A resolução de problemas de produto cartesiano

A resolução de problemas de produto cartesiano

Juliana Ferreira Gomes

Raciocínio Combinatório

Conjuntos elementares: saias e blusas Conjunto produto: roupas

Relevância

Desempenha um papel crucial no desenvolvimento cognitivo: compreensão da realidade como um caso especial do possível, aquisição do raciocínio hipotético

Subjacente a compreensão de conceitos matemáticos: a ideia de chance

Fornece a base para resolução dos demais problemas de raciocínio combinatório

Invariantes

Vergnaud (1997)

Invariantes estão relacionados com as propriedades que definem um conceito

Que invariantes relacionados ao raciocínio combinatório precisam ser compreendidos pelas crianças?

Mekhmandarov (2000)

Compreender que uma combinação é construida com apenas um item de cada um dos conjuntos elementares

Compreender que cada item dos conjuntos elementares podem aparecer em diversas combinações (correspondência um-para-muitos)

Compreender que cada par deve aparecer apenas uma vez no conjunto produto (sem repetição)

Dificuldade das crianças

A correspondência um-para-um (mais fácil) é aplicada ao invés da um-para-muitos (difícil)

A correspondência um-para-muitos é mais fácil em problemas de isomorfismo do que em problemas de produto de medidas

Estes invariantes estão implícitos, especialmente a correspondência um-para-muitos

Não utilização de método sistemático na formação das combinações

Inhelder & Piaget (1958); Piaget & Szeminska (1971); Piaget & Inhelder (1975); Nunes & Bryant (1997); Eizenberg & Zaslavsky (2002; 2003); Moro & Soares (2006); Pessoa & Borba (2007; 2008)

Pesquisa

OBJETIVO: Investigar se a explicitação dos princípios que regem o raciocínio combinatório permitiria a resolução de problemas de produto cartesiano pelas crianças As crianças seriam capazes de aplicar a correpondência um-para-muitos? As crianças usariam um método sistemático na formação das combinações? O desempenho varia entre tipos de problema?

Pesquisa

Duas situações foram comparadas: uma em que os princípios estavam implícitos e outra em que esses princípios foram claramente mencionados Dois tipos de problemas foram comparados: percurso e conjunto

Hipótese

situação explícita > situação implícita problemas de percurso > problemas de conjunto (correspondência um-para-muitos mais evidente)

Planejamento Experimental

Oito problemas de produto cartesiano (multiplicação) apresentados em única sessão As crianças foram solicitadas a justificar seu procedimento de resolução Gravações em aúdio Foram disponibilizados lápis e papel

Participantes

Quarenta crianças de classe média, com média de oito anos e dois meses, alunas do 3º ano do ensino fundamental

Nenhuma instrução sobre a multiplicação na escola

Grupo 1 (implícito – explícito)

Grupo 2 (explícito - implícito)

Problemas de Percurso

Situação 1 (implícita)

O parque tem duas entradas e quatro saídas. Combinando as entradas e saídas, Pedro pode fazer caminhos para entrar e sair do parque. De quantas maneiras diferentes ele pode entrar e sair do parque?

Situação 2 (explícita)

Maria foi ao parque que tem quatro entradas e duas saídas. As pessoas têm de entrar pelas entradas e sair pelas saídas. Elas não podem entrar e sair pela mesma porta. Por exemplo, Maria pode entrar através de uma entrada e sair pela saída 1. Se ela vai novamente ao parque, ela pode entrar pela mesma entrada e sair pela saída 2, que é um caminho diferente do que ela usou da primeira vez, não é? Durante as férias, Maria quer ir ao parque muitas vezes em dias diferentes, mas ela não quer repetir os caminhos de entrada e saída. Combinando todas as entradas e saídas, de quantas maneiras diferentes ela pode entrar e sair do parque?

Problemas de Conjunto


Bia tem duas saias e três blusas. Ela quer combinar as saias e as blusas para formar conjuntos. Quantos conjuntos diferentes ela pode formar?


Ana vai viajar para casa de seu avô. Colocou cinco saias e duas blusas dentro da mala. Ela pode combinar as saias e blusas para formar conjuntos, mas ela não pode usar todas as saias e blusas de uma vez. Ela quer usar roupas diferentes todos os dias e não quer repetir os conjuntos. Por exemplo, ela pode usar uma dia a saia preta e a blusa laranja, no outro dia ela pode usar a mesma saia preta com a blusa verde, seria um conjunto diferente, não é? Combinando todas as blusas e saias, quantos conjuntos diferentes ela pode formar?

Estratégias incorretas

Estratégia 1

Adição ou subtração dos números contidos no problema, nenhuma tentativa de combinar elementos

C: Sete! E: Como você fez? C: Eu pensei. Eu fiquei pensando nas operações e somei os números. E: O que você somou? C: Aqui (aponta para o 2) e aqui (aponta para o 5). E: Por que você somou o 2 com o 5? C: Pra saber os conjuntos. E: Esse 2 é o que? C: São 2 saias. E: E o 5? C: As blusas. Aí eu fiz 2 + 5. Dá 7 conjuntos.

conjunto: 2 saias e 5 blusas

Estratégia 2

Pares fixos, sem aceitar a ideia de que um elemento pode ser usado em mais de uma combinação

C: 3 conjuntos. Porque ele só tem 3 calças e 5 camisas. Isso não dá pra todo dia. Ele só levou 3 calças... Só isso não dá. E: Por que não dá? C: Porque ele não quer repetir os conjuntos. Mas ele só tem 3 calças e 5 camisas. E: Então me diz quais são os conjuntos. C: A calça preta e a camisa vermelha, a calça azul e a camisa verde, a calça marrom e a camisa amarela.

conjunto: 3 calças e 5 camisas

Estratégia 3

Um elemento pode ser usado em mais de uma combinação, mas isso não é feito de forma exaustiva

percurso: 6 entradas e 2 saídas

C: São seis caminhos. Eu contei. E: Me explica como você contou. O que você fez aqui no papel? C: Porque tem entrada e saída. Ela entrou e saiu. E: Você disse que ela fez 6 caminhos, quais foram os caminhos? C: A com 2, B com 1, C com 1, D com 2, E com 1, F

com 2.

Estratégias Combinatórias

Estratégia 4

Correspondência um-para-muitos com todas as combinações possíveis (adição repetida)

percurso: 2 entradas e 6 saídas

C: Entra pela A e sai pela 1, 1! Entra pela A e sai pela 2, 2! Entra pela A e sai pela 3, 3! Entra pela A e sai pela 4, 4! Entra pela A e sai pela 5, 5! Entra pela A e sai pela 6, 6! Entra na B e sai pela 1, 7! Entra na B e sai pela 2, 8! Entra na B e sai pela 3, 9! Entra na B e sai pela 4, 10! Entra na B e sai pela 5, 11! Entra na B e sai pela 6, 12!

Estratégia 5

Correspondência um-para-muitos com todas as combinações possíveis (adição repetida)

conjunto: 2 saias e 5 blusas

C: 10 conjuntos. E: 10? Como você fez? C: Eu fiz as 5 blusas, depois coloquei uma saia para cada blusa, depois coloquei a outra saia. E: Por que você colocou o número 2 aqui embaixo? C: Porque cada blusa pode combinar com a saia marrom e com a saia preta, são dois conjuntos. E: Ah! E depois você fez o que? Como descobriu que eram 10 conjuntos? C: Ficou 2 + 2 + 2 + 2 + 2. Eu somei tudo e deu 10.

Estratégia 6

Multiplicação dos números contidos no problema, estabelecendo todas as combinações possíveis

conjunto: 3 calças e 5 camisas

E: Por que você fez 3 x 5? C: Aqui tá dizendo que combinando as camisas com as calças ele pode ter conjuntos diferentes, como ele tem 3 calças e 5 camisas, essa calça (aponta para a primeira calça) vai com 5 camisas, essa outra (aponta para a segunda calça) vai com 5 e essa outra (aponta para a terceira calça) vai com 5 também. Ai é 3 x 5 que é 15.

Resultados

Resultados

Problemas Percurso Problemas Conjunto Total


51,2 50 50,6


67,5 60 63,8

Total 59,4 55

Tabela 1: % das respostas corretas

Resultados

Grupo 1 (implícita-explícita)

Problemas Percurso Problemas Conjuntos Total


27,5 25 26,2


62,5 50 56,2

Total 45 37,5

Grupo 2 (explícita-implícita)


75 75 75


72,2 70 71,2

Total 73,5 72,5

Tabela 2: % das respostas corretas

Resultados

Grupo 1

(implícita-explícita)

Grupo 2

(explícita-implícita)

S1 (implícita) S2 (explícita) S1 (implícita) S2 (explícita)

Estratégia 1 20 5 7,5 10

Estratégia 2 13,8 11,2 10 7,5

Estratégia 3 38,8 27,5 7,5 10

Estratégia 4 3,7 16,3 11,2 10

Estratégia 5 21,2 33,8 42,6 46,2

Estratégia 6 2,5 6,2 21,2 16,3

Considerações

Não houve diferença significativa entre problemas de percurso e conjunto

As crianças melhoram significativamente na Situação 2, tanto em termos de respostas corretas , como nas estratégias adotadas (em geral, grupo 2)

Efeito de ordem: a performance na Situação 1 (implícita) melhorou significativamente quando os problemas foram resolvidos após a Situação 2 (explícito)

Discussão e Conclusão

A explicitação dos princípios que regem o raciocínio combinatorio: (i) ajudam as crianças a resolver problemas de produto cartesiano (ii) promove o uso de estratégias mais elaboradas envolvendo a correspondência um-para-muitos (iii) promove o uso de um método sistemático para formar combinações uma vez que os princípios invariantes do raciocínio combinatório se tronam explícitos para a criança, ela é capaz de aplicá-los nas situações em que estes princípios estão implícitos (grupo 2: explícito- implícito)

Discussão e Conclusão

Erro de desenvolvimento: estratégia 3 indica o surgimento da ideia de combinações flexíveis (correspondência um-para-muitos)

Desenvolvimento das estratégias corretas: combinações por contagem e adição repetida, utilização da multiplicação (raro)

Estratégias adequadas foram mais frequentes na situação explícita, elas foram mais frequentes nos problemas implícitos quando os problemas da situação explícita foram resolvidos primeiro

Implicações Educacionais

Estudo de intervenção no qual os princípios invariantes que

regem o raciocínio combinatório seriam explicitamente

mencionados pelo professor em variadas situações

sequência didática (explícita-implícita)

escola primária

Além dos limites do pensamento das crianças, há possibilidades

que precisam ser exploradas em relação à capacidade de

resolver problemas combinatórios

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