Adriotti - Fundamentos Da Estatística e Da Geoestatística

8/18/2019 Adriotti - Fundamentos Da Estatística e Da Geoestatística

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Fundamentos de

Estatística e

Geoestotístico

José Leonardo SilvaAndriotti



Fundamentos de Estatística e

Geoestatística

Sobre o autor

José Leonardo Silvo Andriotti

graduou-seem Geologtc pela UFRGS,

em J975, e obteve o título

de doutor

pelo mesmo universidade em 1999,com tese versando sobre Estatistica

e

Na França especializou-se

em Geoestafi5ticae depois em

EypioroçöoMineral. Tematuado como

docef"te

de grudooçáo e pós-groduaçáo

na UFRGS, no UNIS/NOS e no FARGS

bem como em mstitwçöes de

outros

poises



0 2003

JoséLeonardoSilva Andriotti

Fundamentos de Fstatística e Geoestatística

2003Direitos reservados à EditoraEnrT0RA

da Universidade

UNIStNOS

do Vale do Rio dos Sinos

ColesäoManual UniversitárioISBNs-7431-171$

Impressão,

veräo de 2004.

Class RevisãoRui Bender

Tomb( 53538 EditoraçãoRafael Tarcísio Forneck

Capa

Gabnel Neto

A reproduçäo, ainda que parcial, por qualquer meio, das páginas quecompõemeste livro, para uso nao-individual, mesmo para fins

didåhcos,sem autonzaçä0 escrita do editor é ilícita e seconstitui numa contrafaçäo danosdà Itura.

Foi feitoodepósito legal, z

/

Para Elma, minha mãe, para Eleonora,nttnha

companheira, e para Rafael, meu filho, que são

Editora da Universidade do Vale do Rio dos Sinos as pessoas que melhorrepresentam três

EDITORA UNISINOS gerações que envolvema minha vtda:

AVUnisinos,950 a anterior, a atual e a próxnna.

93022-000 RS Brasil

Telef: 51. 5908239Fax: 51. 5908238

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SUMÁRIO

Introduçäo à Estatística .1.1 —

Estatística e Teoria das Probabilidades —

um Breve Histórico1.2 —

Pesquisas de Opiniäo...„......1.3 —

Medidas de Tendência Central -1.3A —

Média Aritmética (também referida como média,simplesmente).

132 —

Média Ponderada ....

1.3.3 —

Média1.3.4 —

Média Geométrica .....„....135 —

Mediana, Quartis, Decis,Percentis136 - Moda

1.4 —

Medidas de Dispersão .1.4.1-

Amplitude .14.2 —

Variância.1.4.3—

Desvio-padräo .1.4.4 —

Coeficiente de Variação (CV) .1.4.5 —

Assimetria........14.6 —

Curtose........

1.4.7 —

Erro-padräo da Média1.4.8 —

Desvio Entre Quartis.................„...... .. „1.5 —

Representação Gráfica

Distribuições e Testes de Hipótese .2.1 —

Distribuição Normal de Probabilidade........„................2.2 - Distribuição z....2.3 - Intervalos de Confiança................2.4 - Testes de Hipótese2.5 —

Testes de Hipótese com as Distribuiçöes z e t— 2.6 - Distribuição t.....

2.7 —

Tamanho Mínimo de uma Amostra

17172025

2526

2727282931

313133333334

353536

41

41475255

5961

65



10

3- Correlaçio e Rcgres.såo68

3A - Corrclaçä0 Linear Simples68

3 2 - Regressão Linear Simples .71

33 - Exemplosde Aplicaçä0.

3.31 - Correlaçä0 Linear Simples.77

332 - RegressãoLinear Simples

• 794- Métodos de Interpolaçåo e Variáveis Regionalizadas .

814 A — Matematiquices„.

81

42 - A Importânciada Quantificação em Geociências82

43 - Comentános

Sobrea Escolhade Métodos de Grid..„...

44- ComentánosSobreAlgumas Técmcas de Geraçäo de Grids 8545 - Geoestatística •

• 894 6- Variáveis

Regionalizadas..—.. 934.7- H:poteses

Restnnvas 95

5- Vanogramas 995A- Conceituaçãode 9952 - 10053 - Variograma

ouSemivanograma— 1045 4 - Comportamento

na Vizinhança da Ongem 10555 - Construçãode Semivariogramas Experimentais............ 1085 6 - Análise Esb-utural 1125 7- Modelos Teóncos de Variogramas .. 114

5.71 - Esquema Esférico (de Matheron) 1155.72 - EsquemaExponencial (de Formery) . 116573 - Esquema de Gauss (Parabólico) 1175.7 4 - Esquema Linear ..

1195.75- Esquema

Logarítmtco(de WIjs) 1205 7.6 - Outros Modelos 121

5.8 - Efeito Proporcional . 1215 9 - Estruturas Imbncadas 125A0- Efeito Buraco... 123511 - Presençade Deriva... 125512- Anisotropias.„ 125

5121 - Anisotropia Geométrica .. 1255122 - Anisotropia Zonal . 12.7

513 - Cruz Geoestatístlca...„ 127

Arx-ncA

r 11

Estimaçao Geoestatística .6.1 —

Variâncias de Estimação e de 129

6.2 —Kngagem.... 1296.3 —

Krigagem Universal 134

6.4 - Krigagem da 149

6.5 —Cokrigagem.. 1506.6 - Validaçäo Cruzada 151

6.7 —Simulaçðes Condicionais ...„152153

Vocabulário.156

8- Referências . 1588.1 —

Estatística........... .15882 - Geoestatística 159

Anexos.....„.......... 161Tabela t„.... 163Tabela z 164Valores Críticos —

Coeficiente de Correlação r de Pearson 165



16

Apresentamos

um glossáriocontendo algumas expressöes de

comum em Estatística

e Geoestatística, apontando as

em português. Inglês e francês.

ComrelaçåO

àsreferenoas bibliográficas, listamos as fontes de

sultaJulgadasimportantes mas, como sempre que se faz uma relaçao

qua-

se tipo incorre-se nafalha de omitir obras e documentos de excelente

lidade, tenha o leitor a certeza de que, se isso ocorreu, deveu-se ao

fatode

ser praticamente Impossível listar tudo o que existe de qualidade sobre

asunto.Porfim.agradecemosa todos os que nos honrarem ao consultar

estaobrae colocamo-nosà disposiçä0 para que nos selam encaminhadas

sugestöesque Visemà melhoria de outras possíveis edições, pelo endereço

eletrOmco

[email protected]

Porto Alegre/ RS, outubro de 2003

1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA

1.1Estatística e teoria das probabilidades

Um brevehistórico

O aparecimento da palavra Estatísticadeve-se ao fato de que oschefes de Estado ou seus equivalentes na época (antes da era cristã) deseja-vam conhecer os dados q ue julgavam necessános para avaliar a sua potên-cia,dados como população, potencial militar,

riquezas e outrosOs primeiros recenseamentos de que se tem referêncta ocorreram

na época da civilizaçäo suméria, de 5000 a 2000 anos antes de Cristo (a. C,)(a contagem das pessoas passou a ser regular na Mesopotâmia em 3000C), O Egito parece ter sido a primeira naçäoa ter recenseamentos sistemá-ticos da população desde 2900 a. C. Os recenseamentos, entretanto, conti-nuaram sendo raros ainda por muitos séculos, sendo um dos mais conhe-cidos o de Paris no ano de 1590da nossa era (quando foram recenseadosaproximadamente 200 mil habitantes) Os progressos fundamentajs da

Estatísticadäo-se especialmente na segunda metade do século 17 (a partir

de 1650,aproximadamente), com a necessidade que os monarcas da épocatinham de conhecer e explicar os fenómenos sociais e econômicos que es-tavam ocorrendo.

No início, a teoria das probabilidades estava relacionada com os jo-gos de azar, especialmente com os jogos de dados. As informaçöes

maisantigas de que se tem notícia são provenientes da Mesopotâmia e datamdo início

do século três. Os Jogos de dados unham um aspecto lúdico, ten-do tido também utilização para fins religiosos, uma vez que a populaçäoda época acreditava que

os dados poderiam permitir que se conhecesseavontade dos deuses, com a evolução do cristianismo, esse pensamentoacabou, pois ele se opunha idéia de uma divindade todo-poderosa, e seuuso com esse fim foi condenado pela Igreja.



to da teona das probabilidades deve-se a Blaise Pascal

(1623-1662) e a Ptèrrede Fermat (1601-1665). Pascal tinha interesse em

decifrarum problemados ,ogosde azar que se desenvolv„am em Várias

partE no casode sernecessáriointerromper um jogo antes que um dos

gadoreschegasseà vitórta,qual a melhormaneira de efetuar a divtsao do

dmherro apostado? Pascalfez Inúmeras reflexöes sobre esse tema e as ex-

pôsemcartasermadas a Fermat

Em1729,Voltaireennqueceuelaborando esquema para ganhar a

loteria de Pans- O valor dos prémios ultrapassava o preço de todos os bis

lhetesto que levou Voltatrea formar um grupo que comprava todos os bi-

lhetesda lotena de um més e, asstm. ganhou-a durante mais de um ano.

AfamíliaBernoullitambémteveimportancia na evolução da teona

das probabilidadesEssafamíliaera da Basiléia (Suíça) Jacques (1654-

1748)fezestudosque o levaram até o primeiro teorema-limite (a lei dos

grandes números), e Daruel(1700-1782), seu sobrinho, é conhecido pelo

problemadaesperançamatemáticainfinita e também por estudos da

na probabilísticados errosde observaçãoem Astronomia. Um sobrinho

de DaruebJean Bernoulli(1744- 1807), também se ocupou com a teoriadas probabilidades.

Lambert (1728- 1777)estudou as curvas de densidade contínuas,

eunimodalse Introdunuoconceitode máxima verosimilhan-

çaao pesquisar a posiçãodo centro de uma distribuição contínua simétri-

No iníciodo século19aparecea prática da Demografia, e o cálculo

de probabilidades avança em função da necessidade que os estados ti-

nhamem possutrdadosnuméricosde suas populações. Em março de

1800,oMinistrodo Intenorda Françacria um Bureaude Estatísticm No sé-

culo19,houveuma retomadadosrecenseamentos, que foram pouco nu-

merososno séculoanterior (em1801foram recenseadas as populações daInglaterra, Dinamarca, França e Noruega).

Entre1885e1925,a Estatísticatoma forma como uma teoria coeren-

te. Entre 1920e 1924,o inglês Arthur Bowley (1869 —1957) desenvolve a

amostragemaleatória, a estratlficaçäo,estabelece a equação da Análise de

Variânciaem universosestratificadose as fórmulas da variância nos casosSimples e estratificado. A partir de 1925,as discussões sobre a representa-uvidade das amostras não se centram mais sobre seus princípios, já unt-versalmenteaceitos,mas sobreseus modos de aplicação.

Os astrônomosdo século18 utilizaram medidas experimentais para deterrrunar a posição dos objetos celestes, o que se constituiu num es-

tudo da distribuição dos erros de medida.

19

No século 19, houve o surgimento dos estudos sobre a variânciacom os mínimos quadrados, masos nomesadotadosatualmentenio sãotao antigos; Karl Pearson (em 1893) introdunu o termo desvio-padräo,eCarl Fnednch Gauss (em 1816) propôs a expressão numénca para a men-suraçäo das variaçöes dos erros de medida em Astronomia

As principais medidas de assimetria e de curtose (parâmetrosdeforma) surgiram pelos estudos desenvolvtdos por Karl Pearson e RonaldAylmer Fisher; Pearson introduziu, no ano de 1895, um parâmetro basea-do na posiçäorelativa da média aritmética,da moda e da mediana.

Em 9 de fevereiro de 1877,Francis Galton (que em 1875desenvol-vera o emprego da mediana) faz uma exposição na RoyalInstituhonofGreatBritam intitulada Típicas Leis de Hereditariedadeno Homem, em que apresen-ta o coeficientede reversãor, que indicava a redução de variabilidade da fa-mília, termo que se transformou em Regressäo. Em 1896,Pearson, basean-dose nos conceitos de Galton, formula o que atualmente se conhece pelonome de Teoria da Regressão,estabelecendotambéma correlação,e, em1904,Pearson introduzru o conceito do Qui Quadrado,

Em 1922, A. Fisher escreve "O obJetivodo método estatístico é aredução dos dados. Uma massa de dados deve ser substituída por um pe-queno número de quantidades representando corretamente essa massa, econtendo tanto quanto possível a totalidade da informaçäo pertinentecontidadentro dos dados originais"

Os fundadores da teoria dos testes de hipóteses são Jerzy Neymane Egon Pearson (filho de Karl Pearson), e ISSOocorreu entre 1926e 1933.Em 1928,aparecem os conceitos de hipóteses nula e alternativa.

A partir do fim do século 19,a lei normal passou a ter grande de-senvolvimento graças aos estudos desenvolvidos por Karl Pearson e Fran-cis Galton (primo de Charles Darwin) L

A Distribuiçåo Normal é, com freqüência. atribuída a Laplace e aGauss, a quem ela deve seu nome, mas sua origem é antenor e está descri-

ta nos trabalhos de Jacques Bernoulli, que estabeleceu que, em se repettn-

do um lançamento de uma peça de duas faces, por exemplo, a freqtiêncta

de apariçä0 de uma facedeterminada se aproximade um certo valor sus-

cetível de ser qualificado de probabilidade de se obter esseresultado. A lei

normal foi introduztda por Gauss,que recorreu ao método dos rnfnrmos

quadrados, e o avanço devido aGauss está relacionado ao caráter probabi-

lístico de sua abordagem. Segundo ele, " ...seuma quantidade foidetermi-

nada por muitas observaçõesdiretas efetuadas nas mesmascondiçöese

com o mesmo obyetivo,a médiaaritmética dos valores observadosconsti-

tui o valor mais provável,se nä0 rigorosamente pelomenoscommurta

proximidade, de modo que ela possa sempre ser o valor mais correto de se



A pauta foi denominada de Normal por p

emIS93, Internacional de Estatística ocorreuemBO primeiro Congresso

xelas(Bélgca)em 1853

Osusose aplicaçöesda Estatistica e da Teoria das Probabilid

tiveramgrandesavançosa partir da primeira metade do Século

quais

continuamatéo presente Os campos de aplicação e a aceitaçao

resultados por elasgerados sio cada vezmais

amplos.

1.2Pesquisas de opinião

Segundoas histónas de Sherazade, contidas em As mil e umaocalifaHaraum-al-Rachidse vestia de beduíno à noite e, sem ser identidado, ia de portaem porta, em Bagdá, e perguntava aos moradores aniäo sobre seu governo.

O papel pnnapal das pesquisas de opinião cabe aos EstadosUm.dos pormuo das pesqursasde opinião pública que foram realizadas

paisemgrandequantidade.Os Estados Unidos são, assim, o berçodas pesqutsasde opiniäo,sobretudoem suas aplicações às eleiçöes presi-dencms nas coberturas feitas pela imprensa

No dia 3 de março de 1936,foram publicados nos Estados Unidososresultadosdas eleiçöes presidenciais. Literary Digest previu vitónadeAlfred Landon, mas F. D. Roosevelt foi eleito com 61 % dos votos, vitóna prevista por trêsoutrassondagens, uma delas executada por GeorgeGaLlup,quecnouseu própnoinstituto de pesquisas em 1935. O LiteraryDi-gesthavia previstocom acertoas eleições presidenciais americanasde1924,1928e 1932;suas pesquusas baseavam-se em questionários enviadosapenas para os propnetários de automóveis e telefones. Quanto a Gallup,osquestionárioseram enviadosa apenas 1.500 pessoas; ele acertou tatrr bémosresultados das eleiçöesde 1940 e 1944 e chegou a ser chamado demágico pelosnorte-americanos.Em 1948, entretanto, previu a vitóriadeThomasDeweycontraHarry Truman por 49% a 46%, mas o resultado foi50%a45%a favorde HarryTruman. O que ocorreu foi que, em razãodaSegunda Guerra Mundial, as mudanças demográficas dos Estados Unidosforammarcantes,e as cotasconsideradas se baseavam no censo de 1940,aiemdea pesquisater realizadamuito antes do dia da votação.do0 (Instituto

pesquisas

Brasileiro

eleitorais

de Opinião

tiveram

Públicaseu

einícioEstatística,

em 1945,fundado

quan•

21

em 1942) previu a vitória de Eurico Gaspar Dutra sobre Eduardo Gomes para a presidência da República.

O Instituto Karolinska (Suécia), por exemplo, pesqursou 500.000suecos que viviam a 300 metros de uma linha de alta tensão por um perío-do de 25 anos e foi constatado que as crianças tinham maior incidènaa deleucemia A revista Time publicou que "embora a pesquisa näo prove rela-ç50de causa e efeito, mostra uma clara correlaçãoentre o grau de exposi-çåo e o risco de leucemia infantil". O governo sueco legislou reduzrndo onúmero de residências na proximidade das linhas de alta tensão.

Durante a Segunda Guerra Mundial, os aliados deseyavamsaber quantos tanques os alemäes tinham em operação e para isso utilizaram osconceitosde Probabilidades e Estatística, por meio de amostragem fize-ram inferências, obtendo resultados muito próximos da realidade.

Esses estudos evoluíram de tal forma que, no final do século 20,osnorte-americanos definiram o seu adadãomédio por meio de tabulação fei-ta de dados obtidos por meio de amostragemcriteriosa;esse cidadãosechama Robert, tem 31 anos

de idade, estatura de 1,75 m, pesa 78 kg, vestemanequim 48, sapatos número 43, tem 85centímetros de cintura e terminao seu dia dormindo 7,7 horas, começando o dia segurnte com 21 mmutosde transporte para o trabalho

Quando a Meteorologiaafirma que há 90% de possibilidades deocorreremchuvas em determmado período,ela estáutilizando um concei-to mediante o qual se pode afirmar que, sob as mesmas condlçöes meteo-rológicas reinantes, deve chover em 90%dos casos. Isso quer dizer que

previsöes desse tipo se baseiam em uma metodologia que fornece resulta-dos corretos em 90% dos casos

InferênciaEstatísticaé onomedado à generalizaçãode resultadosde uma parte (ou seja, de uma amostra) para o todo (ou seja, para o univer-so ou população), sendo também o conjunto de procedimentos utilizadosna verificação da validade de uma hipótese para a população a partir dosdados disponibilizados por uma amostra.



2

Vabre•Sebç•o da da Armstra

AmM'ra

Partrr•tro

da Populaçåo

Figura1- Relaçioentre amostrae populaçå0

Em Probabilidades,sabemos como um processo funciona e desga-

mos predizer seusresultados, em Estatisttca, não sabemos como funciona e

buscamos, por mao dos resultados observados (obtidos por amostra.

gem), conhecer a natureza do processo.Emtermosde probabilidade, há três tipos de eventos, que sãoos

mutuamenteexclusivos(emque a ocorrência de um exclui a ocorrênciadooutro), os independentes (a ocorrência de um evento não influencia a pro- babilldadede ocorrênciado outro) e os dependentes (a ocorrência de umeventoInfluenciaa probabilidade de ocorrência do outro).

Estatísticaé qualquer característica descritiva dos elementos deumaamostra,enquantoque parâmetro é uma característica descritiva doselementosde uma população.Se uma estatística é usada para avaliarouestimar o valor de algum parâmetro, é chamada de estimador Assim, pa-rametro se refere à população e estatística se refere à amostra.

Variáveissão as característicasmensuráveis em cada indivíduoque faz parte da população,mantidas as mesmas condições.A qualidade de uma estimativa depende basicamente da represen-

tativ:dadeda amostra,ou sela, da condiçäo que tem essa amostra de re- produmras característicasda população à qual ela pertence.

Amostragem pode não ser a melhor solução em determinadas situa-çöes.Umdessescasosé a existênciade uma população pequena, na qualnãoseyadifíciluma avaliaçãocompleta,ou em casos em que uma precisãomultoelevada,exatidãomesmo,selaexigida (caso dos recenseamentos oude eleiçöes para preenchimentode cargos na esfera política)Na amostragemaleatóriasimples, qualquer subcorwnto da popu•lação .com o mesmo número deindivíduos) tem a mesma probabilidade

23

dc fazer parte da amostra, e cada indivíduo pertencente à população tem,também, a mesma probabilidade de pertencer à amostra.

Na amostragem estratificada, a população é dividida em subgru- pos (denominados estratos), internamente mais homogéneos do que a po- pulação total;os estratos devem ser os mals homogéneos possíveis no

comportamento da variável estudada, o que demanda um conhecrmento prévio da população.Embora a amostragem sep contestada em alguns casos, sendo acu-

sada de nåo representar com fidelidade a população à qual pertence, emoutros isso não ocorre, como nos casos de exames de sangue, por exemplo,em que apenas algumas gotas são consideradas suficientes para retratar otodo.

Um caso tíPIC0de estudo feito por amostragem, cujos resultadossäO utilizados para fazer inferências em Estatística, é o das pesquisas elei-torais.

AMOSTRAGEMPOPULAÇAO- eleitores

AMOSTRAdos eleitores

iNFERËNClA

Figura 2 —Inferêncta em pesquisas eleitorais (adaptado de Barbctta, 2001)

Variáveis Contínuas são as que podem assumir qualquer valor noseu intervalo de vanaçäo, entre seus valores máximo e mínimo. Aí se in-cluem pesos e estaturas de pessoas de um certo grupo populacional, valo-



resem reas de certo produto que varia de preço no mercado,

como, porexemplo,o número de gols de um jogo de fute-filhosde uma a quantidade de escolas de um

municípioe a quantidadede cidadesque fazem parte de uma região

Dados Nomtnmsnä0têm certas propriedades aritméticas; se

regis.trarmos, por exemplo, as raças como 1, 2, 3 e 4, não valem as propnedades

do tipo 2<3, 1 +3 = 4 e outras, Na escala de dureza dos minerais, os valo.

res 1 a 10 tem a propnedade de 6 > 3 ou 7 < 9, sendo, entretanto, falso afir-

mar que IO- 9= 2- I, POISa diferença de dureza entre o diamante e o

nndo(respectivamente10e 9)não equivale à diferença de dureza entrea

gtpsttae o talco(respectivamente2 e I - a pnmeira diferença é maior).

Tambémnãotenasentidodizer-seque o topázio é duas vezes mais duro

do que a fluonta apenas porque seus respectivos valores são 8 e 4. Os da.

dossä0representados por nomes ou categorias, não podem ser ordena.

dos Comoexemplos se pode citar preferência clubística, sim/näo, sexo

de pessoas, países, tipos de equipamentos.

Com DadosIntervalares, podem-se formar diferenças, mas nãomultiplicaroudividir.Duasdiferençasde temperaturas de dez graus as.semelham-setäo-somente por demandar a mesma quantidade de calor

paraseelevarà temperaturade, por exemplo, IO para 20 ou de 30 para 40graus.Umatemperaturade 40graus não representa um calor duas vezesmaiordo que o existente a 20graus,

Dadosde Razãosão os obtidos por meio dedivisöes, como é o casode comprimento (em que a referência é o metro, por exemplo), peso (a uni.dade é o grama), volumes (metro cúbico), áreas (metro quadrado), tempo(segundos, ou horas, ou anos) e muitos outros. Nesse tipo de dado, as dife-renças e as razões têm significado,

DadosOrdinaisestabelecemordem, não havendo sentido, entre-tanto,entre as diferençasde valores.A diferença entre primeiro e terceirocolocadosem um rankingnão equivale à diferença entre o sexagésimo e osexagéstmo segundo do mesmo ranking.

25

1.3 Medidas de tendência central

1.3.1 Média Aritmética(também referida como média, simplesmente)

É representada por X (que se lê X barra) para a amostra e por paraa população; é obtida somando todos os valores disponíveis e dividindo oresultado por n, que representa a quantidade de valores disponíveis, ouseja,a quantidade de valores somados. Quatro pessoas com idades de 20.22, 26 e 28 anos teräo uma média de idades igual a

X = (20+22 +26 + 28)/ 4 = 24 anos

Para um dado conjunto de dados, a média sempre existe, temvalor único e é sensível à presença de valores extremos; uma de suas vantagens

é a facilidade de cálculo. A fórmula da média aritmética é dada por

onde Xirepresenta cada uma das n observaçöesdisponíveis na amostra, ivaria de 1 (primeira observação)até n (última observação).

A média aritmética é uma medida de fácilcompreensãoe aplicaçåo,usa todos os valores da amostra,é valor únicoe fácil de incluir em fórmulasmatemáticas, tendo a desvantagemde ser afetada

por valores extremos.Consideremos um conjunto de valores que representam uma de-terminada populaçåo composta pelos50valores que seguem. 34B / 35,5 /28,6/ 29,4/ 41,5/ 36,8/ 33,4/ 36,0/ 30,2 / 33,2/ 33,7/ 34,3/ / 31,0/ 27,4/ 33,9/ 37,6/ 39,9/ 27,2/34,2/ 30,2/ 30,4/ 39.9/ 40,0/ 40,6/33,9/ 325/ 29,6/ 30,6/ 40,4/ 30,1/ 35,3/ 41,4/ 28,5/ 40,1/ / 31,6/ 395/ 34,8/ 29,9/ 37,8/ 29/ / 37,4/ 27,4/ 365/ 40,8/ 32,9/ 40,0/44,1/ 41,4.Essa populaçao tem comovalor mínimo 24,4e comovalor má-ximo 44,1 e média aritmética igual a 34,5.A partir desse conjunto de valo-res, foram tomadas aleatoriamente doze amostras, e sobre elas se fez umestudo do comportamento dos valores da média aritmética Foram torna-das três

amostras de 25 valores, uma amostra com 24 valores, duas amos-tras com 17valores, duas com 13valores, duas com 10 valores, uma com 9valores e outra com 7 valores.Os valores obtidos para a média aritméticaforam, respectivamente, 34,2, 34,2, 34,8, 34,9, 33,5, 35,8, 36,3, 355, 33,6,

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