A Teoria de Bohm-de Broglie e as Singularidades …cbpfindex.cbpf.br/publication_pdfs/Tese Doutorado final...A Teoria de Bohm-de Broglie e as Singularidades Cosmolo´gicas Diego Moraes

CENTRO BRASILEIRO DE PESQUISAS FISICAS

ICRA

Tese de Doutorado

A Teoria de Bohm-de

Broglie e as Singularidades

Cosmologicas

Diego Moraes Pantoja

Orientador: Prof. Dr. Nelson Pinto Neto

Rio de Janeiro

2014

CENTRO BRASILEIRO DE PESQUISAS FISICAS

ICRA

Tese de Doutorado

A Teoria de Bohm-de

Broglie e as Singularidades

Cosmologicas

Diego Moraes Pantoja

Banca Examinadora:

Orientador: Prof. Dr. Nelson Pinto Neto

Rio de Janeiro

2014

Resumo

Este trabalho consiste em estudar possıveis configuracoes quanticasde singularidades para o universo que, uma vez modelado classica-mente atraves da constituicao de um espaco de Friedmann-Lemaıtre-Robertson-Walker, e conduzido para diferentes tipos de singularida-des classicas dependendo da natureza da materia que e composto.Para uma materia, ou seja, campo escalar de natureza fantasma, quee regida por uma equacao de estado do tipo p = ωρ onde ω < −1aparecera o Grande Rasgo(Big Rip). Para a materia, podendo de-pender de campo escalar padrao ou fantasma, que e regida por umaequacao de estado do tipo gas generalizado de Chaplygin p = − A

ρβ,

surgirao singularidades denominadas de Grande Parada(Big Brake),Grande Arranque(Big Demarrage) e Grande Congelamento(Big Fre-eze). Todas essas singularidades serao levadas a um nıvel quanticoatraves do procedimento de quantizacao de Dirac-Wheeler-DeWitt,para modelos de minisuperespaco de FLRW e, via interpretacao deBohm-de Broglie da mecanica quantica.

Abstract

This work is intended to study possible quantum configura-tions of singularities to the universe that, once classically modeledby forming a Friedmann-Lemaıtre-Robertson-Walker spacetime, isconducted for different types of classical singularities, depending onthe nature of matter it contain. For a scalar field of phantom na-ture, which is governed by an equation of state of the type p = ωρwhere ω < −1, appears the Big Rip. To the matter that can beeither ordinary scalar field or phantom scalar field, which is gov-erned by an equation of state of the type generalized Chaplygingas p = − A

ρβ, singularities named Big Brake, Big Demarrage and

Big Freeze will appear. All these singularities will be taken to aquantum level through the Dirac-Wheeler-DeWitt quantization ofsuch FLRW minisuperspace models, and, interpreted following theBohm-de Broglie theory of quantum mechanics.

1

Agradecimentos

• Agradeco primeiramente a Deus por todo tipo de ajuda nashoras difıceis e por todas as conquistas alcancadas.

• Agradeco especialmente a minha esposa Nilma Alaıde por meproporcionar essa fascinante experiencia de ser o pai da NinaAlaıde, por todo esse tempo juntos, pelo companheirismo, pelapaciencia e gostaria de dizer que sem voce eu nao conseguiriaterminar essa tese.

• Agradeco aos meus pais Carlos Alberto e Maria Do Carmo,que conseguiram com toda dificuldade me proporcionar umaotima educacao, aos meus irmaos Danilo e Dayane por sempretorcerem por mim, aos meus sobrinhos, aos meus avos IzolinoPantoja e Maria Celia, aos meus avos Mario Moraes e Senho-rinha Saldanha, e ao restante da minha famılia por sempre meapoiar.

• Agradeco ao professor Nelson Pinto Neto pela orientacao destetrabalho bem como sua paciencia para comigo.

• Agradeco a oportunidade de expressar a enorme gratidao aosamigos: Alan Martins Oliveira, Claudio, Marcio.

• Agradeco ao CNPQ pela bolsa de estudos.

• Agradeco a todos os funcionarios e professores do ICRA por otodo apoio.

Sumario

1 Introducao 4

2 Formalismo Hamiltoniano da Relatividade Geral 8

2.1 Formalismo Hamiltoniano da Relatividade Geral . . . 82.2 O Universo de Friedmann-Lemaıtre-Robertson-Walker 152.3 O Modelo classico do Grande Rasgo . . . . . . . . . . 172.4 O Modelo classico da Grande Parada . . . . . . . . . 252.5 O Modelo classico do Grande Arranque . . . . . . . . 292.6 O Modelo classico do Grande Congelamento . . . . . 35

2.6.1 O Grande Congelamento sem Materia Fantasma 362.6.2 O Grande Congelamento com Materia Fantasma 41

3 Quantizacao de Dirac-Wheeler-DeWitt 48

3.1 A Equacao de Wheeler- DeWitt . . . . . . . . . . . . 483.1.1 Minisuperespaco Quantico das Singularidades 513.1.2 A Aproximacao WKB para o Modelo de Minisuperespaco 53

3.2 Minisuperespaco do Grande Rasgo . . . . . . . . . . 543.2.1 Aproximacao WKB Para o Modelo Grande Rasgo 56

3.3 Minisuperespaco da Grande Parada . . . . . . . . . . 573.3.1 A Solucao Aproximada WKB Para a Grande Parada 59

3.4 Minisuperespaco do Grande Arranque . . . . . . . . . 633.5 Minisuperespaco do Grande Congelamento . . . . . . 65

3.5.1 Minisuperespaco com Materia Ordinaria . . . 653.5.2 Minisuperespaco com Materia Fantasma . . . 68

4 Trajetorias Bohmianas e Singularidades 70

4.1 Mecanica quantica de Bohm-de Broglie . . . . . . . . 704.2 Interpretacao de Bohm-de Broglie da Cosmologia Quantica 734.3 O Minisuperespaco BdB da Cosmologia Quantica e as solucoes WKB 75

2

SUMARIO 3

4.4 Trajetorias Bohmianas do Grande Rasgo . . . . . . . 774.5 Trajetorias Bohmianas da Grande Parada . . . . . . 824.6 Trajetorias Bohmianas do Grande Arranque . . . . . 904.7 Trajetorias Bohmianas do Grande Congelamento . . . 94

4.7.1 Trajetorias Bohmianas com Materia Ordinaria 944.7.2 Trajetorias Bohmianas com Materia Fantasma 97

5 Conclusoes 104

Capıtulo 1

Introducao

A cosmologia quantica1 deu um grande salto tecnico a partir dasegunda metade do seculo passado ate os dias de hoje. Aspectosda natureza quantica da gravidade surgem naturalmente em um es-tado humano de curiosidade, principalmente apos o estabelecimentodas bases da mecanica quantica dados por Plank, Bohr, Heisenberg,Schrodinger e Von Neumann e, alem disso, dos trabalhos de Diracsobre sistemas vinculados [2]. A pergunta que deve ter surgido a umtempo atras foi “por que nao tentamos quantizar a gravitacao?”. Agravitacao foi estabelecida atraves da Teoria da Teoria da Relativi-dade Geral(TRG) de Einstein. Essa teoria modela a dinamica doespaco-tempo sob acao da materia em que, a vemos repousar sobreuma variedade lorentziana, que e o analogo a variedade riemanni-ana exceto pelo fato que a metrica definida positiva deve ser trocadapela metrica de assinatura (−,+,+,+).

Propostas para a descricao da gravitacao quantica existem cujopodemos encontrar detalhes nos livros [3, 4]. Contudo, estamos in-teressado exclusivamente em gravitacao canonica e, coube aos fısicosJohn Wheeler e Bryce DeWitt [5, 6] sistematizar as bases do quechamamos hoje de geometrodinamica quantica, que sera a base donosso trabalho a seguir.

O ponto onde queremos chegar e na impressionante lacunadeixada/surgida pela TRG para a descricao do problema que po-

1Para ter uma boa compreensao a respeito deste assunto, o leitor e convidado a ler o livro“Quantum Cosmology and Baby Universes”[1].

4

CAPITULO 1. INTRODUCAO 5

deria ocorrer singularidades no espaco-tempo. Uma singularidadesignifica que quantidades fısicas, invariantes sob quaisquer trans-formacoes de coordenadas, como densidade de energia e curvatura doespaco-tempo, teriam valores infinitos e, matematicamente falando,isso implicaria que no entorno da singularidade nao poderıamosrecobrir essa regiao por geodesicas contınuas, ou seja, nao conse-guirıamos observar partıculas livres atravessando essa regiao.

O interesse nos estudos sobre as consequencias catastroficaspara o espaco-tempo, da existencia de singularidades, aumentou sig-nificativamente depois da descoberta em 1998 e 1999 que o universoesta experimentando uma fase de expansao acelerada[7, 8]. As ob-servacoes parecem permitir tambem que a densidade de energia ρ ea pressao p podem estar relacionadas tanto por ρ + 3p < 0 quantopor ρ+ p < 0, onde a primeira leva a uma descricao de materia de-nominada de quintessencia [9] e a segunda equacao leva a um campofantasma [11, 12], uma forma estranha de materia, descrita por umpotencial exponencial e com a caracterıstica de fazer surgir umasingularidade chamada de Grande Rasgo(Big Rip) [10, 11, 12, 13],caracterizada pela divergencia do fator de escala a (t) e da densi-dade energia ρ (t) para um tempo futuro finito. Historicamente,campos fantasmas foram primeiro introduzidos por Hoyle na teoriado campo estacionario[23, 24, 25].

Outro tipo de singularidade que surge e a Grande Parada(BigBrake), que tambem e conhecida como “Soft”, “Quiescent”ou “Sudden”[14,15, 16, 48]. Diferentemente do Grande Rasgo(Big Rip), a GrandeParada(Big Brake) ocorre para um valor finito do fator de escalana qual o parametro de Hubble e sua primeira derivada divergem e,nesse caso, o universo sofre um repentina parada na sua expansaoexperimentando uma grande desaceleracao a → −∞. Esse tipo desingularidade pode surgir em modelos simples que obedecem a umaequacao de estado do tipo gas Anti-Chaplygin p = −A

ρ. Equacoes

de estado do tipo gas de Chaplygin surgiram no intuito de unificaro setor escuro da materia no universo [17, 18].

Uma evolucao do gas de Chaplygin e o gas de Chaplygin ge-neralisado [17] que possui equacao de estado p = − A

ρβ. Esse tipo de

equacao de estado da como consequecia o surgimento das singulari-


dades denominadas de Grande Congelamento(Big Freeze) e GrandeArranque(Big Demarrage)[49]. Essas singularidades se caracterizampelo fato de que, para o fator de escala e tempo finitos, existe umadivergencia do parametro de Hubble e sua primeira derivada, le-vando a divergencia da densidade energia e da curvatura.E fundamental atacarmos o problema das singularidades que ocor-rem na relatividade geral, em especial, aquelas que surgiram recen-temente com as descobertas da atual fase de aceleracao do universo.Uma maneira de fazermos isso e atraves da cosmologia quantica,que se utiliza de descricoes da gravitacao quantica para dar umaconfiguracao de estudo a esses problemas. Entao, estando munidodessas descricoes, seria interessante analisarmos tais singularidadessob o ponto de vista da gravidade quantica (lembrando que fazemosisso nas imediacoes da singularidades quando as energias envolvidassao da ordem da energia de Plank). . O que ocorre ao observar-mos os estudos na literatura e que um dos criterios utilizados paratal abordagem e construir solucoes das equacoes de Wheeler-deWittde tal maneira que o pacote de ondas nao passe pelo ponto ondelocaliza-se a singularidade [5, 44, 48, 52]. Contudo, como garantirque grandezas fısicas tais como densidade de energia e volume naoexplodam? Lembramos aqui que nao ha uma clara interpretacaode ψ como uma densidade de probabilidade, ja que nao e possıvelconstruir um espaco de Hilbert para as solucoes das equacoes deWheeler-DeWitt no caso geral do superespaco quantico. Podemosfazer uma outra pergunta, uma nova configuracao quantum cos-mologica nao poderia apenas deslocar a singularidade para um mo-mento posterior/anterior da ocorrencia da classica. Tais perguntaspodem ser, em parte, respondidas utilizando-se a interpretacao damecanica quantica de Bohm-de Broglie. Essa interpretacao e on-tologica e assume que as partıculas sao reais e caminham sobre umatrajetoria bem definida, sendo defendida por Bohm e Hiley em [19].

E importante ressaltar que essa interpretacao nao contradiz o te-orema de Bell[20] porque, a teoria e claramente nao local. Alemdisso, a interpretacao de Born e nao local tambem. Uma outrainterpretacao frequentemente utilizada na teoria quantica e a inter-pretacao de varios mundos [21].

Dessa forma, essa tese discutira todos esses elementos apresen-tados ate aqui e, serao sistematizados da seguinte maneira. No cap.


(II) estabeleceremos as bases classicas do formalismo hamiltoni-ando da gravitacao via foliacao do espaco-tempo pelo metodo ADM.Alem disso, daremos a configuracao do surgimento das singularida-des Grande Rasgo(Big Rip), Grande Parada(Big Brake), GrandeCongelamento(Big Freeze) (com e sem materia fantasma) e GrandeArranque(Big Demarrage), tudo isso para o modelo de universoclassico de Friedmann-Lemaıtre-Robertson-Walker(FLRW). Para ocap.(III), apresentaremos o contexto quantico em que essas singula-ridades estao inseridas. Para isso, desenvolveremos o procedimentode quantizacao de Dirac-Wheeler-DeWitt da teoria da relatividadegeral e, mostraremos a solucao da equacao de Wheeler-DeWitt paracada singularidade em modelos de minisuperespaco de FLRW. Japara o cap.(IV), vamos discutir os aspectos tecnicos da interpretacaode Bohm-de Broglie (BdB) da mecanica quantica para dar sentidoa cosmologia quantica e, apresentar a equacao de Wheeler-DeWittvia equacao de Hamilton-Jacobi que, e a mesma equacao da TRGcom a adicao do potencial quantico. Alem disso, utilizaremos ainterpretacao BdB da cosmologia quantica, na aproximacao do mi-nisuperespaco de FLRW, para encontrar as trajetorias Bohmianasde cada uma das singularidades e, entao, poder concluir com maispropriedade argumentativa se as singularidade em questao ainda so-brevivem aos efeitos quanticos.

Capıtulo 2

Formalismo Hamiltoniano

da Relatividade Geral

A Relatividade Geral, uma teoria que descreve a gravitacao, apre-senta singularidades em solucoes das equacoes de campo de Einstein.Essas singularidades sao uma ruptura no contınuo espaco-tempo,ou seja, algumas grandezas fısicas como curvatura espacial e densi-dade de energia assumem valores que tendem ao infinito nesses pon-tos. Entao, acabam-se as maneiras de trabalharmos na descricaode fenomenos da natureza relacionados a gravitacao. Dessa forma,nas secoes seguintes deste capıtulo, iremos estabelecer as bases doformalismo Hamiltoniano da Relatividade Geral, para assim, levar-mos a teoria no contexto de algumas singularidades cosmologicasclassicas para o domınio quantico.

2.1 Formalismo Hamiltoniano da Relatividade

Geral

A formulacao Hamiltoniana consiste em construir uma dinamicapara as variaveis canonicas (q, πq) que sao quantidades que formamo espaco de fase das 2n-uplas (q, πq) ≡ (q1, ..., qn, πq1 , ..., πqn). Paraisso, precisamos construir um ambiente geometrico para a Relativi-dade Geral consistindo num espaco-tempo quadridimensional queprecisa ser decomposto em hipersuperfıcies do tipo espaco. Emcada hipersuperfıcie, variaveis canonicas podem ser definidas com

8

CAPITULO 2. FORMALISMOHAMILTONIANODARELATIVIDADEGERAL9

as quais evoluem ao longo de cada foliacao1. Comecaremos de umavariedade lorentziana M com o espaco-tempo metrico g de assina-tura (−,+,+,+). Esta metrica e solucao das equacoes de Einsteinderivadas via princıpio variacional da acao de Einstein-Hilbert que,acoplada minimamente a materia, e escrita sem levar em conta ostermos de superfıcies da seguinte forma,

S =1

k2

(∫

Md4x

√−g(R− 2Λ)

)

+ Smat, (2.1)

onde, k2 = 8πGc4

e o acoplamento entre a gravitacao e materia,R = Rµ

µ e o escalar de Ricci que e a contracao do tensor de RicciRµν da metrica g, Λ e a constante cosmologica e Smat e o termo demateria.Queremos estabelecer nesse momento as bases para a foliacao doespaco-tempo. Entao, iremos proceder com a decomposicao da va-riedade M em hipersuperfıcies tridimensionais tipo espaco. Essashipersuperfıcies serao na verdade hipersuperfıcies de Cauchy: os es-tabelecimentos das condicoes inicias nessas hipersuperfıcies determi-narao (atraves dos difeomorfismos) as unicas solucoes das equacoesde Einstein. Hoje sabemos que tais hipersuperfıcies nao existempara espacos-tempo arbitrarios mas apenas para globalmente hi-perbolicos [26].Esses espacos-tempo globalmente hiperbolicos sao difeomorfos a umproduto de uma variedade tridimensional tipo espaco Σ com a linhareal. Esse difeomorfismo e simplesmente a foliacao

E : Σ×ℜ −→ M(x, t) 7−→ E (x, t) .

Agora, assumiremos Σ compacta. Para cada t ∈ ℜ, conseguimosuma incorporacao da hipersuperfıcie Σ em M

Et : Σ −→ Mx 7−→ Et(x) = E(x, t).

Dessa maneira, uma funcao com um tempo global pode ser defi-nido. Sendo entao,

E−1 : M −→ Σ×ℜX 7−→ E−1(X) = (σ(X), τ(X)),

1Este formalismo foi desenvolvido por R. Arnowitt, S. Deser e C. W. Misner em 1962 [28].


Figura 2.1: Duas imersoes das hipersuperfıcies Σ em M sao mostradas. Essasimersoes estao separadas por uma foliacao temporal com intervalo δt. Do ladoesquerdo, as curvas do tipo tempo Ex(t) e Ey(t) para dois pontos x, y ∈ Et(Σ)sao mostrados. O vetor deformacao Ey(t) e mostrado em y. A figura no ladodireito ilustra a interpretacao geometrica do lapso e do vetor deslocamento.

onde, σ : M −→ Σ e τ : M −→ ℜ. Entao, τ(Et(x)) = t. Esse ma-peamento associa a cada ponto na variedade M uma coordenadatemporal em ℜ, a foliacao do tempo. Para todo x ∈ Σ a aplicacaoEx : ℜ −→ M define uma curva tipo tempo em M. Seu vetortangente e Ex, onde o ponto significa uma derivada com relacaoao tempo t. Como isso permanece para cada x ∈ Σ, isso define umcampo vetorial tangente chamado de campo vetorial de deformacoes.Para cada ponto X ∈ Et(Σ) que descreve a mudanca do mergulhocomo funcao de t. Um campo vetorial especifica como uma hiper-superfıcie Et(Σ) e deformada em outra infinitesimalmente vizinhaEt+δt(Σ), ver Fig.(2.1).Se nos introduzirmos as coordenadas Xα, α = 0, ..., 3, em M (quenao devem ser confundidas com o ponto X ∈ M), esse campo temcomponentes Eαx onde Eα = Xα(Et(x)) em cada ponto x na hipersu-perfıcie.

Mantendo em mente que queremos uma teoria que esta definidaem hipersuperfıcies espaciais, teremos que encontrar uma maneirade separar quantidades que estao na hipesuperfıcie e que estao or-togonais a ela. Isto pode ser feito com a ajuda do campo vetorial


hipersuperfıcie normal n. Entao, para cada imersao Σt e definidovia

nα(x)Eαt ,α (x) = 0, (2.2)

onde Eαt ,α (x) = ∂Eα(x,t)∂xα

e x ∈ Σ. Alem do mais, como estamosinteressados em imersoes do tipo espaco, nos queremos que estanormal satisfaca

gαβ(x)nα(x)nβ(x) = −1. (2.3)

Ambas as equacoes implicam que o campo vetorial normal dependedo espaco-tempo metrico g bem como das imersoes Et. Assim, paraser correto, nos deverıamos escrever n = n(x, Et, g).Com essas quantidades, nα(x) e Eαt ,α (x), nos podemos decomporcada tensor em suas partes ortogonal a hipersuperfıcie e normal ahipersuperfıcie. Entao, para o vetor deformacao, nos escrevemos

Eαx (t) = N(x, t)gαβnβ +N i(x, t)Eαt ,i . (2.4)

Chamaremos a funcao N(x, t) de funcao lapso e o trivetor−→N com

componentes N i(x, t) de vetor deslocamento. Usamos (x, t) comouma maneira abreviada para denotar suas dependencias na imersaoe a localizacao na hipersuperfıcie Σ.Como temos visto, as funcoes acima definidas descrevem a mudancada hipersuperfıcie com t nas direcoes ortogonal e tangencial, respec-tivamente. Mais precisamente, para duas imersoes Et(Σ) e Et+δt(Σ),N(x, t)δt da a separacao entre Et(Σ) e Et+δt(Σ) normal a Et(Σ), ouseja, N(x, t)δt = δ⊥τ(x). Similarmente, N i(x, t)δt descreve o deslo-camento de Et+δt(x) com relacao a um ponto que e a interseccao dageodesica normal a Et(x) com Et+δt(Σ). Deixemos essa interseccaono ponto ter coordenadas xi + δxi em Σ. Entao, podemos escre-ver isso como N i(x, t)δt = −δxi, e tudo isso pode ser observado nafig.(2.1)

(E∗g)00(x, t) = hijNiN j −N2,

(E∗g)i0(x, t) = hijNj,

(E∗g)ij(x, t) = hij.

Assim, o lapso e o deslocamento sao basicamente as componentesda metrica do espaco-tempo metrico g. Sempre que encontrarmosuma versao resumida dessa decomposicao, devemos sempre lembrar


dos detalhes conectados com a imersao. Entao, a metrica do espaco-tempo e simplesmente dada em sua forma ADM como

(gµν) =

(

−N2 +NkNk Nj

Ni hij

)

, (2.5)

com inversa

(gµν) =

(

− 1N2

Nj

N2

N i

N2 hij − N iNj

N2

)

, (2.6)

de tal maneira que o elemento de linha em sua forma padrao (3+1)e dado por

ds2 = −(

N2 −N iNi

)

dt2 + 2Nidxidt+ hijdx

idxj, (2.7)

onde hij e a 3-metrica da hipersuperfıcie. Entao, voltando a acao(2.1) de Einstein-Hilbert acoplada minimamente ao campo de materiae sem constante cosmologica (Λ = 0), temos

S =1

k2

(∫

Md4x

√−gR + 2

∫

∂Md3xh

12K

)

+ Smat, (2.8)

onde Smat e o termo de materia para uma dado campo escalar φ, detal forma que

Smat =

∫

Md4x

√−g[

−l12gµν∂µφ∂νφ− V (φ)

]

, (2.9)

com l uma constante que assume valores +1,−1 dependendo se ocampo escalar for de natureza ordinaria padrao ou fantasma respec-tivamente, h sendo o determinante da 3-metrica hij e K o traco dacurvatura extrınseca Kij, que descreve como as hipersuperfıcies es-pacias Σ curvam-se com relacao a quadrivariedade espaco-temporalM com os quais elas estao imersas, sendo que

Kij =1

2N

(

DiNj +DjNi −∂hij∂t

)

. (2.10)

onde os ındices latinos (i, j = 1, 2, 3). O aparecimento da curvaturaextrınsica na acao e devido a termos de derivadas normais nao seanularem no contorno ∂M. O sımbolo Di siginifica a i-esima com-ponente da derivada covariante na hipersuperfıcie Σ. Estamos nesse


momento querendo expressar a acao eq.(2.8) em termos das variaveis(3+1). Entao, pode-se mostrar que

4R = 3R−K2 +KijKij, (2.11)

e que √−g = N√h. (2.12)

Entao, encontramos

S =1

k2

∫

d3xdtN√h(

KijKij −K2 +3 R)

+ Smat, (2.13)

onde 3R e o escalar de Ricci na Hipersuperfıcie espacial. Escrevendoa metrica de DeWitt[5] dada por

Gijkl =2√h(hikhjl + hilhjk − hijhkl) , (2.14)

cuja inversa e

Gijkl =√h

[

1

2

(

hikhjl + hilhjk)

− hijhkl]

, (2.15)

podemos identificar a partir da acao eq.(2.13)

L =1

k2N(

GijklKijKkl +3 R

√h)

+N√h

[

−l12∂µφ∂

µφ− V (φ)

]

.

(2.16)Calculando os momenta canonicamente conjugados a N , Ni, hij e φ,denotados por π0, πi, πij e πφ respectivamente, a partir da equacaoacima, obtemos

π0 =∂L

∂N= 0, (2.17)

πi =∂L

∂Ni

= 0, (2.18)

πij =∂L

∂hij

=2N

k2GklmnKkl

∂Kmn

∂hij

= −Gijkl

k2Kkl, (2.19)


e

πφ =∂L

∂φ

=l√h

N

(

φ−N i∂iφ)

. (2.20)

O fato de os momenta canonicamente conjugados a N e Ni se anu-larem nas equacoes (2.17) e (2.18), implica a existencia de vınculosprimarios na terminologia de Dirac [2, 27]. Podemos obter a densi-dade hamiltoniana de uma maneira canonica atraves de:

H = π0N + πiNi + πijhij + πφφ− L

= πij (DiNj +DjNi − 2NKij)

+πφ

(

lNπφ√h

+N i∂iφ

)

− N

k2

(

GijklKijKkl +3R

√h)

−N√h

[

−l12g00∂0φ∂0φ− lg0i∂0φ∂iφ− l

1

2gij∂iφ∂jφ− V (φ)

]

= 2πijDiNj − 2NπijKij

+lN√hπ2φ +N iπφ∂iφ− N

k2

(

k4Gijklπijπkl + 3R

√h)

−N√h

[

lφ2

2N2− l

N i

N2φ∂iφ− l

1

2

(

hij − N iN j

N2

)

∂iφ∂jφ− V (φ)

]

= N

(

k2Gijklπijπkl −

3R√h

k2+ l

π2φ

2√h+ l

√hhij

2∂iφ∂jφ+

√hV (φ)

)

+N j(

−2Diπij + πφ∂jφ

)

, (2.21)

em que foram utilizadas as expressoes eq.(2.17) a eq.(2.20) e o fatode que

GijklGklmn = δmnij , (2.22)

∫

Di

(

πijNj

)

d3x =

∫

(

πijDiNj +NjDiπij)

d3x = 0 (2.23)

Nj

(

Diπij)

= Nj

(

Dihlj)

πil −Njhlj(

Diπil

)

,

= N jDiπij. (2.24)

Escrevendo a densidade hamiltoniana sob a forma

H = NH0 +N jHj, (2.25)


temos que

H0 = k2Gijklπijπkl −

3R√h

k2+ l

π2φ

2√h

+l√hhij

2∂iφ∂jφ+

√hV (φ) , (2.26)

eHj = −2Diπ

ij + πφ∂jφ. (2.27)

Em termos dessas novas variaveis a acao eq.(2.13) torna-se

S =

∫

dtd3x(

π0N + πiNi −NH0 −NiHi)

(2.28)

Se nos variarmos a acao eq.(2.28) com relacao a πij e πφ nos obtere-mos as eqs. (2.19) e (2.20). As funcoes lapso e deslocamento agemagora como multiplicadores de Lagrange. Variando a acao eq.(2.28)com respeito a funcao lapso, N , chegamos ao vınculo hamiltoniano.

H0 = 0. (2.29)

Variando a mesma acao com relacao ao vetor deslocamento Ni che-gamos ao vınculo do momento

H i = 0. (2.30)

Esses sao chamados de vınculos secundarios ou dinamicos na termi-nologia de Dirac. Podemos perceber das eqs.(2.26) e (2.27) que essesvınculos sao simplesmente as componentes G00 e G0i das equacoesde Einstein. Esses vınculos farao um papel importante no procedi-mento de quantizacao.

2.2 O Universo de Friedmann-Lemaıtre-Robertson-

Walker

Estamos interessados no modelo de Friedmann-Lemaıtre-Robertson-Walker para o universo espacialmente plano, ou seja, de constantede curvatura K = 0. Sendo assim, a 3-metrica sera escrita como

hij (qα, t) dxidxj = a(t)2δijdx

idxj, (2.31)


onde δij = diag(1, 1, 1) e a(t) e o fator de escala. Retomando nestemomento a densidade lagrangiana (2.16) com o campo escalar sendohomogeneo e isotropico, obtemos

L =N

k2

(

GijklKijKkl +3 R

√h)

+N√h

[

l1

2N2φ2 − V (φ)

]

. (2.32)

Utilizando as equacoes (2.10) e (2.15), e o fato de que

∂hij∂t

= −1

3hijhkl

∂hkl

∂t, (2.33)

podemos expressar a lagrangiana anterior sob a forma

L =√h

(

− 1

6Nk2hijhklh

ijhkl +N

k23R

)

+N√h

[

l1

2N2φ2 − V (φ)

]

.

(2.34)O unico grau de liberdade de hij e o fator de escala a (t). Entao,para o tempo cosmico t com N = 1 e o fato de que

hij = −2a

a3δij, (2.35)

a lagrangiana eq.(2.34) assume a forma

L = − 3

k2a2a+ l

1

2a3φ2 − a3V (φ) , (2.36)

onde o determinante da 3-metrica h = a6 e a curvatura intrınseca3R = 0. Os momenta canonicamente conjugados aos graus de liber-dade (a, φ) sao, respectivamente,

πa =∂L

∂a(2.37)

= − 6

k2aa, (2.38)

e

πφ =∂L

∂φ(2.39)

= la3φ. (2.40)

A hamiltoniana canonica e dada por

H = NH0 = aπa + φπφ − L (2.41)

⇒ H = − k2

12aπ2a + l

1

2a3π2φ + a3V (φ) , (2.42)


que esta vinculada a ser nula. O vınculo hamiltoniano H0 se reduz,quando escrito em termos das velocidades, a equacao de Friedmann

H2 ≡

(

a

a

)2

=k2

3ρ. (2.43)

A densidade de energia e a pressao associadas ao campo escalar sao

ρ = lφ

2+ V (φ), (2.44)

e

p = lφ

2− V (φ). (2.45)

Devemos lembrar que a densidade de energia ρ e a pressao p guardamuma relacao entre si chamada de equacao de estado

p = p(ρ). (2.46)

As equacoes de Euler-Lagrange aplicadas a eq.(2.36) e depois com-binadas com o vınculo eq.(2.43) dao

a

a− k2

3

[

−lφ2 + V (φ)]

= 0, (2.47)

φ+ 3a

aφ− lV

′(φ) = 0. (2.48)

onde a (′) significa uma diferenciacao com respeito ao φ. Entao, aseqs.(2.43) e (2.47) formam as equacoes de Friedmann, que podemser resolvidades uma vez conhecida a equacao de estado (2.46). Aeq.(2.48) e simplesmente a equacao de Klein-Gordon homogenea eisotropica.

2.3 O Modelo classico do Grande Rasgo

Iremos examinar o primeiro tipo de singularidade da classificacaodo trabalho [38]. Entao, estudaremos o caso em que a equacao deestado sera p = ωρ e suas consequencias. Ja que alguns resultadosobservacionais indicam que a constante barotropica de estado podeassumir valores w < −1 [30, 31], e isso leva a hipotese da existenciade novos tipos de “materia” com propriedades nao muito usuaistais como constante cosmologica [39, 40], quintessencia [39, 41, 42]


e campo fantasma [11, 12], sendo esse ultimo objeto de nosso es-tudo no momento. Assim, iremos examinar consequencias de se tero campo fantasma como o condutor da aceleracao. Como o nomeindica, este campo possui propriedades estranhas, tais como possuiruma equacao de estado com pressao negativa, violar a condicao deenergia nula ρ + p > 0 [29] e possuir termo cinetico negativo nalagrangiana que descreve a materia.Entao, estamos interessados em um potencial que possibilite a ex-pansao acelerada. Para isto iremos utilizar um potencial exponen-cial, ja que tais potenciais para campos escalares podem surgir nocontexto de teorias de Kaluza-Klein [32], gravidade de ordem supe-rior [33], supergravidade [34] e teorias de supercordas [35]. Porem,tais potenciais apresentam problemas de instabilidades nas solucoesdas equacoes cosmologicas, que podem ser resolvidas utilizando-sede valores especıficos para os parametos em questao [36]. Uma outracaracterıstica do campo fantasma e o surgimento de uma singulari-dade denominada Grande Rasgo(Big Rip), que nada mais seria doque a divergencia do fator de escala juntamente com a densidade deenergia em um tempo futuro finito. Escreveremos nosso potencialna forma [36, 37]

V = V0e−λkφ, (2.49)

onde k esta relacionado com a constante de Einstein da gravitacaoja definida anteriormente como k2, e λ e um parametro adimensi-onal. Entao, trabalharemos no universo de FLRW com um campofantasma homogeneo e isotropico. A lagrangiana eq.(2.36) fica

L = − 3

k2a2a− 1

2a3φ2 − a3V (φ) , (2.50)

onde l = −1. Os momenta canonicos agora sao

πa = − 6

κ2aa,

πφ = −a3φ, (2.51)

que dao a hamiltoniana canonica

H = H0 =

(

− κ2

12aπ2a −

1

2a3π2φ + a3V0e

−λκφ)

, (2.52)

que esta vinculada para ser nula. O vınculo hamiltoniano H0 = 0,quando escrito em termos das velocidades se reduz a equacao de


Friedmann(

a

a

)2

≡ H2 =κ2

3

(

− φ2

2+ V0e

−λκφ

)

. (2.53)

A densidade de energia e a pressao associadas ao campo fantasmasao

ρ = −1

2φ2 + V (φ) , (2.54)

p = −1

2φ2 − V (φ) . (2.55)

Depois de combinadas com o vınculo eq.(2.53), as equacoes de Euler-Lagrange dao

a

a− κ2

3

(

φ2 + V0e−λκφ

)

= 0, (2.56)

φ+ 3a

aφ+ V0λκe

−λκφ = 0. (2.57)

Ha uma solucao atratora[43] dada por

φ(t) =2

λκln

[

1− λ2

2H0 (t− t0)

]

,

α(t) = − 2

λ2ln

[

1− λ2

2H0 (t− t0)

]

+ α0, (2.58)

onde α(t) ≡ ln a(t) e H0 o parametro de Hubble tomado em umtempo t0. Esta e uma solucao que leva a definicao da singularidadeGrande Rasgo(Big Rip) porque em um tempo futuro finito t →tRip = t0+

2λ2H0 , o fator de escala α(t), o parametro de Hubble H(t)

e a densidade de energia ρ(a)

ρ = ρ0

(

a

a0

)λ2

, (2.59)

divergem (ver graficos fig.(2.2), fig.(2.3) e fig.(2.4)) e como con-sequencia a curvatura do espaco-tempo.

Para efeitos de calculos, faremos as seguintes escolhas numericas:λ = 2/

√6, V0 = 1/2, κ =

√6, que implicam em H0 = 3/

√10.

Das eqs. (2.58) podemos obter a solucao atratora para o GrandeRasgo(Big Rip)

α = −3φ+ α0, (2.60)


1 2 3 4 5 Α

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

ΡHΑL

Figura 2.2: Evolucao da densidade de energia versus fator de escala.

1 2 3 4 5 6 7 t-2

2

4

6

8

10

ΑHtL

Figura 2.3: Evolucao do fator de escala com relacao ao tempo.


1 2 3 4 5 6 t1

2

3

4

Α HtL

Figura 2.4: Evolucao do parametro de Hubble versus o tempo.

onde α0 e uma constante de integracao. Para provar que a solucaoeq.(2.60) e um atrator, nos faremos a seguinte mudanca de variavel[44],

u(α, φ) ≡ 3

10e3α−φ

[

cos(α + 3φ) +1

3sin(α + 3φ)

]

, (2.61)

v(α, φ) ≡ 3

10e3α−φ

[

sin(α + 3φ)− 1

3cos(α + 3φ)

]

, (2.62)

dando o hamiltoniano

H = N

(

−1

2π2u −

1

2π2v + 1

)

e3α−2φ. (2.63)

As equacoes de Hamilton-Jacobi sao para essas novas variaveis

(

∂S0

∂u

)2

+

(

∂S0

∂v

)2

= 1, (2.64)

com solucaoS0k = ku−

√1− k2v, (2.65)

sendo |k| ≤ 1 uma constante de integracao. Das equacoes

u = −N exp(3α− 2φ)πu = −N exp(3α− 2φ)∂S0k

∂u,


v = −N exp(3α− 2φ)πv = −N exp(3α− 2φ)∂S0k

∂v,

= −N exp(3α− 2φ)k, (2.66)

= N exp(3α− 2φ)√1− k2, (2.67)

e das definicoes eq.(2.61), podemos obter as seguintes equacoes deprimeira ordem

α = e−φ[√

1− k2 sin (3φ+ α)− k cos (3φ+ α)]

,

φ = e−φ[

k sin (3φ+ α) +√1− k2 cos (3φ+ α)

]

. (2.68)

Pode-se verificar facilmente que essas equacoes sao integrais primei-ras do sistema eq.(2.56) e do vınculo eq.(2.53), e sao equivalentesa elas (em ambos os casos temos tres constantes independentes deintegracao).

Da teoria de Hamilton-Jacobi [45], podemos obter

∂S0k

∂k= β, (2.69)

onde, β e uma constante. Usando as definicoes eq.(2.61) em eq. (2.69),conseguimos

3

10e3α−φ

[√1− k2 + 3k

3√1− k2

sin (3φ+ α) +3√1− k2 − k

3√1− k2

cos (3φ+ α)

]

= β.

(2.70)Podemos verificar que a eq.(2.70) e uma integral implicita vinda

da eq. (2.68),

dα

dφ=

√1− k2 tan (3φ+ α)− k

k tan (3φ+ α) +√1− k2

, (2.71)

A solucao Grande Rasgo(Big Rip) α + 3φ = α0 corresponde aoβ = 0 e isto esta de acordo com as eqs. (2.70) e (2.71). Neste caso,α0 e k estao realacionados atraves de

tan(α0) =k − 3

√1− k2

3k +√1− k2

, (2.72)

com solucao α0 = α0k + nπ (n um inteiro), para cada k.


-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5Φ

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

Α

Figura 2.5: Grafico mostrando α com relacao ao φ para o caso classico comk = 0. Notemos o comportamento atrator das curvas α+ 3φ = α0.

As solucoes das eqs. (2.68) para os casos em que k = 0 e k = 1/2podem ser vistas nas fig.(2.5) e (2.6). Notemos que existem atrato-res em α+3φ = α0 quando φ→ −∞, α → ∞. Os pontos de retornopara pequenos valores de α nao devem ser considerados porque elesestao alem do limite de validade do modelo: em tais regoes, ou-tras componentes de materia se tornam importantes enquanto queo campo escalar fica irrelevante.

Podemos entender o comportamento atrator da seguinte maneira:fazendo a substituicao 3φ + α → α0 + ǫ na eq. (2.71) com α0 dadona eq. (2.72); o resultado ate primeira ordem em ǫ, e

dα

dφ= −3 + 10ǫ+O(ǫ2), (2.73)

que significa que as curvas na vizinhanca de α + 3φ = α0, acima eabaixo, tem inclinacao na direcao da solucao. Portanto as solucoes


-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5Φ

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

Α

Figura 2.6: Grafico mostrando α com relacao ao φ para o caso classico comk = 0.5. Notemos o comportamento atrator das curvas α+ 3φ = α0.


sao atratoras nesse sentido.Notemos que o resultado eq.(2.73) e independente de k, o pri-

meiro termo na serie em ǫ e linear e positivo, em que α0 e dado pelaeq. (2.72) e e a unica solucao de dα/dφ = −3 (mais adicoes de nπ).

2.4 O Modelo classico da Grande Parada

Nesta secao, consideraremos uma das duas singularidades em quese enquadram no segundo tipo da classificacao do trabalho [38]. Asingularidade Grande Parada(Big Brake) e um tipo muito especialque foi primeiro considerado no trabalho [46] e depois discutido commais detalhes em [47]. Novamente, vamos considerar a mesma geo-metria de FLRW homogenea e isotropica, com as secoes espaciais

ds2 = −dt2 + a2(t)δijdxidxj, (2.74)

e um campo escalar homogeneo φ(t), onde para o caso em questaol = 1, obedecendo uma equacao de estado do tipo gas de anti-Chaplygin p = A/ρ, onde A e uma constante arbitraria positiva, ρa densidade de energia e p a pressao que, associadas com o campoescalar, sao

ρ =1

2φ2 + V (φ) , (2.75)

p =1

2φ2 − V (φ) . (2.76)

A acao de Einstein-Hilbert, considerando o que foi escrito acima,e dada por

S =

∫

dt

(

− 3

Nκ2e3αα2 +

1

2Ne3αφ2 −Ne3αV (φ)

)

, (2.77)

onde, da mesma forma, α ≡ ln a e a constante de acolplamento dagravitacao com a materia κ2 ≡ 8πG.

Entao, a partir da acao eq.(2.77), os momenta canonicamenteconjugados as coordenadas α e φ sao

πα = − 6

κ2e3αα, (2.78)

πφ = e3αφ, (2.79)


1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Α

1

2

3

4

5

ΡHΑL

Figura 2.7: Evolucao da densidade de energia com respeito ao fator de escala α.

da qual construımos o hamiltoniana

H = H0 =

(

−κ2

12e−3απ2

α +1

2e−3απ2

φ + e3αV (φ)

)

, (2.80)

que esta vinculado a se anular H0 ≈ 0, que implica a equacao deFriedmann

α2 ≡ H2 =κ2

3

(

φ2

2+ V (φ)

)

=κ2

3ρ. (2.81)

A densidade de energia e a pressao devem satisfazer a equacao deconservacao

ρ = −3H(p+ ρ). (2.82)

Usando a equacao de estado, p = A/ρ, nos podemos escrever adensidade de energia em termos do fator de escala como

ρ(α) =√

B/e6α − A =√A√

e6(α∗−α) − 1, (2.83)

ver Fig.(2.7), onde B e uma constante de integracao positiva. Noteque a densidade de energia esta definida apenas para valores em que

α < α∗ ≡ ln (B/A)16 . Entao, inserindo a eq. (2.83) na eq. (2.81),

obtemos

α =κ√3A

14

(

e6(α∗−α) − 1)

14 , (2.84)


1.6 1.8 2.0 2.2 Α

1

2

3

4

5

Α

Figura 2.8: O comportamento do parametro de Hubble α em termos do fatorde escala α.

ver fig. (2.8). Integrando a eq. (2.84), podemos obter a evolucaodo fator de escala α em termos do tempo cosmico t como mostraa fig. (2.9). Observando o grafico fig. (2.9) notamos um forte frea-mento na expansao do universo. Dessa forma, podemos investigara desaceleracao diferenciando a eq.(2.84) com relacao ao tempo t,dando

α = −√Aκ2e6(α∗−α)

2√e6(α∗−α) − 1

. (2.85)

Podemos notar dessa equacao e da fig. (2.10) a divergencia dessaquantidade no momento do freio, que implica uma divergencia dacurvatura do espaco-tempo e da pressao atraves das equacoes deFriedmann

α + α2 = −κ2

6(ρ+ 3p) . (2.86)

Agora, iremos calcular o comportamento do campo escalar emtermos do α em torno de α → α∗. Entao, para fazer isto, vamosassumir as equacoes (2.75) e (2.76) para obtermos

φ2 = ρ+ p, (2.87)


0.2 0.4 0.6 0.8 t

0.5

1.0

1.5

2.0

Α

Figura 2.9: Evolucao temporal do fator de escala α.

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 Α

-150

-100

-50

ΑÐ

Figura 2.10: Figura mostrando a desaceleracao infinita no momento da frenagempara um fator de escala finito α.


1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 Α

-4

-2

2

4

Φ

Figura 2.11: Forma de φ(α) ao redor da Grande Parada(Big Brake).

e usando p = A/ρ junto com a eq. (2.81) chegamos a

φ±(α) = ±√

1

3κ2tanh−1

(

√

1− e−6(α∗−α))

. (2.88)

Esse comportamento e mostrado na fig. (2.11). Um potencial con-sistente com esse modelo pode ser escolhido como [48]

V (φ) = V0

(

sinh (√3κ2 |φ|)− 1

sinh (√3κ2 |φ|)

)

, (2.89)

que se comporta da maneira observada na fig. (2.12).

Podemos ver das eqs. (2.83,2.84,2.85,2.88,2.89) que quandoα → α∗ temos que ρ(α) → 0, α → 0, α → −∞, φ(α) → 0 eV (φ) → −∞, definindo o que chamamos da singularidade da GrandeParada(Big Brake).

2.5 O Modelo classico do Grande Arranque

Nesta secao, iremos exibir a outra das duas singularidades quese enquadram no segundo tipo da classificacao de singulridades dotrabalho [38], denominado Grande Arranque(Big Demarrage)2. Esse

2Demarrage, em frances, significa comeco, partida ou inicializacao


-4 -2 2 4 Φ

-20

-10

10

20

30

V HΦL

Figura 2.12: O potencial do campo escalar em termos de φ.

tipo foi inicialmente apresentado no trabalho [49]. A entidade mate-rial que compoe o universo, nesse modelo, e descrita por um campoescalar fantasma e e regida por uma equacao de estado do tipo gasgeneralizado de Chaplygin

p = − A

ρβ, (2.90)

onde A > 0 e β > 0 sao constantes. Esse tipo de materia foi origi-nalmente introduzido em [50] e [51]. Da mesma maneira, estaremostrabalhando no universo de FLRW isotropico com um campo fan-tasma homogeneo. A lagrangeana e a mesma da eq.(2.36), os mo-menta canonicos sao aqueles dados pelas eqs.(2.51), onde l = −1.O vınculo hamiltoniano, quando escrito em termos das velocidades,da a equacao de Friedmann eq.(2.43) que, associada a eq.(2.90) coma equacao oriunda da conservacao do tensor momento-energia damateria

ρ+ 3H (ρ+ p) = 0, (2.91)

geram a expressao da densidade de energia

ρ = A1

1+β

[

1−(amin

a

)3(1+β)]

11+β

, (2.92)


0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 a0.985

0.990

0.995

1.000

Ρ

Figura 2.13: Evolucao da densidade de energia com relacao ao fator de escala.

com o qual chegamos na expressao para a pressao

p = −A 11+β

[

1−(amin

a

)3(1+β)]− β

1+β

, (2.93)

onde

amin =

∣

∣

∣

∣

B

A

∣

∣

∣

∣

13(1+β)

. (2.94)

e B e uma constante de integracao que para esse modelo assumeapenas valores B < 0.

Os graficos das grandezas acima podem ser vistos nas figs.(2.13) efig.(2.14). Notemos que, quando o fator de escala se aproxima de umvalor mınimo, a densidade de energia se anula e, a pressao divergeindo a menos infinito, o que configura uma grande aceleracao inicial.

A densidade de energia e a pressao quando escritas em termosdo campo fantansma tomam a forma,

ρ = −1

2φ2 + V (φ) , (2.95)

p = −1

2φ2 − V (φ) . (2.96)

Entao, das equacoes acima, levando em conta as eqs.(2.93) e (2.92)podemos chegar as seguintes expressoes [52] para a densidade de


1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 a

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

P

Figura 2.14: Evolucao da pressao com relacao ao fator de escala.

energia cinetica

φ2 = A1

1+β

(

amin

a

)3(1+β)

[

1−(

amin

a

)3(1+β)]

β

1+β

, (2.97)

e para o potencial em termos do fator de escala

V (a) =1

2A

11+β

2−(

amin

a

)3(1+β)

[

1−(

amin

a

)3(1+β)]

β

1+β

. (2.98)

Assim, a partir das duas equacoes acima e relacionando com aeq.(2.43), pode-se encontrar a dependencia do campo fantasma emtermos do fator de escala

φ = ± 2

κ√3

1

1 + βarccos

[

(amina

)

3(1+β)2

]

. (2.99)

Podemos observar atraves da fig.(2.15) que quando o fator de escala(agora escrito em termos de α ≡ ln(a)) atinge um valor mınimoo campo tende a zero. Podemos encontrar uma expressao para opotencial em termos do campo fantasma utilizando as eqs.(2.95),


0.5 1.0 1.5 2.0-

3

2Α HΒ + 1L

-0.15

-0.10

-0.05

0.05

0.10

0.15

1

23 Κ Φ Β + 1¤

Figura 2.15: Evolucao do campo escalar fantasma em termos do fato de escala.

(2.96), (2.93) e (2.92), sendo escrita como

V (φ) = V−1

1

sin2β1+β

(√32κ |1 + β| |φ|

) + sin2

1+β

(√3

2κ |1 + β| |φ|

)

,

(2.100)

onde V−1 ≡ A1

1+β

2, com o qual observamos o comportamento na

fig.(2.16) em que o potencial se torna divergente para φ −→ 0.

E importante explicitar uma quantidade muito util para a carac-terizacao da singularidade que e o parametro de Hubble H. Essaquantidade vem das associacoes das eqs.(2.43) e (2.92) que dao

H2 =κ2

3A

11+β

[

1−(

eαmin−α)3(1+β)]

11+β

. (2.101)

Sendo assim, construımos um grafico da variacao do parametro deHubble com o fator de escala α observado na fig.(2.17) e, que nessemodelo, mostra uma expansao inicial do universo muito rapida.

A derivada do parametro de Hubble H ≡ aa= α, eq.(2.101),

que relacionada com as eqs.(2.86), (2.92) e (2.93) dao a seguinteexpressao

α =κ2

2A

11+β

(

eαmin−α)3(1+β)[

1−(

eαmin−α)3(1+β)]− β

1+β

, (2.102)


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 3 Κ Φ¤2

4

6

8

10

2 V HΦL A¤-

1

Β+1

Figura 2.16: Comportamento do potencial frente ao campo fantasma.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Α

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Α

Figura 2.17: Evolucao do parametro de Hubble com respeito ao fator de escala.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Α

1

2

3

4

5

ΑÐ

Figura 2.18: Evolucao da aceleracao α com relacao ao fator de escala.

onde amin = eαmin .A expressao acima gera a fig.(2.18), na qual podemos notar a

grande aceleracao sofrida pelo universo nos momentos iniciais da suaexpansao. Assim, com tudo isso exposto nesta secao, podemos ca-racterizar a singularidade Grande Arranque(Big Demarrage) comoaquela em que as constantes assumem valores A > 0, B < 0 e β > 0e que, quando o fator de escala tende ao valor amin, a densidadede energia da eq.(2.92) vai a ρ −→ 0, a pressao eq.(2.93) assumep −→ −∞, o campo fantasma eq.(2.99) fica φ −→ 0, o potencialeq.(2.100) vai a V (φ) −→ +∞, o parametro de Hubble eq.(2.101)da H −→ 0 e a aceleracao eq.(2.102) α −→ ∞.

2.6 O Modelo classico do Grande Congelamento

Estudaremos o terceiro tipo de singularidade da classificacao dotrabalho [38] que se chama Grande Congelamento(Big Freeze). Essenome foi atribuıdo primeiramente no traballho [49]. Mais uma vez,o cenario em que se apresentara o modelo sera o do universo deFLRW, com a materia sendo representada por um campo escalar,que sera padrao ou de natureza fantasma, dependendo do sinal dasconstantes A, B, 1+β que aparencem na equacao de estado do tipo


gas generalizado de Chaplygin,

p = − A

ρβ. (2.103)

Adiante estudaremos a singularidade para os dois tipos de campoescalar.

2.6.1 O Grande Congelamento sem Materia Fantasma

Essa singularidade acontece para o caso em que temos as cons-tantes A < 0, 1 + β < 0, que aparecem na equacao de estadoacima. Uma outra constante importante e B, que aparece ao asso-ciamos novamente o vınculo hamiltoniano que da origem a equacaode Friedmann eq.(2.43), com a eq.(2.90) e com a equacao oriundada conservacao do tensor momento-energia da materia

ρ+ 3H (ρ+ p) = 0, (2.104)

gerando assim, a expressao da densidade de energia

ρ = |A|1

1+β

[

−1 +(amin

a

)3(1+β)]

11+β

, (2.105)


p = |A|1

1+β

[

−1 +(amin

a

)3(1+β)]− β

1+β

, (2.106)

onde,

amin =

∣

∣

∣

∣

B

A

∣

∣

∣

∣

13(1+β)

. (2.107)

denota o fator de escala mınimo e para esse modelo a constante deintegracao B assume valores B > 0. Os graficos das grandezas acimapodem ser visto nas figs.(2.19) e fig.(2.20). Notemos que, quando ofator de escala se aproxima de um valor mınimo, a densidade de ener-gia e a pressao divergem para infinito. Podemos perceber que nessemodelo a densidade de energia decresce rapidamente conforme o uni-verso se expande. Como a energia cinetica media do gas que compoeo universo vai a zero, e considerando o teorema da equiparticao deenergia E = 3

2KT , a temperatura T do universo cai rapidamente,


1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 a

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ρ

Figura 2.19: Evolucao da densidade de energia versus o fator de escala.

tornando o universo muito frio, onde E e a energia cinetica media eK e a constante universal dos gases. Notemos tambem que esse mo-delo nao representa um caso realista pois, a pressao, sempre positiva,nao descreve a presente aceleracao do universo pois o parametro dedesaceleracao q e sempre positivo.

A densidade de energia e a pressao quando escritas em termos docampo escalar padrao, l = 1, tomam a forma,

ρ =1

2φ2 + V (φ) , (2.108)

p =1

2φ2 − V (φ) . (2.109)

Entao, das equacoes acima e das eqs.(2.106) e (2.105) podemos che-gar as seguintes expressoes [52] para a densidade de energia cinetica

φ2 = |A|1

1+β

(

amin

a

)3(1+β)

[

(

amin

a

)3(1+β) − 1]

β

1+β

, (2.110)


V (a) =1

2|A|

11+β

(

amin

a

)3(1+β) − 2[

(

amin

a

)3(1+β) − 1]

β

1+β

. (2.111)


1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 a

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

P


Assim, a partir das duas equacoes acima e relacionando-as com aeq.(2.43) pode-se encontrar a dependencia do campo escalar em ter-mos do fator de escala

|φ| (a) = 2√3

3κ |1 + β| ln[

(amina

)32(1+β)

+

√

(amina

)3(1+β)

− 1

]

,

(2.112)Podemos observar atraves da fig.(2.21) que quando o fator de escala(agora escrito em termos de α ≡ ln( a

amin)) atinge um valor mınimo

o campo escalar tende a se anular.Da mesma forma feita na secao anterior, podemos encontrar uma

expressao para o potencial em termos do campo escalar utilizandoas eqs.(2.108), (2.109), (2.106) e (2.105), com o qual chegamos a

V (φ) = V1

sinh2

1+β

(√3

2κ |1 + β| |φ|

)

− 1

sinh2β1+β

(√32κ |1 + β| |φ|

)

,

(2.113)

onde V1 ≡ |A|1

1+β

2. O comportamento do potencial pode ser visto na

fig.(2.22) em que evidenciamos se tornar divergente para φ −→ 0.Podemos encontrar uma expressao para o parametro de Hubble


1 2 3 4 5

3 Α Β + 1¤

2

-4

-2

2

4

1

23 Κ Φ Β + 1¤

Figura 2.21: Evolucao do campo escalar canonico com relacao ao fator de escala.

1 2 3 4 5 6 3 Κ Φ¤

-0.4

-0.2

0.2

0.4

2 V HΦL A¤-

1

Β+1

Figura 2.22: Evolucao do potencial com respeito ao campo escalar.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Α

1

2

3

4

5

Α

Figura 2.23: Evolucao do parametro de Hubble com respeito ao fator de escala.

H fazendo as associacoes das eqs.(2.43) com (2.105) que dao

H2 =κ2

3|A|

11+β

[

−1 +(

eαmin−α)3(1+β)]

11+β

, (2.114)

onde amin ≡ eαmin . Um grafico da variacao do parametro de Hubblecom o fator de escala α pode ser observado na fig.(2.17), que nessemodelo mostra uma queda muito alta na velocidade da expansaoinicial do universo.

A derivada do parametro de Hubble H ≡ aa= α, eq.(2.114),

que relacionada com as eqs.(2.86), (2.105) e (2.106) dao a seguinteexpressao

α = −κ2

2|A|

11+β

(

eαmin−α)3(1+β)[

−1 +(

eαmin−α)3(1+β)]− β

1+β

,

(2.115)onde amin = eαmin .

A expressao acima gera a fig.(2.24), com o qual podemos notara grande desaceleracao sofrida pelo universo nos momentos iniciaisda sua expansao. Assim, com tudo isso exposto nesta secao, pode-mos caracterizar a singularidade Grande Congelamento(Big Freeze)sem materia fantasma como aquela em que as constantes assumemvalores A < 0, B > 0 e 1 + β < 0 e que, quando o fator de es-cala tende ao valor amin, a densidade de energia eq.(2.105) vai a


0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Α

-3

-2

-1

1

ΑÐ

Figura 2.24: Evolucao da aceleracao versus fator de escala.

ρ −→ +∞, a pressao eq.(2.106) assume p −→ +∞, o campo escalareq.(2.112) da φ −→ 0, o potencial eq.(2.113) vai a V (φ) −→ −∞,o parametro de Hubble eq.(2.101) da H −→ +∞ e a aceleracaoeq.(2.102) α −→ −∞.

2.6.2 O Grande Congelamento com Materia Fantasma

Nessa secao, iremos trabalhar na outra singularidade GrandeCongelamento(Big Freeze) em que a entidade material que compoeo universo, nesse modelo, e imitada agora por um campo escalarfantasma e sendo regida pela mesma equacao de estado do tipo gasgeneralizado de Chaplygin

p = − A

ρβ, (2.116)

onde, para esse caso, as constantes assumem valores A > 0 e 1+β <0. Mais uma vez o universo de FLRW isotropico com um campofantasma homogeneo sera a nossa configuracao. Entao, os momentacanonicos sao aqueles dados pelas eqs.(2.51), onde l = −1. O vınculohamiltoniano da a equacao de Friedmann eq.(2.43) que, associadamais uma vez a eq.(2.116) com a equacao oriunda da conservacaodo tensor momento-energia da materia

ρ+ 3H (ρ+ p) = 0, (2.117)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Ρ

Figura 2.25: Evolucao da densidade de energia com relacao ao fator de escala.

geram a expressao da densidade de energia para o caso do GrandeCongelamento(Big Freeze) fantansma

ρ = A1

1+β

[

1−(amax

a

)3(1+β)]

11+β

, (2.118)


p = −A 11+β

[

1−(amax

a

)3(1+β)]− β

1+β

, (2.119)

onde

amax =

∣

∣

∣

∣

B

A

∣

∣

∣

∣

13(1+β)

. (2.120)

sendo B uma constante de integracao que para esse caso assumevalores B < 0. Podemos perceber que as equacoes acima mostrama ocorrencia de uma regiao, para um fator de escala finito amax nofuturo, em que a densidade de energia diverge para mais infinito e apressao diverge para menos infinito, mostrando que o universo estasuper acelerando. Os graficos destas grandezas podem ser vistos nasfigs.(2.25) e fig.(2.26).

A densidade de energia e a pressao quando escritas em termos


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a

-4

-3

-2

-1

P


do campo fantansma tomam a forma,

ρ = −1

2φ2 + V (φ) , (2.121)

p = −1

2φ2 − V (φ) . (2.122)

Entao, das equacoes acima, juntando com as eqs.(2.118) e (2.119)podemos chegar as seguintes expressoes [52] para a densidade deenergia cinetica:

φ2 = A1

1+β

(

amax

a

)3(1+β)

[

1−(

amax

a

)3(1+β)]

β

1+β

, (2.123)


V (a) =1

2A

11+β

2−(

amax

a

)3(1+β)

[

1−(

amax

a

)3(1+β)]

β

1+β

. (2.124)

Da mesma maneira, das duas equacoes acima, e relacioando com aeq.(2.43) podemos encontrar a dependencia do campo fantasma emtermos do fator de escala

|φ| = 2

κ√3

1

1 + βarccos

[

(amaxa

)

3(1+β)2

]

. (2.125)


-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5-

3

2Α HΒ + 1L

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

1

23 Κ Φ Β + 1¤

Figura 2.27: Evolucao do campo escalar fantasma em termos do fato de escala,

onde α = ln(

a

amax

)

.

O comportamento do campo fantasma e mostrado na fig.(2.27), oque evidencia que quando o fator de escala atinge um valor maximoamax o campo tende a se anular.

O potencial em termos do campo fantasma utilizando as eqs.(2.95),(2.96), (2.119) e (2.118), pode ser escrito como

V (φ) = V−1

1

sin2β1+β

(√32κ |1 + β| |φ|

) + sin2

1+β

(√3

2κ |1 + β| |φ|

)

,

(2.126)

onde V−1 ≡ A1

1+β

2, com o qual observamos o comportamento na

fig.(2.28) em que o potencial diverge para φ −→ 0.O parametro de Hubble H vem das associacoes das eqs.(2.43) e

(2.118) que dao

H2 =κ2

3A

11+β

[

1−(

eαmax−α)3(1+β)]

11+β

. (2.127)

O comportamento do parametro de Hubble pode ser mostrado nafig.(2.29), em que se mostra uma expansao muito rapida do universopara um fator de escala amax finito.

A aceleracao do fator de escala α pode ser encontrada fazendo aassociacao das eqs.(2.127), (2.86), (2.118) e (2.119), dando a seguinte


0.5 1.0 1.5 3 Κ Φ¤

20

40

60

80

100

120

2 V HΦL A¤-

1

Β+1

Figura 2.28: Comportamento do potencial com relacao ao campo fantasma.

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 Α

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

Α

Figura 2.29: Evolucao do parametro de Hubble com relacao ao fator de escala.


-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 Α

2

4

6

8

10

12

ΑÐ

Figura 2.30: Evolucao da aceleracao α com relacao ao fator de escala.

expressao

α =κ2

2A

11+β

(

eαmax−α)3(1+β)[

1−(

eαmax−α)3(1+β)]− β

1+β

, (2.128)

onde amax = eαmax .Podemos notar o comportamento da aceleracao do fator de escala

na fig.(2.30), com o qual verificamos a grande aceleracao sofrida pelouniverso quando a expansao alcanca o valor amax . Dessa forma,podemos definir a singularidade Grande Congelamento(Big Freeze)com materia fantasma como aquela em que as constantes assumemvalores A > 0, B < 0 e 1 + β < 0 e que, quando o fator de escalatende ao valor amax, a densidade de energia eq.(2.118) vai a ρ −→+∞, a pressao eq.(2.119) assume p −→ −∞, o campo fantasmaeq.(2.125) da φ −→ 0, o potencial eq.(2.126) vai a V (φ) −→ +∞,o parametro de Hubble eq.(2.127) da H −→ +∞ e a aceleracaoeq.(2.128) α −→ +∞.

Para finalizar esse capıtulo nos poderemos resumir na Tabelaabaixo as caracterısticas de cada tipo de singularidade.


Singularidade Caracterısticas

Campo Fantasma φ.t→ tRip = t0 +

2λ2H0 .

ρ −→ +∞.Grande Rasgo α −→ +∞.

α −→ +∞.φ −→ −∞.V (φ) −→ ∞.Campo Escalar Padrao φ.t→ tBrake.ρ −→ 0.

Grande Parada α −→ αBrake.α −→ 0.α −→ −∞.φ −→ 0.V (φ) −→ −∞.Campo Fantasma φ.t→ tmin.ρ −→ 0.

Grande Arranque α −→ αmin.α −→ 0.α −→ +∞.φ −→ 0.V (φ) −→ +∞.Campo Escalar Padrao φ.t→ tmin.ρ −→ +∞.

Grande Congelamento α −→ αmin.α −→ +∞.α −→ −∞.φ −→ 0.V (φ) −→ −∞.Campo Fantasma φ.t→ tmax.ρ −→ +∞.

Grande Congelamento α −→ αmin.α −→ +∞.α −→ +∞.φ −→ 0.V (φ) −→ +∞.

Capıtulo 3

Quantizacao de

Dirac-Wheeler-DeWitt

A quantizacao canonica e um esquema desenvolvido para a quan-tizacao de sistemas classicos. Aplicaremos este esquema a quan-tizacao da Relatividade Geral.

3.1 A Equacao de Wheeler- DeWitt

Primeiramente, definiremos o ambiente geometrico onde sera inse-rida o programa de quantizacao da TRG. Definiremos o espaco dasconfiguracoes na qual a dinamica quantica sera definida.Vamos considerar o espaco de todas as 3-metricas riemannianashij(x) e das configuracoes da materia φ(x) na hipersuperfıcie Σ,

Riem(Σ) ≡ {hij(x), φ(x) |x ∈ Σ} . (3.1)

Isto gera a definicao de um espaco dimensionalmete infinito na qualx = xi especifica um ponto na hipersuperfıcie. Entao, vamos identi-ficar a metrica e os campos relacionados por um difeomorfismo paradefinir o superespaco como

Riem(Σ)

Diff0(Σ), (3.2)

onde o (0) denota o fato de que apenas estamos considerando dife-omorfismos conectados com a identidade. Esse espaco dimensional-mete infinito sera a configuracao basica para a cosmologia quantica.

48

CAPITULO 3. QUANTIZACAO DE DIRAC-WHEELER-DEWITT 49

A metrica de DeWitt eq.(2.14) estabelece uma metrica no supe-respaco e que pode ser escrita como

gAB(x) ≡ g(ij)(kl)(x), (3.3)

onde os ındices A, B passam por todas as componentes independen-tes da 3-metrica hij

A,B ∈ h11, h12, h13, h22, h23, h33. (3.4)

A metrica de DeWitt tem assinatura (- + + + + +) em cada pontox ∈ Σ. Para incorporar todos os graus de liberdade, teremos queaumentar o numero de componentes nos ındices A e B e, incluir oscampos de materia g(φ)(φ)(x). Portanto, de posse de todos os grausde liberdade, podemos obter a supermetrica gAB completa.A metrica de DeWitt inversa, gAB = g(ij)(kl), pode ser definida pe-dindo que

g(ij)(kl)g(kl)(mn) =1

2

(

δimδjn + δinδ

jm

)

, (3.5)

que da

g(ij)(kl) =√h

[

1

2

(

hikhjl + hilhjk)

− hijhkl]

. (3.6)

Nesse momento, iremos proceder com a quantizacao canonicaestabelecendo o funcional de onda do universo como sendo ψ (hij, φ),representando o estado quantico do sistema. Note que ψ nao de-pende explicitamente do tempo. Isto esta relacionado com o fato dea TRG ser uma teoria ja parametrizada, ou seja, a acao de Einstein-Hilbert e invariante sob reparametrizacoes no tempo. O tempo estacontido implicitamente nas variaveis dinamicas hij e φ.Os momenta π0, πi,πij e πφ se tornam os operadores π, πi, πij e πφdefinidos por

π0 → π0 = −i~ δ

δN, (3.7)

πi → πi = −i~ δ

δNi

, (3.8)

πij → πij = −i~ δ

δhij, (3.9)

πφ → πφ = −i~ δ

δφ. (3.10)


De acordo com procedimento de quantizacao de Dirac [2], a funcaode onda e aniquilada pelos operadores associados aos vınculos classicoseqs.(2.17), (2.18), (2.26) e (2.27). Para os vınculos primarios temos

π0ψ = −i~ δψδN

= 0, (3.11)

πiψ = −i~ δψδNi

= 0, (3.12)

(3.13)

o que implica que ψ independe de N e N i. O funcional de ondatambem e aniquilado pela versao operador dos vınculos secundarios

Hiψ (hij, φ) = 0, (3.14)

⇒ −2hkiDjδψ (hij, φ)

δhkj+δψ (hij, φ)

δφ∂iφ = 0, (3.15)

para o vınculo do momento e,

H0ψ (hij, φ) = 0, (3.16)

⇒ −~2

(

k2Gijklδ

δhij

δ

δhkl+

l

2√h

δ2

δφ2

)

ψ (hij, φ)

+√h

(

−3R

k2+l

2hij∂iφ∂jφ+ V (φ)

)

ψ (hij, φ) = 0. (3.17)

para o vınculo hamiltoniano. O vınculo do momento implica que ofuncional de onda e invariante sob transformacoes de coordenadas es-paciais. Ja o vınculo hamiltoniano da origem a equacao de Wheeler-DeWitt eq.(3.17) [5, 6], que e uma equacao diferencial funcional hi-perbolica de segunda ordem, que descreve a evolucao dinamica dofuncional de onda no superespaco para cada ponto x ∈ Σ. E impor-tante ressaltar, sem entrar em maiores detalhes, alguns problemasque surgem no procedimento de quantizacao canonica da gravitacao,tais como:

1. A necessidade da positividade da 3-metrica h. Nominalmente,h nao e apenas um tensor simetrico mas uma metrica. Istotem que dar uma norma positiva para qualquer campo vetorialem Σ. A questao geral por detras disso e que as proprieda-des geometricas dos operadores deveriam ser implementadasno nıvel quantico.


2. Funcoes classicamente equivalentes de variaveis do espaco defase nao sao equivalentes no nıvel quantico quando, essas variaveisdo espaco de fase se transformam em operadores nao comutati-vos. Isso leva ao problema do fator de ordenamento e pode sur-gir quando quantizamos um sistema classico. Contudo, existeuma natural escolha de ordenamento em que os termos de de-rivada se tornam um laplaciano na supermetrica [5, 53].

3. Os vınculos decidem a priori quais estados sao admissıveis nagravidade quantica. Portanto, a sua representacao decide sobreo conteudo fısico da teoria.

4. O problema da identificacao de um espaco de Hilbert, que eafetado pela restricao dos vınculos. A Weeler-DeWitt nao in-dica um produto interno e uma nocao de uma probabilidadeevidente.

5. Temos que ressaltar o problema do tempo na teoria pois elenao se apresenta de maneira explıcita nas equacoes de Wheeler-DeWitt, tal como aparece na equacao de Schrodinger.

6. Outro problema muito importante diz respeito ao colapso dafuncao de onda, ou seja, o ato de fazer medidas na teoria da gra-vidade quantica. Como procederemos para realizar medicoes seexiste a necessidade de um mundo classico, que de suporte paraas medidas quanticas ao tratarmos o universo como um todo?

3.1.1 Minisuperespaco Quantico das Singularidades

Trabalhar no superespaco quantico na pratica, com as tecnicasdisponıveis atualmente, e impossıvel. Portanto, se faz necessarioo emprego de uma aproximacao para reduzir os infinitos graus deliberdade a um numero finito, obtendo assim algum modelo de mi-nisuperespaco particular. Uma maneira facil de conseguir isso econsiderar metricas homogeneas, pois para cada ponto x ∈ Σ, haum numero finito de graus de liberdade no superespaco.No entanto, a reducao para o minisuperespaco nao constitui umesquema de aproximacao rigoroso vindo do superespaco da cosmo-logia quantica. Os trabalhos formulados na aproximacao de minisu-perespaco, devem portanto, ser vistos como modelos de brinquedo,que nos, no entanto, esperamos que capturem um pouco da essencia


da cosmologia quantica. Assim, no momento da reducao dos grausde liberdade, estamos definindo que alguns campos e seus momentaconjugados sao zero simultaneamente, o que viola o princıpio daincerteza. Contudo, na cosmologia classica, homogeneidade e iso-tropia sao hipoteses simplificadoras importantes que tem uma baseobservacional. Portanto, nao e totalmente irracional a esperancade que uma reducao consistente para determinados modelos de mi-nisuperespaco, com simetrias particulares, possa ser encontrada nofuturo.Por simplicidade, vamos considerar cosmologias homogeneas. Entao,ao inves de usarmos uma equacao de Wheeler-Dewitt para cadaponto de Σ, lidaremos com apenas uma equacao para toda a vari-edade. Para isto, restringiremos a metrica e o campo de materia ase tornarem homogeneos e isotropicos. Um minisuperespaco maisgeral envolveria as seguintes grandezas: a 3-metrica hij homogeneadescrita por um numero finito de funcoes de t e qα (t), onde α =0, 1, 2, ..., (n− 1) com n sendo a dimensao do espaco, a funcao deslo-camento nula N i = 0, e a funcao lapso sendo homogenea N = N (t),conduzindo ao elemento de linha:

ds2 = −N2 (t) dt2 + hij (qα, t) dxidxj. (3.18)

Porem, estamos interessados no modelo de FLRW para o universoespacialmente plano, ou seja, de constante de curvatura K = 0.Sendo assim, a 3-metrica sera escrita como

hij (qα, t) dxidxj = a(t)2δijdx

idxj, (3.19)

onde δij = diag(1, 1, 1). Desta maneira, faremos a identificacao dascoordenadas e dos momenta canonicos classicos com os respecti-vos operadores. Sendo assim, utilizando o fator de ordenamento deLaplace-Beltrami1 de tal forma que

π2 → −~2q−η

(

∂

∂qqη∂

∂q

)

, (3.20)

onde η e o fator de ordenamento, resulta que o operador do ha-miltoniano correspondente a (2.42) aplicado na funcao de onda dominisuperespaco ψ (a, φ), com η = 1, da

[

~2

2

κ2

6a∂

∂aa∂

∂a− l

~2

2

∂2

∂φ2+ a6V (φ)

]

ψ (a, φ) = 0. (3.21)

1Para mais detalhes sobre fator de ordenamento ver “Factor ordering in standard quantumcosmology”[55].


Fazendo a identificacao na equacao acima de

a ≡ eα, (3.22)

⇒ a∂

∂a=

∂

∂α, (3.23)

obtemos[

~2

2

κ2

6

∂2

∂α2− l

~2

2

∂2

∂φ2+ e6αV (φ)

]

ψ (α, φ) = 0, (3.24)

que e a equacao de Wheeler-DeWitt para o modelo de minisupe-respaco de FLRW, e essa sera a equacao base para tratarmos doscasos quanticos.

3.1.2 A Aproximacao WKB para o Modelo de Minisupe-

respaco

Podemos chegar as equacoes classicas da TRG via a aproximacaoWKB. Isto pode ser feito se nos assumirmos que a funcao de ondasatisfaz

ψ (α, φ) ∼=∑

n

ψn (α, φ) ≡∑

n

Aneı~Sn(α,φ), (3.25)

onde os An sao coeficientes da expansao e os ψn (α, φ) sao conside-rados solucoes da eq.(3.24). Entao, aplicando na eq.(3.24), temos

∑

n

{[

~2

2

κ2

6

∂2

∂α2− l

~2

2

∂2

∂φ2+ e6αV (φ)

]

Aneı~Sn

}

= 0 (3.26)

∑

n

{

~2

2

κ2

6

[

− 1

~2

(

∂Sn∂α

)2

+ı

~

∂2Sn∂α2

]

Aneı~Sn+

−l~2

2

[

− 1

~2

(

∂Sn∂φ

)2

+ı

~

∂2Sn∂φ2

]

Aneı~Sn+

+e6αV (φ)Aneı~Sn}

= 0.

(3.27)

Separando, na equacao acima, o termo em mais baixa ordem em ~,encontramos

−κ2

12

(

∂S0

∂α

)2

+l

2

(

∂S0

∂φ

)2

+ e6αV (φ) = 0, (3.28)


que e a equacao de Hamilton-Jacobi para o caso do minsuperespacode FLRW. Assim, somos compelidos a lembrar das identificacoes

πα =

(

∂S0

∂α

)

, (3.29)

πφ =

(

∂S0

∂φ

)

, (3.30)

e, das eqs.(3.29) e (3.30) na eq.(3.28), obtemos

−κ2

12π2α +

l

2π2φ + e6αV (φ) = 0, (3.31)

sendo exatamente igual, a menos da transformacao a = eα, aoclassico eq.(2.42). Dessa forma, a aproximacao WKB esta levandoo sistema quantico para o caso classico.

3.2 Minisuperespaco do Grande Rasgo

Partiremos da equacao de Wheeler-DeWitt para o minisuperespacode FLRW dada pela eq.(3.24), com l = −1 e com o potencial parao campo fantasma eq.(2.49)

V = V0e−λκφ, (3.32)

que dao[

~2

2

∂2

∂α2+

~2

2

∂2

∂φ2+ V0e

6α−λ√6φ

]

ψ (α, φ) = 0, (3.33)

onde a constante de acoplamento κ =√6. Uma solucao pode ser

obtida percebendo que a acao classica eq.(2.65) satisfaz exatamentea equacao acima [44]. Assim, a funcao de onda pode ser escritacomo

ψ (u, v) = C1ei~

[

zu−√

(1−z2)v]

+ C2e− i

~

[

zu−√

(1−z2)v]

, (3.34)

onde as coordenadas (u,v) sao funcoes de (α, φ) dadas atraves deeq.(2.61) e eq.(2.62). Estamos interessados em solucoes sob a formade uma superposicao gaussiana da solucao eq.(3.34). Assim escre-veremos ψ (u, v) como

ψ (u, v) =

∫ ∞

−∞dzA (z)

{

C1ei~

[

zu−√

(1−z2)v]

+ C2e− i

~

[

zu−√

(1−z2)v]

}

,

(3.35)


onde A (z) e a amplitude da gaussiana que e escrita em termos dalargura σ e do valor medio z atraves de

A (z) =~

σ√2πe−

(z−z)2

2σ2 ~2 . (3.36)

Precisamos encontrar uma expressao analıtica para a funcao de ondaψ. Para isto temos de calcular a integral eq.(3.35). Contudo, umasolucao para esta integral nao pode ser encontrada nas tabelas co-nhecidas. Sendo assim, faremos a seguinte consideracao: vamosimaginar que o pacote esteja bastante concentrado em torno do va-lor medio z, ou seja, a largura σ seja suficientemente pequena. Destaforma, podemos fazer uma expansao em Taylor do argumento S0z

nos arredores de z onde

S0z = zu−√

(1− z2)v. (3.37)

Assim, a expansao fica

S0z ≈ S0z (z) + S′0z (z) (z − z) + S

′′0z (z)

(z − z)2

2+O [(z − z)]3 ,

(3.38)onde a linha denota diferenciacao em relacao a z. Chamando S0z (z) =S0 e substituindo a expressao acima na eq.(3.35) para o caso em quea constante C2 = 0 e, desprezando termos de terceira ordem, obte-mos

ψ = C1~

σ√2π

∫ −∞

∞dze

− (z−z)2

2σ2 ~2+ i~

[

S0+S′0(z−z)+S

′′0

(z−z)2

2

]

. (3.39)

Fazendo z − z = y e agrupando os termos semelhantes, temos

ψ = C1~

σ√2π

∫ −∞

∞dye

−[(

1−iσ2~S

′′0

2σ2~2

)

y2− iS′0

~y− iS0

~

]

. (3.40)

Esta integral e da forma

∫ −∞

∞e−(Ay

2+By+C)dy =

√

π

AeB2−4AC

4A , (3.41)

com

A =1− iσ2

~S′′0

2σ2~2,B = − iS

′0

~, C = − iS0

~. (3.42)


Entao, substituindo as ultimas expressoes (3.41) e (3.42) na integralpara o funcao de onda (3.40) encontra-se que [44]

ψ = C1~2

√

1

1− iσ2~S′′0

exp

[

iS0

~− S

′20

2(

σ−2 − i~S′′0

)

]

. (3.43)

3.2.1 Aproximacao WKB Para o Modelo Grande Rasgo

Nesse momento, iremos proceder com a aproximacao WKB atravesda identificacao dada pela eq.(3.25), onde S e uma funcao de u e v.Inserindo esta identificacao na Eq.(3.33) e obtendo-se a equacao demais baixa ordem em ~, encontramos

(

∂S0

∂u

)2

+

(

∂S0

∂v

)2

= 1, (3.44)

que e a equacao classica de Hamilton-Jacobi eq.(2.64). Esta equacaotem a mesma solucao eq.(2.65)

S0z = zu−√

(1− z2)v, (3.45)

onde z e uma constante. Substituindo as equacoes (2.61) e (2.62) nasolucao acima, encontramos que a acao classica S0z pode ser escritaem termos das coordenadas (α, φ), o que nos convida a identificaros momenta atraves de

πα =∂S0z

∂α, (3.46)

e

πφ =∂S0z

∂φ. (3.47)

Escrevendo os momenta (2.38) e (2.40) em termos das coordenadaα e φ com a constante de Einstein da gravitacao κ2 = 6, temos

πα = −e3αα, (3.48)

eπφ = −e3αφ. (3.49)

De onde podemos obter

α = −e−3α

(

∂S0z

∂u

∂u

∂α+∂S0z

∂v

∂v

∂α

)

, (3.50)


e

φ = −e−3α

(

∂S0z

∂u

∂u

∂φ+∂S0z

∂v

∂v

∂φ

)

. (3.51)

Entao, calculando as expressoes acima para as variaveis eq.(2.61) eeq.(2.62) e para a acao eq.(3.45), obtemos

α =√

2V0e−λ

√6

2φ

[

√1− z2sen

(

3φ+λ√6

2α

)

− zcos

(

3φ+λ√6

2α

)]

,

(3.52)e

φ =√

2V0e−λ

√6

2φ

[

zsen

(

3φ+λ√6

2α

)

+√1− z2cos

(

3φ+λ√6

2α

)]

.

(3.53)Podemos perceber, atraves de um calculo direto, que as equacoesacima satisfazem as equacoes classicas cosmologicas de Friedmanneq.(2.56), de conservacao do campo (2.57) e do vınculo (2.53), o quemostra que as expressoes (3.52) e (3.53) sao as equacoes classicas.Sendo assim, verificamos que o conjunto de trajetorias das figs.(2.5)e (2.6) no plano (α, φ), para os casos em que z = 0 e z = 1/2,representam as curvas integrais das mesmas equacoes classicas men-cionadas anteriormente.

3.3 Minisuperespaco da Grande Parada

Nesta secao, apresentaremos a quantizacao canonica do minisupe-respaco da Grande Parada(Big Brake). Usaremos o procedimento dequantizacao de Dirac-Wheeler-DeWitt, onde os operadores associa-dos aos vınculos classicos aniquilam a funcao de ψ(α, φ). A equacaode Weeler-DeWitt (3.24) com o potencial escrito sob a forma [48](2.89) da

~2

2

(

κ2

6

∂2

∂α2− ∂2

∂φ2

)

ψ(α, φ) (3.54)

+V0e6α

(

sinh (√3κ2 |φ|)− 1

sinh (√3κ2 |φ|)

)

ψ(α, φ) = 0.


Como a equacao acima e de difıcil solucao e queremos estudar ocomportamento da singularidade na regiao proxima a Grande Pa-rada(Big Brake), podemos fazer uma aproximacao na parte do po-

tencial da equacao acima para valores em que√3κ2 |φ| ≪ 1

~2

2

(

κ2

6

∂2

∂α2− ∂2

∂φ2

)

ψ(α, φ) +V0e

6α

√3κ2 |φ|

ψ(α, φ) = 0, (3.55)

A solucao da equacao acima pode ser obtida atraves da aproximacaode Born-Oppenheimer [48, 56, 57]. Dessa forma, fazendo ψ(α, φ) =∑

k Ck(α)ϕk(α, φ), onde ϕk(α, φ) e solucao da equacao

−(

~2

2

∂2

∂φ2+

V0√3κ2 |φ|

e6α

)

ϕk(α, φ) = Ek(α)ϕk(α, φ), (3.56)

e Ck(α) e solucao da equacao

Ck(α)−6V 2

α

~4k2κ2Ck(α) = 0 (3.57)

pode-se encontrar solucoes normalizaveis para ϕk(α, φ) dadas por

ϕk(xk) = Nkxke−xk

2 L1k−1(xk), (3.58)

onde, k ∈ N, xk = 2√

−Ek(α)~2

|φ|, L1k−1(xk) sao os polinomios asso-

ciados de Laguerre, Nk = 1

k32e o fator de normalizacao e Ek(α) =

− V 2α

2~2k2sao os autovalores de energia com Vα ≡ V0e

6α e V0 ≡ V0√3κ2

.

A solucao para a parte em Ck(α) e dada por

Ck(α) = cK0

(

1√6

Vα~2kκ

)

, (3.59)

onde c e uma constante de integracao e K0 representa a funcao deBessel modificada de segunda especie de ordem zero. Portanto, asolucao aproximada completa pode ser dada por

ψ(α, φ) =∞∑

k=1

A(k)NkK0

(

1√6

Vα~2kκ

)

×(

2Vαk

|φ|)

e−Vαk|φ|L1

k−1

(

2Vαk

|φ|)

.

(3.60)


3.3.1 A Solucao Aproximada WKB Para a Grande Parada

Iremos proceder com o mecanismo para se chegar no comportamentodas equacoes classicas a partir de equacoes quanticas atraves daaproximacao WKB. Sendo assim, fazendo a identificacao ϕk(α, φ) =

ei~Sφk0(α,φ) na eq.(3.56) e Ck(α) = e

i~Sαk0(α) na eq.(3.57), encontramos

a solucao aproximada para mais baixa ordem em ~ da equacao deHamilton-Jacobi para as partes de φ e α respectivamente. Encontra-se entao a fase Sφk0(α, φ) como

Sφk0(α, φ) = ~k

[

arcsin

(

1− Vα |φ|~2k2

)

− π

2

]

−√

2Vα |φ|√

1− Vα |φ|2~2k2

− π

4, (3.61)

e da eq.(3.57) nao temos contribuicao. Assim, a fase se constitui

apenas com Sφk0(α, φ) da eq.(3.61). De posse da fase, podemos fazer

a identificacao πα =∂Sφ

k0

∂αe πφ =

∂Sφk0

∂φ. A partir das eq.(2.38) e

eq.(2.40) chegamos a

α = −κ2

6e−3α

(

∂Sφk0∂α

)

, (3.62)

φ = e−3α

(

∂Sφk0∂φ

)

. (3.63)

Diferenciando a eq.(3.61) com respeito a α e φ e substituindo naequacao acima, assumindo valores para Vα ≡ V0e

6α = e6α, ~ = 1 ek = 1, obtemos

α = 6√

−e6αφ2 + 2 |φ| (3.64)

φ = −√

−e6αφ2 + 2 |φ|φ

. (3.65)

Das equacoes acima verificamos que

dφ(α)

dα= − 1

6φ7−→ φ(α) = −

√α1∗ − α√

3, (3.66)

onde α1∗ e uma constante de integracao.Podemos observar que a fig.(3.1) se assemelha com a fig.(2.11) no


-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

Α

Φ

Figura 3.1: Evolucao do campo escalar versus fator de escala no regime WKB.


-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 Α

2

4

6

8

10

Α

Figura 3.2: Evolucao da velocidade versus fator de escala.

regime de pequenos valores de φ. Utilizando o resultado de φ(α)obtido, verificamos que a eq.(3.64) nos da o comportamento exatoda velocidade classica α via WKB

α = 6

√

2√α1∗ − α√

3− e6α

3(α1∗ − α). (3.67)

Dessa forma, podemos fazer o grafico α = α(α) que pode ser vistona fig.(3.2) e, alem disso, integrando a equacao acima chegamosao resultado do comportamento do fator de escala com o tempoobtido no grafico da fig.(3.4). Derivando com respeito ao tempo”t”, a equacao da velocidade do fator de escala acima e substituindoα = α(α) pelo resultado encontrado, chegamos a α = α(α)

α = − 6√α1∗ − α

{√3 + e6α [−1 + 6 (α1∗ − α)]

√α1∗ − α

}

. (3.68)

Entao, podemos encontrar o grafico α = α(α) que pode ser vistona fig.(3.3). As fig.(3.2) e fig.(3.3) quando comparadas as fig.(2.8)e fig.(2.10) proximas a singularidade em que φ e pequeno possuemo mesmo comportamento de conducao do sistema a singularidadeGrande Parada. Isso nos mostra que a aproximacao WKB estareproduzindo o comportamento classico no regime da aproximacao.


-0.4 -0.2 0.2 0.4 Α

-2000

-1500

-1000

-500

ΑÐ

Figura 3.3: Evolucao da aceleracao versus fator de escala.

0.005 0.010 0.015 0.020 t

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Α

Figura 3.4: Evoluacao do fator de escala com o tempo no regime WKB.


3.4 Minisuperespaco do Grande Arranque

Nesta secao, iremos abordar os aspectos quanticos da singularidadeGrande Arranque(Big Demarrage) [52], em que o campo escalar, queimita a materia, e de natureza fantasma, l = −1, e as constantesassumem valores A > 0, B < 0 e β > 0. Queremos encontrara solucao da equacao de Wheeler-DeWitt (3.24) para o potencialfantasma dado pela eq.(2.100)

V (φ) = V−1

1

sin2β1+β

(√32κ |1 + β| |φ|

) + sin2

1+β

(√3

2κ |1 + β| |φ|

)

,

(3.69)

onde V−1 = A1

1+β

2e 0 <

√32κ |1 + β| |φ| < π

2. Contudo, como o

potencial se mostra bastante complicado e queremos estudar o queacontece nos arredores da singularidade, faremos uma aproximacaodo potencial para valores em que |φ| ≪ 1. Assim

V (φ) ≈ V−1

(√3

2κ |1 + β| |φ|

)−2β1+β

. (3.70)

A equacao de Wheeler-DeWitt para o potencial acima sera

~2

2

(

κ2

6

∂2

∂α2+

∂2

∂φ2

)

ψ(α, φ)+a60e6αV−1

(√3

2κ |1 + β| |φ|

)−2β1+β

ψ(α, φ) = 0.

(3.71)

onde introduzimos uma nova variavel α = ln(

aa0

)

, e assumimos que

a0 corresponde a localizacao da singularidade Grande Arranque(BigDemarrage). Daqui por diante, fica implıcito que a coordenada asera a := a

a0tal que a0 = 1.

A solucao da eq.(3.71) pode ser obtida atraves da aproximacao Born-Oppenheimer [48, 56, 57], com

ψ(α, φ) = Ck(α)ϕk(α, φ), (3.72)

onde k nao esta restrito agora a valores reais. A equacao queϕk(α, φ) deve satisfazer e

~2

2

∂2

∂φ2ϕk(α, φ) + a6oe

6αV (φ)ϕk(α, φ) = Ek(α)ϕk(α, φ). (3.73)


Introduzindo a notacao

Vα = a60e6αV−1

[√3κ

2|1 + β|

]− 2β1+β

, (3.74)

definindo k2 := 2Ek

~2, Vα := 2Vα

~2e com a ajuda da eq.(3.70), chegamos

a eq.(3.73)

ϕ,,k +[

−k2 + Vα |φ|−2β1+β

]

ϕk = 0, (3.75)

onde a (,) significa uma derivacao com respeito a φ. Como estaequacao e formalmente a mesma da parte radial, |φ| faz o papel dacoordenada radial de uma equacao de Schrodinger estacionaria para

um potencial atrativo, em que potenciais do tipo V ∝ r−2β1+β sao

chamados de singulares [58, 59, 52]; nos focaremos a nossa atencaopara o caso em que |β| ≫ 1, de tal maneira que |1 + β| |φ| sejaainda pequeno. Sendo assim, o potencial correspondera ao tipo dequadrado inverso, com

Vα =2a60e

6αV−1

~2

[√3κ

2|β|]−2

. (3.76)

Teremos que resolver a seguinte equacao

ϕ,,k +

[

−k2 + Vα

|φ|2

]

ϕk = 0, (3.77)

que possui solucao geral sob a forma [52]

ϕk(α, φ) =√

|φ| [c1Jν(ık |φ|) + c2Yν(ık |φ|)] , (3.78)

onde Jν e Yν sao as funcoes de Bessel de primeira e segunda especies,c1 e c2 sao constantes de integracao que terao uma funcao muitoimportante na hora de aplicarmos as condicoes de contorno. Alemdisso ν e definido como

ν :=

√

1

4− Vα. (3.79)

A equacao em que a parte gravitacional Ck(α) devera obedecersera construıda inserindo a solucao da parte de materia ϕk(α, φ),


eq.(3.78), na equacao de Wheeler-DeWitt eq.(3.71), com o qual che-garemos a

κ2

6

(

2Ckϕk + Ckϕk

)

+

(

κ2

6Ck + k2Ck

)

ϕk = 0 (3.80)

onde o ponto diz respeito a uma diferenciacao com relacao a α. Senos assumirmos que os termos Ckϕk e Ckϕk podem ser desprezados,ou seja, estamos assumindo que Ck varia muito mais rapido comα do que com ϕk, e que estamos desprezando termos de contrareacao da parte da materia sobre a parte gravitacional. Em resumo,estamos assumindo que a parte de materia nao influencia na partegravitacional, ou seja, a parte de materia simplesmente contribuicom as energias k2. Dessa forma, chegamos a equacao

(

κ2

6Ck + k2Ck

)

ϕk = 0, (3.81)

que possui solucao [52]

Ck(α) = b1eı√6kκα + b2e

−ı√6kκα, (3.82)

onde b1 e b2 sao constantes de integracao, que novamente terao umafuncao muito importante na hora de aplicarmos as condicoes decontorno. As equacoes (3.78) com (3.79) e (3.82) desempenharaoum papel central no estudo de como as singularidades se comportamsob efeitos quanticos.

3.5 Minisuperespaco do Grande Congelamento

O minisuperespaco quantizado sera construıdo nos mesmos mol-des da secao anterior. Estamos buscando determinar o comporta-mento quantico da singularidade resolvendo a equacao de Wheeler-DeWitt eq.(3.24). Nessa secao, daremos atencao para os casos emque os potenciais descrevam o Grande Congelamento(Big Freeze)com Materia Ordinaria e com Materia Fantasma.

3.5.1 Minisuperespaco com Materia Ordinaria

Para esse caso, iremos abordar a singularidade Grande Congela-mento(Big Freeze) [52] em que o potencial sera escrito em termos


do campo escalar ordinario, l = 1, e onde as constantes assumemvalores A < 0, B > 0 e 1 + β < 0. Sendo assim, procuraremos asolucao da equacao de Wheeler-DeWitt eq.(3.24) para o potencialdado pela eq.(2.113)

V (φ) = V1

sinh2

1+β

(√3

2κ |1 + β| |φ|

)

− 1

sinh2β1+β

(√32κ |1 + β| |φ|

)

,

(3.83)

onde V1 ≡ |A|1

1+β

2. Contudo, como mais uma vez o potencial se

mostra bastante complicado e queremos estudar o comportamentoda singularidade nos seus arredores, faremos uma aproximacao dopotencial para valores em que |φ| ≪ 1. Assim

V (φ) ≈ −V1(√

3

2κ |1 + β| |φ|

)−2β1+β

. (3.84)

A equacao de Wheeler-DeWitt para o potencial acima sera

~2

2

(

κ2

6

∂2

∂α2− ∂2

∂φ2

)

ψ(α, φ)−a60e6αV1(√

3

2κ |1 + β| |φ|

)−2β1+β

ψ(α, φ) = 0.

(3.85)

onde α = ln(

aa0

)

, a0 corresponde ao ponto em que a singularidade

Grande Congelamento(Big Freeze) fica evidenciada e, novamente asera a := a

a0tal que a0 = 1.

Dessa forma, escrevendo a solucao da eq.(3.85) em termos da apro-ximacao Born-Oppenheimer [48, 56, 57], com

ψ(α, φ) = Ck(α)ϕk(α, φ), (3.86)

lembrando que k nao esta restrito a valores reais, concluımos queϕk(α, φ) deve satisfazer

−~2

2

∂2


6αV (φ)ϕk(α, φ) = Ek(α)ϕk(α, φ). (3.87)

Fazendo entao

Vα = −a60e6αV1[√

3κ

2|1 + β|

]− 2β1+β

, (3.88)


definindo k2 := 2Ek

~2, Vα := 2Vα

~2e com a ajuda da eq.(3.84), chegamos

a eq.(3.87)

ϕ,,k +[

k2 + Vα |φ|−2β1+β

]

ϕk = 0, (3.89)

onde a (,) significa uma derivacao com respeito a φ. Com os mesmosargumentos da secao anterior, focaremos a nossa atencao para o casoem que |β| ≫ 1, de tal maneira que |1 + β| |φ| seja ainda pequeno.Sendo assim, o potencial correspondera ao tipo de quadrado inverso,com

Vα = −2a60e6αV1~2

[√3κ

2|β|]−2

, (3.90)

e teremos que resolver a seguinte equacao

ϕ,,k +

[

k2 +Vα

|φ|2

]

ϕk = 0, (3.91)

que possui solucao geral sob a forma [52]

ϕk(α, φ) =√

|φ| [c1Jν(k |φ|) + c2Yν(k |φ|)] , (3.92)

onde Jν e Yν sao as funcoes de Bessel de primeira e segunda especies,c1 e c2 sao constantes de integracao que terao uma funcao muitoimportante na hora de aplicarmos as condicoes de contorno. Alemdisso ν e definido como

ν :=

√

1

4− Vα. (3.93)

A parte gravitacional Ck(α), com o mesmo raciocınio, deveraobedecer a seguinte equacao

(

κ2

6Ck + k2Ck

)

ϕk = 0, (3.94)

que possui a mesma solucao [52]


−ı√6kκα, (3.95)

onde b1 e b2 sao constantes de integracao que novamente farao umafuncao muito importante na hora de aplicarmos as condicoes decontorno.


3.5.2 Minisuperespaco com Materia Fantasma

Temos para esse tipo de singularidde um potencial escrito emtermos do campo fantasma l = −1, e, dessa forma, os resultadosobtidos na sec.(3.4) serao os mesmo para essa secao. A unica dife-renca sera nas constantes que assumem valores [52] A > 0, B < 0e 1 + β < 0. Entao, a equacao de Wheeler-DeWitt (3.24) para opotencial fantasma dado pela eq.(2.126)

V (φ) = V−1

1

sin2β1+β

(√32κ |1 + β| |φ|

) + sin2

1+β

(√3

2κ |1 + β| |φ|

)

,

(3.96)

e onde V−1 =A

11+β

2e 0 <

√32κ |1 + β| |φ| < π

2, e dado como

~2

2

(

κ2

6

∂2

∂α2+

∂2

∂φ2

)

ψ(α, φ)+a60e6αV−1

(√3

2κ |1 + β| |φ|

)−2β1+β

ψ(α, φ) = 0.

(3.97)sendo que foi feito a aproximacao do potencial para valores em que|φ| ≪ 1,

V (φ) ≈ V−1

(√3

2κ |1 + β| |φ|

)−2β1+β

. (3.98)

A solucao da eq.(3.97) podera ser obtida atraves da apro-ximacao Born-Oppenheimer [48, 56, 57], em que a equacao ϕk(α, φ)deve satisfazer

~2

2

∂2


6αV (φ)ϕk(α, φ) = Ek(α)ϕk(α, φ). (3.99)

Assim, introduzindo a notacao

Vα = a60e6αV−1

[√3κ

2|1 + β|

]− 2β1+β

, (3.100)

e definindo k2 := 2Ek

~2, Vα := 2Vα

~2, com a ajuda da eq.(3.98), nos

chegamos a eq.(3.99)

ϕ,,k +

[

−k2 + Vα

|φ|2

]

ϕk = 0, (3.101)


na qual foi feita uma aproximacao do potencial (3.98) para o casoem que |β| ≫ 1, de tal maneira que |1 + β| |φ| seja ainda pequeno.O potencial corresponde a um tipo de quadrado inverso. A solucaogeral da eq.(3.101) sera [52]

ϕk(α, φ) =√

|φ| [c1Jν(ık |φ|) + c2Yν(ık |φ|)] , (3.102)

onde c1 e c2 sao constantes de integracao e, desempenharao umafuncao muito importante na hora de aplicarmos as condicoes decontorno. Nao devemos esquecer que ν e definido como

ν :=

√

1

4− Vα. (3.103)

A equacao para a parte gravitacional Ck(α) sera(

κ2

6Ck + k2Ck

)

ϕk = 0, (3.104)

que possui solucao [52]


−ı√6kκα, (3.105)

onde b1 e b2 sao constantes de integracao.

Capıtulo 4

Trajetorias Bohmianas e

Singularidades

O surgimento de interpretacoes alternativas da mecanica quanticase deve ao fato de a construcao conhecida como interpretacao deCopenhagen, provocar uma certa inquietude quanto aos seus pilaresbasicos. Uma das principais representacoes historicas que refletemeste sentimento foi a celebre frase de Einstein “Deus nao joga da-dos”, mostrando sua contrariedade quanto a perda do determinismopara o mundo quantico. E fato estabelecido que a descricao domuito pequeno e diferente das leis que descrevem o mundo classico.Desta maneira, sem querer alongar os varios questionamentos quepermeiam esta discussao, estaremos interessados neste capıtulo nateoria causal da mecanica quantica e suas consequencias, propostapor Louis de Broglie e por David Bohm [60, 61, 62]. Posteriormente,iremos aplicar tal interpretacao a cosmologia quantica obtendo astrajetorias bohmianas para as singularidades.

4.1 Mecanica quantica de Bohm-de Broglie

A interpretacao de Bohm-de Broglie1 e conhecida como uma te-oria quantica do movimento de ondas e partıculas que coexistem,cuja interpretacao e ontologica, ou seja, os processos fısicos ocorremindependentemente de qualquer observador ou processo externo aosistema em estudo. Podemos resumir a natureza desta interpretacao

1Para uma abordagem mais completa com varias aplicacoes, o leitor e convidado a ler olivro do Peter R. Holland [63]

70

CAPITULO 4. TRAJETORIAS BOHMIANAS E SINGULARIDADES 71

para um sistema simples nos seguintes postulados basicos:

(1) O sistema fısico e composto por uma funcao de onda ψ (~x, t) epor uma partıcula, que segue uma trajetoria contınua, bem definida~x (t) e guiada pela funcao de onda.

(2) A dinamica da funcao de onda e dada pela equacao de Sch-roedinger.

Atraves do postulado (1), percebemos que a funcao de ondaexiste como uma entidade constituinte da realidade, assim comoa partıcula que segue uma trajetoria bem definida. O postulado (2)mostra que a dinamica para a onda ainda se da atraves da equacaoquantica de Schrodinger.

Para comecar a construir esta interpretacao, iremos escrever aequacao de Schroedinger sob a forma

i~∂ψ

∂t=

(

− ~2

2M∇2 + V

)

ψ, (4.1)

onde M e a massa inercial e V a energia potencial classica. Escre-veremos a funcao de onda sob a forma polar

ψ = ReiS~ , (4.2)

com R e S funcoes de valores reais do espaco e do tempo. Inserindona eq.(4.1) e separando a parte real da parte imaginaria obtem-seas seguintes equacoes para R e S

∂S

∂t+

(∇S)22M − ~

2

2M(∇R)2R

+ V = 0, (4.3)

que e a equacao para a parte real e

∂R2

∂t+∇.

(

R2∇SM

)

= 0, (4.4)

para a parte imaginaria, a qual pode ser pensada como uma equacaode continuidade.

Podemos identificar a densidade de probabilidade e o fluxo deprobabilidade respectivamente por

ρ (~x, t) = R2 (~x, t) , (4.5)


~J (~x, t) =ρ (~x, t)

M ∇S, (4.6)

ja que−→V =

−→∇SM . Assim, iremos reescrever a eq.(4.4) de uma maneira

mais usual como uma equacao de conservacao

∂ρ (~x, t)

∂t+∇. ~J (~x, t) = 0. (4.7)

A equacao (4.3) pode ser vista como uma equacao classica de Hamilton-Jacobi

∂S

∂t+

(∇S)22M +Q+ V = 0, (4.8)

onde Q age como um potencial quantico, dado sob a forma

Q = − ~2

2M∇2R

R. (4.9)

Com isto, uma importante caracterıstica desta interpretacao e ga-nha quando assumimos o limite classico da aproximacao WKB e ocomprimento de onda do pacote fica muito maior do que o com-

primento de onda individual e portanto o termo − ~2

2M(∇R)2

Rmuito

menor do que (∇S)22M . Assim, negligenciando-se estes termos peque-

nos, a eq.(4.3) torna-se a equacao classica de Hamilton-Jacobi

∂S

∂t+

(∇S)22M + V = 0. (4.10)

O ganho e entender entao que ao anular o potencial quantico Q

conseguirıamos um limite classico claro e unico na interpretacao deBohm-de Broglie. Uma outra importante caracterıstica e que sendoo potencial classico V nulo (Q nao nulo) o sistema nao poderiaser considerado livre pois forcas no sentido Newtoniano dadas por−∇Q ainda agiriam no sistema. Tendo identificado a eq.(4.8) comoa de Hamilton-Jacobi, vemos porque escrevem-se a velocidade e omomento da partıcula em termos da fase S como

~x =1

M∇S (~x, t) , (4.11)

e~p (~x, t) = ∇S (~x, t) . (4.12)


Podemos notar que esta ultima equacao define rigorosamente o mo-mento ~p (~x, t), do qual temos assim uma trajetoria bem definida e

denominada como trajetoria bohmiana. E instrutivo estabelecer umalgoritmo facilitando a aplicacao da interpretacao nos moldes dadosabaixo:

1. Resolver a equacao de Schroedinger, obtendo-se a funcao deonda ψ (~x, t).

2. Escrever a funcao de onda em termos das funcoes reais R (~x, t)e S (~x, t) como ψ (~x, t) = R (~x, t) eiS(~x,t)/~.

3. Calcular as trajetorias a partir de ~x = 1M∇S (~x, t). Pode-

mos observar que uma vez que se conhece ψ (~x, t), as trajetoria saounivocamente determinadas pelas condicoes iniciais, atraves de umaequacao diferencial de primeira ordem.

4. Calcular R2 e se necessario o potencial quantico Q, que podeser util na interpretacao dos resultados e na obtencao do limiteclassico.

Nesta teoria, o princıpio da incerteza de Heisenberg nao possui ocaracter fundamental que lhe e atribuido na interpretacao usual. Oprincıpio apenas se refere a maneira como medimos os observaveis,ou seja, ao que podemos medir, nao ao que existe. Para finalizaresta secao, a interpretacao de Bohm-de Broglie tem sido chamada decausal pois uma vez definidas as condicoes iniciais, esta determinadaa trajetoria da partıcula e, neste sentido, a interpretacao causal euma versao realista da mecanica quantica.

4.2 Interpretacao de Bohm-de Broglie da Cos-

mologia Quantica

A interpretacao de Copenhagem da mecanica quantica pressupoenecessariamente um mundo classico que de suporte as medicoes dosobservaveis do mundo quantico [64] e pressupoe ainda o chamadocolapso da funcao de onda, onde o fato de medir interfere comple-tamente na historia do sistema analisado. Desta maneira, se qui-


sermos estudar aspectos quanticos do universo como um todo, naoseria possıvel aplicar a intepretacao padrao, uma vez dados os argu-mentos acima.

Sendo assim, queremos utilizar a interpretacao de Bohm-de Broliena cosmologia quantica [65, 66, 67, 68, 69], por nao possuir proble-mas de aplicacao da teoria para o universo, ja que nao e necessarioa divisao do que e observado e do que e medido.

Iremos aplicar a interpretacao de Bohm-de Broglie via substi-tuicao do funcional de onda por ψ (hij, φ) = ReiS/~ na eq.(3.15)separando a parte real da imaginaria,

−2hkiDjδR (hij, φ)

δhkj+δR (hij, φ)

δφ∂iφ = 0, (4.13)

−2hkiDjδS (hij, φ)

δhkj+δS (hij, φ)

δφ∂iφ = 0, (4.14)

de onde podemos perceber que as funcoes R e S sao invariantes sobtransformacoes de coordenadas espaciais. Substituindo tambem naequacao de Wheeler-DeWitt eq.(3.17) e fazendo uma escolha conve-niente do fator de ordenamento, obtemos novamente para as partesreal e imaginaria

k2Gijkl

(

δS

δhij

)(

δS

δhkl

)

+l

2√h

(

δS

δφ

)2

+√h

(

−3R

k2+ l

hij

2∂iφ∂jφ+ V (φ)

)

+Q = 0, (4.15)

e

k2Gijklδ

δhij

(

R2 δS

δhkl

)

+l

2√h

δ

δφ

(

R2 δS

δφ

)

= 0, (4.16)

onde Q e o potencial quantico, que para este caso e dado sob a forma

Q = −~2

R

(

k2Gijklδ2R

δhijδhkl+

l

2√h

δ2R

δφ2

)

, (4.17)

onde l = ±1 dependendo se o campo escalar for de natureza padraoou se for de natureza fantasma.A primeira eq.(4.15) e a equacao de Hamilton-Jacobi para a relativi-dade geral com a adicao do potencial quantico. Contudo, a segunda


eq.(4.16) nao pode ser relacionada com uma equacao de conservacaopara a probabilidade, como fizemos na secao anterior. Isto e devidoa natureza hiperbolica da metrica de DeWitt Gijkl

2. Uma vez rela-cionado este sistema com a equacao de Hamilton-Jacobi, esperandoque a 3-metrica, o campo escalar e seus momenta canonicos sempreexistam, somos novamente conduzidos a identificar as trajetoriasatraves das relacoes de orientacao

πij =δS (hkl, φ)

δhij, (4.18)

πφ =δS (hkl, φ)

δφ. (4.19)

Assim, podemos relacionar a primeira equacao com o momento(2.19) e a curvatura extrınseca (2.10) para encontrar a velocidade

hij como

hij = 2Nk2GijklδS

δhkl+DiNj +DjNi, (4.20)

e relacionar tambem o momento πφ dado acima com o momento

(2.20) para encontrar a velocidade φ como

φ = N i∂iφ+lN√h

δS

δφ. (4.21)

Com isto, as equacoes (4.20) e (4.21) formariam um sistema deequacoes diferenciais de primeira ordem que, garantindo a existenciade solucao, definiriam um conjunto de trajetorias no superespacopara este modelo. Para finalizar esta secao, queremos ressaltar maisuma vez a caracterıstica da interpretacao quanto ao seu claro limiteclassico quando o potencial quantico Q → 0 e o seu carater cau-sal que, uma vez que as relacoes de orientacao sejam estabelecidascom as condicoes iniciais dadas, as trajetorias do sistema podem serencontradas.

4.3 O Minisuperespaco BdB da Cosmologia Quantica

e as solucoes WKB

Ja sabemos, das secoes anteriores, que trabalhar no superespaco(3.2) e impossıvel na pratica e, dessa maneira, trabalhar na cosmolo-

2Para uma abordagem mais completa da interpretacao de Bohm-de Broglie da cosmologiaquantica no superespaco ver Pinto-Neto [69].


gia quantica via interpretacao de BdB nao e diferente. Sendo assim,iremos conduzir o nosso trabalho utilizando a interpretacao na apro-ximacao de minisuperespacos. Notemos que o problema da violacaodo princıpio da incerteza na hora em que fazemos a aproximacao deminisuperespaco e temos que tornar nulos ao mesmo tempo posicaoe momento conjugado nao existe em BdB. Devemos lembrar que esseprincıpio nao guarda uma posicao relevante em BdB. Restringiremosa nossa discussao ao esquema de quantizacao [73] dos modelos deminisuperespacos homogeneos que tem um numero finito de grausde liberdade. A equacao de Wheeler-DeWitt para o modelo emquestao assume a forma

H0(pµ, qµ)Ψ(q) = 0 . (4.22)

As quantidades pµ, qµ sao os operadores no espaco de fase relacio-nados aos graus de liberdade homogeneos do modelo. A eq.(4.22)pode ser escrita como

−1

2fρσ(qµ)

∂Ψ(q)

∂qρ∂qσ+ U(qµ)Ψ(q) = 0 , (4.23)

onde fρσ(qµ) e a metrica de DeWitt do modelo, sendo sua inversadada por fρσ(qµ). Aplicando a interpretacao de BdB atraves daexpressao de ψ na sua forma polar, Ψ = R exp(iS), e substituindona eq.(4.23), obtemos as seguintes equacoes

1

2fρσ(qµ)

∂S

∂qρ

∂S

∂qσ+ U(qµ) +Q(qµ) = 0 , (4.24)

fρσ(qµ)∂

∂qρ

(

R2 ∂S

∂qσ

)

= 0 , (4.25)

onde

Q(qµ) ≡ − 1

2Rfρσ

∂2R

∂qρ∂qσ, (4.26)

faz o papel aqui do potencial quantico. A teoria de Bohm-de Bro-glie aplicada a cosmologia quantica faz com que as trajetorias qµ(t)sejam reais, independente de qualquer observador. A eq.(4.24) re-presenta a equacao de Hamilton-Jacobi, que e a parte classica adi-cionada do termo de potencial quantico (4.26), responsavel pelosefeitos quanticos. Isso sugere definir


pρ =∂S

∂qρ, (4.27)

onde os momenta estao relacionados com as velocidades por

pρ = fρσ1

N

∂qσ∂t

. (4.28)

Para obter as trajetorias bohmianas nos teremos de resolver o se-guinte sistema de equacoes diferenciais de primeira ordem, chamadasde equacoes guias:

∂S(qµ)

∂qρ= fρσ(qµ)

1

Nqσ . (4.29)

As eqs.(4.29) sao invariantes sob reparametrizacoes no tempo. Por-tanto, em um nıvel quantico, diferentes escolhas de N(t) dao amesma geometria espaco-temporal para uma dada solucao nao classicaqα(t). Dessa maneira, vericamos que nao existe o problema dotempo em BdB para os modelos de minisuperespaco da cosmolo-gia quantica3.Como a teoria usa uma abordagem de Hamilton-Jacobi, fica claroque a aproximacao WKB sai naturalmente de BdB. O mundo quanticose conecta com o classico quando o potencial quantico da eq.(4.26)tende ao zero.Nas secoes seguintes iremos abordar cada uma dessas singularida-des sob a luz da interpretacao de Bohm-de Broglie da cosmologiaquantica.

4.4 Trajetorias Bohmianas do Grande Rasgo

Estamos interessados em encontrar as trajetorias Bohmianas naregiao de ocorrencia da singularidade Grande Rasgo(Big Rip). Paraisso, iremos partir da funcao de onda eq.(3.43)

ψ = C1~2

√

1

1− iσ2~S′′0

exp

[

iS0

~− S

′20

2(

σ−2 − i~S′′0

)

]

. (4.30)

Com uma expressao analıtica para a funcao de onda em maos, pode-

mos agora indentifica-la com a transformacao ψ (u, v) = R (u, v) eiS(u,v)

~ .3Para um estudo acerca desses detalhes ver ref. [73].


Para isto, colocaremos a funcao eq.(4.30) em uma forma polar.Desta maneira, eliminando-se os numeros complexos nos denomi-nadores em ψ (u, v) dado acima, obtemos

ψ = C1 exp

[

iS0

~− S

′20 σ

−2

2(

σ−4 + ~2S′′20

) − i~S′20 S

′′0

2(

σ−4 + ~2S′′20

)

]

, (4.31)

onde

C1 = C1~2

√

1

1 + σ4~2S′′20

√

1 + iσ2~S′′0 . (4.32)

Notando que√

1 + iσ2~S′′0 =

(

1 + σ4~2S

′′20

)1/4

exp

[

i

2arctan

(

σ2~S

′′0

)

]

,

(4.33)encontramos que a funcao de onda ja pode ser escrito em sua forma

polar ψ = ReiS~ com

R =C1~

2

(

1 + σ4~2S′′20

)1/4exp

[

− S′20 σ

−2

2(

σ−4 + ~2S′′20

)

]

(4.34)

e

S = S0 −~2S

′20 S

′′0

2(

σ−4 + ~2S′′20

) +~

2arctan

(

σ2~S

′′0

)

. (4.35)

Usando a equacao (3.37)

S0 = zu−√1− z2v, (4.36)

em que z −→ z, podemos calcular S′0 e S

′′0 como

S′0 = u+

z√1− z2

v, (4.37)

S′′0 =

v

(1− z2)3/2. (4.38)

De posse das expressoes acima, podemos substituı-las na fase(4.35) e escreve-la em termos dos parametros u e v como

S (u, v) = ku−√

(1− k2)v−(1− k2)3/2vσ4

(

u+ kv√(1−k2)

)2

2[(1− k2)3 + σ4v2]+1

2arctan

[

σ2v

(1− k2)3/2

]

,

(4.39)


onde foi feito ~ = 1 e z ≡ k. Retringiremos a nossa atencao parao caso em que |k| < 1 de tal maneira a evitar divergencias na funcaode onda.Assumindo a interpretacao de Bohm-de Broglie da cosmologia quantica[70], usaremos a eq.(4.28) para obter as velocidades

u = −N exp(3α− 2φ)πu = −N exp(3α− 2φ)∂S

∂u,

v = −N exp(3α− 2φ)πv = −N exp(3α− 2φ)∂S

∂v, (4.40)

que tem a mesma forma de sua contrapartida classica eq.(2.66),exceto pelo fato de que a fase S (funcao de Hamilton-Jacobi) dadaem (4.39), que aparece em (4.40), ser de natureza quantica. Notemosque S escrito na eq. (4.39) se reduz a S0k dada na eq. (2.65) quandoσ → 0, dando assim, um limite classico direto e imediato.Retornando as variaveis originais α, φ atraves das eqs. (2.61), (2.62)e (4.40), obtemos

α = −e−φ[

∂S

∂vsin (3φ+ α) +

∂S

∂ucos (3φ+ α)

]

,

φ = e−φ[

∂S

∂usin (3φ+ α)− ∂S

∂vcos (3φ+ α)

]

, (4.41)

lembrando que as eqs. (2.61)e (2.62) devem ser usadas nas deriva-das parciais de S. Vamos focar o nosso interesse na regiao maisrelevante, ou seja, aquela em que φ → −∞ e α → ∞, correspon-dendo a u→ ∞ e v → ∞. Dessa forma, fazendo essa aproximacao,a eq. (4.39) se reduz entao a

S (u, v) = ku−√

(1− k2)v −(1− k2)3/2

(

u+ kv√(1−k2)

)2

2v+π

4.

(4.42)Notemos que ela e independente de σ e representa uma regiao queesta sob efeitos quanticos. Sendo assim, obtemos,

∂S

∂u= − tan(α + 3φ) + 3

3 tan(α + 3φ)− 1(1− k2)3/2 + k3,

∂S

∂v= −

√1− k2

2

[

2 + k2 −(

tan(α + 3φ) + 3

3 tan(α + 3φ)− 1

)2

(1− k2)

]

.(4.43)


Esses termos agora podem ser substituıdos nas eqs. (4.41) de talmaneira a obter as trajetorias bohmianas para o Grande Rasgo(BigRip). Portanto, o comportamento das mesmas ao redor das solucoesde Grande Rasgo(Big Rip) α + 3φ = α0 podem ser entendidasquando relacionamos as eqs. (4.41) e (4.43) para obter o nosso re-sultado [71]

dα

dφ= −χ

ξ(4.44)

onde

χ = −(17 + 10k2)√1− k2x3 + 6[3k3 + (k2 + 2)

√1− k2]x2

+3[−4k3 + (2k2 − 3)√1− k2]x+ 2k3 − 6(k2 + 1)

√1− k2,

ξ = 6[−(1− k2)3/2 + 3k3]x3 + [−12k3 + (26k2 + 1)√1− k2]x2

+2[k3 − 3(k2 + 2)√1− k2]x− (7− 10k2)

√1− k2,

e x = tan(α + 3φ). A solucao α + 3φ = α0 pode ser obtida daequacao dα/dφ = −3 da eq. (2.71) para o caso classico. A diferencano caso quantico e que agora nos temos duas raızes dadas por

tan(α01) =(36k2 + 3)

√1− k2 + 2k(10− k2)

(28k2 − 1)√1− k2 + 54k3

,

tan(α02) = −(54k2 − 3)√1− k2 + 2k(5− 14k2)

(28k2 − 1)√1− k2 + 54k3

, (4.45)

com adicoes de nπ. Entao, fazendo a substituicao 3φ+ α → α0i + ǫna eq. (4.44), com α0i dada pela eq. (4.45), obteremos ate ordens deǫ,

dα

dφ= −3 + f(k)ǫ+O(ǫ2), (4.46)

para α01, edα

dφ= −3 + g(k)ǫ2 +O(ǫ3), (4.47)

para α02,onde

f(k) =90k2

3k2 − 2, (4.48)

e

g(k) = − 15k√1− k2

. (4.49)


-129.5 -129.0 -128.5 -128.0Φ

118.5

119.0

119.5

120.0

Α

Figura 4.1: Trajetorias bohmianas mostrando o comportamento de α versusφ para o caso quantico de k = 0. Notemos o comportamento das orientacoesapontando na direcao de afstamento da solicao α+ 3φ = α0.

Quando k = 0, as raızes coincidem e dao tan(α0) = −3. Comopara esse caso f(k) e g(k) sao nulos, nos temos de ir ate a terceiraordem em ǫ para ver que

dα

dφ= −3− 5ǫ3 +O(ǫ4). (4.50)

Portanto, as curvas na vizinhanca por cima e por baixo de α+3φ =α0, tem inclinacoes contrarias as direcoes de Grande Rasgo(Big Rip),mostrando que, o sistema quantico esta funcionando de forma aafastar qualquer curva que va em direcao a singularidade. Podemosobservar esse comportamento na fig.(4.1).Para outros valores de k, a situacao e um pouco diferente. Pode-mos observar das curvas correspondentes a primeira raiz α01, daeq. (4.46), que as linhas α+3φ = α01 + nπ se atraem ou se repelemdependendo do sinal de f(k). Para |k| < (2/3)1/2, f(k) < 0 significaque as curvas se repelem, enquanto que (2/3)1/2 < |k| < 1, f(k) > 0se atraem e, isso vale independentemente se os incrementos sao +ǫ(por cima ou a direita da curva) ou se −ǫ (por baixo ou a esquerdada curva) na eq.(4.46).


-129.5 -129.0 -128.5 -128.0Φ

118.5

119.0

119.5

120.0

Α

Figura 4.2: Trajetorias bohmianas mostrando o comportamento de α versus φ

para o caso quantico de k = 0.5. Notemos o comportamento das orientacoesque por cima se aproximam e por baixo se repelem.

Para a segunda raiz α02, a eq. (4.47) indica que as curvas α+ 3φ =α02 + nπ sao linhas do tipo sela, em que de um lado as linhas seatraem e de outro as linhas se repelem. Para 0 < k < 1, g(k) < 0significa que as linhas se repelem por cima e se atraem por baixo,enquanto para −1 < k < 0, g(k) > 0 as curvas se atrem por cima ese afastam por baixo.Todas essas onfiguracoes podem ser vistas nas figs.(4.1), (4.2), (4.3)e (4.4) para os casos k = 0, k = 1/2, k = −1/2 e k = 9/10 respec-tivamente. Dessa forma, podemos observar que efeitos quanticos,dentro da abordagem apresentada, podem evitar ou nao a singula-ridade Grando Rasgo.

4.5 Trajetorias Bohmianas da Grande Parada

Nesta secao, iremos estudar os aspectos quanticos da singularidadeGrande Parada(Big Brake) via interpretacao de Bohm-de Broglie dacosmologia quantica. Para isso, iremos construir um pacote de ondas


-129.5 -129.0 -128.5 -128.0Φ

118.5

119.0

119.5

120.0

Α

Figura 4.3: Trajetorias bohmianas mostrando o comportamento de α versus φ

para o caso quantico de k = −0.5. Notemos o comportamento das orientacoesque por cima se repelem e por baixo se aproximam.

da solucao (3.60) sob a forma

ψ(α, φ) =∞∑

k=1

AkCk(α)ϕk(α, φ). (4.51)

Vamos escolher ψ(α0, φ) uma gaussiana centrada em φ0 com largura√

Z0

2, onde Z0 ≡ Z(α0) e, φ0 sendo o valor da trajetoria classica em

α0. Devido a eq.(2.88) precisamos construir duas gaussianas, umacentrada em φ0 e, outra centrada em −φ0, para depois superpo-las.Assim

ψ(α0, φ) = ψ−(α0, φ) + c1ψ+(α0, ψ), (4.52)

onde ψ+ significa a parte do pacote de onda centrada em φ0 e ψ−em −φ0 no ‘tempo’ inicial α0. O pacote sera construıdo a partir dasolucao WKB eq.(3.57), de tal forma que, com apropriadas condicoesinicias, temos

Ck(τ) =(τ0τ

)12exp

[

−1

6

V0√2~2k2

√

6

κ2(τ − τ0)

]

, (4.53)


-128.2 -128.0 -127.8 -127.6Φ

118.2

118.4

118.6

118.8

119.0

Α

Figura 4.4: Trajetorias bohmianas mostrando o comportamento de α versusφ para o caso quantico de k = 0.9. Para esse caso observamos que o GrandeRasgo(Big Rip) atrai toda a orientacao.


onde V0 = V0√3κ2

e τ ≡ e6α. Pode-se encontrar [44] uma expressaopara o pacote como

ψ(α, φ) =1

C

∞∑

k=1

[A+k + c1A

−k ]Ck(α)ϕk(α, φ), (4.54)

onde C ≡√

~2

V0τ0

∑∞k=1[A

+k + c1A

−k ]

2 e o fator de normalizacao e os

A+k =

Nk

kexp

[

−φ20

Z0

+1

2Z0

(

1

2k− φ0

)2]

×

k−1∑

m=0

(−1)m(m+ 1)(k!)2

(k −m− 1)!(m+ 1)!(

1

k

√

2

Z0

)m

D−(m+2)

[√

2

Z0

(

1

2k− φ0

)]

, (4.55)

sao os coeficientes do pacote com Dm denotando as funcoes pa-rabolicas cilındricas. Os coeficientes A−

k dao

A−k =

Nk

kexp

[

−φ20

Z0

+1

2Z0

(

1

2k+ φ0

)2]

×

k−1∑

m=0

(−1)m(m+ 1)(k!)2

(k −m− 1)!(m+ 1)!(

1

k

√

2

Z0

)m

D−(m+2)

[√

2

Z0

(

1

2k+ φ0

)]

. (4.56)

Sendo assim, para C1 = ı e para o caso em que temos apenask = 2 termos do pacote, a funcao de onda apresenta a forma

ψ(α, φ) =1

C

{

1

4~4e6α− e6α|φ|V0

~2−(

e6α−e6α0)V02√3κ~

√e−6α+6α0V0

[

8 |φ| ~2A+1 +

√2(

2 |φ| ~2 − e6αφ2V0

)

A+2 ×

e−√3e6α0~

2+e6α(√3~2+6κ|φ|~)

12κ~3V0

]

+

i1

4~4e6α− e6α|φ|V0

~2−(

e6α−6α0)V02√3κ~

√e−6α + e6α0V0


[

8 |φ| ~2A−1 +

√2(

2 |φ| ~2 − e6αφ2V0

)

A−2 ×

e−√3e6α0~

2+e6α(√3~2+6κ|φ|~)

12κ~3V0

]}

, (4.57)

De posse da expressao da funcao de onda acima, podemos apli-car a interpretacao de Bohm-de Broglie utilizando a identificacaoψ(α, φ) ≡ R(α, φ)e

i~S(α,φ). Usando as identidades

∂S(α, φ)

∂α=

ψ∗(α, φ)∂ψ(α,φ)∂α

− ψ(α, φ)∂ψ∗(α,φ)∂α

2i~|ψ(α, φ)|2

, (4.58)

∂S(α, φ)

∂φ=

ψ∗(α, φ)∂ψ(α,φ)∂φ

− ψ(α, φ)∂ψ∗(α,φ)∂φ

2i~|ψ(α, φ)|2

, (4.59)

onde ψ∗(α, φ) significa o complexo conjugado de ψ(α, φ), podemos

encontrar α e φ atraves das equacoes guias

α = −κ2

6e−3α

(

∂S(α, φ)

∂α

)

, (4.60)

φ = e−3α

(

∂S(α, φ)

∂φ

)

, (4.61)

e que para a funcao de onda eq.(4.57) apresentamos o nosso re-sultado [72]

α =κ

12√2~8

exp[9α− 3e6α|φ|V0

2~2−

√3 (e6α − e6α0) V0

4κ~+ 6α0]φ

2V03 ×

[

−2√3~3 + e6α

(

6φ2κ+√3 |φ| ~

)

V0

]

×(

A−2 A

+1 − A−

1 A+2

)

|ψ(α, φ)|2, (4.62)

φ = − 1

2√2~8

exp[15α− 3e6α|φ|V0

2~2−

√3 (e6α − e6α0) V0

4κ~+ 6α0]φ

3V04 ×

(

A−2 A

+1 − A−

1 A+2

)

|ψ(α, φ)|2, (4.63)

Estando de posse das equacoes acima, podemos desenhar as tra-jetorias bohmianas na fig. (4.5), onde podemos ver que a singulari-dade Grande Parada(Big Brake) em |φ| = 0, e evitada. O potencial


-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

Α

Φ

Figura 4.5: Trajetorias bohmianas para a Grande Parada(Big Brake) relacio-nando o campo escalar φ com o fator de escala α.


V (φ) do campo escalar nao diverge pois φ nao vai zero.Das eqs.(4.62) e (4.63) podemos encontrar a expressao

dα(φ)

dφ= −κ2φ− κ~

2√3

|φ|φ

+κ~3√3V0

e−6α

φ. (4.64)

Sabendo que o universo para de se expandir quando dα(φ)/dφ =0, para a equacao acima isso implica [72]

e−6α =

√3V0~3

[

κφ2 +~

2√3|φ|]

. (4.65)

Esta equacao e satisfeita para valores finitos de α = αbrake e φ =±φbrake. Nesse momento, podemos calcular o parametro de desace-leracao diferenciando a eq.(4.62) com relacao ao tempo em tbrake e,com a ajuda da eq.(4.63), nos chegamos a

αbrake = −F2(α, φ)

|φ|

(

1 +6√2|φ|

6√2|φ|+ 1

)

|tbrake , (4.66)

onde, as quantidades foram tomadas κ =√6 and V0 = ~ = 1

e, F 2(α, φ) e uma funcao positiva finita em tbrake (um produto deconstantes positivas com exponenciais). Notemos que α continuanegativo mas finito em tbrake.Com tudo exposto da analise acima podemos verificar atraves dafig.(4.5) que, devido aos efeitos quanticos, o universo para de seexpandir suavemente, com uma desaceleracao finita e, comeca a secontrair. Dessa forma, vamos estudar o que acontece com o sistemana regiao em que α → −∞ na eq.(4.64). Nesse limite, lembremosque foi assumido κ =

√6 and V0 = ~ = 1, a equacao fica

dφ(α)

dα=

φ√2e−6α

⇒ φ(α) = φ0 expe6α

6√2, (4.67)

onde φ0 e o valor de φ em α → −∞. Pegando a solucao (4.67) esubstituindo na eq. (4.62), podemos obter os parametros de desa-celeracao e de Hubble em termos de α quando α → −∞. Assim,temos que

α = −C2e3α,

α = 3C4e3α, (4.68)


-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 Α

-0.0007

-0.0006

-0.0005

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

Α

Figura 4.6: Grafico do parametro de Hubble com relacao a α quando α → −∞.

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 Α

1.´ 10-7

2.´ 10-7

3.´ 10-7

4.´ 10-7

5.´ 10-7

6.´ 10-7

7.´ 10-7

ΑÐ

Figura 4.7: Grafico do parametro de desaceleracao quando α → −∞.


2´ 106 4´ 106 6´ 106 8´ 106 1´ 107 t

-4

-3

-2

-1

Α

Figura 4.8: Evolucao temporal do fator de escala para α < −1.

onde C e uma constante, dando assintoticamente, em t → ∞, quea ∝ t−1/3. Podemos observar que o universo se contrai para sempre,mas lentamente de tal maneira que a curvatura do espaco-tempo vaia zero (a/a e a/a vao ambos a zero), e o universo se aproxima deum pequeno espaco-tempo de Minkowski. Esses comportamentospodem ser vistos nas figs. (4.6, 4.7, 4.8).

4.6 Trajetorias Bohmianas do Grande Arranque

Nessa secao, iremos fazer uso da interpretacao de Bohm-de Brogliepara encontrar as trajetorias bohmianas no modelo em que surgea singularidade Grande Arranque(Big Demarrage). Como existem

duas posibilidades na solucao, tais que as energias Ek =~2

2k2 podem

ser positivas ou negativas, isso implica em que k2 > 0 ou k2 < 04.Iremos comecar com o caso em que as energias sao negativas, k2 < 0,ou seja, consideraremos a solucao geral

ψk(α, φ) =√

|φ| [c1Jν(k |φ|) + c2Yν(k |φ|)](

b1e√6kκα + b2e

−√6kκα)

,

(4.69)

4Para mais detalhes ver ref.([52]).


que e a composicao das eqs.(3.78) e (3.82), onde k −→ ık e

ν :=

√

1

4− Vα. (4.70)

Sendo assim, precisamos aplicar condicoes de contorno na solucaoacima. Para isso, utilizaremos do argumento que muitos fısicos ad-vogam que uma dada teoria fundamental da gravitacao quantica de-veria ser livre de singularidades e, isso foi defendido por DeWitt em[5]. DeWitt diz que um bom criterio seria a de que a funcao de ondadeveria se anular, numa regiao de interesse, em que a singularidadeclassica se manifestasse. Entao, um pouco diferente do que foi pro-posto por DeWitt, vamos buscar, na medida do possıvel, condicoesde contorno em que as trajetorias bohmianas nao sejam divergentese, isso e diferente de pedir que a funcao de onda se anule pois, o fatode ψ se anular nao significa que os observaveis tambem se anulem.Isso nao funciona nem mesmo na mecanica quantica nao relativısticausando a interpretacao de Copenhagen. Dessa forma, esperamos quea funcao de onda e suas primeiras derivadas sejam finitas na regiaode interesse em que se da a singularidade classica. Para o GrandeArranque(Big Demarrage), essa regiao e aquela em que α −→ −∞e φ −→ 0, pois e uma regiao inacessıvel classicamente. Apresen-taremos a solucao para o Grande Arranque(Big Demarrage) comouma superposicao de dois termos, em que um dos coeficientes da ex-pansao e o numero ı para garantir que na representacao ψ = Re

ı~S

a fase S tenha contribuıcao das duas coordenadas α e φ vindas daspartes geometrica e de materia do sistema. Portanto,

ψk(α, φ) =5∑

k=4

Dk

{

√

|φ|b1eı√6kκα [c1Jν(ık |φ|)]

}

, (4.71)

onde o somatorio se deu para apenas k = 4 e k = 5. Havera ocrescimento do termo de massa e−3α nas equacoes guias, em queD4 = ı, D5 = 1, b2 = 0 pois a nossa regiao de interesse e α −→ −∞e, c2 = 0. Utilizando a interpretacao de Bohm-de Broglie mediantea transformacao ψ = Re

ı~S fica imediato que

∂S(α, φ)

∂α=


− ψ(α, φ)∂ψ∗(α,φ)∂α

2i~|ψ(α, φ)|2

, (4.72)

∂S(α, φ)

∂φ=


− ψ(α, φ)∂ψ∗(α,φ)∂φ

2i~|ψ(α, φ)|2

. (4.73)


-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Α

Φ

Figura 4.9: Trajetorias bomianas mostrando o comportamento do campo escalarcom relacao ao fator de escala.

tal que ψ∗(α, φ) significa o conjugado complexo de ψ(α, φ). Apartirda eq.(4.71) das equacoes guias

α = −κ2

6e−3α

(

∂S(α, φ)

∂α

)

, (4.74)

φ = −e−3α

(

∂S(α, φ)

∂φ

)

, (4.75)

onde, l = −1 pois o campo escalar e de natureza fantasma, encon-tramos as trajetorias bohmianas da fig.(4.9). No local em que classi-camente ocorria a singularidade Grande Arranque(Big Demarrage)podemos observar que φ nao tende a zero e o Grande Arranque(BigDemarrage) e evitado.Por outro lado, vamos verificar o caso em que as energias sao posi-tivas, ou seja, k2 > 0 sendo k real. Portanto,

ψk(α, φ) =√

|φ| [c1Jν(ık |φ|) + c2Yν(ık |φ|)](

b1eı√6kκα + b2e

−ı√6kκα)

,

(4.76)


-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Α

Φ

Figura 4.10: Trajetorias bohmianas mostrando o comportamento do campoescalar φ com relacao a α no Grande Arranque(Big Demarrage) para k real.

que e a composicao das eqs.(3.78) e (3.82), com

ν :=

√

1

4− Vα. (4.77)

Vamos fazer o estabelecimento das condicoes de contorno pedindoo mesmo anteriormente. Queremos que a funcao de onda na regiaode interesse, que e aquela em que α −→ −∞ e φ −→ 0 pois e umaregiao inacessıvel classicamente, seja no mınimo finita e que suas pri-meiras derivadas com relacao as coordenadas tambem. Alem disso,a solucao para o Grande Arranque(Big Demarrage) com k real seradada por uma superposicao de dois termos, em que um dos coefici-entes da expansao e o numero ı para garantir que na representacaoψ = Re

ı~S a fase S tenha contribuicao das duas coordenadas α e

φ das equacoes da parte material e da parte geometrica. Entao, a


funcao de onda assume a forma

ψk(α, φ) =2∑

k=1

Dk

{

√

|φ|(


−ı√6kκα)

[c1Jν(ık |φ|)]}

,

(4.78)onde c2 = 0 pois ∂

∂φ[Yν(ık |φ|)] e divergente quando φ −→ 0. O

somatorio foi escolhido apenas para os valores k = 1 e k = 2 poisa parte geometrica e oscilatoria e nao influencia no termo de massae−3α. Assumindo valores para os coeficientes D1 = 1 e D2 = ı,usando as identidades (4.72) e (4.73) para a funcao de onda acima eas equacoes guias (4.74) e (4.75), podemos plotar as trajetorias boh-mianas, fig.(4.10), mostrando que nessa regiao do grafico o GrandeArranque(Big Demarrage) e novamente evitado uma vez que φ naopassa por zero.

4.7 Trajetorias Bohmianas do Grande Congela-

mento

A seguir, iremos estabelecer as trajetorias bohmianas para assingularidades Grande Congelamento(Big Freeze) nos dois casos. Oprimeiro sera para o caso em que a materia sera dada para umcampo escalar ordinario e o segundo sera para a materia com ocampo fantasma.

4.7.1 Trajetorias Bohmianas com Materia Ordinaria

Primeiramente, vamos comecar com o caso das energias negativasEk =

~2

2k2, ou seja k2 < 0. Escreveremos a solucao geral da equacao

de Wheeler-DeWitt para a singularidade Grande Congelamento(BigFreeze) sem materia fantasma como

ψk(α, φ) =√

|φ| [c1Jν(ık |φ|) + c2Yν(ık |φ|)](

b1e√6kκα + b2e

−√6kκα)

,

(4.79)que e a juncao das eqs.(3.92) com (3.95) onde k −→ ık, e

ν :=

√

1

4− Vα. (4.80)


Precisamos aplicar condicoes de contorno na solucao acima. Dessaforma, vamos buscar aquelas em que as trajetorias bohmianas naosejam divergente e isso significa que a funcao de onda ψ e suasprimeiras derivadas com relacao as cooredenadas α e φ devem serfinitas. A regiao de interesse e aquela em que α −→ −∞ e φ −→ 0pois e uma regiao inacessıvel classicamente. Entao, apresentaremosa solucao para o Grande Congelamento(Big Freeze) sem materiafantasma como uma superposicao de dois termos, que um dos coefi-cientes da expansao e o numero ı para garantir que na representacaoψ = Re

ı~S, a fase S tenha contribuıcao das duas coordenadas α e φ.

Portanto,

ψk(α, φ) =5∑

k=4

Dk

{

√

|φ|b1e√6kκα [c1Jν(ık |φ|)]

}

, (4.81)

onde o somatorio se deu apenas para k = 4 e k = 5 pois vao limiaro crescimento do termo de massa e−3α nas equacoes guias. Temostambem que D4 = ı, D5 = 1 e b2 = 0 pois a nossa regiao de interessee α −→ −∞ e c2 = 0 pois as trajetorias bohmianas se utilizam dasderivadas primeiras das coordenadas e temos uma divergencia vindode ∂φ [Yν(ık |φ|)] quando φ −→ 0. Utilizando a interpretacao deBohm-de Broglie mediante a representacao ψ = Re

ı~S fica imediato

que

∂S(α, φ)

∂α=


− ψ(α, φ)∂ψ∗(α,φ)∂α

2i~|ψ(α, φ)|2

, (4.82)

∂S(α, φ)

∂φ=


− ψ(α, φ)∂ψ∗(α,φ)∂φ

2i~|ψ(α, φ)|2

. (4.83)

tal que ψ∗(α, φ) significa o conjugado complexo de ψ(α, φ). Apartirda eq.(4.81) e das equacoes guias

α = −κ2

6e−3α

(

∂S(α, φ)

∂α

)

, (4.84)

φ = e−3α

(

∂S(α, φ)

∂φ

)

, (4.85)

onde l = 1, pois o campo escalar e ordinario. Exibimos as tra-jetorias bohmianas na fig.(4.11). No local em que classicamente


-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Α

Φ

Figura 4.11: Trajetorias bohmianas mostrando o comportamento do campoescalar com relacao ao fator de escala.


ocorria a singularidade Grande Congelamento(Big Freeze) podemosobservar que φ nao tende a zero e a singularidade e evitada.Vamos verificar agora o caso em que as energias sao positivas, ouseja, k2 > 0 sendo k real. Portanto,

ψk(α, φ) =√

|φ| [c1Jν(k |φ|) + c2Yν(k |φ|)](


−ı√6kκα)

,

(4.86)que e a juncao das eqs.(3.92) e (3.95), onde

ν :=

√

1

4− Vα. (4.87)

Vamos fazer o estabelecimento das condicoes de contorno pe-dindo o mesmo que anteriormente. Queremos que a funcao de ondana regiao de interesse, que e aquela onde α −→ −∞ e φ −→ 0,seja no mınimo finita e que suas primeiras derivadas com relacao ascoordenadas tambem. Alem disso, a solucao para o Grande Conge-lamento(Big Freeze) sem materia fantasma com k real sera dada poruma superposicao de dois termos, em que um dos coeficientes da ex-pansao seja o numero ı para garantir que na representacao ψ = Re

ı~S

a fase S tenha contribuıcao das parte material e geometrica. Entao,a funcao de onda assume a forma

ψk(α, φ) =1∑

k=−1

Dk

{

√

|φ|(


−ı√6kκα)

[c1Jν(ık |φ|)]}

,

(4.88)onde c2 = 0 pois ∂

∂φ[Yν(ık |φ|)] e divergente quando φ −→ 0, o so-

marotio foi escolhido apenas para os valores k = −1 e k = 1 poisa parte geometrica e oscilatoria e nao influencia no termo de massae−3α. Assumindo valores para os coeficientes D−1 = 1, D1 = ı eD0 = 0, usando as identidades eqs.(4.84) e (4.85) para a funcao deonda acima e as equacoes guias eqs.(4.74) e (4.74), podemos dese-nhar as trajetorias bohmianas, fig.(4.12), mostrando que o GrandeCongelamento(Big Freeze) com materia ordinaria e evitado uma vezque φ nao passa pelo zero.

4.7.2 Trajetorias Bohmianas com Materia Fantasma

Vamos escrever a solucao da equacao de Wheeler-DeWitt parao minisuperespaco do Grande Congelamento(Big Freeze) conduzidopor um campo fantasma como


-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Α

Φ

Figura 4.12: Trajetorias bohmianas mostrando o comportamento do campoescalar com relacao ao fator de escala.


ψk(α, φ) =√

|φ| [c1Jν(ık |φ|) + c2Yν(ık |φ|)](


−ı√6kκα)

,

(4.89)onde l = −1 e foram utilizadas as eqs.(3.102) e (3.105). A regiaode interesse para estudo quantico da singularidade e aquela em queα −→ ∞, φ −→ 0 e as energias sao positivas k2 > 0. Com α −→ ∞a quantidade ν passa a ser complexa. Entao vamos fazer a seguintetransformacao

ν :=

√

1

4− Vα −→

√

(−1)

(

−1

4+ Vα

)

=⇒ ı

√

(

−1

4+ Vα

)

,

(4.90)ou seja, ν passa a ser ıν e a eq.(4.89) fica

ψk(α, φ) =√

|φ| [c1Jıν(ık |φ|) + c2Yıν(ık |φ|)](


−ı√6kκα)

.

(4.91)Como o argumento das funcoes de Bessel acima e complexo, ficamelhor escreve-los em termos das funcoes de Bessel modificadas li-nearmente independentes

ψk(α, φ) =√

|φ| [c1Iıν(ık |φ|) + c2Kıν(ık |φ|)](


−ı√6kκα)

,

(4.92)onde c1 e c2 sao novas constantes. As condicoes de contorno a se-guir sao aquelas em que a funcao de onda e suas primeiras deri-vadas sao finitas na regiao de interesse. Alem disso, iremos fazerum somatorio de dois termos para garantir que, ao aplicarmos ainterpretacao de Bohm-de Broglie, teremos contribuicao na fase Sdas partes geometricas e de materia e, ainda, podermos escrever afuncao de onda ψ em uma forma genuına a+ bı. Portanto,

ψk(α, φ) =2∑

k=1

Dk

{

√

|φ|(


−ı√6kκα)

[c1Kıν(k |φ|)]}

,

(4.93)onde foi posto que c2 = 0 pois a funcao de onda Iıν(ık |φ|) nao atendeas condicoes de contorno. Assumindo os valores dos coeficientes dosomatorio como D1 = 1 e D2 = ı, escrevendo as identidades


∂S(α, φ)

∂α=


− ψ(α, φ)∂ψ∗(α,φ)∂α

2i~|ψ(α, φ)|2

, (4.94)

∂S(α, φ)

∂φ=


− ψ(α, φ)∂ψ∗(α,φ)∂φ

2i~|ψ(α, φ)|2

. (4.95)

tal que ψ∗(α, φ) significa o conjugado complexo de ψ(α, φ) e, usandoa eq.(4.93) com as equacoes guias

α = −κ2

6e−3α

(

∂S(α, φ)

∂α

)

, (4.96)

φ = −e−3α

(

∂S(α, φ)

∂φ

)

, (4.97)

podemos chegar nas trajetorias bohmianas para o modelo desingularidade Grande Congelamento(Big Freeze) com materia fan-tasma, que podem ser vistas na fig.(4.13). Percebemos que a sin-gularidade nao e evitada pois, o campo fantasma φ continua indo azero o que da uma divergencia no potencial V (φ).

Nesse momento, vamos voltar a nossa atencao para o caso emque as energias sao negativas k2 < 0. Portanto, o argumento dasfuncoes de Bessel volta a ser real e dessa maneira nao iremos rees-crever a solucao em termos de outras funcoes de Bessel modificadas.Partiremos novamente da solucao

ψk(α, φ) =√

|φ| [c1Jıν(k |φ|) + c2Yıν(k |φ|)](

b1e√6kκα + b2e

−√6kκα)

.

(4.98)onde k −→ ık na equacao acima. Reescreveremos essa solucao emtermos da soma de dois termos para garantir que a representacaoψ = Re

ı~S tenha contribuicao tanto da parte geometrica quanto da

materia. Alem disso, queremos escrever a funcao de onda na formacomplexa a+ bı. Dessa forma, encontramos

ψk(α, φ) =2∑

k=1

Dk

{

√

|φ|(

b2e−

√6kκα)

[c1Jıν(k |φ|)]}

, (4.99)


1.00 1.05 1.10 1.15 1.20

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Α

Φ

Figura 4.13: Trajetorias bomhianas mostrando o comportamento do campofantasma com relacao ao fator de escala.


onde foi posto que b1 = 0 devido ao termo e√6kκα divergir quando

α −→ ∞ e, c2 = 0 pois a funcao de onda Yıν(ık |φ|) nao atendeas condicoes de contorno. Assumindo os valores dos coeficientes dosomatorio como D1 = 1 e D2 = ı, escrevendo as identidades

∂S(α, φ)

∂α=


− ψ(α, φ)∂ψ∗(α,φ)∂α

2i~|ψ(α, φ)|2

, (4.100)

∂S(α, φ)

∂φ=


− ψ(α, φ)∂ψ∗(α,φ)∂φ

2i~|ψ(α, φ)|2

. (4.101)

tal que ψ∗(α, φ) significa o conjugado complexo de ψ(α, φ). Usandoa eq.(4.99) com as equacoes guias

α = −κ2

6e−3α

(

∂S(α, φ)

∂α

)

, (4.102)

φ = −e−3α

(

∂S(α, φ)

∂φ

)

, (4.103)

chegamos nas trajetorias bohmianas que podem ser vistas nafig.(4.14). Podemos percebemos que a singularidade nao e evitadapois o campo fantasma φ continua indo a zero, o que da uma di-vergencia no potencial V (φ).


1.00 1.05 1.10 1.15 1.20

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Α

Φ

Figura 4.14: Trajetorias bomhianas mostrando o comportamento do campofantasma com relacao ao fator de escala.

Capıtulo 5

Conclusoes

Mostramos nessa tese o desenvolvimento do formalismo hamil-toniano para a Relatividade Geral no cap.(II) e, com o mınimo dedetalhes possıvel, demos o suporte necessario para a construcao deuma teoria canonica da gravitacao quantica. Para isso, partimosda foliacao da variedade lorentziana em hipersuperfıcies espaciaispara se chegar na metrica escrita na sua forma ADM e, a partir daı,poder escrever todas as quantiddades geometricas envolvidas em ter-mos dessa metrica. Nesse momento, fomos capazes de mostrar osvınculos primarios e secundarios que derivam do formalismo, e quefizeram um papel fundamental para o desenvolvimento do nosso tra-balho. Alem disso, exibimos o universo de FLRW para secoes espaci-almente planas, que foi o ambiente geometrico onde fizeram surgir assingularidades classicas Grande Rasgo(Big Rip), Grande Parada(BigBrake), Grande Congelamento(Big Freeze) e Grande Arranque(BigDemarrage).

No cap.(III), procedemos com a quantizacao canonica de Dirac-Wheler-DeWitt. Mostramos que os operadores associados aos vınculosclassicos aniquilam o funcional de onda e implica em ele ser inde-pendente das funcoes lapso e deslocamento e invariante sob trans-formacoes de coordenadas espaciais. Um dos vınculos da origema equacao de Wheeler-DeWitt. Nesse ponto, podemos dizer quea quantizacao canonica foi um enorme avanco. Contudo, como foimencionado na tese, existem problemas que cercam esse formalismo,sendo os principais a incapacidade de se construir um espaco deHilbert para os estados fısicos, o problema do ordenamento, o pro-

104

CAPITULO 5. CONCLUSOES 105

blema do tempo e o problema da medida no mundo quantico. Nessemesmo capıtulo, mostramos o ambiente quantico em que sao aborda-dos as singularidades classicas para os modelos de minisuperespacohomogeneo e isotropicos de FLRW e assim, chegamos nas equacoesde Wheeler-DeWitt para o Grande Rasgo(Big Rip), a Grande Pa-rada(Big Brake), o Grande Congelamento(Big Freeze) e o GrandeArranque(Big Demarrage).

No cap.(IV) apresentamos a interpretacao de Bohm-de Broglieda mecanica quantica em que, mais uma vez, gostarıamos de ressal-tar o seu aspecto ontologico, ou seja, posicoes e amplitudes dos cam-pos existem independentemente de qualquer observador ou processoexterno. Em BdB existe uma onda piloto, que guia a partıcula aolongo de sua trajetoria dada pelas condicoes iniciais, que usualmentesao identificadas como as variaveis escondidadas. A teoria tem entaoseu aspecto causal. E interessante notar certa resistencia da comu-nidade cientıfica com relacao a interpretacao causal pois, o que todofısico teorico deseja em uma teoria e simplicidade e elegancia. Acre-dito que BdB alcanca este objetivo pois a interpretacao e simples pornao envolver mais aparato matematico para a descricao da mecanicaquantica, ja que nao ha a necessidade da construcao do espaco deHilbert dos estados. No quesito elegancia, enfatizamos a beleza emescrever uma dinamica em termos da equacao de Hamilton-Jacobi,com uma imediata aplicacao do princıpio da correspondencia ja queo quantico vai no classico na mesma equacao e com um limite muitoclaro (desaparecimento do potencial quantico). Nesse momento, po-demos mencionar que a aplicacao da interpretacao de Bohm-de Bro-glie a cosmologia quantica foi um extraordinario salto conceitual.Nao quer dizer que tudo esta bem mas varios problemas sao resol-vidos ao se lancar mao de BdB tais como: nao existe a necessidadeda construcao do espaco de Hilbert, o problema da identificacao dotempo na teoria e resolvido no ambito dos modelos de minisupe-respaco e nao ha a necessidade da existencia de um mundo classicoque de suporte as medidas quanticas atraves do colapso do funci-onal de onda. A interpretacao da sentido as quantidades fısicasfator de escala e campo escalar atraves das trajetorias bohmianas.Aplicamos a interpretacao para o modelo com Grande Rasgo(BigRip) e, descobrimos que essa singularidade e evitada dependendodos valores assumidos para a constante k e isso pode ser percebido


claramente nas trajetorias bohmianas do Grande Rasgo(Big Rip)nas fig.(4.1,4.2,4.3,4.4). Isso contraria o que foi estabelecido em[44] que, por argumentos qualitativos, a singularidade seria evitada.Portanto, estamos apresentando um diferente resultado via inter-pretacao BdB mais fino e detalhado.

Para a Grande Parada(Big Brake), mostramos que realmentea singularidade e evitada (evidentemente dentro das condicoes queusamos) e isso concorda com [48]. Contudo em BdB temos umavisao mais detalhada do mundo quantico. Podemos observar quealem de evitar a Grande Parada(Big Brake) o universo, sob efeitosquanticos, tende a se desacelerar a uma taxa finita e apos se con-trair de maneira suave. Tudo isso pode ser observado nas trajetoriasbohmianas fig.(4.5) e nas figs. (4.6, 4.7, 4.8).

Para o Grande Arranque(Big Demarrage), chegamos a conlusaoque o criterio de DeWitt usado para o estabelecimento das condicoesde contorno, com a intencao de evitar a singularidade, nao e sufici-ente pois precisamos garantir tambem que a primeira derivadada dafuncao de onda, com relacao as coordenadas envolvidas seja finita.Alem disso, tenha um comportamento assintotico convergente supe-rior ao crescimento do termo da componente da metrica de DeWittque aparece na expressao da equacao do momento, tudo isso paragarantir a finitude das trajetorias bohmianas. Portanto, observa-mos que o ponto onde havia o Grande Arranque(Big Demarrage)classico, em que o campo fantasma ia a zero, e eliminado. Isso podeser visto claramente para ambos os casos de energias positivas enegativas atraves das trajetorias bohmianas dadas nas figs.(4.9) e(4.10).

Para o Grande Congelamento(Big Freeze) sem materia fan-tasma, levando em consideracao as condicao de contorno construıdaspor nos, a singularidade e evitada e, isso e traduzido nas trajetoriasbohmianas da fig.(4.11) para a energia negativa e da fig.(4.12) paraa positiva, que mostram o campo escalar nao se anula na regiao emquestao. Ja para o Grande Congelamento(Big Freeze) com materiafantasma, podemos observar que mesmo utilizando todas as garan-tias de convergencia da funcao de onda e sua derivada, verificamosque para ambas energias positivas e negativas a singulatidade nao e


evitada por efeitos quanticos. Isso pode ser obervado nas trajetoriasbohmianas das figs.(4.14) e (4.13).

Gostarıamos de enfatizar a importancia dos trabalhos [44, 48,52] em que nos baseamos para estudar as singularidades. Sem elestalvez nao tivessemos a ideia de abordar estas questoes. Contudo,utilizando uma interpretacao que julgamos ser mais apropriada, ve-rificamos que a trajetoria bohmiana e um instrumento bastante utilna caracterizacao das singularidades cosmologicas e, acreditamos teracrescentado mais elementos acerca desses assuntos.

Sobre perspectivas futuras, podemos dizer que ha uma infini-dade de temas a serem abordados dentro da perspectiva da teoriaBdB, entre eles, aspectos quanticos de buracos negros, teorias de cor-das, teorias M, criacao de partıculas em espacos curvos, aproximacaosemi-classica. Estes serao assuntos de nossos trabalhos futuro.

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