Acção Longitudinal do Vento em Edifícios Altoscristina/EBAP/AccaoDoVento 8-sentido-do-vento... · Estes apontamentos, da autoria de Ricardo M. de Matos Camarinha no âmbito da

Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas

Disciplina de Estruturas de Edifícios Altos

Apontamentos sobre a

Acção Longitudinal do Vento em Edifícios Altos

Ricardo M. de Matos Camarinha

e

João Sérgio N. D. Cruz

Maio de 2011

Estes apontamentos, da autoria de Ricardo M. de Matos Camarinha no âmbito da dissertação de mestrado, orientado pelo Prof. João Sérgio Cruz, surgem de um trabalho contínuo de investigação na área dos Edifícios Altos e procuram dar apoio à disciplina de Estruturas de

Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas Estruturas de Edifícios Altos

ii Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

Edifícios Altos do Diploma de Formação Avançada em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura do Instituto Superior Técnico.

i

Índice

1 Introdução ............................................................................................................................. 1

2 Caracterização do comportamento do vento ......................................................................... 3

2.1 Velocidade média .......................................................................................................... 4

2.2 Parcela aleatória da velocidade ..................................................................................... 5

2.3 Caracterização da Turbulência ...................................................................................... 5

3 Escoamentos em torno de Edifícios ...................................................................................... 7

3.1 Forças resultantes da interacção vento-estrutura ........................................................... 7

3.2 Coeficientes de Força e Pressão .................................................................................... 7

3.3 Características do Escoamento ...................................................................................... 8

3.4 Forças e pressões flutuantes .......................................................................................... 9

3.5 Escoamento Tridimensional .......................................................................................... 9

4 Teoria das Probabilidades e Dinâmica estocástica .............................................................. 11

4.1 Função densidade espectral de um processo estocástico ............................................. 11

4.2 Relação entre as funções densidades espectrais de potência dos processos de acção e resposta .................................................................................................................................... 12

5 Sistema dinâmico de um grau de liberdade generalizado ................................................... 15

5.1 Descrição do sistema dinâmico ................................................................................... 15

5.2 Expressão geral de resposta de um sistema de um um g.d.l. generalizado ................. 16

5.3 Resposta de uma estrutura de um g.d.l. generalizado a duas forças concentradas, aleatórias e estacionárias ......................................................................................................... 17

6 Resolução da acção do vento .............................................................................................. 21

6.1 Hipótese Quasi-Estacionária ....................................................................................... 21

6.2 Quantificação de pressões e forças flutuantes num edifício ........................................ 22

6.3 Método DGLF ............................................................................................................. 24

6.4 Método MGLF ............................................................................................................ 30

6.4.1 Algumas notas sobre os modelos quasi-estáticos ................................................ 33

6.5 Outras abordagens ....................................................................................................... 34

6.5.1 Túnel de Vento .................................................................................................... 34

6.5.2 Computação dinâmica de fluidos ........................................................................ 35

7 Análise do vento de acordo com o Eurocódigo ................................................................... 37

7.1 Enquadramento............................................................................................................ 37

7.2 Caracterização do vento em escoamento livre ............................................................ 38

7.2.1 Velocidade básica do vento ................................................................................. 38

7.2.2 Função velocidade média do vento ..................................................................... 38


ii Instituto Superior Técnico – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

7.2.3 Intensidade da turbulência do vento .................................................................... 39

7.2.4 Pressão de pico do vento em escoamento livre ................................................... 40

7.3 Caracterização along-wind da acção do vento ............................................................ 40

7.3.1 Definição dos coeficientes de força ..................................................................... 41

7.3.2 Factor de estrutura – structural factor cscd ......................................................... 41

7.3.3 Determinação do factor de fundo - �2 ................................................................ 42

7.3.4 Determinação do factor de ressonância - �2 ....................................................... 43

7.3.5 Factor de pico - �� .............................................................................................. 44

7.4 Análise dos edifícios em Serviço ................................................................................ 44

7.5 Comparação do EC1 com outras normas mundiais (along-wind) ............................... 46

7.5.1 Velocidade Básica do Vento ............................................................................... 46

7.5.2 Comportamento médio do vento ......................................................................... 47

7.5.3 Intensidade da turbulência ................................................................................... 49

7.5.4 Função espectral do vento, Escalas de Comprimento de Turbulência e Correlação da estrutura do vento ........................................................................................................... 50

7.5.5 Quantificação da Acção de Rajada do Vento (GLF) ........................................... 50

8 Exemplo de aplicação do Eurocódigo 1.4 ........................................................................... 53

8.1 Caracterização do vento em escoamento livre ............................................................ 53

8.2 Coeficiente de força .................................................................................................... 54

8.3 Factor estrutural – cscd ............................................................................................... 55

8.3.1 Factor de fundo – �2 ........................................................................................... 55

8.3.2 Factor de Ressonância– �2 ................................................................................. 55

8.4 Factor de pico .............................................................................................................. 56

8.5 Máxima aceleração na direcção along-wind ............................................................... 56

9 Bibliografia ......................................................................................................................... 59

iii

Simbologia

�, � - largura do edifício

� - factor de resposta de fundo

� - coeficiente de pressão

� - coeficiente de força

� - frequência de vibração de um edifício, força flutuante

� - factor de pico

ℎ,� - altura do edifício

�(��) - função de transferência mecânica

� - constante de von Karman, rigidez de um edifício

�� - factor de pico (Eurocódigo)

� - massa do edifício

� - pressão estática do vento

� - factor de resposta de ressonância

�� - função de autocorrelação de um sinal

�� - função densidade espectral

� - instante de tempo

� - tempo de medição das médias da velocidade do vento

� - Velocidade instantânea do vento na direcção longitudinal

�� - Parcela média da velocidade do vento

�′ - Parcela flutuante instantânea da velocidade do vento

�∗ - velocidade de fricção

� - componente vertical da velocidade instantânea do vento

� - altura genérica de um ponto ao solo

� - comprimento de rugosidade do terreno


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! - expoente da função exponencial da velocidade

" - coeficiente de amortecimento do edifício

# - altura da camada limite ao solo

$ - esbelteza do edifício

% - função genérica da resposta de um edifício

& - componente transversal da velocidade instantânea do vento

' - massa volúmica do ar

( - desvio padrão de uma amostra

) - tensão de corte na camada de superfície

* - função de forma

� - frequência angular de um sinal de vento

+ - função de admitância aerodinâmica


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1 Introdução

Considere-se o seguinte sistema de um grau de liberdade generalizado submetido à acção de rajadas de vento com velocidade �(�, �).

Figura 1 – Edifício esbelto atacado por rajadas de vento �(�, �) A solução deste problema obriga à contabilização da aleatoriedade da velocidade do escoamento bem como a indução de efeitos dinâmicos no sistema estrutural. A resolução matemática deste fenómeno exige o domínio de diversos conceitos de dinâmica estrutural estocástica e da teoria de probabilidades de variáveis aleatórias.

Procura-se neste documento descrever os conceitos fundamentais e apresentar os principais métodos desenvolvidos para resolução da acção do vento em edifícios esbeltos. Esta descrição passa ainda pela abordagem proposta nas actuais normas e regulamentações.

A parte final deste documento é dedicada à resolução de um caso prático com a aplicação do método proposto no Eurocode 1.4 – Wind action.



2 Caracterização do comportamento do vento

A constante alteração dos factores que originam as movimentações de ar atmosférico, i.e. vento, provocam uma variação bastante irregular da sua velocidade abaixo da camada limite. A formação de turbilhões no escoamento provoca flutuações na velocidade.

A irregular ocorrência deste tipo de fenómenos está na origem da sucessiva alteração das condições de escoamento, que por isso apresenta um comportamento aproximadamente aleatório. É frequente recorrer-se a conceitos estatísticos para caracterização deste tipo de escoamentos. Em teoria, o registo da variação de velocidade no tempo é contínuo. Contudo, na prática, o tratamento computacional estatístico deste registo requer a sua discretização em pontos finitos.

Figura 2 - (a) Registo da velocidade do vento no tempo (b) Registo da velocidade do vento em altura

O registo da velocidade do vento no domínio do tempo assume de uma forma genérica a forma apresentada na Figura 2(a). Esta figura demonstra que a velocidade é definida por variações aleatórias no tempo em torno de um valor médio. No conjunto de normas da CEB, actual FIB, nomeadamente em (Bulletin D'Information N 209 - Vibration Problems in Structures) é sugerida uma representação ilustrativa deste fenómeno no domínio da altura. Verifica-se então que a aleatoriedade do fenómeno se expande do domínio do tempo ao domínio espacial.

Em termos médios, o vento é habitualmente caracterizado por uma velocidade crescente em altura. No entanto, as flutuações do escoamento conduzem à consideração da sobreposição de duas componentes, tal como descrito em (2.1).

�(�, �) , ��(�) - �.(�, �) (2.1)

A primeira componente de comportamento quasi-estacionário é por isso apenas função da altura ao solo e denomina-se de velocidade média do vento, �� . A segunda componente de comportamento variável é por sua vez função também do tempo e como não contribui para a média do vento é definida por um processo de média zero, como ilustrado na Figura 2(a). Note-se que esta componente apesar de irregular no interior da camada limite é eliminada para alturas tais que ℎ / #, altura para a qual o regime atinge a velocidade geostrófica, 012, em regime uniforme não perturbado.

u(z,t)

δ

z

vgr

z

u(z)

Velocidade do vento


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A soma das duas parcelas, �(�, �), denomina-se velocidade de rajada. É esta velocidade que importa caracterizar adequadamente para dimensionamento em estado limite último bem como de serviço.

2.1 Velocidade média

Historicamente a primeira expressão representativa da componente média do vento ��(�) sobre superfície horizontal homogénea foi a lei exponencial, definida em 1916 (Simiu & Scanlan, 1996).

�(�13) , �(�14) 5678679:;

(2.2)

onde �13 e �14 são as alturas nos pontos 1 e 2 e � as respectivas velocidades médias, e ! é um factor que depende da rugosidade do terreno. A power law, termo utilizado nas referências para esta lei (exponencial), converge com valores constastes de ! para alturas superiores à espessura da camada limite # , o que implica

<=67>? , @67A BA (2.3)

Por outro lado, Davenport assume que ! é função unicamente de # , o que resulta numa aproximação da mecânica do escoamento governada pelas equações da continuidade e da 2ª Lei de Newton.

Mais recentemente, outro tipo de abordagens que não relacionadas directamente com os pressupostos supracitados permitiram chegar a outras expressões.

De acordo com (Simiu & Scanlan, 1996), uma abordagem em que se divide a camada limite em duas regiões, uma camada de superfície e uma camada exterior através de uma análise adimensional e de algumas simplificações matemáticas permite chegar à Lei Logarítmica

��(�) , 3C �∗ ln 66F (2.4)

�∗ , @GFHB3/4 (2.5)

Onde � o comprimento de rugosidade, ) a tensão de corte na camada de superfície e � a constante de von Karman que assume geralmente o valor de 0,4.

Actualmente, existe um grande número de expressões propostas para a velocidade média do vento. Os principais regulamentos mundiais adoptam geralmente expressões idênticas que são individualizadas nos parâmetros característicos da rugosidade do terreno e orientação do vento.



2.2 Parcela aleatória da velocidade

A componente variável da velocidade dada a sua instabilidade com origem na turbulência do vento é de natureza mais complexa do que a da componente média.

A turbulência é causada essencialmente pela existência de obstáculos naturais e artificiais e é habitualmente representada em espectros para um largo domínio de frequências.

A velocidade do vento flutua no espaço e no tempo, o mesmo é dizer que num determinado local é uma função aleatória do tempo e, por outro lado, num dado instante é função aleatória da posição espacial.

As flutuações de velocidade num escoamento num ponto podem ser consideradas como a sobreposição de inúmeros turbilhões transportados com a parcela média do vento. Cada movimento turbilhonar pode ser caracterizado como um movimento periódico com frequência angular � , 2JK, onde K representa a sua frequência. Por outro lado, o movimento de um turbilhão tem um comportamento análogo ao de uma onda. Nestas condições, o comportamento de onda de um movimento turbilhonar singular é descrito pela seguinte relação $ , L KM , onde L representa a velocidade do vento e o respectivo número de onda por N , 2J $M .

2.3 Caracterização da Turbulência

A intensidade da turbulência é definida pelo rácio do desvio padrão da função velocidade do vento para cada componente flutuante em relação ao valor médio . Desta forma definem-se para as direcções longitudinal, transversal e vertical, de acordo com as três direcções do vento, as seguintes relações

O< , (< LP⁄ (2.6)

OR , (R LP⁄ (2.7)

OS , (S LP⁄ (2.8)

Medições efectuadas junto ao solo permitem verificar que (< , 2,5. �∗, onde �∗ é definida a velocidade de fricção. Desta forma pode-se definir a intensidade da turbulência através da seguinte equação (Holmes, 2007),

O< , 4,V.<∗(<∗/ .W)logX(6/6F) , 3logX(6/6F) (2.9)

Pela expressão (2.9) constata-se que a intensidade da turbulência longitudinal é função apenas da altura ao solo, � e da rugosidade do terreno � . Esta função permite perceber que a intensidade da turbulência diminui com o decréscimo da altura ao solo.

À semelhança da expressão anterior, são também apresentados valores aproximados para as turbulências nas restantes direcções (Holmes, 2007), igualmente funções da altura e rugosidade do solo.



OR ≅ .ZZlogX(6/6F) (2.10)

OS ≅ .VVlogX(6/6F) (2.11)


3 Escoamentos em torno de Edifícios

Uma quantidade de ar em movimento na atmosfera ao encontrar um obstáculo procura contorná-lo, contudo, este processo reveste-se de um conjunto de fenómenos característicos dos chamados “bluff-bodies”, termo inglês correntemente utilizado para denominar corpos achatados ou em regra com uma grande dimensão na direcção perpendicular à do escoamento. Estes fenómenos dependem de vários factores, incluindo a forma do edifício. Na generalidade, os edifícios em estudo podem ser englobados na categoria descrita.

3.1 Forças resultantes da interacção vento-estrutura

Quando determinado escoamento atravessa um obstáculo geram-se pressões e, consequentemente, forças nesse obstáculo. No domínio da aerodinâmica esse conjunto de forças é correntemente dividido em três parcelas.

Figura 3-1 – Forças resultantes da interacção do escoamento-estrutura em torno de um corpo

A primeira parcela, D, corresponde às forças na direcção do escoamento denominadas de forças de arraste. A parcela L corresponde às forças na direcção transversal à direcção do escoamento sendo denominada de força de sustentação. O desvio destas forças em relação ao centro de torção da secção produz um momento torsor no edifício correspondente à parcela M, como representado na figura.

3.2 Coeficientes de Força e Pressão

As forças num determinado corpo são geralmente traduzidas por coeficientes adimensionais, denominados coeficientes de força.

De acordo com a convenção das forças habitualmente definidas num corpo atravessado pelo escoamento são definidos os coeficientes de arraste, sustentação e de momento.

Vinf L

D

M



Estas três grandezas são definidas pelas seguintes expressões, onde o parâmetro [ generalizado pode assumir qualquer uma das duas forças definidas no ponto anterior, D,L e M refere-se ao momento introduzido na estrutura.

�\ , \89H]^F9_ (3.1)

�` , `89H]^F9_ab (3.2)

Nestas expressões, 'c define a massa volúmica do ar. L a velocidade do escoamento e d a área onde é aplicada a correspondente força F. Na expressão (3.2) o termo �2 define uma altura de referência onde é aplicado o carregamento generalizado. Esta expressão relaciona a força

esperada sob determinadas condições com a pressão estática do vento, 34'cL 4.

3.3 Características do Escoamento

O escoamento em torno dos edifícios altos contrasta com os escoamentos em torno de edifícios “aerodinâmicos” uma vez que as linhas de corrente do escoamento em torno do edifício não seguem geralmente a forma da secção. Por exemplo, no caso das asas de aviões as linhas de corrente aproximam relativamente bem a forma da sua secção permitindo um estudo matemático mais acessível que no caso dos edifícios.

Figura 3-2 – Zonas de separação do escoamento em torno de formas rectangulares

O escoamento, por exemplo, em torno de uma secção rectangular (Figura 3-2) causa a separação do escoamento nos vértices rectos dando origem a camadas de recirculação e formação de vórtices. A camada de separação destaca duas zonas, uma zona exterior suficientemente afastada onde o escoamento se comporta continuamente e uma zona interior junto às faces da secção com grandes características de corte e vorticidade. Esta camada, denominada camada de corte livre, é bastante instável, sendo esta formada por um lençol de vórtices que tendem a concentrar-se na zona de levantamento formando turbilhões concentrados e que se vão arrastando com o escoamento. A formação das zonas de separação varia com a geometria, no entanto, o fenómeno de desprendimento de vórtices na esteira do corpo é mais ou menos idêntica em todas as formas. Como é natural, este fenómeno é de grande importância em edifícios esbeltos.

Separação

Ponto de

estagnação

Recirculação

Zona turbilhonar

Separação

Zona

turbilhonar



3.4 Forças e pressões flutuantes

Os fenómenos de turbulência e instabilidade dos escoamentos atmosféricos são abordados nos capítulos anteriores. A natureza instável dos escoamentos em torno de obstáculos de grandes dimensões, tais como edifícios, resulta na separação do escoamento e, por vezes, em recirculações produzindo pressões e, consequentemente, forças altamente instáveis.

Estas variações têm usualmente três causas (Holmes, 2007):

• A turbulência natural das rajadas do vento em escoamento livre, normalmente

denominadas por “buffeting”.

• Instabilidade do escoamento causada pelo atravessamento do obstáculo, que geralmente

resulta na separação do escoamento, recirculações e formação de turbilhões nas faces do

obstáculo.

• Forças flutuantes devidas ao movimento do corpo, forças aeroelásticas.

Estes fenómenos acoplados têm uma importância crescente, tanto quanto mais flexíveis forem as estruturas em movimento com o escoamento. Na verdade, as características dinâmicas na resposta das estruturas são os parâmetros governantes do dimensionamento da estrutura e respectivos amortecimentos. Desta forma, torna-se importante conhecer matematicamente estas grandezas no âmbito do estudo dos edifícios altos.

3.5 Escoamento Tridimensional

Os conceitos apresentados neste trabalho são inerentes a condições de fluxo geralmente bidimensional. Um escoamento é dito bidimensional quando a velocidade do fluido na direcção normal ao plano de fluxo é desprezável, de maneira que o padrão de escoamento em todo o comprimento é idêntico. Contudo, as vibrações em torres sob a acção de vento apresentam-se muito mais complexas que as de um obstáculo atravessado por um escoamento bidimensional.

Figura 3-3 – Escoamento tridimensional esquemático em torno de obstáculos (Pinheiro, 2004).



Existem diversos factores que introduzem efeitos tridimensionais ao escoamento, entre eles:

• A secção transversal dos edifícios ser geralmente variável, geometricamente ou por

introdução de acessórios que afectam o escoamento;

• Aos edifícios têm dimensões finitas, não sendo desprezável o efeito do escoamento que

atravessa o topo do edifício, criando o chamado efeito de topo;

• A variabilidade do vento que não deve ser desprezável para edifícios com alturas

superiores a 50m;

• A turbulência do vento.

Alguns destes fenómenos são visíveis na Figura 3-3, onde se denota a complexidade do escoamento tridimensional em torno de um edifício.


4 Teoria das Probabilidades e Dinâmica estocástica

4.1 Função densidade espectral de um processo estocástico

Considere-se um sinal e2(�) retirado de um processo estocástico estacionário com média nula.

fge(�)h , 0 (4.1)

Um sinal com tais propriedades pode ser separado no seu conjunto de frequências, por consequência do teorema de Fourier, numa série que para um intervalo finito genérico −k 2⁄ <� < k 2⁄ é representada por

e2(�) , m �n2opqnrFstnupt (4.2)

em que,

�n2 , 3v w e2(�)v 4⁄pv 4⁄ opqnrFsx� (4.3)

Note-se ainda que nestas expressões y , 2z k⁄ . No caso em que e2(�) é periódico, então a série de Fourier resulta numa representação perfeita do sinal desde que integrada ao longo de um período completo.

A equação (4.2) corresponde à sobreposição finita de harmónicas discretas com frequências … , (K − 1)y , Ky , (K - 1)y ,… e amplitudes … ,2~�(np3)2~ , 2~�(n)2~ , 2~�(n�3)2~, … respectivamente.

Na grande generalidade dos casos, a grandeza que mais importa analisar em processos deste tipo é a média quadrática do processo e define-se por meio de

⟨e2(�)4⟩ , 3v w e2(�)4v 4⁄pv 4⁄ x� (4.4)

A introdução da expressão (4.2) nesta equação permite obter a seguinte igualdade

⟨e2(�)4⟩ , m |�n2|4tnupt ,� @_�b4 B4tnu3 (4.5)

Considerando agora a introdução de (4.3) na primeira parte da expressão (4.5), e tratando o espaçamento entre as harmónicas como �y , 2J k⁄ , resulta que



⟨e2(�)4⟩ ,� �w �b(s)� 9⁄�� 9⁄ ��F��s�9�9

tnupt

, �w �b(s)� 9⁄�� 9⁄ ��F��s�94�� y (4.6)

cuja expressão análoga no domínio contínuo quando �y ⟶ xy e Ky ⟶y é definida por meio de

⟨e2(�)4⟩ , � lim�⟶t �w �b(s)� 9⁄�� 9⁄ ��F��s�94��

t

ptxy , � ��b(y)t

pt xy (4.7)

A função ��b(y) é denominada de função densidade espectral do sinal e2(�). De acordo com esta definição, a média quadrática do processo é obtida pela integração da função densidade espectral em todo o domínio de y.

A função densidade espectral de todo o processo estacionário é obtida pela média simples das densidades espectrais de todas as ondas que o compõe.

��(y) , lim�⟶t3�∑ ��b(y)��u3 (4.8)

Note-se ainda que se o processo além de estacionário for também ergódico, i.e. se as suas propriedades estatísticas forem passíveis de dedução a partir de apenas uma amostra suficientemente longa, a média definida atrás pode ser desfeita.

4.2 Relação entre as funções densidades espectrais de potência dos processos de acção e resposta

Considere-se o r-ésimo sinal de um processo estocástico de acção �2(�) e a respectiva resposta &2(�), denominados processos de entrada e saída, relacionados pela seguinte expressão

&2(�) , w �2())spt ℎ(� − ))x) (4.9)

Assumindo �2(�) de média nula resulta que

fg&2(�)h , f �w �2())spt ℎ(� − ))x)� , 0 (4.10)

Simplificando a expressão anterior verifica-se que &2(�) é também um processo estocástico de média nula.

fg&2(�)h , w fg�2())hspt ℎ(� − ))x) , 0 (4.11)

Esta é uma conclusão importante e que permite algumas simplificações no processo de transformação matemática de acção em resposta.



Admita-se agora sem perca de generalidade a função de autocorrelação do processo estocástico de resposta &(�) definida como

�R()) , fg&(�)&(� - ))h (4.12)

A autocorrelação está directamente ligada à função densidade espectral. Posto isto, importa agora relacionar a autocorrelação dos processos de entrada e saída.

Para isso, aplique-se à expressão (4.12) a relação (4.9)

fg&(�)&(� - ))h , f �w �(#3)spt ℎ(� − #3)x#3 w �(#4)spt ℎ(� - ) − #4)x#4� (4.13)

Note-se que nesta expressão, #3 e #4 têm significado análogo a ) na expressão(4.10). Separando agora as funções integradas, a função de autocorrelação é passível de tomar a seguinte reorganização

fg&(�)&(� - ))h , f �w w �(#3)spt �(#4)ℎ(� − #3)ℎ(� - ) − #4)x#3x#4spt � (4.14)

À semelhança da simplificação em (4.11), pode-se obter a seguinte relação entre médias funções de entrada e saída

fg&(�)&(� - ))h , w w fg�(#3)�(#4)hspt ℎ(� − #3)ℎ(� - ) − #4)x#3x#4spt (4.15)

Assim, para que esta a equação nos permita relacionar as autocorrelações de entrada e saída, considere-se por fim a seguinte mudança de variáveis

�3 , � − #3 ⟺ #3 , t − �3 (4.16)

�4 , � - ) − #4 ⟺ #4 , � - ) − �4 (4.17)

Aplicando as expressões (4.16) e (4.17) em (4.15), obtém-se a seguinte expressão

fg&(�)&(� - ))h , w w fg�(t − �3)�(� - ) − �4)ht ℎ(�3)ℎ(�4)x�3x�4t (4.18)

Desta forma, demonstra-se que

�R()) , w � �() − �4 - �3)t ℎ(�3)ℎ(�4)x�3x�4t (4.19)

Esta relação evidencia que autocorrelação de entrada �R()) e a autocorrelação do processo de saída �()) se relacionam mediante a mudança de variáveis efectuada atrás.

Posto isto, define-se agora a relação entre a função densidade espectral de potência do processo estocástico de resposta (i.e. saída) e a sua autocorrelação.



�R(y) , 34� w �R())opqrGxtpt ) (4.20)

Introduzindo a equação (4.19), obtém-se

�R(y) , 34�� w � �() − �4 - �3)t ℎ(�3)ℎ(�4)x�3x�4t opqrGxt

pt ) (4.21)

De acordo com a equação (4.20), para se poder relacionar densidades espectrais de potência de entrada e saída, é necessário efectuar uma mudança de variável

# , ) − �4 - �3 (4.22)

Tendo agora em conta a mudança de variável, a relação (4.21) pode ser definida tal que

�R(y) , 34�� w � �(#)t ℎ(�3)ℎ(�4)x�3x�4t opqr(A�<9p<8)xt

pt # (4.23)

Reorganizando os termos, vem

�R(y) , 34� � �(#)oqrAxtpt # w ℎ(�3)oqr<8x�3t w ℎ(�4)opqr<9x�4t (4.24)

Tomando novamente em consideração a expressão (4.20), pode-se agora definir a relação entre densidades espectrais de entrada e de saída por

�R(y) , ��(y)�(−�y)�(�y) , ��(y)|�(�y)|4 (4.25)

Nesta expressão, ��(y) reprensenta a densidade espectral de entrada e |�(�y)|4 é denominada a função de transferência mecânica.


5 Sistema dinâmico de um grau de liberdade generalizado

5.1 Descrição do sistema dinâmico

Esta é a definição dinâmica mais corrente para analisar um edifício alto. Na generalidade, um edifício deste género é uma estrutura muito esbelta que se deforma continuamente ao longo de uma linha em princípio curva, passível de uma descrição matemática por meio de uma função de uma só variável.

Figura 5-1 - Estrutura em consola tratada com um grau de liberdade generalizado

Este tipo de análise é efectuado contemplando uma distribuição de flexibilidade da estrutura.

Considere-se uma estrutura esbelta, aproximada por uma consulta vertical bastante esbelta, com uma relação geométrica na ordem de h/b=10.

A deformada imposta por uma acção horizontal pode ser descrita por um único grau de liberdade já que a estrutura se deforma com um comportamento contínuo. A função que traduz esse andamento é designada por função de forma, �(e), definida pela sequinte equação.

&(e, �) , (e)¡(�) (5.1)

Para um sistema definido desta forma é corrente formular-se as equações do movimento por equilíbrio de energias. Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais chega-se a uma expressão em tudo idêntica à equação do movimento até aqui descrita, no entanto, os parâmetros com igual significado físico têm uma formulação diferente em virtude do novo conceito de grau de liberdade.

�∗¡¢(�) - £∗¡¤(�) - �∗¡(�) , �∗(�) (5.2)

Definida a equação do movimento em função das coordenadas generalizadas no domínio do tempo, torna-se necessário definir as expressões de massa, amortecimento e rigidez generalizadas. De acordo com a expressão (5.1) a função de forma deverá estar incluída na

Y(zmax,t)

H

y(z,t)

m(x)

EI(x)



equação do movimento. Esta função é englobada nos termos de massa generalizada �∗,amortecimento generalizado £∗ e rigidez generalizada �∗ (v.d. 5).

�∗ , w �(e) (e)4xea¥ (5.3)

£∗ , ¦3 w fO(e) ′′(e)4xea¥ (5.4)

�∗ , w fO(e) ′′(e)4xea¥ (5.5)

Note-se que o termo da rigidez pode combinar duas parcelas caso seja necessário. Habitualmente quando se fala de rigidez de um sistema refere-se à rigidez de flexão. Em todo o caso, a esta rigidez deverá ser subtraída uma parcela relativa às acções normais ao edifício que estão associadas à instabilidade do mesmo.

Posto isto, o termo da rigidez �∗ deverá ser substituído por um termo ��∗ que se relaciona com o primeiro por meio das seguintes expressões

��∗ , �∗ − �?∗ (5.6)

�?∗ , §w ′(e)xea¥ (5.7)

O termo �?∗ denomina-se rigidez geométrica generalizada. Quanto este termo for igual à rigidez de flexão e se anular a rigidez resultante ��∗ atinge-se §¨2.

Note-se porém, que apesar dos parâmetros descritos serem definidos na forma integral da função de forma (e), podem existir singularidades na estrutura como por exemplo sistemas de amortecimento, que deverão ser contabilizados em parcelas discretas.

A título justificativo, por exemplo no caso referido atrás dever-se-ia introduzir no termo de amortecimento generalizado uma parcela semelhante a

£̅ , ∑ £q q(e)4 (5.8)

5.2 Expressão geral de resposta de um sistema de um g.d.l. generalizado

Considere-se o sistema analisado no ponto anterior. Assumindo um amortecimento pequeno e dividindo a equação (5.2) correspondente ao modo i pela sua massa modal, obtém-se

¡¢q(�) - 2ζq(2πKq)¡¤q(�) - (2πKq)4¡q(�) , ∗�(s)`� (5.9)

em que ζq, Kq e ªq correspondem ao amortecimento, frequência natural e massa generalizada do modo i. A força generalizada para este modo é por sua vez definida por



�∗q(�) , w �(�, �)a «q(�)x� (5.10)

Esta força quando comparada com uma força concentrada aplicada na estrutura obedece à relação

�(�, �) , [(�)δ(� − �3) (5.11)

Quando esta é aplicada num ponto da estrutura, então a relação de �∗q(�) com essa força pode ser definida por

�∗q(�) , lim∆6→ w �(�, �)63�∆663 «q(�)x� , «q(�3)[(�) (5.12)

o que resulta num resultado importante para a análise do sistema. Esta expressão permite-nos relacionar o carregamento da estrutura para um determinado modo i pela sua função modal «q(�).

Atendendo agora que o carregamento concentrado [(�) aplicado num ponto �3 apresenta um comportamento aleatório e estacionário, i.e. mantêm as suas propriedades estatísticas ao longo do tempo, a resposta da estrutura «(�, �) é definida por

«(�, �) , w ®(�, �3, �)[(� − ))x)t (5.13)

O carregamento aleatório [(�)deverá ser entendido como a soma elementar de impulsos de magnitude [()′)x)′. Entenda-se a função ®(�, �3, �) como a função de transferência mecânica entre acção e resposta.

Escrevendo esta expressão na sua forma espectral, vem que

�¯(�, �3, K) , �\(y)�(�, �3, K)4 (5.14)

onde �¯(�, �3, K) representa a função de densidade espectral da resposta, �\(y) a função de densidade espectral da força [(�) e �(�, �3, K)4 a função de transferência mecânica entre acção e resposta.

5.3 Resposta de uma estrutura de um g.d.l. generalizado a duas forças concentradas, aleatórias e estacionárias

Considere-se novamente a função de resposta da estrutura «(�, �). A autocovariância deste processo é definida pela expressão

�¯(�, )) , lim°→t w «(�, �)«(�, � - ))x�°/4p°/4 (5.15)



Atendendo a que esta função é originada pela acção de duas cargas concentradas [3(�3, �) e [4(�4, �), actuando à cota �3 e �4 respectivamente, a função de autocovariância pode ser defina redefinida por meio da expressão (5.13) tal que

�¯(�, )) , lim°→t w ±w ®(�, �3, )3)[3(� − )3)x)3t - w ®(�, �4, )3)[4(� − )3)x)3t ² ×°/4p°/4±w ®(�, �3, )4)[3(� - ) − )4)x)4 - w ®(�, �4, )4)[3(� - ) − )4)x)4t t ²x� (5.16)

A covariância cruzada da resposta da estrutura em �3 e �4 é estatisticamente definida por

�¯8¯9()) , lim°→t w «3(�)«4(� - ))x�°/4p°/4 (5.17)

Com recurso a esta definição, a autocovariância do processo «(�, �) pode ser simplificado por

�¯(�, )) , w ®(�, �3, )3)±w ®(�, �3, )4)�\8(� - )3 − )4)x)4t ²x)3 -t

w ®(�, �4, )4)±w ®(�, �4, )4)�\9(� - )3 − )4)x)4t ²x)3 -t

w ®(�, �3, )3)±w ®(�, �4, )4)�\8\9(� - )3 − )4)x)4t ²x)3 -t

w ®(�, �4, )3)±w ®(�, �4, )3)�\9\8(� - )3 − )4)x)4t ²x)3t (5.18)

Onde a expressão da resposta global, nomeadamente a sua autocovariância é descrita por termos dependentes da autocovariância das forças [3(�3, �) e [4(�4, �) . Esta expressão permite relacionar a resposta e acção através de um conjunto de funções de transferência mecânica.

Demonstra-se que esta expressão no domínio da frequência toma a seguinte forma (Simiu & Scanlan, 1996)

�¯(�, K) ,�4(�, �3, K)�\8(K) - �4(�, �4, K)�\9 - 2�(�, �3, K)�(�, �4, K) ∙ µ�\8\9¶ (K) cosgφ(�, �3, K) −φ(�, �4, K)h - �\8\9º (K) singφ(�, �3, K) − φ(�, �4, K)h» (5.19)

Nesta expressão �\� representa as funções de densidade espectral das forças Fi e e �\8\9¶ e �\8\9º representam os termos de co-espectro e de quadratura das forças [3(�3, �) e [4(�4, �). Note-se por fim, que quando considerada uma acção contínua sobre uma área A, a expressão anterior pode ser reescrita no domínio contínuo como

�¯(�, K) , w w �(�, �3, K)__ �(�, �4, K) × ¼�8½9½¶ (K) cosgφ(�, �3, K) − φ(�, �4, K)h -�8½9½º (K) singφ(�, �3, K) − φ(�, �4, K)h¾ xd3xd4 (5.20)

É corrente relacionar os termos de co-espectro e de quadratura num único termo designado de função de coerência. Esta função representa uma medida do comprimento em que os dois sinais



«3(�) e «4(�) são correlacionados. A raíz quadrada desta função é matematicamente definida tal que

�¿ℎ¯3¯4 , À±ÁÂ8Â9Ã (n)²9��ÁÂ8Â9Ä (n)�9ÁÂ8(n)ÁÂ9(n) Å3/4 (5.21)


6 Resolução da acção do vento

6.1 Hipótese Quasi-Estacionária

A hipótese quasi-estacionária fundamenta a base da grande maioria dos modelos utilizados para quantificação da acção do vento em edifícios altos, nomeadamente os métodos propostos nos regulamentos internacionais.

No Capítulo 2 descreveu-se o vento com duas parcelas. De acordo com a expressão (2.1), a velocidade instantânea do vento é definida por uma componente média e uma componente flutuante.

Considere-se a invariabilidade desta expressão no espaço, ou seja, restrita a um determinado ponto no espaço. A relação entre pressões no corpo e velocidade no escoamento é definida por:

�(�) , 34��F'cg�(�)h4 (6.1)

em que ��F representa um coeficiente de pressão quase-estacionário.

Introduzindo esta expressão na relação entre pressões e velocidades obtém-se o seguinte resultado

�(�) , 34��F'cg�� - �.(�)h4 , 34��FρÇg��4 - �.(�)4 - 2��.(�)h (6.2)

Escrevendo esta expressão em termos de valores médios têm-se

�̅(�) , 34��F'cÈ��4 - σ<4 Ê (6.3)

Para intensidades de turbulência pequenas, o parâmetro variável da velocidade σ<4 é muito menor que o valor médio ��4 , o que permite considerar que a pressão média no corpo bem aproximada por:

�̅(�) ≅ 34��̅'c��4 (6.4)

admitindo que o coeficiente de pressão médio, ��̅, aproxima razoavelmente o coeficiente de pressão quase-estacionário. Como descrito nos capítulos anteriores, para números de Reynolds elevados, característicos das aplicações no domínio da engenharia civil, este coeficiente é bem comportado.

Voltando à componente flutuante do vento, considere-se novamente a expressão (6.2). Subtraindo a componente média da pressão de ambos os lados obtém-se a seguinte relação entre componentes flutuantes



�′(�) , 34��FρÇg�.(�)4 - 2��.(�)h (6.5)

Novamente para baixas intensidades de turbulência, a média quadrática da última expressão é definida por:

�′4��(�) ≅ 3WC�Ì4ρÇ4 �4��4�.4�� , C�Ì4ρÇ4��4�.4�� (6.6)

Esta equação define uma relação quasi-estacionária entre a média quadrática das flutuações das pressões e a média quadrática das flutuações longitudinais das velocidades.

Posto isto, a estimativa de pressões extremas segundo a hipótese quasi-estacionária é definida por:

�̂, �̌ , 34��F'c±LÐ4² ≅ 34��'c±LÐ4² (6.7)

o que representa uma expressão de grande utilidade na aplicação à engenharia, servindo de base aos métodos descritos neste capítulo. De acordo com esta expressão, pode-se obter estimativas de pressões de dimensionamento utilizando coeficientes de pressão médios e velocidades de pico. A grande desvantagem desta expressão reside no facto de não serem consideradas as flutuações de pressões induzidas pelo edifício. No entanto, esta aproximação é conservativa, já que na consideração de um coeficiente de pressão médio com a função de velocidade extremas está implícita a correlação completa das pressões extremas (Holmes, 2007). Por isso, todas as secções do corpo analisado estão relacionadas estatisticamente. A teoria da correlação de forças flutuantes é abordada no seguinte ponto.

6.2 Quantificação de pressões e forças flutuantes num edifício

O coeficiente de correlação espacial de duas forças flutuantes em dois pontos ao longo da secção transversal de um edifício é definido por:

' , 8½(s)9½(s)��ÑÒ9 (6.8)

Com o aumento da distância espacial entre os dois pontos, o coeficiente de correlação aproxima-se de zero. Por outro lado, quando esta distância tende para zero o valor da função ' aproxima-se de 1. No primeiro caso dizem-se sem relação estatística e no segundo caso completamente correlacionadas.

O comprimento de correlação é obtido pela seguinte expressão:

ℓ , w '(«)x«t (6.9)

Considere-se agora um corpo esbelto formado por N secções transversais acopladas.



Figura 6-1 – Diagrama de um corpo esbelto em consola, dividido em N secções transversais (Pinheiro, 2004).

A força instantânea flutuante que actua no corpo como um todo pode ser definida como

[.(s) , ∑ �q.(�)#«qÔ3 (6.10)

A função quadrática da força flutuante pode então ser escrita como

g[.(�)h4 , ∑ ∑ �q.(�)�Õ.(�)#«q#«ÕÔ3Ô3 (6.11)

Quando na expressão anterior as distâncias tendem para zero pode-se adoptar a forma integral da expressão. Transformando ambos os lados nos seus valores médios, tem-se como resultado que:

[.4�� , w w �Ö.(�)�×.(�)��v v x«qx«Õ (6.12)

Assumindo que a função integrada pode ser escrita em função do coeficiente de correlação, vem

[.4�� , �.4�� w w ρ=yÙ − yÚ>v v x«qx«Õ (6.13)

Por meio de uma transformação matemática, pode-se ainda escrever

[.4�� , �.4�� w x«q w ρ=yÙ − yÚ>vp¯ÛpÜÝv x=yÙ − yÚ> (6.14)

Daqui se tiram duas conclusões importantes:

No caso de correlação completa entre as forças actuantes em cada uma das N secções, a média quadrática da força flutuante total é

[.4�� , �.4��k4 (6.15)

Considerando um decréscimo rápido do comprimento de correlação, então o integral da equação(6.14) é aproximado por:



w ρ=yÙ − yÚ>vp¯ÛpÜÝ x=yÙ − yÚ> , w ρ=yÙ − yÚ>x=yÙ − yÚ>tpt , 2ℓ (6.16)

Resultando assim que a o valor “r.m.s.” da força flutuante é aproximada por:

[.4�� , �.4 ∙�� k ∙ 2ℓ (6.17)

Este resultado é de grande importância para estruturas esbeltas, já que a média quadrática da força flutuante total é directamente proporcional ao comprimento de correlação.

6.3 Método DGLF

O método tradicional DGFL descreve o carregamento de pico por acção do vento tal que:

Þß(�) , ® × Þ�(�) (6.18)

onde G é o factor de rajada que, contemplando os efeitos dinâmicos da rajada e da estrutura, amplifica a força média do vento Þ�(�), função da altura z.

No método DGLF, tal como o nome sugere, ® é definido em termos da função resposta do deslocamento da estrutura. Considere-se a função deslocamento à(�). O factor de rajada DGLF para a direcção « pode ser descrito da seguinte forma:

®¯ , ß(6á) �(6á) (6.19)

em que àß(�â) e à�(�â) representam a resposta da função de deslocamento máximo e de deslocamento médio relativas a uma altura de referência �â , respectivamente.

A definição matemática destas grandezas passa agora pela caracterização da acção média do vento e pela contabilização dos efeitos dinâmicos da acção do vento na estrutura para a sua acção extrema.

• Acção Média do Vento

A caracterização da acção média do vento, na expressão (6.20) pode ser descrita como uma pressão estática tal que:

Þ� , 34'�ãäLPa4 @6aB4; (6.20)

LP(�) , LPa @6aB; (6.21)



Esta expressão é função de ', a densidade do ar, �ã o coeficiente de arrastamento, ä a largura do edifício na superfície perpendicular à acção do vento e LP(�) a velocidade média do vento à altura �.

A expressão da velocidade média do vento (6.21) varia de acordo com a lei exponencial com um parâmetro base, LPa representando a velocidade média do vento no topo do edifício (� , �). Nesta expressão ! é um expoente que define a forma da função de acordo com as condições de exposição e da morfologia do terreno.

• Contabilização dos efeitos dinâmicos do vento

O deslocamento médio pode, na grande generalidade dos casos, ser expresso em função da resposta média do deslocamento do primeiro modo de vibração da estrutura.

à�(�) , ��8∗��C8∗ ∙å(6) (6.22)

Para tal, definem-se três grandezas da teoria da análise dinâmica de uma estrutura tratada como um grau de liberdade generalizado (v.d.5). O carregamento generalizado Þ3∗, a rigidez �3∗ e a massa equivalente �3∗ no primeiro modo são descritos de acordo com as seguintes três expressões:

Þ�3∗�� , w Þ�a (�)*(�)x� (6.23)

�3∗ , (2J�3)4�3∗ (6.24)

�3∗ , w �(�)*4(�)x�a (6.25)

A função *(�) define a forma do modo em função da altura e de constantes æ e £, que de acordo com as características estruturais, tais como amortecimento e rigidez do edifício, definem a forma da sua deformada modal.

*(�) , £ @6aBç (6.26)

Por outro lado, �(�) é a função que distribui habitualmente de forma linear a massa pela estrutura em � de acordo com o factor de redução $.

�(�) , � 51 − $ @6aB: (6.27)

Considere-se agora a resposta estrutural do deslocamento um processo estocástico %3. De acordo com (4.11) %3 é por consequência da acção um processo estacionário de média nula.



O desvio padrão da resposta à(�) relaciona-se com a média e a média quadrática pela seguinte relação

à4��(�) , à�(�)4 - ( (�)4 (6.28)

em que no caso em estudo a média do processo é nula.

Recorrendo agora à expressão (4.7), a componente relativa às flutuações, ( (�), pode ser determinada em função de *(�). Esta relação resulta na seguinte expressão

( (�) , =w �è8(�)x�t >89 ∙ *(�) (6.29)

Nesta relação, analogamente à equação (4.7), �è8 representa a função do espectro de potência das flucutações do deslocamento generalizado à(�).

Importa agora relacionar no sistema dinâmico do edifício as funções espectrais de potência da resposta %3 com a acção Þ�3∗. Recorrendo à expressão (4.25), esta relação é definida por

�è8(y) , ��8∗(y)|�(�y)|4 (6.30)

Daqui se retira que a resposta estrutural se relaciona com a acção do vento apenas pela função de transferência aerodinâmica. As pressões que caracterizam a acção podem também ser relacionadas com as propriedades efectivamente conhecidas do vento, a sua velocidade.

Na generalidade dos casos, a velocidade de escoamento é transformada em pressão dinâmica através de uma expressão função da densidade do escoamento e de um coeficiente de forma, �ã, que caracteriza o comportamento do escoamento em torno de um obstáculo. No entanto, quando se tratam de estruturas de grande dimensão, as flutuações de velocidade no escoamento não ocorrem simultaneamente em toda face do edifício atacada pelas rajadas. Posto isto, deve ser considerada a correlação entre flutuações na função que define as pressões dinâmicas actuantes no edifício com base na velocidade do escoamento.

Este conceito é contemplado numa função é denominada função de admitânciaaerodinâmica que traduz a operação completa de transformação de pressões emvelocidades,caracterizadaspelasrespectivasfunçõesdedensidadeespectraldepotência.��8∗(y) , �<(y)χ(æ,y) (6.31)

As relações das pressões em torno do edifício podem ser esquematizadas pela Figura 6-6. Note-se que apesar de representada na figura, o exemplo estudado não contempla a correlação entre pressões na face a sotavento e barlavento.



Figura 6-2 – Diagrama ilustrativo das correlações de acções em torno de uma estrutura sob acção longitudinal do vento

Atendendo às expressões (5.20) e (5.21) e aos conceitos inerentes à sua demonstração, a expressão da função de admitância aerodinâmica, pode simplificadamente ser definida por

+(æ, �) , (H¶úûaP̂ü)9(3�;�ç)9 |ý�(�)|4|ýþ(!, æ, �)|4 (6.32)

em que

|ý�(�)|4 , 3û9 ��(e3, e4, �)xe3xe4 (6.33)

|ýþ(!, æ, �)|4 , (3�;�ç)9a9 w w =�3 �M >;�ç=�4 �M >;�ç�þ(�3, �4, �)x�3x�4a a (6.34)

são denominadas “Joint Acceptance Functions” funções de correlação na direcção horizontal e vertical, respectivamente (v. Figura 5-2).

��(e3, e4, �) , op@ Ã�Ò�P(�)|�8��9|B (6.35)

e

�þ(�3, �4, �) , op@ Ã�Ò�P(�)|�8��9|B (6.36)

são as funções horizontal e vertical de coerência da componente flutuante da velocidade do vento e, �� e �þ, os coeficientes de decaimento exponencial e como já referido, ℎ a altura de referência.



Retomando novamente a expressão (6.30), o termo de transferência mecânica �(�y) é normalmente definido para o primeiro modo por

|��(�)|4 , |a8()|9C8∗9 (6.37)

onde,

|�3(�)|4 , 3�3p@ ÒÒ8B

9�9�@9ÒÒ8 B9 (6.38)

De acordo com (Kareem & Zhou, Areodynamic Admittance Function of Tall Buildings), prova-se que a função de transferência mecânica depende, não só de características da turbulência, mas também dos modos de vibração, pelo que a contabilização neste método apenas do primeiro modo incorre na perda de alguma precisão nos resultados obtidos. Esta afirmação será mais verdadeira quanto menos preponderante e influente for o modo de vibração fundamental e neste caso deve ser alvo de um estudo aprofundado.

Como resultado das expressões de (6.29) a (6.38), a parte flutuante da acção do vento pode ser rescrita como

Ñ(6) �(6) , =w Á��∗()|a8()|9�>9��∗ (6.39)

Figura 6-3 – Ilustração das densidades espectrais �� ∗(K3)|�(K)|4, �� ∗(K)|�(K)|4 e �� ∗(K)(Simiu&Scanlan,WindEffectsonStructures, 1996)�

Voltando à expressão (6.29), e com tomando como referência a Figura 6-3, a resposta da estrutura ( (�) consiste aproximadamente de duas contribuições tal que

( 4 , ( 34 - ( 44 (6.40)

com



( 34 , w �� ∗(K3)|�(K)|4xKt (6.41)

( 44 , w �� ∗(K)xKt (6.42)

As três últimas expressões podem ser compreendidas como as áreas abaixo das curvas definidas por cada função, podendo-se tomar como boa aproximação que a resposta total de uma estrutura será bem definida pela resposta do primeiro modo (6.41) e o integral da função espectral da acção.

No caso da turbulência atmosférica, é corrente admitirem-se funções com andamento idêntico ao apresentado na Figura 6-3 onde a função de densidade espectral de potência da acção é sugerida com o decaimento representado (Simiu & Scanlan, 1996).

Demonstra-se que a resolução da acção total sobre uma estrutura de um grau de liberdade é aproximada por

w �� ∗(K)|�(K)|4xKt ≅ 33��n8��9 �w �� ∗(K)xK - �n8Wζ8t �� ∗(K3)� (6.43)

Onde os dois termos na segunda parte da expressão representam a contribuição de fundo e a contribuição de ressonância respectivamente.

A relação da contribuição de fundo e ressonante é habitualmente contabilizada através de uma parcela de resposta de fundo e uma contabilizando os efeitos ressonantes da acção do vento através da seguinte expressão, resultado da simplificação da expressão (6.19) tal que

®¯ , 1 - 1Ñ(6) �(6) , 1 - 2� Oa√� - � (6.44)

Na formulação aqui apresentada, e considerando a estrutura um sistema de um grau de liberdade generalizado, o factor de fundo pode agora ser definido de acordo com a seguinte expressão

� , w �(æ, �)�<∗(�)x�t (6.45)

onde,

�(æ, �) , @ 4�4;3�;�çB4 |ý�(�)|4|ýþ(!, æ, �)|4 (6.46)

e �<∗(�) é a função espectral da velocidade do vento normalizada com respeito à média quadrática da componente variável, (<4. De acordo com a maioria das regulamentações, toma-se æ , 1.

O factor de ressonância � é, por sua vez, descrito por uma expressão bastante mais simples, � , �f/ζ em que � , �(æ, �3) é o factor de redução, e o factor de energia de rajada e � o amortecimento crítico da estrutura no primeiro modo (Kareem & Zhou, Gust Loading Factor: New Model, 2001).

A expressão (6.44) fica completa definindo agora o factor de pico de ressonância. Para um processo Gaussiano é usual definir-se



� , �2�K(�3�) - 0.5772�2�K(�3�) (6.47)

em que � é o tempo de observação e �3 a frequência natural do primeiro modo da estrutura.

A expressão (6.44) pode ainda ser simplificada matematicamente de forma a demonstrar para a resposta flutuante apenas uma contribuição de fundo e outra ressonante tal que

® , 1 - �® �4 - ® â4 (6.48)

com,

® � , 2�<Oa√� (6.49)

® â , 2�âOa√� (6.50)

A grande maioria dos métodos DGLF é baseada nas expressões supracitadas, distinguindo-se na modelação da turbulência e dos modelos estruturais.

Habitualmente, os valores de R, S e E são apresentados nos códigos de dimensionamento através de ábacos ou relações simplificadas.

6.4 Método MGLF

Considere-se uma função ª do momento na base do edifício.

O método MGLF proposto por Kareem em 2003 define o factor de rajada tal que

®` , Ð̀�P̀� (6.51)

em que analogamente ao descrito para o DGLF, ªÐ3 e ªP3 são o máximo e a média do momento induzido na base, respectivamente. É de notar que este momento é diferente do momento provocado pela acção externa do vento, daí a utilização do índice O. Para um processo gaussiano a expressão (6.51) pode vir rescrita como

®` , 1 - 1�Ñ� 8(6)P̀� (6.52)onde mais uma vez �` é o factor de pico e ( �̀8a média quadrática do momento na base.

O momento na base engloba as propriedades dinâmicas das rajadas e da estrutura e pode ser obtido da resolução da equação do movimento generalizado da estrutura



�3∗%¢3(�) - £3∗%¤3(�) - �3∗%3(�) , Þ 3∗ (6.53)

em que todas as variáveis, massa �3∗ , amortecimento £3∗ , rigidez �3∗ e carregamento Þ 3∗ são generalizadas, definidas para o primeiro modo de acordo com o índice apresentado.

Quando a acção quasi-estática generalizada do vento é aplicada no edifício, o deslocamento generalizado é igual a qualquer outra resposta obtida através de uma análise dinâmica.

A função de densidade espectral de potência desse carregamento é dado por:

��8∗(�) , �3∗4�è8(�) , �� ∗(�)|�3(�)|4 (6.54)

onde a acção generalizada quasi-estática do vento é Þ �∗ , wÞ �(�, �)*3(�)x� e Þ � é a acção estática equivalente do vento.

As relações entre momentos e carregamentos, Þ ∗ , ª�/� e Þ �∗ , ª�!/� , permitem re- -escrever a expressão (6.54)em termos das funções de densidade espectral dos momentos tal que:

� �̀8() , � �̀(�)|�3(�)|4 (6.55)

Esta equação define um novo tratamento probabilístico da acção do vento.

Comparado com o DGLF, o MGLF apresenta uma vantagem imediata. O método MGLF dá uma descrição concisa da relação entre o carregamento aerodinâmico e os efeitos induzidos na estrutura devido ao vento (v. Figura 5-4). Por outro lado, no DGLF a função de transferência aerodinâmica é na realidade uma função de transferência entre o comportamento da turbulência introduzido e o carregamento generalizado do vento, que, por sua vez, é dependente da normalização utilizada para definir a forma do modo o que cria para a função de transferência uma dependência da forma do modo. Como tal, este procedimento complica o procedimento de validação desta função que se revela mais prática no caso do MGLF, já que a relação entre resposta e carregamento pode ser facilmente validada recorrendo a tecnologias como HFBB.

Figura 6-4 – Diagrama comparativo da metodologia do modelo DGLF e MGLF (Kareem & Zhou, Gust Loading Factor: New Model, 2001)



Tal como o DGLF, o MGLF pode também ser descrito em função das componentes de interferência e ressonância

®` , 1 - 2Oa��<4� - �â4� , 1 -�®`�4 - ®`â4 (6.56)

Para determinação destas grandezas é agora necessário recorrer a expressões indicadas em Hu,2006.

O momento médio induzido na base da estrutura por integração é definido por

ªP! , w Þ�(�)a �x� , 34 H"¶úû^ü9a94�4; (6.57)

Onde o parâmetro ! é, tal como no ponto anterior, o expoente da função velocidade.

O momento devido à resposta de fundo pode ser descrito implementando a função de influência �(�) , � (Kareem & Zhou, Gust Loading Factor: New Model, 2001), onde as grandezas têm igual significado ao do ponto anterior.

ªÐ!� ,�<#w w w w w ('�ãäLPa)4a a a a t @68aB; @69aB; �6(�)��(�)�<(�)�3�4xe3xe4x�3x�4x� ,�< !üH"¶úû^ü9a9

4�; #w �<∗(�)|ý�(�)|4|ýþ(!, 1, �)|4x�t (6.58)

vindo agora

®`� , Ð̀�$P̀� , 2�<Oa 4�4;4�; #w �<∗(�)|ý�(�)|4|ýþ(!, 1, �)|4x�t

(6.59)

Para a componente do vento caso o modo não seja linear ou a distribuição de massa não seja uniforme, o máximo deslocamento do primeiro modo é dado por:

àßâ(�) , �â =!üH P̂9ü¶úû>(4�8)9�F × (3�4ç)(4�4ç)(3�;�ç)g(4�4ç)p%(3�4ç)h×#|ý�(�)|4|ýþ(!, 1, �)|4 �8W& �<∗(�) ∙ @6aBç

(6.60)

onde se verifica que, pelo último produto, a função do deslocamento acompanha a forma do modo.

Assim, o carregamento estático equivalente relativamente a esta parcela pode ser obtido pela expressão



Þßâ(�) , (2J�3)4�(�)àßâ(�) ,�â =!üH P̂9ü¶úû>(4�8)9�F × (3�4ç)(4�4ç)(3�;�ç)g(4�4ç)p%(3�4ç)h×#|ý�(�)|4|ýþ(!, 1, �)|4 �8W& �<∗(�) ∙ @1 − $ 6aB @6aBç

(6.61)

Por sua vez a integração do carregamento permite obter o Momento Induzido na Base devido à parcela da ressonância

ªÐ!â , w Þßâ(�)�x�a ,�âOa'LP4a�ãä�4 (3�4ç)(4�4ç)(3�;�ç)g(4�4ç)p%(3�4ç)h× g('�ç)p%(4�ç)h('�ç)(4�ç) #|ý�(�)|4|ýþ(!, 1, �)|4 �8W& �<∗(�3) (6.62)

Com isto pode-se desde já escrever a expressão que define a contribuição da ressonância para ®`,

®`â , Ð̀�áP̀� , 2�âOa (3�4ç)(4�4ç)(3�;�ç)g(4�4ç)p%(3�4ç)h × g('�ç)p%(4�ç)h('�ç)(4�ç) #|ý�(�)|4|ýþ(!, 1, �)|4 �8W& �<∗(�3) (6.63)

Ambos os métodos GLF aqui descritos resultam numa distribuição estática equivalente da acção do vento que proporcionam bons resultados na direcção da acção do vento, tanto para deslocamento como para momentos na base, no entanto, não apresentam boas estimativas para outras respostas.

De acordo com (Kareem & Zhou, Areodynamic Admittance Function of Tall Buildings), o MGLF e o DGLF são numericamente iguais para modos de vibração lineares. Contudo, para modos de vibração não lineares, apesar da componente de fundo do MGLF ser idêntica à do DGLF, o mesmo não se passa com a componente de ressonância. Esta relação é traduzida pela variável η como demonstrado sinteticamente na tabela seguinte.

DGLF MGLF ηηηη () (6.49) (6.59) 1 (funções lineares)

(* (6.50) (6.63) (1 - 2β)(2 - 2β)(2 - α)(1 - α - β)g(2 - 2β) − λ(1 - 2β)h g(3 - β) − λ(2 - β)h(3 - β)(2 - β) ,|ýþ(!,β, �)|4|ýþ(!, 1, �)|4

Tabela 6-1– Tabela resumo das principais relações dos métodos DGLF e MGLF

6.4.1 Algumas notas sobre os modelos quasi-estáticos

Todos os métodos descritos até agora pretendem quantificar unicamente na direcção do vento sobre o edifício. Os fenómenos típicos de escoamento de ar atmosférico em torno de edifícios provocam não só vibrações longitudinais, mas também transversais, resultando desta combinação efeitos dinâmicos de torção. Na grande maioria dos casos, estes efeitos são tão ou



mais importantes que os efeitos na direcção do vento, sobretudo quando analisados em serviço devido ao comportamento oscilatório perceptível ao ser humano.

Ao longo das últimas décadas, como se tem vindo a fazer referência, a acção frontal do vento sobre as estruturas tem sido eficazmente traduzida pelas teorias quasi-estáticas, no entanto, a acção transversal e os efeitos de torção não podem ser tratados de igual forma, já que a relação entre a incidência do escoamento e os efeitos em direcções alternadas não são bem aproximados por relações lineares.

Contudo, o esforço dedicado à elaboração de modelos tem conduzido a desenvolvimentos dos métodos apresentados atrás no espaço tridimensional. Baseados no modelo DGLF, Piccardo e Solari propuseram uma aproximação empírica do espectro para uma acção transversal. Recentemente, Kareem estende a sua proposta do modelo MGLF aos efeitos laterais e de torção sobre os edifícios altos.

6.5 Outras abordagens

6.5.1 Túnel de Vento

O cálculo das acções e interacção do vento envolvem interacções entre escoamento e estrutura muito complexas que, na direcção da acção do vento, têm sido traduzidas com sucesso por modelos baseados em teorias das faixas - “strip”, e “quasi-steady”. Graças a esses modelos, são utilizados procedimentos analíticos baseados nas características do escoamento e a geometria do corpo imerso. Por outro lado, não existem procedimentos numéricos que traduzam eficazmente o comportamento transversal e de torção.

As dificuldades sentidas neste campo têm destacado a análise em Túnel de Vento como o procedimento mais fiável e completo, contudo mais dispendioso. Determinados projectistas e muitas vezes os donos de obra defendem que este investimento inicial, face às análises regulamentares, permite uma solução final mais económica tanto a nível estrutural como de fachadas. Esta diferença resulta sobretudo da excessiva majoração de acções e hipóteses conduzida na aplicação dos regulamentos (Cochran, State of the Art Review of Wind Tunnels and Physical Modelling to Obtain Structural Loads and Cladding Pressures, 2007).

Para edifícios esbeltos, a vibração transversal e de torção induzidos pelo vento exigem análises bastante cuidadas, o que torna as análises em túnel de vento bastante importantes nas fases mais avançadas do projecto.

Existem dois tipos de análises em túnel de vento desenvolvidas no inicio do século XX, em circuito aberto - NPL (National Physical Laboratory) - ou em circuito fechado – Göttingen type (Holmes, 2007)

As técnicas de modelos aerolásticos em túnel de vento permitem obter resultados idênticos às técnicas analíticas através da medição directa das cargas dinâmicas exercidas pela interacção do escoamento com os edifícios. A obtenção de resultados mais precisos do que os obtidos analiticamente exigem condições concretas de modelação do escoamento e dos obstáculos atravessados, nomeadamente o edifício em causa, mas também dos obstáculos vizinhos susceptíveis de induzirem efeitos importantes no escoamento incidente.

Os métodos propostos na bibliografia (Simiu & Scanlan, 1996)



baseiam-se nas teorias da análise de semelhança, que em determinadas condições reproduz de forma satisfatória os fenómenos à escala real.

Além de estudos de carácter estrutural também são frequentemente conduzidos estudos sobre os efeitos induzidos pelo escoamento sobre outros edifícios ou mesmo sobre a circulação de peões na envolvente do edifício em causa.

6.5.2 Computação dinâmica de fluidos

A computação dos escoamentos em torno dos edifícios e outros corpos sujeitos à acção do vento é uma técnica que, a par da grande evolução tecnológica das últimas décadas, tem sofrido especial destaque. Este tipo de técnicas é útil em situações pouco comuns em que os edifícios assumem formas pouco características e que dificultam a análise por meios expeditos. Um exemplo desta aplicação é apresentado na Figura 6-5.

Figura 6-5 – Exemplo de aplicação de CFD a uma edifício de secção quadrada – Escoamento no plano X-Z (esquerda) e distribuição de pressões (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007)

Figura 6-6 – Exemplo de aplicação de CFD a um edifício de secção quadrada – Escoamento no plano X-Y (esquerda) e comparação com linhas equipotenciais teóricas (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007)



Este tipo de técnica exige normalmente um grande esforço computacional, tentando-se criar várias hipóteses simplificativas nas equações de Navier-Stokes que descrevem o escoamento. Contudo, o estudo do vento em estruturas esbeltas exige a consideração de várias escalas de turbulência o que resulta numa análise muito complexa. Como consequência, na generalidade das ofertas do mercado neste domínio, os softwares de computação dinâmica de fluidos reproduzem com alguma fiabilidade as pressões médias do vento, não acontecendo o mesmo com os fenómenos gerados pelas flutuações do vento bem como as acções extremas do vento.


7 Análise do vento de acordo com o Eurocódigo

7.1 Enquadramento

A norma europeia EN 1991-1-4 procura criar um conjunto de linhas orientadoras para a determinação das acções do vento sobre estruturas, tanto na sua análise global como especificamente em elemento singulares.

No enquadramento destas folhas de apoio, importa referir que em 1.1(2) se pode ler que a norma não é aplicável a edifícios com alturas superiores a 200m, o que limita bastante o domínio da análise que se pretende efectuar. Contudo, entenda-se que este ponto pretende salvaguardar que serão efectuados outros tipos de análises e estudos, como análises em túnel de vento, no caso de edifícios com alturas superiores a 200m. Por isso adoptar-se-ão os procedimentos aplicáveis segundo a norma EN 1991-1-4 como válidos.

Note-se ainda que em 1.1(4) são referidos anexos nacionais, subjacentes a cada país que determinam um conjunto de condições físicas e climáticas característica de cada região. Este tipo de caracterização é de grande importância na correcta definição da acção do vento.

O regulamento é ainda composto por um conjunto de anexos que permitem de forma simplificada definir um conjunto de características da acção do vento bem como algumas propriedades dinâmicas dos edifícios. . O regulamento, no que diz respeito aos edifícios altos, recorre ao MGLF para determinação dos efeitos dinâmicos da interacção vento-estrutura.

Este e outros regulamentos apresentam sem grande excepção, os seguintes factores:

• Especificações para velocidades base ou de referência para várias zonas abrangidas pelo

código. Geralmente uma velocidade de referência a 10m de altura e em terreno aberto

(rural);

• Factores para cálculo das variações da velocidade em altura, tipo de terreno, direcção do

vento, topografia, etc.;

• Coeficientes de força e pressão para várias formas geométricas de edifícios;

• Contabilização de efeitos dinâmicos ressonantes em edifícios flexíveis.

O objectivo deste capítulo é enumerar os principais passos e métodos de cálculo adoptados pelo regulamento, procurando fazer uma analogia com a teoria já apresentada. No final deste capítulo é também efectuada uma abordagem a outros regulamentos mundiais, baseada em (Zhou, Kijewski, & Kareem, Along-Wind Load Effects on Tall Buildings: Comparative Study of Major International Codes and Standards, 2002).



7.2 Caracterização do vento em escoamento livre

7.2.1 Velocidade básica do vento

De acordo com o ponto 4.1, a velocidade do vento e a pressão por ele provocada deve ser caracterizada contabilizando uma componente média e uma componente flutuante.

A velocidade média, &�, é calculada tendo por base a velocidade básica do vento, &- . Esta grandeza é definida por

&- , £�q2 ∙ £��c�¥n ∙ &-, (7.1)

Nesta expressão, a velocidade fundamental da velocidade básica do vento de referência,&-, , é definida a uma altura de 10m acima do solo numa zona de terreno aberto com vegetação baixa e obstáculos isolados de pelo menos 20 vezes a sua altura. A transformação da velocidade fundamental na velocidade básica é feita pela afectação da direcção do vento e época do ano. Estes coeficientes de afectação da velocidade básica deverão ser consultados no Anexo Nacional da zona a estudar. Na ausência desta informação e em casos gerais, o valor 1.0 pode ser adoptado.

Note-se ainda que &-, se refere ao valor característico de uma média de 10 minutos com uma probabilidade anual de ser ultrapassada de 0,02, o que equivale a um período de retorno de 50 anos.

No caso de análise de estruturas temporárias, as propriedades de &,- deverão ser afectadas pelo coeficiente de probabilidade, £2¥- que permite a transformação do período de retorno equivalente à probabilidade 0,02 para a probabilidade �.

£2¥- , @3p../�(p/�(3p))3p../�(p /�( .0Z))Bn (7.2)

No caso de uma época bastante restrita do ano a velocidade básica deverá ser também afectada pelos coeficientes referidos acima.

Em Portugal é usual admitir-se para &-, valores na ordem dos 26m/s.

7.2.2 Função velocidade média do vento

A velocidade média do vento, função da altura z, depende da rugosidade do terreno, da orografia do terreno e ainda da velocidade básica atrás definida.

&�(�) , £2(�) ∙ £ (�) ∙ &- (7.3)

O factor de rugosidade £2(�) depende das características do terreno, que de acordo com o EN 1991-1-4 se pode dividir nas classes apresentadas na seguinte Tabela.



Tabela 7-1– Categorias e parâmetros das classes definidas no EN 1991-1-4

Com recurso aos parâmetros da Tabela 7-1 define-se o coeficiente de rugosidade pela expressão seguinte:

£2(�) , �2 ∙ �K @ 66FB para ��qn 1 � 1 ��c� (7.4)

£2(�) , £2(�2Ù�) para � 1 ��qn

com

�2 , 0,19 ∙ 5 6F6F,��: . 3

(7.5)

Nestas expressões, z representa a altura ao solo, � o comprimento de rugosidade definida para a classe de terreno pretendida e � ,!! o comprimento de rugosidade da classe II, que serve no fundo como valor de referência na expressão do factor de terreno �2. Note-se que este valor de referência é coerente com a dita velocidade de referência apontada no ponto anterior, ambos definidos numa zona de terreno aberto com vegetação baixa e obstáculos isolados de pelo menos 20 vezes a sua altura (v. Tabela 7-1).

Relativamente ao coeficiente de orografia £ (�), onde esta pode influenciar a velocidade do vento mais do que 5%, os seus efeitos deverão ser tidos em conta. Para isso deve ser consultado o ponto 4.3.3 da EN 1991-1-4.

De notar ainda os procedimentos sugeridos no Anexo A para casos específicos em que os edifícios em estudo se encontram bastante próximos de edifícios vizinhos, podendo ficar sujeitos a efeitos secundários que podem induzir elevadas velocidades do vento segundo algumas direcções (v. 4.3.4 EN 1991-1-4). Estes efeitos podem inclusive criar situações de desconforto nos peões que circulam junto aos edifícios.

7.2.3 Intensidade da turbulência do vento

A intensidade da turbulência OR(�) é habitualmente definida a determinada altura z como a razão entre o desvio padrão da turbulência e a velocidade média da velocidade.

O Eurocódigo sugere a seguinte expressão para definição da intensidade da turbulência



OR(�) , Ñ4R5(6) , C6¨7(�)∙6�(�/�F) para ��qn 1 � 1 ��c� (7.6)

OR(�) , OR(��qn) para � 1 ��qn

onde �8 é denominado o factor de turbulência, com valor sugerido de 1.0, salvo indicação do Anexo Nacional.

7.2.4 Pressão de pico do vento em escoamento livre

Esta grandeza reúne as propriedades médias e flutuantes do vento, como pressão estática. A pressão de pico é assim definida como a soma de duas parcelas, uma de carácter médio e outra função da turbulência do escoamento.

9(�) , g1 - 7 ∙ OR(�)h ∙ 34'&�4 (�) (7.7)

É corrente comparar-se esta grandeza à pressão estática da velocidade básica 9-, definindo-se assim uma nova grandeza, o factor de exposição, £�(�), que não é mais do que a amplificação da pressão estática devido à velocidade básica, resultado da diferença de altura z e da turbulência do escoamento nesse ponto.

£�(�) , g1 - 7 ∙ OR(�)h ∙ 34'&�4 (�) 34'&-4: (7.8)

7.3 Caracterização along-wind da acção do vento

A contabilização da acção do vento sobre o edifício é efectuada com recurso a um ponto de referência onde todas as propriedades do vento são calculadas. De acordo com 6.3.2, no caso de edifícios altos a altura de referência de cálculo deverá ser em �� , 0.6�, com � a altura total do edifício.

Figura 7-1 – Dimensões estruturais e alturas de referência para estruturas passíveis de análise pelo EN 1991-1-4



A força do vento, no caso de uma análise global, deverá ser quantificada pela seguinte expressão

[S , £�£� ∙ £ ∙ 9(��) ∙ d2� (7.9)

Nesta expressão, £ representa o coeficiente de força que depende da forma do edifício e geralmente do número de Reynolds. £�£� é denominado factor de estrutura e contempla os efeitos aleatórios do vento na ocorrência de picos não simultâneos em toda a superfície do edifício bem como as vibrações induzidas no edifício devido à turbulência do vento. d2� representa a área de referência sobre a qual actuam as pressões estáticas do vento.

Esta expressão define uma análise quasi-estática, em que se aplica o método MGLF para definição das propriedades do coeficiente £�£� . Recordando a expressão (6.18) e analisando comparativamente com a expressão (7.9), compreende-se que £�£� não representa o factor de pico, uma vez que as pressões estáticas definidas em (7.9) já se encontram nesta expressão afectadas da turbulência do escoamento.

7.3.1 Definição dos coeficientes de força

Os coeficientes de força aerodinâmicos dependem de vários factores tais como o número de Reynolds e a forma geométrica da secção do edifício. O Eurocódigo apresenta sugestões para um conjunto de formas regulares, cilíndricas e poligonais. De uma forma geral, o coeficiente de força é determinado por

£ , £, ψλ (7.10)

em que £, representa o coeficiente de força sem a contabilização dos efeitos tridimensionais do escoamento em torno do edifico. O valor de ψ

λ tem em conta estes efeitos, de recirculação a

barlavento. Estes efeitos dependem da esbelteza efectiva do edifício e deve ser tida em conta de acordo com o ponto 7.13 do regulamento.

Outros efeitos específicos de cada forma são tidos em conta no Eurocódigo. Essa análise é efectuada caso a caso.

Note-se ainda que o EN 1991-1-4 apresenta um conjunto vasto de disposições para outro tipo de coeficientes, como coeficientes de pressões para os mais variados elementos e formas estruturais. Estas disposições podem ser encontradas no ponto 7.

7.3.2 Factor de estrutura – structural factor cscd

O factor de estrutura, que como já foi referido, contabilizada a aleatoriedade da acção do vento, a perda de correlação dessa acção em vários pontos simultaneamente e as vibrações induzidas na estruturas. Este tipo de análise fará apenas sentido para alguns tipos concretos de estruturas, nomeadamente os edifícios altos.



Para edifícios tipicamente baixos ou com frequências de vibração muito elevados, superiores a 5Hz, o valor de £�£� pode ser tomado como 1. Edifícios esbeltos, altos e flexíveis não dispensam o cálculo detalhado de £�£�.

Para as estruturas representadas Figura 6-5, o factor de estrutura pode ser calculado por

£�£� , 1 - 2 ∙ � ∙ OR(��) ∙ √�4 - �4 1 - 7 ∙ OR(��); (7.11)

Nesta expressão, � é o factor de pico definido pela maxíma razão entre a flutuação do vento e o seu desvio padrão. �4 e �4 representam o factor de fundo e o facto de ressonância, respectivamente. O factor de fundo mede a falta de correlação das pressões em toda a estrutura e o factor de ressonância por sua vez mede a turbulência do vento em ressonância com o modo de vibração principal da estrutura.

O factor de estrutura pode ainda ser dividido no produto de dois factores, o de dimensão que tem em conta a ocorrência não simultânea das pressões de pico em toda a estrutura e o factor dinâmico com respeito à ressonância do edifício.

Esses factores são definidos em 6.3.1 (1) por

£� , 1- 7 ∙ OR(��) ∙ √�4 1 - 7 ∙ OR(��); (7.12)

£� , 1 - 2 ∙ � ∙ OR(��) ∙ √�4 - �4 1 - 7 ∙ OR(��)√�4; (7.13)

Note-se que neste procedimento, a par do que é referido na contextualização teórica deste problema, admite-se que as respostas devido aos modos secundários na direcção do vento são desprezáveis.

7.3.3 Determinação do factor de fundo - �4

O factor de fundo é definido pela expressão seguinte

�4 , 1 51 - 0.9 ∙ @ -�<v(6=)B .�':M (7.14)

em que � e ℎ representam a largura e altura da estrutura e k(��) a Escala de comprimento da turbulência.

k(��) , ks ∙ @6=6�B .�3� . V/�(6F) , 300 ∙ @ 6=4 B .�3� . V/�(6F) para ��qn 1 � (7.15)

k(��) , k(�2Ù�) para ��qn ≥ � (7.16)



7.3.4 Determinação do factor de ressonância - �4

A expressão do factor de ressonância é definida com recurso ao espectro do vento sugerido no Eurocódigo.

Figura 7-2 – Função de densidade espectral do vento �v normalizada

A densidade espectral da acção do vento normalizada é descrita pela expressão seguinte, em que �R(�, K) representa a função de densidade espectral da velocidade do vento

�v(�, K) , n∙Á4(6,n)Ñ49 , �.Z∙�(6,n)(3�3 .4∙�(6,n))?/@ (7.17)

A expressão (7.17) é função da frequência adimensional �v(�, K) que por sua vez se relaciona com a escala de comprimentos da turbulência a e a velocidade média através de

�v(�, K) , K ∙ k(�) &�(�); (7.18)

Destas expressões importa contabilizar o valor espectral da resposta do primeiro modo para a altura de referência ��.

Posto isto, a expressão do factor de ressonância é definida tal que

�4 , �94∙A ∙ �v=��, K3,�> ∙ RB=ηB> ∙ RC=ηC> (7.19)

onde # representa o decremento logarítmico do amortecimento global da estrutura e RB e RC as funções de admitância aerodinâmica, vertical e horizontal respectivamente.



Segundo B.2(6), as funções de admitância aerodinâmica para o modo de vibração fundamental podem ser definidas por

�<=η<> , 3η� − 34η�9 (1 − op4η�) com η< , W.�<v(6=) ∙ �v=�� , K3,�> (7.20)

�-=η-> , 3ηD − 34ηD9 (1 − op4ηD) com η- , W.�-v(6=) ∙ �v=��, K3,�> (7.21)

Para valores de η< e η- nulos, as função de admitância aerodinâmica tomam o valor unitário.

O decremento logarítmico do amortecimento global da estrutura deverá ser determinado com recurso ao Anexo F do regulamento.

7.3.5 Factor de pico - �

O factor de pico é normalmente definido por uma expressão do tipo da equação (6.47), sendo no entanto no Eurocódigo sugerida uma expressão idêntica com a seguinte forma

� , �2 ∙ ln(ν�) - 0.6/�2 ∙ ln(ν�) com � ≥ 3

(7.22)

onde � é o tempo em segundos da média da velocidade básica considerada no cálculo de &�(��), ou seja no caso das velocidades definidas pela norma europeia � , 600E (10min) e ν a frequência cruzada da interacção dos fenómenos de fundo e ressoantes, contabilizando apenas a frequência do modo de vibração fundamental.

ν , K3,�# â9�9�â9 com ν ≥ 0.08�� (7.23)

Como exercício final, sugere-se que o leitor tente compreender a analogia destas expressões com as do capítulo anterior de contextualização teórica.

7.4 Análise dos edifícios em Serviço

No anexo B, na continuação do procedimento de cálculo do factor de estrutura, são também apresentadas algumas disposições relativamente à avaliação de propriedades cinemáticas tais como os deslocamentos e as acelerações do edifício.

Relativamente aos deslocamentos, é sugerida a determinação dos deslocamentos na direcção do vento através do carregamento estático equivalente obtido nos pontos anteriores. Para isso podem-se por exemplo calcular num modelo de barras ou de elementos finitos os deslocamentos associados à força do vento.



No que diz respeito às acelerações, é proposta uma expressão para o desvio padrão característico das acelerações na direcção do vento, num ponto de altura z.

(c,�(�) , £ ∙ ' ∙ � ∙ OR(��) ∙ &�4 (��) �3,�; ∙ � ∙ N� ∙ Φ3,�(�) (7.24)

Nesta expressão, �3,� representa a massa modal equivalente para o primeiro modo, � a raiz quadrada do factor de ressonância e N� um factor adimensional definido por

N� , w &�4 (�)Φ3,�(�)x�< &�4 (��) w Φ3,�(�)x�< : (7.25)

Tanto nesta expressão como na anterior, Φ3,�(�) representa a função de forma modal do modo de vibração principal, definida no regulamento no Anexo F, função do comportamento estrutural do edifício.

A função de forma modal é dada por

Φ3,�(�) , @6<Bζ (7.26)

com ζ a variar com o tipo de estrutura do edifício e pode ser obtido F.3.

A simplificação aproximada da expressão (7.25) considerando a função de formal modal (7.26) conduz à expressão

N� , (2 ∙ ζ - 1) ¼(ζ - 1) ∙ �ln @6=6FB - 0.5� − 1¾ (ζ - 1)4 ∙M ln @6=6FB (7.27)

De acordo com os vários tipos de estrutura, a computação da última expressão permite definir o seguinte gráfico.



Figura 7-3 – Aproximação do coeficiente adimensional N�, de acordo com a expressão (7.27)

Uma vez que a média da aceleração é nula, o valor absoluto da aceleração máxima atingida pelo edifício é obtido pela multiplicação do desvio padrão por um factor de pico. Pode-se ler em B.4(4) que o valor de pico característico da acção é obtido através da multiplicação do desvio padrão pelo factor de pico calculado em (7.22), também contabilizando a frequência de vibração do primeiro modo na direcção along-wind.

¦�,�á� , � ∙ (c,� (7.28)

7.5 Comparação do EC1 com outras normas mundiais (along-wind)

Com base no artigo supracitado, procura-se demonstrar o paralelismo entre as principais normas mundiais, nomeadamente:

• EN 1991-1-4:2005 - Norma Europeia • ASCE 7 – Norma Norte Americana • AS1170.2 – Norma Australiana • NBC – Norma Canadiana • RLB-AIJ – Norma Japonesa

7.5.1 Velocidade Básica do Vento

Na grande generalidade dos regulamentos mundiais, a velocidade básica do vento, 0 , é determinada experimentalmente com medições a 10 m de altura sobre terreno aberto.



EC 1 ASCE 7 AS1170.2 NBC RLB-AIJ

Velocidade

básica do vento 3s 3s 1h 10min 10min

Factor de rajada

do vento 3s 1h 1h 10min 3s

Resposta

induzida pelo

vento 1h 1h 1h 10min 10min

Tabela 7-2 – Tempos médios nos diferentes regulamentos

São elaboradas médias sobre amostras de dimensões e períodos de amostragem diferentes. Neste contexto, a Tabela 7-2 relata os tempos médios de amostragem segundo cada código não só para a velocidade básica mas também para o factor de rajada do vento, bem como a resposta induzida pelo mesmo.

A velocidade de dimensionamento é obtida no caso geral pela expressão

0 , 0 . �� . ��. �q . �2 (7.29)

Este conjunto de coeficientes configura a velocidade básica numa aproximação da velocidade de um determinado local introduzindo a influência do meio ambiente, da direcção do vento, dos intervalos de amostragem utilizados na obtenção de 0 e outros factores significativos associados à estrutura do vento. Desta forma, os índices poderão ser descritos de acordo com a seguinte enumeração:

-�� - coeficiente de direccionalidade, “directionality”

-�� - , coeficiente de protecção/exposição “shield”

-�q – coeficiente de importância, “importance”

-�2 – coeficiente de retorno, “return”

7.5.2 Comportamento médio do vento

A distribuição que caracteriza a velocidade média do vento em altura é influenciada pela topografia do terreno, obstáculos na vizinhança, bem como pelos intervalos de amostragem utilizados na sua definição. A dimensão do intervalo utilizado nas médias influencia o perfil da velocidade do vento. Note-se que para os intervalos correntes na Tabela 7-2 uma amostra de três segundos terá com certeza uma distribuição mais regular do que uma amostra de uma hora.

Como referido no capítulo 2, são utilizados predominantemente duas formulações para o comportamento da velocidade do vento em altura, a lei exponencial e a lei logarítmica. Os regulamentos abordados e na sua generalidade, recorrem à lei exponencial.

(�) , 0 . �. @ 63 B; (7.30)



As constantes ! e �, calibram a expressão de acordo com o tipo de terreno. Os valores propostos variam de regulamento para regulamento e são resumidos na Tabela 7-3

ASCE -7 AS1170.2 NBC

1h 1h 1h

b ! b ! b !

A 0.30 0.33 0.29 0.28 0.43 0.36

B 0.45 0.25 0.45 0.20 0.67 0.25

C 0.65 0.15 0.58 0.16 1.00 0.14

D 0.80 0.11 0.69 0.13

E

Tabela 7-3.

ASCE -7 AS1170.2 EC 1 RLB-AIJ

3s 3s 10min 10 min

b ! b ! b ! b !

A 0.66 0.20 0.76 0.14 0.55 0.29 0.39 0.35

B 0.85 0.14 0.91 0.10 0.77 0.21 0.58 0.27

C 1.00 0.11 1.04 0.07 1.00 0.16 0.79 0.20

D 1.09 0.09 1.18 0.04 1.17 0.12 1.00 0.15

E 1.23 0.10

ASCE -7 AS1170.2 NBC

1h 1h 1h

b ! b ! b !

A 0.30 0.33 0.29 0.28 0.43 0.36

B 0.45 0.25 0.45 0.20 0.67 0.25

C 0.65 0.15 0.58 0.16 1.00 0.14

D 0.80 0.11 0.69 0.13

E

Tabela 7-3 – Coeficientes de definição dos perfis de vento segundo os vários regulamentos “padronizados”



É usual recorrer-se à relação adimensional ��(�) , 0�(�)/0ß '� para caracterizar a variação média da velocidade. No entanto, como já foi feita a observação, nem todos os regulamentos utilizam as rajadas medidas em 3s. De acordo com (Zhou, Kijewski, & Kareem, Along-Wind Load Effects on Tall Buildings: Comparative Study of Major International Codes and Standards, 2002), recorre-se neste estudo a uma transformação (citar fórmula/apresentar fórmula) para uma rajada de 3s.

Considerando esta transformação, é possível desenhar as curvas que representam este coeficiente adimensional de acordo com o conjunto de gráficos Figura 7-4 (a).

Figura 7-4 – Comparação das funções velocidade normalizada (a), intensidade da turbulência (b) e densidade espectral (c) nos vários regulamentos – ASCE, AS1170, NBC, AIJ, EC1.

7.5.3 Intensidade da turbulência

O comportamento da intensidade da turbulência é também descrito por uma função exponencial

O(�) , £. (�/10)p� (7.31)

Nesta expressão £ e x são também constantes que dependem da caracterização do terreno. Os valores que podem tomar de acordo com as classes de terreno definidas nos regulamentos são apresentados na tabela Tabela 7-4

ASCE -7 AS1170.2 EC1 RLB-AIJ NBC c D c D C d c d C d

A 0.450 0.167 0.453 0.300 0.621 0.360 0.402 0.400 0.434 0.290B 0.300 0.167 0.323 0.300 0.335 0.250 0.361 0.320 0.285 0.210C 0.200 0.167 0.259 0.300 0.200 0.140 0.259 0.250 0.189 0.160D 0.150 0.167 0.194 0.300 0.204 0.200 0.145 0.120E 0.162 0.150

Tabela 7-4 – Coeficientes para definição do perfil da intensidade de turbulência

A computação da função referida na expressão (7.31) conduz à Figura 7-4(b).



7.5.4 Função espectral do vento, Escalas de Comprimento de Turbulência e Correlação da estrutura do vento

A Tabela 7-5 resume as expressões definidas para a função espectral do vento adimensional, bem como a escala de comprimentos da turbulência.

Função espectral do vento Escala comp. da turbulência

ASCE 7 ��R(�)(R4 , 6.868e(1 - 10.302e)V/' , e , �. k6(�)0(�)

k6(�) , �(�/10)H � e I dependem do tipo de terreno

AS1170.2 ��R(�)(R4 , 4e6.667(2 - e4)V/� , e , ka�0�a ka , 1.00(�/10) .4V

NBC ��R(�)(R4 , 2e3(1 - e4)W/' , e , 1,20�0�a ka , 1200

RLB-AIJ ��R(�)(R4 , 4e(1 - 70.8e4)V/� , e , ka�0�a ka , 100(�/30) .V

EC1 ��R(�)(R4 , 6.868e(1 - 10.302e)V/' , e , �. k6(�)0�(�)

k6(�) , 300(�/300)H I depende do tipo de terreno

Tabela 7-5 – Funções de densidade espectral do vento de acordo com os vários regulamentos

De referir na formulação destas expressões que na definição das escalas de comprimentos da turbulência apenas para o código europeu e para o americano se têm uma dependência do terreno, introduzida pelo parâmetro I . De facto, nos restantes regulamentos este parâmetro não é utilizado, sendo que para o código Canadiano ka assume mesmo um comportamento constante em altura. A Figura 7-4 (c) ilustra os resultados aplicados na computação destas funções.

7.5.5 Quantificação da Acção de Rajada do Vento (GLF)

Os procedimentos para cálculo da acção do vento introduzindo a amplificação de rajada seguem o modelo referido no capítulo 4 de autoria de Davenport. Nos vários regulamentos a aplicação deste modelo difere na abordagem feita por cada um para a modelação do campo de velocidades do vento e das suas características e estrutura dinâmica. Esta abordagem está na origem das diferenças apresentadas nas expressões que conduzem ao cálculo do carregamento estático equivalente, de acordo com a Tabela 7-6. De notar que no código americano e europeu a reposta de fundo é baseada num modelo GLF de autoria de Kareem, no entanto, bastante semelhante à formulação de Davenport.



Tabela 7-6 – Definição do Factor de rajada –GLF- de acordo com os vários regulamentos



8 Exemplo de aplicação do Eurocódigo 1.4

Para resolução do problema seguinte foram considerados os seguintes pressupostos:

Características do edifício

• Forma geométrica da secção do edifício (secção constante) – � • Npisos – 60 pisos; • Altura – 200�; • Largura – 25�;• Massa modal – 0,74�¿K/�2; • Solução estrutural em betão armado formada por um núcleo central e colunas

periféricas com pouca contribuição para as acções horizontais; • Frequência de vibração fundamental – � , 46/200 , 0,23��

Características do Terreno

• Zona costeira;

Características do Vento

• Velocidade fundamental do vento – 26�/E; • Massa volúmica do ar – 1,25��/�'.

8.1 Caracterização do vento em escoamento livre

• Altura de cálculo - �� , 0,6× � , 120�

• Velocidade básica do vento - &- , £�q2 ∙ £��c�¥n ∙ &-, , 1,0 × 1,0 × 26,0 , 26,0�/E • Velocidade média do vento

&�(��) , £2(�) ∙ £ (�) ∙ &- , 0,19 ∙ 50,0030,05 : . 3 × ln 5 1200.003: × 1,0 × 26,0 , 42,99�/E

• Intensidade da turbulência

OR(��) , �8£¥(6)∙8n(6/6 ) ,1,01,0 ∙ �K(120/0.003) , 0,094



• Pressão dinâmica de pico

9(��) , g1 - 7 ∙ OR(�)h ∙ 12 '&�4 (��) , g1 - 7 ∙ 0,094h ∙ 12 ∙ 1,25 ∙ 42,994 , 1,92�Þ¦

• Comprimento de escala da turbulência

k(��) , 300 ∙ @ ��200B .�3� . V/�(6F) , 300 ∙ 5120200:

.�3� . V/�( , ') , 247,13�

8.2 Coeficiente de força

De acordo com o ponto 7.6, a resolução do coeficiente de força sem afectação da tridimensionalidade do edifício é feita pelo ábaco apresentado.

x� , 1 ⇒£, , 2,1

O factor de redução para cantos arredondados ψ2 para uma secção quadrada perfeita é igual à unidade, virtude da relação K/� se aproximar de zero.

O factor de fecho, ψλ, deve ser calculado de acordo com o ponto 7.13 do regulamento.

λ , min 51,4 ∙ �� ,70: , min51,4 ∙ 20025 ,70: , 11,20

Recorrendo agora ao ábaco que nos indica o factor de fecho em função do coeficiente de solidez e a esbelteza do edifício, obtém-se 0,72.

Assim vem para o coeficiente de força a seguinte expressão:

£ , £, ∙ ψ2 ∙ ψλ, 2,1 ∙ 1,0 ∙ 0,72 , 1,55



8.3 Factor estrutural – cscd

8.3.1 Factor de fundo – �4

�4 , 1 L1 - 0.9 ∙ 5� - ℎk(��): .�'M ,M 1 L1 - 0.9 ∙ 525 - 200247,13 : .�'M , 0,54M

8.3.2 Factor de Ressonância – �4

• Frequência adimensional

�v=��, K3,�> , K3,� ∙ k(��) &�(��); , 0,23 ∙ 247,13 42,99M , 1,32

• Densidade espectral normalizada

�v=��, K3,�> , 6.8 ∙ �v(�� , K3,�)(1 - 10.2 ∙ �v(�� , K3,�))V/' ,6.8 ∙ 1,32(1 - 10.2 ∙ 1,32)V/' , 0,10

• Funções de admitância aerodinâmica

η< , W.�<v(6=) ∙ �v=��, K3,�>=W.�∙4 4W3,3' ∙ 1,32 , 4,92

�<=η<> , 1η< −

12η<4 =1 − op4η�> , 0,18 η- , 4.6 ∙ 25247,13 ∙ 1,32 , 0,62

�-=η-> , 1η- −

12η-4 =1 − op4ηD> , 0,69 De notar que a correlação das pressões é maior na direcção horizontal do que na direcção vertical. A grande dimensão em altura do edifício leva a uma perda de correlação das suas pressões cuja quantificação é de grande importância para o seu correcto dimensionamento.

• Amortecimento global do edifício

Tabela F.2 - δ� , 0,10

δc , £ ∙ 'c ∙ � ∙ &�(��)2 ∙ K3 ∙ �� , 1,55 ∙ 1,25 ∙ 25 ∙ 42,992 ∙ 0,23 ∙ 138750 , 0,026



δ� , 0,00

• Factor de ressonância

�4 , J42 ∙ # ∙ �v=��, K3,�> ∙ RB=ηB> ∙ RC=ηC> , J42 ∙ 0,126 ∙ 0,10 ∙ 0,18 ∙ 0,69 , 0,52

8.4 Factor de pico

• Frequência cruzada

ν , maxOK3,�, �4�4 -�4 , 0.08P , maxO0,23, 0,520,54 - 0,52 , 0.08P , 0,16 • Factor de pico

� , maxL�2 ∙ ln(ν�) - 0.6�2 ∙ ln(ν�) ,3M , maxL�2 ∙ ln(0,16 ∙ 600) - 0.6�2 ∙ ln(0,16 ∙ 600) ,3M , 3,22

8.5 Máxima aceleração na direcção along-wind

• Massa generalizada do primeiro modo

�3,� , 138750��/�

O ponto B.3 fornece-nos um ábaco com algumas curvas simplificadas para N� válidas quando o £ (�) , 1.

N� 5�� , ": , N�(40000,1,5) , 1,62

Desta forma a expressão do desvio padrão da aceleração no ponto mais alto (� , �) resulta

(c,�(�) , £ ∙ ' ∙ � ∙ OR(��) ∙ &�4 (��)�3,� ∙ � ∙ N� ∙ Φ3,�(�)



(c,�(�) , 1,51 ∙ 1,25 ∙ 25 ∙ 0,094 ∙ 42,994138750 ∙ �0,52 ∙ 1,62 ∙ 1 , 0,0688�/E4

Considerando o factor de pico calculado atrás, obtém-se para a aceleração de pico o seguinte resultado.

¦�,�á� , � ∙ (c,� , 3,22 ∙ 0,0688 , 0,2218�E4 , 22,18£�E4 , 0,0226�

Como exemplo de aplicação na verificação da resposta do edifício em serviço, considere-se agora o seguinte ábaco ( (Bulletin D'Information N 209 - Vibration Problems in Structures).

A localização do edifício considerado apresenta uma resposta não só perceptível como também já perturbadora, com uma amplitude máxima de deslocamento no topo do edifício a rondar os 17cm (L/2353).

O correcto dimensionamento deste edifício obrigaria a uma optimização das suas propriedades físicas e geométricas procurando enquadrar o edifício numa zona mais inferior do ábaco.

Como exercício final propõe-se que o leitor calcule o deslocamento máximo do edifício através de um programa de cálculo de elementos finitos e compare com o resultado obtido no ábaco.


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