A medida psicométrica - Prof. Saulo Almeida · Comportamento x Traço latente •A teoria Clássica dos Testes –concepção monista materialista •A Teoria de Resposta ao Item

A medida psicométrica

Comportamento x Traço latente

• A teoria Clássica dos Testes – concepção monista materialista

• A Teoria de Resposta ao Item – concepção dualista interacionista

• Psíquico: traço latente (teta);

• Físico: comportamento (tau).

• TCT: comportamento (teste) = tarefas se definem em função de outros comportamentos;

• TRI: as tarefas do teste se definem pela aptidão ou traço latente.

Traço latente

• Processo psicológico;

• São atributos impérvios à observação empírica;

• Precisa ser evidenciado por comportamentos;

• O parâmetro fundamental é a demonstração da adequação da representação – análise estatística dos itens;

Sistema

• Representa o objeto de interesse – objeto psicológico;

• Sistema universal e locais;

• Objeto imediato de interesse.

Propriedade

• Foco imediato de observação ou medida;

• Processos cognitivos, processos emotivos, processos motores...

Magnitude

• Os atributos são dimensões, são mensuráveis;

• Os atributos ocorrem com quantidades definidas e diferentes de indivíduo para indivíduo.

O problema da representação comportamental

• Modalidade: em termos de conteúdo, os comportamentos podem ser do tipo verbal ou motor – psicolinguística;

• Saturação: o comportamento tipicamente se apresenta como multimotivado;

• Dificuldade (complexidade): um comportamento é mais difícil ou mais complexo na medida em que ele exige maior nível de magnitude do traço em questão para ser eficaz ou corretamente executado;

• Discriminação: capacidade que ele apresenta de separar sujeitos com magnitudes próximas do mesmo traço;

• Viés de resposta: fatores subjetivos do respondente e que poderiam ser agrupadas dentro do conceito de tendências: respostas estereotipadas, desejabilidade social, efeito de halo – formato das escalas.

Parâmetros do Teste (grupo de itens)

• Parâmetro fundamental: isomorfismo entre a ordenação nos procedimentos empíricos e a ordenação nos procedimentos teóricos do traço latente;

• Análises estatísticas dos itens individualmente e da escala como um todo;

• Preocupação com um enfoque teórico, e preocupação tanto com a psicologia quanto com a estatística.

É um método de agrupamento de dados em classes, ou intervalos,

de tal forma que se possa determinar o número, ou a percentagem

(isto é, a freqüência) de observações em cada classe.

Método de grande utilidade quando precisamos

lidar com grande quantidade de dados.

Forma Tabular Forma Gráfica

TABELA PRIMITIVA

Corresponde aos elementos referentes a uma coleta de dados que não foram

numericamente organizados.

Massa Corporal de 40 Funcionários da Empresa A (Kg)

56 84 48 71 86 56 53 81 71 91

105 42 86 91 86 56 42 95 86 105

42 84 95 76 62 105 48 71 42 84

76 81 53 62 71 91 95 86 81 84

Tabela

Primitiva

Partindo dos dados acima, é difícil averiguar em torno de que

valor tendem a se concentrar as massas corporais, qual a menor

ou maior massa corporal.

ROL

É a tabela obtida após a ordenação (crescente ou decrescente) dos dados da

tabela primitiva.

42 48 53 62 71 81 84 86 91 95

42 48 56 71 76 81 84 86 91 105

42 53 56 71 76 84 86 86 95 105

42 53 62 71 81 84 86 91 95 105

Rol

Agora podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor

massa corporal e a maior massa corporal, embora não

consigamos ainda averiguar em torno de que valor tendem a se

concentrar as massas corporais.

Massa Corporal de 40 Funcionários da Empresa A (Kg)

Distribuição de Freqüências - Exemplo

Número de funcionários que fica relacionado a um determinado valor da

variável.

Massa Corporal de 40

Funcionários da Empresa ADistribuição de

Freqüências

Massa Freq.

42 4

48 2

53 3

56 2

62 2

71 4

76 2

81 3

84 4

86 5

91 3

95 3

105 3

Elementos de uma Distribuição de Freqüências

Classes de Freqüência – são intervalos de variação da variável.

As classes são apresentadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ..., k.

(onde k é o número total de classes da distribuição).

Limites de Classe – são os extremos de cada classe.

O menor número é o limite inferior da classe (li) e o maior número, o limite

superior da classe (Li).

Os intervalos de classe devem ser escritos em termos de desta quantidade

até menos aquela, empregando, para isso, o símbolo (inclusão de li e

exclusão de Li).

42 48 é um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, tal que: 42 ≤ x < 48.


Amplitude de um Intervalo de Classe (h) – é a medida do intervalo que

define a classe.

É obtida pela diferença entre os limites superior e inferior

dessa classe e indicada por hi. Assim:

hi = Li – li

h1 = 48 – 42 = 6


Amplitude Total da Distribuição (AT) – é a diferença entre o limite superior

da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira

classe (limite inferior mínimo).

AT = L(máx.) – l(mín.)

AT = 105 – 42 = 63


Ponto Médio de uma Classe (Xi) – é o ponto que divide o intervalo de classe

em duas partes iguais; é o valor que a representa.

Xi = Li + li

2

5,732

105421

X

ponto médio = maior valor + menor valor

2

Tipos de Freqüências

Freqüência Simples ou Absoluta (de uma classe ou de um valor individual) –

é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor.

Somatório ou Notação Sigma

5

1i

ix

Lê-se somatório de x índice i, i

variando de 1 até 5.

É simbolizada por fi (lê-se f índice i ou

freqüência da classe i).

nfk

i

1

1

Soma de todas as freqüências

Nº total

dos dados


Freqüência Relativa (de uma classe ou de um valor individual) – é a razão

entre a freqüência simples e a freqüência total.

%1001 oufri

É simbolizada por fri (lê-se fr índice i ou

freqüência relativa de um valor ou classe i).

Freqüência Relativa

i

i

i

f

ffr O propósito das freqüências

relativas é o de permitir a análise

ou facilitar as comparações.

ou


Freqüência Acumulada (de uma classe ou de um valor individual) – é o total

das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior de uma

dada distribuição.

É simbolizada por Fi ( lê-se freqüência

acumulada de um valor ou classe i).

Freqüência Acumulada

kk fffF ...21

)...,,2,1( kifF ik

Distribuição de Freqüências para Dados Contínuos

Devido à quantidade de valores da variável n, a solução mais indicada é o

agrupamento dos valores em vários intervalos.

Estágios na Construção de uma Distribuição de Freqüências

para Dados Amostrais:

1º) Estabelecer as classes ou intervalos de agrupamentos dos dados;

2º) Enquadrar os dados nas classes, mediante contagem;

3º) Contar o número em cada classe;

4º) Apresentar os resultados numa tabela ou num gráfico.

Histograma de Freqüências

Figura 1. Distribuição de freqüência relativa para safras de pêssego

Polígono de Freqüências (união por segmentos de

retas os pontos médios das classes do histograma)

1. Medidas de Posição: Tendência

Central e Separatrizes.

2. Medidas de Variabilidade ou Dispersão

3. Medidas de Assimetria e Curtose

Surgem da necessidade de um número único, que represente todos os

valores obtidos pelo grupo.

Este número único possibilita a caracterização do grupo como um

conjunto e tende a se concentrar no centro da série.

É um valor no centro ou no meio de um conjunto de dados.

Qual o salário médio do trabalhador brasileiro?

Qual o tipo sangüíneo mais comum?

Qual a nota que divide os alunos de uma turma

em um grupo superior e outro grupo inferior?

EXEMPLOS:

TIPOS:

Médias

Moda

Mediana

Ponto Médio

Médias

Média Aritmética Simples.

Média Aritmética Ponderada.

Média Geométrica.

Média Harmônica.

Média Quadrática.

Média Cúbica.

Média Biquadrática.

Médias

“É um valor típico e representativo de um conjunto de dados.

Como estes valores típicos tendem a se localizar em um

ponto central, dentro de um conjunto de dados ordenados

segundo suas grandezas, as médias também são

denominadas medidas de tendência central (Spiegel, p.71)”

Utilizada para variáveis quantitativas intervalares e de razão.

Médias



Média Geométrica.

Média Harmônica.

Média Quadrática.

Média Cúbica.


Média Aritmética Simples ( )

Seja o conjunto X = (x1, x2, x3, ..., Xn) onde x1, x2, x3, ..., xn representam

os diversos valores assumidos pela variável que traduz o fenômeno

analisado, e n o número de valores assumidos pela variável.

A média aritmética simples ( ) desse conjunto será o quociente entre a

soma dos valores da variável pelo número deles, genericamente

representado pela expressão:

n

x

n

xxxx

n

i

i

n

1

321 ...X

X

X

X = Média aritmética

Xi = Valores da variável

n = Número de valores

Dados Não-Agrupados

Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma

semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para a

produção média da semana:

EXEMPLO 1:

147

98

7

12181615131410X

litros14X

Médias



Média Geométrica.

Média Harmônica.

Média Quadrática.

Média Cúbica.


Média Aritmética Simples ( )

Sem Intervalos de Classes

No caso de dados sem intervalos de classes, como as freqüências são

indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam

como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética

ponderada.

X Dados Agrupados

i

iixX

f

f

n21

nn2211

n...nn

x n...x nx nXtotal

ou

Média Aritmética Ponderada

Exemplo 1: Calcule a média ponderada das avaliações da disciplina Estatística,

sabendo que:

Dados AgrupadosMédia Aritmética Ponderada

Avaliações Pesos Aluno 1

AV 01 1,5 4,0

Lista 01 1,0 8,0

AV 02 1,5 7,0

Lista 02 1,0 7,0

Trabalho 2,0 6,0

21,60,7

5,43

0,20,15,10,15,1

0,60,20,70,10,75,10,80,14,01,5Xtotal

xxxxx


n21

nn2211

n...nn

x n...x nx nXtotal

2. Quando se deseja obter a medida de posição que possui maior

estabilidade.

QUANDO UTILIZAR?

Média Aritmética Simples ( )X

3. Quando houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior.

1. Quando se trabalha com variáveis que são passíveis de mensuração

em um nível intervalar.

VANTAGENS


1. Pode ser calculada diretamente usando-se calculadoras científicas.

2. Evidencia bastante estabilidade de amostra para amostra, ou seja, se

pesquisarmos numerosas amostras extraídas de uma mesma população,

os valores das médias obtidas variam pouco.

3. Permite a manipulação subseqüente dos dados, com o cálculo das

médias combinadas.

4. Reflete cada valor da distribuição.

5. Possui propriedades matemáticas atraentes, permitindo o uso de outras

técnicas estatísticas robustas.

1. Por ser muito influenciada por valores extremos da série, não

representa bem as distribuições em que estes valores ocorrem com

freqüência acentuada.

LIMITAÇÕES


3. Apesar de a média aritmética situar-se entre o menor e o maior resultado

da distribuição de freqüências, ela não tem, necessariamente, existência

real. A média de 2,3 crianças, por exemplo, é um valor inexistente.

2. Depende de todos os valores da distribuição.


4. Não pode ser calculada para distribuições com classes ou limites abertos.

Faixa fi

Até 1 22,2

1 - 2 11,9

2 - 5 11,6

5 - 10 4,4

+ de 10 2,6

TOTAL 52,7

Distribuição de Renda em salários mínimos dos brasileiros –

1985 (em milhões de pessoas

Fonte: IBGE

LIMITAÇÕES

É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.

Moda

A utilidade da moda se acentua quando um ou dois valores, ou um grupo de

valores, ocorrem com muito maior freqüência que outros.

56 51 38 54 26

26 45 35 21 63

36 59 34 26 47

28 62 68 45 70

26 35 26 35 26

Tabela Primitiva

Exemplo 1:

Corresponde ao valor que mais se repete em uma distribuição.

Moda Dados Não-Agrupados

Idades de Trabalhadores da Organização A

21 26 35 45 59

26 26 35 47 62

26 28 36 51 63

26 34 38 54 68

26 35 45 56 70

Rol

Exemplo 1:

Mo = 26




Tipos de Séries:

1. Séries Modais (ou unimodais): são séries em que ocorre um único valor

modal.

21 26 35 45 59

26 26 35 47 62

26 28 36 51 63

26 34 38 54 68

26 35 45 56 70

Série Modal

Exemplo 1:

Mo = 26



Tipos de Séries:

2. Séries Amodais: são séries em que não existe moda, ou seja, séries que

não ocorre maior número de repetições para nenhum de seus valores.

21 26 36 45 59

22 27 37 47 62

23 28 38 51 63

24 34 39 54 68

25 35 41 56 70

Exemplo 1: Idades de Trabalhadores da Organização A

Série Amodal


Tipos de Séries:

3. Séries Multimodais: são séries em que ocorre mais do que um valor com

maior número de repetições.

Exemplo 1:

21 26 35 45 51

26 26 35 47 51

26 28 36 51 51

26 34 38 51 68

26 35 45 51 70

Série Bimodal


Mo1 = 26 Mo2 = 51e

Moda Dados Agrupados


Após o agrupamento dos valores, a determinação do valor modal

corresponderá ao valor de maior freqüência.

Exemplo 1: Idades fi

21 4

26 42

28 23

35 20

47 8

51 6

56 1

Total 104

Mo = 26

Valor mais freqüente

Distribuição de

Freqüências


Com Intervalos de Classes

O valor modal corresponde à classe que apresenta a maior freqüência

(classe modal).

A moda é o valor dominante que está compreendido entre os limites da

classe modal.

2

ii LlMo

li = limite inferior

Li = limite superior

Moda Bruta

A moda bruta se assemelha ao ponto médio da classe de maior freqüência.


Com Intervalos de Classes

Exemplo 1:

i Estaturas fi

1 150 - 154 4

2 154 - 158 9

3 158 - 162 11

4 162 - 166 8

5 166 - 170 5

6 170 - 174 3

fi = 40

i = 3 li = 158 Li = 162

2

ii LlMo

1602

162158

Mo

Moda

Expressões Gráficas da Moda

Moda

Expressões Gráficas da Moda

2. Para medidas rápidas e aproximadas de posição.

QUANDO UTILIZAR?

3. Para medidas de posição que caracterizam a distribuição; para encontrar

o valor mais típico da distribuição.


em um nível nominal.

Moda

4. Pode ser calculada para qualquer conjunto de dados, pois pressupõe

apenas o conhecimento das freqüências.

VANTAGENS

1. Medida de tendência central rápida e simples.

Moda

2. Não depende de todos os valores da distribuição, podendo não se alterar

com a modificação de alguns deles.

3. Não é influenciada pelos valores extremos da série.

4. A moda, desde que ocorra, sempre é representada por um elemento da

série, tendo, portanto, existência real.

5. Pode ser calculada para distribuições em que os extremos constituem

classes abertas, na maioria dos casos.

Moda

LIMITAÇÕES

1. Não reflete todos os valores da distribuição.

2. Possui propriedades matemáticas restritivas, não permitindo o uso de

outras técnicas estatísticas robustas.

Mediana

Corresponde ao número que se encontra no centro de uma série de números,

estando estes dispostos segundo uma ordem.

A mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de

grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois

subconjuntos de mesmo número de elementos.

Mediana Dados Não-Agrupados

Para Números Ímpares

Estando ordenados os valores de uma série, a mediana corresponde ao valor

central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda.

2

1

nMd

n: nº de elementos da série

Mediana

46 51 38 54 26 70 59 34 35 52 27


Dados Não-Agrupados

Exemplo 1:

Tabela Primitiva

26 27 34 35 38 46 51 52 54 59 70Rol

Md = 46


5 valores5 valores

2

1

nMd

posiçãoMd ª62

111

6ª posição


Exemplo 2:


21 26 35 45 59

26 26 35 47 62

26 28 36 51 63

26 34 38 54 68

26 35 45 56 70


2

1

nMd

posiçãoMd ª132

125

13ª posição


Para Números Pares

A mediana será qualquer dos números compreendidos entre os dois valores

centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio.

122

X n

en

Md n: nº de elementos da série

Média Aritmética dos Termos


Exemplo 3:

Para Números Pares


26 27 34 35 38 46 51 52 54 59

422

4638X

Md

42Md

posiçãon

ª52

10

2

posiçãon

ª612

101

2

6ª posição5ª posição

Mediana Dados Agrupados


Deve-se identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade

da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que

corresponde a tal freqüência acumulada.

2

if

A ordem, a partir de qualquer um dos extremos é dada por:

2. Quando se deseja obter o ponto que divide a distribuição em duas

partes iguais.

QUANDO UTILIZAR?

3. Quando há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a

média (assimetria acentuada).


em um nível ordinal.

Mediana

5. Quando a variável em estudo é salário.

4. Para distribuições com classes ou limites abertos (valores extremos

indefinidos).

VANTAGENS

1. Não depende de todos os valores da série, podendo se manter inalterável

com a modificação de alguns deles.

2. Não é influenciada pelos valores extremos da distribuição; por isso é

particularmente indicada quando existem dados discrepantes.

3. Tal como a moda, pode ser calculada quando os valores mais altos e mais

baixos de uma série não podem ser exatamente definidos.

4. Pode ser utilizada para dados que atingem o nível ordinal.

Mediana

1. Ao contrário do que ocorre com a média, as medianas de vários

conjuntos de dados não podem em geral ser combinadas em uma

mediana global de todos os dados.

LIMITAÇÕES

4. A depender da quantidade de valores da distribuição, a ordenação dos

dados para determinar a mediana pode ser enfadonha e difícil.

2. Problema de inferência estatística: as medianas de muitas amostras

extraídas da mesma população apresentam maior variação do que as

médias amostrais correspondentes (menor confiabilidade do que a média).

Mediana

3. O cálculo da mediana não pode ser feito com calculadoras.

Ponto Médio

É o valor que está a meio caminho entre o maior e o menor valor. Para obtê-lo,

basta somar os valores extremos e dividir por 2.

2

iii

LlX

ponto médio = maior valor + menor valor

2

li: limite inferior

Li: limite superior

Medida de posição de pouca utilização para decisões finais. É mais utilizado

para o cálculo de outras medidas

Ponto Médio

Exemplo 1:

i Estaturas fi xi

1 150 - 154 4 152

2 154 - 158 9 156

3 158 - 162 11 160

4 162 - 166 8 164

5 166 - 170 5 168

6 170 - 174 3 172

fi = 40

Ponto Médio da Classe

Ponto Médio da

Distribuição

2

iii

LlX

2

174150 iX

162iX

Deseja-se selecionar, dentre três pessoas, um funcionário para trabalhar

como analista de recursos humanos em uma empresa. Foram realizadas as

seguintes avaliações para seleção (português, matemática e inglês).

Escores do candidato A:

Português: 4

Matemática: 9

Inglês: 7

Escores do candidato B:

Português: 7

Matemática: 7

Inglês: 6

TOTAL: 20 TOTAL: 20

Escores do candidato C:

Português: 10

Matemática: 8

Inglês: 2

TOTAL: 20

Sabendo que todos obtiveram o mesmo total

de pontos, qual candidato você contrataria?

Visam apresentar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade

que existe entre os valores que compõem o conjunto.

As medidas de dispersão são baseadas nos valores obtidos a partir

das medidas de tendência central.

ABSOLUTAS RELATIVAS

Oferecem condições para analisar até que ponto os valores

apresentam oscilações para mais ou para menos, em relação a uma

medida de posição fixada.

ABSOLUTAS

São expressas na

mesma unidade de

medida de valores.

RELATIVAS

São expressas em

termos relativos ou

percentuais.

Corresponde à diferença entre o maior e o menor dos valores de uma

distribuição.

Amplitude Total

AT = x(máx) – x(min)

Quanto maior o número de observações, maior tende a ser sua

amplitude.

Quanto maior o AT maior a dispersão dos valores da variável

Dados Não-AgrupadosAmplitude Total

Exemplo: Dados os valores 40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70

AT = x(máx) – x(min)

AT = 70 – 40

AT = 30

Amplitude Total

2. Como uma medida rápida de variabilidade dos dados, que não

demonstre muita preocupação com a exatidão e a estabilidade.

QUANDO UTILIZAR?

1. Quando se busca determinar a diferença entre os valores máximo e

mínimo em uma determinada época ou período.

3. Quando a distribuição de valores estiver mantendo uma certa

homogeneidade.

4. É utilizada como um índice preliminar.

Amplitude Total

1. É uma medida de dispersão que, ao não considerar o conjunto de

valores intermediários, reduz a confiança dos resultados obtidos.

LIMITAÇÕES

2. Não são muito utilizadas, pois são instáveis, deixando-se influenciar

pelos valores extremos da distribuição.

3. Possui uma aplicação restrita a distribuições de resultados mensurados

em nível pelo menos intervalar.

TIPOS:

Amplitude Total ou Intervalo Total (AT).

Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-Interquartílica (Dq).

Desvio Médio (Dm).

Desvio-Padrão (DP ou s).

Variância (s2).

Desvio Médio

É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios da distribuição,

em relação a uma medida de tendência central (média ou mediana).

N

XXDm

Dm = desvio médio

Somatório dos

desvios absolutos

N (fi)= número total de

escores

XX

Desvio Médio Dados Não-Agrupados

Exemplo: Dados os valores 2, 5, 8, 15, 20.

105

2015852

X

N

XXDm

5

10201015108105102 Dm

6Dm

2. Seu cálculo pode ser efetuado a partir da média e da mediana.

VANTAGENS

1. Depende de todos os valores da distribuição, fazendo com que seu

resultado apresente maiores seguranças em relação à Amplitude Total

e Desvio Quartílico.

3. Não leva em consideração a existência de desvios negativos, pois seu

cálculo é medido em termos modulares (absolutos).

4. Poderá substituir o Desvio Padrão, quando este for influenciado

indevidamente pelos desvios extremos.

Desvio Médio

TIPOS:



Desvio Médio (Dm).


Variância (s2).

É a medida de dispersão mais utilizada na comparação de

diferenças entre conjuntos de dados.

Desvio-Padrão

Corresponde à raiz quadrada da média aritmética dos quadrados

dos desvios.

Determina a dispersão dos valores em relação à média.

2

ix xs

n

1. Para avaliar o grau de variabilidade em uma distribuição ou para

comparar a variabilidade de diferentes distribuições.

QUANDO UTILIZAR?

2. Para ajustar a posição relativa de escores individuais dentro de

uma distribuição.

Desvio-Padrão

TIPOS:



Desvio Médio (Dm).


Variância (s2).

Variância

Corresponde à média dos quadrados dos desvios

(quadrado do desvio padrão).

A variância é uma medida que tem pouca utilidade como

estatística descritiva.

1. Para testes estatísticos dentro da inferência estatística e em

combinações de amostras.

QUANDO UTILIZAR?

2. Em processos estatísticos avançados.

Variância

3. Quando os valores absolutos obtidos a partir do desvio médio

não possuem utilidade.

Erro-padrão da média (S.E. Mean)

X

sSE

n

Corresponde ao desvio-padrão da estimativa média da amostra de uma

média populacional. É estimado pela relação entre o desvio-padrão da

amostra e a raiz quadrada do tamanho amostral:

S = desvio-padrão da amostra (baseada na estimativa do desvio-padrão

da população)

N = tamanho da amostra

Quanto > n, < o SE.

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