Abordagem Robusta ao Problema de Seleção de Portfólio · Departamento de Engenharia de Produção, Escola Politécnica da USP Av. Prof. Almeida Prado, 128, Tr. 2 biênio, 2° andar,

ABORDAGEM ROBUSTA AO PROBLEMA DE SELEÇÃO DE PORTFÓLIO

Egídio Turchi de FreitasDepartamento de Engenharia de Produção, Escola Politécnica da USP

Av. Prof. Almeida Prado, 128, Tr. 2 biênio, 2° andar, CEP 05508 – 900, São Paulo, [email protected]

Celma de Oliveira RibeiroDepartamento de Engenharia de Produção, Escola Politécnica da USP

Av. Prof. Almeida Prado, 128, Tr. 2 biênio, 2° andar, CEP 05508 – 900, São Paulo, [email protected]

RESUMO

O trabalho propõe a utilização de otimização robusta para reduzir a dependência de um modelo de seleção de portfólios ao retorno esperado para os ativos. O modelo de otimização utiliza o CVaR como medida de risco e sua contraparte robusta é construída através da utilização da abordagem criada por Soyster (1973). Por meio da definição de cenários futuros, faz-se a análise da sensibilidade do modelo original à estimativa de retorno futuro dos ativos. Os modelos de otimização robusta são aplicados à seleção de uma carteira de ações do mercado brasileiro.

PALAVRAS CHAVE. Gestão de Carteiras. Finanças. Otimização Robusta. Aplicações a Economia e Finanças.

ABSTRACT

This paper proposes the use of robust optimization techniques to deal with uncertainty in portfolio selection models. In the optimization model CVaR is used as risk measure and its robust counterpart is built through Soyster’s approach (1973). The robust counterpart is compared to the original model through the definition of future scenarios. A case study for the Brazilian stock market is performed to analyze the performance of the robust counterpart.

KEYWORDS. Portfolio Management. Finance. Robust Optimization. Applications to Economy and Finance.

XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 403

1. Introdução

Nas últimas décadas, a evolução da área de modelagem em finanças, juntamente com o rápido incremento da capacidade dos computadores possibilitou o desenvolvimento e a resolução de complexos modelos matemáticos, no intuito de responder à pergunta sobre qual seria a composição ótima de uma carteira de ativos.

Esses modelos de otimização, porém, envolvem parâmetros que, apesar de não serem conhecidos ao certo, são tratados como dados precisos. No entanto, caso se concretizem parâmetros reais diferentes dos valores nominais assumidos, a solução ótima pode violar diversas restrições do modelo de otimização, tendo assim, um desempenho ruim.

Dentro deste escopo, a proposta do trabalho é analisar modificações dos modelos de composição de carteiras, como forma de torná-los mais robustos e menos sensíveis a variações dos parâmetros incertos, como por exemplo, o retorno esperado para as ações. O foco do trabalho, é a utilização de técnicas de otimização robusta, mais especificamente da metodologia criada por Soyster (1973), para implementar uma contraparte robusta do modelo de otimização de carteiras e comparar suas propriedades com as do modelo original.

Neste trabalho, analisaremos o desempenho dos modelos de otimização robusta através de sua aplicação na seleção de uma carteira de ativos do mercado brasileiro.

Na seção 2 apresentaremos tanto uma fundamentação teórica, analisando principalmente medidas de risco e conceitos importantes de otimização robusta, que serão utilizados ao longo do trabalho, quanto o modelo original de seleção de portfólio e sua contraparte robusta. Na seção 3, discutiremos os resultados computacionais referentes à aplicação do modelo original e sua contraparte robusta a um problema real de seleção de portfólio de ações. Por fim, na seção 4, apresentamos as conclusões do trabalho.

2. Conceitos Básicos

2.1 Medidas de Risco

Antes do Modelo de Markowitz (1952), os investidores analisavam simplesmente a relação risco-retorno de ativos individuais na composição de seus portfólios. Markowitz, porém, conseguiu demonstrar que dependendo da correlação entre os ativos que compusessem o portfólio, seria possível reduzir o risco do mesmo a um nível inferior ao de seu ativo mais seguro.

O modelo de Markowitz busca uma otimização da relação risco-retorno, mediante a maximização do retorno esperado e minimização da variância, sendo os retornos dos ativos tratados como variáveis aleatórias de distribuição normal.

Mais recentemente, a partir da constatação de que desvios positivos e negativos em relação à média impactam de maneira diferente a percepção dos investidores, passou a se dar maior destaque aos percentis como medidas de risco, como por exemplo, o VaR e o CVaR.

O VaR (Value at Risk) é uma importante medida de risco que quantifica a perda potencial máxima que um ativo financeiro pode sofrer dentro de um certo nível de confiança. Essa medida, porém, não analisa as perdas que podem acontecer após o valor máximo definido dentro de certo intervalo de confiança e não pode ser considerada uma medida de risco coerente (Artzner et al., 1999), pois não apresenta subaditividade e convexidade, o que por sua vez dificulta sua otimização do ponto de vista matemático.

Nos últimos anos, a literatura tem dado grande destaque à utilização do CVaR como medida de risco para modelos de seleção de portfólio (ver Quaranta e Zaffaroni, 2008; Krokhmal e Uryasev, 2001). O CVaR indica o valor médio da cauda, ou seja, a média das perdas do portfólio superiores ao VaR, sanando assim, alguns dos problemas do VaR.


Apesar de o conceito de CVaR depender da definição prévia do VaR, é possível obter os valores das duas medidas de risco simultaneamente através da utilização da seguinte função (Rockafellar e Uryasev, 2002):

Fα(x,a) = a + 1 E { [f(x,y) – a]+ } (1 – α)

Sendo que

[f(x,y) - a]+ = [t]+ = max {0, t}

f indica a função de distribuição de perdas, sendo x Є X RN o vetor de decisão, representando o portfólio, e y Є Y Rn os cenários adotados para um conjunto de parâmetros, em nosso estudo, o retorno dos ativos nos períodos t.

Ao resolver o problema da minimização de Fα(x,a), o valor mínimo de F e a variável a indicarão respectivamente, os valores de CVaR e VaR.

2.2. Otimização Robusta

Diversos modelos de otimização apresentam parâmetros que apesar de não serem conhecidos ao certo, são utilizados como dados precisos, de forma a possibilitar a resolução do problema.

A otimização robusta é uma área de estudo que visa tornar o modelo matemático factível em relação às restrições do problema para um determinado intervalo definido para os parâmetros incertos, através da resolução de uma contraparte robusta (Fabbozi et al., 2007). Dessa forma, reduz-se a dependência do modelo aos parâmetros incertos.

Neste trabalho utilizaremos a abordagem criada por Soyster (1973), segundo a qual são definidos intervalos simétricos para os parâmetros incertos e a contraparte robusta consiste na formulação do problema em relação ao pior cenário possível. Quanto maior o intervalo, mais confiável se torna o modelo em relação aos cenários futuros, porém, pode levar a resultados ruins devido a formulações extremamente conservadoras (Bohle et al.,2009).

A formulação do modelo de otimização que analisa o pior cenário possível, recai em um problema conhecido como minimax (Rustem e Howe, 2002), onde se minimiza a perda máxima possível, ou se maximiza o ganho mínimo (maxmin).

Dessa forma, podemos ver que através da utilização da técnica de otimização robusta, aceitamos uma solução sub-ótima em relação ao valor nominal estimado para os parâmetros, mas garantimos a factibilidade e uma solução mais próxima do ótimo, caso os mesmos mudem.

Além disso, em qualquer cenário pertencente ao intervalo definido para os parâmetros incertos, a solução robusta terá desempenho superior em relação ao pior cenário possível. Essa robustez do problema minimax advém do fato de que de maneira simultânea definimos a melhor estratégia correspondente ao pior cenário possível.

Em seu trabalho, Soyster (1973) considerou o seguinte modelo linear:

max c’x x s.t. Ax ≤ b

x ≥ 0

Neste modelo assume-se que as incertezas somente se encontram na matriz A. Para modelar as incertezas, assume-se que cada entrada da matriz pode ser definida como uma variável simétrica e limitada do tipo ãij, cujos valores podem oscilar no intervalo [aij – si; aij + si], sendo aij o valor nominal


assumido para os parâmetros incertos e si a amplitude do intervalo (Sim, 2004). Partindo desses pressupostos, Soyster (1973) obteve a seguinte contraparte robusta para o modelo.

max c’x

s.t. ∑ aijxj + ∑ sijyij ≤ bi i j j -yj ≤ xj ≤ yj j y ≥ 0

Sendo x a variável estudada no problema e y uma variável auxiliar utilizada na resolução do mesmo.

2.3 Modelos de otimização robusta para gestão de portfólios

Utilizando o trabalho de Rockafellar e Uryasev (2000), DiClemente (2002) propôs um modelo de otimização de carteiras, adotando o CVaR como medida de risco.

T-1

Min a + 1 ∑ 1 LPt (1 – α) t=1 (T – 1)

N

s.t. LPt ≥ ∑ (Pt-1,i – Pt,i) wi - a t Є {1,……,T} i=1

N

∑ riwi ≥ G i=1

LPt ≥ 0

• i =1,……,N representa os ativos• t =1,........,T representa os cenários (dias)• α representa o nível de significância• G representa o valor mínimo de retorno esperado após a seleção do portfólio.• Pt,i representa o preço do ativo i no cenário t• ri representa o retorno esperado para o ativo i• wi representa a quantidade do ativo i no portfólio• a representa a variável que aproxima o valor de VaR para o nível de significância α• LPt variáveis que indicam as perdas no portfólio

Nesse modelo, busca-se a minimização do CVaR, utilizando como dados as séries históricas dos preços dos ativos, como forma de definir a distribuição das perdas e ganhos do portfólio. A variável auxiliar LPt foi introduzida no modelo, como forma de tornar a resolução do mesmo um problema de programação linear, facilitando assim, sua implementação e demandando menor capacidade computacional.


No modelo de risco-retorno apresentado anteriormente, os parâmetros relativos ao retorno futuro dos diversos ativos apresentam grandes incertezas, sendo praticamente impossível estimar de maneira adequada seus valores reais. Dessa forma, para tornar o modelo robusto precisamos aplicar a estratégia de minimizar o maior ganho possível. T-1

Min a + 1 ∑ 1 LPt (1 – α) t=1 (T – 1)

N

s.t. LPt ≥ ∑ (Pt-1,i – Pt,i) wi - a t Є {1,……,T} i=1

N

(Min ∑ riwi ) ≥ G ri Є Z i=1

LPt ≥ 0 Sendo Z o intervalo definido para o retorno futuro dos ativos.

Baseando-se na abordagem de Soyster (1973), Quaranta e Zaffaroni (2008) desenvolveram a seguinte contraparte robusta para o modelo de otimização que envolve o CVaR como medida de risco. T-1

Min a + 1 ∑ 1 LPt (1 – α) t=1 (T – 1)

N

s.t. LPt ≥ ∑ (Pt-1,i – Pt,i) wi - a i=1

N N

∑ r’iwi - ∑siyi ≥ G i=1 i=1

LPt ≥ 0

Neste modelo, r’i e si representam respectivamente, o valor esperado para o retorno futuro dos ativos e a amplitude do intervalo simétrico.

3. Resultados Computacionais

Nesta seção, analisaremos a sensibilidade do modelo original às variações em relação ao retorno esperado para os ativos e as melhorias apresentadas ao utilizar a contraparte robusta na seleção do portfólio de ações.

Enfatizaremos a análise dos modelos e não a definição de carteiras ótimas com base em todos os produtos financeiros presentes no mercado. Desta forma, optamos pela utilização de um pequeno conjunto de ações para compor o conjunto de ativos que podem ser alocados ao portfólio.

A seleção das ações que irão compor o portfólio teve como diretrizes os seguintes critérios:

i. Cada ação deveria ser negociada desde 2003, para possibilitar a composição do histórico.


ii. Cada ação deveria pertencer a um setor distinto da economia, para evitar que exista uma forte correlação positiva entre as mesmas. Empresas que atuam em ramos diferentes têm menor probabilidade de apresentarem desempenho ruim em um mesmo período, aumentando a diversificação do portfólio.

iii. As ações escolhidas deveriam pertencer ao Índice Bovespa, como forma de garantir que as mesmas possuam considerável volume de negociação.

Respeitando esses critérios foram escolhidas as seguintes ações para composição do portfólio: Petrobrás PN (PETR4); Vale R Doce PNA (Vale5); Bradesco PN (BBDC4); Brasil Telecom PN (BRTO4); Lojas Americanas PN (LAME4).

Para definição do retorno futuro dos ativos, utilizamos Simulação de Monte Carlo, que presume que o histórico passado dos retornos espelha de maneira adequada o que ocorrerá no futuro (Ribeiro e Ferreira, 2004). Utilizando dados históricos de 2 de janeiro de 2003 a 28 de dezembro de 2007, aplicamos choques multivariados por um período de 30 dias úteis subseqüentes, em um conjunto de 1000 simulações, definindo assim, as seqüências de caminhos para os preços das ações.

Com a finalidade de ilustrar a sensibilidade do modelo às variações no retorno esperado para os ativos, utilizamos três cenários definidos pela simulação de Monte Carlo. Como cenário principal, foi utilizado o retorno médio dos ativos simulados. Além disso, utilizamos dois cenários alternativos também presentes na simulação de Monte Carlo, que apresentam valor final praticamente igual ao do cenário principal, porém, com movimentos distintos para as diferentes ações.

Tabela 1 – Cenários base para estudo da alocação

Preço Final (R$) Retorno Preço Final (R$) Retorno Preço Final (R$) RetornoPETR4 45.82 5.45% 46.34 6.66% 49.55 14.04%VALE5 51.86 5.20% 47.98 -2.68% 47.24 -4.18%BBDC4 36.98 4.88% 37.00 4.94% 36.57 3.74%BRTO4 18.14 2.19% 20.20 13.78% 19.48 9.76%LAME4 16.26 7.59% 17.76 17.53% 16.21 7.26%

Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3Ação

Na implementação do modelo original foram consideradas para as variáveis Pt,i (Preço do ativo i no instante t) séries históricas de 29 de dezembro de 2005 até 28 de dezembro de 2007 das ações analisadas. Optamos pela utilização de amostras de dois anos, pois as tradicionalmente usadas, entre 250 e 300 valores, não possibilitam uma análise adequada da cauda da distribuição de perdas e ganhos do portfólio, levando consequentemente a uma subavaliação do valor atual do risco. (Quaranta e Zaffaroni, 2008).

Para analisar a sensibilidade do modelo, traçamos a fronteira eficiente dos três cenários, tomando por base os retornos esperados naquele cenário para cada ativo, definindo os portfólios ótimos de cada relação risco-retorno. Para ver, porém, o desempenho dos demais portfólios caso um determinado cenário se materializasse, identificamos as curvas dos outros cenários no contexto daquele cenário específico.

Na figura 1, representamos a fronteira eficiente para o cenário 1 e as curvas de risco-retorno para os portfólios ótimos dos cenários 2 e 3, caso se concretizasse o cenário 1. Os gráficos 2 e 3 ilustram o mesmo efeito, porém, tomando os cenários 2 e 3, como cenário base.


4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

3.7% 3.8% 3.9% 4.0%CVaR (%)

Ret

orno

(%)

Cenário 1Cenário 2Cenário 3

Figura 1 – Relações risco-retorno tomando cenário 1 como base

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

14.0%

16.0%

3.7% 3.8% 3.9% 4.0%CVaR (%)

Ret

orno

(%)

Cenário 1Cenário 2Cenário 3


4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

14.0%

3.7% 3.8% 3.9% 4.0%CVaR (%)

Ret

orno

(%)

Cenário 1

Cenário 2

Cenario 3


Com exceção do portfólio ótimo do cenário 1, que apresentou relações risco-retorno relativamente próximas da fronteira eficiente quando da materialização do cenário 2, em todas as demais situações, erros na previsão dos retornos dos ativos, resultaram na composição de portfólios


com relação risco-retorno ruim se comparado à fronteira eficiente. Dessa forma, podemos perceber que o modelo original apresenta grande sensibilidade às estimativas feitas para o retorno futuro dos ativos.

Para resolver a contraparte robusta do modelo de otimização, além dos dados apresentados anteriormente para o cálculo do modelo original, faz-se necessária a definição dos valores r i e si, respectivamente, a estimativa do parâmetro retorno e a amplitude do intervalo simétrico analisado.

Como forma de comparar a contraparte robusta com o resultado dos três cenários utilizados na demonstração da sensibilidade do modelo de otimização, definimos os valores r’i e si, de forma que a diferença entre os mesmos resultasse para cada ativo no pior caso possível entre os três cenários.

Dessa forma, chegamos aos seguintes valores de retorno esperado e amplitude do intervalo do parâmetro retorno para cada um dos ativos.

Tabela 2 – Valores r’i e si por ativor'i si

PETR4 9.8% 4.3%VALE5 0.5% 4.7%BBDC4 4.3% 0.6%BRTO4 8.0% 5.8%LAME4 12.4% 5.1%

Inicialmente, com a implementação da contraparte robusta, chegamos à composição do

portfólio que maximizaria o retorno no pior cenário possível. A partir deste ponto, foi possível comparar o desempenho da solução robusta, caso se concretizasse cada um dos cenários apresentados anteriormente. É importante ressaltar, porém, que a solução se mantém robusta não somente nos três cenários, mas em qualquer situação futura, na qual o retorno de cada ativo se encontre definido no intervalo [r’i – si, r’i + si].

Ao definir de maneira simultânea a melhor estratégia correspondente ao pior cenário possível, garantimos que o problema seja robusto e que na concretização de qualquer cenário pertencente ao intervalo definido para os parâmetros incertos, a solução robusta tenha um desempenho superior ao do pior cenário possível.

Essa importante propriedade da otimização robusta pode ser percebida na figura 4, na qual apresentamos a relação risco retorno proveniente da solução da contraparte robusta, ou seja, no pior cenário possível, e a relação risco-retorno do portfólio robusto, caso se concretizasse cada um dos três cenários analisados. Em qualquer dos cenários, a solução robusta apresenta desempenho superior ao do pior cenário possível.

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

14.0%

3.7% 3.8% 3.9% 4.0% 4.1%

CVaR (%)

Ret

orno

(%)

Solução RobustaSolução Robusta (Cen1)Solução Robusta (Cen2)Solução Robusta (Cen3)

Figura 4 – Relação risco-retorno da solução robusta nos diferentes cenários


Além disso, devido a sua factibilidade ao longo de todo o intervalo definido para os parâmetros incertos, a solução robusta apresentou um resultado sub-ótimo em cada um dos cenários específicos, porém, com menor dependência em relação às estimativas feitas para o retorno futuro dos ativos.

Nos gráficos 5, 6 e 7, traçamos curva de risco-retorno do portfólio ótimo de cada um dos três cenários, considerando que um determinado cenário se materializasse, assim como fizemos em relação ao modelo original. Nesta análise, porém, incluímos a curva de risco-retorno para a composição ótima do portfólio robusto, como forma de analisar seu desempenho em relação ao portfólio definido para cada cenário específico.

4.0%

4.5%

5.0%

5.5%

6.0%

6.5%

7.0%

3.7% 3.8% 3.9% 4.0% 4.1%

CVaR (%)

Reto

rno

(%)

Solução RobustaCenário 1Cenário 2Cenário 3

Figura 5 – Relação risco-retorno tomando o cenário 1 como base

6.0%

7.0%

8.0%

9.0%

10.0%

11.0%

12.0%

13.0%

14.0%

3.7% 3.8% 3.9% 4.0% 4.1%

CVaR (%)

Ret

orno

(%)

Solução Robus taCenário 2

Cenário 1Cenário 3



6.0%

7.0%

8.0%

9.0%

10.0%

11.0%

12.0%

13.0%

14.0%

3.7% 3.8% 3.9% 4.0% 4.1%CVaR (%)

Reto

rno

(%)

Solução RobustaCenário 3Cenário 1Cenário 2


Nos gráficos apresentados, podemos ver que na concretização de qualquer dos cenários futuros, todos pertencentes ao intervalo Z, o portfólio ótimo definido pela resolução da contraparte robusta apresenta sempre um retorno consistente, apesar de sua solução ser sub-ótima para qualquer dos cenários. Para muitos tomadores de decisão, essa troca de uma solução ótima, por uma que proporcione maior confiabilidade, seria bem vinda dada as grandes incertezas relativas ao retorno futuro dos ativos.

O modelo de Soyster (1973), porém, pode produzir soluções muito conservadoras, a fim de garantir a robustez do problema analisado. Para analisar os resultados da otimização robusta do modelo CVaR e comparar com os cenários estudados anteriormente, definimos intervalos com uma amplitude não muito conservadora e nos quais a diferença entre o retorno esperado (r’i) e a amplitude do intervalo simétrico (si) correspondiam à pior situação entre os três cenários. Isso não descarta todos os benefícios do modelo de Soyster (1973) apresentados anteriormente, mas indicam que para aumentar a robustez do modelo em relação a uma maior gama de cenários futuros, poderíamos ter que aceitar resultados muito inferiores à solução ótima.

Para analisar o impacto do conservadorismo no modelo, recalculamos a contraparte robusta, porém, utilizando intervalos com amplitude superior à originalmente definida. Aumentamos a amplitude do intervalo do parâmetro retorno para cada ativo, em respectivamente 25 e 50%.

O gráfico 8 indica a redução do desempenho em relação à função objetivo devido ao aumento da amplitude do intervalo dos parâmetros retorno. Quanto maior a amplitude mais se abdica da solução ótima em função da robustez do modelo. Por isso, a fronteira eficiente da contraparte robusta do modelo CVaR apresenta maior desempenho quando utilizamos o intervalo Z com a amplitude originalmente definida, e pior quando usamos o intervalo Z com aumento de 50% na amplitude.

2.0%2.5%

3.0%3.5%

4.0%4.5%5.0%

5.5%6.0%

6.5%7.0%

3.7% 3.8% 3.9% 4.0% 4.1% 4.2%

Intervalo originalIntervalo 25% m aior

Intervalo 50% m aior

Figura 8 – Fronteira eficiente do modelo robusto para diferentes intervalos do parâmetro retorno


4. Conclusão

Através da utilização de otimização robusta, conseguimos reduzir a dependência do modelo ao retorno futuro esperado para os ativos. A contraparte robusta possibilitou a seleção de carteiras com desempenho consistente, apesar de sua solução ser sub-ótima para qualquer dos cenários.

A abordagem criada por Soyster (1973), a qual utilizamos na definição de nosso modelo robusto, é de fácil aplicação, pois possibilita que a contraparte robusta de um modelo de programação linear, continue sendo linear, demandando menor poder computacional para a resolução do problema. Porém, possui como inconveniente, o fato de considerar que o pior cenário possível se concretize ao mesmo tempo para todos os ativos, o que seria muito improvável.

Soyster (1973) foi um dos pioneiros no estudo da otimização robusta, e a utilização de abordagens mais recentes poderia levar a soluções menos conservadoras e que apresentassem maior desempenho. Os resultados apresentados, porém, indicam os benefícios da utilização da otimização robusta em modelos de seleção de portfólios, pois reduz os riscos inerentes à estimação dos valores futuros de retorno para os ativos, apresentando portfólios com retorno mais confiável.

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