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PRÓ-REITORIA DE PÓSÁREA DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS
CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE F ÍSICA E DE
ADRIANA WACHTMANN BORGES FORTES
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
ANÁLISE
REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO
ÁREA DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE F ÍSICA E DE
MATEMÁTICA
ADRIANA WACHTMANN BORGES FORTES
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO: U
ANÁLISE DE ERROS NO ENSINO MÉDIO
Santa Maria, janeiro de 2012
GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO
CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE F ÍSICA E DE
ADRIANA WACHTMANN BORGES FORTES
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO: U MA
1
ADRIANA WACHTMANN BORGES FORTES
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO: UMA
ANÁLISE DE ERROS NO ENSINO MÉDIO
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática.
Orientadora: Profª Dra. Helena Noronha Cury
Santa Maria, janeiro de 2012
2
3
Dedicatória
Ao meu pai Herberto Wachtmann (in memoriam)
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por providenciar todas as coisas para eu realizar este sonho e colocar
no meu caminho pessoas maravilhosas que me acompanham nesta jornada. A Ele toda honra e
toda glória.
Aos meus alunos, que aceitaram fazer parte desta jornada.
Aos meus colegas de trabalho, em especial à diretora Marlei Stein, por sempre estar ao
meu lado.
À minha orientadora, Helena Cury, pela sua compreensão e pelas contribuições
valiosas para a conclusão deste trabalho.
Ao corpo docente do Mestrado profissionalizante em Ensino de Física e de
Matemática da UNIFRA-SM. Todos, de alguma maneira contribuíram para o meu trabalho de
pesquisa.
Aos meus familiares (mãe, irmã e sobrinho) por serem pacientes em esperar que eu
tivesse tempo para atendê-los. À Juliane, que sempre me ajudou com palavras de incentivo e
demonstrou disponibilidade para tudo que precisei.
Ao meu pai, (in memoriam), que esteve e estará sempre comigo; a ele o fato de ter
chegado até aqui.
Ao meu esposo Daniel, pela cumplicidade e pelo carinho. Por se fazer presente nos
momentos mais difíceis dessa jornada. A você, todo amor e respeito.
À minha filha Eduarda, que como um anjo veio iluminar nossas vidas e preenchê-las
ainda mais de amor. Ainda no ventre, já fez parte dessa caminhada de luta para realização de
um sonho.
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RESUMO
Esta pesquisa teve como objetivo analisar os erros cometidos pelos alunos do Ensino Médio
na resolução de problemas que envolvem razões trigonométricas no triângulo retângulo e
planejar atividades para remediá-los. Também procuramos coletar as opiniões de professores
sobre tais erros, por meio de um questionário a eles aplicado. A investigação realizou-se com
estudantes do 2o ano do Ensino Médio de uma escola pública, no município de Quevedos, RS.
Os erros cometidos pelos alunos nas respostas a um teste foram categorizados separadamente
para cada questão. Participaram desta pesquisa 11 professores de escolas públicas e 58 alunos
de Ensino Médio. Trinta e três desses alunos responderam às questões e, posteriormente, 25
realizaram algumas atividades sobre Trigonometria, com intuito de verificar se esses
estudantes também tinham dificuldade para resolver tais questões. Na etapa final da pesquisa,
também participaram 12 alunos da Educação de Jovens e Adultos (EJA) que testaram as
atividades que foram propostas como produto final desta dissertação. Pelo número de
ocorrências em cada classe de erros, notou-se que os alunos têm muitas dificuldades
relacionadas à identificação da nomenclatura dos lados de um triângulo retângulo e ao
conhecimento das relações trigonométricas nele definidas. Os professores que responderam à
pesquisa consideraram, em geral, que as dificuldades são relacionadas à falta de atenção e de
conhecimentos pré-requisitos. Todos os professores trabalham em escolas públicas de
Quevedos, bem como no município vizinho, Santa Maria, RS. A partir das opiniões e
sugestões apresentadas pelos docentes, foi elaborada uma Webquest como produto final desta
pesquisa, com uma sequência de atividades que visam superar as dificuldades apresentadas
pelos estudantes.
Palavras-chave: Análise de erros. Trigonometria. Webquest.
6
ABSTRACT
This research aimed to analyze errors made by high school students to solve problems
involving trigonometric reasons in the rectangle triangle and plan activities to remediate them.
We also seek to collect the opinions of teachers about such errors, through a questionnaire
applied to them. The investigation was carried out with students from second year of high
school in the city of Quevedos, RS. The errors made by the students in response to a test were
categorized separately for each question. We analyzed 11 public school teachers and 58 high
school students. Thirty-three students answered these questions and, further, 25 other students
made some activities on Trigonometry, in order to verify if these students also had difficulties
in solving such issues. In the final stage of this research participated 12 students of the Youth
and Adults Education (EJA) who tested the activities that had been proposed as final product
of this dissertation. By the number of occurrences in each class of errors, it was noted that the
students have many difficulties related to the identification of the names of the sides of a
triangle and to the knowledge of trigonometric relationships defined therein. Teachers who
responded to the survey have generally considered that the difficulties of the students are
related to the lack of attention and knowledge prerequisites. All the teachers work in public
schools in Quevedos as well in the neighboring city, Santa Maria, RS. Based on the opinions
and suggestions made by the teachers, we created a Webquest as final product of this
research, with a sequence of activities that aim to overcome the difficulties presented by the
students.
Keywords: Error analysis. Trigonometry. Webquest.
7
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 08
2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 11
2.1 INSTRUMENTOS DE PESQUISA 12
2.2 PARTICIPANTES DA PESQUISA 13
2.3 ANÁLISE DOS DADOS 14
3 REVISÃO DE LITERATURA 15
3.1 HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA 15
3.2 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, LIVROS DIDÁTICOS E
A TRIGONOMETRIA
19
3.2.1 Análise de Livros Didáticos para Ensino Médio 21
3.3 OS ERROS E SUA ANÁLISE 22
3.4 REVISÃO DE TRABALHOS SOBRE ANÁLISE DE ERROS 25
3.5 O USO DE WEBQUESTS NO ENSINO DE MATEMÁTICA 27
4 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS RESPOSTAS AO TESTE 38
4.1 QUESTÃO 1 39
4.2 QUESTÃO 3 41
4.3 QUESTÃO 4 43
5 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS COM OS ESTUDANTES 47
6 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS RESPOSTAS DOS PROFESSORES
AO QUESTIONÁRIO
51
7 A ELABORAÇÃO DA WEBQUEST 66
7.1 A INTRODUÇÃO 67
7.2 O PROCESSO 67
7.3 TAREFAS 68
7.4 A AVALIAÇÃO 79
7.5 A CONCLUSÃO 80
7.6 RECURSOS 80
7.7 A TESTAGEM DA WEBQUEST 81
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS 84
REFERÊNCIAS 86
APÊNDICES 89
ANEXO 95
8
1 INTRODUÇÃO
Durante minha1 prática educativa no Ensino Médio, um dos fatos que me despertou a
curiosidade foi a falta de interesse e, como consequência, a grande incidência de erros que os
alunos do 2º ano do Ensino Médio apresentam para utilizar as relações trigonométricas como
ferramenta para resolução de problemas que envolvem o triângulo retângulo.
A Trigonometria no Ensino Médio, em geral, é vista pelos alunos como um conteúdo
“chato” e dificuldades relacionadas ao assunto estão entre as responsáveis pelo grande
número de reprovações e também pela desmotivação dos alunos. Mas o que torna esse
conteúdo tão difícil? Por que os alunos cometem tantos erros?
As inquietações apresentadas anteriormente levaram-me a pesquisar sobre algo que há
muito tempo me faz refletir. Ao tentar contextualizar o assunto por meio de problemas,
utilizando como ferramenta as relações trigonométricas, muitos alunos não compreendem o
que fazer ou ainda não esboçam tentativas de resolução. Considero que uma possibilidade
para tentar encontrar algumas respostas às minhas inquietações pode se dar através de uma
análise detalhada sobre os erros mais cometidos pelos alunos e suas possíveis causas, para
desta forma utilizar metodologias que auxiliem esses estudantes a superar suas dificuldades.
Concordo com Cury (2007) quando diz:
[...] quem garante que os acertos mostram o que o aluno sabe? E quem diz que os erros evidenciam somente o que ele não sabe? Qualquer produção, seja aquela que apenas repete uma situação- modelo, seja a que indica a criatividade do estudante , tem características que permitem detectar as maneiras de como o aluno pensa e, mesmo, que influências ele traz de sua aprendizagem anterior, formal ou informal. Assim analisar as produções é uma atividade que traz, para o professor e para os alunos, a possibilidade de entender, mais de perto, como se dá a apropriação do saber pelos estudantes.(p.13)
Muitas vezes, questionamos os alunos sobre como e quais estratégias foram utilizadas
para resolver um determinado exercício, na tentativa de fazer com que eles entendam seus
erros e tentem corrigi-los. Entretanto, muitos estudantes não sabem encontrar os seus erros, o
que necessitaria ser discutido ou retrabalhado pelo professor, para auxiliá-los na superação de
tais dificuldades.
Frequentemente, tentamos forçar nossos alunos a fazer conexões com o conhecimento
do dia a dia, no entanto esse processo é muito difícil e, na maioria das vezes, por não
conseguir estabelecê-lo, o aluno perde o interesse em aprender. Existe uma grande lacuna
1 Na Introdução e nas Considerações Finais, emprego a primeira pessoa do singular; nos demais capítulos, é usada uma forma impessoal para a escrita.
9
entre o conhecimento formal (livros didáticos, revistas, etc.) e o conhecimento pessoal e de
vida dos alunos.
A matriz de referência que norteia as provas de Matemática do Sistema de Avaliação
da Educação Básica (SAEB) e da Prova Brasil indica que o conhecimento matemático ganha
significado quando os alunos têm situações desafiadoras e podem desenvolver estratégias de
resolução. A matriz de referência de Matemática para 3º série do Ensino Médio apresenta,
como um de seus descritores no tema Espaço e Forma, “Resolver problema que envolva
razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, co-seno, tangente)”. (BRASIL, 2005)
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1999, p. 257),
“Especialmente para o indivíduo que não prosseguirá seus estudos nas carreiras ditas exatas, o
que deve ser assegurado são as aplicações da Trigonometria na resolução de problemas que
envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis”. Assim essa pesquisa se
justifica pela necessidade de contemplar nossos referenciais curriculares para o Ensino Médio,
bem como na busca por ações que proporcionem aos alunos uma apropriação do
conhecimento sobre Trigonometria. Para isso, a análise de erros surge como uma metodologia
de pesquisa que poderá gerar reflexões sobre o processo de ensino e aprendizagem.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) ressaltam a importância do ensino como
algo que vai além da simples descrição e que deveria constituir nos alunos a capacidade de
analisar, explicar, prever e intervir. Com isso, percebe-se a necessidade de proporcionar ao
aluno o desenvolvimento de capacidades e habilidades, determinando uma formação geral, em
detrimento de, apenas, uma formação específica.
Portanto, se ensinar é desenvolver competências e o foco deve ser a aprendizagem,
voltemo-nos ao ensino da Matemática e da Trigonometria em especial. O que se espera em
relação ao ensino da Trigonometria?
De acordo com as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais (BRASIL, 2000, p.122),
O que deve ser assegurado são as aplicações da Trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Dessa forma, o estudo deve se ater às funções seno, cosseno e tangente com ênfase ao seu estudo na primeira volta do círculo trigonométrico e à perspectiva histórica das aplicações das relações trigonométricas. Outro aspecto importante do estudo deste tema é o fato deste conhecimento ter sido responsável pelo avanço tecnológico em diferentes épocas, como é o caso do período das navegações ou, atualmente, na Agrimensura, o que permite aos alunos perceberem o conhecimento matemático como forma de resolver problemas que os homens se propuseram e continuam se propondo.
Observando as considerações que aparecem nos PCN, percebemos que, para o ensino
da Trigonometria, não há busca de uma formação academicista ou enciclopedista. Percebe-se
10
que o desenvolvimento de habilidades e competências está incluso no verdadeiro papel da
educação, provocando um aumento da reflexão sobre novas propostas pedagógicas. Em
muitos casos, como, por exemplo, no uso de novas tecnologias, essas propostas ainda não são
realidade e o uso do livro didático é a única ferramenta de que dispõem alguns professores
para o ensino de Matemática.
Essas considerações, que desencadearam a presente pesquisa, levaram ao
planejamento das atividades que foram desenvolvidas, às formas de analisar os resultados
apresentados pelos alunos e à proposta do uso de uma Webquest para auxiliar alunos e
professores a trabalhar com Trigonometria.
Nesta dissertação, o capítulo 2 apresenta os procedimentos metodológicos empregados
na pesquisa e o capítulo 3 traz a revisão de literatura sobre os tópicos que vão ser utilizados
no planejamento e realização da investigação.
No capítulo 4, são apresentadas e analisadas as respostas ao teste e, no capítulo 5, as
atividades desenvolvidas com os estudantes. Já o capítulo 6 apresenta e analisa as respostas
dos professores ao questionário.
No capítulo 7 é apresentada a Webquest construída e, a seguir, no capítulo 8, são feitas
algumas considerações finais.
Ainda são apresentadas, nesta dissertação, as referências, os apêndices e o anexo.
11
2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Esta pesquisa tem aspectos quantitativos e qualitativos, buscando, a partir da análise
de erros, entender o processo de aprendizagem dos alunos ao resolver problemas que
envolvem as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Para Alves-Mazzotti (1999,
p.151):
[...] nossa experiência indica que a maior parte da pesquisas qualitativas se propõe a preencher lacunas no conhecimento, sendo poucas as que se originam no plano teórico, daí serem definidas como descritivas ou exploratórias. Essas lacunas geralmente se referem à compreensão de processos que ocorrem em uma dada instituição, grupo ou comunidade.
Os dados desta pesquisa foram coletados por meio de testes contendo problemas que
utilizam as relações trigonométricas no triângulo retângulo, no 2º ano do Ensino Médio, como
também pela aplicação de questionários para professores da escola envolvida na investigação
e em outras escolas vizinhas. Os questionários destinados aos professores foram aplicados
para docentes que lecionam a disciplina de Matemática tanto no Ensino Fundamental quanto
no Ensino Médio.
Fiorentini e Lorenzato (2006, p.106) consideram a pesquisa de campo como uma
investigação na qual a coleta de dados é realizada diretamente no local em que o problema ou
fenômeno acontece e pode se dar por amostragem, entrevista, observação participante,
pesquisa-ação, aplicação de questionário, teste, entre outros instrumentos.
Portanto, esta pesquisa também pode ser considerada como pesquisa de campo, por
ocorrer no local onde o fenômeno acontece, ou seja, na escola em que a pesquisa é elaborada
e, mais especificamente, a análise de erros é realizada com os alunos, em sala de aula.
A pesquisa desenvolvida parte do seguinte problema: quais são as dificuldades
apresentadas pelos alunos do 2º ano do Ensino Médio para resolver problemas que envolvem
razões trigonométricas no triângulo retângulo?
Esse problema foi explicitado por meio das seguintes questões de pesquisa:
1) Quais são os conhecimentos prévios de Trigonometria que os alunos do Ensino Médio
utilizam?
2) Quais são os erros mais frequentes durante a resolução de problemas que envolvem razões
trigonométricas no triângulo retângulo?
3) Que estratégias de ensino podem ser realizadas com vistas a facilitar a resolução de
problemas que envolvem razões trigonométricas no triângulo retângulo?
Para responder às questões, a pesquisa foi desenvolvida com os seguintes objetivos:
12
Objetivo Geral: Analisar os erros cometidos pelos alunos do Ensino Médio na resolução de
problemas que envolvem razões trigonométricas no triângulo retângulo e planejar atividades
para remediá-los.
Objetivos Específicos:
1) Descrever e classificar os erros cometidos durante a utilização de razões trigonométricas
para resolver problemas no triângulo retângulo, no Ensino Médio.
2) Avaliar a opinião de professores sobre os erros cometidos pelos alunos.
3) Criar atividades que auxiliem os alunos na compreensão de conceitos básicos de
Trigonometria e na resolução de problemas que envolvem razões trigonométricas no triângulo
retângulo
2.1 INSTRUMENTOS DE PESQUISA
Para a realização desta pesquisa foram utilizados os seguintes Instrumentos: testes
com questões sobre Trigonometria (Apêndice A), observações de sala de aula durante a
aplicações de atividades e questionário com questões abertas para professores (Apêndice B).
Para elaborar esses instrumentos de pesquisa, foram realizadas consultas em coleções
matemáticas tanto de Ensino Fundamental quanto de Ensino Médio, portanto nas questões dos
testes aplicados para análise dos erros existem questões de Trigonometria de nível
fundamental e Médio. A aplicação do primeiro teste serviu como base para análise e
categorização de erros; em discussão com a orientadora, surgiu a idéia da elaboração de novas
atividades com questões abertas que foram aplicadas para outra turma de 25 alunos do 20 ano
do Ensino Médio, da mesma escola. Nesse segundo instrumento, as questões foram retiradas
de um polígrafo encontrado na biblioteca da escola e cujos conteúdos e questões eram um
apanhado geral de vários livros didáticos, como, por exemplo, as que foram adaptadas do
livro “Matemática: Contexto e Aplicações”, de Luiz Roberto Dante (2004). Nessas atividades os
erros não foram catalogados em classes como no teste anterior, entretanto, foram transcritos os
comentários mais relevantes realizados pelos alunos durante o trabalho.
A tarefa de entender como o aluno pensou ao resolver as questões foi bastante difícil, uma
vez que se procurava entender a resolução a partir do que era esperado como resposta certa. Dessa
forma, é importante destacar que, nessa análise, em que os alunos não foram entrevistados, o olhar
sobre as respostas tem sempre a visão da professora/pesquisadora, ou seja, baseia-se num
conjunto de procedimentos para solucionar a questão. Lüdke e André (1986, p.48 ) afirmam que
se faz necessário que uma análise não se restrinja ao que está explícito no material, mas procure ir
13
mais a fundo, desvelando mensagens implícitas, dimensões contraditórias e temas que pudessem
estar sistematicamente “silenciados”.
Em nenhum momento, antes da realização dessa pesquisa, havíamos refletido sobre quais
os erros que os alunos mais cometiam quando iniciavam o conteúdo de Trigonometria no Ensino
Médio. A preocupação maior sempre foi com o fato de poder não estar ensinando com clareza,
uma vez que, ao verificar a aprendizagem dos alunos em qualquer tipo de avaliação, os resultados
eram quase sempre insatisfatórios.
O questionário aberto, para os professores, foi elaborado após a classificação dos dados,
em que foram analisados os tipos de erros que apareceram em maior quantidade. No corpo desse
instrumento, o professor tinha à sua disposição as quantidades e os tipos de erros, com exemplos
encontrados, em que era instigado, por meio de perguntas abertas, a escrever sua opinião frente à
situação. Foram adotados alguns cuidados básicos para a aplicação do questionário aos
professores de Matemática; foram esclarecidos o objetivo e a natureza dessa pesquisa e também a
razão pela qual ele foi escolhido para realizá-la. Foi-lhes assegurado que as suas opiniões fariam
parte do trabalho científico, garantindo-lhes a transcrição fiel das idéias, bem como a não-
identificação das suas identidades e do local em que trabalham. Os professores ficaram livres para
escolher o local em que desejariam realizá-las, que poderia ser no ambiente de trabalho ou em
casa. Houve a possibilidade de ser enviada por email ou entregue em mãos.
2.2 PARTICIPANTES DA PESQUISA
Participaram da pesquisa 70 alunos, sendo 58 alunos do 2º ano do Ensino Médio (uma
turma com 33 alunos outra com 25 alunos) de uma escola da rede Estadual no município de
Quevedos, no Rio Grande do Sul. Participaram também 12 alunos da Educação de Jovens e
Adultos (EJA) e 11 professores de Matemática, tanto da referida escola quanto de outras
escolas situadas na mesma região.
A escola em questão é a única de Educação Básica do referido município e localiza-se
na sua região central. Seu funcionamento se dá em três turnos (Ensino Médio pela manhã,
Ensino Fundamental à tarde e Educação de Jovens e Adultos à noite), perfazendo um total de
300 alunos, que em sua maioria são oriundos de comunidades rurais no interior do município.
A maioria dos alunos conclui o Ensino Fundamental em escolas menores espalhadas nessas
comunidades do interior do município no qual residem, sendo que, para continuar os estudos e
frequentar o Ensino Médio, precisam deslocar-se até essa escola de Educação Básica. O
transporte escolar, realizado em parceria com a Prefeitura Municipal de Quevedos, efetiva o
transporte desses alunos, trafegando em todas as comunidades rurais, sendo que muitos
14
estudantes chegam a embarcar no transporte cerca de duas horas e meia antes do seu turno de
aula na escola, devido à dificuldade de acesso e má conservação das estradas. Como grande
parte dos alunos vive no meio rural, em turno inverso ao turno de aula eles ajudam suas
famílias nas atividades rurais, entre as quais estão incluídos os afazeres referentes à plantação
de fumo ou soja, que é a base econômica daquele município.
De maneira geral, não são constatados na escola problemas recorrentes em escolas
situadas nas cidades maiores, como uso de drogas, violência doméstica, etc. Existem casos de
indisciplina que, no entanto, não chegam a provocar problemas no desenvolvimento das aulas
ou funcionamento das atividades da escola.
O corpo docente da escola é constituído por um total de 25 professores, que em sua
maioria, residem nos municípios vizinhos a Quevedos, como, por exemplo, Santa Maria, São
Pedro do Sul, Júlio de Castilhos, etc, permanecendo na escola apenas em seus dias de
trabalho. Os professores que lecionam as disciplinas de Química, Física, Matemática e
Biologia no Ensino Médio são todos contratados, sendo apenas duas as professoras que
lecionam a disciplina de Matemática, uma delas a professora/pesquisadora. Portanto, para
realização desta pesquisa, foi solicitado que outros professores, que atualmente lecionam em
cidades vizinhas àquele município, também respondessem ao questionário, de modo que se
tornasse possível uma coleta maior de dados.
2.3 ANÁLISE DOS DADOS
Para analisar os erros cometidos pelos alunos no teste, foi empregada a metodologia de
análise do conteúdo dos erros, descrita no item 3.4. A análise dos erros deu subsídios para a
elaboração das atividades que foram aplicadas aos alunos após a realização do teste.
Para analisar as respostas dos professores ao questionário, os dados quantitativos
foram apresentados em quadros, tabelas e gráficos e as respostas às questões abertas foram
reproduzidas na íntegra. Com isso, foi possível fazer uma análise interpretativa das opiniões
desses professores sobre as questões propostas.
A observação do trabalho desenvolvido pelos alunos, no teste e na realização das
atividades, bem como as respostas dos professores ao questionário, permitiram elaboração de
sugestões de novas atividades, por meio de uma Webquest, que se configura como o produto
desta dissertação.
15
3 REVISÃO DE LITERATURA
3.1 HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA
Uma definição bastante interessante para a palavra Trigonometria é encontrada no
microdicionário específico de Matemática, no qual Imenes e Lellis (1998) relacionam essa
palavra com sua gênese, ou seja:
Palavra que vem de trigono (triângulo) e metria (medida). É um ramo da Geometria no qual se estudam métodos para calcular medidas de lados ou Ângulos de um triângulo, a partir de algumas informações sobre esse triângulo. As razões trigonométricas são a base desses cálculos, etc. (p. 316).
Observando a definição citada acima, é possível fazer a seguinte pergunta: Quando ou
como surgiu o interesse do homem em realizar cálculos para encontrar lados ou ângulos de
um triângulo?
A necessidade de relacionar medidas de distância com ângulos levou diferentes povos,
como babilônios, gregos, árabes e hindus, a descobrirem a Trigonometria. Dificuldades nas
áreas da astronomia e agricultura levaram os babilônios antigos (4000 – 3000 a.C) a utilizar a
noção de ângulo. (MENDES, 2009).
Os triângulos retângulos são essenciais para o estudo da Trigonometria. Remetem à
Pitágoras e seu famoso teorema. Acredita-se que Pitágoras adquiriu seus conhecimentos com
os agricultores egípcios, chamados de esticadores de cordas, pois assim demarcavam as
margens do rio Nilo. (MENDES, 2009).
De acordo com Boyer (1996, p.108), temos que:
A trigonometria, como os outros ramos da matemática, não foi obra de um só homem- ou nação. Teoremas sobre as razões entre lados de triângulos semelhantes tinham sido usados pelos antigos egípcios e babilônios. Dada a falta, no período pré- helênico, do conceito de medida de ângulo, um tal estudo seria melhor chamado “trilaterometria”, ou medida de polígonos de três lados (triláteros), do que “Trigonometria”, a medida das partes de um triângulo . Com os gregos pela primeira vez encontramos um estudo sistemático de relações entre ângulos (ou arcos) num círculo e os comprimentos de cordas que se subtendem. As propriedades das cordas , como medidas de ângulos centrais ou inscritos em círculos, eram conhecidas eram conhecidas dos gregos do tempo Hipócrates, e é provável que Eudosco tenha usado razões e medidas de ângulos para determinar o tamanho da terra e as distâncias relativas do sol e da lua.
Observamos então, que os primeiros vestígios da Trigonometria surgiram não só no
Egito como também na Babilônia, uma vez que esses povos se interessavam pelas questões
relacionadas com Astronomia, devido às questões religiosas e também pela ligação com as
colheitas e épocas para o plantio.
16
A divisão do círculo em 360º, por exemplo, teve origem na Babilônia, onde se
convencionou dividir um círculo em seis partes iguais, em que cada uma equivalia a 60.
Assim, o círculo passava a ter 360°, que também designava o número de dias do ano segundo
o seu calendário. Essa informação se difundiu por conta das relações comerciais entre gregos,
árabes e hindus, até tornar-se conhecida por toda a Europa e tomar a forma dos dias atuais.
(MENDES, 2009).
Em 2000 a.C, os egípcios já tinham conhecimentos sobre o triângulo retângulo.
Babilônios e egípcios sabiam vários teoremas sobre razões entre lados de triângulos
semelhantes, porém não dominavam a teoria matemática. Foram os gregos que iniciaram os
estudos de sistematização teóricos, formando as bases de conhecimentos da Trigonometria. O
filósofo grego Tales de Mileto (640 – 549 a.C) demonstrou que entre os lados
correspondentes de dois triângulos semelhantes sempre haverá a mesma relação, independente
do comprimento desses lados. (MENDES, 2009).
Pela determinação da razão de semelhança entre triângulos retângulos, Tales efetivou
a medição da altura de objetos por meio de sua sombra. Por volta de 600 a.C., Tales estava no
Egito e foi chamado pelo Faraó para calcular a altura de uma pirâmide. Com uma vara fincada
no solo, esperou o momento solar em que o comprimento da sombra da vara no chão medisse
a sua altura. Então, pediu que medissem imediatamente a sombra da pirâmide. Ao
comprimento da sombra, foi somada metade da medida da base da pirâmide, pois sendo muito
grande, escondia parte da sombra. Assim, Tales demonstrou que a altura da pirâmide é igual a
sua sombra mais a metade da base. (MENDES, 2009).
No ano de 332 a.C., o Egito se submeteu a Alexandre, o Grande. Em sua homenagem,
fundou-se a cidade de Alexandria, polo cultural da Antiguidade e importante marco para a
história da Trigonometria. Lá viveram Aristarco de Samos (310 – 250 a.C.) e Hiparco de
Nicéia (275 – 194 a.C). Aristarco fez a primeira estimativa das distâncias relativas do sol e da
lua em relação à Terra. Hiparco fez a estimativa da circunferência da Terra e construiu a
primeira tábua trigonométrica e a usou para calcular a distância da Terra à Lua. (HOGBEN,
1958).
Os precursores da construção de tábuas de Trigonometria, com valores que
correspondem ao seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo ou arco de
circunferência, foram os babilônicos. As tábuas contribuíram para a apresentação dos
elementos básicos da determinação das razões trigonométricas, a partir de triângulos
retângulos determinados pelas cordas da circunferência. (MENDES, 2009).
17
Durante muito tempo, os gregos estudaram as relações entre retas e círculos para
serem posteriormente aplicados em problemas de Astronomia. No segundo século a.C, a
primeira tabela trigonométrica foi criada por meio da reunião de vários textos pelo astrônomo
Hiparco de Nicéia, que ganhou então o direito de ser conhecido como “pai da Trigonometria”.
Boyer (1996, p.110) afirma que:
[...] Aristarco sabia que num dado círculo a razão do arco para a corda diminui quando o arco diminui de 180º para 0º, aproximando-se do limite 1. No entanto parece que antes de Hiparco empreender a tarefa ninguém tinha tabulado valores correspondentes do arco e da corda para toda uma série de ângulos. Foi sugerido, no entanto, que Apolônio pode ter-se antecipado a Hiparco quanto a isto, e que a contribuição desse último à Trigonometria foi apenas a de calcular um melhor conjunto de cordas do que seus predecessores.
No início da era cristã (meados do século II), Cláudio Ptolomeu foi o grande
sistematizador da Astronomia antiga e, consequentemente, das noções do que hoje chamamos
Trigonometria plana e esférica. Forneceu os fundamentos científicos da concepção
geocêntrica do sistema solar, que se manteve por 14 séculos. Sua obra mais importante é
Sintaxis Matemática, composta por 13 livros, mais conhecida como Almagesto, que significa
“a maior”. (PASTOR; BABINI, 1951).
Almagesto foi o grande manual de Astronomia até o século XVI, quando ocorreram
importantes progressos para a Trigonometria, ainda vinculada com os estudos astronômicos,
com a célebre obra de Copérnico: De revolutionibus orbium coelestium. Nesta obra, três
capítulos são dedicados às funções circulares. Copérnico também introduziu a teoria
heliocêntrica em oposição à concepção geocêntrica do sistema solar. (PASTOR; BABINI,
1951).
Os hindus tiveram também uma importante contribuição para a Trigonometria. Os
termos seno e cosseno surgiram a partir de problemas de astronomia que precisavam ser
resolvidos, por meio de uma corda (reta que une dois pontos extremos de um arco de
circunferência). O seno era chamado de Jya, que significava corda em hindu, e foi traduzido
para sinus (seno em latim) em 1150. Somente por volta do século XVII se introduziu o termo
co-sinus (cosseno) para designar o seno complementar do ângulo. (MENDES, 2009).
No mundo árabe, os astrônomos influenciaram o progresso da Matemática. Dentre
eles, podemos citar Al-Battani (858 - 929) e Abu Al-Wafa (940 – 997). A eles se deve a
ampliação das funções circulares às seis funções atualmente em uso e o conhecimento de suas
primeiras relações. Atribui-se a Al-Battani o teorema do cosseno para os triângulos esféricos e
a Abu Al-Wafa, o aperfeiçoamento da tábua de senos de Ptolomeu.
18
Eves (1995, p.265) afirma que:
Como os hindus, os matemáticos árabes consideravam- se a si mesmos primeiramente astrônomos e assim dedicavam interesse considerável à Trigonometria... Pode-se creditar a eles a utilização das seis funções trigonométricas e o aprimoramento das fórmulas de Trigonometria.
O matemático mais importante do século XIV foi Nicole de Oresme (1313 – 1382)
que, pela primeira vez, apresentou a noção de representação gráfica de funções. É também
considerado um dos precursores da análise infinitesimal. No século XV, a mais importante
obra sobre Trigonometria é a de Purbach (1423 – 1461) e seu discípulo Regiomontanos (1436
– 1476). Purbach retomou a obra de Ptolomeu e substituiu a tábua de cordas pela tábua de
senos, além de desvincular a Trigonometria da Astronomia. Regiomontanos aperfeiçoou essa
tábua e escreveu um tratado sobre Trigonometria, em cinco livros, chamado De triangulis
omnimodis. Nele aparecem: o teorema dos senos da Trigonometria retilínea, o teorema do
cosseno para os triângulos esféricos, uma tábua de tangentes e uma série de problemas
relativos a triângulos planos, resolvidos através da álgebra ao invés da geometria. (PASTOR;
BABINI, 1951).
Rhaeticus foi outro matemático do século XVI que contribuiu para a Trigonometria. A
ele se deve o estudo sistemático das seis funções circulares, que pela primeira vez na Europa
aparecem definidas no triangulo retângulo cujos catetos são o seno e o cosseno e cuja
hipotenusa é o raio da circunferência. Rhaeticus não nomeia as quatro linhas distintas do seno
e cosseno, os nomes tangente e secante aparecem pela primeira vez na obra de Thomas Fincke
em 1583. Rhaeticus e seus discípulos construíram as tábuas dessas funções com grande
precisão. (PASTOR; BABINI, 1951).
Matemáticos importantes como Newton (1622-1678), Wallis (1616-1703) e outros
aperfeiçoaram cada vez mais o estudo da Trigonometria, atribuindo induzir as divisões
centesimais do ângulo em tábuas trigonométricas, sabidamente antecipando-se à tendência
atual. (HOGBEN, 1958).
Com o desenvolvimento da mecânica, o século XVIII foi também o século do
algoritmo, em que a análise algébrica e infinitesimal adquirem independência dos estudos de
ciências naturais. O matemático representativo desse período foi Euler (1707 – 1783), que
introduziu importantes inovações para o estudo da Trigonometria. Por exemplo, demonstrou
que os pontos de intersecção das três alturas, das três medianas e das três mediatrizes de um
triângulo estão alinhadas (reta de Euler). Euler estudou as funções circulares descobrindo o
que hoje chamamos de fórmulas de Euler para seno e cosseno. (PASTOR; BABINI, 1951).
19
Ao analisar as etapas sobre a história da Trigonometria, é impossível não percebermos
que as principais descobertas partiram de problemas que intrigavam ou mesmo despertavam a
curiosidade dos estudiosos da época. Foram os problemas de Astronomia, Agrimensura,
plantio, etc., que impulsionaram as grandes descobertas. Estabelecendo uma comparação
entre ontem e hoje, talvez possamos encontrar justificativas para a falta de interesse que
nossos alunos vêm demonstrando. Por que estão tão desmotivados? Por que não aprendem?
Será que nós, professores, estamos propondo a nossos alunos situações que também
despertam interesse ou curiosidade, como ocorria no passado? É possível tornar as aulas de
Matemática mais interessantes?
Esses questionamentos, provocados pelas leituras realizadas sobre a história da
Trigonometria, foram a base para o planejamento deste projeto.
3.2 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, LIVROS DIDÁTICOS E A
TRIGONOMETRIA
São muitas as dificuldades encontradas por professores e alunos durante o processo de
ensino e aprendizagem de Trigonometria. Muitas vezes, se o professor não consegue alcançar
resultados regulares junto aos alunos, então a Trigonometria torna-se incompreensível.
Como já foi comentado, o único recurso de que dispõem alguns professores são livros
didáticos e, para tanto, a escolha de um bom livro contribuirá de forma intensa na
aprendizagem dos alunos. Obviamente, não é apenas essa escolha que irá garantir o processo
de ensino e aprendizagem, uma vez que a prática pedagógica, aliada ao conhecimento das
vivências desses alunos, são fatores indispensáveis para garantia da aprendizagem.
Paula (2000, p.1) afirma: “ocorreu uma acentuada profissionalização da indústria
editorial e um enorme crescimento na produção de livros didáticos que, na verdade se
relaciona com o aumento de seu mercado consumidor”. Daí percebemos, a importante tarefa
que se dá durante a escolha do livro didático, visto que, com um aumento significativo na
oferta desses livros, cabe ao professor o compromisso de avaliar capacidades e também
limitações que tais livros possam apresentar.
Posteriormente serão analisados alguns livros didáticos e como se apresentam as
relações trigonométricas no triângulo retângulo em cada um deles. Entretanto, investigamos
primeiramente o que trazem os PCN e as matrizes curriculares em relação à Trigonometria,
para que posteriormente possamos estabelecer comparações.
20
Vejamos então, os conteúdos e habilidades propostos para a unidade temática
Trigonometria, nas Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL, 2000, p.123)
2. Trigonometria: do triângulo retângulo; do triângulo qualquer; da primeira volta. • Utilizar e interpretar modelos para resolução de situações-problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. • Compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais.
A seguir, verificaremos o que trazem as matrizes curriculares de referência do SAEB.
O Ministério da Educação e o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio
Teixeira (INEP) desenvolveram, a partir de 1996, um projeto que definiu matrizes
curriculares, cujo objetivo é a busca para estabelecer conteúdos desejáveis e necessários para
as exigências do sistema educacional, considerando as diferenças regionais que existem.
Os conteúdos são apresentados em 3 ciclos; com terminalidade na 4ª e 8ª série do
Ensino Fundamental e 3º ano do Ensino Médio. Este trabalho traz habilidades e competências
associadas aos conteúdos, bem como descritores desejáveis em cada disciplina na educação
básica.
A seguir, apresenta-se a Matriz de Referência de Matemática do SAEB 2005 para o
3ºano do Ensino Médio, em relação ao tema Espaço e Forma:
D1- Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade. D2- Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras plana ou espaciais. D3- Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas. D4- Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. D5- Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente). D6- Identificar a localização de pontos no plano cartesiano. D7- Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta. D8- Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação. D9- Relacionar a determinação do ponto de intersecção de duas ou mais retas com a resolução de um sistema de equações com duas incógnitas. D10- Reconhecer, dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferência. (BRASIL, 2005, p. 1 )
21
Esses descritores são apresentados segundo prioridades, sendo que o descritor D5 tem
prioridade 1. Assim, entende-se que é importante estudar as dificuldades apresentadas pelos
alunos na resolução de problemas que envolvem razões trigonométricas.
3.2.1 Análise de Livros Didáticos para Ensino Médio
A partir das propostas apresentadas nos PCN e nas matrizes curriculares do Ensino
Médio para o estudo da Trigonometria, foram construídas considerações com base nas
diferenças e semelhanças encontradas em três exemplares diferentes de livros didáticos para o
2º ano do Ensino Médio (aqui denominados A, B e C). Foram analisados apenas os capítulos
de Trigonometria de cada livro e, portanto, as considerações feitas são relevantes apenas para
esses capítulos.
O livro A é o único que oferece uma revisão sobre resolução de triângulos retângulos,
explorando muitos problemas que envolvem o cálculo de distâncias. Excluído esse capítulo,
que somente é apresentado no livro A, a listagem dos conteúdos é a mesma nos livros A e B,
enquanto C não apresenta alguns itens simples e ao mesmo tempo importantes que facilitam o
ensino de Trigonometria, tais como a simples determinação dos quadrantes quando inicia a
Trigonometria no círculo ou mesmo a ideia de comprimento de arco antes de citar o radiano
como unidade de medida para arco e ângulo. A ordem de apresentação dos conteúdos é
diferenciada apenas na obra A, sendo que em B e C as sequências de apresentação são
semelhantes, embora introduzidas com uma abordagem diferente.
Vejamos, por exemplo, o caso da lei dos senos. No livro A, a lei é introduzida depois
da apresentação de um problema no qual é necessário calcular distâncias entre dois postes
para instalação de uma rede elétrica. O ângulo entre eles não é mais um ângulo reto, como
traziam os problemas do capítulo anterior (aplicações do triângulo retângulo) e, diante dessa
nova situação, é necessária a utilização de um novo recurso (no caso lei dos senos), que só
então é introduzida. O cálculo de distâncias inacessíveis aparece assim de forma
contextualizada, como sugerem os PCN.
No exemplar B, o mesmo conteúdo é introduzido por meio da demonstração da lei, o
que de forma alguma contempla a abordagem das matrizes ou PCN. Entretanto não é regra
geral para o livro B apresentar os conteúdos sempre com demonstrações, uma vez que foi
enunciado aqui apenas um exemplo; para outros tópicos da Trigonometria, o livro B também
se utiliza de situações-problema como citado anteriormente para o caso do livro A. O livro C
não traz o conteúdo da lei dos senos.
22
É possível verificar, então, que nos livros A e B, sempre que possível, os conteúdos de
Trigonometria são introduzidos através de situações-problema, enquanto no livro C, o
conteúdo nunca é introduzido através dessa abordagem. Para os três livros, foram encontrados
exercícios resolvidos, como também exercícios de revisão ou complementares, em quantidade
considerada satisfatória para cada item. É possível perceber então que, nos três livros, os
conteúdos apresentados foram bem explorados, porém com abordagem que em muitos casos
não exigiam nenhuma reflexão do aluno.
Para as obras A e B, uma semelhança positiva encontrada referia-se a um item
denominado “leitura” (assim chamado nos dois livros), onde foram feitas aplicações da
Trigonometria em problemas do cotidiano ou ainda, no caso do livro A, com curiosidades
sobre a história da Trigonometria.
É possível concluir que o Livro A é o mais completo quando comparado aos outros
dois. Isso ocorre devido à forma de abordagem dos conteúdos e também pela qualidade das
atividades propostas, uma vez que estas possibilitam maior reflexão bem como a
possibilidade de perguntas abertas que se aproximam mais das propostas que os referenciais
(PCN e matrizes curriculares) então sugerem.
Os livros B e C foram mais quantitativos do que qualitativos na exploração dos
exercícios, quando comparados ao livro A. Ainda, assim, o formalismo maior foi observado
no livro C, que não explorou questões que necessitavam de maior reflexão, deixando-as
sempre como atividades extras e explorando, então, questões mais superficiais, que não
necessitam da interação professor/aluno.
As considerações acima levam em conta uma concepção de ensino/aprendizagem que
não privilegia o “decorar” e na qual o raciocínio do aluno, com relações e hipóteses, se torna
indispensável. Com a análise feita para os três livros, observou-se como eram as situações
apresentadas aos alunos: fechadas e orientadas para uma memorização ou com incentivo ao
raciocínio lógico, valorizando o pensamento assim como sugerem os documentos oficiais de
referência.
3.3 OS ERROS E SUA ANÁLISE
Segundo Morin (2003), existem saberes que, para ele, necessitariam ser classificados
como fundamentais para a educação do futuro. É observada ainda, a importância do
tratamento desses saberes em toda sociedade e em toda cultura, sem exclusividade nem
rejeição, segundo modelos e regras próprias a cada sociedade e a cada cultura.
Os setes saberes necessários são:
23
1. As cegueiras do conhecimento: o erro e a ilusão.
2. Os princípios do conhecimento pertinente.
3. Ensinar a condição humana.
4. Ensinar a identidade terrena.
5. Enfrentar as incertezas.
6. Ensinar a compreensão.
7. A ética do gênero humano.
Vamos analisar, então, o primeiro dos setes saberes, de acordo com Edgar Morin. Para
o autor, o conhecimento comporta o risco do erro e da ilusão e a educação do futuro irá
enfrentar esse problema. Morin (2003, p.19) nos traz que: “o maior erro seria subestimar o
problema do erro; a maior ilusão seria o problema da ilusão. O reconhecimento do erro e da
ilusão é ainda mais fácil porque o erro e a ilusão não se reconhecem em absoluto como tais.”
Contudo, é possível entender que o erro principal seria apoderar-se do que se
considera como verdade incontestável. Ou seja, não é possível apropriar-se de toda verdade
sobre o conhecimento, pois se acreditarmos nisso estaremos nos tornando sujeitos que não
admitem os erros.
Morin (2003) considera o conhecimento como um produto da construção e da
reconstrução da linguagem e do pensamento e, como consequência, sujeita ao erro. Nessa
perspectiva, o risco do erro sempre irá existir e dessa forma compete a nós, professores,
trabalhar para tentar reconhecer a causa dos erros, estabelecendo uma comparação entre erros
e acertos, de maneira que os alunos sejam ajudados em seus esforços para diferenciá-los.
Percebemos então que Morin sugere um estudo sobre a origem dos erros e não os
apresenta como algo que deveria ser evitado; o que, na maioria das vezes, é o que acabamos
fazendo, por considerarmos os erros como algo ruim, sem refletirmos sobre as possibilidades
de investigação e reconstrução que podem ser geradas.
Para Hoffmann (1993), quando os “erros” que os alunos cometem são valorizados,
então temos que assumir também a possibilidade das incertezas, das dúvidas, dos
questionamentos que poderão surgir a partir da análise das respostas, favorecendo a discussão
sobre ideias novas e diferentes.
O trabalho docente consiste na atuação do professor no ato educativo, medindo os
processos pelos quais os alunos se apropriam do saber. Muitas vezes o que fazemos é atribuir
uma nota para as provas ou testes que corrigimos e, dessa forma, não pensamos no erro como
uma ferramenta que serve para entender a trajetória do aluno ao encontrar determinada
resposta; ou seja, é possível, a partir da análise do erro, fazer com que o aluno aprenda.
24
Enfatizando a ideia anterior, Cury (2007, p. 80) destaca o erro como um
conhecimento, um saber que o aluno possui, construído de alguma forma, e é necessário
elaborar intervenções didáticas que desestabilizem as certezas. As situações em que os erros
podem ser usados como estratégias de ensino são muito variadas.
O ensino de matemática nos traz a possibilidade de uso de novas metodologias, tais
como a modelagem matemática, a resolução de problemas, o uso de jogos ou de recursos
tecnológicos, assim como a análise dos erros cometidos pelos docentes ou por seus alunos.
Dessa forma, a análise de erros pode ser considerada uma metodologia de ensino, caso, a
partir dos erros detectados em uma turma - ou mesmo de erros que todos já sabemos serem
resistentes - propusermos atividades geradas por esses erros, desafiando o aluno para
reconstrução do conhecimento.
A análise de erros pode ser empregada junto de outras metodologias. É possível, por
exemplo, analisar erros cometidos pelos alunos durante a resolução de problemas. Ou então,
analisar os conteúdos em que os alunos têm maior dificuldade e apresentar a eles um jogo ou
o uso de algum software. Em uma produção escrita, a análise de erros é uma atividade de que,
metodologicamente, se baseia na análise do conteúdo, especialmente nas conceituações
apresentadas em Bardin (1979).
Existem algumas etapas, para a análise de conteúdos dos erros. São elas: pré- análise,
exploração do material e tratamento dos resultados.
� Pré-análise: consiste na leitura “flutuante “do material, separando as respostas
obtidas em “totalmente corretas”, “parcialmente corretas”, “incorretas” e, ainda,
contagem do número de respostas de cada tipo. Nessa etapa, o investigador irá
organizar os dados e deverá estar atento para que nenhuma informação seja perdida.
O material analisado deverá ser disponibilizado por meio de cópias xerográficas,
elaboração de testes de questionários, gravações transcritas, etc.
� A exploração do material: implica em unitarizar e posteriormente categorizar as
respostas. Unitarização consiste em encontrar significados comuns no material
analisado como, por exemplo, alguns termos, frases, etc. Já a categorização é o
agrupamento de dados, a partir daquilo que serve de norma ou que possa ter
surgindo durante a análise. Obviamente essa etapa deve ocorrer em mais de um
processo de agrupamento.
� O tratamento de resultados: Servirá para apresentação das categorias por meio de
quadros com frequência e porcentagem ou com produção de “texto-síntese” que
resume cada categoria e exemplifica os erros que forem cometidos. Nesta etapa
25
final, o investigador irá, a partir de suas conclusões e reflexões, apresentar soluções
para as questões que forem observadas durante a pesquisa. (CURY, 2007).
Na tentativa de avaliar algumas questões como, por exemplo, se a nota corresponde ao
conhecimento das pessoas ou se as provas e testes mostram esse conhecimento, Hofmann
(1993, p.55) afirma que “o teste é entendido como instrumento de constatação e mensuração e
não de investigação”. Para ela, o objetivo de realizar uma prova é somente constatar
resultados, isto é, “verificar o que o aluno ´aprendeu` ”.
A partir das ideias de Hofmann, é possível entender porque alguns alunos demonstram
tanta preocupação tão somente com os resultados, ou seja, com as notas muito mais do que
com o fato de ter aprendido ou não um conteúdo. Muitas vezes, esse aluno pode até saber
resolver algumas questões que aparecem na prova, mas se aparecer uma questão para qual ele
não foi treinado para responder, ele não será aprovado e fica evidente que com isso não
interessa de nenhuma forma um conhecimento mais amplo. Com base nas afirmações acima, é
possível que possamos justificar a ansiedade e o medo que muitas vezes são gerados nos
alunos para realização de uma prova.
Portanto, se ao invés de apenas quantificar, as provas e testes também levarem em
conta as tentativas e os métodos que foram utilizados, bem como os erros que foram
cometidos pelos alunos para resolverem as questões, então possamos verificar posturas
diferentes por parte desses alunos, tornando-se a aprendizagem o principal foco nas atividades
realizadas.
3.4 REVISÃO DE TRABALHOS SOBRE ANÁLISE DE ERROS
Dentre os trabalhos encontrados nos sites de programas de Pós-Graduação na área de
ensino de Ciências e Matemática relacionada à análise de erros, revisamos a seguir, as
dissertações de Feltes (2006), Barrichello (2008) e Cordeiro (2009).
Feltes (2006) realizou um estudo sobre os erros cometidos por alunos de Matemática
do Ensino Fundamental e Médio de escolas públicas e particulares, sendo que foram
destacados os erros relacionados com o estudo das propriedades da Potenciação e
Radiciações. O trabalho de Feltes surgiu como tentativa para entender o que acontece com a
aprendizagem desses conteúdos e o que leva os alunos a cometerem tantos erros.
Para analisar os erros cometidos, foi aplicado um teste com questões abertas para os
alunos e também um questionário aberto aplicado aos professores. Após a análise das
respostas erradas encontradas nos testes, foram então criadas categorias de acordo com o tipo
de erro detectado.
26
Em sua conclusão Feltes (2006, p.75) traz que:
O erro pode assumir, no ensino, o papel de um instrumento que possa identificar problemas, de acordo com o nível e as séries envolvidas. Quando os erros são analisados, podem ser superados, pois o erro e o acerto fazem parte de processo do ensino e aprendizagem.
Nessa pesquisa, também ocorreu uma categorização das respostas apresentadas pelos
professores, nas quais se observa algumas visões mais rígidas, outras de aceitação dos erros
ou, ainda, uma busca de causas para explicar os erros cometidos. De acordo com Feltes,
quando existe apropriação do professor, em relação às soluções encontradas pelos alunos e
existe reflexão sobre esses caminhos, existe um processo de desconstrução de conceitos
inadequados e construção de novos conceitos.
Outra dissertação analisada foi realizada por Barrichello (2008). Neste trabalho, foi
utilizada uma proposta pedagógica de resolução- comentário- resolução (RCR), realizada
junto a alunos de Curso de Ciência da Computação da UNESP de Rio Claro que cursavam a
disciplina de Cálculo Diferencial e que manifestaram, de forma voluntária, interesse em
participar da pesquisa. Foram propostos para os alunos 12 problemas que abrangeram
conteúdos de pré- cálculo até aplicações do conceito de derivada e ao final foi realizada uma
entrevista coletiva com todos os sujeitos da pesquisa.
Inicialmente, o aluno recebia uma folha de papel A4 dividida em três colunas, das
quais as duas primeiras eram utilizadas para resolver o problema e escrever sobre a resolução,
enquanto a terceira era utilizada pelo pesquisador para deixar os seus comentários. A cada
nova interação, outra folha era novamente entregue aos alunos e anexada às anteriores para
manter o registro cronológico das interações relativas a um mesmo problema. Barrichello
(2008) afirma que foi possível identificar em seu trabalho todas as etapas salientadas por
Bardin (1979) para a análise do conteúdo: pré- análise, exploração do material e tratamento
dos resultados.
No capítulo intitulado “Nossa Visão sobre o Erro”, o pesquisador compara o erro com
a “ponta do iceberg”, uma vez que exerceria o papel de disparador ou trator para algum
aspecto especifico do todo. Então, seriam os processos de resolução de problema, que
estariam por trás e dariam o verdadeiro sentido ao erro, da mesma forma que a parte submersa
sustenta a ponto do iceberg, o que realmente interessa. Desta forma, Barrichello (2008)
conclui que o erro por si só é uma fonte de informações importantes para a compreensão e
para o processo de resolução de problemas.
27
Na pesquisa realizada por Cordeiro (2009), foram feitas a análise e a classificação dos
tipos de erros mais comuns em questões de geometria junto a estudantes do Ensino Médio de
uma escola estadual do município de Nova Iguaçu (RJ). As questões analisadas foram
retiradas da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBMEP). Entretanto, as questões que
originalmente são apresentadas no formato de múltipla escolha foram modificadas e
posteriormente aplicadas de forma discursiva para avaliar o processo de resolução e não
apenas o resultado final. O objetivo apresentado pelo pesquisador era investigar a maior
quantidade de tipos de erros.
A pesquisa mencionada surgiu quando o pesquisador, ao ingressar no ensino público,
deparou-se com reações espantosas de seus alunos que cursavam o terceiro ano do Ensino
Médio, por afirmarem nunca terem estudado geometria. Esses comentários foram
posteriormente confirmados quando, durante a realização da pesquisa, foram aplicados
questionários para os alunos participantes.
Em sua conclusão, Cordeiro (2009) afirma que grande parte dos alunos acertaria a
resposta da questão se ela tivesse sido apresentada no formato de múltipla escolha, mesmo
utilizando procedimentos e justificativas erradas; sendo assim, os erros não poderiam ser
tomados como base no processo de ensino aprendizagem de geometria. Para ele, quando o
aluno “erra” ele está, na verdade, pondo em ação seus conhecimentos prévios e testando
hipóteses e possibilidades e esperando do professor feedback, positivo ou não, para continuar
usando as habilidades já construídas por ele ou então optar pelo uso de outro conhecimento
apresentados pelo professor.
3.5 O USO DE WEBQUESTS NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Sabe-se que, ao longo da história, o conhecimento sempre foi uma ferramenta de
transformação. A escola, juntamente com os outros segmentos, é um espaço de geração do
saber e, como consequência, nós, professores, somos continuamente desafiados a nos
apropriarmos de novas ferramentas e dos meios de comunicação e informação nesse contexto
de sociedade pós-moderna. Daí, a importância de buscarmos novas alternativas que permitam
a construção de conceitos dentro do processo ensino e aprendizagem sendo necessário o
rompimento com o modelo tradicional de ensino.
Conforme Mercado (2004, p. 9):
O trabalho com as novas tecnologias da informação e comunicação tem exigido de todos, uma nova compreensão do mundo, emergindo um novo tipo de inteligência que contempla a pluralidade, as diferenças e possibilitem, assim, a participação, a
28
colaboração, a multiplicabilidade das visões de mundo, criação e interferência por aparte dos indivíduos por meio da produção utilizando esses recursos.
Contudo, somos levados a crer que o uso de novas tecnologias requer habilidades
adicionais para aqueles que a utilizam, estabelecendo um conceito de ensino, o da não
linearidade, e daí a incorporação da tecnologia como ferramenta importante para a
interdisciplinaridade e interatividade.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1999, p.29) afirmam: “O ensino está
mudando”. Como conseqüência do grande número de informações produzidas devido ao uso
de novas tecnologias, a nova proposta é de um ensino que priorize a formação geral do aluno,
em oposição à formação específica, ou seja, aprender, criar, formular, pesquisar, ao invés de
acumular conhecimentos ou memorizar exercícios.
Conforme Mercado (2004), se temos as tecnologias como constituintes de
instrumentos de raciocínio que permitem novas construções, transformando-se em fontes de
metáforas e analogias, precisamos explorar esse sistema pensando nas novas habilidades e
competências que não só os nossos alunos como também nós, professores, precisamos
desenvolver, deixando para traz sistemas educativos do século passado.
Com o avanço da informática, surgiram novas técnicas que visam o incentivo de
alunos a assumirem a responsabilidade pelo seu próprio aprendizado: o uso da Internet é uma
delas. Os alunos, por meio da Internet, adquirem condições de acessar novos recursos de
aprendizagem e de partir em busca de conhecimento. Além disso, poderiam organizar seu
próprio aprendizado em sala de aula, uma vez que essa é uma ferramenta muito mais ativa
quando comparada com as aulas tradicionais. Obviamente que a navegação na Internet pode
ser dispersiva ou até mesmo não agregar nada para o trabalho pedagógico se não for uma
tarefa orientada e planejada antes pelo professor.
Na tentativa de introduzir aos alunos o uso de novas tecnologias e associar pesquisa na
web com o apoio de um orientador (professor), podemos refletir acerca do modelo de
atividade Webquest, que surge como uma possibilidade para o aluno questionar, investigar e
averiguar um determinado assunto ou problema. Para Mercado (2004, p. 22):
Uma Webquest, é uma página da internet, que possui tudo ou quase tudo que você precisa para saber sobre determinado assunto. Em toda Webquest existe um problema para ser solucionado. Precisamos usar a Webquest, para facilitar o trabalho de pesquisa dos alunos, instigando-os querer saber mais, sobre o assunto proposto. Dando-lhes referências eles podem buscar na própria internet, como em livros, revistas, vídeos etc, expandindo cada vez mais os meios de conhecimento do aluno.
29
O conceito de Webquest foi criado por Bernie Dodge, um professor norte-americano
de Tecnologia Educacional da Califórnia (EUA) no ano de 1995. Ele a definiu como “uma
investigação orientada na qual algumas ou todas as informações com as quais os aprendizes
interagem são originadas de recursos da Internet” (DODGE, 1995, p. 1).
A invenção da Webquest surgiu no momento em que Dodge estava ministrando um
curso de capacitação, tanto para professores quanto para alunos, sobre o desempenho de um
novo software que não estava disponível no laboratório de informática no qual ele ministrava
aquele curso. Ao invés de fazer apenas uma palestra tradicional e expor suas ideias sobre o
software, uma vez que não dispunha daquele material, ele coletou informações na Internet e
depois selecionou canais onde usuários do software em questão estariam online, para se
comunicarem com os alunos do curso. Foi então que Dodge propôs uma tarefa na qual seus
alunos precisariam mostrar os pontos positivos ou negativos de usar ou não aquele software,
baseados nas informações que obtiveram online durante aquela aula. Dessa forma, a partir de
uma ideia bastante simples, Dodge inventou o modelo Webquest, no qual seus alunos, ao
invés de serem meros ouvintes, tiveram que investigar sobre o tema em questão (no caso, o
software que foi avaliado) e assim tornaram-se os investigadores da tarefa, construindo suas
próprias ideias acerca do que fora proposto. (BARATO, 2004).
Ainda segundo Barato (2004), a Webquest teria surpreendido Dodge, uma vez que
costuma afirmar que suas invenções em tecnologia não duram muito tempo e, ao contrário
disso, a Webquest já dura mais de 10 anos e, segundo ele, é uma atividade promissora que
melhora cada vez mais.
Para Mercado (2004, p.24), os elementos básicos de uma Webquest são uma
introdução, com informações básicas para despertar o interesse do aluno pelas tarefas; uma
tarefa, que precisa ser interessante e instigante; os passos para completar a(s) tarefa(s)
proposta(s); os recursos a serem utilizados seriam basicamente da internet, mas outros como
informações da biblioteca também podem ser utilizados; uma orientação e organização das
informações e a conclusão da tarefa. Para finalizar os autores, destinatários e as referências
bibliográficas.
Dessa forma, percebemos que, para criar uma Webquest, é preciso muito planejamento
e reflexão acerca do tema com que se pretende trabalhar. Depois disso, devem-se seguir os
passos recomendados: introdução, tarefa, processo, recursos, avaliação e conclusão. Para
finalizar, deve-se então torná-la disponível na Internet, para que outros professores e também
alunos possam utilizá-la. Embora não exista uma “receita” pronta de como produzir uma
Webquest, o que encontramos em vários sites são propostas similares àquela citada
30
anteriormente por Mercado, com um roteiro que auxilia na construção e caracterização de
uma Webquest.
Dodge (1995) classifica a Webquest de duas maneiras distintas, levando em
consideração o tempo de duração para realização das atividades que forem propostas bem
como o tamanho da aprendizagem envolvida em todo processo. Assim temos:
Webquest curta: tem duração de uma a três aulas, permitindo aos alunos adquirir e
integrar conhecimentos.
Webquest longa: tem duração de uma semana a um mês, para que os alunos explorem
as atividades propostas, permitindo a extensão e o aprimoramento dos conhecimentos dos
alunos.
O site http://futuro.usp.br/portal/, em um item sobre projetos concluídos da escola do
Futuro da Universidade de São Carlos, sugere para o professor um planejamento do tema
trabalhado, tendo em vista que a Webquest deve estar em consonância com o
desenvolvimento das aulas, uma vez que deverá integrar o trabalho realizado pelo professor e
jamais ser considerada uma atividade a mais dentro do conteúdo (suplemento do conteúdo
trabalhado).
Assim, é fundamental uma grande dedicação do professor ao escolher a(s) tarefa(s)
que será(ão) proposta(s) e posteriormente trabalhada(s) pelos alunos, de maneira que essas
atividades se diferenciem da rotina estabelecida na sala de aula. Em seguida, devem estar
claros os passos e as fontes de informação disponíveis na web, de forma que cada aluno tenha
clareza do papel que deverá ser desempenhado por ele dentro da tarefa. Depois dessa fase,
recomenda-se ao professor que elabore a introdução, uma vez que já terá tido noção do papel
dos alunos na(s) tarefa(s). O texto/síntese da introdução deverá ser sucinto e dirigido para os
alunos que realizarão a tarefa, dando-lhes noção do que se quer (pretende) trabalhar na
Webquest.
Ao finalizar a Webquest, deve-se escrever a conclusão, que necessitará ser breve e
simples (como recomendado para a introdução), ressaltando a importância do conteúdo
trabalhado e incentivando os alunos a continuarem estudando o tema em questão. Para a
avaliação, Bernie Dodge oportuniza gabaritos que auxiliam os autores de Webquests a
editarem os seus trabalhos. Esses quadros, chamados de rubricas de avaliação, são
disponibilizados no próprio site de Dodge (http://Webquest.org), bem como no site
http://abweb.no.sapo.pt/material/rubricas/criarubr.htm, no qual aparece uma tradução.
Inicialmente, é sugerido que o professor pegue uma folha de papel e reflita sobre a tarefa que
escolheu dentro da sua Webquest. Há sugestão de uso de uma tabela para orientação e
31
anotação de nomes de dimensões ou aspectos que poderiam integrar a sua rubrica.
A seguir, convém fazer uma seleção. Quantos são os aspectos suficientes? Há quem
recomende que uma rubrica deva ser ajustada a uma página impressa. Outros dizem que
quatro a oito dimensões são quanto basta. Não há uma resposta definitiva, uma vez que se
deve ter em conta o objetivo da sua avaliação. Assim, se o objetivo da avaliação for
diagnóstico e formativo, é preferível que o professor erre por excesso do que por falta de
critérios. Se pretende apenas fazer uma avaliação somativa2 do desempenho dos alunos,
bastariam as dimensões mais importantes. Em relação à avaliação, Dodge (1995) ressalta que
o formato Webquest pode ser utilizado em uma variedade de situações de ensino e, se o
professor conseguir encontrar maneiras para explorar as possibilidades mostradas no formato
da rubrica, seus alunos terão uma experiência bastante enriquecedora.
Para Abar e Barbosa (2008), é fundamental o conhecimento das etapas da Webquest
para que exista construção de conhecimentos através da troca de ideias e experiências entre os
realizadores das tarefas. Não se deve esquecer de mencionar fontes, sites, livros, etc.,
utilizados na Webquest.
Para a finalização da Webquest deve-se ter a sua publicação, sendo que para tanto se
faz necessária a sua hospedagem em um servidor. Atualmente, existem serviços de
hospedagem gratuitos, que trazem todas as informações de como fazer essa publicação, onde
podemos citar, por exemplo, o phpWebquest3.
Segundo Mercado (2004, p. 23), a utilização da Webquest permite :
Garantia de acesso a informações autênticas e atualizadas: conteúdos publicados na internet e em outros recursos metodológicos, refletem saberes e informações recentes. Além disso, são produtos autênticos que fazem parte do dia –a- dia das pessoas. Rompimento das fronteiras da aula: ajuda o aluno a entender que a escola vai mais além do que as quatro paredes na qual assiste a uma aula num determinado horário, que o que aprende dentro da sala de aula o ajuda a entender o mundo, que toda a informação que recebe por diversos meios ao longo do dia formam um conjunto de saberes e conhecimentos que explicam outras realidades e abrem novos e fascinantes caminhos. Promove a aprendizagem cooperativa: Webquests estão fundadas na convicção de que aprendemos mais e melhor com os outros, não individualmente. Aprendizagens mais significativas são resultados de atos de cooperação. Desenvolve habilidades cognitivas: o modo de organizar tarefa ou processo numa Webquest pode oferecer oportunidades concretas para o desenvolvimento de habilidades do conhecer que favorecem o aprender a aprender. Transformar ativamente informações (em vez de apenas reproduzi-las):o importante é acessar, entender e transformar as informações existentes, tendo em vista uma necessidade, problema ou meta significativa.
2 Avaliação somativa é a que se preocupa apenas em atribuir notas ou conceitos ao final de um estudo. 3 http://livre.escolabr.com/ferramentas/wq
32
Incentivar criatividade; se bem concebida a tarefa planejada para uma Webquest engaja os alunos em investigações que favorecem a criatividade. Favorecer o trabalho de autoria dos professores: Webquests devem ser produtos de professores e de alunos, oferecendo oportunidades para que os professores se vejam e atuem como autores da sua obra. Favorecer o compartilhar de saberes pedagógicos: concebidas como e publicações típicas do espaço web (abertas, de acesso livre, gratuitas...) Webquests constituem uma forma interessante de cooperação e intercâmbio docente.
Muitos professores têm relatado experiências com o uso de Webquests. Por exemplo,
Burity4 construiu uma Webquest intitulada História da Matemática, que foi aplicada para os
alunos da 5a série do Ensino Fundamental do colégio Marista de Maceió. Para tanto, foram
apresentados aos alunos os seguintes passos: Introdução, Tarefas, Processo, Recursos,
Orientações, Conclusão, Autores e Avaliação.
Assim, Burity (apud MERCADO, 2004, p. 100) faz um breve relato de sua experiência com a atividade:
Graças a Webquest, percebi a melhoria no processo educacional, durante as aulas de informática da 5a série, em comparação com os anos anteriores. Inicialmente, o professor trabalha muito, pois a Webquest exige conhecimento, paciência e, sobretudo, objetivos precisos e claros. Porém, as vantagens são demais, o aluno faz uma leitura com mais calma, interrogando o que está sendo lido, sua cultura individual é complementada com o que se deseja dele. Outro aspecto, muito positivo é que o educando é levado a interpretar com mais segurança e, sobretudo, irá buscar informações na internet com mais freqüência e com mais “cuidado”, já que a internet, torna-se um elemento comum dentro do processo. De tudo que aprendi sobre Webquest, o que mais gostei foi verificar a alegria dos alunos ao verem suas tarefas sendo desenvolvidas e realizadas durante a aula. Chego à conclusão que a Webquest estimula mais os alunos a buscarem informações e construírem conceitos.
Na análise dos resultados observados, percebemos que a Webquest envolveu
realmente uma investigação orientada e, como o próprio professor afirmou em seu relato de
experiência, a Internet foi utilizada com “cuidado”, ou seja, os alunos provavelmente tiveram
que aprender a filtrar as várias informações a que tiveram acesso e o fizeram de forma
coerente, integrando assim a utilização da Internet ao currículo. Muitas vezes, os alunos não
sabem efetuar uma pesquisa de qualidade na Internet, porque lêem de maneira superficial as
informações, sem preocupação alguma com as fontes que são utilizadas. Obviamente, após o
término de uma experiência como essa, é imprescindível que o professor avalie os pontos
positivos (aquilo que deu certo durante a realização da atividade, que realmente resultou na
aprendizagem), bem como os pontos negativos (aquilo que deu errado ou que poderia ser
melhorado na próxima atividade, incluindo análise do desempenho do próprio professor
mediante a pesquisa). Com relação a isso, Mercado (2004, p. 16) cita:
4 http://www.educarsempre.com/webquest/wq-histmat/index.htm
33
Hoje, outra tarefa fundamental na vida do professor é a pesquisa reinventada a cada dia, aceitando os desafios e a imprevisibilidade da época para melhorar cada vez mais. Cabe ao professor o exame crítico de si mesmo, procurando orientar seus procedimentos de acordo com seus interesses e anseios de aperfeiçoamento e melhoria de desempenho.
Outra atividade interessante, com o uso da Webquest foi realizada por Fernandes
(2008), em sua dissertação apresentada à Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, em
que a autora, juntamente com outros colegas do curso de mestrado, construiu uma Webquest
que foi aplicada por alguns desses colegas que eram professores do Ensino Médio, para
posterior análise das atividades.
O tema escolhido para construção da Webquest foi a Geometria Espacial, pois,
segundo ela, esse é um assunto difícil para os alunos, uma vez que trazem dificuldades para
visualizar objetos tridimensionais só através das representações bidimensionais que são
apresentadas pelos professores nos livros didáticos. A aplicação da Webquest, intitulada Bola
de Futebol e a Matemática, ocorreu com duas turmas: uma de escola pública e outra de escola
privada.
Fernandes (2008) relata que muitos alunos tentaram evitar a atividade (acessando
redes sociais), entretanto a professora interferiu e fez com que eles retornassem ao trabalho.
Essa atitude foi percebida nos alunos que dominavam o computador e rapidamente concluíam
a tarefa e por esse motivo a professora pediu que eles ajudassem os colegas que estavam com
mais dificuldade. A autora percebeu, ainda, que nessa mesma tarefa o professor teve que
intervir quando os alunos acessaram um site que havia sido indicado dentro da própria tarefa,
uma vez que estava em inglês. Os alunos reclamaram e logo fecharam o site, sem perceber
que ele seria usado somente para observar figuras que informavam sobre a evolução da bola
de futebol. Depois que entenderam isso, os alunos ficaram motivados a ponto de comentarem
com os colegas sobre a evolução.
Depois da observação na escola pública, Fernandes relata a aplicação na escola
privada, em que outro colega que a ajudou a elaborar a Webquest aplicou as atividades para
seus alunos, perfazendo um total de quinze aulas. Na escola privada, contou com o técnico de
informática disponível no laboratório da escola, que se dispôs a ajudar a professora tanto em
aspectos metodológicos quanto pedagógicos. Houve muita discussão entre os grupos antes de
darem início à construção solicitada. O material utilizado para confecção das bolas foi
disponibilizado pela escola. Entretanto, como houve demora nessa entrega, o professor
resolveu ocupar as aulas com a segunda parte da atividade, em que os alunos tinham que
pesquisar em sites como dividir um segmento em “n” partes iguais e posteriormente criar uma
sequência de passos para realizar essa divisão.
34
Através de uma oficina, os alunos foram motivados a confeccionar a bola de futebol
usando papel cartão e elástico. Para tanto, eles receberam moldes das figuras geométricas
necessárias para a construção do icosaedro truncado. Muitos alunos recorreram aos folhetos
explicativos e sites para sanar suas dúvidas, sendo que suas confecções foram expostas mais
tarde na feira de ciências da escola.
Na análise de Fernandes (2008), a maior dificuldade encontrada foi elaborar tarefas
que fossem criativas e cooperativas. Abar e Barbosa (2008) afirmam que uma tarefa só é
cooperativa quando todos os integrantes do grupo realizam em comum as tarefas que são
solicitadas. Fernandes (2008) destaca várias vezes, em sua análise, o papel do professor
durante a construção e durante a aplicação das atividades. Para ela:
[...] o professor desempenha um papel importante desde a concepção da Webquest, pois, a partir do momento que resolve planejá-la, é necessário assumir uma postura desafiadora em busca de mediar a aprendizagem dos alunos, já que, em função dessa mediação, pode-se obter um resultado muito gratificante”.(FERNANDES, 2008, p.150).
Em muitas situações, durante a realização das atividades relatadas por Fernandes
(2008), existiu uma mediação do professor, o qual precisou intervir porque, conforme foi
relatado pela autora, o uso da Internet provocou dispersão na atenção de alguns alunos; o que
sabemos é próprio do uso da internet e, portanto, cabe ao professor orientar esses alunos:
[...] .assim como ocorre em todos os recursos tecnológicos existentes, notou-se que para usufruir dos benefícios e oportunidades vindos da internet, foi preciso tanto professor como aluno saber utilizá-lo. Porém competiu ao professor orientar os alunos a respeito de como direcionar o uso desse recurso para as atividades de pesquisa, de busca de informações para construção do conhecimento. (FERNANDES, 2008, p.163).
Outra observação interessante, dentre os resultados da aplicação de Fernandes, foi
que a autora notou uma “empolgação” tanto dos alunos da escola pública quanto dos da escola
privada, afirmando que, à medida que as atividades transcorriam, os estudantes se tornavam
menos dependentes do professor para realizarem as tarefas propostas: “os alunos passaram a
ver-se como agentes principais na construção do conhecimento e a considerar o professor
como orientador nas atividades” (FERNANDES, 2008, p.164)
Na breve análise realizada acima, percebemos aspectos positivos e negativos do uso
da Webquest com alunos do Ensino Fundamental e também com alunos do Ensino Médio.
Seria viável a aplicação dessa proposta de aprendizagem com alunos da Educação de Jovens e
Adultos (EJA)? Para tanto, fizemos uma breve análise da experiência do uso de Webquest
com alunos EJA realizada na dissertação de Ribacionka (2010), que foi apresentada à
35
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sendo realizada uma proposta de Webquest
para introdução ao letramento estatístico dos alunos da EJA.
Sabemos que os alunos da EJA são em sua maioria, estudantes que não conseguiram
concluir os estudos em idade adequada, o que se atribui a vários fatores, como por exemplo: a
falta de incentivo para continuar estudando, necessidade de inserção no mercado de trabalho,
dificuldade de acesso à escola, etc. Ribacionka (2010, p.5) afirma que os alunos da EJA são
pessoas que, em sua maioria, possuem dificuldades em trabalhar ou estudar utilizando os
recursos tecnológicos, sendo que a escola torna-se para muitos deles a primeira ou a única
maneira de terem acesso aos computadores. No trabalho realizado pela autora, o conteúdo
matemático envolvido foi à estatística.
Ribacionka (2010, p. 6) afirma:
Os alunos da Educação de Jovens e Adultos já não possuem tanto tempo assim, por não terem conseguido concluir os estudos em idade própria, tornando ainda mais importante a utilização dos computadores para enriquecer o aprendizado da estatística e sua familiarização.
Os alunos com os quais a pesquisa foi realizada estavam no módulo correspondente à
3a série do Ensino Médio. A aplicação das atividades pela professora/pesquisadora ocorreu
com duas turmas do Ensino Médio da rede publica estadual de São Paulo (3asérie A e 3asérie
B), totalizando 85 alunos e seguindo as seguintes etapas: Fase de elaboração e Fase de
experimentação.
Os passos seguidos por Ribacionka (2010), nas duas fases da pesquisa, foram:
(1aFase) Sondagem com a finalidade de descobrir o grau de conhecimento e envolvimento dos alunos com os computadores e a estatística; Elaboração de uma sequência de atividades, que teve como conteúdo elementos da geometria descritiva, com base nas atividades propostas no livro para a educação de jovens e adultos do Exame Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos ( ENNCEJA). Capacitação dos alunos com os aplicativos envolvidos na Webquest que são Excel, Word e Power Point. Criação pela pesquisadora da Webquest “CONHECENDO A REGIÃO ONDE VOCÊ VIVE”. (2aFase) Acessar a Webquest “CONHECENDO A REGIÃO EM QUE VOCÊ VIVE”. Pesquisar nos sites pré-determinados, os dados para a construção das representações gráficas usando Excel. Preparar uma apresentação para a classe, com o Power Point, dos problemas da sua região e suas possíveis soluções. Preparar um texto síntese, com o Word, dos problemas identificados e suas possíveis soluções para a Regional Jaçanã/Tremembé. (RIBACIONKA, 2010, p.9)
Os objetivos pretendidos com o uso da Webquest pela professora/pesquisadora
ficaram claro através dos passos citados na 2a fase (acima citada). Portanto, o uso do software
Excel serviria para construir representações gráficas (a autora usou duas aulas de 50 minutos
36
para apresentar e ajudar os alunos a usar o software antes de iniciar o trabalho com a
Webquest). O software Word serviria para elaboração do texto final e o Power Point, para que
os alunos preparassem as suas apresentações (três aulas foram usadas antes do início da
aplicação da Webquest para auxiliar os alunos no uso desses dois últimos softwares).
Para muitos alunos das duas turmas pesquisadas, a autora relata que houve facilidade
no uso dos softwares que seriam usados para realizar as tarefas da Webquest. Entretanto, os
alunos com idade mais avançada apresentaram dificuldades em trabalhar e aceitar as aulas que
haviam sido propostas na sala de informática, uma vez que para muitos se tratava de uma
ambiente desconhecido e, conforme Ribacionka (2010), foram necessárias muitas conversas
sobre a importância daquelas atividades para que esses alunos (com dificuldade) se
propusessem a realizá-las. A Webquest da autora foi construída em Power Point e, ao iniciar
seu uso, a professora necessitou fazer uma adaptação para não ocorrer dispersão dos alunos
em buscas por outros sites ou redes de relacionamento. “Ao ligar o computador, já estava na
´área de trabalho` um ícone de acesso direto para Webquest, e bastava um duplo clique para
iniciar a apresentação” (RIBACIONKA, 2010, p.95).
Na apresentação das páginas da Webquest, os alunos precisavam apenas clicar na
tecla “Enter” e, dessa forma, aparecia o slide da tela seguinte. Na proposta da professora, os
alunos foram dispostos em duplas e logo após a introdução foram apresentadas as tarefas que
divulgavam os problemas apresentados no bairro em que viviam os alunos; a partir daí,
deveriam então propor soluções para os problemas que fossem detectados. Para isso, foi
sugerida a pesquisa em sites pré-estabelecidos e depois ocorreu a divulgação para os colegas,
com uma apresentação. No ícone “processo” da Webquest, houve orientação para o trabalho
em grupo, para que os alunos pudessem utilizar os aplicativos sugeridos e, juntos,
preparassem a apresentação e o texto para encaminhamento.
Nos slides seguintes, foram apresentadas sugestões de temas para os alunos como:
cobertura da rede de abastecimento de lixo, tipos e condição de domicílio da região, educação
e esporte, etc, a partir dos quais poderiam ser detectados os problemas. Com vistas a uma
melhor organização dos temas, a professora elaborou uma tabela que foi fixada na sala de
informática, para que os grupos pudessem acrescentar o nome dos participantes nos temas
escolhidos, de forma que, se algum componente do grupo não se fizesse presente, os outros
poderiam dar continuidade aos temas já trabalhados.
Essa preocupação da autora resultou da sua experiência como professora,
conhecendo a realidade sobre a falta de frequência dos alunos da EJA. Nas telas seguintes,
existiam muitas instruções sobre a construção das representações gráficas, que foram sempre
37
orientadas pela professora. Antes da conclusão houve ainda sobre o seminário, com uso do
Power Point, juntamente com os endereços para os quais, os grupos deveriam encaminhar as
atividades que já estivessem prontas (endereços pessoais de email da professora). Em todas as
atividades, foram estipulados prazos a serem cumpridos, e também ficou claro, dentro da
Webquest, como se procederia a avaliação durante a realização das atividades.
A pesquisadora relata satisfação com o trabalho realizado, sobretudo chama a
atenção para problemas apresentados pelos alunos nas tarefas como, por exemplo, a
necessidade de ter profissionais no mercado de trabalho que dominem as tecnologias, visto
que os próprios alunos ressaltaram a importância de realizar uma atividade como a Webquest
para ajudá-los em sua vida profissional. Em relação a isso Ribacionka (2010, p. 106) conclui:
“Um dos objetivos do aluno da EJA é a melhoria da sua empregabilidade, dessa forma ao
chamar a atenção dele para a possibilidade de melhoria nas condições de trabalho, é uma
forma de mantê-lo motivado na realização das atividades propostas”.
Na pesquisa de Ribacionka (2010), foram detalhados os conteúdos de porcentagem e
estatística trabalhados com os alunos através da exploração das tarefas (variável contínua e
discreta, população, amostra, tipos de gráficos...), sendo que, dessa forma, a autora parece
alcançar os objetivos propostos no início da sua pesquisa durante a aplicação da Webquest,
pois relata que durante a análise das representações gráficas, todos os grupos realizaram
leitura de dados, correspondendo à introdução ao letramento estatístico (título da sua
pesquisa).
Evidentemente, durante as atividades ficou evidenciada a “resistência” de alguns
alunos ao realizar as tarefas e também a importância das orientações da pesquisadora bem
como sua experiência com alunos da EJA, de forma a convencê-los da importância das
atividades e dessa forma tornar a busca pelos objetivos uma tarefa possível, tendo em vista
que todas as tarefas foram cumpridas. Assim, a autora conclui que:
Na Webquest proposta neste trabalho, o aluno trabalhou colaborativamente, para atender as tarefas propostas: construir representações gráficas, sintetizar ideias, propor soluções, apresentá-las eletronicamente acompanhadas de um texto explicativo. Os verbos que orientaram as tarefas a serem executadas foram: conhecer, compreender, aplicar, analisar e sintetizar. (RIBACIONKA, 2010, p.27).
38
4 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS RESPOSTAS AO TESTE
Para verificar as dificuldades dos alunos na resolução de problemas de Trigonometria,
foi aplicado um teste (Apêndice A) a 33 alunos do 2º ano do Ensino Médio, sendo permitido
que fizessem uso da tabela de valores para as razões trigonométricas. O teste foi corrigido
pela professora-pesquisadora, tendo sido utilizadas as seguintes categorias para a correção:
“totalmente correta”, “parcialmente correta”, “incorreta” e “em branco”. Os resultados da
correção das questões são apresentados no Quadro 1, a seguir:
Questão Soluções Corretas Parcialmente
corretas Incorretas Em branco
N. % N. % N. % N. % 1 8 24 7 21 18 55 0 0 2 – a) 21 64 0 0 10 30 2 6 b) 10 30 1 3 19 58 3 9 c) 9 27 0 0 21 64 3 9 (d) 7 2 1 3 19 58 6 18 3 0 0 5 15 22 67 6 18 4 4 12 8 24 18 55 3 9
5- a) 20 61 1 3 11 33 1 3 b) 9 27 1 3 17 52 6 18 c) 6 18 5 15 13 39 9 27
Quadro 1 – Distribuição das soluções dos alunos nas questões do teste
Para preparar o material para a análise, as soluções de todos os 33 alunos foram
xeroqueadas e, em seguida, recortadas, para então serem coladas em folhas em branco,
formando um documento único, para cada uma das questões (o corpus sobre o qual a
pesquisadora se debruçou). Para a unitarização e categorização dos erros, foram consideradas
apenas as soluções parcialmente corretas e as incorretas e o número de erros é maior do que o
número de participantes porque cada aluno pode ter cometido erros de mais de um tipo. Os
alunos foram indicados por A1, A2,..., A33, para preservar sua identidade.
A fase de tratamento dos resultados, neste caso, constou da apresentação das
categorias, em textos-síntese, com exemplos de erros nas resoluções. São apresentadas, neste
projeto, as análises aprofundadas das respostas das questões 1, 3 e 4, pois as de números 2 e 5
são subdivididas em itens de resposta curta, para os quais foram indicados, apenas, o número
de acertos, erros e em branco.
39
4.1 QUESTÃO 15
A questão 1 tem o seguinte enunciado: Um avião decola e inicia a subida num ângulo
constante de 100 com a horizontal. Qual a distância horizontal percorrida por esse avião
quando atinge 528 m de altura?
Nesta questão, os sete estudantes que acertaram parcialmente cometeram erros de
cálculo, ao dividir o valor da altura (528 m) pelo valor da tangente (0,1763). Nesse caso, estão
as respostas dos alunos A3, A5, A15, A16, A20, A25 e A30.
Os erros cometidos pelos alunos foram classificados em seis categorias, a seguir
descritos e exemplificados:
Erro A : o aluno não identifica o cateto oposto ao ângulo de 10º como sendo a altura entre o
solo e o avião e usa uma relação trigonométrica que não resolve o problema solicitado. É o
caso dos estudantes A1,A7, A8, A12, A14, A22 e A32. Um exemplo é visto na Figura 1:
Figura 1- Resolução da questão 1 pelo aluno A1
Erro B : o aluno utiliza o valor do ângulo como sendo o valor de um dos catetos do triangulo
retângulo. É o caso de: A12, A13, A20 e A32. Um exemplo é visto na Figura 2:
Figura 2 – Resolução da questão 1 pelo aluno A12
5 As questões 1, 3 e 4 foram retiradas de Giovanni e Parente (1999), respectivamente das páginas 242, 243 e 240.
40
Erro C : o aluno esboça o desenho do triângulo retângulo, mas não sabe qual dos catetos
representa a distância procurada. Nesse caso, os alunos A21, A23, A29 e A31 utilizaram a
mesma relação trigonométrica (seno) e representaram a hipotenusa por x. A27 indicou a
hipotenusa por “1”. O exemplo é visto na Figura 3:
Figura 3 - Resolução da questão 1 pelo aluno A27
Erro D : o aluno indica erradamente alguma relação trigonométrica, como fez, por exemplo,
A7, que escreveu sen100=cateto adjacente/hipotenusa; ou então, como escreveu A19, que
indica a relação correta, mas não sabe representar, no desenho, qual é o cateto oposto e qual é
o adjacente.
Erro E : erro de cálculo, em especial na divisão, como ocorreu nas respostas de A8, A21, A29
e A33.
Erro F : erro de linguagem matemática, ocorrido nas respostas dos alunos A9, A18 e A31.
Um exemplo é a solução de A18:
528 � 0,18 ���
,��
41
O número de estudantes que cometeram cada tipo de erro, na questão 1, é indicada no
Quadro 2:
Categoria N. de estudantes
A 7 B 4 C 5 D 2 E 4 F 3
Quadro 2 – Distribuição dos tipos de erros da questão 1
4.2 QUESTÃO 3
O enunciado da questão 3 é:
(Unicamp-SP) Para medir a largura AC de um rio, um homem usou o seguinte procedimento:
localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o
ângulo ABC fosse 600; determinou o ponto D no prolongamento de CA de forma que o ângulo
CBD fosse de 900. Medindo AD=40 m, achou a largura do rio. Qual a medida dessa largura?
Na questão 3, os cinco estudantes que acertaram parcialmente, cometeram erros de
cálculo, nos valores de tangentes ou das raízes. Nessa categoria estão as respostas dos alunos
A11, A14, A25, A26 e A28.
Os erros cometidos pelos alunos foram classificados em cinco categorias, que foram
descritas e exemplificadas:
Erro I : o aluno aplica corretamente alguma relação trigonométrica, mas não obtém elemento
que lhe permita continuar a solução. Por exemplo, os estudantes A6, A12, A16 e A23
42
calcularam a hipotenusa do triângulo ABD por meio do seno de 300; A1 também fez o mesmo
cálculo e ainda usou esse valor como cateto adjacente do triângulo ABC. A23 ainda calculou,
por meio do cosseno de 600, a hipotenusa do triângulo ABC e considerou que essa fosse a
largura do rio.
Erro II : o aluno não distingue medidas de ângulos e medidas de lados de um triângulo. Por
exemplo, o estudante A2 confunde medida do cateto oposto com a medida do ângulo (300),
em seguida iguala essa medida do ângulo ao valor do seu seno. O aluno A32, além de não
identificar a relação trigonométrica a ser usada, iguala 600 ao quociente entre um valor x e a
medida de AD. A5 iguala as medidas dos ângulos de 300 e de 600, respectivamente, a 40 m e
80 m. Já o aluno A20 apresentada a resolução indicada na Figura 4, a seguir:
Figura 4 – Resolução da questão 3 pelo aluno A20
Erro III : o aluno não sabe identificar hipotenusa, cateto oposto, cateto adjacente ou não
conhece as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Nesta categoria encontram-se as
respostas dos alunos A3, A8, A10, A22, A24, A29, A30 e A33. Por exemplo, A8 indicou
relações trigonométricas, mas errou ao escrever: sen 90 ���
�� 1 �
�
�
Já o estudante A10 considera que o seno de um ângulo é o quociente entre cateto
adjacente e hipotenusa e A24 indica corretamente a relação para o seno de um ângulo, mas
substitui equivocadamente o cateto oposto por x e a hipotenusa por 40.
O aluno A29 indica corretamente a relação da tangente de um ângulo, mas confunde o
valor da tangente de 300 com o valor do seno do mesmo ângulo. O mesmo tipo de erro é
cometido por A30, que indica corretamente a relação da tangente de um ângulo, mas troca, no
desenho do triângulo ABC, cateto oposto por adjacente. A33 indica corretamente a relação do
cosseno de um ângulo, mas, pelos dados apresentados, nota-se que se refere ao ângulo de 600
mas indica erradamente a medida do cateto adjacente.
43
Erro IV : o aluno usa raciocínio proporcional para determinar a medida do cateto oposto ao
ângulo de 600. Esse tipo de erro foi cometido pelos estudantes A15 e A18. O primeiro
escreveu: “80 m porque ABD forma um ângulo de 300 e tem 40 m e ABC tem um ângulo de
600, como 600 é o dobro de 300 a medida será 80”. A18 não explicou, mas parece ter usado o
mesmo raciocínio, visto que escreveu apenas: “a largura: 80 do rio”.
Erro V : o aluno não apresenta estratégia para iniciar a solução, parece não saber o que usar.
Nesse caso, estão classificadas as respostas dos alunos A13, A21 e A27. O estudante A13
indicou apenas a relação da tangente de um ângulo e A21 escreveu os valores de seno,
cosseno e tangente dos ângulos indicados no desenho. Já o aluno A27 marcou no desenho,
equivocadamente, o valor de 600 para o ângulo C.
Além desses erros, ainda temos as respostas em branco (A7, A9, A17, A19 e A31) e a
explicação de A4, que justificou não fazer por não saber nada sobre o assunto.
O número de estudantes que cometeram cada tipo de erro, na questão 3, é indicada no
Quadro 3:
Categoria N. de estudantes
I 5 II 4 III 8 IV 2 V 3
Quadro 3 – Distribuição dos tipos de erros da Questão 3
4.3 QUESTÃO 4
A questão 4 tem o seguinte enunciado:
A uma altitude de 3.000 m, o piloto de um avião mede os Ângulos segundo os quais vê
um determinado porta-aviões, como na figura. Desprezando a altura do porta aviões e o
comprimento do avião, calcule a distância percorrida pelo avião entre os instantes T1 e T2
considerados.
44
Na questão 4, os alunos que acertaram parcialmente cometeram erros de cálculo (A1 e
A15, que efetuaram a soma 3000+3000√3), de divisão (A6), do valor da tangente do ângulo
de 300 (A29, A30 e A31) ou fizeram um lapso, como A21, que usou em ambos os cálculos o
ângulo de 450.
Os erros cometidos pelos alunos foram classificados em oito categorias, que foram
descritas e exemplificadas:
Erro αααα: o aluno empregou seno ou cosseno dos ângulos, ao invés de tangente, o que não
permitiu a obtenção das medidas solicitadas. É o caso de A2, A7, A8, A10, A12, A14, A20,
A22, A23 e A24.
Erro ββββ: o aluno errou os valores das tangentes, talvez por não ter observado a tabela
trigonométrica. É o caso de A3 e A5.
Erro γγγγ: o aluno usou fórmulas erradas para as relações trigonométricas. É o caso de A27, que
escreveu:
���
��
!"
!#
Erro δδδδ: o aluno considerou medida de ângulo como medida de lado, como fez A14, que
escreveu:
Erro εεεε: o aluno não sabe interpretar os dados do problema, pois confunde hipotenusa com
altitude e, no desenho, indica a altitude como sendo o cateto adjacente ao ângulo de 450. É o
caso de A8.
Erro θθθθ: o aluno confunde cateto oposto com cateto adjacente, como fez A28, que escreveu:
45
tg30 �)*
)+�, √-
-�
.
-
Erro φφφφ: erro de cálculo, como escreveu A16, no trecho identificado na Figura 5:
Figura 5 – Parte da resolução da questão 4 pelo aluno A16
Erro σσσσ: erro de linguagem matemática, como o de A32, que torna incompreensível a resposta:
1� � �� �
-
O número de estudantes que cometeram cada tipo de erro, na questão 4, é indicada no
Quadro 4:
Categoria N. de estudantes
Α 10 Β 2 Γ 1 Δ 1 Ε 1 Θ 1 Φ 1 Σ 1
Quadro 4 – Distribuição dos tipos de erros da Questão 4
Pelos erros detectados e pela quantidade de erros em cada classe, é possível notar que
as dificuldades dos alunos estão relacionadas, principalmente, com a identificação dos lados
de um triângulo retângulo e com o conhecimento das relações trigonométricas nele definidas.
Assim, esses estudantes não parecem ter desenvolvido as competências e habilidades
46
indicadas nos PCN e é válida a testagem de atividades que possam auxiliá-los a superar tais
dificuldades.
47
5 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS COM OS ESTUDANTES
Analisados os erros relativos ao teste aplicado no segundo semestre de 2010, foram
adaptadas algumas atividades, para verificar se a nova turma de alunos do 2º ano do Ensino
Médio, da mesma escola, também apresentava dificuldades na identificação da nomenclatura
dos lados de triângulos retângulos e das propriedades a eles associadas. Os alunos, em um
total de 25, são indicados pela letra X, seguida de um número, novamente para preservar suas
identidades.
A professora distribuiu para os alunos as folhas contendo as atividades e, para sua
resolução, foi solicitado aos alunos que trouxessem régua, transferidor e lapiseira. Cada
atividade teve duração de duas aulas de 45 minutos cada e foi realizada individualmente.
Atividade 16:
Observe os carros que sobem a rampa, nos desenhos abaixo:
Carro A Carro B
Responda: Em sua opinião, qual das rampas é mais difícil para o carro subir? Justifique.
Quase todos os alunos concluíram que a subida mais difícil de subir era a segunda
(Carro B), porque estava mais inclinada que a primeira (Carro A).
O aluno X3 comentou que tínhamos que pensar se os carros que iriam percorrer a
mesma distância tinham ou não a mesma potência. O aluno X4 disse que a subida mais
“angulosa” (Carro B) era mais difícil de percorrer.
Depois de alguns relatos e observações, os alunos mediram os ângulos das duas
rampas, sendo que alguns alunos não sabiam utilizar o transferidor.
6 Esta atividade é adaptada de Dante ( 2004).
48
Foi ensinada a soma dos ângulos internos de um triângulo e a classificação dos
ângulos.
Atividade 2:
Vejamos agora outra situação, relativa às rampas representadas abaixo:
5 m 7 m
6 m 9 m
Responda: Você acha que é possível descobrir qual das rampas acima é mais difícil para o
carro subir? Por quê?
Essa atividade gerou dúvidas, porque muitos alunos perceberam que existia uma
relação de “altura/afastamento” que, de certa forma, era semelhante nos dois casos, embora
não tivessem se expressado com uma linguagem matemática. Então, foi o momento de
relembrar as definições de cateto oposto e adjacente, bem como o teorema de Pitágoras.
O aluno X8 relatou que, na primeira figura, deveria ser mais fácil para o carro subir,
embora não pudesse afirmar, porque as alturas das rampas (5m e 7m ) eram menores que as
distâncias a serem percorridas.
O aluno X18 confundiu a definição de “ângulo” e de “largura”, pois afirmou: “as
larguras de dentro da figura são diferentes e serão importantes para saber qual das rampas é
mais difícil de subir”
Atividade 3:
Sabemos que para cada ponto da subida desse carro irá existir uma altura e também
um afastamento. Observe e anote a altura e o afastamento, respectivamente, para cada um
desses pontos indicados na figura abaixo:.
49
3
2
1
2
4
8
Ponto Altura Afastamento
1
2
3
Responda: O que é possível perceber na relação entre altura e afastamento?
Nessa atividade, os alunos perceberam que, à medida que a altura aumentava também
o afastamento aumentava. Alguns alunos afirmaram: “Enquanto um aumenta, o outro dobra.”
Após, foi indicada novamente a figura, com alturas de 6, 4 e 2 m, respectivamente, e
bases de x, 6 e 3 m. Os alunos deveriam, novamente, determinar a relação entre altura e base
(afastamento).
Os alunos X4, X12, X14 e X15, não perceberam que a relação seria a mesma, por não
perceberem que, ao simplificar, encontrariam a mesma proporção.
Atividade 4:
Nessa atividade, novamente foram redesenhadas as duas rampas apresentadas na
atividade 1, com indicação dos lados e ângulos, e foi explicado que, quanto maior o “ângulo
de subida”, maior seria o “índice de subida” de um carro em uma rampa.
Em seguida, foram definidas as relações trigonométricas, seno, cosseno e tangente de
um ângulo agudo e foi dado um exemplo de cálculo desses valores:
2 1
4
50
De acordo com os dados do triângulo abaixo, calcular seno, cosseno e tangente do
ângulo C.
B 13 5 C 12 A A seguir, foram propostos exercícios sobre cálculo de seno, cosseno e tangente. A
maioria dos alunos apresentou muitas dificuldades na resolução dos exercícios. O aluno X14
afirmou que existe muita dificuldade quando não existe uma regra pronta para aplicar em
todos os exercícios.
6 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS RESPOSTAS
QUESTIONÁRIO
O questionário aplicado aos professores
alunos e foi aplicado para docentes que lecionam Matemática
município de Quevedos (onde a pesquisa foi realizada
no município de Santa Maria
insuficientes para ter uma ideia
pequena quantidade de professores
lecionam em escolas públicas.
Para responder os questionários
questões e também as categorias de erros
questionários respondidos.
Vejamos agora a apresentação das respostas e sua análise
QUESTÃO 1: Qual a sua formação ?
FORMAÇÃOLicenciado (a) em Matemática
Licenciado (a) em Ciências
Quadro 5-
QUESTÃO 2: Indique o ano em que se graduou
1975-1980
1980-1985
1985-1990
1990-1995
1995-2000
2000-2005
2005-2010
0
0
AN
O E
M Q
UE
SE
FO
RM
OU
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS RESPOSTAS DOS PROFESSORES
aplicado aos professores solicitava a análise dos erros cometidos pelos
alunos e foi aplicado para docentes que lecionam Matemática na
onde a pesquisa foi realizada) e também a professores que lecionam
no município de Santa Maria, uma vez que os dados coletados em
ter uma ideia mais ampla sobre as opiniões relativas à pesquisa,
pequena quantidade de professores de Matemática nesse município. Todos os participantes
lecionam em escolas públicas.
ra responder os questionários, foram entregues em anexo, para cada professor
questões e também as categorias de erros apresentadas pelos alunos.
apresentação das respostas e sua análise:
ÃO 1: Qual a sua formação ?
FORMAÇÃO INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIORLicenciado (a) em Matemática 8 ( Universidade Federal de
2 ( Faculdade de Filosofia,Ciências e Letras)Licenciado (a) em Ciências 1 (Universidade Federal de Santa
Formação dos professores que responderam o questionário
QUESTÃO 2: Indique o ano em que se graduou.
Gráfico 1- Ano em que o professor se formou
1
2
2
4
2
nº de professores
51
DOS PROFESSORES AO
solicitava a análise dos erros cometidos pelos
Educação Básica no
professores que lecionam
em Quevedos seriam
mais ampla sobre as opiniões relativas à pesquisa, devido à
Todos os participantes
para cada professor, as
alunos. No total, foram onze
INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR ederal de Santa Maria )
aculdade de Filosofia,Ciências e Letras) Universidade Federal de Santa Maria )
Formação dos professores que responderam o questionário
nº de professores
QUESTÃO 3: Em quantas instituições de ensino você leciona?
Gráfico 2
No gráfico acima, percebemos claramente um reflexo da crise na carreira docente, que
hoje ocorre principalmente na
insatisfação tanto dos professores quanto dos órgãos públicos com a carreira docente, o que
culmina na carência desses profissionais em diversas áreas. De maneira geral, os professores
apontam os baixos salários como principal causa para trabalharem em duas ou mais
instituições de ensino e o resultado disso, como sabemos, são profissionais exaustos ou com
pouco tempo para formação continuada ou preparo de suas aulas.
O educador português Antonio Nóvoa em entrevista
o desafio dos profissionais d
metodologias de ensino e desenvolver práticas pedagógicas eficientes.
alerta que a busca isolada pela atualização também é difícil, e por isso, é aconselhável um
vinculo com uma só instituição.
QUESTÃO 4: Quantas horas semanais, no total, você está em sala de aula?
27%
QUESTÃO 3: Em quantas instituições de ensino você leciona?
Gráfico 2- Instituições de ensino em que o professor leciona
No gráfico acima, percebemos claramente um reflexo da crise na carreira docente, que
hoje ocorre principalmente na Educação Básica. São inúmeras as pesquisas que apontam a
s professores quanto dos órgãos públicos com a carreira docente, o que
culmina na carência desses profissionais em diversas áreas. De maneira geral, os professores
apontam os baixos salários como principal causa para trabalharem em duas ou mais
s de ensino e o resultado disso, como sabemos, são profissionais exaustos ou com
pouco tempo para formação continuada ou preparo de suas aulas.
O educador português Antonio Nóvoa em entrevista à revista Nova Escola,
o desafio dos profissionais da área escolar é manterem-se atualizado
metodologias de ensino e desenvolver práticas pedagógicas eficientes. Nóvoa
alerta que a busca isolada pela atualização também é difícil, e por isso, é aconselhável um
vinculo com uma só instituição.
QUESTÃO 4: Quantas horas semanais, no total, você está em sala de aula?
27%
46%
27%
1 Inst. Ensino
2 Inst. Ensino
3 ou + Inst. Ensino
52
leciona
No gráfico acima, percebemos claramente um reflexo da crise na carreira docente, que
ásica. São inúmeras as pesquisas que apontam a
s professores quanto dos órgãos públicos com a carreira docente, o que
culmina na carência desses profissionais em diversas áreas. De maneira geral, os professores
apontam os baixos salários como principal causa para trabalharem em duas ou mais
s de ensino e o resultado disso, como sabemos, são profissionais exaustos ou com
à revista Nova Escola, afirma que
atualizados sobre as novas
Nóvoa (2001) também
alerta que a busca isolada pela atualização também é difícil, e por isso, é aconselhável um
QUESTÃO 4: Quantas horas semanais, no total, você está em sala de aula?
1 Inst. Ensino
2 Inst. Ensino
3 ou + Inst. Ensino
Na análise do gráfico acima, a maior parte dos professores entrevistados p
carga horária entre 35 e 40 horas semanal que, como já constatamos, é distribuída na maior
parte das vezes em duas ou mais escolas.
Sabe-se que os PCN trazem a aprendizagem co
dos alunos, de modo que as disciplinas diferentes estimulem as competências comuns e cada
disciplina possa contribuir então, para a constituição de diferentes capacidades.
devemos considerar que o professor é ao mesmo tempo determinante e determinado, ou seja,
seu modo de agir ou de ser recebe influências do ambiente
influência este mesmo ambiente. Assim
possibilitando ou não o desenvolvimento de tais capacidades previstas pelos PCN
essencialmente da disposição e prontidão do aluno quanto do professor e
contexto da sala de aula, ou seja, da realidade vivenciada pelos
QUESTÃO 5: Em quais séries/ anos você leciona
7 O número total de professores é maior do que 11 porque muitos lecionam em mais de um ano.
0
10_15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
HO
RA
S S
EM
AN
AIS
EM
SA
LA
DE
AU
LA
Gráfico 3-Horas semanais em sala de aula
análise do gráfico acima, a maior parte dos professores entrevistados p
horária entre 35 e 40 horas semanal que, como já constatamos, é distribuída na maior
em duas ou mais escolas.
se que os PCN trazem a aprendizagem como decisiva para o desenvolvimento
de modo que as disciplinas diferentes estimulem as competências comuns e cada
contribuir então, para a constituição de diferentes capacidades.
devemos considerar que o professor é ao mesmo tempo determinante e determinado, ou seja,
seu modo de agir ou de ser recebe influências do ambiente escolar ao mesmo tempo em que
influência este mesmo ambiente. Assim, o grau de envolvimento do professor com
possibilitando ou não o desenvolvimento de tais capacidades previstas pelos PCN
essencialmente da disposição e prontidão do aluno quanto do professor e
contexto da sala de aula, ou seja, da realidade vivenciada pelos alunos e pelos professores.
quais séries/ anos você leciona7?
O número total de professores é maior do que 11 porque muitos lecionam em mais de um ano.
1 2 3 4
Nº DE PROFESSORES
53
análise do gráfico acima, a maior parte dos professores entrevistados possui uma
horária entre 35 e 40 horas semanal que, como já constatamos, é distribuída na maior
mo decisiva para o desenvolvimento
de modo que as disciplinas diferentes estimulem as competências comuns e cada
contribuir então, para a constituição de diferentes capacidades. Para tanto,
devemos considerar que o professor é ao mesmo tempo determinante e determinado, ou seja,
escolar ao mesmo tempo em que
, o grau de envolvimento do professor com os alunos,
possibilitando ou não o desenvolvimento de tais capacidades previstas pelos PCN, dependerá
essencialmente da disposição e prontidão do aluno quanto do professor e, obviamente, do
alunos e pelos professores.
O número total de professores é maior do que 11 porque muitos lecionam em mais de um ano.
5
Série/Ano em que leciona
5º 6º 7º 8º 9º 1º
Quadro 6- Séries/anos
QUESTÃO 6: Você utiliza computador em suas aulas?
Para a opção “raramente
explicado o motivo pelo qual
Analisemos a seguir as resposta apresentadas.
professores que responderam o questionário.
P1 : “ Raramente utilizo o computador devido à carga horária excessiva que possuo e o
tempo de deslocamento entre as escolas não restando tempo para o preparo de aulas no
laboratório.”
36%
Ano em que leciona
Número de professores
Ensino Fundamental Ensino Médio 2 7 7 8 8 4
Séries/anos em que lecionam os professores que responderam o questionário
QUESTÃO 6: Você utiliza computador em suas aulas?
Gráfico 4-Uso do computador em sala de aula
raramente”, foi solicitado que ao optar por essa resposta
ivo pelo qual raramente utiliza o computador.
Analisemos a seguir as resposta apresentadas. Chamaremos
professores que responderam o questionário.
“ Raramente utilizo o computador devido à carga horária excessiva que possuo e o
deslocamento entre as escolas não restando tempo para o preparo de aulas no
64%
0%
SIM, PELO MENOS UMA
VEZ POR SEMANA
RARAMENTE
NUNCA
54
Número de professores
Ensino Médio 4
professores que responderam o questionário
optar por essa resposta, fosse
Chamaremos P1, P2, P3... P11 aos
“ Raramente utilizo o computador devido à carga horária excessiva que possuo e o
deslocamento entre as escolas não restando tempo para o preparo de aulas no
SIM, PELO MENOS UMA
VEZ POR SEMANA
RARAMENTE
55
P2 : “ Raramente . Há mais de dois anos o nosso laboratório está em manutenção.”
P3 : “ Raramente, pois não tenho tempo para preparar aulas que realmente permitissem a
aprendizagem dos alunos no laboratório. “
P4 : “ Minha carga horária é muito elevada e quase não tenho tempo para planejar tarefas ou
atividades no computador, embora reconheça que seria uma possibilidade de tornar minhas
aulas melhores e mais interessantes.”
Fica evidente, nas respostas apresentadas pelos professores, que a falta de tempo
devido à carga horária excessiva (na maioria das vezes) inviabiliza a seleção de uma
estratégia de ensino para tornar as aulas de Matemática mais interessantes. Para Nóvoa
(2007), o ponto crucial é ultrapassar barreiras existentes na profissão docente, o que envolve
compromisso com uma educação melhor e com uma escola melhor.
Para diminuir a sensação de impotência que percebemos na resposta de P4, por
exemplo, devemos levar em consideração as dificuldades que foram apresentadas para tentar
superá- las ou então diminuir essa sensação de “fracasso” que existe entre alguns professores.
Vejamos agora, quais foram as respostas às questões abertas apresentadas, referentes
ao processo de análise de erros.
QUESTÃO 7: Apresento- lhe em folha à parte, os dados referentes à pesquisa até aqui
realizada com os alunos. Avalie cada classe de erro, em cada uma das questões, e opine sobre
possíveis causas desses erros.
Para responder a questão 7, os professores dispunham das classes de erros que
constam nas páginas 41 à 49 desta dissertação. A maioria dos professores fez uma breve
síntese sobre as classes de erros apresentadas (P2, P3, P4, P6, P7, P8, P10) ao invés de escrever
separadamente sobre cada uma delas. (P1, P5, P9 e P11)
Observemos agora as opiniões de P3, P4 e P6 que justificam de forma semelhante às
categorias de erros analisadas.
P3: “Constatei que a maior parte dos erros ocorre por falta de pré-requisitos e
desconhecimento sobre Trigonometria”.
P4: “De maneira geral, percebi que os alunos têm dificuldade de interpretação, faltam
conhecimentos básicos sobre ângulos, catetos, hipotenusas e também sobre as Razões
Trigonométricas. Penso que deveria ser retomado todo o conteúdo começando com as
definições básicas como ângulo por exemplo.”
56
P6: “O erro mais comum acredito que seja pela ausência de conhecimentos básicos. As
dificuldades destes alunos no teste são consequências de deficiências anteriores, como o
conceito de ângulo, por exemplo, como no erro II, que são conceitos que não foram
entendidos no ensino fundamental”.
Nas respostas dos três professores, percebemos um apontamento para a falta de
conhecimentos básicos. Em relação às observações acima, poderíamos nos fazer a seguinte
pergunta: “Será que o aluno não tem conhecimentos básicos porque não aprendeu ou será que
esse aluno não foi ensinado”? Alves (2000) afirma que muitos conceitos que estão aí ou não
significam nada ou se desgastaram pelo uso. Segundo o autor, quando o uso se desgastou,
seria relevante que fosse imposto o silêncio para que o seu sentido fosse então recuperado.
É bastante comum, para nós professores, buscarmos explicações para os erros que
trazem como consequencia o insucesso de nossos alunos, uma vez que não percebemos que a
minoria dos estudantes se enquadra em nossas concepções de aprendizagem.
As observações feitas por P7 e P8 foram às seguintes:
P7: “É possível identificar que os alunos possuem dificuldade para interpretar e relacionar os
conteúdos de matemática com sua vida. A falta de atenção e concentração colabora para a
incidência de erros e isso acontece com a grande maioria dos conteúdos, os quais precisam
ser bem trabalhados e desenvolvidos”.
P8: “Em minha análise, os alunos não entenderam Trigonometria, pois os erros estavam na
interpretação de fórmulas. Há também muita falta de atenção e conhecimentos.”
Quando o professor P8 considera que houve “falta de atenção e conhecimentos”,
podemos então pensar sobre a compreensão que ele traz sobre o ensino: para ele, seria a
Matemática uma ciência incontestável? Seriam os alunos, também, apenas retentores dos
ensinamentos em suas memórias? Consideramos que poderia haver outros fatores
intervenientes na falta de atenção e concentração, que levariam a incidência de erros.
Para P7 os alunos não relacionam os conteúdos de Matemática com a vida. Essa fala
nos remete às palavras de Ponte et al. (2003), quando nos dizem que os alunos deveriam saber
o modo como os números são usados na vida e a escola seria a responsável por desenvolver
esse tipo de competência. Se fizermos uma ligação entre o que pensa o professor e o que
Ponte propõe como papel da escola, não podemos deixar de mencionar o “guia” que rege
muitas vezes a escola chamada “programa do vestibular”, em que surge um contexto de pais
57
preocupados com o desempenho dos seus filhos ao termino do ano letivo nas provas do
Vestibular, Programa de Ingresso ao Ensino Superior (PEIES), etc. Dentro desse contexto,
direção e professores, pressionados, tornam-se reféns do programa vestibular e, por esse
motivo, muitas tentativas de “reconstrução” ou “reinvenção” com intuito de desenvolver
competências no processo de aprendizagem se tornam falhas e, como conseqüência, temos a
desmotivação de alunos e professores.
Na investigação feita por P2 e P10 são feitas observações para os erros nas operações
básicas, no caso em questão a divisão.
P2: “Os erros mostram a dificuldade em identificar os elementos básicos nos
triângulos (catetos, hipotenusa, ângulos), e também mostram a utilização errada das relações
nos triângulos, houve ainda erros de cálculo (divisão)”.
P10: “Muitas vezes as fórmulas apresentadas para os alunos não têm significado
algum para esses estudantes, são apenas fórmulas onde se deve substituir valores. Também
temos que considerar, que muitos alunos apresentaram dificuldades em operações básicas
com números , principalmente na divisão com vírgula (percebe-se a dificuldade que vem de
séries anteriores)”.
Davis e Esposito (1990) afirmam que os tipos de erros que os alunos cometem
precisam ser separados com o objetivo de oferecer possibilidades para os alunos superá-los.
As dificuldades e os erros apresentados nos testes analisados envolvendo as operações básicas
foram bastante relevantes. Para tanto, é fundamental refletir sobre atividades que contribuam
efetivamente com o desenvolvimento lógico-matemático desses alunos. Contudo, tornou-se
evidente, nesta pesquisa, que muitos alunos terminam o Ensino Fundamental sem saber
realizar as operações básicas, sendo que a divisão é a operação na qual os alunos apresentam
maior dificuldade.
Todos nos aprendemos a utilizar o algoritmo da divisão nos anos iniciais da escola,
mas verifica-se que na maior parte das vezes o processo como um todo não é entendido e sim
utilizado mecanicamente. Portanto, a compreensão dessa operação matemática não se
restringe a resolver o algoritmo mecanicamente, mas em saber utilizá-lo em situações
práticas, de forma significativa.
Cunha (1997), em sua pesquisa de dissertação, realizou uma investigação sobre
concepções de alunos de 5a e 7a séries sobre os conceitos adquiridos por eles, tanto na
multiplicação quanto na divisão. Baseando-se em resultados a análise de testes (aplicado aos
58
alunos) foi construída uma sequência de atividades com intuito de modificar ideias relativas
às operações anteriormente citadas. No estudo das atividades aplicadas a autora nos diz que:
Os resultados apontaram, dentre outras coisas, que a concepções “multiplicação sempre aumenta” e “divisão sempre diminui” estão muito interiorizados pelos alunos e que provavelmente uma mudança de concepções só ocorreria se desde o início da vida escolar dos alunos a multiplicação e a divisão fossem introduzidas e trabalhadas por meio de diversas abordagens, não somente como adições repetidas e como subtrações sucessivas. (CUNHA, 1997, p. 03)
No trabalho de Cunha, ficou evidente que, desde a Antiguidade até os dias atuais, são
exploradas com maior ênfase as continuidades entre o raciocínio aditivo e multiplicativo,
sendo a multiplicação vista como processo de adições repetidas de uma mesma parcela e a
divisão, de subtrações sucessivas. Seria essa uma abordagem que provoca dificuldades na
aprendizagem ou como afirmou Cunha (1997, p.118): “essa abordagem pode provocar um
obstáculo didático para os alunos”.
Como já citado antes, os professores P1, P5, P9 e P11 identificaram separadamente as
classes de erros cometidos pelos alunos. Entretanto muitos comentários desses professores
apontam causas para os erros que já são do senso comum, por terem sido diagnosticados e
citados muitas vezes, em reuniões ou em comentários informais. Para tanto não abordaremos
a seguir justificativas e comentários de todos os professores que categorizavam as classes de
erros, mas somente daqueles que justificam ou trazem comentários diferenciados daqueles
analisados anteriormente.
Vejamos o caso de P1 e de P10 ao escreverem que:
P1: “De forma geral os alunos não fixaram os conceitos de Trigonometria.”
P1: “Na questão 1, uma das possíveis causas para os erros, acredito que está na
dificuldade de abstração . Ocorre falta de atenção e há despreparo dos alunos.”
P1: “Na questão 3, observei (em minha experiências como professor dessa série),
percebi que muitos alunos não lêem atentamente o enunciado e por isso trocam as
informações de lugar . Não entendem o enunciado.”
P1: “Na questão 4, uma causa possível também é a dificuldade que os alunos possuem
para observar os pontos de referência como por exemplo o nível do mar para marcar a altura
dos aviões .”
P10: “Nos dias de hoje, por mais que o professor se esforce, está mais difícil
transmitir conhecimentos aos alunos como percebi na maioria das questões propostas.”
59
Percebemos que P1 refere-se a “falta de entendimento do enunciado” no caso do
exercício que foi proposto. Zunino (1995) salienta que, quando apresentamos situações
problema aos alunos e avaliamos suas resoluções, precisamos refletir acerca do grau de
dificuldade envolvido naquele enunciado e, dessa forma, auxiliar a discussão entre os alunos
sobre tais noções. O mesmo autor se opõe a fala de P1 sobre “falta de atenção e despreparo
dos alunos”, ao ressaltar que a aprendizagem através de exercícios desconexos, sem saber o
que se está fazendo, ou seja, a realização mecânica das tarefas, não garantirá habilidades para
que os alunos as utilizem posteriormente em situações contextualizadas onde forem
requeridas. (ZUNINO, 1995, p.116)
Dessa forma quando os professores P1 e P10 citam “falta de atenção e despreparo dos
alunos” bem como dificuldade de “transmitir conhecimento”, torna-se evidente a
compreensão que ambos trazem para o ensino. Percebemos uma visão bastante tradicional,
uma vez que para eles a Matemática parece não admitir erros e os alunos precisariam reter
conceitos ou informações. Em contrapartida, conforme citado por Zunino e pelos PCN,
almeja-se um ensino pautado no desenvolvimento de competências, às quais os alunos
deveriam recorrer para resolver situações do seu próprio cotidiano.
Observaremos agora, algumas das categorizações feitas por P9:
“ERRO A: Dificuldades de interpretação não identificam o que é distância horizontal,
altura e pode ser que não imaginem ou nunca tenham visto um avião decolar. Não
conseguem identificar que cateto oposto ao ângulo considerado, que a hipotenusa é sempre o
lado oposto ao ângulo reto e que isso só acontece em triângulo retângulo.”
“ERRO B: O aluno não distingue medida de ângulo e medida de um segmento, ou
seja, medida de comprimento. É bem provável que esse aluno não saiba o que é ângulo.”
“ERRO F: Os alunos estão totalmente “perdidos” e precisam começar os conteúdos
desde o princípio desde os conceitos básicos (noções de ângulo, catetos, etc).”
Dentre suas citações, P9 também se refere aos erros de divisão já apontados antes.
Notamos que os professores P1 e P9 ressaltam a “dificuldade de interpretação” que, como já
havíamos comentado, é uma habilidade que o aluno não sabe mobilizar, talvez por decorar
conceitos que posteriormente não são identificados na leitura ou mesmo pela utilização de um
vocabulário que não condiz com a complexidade necessária naquela série. Muitas pesquisas
apontam para a falta de hábito de leitura dos estudantes, que são prejudicados, uma vez que
vivemos num mundo em que cada vez mais meios de comunicação predominam e a leitura é
uma ferramenta essencial tanto para o estudo quanto para o trabalho.
P9 traz à tona a importância
pois percebe que uma melhor compreensão do assunto “
diversidade de conhecimento
trabalhados, entretanto é bem possível que não tenha existido uma construção de conceitos e o
problema, então, consistiria
uma construção matemática
proporcionasse realmente uma aprendizagem sobre esses conceitos.
Para isso, os PCN indicam que:
[...]engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas matetransposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela utilizar seus conhecimentos em situações di2007,
QUESTÃO 8: Você conhece alguma atividade para trabalhar com
além do uso do livro didático ? Indique
Gráfico 5
Vejamos a seguir as atividades indicadas pelos professores que responderam
pergunta acima, sobre atividade para trabalhar
82%
vemos num mundo em que cada vez mais meios de comunicação predominam e a leitura é
uma ferramenta essencial tanto para o estudo quanto para o trabalho.
à tona a importância de trabalhar todos os conceitos básicos de
percebe que uma melhor compreensão do assunto “Trigonometria
diversidade de conhecimentos básicos. Provavelmente os conceitos básicos já tenham sido
é bem possível que não tenha existido uma construção de conceitos e o
consistiria em descobrir uma melhor maneira para que houvesse literalmente
uma construção matemática de tais conceitos, de forma competente e interessante
proporcionasse realmente uma aprendizagem sobre esses conceitos.
indicam que:
] o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o individuo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas matemáticas, pois neste caso, o que está em ação é uma simples transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação, o que não garante que seja de utilizar seus conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas.2007, p.112)
QUESTÃO 8: Você conhece alguma atividade para trabalhar com
além do uso do livro didático ? Indique-a.
Gráfico 5-Conhecimento de atividades para trabalhar com Trigonometria
Vejamos a seguir as atividades indicadas pelos professores que responderam
sobre atividade para trabalhar Trigonometria (além do livro didático).
18%
82%
60
vemos num mundo em que cada vez mais meios de comunicação predominam e a leitura é
de trabalhar todos os conceitos básicos de Trigonometria,
Trigonometria” exige uma
rovavelmente os conceitos básicos já tenham sido
é bem possível que não tenha existido uma construção de conceitos e o
em descobrir uma melhor maneira para que houvesse literalmente
de tais conceitos, de forma competente e interessante, que
o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o individuo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e
máticas, pois neste caso, o que está em ação é uma simples transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e
o que não garante que seja de ferentes ou mais complexas. (BRASIL,
QUESTÃO 8: Você conhece alguma atividade para trabalhar com Trigonometria,
Trigonometria
Vejamos a seguir as atividades indicadas pelos professores que responderam “sim” à
(além do livro didático).
NÃO
SIM
61
Nas respostas de P2, P5, P8 e P10 fica a indicação para realização de atividades com
uso do computador. Contudo, nenhuma das respostas indica qual atividade poderia ser
realizada com auxílio da ferramenta indicada (nenhuma das quatro respostas traz referência a
algum site ou software específico). Vejamos:
P2: “atividades com uso do computador.”
P5: “ jogos e atividades no computador.”
P8: “usar computador.”
P10: “ usar aplicativos no computador.”
As sugestões de atividades dadas por P6, P8, P9, também mencionam o uso do
computador. Entretanto, nessas respostas são especificados os softwares ou sites que podem
ser utilizados.
P6: “Podemos usar softwares como geogebra.”
P9: “Softwares de geometria dinâmica como Geogebra ou Cabri.”
P9: “Edumatec (UFRGS) traz atividades.”
Com base nos comentários realizados pelos professores, é possível perceber a
importância do uso dos computadores como uma ferramenta de suporte ao processo de ensino
e aprendizagem. Os comentários permitem-nos pensar em uma mudança de metodologias
embasada na incorporação de novos recursos.
Conforme Lévy (1996, p. 9):
É certo que a escola, é uma instituição que há cinco mil anos se baseia no falar/ditar do mestre, na escrita manuscrita do aluno e, há quatro séculos, em um uso moderado da impressão. Uma verdadeira integração da informática supõe o abandono de um hábito antropológico mais que milenar o que não pode ser feito em alguns anos.
Entretanto, o simples fato de usar o computador como ferramenta não será responsável
pela garantia da construção de conhecimentos. Os PCN (BRASIL, 1999) e os PCN+
(BRASIL, 2000) também sugerem que o professor tenha uma melhor formação para lidar com
estas tecnologias em sala de aula:
Entre os maiores desafios para a atualização pretendida no aprendizado de Ciência e Tecnologia, no Ensino Médio, está a formação adequada de professores, a elaboração de materiais instrucionais apropriados e até mesmo a modificação do posicionamento e da estrutura da própria escola, relativamente ao aprendizado individual e coletivo e a sua avaliação (BRASIL, 1999, p.263).
62
O professor não aprende a criar situações didáticas eficazes nas quais sua área de conhecimento surja em contextos de interesse efetivo de seus estudantes. Sendo essa herança histórica, não há dúvida de tais deficiências estão hoje dificultando o trabalho escolar e, portanto, demandam ações no próprio âmbito escolar, já que há consenso de que a formação é mais eficaz quando inserida na realidade em que o professor atua cotidianamente, como prática diária, e não a distância, em caráter eventual (BRASIL, 2000, p.140).
Acreditamos que só existirá avanço de conhecimentos matemáticos se o professor
planejar as atividades que pretende desenvolver. Assim, por exemplo, se o objetivo é aprender
Trigonometria, atividades devem ser planejadas para tal. Não basta apenas possibilitar ao
aluno um programa ou site sobre Trigonometria. Talvez o aluno aprenda alguma coisa, mas
para haver construção de conceitos matemáticos é indispensável que exista uma orientação
por parte do professor.
Para Gravina e Santarosa (1998, p.21) “a apropriação de ideias matemáticas
significativas nem sempre ocorreriam de forma espontânea, mesmo em ambientes
informatizado.” Segundo a autora, seriam os desafios propostos pelo professor que serviriam
para orientar o trabalho, desde que esses alunos não fossem privados, obviamente, de suas
ações e explorações.
Sabemos que os trabalhos em ambientes informatizados ainda são um grande desafio,
uma vez que envolvem aspectos muitos abrangentes, que vão desde a falta de tempo dos
professores para o planejamento de atividades e incluem questões de formação desses
professores, assim como propostas remodeladas para o currículo.
Para Gravina e Santarosa (1998, p.22):
Não é difícil pensar num futuro para a educação em que os ambientes informatizados vão ultrapassar sua função de simples ferramentas de apoio ao pensar... passando a ter papel fundamental no próprio desenvolvimento de novas capacidades cognitivas do individuo, ainda hoje não imaginadas. E com consequências sobre a própria natureza do conhecimento e do conhecimento matemático, em particular.
Voltando à indicação dada pelos professores na questão 8, sobre atividades para
trabalhar Trigonometria, as respostas de P1, P4 e P10 estão em conformidade umas com as
outras, uma vez que sugerem atividades práticas para o ensino da Trigonometria.
P1: “No pátio da escola ata-se uma corda a uma altura num poste e estica-se essa
corda até o chão. Peço aos alunos para indicarem os ângulos (reto, agudo) e onde (quem) é a
hipotenusa (nesse caso a própria corda). Escolha um dos ângulos e assim identifique o cateto
adjacente neste ângulo escolhido e depois faça o mesmo com o outro ângulo.”
63
P4: “A atividade prática com a aplicação das razões trigonométricas através da
construção do teodolito é bastante interessante. Também é possível usar uma trena, corda ou
barbante e segurá-la a certa altura, pedindo que os alunos estiquem para posteriormente
identificarem os ângulos, catetos e hipotenusa.
P10: “Além do uso de aplicativos no computador, podemos trabalhar a prática com os
alunos. Uma ideia que funciona é fazer os alunos medirem inclinações das ruas da cidade,
tomando como referência os postes, que normalmente estão perfeitamente na posição
vertical, permitindo a visualização de um triângulo retângulo e o uso das razões
trigonométricas.”
É bastante comum refletirmos sobre os conceitos que aprendemos na escola. Muitas
vezes nos deparamos com conceitos ou disciplinas que até parecem que não existiram. Sobre
alguns conteúdos, como Trigonometria, por exemplo, as pessoas parecem demonstrar
satisfação em dizer que não sabem nada. Isso nos leva a crer que, possivelmente, o que houve
foi um processo de memorização para acertar as respostas que foram exigidas nas provas, de
tal forma que, após o termino dessas avaliações, parece nada ter restado. Dessa forma, ao
avaliarmos o que dizem P1, P4 e P10, possamos pensar que tais respostas surgem em oposição
à essa aprendizagem mecanizada que muitas vezes é responsável não só pela indisciplina mas
também pelo desinteresse dos alunos na escola.
Na aula prática, o aluno desenvolve habilidades ligadas ao processo científico, tais
como capacidades de observação, inferências (a partir da posse de informações sobre o objeto
ou evento, passa-se ao campo de suposições), medição (descrição através de manipulação
física ou mental do objeto de estudo), comunicação (uso de palavras ou símbolos gráficos
para descrever uma ação, um objeto, um fato, um fenômeno ou um evento), classificação
(agrupar ou ordenar fatos ou eventos em categorias com base em propriedades ou critérios),
predição (previsão do resultado de um evento diante de um padrão de evidências. A partir
delas, ou concomitantemente, ocorre o desenvolvimento de habilidades como controle de
variáveis (identificação e controle de variáveis do experimento), definição operacional
(operacionalização do experimento), formulação de hipóteses (soluções ou explicações
provisórias para um fato), interpretação de dados (definir tendências a partir de resultados),
conclusão (finalizar o experimento, através de conclusões e generalizações) (CECCATTO et
al., 2003).
Como observamos no capítulo 3, foi devido às necessidades do cotidiano que os povos
ao longo dos séculos criaram os conceitos de Trigonometria que usamos ainda hoje. Os
estudos iniciaram-se com os babilônicos e egípcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e
64
indianos que, através da prática, conseguiram criar situações de medição de distâncias
inacessíveis. Vimos então, que a modernidade dos cálculos possibilitou a criação de novas
situações teóricas e práticas relacionadas com o estudo dos ângulos e das medidas.
Portanto, se cada vez mais a Trigonometria vem sendo empregada em outras ciências
como Engenharia, Física, Astronomia, etc devido as suas incalculáveis aplicações práticas,
porque não permitir que também os nossos alunos sejam atuantes e percebam esse ramo da
Matemática como algo que vai bastante além da simples memorização de fórmulas ou
aprendizado de fatos? Daí a importância das aulas práticas, que vão desde os trabalhos com
computadores, uso de filmes ou jogos, trabalhos de campo, etc.
Assim, as aulas práticas servem de estratégia e podem auxiliar o professor a retomar
um assunto já abordado, construindo com seus alunos uma nova visão sobre um mesmo tema.
Quando entende um conteúdo trabalhado em sala de aula, o aluno reflete sobre os fenômenos
que acontecem à sua volta e isso pode gerar, consequentemente, discussões durante as aulas,
fazendo com que os alunos, além de esporem suas ideias, aprendam a respeitar as opiniões de
seus colegas de sala (LEITE et al. 2005).
QUESTÃO 9: Em sua opinião , que tipo de atividades poderiam ser criadas para
auxiliar os alunos na compreensão da Trigonometria do triângulo retângulo, tópico básico
para o estudo da Trigonometria no círculo trigonométrico?
P1: “Usar corda (fio). No pátio da escola escolher 3 objetos onde se possa ter um
ângulo reto. Esta atividade pode ser usada mais tarde para lei dos senos e cossenos.”
P4: “Penso que os alunos precisam, antes de mais nada, fazer uso de transferidor,
régua, esquadro...para entenderem as noções básicas de Trigonometria. Penso que através
de atividades práticas o aluno é motivado a buscar novos conhecimentos ou mobilizar
aqueles que já possui.”
P5: “Uso de recursos tecnológicos (sites, softwares). Pode se usar recursos como
Webquest, miniquest ou caça ao tesouro.
P6: “Atividades que utilizam material concreto. Construir o ciclo trigonométrico com
papelão e linha, que possibilita visualizar seno, cosseno, tangente.”
P7: “Utilização do computador e utilização de exemplos próximos da realidade dos
alunos.”
P10: “Em minha opinião o que mais falta em todos os colégios são aulas práticas”.
65
P11: “Poderiam ser implementados atividades com applets desenvolvidos com
softwares de geometria dinâmica, mostrando os elementos do triângulo retângulo.”
Verificamos que as respostas para questão 9 se resumem às mesmas sugestões
apresentadas na questão 8, em que são apontadas tantas atividades práticas, para que o aluno
visualize elementos do triângulo retângulo, quanto o uso de sites de softwares, ou seja,
novamente indicando o computador como auxílio no processo de ensino e aprendizagem.
Vimos que, ao se depararem com os erros apresentados, os professores tentaram apontar
caminhos que levassem os alunos às soluções corretas.
A partir do momento em que foi feita uma análise e posterior reflexão sobre as
respostas apresentadas pelos alunos, bem como dos caminhos que os levaram aquelas
respostas, percebemos que existe uma ação, não no sentido de remediar ou até mesmo
erradicar os erros, mas no sentido de desconstruir um processo de construção de conceitos que
não funcionou ou não foi válido e, a partir daí, construir conceitos novos ou reformulados.
Cury (2007) afirma que os resultados de uma investigação sobre erros poderiam ser utilizados
para elaboração de estratégias de ensino, com o intuito de ajudar os alunos a superarem as sua
dificuldades no conteúdo em questão e construir ainda um saber matemático que estivesse de
acordo com o nível de ensino em que aquele aluno se encontra.
66
7 A ELABORAÇÃO DA WEBQUEST
A partir das opiniões e sugestões dos professores participantes da pesquisa, surgiu a
ideia de elaboração dessa Webquest, como proposta para trabalhar a Trigonometria plana
(básica) no Ensino Médio através da valorização da própria história da Trigonometria. A
análise feita nesta pesquisa, sobre os erros que os alunos cometeram ao resolver exercícios
que envolviam Trigonometria, bem como a análise dos questionários respondidos pelos
professores, tornaram-se os eixos norteadores na construção das atividades sugeridas nessa
Webquest.
Foi possível concluir, durante esta pesquisa, que existe uma discussão cada vez maior
acerca da utilização de recursos da informática. Em praticamente todas as respostas de
professores que foram analisadas havia sugestões para uso de algum software educacional ou
programa básico utilizando o computador como ferramenta. Percebe-se, então, a necessidade
de utilizar algum recurso da informática que ao mesmo tempo permita trabalhar conceitos
básicos da Trigonometria, de modo que os erros avaliados pelos alunos possam ser
amenizados, com a aplicação de atividades interessantes, correções e explicações acerca do
que seria trabalhado.
Por que foi escolhida a Webquest? Em poucas palavras, por ser uma atividade de
ensino que faz uso de recursos que são existentes na própria internet. Dessa forma, foi
possível montar aulas inteiras, apenas com links apontando textos e recursos da própria
internet. Dessa forma, não ficariam esquecidas todas as informações e sugestões que
apareceram no decorrer desta pesquisa, tais como: trabalhar conceitos fundamentais da
Trigonometria (noção de ângulo, catetos...), fazer atividades práticas (são sugeridas em tarefas
da Webquest), usar e construir um teodolito, utilizar régua e compasso, entre outras.
A elaboração dessa Webquest exigiu grande quantidade de tempo, bem como a ajuda de um
profissional de informática para sua configuração. Essa Webquest está disponível em:
http://sites.google.com/site/webquestmatematicaadriana/introduo .
A Webquest construída pela professora/pesquisadora contém duas seções que são
permanentes no site: o menu de navegação, localizado no lado esquerdo e superior da página,
o qual contém todos os itens da estrutura da Webquest (Introdução, Processo, Tarefa,
Avaliação, Conclusão e Recursos) e permite ao aluno navegar e encaminhar-se de maneira
não linear por cada uma destas estruturas, e o sistema, localizado também no lado esquerdo
contendo um espaço com todos os itens apresentados nessa Webquest.
No lado esquerdo e um pouco mais abaixo, na página, temos o acesso ao Creative
Commons, que se trata de um sistema construído com a lei atual dos direitos autorais, que nos
67
possibilita o compartilhamento de nossas criações com outros, bem como, a utilização de
músicas, textos ou imagens que estejam online e marcados com uma licença Creative
Commons.
7.1 A INTRODUÇÃO
A introdução da Webquest: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO,
tem o objetivo de motivar os alunos para resolver as tarefas através da valorização e
adaptação das informações históricas sobre a Trigonometria.
O texto foi breve e de fácil leitura, como recomendado por Dodge.
Figura 6- Introdução
7.2 O PROCESSO
Assim como é sugerido por Dodge, o processo deve conter as orientações para a
realização das tarefas que serão posteriormente sugeridas. Em algumas Webquests, no
processo estão os links ou detalhes dos passos para realizar as tarefas. Entretanto, nessa
Webquest o Processo traz apenas orientações gerais de como proceder na realização das
68
tarefas apresentadas, visto que cada uma delas apresenta sugestões de link na própria página
da tarefa ou as sugestões para utilização de algum programa básico (Word, Writer).
Figura 7- Processo
7.3 TAREFAS
A seguir, são apresentadas as tarefas propostas na Webquest: TRIGONOMETRIA NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO.
Figura 8- Tarefa
Na tarefa o aluno tem a opção de “descer” (fim da página) com o cursor e, ao clicar
em TAREFA 1, aparecerá a primeira atividade que foi sugerida. As tarefas compõem a
69
“alma” da Webquest, ou seja, é a parte principal da atividade, uma vez que resulta nos
produtos a serem apresentados pelos alunos.
Tarefa 1:
Reproduza a sequência geométrica apresentada abaixo em seu caderno e indique
quantas mudanças de direção ocorreram em cada caso.
Figura 9 - Tarefa 1
Ao terminar a TAREFA 1, o aluno tem a opção de “descer” (fim da página) com o
cursor, encontrando Tarefa 2. Ao clicar em Tarefa 2, esta logo aparecerá na tela.
Tarefa 2:
A cada mudança de direção você pode notar que há uma nova forma de seguir o
processo. Esse movimento determina um ente matemático que chamamos ângulo. Afinal o
que é ângulo?
2.1: Tente isolar dois segmentos consecutivos de qualquer uma das figuras
apresentadas na TAREFA 1. O que você pode concluir? Anote tudo em seu caderno.
70
Figura 10 - Tarefa 2
Ao clicar na tarefa 2 e exibir a tela, note que as tarefas anteriores ficam armazenadas
no canto superior esquerdo da página (basta um clique com o cursor para que qualquer uma
delas seja retomada). Dessa forma, para todas as telas com as tarefas exibidas, teremos, no
canto superior esquerdo, as tarefas anteriores (o aluno volta para qualquer tarefa anterior) e no
final da página estará à tarefa posterior (com apenas um clique o aluno tem acesso à próxima
tarefa).
Tarefa 3:
Construa em seu caderno uma tabela agrupando os ângulos em três grupos:
1º grupo: os que medem menos que 90°
2º grupo: os que medem mais que 90°
3º grupo: os que medem 90°
71
Figura 11- Tarefa 3
Durante a realização da Webquest com os alunos de EJA, ficou evidente que muitos
deles não sabiam o que era ângulo. As três tarefas iniciais introduzem a noção de ângulo, bem
como permitem a construção desse conceito pelo próprio aluno.
Tarefa 4:
Leia o texto: A circunferência de 360°. Com base no texto responda:
Você é capaz de dividir e subdividir uma circunferência em 6 partes iguais e assim
sucessivamente tomando o raio como medida? Quantas subdivisões você pode obter?
Apresente suas conclusões, utilizando o editor de texto (Word, writer ou outro de sua
preferência).
72
Figura 12- Tarefa 4
Na tarefa 4, vemos que é solicitado ao aluno ler o texto que aparece sublinhado na
página (a circunferência de 360°). Ao colocar o cursor sobre o título e dar um clique, de
imediato é aberta a página contendo o texto solicitado para leitura. Ao fechar a página (que
contém o texto) recaímos novamente na tarefa 4, que estava sendo realizada.
O texto da tarefa 4 utiliza-se da história da Trigonometria. É mostrado de onde
surgiram as unidades de medida para os ângulos; posteriormente, leva-se o aluno a fazer
divisões na circunferência e também fazer uso de instrumentos para medição (régua,
compasso...).
Tarefa 5:
Observe os triângulos apresentados e indicar os pares que são visivelmente
semelhantes. Como podemos comprovar matematicamente essa semelhança?
Escreva utilizando o editor de texto (Word, Writer ou outro de sua preferência).
Figura 13- Tarefa 5
73
Nessa atividade, ocorre a tentativa de resgatar aspectos matemáticos relacionados à
semelhança de triângulos. Discute-se a ideia de semelhança, bem como a noção de triângulo
retângulo, para auxiliar a introdução do conteúdo “razões trigonométricas no triângulo
retângulo”.
Tarefa 6:
Observe com atenção os dois triângulos semelhantes abaixo. Neles estão assinaladas
algumas de suas medidas. Lembrando-se de que os lados correspondentes de triângulos
semelhantes são proporcionais, complete no seu caderno.
Figura 14- Tarefa 6
Para realização da tarefa 6, o aluno deverá ter discutido com colega e com o
professor/orientador da atividade a tarefa anterior (TAREFA 5), uma vez que na TAREFA 6
já se utiliza o fato de os triângulos apresentados serem semelhantes e daí a importância da
atividade anterior.
Tarefa 7:
Como você encontrou os resultados da questão anterior?
O que caracterizou a semelhança entre os triângulos?
Fale sobre as conclusões obtidas até agora.
74
Figura 15- Tarefa 7
Essa tarefa visa relacionar as três anteriores, em que o aluno deverá apresentar
conclusões sobre o que foi trabalhado. É importante ressaltar o papel do professor como
orientador durante essa atividade, na tentativa de ajudar os alunos a articularem as ideias que
foram mencionadas e, sobretudo, motivá-los a tornar as tarefas ainda mais interessantes.
Fontana e Cruz (1997), afirmam que o professor, através de suas perguntas, não nega e
nem exclui as definições iniciais dos alunos, ao contrário, ele as problematiza e as “empurra”
para outro patamar de generalização, levando os alunos a considerarem relações que não
foram incluídas nas suas primeiras definições.
Tarefa 8:
Ler os textos:
- A semelhança de triângulos e a determinação da Pirâmide de Queops.
- Um pouco de história
Após ler e discutir com seus colegas sobre os textos lidos estabeleça uma comparação
entre eles. Aponte as causas que levaram à evolução dos mecanismos de medição.
75
Figura 16- Tarefa 8
Na figura 8, basta o aluno levar o cursor até o título dos textos e dar um clique sobre
eles, que uma nova tela irá se abrir (imediatamente); ao fechar essa tela com os textos, o aluno
retornará para TAREFA 8.
Os textos sintetizam a estratégia utilizada na Antiguidade para medir altura de
pirâmides. Esta tarefa tem como objetivo fazer com que o aluno perceba a utilização de
semelhança de triângulos (já abordada anteriormente) e também como os mecanismos de
medição evoluíram, provocando o seu desenvolvimento (tema da tarefa posterior).
Tarefa 9:
9.1- Depois de tudo que discutimos na tarefa 8, vamos construir um instrumento para medir
ângulos chamado: Teodolito Criando um Teodolito Passo a Passo
9.2- Escolha o objeto a ser medido afaste-se dele, de modo a observá-lo por inteiro através do
canudo do seu teodolito.
9.3- Observe e anote no seu caderno o ângulo marcado pelo canudinho do transferidor e
represente geometricamente em uma folha de papel. Após a representação do triângulo
observado, desenhe outro triângulo retângulo semelhante ao anterior e que tenha um ângulo
agudo igual ao encontrado no instrumento usado por você.
9.4- Estabeleça uma proporção entre os dois triângulos semelhantes de modo a encontrar a
altura dos objetos, ou seja, a medida desejada inicialmente.
76
9.5- O que você observou? Quais os resultados encontrados durante a realização da atividade?
O triângulo desenhado por você pode ter lados maiores ou menores? Nesse caso a razão seria
alterada?
Figura 17- Tarefa 9
A tarefa 9 sugere uma atividade prática, com a utilização do teodolito. Ao clicar em
“criando um teodolito” e “Passo a Passo” os alunos terão todo o processo de construção.
Obviamente, o professor deverá ter solicitado com antecedência o material utilizado para
realização dessa tarefa.
Nessa aula, sugere-se a realização de uma pesquisa de campo através da utilização de
materiais de baixo custo. Os conteúdos já trabalhados poderão ser retomados e também
poderá ser realizada uma discussão sobre os fenômenos que acontecem à nossa volta.
Tarefa 10:
Após ler a síntese que está própria tela da tarefa (com a figura); pede-se:
1. Determine a razão entre a medida do segmento LG e a medida do diâmetro;
2. Determine a razão entre a metade da metade de LG (HP) e a medida do raio r (LO);
3. Determine outras razões existentes entre os segmentos representados na figura
construída por você (tente, por exemplo, as razões entre as medidas de OP e r; LP e
OP entre outras;
77
4. Considerando que as relações construídas por você sempre envolveram Triângulos
Retângulo, vamos retomar essas relações, procurando isolar o triângulo da
circunferência, isto é, através da figura a seguir:
Figura 18- Tarefa 10
O objetivo dessa tarefa é, através da utilização da História da Matemática, fazer com
que os alunos percebam a sistematização entre lados de triângulos semelhantes, percebendo o
surgimento das Razões Trigonométricas como um processo que ocorre a partir da
sistematização já citada.
Tarefa 11:
Observe que os ângulos B e C são agudos, somam 90° e tem um lado em comum:
hipotenusa. Percebemos que AB é o lado oposto ao ângulo C e adjacente ao ângulo B. O
mesmo ocorre com AC que é o lado oposto ao ângulo b a adjacente ao ângulo C.
11.1- Com uma régua forma medidos os lados a, b, c nos triângulo abaixo. Com base
nos dados complete a tabela, no seu caderno.
78
Figura 19 - Tarefa 11
Nessa etapa, os alunos irão reconhecer as Razões trigonométricas após a construção da
tabela solicitada no final da Página. A atividade também envolverá a identificação de todos os
elementos do triângulo (hipotenusa, catetos, ângulo...) que, embora trabalhados nas tarefas
anteriores, agora são identificados, ou seja, recebem nome.
Tarefa 12:
DESAFIO:
Figura 20 - Tarefa 12
79
Figura 21 - Continuação da Tarefa 12
A tarefa 12 traz um desafio: resolver problemas de Trigonometria no triângulo
retângulo. Os problemas apresentados nesse desafio são os mesmos que foram aplicados para
os alunos no início desta pesquisa e que serviram como base para a análise e categorização
dos erros.
Ao aplicar mesmos testes, pretendemos verificar se as tarefas elaboradas, em que o
computador é usado como recurso didático, contribui efetivamente para construção do
conhecimento, ou seja, se essas tarefas facilitam ou não a aprendizagem, amenizando os erros
que os alunos cometem ao resolver problemas de Trigonometria.
7.4 A AVALIAÇÃO
Figura 22- Avaliação
80
Nessa página são mostrados os itens que o professor irá avaliar durante a execução das
tarefas, com intuito de avaliar a produção individual e a participação nas atividades em que
foi sugerido o trabalho em grupo.
7.5 A CONCLUSÃO
Figura 23- Conclusão
A conclusão traz uma síntese com o objetivo da Webquest. A página traz o título do
livro de onde algumas das tarefas dessa Webquest foram retiradas e adaptadas. Ao clicar
sobre o livro, imediatamente irá se abrir o site onde este livro está disponível online, para
consulta.
7.6 RECURSOS
Figura 24- Recursos
81
Em muitas Webquests pesquisadas, esse item simplesmente não aparece. Segundo
Dodge, ele serviria para trazer recursos da própria internet que poderiam eventualmente ser
úteis para realização de alguma tarefa. Nessa Webquest, entretanto, os recursos utilizados já
aparecem na página de cada tarefa proposta, com o intuito de facilitar a navegação.
Assim, optamos por colocar jogos Matemáticos (disponíveis online) como recurso
para essa página. Esse item foi pensado como sugestão de atividade para os alunos que
terminam mais rapidamente as tarefas propostas durante as aulas.
Basta posicionar o cursor sobre qualquer um dos jogos que aparecem nessa página e
clicar sobre ele, que o jogo aparecerá na tela. Ao fechar o jogo, o aluno retorna para a mesma
página em que estava (RECURSOS).
7.7 A TESTAGEM DA WEBQUEST
Face aos erros detectados na pesquisa com os alunos e às observações dos professores
sobre tais erros, a Webquest foi criada para auxiliar o aprendizado dos alunos em
Trigonometria. Nessa Webquest, foram elaboradas tarefas que abordam desde os conceitos
básicos de Trigonometria, como ângulos, catetos, etc., até a aplicação de razões
trigonométricas em problemas. Para tanto, o professor que irá utilizá-la não precisa solicitar
aos alunos que realizem todas as tarefas. Se, por exemplo, o conteúdo abordado é semelhança
de triângulos, o professor poderá optar por trabalhar as tarefas 5, 6, 7 e 8, apenas. Se o assunto
do trabalho for a noção de ângulo (com alunos do Ensino Fundamental), uma sugestão seria
trabalhar apenas as tarefas 1 e 2. Contudo, quando se pretende resgatar todos os conceitos
básicos de Trigonometria, incluindo a aplicação de problemas, recomendaria-se a utilização
de todas as tarefas.
Dessa forma, algumas tarefas dessa Webquest foram aplicadas para os alunos da
Educação de Jovens e Adultos (EJA), na mesma escola e município em que essa pesquisa foi
realizada. Os 12 alunos que participaram da pesquisa frequentam a 8ª série ou 9º ano do
Ensino Fundamental. Anteriormente à aplicação das atividades da Webquest, os alunos dessa
turma haviam participado de um projeto Interdisciplinar com os professores de História,
Matemática e Educação Física, no qual haviam utilizado alguns aplicativos básicos como
Word, Power Point e acesso à internet. Portanto, a proposta de realizar atividades usando o
computador como ferramenta não causou “estranhamento” aos alunos.
O conteúdo que estava sendo trabalhado com a turma era a Proporcionalidade (Razão
de dois segmentos, segmentos proporcionais...). Nesse momento foi proposta a realização das
Tarefas 6, 7, 8. Os alunos foram dispostos em duplas e, antes de iniciar as tarefas, foi-lhes
82
explicado o que era Webquest e como haviam sido pensadas as atividades. Enfim, foi feita
uma síntese não só da Webquest como de todo trabalho de pesquisa realizado pela
professora/pesquisadora.
No laboratório de informática da escola havia apenas sete computadores funcionando.
Os alunos forma dispostos em duplas, escolhidas pela professora/pesquisadora (alunos com
maior habilidade no uso do computador, com aqueles que ainda tinham certo grau de
dificuldade em manuseá-lo). Em geral, não houve problemas para formar as duplas, uma vez
que os alunos são todos adultos e normalmente aceitam as orientações que são dadas. Ao
ocuparem as cadeiras em frente aos computadores, todas as máquinas já estavam devidamente
ligadas e abertas na página inicial da Webquest.
Nesse momento, foi permitido aos alunos que explorassem a Webquest (podiam clicar
nas tarefas, nos jogos, na avaliação...). A reação dos estudantes foi surpreendente e muito
gratificante para a professora/pesquisadora. Os alunos elogiaram muito a apresentação das
tarefas e a facilidade de acesso; disseram sentirem-se orgulhosos de estarem participando
daquele processo e principalmente sentirem-se valorizados pelo fato de tarefas e atividades
como aquela terem sido “pensadas” por um professor para tentar melhorar a aprendizagem de
seus alunos. Esse momento de exploração e descoberta justificou a pesquisa.
A maior insegurança dos alunos estava relacionada com a avaliação. Eles perguntaram
bastante sobre “acertar” ou “errar” a tarefa e se valeria nota ou não a realização das
atividades. Foi solicitado que clicassem em “AVALIAÇÃO” para que entendessem como
seria o processo avaliativo e foi pedido que realizassem com tranquilidade as tarefas
propostas. Os alunos realizaram as tarefas e discutiram as questões, sendo que muitos
consideraram a Tarefa 8 um pouco difícil, pois tinham que estabelecer uma comparação entre
os textos que eram apresentados na atividade.
A testagem das atividades ocupou apenas duas aulas, não sendo possível dar
continuidade às tarefas devido ao fechamento do laboratório na escola para a manutenção dos
outros dez computadores, que desde o início do ano letivo aguardam manutenção.
Vantagens percebidas:
� A facilidade dos alunos ao visualizar figuras geométricas com o auxilio das
tecnologias, situação difícil de ser trabalhada só com o livro ou caderno, por exemplo.
� A familiaridade do aluno com o bom uso da internet e a possibilidade de o professor
mediar a aprendizagem dos alunos neste ambiente.
� A possibilidade de trabalho cooperativo, facilitando a interação entre alunos e
professores, em constante troca e aprendizado.
83
Como única desvantagem na aplicação da Webquest, foi percebida a insegurança dos
alunos no critério “avaliação”, como citado anteriormente.
Os resultados da aplicação da Webquest com alunos de EJA mostraram sua relevância
para a compreensão das dificuldades dos estudantes sobre as razões trigonométricas no
triângulo retângulo. Em turmas de Ensino Médio, esse recurso poderá ser usado para que os
professores detectem tais dificuldades, antes de iniciar o trabalho com as funções
trigonométricas.
84
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao concluir essa dissertação, retomo o que abordei no projeto desta pesquisa, em que
afirmei ter encontrado, durante minha prática educativa no 2º ano do Ensino Médio, erros em
aplicação de problemas que envolviam as razões trigonométricas. Havia sido grande o esforço
para amenizar esses problemas, através da aplicação de listas de exercícios, correções no
quadro e, às vezes, trazendo problemas interessantes ou curiosos para que fossem resolvidos.
Porém, os erros continuavam no ano seguinte, o que gerava muitas vezes uma sensação de
fracasso profissional.
Muitas vezes, os erros apresentados não estavam relacionados somente com o
conteúdo de Trigonometria trabalhado naquele momento, mas com dificuldades matemáticas
em assuntos que deveriam ou foram trabalhados anteriormente, mas que não foram de fato
compreendidos pelos alunos. Os erros mais comuns iam desde problemas com operações
básicas como divisão até o desconhecimento dos elementos de um triângulo, de conceitos
básicos como cateto ou ângulo e a não-interpretação de problemas.
Quando os erros foram analisados nesta pesquisa, percebi falhas graves na construção
dos conhecimentos, em que não houve aprendizagem. Porém, não bastaria que o professor
apontasse a solução para os erros e, sim, que reconhecesse as dificuldades e lacunas que
ficaram na aprendizagem desses alunos, para tentar resgatar conceitos básicos sem insistir em
estratégias que efetivamente não funcionaram.
Desde que iniciei o curso de mestrado, venho refletindo sobre a minha prática
pedagógica, diante dos erros matemáticos que encontro durante minhas aulas, seja no Ensino
Médio ou Fundamental. Algumas das reflexões já resultam em ações nas minhas aulas, como,
por exemplo, aproveitar os erros que apareceram em alguma turma, sobre determinado
conteúdo, e proporcionar uma discussão sobre eles, resultando muitas vezes na utilização de
outros recursos didáticos como jogos ou recursos computacionais, sempre com o objetivo de
amenizar ou elucidar aqueles erros que são recorrentes. Costumo também, apontar os erros
durante a correção de provas, para que os alunos percebam suas dificuldades e tenham a
oportunidade de corrigir aquilo que erraram, e, em seguida, recebam novamente, para uma
nova correção.
Esta pesquisa também teve reflexos em minhas concepções como professora de
Matemática: penso que no ensino dessa disciplina é importante uma aplicação prática dos
conteúdos, bem como gerar situações problema e desafios matemáticos que possibilitem
discussões em sala de aula, pois as repetições de procedimentos em grandes listas de
exercícios não levam à aprendizagem dos conteúdos, mas ao domínio formal de
85
procedimentos que se dão pela repetição e memorização. A Matemática trabalha com o
raciocínio lógico, através da exploração de diversos caminhos para resolver problemas.
Assim, na Matemática é possível visualizar os erros como uma possibilidade de
motivar os alunos, quando são devidamente discutidas as estratégias de resolução, explorando
de forma criativa atividades diferenciadas e novos planejamentos. Quando os erros são
analisados, podem ser superados, uma vez que errar e acertar faz parte do processo de ensino
e aprendizagem. A investigação que partiu da análise dos erros permitiu a construção de uma
atividade diferenciada daquelas que eu havia desenvolvido em minhas aulas até o presente
momento. O resultado, então, foi à construção de uma Webquest, na qual se exige um novo
papel, tanto do aluno como do professor, devendo este agir como motivador e facilitador do
processo de aprendizagem dos alunos.
Estas foram as ideias que ficaram desta pesquisa e espero ter contribuído para que
novas investigações sejam feitas sob o mesmo enfoque, para que a análise de erros possa ser
usada como mais um instrumento para auxiliar tanto professores quanto alunos na caminhada
em busca da aprendizagem de conceitos matemáticos.
86
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89
APÊNDICES
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APÊNDICE A – TESTE APLICADO AOS ALUNOS8
Questão 1 - Um avião decola e inicia a subida num ângulo constante de 100 com a
horizontal. Qual a distância horizontal percorrida por esse avião quando atinge 528 m de
altura?
Questão 2 – O ângulo de inclinação de um telhado depende do tipo de cobertura:
Os carpinteiros usam esta linguagem: num telhado com inclinação de 40%,
avançando 1 m na horizontal, sobe-se na vertical 40% de 1 m, isto é, 0,40 m ou 40 cm.
Supondo que a inclinação de um telhado seja 40%, responda em seu caderno:
a) Avançando 2 m na horizontal, sobe-se quanto na vertical?
b) Qual é o valor de tg î?
c) O ângulo de inclinação î tem medida maior que, menor que ou igual a 200?
8 As questões 1, 3 e 4 foram retiradas de Giovanni e Parente, 1999. As questões 2 e 5 foram retiradas de Imenes e Lellis, 2002.
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Questão 3 - (Unicamp-SP) Para medir a largura AC de um rio, um homem usou o seguinte
procedimento: localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de
forma que o ângulo ABC fosse 600; determinou o ponto D no prolongamento de CA de forma
que o ângulos CBD fosse de 900. Medindo AD=40 m, achou a largura do rio. Qual a medida
dessa largura?
Questão 4 - A uma altitude de 3.000 m, o piloto de um avião mede os Ângulos segundo os
quais vê um determinado porta-aviões, como na figura. Desprezando a altura do porta aviões
e o comprimento do avião, calcule a distância percorrida pelo avião entre os instantes T1 e T2
considerados.
Questão 5 – Dividimos uma circunferência, de centro O e raio 2 cm, em 5 partes iguais e
traçamos um pentágono regular, como mostra a figura. Um dos lados desse pentágono é AB.
Depois, no triângulo OAB, traçamos a altura OM.
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a) Quanto medem os ângulos do triângulo BOM?
b) No triângulo BOM, calcule MB, sabendo que sen 360=0,59, cos 360=0,81 e
tg360=0,73.
c) Qual é a medida do lado do pentágono?
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APÊNDICE B - QUESTIONÁRIO PARA OS PROFESSORES Caro(a) colega:
Para a investigação que desenvolvo no Mestrado Profissionalizante em Ensino de
Física e de Matemática da UNIFRA, apliquei, em 2010, um instrumento de pesquisa aos
alunos do 2º ano do Ensino Médio, com problemas sobre a Trigonometria do triângulo
retângulo. Além disso, também apliquei atividades introdutórias às definições de seno,
cosseno e tangente, à nova turma de 2º ano do Ensino Médio, em 2011. A seguir, solicito que
você analise os resultados obtidos e opine sobre eles e sobre possibilidades de criação de
atividades que auxiliem os estudantes em suas dificuldades.
Para completar as informações sobre os participantes da pesquisa, solicito, também,
que você preenche os dados solicitados inicialmente neste questionário. Você não deve se
identificar, pois os professores, os alunos e a escola não serão identificados na dissertação. O
preenchimento do questionário indica sua autorização para que eu possa utilizar as respostas
na análise final da pesquisa.
Obrigada.
Adriana Wachtmann Borges Fortes
1) Qual a formação?
( ) Licenciada em Matemática (indique a instituição) .........................................
( ) Licenciada em outra área (indique a instituição) ............................................
( ) Aluno(a) de curso de Licenciatura (indique o curso e a instituição) .................
2) Indique o ano em que se graduou (ou que vai se graduar, no caso de aluno de
Licenciatura): ...........................
3) Em quantas escolas você leciona:................................
4) Quantas horas semanais, no total, você está em sala de aula: ..................
5) Em quais séries/anos você leciona? .................................................
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6) Você utiliza computador em suas aulas?
( ) Sim, pelo menos uma vez por mês ou mais
( ) Raramente
( ) Nunca
Obs: se raramente ou nunca usa, explique a razão.
......................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
7) Apresento-lhe, em folha à parte, os dados referentes à pesquisa até aqui realizada com
os alunos. Avalie cada classe de erro, em cada uma das questões, e opine sobre
possíveis causas desses erros.
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
8) Você conhece alguma atividade para trabalhar com Trigonometria, além do uso do
livro didático?
( ) Sim Indique-a: ............................................................................... ( ) Não
9) Em sua opinião, que tipo de atividades poderiam ser criadas para auxiliar os alunos na
compreensão da Trigonometria do triângulo retângulo, tópico básico parta o estudo da
Trigonometria no círculo trigonométrico?
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
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ANEXO
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