EXERCÍCIOS GERAIS DE GEOMETRIA “Peço perdão a todos aqueles que cruzei nos caminhos da vida e que, por causa da minha ignorância, não pude amar”

01 - (UNICAMP SP/2019) No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é a bissetriz do ângulo interno em A, e DBAD . O ângulo interno em A é igual a

a)60° b)70° c) 80° d) 90° 02 - (UECE/2019) No retângulo OYZW, E é um ponto do lado ZW equidistante de O e Z. Se a medida do ângulo WÔE é sete vezes a medida do ângulo ZÔY, então, a medida, em graus, do ângulo EÔZ é a) 20.b) 15.c) 10.d) 5. 03 - (FGV /2017) A figura ao lado mostra dois quadrados e um triângulo equilátero entre eles. Determine os ângulos internos do triângulo ABC.

04 - (UFU MG/2018) Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e pelas Avenidas A e B tem a forma de um trapézio ADD’A’, com AD = 90 m e A’D’ = 135 m, como mostra o esquema da figura abaixo.

Tal área foi dividida em terrenos ABB’A’, BCC’B’ e CDD’C’, todos na forma trapezoidal, com bases paralelas às avenidas tais que AB = 40 m, BC = 30 m e CD = 20 m. De acordo com essas informações, a diferença, em metros, A’B’ – C’D’ é igual a a) 20.b) 30.c) 15.d) 45. 05 - (UEFS BA/2018)

Os pontos D, E e F pertencem aos lados de um triângulo retângulo ABC, determinando o retângulo BFDE, com BF = 6 cm, conforme mostra a figura.

Dadas as medidas AB = 8 cm e BC = 10 cm, o comprimento do segmento BE é a) 2,4 cm.b) 2,7 cm.c) 3 cm.d) 3,2 cm.e) 3,5 cm. 06 - (Faculdade Cesgranrio RJ/2016) Aldo caminha em direção a um poste de 8 m de altura. No topo desse poste, há uma lâmpada acesa. Quando Aldo se encontra a 12 m de distância do poste, a luz incide sobre ele e forma no chão uma sombra de 4 m. Se Aldo continuar caminhando em direção ao poste, qual o tamanho, em metros, da sombra quando ele estiver a uma distância de 9 m do poste? a) 5b) 4c) 3d) 2e) 1 07 - (FUVEST SP/2015)

Na figura, na página de respostas, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado BC do triângulo ABC no

ponto D e tangencia a reta AB no ponto E. Os pontos A, D e O são colineares, AD = 2r e o ângulo é reto. Determine, em função de r,

a) a medida do lado AB do triângulo ABC;

b) a medida do segmento CO . 08 - (Mackenzie SP/2015)

Na figura acima, as circunferências 1 e 2 são tangentes no ponto C e tangentes à reta r nos pontos E e F , respectivamente. Os centros, O1 e O2, das circunferências pertencem à reta s. Sabe-se que r e s se interceptam no ponto A, formando um ângulo de 30º.

Se AE mede 32 cm, então os raios das circunferências 1 e 2 medem, respectivamente,

a) 3 cm e 15 cm b) 3 cm e 2 cm c)2 cm e 6 cm d)2 cm e 4 cme) 32 cm e 4 cm

09 - (UERJ/2015) As baterias B1 e B2 de dois aparelhos celulares apresentam em determinado instante, respectivamente, 100% e 90% da carga total. Considere as seguintes informações: • as baterias descarregam linearmente ao longo do tempo; • para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2 leva duas horas a mais do que B1; • no instante z, as duas baterias possuem o mesmo percentual de carga igual a 75%. Observe o gráfico:

O valor de t, em horas, equivale a: a) 1b) 2c) 3d) 4 10 - (FGV /2013) Quando duas resistências elétricas de valores R1e R2são dispostas em paralelo (figura abaixo), o valor da resistência

equivalente às duas primeiras é dado por 21

21

RR

RRR

.

A figura a seguir mostra duas semirretas AX e BY perpendiculares à reta r. Na primeira foi marcado o ponto A', de forma que AA' = R1, e na segunda foi marcado o ponto B', de forma que BB' = R2. As retas A'B e AB' cortaram-se em P e foi traçado o segmento PP' perpendicular a r.

Mostre que PP' é igual ao valor da resistência R. 11 - (FUVEST SP/2013)

Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.

a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B? 12 - (PUC RJ/2013) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo:

Assumindo 15 AB e 8 DG EF 12, GF DE , a altura do triângulo ABC é:

a)4

35b)

7

150 c)

7

90 d)

7

180 e)

5

28

13 - (ESPM SP/2019) Uma praça tem a forma de um quadrado de 200 m de lado. Partindo juntas de um mesmo canto P, duas amigas percorrem o perímetro da praça caminhando em sentidos opostos, com velocidades constantes. O primeiro encontro delas se dá em um ponto A e o segundo, em um ponto B. Se a medida do segmento PA é 250 m, então, o segmento PB mede: a)50 m b)100 m c)150 m d)200 m e)250 m 14 - (UNITAU SP/2018) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento, situada à margem de um rio de 400 m de largura (considerada constante), a um conjunto habitacional, situado na outra margem, através dos pontos USR, como mostra a figura. O custo da instalação da tubulação através do rio é de R$ 830,00 o metro, enquanto, em terra, custa R$ 400,00.

Se a distância do conjunto habitacional até o ponto S for igual a 1700 metros, pode-se afirmar, CORRETAMENTE, que o custo de instalação da rede de água potável será de a)R$ 1.611.000,00b) R$ 1.012.000,00 c)R$ 1.132.000,00 d)R$ 1.095.000,00 e)R$ 1.321.000,00 15 - (IBMEC SP Insper/2018) Uma empresa entrega gratuitamente seus produtos em endereços localizados até o raio de 18,5 km do seu depósito. Para distâncias que superam esse raio, a empresa nada cobra pelos primeiros 18,5 km e cobra R$ 25,00 por quilômetro que exceda os 18,5 km iniciais. Rodrigo fez uma compra nessa empresa e solicitou a entrega em local distante 12 km a leste e 16 km ao sul do depósito. Admitindo ser possível ir do depósito ao local de entrega da mercadoria em linha reta, o valor que Rodrigo terá que pagar pelo transporte da mercadoria que comprou é de a)R$ 27,00.b)R$ 38,50.c) R$ 35,00.d) R$ 39,00.e) R$ 37,50. 16 - (OBMEP/2017) No interior do quadrado ABCD de lado 9 cm, foram traçadas as semicircunferências de centros E, F e G, tangentes como indicado na figura. Qual é a medida de AG?

a)5

11cm b)

5

18cm c)

5

19cmd)

4

11cm e)

8

27cm

17 - (ENEM/2016) A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a Figura 2.

Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?

a)1b) 5

102 c)2

10 d)2 e) 10

18 - (IBMEC SP Insper/2015) Para decorar um prato circular, um artista pintou, em seu interior, quatro círculos cinza claros, de raios medindo 5 cm, e dois círculos cinza escuros. Na figura, que mostra o prato acabado, os pontos marcados indicam pontos de tangência entre círculos.

A medida, em centímetros, dos raios dos círculos cinza escuros é igual a a)10. b)9,5. c)9. d)8,5.e) 8. 19 - (UniRV GO/2015) Uma companhia de cabos de TV possui sua antena-mestra localizada no ponto A, na margem reta de um rio de 1 km de largura. Um cabo vai ser estendido de A ao ponto P, na margem oposta do rio, seguindo reto, ao longo da margem, à cidade T, situada a 3 km abaixo de A (figura). A instalação do cabo sob a água custa R$ 5,00 por metro e R$ 3,00 ao longo da margem. Seja x = |QP|, dado em km.

Considere as alternativas abaixo e assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas.

a) O custo de instalação do cabo sob a água é dado pela função 2x15)x(f .

b) O custo total de instalação do cabo é dado por uma função g(x) y que é decrescente para 3x0 .

c) Se não existisse diferença de preço, seria vantajoso fazer toda a instalação sob o rio. d) A quantidade, em metros de cabo gasto pela companhia na instalação, é máxima, se 0x . 20 - (UEFS BA/2018) Uma folha de papel retangular de área 32 cm2, colorida na frente e branca no verso, é dobrada ao longo de uma linha tracejada. Após essa dobra, a parte do verso da folha que fica visível tem a forma de um triângulo e a parte colorida que não ficou encoberta tem a forma de um pentágono, conforme mostra a figura.

Dado que o perímetro desse pentágono é 24 cm, a diferença entre o maior e o menor lado dessa folha de papel é a)2 cm.b) 3 cm.c) 4 cm.d) 5 cm.e) 6 cm.

21 - (PUCCampinas SP/2019) Em um teatro, os ângulos sob os quais os espectadores enxergam o palco dependem da localização de suas poltronas na plateia. No esquema, que representa uma vista superior do teatro, os espectadores das poltronas E5 e N12 enxergam o palco sob ângulos de medidas, em graus, iguais a e , respectivamente.

A poltrona E5 está localizada sobre o arco de circunferência A1. A poltrona N12, sobre o arco de circunferência A2, cujo centro pertence ao arco A1. Nessas condições, é necessariamente verdadeira a relação: a) º90 b) º180 c) d) º30 e) 2

22 - (UNEMAT MT/2018) Conforme ilustra a figura abaixo, os triângulos ABC e CDB estão inscritos em um círculo de diâmetro d.

Sabendo-se que o ângulo mede 50º e que a medida do segmento CD é igual ao diâmetro d do círculo, assinale a alternativa que corresponde à medida (em graus) do ângulo .

a) 25° b) 40° c) 50° d)90° e)100° 23 - (ENEM/2018) Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada. Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é a)30. b)40. c)45. d)60.e) 68. 24 - (ENEM/2018)

Os guindastes são fundamentais em canteiros de obras, no manejo de materiais pesados como vigas de aço. A figura ilustra uma sequência de estágios em que um guindaste iça uma viga de aço que se encontra inicialmente no solo.

Na figura, o ponto O representa a projeção ortogonal do cabo de aço sobre o plano do chão e este se mantém na vertical durante todo o movimento de içamento da viga, que se inicia no tempo t = 0 (estágio 1) e finaliza no tempo tf (estágio 3). Uma das extremidades da viga é içada verticalmente a partir do ponto O, enquanto que a outra extremidade desliza sobre o solo em direção ao ponto O. Considere que o cabo de aço utilizado pelo guindaste para içar a viga fique sempre na posição vertical. Na figura, o ponto M representa o ponto médio do segmento que representa a viga. O gráfico que descreve a distância do ponto M ao ponto O, em função do tempo, entre t = 0 e tf, é

a)

b)

c)

d)

e)

25 - (FGV /2016)

As cordas AB e CD de uma circunferência de centro O são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10

lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas AD e BC se intersectam no ponto P, conforme indica a figura a seguir.

A medida do ângulo DPB , indicado na figura por , é igual a a)120°.b)124°.c) 128°. d)130°. e)132°. 26 - (FGV /2014)

Os pontos P e Q estão em uma semicircunferência de centro C e diâmetro AB , formando com A o triângulo APQ, conforme indica a figura.

Sabendo-se que PQ é paralelo a AB , e que AB = 3PQ = 6 cm, então, sen é igual a

a)2

1 b)

3

1 c)

4

1 d)

5

1e)

6

1

27 - (IFGO/2014) Na figura a seguir, tem-se uma circunferência inscrita no triângulo ABC:

Sendo cm15AB , cm16AC e cm17BC , é correto afirmar que BE mede, em cm: a)6 b)9,5 c)9 d)8 e)7 28 - (ESPM RS/2012) Para um evento cultural, a prefeitura de uma cidade utilizou uma praça circular de 60m de diâmetro onde foi montado um palco de 30m de comprimento, conforme mostra o esquema abaixo. O ponto A está situado a 15m do palco, o ponto B é um ponto da circunferência da praça e o ponto C é o centro da mesma.

Pessoas situadas nos pontos A, B e C enxergam todo o palco sob ângulos respectivamente iguais a a)60º, 30º e 45º b)90º, 30º e 60º c)90º, 45º e 60º d)120º, 60º e 90º e)120º, 30º e 60º 29 - (PUC GO/2016) Um acendedor de lampiões percebeu que a luz de um lampião sobre um poste de altura “x” projetava uma sombra de 80 centímetros de um objeto fixo distante do poste 5 metros. Mudando a posição do lampião no poste, ele constatou que a sombra do mesmo objeto era de 2 metros. Nessas condições, em que altura do poste ele deve ter colocado o lampião no segundo momento? Assinale a única alternativa correta: a)(14/25)x. b)(14/27)x.c) (14/29)x.d) (14/31)x. 30 - (PUC GO/2017) O ângulo menor formado pelos ponteiros de um relógio, objeto mencionado no texto, às 2 horas e 33 minutos é (assinale a resposta correta): a)121º 20’.b) 121º 30’.c) 121º 40’.d) 121º 50’. “A vida é um eco, se não estamos gostando do que estamos recebendo, talvez devamos observar o que estamos emitindo”

GABARITO: 1) Gab: C2) Gab: C3) Gab:

Como BDA = 90º então DÂB = ABD = 45º.Como CDB = 90º + 60º = 150º então CBD = BCD = 15º.Como o CDA =120º

então DÂC = ACD =30ºAssim, os ângulos do triângulo ABC são, Â = 75º, B = 60º e C = 45º.

4) Gab: B5) Gab: D6) Gab: C7) Gab: a) r2

23 b) 3r 8) Gab: C9) Gab: D10) Gab:

Sejam AP' = a e P'B = b .

Da semelhança entre os triângulos AP'P e ABB' tem-se: ba

a

R

'PP

2 .

Da semelhança entre os triângulos BP'P e BAA' tem-se: ba

a

R

'PP

1 .

Somando membro a membro essas relações tem-se:

11) Gab: a) 60 m

b) t 632,4 s 12) Gab: D13) Gab: B14) Gab: D15) Gab: E16) Gab: E Inicialmente definimos as variáveis AG = x e DF = y, que são os raios dos semicírculos com centros em G e F, respectivamente. O raio do semicírculo com centro em E é igual a 9/2. Como ele é tangente ao semicírculo com centro em F, EF é igual a (9/2) + y. Como CE = 9/2 e CF = 9 – y, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo CEF, temos: ((9/2) + y)2 = (9/2)2 + (9 – y)2

(81/4) + 9y + y2 = (81/4) + 81 – 18y + y2 y = 3.

Como os semicírculos com centros em F e G são tangentes, FG = x + y = x + 3. Além disso, DG = 9 – x e DF = 3.Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo DFG, temos: (3 + x)2 = 32 + (9 – x)2

9 + 6x + x2 = 9 + 81 – 18x + x2 x = AG = 27/8.17) Gab: E18) Gab: E19) Gab: FFVV20) Gab:

C21) Gab: E22) Gab: B23) Gab: B24) Gab: A25) Gab: E 26) Gab: B27) Gab: D28) Gab: B29) Gab: C30) Gab: B