Aerodinamica Viscosa

Jorge Manuel Martins Barata

Aerodinâmica

Fluido viscoso e não só …

2008

Aerodinâmica II

Jorge M M Baratahttp://webx.ubi.pt/~jbaratahttp://aeronautics.ubi.pt

Fev 2008

Sumário

Apresentação da disciplina e do corpo docente

Introdução à Aerodinâmica

Apresentação da Disciplina

Importância e Necessidade

Conteúdo

Métodos de Ensino

Estrutura das Aulas

Avaliação de Conhecimentos

Importância e NecessidadeComplementar das noções básicas de Fluidos e de Aerodinâmica

Fuido real

Experimentação

Indispensável em Engenharia

– Energia, Ambiente, Indústria

Necessária para a resolução de problemaspráticos

Conteúdo da Disciplina

Introdução

Escoamento de um Fluido Real (viscoso e não só …)

Perfis Alares

Asas Finitas

Corpos não fuselados

Métodos de EnsinoObservação

Hipótese

Experimentação

Resultados– Exemplo: Fenómeno de perda de sustentação

Abordagem decisiva em Engenharia

Estrutura das AulasTeóricas– apresentação e discussão dos conceitos

básicosPráticas– resolução, pelos alunos, de exercícios de

aplicação cuja análise é feita em conjuntocom o professor

– ensaios laboratoriais

Avaliação de Conhecimentos – I

Provas escritas

Trabalhos laboratoriais com elaboração de relatório

Realização de projectos

Trabalhos de seminário– diversas opções

– melhor adaptação ao perfil de cada aluno

Avaliação de Conhecimentos – II1) Exame Final

– O exame final consta de uma prova escrita (30%) e de um relatório (70%).

2) Avaliação Periódica – A avaliação periódica baseia-se em:

Um trabalho experimental e relatório respectivo (20%);

Uma revisão bibliográfica sobre um tema (20%);

Um estudo e apresentação de um artigo científico (30%);

Um trabalho computacional e relatório respectivo (30%).

– O resultado da avaliação periódica será:“NÃO ADMITIDO” se a classificação for < 6 valores;

“FREQUÊNCIA” se a classificação for ≥ 6 e < 9,5 valores;

quantitativa e igual à classificação obtida se esta for superior a 9,5 valores, dando direito a dispensa do exame final.

Avaliação de Conhecimentos – III

Prazos de entrega dos relatórios:

– o relatório do trabalho de laboratório deverá ser entregue por Email até às 17h do 7º dia posterior ao da realização do trabalho;

– os restantes deverão ser entregues por Email até às 17h dos dias a seguir indicados:

Revisão Bibliográfica 13/6

Artigo Científico 13/6

Trabalho Computacional 13/6

A falta de cumprimento dos prazos referidos na alínea anterior implica uma penalização de 1 valor por cada dia de atraso

O que é importante ?A disciplina de Aerodinâmica II foiprojectada tendo como objectivo essenciala formação avançada em Engenharia, de acordo com o modelo das melhoresEscolas

O método de ensino e a estrutura dasaulas exige um grande empenho dos alunos

Também é importante ...Obter aprovação na disciplina

Aprender– Obter aprovação na disciplina

Atingir um elevado nível de qualificaçãoprofissional, compatível com o desempenho de funções de alto nível, naUE

Obter aprovação na disciplina

Acções urgentes

Reunir com o grupo de trabalho (4 alunos) e definir

métodos de trabalho

Obter a bibliografia

Certificar-se de que a máquina de calcular funciona

Registar o horário

Bibliografia Aconselhada

Brederode, V., “Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível”, IDMEC, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 1997 (ISBN 972-97402-0-8)

Barata, J.M.M., Mecânica dos Fluidos -Trabalhos de Laboratório, Serviços Gráficos, Universidade da Beira Interior, 1995

Informações e contacto

http://webx.ubi.pt/~jbarata > Courses >

Aerodinâmica II

http://e-conteudos.ubi.pt/

[email protected]

1

Aerodinâmica IIFluido Viscoso e não só …

Capítulo 1Introdução

Aerodinâmica IIJorge M M Barata

Leis da Mecânica

Teoria

Escoamento de fluidos

?

Complexidade geométrica (placas palnas, tubos, …)Viscosidade (turbulência, …)

Estudo da Aerodinâmica:

1 – Teoria

2 – Experimentação

3 – Simulação numérica

2


FLUIDO

Um fluido só resiste a forças ou tensões de corte quando em movimento

FLUIDO ~ MEIO CONTÍNUO

Um fluido é um agregado de moléculas separadas por um distância muito superior ao seu diâmetro

A definição de densidade ou peso específico pode variar com o número de moléculas que ocupa um dado volume num determinado instante


3


Dimensões, Unidades

Dimensão - quantificação de uma grandeza física– L comprimento, altura, distância

Unidade - quantificação de uma dimensão– cm unidade (numérica) para exprimir L

Sistema SI – adoptado desde 1960 por vários países– Dimensões primárias [L] [M] [T] [θ]– Dimensões secundárias – são obtidas a partir das

primárias


Campo de velocidades - I

Solução = determinação das propriedades do fluido em cada instante e posição no espaçoMétodos de análise– Euleriano

adequado à Mecânica dos FluidosRepresenta-se a distribuição de uma variável em função do espaço e do tempo: f(x,y,z,t)

– Lagrangianomais apropriado a mecânica dos sólidosusa-se em certas situações na mecânica dos fluidos“segue-se a partícula” no seu movimento

4


Campo de velocidades - II

O campo de velocidades é a propriedade mais importante do escoamento– a velocidade é um vector função da posição e

do tempoA partir da velocidade podem obter-se outras características cinemáticas

∫= dtvr ρρdeslocamento

( )dAnvQ ∫=ρρ. caudal


Técnicas de análise de escoamentos

Análise integral / volume de controleAnálise diferencial / infinitesimal– Conservação de massa– Quantidade de movimento (2ª lei de Newton)– Conservação de energia (1ª lei da termod.)– Equação de estado (uma)– Condições de fronteira

Análise adimensional / experimental– Baseada na experimentação– Muito usada em testes de túnel de vento

5


Visualização de escoamentos - I

Streamlines– Tangente ao vector velocidade– Calcula-se matematicamente

Integrando-se obtém-se a linha de corrente (simples, mas só para escoamento permanente)


Vis

ualiz

ação

de

esco

amen

tos

-II

6


Visualização de escoamentos - II

Pathline– Trajectória descrita por uma dada partícula de

fluidoStreakline– Localização das partículas que passaram por

um ponto pré-determinadoTimeline– Conjunto de partículas que formam uma linha

num dado instantePathlines, streaklines e timelines são coincidentes em escoamento permanente

Streaklines produzem-se libertando continuamente um traçador num dado ponto


Equilíbrio de forças em diversas situações de voo de uma aeronave

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

DTWL

0=CGM inFDT +=

Peso da aeronave [Weight] W

Sustentação [Lift] L

Resistência [Drag] D

Tracção [Thrust] T

7


Voo rectilíneo, ascencional, estabilizado [steady climb]

⎪⎩

⎪⎨⎧

+==

γγ

sencos

DTWL

⎪⎩

⎪⎨⎧

+==

WDTL 0


Voo planado

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

γγ

sencos

WDWL

min1tan

min1tanmin ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=−=LD

dhγ

Máximo raio de acção ângulo de planeio (γ ) mínimo:

Coeficiente de planeio ou finesse [glide ratio] L/D máximo

8


Volta coordenada

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

centrsencos

FLWL

ϕϕ

RmUF /2trajcentr =

ϕ ângulo de pranchamento[bank angle]

Volta em glissade voo rectilíneo (Fcentr=0) com pranchamento

Derrapagem [slide slip]


Mecanismo físico de produção da sustentação

Escoamento permanente

9



Perfil alar

Bordo de ataque [leading edge]

Bordo de fuga [trailing edge]

Corda [chord]

Extradorso [upper surface]

Intradorso [lower surface]

Linha de curvatura [camber]

Flecha [max camber], flecha relativa (f/c)

Espessura [thickness], espessura relativa

Ângulo de ataque

10


12 pFpF > 12 pp >

Trajectórias divisórias

Ponto de estagnação

Fluido perfeito

Fluido ideal


const21 2 =++ gzUp ρρ

0pgzpTp =+= ρ

22110 gzpgzpp ρρ +=+=

)( 1212 zzgppp −=−=∆ ρ

Gradiente favorável - Gradiente adverso

Pressão estática + dinâmica + hidrostática Equação da estática:

11


2

21 UppT ρ+= ρ

)(2 ppU T −=

Tubo de Pitot


CV UUρρ0=

Velocidade ar indicada

Velocidade ar calibrada (corrigida)

Velocidade ar verdadeira

Venturi

12


02

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

rVUAr

drdppAp ρδδδδ

rU

drdp 2ρ

=


2

21

∞

∞−=

U

ppCP

ρ

Coeficiente de pressão

13


rUf /2centr ρ=

SU

LCL2

21

∞

=ρ

)(2 βαπ +=LC

• aumentar U

• diminuir r

Coeficiente de sustentação

Pequenos ângulos de incidência


Superfícies de controlo do CG

- leme de profundidade ou elevador estabilizador [elevator] que em conjunto com o

elemento fixo onde faz charneira (a empenagem horizontal) constitui o estabilizador

horizontal [horizontal stabilizer]

- estabilizador integral (configuração canard)

Momento de picada [pitching moment]

Momento de cabragem [nose-down moment]

14


- leme de direcção [rudder], que em conjunto com a empenagem vertical ou

deriva [fin], onde faz charneira, constitui o estabilizador vertical [vertical

stabilizer]

Momento de guinada [yawing moment]


- ailerons

Momento de rolamento

15


Convencional: DassaultAviation Falcon 900 DX

Canard: Beechcraft Starship 2000A

3-superfícies: Piaggio P.180 Avanti


Asas finitas

16


Efeitos da viscosidade


dydUµτ =

Fluidos Newtonianos

Viscosidade dinâmica

Experiência de Stokes

17


Resistência ao atrito [friction drag]Taxa de deformação [strain rate]


Transporte difusivo de quantidade de movimento

18


Camadas limites e camadas de corte livres

Separação


Figuras de Vasco de Brederode, “Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível”, IDMEC, Instituto Superior Técnico, 1997, ISBN:972-974 02-0-8

Aerodinâmica II Jorge M M Barata

Equilíbrio de forças em diversas situações de voo de uma aeronave

Peso da aeronave [Weight] W

Sustentação [Lift] L

Resistência [Drag] D

Tracção [Thrust] T

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

DTWL

0=CGM inFDT +=

2-1


Voo rectilíneo, ascencional, estabilizado [steady climb]

⎪⎩

⎪⎨⎧

+==

γγ

sencos

DTWL

⎪⎩

⎪⎨⎧

+==

WDTL 0

2-2


Voo planado

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

γγ

sencos

WDWL

Máximo raio de acção ângulo de planeio (γ ) mínimo:

min1tan

min1tanmin ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=−=LD

dhγ

Coeficiente de planeio ou finesse [glide ratio] L/D máximo

2-3


Volta coordenada

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

centrsencos

FLWL

ϕϕ

ϕ ângulo de pranchamento [bank angle]

RmUF /2trajcentr =

Derrapagem [slide slip] Volta em glissade voo rectilíneo (Fcentr=0) com pranchamento

2-4


Mecanismo físico de produção da sustentação

Escoamento permanente

2-5


2-6


Perfil alar

Bordo de ataque [leading edge]

Bordo de fuga [trailing edge]

Corda [chord]

Extradorso [upper surface]

Intradorso [lower surface]

Linha de curvatura [camber]

Flecha [max camber], flecha relativa (f/c)

Espessura [thickness], espessura relativa

Ângulo de ataque

2-7


Trajectórias divisórias

Ponto de estagnação

Fluido perfeito Fluido ideal

12 pFpF > 12 pp >

2-8


Gradiente favorável

Gradiente adverso

const.21 2 =++ gzUp ρρ

Pressão estática + dinâmica + hidrostática Equação da estática:

0pgzpTp =+= ρ

22110 gzpgzpp ρρ +=+=

)( 1212 zzgppp −=−=∆ ρ

2-9


Tubo de Pitot

2

21 UppT ρ+=

ρ)(2 ppU T −=

2-10


Velocidade ar indicada Velocidade ar calibrada (corrigida) Velocidade ar verdadeira

CV UUρρ0=

Venturi

2-11


02

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

rVUAr

drdppAp ρδδδδ

rU

drdp 2ρ

=

2-12


Coeficiente de pressão 2

21

∞

∞−=

U

ppCP

ρ

2-13


rUf /2

centr ρ=

• aumentar U • diminuir r

Coeficiente de sustentação SU

LCL2

21

∞

=ρ

Pequenos ângulos de incidência )(2 βαπ +=LC

2-14


Superfícies de controlo do CG - leme de profundidade ou elevador estabilizador [elevator] que em conjunto com o elemento fixo onde faz charneira (a empenagem horizontal) constitui o estabilizador horizontal [horizontal stabilizer] - estabilizador integral (configuração canard)

Momento de picada [pitching moment] Momento de cabragem [nose-down moment]

2-15


- leme de direcção [rudder], que em conjunto com a empenagem vertical ou deriva [fin], onde faz charneira, constitui o estabilizador vertical [vertical stabilizer]

Momento de guinada [yawing moment]

2-16


- ailerons

Momento de rolamento

2-17


Convencional: Dassault Aviation Falcon 900 DX

Canard: Beechcraft Starship 2000A

3-superfícies: Piaggio P.180 Avanti

2-18


Asas finitas

2-19


Efeitos da viscosidade

2-20


Fluidos Newtonianos Viscosidade dinâmica Experiência de Stokes

dydUµτ =

2-21


Resistência ao atrito [friction drag] Taxa de deformação [strain rate]

2-22


Transporte difusivo de quantidade de movimento

2-23


Camadas limites e camadas de corte livres

Separação

2-24


Figuras de Vasco de Brederode, “Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível”, IDMEC, Instituto Superior Técnico, 1997, ISBN:972-974 02-0-8

2-25


Efeitos de compressibilidade

Ma Tipo de

Escoamento

Características

M<0.3 incompressível variação de densidade

desprezável

0.3<M<0.8 subsónico efeitos de densidade

importantes, mas sem ondas de

choque

0.8<M<1.2 transónico aparecimento de ondas de

choque, que dividem zonas

subsónicas e supersónicas

1.2<M<3.0 supersónico existem ondas de choque, mas

não há regiões subsónicas

3.0<M hipersónico ondas de choque e outras

alterações no escoamento muito

intensas

Tabela 1. Classificação de escoamentos.

3-1


3-2


Tubeira convergente

3-3


Tubeira convergente-divergente

Figuras de Jorge M M Barata, “Propulsão – Dinâmica dos Gases (Volume 2), Universidade da Beira Interior, 1998, ISBN: 972-9209-71-5.

3-4


4-1

Cap. 2 Escoamento de um Fluido Viscoso

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ˆˆˆr GRADIENTE

wz

vy

ux

V∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rr

. DIVERGÊNCIA

VVcurlrrr

×∇= ROTACIONAL


4-2

Equação de conservação da massa

( ) ( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ dxdydzw

zdxdydzv

ydxdydzu

xdxdydz

tρρρρ

( ) ( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

yu

xtρρρρ

( ) 0=⋅∇+∂∂ V

trr

ρρ

CONTINUIDADE

y

x

z

udydzρ( ) dydzdxu

xu ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

+ ρρ

dz

dx

dy


4-3

Coordenadas cilíndricas:

( ) ( ) ( ) 011=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zr vz

vr

vrrrt

ρρθ

ρρθ

Escoamento permanente:

( ) ( ) ( ) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂ w

zv

yu

xρρρ

Escoamento incompressível:

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu

0=⋅∇ Vrr


4-4

Equação de transporte da quantidade de movimento A dedução da equação de conservação de quantidade de movimento é análoga à da conservação da massa, mas agora a propriedade é

Vur

ρ em vez de uρ .

∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= Vwz

Vvy

Vux

Vt

dxdydzFrrrrr

ρρρρ

y

x

z

dz

dx

dy

( ) dydzdxVux

Vu ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+rr

ρρdydzVur

ρ


4-5

Como

( ) ( ) ( ) ( )=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ Vw

zVv

yVu

xV

trrrr

ρρρρ

( )44444 344444 21

rrrr

44 344 21

rrr

LSUBSTANCIAOUTOTALDERIVADADtDDECONTINUIDA

zVw

yVv

xVu

tVV

tV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅∇+∂∂

= ρρρ

vem,

∑ = dxdydzDt

VDFr

rρ

Determinação de ∑Fr:

- forças de massa (gravidade, pot. eléctrica, …) - forças de superfície (tensões)


4-6

Forças de massa:

dxdydzgFd gravidaderr

ρ= A

Forças de superfície: pressão + tensões viscosas

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−

+−=

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

pp

p

τττττττττ

σ

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

= dxdydzzyx

dF zxyxxxx τττ.sup

dxdydzzyxx

pzxyxxx ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−= τττ B

Somando A e B vem:

ijpgDt

VD τρρ ⋅∇+∇−=rrr

r

CONSERVAÇÃO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO


4-7

Se 0=ijτ ,

pgDt

VD∇−=rr

r

ρρ Euler

Para um fluido Newtoniano as taxas de deformação são proporcionais à tensões viscosas e à viscosidade:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

=i

j

j

iij x

uxuµτ

Por exemplo,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=z

Vx

V xzxz µτ ou ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

zu

xwµ

Para as tensões normais

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

=444 3444 21

ÍVELINCOMPRESSESCEMLDESPREZÁVE

zyxxxx z

Vy

Vx

Vx

V

.

322µτ


4-8

E assim sucessivamente para as restantes tensões. Então para fluido newtoniano com densidade e viscosidade constantes vem:

DtDu

zu

yu

xu

xpg x ρµρ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

− 2

2

2

2

2

2

DtDv

zv

yv

xv

ypg y ρµρ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

− 2

2

2

2

2

2

DtDw

zw

yw

xw

zpg z ρµρ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

− 2

2

2

2

2

2

EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES


4-9

Equação da energia

Energia gzvue ++= 2

21

{ ( )VpVqDtDu

dissipação

rrrr ⋅∇−Φ+−−∇= ρρ

Com dTCdu v= e kCv ,,µ e .cte≈ρ vem:

Φ+∇= TkDtDTCv

2ρ

Para fluido em repouso a convecção e a dissipação são desprezáveis:

TktTCv

2∇=∂∂ρ


4-10

Escoamento de Couette Incompressível, viscoso, unidimensional

Continuidade: 0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu 0=

∂∂

⇒xu )(yuu =⇒

Navier-Stokes:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

++∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yu

xug

xp

yuv

xuu x µρρ


4-11

0=∂∂

xp e 0≈xg 02

2

=∂∂

⇒yu 21 cycu +=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−==

+====

0)(:0

:

21

21

chchyemu

chcVuhyemVu

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

2

2

2

1

Vc

hVc

22Vy

hVu += solução analítica


4-12

Escoamentos tipo camada limite Determinação dos efeitos viscosos próximo das paredes sólidas e seu “fornecimento ao escoamento invíscido exterior

µρ

νUxUx

x ==Re

PLACA PLANA:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≈∂

7/1

2/1

Re16,0

Re0,5

x

x

x

2

2

ReLU

LULU eee

L νν

==

Representa o quociente entre efeitos de transporte convectivo e difusivo de quantidade de movimento.

ANÁLISE INTEGRAL:

Laminar Rex<106

Turbulento Rex>106


4-13

( ) ( )∫∑ ∫ ⋅+⋅=−=31

dAnVudAnVuDFxrrrr

ρρ

∫∫ +−=δ

ρ00 00 )()( bdyUUbdyUU

h

∫−=δ

ρρ0

220 dyUbbhU (1)

( ) ∫∫ ∫∫ =⇒+−==⋅δδ

ρρρ000 000 UdyhUUbdybdyUdAnV

h

SC

rr

Subsituindo h na equação (1) vem:

∫ −=)(

0 0 )()(x

dyUUUbxDδ

ρ von Kármán


4-14

Esta equação foi inicialmente escrita na forma,

θρ 2)( bUxD = (2)

Em que θ é o défice de quantidade de movimento em relação à situação de fluido perfeito:

dyUU

UU

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

00

0

1δ

θ

A espessura da quantidade de movimento θ mede a resistência total da placa. Então,

w

x

w bdxdDdxxbxD ττ =⇒= ∫0 )()(

e, finalmente,

dxdUwθρτ 2=


4-15

ESPESSURA DO DESLOCAMENTO

É uma grandeza relacionada com o deslocamento das linhas de corrente exteriores devido à presença da camada limite

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

δδ

00

* 1 dyUU

∫∫ =δρρ

0

..

0 0 UbdydybUpf

h

43421 *δδ += h

{( ) ( )∫ ∫ −++=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛−+=

δ δδ

0 0 0*

0000 dyUUhUdyUUUhUBA321


4-16

COEFICIENTE DE TENSÃO DE CORTE SUPERFICIAL FACTOR DE FORMA

Conhecido o perfil de velocidades, os parâmetros integrais *δ e θ podem ser obtidos por integração Em termos dos parâmetros integrais a equação de von Kármán escreve-se

( )ρτδθ w

dxdUUU

dxd

=+ 0*0

20 (2)


4-17

O gradiente longitudinal de pressão relaciona-se com

dxdU 0 derivando a equação de Bernoulli:

dxdUU

dxdp 0

01

=−ρ

Re-arranjando a equação (2) vem:

22 0

0

fCdx

dUU

Hdxd

=+

+θθ

em que

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

hhdy

UU

UUdy

UUH

000

00

*

11θδ

é o FACTOR DE FORMA e quantifica a forma do perfil de velocidades.

NOTA: Para 0=dxdp vem

2fC

dxd

=θ e em regime

laminar .6,2≈H


4-18

Equações diferenciais de camada limite Para uma camada limite bidimensional, incompressível, desprezando o efeito de gravidade, as equações fundamentais são:

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yu

xu

xp

yuv

xuu µρ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yv

xv

yp

yvv

xvu µρ

Comparando a ordem de grandeza de cada termo verifica-se que

uv << e yx ∂∂

<<∂∂


4-19

Assim, a equação de conservação de quantidade de movimento segundo yy reduz-se a

0≈∂∂

yp

Segundo xx, atendendo ainda a que 2

2

2

2

yu

xu

∂∂

<<∂∂

vem,

ydxdUU

yuv

xuu

∂∂

+≈∂∂

+∂∂ τ

ρ10

0

com

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−∂∂

∂∂

=

''vuyu

yu

ρµ

µ

τ

em regime laminar

Em regime turbulento


4-20

Escoamentos semelhantes de camada limite laminar Considere-se gradiente longitudinal de pressão nulo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = 0

dxdp . Então vem 00 =

dxdU

, isto é, tecU =0 .

O escoamento de camada limite laminar em gradiente nulo é uma caso particular de uma família de escoamentos para os quais os perfis de velocidade são SEMELHANTES. Admitindo então uma forma plausível para o perfil de velocidades será possível determinar aproximadamente a evolução da camada limite utilizando a equação integral de von Kármán na

forma 2

fCdxd

=θ .


4-21

Considerando

3

0

)( ηηη cbafUU

++== com δη /y=

Condições de fronteira

0)1('1)1(0)0(

===

fff

Logo,

3

21

23)( ηηη −=f

[ ]∫ ∫ =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1

0

1

00

*

375.0)(11 ηηδδ

δ dfydUU

[ ] 139.0)(1)(1

0=−∫ ηηη

δθ dff


4-22

Então,

7.2*

==θδH

A equação de von Kármán pode então escrever-se:

dxdU

dxdUw

δρθρτ 20

20 139.0==

wτ é δ

µδ

µµ 00

0

5.1)0(' UfUyU

y

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=

Logo, igualando as duas expressões anteriores, integrando em ordem a x e admitindo como condição de fronteira 0=δ em 0=x , obtém-se

xxUx Re64.464.4

0

==νδ


4-23

Substituindo x/δ na equação de wτ ,

x

wf

UC

Re646.0

21 2

0

==ρ

τ

Finalmente,

L

L

f

L

w

D dxCLLU

dx

LU

DCRe292.11

21

21 02

0

0

20

==== ∫∫ρ

τ

ρ

Blasius obteve, em 1908, uma solução deste tipo a partir das equações fundamentais.


4-24

Efeito de um gradiente de pressão Dado que pretendemos analisar a influência de um gradiente de pressão sobre a forma do perfil de velocidades e que este efeito é essencialmente invíscido, podemos, para este fim, considerar um campo de fluido perfeito 0== kµ mas rotacional.

Nestas condições é possível aplicar a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente:

dxdp

Usp

UsU

xU e

ρρ11

−≈∂∂

−=∂∂

≈∂∂

Conclui-se então que o gradiente de pressões provocará uma alteração de velocidade tanto mais significativa quanto menores forem as velocidades locais.


4-25

Gradientes favoráveis ↑↓⇒⇒< fCHdxdp 0

Gradientes adversos ↓↑⇒⇒> fCHdxdp 0


4-26

• Um gradiente de pressões adverso poderá então

provocar uma reversão do escoamento junto à superfície, resultado este designado por SEPARAÇÃO da camada limite.

O gradiente de pressões adverso terá, no entanto, de ser grande quando comparado com a difusão transversal de quantidade de movimento. Fazendo uma análise de ordens de grandeza e definindo um parâmetro Λ traduzindo a razão entre o termo de pressão e o termo difusivo, vem:

dxdUU

dxdUU

yU

xp eee

e νδ

δννϑ

ρ

2

22

21−=−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

=Λ

• Definindo PONTO DE SEPARAÇÃO como aquele onde

0=fC , ou seja 00

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=yyU , verifica-se que a

separação em regime laminar ocorre para valores de 1210−=Λ .


4-27

Um perfil de velocidades em gradiente de pressão adverso exibe forçosamente um PONTO DE INFLEXÃO. Esta característica tem uma influência determinante no processo de transição de regime laminar a turbulento. Na parede a equação da camada limite fica

dxdp

yU

y µ1

02

2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=

⇒ se 0>dxdp vem

00

2

2

>⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=yyU

Na zona de interface camada limite / fluido exterior a velocidade tende para eU por valores inferiores,

logo 02

2

<∂∂

yU .

Deverá, portanto, existir um ponto no interior do

perfil onde 2

2

yU

∂∂ se anula, isto é, um ponto de

inflexão.


4-28

Transição regime laminar / regime turbulento A números de Reynolds elevados, os escoamentos de fluido real são em geral turbulentos, processando-se a TRANSIÇÃO de regime laminar a turbulento por amplificação de pequenas perturbações impostas sobre a camada de corte. Análise da estabilidade das camadas de corte é geralmente feita pelo MÉTODO DAS PEQUENAS

PERTURBAÇÕES (ver Shlichting), segundo a qual uma pequena perturbação sinusoidal é imposta sobre um dado escoamento laminar permanente e se detecta em que condições a perturbação é amortecida ou amplificada com o decorrer do tempo.

Amortecida laminar

Amplificada turbulento


4-29

A teoria das pequenas perturbações, no entanto, só permite: - estabelecer as formas dos perfis de velocidade mais instáveis

- identificar frequências susceptíveis de serem amplificadas

- indicar quais os parâmetros controladores do mecanismo de transição

CURVAS DE ESTABILIDADE NEUTRA

Condensam os resultados obtidos com o método das pequenas perturbações


4-30

i) As curvas de estabilidade neutra têm uma forma completamente diferente em escoamentos exibindo perfis com e sem ponto de inflexão. • Para perfis com ponto de inflexão o ramo

superior para um valor de 0*

≠λδ , pelo que

mesmo na situação limite ∞→Re , entendida como correspondendo a escoamento de fluido perfeito, existe uma gama não nula de comprimentos de onda que podem ser amplicados;

• Para perfis sem ponto de inflexão os ramos superior e inferior da curva tendem assimptoticamente para λδ /* quando

∞→Re .

O primeiro tipo de instabilidade designa-se por invíscido, por poder-se verificar mesmo para ∞→Re e o segundo é viscoso por só ocorrer a ∞<Re .


4-31

ii) A muito baixos números de Reynolds, efeitos dissipativos são de tal maneira pronunciados que todas as perturbações são amortecidas e o escoamento mantém-se em regime laminar. iii) A Re elevados existe uma gama restrita de valores de λ de perturbações que podem ser amplificadas com uma escala de comprimentos e uma escala de tempos próximas das correspondentes escalas locais características da camada de corte como um todo. iv) O Re que separa as situações ii) e iii) designa-se por Reynolds crítico, critRe .


4-32

v) Camadas de corte para as quais os perfis de velocidade apresentam um ponto de inflexão são extremamente instáveis. Comparando com a situação de instabilidade viscosa, o critRe é muito

menor e para qualquer Re superior ao crítico, a gama de comprimentos de onda de perturbações susceptíveis de serem amplificadas é muito maior. Logo, em escoamentos de camada limite, gradientes de pressão adversos tendem a ampliar o domínio de instabilidade e, inversamente, gradientes favoráveis produzem uma acção estabilizante. O método das pequenas perturbações só dá informação acerca da primeira de 4 fases que constituem o processo de transição:

i) instabilidade da camada de corte e perturbações essencialmente bidimensionais

ii) aparecimento de perturbações secundárias produzindo tridimensionalidade

iii) formação aleatória de erupções turbulentas

iv) degenerescência em regime turbulento


4-33

Escoamento Turbulento As condições necessárias para que um escoamento transite de um regime laminar a turbulento são a existência de uma gama de perturbações, que algumas delas possam ser amplificadas e que o Re característico do escoamento seja elevado. Estas condições estão presentes em quase todos os escoamentos reais.

TURBULÊNCIA - o que é? O conceito de turbulência, embora de noção intuitiva, é muito difícil de definir com precisão. Para contornar esta dificuldade é habitual descrever as características de um processo que designaremos por turbulento.


4-34

1- Esoamento irregular em que sobreposto a um

campo médio se observam flutuações caóticas com grandes gamas de frequência e amplitudes. A natureza aleatória obriga a que o seu tratamento analítico seja feito por métodos estatísticos, em vez de determinísticos.

2- É também um dado da observação, a natureza

essencialmente tridimensional, em que entes vulgarmente denominados redemoinhos ou turbilhões se entrelaçam. Usa-se o nome turbilhão para identificar o ente produzindo um movimento circular aleatório, reservando-se a designação de vórtice para um escoamento idêntico mas organizado.

Como resultado de um campo tridimensional em que os gradientes de velocidade são elevados, a energia cinética associada às flutuações de velocidade (energia cinética turbulenta) vai sendo transferida dos turbilhões de grandes dimensões para turbilhões de cada vez menores dimensões (alta frequência) por um processo essencialmente invíscido de estiramento de tubos de vórtice.


4-35

3- Grande capacidade de mistura, provocando uma rápida uniformização da distribuição espacial da propriedade em causa. Esta grande difusão resultante do transporte pelo campo turbulento de largas massas de fluido ao longo de comprimentos apreciáveis é várias ordens de grandeza superior à difusão de nível molecular que ocorre nos escoamentos laminares.

4- No final do processo de transferência de energia das grandes para as pequenas escalas por estiramento dos vórtices, isto é, a nível dos pequenos turbilhões, a frequência angular é de tal modo elevada que tensões de corte de origem viscosa são significativas. Estas tensões viscosas produzem trabalho de deformação que aumenta a energia interna do fluido à custa de uma diminuição da energia cinética turbulenta.

Um campo turbulento é assim essencialmente dissipativo e para sobreviver será necessário fornecer-lhe continuamente energia.


4-36

Esta energia será retirada ao escoamento médio pelos turbilhões com uma escala de comprimentos (comprimentos de onda) mais próxima de uma dimensão característica do escoamento médio, obviamente pelos turbilhões maiores. A repartição da energia cinética no domínio das frequências – espectro de energia, em que Φ , a densidade espectral de energia, representa a contribuição fraccional para a energia total da energia contida numa banda de frequências de largura unitária – deverá ser do tipo da figura, em escalas logarítmicas.


4-37

Zonas do espectro de energia: 1 – Zona das baixas frequências correspondendo aos grandes turbilhões que interaccionam com o escoamento médio e contribuem com a maior percentagem da energia cinética turbulenta. Muitas vezes chamam-se turbilhões contendo energia. – são altamente anisotrópicos – a sua dimensão máxima é limitada pelo tamanho da camada de corte 2 – Gama correspondente ao subdomínio de inércia. Nesta zona actua simplesmente um mecanismo de inércia promovendo uma transferência de energia das grandes para as pequenas escalas por estiramento de filamentos de vórtices. 3 – Gama dissipativa. A nível das pequenas escalas em que se processa a dissipação de energia, os turbilhões têm uma dimensão de tal modo inferior à distância ao longo da qual ocorrem variações significativas das propriedades do escoamento médio


4-38

que, não sentindo gradientes médios, apresentam características muito aproximadamente isotrópicas. A dimensão mínima dos turbilhões está condicionada pela sua capacidade de sobrevivência num campo dissipativo. Só nesta gama se fazem sentir os efeitos da viscosidade molecular. A todo este processo de transferência de energia, semelhante a um fraccionamento de turbilhões de grandes dimensões em turbilhões cada vez mais pequenos chama-se CASCATA DE ENERGIA.

5- Em praticamente todas as situações, a dimensão dos turbilhões dissipativos é ainda várias ordens de grandeza superior ao percurso médio livre das moléculas do fluido, pelo que, mesmo para tratar um campo turbulento a nível das pequenas escalas é perfeitamente válido admitir o meio como contínuo. Assim, pode-se representar em termos instantâneos a conservação da massa, de quantidade de movimento e de energia, tal como já foi apresentado.


4-39

6- Escoamentos turbulentos ocorrem só a grande

números de Reynolds como resultado da amplificação preferencial de perturbações existentes em regime laminar, instabilidades estas provocadas por efeitos viscosos e efeitos convectivos não lineares.

7- A turbulência é uma característica do

escoamento e não do fluido, sendo por isso independente das propriedades físicas do meio. A influência de ν está restrita à sua contribuição para Re e este é o parâmetro controlador do regime do escoamento.

AAALLLEEEAAATTTÓÓÓRRRIIIOOO

TTTRRRIII---DDDIIIMMMEEENNNSSSIIIOOONNNAAALLL

GGGRRRAAANNNDDDEEE DDDIIIFFFUUUSSSÃÃÃOOO

DDDIIISSSSSSIIIPPPAAATTTIIIVVVOOO

MMMEEEIIIOOO CCCOOONNNTTTÍÍÍNNNUUUOOO

Re EEELLLEEEVVVAAADDDOOOSSS


4-40

O campo turbulento é dominado pelos grandes turbilhões, visto serem aqueles que contêm maior fracção de energia e cujo tempo de vida é maior, pelo que conseguem manter a sua individualidade durante o transporte a longas distâncias. Assim, as ocorrências num dado ponto dum campo turbulento, dependem, não de características locais, mas da história do escoamento. Costuma-se referir este facto dizendo que o escoamento turbulento tem memória. São, ainda, os grandes turbilhões que controlam o mecanismo de crescimento de camadas de corte turbulentas. A interface rotacional/irrotacional é altamente contorcida, devido a erupções turbulentas, envolvendo grandes massas de fluido que, geradas no interior da camada de corte, penetram no escoamento exterior. A vorticidade é comunicada, por acção viscosa, aos elementos contíguos de fluido perfeito que são captados para o interior da camada e arrastados pelo escoamento turbulento.


4-41

Exemplo: Arrastamento no caso do EFEITO COANDA


4-42

Estimativa do tamanho dos turbilhões menores A análise da cascata de energia e do processo de dissipação de energia permite obter uma estimativa to tamanho dos turbilhões menores que existem num escoamento turbulento. Uma vez que a taxa de dissipação de energia cinética turbulenta por unidade de massa ( ε ) é , para números de Reynolds elevados, dependente apenas do processo de estiramento e rotação de vórtices, ela deve ser parametrizada através das grandes escalas. Sendo u e l a velocidade e o comprimento característicos,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 3

2

TLε , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=TLu , [ ]Ll =

Logo, através do teorema dos π de Buckingham obtém-se,


4-43

lu3

∝ε

Para as escalas menores esta taxa de dissipação de energia deverá ser assegurada pela viscosidade e pelos gradientes de velocidade existentes ao nível das escalas pequenas. Assim, os parâmetros que governam o movimento das escalas pequenas são ε e ν . Podemos, então usar a análise dimensional para obter uma escala de comprimentos das escalas pequenas (η ) :

[ ]L=η , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 3

2

TLε , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

TL2

ν

4/13

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∝

ενη

De forma idêntica podem ser obtidas escalas para a velocidade e o tempo, que, em conjunto, formam as escalas de Kolmogorov.

( ) 4/1εηη ∝u


4-44

2/1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∝εντη

Num escoamento com um Reynolds elevado, verifica-se que para estas escalas ( 0ll << ), os

movimentos são estatisticamente isotrópicos – HIPÓTESE DA ISOTROPIA LOCAL DE KOLMOGOROV. Por seu turno, a HIPÓTESE DE SEMELHANÇA DE KOLMOGOROV afirma que a estatística dos movimentos das escalas pequenas têm uma forma universal, que só depende de ν e ε . Pensando numa solução numérica das equações de Navier-Stokes, tem de se prever uma malha suficientemente pequena para resolver as escalas pequenas de dimensão.

Substituindo a escala de ε obtém-se 4/1

3

3

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∝

ulνη ,

logo 4/1

33

3

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∝

lul νη , ou seja, ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∝ 4/3Re

1lη .


4-45

O número mínimo de pontos por cada direcção, será numa geometria tridimensional

4/3Re∝∝ηlN


4-46

Tratamento estatístico da turbulência Dado que a hipótese de meio contínuo é aplicável a campos turbulentos, conservação da massa e de quantidade de movimento são regidas instantaneamente pelas equações já apresentadas:

0=∂∂

i

i

xU

jj

i

ij

ij

i

xxU

xp

xUU

tU

∂∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ 21 ν

ρ

Vamos usar a decomposição de Reynolds para representar o valor instantâneo, como a soma do valor médio no tempo e a flutuação em torno desse valor médio,

iii uUU ′+=

Em que a média é entendida por

∫+

∞→=

tt

t iti dtUt

U 0

0

1lim


4-47

Designando médias no tempo por uma barra sobre o símbolo da variável, será, por definição,

( ) 01lim 0

0

=−=′ ∫+

∞→dtUU

tu

tt

t iiti

Escoamento estatisticamente permanente é aquele que

∫ =∂∂ 0

tUi

Para se estabelecerem as equações de conservação do campo médio, note-se que a média no tempo da variação espacial do valor médio é igual à variação espacial do valor médio, pois podem-se permutar os operadores de integração no tempo e derivação no espaço.

[ ]j

itt

t

tt

t itjj

i

tj

i

xUdtU

xxU

xU

∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

∫ ∫+ +

∞→∞→

0

0

0

0

limlim


4-48

Outras propriedades: i) A média de um valor médio é o próprio valor

( ) AA = ( ) BABA =

ii) Distributiva

( ) BABA +=+

iii) A média de uma flutuação simples é zero

0a =′

pois ( ) 0AAAAa =−=−=′

iv) A média de um produto não é, necessariamente, igual ao produto das médias

( ) ( )( ) baaBbABAbBaAAB ′′+′+′+=′+′+=

baBA ′′+=

Se o segundo termo não for zero, as quantidades A e B dizem-se correlacionadas e ba ′′ é designada


4-49

correlação ou co-variância entre as duas variáveis flutuantes. Uma medida do grau de correlação é o quociente entre a co-variância e a raiz quadrada do produto das variâncias individuais de cada variável, o coeficiente de correlação R :

22 babaR′′

′′= ( )11 +<<− R

Note-se que ba ′′ não é necessariamente zero apesar de 0ba =′=′ . Na realidade, em escoamentos turbulentos estas correlações são normalmente não nulas. A técnica das médias de Reynolds consiste em inserir a decomposição das variáveis instantâneas nas suas partes médias e flutuantes nas equações fundamentais e obter a média do resultado. Fazendo a sua aplicação à equação da continuidade vem:

0=∂∂

=∂∂

i

i

i

i

xU

xU


4-50

Subtraindo esta equação da equação para o valor instantâneo, vem

0=∂′∂

i

i

xu

Isto é, sendo a equação da continuidade linear, ela é satisfeita tanto pelas componentes médias como pelas flutuações. Para se obter a equação da conservação de quantidade de movimento média, antes de se aplicar o operador de valor médio no tempo, vamos adicionar à equação para valores instantâneos

jj

i

ij

ij

i

xxU

xp

xUU

tU

∂∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ 21 ν

ρ

a equação da continuidade multiplicada por iU , isto

é, j

ji x

UU

∂∂

, do que resulta:

jj

i

ij

jii

xxU

xp

xUU

tU

∂∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂ 21 ν

ρ


4-51

O segundo termo do primeiro membro envolve variações espaciais de produtos de componentes de velocidade instantânea, cujo valor médio é

( )( ) jiijjijijjiiji uuuUuUUUuUuUUU ′′+′+′+=′+′+=

jijijiijjiji uuUUuuuUuUUU ′′+=′′+′+′+=

pois 0=′=′ ji uu (média de uma flutuação)

Sendo o escoamento médio permanente, a equação resultante é

( )jj

i

ijiji

j xxU

xpuuUU

x ∂∂∂

+∂∂

−=′′+∂∂ 21 ν

ρ

Subtraindo a esta equação j

ji x

UU

∂∂

vem

( )jijjj

i

ij

ij uu

xxxU

xp

xUU ′′−

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

−=∂∂ ρ

ρν

ρ11 2


4-52

A comparação desta equação com a que rege os escoamentos laminares mostra o aparecimento de um termo adicional

( )jij

uux

′′−∂∂ ρ

ρ1 .

Este termo representa a transferência de quantidade de movimento entre o campo turbulento e o campo médio. Como de acordo com a segunda lei de Newton, uma variação de quantidade de movimento está relacionada com a força aplicada, jiuu ′′− ρ , pode ser

interpretado como um tensor de tensões turbulentas – o tensor de Reynolds. O tensor de Reynolds é um tensor de segunda ordem e obviamente simétrico, isto é, ijji uuuu ′′=′′ . As

componentes da diagonal ( 112

1 uuu ′′=′ , 22u′ e 2

3u′ ) são

tensões normais, enquanto que as componentes fora da diagonal são tensões de corte. A distinção entre tensões normais e tensões de corte depende do sistema de coordenadas. Uma distinção intrínseca pode ser feita entre tensões isotrópicas e anisotrópicas.


4-53

A tensão isotrópica é ijkδ32 , em que k é a energia

cinética turbulenta iiuuuuk ′′=′⋅′≡21

21 rr , e a parte

anisotrópica é

ijjiij kuua δ32

−′′=

Nestes termos, o tensor de Reynolds é dado por

ijijji kauu δ32

+=′′

Apenas a componente anisotrópica intervém no transporte da quantidade de movimento, pelo que se pode escrever

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

+∂∂

=′′∂∂

+∂∂ kp

xxa

uuxx

pij

ijji

ji

ρρρ32

A componente isotrópica k32 fica, assim, absorvida

numa pressão média modificada.


4-54

Vejamos como as correlações entre as flutuações de velocidade podem aparecer e dar origem a transferência de quantidade de movimento (isto é, causam tensões de corte aparentes). Considere-se um escoamento turbulento com um escoamento médio como o representado na figura.

Flutuações positivas da componente vertical da velocidade (v) transoprtarão fluido com uma quantidade de movimento menor para uma zona com maior quantidade dec movimento, causando por isso uma flutuação negativa de velocidade. Para flutuações negativas de V, flutuações positivas de U aparecerão e num escoamento com yU ∂∂ , a tensão

de corte vu ′′ será negativa acompanhada de um


4-55

transporte de quantidade de movimento na direcção negativa de y. Este transporte difusivo turbulento, tal como o molecular, está relacionado com gradientes do campo médio, embora não através de uma proporcionalidade simples, envolvendo um parâmetro análogo à viscosidade cinemática: a viscosidade turbulenta tν .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=′′−xV

yUvu tν

Esta aproximação ao tratamento das tensões de Reynolds é um passo na modelação da turbulência, cujo objectivo é resolver o problema da indeterminação do sistema de equações (4 equações para 10 incógnitas em tridimensional).


4-56

Equação de transporte da energia cinética turbulenta Em vez da analogia entre a viscosidade molecular e turbulenta é possível derivar equações de transporte exactas para cada uma das tensões de Reynolds. Nos parágrafos seguintes exemplifica-se a obtenção

da equação para a tensão normal de Reynolds, 2u′ , podendo ser usada uma técnica semelhante para todas as tensões ou fluxos escalares turbulentos (i.e. θu′ , etc.). Escrevendo a equação de conservação de quantidade de movimento

jj

i

ij

ij

i

xxU

xp

xUU

tU

∂∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ 21 ν

ρ

para a componente U da velocidade (direcção x , i=1) obtém-se:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

21zU

yU

xU

xp

zUW

yUV

xUU

tU ν

ρ


4-57

Usa-se a decomposição do valor instantâneo em valor médio mais flutuação:

uUU ′+= vVV ′+= wWW ′+= ppp ′+=

Estas definições são substituídas na equação de conservação de quantidade de movimento de U, depois a equação é multiplicada pela flutuação de velocidade u′ e calcula-se a média do resultado. A seguir apresenta-se cada termo da equação separadamente. i) Termo não estacionário

( ) 2

21 u

ttuu

tUuuU

tu ′

∂∂

=∂′∂′+

∂∂′=′+

∂∂′

Este termo é nulo para escoamento permanente em termos médios.

0 0


4-58

ii) Termos convectivos

( ) ( )xuu

xUu

xuUu

xUUuuU

xuUu

∂′∂′+

∂∂′+

∂′∂′+

∂∂′=′+

∂∂′+′ 22

( ) ( )yuvu

yUvu

yuVu

yUVuuU

yvVu

∂′∂′′+

∂∂′′+

∂′∂′+

∂∂′=′+

∂∂′+′

( ) ( )zuwu

zUwu

yuWu

zUWuuU

zwWu

∂′∂′′+

∂∂′′+

∂′∂′+

∂∂′=′+

∂∂′+′

Os termos do segundo membro podem ser escritos noutra forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

=∂′∂′+

∂′∂′+

∂′∂′ 222

21

21

21 u

zWu

yVu

xU

zuWu

yuVu

xuUu

0

0

0


4-59

Aos termos da última coluna é adicionado o produto

da média de 2

21 u′ pela equação da continuidade do

campo flutuante ( 0=∂′∂

+∂′∂

+∂′∂

zw

yv

xu )

=∂′∂′+

∂′∂′+

∂′∂′+

∂′∂′′+

∂′∂′′+

∂′∂′

zwu

yvu

xuu

zuwu

yuvu

xuu 2222

21

21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

= wuz

vuy

ux

223

21

21

21

iii) Termo do gradiente de pressão

( )xpu

xpupp

xu

∂′∂′−

∂∂′

−=′+∂∂′

−ρρρ1

ou

( )xupup

x ∂′∂′+′′

∂∂

−ρρ11

0


4-60

iv) Termo viscoso

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′+∂∂

+′+∂∂

+′+∂∂′ uU

zuU

yuU

xu 2

2

2

2

2

2

ν

Usando a primeira parcela conclui-se que apenas permanece o segundo gradiente da parte flutuante:

2

2

2

2

xuu

xUu

∂′∂′+

∂∂′ νν

Este termo pode ainda ser re-arranjado, atendendo ao seu significado físico:

22

2

2

2

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

=∂

′∂′xuu

xxuu ννν

0


4-61

Juntando todos os termos, a equação de transporte

para a tensão normal 2u′ fica:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

4444444 34444444 211

222

21

21

21 u

zWu

yVu

xU

44444 344444 212

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂′′+

∂∂′′+

∂∂′−

zUwu

yUvu

xUu

44444444 344444444 213

223

21

21

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

− wuz

vuy

ux

( )43421

a

upx4

1 ′′∂∂

−ρ

43421b

xup

4

1∂′∂′+

ρ

44444444 344444444 21a

uz

uy

ux

5

22

22

2

22

2

2

21

21

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

∂∂

+ν

44444 344444 21b

zu

yu

xu

5

222

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂′∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

−ν


4-62

Para obter a equação de transporte da energia cinética turbulenta

( )222

21 wvuk ′+′+′=

derivam-se as equações correspondentes para 2v′ e 2w′ e somam-se à equação de 2u′ .

444 3444 211

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zkW

ykV

xkU

434212

P

( ) ( ) ( )444444 3444444 21

3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′′∂∂

+′′∂∂

+′′∂∂

− wkz

vky

ukx

( ) ( ) ( )444444 3444444 21

a

wpz

vpy

upx

4

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′′∂∂

+′′∂∂

+′′∂∂

−ρ

444 3444 21a

zk

yk

xk

5

2

2

2

2

2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+ν

43421b5

ε−


4-63

( )222

21 wvuk ′+′+′=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂′+

∂∂′+

∂∂′−=

zWw

yVv

xUuP 222

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂′′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂′′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂′′−

yW

zVwv

xW

zUwu

xV

yUvu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂′∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂′∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

=222222

zv

yv

xv

zu

yu

xuνε

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂′∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

+222

zw

yw

xwν


4-64

Interpretação física dos grupos de termos das equações de transporte das tensões de Reynolds:

Grupo 1 – Transporte de 2

21 u′ ou de k pelo

campo médio ou convecção.

Grupo 2 – Produção de energia cinética 2

21 u′ ou de

energia cinética turbulenta k . Estes termos são a representação matemática do mecanismo de estiramento e rotação de vórtices. Correspondem à taxa a que o campo médio realiza trabalho contra as tensões de Reynolds. Do ponto de vista do campo turbulento é um grupo positivo (produção), enquanto que para o campo médio é negativo (perda de energia). Grupo 3 – Transporte espacial de energia cinética

2

21 u′ ou de energia cinética turbulenta pelo campo

flutuante (difusão turbulenta). Grupo 4 – Interacções com a pressão:

a) Transporte espacial pelas flutuações de pressão do tipo difusivo. Este termo é


4-65

pequeno e corresponde a um mecanismo físico difícil de imaginar.

b) Redistribuição pela pressão. Este termo não existe na equação da energia cinética turbulenta total, k, o que significa que não influencia directamente o seu valor. Apenas re-distribui o valor total da energia cinética turbulenta por cada uma

das suas componentes 2u′ , 2v′ e 2w′ no sentido de uma maior isotropia.

Grupo 5 – Efeitos viscosos:

a) Difusão viscosa de 2

21 u′ ou de k.

b) Dissipação viscosa ou destruição de 2

21 u′

ou de k em energia interna.


4-66

Modelos de turbulência O aparecimento das tensões turbulentas nas equações do campo médio torna o sistema indeterminado, isto é, o número de incógnitas é superior ao número de equações. Quanto derivamos equações de transporte para os termos adicionais, ainda aprecem mais correlações novas (triplas, correlações com a pressão, etc.). Condições de fecho do sistema de equações podem ser obtidas exprimindo, com base em informação empírica (MODELANDO), correlações de maior ordem como correlações de ordem inferior. Os modelos mais usados são comprimento de mistura, k-ε e tensões de Reynolds.

Boussinesq: yUvu t ∂∂

=′′− µρ

em que tµ é a viscosidade turbulenta.

Prandtl: mtt lcρµ =


4-67

Em que ct é a escala de velocidades característica e lm a escala de comprimentos característica.

yUlc mt ∂∂

= e yUlmt ∂∂

= 2ρµ

Conjugando as hipóteses de viscosidade turbulenta e de comprimento de mistura, a tensão de Reynolds fica:

yU

yUlvu m ∂

∂∂∂

=′′− 2ρρ

Esta relação de fecho tem de ser suplementada com informação empírica sobre a variação de lm transversalmente à camada de corte. A hipótese de comprimento de mistura não é aplicável em escoamentos com transporte convectivo e difusivo importantes, uma vez que implica que a


4-68

produção e a dissipação de energia cinética turbulenta estejam em equilíbrio em cada ponto, nem em escoamentos complexos devido à dificuldade de prescrever os valores de lm . Prandtl e Kolmogorov introduziram, independentemente, uma melhor formulação para a

velocidade característica e substituíram yUlm ∂∂ por

k na expressão da viscosidade turbulenta:

Lkt2/1ρµ ∝

Ao introduzirem uma equação de transporte para a energia cinética turbulenta ultrapassaram o problema do transporte da turbulência; mas para completar este “modelo de uma equação” é necessário especificar a escala de comprimentos, L, tal como no modelo de comprimento de mistura. Uma maneira de solucionar esta dificuldade é resolver também uma equação para L , que em conjunto com a equação de k constitui um modelo de turbulência designado “de duas equações”.


4-69

Um exemplo deste procedimento é o modelo k-ε que usando o conceito de viscosidade turbulenta

iji

j

j

itji k

xU

xUuu δρµρ

32

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

=′′−

e a expressão de Kolmogorov-Prandtl

Lkt2/1ρµ ∝ ,

necessita de uma equação de transporte adicional para a dissipação da energia cinética turbulenta ε definida como

Lk 2/3

∝ε

Substituindo esta expressão na anterior pode ser obtida uma nova relação para a viscosidade turbulenta,

ερµ µ /2kCt =

em que µC é uma constante empírica.


4-70

A forma modelada das equações de transporte para k e ε , em notação tensorial e coordenadas cartesianas, são as seguintes:

ρερσµρ −

∂∂′′−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

j

iji

jk

t

jjj x

Uuuxk

xxkU

kC

xUuu

kC

xxxU

j

iji

j

t

jjj

2

21ερρεε

σµερε

−∂∂′′−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

As constantes do modelo de turbulência standard (Jones e Launder, 1972), têm proporcionado uma boa concordância com os resultados experimentais para uma vasta gama de escoamentos turbulentos são:

Cµ C1 C2 σk σε

0.09 1.44 1.92 1.0 .13


4-71

Outra aproximação consiste em resolver o sistema das equações de transporte para todas as componentes do tensor de Reynolds (6), com a equação da dissipação da energia cinética turbulenta. Neste caso informação adicional para as correlações de ordem superior tem também de ser modelada. Note-se que as tensões de Reynolds não têm existência física. Os elevados valores de mistura e de dissipação em escoamentos turbulentos são, na realidade, produzidos por actuação de efeitos viscosos de nível molecular associados aos grandes gradientes do campo de velocidades instantâneo. Estas influências aparecem nas equações do campo médio como originadas por tensões de nível turbulento devido, exclusivamente, ao tipo de análise utilizado: decomposição de um campo instantâneo em campo médio e turbulento (flutuante) e aplicação do operador média no tempo. A necessidade de modelar campos turbulentos a fim de fechar o sistema de equações que os regem e a conveniência de suplementar as equações


4-72

diferenciais com leis de variação que permitam aligeirar a carga de cálculo numérico (aumentar a dimensão da malha), justificam na premência em compreender a física do fenómeno. Dado que o comportamento global de escoamentos turbulentos é controlado pelos turbilhões de grandes dimensões, cujas características são altamente dependentes das condições de fronteira, os modelos genéricos são impraticáveis. Perante as dificuldades dos modelos de turbulência estão a emergir 2 novas técnicas. Uma é a simulação numérica directa (DNS) que resolve numericamente as equações exactas de Navier-Stokes. O aparecimento de máquinas de processamento paralelo massivo tem permitido alguns resultados para casos simples e números de Reynolds relativamente baixos, mas a sua aplicação a geometrias mais complexas aguarda o aumento substancial das capacidades computacionais actuais.


4-73

Outra abordagem consiste na simulação “directa” dos grandes turbilhões (LES), capazes de serem resolvidos pela malha e numa modelação dos pequenos turbilhões. Continua-se a trabalhar em termos de valores médios, mas em vez de ser médias no tempo, agora são médias ao longo de pequenas regiões do espaço. Esta técnica já é possível ser praticada com os supercomputadores actuais. Apesar da apetência para abordagens DNS e LES convém não esquecer que os resultados que se obtêm têm uma aplicação muito limitada em problemas de engenharia e, por isso, têm sido usados sobretudo para validar modelos ou ajudar a compreensão dos fenómenos.


4-74

Camada da parede Grandes turbilhões de dimensões pequenas com uma escala global de comprimentos característica da camada de corte só poderão ocorrer em regiões próximas de uma superfície sólida, em que a dimensão máxima está forçosamente condicionada pela distância à parede. Pelo facto de só ocorrer na proximidade de uma parede a região de condições de equilíbrio local chama-se camada da parede. Sendo o transporte sempre desprezável entre esta região e regiões circunvizinhas, a camada da parede apresentará as mesmas características em qualquer escoamento que se processe na presença de uma superfície sólida. Escolhamos, por simplicidade analítica, um escoamento completamente desenvolvido tipo Couette, em que os termos convectivos se anulam e a equação do movimento se reduz a:

dxdp

dyd

=τ


4-75

vudyUd

total ′′−== ρµττ

A integração desta equação dá

ydxdp

wtotal ⋅+=ττ

Para valores de dxdp não elevados wtotal ττ = razão

pela qual esta região se chama camada de tensão de corte constante.


4-76

Na vizinhança imediata da parede a dimensão máxima possível dos grandes turbilhões será de tal modo pequena que a contribuição turbulenta para a tensão de corte é desprezável.. Então,

dyUd

wtotal µττ ≈≈

νρτ

µτ yyU ww ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛==

ρτ w é a velocidade característica local,

2f

ew C

Uu ==ρτ

τ , chamada velocidade de fricção.

Adimensionalizando U por τu vem,

ντ

τ

yuuU

=


4-77

Esta expressão é a lei de variação do campo de velocidades médias. É válida até valores de números de Reynolds locais, ντ yu , cerca de 5, isto é na

região em contacto com a parede e designa-se sub-camada linear. Aumentando a distância à parede, a influência relativa das contribuições viscosa e turbulenta para

.tetotal c=τ irá variando de tal maneira que a números

de Reynolds ντ yu elevados, será de prever que o

efeito viscoso deixe de ser significativo.


4-78

Verifica-se experimentalmente que para 5030−>ντ yu as tensões de corte são praticamente

só de origem turbulenta. Nesta região obtém-se a seguinte relação entre grandezas adimensionais,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ντ

τ

yufuU

O gradiente transversal de velocidades virá assim,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ννττ

τyufuu

dyUd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ννττ yugu

Verifica-se experimentalmente que na região

considerada é K

cyug te 1=≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ντ . Substituindo na

expressão anterior obtém-se,


4-79

Kyu

dyUd τ=

Integrando vem,

CyuKu

U+=

ντ

τ

ln1

em que 41.0≈K (constante de von Kármán) e

2.5=C . Esta distribuição semi-logarítmica é conhecida por lei da parede ou lei logarítmica. A lei logarítmica constitui uma poderosa ferramenta para trabalhar escoamentos de camada limite turbulenta, apesar de só abranger os 15% inferiores de δ . No entanto, a 15.0=δy a velocidade

apresenta já valores de cerca de eU7.0 , pelo que, na

determinação do perfil de velocidades, a lei da parede já resolve a maior parte do poblema.


4-80

τuUU =+ e

ντ yuy =+

Ao desvio do perfil, registado na camada limite exterior em relação à variação semi-logarítmica, dá-se o nome de componente de esteira.


4-81

Este desvio pode ser aproximado por uma distribuição co-seno do tipo,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′−≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=∆ +++

δππ y

KCy

KUU cos1ln1

Em que δδ =′ é o valor de y para o qual a componente de esteira é máxima. Camada limite atmosférica É uma camada limite turbulenta que se desenvolve sobre a superfície da Terra, com uma espessura de derca de 1 quilómetro e cujas rugosidades são provocadas por casas, árvores, etc. Gradientes de pressão e ventos associados em altitude são produzidos por aquecimento diferencial devido à radiação solar. Nestas condições o escoamento resulta de um equilíbrio entre gradiente de pressão, força de coriolis e força centrípeta associada à curva das trajectórias e processa-se na direcção das isobáricas.


4-82

Camadas de corte livres As camadas de corte livres são os escoamentos que se desenvolvem longe de superfícies sólidas.

Este tipo de escoamentos ocorre frequentemente em problemas de engenharia e podem ser analisados tendo em conta que a difusão turbulenta é muito maior do que a difusão molecular (o que não acontece próximo de paredes). Outra das características comuns aos escoamentos livres é que possuem uma fronteira livre onde ocorre um processo de “arrastamento de fluido em repouso”.


4-83

Este processo é independente da viscosidade e é controlado elos grandes turbilhões cuja estrutura condiciona a taxa de arrastamento. Está associado a outro chamado intermitência e que se observa quando se mede a velocidade num ponto próximo da superfície exterior e se observa que o escoamento ora é laminar ora é turbulento. Na realidade o que se passa é que o ponto ora está no interior da camada de corte ora está no exterior. Para este tipo de escoamentos é possível obter equações muito simplificadas a partir das equações de Reynolds. São feitas considerações em termos de ordens de grandeza que permitem eliminar alguns termos.


4-84

Por exemplo no caso de um jacto temos

VU >> yx ∂∂

<<∂∂ L<<δ

e a forma aproximada da equação de conservação de quantidade de movimento na direcção axial fica

( )vuyy

UVxUU ′′

∂∂

−=∂∂

+∂∂

Outra forma de estudar estes escoamentos de uma forma simplificada é investigar a existência de condições de semelhança. Nestas condições as equações são facilmente integráveis e conseguem-se obter variações para as escalas de velocidade ou de comprimento. Por exemplo num jacto plano turbulento a velocidade na linha central US é proporcional a

2/1−x e, por sua vez, x∝δ .


4-85

0 1 2 3r / r1/2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

U/U

m

Expts. X=150mmExpts. X=250mmX=150mm, present workX=250mm, present workGoertlerTollmien

0 10 20 30X/D

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

R1/

2/D

0 10 20 30X/D

0

1

2

3

4

5

6

U0,

c/U

m

Barata, J.M.M. e Perestrelo, N.F.F., “Numerical Simulation of Injection Systems for

Lean Burn, Premixed, Prevaporised Combustors”. XIV ISABE, International

Symposium on Airbreathing Engines, Florença, Itália, 5-10 Setembro, 1999.


4-86

Balanço dos termos da equação de k

Jacto livre


4-87

Escoamento complexo

Ο, Advection: U k X V k Y∂ ∂ ∂ ∂/ /+ ; , Production by normal stresses:

u U X v V Y' / ' /2 2∂ ∂ ∂ ∂+ ; Production by shear stresses: u v U Y V X' '( / / )∂ ∂ ∂ ∂+ ; ______, Imbalance (diffusion plus dissipation).

Barata, J.M.M., "Jets in Ground Effect With a Crossflow”. AIAA Journal, Vol.36, No.9,

Set. 1998, pp.1737-1740.

1

Aerodinâmica IIFluido Viscoso e não só …

Capítulo 4Asas Finitas


Perfil Alar vs. Asa Finita

Perfil alar– Escoamento potencial e incompressível– Troço de largura unitária de uma asa de

geometria constantesem flechaenvergadura infinita

Asa Finita– raíz e bordos marginais– alterações tridimensionais induzidas no escoamento

2


Asas finitas


Sistema de Vórtices ArrastadosNão existem em 2DA sustentação em 2D pode ser modelada por um vórtice ligado ao perfil– um vórtice não pode terminar no seio do fluido: consequência do

2º teorema de Helmohltz (a intensidade de um tubo de vórtices mantém-se constante no espaço)

– a vorticidade é convectada com o fluido ou fluxo de vorticidadeconstante ao longo do tempo (Teorema de Kevin)

– logo, numa asa o vórtice ligado associado à sustentação não pode terminar nos bordos marginais

Induzem um campo de velocidades que altera o comportamento do corpo de sustentação finito relativamente ao infinito (perfil alar)

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Aerodinamica Viscosa