Jorge Manuel Martins Barata
Aerodinâmica
Fluido viscoso e não só …
2008
Aerodinâmica II
Jorge M M Baratahttp://webx.ubi.pt/~jbaratahttp://aeronautics.ubi.pt
Fev 2008
Sumário
Apresentação da disciplina e do corpo docente
Introdução à Aerodinâmica
Apresentação da Disciplina
Importância e Necessidade
Conteúdo
Métodos de Ensino
Estrutura das Aulas
Avaliação de Conhecimentos
Importância e NecessidadeComplementar das noções básicas de Fluidos e de Aerodinâmica
Fuido real
Experimentação
Indispensável em Engenharia
– Energia, Ambiente, Indústria
Necessária para a resolução de problemaspráticos
Conteúdo da Disciplina
Introdução
Escoamento de um Fluido Real (viscoso e não só …)
Perfis Alares
Asas Finitas
Corpos não fuselados
Métodos de EnsinoObservação
Hipótese
Experimentação
Resultados– Exemplo: Fenómeno de perda de sustentação
Abordagem decisiva em Engenharia
Estrutura das AulasTeóricas– apresentação e discussão dos conceitos
básicosPráticas– resolução, pelos alunos, de exercícios de
aplicação cuja análise é feita em conjuntocom o professor
– ensaios laboratoriais
Avaliação de Conhecimentos – I
Provas escritas
Trabalhos laboratoriais com elaboração de relatório
Realização de projectos
Trabalhos de seminário– diversas opções
– melhor adaptação ao perfil de cada aluno
Avaliação de Conhecimentos – II1) Exame Final
– O exame final consta de uma prova escrita (30%) e de um relatório (70%).
2) Avaliação Periódica – A avaliação periódica baseia-se em:
Um trabalho experimental e relatório respectivo (20%);
Uma revisão bibliográfica sobre um tema (20%);
Um estudo e apresentação de um artigo científico (30%);
Um trabalho computacional e relatório respectivo (30%).
– O resultado da avaliação periódica será:“NÃO ADMITIDO” se a classificação for < 6 valores;
“FREQUÊNCIA” se a classificação for ≥ 6 e < 9,5 valores;
quantitativa e igual à classificação obtida se esta for superior a 9,5 valores, dando direito a dispensa do exame final.
Avaliação de Conhecimentos – III
Prazos de entrega dos relatórios:
– o relatório do trabalho de laboratório deverá ser entregue por Email até às 17h do 7º dia posterior ao da realização do trabalho;
– os restantes deverão ser entregues por Email até às 17h dos dias a seguir indicados:
Revisão Bibliográfica 13/6
Artigo Científico 13/6
Trabalho Computacional 13/6
A falta de cumprimento dos prazos referidos na alínea anterior implica uma penalização de 1 valor por cada dia de atraso
O que é importante ?A disciplina de Aerodinâmica II foiprojectada tendo como objectivo essenciala formação avançada em Engenharia, de acordo com o modelo das melhoresEscolas
O método de ensino e a estrutura dasaulas exige um grande empenho dos alunos
Também é importante ...Obter aprovação na disciplina
Aprender– Obter aprovação na disciplina
Atingir um elevado nível de qualificaçãoprofissional, compatível com o desempenho de funções de alto nível, naUE
Obter aprovação na disciplina
Acções urgentes
Reunir com o grupo de trabalho (4 alunos) e definir
métodos de trabalho
Obter a bibliografia
Certificar-se de que a máquina de calcular funciona
Registar o horário
Bibliografia Aconselhada
Brederode, V., “Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível”, IDMEC, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 1997 (ISBN 972-97402-0-8)
Barata, J.M.M., Mecânica dos Fluidos -Trabalhos de Laboratório, Serviços Gráficos, Universidade da Beira Interior, 1995
Informações e contacto
http://webx.ubi.pt/~jbarata > Courses >
Aerodinâmica II
http://e-conteudos.ubi.pt/
1
Aerodinâmica IIFluido Viscoso e não só …
Capítulo 1Introdução
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Leis da Mecânica
Teoria
Escoamento de fluidos
?
Complexidade geométrica (placas palnas, tubos, …)Viscosidade (turbulência, …)
Estudo da Aerodinâmica:
1 – Teoria
2 – Experimentação
3 – Simulação numérica
2
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
FLUIDO
Um fluido só resiste a forças ou tensões de corte quando em movimento
FLUIDO ~ MEIO CONTÍNUO
Um fluido é um agregado de moléculas separadas por um distância muito superior ao seu diâmetro
A definição de densidade ou peso específico pode variar com o número de moléculas que ocupa um dado volume num determinado instante
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
3
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Dimensões, Unidades
Dimensão - quantificação de uma grandeza física– L comprimento, altura, distância
Unidade - quantificação de uma dimensão– cm unidade (numérica) para exprimir L
Sistema SI – adoptado desde 1960 por vários países– Dimensões primárias [L] [M] [T] [θ]– Dimensões secundárias – são obtidas a partir das
primárias
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Campo de velocidades - I
Solução = determinação das propriedades do fluido em cada instante e posição no espaçoMétodos de análise– Euleriano
adequado à Mecânica dos FluidosRepresenta-se a distribuição de uma variável em função do espaço e do tempo: f(x,y,z,t)
– Lagrangianomais apropriado a mecânica dos sólidosusa-se em certas situações na mecânica dos fluidos“segue-se a partícula” no seu movimento
4
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Campo de velocidades - II
O campo de velocidades é a propriedade mais importante do escoamento– a velocidade é um vector função da posição e
do tempoA partir da velocidade podem obter-se outras características cinemáticas
∫= dtvr ρρdeslocamento
( )dAnvQ ∫=ρρ. caudal
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Técnicas de análise de escoamentos
Análise integral / volume de controleAnálise diferencial / infinitesimal– Conservação de massa– Quantidade de movimento (2ª lei de Newton)– Conservação de energia (1ª lei da termod.)– Equação de estado (uma)– Condições de fronteira
Análise adimensional / experimental– Baseada na experimentação– Muito usada em testes de túnel de vento
5
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Visualização de escoamentos - I
Streamlines– Tangente ao vector velocidade– Calcula-se matematicamente
Integrando-se obtém-se a linha de corrente (simples, mas só para escoamento permanente)
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Vis
ualiz
ação
de
esco
amen
tos
-II
6
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Visualização de escoamentos - II
Pathline– Trajectória descrita por uma dada partícula de
fluidoStreakline– Localização das partículas que passaram por
um ponto pré-determinadoTimeline– Conjunto de partículas que formam uma linha
num dado instantePathlines, streaklines e timelines são coincidentes em escoamento permanente
Streaklines produzem-se libertando continuamente um traçador num dado ponto
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Equilíbrio de forças em diversas situações de voo de uma aeronave
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
DTWL
0=CGM inFDT +=
Peso da aeronave [Weight] W
Sustentação [Lift] L
Resistência [Drag] D
Tracção [Thrust] T
7
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Voo rectilíneo, ascencional, estabilizado [steady climb]
⎪⎩
⎪⎨⎧
+==
γγ
sencos
DTWL
⎪⎩
⎪⎨⎧
+==
WDTL 0
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Voo planado
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
γγ
sencos
WDWL
min1tan
min1tanmin ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=−=LD
dhγ
Máximo raio de acção ângulo de planeio (γ ) mínimo:
Coeficiente de planeio ou finesse [glide ratio] L/D máximo
8
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Volta coordenada
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
centrsencos
FLWL
ϕϕ
RmUF /2trajcentr =
ϕ ângulo de pranchamento[bank angle]
Volta em glissade voo rectilíneo (Fcentr=0) com pranchamento
Derrapagem [slide slip]
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Mecanismo físico de produção da sustentação
Escoamento permanente
9
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Perfil alar
Bordo de ataque [leading edge]
Bordo de fuga [trailing edge]
Corda [chord]
Extradorso [upper surface]
Intradorso [lower surface]
Linha de curvatura [camber]
Flecha [max camber], flecha relativa (f/c)
Espessura [thickness], espessura relativa
Ângulo de ataque
10
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
12 pFpF > 12 pp >
Trajectórias divisórias
Ponto de estagnação
Fluido perfeito
Fluido ideal
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
const21 2 =++ gzUp ρρ
0pgzpTp =+= ρ
22110 gzpgzpp ρρ +=+=
)( 1212 zzgppp −=−=∆ ρ
Gradiente favorável - Gradiente adverso
Pressão estática + dinâmica + hidrostática Equação da estática:
11
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
2
21 UppT ρ+= ρ
)(2 ppU T −=
Tubo de Pitot
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
CV UUρρ0=
Velocidade ar indicada
Velocidade ar calibrada (corrigida)
Velocidade ar verdadeira
Venturi
12
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
02
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
rVUAr
drdppAp ρδδδδ
rU
drdp 2ρ
=
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
2
21
∞
∞−=
U
ppCP
ρ
Coeficiente de pressão
13
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
rUf /2centr ρ=
SU
LCL2
21
∞
=ρ
)(2 βαπ +=LC
• aumentar U
• diminuir r
Coeficiente de sustentação
Pequenos ângulos de incidência
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Superfícies de controlo do CG
- leme de profundidade ou elevador estabilizador [elevator] que em conjunto com o
elemento fixo onde faz charneira (a empenagem horizontal) constitui o estabilizador
horizontal [horizontal stabilizer]
- estabilizador integral (configuração canard)
Momento de picada [pitching moment]
Momento de cabragem [nose-down moment]
14
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
- leme de direcção [rudder], que em conjunto com a empenagem vertical ou
deriva [fin], onde faz charneira, constitui o estabilizador vertical [vertical
stabilizer]
Momento de guinada [yawing moment]
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
- ailerons
Momento de rolamento
15
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Convencional: DassaultAviation Falcon 900 DX
Canard: Beechcraft Starship 2000A
3-superfícies: Piaggio P.180 Avanti
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Asas finitas
16
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Efeitos da viscosidade
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
dydUµτ =
Fluidos Newtonianos
Viscosidade dinâmica
Experiência de Stokes
17
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Resistência ao atrito [friction drag]Taxa de deformação [strain rate]
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Transporte difusivo de quantidade de movimento
18
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Camadas limites e camadas de corte livres
Separação
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Figuras de Vasco de Brederode, “Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível”, IDMEC, Instituto Superior Técnico, 1997, ISBN:972-974 02-0-8
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Equilíbrio de forças em diversas situações de voo de uma aeronave
Peso da aeronave [Weight] W
Sustentação [Lift] L
Resistência [Drag] D
Tracção [Thrust] T
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
DTWL
0=CGM inFDT +=
2-1
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Voo rectilíneo, ascencional, estabilizado [steady climb]
⎪⎩
⎪⎨⎧
+==
γγ
sencos
DTWL
⎪⎩
⎪⎨⎧
+==
WDTL 0
2-2
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Voo planado
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
γγ
sencos
WDWL
Máximo raio de acção ângulo de planeio (γ ) mínimo:
min1tan
min1tanmin ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=−=LD
dhγ
Coeficiente de planeio ou finesse [glide ratio] L/D máximo
2-3
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Volta coordenada
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
centrsencos
FLWL
ϕϕ
ϕ ângulo de pranchamento [bank angle]
RmUF /2trajcentr =
Derrapagem [slide slip] Volta em glissade voo rectilíneo (Fcentr=0) com pranchamento
2-4
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Mecanismo físico de produção da sustentação
Escoamento permanente
2-5
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
2-6
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Perfil alar
Bordo de ataque [leading edge]
Bordo de fuga [trailing edge]
Corda [chord]
Extradorso [upper surface]
Intradorso [lower surface]
Linha de curvatura [camber]
Flecha [max camber], flecha relativa (f/c)
Espessura [thickness], espessura relativa
Ângulo de ataque
2-7
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Trajectórias divisórias
Ponto de estagnação
Fluido perfeito Fluido ideal
12 pFpF > 12 pp >
2-8
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Gradiente favorável
Gradiente adverso
const.21 2 =++ gzUp ρρ
Pressão estática + dinâmica + hidrostática Equação da estática:
0pgzpTp =+= ρ
22110 gzpgzpp ρρ +=+=
)( 1212 zzgppp −=−=∆ ρ
2-9
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Tubo de Pitot
2
21 UppT ρ+=
ρ)(2 ppU T −=
2-10
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Velocidade ar indicada Velocidade ar calibrada (corrigida) Velocidade ar verdadeira
CV UUρρ0=
Venturi
2-11
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
02
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
rVUAr
drdppAp ρδδδδ
rU
drdp 2ρ
=
2-12
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Coeficiente de pressão 2
21
∞
∞−=
U
ppCP
ρ
2-13
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
rUf /2
centr ρ=
• aumentar U • diminuir r
Coeficiente de sustentação SU
LCL2
21
∞
=ρ
Pequenos ângulos de incidência )(2 βαπ +=LC
2-14
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Superfícies de controlo do CG - leme de profundidade ou elevador estabilizador [elevator] que em conjunto com o elemento fixo onde faz charneira (a empenagem horizontal) constitui o estabilizador horizontal [horizontal stabilizer] - estabilizador integral (configuração canard)
Momento de picada [pitching moment] Momento de cabragem [nose-down moment]
2-15
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
- leme de direcção [rudder], que em conjunto com a empenagem vertical ou deriva [fin], onde faz charneira, constitui o estabilizador vertical [vertical stabilizer]
Momento de guinada [yawing moment]
2-16
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
- ailerons
Momento de rolamento
2-17
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Convencional: Dassault Aviation Falcon 900 DX
Canard: Beechcraft Starship 2000A
3-superfícies: Piaggio P.180 Avanti
2-18
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Asas finitas
2-19
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Efeitos da viscosidade
2-20
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Fluidos Newtonianos Viscosidade dinâmica Experiência de Stokes
dydUµτ =
2-21
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Resistência ao atrito [friction drag] Taxa de deformação [strain rate]
2-22
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Transporte difusivo de quantidade de movimento
2-23
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Camadas limites e camadas de corte livres
Separação
2-24
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Figuras de Vasco de Brederode, “Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível”, IDMEC, Instituto Superior Técnico, 1997, ISBN:972-974 02-0-8
2-25
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Efeitos de compressibilidade
Ma Tipo de
Escoamento
Características
M<0.3 incompressível variação de densidade
desprezável
0.3<M<0.8 subsónico efeitos de densidade
importantes, mas sem ondas de
choque
0.8<M<1.2 transónico aparecimento de ondas de
choque, que dividem zonas
subsónicas e supersónicas
1.2<M<3.0 supersónico existem ondas de choque, mas
não há regiões subsónicas
3.0<M hipersónico ondas de choque e outras
alterações no escoamento muito
intensas
Tabela 1. Classificação de escoamentos.
3-1
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
3-2
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Tubeira convergente
3-3
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
Tubeira convergente-divergente
Figuras de Jorge M M Barata, “Propulsão – Dinâmica dos Gases (Volume 2), Universidade da Beira Interior, 1998, ISBN: 972-9209-71-5.
3-4
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-1
Cap. 2 Escoamento de um Fluido Viscoso
zk
yj
xi
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ ˆˆˆr GRADIENTE
wz
vy
ux
V∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇rr
. DIVERGÊNCIA
VVcurlrrr
×∇= ROTACIONAL
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-2
Equação de conservação da massa
( ) ( ) ( ) 0=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂ dxdydzw
zdxdydzv
ydxdydzu
xdxdydz
tρρρρ
( ) ( ) ( ) 0=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂ w
zv
yu
xtρρρρ
( ) 0=⋅∇+∂∂ V
trr
ρρ
CONTINUIDADE
y
x
z
udydzρ( ) dydzdxu
xu ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
+ ρρ
dz
dx
dy
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-3
Coordenadas cilíndricas:
( ) ( ) ( ) 011=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
zr vz
vr
vrrrt
ρρθ
ρρθ
Escoamento permanente:
( ) ( ) ( ) 0=∂∂
+∂∂
+∂∂ w
zv
yu
xρρρ
Escoamento incompressível:
0=∂∂
+∂∂
+∂∂
zw
yv
xu
0=⋅∇ Vrr
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-4
Equação de transporte da quantidade de movimento A dedução da equação de conservação de quantidade de movimento é análoga à da conservação da massa, mas agora a propriedade é
Vur
ρ em vez de uρ .
∑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= Vwz
Vvy
Vux
Vt
dxdydzFrrrrr
ρρρρ
y
x
z
dz
dx
dy
( ) dydzdxVux
Vu ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+rr
ρρdydzVur
ρ
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-5
Como
( ) ( ) ( ) ( )=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂ Vw
zVv
yVu
xV
trrrr
ρρρρ
( )44444 344444 21
rrrr
44 344 21
rrr
LSUBSTANCIAOUTOTALDERIVADADtDDECONTINUIDA
zVw
yVv
xVu
tVV
tV ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅∇+∂∂
= ρρρ
vem,
∑ = dxdydzDt
VDFr
rρ
Determinação de ∑Fr:
- forças de massa (gravidade, pot. eléctrica, …) - forças de superfície (tensões)
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-6
Forças de massa:
dxdydzgFd gravidaderr
ρ= A
Forças de superfície: pressão + tensões viscosas
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+−
+−=
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ij
pp
p
τττττττττ
σ
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
= dxdydzzyx
dF zxyxxxx τττ.sup
dxdydzzyxx
pzxyxxx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−= τττ B
Somando A e B vem:
ijpgDt
VD τρρ ⋅∇+∇−=rrr
r
CONSERVAÇÃO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-7
Se 0=ijτ ,
pgDt
VD∇−=rr
r
ρρ Euler
Para um fluido Newtoniano as taxas de deformação são proporcionais à tensões viscosas e à viscosidade:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
=i
j
j
iij x
uxuµτ
Por exemplo,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=z
Vx
V xzxz µτ ou ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
zu
xwµ
Para as tensões normais
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
=444 3444 21
ÍVELINCOMPRESSESCEMLDESPREZÁVE
zyxxxx z
Vy
Vx
Vx
V
.
322µτ
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-8
E assim sucessivamente para as restantes tensões. Então para fluido newtoniano com densidade e viscosidade constantes vem:
DtDu
zu
yu
xu
xpg x ρµρ =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
− 2
2
2
2
2
2
DtDv
zv
yv
xv
ypg y ρµρ =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
− 2
2
2
2
2
2
DtDw
zw
yw
xw
zpg z ρµρ =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
− 2
2
2
2
2
2
EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-9
Equação da energia
Energia gzvue ++= 2
21
{ ( )VpVqDtDu
dissipação
rrrr ⋅∇−Φ+−−∇= ρρ
Com dTCdu v= e kCv ,,µ e .cte≈ρ vem:
Φ+∇= TkDtDTCv
2ρ
Para fluido em repouso a convecção e a dissipação são desprezáveis:
TktTCv
2∇=∂∂ρ
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-10
Escoamento de Couette Incompressível, viscoso, unidimensional
Continuidade: 0=∂∂
+∂∂
+∂∂
zw
yv
xu 0=
∂∂
⇒xu )(yuu =⇒
Navier-Stokes:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
++∂∂
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
2
2
2
2
yu
xug
xp
yuv
xuu x µρρ
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-11
0=∂∂
xp e 0≈xg 02
2
=∂∂
⇒yu 21 cycu +=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−−==
+====
0)(:0
:
21
21
chchyemu
chcVuhyemVu
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
2
2
2
1
Vc
hVc
22Vy
hVu += solução analítica
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-12
Escoamentos tipo camada limite Determinação dos efeitos viscosos próximo das paredes sólidas e seu “fornecimento ao escoamento invíscido exterior
µρ
νUxUx
x ==Re
PLACA PLANA:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≈∂
7/1
2/1
Re16,0
Re0,5
x
x
x
2
2
ReLU
LULU eee
L νν
==
Representa o quociente entre efeitos de transporte convectivo e difusivo de quantidade de movimento.
ANÁLISE INTEGRAL:
Laminar Rex<106
Turbulento Rex>106
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-13
( ) ( )∫∑ ∫ ⋅+⋅=−=31
dAnVudAnVuDFxrrrr
ρρ
∫∫ +−=δ
ρ00 00 )()( bdyUUbdyUU
h
∫−=δ
ρρ0
220 dyUbbhU (1)
( ) ∫∫ ∫∫ =⇒+−==⋅δδ
ρρρ000 000 UdyhUUbdybdyUdAnV
h
SC
rr
Subsituindo h na equação (1) vem:
∫ −=)(
0 0 )()(x
dyUUUbxDδ
ρ von Kármán
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-14
Esta equação foi inicialmente escrita na forma,
θρ 2)( bUxD = (2)
Em que θ é o défice de quantidade de movimento em relação à situação de fluido perfeito:
dyUU
UU
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫
00
0
1δ
θ
A espessura da quantidade de movimento θ mede a resistência total da placa. Então,
w
x
w bdxdDdxxbxD ττ =⇒= ∫0 )()(
e, finalmente,
dxdUwθρτ 2=
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-15
ESPESSURA DO DESLOCAMENTO
É uma grandeza relacionada com o deslocamento das linhas de corrente exteriores devido à presença da camada limite
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
δδ
00
* 1 dyUU
∫∫ =δρρ
0
..
0 0 UbdydybUpf
h
43421 *δδ += h
{( ) ( )∫ ∫ −++=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛−+=
δ δδ
0 0 0*
0000 dyUUhUdyUUUhUBA321
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-16
COEFICIENTE DE TENSÃO DE CORTE SUPERFICIAL FACTOR DE FORMA
Conhecido o perfil de velocidades, os parâmetros integrais *δ e θ podem ser obtidos por integração Em termos dos parâmetros integrais a equação de von Kármán escreve-se
( )ρτδθ w
dxdUUU
dxd
=+ 0*0
20 (2)
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-17
O gradiente longitudinal de pressão relaciona-se com
dxdU 0 derivando a equação de Bernoulli:
dxdUU
dxdp 0
01
=−ρ
Re-arranjando a equação (2) vem:
22 0
0
fCdx
dUU
Hdxd
=+
+θθ
em que
∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
hhdy
UU
UUdy
UUH
000
00
*
11θδ
é o FACTOR DE FORMA e quantifica a forma do perfil de velocidades.
NOTA: Para 0=dxdp vem
2fC
dxd
=θ e em regime
laminar .6,2≈H
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-18
Equações diferenciais de camada limite Para uma camada limite bidimensional, incompressível, desprezando o efeito de gravidade, as equações fundamentais são:
0=∂∂
+∂∂
yv
xu
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
2
2
2
2
yu
xu
xp
yuv
xuu µρ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
2
2
2
2
yv
xv
yp
yvv
xvu µρ
Comparando a ordem de grandeza de cada termo verifica-se que
uv << e yx ∂∂
<<∂∂
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-19
Assim, a equação de conservação de quantidade de movimento segundo yy reduz-se a
0≈∂∂
yp
Segundo xx, atendendo ainda a que 2
2
2
2
yu
xu
∂∂
<<∂∂
vem,
ydxdUU
yuv
xuu
∂∂
+≈∂∂
+∂∂ τ
ρ10
0
com
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−∂∂
∂∂
=
''vuyu
yu
ρµ
µ
τ
em regime laminar
Em regime turbulento
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-20
Escoamentos semelhantes de camada limite laminar Considere-se gradiente longitudinal de pressão nulo
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ = 0
dxdp . Então vem 00 =
dxdU
, isto é, tecU =0 .
O escoamento de camada limite laminar em gradiente nulo é uma caso particular de uma família de escoamentos para os quais os perfis de velocidade são SEMELHANTES. Admitindo então uma forma plausível para o perfil de velocidades será possível determinar aproximadamente a evolução da camada limite utilizando a equação integral de von Kármán na
forma 2
fCdxd
=θ .
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-21
Considerando
3
0
)( ηηη cbafUU
++== com δη /y=
Condições de fronteira
0)1('1)1(0)0(
===
fff
Logo,
3
21
23)( ηηη −=f
[ ]∫ ∫ =−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
1
0
1
00
*
375.0)(11 ηηδδ
δ dfydUU
[ ] 139.0)(1)(1
0=−∫ ηηη
δθ dff
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-22
Então,
7.2*
==θδH
A equação de von Kármán pode então escrever-se:
dxdU
dxdUw
δρθρτ 20
20 139.0==
wτ é δ
µδ
µµ 00
0
5.1)0(' UfUyU
y
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=
Logo, igualando as duas expressões anteriores, integrando em ordem a x e admitindo como condição de fronteira 0=δ em 0=x , obtém-se
xxUx Re64.464.4
0
==νδ
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-23
Substituindo x/δ na equação de wτ ,
x
wf
UC
Re646.0
21 2
0
==ρ
τ
Finalmente,
L
L
f
L
w
D dxCLLU
dx
LU
DCRe292.11
21
21 02
0
0
20
==== ∫∫ρ
τ
ρ
Blasius obteve, em 1908, uma solução deste tipo a partir das equações fundamentais.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-24
Efeito de um gradiente de pressão Dado que pretendemos analisar a influência de um gradiente de pressão sobre a forma do perfil de velocidades e que este efeito é essencialmente invíscido, podemos, para este fim, considerar um campo de fluido perfeito 0== kµ mas rotacional.
Nestas condições é possível aplicar a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente:
dxdp
Usp
UsU
xU e
ρρ11
−≈∂∂
−=∂∂
≈∂∂
Conclui-se então que o gradiente de pressões provocará uma alteração de velocidade tanto mais significativa quanto menores forem as velocidades locais.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-25
Gradientes favoráveis ↑↓⇒⇒< fCHdxdp 0
Gradientes adversos ↓↑⇒⇒> fCHdxdp 0
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-26
• Um gradiente de pressões adverso poderá então
provocar uma reversão do escoamento junto à superfície, resultado este designado por SEPARAÇÃO da camada limite.
O gradiente de pressões adverso terá, no entanto, de ser grande quando comparado com a difusão transversal de quantidade de movimento. Fazendo uma análise de ordens de grandeza e definindo um parâmetro Λ traduzindo a razão entre o termo de pressão e o termo difusivo, vem:
dxdUU
dxdUU
yU
xp eee
e νδ
δννϑ
ρ
2
22
21−=−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂
=Λ
• Definindo PONTO DE SEPARAÇÃO como aquele onde
0=fC , ou seja 00
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=yyU , verifica-se que a
separação em regime laminar ocorre para valores de 1210−=Λ .
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-27
Um perfil de velocidades em gradiente de pressão adverso exibe forçosamente um PONTO DE INFLEXÃO. Esta característica tem uma influência determinante no processo de transição de regime laminar a turbulento. Na parede a equação da camada limite fica
dxdp
yU
y µ1
02
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=
⇒ se 0>dxdp vem
00
2
2
>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=yyU
Na zona de interface camada limite / fluido exterior a velocidade tende para eU por valores inferiores,
logo 02
2
<∂∂
yU .
Deverá, portanto, existir um ponto no interior do
perfil onde 2
2
yU
∂∂ se anula, isto é, um ponto de
inflexão.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-28
Transição regime laminar / regime turbulento A números de Reynolds elevados, os escoamentos de fluido real são em geral turbulentos, processando-se a TRANSIÇÃO de regime laminar a turbulento por amplificação de pequenas perturbações impostas sobre a camada de corte. Análise da estabilidade das camadas de corte é geralmente feita pelo MÉTODO DAS PEQUENAS
PERTURBAÇÕES (ver Shlichting), segundo a qual uma pequena perturbação sinusoidal é imposta sobre um dado escoamento laminar permanente e se detecta em que condições a perturbação é amortecida ou amplificada com o decorrer do tempo.
Amortecida laminar
Amplificada turbulento
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-29
A teoria das pequenas perturbações, no entanto, só permite: - estabelecer as formas dos perfis de velocidade mais instáveis
- identificar frequências susceptíveis de serem amplificadas
- indicar quais os parâmetros controladores do mecanismo de transição
CURVAS DE ESTABILIDADE NEUTRA
Condensam os resultados obtidos com o método das pequenas perturbações
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-30
i) As curvas de estabilidade neutra têm uma forma completamente diferente em escoamentos exibindo perfis com e sem ponto de inflexão. • Para perfis com ponto de inflexão o ramo
superior para um valor de 0*
≠λδ , pelo que
mesmo na situação limite ∞→Re , entendida como correspondendo a escoamento de fluido perfeito, existe uma gama não nula de comprimentos de onda que podem ser amplicados;
• Para perfis sem ponto de inflexão os ramos superior e inferior da curva tendem assimptoticamente para λδ /* quando
∞→Re .
O primeiro tipo de instabilidade designa-se por invíscido, por poder-se verificar mesmo para ∞→Re e o segundo é viscoso por só ocorrer a ∞<Re .
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-31
ii) A muito baixos números de Reynolds, efeitos dissipativos são de tal maneira pronunciados que todas as perturbações são amortecidas e o escoamento mantém-se em regime laminar. iii) A Re elevados existe uma gama restrita de valores de λ de perturbações que podem ser amplificadas com uma escala de comprimentos e uma escala de tempos próximas das correspondentes escalas locais características da camada de corte como um todo. iv) O Re que separa as situações ii) e iii) designa-se por Reynolds crítico, critRe .
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-32
v) Camadas de corte para as quais os perfis de velocidade apresentam um ponto de inflexão são extremamente instáveis. Comparando com a situação de instabilidade viscosa, o critRe é muito
menor e para qualquer Re superior ao crítico, a gama de comprimentos de onda de perturbações susceptíveis de serem amplificadas é muito maior. Logo, em escoamentos de camada limite, gradientes de pressão adversos tendem a ampliar o domínio de instabilidade e, inversamente, gradientes favoráveis produzem uma acção estabilizante. O método das pequenas perturbações só dá informação acerca da primeira de 4 fases que constituem o processo de transição:
i) instabilidade da camada de corte e perturbações essencialmente bidimensionais
ii) aparecimento de perturbações secundárias produzindo tridimensionalidade
iii) formação aleatória de erupções turbulentas
iv) degenerescência em regime turbulento
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-33
Escoamento Turbulento As condições necessárias para que um escoamento transite de um regime laminar a turbulento são a existência de uma gama de perturbações, que algumas delas possam ser amplificadas e que o Re característico do escoamento seja elevado. Estas condições estão presentes em quase todos os escoamentos reais.
TURBULÊNCIA - o que é? O conceito de turbulência, embora de noção intuitiva, é muito difícil de definir com precisão. Para contornar esta dificuldade é habitual descrever as características de um processo que designaremos por turbulento.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-34
1- Esoamento irregular em que sobreposto a um
campo médio se observam flutuações caóticas com grandes gamas de frequência e amplitudes. A natureza aleatória obriga a que o seu tratamento analítico seja feito por métodos estatísticos, em vez de determinísticos.
2- É também um dado da observação, a natureza
essencialmente tridimensional, em que entes vulgarmente denominados redemoinhos ou turbilhões se entrelaçam. Usa-se o nome turbilhão para identificar o ente produzindo um movimento circular aleatório, reservando-se a designação de vórtice para um escoamento idêntico mas organizado.
Como resultado de um campo tridimensional em que os gradientes de velocidade são elevados, a energia cinética associada às flutuações de velocidade (energia cinética turbulenta) vai sendo transferida dos turbilhões de grandes dimensões para turbilhões de cada vez menores dimensões (alta frequência) por um processo essencialmente invíscido de estiramento de tubos de vórtice.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-35
3- Grande capacidade de mistura, provocando uma rápida uniformização da distribuição espacial da propriedade em causa. Esta grande difusão resultante do transporte pelo campo turbulento de largas massas de fluido ao longo de comprimentos apreciáveis é várias ordens de grandeza superior à difusão de nível molecular que ocorre nos escoamentos laminares.
4- No final do processo de transferência de energia das grandes para as pequenas escalas por estiramento dos vórtices, isto é, a nível dos pequenos turbilhões, a frequência angular é de tal modo elevada que tensões de corte de origem viscosa são significativas. Estas tensões viscosas produzem trabalho de deformação que aumenta a energia interna do fluido à custa de uma diminuição da energia cinética turbulenta.
Um campo turbulento é assim essencialmente dissipativo e para sobreviver será necessário fornecer-lhe continuamente energia.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-36
Esta energia será retirada ao escoamento médio pelos turbilhões com uma escala de comprimentos (comprimentos de onda) mais próxima de uma dimensão característica do escoamento médio, obviamente pelos turbilhões maiores. A repartição da energia cinética no domínio das frequências – espectro de energia, em que Φ , a densidade espectral de energia, representa a contribuição fraccional para a energia total da energia contida numa banda de frequências de largura unitária – deverá ser do tipo da figura, em escalas logarítmicas.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-37
Zonas do espectro de energia: 1 – Zona das baixas frequências correspondendo aos grandes turbilhões que interaccionam com o escoamento médio e contribuem com a maior percentagem da energia cinética turbulenta. Muitas vezes chamam-se turbilhões contendo energia. – são altamente anisotrópicos – a sua dimensão máxima é limitada pelo tamanho da camada de corte 2 – Gama correspondente ao subdomínio de inércia. Nesta zona actua simplesmente um mecanismo de inércia promovendo uma transferência de energia das grandes para as pequenas escalas por estiramento de filamentos de vórtices. 3 – Gama dissipativa. A nível das pequenas escalas em que se processa a dissipação de energia, os turbilhões têm uma dimensão de tal modo inferior à distância ao longo da qual ocorrem variações significativas das propriedades do escoamento médio
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-38
que, não sentindo gradientes médios, apresentam características muito aproximadamente isotrópicas. A dimensão mínima dos turbilhões está condicionada pela sua capacidade de sobrevivência num campo dissipativo. Só nesta gama se fazem sentir os efeitos da viscosidade molecular. A todo este processo de transferência de energia, semelhante a um fraccionamento de turbilhões de grandes dimensões em turbilhões cada vez mais pequenos chama-se CASCATA DE ENERGIA.
5- Em praticamente todas as situações, a dimensão dos turbilhões dissipativos é ainda várias ordens de grandeza superior ao percurso médio livre das moléculas do fluido, pelo que, mesmo para tratar um campo turbulento a nível das pequenas escalas é perfeitamente válido admitir o meio como contínuo. Assim, pode-se representar em termos instantâneos a conservação da massa, de quantidade de movimento e de energia, tal como já foi apresentado.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-39
6- Escoamentos turbulentos ocorrem só a grande
números de Reynolds como resultado da amplificação preferencial de perturbações existentes em regime laminar, instabilidades estas provocadas por efeitos viscosos e efeitos convectivos não lineares.
7- A turbulência é uma característica do
escoamento e não do fluido, sendo por isso independente das propriedades físicas do meio. A influência de ν está restrita à sua contribuição para Re e este é o parâmetro controlador do regime do escoamento.
AAALLLEEEAAATTTÓÓÓRRRIIIOOO
TTTRRRIII---DDDIIIMMMEEENNNSSSIIIOOONNNAAALLL
GGGRRRAAANNNDDDEEE DDDIIIFFFUUUSSSÃÃÃOOO
DDDIIISSSSSSIIIPPPAAATTTIIIVVVOOO
MMMEEEIIIOOO CCCOOONNNTTTÍÍÍNNNUUUOOO
Re EEELLLEEEVVVAAADDDOOOSSS
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-40
O campo turbulento é dominado pelos grandes turbilhões, visto serem aqueles que contêm maior fracção de energia e cujo tempo de vida é maior, pelo que conseguem manter a sua individualidade durante o transporte a longas distâncias. Assim, as ocorrências num dado ponto dum campo turbulento, dependem, não de características locais, mas da história do escoamento. Costuma-se referir este facto dizendo que o escoamento turbulento tem memória. São, ainda, os grandes turbilhões que controlam o mecanismo de crescimento de camadas de corte turbulentas. A interface rotacional/irrotacional é altamente contorcida, devido a erupções turbulentas, envolvendo grandes massas de fluido que, geradas no interior da camada de corte, penetram no escoamento exterior. A vorticidade é comunicada, por acção viscosa, aos elementos contíguos de fluido perfeito que são captados para o interior da camada e arrastados pelo escoamento turbulento.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-41
Exemplo: Arrastamento no caso do EFEITO COANDA
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-42
Estimativa do tamanho dos turbilhões menores A análise da cascata de energia e do processo de dissipação de energia permite obter uma estimativa to tamanho dos turbilhões menores que existem num escoamento turbulento. Uma vez que a taxa de dissipação de energia cinética turbulenta por unidade de massa ( ε ) é , para números de Reynolds elevados, dependente apenas do processo de estiramento e rotação de vórtices, ela deve ser parametrizada através das grandes escalas. Sendo u e l a velocidade e o comprimento característicos,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 3
2
TLε , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=TLu , [ ]Ll =
Logo, através do teorema dos π de Buckingham obtém-se,
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-43
lu3
∝ε
Para as escalas menores esta taxa de dissipação de energia deverá ser assegurada pela viscosidade e pelos gradientes de velocidade existentes ao nível das escalas pequenas. Assim, os parâmetros que governam o movimento das escalas pequenas são ε e ν . Podemos, então usar a análise dimensional para obter uma escala de comprimentos das escalas pequenas (η ) :
[ ]L=η , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 3
2
TLε , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
TL2
ν
4/13
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∝
ενη
De forma idêntica podem ser obtidas escalas para a velocidade e o tempo, que, em conjunto, formam as escalas de Kolmogorov.
( ) 4/1εηη ∝u
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-44
2/1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∝εντη
Num escoamento com um Reynolds elevado, verifica-se que para estas escalas ( 0ll << ), os
movimentos são estatisticamente isotrópicos – HIPÓTESE DA ISOTROPIA LOCAL DE KOLMOGOROV. Por seu turno, a HIPÓTESE DE SEMELHANÇA DE KOLMOGOROV afirma que a estatística dos movimentos das escalas pequenas têm uma forma universal, que só depende de ν e ε . Pensando numa solução numérica das equações de Navier-Stokes, tem de se prever uma malha suficientemente pequena para resolver as escalas pequenas de dimensão.
Substituindo a escala de ε obtém-se 4/1
3
3
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∝
ulνη ,
logo 4/1
33
3
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∝
lul νη , ou seja, ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∝ 4/3Re
1lη .
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-45
O número mínimo de pontos por cada direcção, será numa geometria tridimensional
4/3Re∝∝ηlN
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-46
Tratamento estatístico da turbulência Dado que a hipótese de meio contínuo é aplicável a campos turbulentos, conservação da massa e de quantidade de movimento são regidas instantaneamente pelas equações já apresentadas:
0=∂∂
i
i
xU
jj
i
ij
ij
i
xxU
xp
xUU
tU
∂∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂ 21 ν
ρ
Vamos usar a decomposição de Reynolds para representar o valor instantâneo, como a soma do valor médio no tempo e a flutuação em torno desse valor médio,
iii uUU ′+=
Em que a média é entendida por
∫+
∞→=
tt
t iti dtUt
U 0
0
1lim
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-47
Designando médias no tempo por uma barra sobre o símbolo da variável, será, por definição,
( ) 01lim 0
0
=−=′ ∫+
∞→dtUU
tu
tt
t iiti
Escoamento estatisticamente permanente é aquele que
∫ =∂∂ 0
tUi
Para se estabelecerem as equações de conservação do campo médio, note-se que a média no tempo da variação espacial do valor médio é igual à variação espacial do valor médio, pois podem-se permutar os operadores de integração no tempo e derivação no espaço.
[ ]j
itt
t
tt
t itjj
i
tj
i
xUdtU
xxU
xU
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
∫ ∫+ +
∞→∞→
0
0
0
0
limlim
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-48
Outras propriedades: i) A média de um valor médio é o próprio valor
( ) AA = ( ) BABA =
ii) Distributiva
( ) BABA +=+
iii) A média de uma flutuação simples é zero
0a =′
pois ( ) 0AAAAa =−=−=′
iv) A média de um produto não é, necessariamente, igual ao produto das médias
( ) ( )( ) baaBbABAbBaAAB ′′+′+′+=′+′+=
baBA ′′+=
Se o segundo termo não for zero, as quantidades A e B dizem-se correlacionadas e ba ′′ é designada
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-49
correlação ou co-variância entre as duas variáveis flutuantes. Uma medida do grau de correlação é o quociente entre a co-variância e a raiz quadrada do produto das variâncias individuais de cada variável, o coeficiente de correlação R :
22 babaR′′
′′= ( )11 +<<− R
Note-se que ba ′′ não é necessariamente zero apesar de 0ba =′=′ . Na realidade, em escoamentos turbulentos estas correlações são normalmente não nulas. A técnica das médias de Reynolds consiste em inserir a decomposição das variáveis instantâneas nas suas partes médias e flutuantes nas equações fundamentais e obter a média do resultado. Fazendo a sua aplicação à equação da continuidade vem:
0=∂∂
=∂∂
i
i
i
i
xU
xU
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-50
Subtraindo esta equação da equação para o valor instantâneo, vem
0=∂′∂
i
i
xu
Isto é, sendo a equação da continuidade linear, ela é satisfeita tanto pelas componentes médias como pelas flutuações. Para se obter a equação da conservação de quantidade de movimento média, antes de se aplicar o operador de valor médio no tempo, vamos adicionar à equação para valores instantâneos
jj
i
ij
ij
i
xxU
xp
xUU
tU
∂∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂ 21 ν
ρ
a equação da continuidade multiplicada por iU , isto
é, j
ji x
UU
∂∂
, do que resulta:
jj
i
ij
jii
xxU
xp
xUU
tU
∂∂∂
+∂∂
−=∂
∂+
∂∂ 21 ν
ρ
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-51
O segundo termo do primeiro membro envolve variações espaciais de produtos de componentes de velocidade instantânea, cujo valor médio é
( )( ) jiijjijijjiiji uuuUuUUUuUuUUU ′′+′+′+=′+′+=
jijijiijjiji uuUUuuuUuUUU ′′+=′′+′+′+=
pois 0=′=′ ji uu (média de uma flutuação)
Sendo o escoamento médio permanente, a equação resultante é
( )jj
i
ijiji
j xxU
xpuuUU
x ∂∂∂
+∂∂
−=′′+∂∂ 21 ν
ρ
Subtraindo a esta equação j
ji x
UU
∂∂
vem
( )jijjj
i
ij
ij uu
xxxU
xp
xUU ′′−
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
−=∂∂ ρ
ρν
ρ11 2
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-52
A comparação desta equação com a que rege os escoamentos laminares mostra o aparecimento de um termo adicional
( )jij
uux
′′−∂∂ ρ
ρ1 .
Este termo representa a transferência de quantidade de movimento entre o campo turbulento e o campo médio. Como de acordo com a segunda lei de Newton, uma variação de quantidade de movimento está relacionada com a força aplicada, jiuu ′′− ρ , pode ser
interpretado como um tensor de tensões turbulentas – o tensor de Reynolds. O tensor de Reynolds é um tensor de segunda ordem e obviamente simétrico, isto é, ijji uuuu ′′=′′ . As
componentes da diagonal ( 112
1 uuu ′′=′ , 22u′ e 2
3u′ ) são
tensões normais, enquanto que as componentes fora da diagonal são tensões de corte. A distinção entre tensões normais e tensões de corte depende do sistema de coordenadas. Uma distinção intrínseca pode ser feita entre tensões isotrópicas e anisotrópicas.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-53
A tensão isotrópica é ijkδ32 , em que k é a energia
cinética turbulenta iiuuuuk ′′=′⋅′≡21
21 rr , e a parte
anisotrópica é
ijjiij kuua δ32
−′′=
Nestes termos, o tensor de Reynolds é dado por
ijijji kauu δ32
+=′′
Apenas a componente anisotrópica intervém no transporte da quantidade de movimento, pelo que se pode escrever
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
+∂∂
=′′∂∂
+∂∂ kp
xxa
uuxx
pij
ijji
ji
ρρρ32
A componente isotrópica k32 fica, assim, absorvida
numa pressão média modificada.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-54
Vejamos como as correlações entre as flutuações de velocidade podem aparecer e dar origem a transferência de quantidade de movimento (isto é, causam tensões de corte aparentes). Considere-se um escoamento turbulento com um escoamento médio como o representado na figura.
Flutuações positivas da componente vertical da velocidade (v) transoprtarão fluido com uma quantidade de movimento menor para uma zona com maior quantidade dec movimento, causando por isso uma flutuação negativa de velocidade. Para flutuações negativas de V, flutuações positivas de U aparecerão e num escoamento com yU ∂∂ , a tensão
de corte vu ′′ será negativa acompanhada de um
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-55
transporte de quantidade de movimento na direcção negativa de y. Este transporte difusivo turbulento, tal como o molecular, está relacionado com gradientes do campo médio, embora não através de uma proporcionalidade simples, envolvendo um parâmetro análogo à viscosidade cinemática: a viscosidade turbulenta tν .
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=′′−xV
yUvu tν
Esta aproximação ao tratamento das tensões de Reynolds é um passo na modelação da turbulência, cujo objectivo é resolver o problema da indeterminação do sistema de equações (4 equações para 10 incógnitas em tridimensional).
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-56
Equação de transporte da energia cinética turbulenta Em vez da analogia entre a viscosidade molecular e turbulenta é possível derivar equações de transporte exactas para cada uma das tensões de Reynolds. Nos parágrafos seguintes exemplifica-se a obtenção
da equação para a tensão normal de Reynolds, 2u′ , podendo ser usada uma técnica semelhante para todas as tensões ou fluxos escalares turbulentos (i.e. θu′ , etc.). Escrevendo a equação de conservação de quantidade de movimento
jj
i
ij
ij
i
xxU
xp
xUU
tU
∂∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂ 21 ν
ρ
para a componente U da velocidade (direcção x , i=1) obtém-se:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
21zU
yU
xU
xp
zUW
yUV
xUU
tU ν
ρ
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-57
Usa-se a decomposição do valor instantâneo em valor médio mais flutuação:
uUU ′+= vVV ′+= wWW ′+= ppp ′+=
Estas definições são substituídas na equação de conservação de quantidade de movimento de U, depois a equação é multiplicada pela flutuação de velocidade u′ e calcula-se a média do resultado. A seguir apresenta-se cada termo da equação separadamente. i) Termo não estacionário
( ) 2
21 u
ttuu
tUuuU
tu ′
∂∂
=∂′∂′+
∂∂′=′+
∂∂′
Este termo é nulo para escoamento permanente em termos médios.
0 0
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-58
ii) Termos convectivos
( ) ( )xuu
xUu
xuUu
xUUuuU
xuUu
∂′∂′+
∂∂′+
∂′∂′+
∂∂′=′+
∂∂′+′ 22
( ) ( )yuvu
yUvu
yuVu
yUVuuU
yvVu
∂′∂′′+
∂∂′′+
∂′∂′+
∂∂′=′+
∂∂′+′
( ) ( )zuwu
zUwu
yuWu
zUWuuU
zwWu
∂′∂′′+
∂∂′′+
∂′∂′+
∂∂′=′+
∂∂′+′
Os termos do segundo membro podem ser escritos noutra forma:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
=∂′∂′+
∂′∂′+
∂′∂′ 222
21
21
21 u
zWu
yVu
xU
zuWu
yuVu
xuUu
0
0
0
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-59
Aos termos da última coluna é adicionado o produto
da média de 2
21 u′ pela equação da continuidade do
campo flutuante ( 0=∂′∂
+∂′∂
+∂′∂
zw
yv
xu )
=∂′∂′+
∂′∂′+
∂′∂′+
∂′∂′′+
∂′∂′′+
∂′∂′
zwu
yvu
xuu
zuwu
yuvu
xuu 2222
21
21
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
= wuz
vuy
ux
223
21
21
21
iii) Termo do gradiente de pressão
( )xpu
xpupp
xu
∂′∂′−
∂∂′
−=′+∂∂′
−ρρρ1
ou
( )xupup
x ∂′∂′+′′
∂∂
−ρρ11
0
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-60
iv) Termo viscoso
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′+∂∂
+′+∂∂
+′+∂∂′ uU
zuU
yuU
xu 2
2
2
2
2
2
ν
Usando a primeira parcela conclui-se que apenas permanece o segundo gradiente da parte flutuante:
2
2
2
2
xuu
xUu
∂′∂′+
∂∂′ νν
Este termo pode ainda ser re-arranjado, atendendo ao seu significado físico:
22
2
2
2
2
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
=∂
′∂′xuu
xxuu ννν
0
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-61
Juntando todos os termos, a equação de transporte
para a tensão normal 2u′ fica:
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
4444444 34444444 211
222
21
21
21 u
zWu
yVu
xU
44444 344444 212
2⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂′′+
∂∂′′+
∂∂′−
zUwu
yUvu
xUu
44444444 344444444 213
223
21
21
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
− wuz
vuy
ux
( )43421
a
upx4
1 ′′∂∂
−ρ
43421b
xup
4
1∂′∂′+
ρ
44444444 344444444 21a
uz
uy
ux
5
22
22
2
22
2
2
21
21
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
∂∂
+ν
44444 344444 21b
zu
yu
xu
5
222
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂′∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
−ν
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-62
Para obter a equação de transporte da energia cinética turbulenta
( )222
21 wvuk ′+′+′=
derivam-se as equações correspondentes para 2v′ e 2w′ e somam-se à equação de 2u′ .
444 3444 211
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zkW
ykV
xkU
434212
P
( ) ( ) ( )444444 3444444 21
3
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′′∂∂
+′′∂∂
+′′∂∂
− wkz
vky
ukx
( ) ( ) ( )444444 3444444 21
a
wpz
vpy
upx
4
1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′′∂∂
+′′∂∂
+′′∂∂
−ρ
444 3444 21a
zk
yk
xk
5
2
2
2
2
2
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
+ν
43421b5
ε−
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-63
( )222
21 wvuk ′+′+′=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂′+
∂∂′+
∂∂′−=
zWw
yVv
xUuP 222
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂′′+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂′′+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂′′−
yW
zVwv
xW
zUwu
xV
yUvu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂′∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂′∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
=222222
zv
yv
xv
zu
yu
xuνε
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂′∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
+222
zw
yw
xwν
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-64
Interpretação física dos grupos de termos das equações de transporte das tensões de Reynolds:
Grupo 1 – Transporte de 2
21 u′ ou de k pelo
campo médio ou convecção.
Grupo 2 – Produção de energia cinética 2
21 u′ ou de
energia cinética turbulenta k . Estes termos são a representação matemática do mecanismo de estiramento e rotação de vórtices. Correspondem à taxa a que o campo médio realiza trabalho contra as tensões de Reynolds. Do ponto de vista do campo turbulento é um grupo positivo (produção), enquanto que para o campo médio é negativo (perda de energia). Grupo 3 – Transporte espacial de energia cinética
2
21 u′ ou de energia cinética turbulenta pelo campo
flutuante (difusão turbulenta). Grupo 4 – Interacções com a pressão:
a) Transporte espacial pelas flutuações de pressão do tipo difusivo. Este termo é
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-65
pequeno e corresponde a um mecanismo físico difícil de imaginar.
b) Redistribuição pela pressão. Este termo não existe na equação da energia cinética turbulenta total, k, o que significa que não influencia directamente o seu valor. Apenas re-distribui o valor total da energia cinética turbulenta por cada uma
das suas componentes 2u′ , 2v′ e 2w′ no sentido de uma maior isotropia.
Grupo 5 – Efeitos viscosos:
a) Difusão viscosa de 2
21 u′ ou de k.
b) Dissipação viscosa ou destruição de 2
21 u′
ou de k em energia interna.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-66
Modelos de turbulência O aparecimento das tensões turbulentas nas equações do campo médio torna o sistema indeterminado, isto é, o número de incógnitas é superior ao número de equações. Quanto derivamos equações de transporte para os termos adicionais, ainda aprecem mais correlações novas (triplas, correlações com a pressão, etc.). Condições de fecho do sistema de equações podem ser obtidas exprimindo, com base em informação empírica (MODELANDO), correlações de maior ordem como correlações de ordem inferior. Os modelos mais usados são comprimento de mistura, k-ε e tensões de Reynolds.
Boussinesq: yUvu t ∂∂
=′′− µρ
em que tµ é a viscosidade turbulenta.
Prandtl: mtt lcρµ =
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-67
Em que ct é a escala de velocidades característica e lm a escala de comprimentos característica.
yUlc mt ∂∂
= e yUlmt ∂∂
= 2ρµ
Conjugando as hipóteses de viscosidade turbulenta e de comprimento de mistura, a tensão de Reynolds fica:
yU
yUlvu m ∂
∂∂∂
=′′− 2ρρ
Esta relação de fecho tem de ser suplementada com informação empírica sobre a variação de lm transversalmente à camada de corte. A hipótese de comprimento de mistura não é aplicável em escoamentos com transporte convectivo e difusivo importantes, uma vez que implica que a
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-68
produção e a dissipação de energia cinética turbulenta estejam em equilíbrio em cada ponto, nem em escoamentos complexos devido à dificuldade de prescrever os valores de lm . Prandtl e Kolmogorov introduziram, independentemente, uma melhor formulação para a
velocidade característica e substituíram yUlm ∂∂ por
k na expressão da viscosidade turbulenta:
Lkt2/1ρµ ∝
Ao introduzirem uma equação de transporte para a energia cinética turbulenta ultrapassaram o problema do transporte da turbulência; mas para completar este “modelo de uma equação” é necessário especificar a escala de comprimentos, L, tal como no modelo de comprimento de mistura. Uma maneira de solucionar esta dificuldade é resolver também uma equação para L , que em conjunto com a equação de k constitui um modelo de turbulência designado “de duas equações”.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-69
Um exemplo deste procedimento é o modelo k-ε que usando o conceito de viscosidade turbulenta
iji
j
j
itji k
xU
xUuu δρµρ
32
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
=′′−
e a expressão de Kolmogorov-Prandtl
Lkt2/1ρµ ∝ ,
necessita de uma equação de transporte adicional para a dissipação da energia cinética turbulenta ε definida como
Lk 2/3
∝ε
Substituindo esta expressão na anterior pode ser obtida uma nova relação para a viscosidade turbulenta,
ερµ µ /2kCt =
em que µC é uma constante empírica.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-70
A forma modelada das equações de transporte para k e ε , em notação tensorial e coordenadas cartesianas, são as seguintes:
ρερσµρ −
∂∂′′−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
=∂∂
j
iji
jk
t
jjj x
Uuuxk
xxkU
kC
xUuu
kC
xxxU
j
iji
j
t
jjj
2
21ερρεε
σµερε
−∂∂′′−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
=∂∂
As constantes do modelo de turbulência standard (Jones e Launder, 1972), têm proporcionado uma boa concordância com os resultados experimentais para uma vasta gama de escoamentos turbulentos são:
Cµ C1 C2 σk σε
0.09 1.44 1.92 1.0 .13
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-71
Outra aproximação consiste em resolver o sistema das equações de transporte para todas as componentes do tensor de Reynolds (6), com a equação da dissipação da energia cinética turbulenta. Neste caso informação adicional para as correlações de ordem superior tem também de ser modelada. Note-se que as tensões de Reynolds não têm existência física. Os elevados valores de mistura e de dissipação em escoamentos turbulentos são, na realidade, produzidos por actuação de efeitos viscosos de nível molecular associados aos grandes gradientes do campo de velocidades instantâneo. Estas influências aparecem nas equações do campo médio como originadas por tensões de nível turbulento devido, exclusivamente, ao tipo de análise utilizado: decomposição de um campo instantâneo em campo médio e turbulento (flutuante) e aplicação do operador média no tempo. A necessidade de modelar campos turbulentos a fim de fechar o sistema de equações que os regem e a conveniência de suplementar as equações
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-72
diferenciais com leis de variação que permitam aligeirar a carga de cálculo numérico (aumentar a dimensão da malha), justificam na premência em compreender a física do fenómeno. Dado que o comportamento global de escoamentos turbulentos é controlado pelos turbilhões de grandes dimensões, cujas características são altamente dependentes das condições de fronteira, os modelos genéricos são impraticáveis. Perante as dificuldades dos modelos de turbulência estão a emergir 2 novas técnicas. Uma é a simulação numérica directa (DNS) que resolve numericamente as equações exactas de Navier-Stokes. O aparecimento de máquinas de processamento paralelo massivo tem permitido alguns resultados para casos simples e números de Reynolds relativamente baixos, mas a sua aplicação a geometrias mais complexas aguarda o aumento substancial das capacidades computacionais actuais.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-73
Outra abordagem consiste na simulação “directa” dos grandes turbilhões (LES), capazes de serem resolvidos pela malha e numa modelação dos pequenos turbilhões. Continua-se a trabalhar em termos de valores médios, mas em vez de ser médias no tempo, agora são médias ao longo de pequenas regiões do espaço. Esta técnica já é possível ser praticada com os supercomputadores actuais. Apesar da apetência para abordagens DNS e LES convém não esquecer que os resultados que se obtêm têm uma aplicação muito limitada em problemas de engenharia e, por isso, têm sido usados sobretudo para validar modelos ou ajudar a compreensão dos fenómenos.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-74
Camada da parede Grandes turbilhões de dimensões pequenas com uma escala global de comprimentos característica da camada de corte só poderão ocorrer em regiões próximas de uma superfície sólida, em que a dimensão máxima está forçosamente condicionada pela distância à parede. Pelo facto de só ocorrer na proximidade de uma parede a região de condições de equilíbrio local chama-se camada da parede. Sendo o transporte sempre desprezável entre esta região e regiões circunvizinhas, a camada da parede apresentará as mesmas características em qualquer escoamento que se processe na presença de uma superfície sólida. Escolhamos, por simplicidade analítica, um escoamento completamente desenvolvido tipo Couette, em que os termos convectivos se anulam e a equação do movimento se reduz a:
dxdp
dyd
=τ
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-75
vudyUd
total ′′−== ρµττ
A integração desta equação dá
ydxdp
wtotal ⋅+=ττ
Para valores de dxdp não elevados wtotal ττ = razão
pela qual esta região se chama camada de tensão de corte constante.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-76
Na vizinhança imediata da parede a dimensão máxima possível dos grandes turbilhões será de tal modo pequena que a contribuição turbulenta para a tensão de corte é desprezável.. Então,
dyUd
wtotal µττ ≈≈
νρτ
µτ yyU ww ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛==
ρτ w é a velocidade característica local,
2f
ew C
Uu ==ρτ
τ , chamada velocidade de fricção.
Adimensionalizando U por τu vem,
ντ
τ
yuuU
=
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-77
Esta expressão é a lei de variação do campo de velocidades médias. É válida até valores de números de Reynolds locais, ντ yu , cerca de 5, isto é na
região em contacto com a parede e designa-se sub-camada linear. Aumentando a distância à parede, a influência relativa das contribuições viscosa e turbulenta para
.tetotal c=τ irá variando de tal maneira que a números
de Reynolds ντ yu elevados, será de prever que o
efeito viscoso deixe de ser significativo.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-78
Verifica-se experimentalmente que para 5030−>ντ yu as tensões de corte são praticamente
só de origem turbulenta. Nesta região obtém-se a seguinte relação entre grandezas adimensionais,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ντ
τ
yufuU
O gradiente transversal de velocidades virá assim,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
ννττ
τyufuu
dyUd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ννττ yugu
Verifica-se experimentalmente que na região
considerada é K
cyug te 1=≈⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ντ . Substituindo na
expressão anterior obtém-se,
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-79
Kyu
dyUd τ=
Integrando vem,
CyuKu
U+=
ντ
τ
ln1
em que 41.0≈K (constante de von Kármán) e
2.5=C . Esta distribuição semi-logarítmica é conhecida por lei da parede ou lei logarítmica. A lei logarítmica constitui uma poderosa ferramenta para trabalhar escoamentos de camada limite turbulenta, apesar de só abranger os 15% inferiores de δ . No entanto, a 15.0=δy a velocidade
apresenta já valores de cerca de eU7.0 , pelo que, na
determinação do perfil de velocidades, a lei da parede já resolve a maior parte do poblema.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-80
τuUU =+ e
ντ yuy =+
Ao desvio do perfil, registado na camada limite exterior em relação à variação semi-logarítmica, dá-se o nome de componente de esteira.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-81
Este desvio pode ser aproximado por uma distribuição co-seno do tipo,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′−≈⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=∆ +++
δππ y
KCy
KUU cos1ln1
Em que δδ =′ é o valor de y para o qual a componente de esteira é máxima. Camada limite atmosférica É uma camada limite turbulenta que se desenvolve sobre a superfície da Terra, com uma espessura de derca de 1 quilómetro e cujas rugosidades são provocadas por casas, árvores, etc. Gradientes de pressão e ventos associados em altitude são produzidos por aquecimento diferencial devido à radiação solar. Nestas condições o escoamento resulta de um equilíbrio entre gradiente de pressão, força de coriolis e força centrípeta associada à curva das trajectórias e processa-se na direcção das isobáricas.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-82
Camadas de corte livres As camadas de corte livres são os escoamentos que se desenvolvem longe de superfícies sólidas.
Este tipo de escoamentos ocorre frequentemente em problemas de engenharia e podem ser analisados tendo em conta que a difusão turbulenta é muito maior do que a difusão molecular (o que não acontece próximo de paredes). Outra das características comuns aos escoamentos livres é que possuem uma fronteira livre onde ocorre um processo de “arrastamento de fluido em repouso”.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-83
Este processo é independente da viscosidade e é controlado elos grandes turbilhões cuja estrutura condiciona a taxa de arrastamento. Está associado a outro chamado intermitência e que se observa quando se mede a velocidade num ponto próximo da superfície exterior e se observa que o escoamento ora é laminar ora é turbulento. Na realidade o que se passa é que o ponto ora está no interior da camada de corte ora está no exterior. Para este tipo de escoamentos é possível obter equações muito simplificadas a partir das equações de Reynolds. São feitas considerações em termos de ordens de grandeza que permitem eliminar alguns termos.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-84
Por exemplo no caso de um jacto temos
VU >> yx ∂∂
<<∂∂ L<<δ
e a forma aproximada da equação de conservação de quantidade de movimento na direcção axial fica
( )vuyy
UVxUU ′′
∂∂
−=∂∂
+∂∂
Outra forma de estudar estes escoamentos de uma forma simplificada é investigar a existência de condições de semelhança. Nestas condições as equações são facilmente integráveis e conseguem-se obter variações para as escalas de velocidade ou de comprimento. Por exemplo num jacto plano turbulento a velocidade na linha central US é proporcional a
2/1−x e, por sua vez, x∝δ .
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-85
0 1 2 3r / r1/2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
U/U
m
Expts. X=150mmExpts. X=250mmX=150mm, present workX=250mm, present workGoertlerTollmien
0 10 20 30X/D
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
R1/
2/D
0 10 20 30X/D
0
1
2
3
4
5
6
U0,
c/U
m
Barata, J.M.M. e Perestrelo, N.F.F., “Numerical Simulation of Injection Systems for
Lean Burn, Premixed, Prevaporised Combustors”. XIV ISABE, International
Symposium on Airbreathing Engines, Florença, Itália, 5-10 Setembro, 1999.
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-86
Balanço dos termos da equação de k
Jacto livre
Aerodinâmica II Jorge M M Barata
4-87
Escoamento complexo
Ο, Advection: U k X V k Y∂ ∂ ∂ ∂/ /+ ; , Production by normal stresses:
u U X v V Y' / ' /2 2∂ ∂ ∂ ∂+ ; Production by shear stresses: u v U Y V X' '( / / )∂ ∂ ∂ ∂+ ; ______, Imbalance (diffusion plus dissipation).
Barata, J.M.M., "Jets in Ground Effect With a Crossflow”. AIAA Journal, Vol.36, No.9,
Set. 1998, pp.1737-1740.
1
Aerodinâmica IIFluido Viscoso e não só …
Capítulo 4Asas Finitas
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Perfil Alar vs. Asa Finita
Perfil alar– Escoamento potencial e incompressível– Troço de largura unitária de uma asa de
geometria constantesem flechaenvergadura infinita
Asa Finita– raíz e bordos marginais– alterações tridimensionais induzidas no escoamento
2
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Asas finitas
Aerodinâmica IIJorge M M Barata
Sistema de Vórtices ArrastadosNão existem em 2DA sustentação em 2D pode ser modelada por um vórtice ligado ao perfil– um vórtice não pode terminar no seio do fluido: consequência do
2º teorema de Helmohltz (a intensidade de um tubo de vórtices mantém-se constante no espaço)
– a vorticidade é convectada com o fluido ou fluxo de vorticidadeconstante ao longo do tempo (Teorema de Kevin)
– logo, numa asa o vórtice ligado associado à sustentação não pode terminar nos bordos marginais
Induzem um campo de velocidades que altera o comportamento do corpo de sustentação finito relativamente ao infinito (perfil alar)