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A VOLATILIDADE DO RETORNO DA
AÇÃO DA CSN: USO DE MODELOS
HETEROSCEDÁSTICOS
Carlos Alberto Gonçalves da Silva (CEFET-RJ)
:O presente estudo examina o processo de volatilidade do retorno da ação
ordinária da CSN (Companhia Siderúrgica Nacional), utilizando modelos
condicionalmente heteroscedásticos, no período 02 de janeiro de 2003 a
12 de setembro de 2008. Oss resultados empíricos mostraram reações de
persistência e assimetria na volatilidade, ou seja, os choques negativos e
positivos têm impactos diferenciados sobre a volatilidade dos retornos de
acordo com os modelos EGARCH(1,1) e TARCH (1,1), que foram obtidos
por ajustamento dos dados. Com base no critério do menor erro
quadrático médio (REQM), o modelo escolhido para a previsão da
volatilidade da ação ordinária da CSN foi o GARCH(1,1). A soma dos
parâmetros estimados foi igual a 0,59792, indicando que um choque na
série dos retornos da ação terá efeito por pouco tempo na volatilidade
destes retornos.
Palavras-chaves: : volatilidade, modelos heteroscedásticos, previsão.
XXIX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO A Engenharia de Produção e o Desenvolvimento Sustentável: Integrando Tecnologia e Gestão.
Salvador, BA, Brasil, 06 a 09 de outubro de 2009
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Salvador, BA, Brasil, 06 a 09 de outubro de 2009
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1. Introdução
A Companhia Siderúrgica Nacional (CSN) é a maior indústria siderúrgica do Brasil e da
América Latina e uma das maiores do mundo, fundada em 9 de abril de 1941, localizada em
Volta Redonda, no sul do Estado do Rio de Janeiro, a 141 km da sua capital. A CSN produzia 1,6
milhão de toneladas de aço em 1974, no auge do milagre econômico. Em 1993, ano no qual a
empresa foi privatizada, a produção evoluiu para 4,3 milhões de toneladas de aço. Já em 2008
sua produção foi de 6 milhões de toneladas de aço bruto e mais de 5 milhões de toneladas de
laminados.
O aço da CSN está presente em diversos segmentos, entre os quais se destacam o
automotivo, construção civil, embalagem e linha branca, fornecidos para clientes no Brasil e no
Exterior. A empresa de capital aberto tem ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo e
de Nova York (NYSE).
Neste estudo pretende-se empiricamente avaliar o retorno e a volatilidade condicional do retorno da
ação ordinária da CSN e do comportamento assimétrico na volatilidade, utilizando -se os modelos
condicionalmente heteroscedásticos. Também é investigada a sazonalidade no comportamento das
variações dos preços das ações e na sua volatilidade, com a inclusão de variáveis dummy. A pesquisa foi
realizada utilizando-se o retorno diário das ações com base no preço do fechamento, no período 02 de
janeiro de 2003 a 12 de setembro de 2008.
A seguir realiza-se um breve comentário de alguns trabalhos utilizando-se modelos
condicionalmente heteroscedásticos.
Mota e Fernandes (2004), compararam modelos da família GARCH com estimadores
alternativos baseados em cotações de abertura, fechamento, máximo e mínimo. Os resultados
indicaram que os estimadores alternativos são precisos quanto aos modelos do tipo GARCH.
Morais e Portugal (1999) apresentaram modelos da família GARCH que captam diferentes
efeitos observados em séries financeiras, tais como a aglomeração da variância , o efeito
“leverage” e a persistência na volatilidade. Neste estudo é comparada à estimativa da volatilidade
do índice Bovespa obtida por processos determinísticos e estocásticos, abrangendo três períodos
conturbados: a crise do México, a crise Asiática e a moratória Russa. Os resultados do estudo
mostraram que ambos os processos conseguem prever a volatilidade.
Costa e Ceretta (1999) examinaram a influência de eventos sobre a volatilidade nos
mercados de ações da América Latina, utilizando o modelo GJR-GARCH(1,1)-M. O estudo
utiliza índices diários dos mercados de ações e abrange um período compreendido entre janeiro
de 1995 e dezembro de 1998. Os resultados obtidos sugerem que a influência dos eventos
negativos é superior a dos eventos positivos na maioria dos países analisados.
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Em relação à aplicação de séries financeiras, vários autores brasileiros e internacionais
desenvolveram trabalhos, utilizando os modelos condicionalmente heteroscedásticos, pode-se citar Duarte,
Pinheiro e Heil (1996), Bustamante e Fernandes (1995), Almeida e Pereira (1999), Issler (1999), Baidya e
Costa (1999), Barcinski et alii (1997), Engle e Bollerslev (1986), Bollerslev, Ray e Kenneth (1992) e Silva
(2006).
2. Metodologia
2.1 Testes Utilizados
2.1.1 Teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
Para testar a estacionariedade das séries, será utilizado neste trabalho, o teste ADF (Dickey – Fuller
Aumentado) (1979), no sentido de verificar a existência ou não de raízes unitárias nas séries temporais. O
teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) consiste na estimação da seguinte equação por Mínimos
Quadrados Ordinários (MQO):
tt
p
i
itt YYtY
1
1
1 (1)
onde:
tY = operador de diferenças ( )1 tt YY ;
= constante;
t = componente de tendência do modelo;
é o coeficiente que permite testar a estacionariedade (se = 0, Y tem uma raiz unitária);
p é o número de termos defasados a incluir no modelo;
t = termo de erro aleatório ou perturbação estocástica.
2.1.2 Teste de Normalidade da Série: Jarque-Bera (JB)
O teste de normalidade Jarque-Bera (JB) é baseado nas diferenças entre os coeficientes de assimetria
e curtose da série e os da lei normal, servindo para testar a hipótese nula de que a amostra foi extraída de
uma distribuição normal. Para a realização deste teste, calcula-se, primeiramente a assimetria e a curtose
dos resíduos e utiliza-se à estatística de teste:
24
)3(
6
22 CSnJB (2)
onde:
JB = teste Jarque-Bera;
n = número de observações;
S = coeficiente de assimetria das observações;
C = coeficiente de curtose das observações.
A estatística JB segue a distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade. Se o valor de JB for
muito baixo, a hipótese nula de normalidade da distribuição dos erros aleatórios não pode ser rejeitada. Se
o valor de JB for muito alto, rejeita-se a hipótese de que os resíduos ou erros aleatórios se comportam
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como uma distribuição normal. Se o valor p da estatística qui-quadrado calculada for suficientemente
baixo, pode-se rejeitar a hipótese de que os resíduos têm distribuição normal. Se o valor p for alto, se
aceita a hipótese de normalidade.
2.2 Modelos Condicionalmente Heteroscedásticos
Ao contrário dos preços, a volatilidade não é diretamente observada no mercado, podendo apenas ser
estimada no contexto de um modelo. Assim, é possível a obtenção de diferentes valores de volatilidade
utilizando-se um mesmo conjunto de dados, bastando utilizar modelos distintos, que são, em grande parte,
teoricamente bem fundamentados. No caso, específico deste artigo, optou-se por comparar a capacidade
preditiva dos modelos condicionalmente heteroscedásticos ARCH, GARCH, EGARCH e TARCH, sobre
os quais será efetuado um breve comentário a seguir.
No trabalho inicial de Engle (1982) é proposto o primeiro modelo a tratar da variância condicional
em séries financeiras, ou seja, o modelo ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity), o
qual explicita que a volatilidade (variância condicional) de uma série temporal ( ), Ztt . A idéia deste
modelo é de que a variância de “ ” no instante t condicionada pelo passado depende de ...,2
1t 2
pt .
Portanto, o modelo ARCH pode ser expresso da seguinte maneira:
22
110
2 .... ptptt . (3)
onde:
t2 = variância condicional de t dado o passado;
0 = constante;
1 = coeficiente de reação associado a )( 2
it , i = 1, ..., p
.
A proposição original, elaborada por Engle (1982), mereceu extensos debates e diversos
aperfeiçoamentos ao longo dos anos. A primeira Bollerslev (1986) afirmou em que várias aplicações os
modelos ARCH precisam de grandes p no sentido de evitar problemas de variâncias negativas,
conseqüentemente uma defasagem fixa deveria ser imposta. Já Bourbonnais e Terreza (2008) mostram
que um processo ARCH só é justificado até a ordem p = 3, superior a 3 usa-se os modelos GARCH, que
apresentam melhores resultados.
O modelo GARCH proposto por Bollerslev (1986) é uma generalização do modelo ARCH. Este
modelo adiciona a ordem do componente ARCH (p) e a ordem do componente GARCH (q).
O modelo GARCH (p,q) pode ser expresso da seguinte maneira:
tjt
q
j
jit
p
i
it v
2
1
2
1
2 (4)
onde:
t2 = variância condicional no período t;
= constante;
i = coeficiente de reação da volatilidade associado a )( 2
it , i = 1, ..., p;
j = coeficiente de persistência da volatilidade associado a (2
jt ), j= 1,..., q;
tv = ruído branco [N~(0,1)].
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A fim de se garantir que a variância condicional não seja negativa, bem como a estacionariedade do
processo, tem-se que:
.1.,...,1,0;...,,1,0;11
10
q
j
j
p
i
ii eqjparapipara
Deve-se ressaltar que, apesar de o modelo GARCH (p,q) captar corretamente diversas características
observadas nas séries históricas financeiras, tais como a leptocúrtica e o agrupamento de volatilidade, não
captura o efeito de alavancagem, pois a variância condicional é função apenas das magnitudes das
inovações e não dos seus sinais (Brooks, 2002). Assim, surgiram outros modelos com a capacidade de
captar a assimetria, tais como os modelos EGARCH e TARCH.
O modelo EGARCH (Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)
proposto por Nelson (1991), consiste em captar os impactos assimétricos nas séries de dados, além da não
concessão de coeficientes negativos no modelo.
A variância condicional do modelo EGARCH é dada por:
t
it
it
it
it
i
p
i
jtj
q
j
t v
2)ln()ln(
1
2
1
1
2 (5)
onde:
tln = logaritmo natural da variância condicional em “t”;
0 = constante;
j = coeficiente de persistência da volatilidade do termo de defasagem “j”;
2ln jt = logaritmo natural da variância condicional elevada ao quadrado do termo de defasagem “j”;
i = coeficiente de reação da volatilidade do termo de defasagem “i”;
i = coeficiente que capta o efeito assimetria da volatilidade do termo de defasagem “i”;
tv = ruído branco [N~(0,1)].
Se 0i , indica ausência de assimetria na volatilidade. Se 0i , indica um impacto diferenciado
de choques negativos e positivos na volatilidade. Se 0i , indica presença do “efeito alavancagem”. O
coeficiente j indica a persistência de choques na volatilidade.
Um modelo mais simples, para a captação do efeito alavancagem, onde choques positivos e
negativos no mercado geram impactos diferentes sobre a volatilidade nas séries financeiras, foi
apresentado por Glosten, Jagannathan e Runkle (1993) e posteriormente implementado por Zakoian
(1994), denominado por TARCH (Threshold ARCH). Esse modelo é um caso particular do modelo
ARCH não-linear, descreve a volatilidade seguindo a forma funcional, ou seja, a variância condicional do
modelo TARCH pode ser expressa como:
tititit
q
j
iti
p
i
t vdw
22
1
1
2
1
2 (6)
onde: 2
t = variância condicional em “t”;
w = constante;
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i = coeficiente de reação da volatilidade do termo de defasagem “i”;
2
it = termo de erro ao quadrado no tempo t-i, onde “i” denota a defasagem;
2
jt = variância condicional observada em “t-j”;
j = coeficiente de persistência da volatilidade do termo de defasagem “j”;
= efeito assimetria;
1td = variável dummy.
tv = ruído branco [N~(0,1)].
A variável dummy 1td assume o valor igual a 1, se 02
1 t (más notícias no mercado), e o valor
igual a 0 se 02
1 t (boas notícias no mercado). Neste modelo, a volatilidade tende a aumentar com as
“más notícias” e a diminuir com as “boas notícias”. Assim sendo, as previsões positivas no mercado têm o
impacto enquanto as previsões negativas têm o impacto 11 . Se 01 , as previsões negativas
têm um efeito menor do que as previsões positivas.Esse é o conhecido efeito “leverage”. O choque é
assimétrico se 01 e simétrico se 01 .
O método empregado para a estimação dos modelos apresentados anteriormente é o da máxima
verossimilhança.
Para testar-se a presença de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva utilizou-se o teste do
tipo multiplicador de Lagrange proposto por Engle (1982); a estatística de teste possui distribuição qui-
quadrado. Assim, comparando-se o valor calculado desta estatística com a entrada apropriada de uma
distribuição qui-quadrado, pode-se testar a hipótese nula de não haver evidência de heteroscedasticidade
condicional.
O passo seguinte consistiu em estabelecer a medida de avaliação de desempenho da capacidade
preditiva dos modelos, utilizando-se o critério de raiz do erro quadrático médio (REQM). Assim, o
modelo que apresentar o menor valor do REQM representa aquele que possui a melhor capacidade
preditiva.
3. Resultados
Neste estudo foram utilizados dados referentes às cotações diárias de fechamento da ação ordinária
da CSN, na Bolsa de Valores de São Paulo, no período de 02/01/2003 a 12/9/2008, num total de 1481
observações diárias. Os dados foram coletados junto ao site Yahoo/finanças.
As figuras 1 e 2 mostram o comportamento das séries de preços e retornos diários da ação
ordinária da CSN no período considerado, respectivamente. Os retornos diários foram calculados
através da fórmula: ).ln()ln( 1 ttt PPr Sendo que tP representa o preço da ação no dia t e 1tP
o preço da ação no dia anterior (t-1).
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7
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
2003 2004 2005 2006 2007 2008
CSN
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0.0
0.4
2003 2004 2005 2006 2007 2008
RETCSN
Figur
a 1- Cotações diárias da ação Figura 2 – Retornos diários da ação
ordinária da CSN ordinária da CSN
Observa-se na figura 2, que a série apresenta aparentemente sinais de heteroscedasticidade e
de agrupamento da volatilidade. Portanto a análise gráfica não é suficientemente para detectar a
presença de heteroscedasticidade ou volatilidade da série, sendo necessário determinar modelos
de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva.
Algumas estatísticas descritivas básicas são apresentadas na tabela 1. Observa-se que os
retornos diários no período analisado representam uma distribuição leptocúrtica devido ao
excesso de curtose (617,7251) em relação à distribuição normal (3,0). A estatística de Jarque-
Bera indicou a rejeição da normalidade da distribuição da série.
Estatísticas Valores
Média 0,001061
Mediana 0,000978
Máximo 0,099130
Mínimo - 1,373067
Desvio padrão 0,044459
Assimetria - 20,02294
Curtose 617,7251
Jarque-Bera 23.417,731
p-valor JB 0,00000
Observações 1481
Fonte: Elaborada pelo autor
Tabela 1 – Sumário estatístico dos retornos
O teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF), com constante e com tendência, identificou que a
série de retornos da ação ordinária da CSN é estacionária e não contém raízes unitárias, conforme
se observa na tabela 2.
Variável Defasagens Teste Dickey-Fuller Valor Crítico (5%)
Retcsn 0 - 37,50942 -3,412849
Tabela 2 – Teste de estacionaridade para a série dos retornos da ação da CSN
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O passo seguinte foi estimar os parâmetros dos modelos para a série de retornos da ação
ordinária da CSN. Os resultados obtidos encontram-se apresentados na tabela 3.
VARIÂNCIA ARCH (1,0) GARCH (1,1)
EGARCH (1,1)
TARCH (1,1)
0 0,001357
(0,0000)
0,001284
(0,3894)
- 6,72941
(0,0000)
0,00131
(0,3950) 2
1t - 0,000336
(0,9914)
-0,001423
(0,0000)
0,03950
(0,0283) 2
1t 0,599342
(0,0003)
0,59891
(0,0212) 2
11. ttd -0,04120
(0,0016)
11 / tt - 1,04413
(0,0000)
2/ 11 tt
0,84176
(0,0000)
)ln( 2
1t 0,07306
(0,0000)
AIC - 3,304953 -3,284567 -3,712276 -3,286068
SC - 3,294216 -3,273830 -3,694381 -3,281752
Fonte: Elaborada pelo autor
Tabela 3 – Resultados da estimação dos modelos
Notas:
1. Os números entre parênteses são os valores de probabilidade (p- valor)
2. AIC é o critério de informação de Akaike
3. SC é o critério de informação de Schwartz
Observa-se no modelo GARCH(1,1), que os coeficientes estimados são estatisticamente
significativos ao nível de 5%, exceto a constante. A soma dos coeficientes 1 e 1 foi igual a
0,59792, indicando que um choque na série dos retornos da CSN terá efeito por pouco tempo na
volatilidade destes retornos. O coeficiente de persistência da volatilidade (0,599342), mostra que
o modelo capta uma baixa persistência da volatilidade dos retornos.
No modelo EGARCH(1,1) verifica-se uma persistência menor em relação ao modelo
GARCH (1,1), ou seja, 0,073063. Além disso, o parâmetro que capta a assimetria do modelo é
significativo e possui o sinal esperado (-1,044133), indicando a presença do “efeito
alavancagem”, ou seja, choques de “boas” ou “más” notícias causam efeitos na volatilidade dos
retornos. O valor de 1 (0,84176) confirma a existência de aglomeração da volatilidade. O
coeficiente de persistência da volatilidade é dado por 1 (0,07306) inferior ao constatado no
modelo GARCH(1,1).
Já no modelo TARCH(1,1), o coeficiente do termo 2
11 ttd mostrou-se estatisticamente
significativo ao nível de 5%, ou seja, choques positivos e negativos têm impactos diferenciados
sobre a volatilidade e dos retornos da CSN.
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Para verificar as medidas de avaliação de desempenho da capacidade preditiva dos modelos,
utilizou-se o critério de raiz do erro quadrático médio. Os resultados obtidos encontram-se apresentados na
tabela 4. Assim sendo, o melhor modelo para a previsão da volatilidade da ação ordinária da CSN foi o
GARCH(1,1). Como se pode verificar através do modelo escolhido, o coeficiente de persistência dado
pela soma dos coeficientes )( 11 apresenta valor de 0,59792, indicando que um choque na série
dos retornos da CSN terá efeito por pouco tempo na volatilidade destes retornos.
Modelos REQM
ARCH (1,1) 0,044687
GARCH(1,1) 0,044506
EGARCH(1,1) 0,045451
TARCH(1,1) 0,044526
Fonte: Elaborada pelo autor
Tabela 4 – Avaliação de desempenho dos modelos de
predição da volatilidade
As figuras 3 e 4 mostram os resíduos atuais e estimados, bem como a previsão da variância
ajustada pelo modelo GARCH (1,1). Pode-se constatar analiticamente, quando ( + ) é menor
do que 1 (um) apresenta uma variância finita constante, sendo por isso um ruído branco, ou seja,
conseguindo-se obter um processo estacionário de volatilidade para as previsões dos retornos.
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0.0
0.4
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0.0
0.4
2003 2004 2005 2006 2007 2008
Residual Actual Fitted
Figura 3 – Resíduos Atuais e Estimados: Ação Ordinária CSN
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10
.0015
.0020
.0025
.0030
.0035
2003 2004 2005 2006 2007 2008
Forecast of Variance
Figura 4 – Previsão da Variância: Ação Ordinária CSN
4. Conclusão
Neste estudo realizou-se uma análise empírica da volatilidade dos retornos dos preços das
ações ordinárias da CSN, utilizando os modelos ARCH, GARCH, EGARCH e TARCH.
Os retornos diários das cotações representaram uma distribuição leptocúrtica devido ao
excesso de curtose em relação à distribuição normal. A estatística de Jarque-Bera indicou a
rejeição da normalidade da distribuição da série.
Os resultados empíricos mostraram reações de persistência e assimetria na volatilidade, ou
seja, os choques negativos e positivos têm impactos diferenciados sobre a volatilidade dos
retornos, o que pode ser comprovado pelos modelos EGARCH e TARCH.
Com base no critério de raiz do erro quadrático médio (REQM), o modelo escolhido para a
previsão da volatilidade da ação ordinária da CSN foi o GARCH(1,1). A soma dos parâmetros
estimados 1 e 1 foi igual a 0,59792, indicando que um choque na série dos retornos da ação
terá efeito por pouco tempo na volatilidade destes retornos.
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