Resumo --Este trabalho apresenta um processo

automático de identificação de impressões digitais usandomapa de coeficientes no espectro de potência baseado nofiltro de Gabor. O núcleo da impressão digital éencontrado pela técnica de vizinhança de pixels. A imagemoriginal é dividida em quadrantes em torno do núcleo daimpressão digital. De tais quadrantes são extraídasinformações sobre orientação de textura das imagens em 3diferentes direções do filtro de Gabor. Os resultadosexperimentais mostram a eficiência da metodologia paraimagens de impressões digitais de boa qualidade.

Palavras chave—Biometria, datiloscopia, filtro de Gabor, impressões digitais, processamento de imagens digitais.

I. INTRODUÇÃO

Biometria é a tecnologia que estuda a identificação depessoas baseada em características individuais. Tais

atributos podem ser fisiológicos, como íris, face, geometriadas mãos, ou comportamental, como voz e assinatura.Cientificamente, a Biometria pode ser definida como umaaplicação de métodos quantitativos e estatísticos, suportadapor fatores biológicos e análise matemática destes dados.

Teoricamente, qualquer característica humana, quer sejafisiológica ou comportamental pode ser usada como umaidentificação pessoal quando satisfaz os requisitos deuniversalidade, unicidade, imutabilidade e coletabilidade.Universalidade significa que todo indivíduo deve ter acaracterística em estudo, por exemplo, todos os humanos têmimpressões digitais. Unicidade quer dizer que não existem doisindivíduos com o mesmo padrão. Imutabilidade significa que acaracterística não muda com o tempo. Coletabilidade indicaque a característica pode ser mensurada.

Sistemas de identificação são importantes para uma série detransações diárias no mundo contemporâneo, por exemplo, oscontroles de acessos a ambientes ou uso de máquinasespecíficas. A principal vantagem da Biometria baseada nascaracterísticas fisiológicas é que esta não pode ser falsificadafacilmente, nem esquecida, como senhas. Ainda força o

Este trabalho foi em parte financiado pela FAPERJ.S. L. Gonzaga de O. é doutorando no Instituto de Computação da

Universidade Federal Fluminense, Rua Passo da Pátria, 156, Bl. E, 24210-240, Niterói, RJ (sgonzaga@ic.uff.br).

J. T. de Assis é doutor pesquisador trabalhando no Instituto Politécnico daUniversidade Estadual do Rio de Janeiro, Rua Alberto Rangel, s/n, 28630-050, Nova Friburgo, RJ, (joaquim@iprj.uerj.br).

indivíduo a estar fisicamente presente no local deidentificação, diminuindo ou eliminando problemas defraudes. Na prática, outros importantes requisitos sãodesempenho, aceitabilidade e circunvenção [1]. Desempenhorefere-se à correta identificação, isto é, está ligado aosrecursos para se alcançar uma identificação aceitável e precisa.Este item também está ligado aos fatores ambientais queafetam a correta identificação. Aceitabilidade indica o nível deaceitação do sistema biométrico. Circunvenção refere-se àdificuldade de se fraudar o sistema.

Este trabalho é organizado da seguinte forma. Após estabreve introdução à Biometria, a Seção 2 faz uma breveintrodução sobre impressões digitais, a Seção 3 aborda o filtrode Gabor, a Seção 4 relata a metodologia utilizada, a Seção 5reporta o desenvolvimento do algoritmo, a Seção 6 apresentaos resultados experimentais e a Seção 7 explana algumasconclusões.

II. IMPRESSÕES DIGITAIS

A identificação por impressões digitais é uma das maisconhecidas e usadas das tecnologias biométricas. EstaBiometria atende em alto grau todos os requisitos necessáriospara a identificação pessoal. O recente progresso na tecnologiade aquisição de imagens de impressões digitais e a melhoria nacapacidade computacional de processamento auxiliam naescolha por esta Biometria.

As linhas e vales da pele das falangetas de cada dedohumano representam a textura das impressões digitais. Asprincipais minúcias de Galton são as terminações e asbifurcações [1]. As terminações são as finalizações de linhas eas bifurcações ocorrem quando a linha se divide em duas oumais linhas. Todas as demais minúcias derivam destas duas.As estruturas topológicas das linhas e vales e as minúcias deGalton formam um padrão único para cada dedo humano.Peritos em impressões digitais consideram e tratam estespadrões utilizando uma classificação especial. Este trabalhousa a classificação formalizada por Vucetich: arco, verticilo,presilha interna e externa [2]. As Figuras 1-4 mostramexemplos dos principais tipos de impressões digitais segundo aclassificação adotada.

A localização das minúcias é uma tarefa bastante complexa,mesmo se as informações das direções das linhas e asdistâncias entre elas estejam preservadas, logo, é preciso umprocesso, neste caso com o uso de um filtro, para colaborarcom a realização da identificação, como descrito a seguir.

Uma Metodologia de Identificação de Imagens de Impressões Digitais pelo Filtro de Gabor

Sanderson L. Gonzaga de Oliveira e Joaquim Teixeira de Assis

A

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 4, NO. 1, MARCH 2006 1

Fig. 1. Impressão digital tipo arco

Fig. 2. Impressão digital tipo verticilo

Fig. 3. Impressão digital tipo presilha externa

Fig. 4. Impressão digital tipo presilha interna

III. FILTRO DE GABOR

O filtro de Gabor fornece informações sobre as texturas dasimagens de impressões digitais com a utilização de ângulosdirecionais adequados, bem como espessura das linhas e valesdas impressões digitais. Tais informações são únicas para cadaimagem e são tratadas neste trabalho no domínio dasfreqüências. O filtro foi desenvolvido por Dennis Gabor em1946 [3]. O filtro tem sido aplicado com sucesso nasegmentação de imagens, reconhecimento de faces,reconhecimento de assinaturas, melhoria e identificação deimpressões digitais. Isto devido às suas características,especialmente as representações de freqüência e orientação,que são similares ao do sistema visual humano [4]. Alémdisso, o filtro tem propriedades de localização espacial,orientação seletiva e seletividade espaço-freqüêncial [5].

A filtragem de imagens de impressões digitais usando ofiltro de Gabor pode melhorar as estruturas das linhas e vales.O filtro também pode isolar as informações peculiares dasimpressões digitais, contidas nos padrões das imagens.

A forma geral do filtro de Gabor é apresentada em (1) [6].

]22

[)(22

2

2

2

),,,,( yx

yxxjk

ekyxh σσπ θθ

θ

σθ+−

= (1)

onde 1j −= ,kk ysenxx θθθ += cos e

kk xyy θθθ cossen +−= ,

sendo x,y as coordenadas espaciais da imagem e k a freqüênciada onda no plano senoidal. Usando um valor muito grandepara esta freqüência, ruídos podem ser criados na imagemfiltrada; se for muito pequeno, as linhas podem serentrelaçadas. Este trabalho usa k = 1 / K = 0,5, onde K é amédia da largura dos vales e estabelecido empiricamente.

A distribuição Gaussiana bidimensional é proporcional aodesvio padrão σ e determina a faixa do canal usado [5]. Ofiltro de Gabor é um filtro passa-faixa que possui ótimaresolução nos domínios espacial e espaço-freqüêncial [7].Como as impressões digitais possuem linhas e valeslocalmente paralelos, com uma orientação local espaço-freqüêncial bem definida, ruídos podem ser reduzidos, devidoao efeito resultante no plano senoidal. A orientação do filtro édada por θ = 0, 45 e 90 graus.

O desvio padrão da distribuição Gaussiana bidimensional,representado por σ, é relacionado com a largura da Gaussianaque modula o filtro. Se este é muito grande, o filtro é maisrobusto a ruídos, mas não captura os detalhes das linhas. Se formuito pequeno o filtro não remove ruídos, mas captura osdetalhes das linhas. Neste trabalho, é empiricamente usadocomo σ = σ x = σ y = 0,5.

IV. METODOLOGIA

Este trabalho propõe uma metodologia baseada no filtro deGabor usando três ângulos direcionais do filtro e divide aimagem em quadrantes. Primeiramente, é realizado um pré-processamento da imagem, seguido da localização do núcleoda impressão digital. O núcleo é o centro de referência daimpressão digital. Uma área é definida em torno deste pontocentral para o processo ser invariante em relação a translações

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e rotações das imagens de impressões digitais a seremcomparadas.

Para obtenção do filtro de Gabor, foi utilizada a máscara15≤x,y≤15, ou seja, uma matriz de 31x31 elementos, calculadapela equação (1). Esta matriz é colocada no centro de umaimagem de mesma resolução da imagem de impressão digital aser avaliada. A seguir, é determinado o espectro de freqüênciada imagem que contém o filtro, isto para cada um dos trêsângulos direcionais do filtro de Gabor anteriormente descritos(0, 45 e 90 graus). Estas três imagens no espectro defreqüências são convoluídas com os quadrantes da imagem deimpressão digital de entrada.

Filtros por convolução são muito utilizados emprocessamento de imagens. O conceito de filtragem porconvolução é aplicado no domínio de freqüência, usando-se osconceitos da Transformada de Fourier. A operação de aplicaruma máscara pixel a pixel sobre uma imagem e calcular aquantidade predefinida em cada pixel, é o fundamento daconvolução. Supondo que F(u,v) e H(u,v) denotem astransformadas de Fourier de f(x,y) e h(x,y), respectivamente, oteorema da convolução diz que f(x,y) * h(x,y) e F(u,v)H(u,v)(esta permite que a convolução seja realizada maisrapidamente) constituem um par de transformadas de Fourier.Isto é formalmente escrito como [8]

),(),(),(*),( vuHvuFyxhyxf ⇔ (2)

O espectro de Gabor é obtido ao convoluir as imagens noespectro de freqüência. A convolução da imagem de entrada eo filtro é realizada nos quadrantes em torno do núcleo. Emseguida, o espectro de potência é calculado. O maiorcoeficiente e um mapa de coeficientes em torno deste maiorcoeficiente são encontrados no espectro de potência. Isto érealizado para cada quadrante nas direções 0o, 45o e 90o dofiltro de Gabor. O processo fornece 12 valores que identificamcada imagem de impressão digital. A Figura 5 mostra umexemplo de imagem de impressão digital dividida emquadrantes em torno do núcleo, indicado na imagem.

Fig. 5. Imagem dividida em quadrantes em torno do núcleo

Os testes foram realizados em imagens de impressõesdigitais capturadas pelo método por tinta, imagens sintéticas ede banco de dados formados de imagens digitalizadas porequipamentos específicos.

Duas imagens são consideradas de uma mesma origem se acomparação de todos os identificadores de ambas as imagenstêm uma taxa de erro menor que 5%. As comparações sãorealizadas entre os identificadores das imagens, tais quais osexemplificados na Tabela I, pela fórmula (3), avaliando o errorelativo.

100*I

II

2

21 −(3)

onde I1 = Identificador[Imagem1(Quadrante/Ângulo)] e I2 =Identificador[Imagem2(Quadrante/Ângulo)]. A comparaçãousa a fórmula (3) para cada um dos 12 identificadores(quadrante/ângulo) da imagem de impressão digital.

TABELA IVALORES QUE IDENTIFICAM A IMAGEM PAD1 DA FIGURA 1

QuadrantesImagem Ângulo

1 2 3 40o 3,16 3,1 3,17 3,08

45o 3,64 3,57 3,66 3,56PAD190O 3,23 3,23 3,29 3,28

Quatro tipos de testes são descritos. Primeiramente, osquatro principais tipos de impressões digitais, como mostradonas Figuras 1-4, foram comparados entre si. Testes tambémforam realizados em diferentes imagens de uma mesmaimpressão digital. É apresentada a influência da rotação emimagens de impressões digitais. Finalmente, são consideradostestes gerais entre impressões digitais distintas para averificação se o método diferencia tais imagens.

V. DESENVOLVIMENTO DO ALGORITMO

Para a localização do núcleo das impressões digitais, oalgoritmo desenvolvido neste trabalho explora a técnica devizinhança de pixels [8], isto é, as linhas e vales são seguidospara a verificação das características do núcleo. A rotina paraencontrar o núcleo da impressão digital trata um valor limiteentre as linhas e vales através dos níveis de cinza da imagem.Este valor é encontrado empiricamente e é bastante próximo àmédia dos tons de cinza da imagem. A rotina procuraseqüencialmente a área onde, provavelmente, o núcleo deveestar localizado. Isto independe da resolução espacial, já que aprocura é em nível de pixels. Para cada terminação encontrada,é verificado se está interna a círculos concêntricos de linhas.Quando a terminação está envolta em círculos concêntricos,esta é determinada como um núcleo. Podem ocorrer doisnúcleos próximos, se a imagem tiver dois núcleos. Ainclinação da linha da terminação, à esquerda ou à direitadetermina se a impressão digital é presilha interna ou externa.

Quando o núcleo não é uma terminação, como a imagem deimpressão digital da Figura 1, uma nova procura é feita, destavez verificando pelos vales, da mesma forma que o efetuadopara as linhas, se o núcleo não for encontrado, o algoritmodetermina a imagem como do tipo arco.

DE OLIVEIRA AND DE ASSIS : A METHODOLOGY FOR IDENTIFICATION OF 3

A identificação da impressão digital é considerada atravésda análise do espectro de Gabor, isto é, a convolução do filtrode Gabor e a imagem de entrada. No espectro de potência, ovalor de máximo é localizado e os coeficientes em torno destesão sumarizados. Isto é realizado para cada quadrante e cadaum dos ângulos de 0o, 45o e 90o do filtro de Gabor, o queresulta em 12 valores que identificam unicamente a imagem.Um exemplo destes 12 valores é mostrado na Tabela I.

Cada imagem de impressão digital a ser avaliada terá estes12 valores que a identificam. Ao se comparar com outraimagem, se o erro de comparação dos 12 valores entre as duasimagens for menor que 5%, as imagens são consideradosoriundos da mesma impressão digital.

O algoritmo proposto neste trabalho contém nove passos:1) Localização do núcleo da imagem de impressão digital;2) Determinação de uma área relevante considerando

somente a área com impressões digitais em torno do núcleo (asáreas brancas não são tratadas);

3) A área com informações da impressão digital do passo 2é dividida em quadrantes (conforme Figura 5);

4) É utilizada a janela espacial do filtro de Gabor h(-15≤x,y≤15; σ=0,5; k=0,5) para as orientações 0o, 45o e 90o erealizado a convolução no domínio das freqüências com cadaquadrante da imagem de impressão digital;

5) O espectro de potência é obtido para cada convolução dopasso 4;

6) O elemento de máximo é determinado para cada espectrode potência;

7) Uma área, chamada mapa de coeficientes, é definida(com um raio de 40 coeficientes) em torno do número demáximo;

8) A sumarização destes coeficientes é realizada;9) O ponto de máximo divide o resultado do passo 8; o

resultado é um dos 12 valores que identificam a imagem (3ângulos para cada quadrante como o exemplo da Tabela I).

No item 7 foi determinado empiricamente um raio de 40coeficientes a partir do ponto de máximo para o mapa decoeficientes. Esse número poderia ser maior para uma melhorprecisão. No entanto, nos testes foi verificado que esse númeroatendeu aos objetivos buscados. A área da borda da imagem éignorada, porque inconsistências aglomeram-se nessa área. Osresultados experimentais demonstram que três ângulosdirecionais do filtro de Gabor são suficientes para identificarcorretamente as imagens de impressões digitais, segundos ostestes realizados.

VI. RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Foi utilizada a linguagem computacional C++ para acodificação do processo. Os testes foram realizados em umamáquina Pentium 3 com 256 Mb de RAM executando sobre osistema operacional Windows 98. As imagens de entrada dostestes foram de 256 níveis de cinza no formato BMP.

Os testes realizados foram de quatro tipos: comparaçãoentre as imagens padrão (Figuras. 1-4), comparação entre asimagens padrão e outras, comparação entre imagens

rotacionadas e finalmente, comparação aleatória entreimagens. As imagens dos testes foram de 256 e 512 escalas decinza.

As imagens das impressões digitais padrões das Figuras 1-4são de diferentes tipos e denominadas PAD1, PAD2, PAD3 ePAD4, respectivamente. Estas impressões digitais sintéticastêm mesma resolução, contraste e iluminação.

A Tabela II mostra os erros na comparação entre osidentificadores das imagens padrões (Figuras 1-4). Pode serpercebido nesta tabela que o erro relativo entre as imagensPAD1 e PAD2 é maior que 6% no quarto quadrante.Comparando as imagens PAD1 e PAD3, o erro relativo émaior que 12% no primeiro quadrante. O erro relativo é maiorque 17% no segundo e quarto quadrantes comparando osidentificadores das imagens PAD1 e PAD4.

TABELA IIERRO RELATIVO DOS IDENTIFICADORES DAS IMAGENS DAS FIGURAS 1-4

Erro/Quadrante (%)Imagens Âng.

1 2 3 40o 1,61 4,32 1,28 5,23

45o 2,41 5,80 5,43 6,56PAD1 ePAD2

90o 2,42 0,94 3,24 1,860o 5,39 1,90 3,59 3,01

45o 12,92 9,16 6,87 3,00PAD1 ePAD3

90o 1,82 0,62 1,79 1,500o 7,87 10,92 5,37 11,49

45o 14,75 17,93 12,02 17,78PAD1 ePAD4

90o 1,22 3,00 0,00 3,240o 2,62 9,20 8,66 14,08

45o 2,11 9,66 5,53 15,24PAD2 ePAD3

90o 0,61 2,40 1,82 1,770o 9,33 6,90 11,58 6,61

45o 12,65 12,87 6,97 12,01PAD2 ePAD4

90o 1,22 3,90 3,34 5,010o 7,40 2,47 2,24 8,00

45o 12,06 3,69 1,55 3,67PAD3 ePAD4

90o 0,60 1,56 1,47 3,42

Comparando os identificadores das imagens PAD2 ePAD3, o erro relativo é maior que 15% no quarto quadrante. ATabela II mostra um erro relativo maior que 12% no terceiroquadrante na comparação das imagens PAD2 e PAD4. O errorelativo entre os identificadores das imagens PAD3 e PAD4 émaior que 12% no primeiro quadrante. Estes erros relativossão no ângulo direcional de 45º.

A Figura 6 mostra duas imagens diferentes de um mesmoindivíduo e são denominadas de IND1a e IND1b,respectivamente.

A Tabela III mostra que o erro relativo é igual ou menorque 5%, margem de erro máxima tolerada pelo método. Acomparação entre as imagens da Figura 7 resulta em um errorelativo superior a 10%. Para o erro relativo ficar menor que amargem de erro permitida neste trabalho de 5%, 6º é a máximarotação tolerada. A Figura 7 mostra imagens de uma mesmaimpressão digital rotacionadas em 15º. Estas imagens são

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denominadas IND2a e IND2b, respectivamente.

Fig. 6. Duas imagens de um mesmo indivíduo capturadas em momentosdiferentes

TABELA IIIERRO RELATIVO DOS IDENTIFICADORES DAS IMAGENS IND1A-B

Erro/Quadrante (%)Imagens Ângulo 1 2 3 4

0o 2,41 0,68 3,87 2,7045o 3,19 0,94 5,00 3,14

IND1ae IND1b

90o 2,06 0,67 3,23 2,38

Fig. 7. Imagem original (IND2a) e rotacionada em 15o (IND2b)

A Tabela IV mostra alguns outros exemplos dos testesrealizados. O ângulo direcional de 45º é o mais sensível àsrotações. Geralmente, em imagens capturadas em umdigitalizador específico para impressões digitais, não hárotações das imagens maiores que 6º.

TABELA IVERRO RELATIVO COM DIFERENTES ROTAÇÕES

Rotação Maior erro (%) Quadrante Ângulo6o 4,27 4 45o

7o 5,61 4 45o

8o 6,48 4 45o

10o 7,24 3 45o

15o 10,02 4 45o

O método identifica como diferente as imagens IND1b,mostrada na Figura 6 e as imagens padrões PAD1-4 mostradasnas Figuras. 1-4, respectivamente. A comparação entre seusidentificadores apresentou erro relativo bastante grande.

Nos testes realizados em diferentes pares de imagenscapturadas de mesmos indivíduos, a comparação dosidentificadores resultou numa margem de erro menor que 5%em todos os casos. A Figura 8 mostra o percentual máximo deerro quando o método é aplicado para imagens de impressõesdigitais oriundas de um mesmo indivíduo. Segundos osresultados dos testes experimentais, na maioria dascomparações realizadas, as maiores taxas de erros entre os 12identificadores ficaram com taxa entre 2% e 3%, seguido detaxas entre 1% e 2%. As maiores taxas de erro das demaiscomparações ficaram distribuídas entre 3% e 5% e taxasmenores que 1%.

Fig. 8. Taxa percentual do maior erro entre os 12 identificadores nacomparação entre impressões digitais de um mesmo indivíduo

A Figura 9 mostra o percentual de erro quando o método éaplicado para imagens de impressões digitais distintas. Umtotal de 46 impressões digitais foi utilizado neste teste.

Fig. 9. Taxa percentual de erro entre os 12 identificadores na comparaçãoentre imagens de impressões digitais distintas

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VII. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os trabalhos anteriores que utilizam o filtro de Gaborbuscam a identificação das impressões por 16 ou 32 ângulosdirecionais do filtro. Com os testes realizados verificou-se queo método de identificação pessoal por mapa de pixels, comtrês direções do filtro de Gabor e divisão da imagem deimpressão digital em apenas quadrantes é possível realizar aidentificação de indivíduos e o fato de explorar a característicade simetria do filtro forneceu boa velocidade à rotinadesenvolvida.

O filtro de Gabor realça informações sobre quantidade delinhas e vales de uma impressão digital, bem como suasorientações e espessuras. Com estas informações, o espectrode potência resultante do método é único para cada impressãodigital. O método consegue captar esta individualidade ereconhece imagens diferentes de impressões digitais do mesmoindivíduo, bem como consegue distinguir impressões digitaisdiferentes.

Se as imagens de impressões digitais, capturadas emmomentos diferentes de um mesmo dedo, tiverem mesmaresolução, iluminação e contraste, as discrepâncias entre asimagens são diminuídas no espectro de Gabor. Portanto, taisnúmeros identificadores serão bastante semelhantes para asimagens de impressões digitais oriundas de um mesmo dedo. Ebastante diferentes em imagens capturadas de dedos distintos.

Ao se convoluir a imagem com o filtro de Gabor, o espectrode Gabor resultante é único para cada impressão digital. Adeterminação do espectro de potência, a localização do maiorcoeficiente e o mapa de coeficientes são realizados para queocorram números que identifiquem a impressão digital. Ouseja, é um método para caracterizar o espectro de Gabor.Logo, o mapa de coeficientes no espectro de potência é únicopara cada imagem. Desta forma, com menor número deângulos direcionais do filtro de Gabor conseguiu-se resultadossatisfatórios nas comparações das impressões digitais.

O método foi testado com imagens transladadas erotacionadas, ainda com imagens de diferentes indivíduos comas mesmas características na fase de digitalização. Com isto,para que duas imagens de impressões digitais do mesmoindivíduo contenham os mesmos identificadores, adigitalização de ambas as imagens deve ser feita da mesmaforma, ou seja, mesma resolução, mesma iluminação econtraste.

O ponto de referência deve ser encontrado com exatidão,pois o método é sensível à variação tanto dos valores de níveisde cinza quanto à localização destes na imagem.

O processo forneceu bons resultados e indica que pode serexplorado em um sistema automático para identificaçãopessoal quando utilizadas imagens de impressões digitais deboa qualidade. Em trabalhos futuros, o custo computacional doalgoritmo será avaliado, bem como o método será analisado deforma mais detalhada através do uso de diferentes conjuntosde imagens.

VIII. REFERÊNCIAS

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[2] Gonzaga, S. L. de O., 2004. Desenvolvimento de um AlgoritmoBaseado no Filtro de Gabor para Identificação de Impressões Digitais.2004. 46 f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional) –Instituto Politécnico, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, NovaFriburgo.

[3] Gabor, D., 1946. Theory of communication. Journal of the Institute ofElectrical Engineers, v. 93, n. 26, pp. 429-457.

[4] Lee, C. J., Wang, S. D., 1999. Fingerprint feature extraction usingGabor filters. Electronic Letters, v. 35, n. 4, pp. 288-290.

[5] Lee, C. J., Wang, S. D., Wu K. P., 2001. Fingerprint recognition usingprincipal Gabor basis function. In Proceedings International Symposiumon Intelligent Multimedia, Video and Speech Processing, 2001, HongKong: s.n. pp. 393-396.

[6] Lee, C. J., Wang, S. D., 1999. A Gabor filter-based approach tofingerprint recognition. In Proceedings IEEE Workshop on SignalProcessing Systems - SiPS, 1999. pp. 371-378.

[7] Horton, M., Meenen, P., Adhami, R., Cox, P., 2002. The costs andbenefits of using complex 2-D Gabor filters in a filter-based fingerprint-matching system. In Proceedings Southeastern Symposium On SystemTheory, 34, 2002. pp. 171-175.

[8] Gonzalez, R. C., Woods, R. E. 2002. Digital image processing. 2.ed.New Jersey: Prentice Hall.

IX. BIBLIOGRAFIAS

Sanderson L. Gonzaga de Oliveira graduou-se emComputação na Pontifícia Universidade doParaná/PUC-PR em 1995 e concluiu o mestrado emModelagem Computacional na Universidade doEstado do Rio de Janeiro/UERJ em 2002.Atualmente é doutorando em Ciência da Computaçãona Universidade Federal Fluminense/UFF. Seusinteresses de pesquisa são nas áreas de MatemáticaComputacional e Processamento de Imagens Digitais.

Joaquim Teixeira de Assis recebeu o título dedoutor em Engenharia Nuclear pela UniversidadeFederal do Rio de Janeiro/UFRJ em 1992.Atualmente é pesquisador e professor naUniversidade do Estado do Rio de Janeiro/UERJ emNova Friburgo, estado do Rio de Janeiro, Brasil. Seusinteresses de pesquisa são Processamento de ImagensDigitais, Tomografia e técnicas de raios-X.

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