Exercícios Resolvidos: Área abaixo da curva

7/23/2019 Exercícios Resolvidos: Área abaixo da curva

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Exercícios Resolvidos: Área Abaixo de Curvas

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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 15/10/2017

O que preciso saber?

Dada uma função ƒ ( ) definida num intervalo [a, b] como na figura a seguir:

y

xa b

A

então a área A limitada pela curva e o eixo dentro do intervalo [a, b] é:

A =

b

ƒ ( ) d (Integração em x)

OBS.: Analogamente se tivermos uma função ƒ ( y ) podemos determinar a árealimitada pela curva e o eixo y com a integral

A =

b

ƒ ( y ) dy (Integração em y)

Exemplo 1: Calcule a área entre as curvas y = 2 e y = 4 .

Solução:

Não é exatamente necessário fazer um gráfico das duas funções, mas tal prática

ajuda muito neste tipo de problema. Abaixo temos o gráfico das duas funções quese interceptam nos pontos (0, 0) e (4, 16).

1




(0, 0)

(4, 16)

Usando a integração em X:

Primeiro determinamos a área A1 limitada pela curva y = 4 e o eixo no inter-valo [0,4].

A1 =

40

4 d

(0, 0)

(4, 16)

Já a área A2 limitada pela curva y = 2 e o eixo será:

A2 =

40

2 d

(0, 0)

(4, 16)

2




Assim, a área entre as curvas (A) será a primeira integral menos a segunda(A1 − A2).

A = A1 − A2

A =

40

4 d − 40

2 d

A = 2 24

0

− 3

3

4

0

=32

3 (unidade de área).

(0, 0)

(4, 16)

Usando a integração em Y:

A integração em y é feita em relação ao eixo y . Para aplica-la antes temos dedeterminar as funções inversas das curvas.

y = 2 ⇒ = y

y = 4 ⇒ = y

4

Na verdade, y = 2 implicaria em = ± y , mas como as interseções entre ascurvas ocorrem apenas no primeiro quadrante usamos o resultado positivo.

Assim, a área limitada pela curva =

y (em vermelho abaixo) e o eixo y é oresultado da integral A1

(0, 0)

(4, 16)

3




A1 =

160

y dy

Já a área limitada pela curva = y

4(em amarelo a seguir) e representada pela

integral A2.

(0, 0)

(4, 16)

A2 =

160

y

4dy

Assim, a área entre as curvas será o resultado da primeira integral menos asegunda (A1 − A2).

(0, 0)

(4, 16)

A = A1 − A2

A = 16

0 y dy

− 16

0

y

4

dy

A =2

y 3

3

16

0

−1

8 y 2

16

0

=32

3

OBS.: Note que neste segundo caso (integração em y ) usamos limites de inte-gração diferentes do primeiro caso (integração em x ). Na integração em x usou-se

4




a abscisa dos pontos de interseção, enquanto na integração em y usa-se as orde-nadas.

Exemplo 2: Calcule a área limitadas pelas curvas y = 3

e y =6

− 3.

Solução:

O gráfico das funções é o seguinte:

21

3

y = 3

em vermelho e y = (6 / ) − 3 em preto

Usando a integração em X:

Note que a região entre as curvas ora é limitada superiormente por y = 3

ora

por y = 6

− 3.

Para resolver este problema dividimos a área que desejamos calcular em duas(A1 e A2), calculamos cada uma individualmente e depois fazemos a soma dosresultados.

A1 A2

21

3

Note que a área A1 é limitada apenas por y = 3

, então terá a medida da áreaigual a:

5




A1 = 1

0

3

d

= 2

Já a área A2 é limitada apenas pela curva y =6

− 3, então terá área igual a:

A2 =

21

6

− 3

d

= 6 · n|2| − 3

Finalmente fazendo A = A1 + A2 chegamos ao resultado final A = 6 · n|2| − 1 ua .

Usando a integração em Y:

Primeiro encontramos as funções inversas das curvas dadas.

y = 3

⇒ = y 2

9

y =6

− 3⇒ =

6

y + 3

Agora determinamos a área limitada pela curva =6

y + 3e pelo eixo y .

1

3

2

Chamaremos esse resultado de A1.

6




A1 =

30

6

y + 3

dy

Em seguida determinamos a área limitada pela curva = y 2

9e o eixo y .

1

3

2

Chamaremos esse resultado de A2.

A2 =

30

y 2

9dy

Agora deve ser possível perceber que a área entre as curvas (A) é a primeira integral

menos a segunda.

21

3

A =

30

6

y + 3−

y 2

9

dy = 6 · n| y + 3|

3

0

− y 3

27

3

0

= 6 · n|2| − 1

Exemplo 3: Ache á área limitada pelas curvas y = − , y = 2− e o eixo .

7




Solução:

O gráfico das curvas é colocado a seguir.

2

-2 (2, 0)

Integrando em X:

Primeiro encontramos a integral que nos fornecerá a área limitada pela curva y =

2− e o eixo

2

-2

2

-2 (2, 0)

A1 =

2−2

2− d

e em seguida a integral que nos dará a área limitada por y = − e o eixo .

2

-2

2

-2 (2, 0)

8




A2 =

0−2

− d

Assim, a área entre as duas curvas será a primeira integral menos a segunda(A1 − A2).

2

-2

2

-2 (2,0)

A = A1 − A2

A =

2−2

2− d −

0−2

− d

A =

2−2

( 2− )d +

0−2

d

A =

16

3 − 2

A =10

3

Ou seja,10

3

Curvas que Interceptam o Eixo de Integração

Nos problemas anteriores determinamos apenas a área de curvas que não inter-ceptavam o eixo no qual realizamos a integração. Agora estudaremos dois casosem que isso ocorre.

Exemplo 4: Refaça o exercício 3 usando a integração em y .

9




Solução:

Vamos observar novamente a área (em azul) que desejamos calcular.

2

-2

2

-2 (2,0)

Neste caso queremos realizar a integração ao longo do eixo y o problema é queambas as curvas interceptam o eixo y .

Assim, antes de realizar a integração, você deve deslocar as funções. Nestecaso, duas unidades para direita.

Deslocando as funções em duas unidades para a direita y = − se torna y =

−( − 2) ou y = 2 − . E a curva y = 2− se torna y =

2− ( − 2) ou y =

4− .

Os gráficos das funções deslocadas é mostrado a seguir.

(4, 0)

(0, 2)

Note que as curvas ainda têm as mesmas formas. Na verdade, apenas as “pux-amos" para direita.

Agora vamos determinar as inversas das curvas dadas.

y = 2 − ⇒ = 2 − y

y = 4− ⇒ = 4 − y 2

A integral que fornece a área da curva limitada por = 4 − y 2 será:

10




(4, 0)

(0, 2)

A1 =

20

4− y 2

dy

Já a integral que nos fornece a área limitada pela curva = 2 − y e o eixo y será.

(4, 0)

(0, 2)

A2 =

20

(2− y )dy

A área entre as curva será então a primeira menos a segunda integral (A1 −A2).

(4, 0)

(0, 2)

A = A1 − A2

11




A =

20

4− y 2

dy −

20

(2− y )dy

A =

20

2 + y − y 2

dy

A =

2 y

y 2

2−

y 3

3

2

0

A =10

3

Exemplo 5: Encontre a área entre a curva y = 3

− 2 e o eixo no intervalo [1,

4].

Solução:

Fazendo o gráfico da função obtemos o seguinte.

4

1

3

Novamente temos um pequeno problema aqui, pois nos foi solicitado a inte-gração ao longo do eixo , contudo a curva acaba interceptando esse eixo. Ao

contrário do problema anterior não podemos simplesmente deslocar a função paracima.

Neste caso podemos fazer o seguinte: dividimos a área em questão em duasáreas. Uma acima do eixo e outra abaixo.

12




4

1

3

A2

A1

E calculamos cada uma separadamente.

31

(3 − 2)d =

3 2

2−

3

3

3

1

=20

6

43

(3 − 2)d =

3 2

2−

3

3

4

3

= −11

6

Note que essa última integral resultou num valor negativo o que não faz sentido já que nenhuma área pode ser negativa. Neste caso, o que deve nos interessa então

é o módulo do resultado.

Finalmente somamos ambos os resultados.

20

6+11

6=31

6

Se não fizéssemos o gráfico, poderíamos ficar tentados a achar a área solicitadaapenas resolvendo a integral

4

1

(3 −

2)d

O problema é que vimos que uma parte dessa integral fica negativa e ao invésde ser somada a parte positiva ela seria subtraída o que nos daria um resultadocompletamente errado.

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