A6. Funcoes hiperbolicas

MATEMÀTICA 1 Anatolie Sochirca

1

8. Funções hiperbólicas.

8.1) Função seno hiperbólico: )(xshy = .

Chama-se seno hiperbólico a função definida por: 2

)(xx ee

xsh−−= .

Domínio RDsh = ;

Contradomínio RCDsh = ;

Função seno hiperbólico é impar: )()( xshxsh −=− . O gráfico da função seno hiperbólico é representado na figura 21.

8.2) Função co-seno hiperbólico: )(xchy = .

Chama-se co-seno hiperbólico a função definida por: 2

)(xx ee

xch−+= .

Domínio RDch = ;

Contradomínio [ )+∞= ,1chCD ;

Função co-seno hiperbólico é par: )()( xchxch =− . O gráfico da função co-seno hiperbólico é representado na figura 22.


2

8.3) Função tangente hiperbólico: )(xthy = . Chama-se tangente hiperbólico a função definida por:

xx

xx

ee

eexth −

−

+−=)( .

Domínio RDth = ;

Contradomínio ] [1,1−=thCD ; 1)( <xth .

Função tangente hiperbólico é impar: thxxth −=− )( . O gráfico da função tangente hiperbólico é representado na figura 23.


3

8.4 Função co-tangente hiperbólico: )(xcthy = . Chama-se co-tangente hiperbólico a função definida por:

xx

xx

ee

eexcth −

−

−+=)( .

Domínio { }0\RDcth = ;

Contradomínio ] [ ] [+∞−∞−= ,11, UcthCD ; 1)( >xcth .

Função co-tangente hiperbólico é impar: )()( xcthxcth −=− . O gráfico da função co-tangente hiperbólico é representado na figura 24.

8.5 Função secante hiperbólico: )(sec xhy = . Chama-se secante hiperbólico a função definida por:

xx eexchxh −+

== 2

)(

1)(sec .

Domínio RD h =sec .

Contradomínio ] ]1,0sec =hCD .

Função secante hiperbólico é par: )(sec)(sec xhxh =− . O gráfico da função secante hiperbólico é representado na figura 25.


4

8.6 Função co-secante hiperbólico: )(cos xechy = . Chama-se co-secante hiperbólico a função definida por:

xx eexshxech −−

== 2

)(

1)(cos .

Domínio { }0\cos RD ech = .

Contradomínio { }0\cos RCD ech = .

Função co-secante hiperbólico é impar: )(cos)(cos xechxech −=− . O gráfico da função co-secante hiperbólico é representado na figura 26.


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9. Funções hiperbólicas inversas. 9.1 Função argumento seno hiperbólico: )(arg xshy = .

A função seno hiperbólico é bijectiva em R e portanto é invertível. A inversa chama-se argumento seno hiperbólico e denota-se por )(arg xshy = . Na base da definição da função inversa temos:

∈

−=⇔

∈

=⇔=

−

.

,2

),()(arg

Ry

eex

Ry

yshxxshy

yy

Resolvendo a expressão 2

yy eex

−−= em relação á y (levando em conta que

0, >∈∀ yeRy ) obtemos a expressão analítica da função argumento seno hiperbólico:

( )1ln 2 ++= xxy . Portanto

( )1ln)(arg 2 ++== xxxshy Domínio RD sh =arg .

Contradomínio RCD sh =arg .

O gráfico da função argumento seno hiperbólico é representado na figura 27.

9.2 Função argumento co-seno hiperbólico: )(arg xchy = .

A função co-seno hiperbólico é bijectiva em +0R e portanto é invertível. A

inversa chama-se argumento co-seno hiperbólico e denota-se por )(arg xchy = . Na base da definição da função inversa temos:


6

∈

+=⇔

∈

=⇔=

+

−

+

.

,2

),()(arg

00 Ry

eex

Ry

ychx

xchy

yy

Resolvendo a expressão 2

yy eex

−+= em relação á y (e levando em conta que a função

exponencial ye é crescente) obtemos a expressão analítica da função argumento co-seno hiperbólico:

( )1ln 2 −+= xxy . Portanto

( )1ln)(arg 2 −+== xxxchy Domínio [ [∞+= ,1argchD

Contradomínio [ [∞+== + ,00arg RCD ch .

O gráfico da função argumento co-seno hiperbólico é representado na figura 28.

9.3 Função argumento tangente hiperbólico: )(arg xthy = .

A função tangente hiperbólico é bijectiva em R e portanto é invertível. A inversa chama-se argumento tangente hiperbólico e denota-se por )(arg xthy = . Na base da definição da função inversa temos:

∈

+−=

⇔

∈

=⇔=

−

−

.

,),()(arg

Ry

ee

eex

Ry

ythxxthy

yy

yy

Resolvendo a expressão yy

yy

ee

eex −

−

+−= em relação á y obtemos a expressão analítica da

função argumento tangente hiperbólico:


7

−+⋅=

x

xy

1

1ln

2

1.

Portanto

−+⋅==

x

xxthy

1

1ln

2

1)(arg

Domínio ] [1,1arg −=thD .

Contradomínio RCD th =arg .

O gráfico da função argumento tangente hiperbólico é representado na figura 29.

9.4 Função argumento co-tangente hiperbólico: )(arg xcthy = .

A função co-tangente hiperbólico é bijectiva em { }0\R e portanto é invertível. A inversa chama-se argumento co-tangente hiperbólico e denota-se por

)(arg xcthy = . Na base da definição da função inversa temos:

{ } { }

∈

−+=

⇔

∈

=⇔=

−

−

0\

,

0\

),()(arg

Ry

ee

eex

Ry

ycthxxcthy

yy

yy

Resolvendo a expressão yy

yy

ee

eex −

−

−+= em relação á y obtemos a expressão analítica da

função argumento co-tangente hiperbólico:


8

−+⋅=

1

1ln

2

1

x

xy .

Portanto

−+⋅==

1

1ln

2

1)(arg

x

xxcthy

Domínio ] [ ] [∞+−∞−= ,11,arg UcthD .

Contradomínio { }0\arg RCD cth = .

O gráfico da função argumento co-tangente hiperbólico é representado na figura 30.

9.5 Função argumento secante hiperbólico: )(secarg xhy = .

A função secante hiperbólico é bijectiva em +0R e portanto é invertível. A

inversa chama-se argumento secante hiperbólico e denota-se por )(secarg xhy = . Na base da definição da função inversa temos:

∈

+=

⇔

∈

=⇔=

+

−

+

.

,2

),(sec)(secarg

00 Ry

eex

Ry

yhx

xhyyy

Resolvendo a expressão yy ee

x −−= 2

em relação á y obtemos a expressão analítica da

função argumento secante hiperbólico:

−+⋅=x

xy

211ln

2

1.

Portanto


9

−+⋅==x

xxhy

211ln

2

1)(secarg

Domínio ] ]1,0secarg =hD .

Contradomínio += 0secarg RCD h .

O gráfico da função argumento secante hiperbólico é representado na figura 31.

9.6 Função argumento co-secante hiperbólico: )(cosarg xechy = .

A função co-secante hiperbólico é bijectiva em { }0\R e portanto é invertível. A inversa chama-se argumento co-secante hiperbólico e denota-se por

)(cosarg xechy = . Na base da definição da função inversa temos:

{ } { }

∈

−=

⇔

∈

=⇔=

−

.0\

,2

0\

),(cos)(cosarg

Ry

eex

Ry

yechxxechy

yy

Resolvendo a expressão yy ee

x −−= 2

em relação á y obtemos a expressão analítica da

função argumento co-secante hiperbólico:

++⋅=x

x

x

xy

211ln .

Portanto


10

++⋅==x

x

x

xxechy

211ln)(cosarg

Domínio { }0\cosarg RD ech = .

Contradomínio { }0\cosarg RCD ech = .

O gráfico da função argumento cosecante hiperbólico é representado na figura 32.


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9.7 Fórmulas hiperbólicas. 1) 122 =− xshxch ; Prova:

( ) ( ) ( ) ( ) =⋅⋅−−⋅⋅+=

−−

+=−−−−−−−

4

2

4

2

22

222222

22xxxxxxxxxxxx eeeeeeeeeeee

xshxch

;14

2

4

2 2222

=+−−++=−− xxxx eeee

2) Levando em conta as propriedades das funções shxychxy == , temos:

xshchx 21+= e 12 −±= xchshx .

3) yshxchychxshyxsh ⋅+⋅=+ )( ; xchxshxsh ⋅⋅= 2)2( ; Prova:

=−⋅+++⋅−=⋅+⋅−−−−

2222

yyxxyyxx eeeeeeeeyshxchychxsh

=−⋅+++⋅−=−−−−

4

)()(

4

)()( yyxxyyxx eeeeeeee

=−⋅+⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅=−−−−−−−−

4

yxyxyxyxyxyxyxyx eeeeeeeeeeeeeeee

)(224

22 )(

yxsheeeeeeeeee yxyxyxyxyxyx

+=−=−⋅=⋅−⋅⋅=+−+−−−−

;

4) yshxchychxshyxsh ⋅−⋅=− )( ;

5) yshxshychxchyxch ⋅+⋅=+ )( ; xshxchxch 22)2( += ; 6) yshxshychxchyxch ⋅−⋅=− )( ;

7) ythxth

ythxthyxth

⋅++=+

1)( ;

xth

xthxth

21

2)2(

+⋅= ;

8) ythxth

ythxthyxth

⋅−−=−

1)( ;

9) ( ) Nnnxchnxshxchxsh n ∈+=+ , ; Prova:

( ) ( ) .2222

nxchnxsheeee

eeeeee

xchxshxnxnxnxn

xnnx

nxxxxn +=++−===

++−=+⋅−⋅⋅−⋅

⋅−−


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