora deve tentar reduzir as diferenças dedesempenho dos teares (possivelmente causada pela instalaçãodefeituosa, falta de manutenção,. . . ).

Se as fontes de variabilidade entre os teares forem identificadas eeliminadas, consequentemente, a variabilidade da saída do processo(resistência dos tecidos) pode ser reduzida, possivelmente tão baixoquanto σ2 = 1,90. Isto iria aumentar consideravelmente a qualidadedo produto.


Sugestões

“Os periódicos da área médica devem incluir consultores emestatística"(WHITE, 1979; JAMART, 1992).“ Ter um Estatístico incluído na equipe de pesquisa desde o iníciodo experimento"(WHITE, 1979; AVRAM et al., 1985; JAMART, 1992; BECKER etal., 1995).“Comitês de éticas em pesquisa com humanos devem exigirprojetos bem delineados e com análise dos dados descritacorretamente"(GLANTZ, 1980).“Os editores dos periódicos devem exigir a aplicação correta daestatística"(GLANTZ, 1980).


“Os testes devem ser adequadamente descritos para que o leitorpossa avaliar CRITICAMENTE a sua aplicação."(SCHWART et al., 1996)

Comissão editorial dos periódicos: adotar um formato mínimopadronizado para descrição das técnicas estatísticas (HOKANSON etal., 1987). Incluindo:

Tamanho da amostra;Metodologia utilizada;Nível de significância.

“Os pesquisadores devem saber estatística suficiente para aCORRETA ANÁLISE de seus trabalhos quando necessitam de testesmais simples e reconhecer as situações em que NECESSITAM dacolaboração do estatístico."(JAMART, 1992)












Obrigado!

“No futuro, o pensamento estatístico será tão necessário para acidadania eficiente como saber ler e escrever"Herbert George Wells (1866 - 1946).Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de 2015 74 / 74

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A Importância da Estatística na Pesquisa Científica e na Tomada …congresso.uepb.edu.br/pibic/download/Apresenta1.pdf · A ideia da utilização de um Modelo Estatístico na solução