Ajuste Da Curva

5/26/2018 Ajuste Da Curva

1/27

O SlideShare parte do LinkedIn. Seu uso contnuo significa quevoc concorda com nossosTermos de servio integrados ao LinkedIn.

Atualizaes 0 Atualizaes 0

E

Pesquisar

CarregarMude para Pro

Search SlideShare

India prepares to vote. View all election related content and share your insights here.

Explorar

by Renan Gustavo

by Thoms Freud

by Mrcia Regina da ...

Curte este documento? Compartilhe-o!

ShareEmail

Ajuste de Curvas -@professorenan 1692 views

Anlise de SriesTemporais 398 views

HP 50G - Guiausuario 579 views

Compartilhar

Email Incorporado

Curtir Salvar
http://pt.slideshare.net/MerciaReginaS/hp-50g-guia-usuariohttp://pt.slideshare.net/yangmedeiros/savedfiles?s_title=ajuste-da-curva&user_login=marciasilva65http://pt.slideshare.net/yangmedeiros/savedfiles?s_title=ajuste-da-curva&user_login=marciasilva65http://pt.slideshare.net/MerciaReginaS/hp-50g-guia-usuariohttp://pt.slideshare.net/thfreud/anlise-de-sries-temporaishttp://pt.slideshare.net/renangpsoares/ajuste-de-curvas-professorenanhttp://pt.slideshare.net/yangmedeiroshttp://pt.slideshare.net/featuredhttp://pt.slideshare.net/tag/elections2014?ss_bannerhttp://pt.slideshare.net/business/premium/plans?cmp_src=general&cmp_src_from=main_navhttp://pt.slideshare.net/upload?from_source=loggedin_slideview_navbarhttp://pt.slideshare.net/yangmedeiros/newsfeedhttp://pt.slideshare.net/yangmedeiros/newsfeedhttp://pt.slideshare.net/?sshttp://www.linkedin.com/legal/user-agreement


2/27

by Rodrigo Rodrigues

by Adriano Silva

by marciasilva65

by MarcosViniciusBez...

by Edgard Packness S

Modelo de regressolinear: aspecto...

14262 views

Quatro alternativaspara resolver a... 142 views

Introd clculonumrico 946 views

Manual hp-50g-em-

portugues 19651 views

CFD Aula 3 69 views

4 alternativas-para-
http://pt.slideshare.net/masouza29/4-alternativaspararesolveraequacaodeschrodingerhttp://pt.slideshare.net/edpackness/cfd-aula-3http://pt.slideshare.net/MarcosViniciusBezerra/manual-hp50gemportugueshttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/introd-clculo-numricohttp://pt.slideshare.net/AdrianoSilva113/quatro-alternativas-para-resolver-a-equao-de-schrdinger-para-o-tomo-de-hidrogniohttp://pt.slideshare.net/rodrigomuribec/apresentao-presentation-925150


3/27

by Marcelo de Souza

by CosmoSantiago

by Alisson Figueiredo

by UFPR

resolver-a-equa... 2161 vie

2008 santiagomarchi_cilamce_2008

97 views

Metodos matematicos456 views

Cap. I - Fotogrametria

II 5851 views

Show moreAjuste de Curvas - @professorenan

1692 views

Like

Anlise de Sries Temporais

398 views

Like

HP 50G - Guia usuario

579 views

Like

Modelo de regresso linear:

aspectos tericos e computacionais

14262 views

Like

Quatro alternativas para resolver a

equao de Schrdinger para o

tomo de hi......

142 views

Like

Introd clculo numrico

946 views

Relacionado Mais
http://pt.slideshare.net/masouza29/4-alternativaspararesolveraequacaodeschrodingerhttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/introd-clculo-numricohttp://pt.slideshare.net/AdrianoSilva113/quatro-alternativas-para-resolver-a-equao-de-schrdinger-para-o-tomo-de-hidrogniohttp://pt.slideshare.net/rodrigomuribec/apresentao-presentation-925150http://pt.slideshare.net/MerciaReginaS/hp-50g-guia-usuariohttp://pt.slideshare.net/thfreud/anlise-de-sries-temporaishttp://pt.slideshare.net/renangpsoares/ajuste-de-curvas-professorenanhttp://pt.slideshare.net/danielsantosufpr/foto-ii-capia5http://pt.slideshare.net/AlissonFigueiredo1/metodos-matematicoshttp://pt.slideshare.net/CosmoSantiago/2008-santiago-marchicilamce2008http://pt.slideshare.net/masouza29/4-alternativaspararesolveraequacaodeschrodinger


4/27

Like

Manual hp-50g-em-portugues

19651 views

Like

CFD Aula 3

69 views

Like

4 alte rnativas-para-resolver-a-

equacao-de-schrodinger

2161 views

Like

2008 santiago marchi_cilamce_2008

97 views

Like

Metodos matematicos456 views

Like

Cap. I - Fotogrametria II

5851 views

Like

Raizes da funo

1818 views

Like

Cap9 - Parte 5 - Teste De

Coeficientes

4716 views

Like

Mecanica particula

2988 views

Like

Med Vaz

4032 views

Like

CLculo NumRico

21280 views

Like

C. Bombardelli - Clculo Numrico

1828 views

Like

Sistemas equaes lineares

737 views
http://pt.slideshare.net/marciasilva65/introd-clculo-numricohttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/sistemas-equaes-lineareshttp://pt.slideshare.net/cbtoledo/c-bombardelli-clculo-numricohttp://pt.slideshare.net/educacaof/clculo-numricohttp://pt.slideshare.net/jimnaturesa/med-vazhttp://pt.slideshare.net/LuanaMirandadaSilva/mecanica-particulahttp://pt.slideshare.net/regisandrade/cap9-parte-5-teste-de-coeficientes-presentationhttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/raizes-da-funohttp://pt.slideshare.net/danielsantosufpr/foto-ii-capia5http://pt.slideshare.net/AlissonFigueiredo1/metodos-matematicoshttp://pt.slideshare.net/CosmoSantiago/2008-santiago-marchicilamce2008http://pt.slideshare.net/masouza29/4-alternativaspararesolveraequacaodeschrodingerhttp://pt.slideshare.net/edpackness/cfd-aula-3http://pt.slideshare.net/MarcosViniciusBezerra/manual-hp50gemportugueshttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/introd-clculo-numrico


5/27

Like

Incerteza edico

3568 views

Like

Series em clculo numerico

2156 views

Like

Manual de aulas teoricas de

hidrologia

1309 views

Like

Apostila de matlab

561 views

Like

Mates

1419 views

Like

Livro sci

1521 views

Like

Sci livro2

684 views

Like

Livro monografia - opes -

estrategias para aplicacao no

mercado brasileir......

764 views

Like

relatorio-lei-de-hooke

4165 views

Like

Capituloiii difracao deraios-x

593 views

Like

MatemTica Otm

23795 views

Like

Um estudo sistematizado sobre a

resoluo das equaes polinomiais.

459 views

Like

OTMs matemtica

11396 views
http://pt.slideshare.net/marciasilva65/sistemas-equaes-lineareshttp://pt.slideshare.net/Carlindamaria/otms-matemticahttp://pt.slideshare.net/sandrodemacedo/trabalho-de-concluso-de-curso-29491499http://pt.slideshare.net/fmeducadoradeapoio/matemtica-otmhttp://pt.slideshare.net/joserabelo/capituloiii-difracao-deraiosxhttp://pt.slideshare.net/laisaragao/relatorioleidehookehttp://pt.slideshare.net/renataam/livro-monografia-opes-estrategias-para-aplicacao-no-mercado-brasileiro-de-opcoeshttp://pt.slideshare.net/wendelcarneiro/sci-livro2http://pt.slideshare.net/cicerozanoni/livro-scihttp://pt.slideshare.net/linguaog/mates-15267714http://pt.slideshare.net/denismarcos/apostila-de-matlabhttp://pt.slideshare.net/Hernandes30/manual-de-aulas-teoricas-de-hidrologiahttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/series-em-clculo-numericohttp://pt.slideshare.net/raildofiuza/incerteza-edicohttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/sistemas-equaes-lineares


6/27

Like

CAP11 - PARTE 2 - Tendencia

6021 views

Like

Srm framework para

reconhecimento de som em

dispositivos mveis

967 views

Like

Projeto de engenharia mecnica

shigley 7 ed.

25246 views

Like

Currculo mnimo 2012 matemtica

9014 views

Like

Dissertacao ricardo guarnieri

275 views

Like

Apostol calculo vol2 pt portugues

423 views

Like

Erros & Incertezas nas Medies -

Paulo Cabral - IEP / ISEP - 2004

264 views

Like
http://pt.slideshare.net/Carlindamaria/otms-matemticahttp://pt.slideshare.net/paulomcabral/erros-incertezas-paulo-cabral-isep-iep-2004http://pt.slideshare.net/juliocezarsgt/apostol-calculo-vol2-pt-portugueshttp://pt.slideshare.net/amandaregina92/dissertacao-ricardo-guarnierihttp://pt.slideshare.net/bilaoliveira/currculo-mnimo-2012-matemticahttp://pt.slideshare.net/jorgeoberdan/projeto-de-engenharia-mecnica-shigley-7-edhttp://pt.slideshare.net/mceloruaro/srm-framework-para-reconhecimento-de-som-em-dispositivos-mveishttp://pt.slideshare.net/regisandrade/cap11-parte-2-tendencia-presentationhttp://pt.slideshare.net/Carlindamaria/otms-matemtica


7/27


8/27


9/27


10/27


11/27


12/27


13/27


14/27


15/27


16/27


17/27


18/27


19/27


20/27


21/27

2 semanas atrs

Ajuste da curvaDocument Transcript

1. Ajuste de curvas 5-1Ajuste de Curvas Pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados Introduo Seja um

conjunto de dados contendo n pares de valores (x, y) obtidos numrica ouexperimentalmente. De modo a

calcular qualquer valor de y distinto dos valores tabelados,ajustamos uma funo y = f(x) atravs do

chamado Mtodo dos Mnimos Quadrados. Considere uma equao relacionando a varivel y com a

varivel independente x, comoy = f ( x ) , onde y indica que este o valor aproximado de y. Queremos

encontrar a funoy = f ( x ) , cujo desvio em relao aos valores y seja expresso como i = y i y i .

Por uma questo de convenincia trabalharemos com o desvio quadrtico i = (y i y i )2 . 2A funo y

= f ( x ) que melhor ajusta os pontos (x, y) dados aquela que minimiza o somatriodos desviosquadrticos S: n n S= i2 = (yi yi )2 (1) i =1 i =1 A condio de minimizao da funo S

satisfeita fazendo-se dS = 0, ou seja,necessitamos calcular a derivada da funo S em relao aos

parmetros de ajuste da funoy = f(x) para que possamos encontrar o sistema de equaes denominado

equaes normais queconduz ao melhor ajuste dos pontos (x,y) pela funo y = f(x) escolhida. Para cada

tipo de funode ajuste existe um sistema de equaes normais que minimiza a soma dos desvios

quadrticos S.Em seguida, faremos a deduo das equaes normais para alguns tipos de funes

maiscomumente empregados no ajuste de curvas pelo mtodo dos mnimos quadrados. Ajuste Linear Se

1

/22

Like Share Save

Follow

Ajuste da curva

Tweet 0

0

by marciasilva65, Professora e Pesquisadora at UVA - Universidade Veiga de Almeida on Apr 09,2013

2,765visualizaes

12Like

Ainda no h comentrios

Yang Medeiros

Assinar os comentriosPost Comment

1 pessoa curtiu isso

Camila Do Nascimento Gomesat Infralink
http://pt.slideshare.net/camiladonascimentogomes?utm_campaign=profiletracking&utm_medium=sssite&utm_source=ssslideshowhttp://pt.slideshare.net/yangmedeiros/newsfeedhttp://pt.slideshare.net/marciasilva65?utm_campaign=profiletracking&utm_medium=sssite&utm_source=ssslideviewhttps://plus.google.com/117336532859992839482?rel=authorhttp://twitter.com/search?q=http%3A%2F%2Fpt.slideshare.net%2Fmarciasilva65%2Fajuste-da-curvahttps://twitter.com/intent/tweet?original_referer=http%3A%2F%2Fpt.slideshare.net%2Fmarciasilva65%2Fajuste-da-curva&text=Ajuste%20da%20curva&tw_p=tweetbutton&url=http%3A%2F%2Fpt.slideshare.net%2Fmarciasilva65%2Fajuste-da-curvahttp://pt.slideshare.net/marciasilva65http://pt.slideshare.net/yangmedeiros/savedfiles?s_title=ajuste-da-curva&user_login=marciasilva65http://pt.slideshare.net/login?from_source=%2Fmarciasilva65%2Fajuste-da-curva


22/27

a funo de ajuste for a funo linear na forma: y = a 0 + a1x (2)onde a0 e a1 so os coeficientes a serem

determinados pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados. Acondio de minimizao do somatrio dos desvios

quadrticos dada pelas equaes: S =0 (3) a 0e S =0 (4) a 1Clculo Numrico e Computacional

C.Y. Shigue

2. Ajuste de curvas 5-2Substituindo-se (1) na equao (3), resulta: n n S = a 0 a 0

2 i = a 0 (y i y i )2 i =1 i =1 Substituindo (2) na equao acima,

resulta: n n S = a 0 a 0 2 (y i a 0 a1x i ) = 2 (y i a 0 a1x i )(1) = 0 i

=1 i =1 de onde vem que: n n na 0 + x i a1 = i =1 yi (5) i

=1Analogamente, substituindo-se (1) e (2) em (4), resulta: n n n 2 xi a0 +

i =1 i =1 x i a1 = x i yi (6) i =1 As equaes (5) e (6) constituem-se no

sistema de equaes normais, contendo duasincgnitas (a0 e a1) e duas equaes. Podemos re-arranj-las

de modo a obter as seguintesexpresses para o seu clculo: n n n n x y x xy 2 a 0 = i =1 i =1 i

=1 i =1 (7) 2 n n n x2 x i =1 i =1 n n n n xy x y a1 = i =1 i =1 i =1

(8) 2 n n n x2 x i =1 i =1 Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

3. Ajuste de curvas 5-3Exemplo:Ajustar uma funo linear pelo mtodo dos mnimos quadrados aos

seguintes valores numricos: x 0 1,2 2,5 3,7 y 0,134 0,275 0,339 0,401Resoluo:Para resolvermos o

problema, vamos calcular os coeficientes das equaes normais (5) e (6),atravs do c lculo na tabela

seguinte dos valores de x, x2, y e xy: 2 x y x xy 0 0,134 0 0 1,2 0,275 1,44 0,33 2,5 0,339 6,25

0,8475 3,7 0,401 13,69 1,4837 SOMA = 7,4 1,149 21,38 2,6612Resumindo: 4 4 4 4 n=4 xi = 7,4 yi

= 1,149 2 x i = 21,38 x i yi = 2,6612 i =1 i =1 i =1 i =1Substituindo nas equaes (7) e (8): (21,38)

(1,149) (7, 4)(2,6612) 4,8727 a0 = = = 0,1584 (4)(21,38) (7,4) 2 30,76 (4)(2,6612) (7,4)(1,149)2,1422 a1 = = = 0,0696 2 (4)(21,38) (7,4) 30,76 A funo linear que melhor ajusta os pontos dados

pelo mtodo dos mnimos quadrados desc rita pela equao: y = 0,1584 + 0,0696 x Ajuste Polinomial

Seja uma funo polinomial de grau m da forma: y = a 0 + a1x + a 2 x 2 + + amxm (9) Subs tituindo (9)

na equao para a o somatrio do desvio quadrtico (1):Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

4. Ajuste de curvas 5-4 (yi yi ) = (yi a 0 a1x a 2 x 2 )2 n n 2 S= a mx m i =1 i =1 As

equaes normais para o clculo dos coeficientes da funo polinomial so obtidas apartir das condies

para a minimizao da soma do desvio quadrtico: S S S S = = = = =0 (10) a 0 a 1 a 2 a m

Substituindo S em (10) e derivando, resulta: 2 (yi a 0 a1x i a 2 x i2 ) n S = a m x i (1) =

0 m a 0 i 1 = 2 (yi a 0 a1x i a 2 x i2 ) n S = a m x i (x i ) = 0 m a 1 i 1= 2 (yi a 0

a1xi a 2 x i2 )( ) n S = a m x i x i2 = 0 m a 2 = i 1 2 (yi a 0 a1x i a 2 x i2 )( )n S m m = a m x i x i = 0 a n i 1=Rearranjando as equaes acima, resulta o seguinte sistema de

equaes, denominado deequaes normais: n n n n 2 m na 0 + x i

a1 + i =1 xi a2 + i =1 + i =1 xi am = i =1 yi n

n n n n 2 3 m +1 xi a0 + i =1 x i a1 + i =1

xi a2 + i =1 + i =1 xi am = i =1 x i yi Clculo Numrico e

Computacional C.Y. Shigue

5. Ajuste de curvas 5-5 n n n n n 2 3 4 m +2 xi a0 +

i =1 x i a1 + i =1 i =1 xi a 2 + + i =1 xi am = 2 x i yi

i =1 n n n n n m m +2 m +3 2m i =1 xi

a0 + i =1 xi a1 + i =1 xi a2 + + i =1 xi a m = m x i yi

i =1Na forma matricial, o sistema de equaes normais para o ajuste polinomial toma a

forma: [A][x] = [b]que podem ser escritos omitindo os ndices dos somatrios na forma: n xi

xi2 xmim+1 xi x i2 x3 i xm +2 i [ A] = x i2 x3 i xi4

x i , x im xim +1 xim +2 xi 2m (11) a0 yi a

1 x2i yi [x ] = a 2 , [b] = x i yi a m

x i yi mObservar que a matriz de coeficientes [A] simtrica, isto , aij = aji. Deste modo,

podemosdeterminar o sistema de equaes normais para qualquer ajuste polinomial como um

subconjuntodo sistema acima. Ajuste Parablico O ajuste parablico ou de 2a ordem um caso particular

do ajuste polinomial para m = 2: y = a 0 + a1x + a 2 x 2 (12)de modo que o sistema de equaes normais

pode ser escrito como:Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

6. Ajuste de curvas 5-6 n x2i x i2 a 0 yi [A] = x2i x i3 x 3 , i a , [b ] = [x ] = 1 x2i yi (13) xi x i x i4 a 2

xi yi Exemplo:A tabela seguinte apresenta os valores de calor especfico a presso constante para o

ouro na faixade temperatura entre 10 e 100K. Ajustar pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados uma

curvaparablica do tipo C p = a 0 + a1T + a 2 T 2 , onde Cp o calor especfico e T a

temperaturaabsoluta. T(K) 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 Cp (J/kg.K) 2 7 16 26 37 57 73 84 92

99 104 108Resoluo:Para o clculo dos coeficientes da matriz [A], por uma questo de c ompatibilidade


23/27

com a notaode (13), definiremos y = Cp e x = T. TABELA 1 Coeficientes do sistema de equaes x y

x2 x3 x4 xy x2y 10 2 100 1000 10000 20 200 15 7 225 3375 50625 105 1575 20 16 400 8000 160000

320 6400 25 26 625 15625 390625 650 16250 30 37 900 27000 810000 1110 33300 40 57 1600 64000

2560000 2280 91200 50 73 2500 125000 6250000 3650 182500 60 84 3600 216000 12960000 5040

302400 70 92 4900 343000 24010000 6440 450800 80 99 6400 512000 40960000 7920 633600 90 104

8100 729000 65610000 9360 842400 100 108 10000 1000000 100000000 10800 1080000 SOMA: 590

705 39350 3044000 253771250 47695 3640625Substituindo-se os valores calculados na tabela nas

matrizes do sistema [A][x] = [b], obtm-se: 12 590 39350 705 590 3044000 [b] =

47695 [ A] = 39350 39350 3044000 253771250 3640625 A soluo deste

sistema de equaes obtida por inverso da matriz [A] :Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

7. Ajuste de curvas 5-7 a0 = -27,1891 a1 = 2,54971 a2 = -0,01202e a equao ajustada expressa como: C

p = 27,1891 + 2,54971T 0,01202T 2 A Fig. 1 mostra os dados experimentais juntamente com a curva

parablica ajustada peloscoeficientes calculados acima, na qual observa-se uma excelente concordncia

entre a curvaajustada e os pontos experimentais. 120 100 80 Cp (J/kg.K) 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100

Te mpe ratura (K) Fig. 1 Dados experimentais do calor especfico a presso constante para o ouro

(smbolos) e a curva parablica ajustada (linha). Ajuste Multivarivel O ajuste por funo polinomial visto

anteriormente um caso particular de um ajustemultivarivel, no qual cada um das variveis x, x2, x3, ...,

xm podem ser descritas como variveisdistintas e independentes entre si: x1, x2, x3, ... , xm. A funo

dessas mltiplas variveis pode serescrita como: y = a 0 + a 1x 1 + a 2 x 2 + + a mxm (14)

Substituindo a funo (14) na equao para a soma dos desvios quadrticos resulta:Clculo Numrico e


8. Ajuste de curvas 5-8 n n S= (y i =1 i yi ) 2 = (y a i =1 i 0 a 1 x1 a 2 x 2 a mx m ) 2

As equaes normais para o clculo dos coeficientes da funo polinomial so obtidas apartir das

condies para a minimizao da soma do desvio quadrtico: S S S S = = = = =0 (15) a 0 a 1 a

2 a mCalculando as derivadas: S n = 2(y i a 0 a 1x1 a 2 x 2 a m x m )(1) = 0 a 0 i =1

S n = 2(y i a 0 a 1x1 a 2 x 2 a m x m )( x1 ) = 0 a 1 i =1 (16) S n = 2(y i a 0

a1x1 a 2 x 2 a m x m )(x 2 ) = 0 a 2 i =1 S n = 2(y i a 0 a 1x1 a 2 x 2 a m x

m )(x m ) = 0 a m i =1Resulta no sistema de equaes normais: n n n n na 0 +

x1 a1 + i=1 x2 a 2 + i =1 + i =1 xm a m = i =1 yi n

n n n n i=1 x1 a 0 + i=1 2 x1 a 1 + i=1

x1x 2 a 2 + + i =1 x1 x m a m = i =1 x1y i (17) n n n n n

i=1 x2 a 0 + i =1 x 2 x1 a 1 + i=1 2 x2 a2 + + i =1 x2xm a m = i =1 x2yi Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

9. Ajuste de curvas 5-9 n n n n n i=1 xm a0 + i=1

x m x1 a 1 + i =1 xmx2 a2 + + i=1 2 xm am = i =1 xmyiNa

forma matricial, o sistema de equaes normais para o ajuste polinomial toma a forma: [A][x] = [b]

(18)que podem ser escritos omitindo os ndices dos somatrios na forma: n x1 x2 xm

a0 y a x1 x1 x1x 2 x1x m x 1y 2 1 [ A] = x 2

x 2 x1 x 2 x2xm , [x ] = a , [ b] = x 2 y (19) 2 2

x x2 x y m x m x1 x m x 2 m am m Observar que a

matriz de coeficientes [A] simtrica, isto , aij = aji. Deste modo, podemosdeterminar o sistema de

equaes normais para qualquer ajuste multivarivel como umsubconjunto do sistemaacima.Exemplo:Considere os seguintes valores de temperatura (T), presso (p) e volume (v) especfico

para o ar.Ajustar uma funo multivarivel do tipo T = apbvc, na qual a, b e c so constantes a

seremdeterminados pelo mtodo dos mnimos quadrados. 3 Temperatura (K) Presso (bar) Volume

especfico (dm /kg) 90 2,397 100,2 100 5,599 44,67 110 11,22 22,15 120 20,14 11,45 130 33,32

5,425Resoluo:Primeiramente, necessrio linearizar a funo de ajuste de modo que as constantes

estejamdesacopladas das variveis T, p e v. Para isso, vamos aplicar o logaritmo sobre a funo T

=T(p,v) para obter: n T = n a + b. n p + c. n v Fazendo a seguinte troca de variveis, y = n T, x1

= n p, x2 = n v, a0 = n a, a1 = b e a2 = c, a equao acima pode ser re-escrita como: y = a 0 + a

1x1 + a 2 x 2Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

10. Ajuste de curvas 5 - 10As equaes normais para esta funo de ajuste de duas variveis (x1 e x2)

um subsistema daequao (17) com trs incgnitas (a0, a1 e a2) e trs equaes: n n n na 0 +

x1 a 1 + x 2 a 2 = yi i =1 i =1 i =1 n n n n a

+ x1 0 2 x1 a 1 + a = x1x 2 2 x1 y i (20) i =1 i =1 i =1 i =1

n n n n a + x2 0 a + x 2 x1 1 2 x 2 a 2 = x 2 yi i

=1 i =1 i =1 i =1Vamos calcular na tabela seguinte os coeficientes do sistema de equaes

normais. 2 2 y= nT x1 = n p x2 = n v x1 x2 x1x2 x1y x2y 4,49981 0,874218 4,607168 0,764257

21,226 4,027669 3,933814 20,73138 4,60517 1,722588 3,799302 2,967309 14,4347 6,544632 7,932811


24/27

17,49643 4,70048 2,417698 3,097837 5,845263 9,596597 7,489635 11,36434 14,56132 4,787492

3,002708 2,43799 9,016255 5,943794 7,320571 14,37544 11,67186 4,867534 3,506158 1,691018

12,29314 2,859542 5,928976 17,06634 8,231088 SOMA = 23,46049 11,52337 15,63332 30,88623

54,06063 31,31148 54,67275 72,69208Substituindo os valores dos somatrios em (20), obtemos o

seguinte sistema de equaes: 5a 0 + 11,52337a 1 + 15,63332a 2 = 23, 46049 11,52337a 0 +

30,8863332a 1 + 31,31148a 2 = 54,67275 15,63332a 0 + 31,31148a 1 + 54,06063a 2 = 72,69208cuja

soluo ser: a0 = 4,762418, a1 = 0,063776 e a2 = -0,0695. A partir destas constantes,podemos obter a

soluo para o ajuste multivarivel fazendo: a 0 = n a a = e a 0 = e 4,762418 = 117,0285 b = a1 =

0,063776 c = a 2 = 0,0695de modo que T = 117,0285 p 0,063776 v 0,0695 a funo de ajuste do

problema.Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

11. Ajuste de curvas 5 - 11 Linearizao de Funes As funes transcendentes de duas constantes

devem ser linearizadas antes de aplicarmoso Mtodo dos Mnimos Quadrados, a fim de obtermos o

sistema de equaes normais lineares. Oprocedimento varia, dependendo do tipo de funo. Ilustraremos

o procedimento de linearizaopara as funes exponencial, logaritmica, potencial e hiperblica. Ajuste

Exponencial Um ajuste exponencial geralmente emprega uma funo do tipo: y = a.e bx (21)onde a e b

so as constantes da funo de ajuste exponencial. Este tipo de funo no-linear, de modo que

precisamos lineariz-lo antes de aplicar oMtodo dos Mnimos Quadrados. A linearizao consiste em

transformarmos a equao (21)numa equivalente equao (2): y aj = a 0 +a1x (22) Para tanto,

aplicamos o logaritmo em ambos os lados de (21): n y = na + bx (23)Se fizermos: y = n y (24) a 0 =

na (25) a1 = b (26)A equao (21) poder ser re-escrita como: y = a 0 + a1x aj (27)Observe que esta

equao idntica equao (2), exceto pelo fato de que a varivel y calculada pelo logaritmo de base

natural da varivel y original. Aplicando-se as transformaes(25) e (26), obtemos as constantes de ajuste

exponencial a e b empregando as equaes (7) e (8)do Mtodo dos Mnimos Quadrados para a funo

linear. Ajuste Logaritmico Um ajuste logartmico geralmente emprega uma funo do tipo:Clculo

Numrico e Computacional C.Y. Shigue

12. Ajuste de curvas 5 - 12 y = a + b. n x (28)onde a e b so as constantes da funo de ajuste.

Linearizando (21), obtemos as seguintesrelaes de transformao: y = y x = n x a0 = a a1 = b (29)A

relao linearizada toma a forma: y aj = a 0 + a1x (30) Ajuste Potencial Um ajuste potencial geralmente

emprega uma funo do tipo: y = a.x b (31)onde a e b so as constantes da funo de ajuste.

Linearizando (22), obtemos as seguintesrelaes de transformao: y = n y x = n x a0 = n a a1 = b

(32)A relao linearizada toma a forma: y = a 0 + a1x aj (33) Ajuste Hiperblico Um ajuste hiperblico

geralmente emprega uma funo do tipo: b y=a+ (34) xonde a e b so as constantes da funo de ajuste.Linearizando (23), obtemos as seguintesrelaes de transformao: 1 y = y x = a0 = a a1 = b (35)

xComo sempre, a relao linearizada tem a forma:Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

13. Ajuste de curvas 5 - 13 y = a 0 + a1x aj (36) Avaliao da Qualidade do Ajuste Alm das funes de

ajuste apresentadas neste texto, existem inmeras outras funescom as quais podemos ajustar um

conjunto de dados pelo mtodo dos mnimos quadrados. Aquesto fundamental : qual a funo que

representa o melhor ajuste entre todas as outrasfunes. Um mtodo pelo qual podemos avaliar a

qualidade de um ajuste atravs do coeficientede correlao de Pearson. O coeficiente de correlao de

Pearson r2 pode ser calculado na formamais geral como: n n (yi y aj )2 r2 = 1 i =1 (37) 2 n n

n 2 yi yi i =1 i =1 O coeficiente de correlao limitado aos seguintes valores: 0 r

2 1 . Quanto maisprximo de 1 for o valor de r2, melhor ser o ajuste. Quando r2

0 para um ajuste adoiscoeficientes, significa que o coeficiente angular desprezvel. Como um critrio neste curso,vamos

considerar que um bom ajuste representado por valores de r2 > 0,99. Uma outra forma do coeficiente

de correlao, vlido para ajuste de funo do tipo lineary = a0 + a1x, expressa como: n n [(x i x m

)(yaj y m )] x i y aj nx m y m r= i =1 = i =1 (38) n n (n 1)S x S y (x i x m )2 (y aj ym

)2 i =1 i =1 n n xi yajpara a qual x m = i =1 e y m = i =1 so os valores mdios de x e yaj,

respectivamente. n n As expresses: n n (x i x m ) 2 (y aj ym )2 Sx = i =1 e Sy = i =1 n 1 n

1Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

14. Ajuste de curvas 5 - 14representam a covarincia x e covarincia y, respectivamente. A equao (37)

tem a vantagem de poder ser usada na avaliao da qualidade do ajuste defunes polinomiais e

multivariveis. J a equao (38) somente pode ser utilizada para avaliar aqualidade do ajuste de funes

lineares ou linearizadas, como visto com as funes exponencial,logaritmo, potencial e hiperblica, vistas

anteriormente neste texto. Outras funes linearizveistambm podem empregar a equao (38) para o

clculo do coeficiente de c orrelao, devendoobservar que os valores deExemploAjuste empregando

diferentes tipos de funes: x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 y 0,525 0,8448 1,2807 1,8634

2,6326 3,6386 4,944 6,6258 8,7768 11,5076 14,9484Vamos ajustar aos pontos tabelados as seguintes

funes: (a) linear y = a0 + a1x, (b) exponencial,do tipo y = aebx, (c) logaritmico, do tipo y = a + b ln x,

(d) potencial, do tipo y = axb e (e)hiperblico, do tipo y = a + b/x. Vamos determinar atravs do


25/27

coeficiente de correlao dePearson qual destas funes representa o melhor ajuste e comparar

graficamente os ajustesrealizados.Resoluo:(a) Ajuste linear (regresso linear) y = a 0 + a 1x 2 x y x xy

1,0 0,52500 1,000 0,52500 1,2 0,84478 1,440 1,01374 1,4 1,28068 1,960 1,79295 1,6 1,86340 2,560

2,98144 1,8 2,63260 3,240 4,73868 2,0 3,63856 4,000 7,27712 2,2 4,94400 4,840 10,87680 2,4

6,62580 5,760 15,90192 2,6 8,77679 6,760 22,81965 2,8 11,50759 7,840 32,22125 3,0 14,94844 9,000

44,84532 Soma = 22,0 57,58764 48,400 144,99387 a0 = x 2 y x xy = (48,40)(57,58764)

(22)(144,99387) = 8,3187 n x 2 ( x) (11)(48,40) (22) 2 2 n xy x y (11)(144,99387)

(22)(57,58764) a1 = = = 6,7770 n x 2 ( x) 2 (11)(48,40) (22) 2Clculo Numrico e


15. Ajuste de curvas 5 - 15Clculo do coeficiente de correlao:Sendo a funo de ajuste y aj = 8,3187

+ 6,7770 x , o coeficiente de correlao: n n (yi yaj )2 r2 = 1 i =1 2 n n n 2 yi yi

i =1 i =1 requer o clculo das seguintes quantidades: (y - yaj)2, y2 e (y)2 que esto

apresentadas natabela seguinte: 2 2 yaj (y - yaj) y -1,54171 4,27130 0,27563 -0,18632 1,06317 0,71365

1,16907 0,01246 1,64014 2,52446 0,43700 3,47226 3,87985 1,55563 6,93058 5,23524 2,54939

13,23912 6,59063 2,71139 24,44314 7,94602 1,74298 43,90123 9,30141 0,27523 77,03204 10,65680

0,72384 132,42463 12,01219 8,62155 223,45586 Soma = 57,58764 23,96394 527,52827Substituindo em

r2: 11 23,96394 r2 = 1 = 0,894 11 527,52827 (57,58764) 2Para verificao, vamos calcular o

coeficiente de correlao pelo segundo mtodo: sx = (x x m ) 2 = 4 ,40 = 0,66332 n1 10 sy = (y

y m ) 2 = 226,04314 = 4,75440 n 1 10 sx 0,66332 r = a1 = ( 6,7770) = 0,95 r2 = 0,89 sy

4,75440Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

16. Ajuste de curvas 5 - 16 Assim, o ajuste linear y = 8,3187 + 6,7770 x no representa um bom ajusteporque ovalor de r2 < 0,99.(b) Ajuste exponencial y = ae bx Relaes para linearizao da funo

exponencial: y = n y a0 = n a a1 = b y = a 0 + a 1x 2 2 2 x y = ln y x xy yaj (y yaj) y 1,0

-0,64436 1,000 -0,64436 -0,44921 0,03808 0,41520 1,2 -0,16868 1,440 -0,20241 -0,12073 0,00230

0,02845 1,4 0,24739 1,960 0,34635 0,20775 0,00157 0,06120 1,6 0,62240 2,560 0,99584 0,53623

0,00743 0,38739 1,8 0,96797 3,240 1,74235 0,86472 0,01066 0,93697 2,0 1,29159 4,000 2,58318

1,19320 0,00968 1,66820 2,2 1,59817 4,840 3,51598 1,52168 0,00585 2,55416 2,4 1,89097 5,760

4,53833 1,85016 0,00167 3,57577 2,6 2,17211 6,760 5,64749 2,17865 0,00004 4,71807 2,8 2,44301

7,840 6,84042 2,50713 0,00411 5,96828 3,0 2,70461 9,000 8,11382 2,83561 0,01716 7,31490 Soma =

22,0 13,12519 48,400 33,47699 13,12519 0,09855 27,62859 a0 = x 2 y x xy = (48,4)

(13,12519) (22)(33,47699) = 2,0916 n x 2 ( x ) 2 (11)(48, 40) (22) 2 a1 = n xy x y

= (11)(33,47699) (22)(13,12519) = 1,6424 n x 2 ( x ) 2 (11)(48, 40) (22) 2Assim, a = e a 0= e 2,2867 = 0,12349 b = a1 = 1,6424de modo que a funo de ajuste exponencial tem a forma: y =

0,12349 e1,6424xClculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

17. Ajuste de curvas 5 - 17 Na tabela acima, esto calculados os valores de (y - yaj)2 = 0,09855 e y2

= 27,62859,que substituindo na equao (37) do coeficiente de correlao, resulta: 11 0,09855 r2 = 1

= 0,992 11 27,62859 (13,12519) 2 Este coeficiente de correlao indica que a funo de ajuste

exponencial representa umbom ajuste para os dados (x,y). (c) Ajuste logaritmico y = a + b. n x Relaes

para linearizao da funo logaritmica: x = n x a0 = a a1 = b y = a 0 + a 1x 2 2 2 x = ln x y x xy yaj

(y - yaj) y 0,000 0,52500 0,000 0,00000 -2,28673 7,90581 0,27563 0,182 0,84478 0,033 0,15402

-0,13699 0,96387 0,71365 0,336 1,28068 0,113 0,43091 1,68059 0,15993 1,64014 0,470 1,86340 0,221

0,87580 3,25505 1,93669 3,47226 0,588 2,63260 0,345 1,54741 4,64382 4,04501 6,93058 0,6933,63856 0,480 2,52206 5,88612 5,05152 13,23912 0,788 4,94400 0,622 3,89813 7,00991 4,26800

24,44314 0,875 6,62580 0,766 5,80068 8,03586 1,98827 43,90123 0,956 8,77679 0,913 8,38632

8,97964 0,04115 77,03204 1,030 11,50759 1,060 11,84844 9,85344 2,73622 132,42463 1,099 14,94844

1,207 16,42254 10,66693 18,33135 223,45586 Soma = 7,017 57,58764 5,761 51,88632 57,58764

47,42781 527,52827 a0 = x 2 y x xy = (5,761)(57,58764) (7,017)(51,88632) = 2,2867 n

x 2 ( x ) 2 (11)(5,761) (7,017) 2 a1 = xy x y = (11)(51,88632) (7,017)(57,58764)

= 11,7909 n n x 2 ( x ) 2 (11)(5,761) (7,017) 2 a = a 0 = 2,2867 b = a1 = 11,7909Clculo

Numrico e Computacional C.Y. Shigue

18. Ajuste de curvas 5 - 18A funo de ajuste logaritmo tem a forma: y = 2,2866 + 11,7909 n x 11

47,42781Coeficiente de correlao: r 2 = 1 = 0,790 11 527,52827 (57,58764) 2(d) Ajuste potencial

y = ax b Relaes para linearizao da funo potenc ial: x = n x y = n y a0 = n a a1 = b y = a 0 + a

1x 2 2 2 x = ln x y = ln y x xy yaj (y - yaj) y 0,000 -0,64436 0,000 0,00000 -0,75020 0,01120 0,41520

0,182 -0,16868 0,033 -0,03075 -0,19479 0,00068 0,02845 0,336 0,24739 0,113 0,08324 0,27481

0,00075 0,06120 0,470 0,62240 0,221 0,29253 0,68159 0,00350 0,38739 0,588 0,96797 0,345 0,56896

1,04040 0,00525 0,93697 0,693 1,29159 0,480 0,89526 1,36136 0,00487 1,66820 0,788 1,59817 0,622

1,26009 1,65171 0,00287 2,55416 0,875 1,89097 0,766 1,65549 1,91677 0,00067 3,57577 0,956

2,17211 0,913 2,07548 2,16061 0,00013 4,71807 1,030 2,44301 1,060 2,51537 2,38637 0,00321


26/27

5,96828 1,099 2,70461 1,207 2,97131 2,59655 0,01168 7,31490 Soma = 7,017 13,12519 5,761

12,28698 13,12519 0,04480 27,62859 a0 = x2 y x xy = (5,761)(13,12519) (7,017)

(12,28698) = 0,7502 n x 2 ( x ) 2 (11)(5,761) (7,017) 2 a1 = n xy x y = (11)

(12,28698) (7,017)(13,12519) = 3,0463 n x 2 ( x ) 2 (11)(5,761) (7,017) 2 a = e a 0 = e

0,7502 = 0,47227 b = a1 = 3,0463Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

19. Ajuste de curvas 5 - 19 y = 0, 47227 x 3,0463 11 0,04480 r2 = 1 = 0,996 11 27,62859

(13,12519) 2 O coeficiente de correlao do ajuste potencial o maior dentre todos os ajustesrealizados

at aqui, indicando ser esta a melhor funo de ajuste.(e) Ajuste hiperblico b y=a+ x Relaes para

linearizao da funo logaritmica: 1 x = a0 = a a1 = b x y = a 0 + a 1x 2 2 2 x = 1/x y x xy yaj (y - yaj)

y 1,000 0,52500 1,000 0,52500 -2,72875 10,58687 0,27563 0,833 0,84478 0,694 0,70398 0,29697

0,30010 0,71365 0,714 1,28068 0,510 0,91477 2,45819 1,38653 1,64014 0,625 1,86340 0,391 1,16463

4,07911 4,90936 3,47226 0,556 2,63260 0,309 1,46256 5,33982 7,32904 6,93058 0,500 3,63856 0,250

1,81928 6,34839 7,34319 13,23912 0,455 4,94400 0,207 2,24727 7,17359 4,97105 24,44314 0,417

6,62580 0,174 2,76075 7,86125 1,52633 43,90123 0,385 8,77679 0,148 3,37569 8,44312 0,11134

77,03204 0,357 11,50759 0,128 4,10985 8,94186 6,58297 132,42463 0,333 14,94844 0,111 4,98281

9,37410 31,07322 223,45586 Soma = 6,174 57,58764 3,921 24,06659 57,58764 76,12000 527,52827 a0

= x 2 y x xy = (3,921)(57,58764) (6,174)(24,06659) = 15,4255 n x 2 ( x ) 2 (11)

(3,921) (6,174) 2 a1 = xy x y = (11)(24,06659) (6,174)(57,58764) = 18,1543 n n x 2

( x ) 2 (11)(3,921) (6,174) 2Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

20. Ajuste de curvas 5 - 20 a = a 0 = 15,4255 b = a1 = 18,1543 18,1543 y = 15,4255 x 11 76,12 r2

= 1 = 0,663 11 527,52827 (57,58764) 2(f) Comparao entre os valores fornecidos e os valoresajustados Pelo clculo do coeficiente de correlao de Pearson, os melhores ajustes foram osobtidos pelas

funes exponencial (r2 = 0,992) e potencial (r2 = 0,996). Atravs do clculo dosvalores (x,y) usando as

expresses obtidas pelas funes de ajuste, podemos comparargraficamente cada uma das funes de

ajuste e verificar que os melhores ajustes calculados pelocoeficiente de correlao de Pearson

correspondem s curvas que melhor representam ocomportamento dos valores (x,y) do problema. Tabela

Comparao entre os valores de y fornecido e ajustados, Dados fornecidos Dados ajustados x y Linear

Exponencial Logaritmo Potencial Hiperblico 1,0 0,52500 -1,54171 0,63813 -2,28673 0,47227 -2,72875

1,2 0,84478 -0,18632 0,88627 -0,13699 0,82301 0,29697 1,4 1,28068 1,16907 1,23091 1,68059

1,31628 2,45819 1,6 1,86340 2,52446 1,70956 3,25505 1,97702 4,07911 1,8 2,63260 3,87985 2,37433

4,64382 2,83034 5,33982 2,0 3,63856 5,23524 3,29761 5,88612 3,90150 6,34839 2,2 4,94400 6,59063

4,57992 7,00991 5,21589 7,17359 2,4 6,62580 7,94602 6,36086 8,03586 6,79900 7,86125 2,6 8,776799,30141 8,83434 8,97964 8,67645 8,44312 2,8 11,50759 10,65680 12,26965 9,85344 10,87395 8,94186

3,0 14,94844 12,01219 17,04081 10,66693 13,41731 9,37410Clculo Numrico e Computacional C.Y.

Shigue

21. Ajuste de curvas 5 - 21(g) Grfico dos pontos fornecidos e das curvas ajustadas Grfico

comparativo dos ajustes 18 y 14 Linear Exponencial Logaritmo 10 Potencial Hiperblico y 6 2 -2 1.0 1.5

2.0 2.5 3.0 x Exerccios1. Considere a seguinte tabela de dados: x 1,0 1,4 2,0 y 0,340 2,25 5,89 Ajustar

uma funo linear do tipo y = a0 + a1x e uma funo exponencial do tipo y = aebx aos dados acima.

Determinar qual delas representa o melhor ajuste atravs do clculo do coeficiente de correlao de

Pearson. Verificar graficamente os ajustes calculados.2. Desenvolver as equaes normais para a funo

f(x) = a.x + b.cos x (a e b so os coeficientes de ajuste), empregando o Mtodo dos QuadradosMnimos, ajust-la aos seguintes valores numricos e calcular o coeficiente de correlao: x 1,0 1,2 2,0 y

1,683 2,046 2,512Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

22. Ajuste de curvas 5 - 223. Considere os seguintes valores numricos: x 0 0,5 0,8 1,2 1,8 2,0 3,0 y 3,8

2,8 2,5 1,3 0,4 -0,2 1,0 Traar o grfico dos pontos tabelados e ajustar uma funo linear a eles. Traar a

reta ajustada ao grfico dos pontos tabelados. Verificar grfica e numericamente pelo coeficiente de

correlao de Pearson que o ajuste de m qualidade. Corrigir o problema que est prejudicando o ajuste

linear e verificar novamente pelo grfico e pelo coeficiente de correlao de Pearson a qualidade do

ajuste.4. Linerizar as seguintes funes: b (a) y = a . x + 2 (b) y = a.ln bx (c) y = a.sen x + b.cos x x 2

(d) y = a. e bx (e) y = ax + bx 3 (f) y = a + bx5. A tabela seguinte fornece a populao do Brasil (em

milhes de habitantes) desde 1872: ANO 1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Pop.

9,9 14,3 17,4 30,6 41,2 51,9 70,9 93,1 130 150 Obtenha uma estimativa para a populao brasileira no

ano 2000 empregando diferentes t ipos de ajustes de curvas.Clculo Numrico e Computacional C.Y.

Shigue

Siga-nos no LinkedIn
http://www.linkedin.com/company/slideshare


27/27

Siga-nos no TwitterEncontre-nos no FacebookEncontre-nos no Google+

Saiba sobre ns

SobreCarreiras

Nosso BlogImprensaEntre em contato conoscoAjuda e Suporte

Usando o SlideShareSlideShare 101Termos de UsoPoltica de PrivacidadeDireitos Autorais & DMCAOrientaes da ComunidadeSlideShare no celular

Pro e mais

Mude para PROPRO Recursos

Desenvolvedores e APISeo dos DesenvolvedoresGrupo de DesenvolvedoresBlog de engenhariaWidgets do Blog

LinkedIn Corporation 2014

Feed RSS

PORTUGUS (BRASIL)EnglishFranais

EspaolPortugus (Brasil)Deutsch
http://de.slideshare.net/marciasilva65/ajuste-da-curvahttp://pt.slideshare.net/marciasilva65/ajuste-da-curvahttp://es.slideshare.net/marciasilva65/ajuste-da-curvahttp://fr.slideshare.net/marciasilva65/ajuste-da-curvahttp://www.slideshare.net/marciasilva65/ajuste-da-curva?smtNoRedir=1http://pt.slideshare.net/rss/latesthttp://pt.slideshare.net/widgets/blogbadgehttp://engineering.slideshare.net/http://groups.google.com/group/slideshare-developers?lnk=srghttp://pt.slideshare.net/developershttp://pt.slideshare.net/features?cmp_src=general&cmp_src_from=footer&tabs=truehttp://pt.slideshare.net/business/premium/plans?cmp_src=general&cmp_src_from=footerhttp://pt.slideshare.net/mobile?enable_mobile=truehttp://pt.slideshare.net/community_guidelineshttp://www.linkedin.com/legal/copyright-policyhttp://www.linkedin.com/legal/privacy-policyhttp://www.linkedin.com/legal/user-agreementhttp://pt.slideshare.net/abouthttp://help.slideshare.com/loginhttp://pt.slideshare.net/about/contactushttp://pt.slideshare.net/about/presshttp://blog.slideshare.net/http://pt.slideshare.net/about/workatslidesharehttp://pt.slideshare.net/abouthttp://www.google.com/+SlideSharehttp://www.facebook.com/slidesharehttp://twitter.com/SlideShare

Documents

Ajuste Da Curva