MATEMÁTICA BÁSICA 8EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Sabemos, de aulas anteriores, que podemos resolver problemas usando equações. A resolução de pro-blemas pelo médtodo algébrico consiste em algumas etapas que vamso recordar.

- Representar o valor desconhecido do problema, a incógnita, por uma letra que, em geral, é a letra x.

- Escrever a sentença matemática que "traduz" o problema. É o que chamamos de equacionar oprobelma.

- Resolver a equação do problema. - Verificar a solução encontrada escolhendo a solução correta, de acordo com o que foi solicitado

no problema.

Vamos estudar agora as equações do 2º Grau, usadas na resolução de problemas de diferentes assuntosque representam necessidade desse tipo de equação.

Vejamos o seguinte problema: na figura a seguir, temos um retângulo de comprimento 6 cm e cuja lar-gura é desconhecida, ou seja, não sabemos sua medida. Ao lado desse retângulo temos um quadradocujo lado é igual à largura do retângulo. Vamos determinar o lado do quadrado, sabendo que a áreatotal da figura é de 16 cm²

6 cm

Chamamos o lado do quadrado, que é a incógnita do problema, de x.

Calculando as áresas do retângulo e do quadrado, temos:Área do retângulo: 6 . x = 6xÁrea do quadrado: x . x = x²

Área total da figura é:6x + x² = 16 Equação do problema

Vamos, agora, "arrumar" a equação do problema, colocando todos os termos no primeiro membro eordenando-os de acordo com as potências de x, da maior para a menor, ou seja, de modo descrescente.

x² + 6x - 16 = 0Termo Termo Termo

em x² em x sem x

Essa equação é da forma ax² + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau.

Os coeficientes a, b e c são números reais. Veja os exemplos: - Na equação 2x² - 4x + 5 = 0, os coeficientes são:

a=2, b= -4 e c=5 - Na equação x² + 5x = 0, os coeficientes são:

a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x)

x

x

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- Na equação 2x² - 9 = 0, os coeficientes são:a = 2, b = 0 e c = -9 (não existe o termo do 1º Grau em x)

- Na equação 4x² = 0, os coeficientes são:a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dosi termos)

A equação que encontramso no problema inicial é uma equação completa, pois não tem coeficiêntesnulos. Quando uma equação do 2º Grau possui um ou dois coefientes nulos ela é chamada de inconpleta.

Na equação do 2º Grau, escrevemos que a é diferente de zero O que aconteceria se a fosse igual a zero?

Vamos substituir a por zero da equação ax² + bx + c = 0.A equação ficará assim:

0 . X + bx + c = 0bx + c = 0 Equação do 1º grau.

Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando esse termo, a equaçãodeixa de ser do 2º grau.

Resolução de uma equaçãoJá vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valorda variável x que torna a equação verdadeira quando substituímso x por esse valor.No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma equação.

EXEMPLO 1a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da equação

A equação é: x² + 6x - 16 = 0Substituindo x por 2, temos:2² + 6 . 2 - 16 = 04 + 12 - 16 = 016 - 16 = 0 Sentença verdadeira

Logo, x = 2 é uma solução da equação x² + 6x - 16 = 0.

b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução.Substituindo x por 1, temos:1² + 6.1 - 16 = 01 + 6 - 16 = 07 - 16 = 0 sentença falsa

Logo, x = 1 não é solução da equação x² + 6x - 16 = 0

Resolução das equações incompletasEquações do 2º grau em que b = 0 (equações do tipo ax² + c = 0)

Nesse caso, a equação só tem um termo em x, então a resolvermos como se ela fosse uma equaçãodo 1º grau.

ax² + c = 0ax² = -c Isolando o termo em x no 1º membrox² = - c Calculando o termo em x

a

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extraindo a raiz quadrada

As soluções da equação são e

Esse tipo de equação pode ter duas soluções reais, caso o radicando - c seja um número positivo.a

Se o radicando for negativo a equação não terá solução, pois a raísz de índice par de um número negativonão é um número real.

No caso do radicando ser nulo, a equação terá uma única solução, também nula.

EXEMPLO 2Resolver a equação 3x² - 27 = 0

3x² = 27x² = 27

3 As soluções da equação são +3 e - 3x² = 9x = x =

Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax² + bx = 0)

Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos fatorar ax² + bx , colocandox em evidência:

x (ax + b) = 0

Obtivemso um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo:x = 0

Se x (ax + b) = 0, então ouax + b = 0 ax = - b

x = - ba

As soluções da equação são x1 = 0 e x2 = -ba

Neste tipo de equação, encontraremos sempre duas soluções diferentes, sendo uma delas iguais a zero.

Exemplo 3

Resolver a equações 3x² - 15x = 0

x (3x - 15) = 0 ou 3x - 15 = 0x = 0 3x = 15

x = 15 x = 53

As soluções são x1 = 0 e x2 = 5

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A formula de Bhasckara

Existe um método que nos permite resolver qualquer equação do 2º grau. Aplicando essse método,obtemos uma fórmula resolutiva conhecida como fórmula de Bhaskara.

Bhaskara foi um matemático hindu nascido por volta do ano 1100. Embora a fórmula que vamos conhecer leve seu nome, ele não a descobriu. Trezentos anos antes, o método de resolução já eraaplicado elo matemático árabe Al-Khowrizmi, tido como iniciador da álgebra. Entretanto, Bhaskara levou a fama...

A idéia principal do método para resolver uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, com a (= diferente) 0,é esta:

Se ax² + bx + c for um trinômio quadrado perfeito, a resolução é simples. Vimos isso no item anterior.

Se ax² + bx + c não for um trinômio quadrado perfeito, iremos transformá-lo num trinômio quadradoperfeito. Como? Somando um número conveniente aos dois membros da equação.

EXEMPLO 1

Vamos resolver a equação x² - 8x - 20 = 0.Inicialmente, observe que x² - 8x - 20 não é um trinômio quadrado perfeito.

Isolamos então x² - 8x no primeiro membro, e a seguir, procuramos o número que deve ser colocado no lugar de #, de modo que x² - 8x + # seja um trinômio quadrado perfeito. Como esse número é 16, soma-remos 16 aos dois membros da equação.

Veja então a sequência toda:x² - 8x - 20 = 0 leva a x² - 8x = 20 que leva a x² - 8x + 16 = 20 + 16que leva a x² - 8x + 16 = 36. Portanto, (x - 4)² = 36.

x - 4 = 6 Portanto, as raízes da equação são x = 10 e x = -2, ou seja, S = {10, -2}x = 10

Vamos conferir:x - 4 = +- 6 ou x = 10 100 - 80 - 20 = 0 20 - 20 = 0

x² - 8x - 20 = 0x - 4 = -6 x = -2 4 + 16 - 20 = 0 20 - 20 = 0x = -2

Exemplo 2Vamos resolver a equação x² + 5x + 6 = 0.

Inicialmente vemos que x² + 5x + 6 não é um trinomio quadrado perfeito. Isolamos x² + 5x no primeiromembro. Como 5 é um número Ímpar, para que x² + 5x + # seja um trinômio quadrado perfeito, no lugar de # deve ser colocado um número fracionário.

Para evitar isso, multiplicamos os dois membros por 4, que, além de ser par, é um quadrado perfeito:x² + 5x + 6 = 0x² + 5x = -64x² + 20x = -24

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Agora procuramos o número que deve ser colocado no lugar de #, para que 4x² + 20x + # seja um trinômioquadrado perfeito. Como esse número é 25, somamos 25 aos dois membros da equação:

4x²+ 20x = - 24 implica 4x² + 20x + 25 = -24 + 254x² + 20x + 25 = 1

trinômio quadrado 2x + 5 = 1perfeito x = -2

Portanto, as raízes dessa equação são (2x + 5)² = 1 implica 2x + 5 = +- 1 ou x= - 2 e x = -3. Confira!

2x + 5 = -1x = -3

Dedução da Formula de Bhaskara

Vamos usar o método na resolução de uma equação do 2º grau genérica, isto é, uma equação que representa qualquer uma das possíveis equações do 2º grau:

ax² + bx + c = 0, com a (= diferente) 0

Começamos isolando ax² + bx no primeiro membro. A seguir, multiplicamos os dois membros da equaçãopor 4a:

ax² + bx + c = 0ax² + bx = -c4a²x² + 4abx = - 4ac

Agora, procuramso o termo que deve ser colocado no lugar de #, para que 4a²x² + 4abx + # seja um trinômio quadrado perfeito.

Como esse termo é b², somamos b² aos dois membros da equação:4a²x² + 4abx = -4ac4a²x² + 4abx + b² = - 4ac + b²4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac

trinômio quadradoperfeito(2ax + b)² = b² - 4ac

Vamos indicar b² - 4ac por , que é a letra grega delta.Assim, temos (2ax + b)² = Observe que:

- Quando < 0, a equação não tem raízes reais; - Quando >= 0, temos:

(2ax + b)² =2ax + b =

Agora, resolvemos essas duas equações do 1º grau, isolando x:

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2ax + b = Fórmula de BhaskaraNa equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, indicamosb² - 4ac por .

2ax + b = ou Quando ∆ < 0, a equação não tem soluções reais.2ax + b = -

Quando ∆ ≥ 0, as soluções são obtidas pela formula:

EXEMPLO 3

Já resolvemos a equação x² - 8x - 20 = 0, transformando o 1º membro num quadrado perfeito. Agora,vamos resolvê-la pela fórmula de Bhaskara.a= 1 , b= - 8 e c= - 20

= b² - 4ac = (-8)² - 4 . 1. (-20) = 64 + 80 = 144

Como > 0, a equação tem as seguintes soluções:

10

-2

Portanto, as raízes dessa equação são x = 10 e x = -2.

Exemplo 4

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação - 9x² + 12x - 4 = 0.Como a = -9 é número negativo, convém multiplicar ambos os membros por -1 para evitar erros de sinais.Ficamos com 9x² - 12x + 4 = 0.a = 9, b = -12 e c = 4

= b² - 4ac = (-12)² - 4 . 9. 4 = 144 - 144 = 0

A equação tem as seguintes soluções12 218 3

12 218 3

Portanto, o conjunto das soluções dessa equação tem apenas um elemento: 23

Exemplo 5Vamos resolver a equação 3x² + 4x + 2 = 0, usando a fórmula de Bhaskara.

=2

8 + 12 =

= 8 - 12 =2

12 + 018

= =

12 - 0 = =18

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a= 3, b = 4 e c = 2 = b² - 4ac = 4² - 4 . 3. 2 = 16 - 24 = - 8

Como < 0, a equação não tem soluções reais.

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