Alcinda Maria da Costa Anacleto - Faculdade de Ciê · PDF fileseguida os fundamentos de metrologia de temperatura. Estuda-se a problemática da medição de temperatura na exploração

Temperatura e sua medição

Alcinda Maria da Costa Anacleto

Departamento de Física

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

2007


Alcinda Maria da Costa Anacleto

Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para

obtenção do grau de Mestre em Física para o Ensino

Departamento de Física

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

2007

i

I often say that when you can measure what you are speaking about, and

express it in numbers, you know something about it; but when you cannot

measure it, when you cannot express it in numbers, your knowledge is of a

meagre and unsatisfactory kind. Lord Kelvin

Uma teoria tem tanto mais impacte quanto maior for a simplicidade das suas

premissas, quanto mais diversas forem as coisas relacionadas e quanto maior for

a sua área de aplicabilidade. Daí a impressão profunda que a Termodinâmica

clássica me causou. É a única teoria física de conteúdo universal a respeito da

qual estou convencido que, no quadro da aplicabilidade dos seus conceitos

básicos, nunca será ultrapassada. Somente por estas razões é uma parte muito

importante da formação de um físico. Albert Einstein

Deve-se dar mais crédito à observação do que às teorias, e a estas só até

ao ponto em que são confirmadas pelos factos observados. Aristóteles

A natureza não esconde os seus segredos por malícia, mas devido à sua

própria imensidão. Albert Einstein

Ao meu marido, Joaquim, e aos meus filhos, Joaquim e Inês.

iii

Agradecimentos

Ao meu orientador, Professor Doutor Manuel Joaquim Bastos Marques, é devido

um agradecimento especial, pela disponibilidade que sempre manifestou, pelo seu

inestimável apoio e incentivo, e pelas suas valiosas sugestões científicas de cariz teórico

e prático.

Agradeço ao Eng. Paulo Cabral, responsável pelo laboratório de Metrologia da

Temperatura do Instituto Electrotécnico Português, pela simpatia demonstrada e pela

calibração do termómetro que foi usado como referência no trabalho experimental. É

também devida uma palavra de agradecimento ao técnico do laboratório, Sr. Inácio

Gonçalves, que realizou a calibração e que esclareceu amavelmente algumas questões

com ela relacionadas.

Ao Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,

agradeço a disponibilidade dos seus Laboratórios e, em particular, da oficina para a

construção de algum equipamento.

Ao INESC-Porto, um agradecimento por disponibilizar o laboratório e o

equipamento necessários à realização da experiência do termómetro de Brillouin.

Ao IFIMUP, agradeço a construção do termopar Cobre-Constantan.

Um obrigado à minha colega e amiga Silvina por me ouvir durante as caminhadas e

pela revisão do resumo em Francês. E à minha colega e amiga Anabela Coelho agradeço

os comentários sobre a Tese.

Finalmente, uma palavra de agradecimento a todos os que, de alguma forma,

contribuíram para a realização deste trabalho.

v

Sumário

A temperatura é, provavelmente, uma das grandezas físicas mais medidas e

controladas. A temperatura está de algum modo presente nas mais variadas situações,

desde o nosso dia-a-dia até à investigação científica. As grandezas e os fenómenos físicos

dependem quase sempre da temperatura, o que a torna um parâmetro da maior relevância.

Além disso é uma variável importante na Termodinâmica, a qual é parte importante dos

currículos do ensino básico e secundário.

O trabalho apresentado centra-se no estudo teórico e experimental da temperatura e

da sua medição.

Numa primeira parte são abordados os conceitos fundamentais da Termodinâmica

necessários para uma melhor compreensão dos tópicos seguintes, introduzindo-se de

seguida os fundamentos de metrologia de temperatura. Estuda-se a problemática da

medição de temperatura na exploração dos diversos tipos de termómetros e dos

princípios físicos que lhes são subjacentes.

Apresentam-se de seguida o resultado de uma calibração de um termómetro de

resistência de platina e uma intercomparação e calibração de vários termómetros, alguns

dos quais baseados em tecnologias de fibra óptica. Outras actividades experimentais,

directamente relacionadas com alguns dos conceitos termodinâmicos abordados, são

também apresentadas.

Finalmente, o trabalho é concluído apresentando-se uma discussão centrada na

definição teórica de temperatura absoluta, com base nos conceitos de Termodinâmica, e

na possibilidade de definir temperatura com base em leis fundamentais da Física e da

constante de Boltzmann.

vii

Abstract

Nowadays, temperature is probably the most controlled and measured physical

entity. Temperature is present in a lot of situations from scientific research to day-life.

The physical phenomena and values are temperature dependent, making it an important

parameter. Moreover it is a fundamental parameter in Thermodynamics; which is an

important topic in Basic and Secondary School curricula.

This work is built around the theoretical and experimental study of temperature and

it measurement.

In a first part fundamental concepts from Thermodynamics are touched. These

concepts are needed to a better understanding of the next topics followed by the

fundamentals of temperature metrology. The problems linked to the measurement of

temperature in the context of the different thermometers, together with the physical

phenomena relevant to their work are discussed.

In a second part we present the calibration of a platinum thermometer in a reference

laboratory and a comparison and calibration of several thermometers, some of them

based on optical fibre technology. Some other experimental activities, related to some of

the thermodynamic concepts discussed, are also presented.

The work is concluded with a discussion focused in the theoretical definition of

absolute temperature based on the Thermodynamic concepts and in the possibility of a

new definition of temperature based on the fundamental laws of Physics and on the

Boltzmann constant.

ix

Résumé

Aujourd’hui, la température est probablement l'entité physique la plus contrôlée et

la plus mesurée. La température est présente dans beaucoup de situations soit dans la

recherche scientifique soit dans notre quotidien. Les phénomènes et les valeurs physiques

dépendent de la température, ce qui la rend un paramètre important. En plus c'est un

paramètre fondamental en Thermodynamique qui est une matière importante dans des

programmes d'études d'école secondaire et de base.

Ce travail est établi autour de l'étude théorique et expérimentale de la température

et de sa mesure.

Dans une première partie, sont touchés des concepts fondamentaux de la

Thermodynamique. Ces concepts sont nécessaires pour une meilleure compréhension des

prochaines matières suivies des principes fondamentaux de la métrologie de la

température. On étudie les problèmes liés à la mesure de la température dans le contexte

des différents thermomètres, ainsi que les phénomènes physiques qui les concernent.

Ensuite, on présente le calibrage d'un thermomètre de platine dans un laboratoire de

référence et une comparaison et un calibrage de plusieurs thermomètres, certains d'entre

eux basés sur la technologie de fibre optique. Quelques autres activités expérimentales,

directement rapportées à certains des concepts thermodynamiques discutés, sont aussi

présentées.

On conclut le travail avec une discussion focalisée dans la définition théorique de

la température absolue basée sur les concepts thermodynamiques et dans la possibilité

d'une nouvelle définition de la température basée sur les lois fondamentales de la

physique et sur la constante de Boltzmann.

xi

Índice

1 Introdução...................................................................................................................... 1 1.1 Objectivos ............................................................................................................. 1 1.2 A relevância do estudo.......................................................................................... 1 1.3 Enquadramento curricular..................................................................................... 2 1.4 Estrutura da Tese................................................................................................... 6

2 Conceitos básicos de Termodinâmica............................................................................ 9 2.1 Domínio da Termodinâmica ................................................................................. 9 2.2 Definições fundamentais..................................................................................... 12

2.2.1 Sistema, vizinhança e fronteira .................................................................. 12 2.2.2 Propriedades de um sistema ....................................................................... 13 2.2.3 Variáveis intensivas, extensivas e conjugadas ........................................... 14 2.2.4 Equilíbrio termodinâmico........................................................................... 14 2.2.5 Trabalho e calor.......................................................................................... 15 2.2.6 Ligações ..................................................................................................... 16 2.2.7 Processos termodinâmicos ......................................................................... 17 2.2.8 Fonte de calor e fonte de trabalho .............................................................. 18

2.3 Primeira Lei da Termodinâmica e Calor ............................................................. 19 2.3.1 Trabalho adiabático e energia interna......................................................... 19 2.3.2 Formulação matemática da Primeira Lei.................................................... 20

2.4 A Segunda Lei da Termodinâmica...................................................................... 21 2.4.1 Enunciados de Kelvin-Planck e de Clausius da 2ª Lei ............................... 22 2.4.2 Processos reversíveis e irreversíveis .......................................................... 24 2.4.3 O ciclo e o teorema de Carnot .................................................................... 25

3 Lei zero da Termodinâmica e Temperatura ................................................................. 27 3.1 Noção intuitiva de temperatura ........................................................................... 27

3.1.1 Temperatura como sensação ...................................................................... 27 3.1.2 Capacidade térmica .................................................................................... 28 3.1.3 Capacidade térmica mássica da água; a caloria.......................................... 32 3.1.4 Condutividade térmica ............................................................................... 33

3.2 Conceito de temperatura ..................................................................................... 39 3.2.1 Equilíbrio térmico ...................................................................................... 39 3.2.2 Lei zero da Termodinâmica........................................................................ 40 3.2.3 Definição de temperatura ........................................................................... 41 3.2.4 O ponto de vista microscópio..................................................................... 46

3.3 Radiação térmica................................................................................................. 49 3.3.1 A teoria clássica da radiação do corpo negro ............................................. 55 3.3.2 A distribuição de Boltzmann...................................................................... 62 3.3.3 A teoria de Planck da radiação do corpo negro.......................................... 66

4 Metrologia da temperatura........................................................................................... 71 4.1 Introdução ........................................................................................................... 71 4.2 Breve história da medição de temperatura .......................................................... 72 4.3 Termometria e escalas termométricas................................................................. 79

4.3.1 Escalas de temperaturas e princípios gerais ............................................... 79 4.3.2 Termómetro de gás a volume constante ..................................................... 83 4.3.3 Calibração e padrões de medida................................................................. 86 4.3.4 Padrão de temperatura termodinâmica ....................................................... 89

4.4 A Escala Internacional de Temperatura (ITS-90) ............................................... 89


xii

5 Tipos mais usuais de termómetros e sua aplicação...................................................... 93 5.1 Termómetros de dilatação ................................................................................... 93

5.1.1 Termómetro de dilatação de líquido........................................................... 93 5.1.2 Termómetros de dilatação de sólidos (termómetro bimetálico) ................. 98

5.2 Termómetros baseados no efeito Seebeck........................................................... 99 5.2.1 Constituição................................................................................................ 99 5.2.2 Características gerais ................................................................................ 100 5.2.3 Princípio de funcionamento...................................................................... 100 5.2.4 Efeito Seebeck .......................................................................................... 101 5.2.5 O termopar................................................................................................ 103 5.2.6 Efeito Peltier ............................................................................................. 105 5.2.7 Efeito de Thomson ................................................................................... 107 5.2.8 As leis do funcionamento dos termopares ................................................ 108 5.2.9 Termopares mais usuais e suas características ......................................... 111

5.3 Termómetro de resistência ................................................................................ 114 5.3.1 Termo-resistências metálicas.................................................................... 115 5.3.2 Termístores ............................................................................................... 120

5.4 Termómetros de pressão de gás ........................................................................ 122 5.5 Termómetro de radiação infravermelha e visível.............................................. 123

5.5.1 Termopilha ............................................................................................... 123 5.5.2 Pirómetro .................................................................................................. 124

5.6 Outros termómetros e algumas curiosidades..................................................... 129 5.6.1 Termómetros baseados em cristais líquidos ............................................. 130 5.6.2 Termómetros baseados em díodos............................................................ 131 5.6.3 Termómetro decorativo de Galileu........................................................... 133 5.6.4 Inferência de temperaturas atmosféricas passadas ................................... 133 5.6.5 Determinação da temperatura do interior da Terra e de formação das rochas

136 5.6.6 Curiosidades ............................................................................................. 136

6 Calibração e intercomparação de termómetros .......................................................... 139 6.1 Calibração de um TRP (Pt-100) ........................................................................ 139

6.1.1 Introdução................................................................................................. 139 6.1.2 Resultado da calibração ............................................................................ 140 6.1.3 Curvas de ajuste dos pontos de calibração ............................................... 141

6.2 Comparação e calibração de diversos termómetros .......................................... 143 6.2.1 Equipamento experimental utilizado ........................................................ 143 6.2.2 Procedimento experimental ...................................................................... 145 6.2.3 Resultados da inter-comparação............................................................... 146 6.2.4 Análise dos resultados .............................................................................. 146 6.2.5 Caracterização e calibração dos termístores ............................................. 151 6.2.6 Caracterização e calibração do termómetro de mercúrio.......................... 154 6.2.7 Caracterização e calibração de uma rede de Bragg em fibra óptica ......... 155

6.3 Caracterização e calibração de um Termómetro de Brillouin ........................... 160 6.3.1 Princípio de funcionamento...................................................................... 160 6.3.2 Caracterização experimental..................................................................... 161

6.4 Caracterização de uma termopilha usando uma lâmpada de filamento de tungsténio 164

7 A Temperatura absoluta ............................................................................................. 167 7.1 Definição de temperatura absoluta .................................................................... 167 7.2 O zero absoluto e eficiência de Carnot.............................................................. 171 7.3 A temperatura absoluta e a dada por um gás..................................................... 172 7.4 Temperatura termodinâmica e termómetros primários ..................................... 173

8 Conclusão................................................................................................................... 179

3 Calibração e intercomparação de termómetros

xiii

Referências........................................................................................................................ 181

Índice de figuras................................................................................................................ 185

A1 Certificado de calibração do Pt-100......................................................................... 191

A2 Laboratório de Temperatura – IPQ .......................................................................... 193

A3 Laboratórios de Temperatura acreditados................................................................ 195

A4 Procedimento experimental...................................................................................... 197

1

1 Introdução

1.1 Objectivos

Com este trabalho pretende-se abordar o conceito de temperatura e a sua medição.

A temperatura é provavelmente a grandeza física mais medida e que se revela importante

em contextos muito diversificados, desde o científico até ao do quotidiano.

A temperatura é uma variável essencial em Termodinâmica, área da Física que

aborda os fenómenos físicos do ponto de vista macroscópico e cujas leis – em particular

a primeira e a segunda leis – ditam a evolução dos sistemas físicos. Por isso, e porque a

Termodinâmica é, com bastante ênfase, parte integrante dos programas do ensino básico

e secundário (sobretudo nos 7º e 10º anos), um outro objectivo do presente trabalho é

uma abordagem sucinta dos conceitos fundamentais da Termodinâmica.

Como qualquer grandeza física, a temperatura precisa de ser traduzida num número

e respectiva unidade o que nos leva ao problema da sua medição. Nesta perspectiva,

pretende-se abordar a metrologia da temperatura e os termómetros utilizados em diversas

situações e gamas de temperaturas. A Metrologia como ciência da medição compreende

todos os aspectos teóricos e práticos relativos à medição pelo que é essencial para

assegurar a qualidade das medições e a sua validade. Assim pretende-se usar um

termómetro de resistência de platina calibrado nas actividades experimentais de

intercomparação de vários termómetros.

Para além dos objectivos específicos referidos, pretende-se também desenvolver

actividades experimentais de medição de temperatura que envolvam uma diversidade

considerável de instrumentação. Em particular o contacto com alguns termómetros que

envolvem tecnologias de fibra óptica.

1.2 A relevância do estudo

O enriquecimento a nível científico e tecnológico justificaria, por si só, a escolha

do tema abordado. Contudo, as vantagens que advêm deste estudo para a actividade

profissional não poderiam deixar de ser realçadas.


2

Apesar de estar bem presente no quotidiano, a dificuldade do conceito de

temperatura é bem patente quando se aborda o conceito do ponto de vista científico num

contexto de ensino/aprendizagem. A sua relação com as leis da Termodinâmica deve ser

bem estabelecida o que implica uma compreensão abrangente da teoria, nomeadamente,

de definições, de conceitos e de leis.

No ensino das ciências, em particular da Física, a Metrologia, é um pré requisito

importante para promover a relação ensino/aprendizagem, visto as ciências dependerem

do conhecimento de grandezas que têm de ser medidas.

Os alunos apresentam, frequentemente, desconhecimento de unidades e grandezas,

têm dificuldades em adequar a linguagem ao significado técnico, de acordo com as

normas estabelecidas pelo Sistema Internacional de Medidas (Silva, 2005). Revelam

também dificuldades em realizar procedimentos de medição.

São poucos os processos de controlo ou propriedades físicas e químicas dos

materiais que não dependam da temperatura. Torna-se assim importante realçar a

necessidade da calibração dos sistemas de medição de temperatura, particularmente os

sensores que influenciam o processo que está sob estudo, de forma a obter

rastreabilidade, medir com a exactidão exigida e com uma incerteza conhecida (Castanho

et al, 2004).

A experiência da maioria dos laboratórios de calibração revela que cerca de 15% de

todos os instrumentos, incluindo termómetros, estão fora das especificações dos

fabricantes (Castanho et al, 2004; Nicholas et al, 1995).

1.3 Enquadramento curricular

A reflexão que tem vindo a ser desenvolvida a partir dos anos 80 do século XX, à

escala internacional, sobre as finalidades da educação científica dos jovens levou a que

cada vez mais se acentuem perspectivas mais culturais sobre o ensino das ciências. O seu

objectivo é a compreensão da Ciência e da Tecnologia, das relações entre uma e outra e

das suas implicações na Sociedade e no Ambiente e, ainda, do modo como os

acontecimentos sociais se repercutem nos próprios objectos de estudo da Ciência e da

Tecnologia (Ministério da Educação, 2001). Os pesquisadores têm apontado a

importância das actividades experimentais como estratégia do ensino da Física para

minimizar dificuldades de se aprender e de se ensinar de modo significativo e consistente

(Moraes et al, 2000). As actividades experimentais são ainda, no processo de

ensino/aprendizagem, promotoras do desenvolvimento de competências, permitindo

1 Introdução

3

recuperar atrasos e contribuir para um nível de literacia e cultural mais elevado dos

alunos que frequentam a escola, aproximando-os dos seus colegas de países mais

desenvolvidos (Ministério da Educação, 2001).

Sob o ponto de vista da ciência, a visão do mundo depende da compreensão dos

fenómenos e das leis que regem esses fenómenos. Esse conhecimento, por sua vez, está

vinculado ao conhecimento quantitativo das grandezas que constituem esses fenómenos.

Em Física a dificuldade de aprendizagem conceptual está relacionada com a falta

de compreensão da quantificação de grandezas físicas fundamentais como comprimento,

tempo, massa, temperatura e dos conceitos matemáticos como o da fracção, medida e

número decimal (Cunha et al, 2004). Talvez por isso o tema Grandezas e Medidas é

reconhecido em documentos curriculares oficiais portugueses como sendo promotor da

aprendizagem conceptual.

Medições de grandezas físicas em geral, e em particular de temperatura, estão

intimamente associadas ao trabalho experimental, que está presente em todos os níveis de

ensino associado à Física e à Química.

Assim no Ensino Básico uma das finalidades do ensino é: A compreensão da

importância das medições, classificações e representações como forma de olhar para o

mundo perante a sua diversidade e complexidade (Ministério da Educação, 2001).

No programa de Física e Química A do Ensino Secundário, um dos objectivos é a

realização de registos e de medições, utilizando instrumentos e unidades adequadas, nas

actividades experimentais. Pode ler-se: “As actividades desenvolvem-se em continuidade

e articulação com a parte prática de Química, onde os alunos foram sensibilizados para

o erro inerente à medição, suas causas, assim como aos procedimentos a adoptar com o

fim de o minimizar e ainda para o significado dos algarismos significativos. Os alunos

devem, portanto, continuar a ter em conta estes aspectos em todas as actividades.

Terão oportunidade de, aos poucos, aprofundarem os conhecimentos sobre erros

experimentais”.

Nos erros experimentais está inserida a problemática da calibração dos

instrumentos de medição, mas parte-se do pressuposto que estes estão calibrados,

tendo-se apenas em conta a sensibilidade da escala utilizada para a apresentação dos

resultados. Na verdade, o conceito de calibração, de cadeia metrológica e de

rastreabilidade dos instrumentos não são abordados. Contudo, dever-se-ia transmitir que

estes conceitos são muito importantes e que, em geral, os instrumentos não se adquirem

calibrados. Muitas vezes a calibração de um instrumento tem um custo superior ao do

próprio instrumento e, além disso, a calibração tem de ser realizada periodicamente.


4

Os conceitos tratados neste trabalho são estudados, em parte, no ensino básico,

principalmente no 7º ano de escolaridade e no ensino secundário, em toda a componente

de Física do programa de Física e Química A do 10º ano.

No 7º ano de escolaridade um dos temas a estudar é o da “Energia”, tendo,

sobretudo, uma contextualização social. Os conceitos de temperatura, calor e energia

interna já são abordados nesta altura. Estes conceitos também são muito focados na área

da Química, em diversas situações e em vários anos de escolaridade.

No 10º ano de escolaridade, em toda a componente da Física, os conceitos

abordados neste trabalho são aí explorados. Assim, pode ler-se no programa de Física e

Química A, “O programa do 10º ano desenvolve-se em torno da compreensão da Lei da

Conservação da Energia, permitindo o enquadramento de diversos conceitos (de áreas

como a Termodinâmica, a Mecânica e a Electricidade) numa perspectiva de educação

ambiental”. Mais em pormenor, os objectivos de ensino são:

MÓDULO INICIAL – Das fontes de energia ao utilizador

1. Situação energética mundial e degradação da energia

• Fontes de energia e estimativas de “consumos” energéticos nas principais

actividades humanas

• Transferências e transformações de energia

• Degradação de energia. Rendimento

• Uso racional das fontes de energia

2. Conservação da energia

• Sistema, fronteira e vizinhança. Sistema isolado

• Energia mecânica

• Energia interna. Temperatura

• Calor, radiação, trabalho e potência

• Lei da Conservação da Energia. Balanços energéticos

UNIDADE 1 – Do Sol ao aquecimento

Esta unidade tem como objectivo central a compreensão de que os fenómenos que

ocorrem na Natureza obedecem a duas leis gerais – a 1ª e a 2ª leis da Termodinâmica –

que, em conjunto, regem a evolução do Universo: o modo como as mudanças se

processam é condicionado por uma característica sempre presente – a conservação da

energia em sistemas isolados.

1 Introdução

5

1. Energia – do Sol para a Terra

• Balanço energético da Terra

• Emissão e absorção de radiação. Lei de Stefan-Boltzmann. Lei do deslocamento

de Wien

• Sistema termodinâmico

• Equilíbrio térmico. Lei Zero da Termodinâmica

• A radiação solar na produção da energia eléctrica – painel fotovoltaico

2. A energia no aquecimento/arrefecimento de sistemas

• Mecanismos de transferência de calor: condução e convecção

• Materiais condutores e isoladores do calor. Condutividade térmica

• 1ª Lei da Termodinâmica

• Degradação da energia. 2ª Lei da Termodinâmica

• Rendimento

UNIDADE 2- Energia em movimentos

Aqui, pretende-se continuar a explorar a ideia da conservação da energia em

sistemas isolados, dando agora ênfase apenas a sistemas puramente mecânicos.

1. Transferências e transformações de energia em sistemas complexos –

aproximação ao modelo da partícula material

• Transferências e transformações de energia em sistemas complexos (meios de

transporte)

• Sistema mecânico. Modelo da partícula material (centro de massa)

• Validade da representação de um sistema pelo respectivo centro de massa

• Trabalho realizado por forças constantes que actuam num sistema em qualquer

direcção

• A acção das forças dissipativas

2. A energia de sistemas em movimento de translação

• Teorema da energia cinética

• Trabalho realizado pelo peso

• Peso como força conservativa

• Energia potencial gravítica

• Conservação da energia mecânica

• Acção das forças não conservativas

• Rendimento. Dissipação de energia


6

1.4 Estrutura da Tese

Embora não sendo a parte central da Tese, optou-se por apresentar a teoria

relacionada com a temperatura e termómetros seguindo algumas obras apresentadas na

bibliografia. Tal opção permite ao leitor encontrar num único lugar não só a parte

inovadora do trabalho como também conceitos com ela relacionada.

Este trabalho está organizado em oito capítulos. No presente capítulo são

apresentados os objectivos do trabalho, a relevância do estudo e a sua inserção nos

currículos da disciplina de Física e Química A.

Os segundo e terceiro capítulos são em grande parte transcrições de (Anacleto,

2004) e enriquecidos com algumas actividades experimentais.

Os conceitos básicos de Termodinâmica são abordados no segundo capítulo, onde

se apresentam as leis fundamentais e as principais definições.

No terceiro capítulo aborda-se conceptualmente o conceito de temperatura e a sua

relação com a lei zero da Termodinâmica. É também apresentada sucintamente uma

interpretação microscópica da temperatura deixando-se uma discussão mais aprofundada

da temperatura absoluta para o sétimo capítulo. Estando a radiação térmica directamente

relacionada com a temperatura dos corpos e, por isso, usada na medição de temperatura,

faz-se também um estudo das principais leis da radiação.

O quarto capítulo é dedicado à Metrologia da temperatura. Inicia-se com uma breve

história da termometria, seguindo-se uma abordagem dos aspectos metrológicos e a

escala ITS-90.

O quinto capítulo aborda tipos de termómetros, a sua constituição e os princípios

físicos que lhes estão associados.

O sexto capítulo é predominantemente de índole prática. São tratadas actividades

experimentais, que incluem a calibração de um termómetro de resistência de platina, a

intercomparação e calibração de diversos termómetros.

O sétimo capítulo é dedicado ao problema teórico da definição de temperatura

absoluta que ainda não está fechado. O problema é actual e enquadra-se num avanço

científico e tecnológico associado à medição de temperatura e à qualidade da medida. A

primeira parte do capítulo aborda a definição encontrada habitualmente na literatura,

seguindo de perto (Zemansky et al, 1997), (Güémez et al, 1998) e (Anacleto, 2004),

havendo transcrições deste último, com o objectivo de confrontá-la com uma nova

redefinição, tratada na segunda parte do capítulo.

1 Introdução

7

Finalmente, na Conclusão apresentam-se as contribuições do trabalho e algumas

dificuldades encontradas.

Como é importante no contexto do trabalho apresenta-se em anexo o documento de

calibração do termómetro de platina utilizado como referência nas actividades

experimentais. Também se apresenta em anexo informação sobre o Laboratório de

Temperatura do IPQ e uma indicação aos laboratórios nacionais de metrologia da

temperatura acreditados.

9

2 Conceitos básicos de Termodinâmica

Este capítulo trata dos conceitos básicos de Termodinâmica e é em grande parte

transcrição de (Anacleto, 2004). Uma das dificuldades no estudo da Termodinâmica é,

muitas vezes, a falta de uma clara compreensão dos seus conceitos e definições. A

reforçar esta dificuldade está também a linguagem usada que, por vezes, conflitua com a

usada no dia-a-dia. Além disso, ainda perpetuam em manuais escolares alguns termos

desadequados, que tiveram origem no percurso histórico da Termodinâmica, em etapas

onde alguns conceitos não eram bem compreendidos.

Por isso, uma clarificação dos conceitos básicos de Termodinâmica, bem como dos

termos e definições usados, afigura-se imprescindível. Uma linguagem pouco reflectida e

usada com ambiguidade, algumas vezes confundindo os significados correntes com os

significados científicos é por vezes utilizada, o que, aliado ao grau de abstracção inerente

a alguns conceitos da Termodinâmica, não facilita o processo de ensino-aprendizagem.

A linguagem não é apenas uma forma convencional de nos exprimirmos, ela é

indissociável da forma de pensar, das representações abstractas inerentes a qualquer

modelo físico-matemático da realidade.

2.1 Domínio da Termodinâmica

Etimologicamente, a palavra Termodinâmica deriva das palavras gregas therme

(calor) e dynamis (potência), sendo uma descrição dos primeiros esforços para converter

“calor em potência” (Çengel et al, 2001). Segundo estes autores, actualmente a palavra

Termodinâmica é utilizada para referir todos os aspectos relacionados com a energia e as

suas transformações.

Encontra-se na literatura várias definições de Termodinâmica. Para além da já

citada, podemos referir outras:

• É definida frequentemente como a Ciência que estuda a dependência com a

temperatura, de certas propriedades da Matéria.

• Segundo Callen a Termodinâmica é o estudo das consequências a nível

macroscópico de um elevadíssimo número de coordenadas atómicas que, em virtude de


10

um cálculo estatístico de médias, não aparecem explicitamente na descrição

macroscópica do sistema (Callen, 1985).

• Para J. Deus, a Termodinâmica trata das transformações energéticas dentro de

um sistema e das transformações energéticas, sob a forma de calor e trabalho, entre um

sistema e o exterior (Deus et al, 2000).

• Para Zemansky é o ramo das ciências maturais que trata das propriedades

macroscópicas da natureza e inclui sempre a coordenada macroscópica temperatura

(Zemansky et al, 1997).

Algumas das definições encontradas para Termodinâmica reforçam concepções

existentes nos alunos para o calor, como por exemplo a dada por Tipler: é a investigação

da temperatura, do calor e das trocas de energia (Tipler, 1994).

A Termodinâmica Clássica, ou simplesmente Termodinâmica, ocupa-se do estudo

das propriedades macroscópicas dos sistemas, não assumindo um modelo para a

constituição da matéria. O único requisito para que um sistema esteja sob a alçada da

Termodinâmica é que ele seja macroscópico, característica que requer um critério para

ser verificada. O sistema será macroscópico se puder ser descrito por variáveis cuja

especificação e definição sejam totalmente independentes de qualquer assunção acerca da

constituição da matéria ao nível corpuscular (Güémez et al, 1998).

A compreensão da estrutura íntima da matéria, nomeadamente a certeza científica

de existência dos átomos é muito recente. Feynman referia-se à importância e dificuldade

em se estabelecer cientificamente a teoria atómica considerando que se, por hipótese,

todo o conhecimento fosse destruído, com excepção de apenas um facto científico,

aquele que deveria ser preservado para permitir às gerações vindouras a mais rápida

evolução científica seria o conhecimento de que “a matéria é constituída por átomos”.

É, sem dúvida, um conhecimento recente, embora uma ideia antiga (desde Demócrito).

No entanto, as leis da Termodinâmica são independentes de qualquer conhecimento ou

consideração a nível microscópico.

Há outras áreas da ciência que abordam os sistemas do ponto de vista

macroscópico, como por exemplo a Mecânica e a Óptica Geométrica. O que distingue a

Termodinâmica dessas outras áreas são, basicamente, os seguintes aspectos:

- A variável tempo não é considerada explicitamente em Termodinâmica.

- As coordenadas espaciais não são relevantes, ou seja, a Termodinâmica não é

uma teoria de campos.

- A variável temperatura é essencial em Termodinâmica para descrever os sistemas

e as suas propriedades.


11

Uma abordagem dos sistemas em que se tenha em conta a constituição da matéria,

e onde se requer o conhecimento sobre propriedades médias das partículas individuais,

baseado no tratamento estatístico do comportamento de grandes grupos de partículas é

chamada Termodinâmica Estatística ou Mecânica Estatística.

Embora se possa questionar se os dois pontos de vista, o macroscópico e o

microscópico, são ou não incompatíveis, verifica-se que ambos, quando aplicados ao

mesmo sistema, levam às mesmas conclusões. Os dois pontos de vista são conciliáveis

porque as poucas propriedades mensuráveis, cuja especificação constitui o ponto de vista

macroscópico, são médias, durante um dado período de tempo, de um grande número de

propriedades microscópicas.

A grandeza física porventura mais largamente utilizada é a energia. Embora se

tenha a percepção intuitiva do que é a energia, esta grandeza é difícil de ser definida, ou

mesmo impossível. Talvez a melhor forma de a definir será pelos princípios da

conservação onde está envolvida. A energia pode ser vista como a capacidade de

provocar alterações (Çengel et al, 2001). Para um sistema, a energia traduz a sua

capacidade, por interacção com o seu meio exterior, de produzir trabalho ou transferir

calor (Deus et al, 2000). Trabalho e calor são assim transferências de energia,

constituindo os dois mecanismos gerais de troca de energia entre sistemas.

O conceito de energia é, sem dúvida, o conceito mais unificador em Física,

obedecendo ao Princípio da Conservação da Energia. Este princípio estabelece que

durante uma interacção, se levarmos em conta todas as transformações, verificamos que

há uma grandeza que permanece constante – a energia. A energia pode mudar de forma,

mas a quantidade total permanece constante, isto é, a energia não pode ser criada nem

destruída. Este princípio está expresso na Primeira Lei da Termodinâmica, que referida a

um sistema fechado pode escrever-se1 U Q WD = + , onde UD é a variação da energia

interna do sistema2 e Q e W são o calor e o trabalho, respectivamente, as duas interacções

fundamentais para as trocas de energia. U é uma propriedade dos sistemas enquanto que

Q e W referem-se a interacções (entre o sistema e a vizinhança) e dependem dos

processos que levam à transformação do sistema. Por outras palavras, U é uma função de

estado e Q e W são funções de processo.

1 Há autores que defendem que uma formulação mais actual desta lei deve incluir o termo radiação

(Caldeira et al, 2007), embora tal formulação seja controversa (Cruz et al, 2004). 2 Admite-se aqui, sem perda de generalidade conceptual, que as energias potencial e cinética

macroscópicas permanecem constantes durante o processo.


12

Mesmo observando-se a conservação da energia, nem todos os processos são

possíveis, ou seja, há condições adicionais a impor à forma de como decorrem os

processos termodinâmicos. Estas restrições constituem a Segunda Lei da

Termodinâmica. Como consequência desta lei, verifica-se uma diminuição da energia

disponível para produzir trabalho, o que é caracterizado pela grandeza termodinâmica

entropia: num sistema isolado3 a entropia não pode diminuir. Assim, podemos encarar a

Termodinâmica como a ciência que estuda as interacções entre sistemas e as

propriedades dos sistemas numa perspectiva da conservação da energia e da não

diminuição da entropia.

2.2 Definições fundamentais

2.2.1 Sistema, vizinhança e fronteira

O estudo de qualquer ramo das ciências começa com a definição de uma região

restrita do espaço (ou de uma porção de matéria), recorrendo-se a uma superfície

fechada, real ou imaginária, chamada fronteira. Se a fronteira for real tem o nome de

parede. A região dentro da fronteira e sobre qual recai a nosso estudo é o que

designamos por sistema. Tudo fora do sistema e que pode interagir com este chama-se

vizinhança ou exterior, que pode ser considerada outro sistema (ver Figura 2.1). O

conjunto do sistema e exterior é o universo. Um sistema pode ser dividido em

subsistemas ou ele próprio ser um subsistema de um outro maior.

Figura 2.1 Sistema termodinâmico constituído pelos subsistemas A, B e C. A fronteira separa o sistema do meio exterior, e a vizinhança é a parte do exterior que interage com o sistema (Anacleto, 2004).

3 Em rigor, basta que o sistema seja isolado termicamente (Güémez et al, 1998).

fronteira

A B

C vizinhança

exterior


13

O sistema pode ser fechado ou aberto e isolado ou não-isolado. É fechado se não

troca substância com o exterior; caso contrário é aberto. É considerado isolado se não

troca energia com o exterior, caso contrário diz-se não-isolado. Encontra-se

frequentemente na literatura, incluindo os manuais escolares, a definição de sistema

fechado como sendo aquele que não troca matéria com o exterior (Güémez et al, 1998).

No entanto o termo matéria não é adequado por estar associado à massa a qual, pela

relação 2E mc= , é equivalente a energia4. Um sistema termodinâmico fica especificado

se se conhecer as suas propriedades físico-químicas e as características da fronteira que o

separa da vizinhança. Se a composição química e as propriedades físicas locais são iguais

em todos os pontos o sistema é dito homogéneo. Quando o sistema é composto de vários

subsistemas homogéneos é designado heterogéneo.

As interacções entre diferentes sistemas têm o nome de contactos termodinâmicos

e dependem da natureza dos sistemas e do tipo de fronteiras. O estado do sistema é

definido indicando o conjunto de propriedades ou variáveis físico-químicas que o

caracterizam. É uma evidência experimental, o facto de que todos os sistemas

termodinâmicos isolados têm estados, designados por estados de equilíbrio, cujas

propriedades permanecem constantes (Güémez et al, 1998).

2.2.2 Propriedades de um sistema

Qualquer característica de um sistema é chamada propriedade ou variável

termodinâmica. A título de exemplo, os sistemas mais simples podem ser caracterizados

pela pressão P, a temperatura T, o volume V, e a massa m.

Nem todas as propriedades são independentes, algumas são definidas em função

das outras, tal como no caso de um gás a uma pressão muito baixa (gás ideal), para o

qual se verifica a equação de estado PV n RT= , onde n é a quantidade de substância

expressa em moles e R é a constante molar dos gases de valor 1 18,314 J mol KR - -= .

Em termodinâmica clássica a estrutura atómica de uma substância não é

considerada, sendo a substância tida como contínua, homogénea, não apresentando

orifícios macroscópicos. Esta idealização é válida desde que se trabalhe com volumes,

áreas e comprimentos que se apresentem demasiado grandes em relação aos espaços

intermoleculares.

4 A relação 2E mc= , devida a Einstein, estabelece a equivalência entre a massa m de um sistema e

a sua energia total E, onde c é a velocidade da luz no vazio, cujo valor exacto é 1299792 458 ms- .


14

2.2.3 Variáveis intensivas, extensivas e conjugadas

As propriedades são extensivas se o valor da variável do sistema é igual à soma dos

seus valores em qualquer conjunto de subsistemas no qual o sistema se decomponha.

São, por isso, ditas variáveis globais. Como exemplo, refira-se a massa, o volume e a

entropia. As propriedades são intensivas se assumirem um valor definido em cada parte

do sistema, sendo assim ditas variáveis locais. Como exemplo, temos a temperatura e a

pressão. As propriedades intensivas de um sistema são independentes da massa, ao

contrário das extensivas, que são proporcionais à massa.

É, por vezes, útil exprimir as variáveis extensivas dividindo-as pela quantidade de

substância (o que só é possível se houver uma única substância), obtendo-se então

variáveis molares. Se se dividirem as propriedades extensivas pela massa, obtêm-se as

variáveis mássicas.

Um conceito muito importante em Termodinâmica é o de variáveis conjugadas.

Diz-se que duas variáveis, uma extensiva, X, e outra intensiva, Y, são conjugadas se o

produto dY X for uma grandeza infinitesimal com dimensões de energia.

As variáveis independentes de um sistema a que se dão valores arbitrários

designam-se por parâmetros de estado. As funções de estado são variáveis do sistema

que não se consideram independentes, uma vez que são funções dos parâmetros de

estado. A distinção entre parâmetros e funções de estado é basicamente uma questão de

conveniência. As equações de estado relacionam as diferentes variáveis de um sistema.

2.2.4 Equilíbrio termodinâmico

Um sistema está em equilíbrio termodinâmico se as variáveis que o caracterizam

estão definidas e permanecem constantes. Por questões conceptuais e de análise, o

equilíbrio termodinâmico divide-se em equilíbrio térmico, mecânico e químico.

A existência de um estado de equilíbrio num sistema depende da sua proximidade

de outros sistemas, e da natureza da fronteira que o separa dos outros sistemas.

Quando a resultante das forças e o momento resultante são nulos, no interior do

sistema e entre este a sua vizinhança, o sistema está num estado de equilíbrio mecânico.

Quando estas condições não são observadas, o sistema e/ou a sua vizinhança sofrem uma

mudança de estado, que cessará quando o equilíbrio mecânico é restabelecido.

Quando um sistema em equilíbrio mecânico não tende a sofrer espontaneamente

uma mudança na sua estrutura interna, tal como uma reacção química, ou uma


15

transferência de substância de uma parte do sistema para outra, então está num estado de

equilíbrio químico.

Um sistema em equilíbrio mecânico e químico, separado da sua vizinhança por

paredes diatérmicas5, está em equilíbrio térmico quando não há mudança espontânea das

suas coordenadas termodinâmicas. No equilíbrio térmico, todas as partes do sistema

estão à mesma temperatura, sendo esta a mesma que a temperatura da vizinhança.

Quando estas condições não são satisfeitas, ocorre uma mudança de estado até o

equilíbrio térmico ser atingido. Se o sistema estiver separado da vizinhança por paredes

adiabáticas6, não há interacção na forma de calor e o equilíbrio termodinâmico depende

apenas dos equilíbrios mecânico e químico.

Se todos os três tipos de equilíbrio são verificados, o sistema está num estado de

equilíbrio termodinâmico. Estes estados podem ser descritos em termos de coordenadas

macroscópicas que não envolvem o tempo, isto é, em termos de coordenadas

termodinâmicas.

Quando qualquer um dos três tipos de equilíbrio não se verifica, o sistema está num

estado de não-equilíbrio, não podendo ser descrito por coordenadas termodinâmicas

que se referem ao sistema como um todo.

2.2.5 Trabalho e calor

Os termos trabalho e calor têm significados distintos em ciência e na linguagem do

dia-a-dia. Esta razão por si só justifica fazer-se uma referência crítica a estes conceitos.

Contudo, actualmente os conceitos de trabalho e calor e as suas definições científicas

ainda são objecto de debate, conforme mostram algumas publicações recentes (Anacleto

et al, 2007; Gislason et al, 2005; Besson, 2003).

As interacções que permitem modificar o estado de um sistema com base em

variações expressas por um par de variáveis conjugadas mecânicas dizem-se interacções

do tipo trabalho. Distinguem-se duas formas fundamentais de trabalho: trabalho de

configuração e trabalho dissipativo (Güémez et al, 1998). O trabalho de configuração

corresponde à organização macroscópica do sistema, como, por exemplo, no caso da

variação de volume associado ao movimento de um êmbolo. O trabalho dissipativo

5 Paredes diatérmicas são paredes que permitem a transferência de energia por calor entre o sistema

e a vizinhança. 6 Paredes adiabáticas são paredes que não permitem a transferência de energia por calor entre o

sistema e a vizinhança, mesmo havendo entre eles uma diferença de temperatura.


16

corresponde a uma transferência de energia para o sistema na forma de trabalho, mas não

implica uma variação de volume. Como exemplo, podemos pensar na agitação de um

líquido com uma vareta.

Pode também modificar-se o estado do sistema de outra forma, por exemplo,

colocando o sistema em contacto com outro sistema a uma temperatura diferente. Este

tipo de interacção, que não se pode identificar com uma interacção do tipo trabalho

designa-se por interacção térmica, por contacto térmico ou simplesmente por calor

(Güémez et al, 1998).

Os conceitos de trabalho e calor referem-se a dois tipos distintos de interacções

termodinâmicas entre o sistema e a sua vizinhança e só têm significado enquanto ocorrer

a transformação do sistema.

Num estado de equilíbrio as grandezas trabalho e calor não têm significado. Ainda

se lê frequentemente “troca (ou fluxo) de calor”, mas o que se quer dizer é “troca (ou

fluxo) de energia por calor”. O mesmo se verifica para a grandeza trabalho: “troca de

trabalho” significa “troca de energia por trabalho”. Assim, os termos calor e trabalho

aparecem-nos, por vezes, com dois significados em simultâneo: o valor da energia

trocada e o tipo de interacção, o que pode sugerir que o calor (ou o trabalho) é uma

substância que pode passar de uns sistemas para outros, o que é errado7.

2.2.6 Ligações

As paredes impõem condições restritivas designadas por ligações. A imposição de

um volume constante é conseguida por meio de paredes rígidas. Caso contrário, as

paredes são móveis ou êmbolos. As paredes rígidas não permitem a troca de energia por

trabalho de configuração.

A condição de sistema fechado é originada por paredes impermeáveis. Os sistemas

abertos, pelo contrário, têm paredes permeáveis.

Pode fabricar-se paredes que reduzem bastante os contactos térmicos. O caso ideal

e limite deste tipo de parede é o conceito de parede adiabática, que é isoladora térmica

total. Diz-se que um sistema está rodeado por uma parede adiabática quando, a partir do

meio exterior, só for possível provocar mudanças no sistema por meio de contactos do

tipo trabalho. Uma parede adiabática impede a troca de energia por calor entre o sistema

e a vizinhança. Uma parede não adiabática designa-se por parede diatérmica.

7 Na literatura anglo-saxónica aparecem frequentemente os termos heat exchange, work exchange,

heat transfer, heat capacity, entre outros.


17

2.2.7 Processos termodinâmicos

Designa-se por processo termodinâmico uma transformação de um estado de

equilíbrio noutro, durante a qual as propriedades do sistema variam.

Quando o estado final coincide com o estado inicial diz-se que o processo é cíclico,

caso contrário diz-se que é um processo aberto.

Um processo é espontâneo quando ocorre naturalmente em consequência da

eliminação de uma ou mais ligações. Durante um processo espontâneo o sistema passa,

geralmente, mas não necessariamente, por situações de não-equilíbrio.

Um processo infinitesimal é aquele para o qual, ao eliminarmos ou alterarmos uma

ou mais ligações, as variáveis do sistema sofrem variações infinitesimais, não saindo

praticamente o sistema do equilíbrio. Assim, num processo finito que ocorra mediante

sucessivos processos infinitesimais – processo muito lento ou quase-estático – todos os

estados intermédios são (praticamente) de equilíbrio.

A representação dos processos quase-estáticos em diagramas de variáveis

termodinâmicas correspondem a linhas contínuas que ligam os estados de equilíbrio

inicial e final do sistema. Os processos que passam por situações de não-equilíbrio

(processos não quase-estáticos) não podem ser representados por linhas contínuas, e

representam-se, por exemplo, por linhas a tracejado (ver Figura 2.2).

Figura 2.2 Representação, num diagrama das variáveis X e Y, de estados de equilíbrio e de processos termodinâmicos. Os processos quase-estáticos podem ser representados por linhas contínuas definidas; os processos não quase-estáticos representamos por linhas a tracejado (Anacleto, 2004).

Processo quase-estático (reversível ou não)

Processo não quase-estático (necessariamente irreversível)

Processo infinitesimal

Y

AX dX BX X

B

A AY

dY

BY


18

De entre os processos termodinâmicos, salienta-se os seguintes:

• Processo reversível e quase-estático. É uma transformação constituída por uma

sucessão de processos infinitesimais que se pode inverter em cada passo

mediante uma mudança infinitesimal da vizinhança. O termo quase-estático não

é equivalente ao termo reversível. Contudo, todos os processos reversíveis são

necessariamente quase-estáticos e, entre o sistema e a vizinhança, as trocas de

energia por calor dão-se sob diferenças infinitesimais de temperatura, e as trocas

de energia por trabalho dão-se por variações simétricas das variáveis

deslocamento e com diferenças infinitesimais entre as forças de interacção.

• Processo irreversível e quase-estático. É uma transformação constituída por

uma sucessão de processos infinitesimais que não podem surgir por ordem

inversa. Os estados são de equilíbrio, mas a troca de trabalho é dissipativa e/ou a

trocas de energia por calor é originada por diferenças finitas de temperatura

entre o sistema e a vizinhança.

• Processo não quase-estático. É uma transformação durante a qual o sistema não

passa por estados de equilíbrio. Todos os processos não quase-estáticos são

irreversíveis e não podem representar-se em diagramas por linhas contínuas. Ao

contrário, um processo quase-estático é uma sucessão de estados de equilíbrio

que requer que as trocas de energia se processem muito lentamente.

A distinção entre reversibilidade e irreversibilidade é crucial em Termodinâmica,

pois nos sistemas isolados termicamente, a entropia mantém-se nos processos

reversíveis, mas aumenta nos processos irreversíveis (Anacleto, 2004).

2.2.8 Fonte de calor e fonte de trabalho

O conceito de fonte tem um papel relevante em Termodinâmica. São sistemas com

características particulares:

• Fonte de calor (ou reservatório de calor). É um sistema em completo equilíbrio

interno que interage com outros trocando energia apenas por calor. Todos os

processos que nele ocorrem são reversíveis por definição. A temperatura de uma

fonte de calor é bem definida.


19

• Fonte de trabalho. É um sistema que interage com outro trocando energia

apenas por trabalho. Todos os processos que nele ocorrem são reversíveis e a

sua pressão (mais genericamente, a força generalizada de interacção) é bem

definida.

A principal vantagem na descrição das interacções termodinâmicas recorrendo-se

aos conceitos de fontes reside no facto de todos os fenómenos irreversíveis terem lugar

no interior do próprio sistema e nas interacções deste com a sua vizinhança, não havendo

irreversibilidades no exterior do sistema.

2.3 Primeira Lei da Termodinâmica e Calor

A Primeira Lei da Termodinâmica traduz no essencial o Princípio da Conservação

da Energia. Relaciona os conceitos de calor e de trabalho com o conceito de energia

interna do sistema.

2.3.1 Trabalho adiabático e energia interna

Quando um sistema fechado é completamente envolvido por uma fronteira

adiabática, o sistema só pode interagir com a vizinhança através de troca de energia por

trabalho. A experiência mostra que o trabalho adiabático, aW , é o mesmo para todos os

processos que ligam o mesmo estado inicial ao mesmo estado final. Este resultado

constitui o postulado restrito da Primeira Lei da Termodinâmica (Zemansky et al, 1997):

Quando um sistema fechado sofre processos adiabáticos entre os mesmos

estados inicial e final, havendo portanto apenas trocas de energia por trabalho,

então a energia trocada por trabalho é a mesma para todos os processos

adiabáticos considerados.

Existe, portanto, uma função de estado cuja diferença dos valores correspondentes

aos estados final e inicial é igual à energia trocada por trabalho adiabático entre o sistema

e a sua vizinhança. Esta função é designada por energia interna, U . Temos então

af iU U W- = (2.1)


20

Gás

2.3.2 Formulação matemática da Primeira Lei

Consideremos agora um processo termodinâmico arbitrário. Na Figura 2.3 está

representado um processo não-adiabático. As paredes do sistema são diatérmicas estando

o gás em contacto térmico com uma chama a uma temperatura superior, ao mesmo tempo

que sofre uma expansão, o que significa que houve troca de energia por trabalho, W .

Figura 2.3 Um gás que sofre um processo não-adiabático. Há trocas de energia por calor e por trabalho (Anacleto, 2004).

Para este tipo de processos, o trabalho (diatérmico) W não é igual a f iU U- e o

princípio da conservação da energia leva-nos a ter que concluir que houve transferência

de energia por outros processos diferentes do trabalho. Esta energia transferida entre o

sistema e a vizinhança devido a uma diferença de temperatura entre o sistema e a sua

vizinhança é designada por calor, Q . Temos então a definição de calor dada por

( )f iQ U U W= - - (2.2)

e a Primeira Lei da Termodinâmica pode ser então escrita como

U Q WD = + (2.3)

onde UD é a variação da energia interna do sistema durante o processo e Q e W as

energias trocadas por calor e por trabalho, respectivamente. As grandezas energia

interna, trabalho e calor têm como unidade SI o joule (J).


21

A Primeira Lei expressa três ideias relacionadas entre si (Zemansky et al, 1997):

(1) a existência duma função de estado, a energia interna; (2) o princípio da conservação

da energia; e (3) a definição de calor como a troca de energia que não pode ser descrita

como trabalho termodinâmico.

Historicamente, não foi fácil compreender que calor estava relacionado com

energia. A ideia de que calor é uma transferência de energia foi referida em 1839 por M.

Séguin, um engenheiro Francês. Em 1842, Mayer, um físico Alemão, descobriu a

equivalência entre calor e trabalho e formulou o Princípio da Conservação da Energia

(Primeira Lei da Termodinâmica).

Para um processo infinitesimal (processo que envolve variações infinitesimais das

coordenadas termodinâmicas) a Primeira Lei toma a forma

dU Q Wd d= + (2.4)

A equação (2.4) mostra que a diferencial exacta dU é a soma de duas diferencias

inexactas, Qd e Wd . É interessante notar que a inexactidão do lado direito da equação

não seja encontrada no lado esquerdo. Notemos que dU se refere a uma propriedade do

sistema (energia interna), enquanto que Qd e Wd não estão relacionados com

propriedades do sistema, mas referem-se à vizinhança, que interage com o sistema por

processos de transferência de energia. Wd pode ser representado em termos do produto

de uma grandeza intensiva (força generalizada) pela diferencial de uma grandeza

extensiva (deslocamento generalizado) – variáveis conjugadas. Por sua vez, Qd

também pode ser expresso em termos de coordenadas termodinâmicas conjugadas, a

temperatura e a entropia, Q TdSd = .

2.4 A Segunda Lei da Termodinâmica

Em princípio, podemos ter processos cíclicos para os quais a energia recebida por

trabalho numa parte do ciclo possa ser totalmente cedida por calor noutra parte do ciclo.

Por outras palavras, temos Q W= - com 0W > , sendo a transformação de trabalho em

calor é obtida com 100 % de eficiência.

A situação inversa é contudo impossível. Para que ciclicamente calor seja

transformado em trabalho é necessário trocar energia por calor com, pelo menos, duas

fontes, uma que cede energia por calor ao sistema e outra que recebe energia por calor do


22

sistema. Assim, a eficiência não poderá ser 100 %. A fonte que cede a energia por calor

ao sistema, 1Q , é designada por fonte quente e a fonte que recebe energia por calor do

sistema, 2Q , é designada por fonte fria.

Um sistema que sofra um processo cíclico (designado por máquina) e que troca

energia por calor com apenas duas fontes é designado por máquina ditérmica.

Se 1 0Q > , 2 0Q < , 0W < , sendo, pela Primeira Lei, 1 2Q Q> , então a máquina

que origina o ciclo é chamada uma máquina térmica. O propósito de tal máquina é

fornecer continuamente energia por trabalho ao exterior descrevendo o mesmo ciclo

repetidamente. A energia trocada por trabalho é a energia útil fornecida pelo sistema, e a

energia trocada por calor com a fonte quente é a energia absorvida. A eficiência térmica

da máquina, h , é definida como

trabalho realizadoEficiência térmica =energia recebida por calor

, ou seja,

2

1 1 11

W QWQ Q Q

h = = - = + (2.5)

2.4.1 Enunciados de Kelvin-Planck e de Clausius da 2ª Lei

2.4.1.1 Postulado de Kelvin-Planck

A Figura 2.4 a) mostra um esquema de uma máquina térmica. A experiência mostra

que nenhuma máquina converte a energia extraída por calor da fonte quente em energia

cedida por trabalho sem rejeitar alguma energia por calor para a fonte fria. Esta restrição

negativa constitui a Segunda Lei da Termodinâmica e pode ser formulada de várias

formas. Uma delas é o postulado de Kelvin-Planck (PK):

PK: É impossível construir uma máquina térmica que, operando ciclicamente,

não produza nenhum outro efeito para além do de extrair energia por calor de

uma fonte e realizar uma quantidade equivalente de trabalho.


23

Figura 2.4 Representação esquemática da operação de: a) uma máquina térmica; e b) uma máquina frigorífica (Anacleto, 2004).

2.4.1.2 Postulado de Clausius

Se imaginarmos um ciclo realizado numa sequência de transformações oposta à da

máquina térmica, obtemos o que se designa por máquina frigorífica, conforme se ilustra

na Figura 2.4 b). Pela Primeira Lei, 1 2 0Q Q W+ + = , sendo agora 1 0Q < , 2 0Q > e

0W > , o que nos permite escrever

1 2Q W Q= + (2.6)

O propósito de uma máquina frigorífica é retirar energia por calor da fonte fria ou

ceder energia por calor à fonte quente. No primeiro caso, a eficiência, Fh , é definida por

2 1F 1

Q QW W

h = = - - (2.7)

No segundo caso, a máquina frigorífica é designada por bomba de calor, e a

eficiência, BCh , é definida mais convenientemente por

1 2BC 1

Q QW W

h = = + (2.8)

1Q

2Q

W

FONTE QUENTE

FONTE FRIA

2Q

1Q

W

FONTE QUENTE

FONTE FRIA

a) b)

Sistema Sistema


24

O propósito da máquina frigorífica é extrair a máxima energia por calor 2Q da

fonte fria com o menor dispêndio possível de trabalho. É sempre necessário haver troca

de energia por trabalho para se transferir energia por calor de uma fonte fria para uma

fonte quente. Esta constatação restritiva leva-nos ao postulado de Clausius da Segunda

Lei (PC):

PC: É impossível construir uma máquina frigorífica que, funcionando

ciclicamente, não produza nenhum outro efeito para além do de transferir energia

por calor de uma fonte para outra a uma temperatura superior.

Os dois postulados, sendo à primeira vista diferentes, são equivalentes e constituem

possíveis enunciados da Segunda Lei (Zemansky et al, 1997). Há outros enunciados da

Segunda Lei, tais como o de Sears-Kestin e o de Carathéodory (Güémez et al, 1998).

2.4.2 Processos reversíveis e irreversíveis

O conceito de processo reversível é fundamental em termodinâmica. Um processo

é dito reversível se ocorre de tal forma que, no final do mesmo, quer o sistema quer o

exterior podem ser restituídos aos seus estados iniciais sem produzir quaisquer

mudanças no resto do Universo. Um processo que não satisfaz totalmente estes

requisitos é dito irreversível (Zemansky et al, 1997).

A questão que imediatamente se levanta é se os processos naturais, em particular,

os processos que nos são familiar, são reversíveis ou não. Como fenómenos dissipativos

estão presentes em todos os processos reais, então, todos os processos naturais são

irreversíveis. Contudo, o conceito de processo reversível é uma idealização útil, pois

podemos na prática ter processos aproximadamente reversíveis, e porque permite

introduzir o conceito de entropia.

Um processo será reversível se ocorrer quase-estaticamente e se não for

acompanhado por nenhum efeito dissipativo (por exemplo atrito). Como é impossível

satisfazer estas duas condições perfeitamente, é óbvio que um processo reversível é uma

abstracção ideal, muito útil em cálculos teóricos, mas afastada da realidade.


25

2.4.3 O ciclo e o teorema de Carnot

Um ciclo de Carnot é um processo cíclico reversível constituído por dois processos

adiabáticos e dois processos isotérmicos. Durante o ciclo o sistema troca energia por

calor com duas fontes. A fonte com maior temperatura, 1T , é a fonte quente e a fonte com

temperatura menor, 2T , é a fonte fria. As energias trocadas por calor com as fontes

quente e fria são denotados por 1Q e 2Q , respectivamente. Em princípio, um ciclo de

Carnot pode ser levado a cabo por qualquer sistema termodinâmico. A Figura 2.5

representa um ciclo de Carnot num diagrama P-V.

Uma máquina que opera num ciclo de Carnot é designada por máquina de Carnot.

A máquina de Carnot é uma máquina reversível. O ciclo pode ser realizado em qualquer

sentido. Quando é realizado no sentido oposto ao considerado na Figura 2.5 obtemos um

frigorífico de Carnot.

Figura 2.5 Ciclo de Carnot representado num diagrama P-V (Anacleto, 2004).

A máquina de Carnot tem uma eficiência máxima. Este facto constitui o Teorema

de Carnot, que pode ser enunciado da seguinte forma:

Nenhuma máquina térmica que opere entre duas fontes pode ser mais eficiente

do que uma máquina de Carnot operando entre as mesmas fontes.

1Q

2Q 2T

1T

4

3

2

1

P

V


26

A prova do teorema pode ser encontrada em vários livros de texto de

Termodinâmica (por exemplo, Zemansky et al, 1997). Decorre do teorema de Carnot o

seguinte corolário do teorema de Carnot pode ser demonstrado facilmente (Zemansky et

al, 1997):

Todas as máquinas de Carnot que operam entre as mesmas fontes têm a

mesma eficiência.

A natureza do sistema que realiza o ciclo de Carnot não tem influência na

eficiência da máquina de Carnot. A característica essencial de uma máquina de Carnot é

que é reversível e opera entre duas fontes apenas. Além disso, as características da

máquina de Carnot são independentes do sistema termodinâmico que realiza o ciclo.

27

3 Lei zero da Termodinâmica e Temperatura

A primeira parte deste capítulo contém algumas transcrições de (Anacleto, 2004),

enriquecidas com actividades experimentais.

3.1 Noção intuitiva de temperatura

A temperatura é, talvez, a grandeza física mais considerada no dia-a-dia. No

domínio científico a temperatura está presente em quase todos os fenómenos naturais e

quase todas as grandezas físicas dependem da temperatura. Contudo a sua compreensão

não é fácil e requer uma reflexão demorada.

3.1.1 Temperatura como sensação

O conceito de temperatura teve uma origem nas vivências do homem. Segundo J.

Deus, a noção de temperatura está ligada às sensações de quente e de frio, ou seja, à

quantidade de aquecimento (Deus et al, 2000). Para Abreu, a temperatura é a grandeza

que nos diz quão quente ou frio está um corpo (Abreu et al, 1994). Quando sentimos que

um corpo está “quente”, dizemos que a sua temperatura é elevada. De modo análogo,

quando sentimos que um corpo está “frio”, dizemos que a sua temperatura é baixa. No

entanto, a nossa percepção de quente e frio é, por vezes, enganadora. Por exemplo, sente-

se a sensação de frio quando se anda descalço e se passa de um chão de alcatifa para um

de tijoleira à mesma temperatura.

A resposta dos sentidos relativamente à temperatura de um corpo é subjectiva e

qualitativa. Além disso, podemos ter sensações que não correspondem à relação entre as

temperaturas dos corpos em que tocamos. Para além das condições fisiológicas do

indivíduo, as sensações são determinadas em função de certas grandezas físicas que, no

caso da temperatura, são fundamentalmente a capacidade térmica mássica e a

condutividade térmica das substâncias. Abordaremos seguidamente estas duas grandezas

e apresentamos a sua determinação experimental para dois metais.


28

3.1.2 Capacidade térmica

A capacidade térmica refere-se à quantidade de energia por calor necessária para

que a temperatura de um sistema de massa m aumente de uma unidade (1 K). O termo

“capacidade calorífica”, que ainda é muito utilizado (sobretudo nos manuais do ensino

superior), implica que o sistema possa armazenar calor, o que é uma ideia errada, pois o

calor não é uma função de estado, ao contrário da energia interna. Uma possibilidade

seria dizer-se capacidade energética interna, mas optámos pelo termo capacidade

térmica, porque pretendemos relacionar a energia trocada por calor com a variação de

temperatura do sistema.

Quando um sistema recebe energia por calor, uma mudança da sua temperatura

pode ou não ocorrer, dependendo do processo que o sistema sofre. Se a temperatura de

um sistema variar de iT para fT durante a troca de Q unidades energia por calor com a

sua vizinhança, a capacidade térmica média do sistema é definida pela razão

Capacidade térmica média f i

QT T

=-

(3.1)

Quando a diferença f iT T- tende para zero, esta razão aproxima-se de um valor

limite, designado por capacidade térmica C,

limf iT T f i

QCT TÆ

=-

(3.2)

ou, à temperatura iT ,

QC

dTd= (3.3)

A capacidade térmica C é medida em 1J K- no sistema SI. Notemos que o segundo

membro de (3.3) não é a derivada de uma função, mas sim a razão de duas grandezas

infinitesimais Qd e dT . A capacidade térmica mássica é definida como

1C Qc

m m dTd= = (3.4)

onde m é a massa do sistema, tendo c como unidade 1 1J K kg- - .

3 Lei Zero da Termodinâmica e Temperatura

29

Uma mole é definida como a quantidade de substância que contém tantas entidades

elementares (átomos, moléculas, iões, electrões, ou outras partículas) como de átomos

existentes em, exactamente, 0,012 kg de 12C. Este número de átomos de 12C é chamado

número de Avogadro AN e é igual a 236,022 10¥ partículas por mole. Se a massa de um

átomo for m, então a massa de uma mole de átomos é AM mN= . Esta quantidade é a

massa molar M, sendo a quantidade de substância n dada por ( )massa totaln M= . Se C

é a capacidade térmica de n moles, então a capacidade térmica molar c, tendo como

unidade 1 1J K mol- - , é definida por

1C Qc

n n dTd= = (3.5)

As capacidades térmicas mássicas e molares eram anteriormente designadas por

calores específicos, mas tal designação é inadequada e prejudicial à compreensão do

conceito de calor, corroborando a teoria do calórico.

A capacidade térmica pode ser negativa, zero, positiva, ou infinita, dependendo do

processo que o sistema sofre durante a transferência de energia por calor. A capacidade

térmica tem um valor definido apenas para um processo definido. Para um sistema

hidrostático8, Q dTd tem um valor único para todas as medições realizadas a pressão

constante. Nestas condições, C é chamado a capacidade térmica a pressão constante e é

denotada por PC , sendo

PP

QCdTdÊ ˆ= Á ˜Ë ¯

(3.6)

Analogamente, a capacidade térmica a volume constante, VC , é o resultado obtido

mantendo o volume constante; assim,

VV

QCdTdÊ ˆ= Á ˜Ë ¯

(3.7)

8 Um sistema hidrostático é um sistema termodinâmico com massa e composição constantes e que

exerce sobre a sua vizinhança uma pressão hidrostática uniforme, na ausência de campos gravitacionais e electromagnéticos. Os sistemas hidrostáticos são normalmente caracterizados pelas variáveis pressão, P, volume, V, e temperatura, T (Zemansky et al, 1997).


30

Em geral, PC e VC assumem valores diferentes, com P VC C> , e são funções da

pressão e da temperatura9.

A capacidade térmica mássica a volume constante depende da temperatura da

forma como é ilustrada na Figura 3.1. A altas temperaturas o valor de Vc é próximo de

3R , onde 1 18,314 J K molR - -= é a constante dos gases ideais. As altas temperaturas

também incluem as temperaturas ambiente vulgares. O facto de Vc ser aproximadamente

igual a 3R para altas temperaturas independentemente da substância é chamada lei de

Dulong et Petit.

O desvio desta lei a temperaturas baixas é evidente da Figura 3.1, quando T

decresce, Vc também decresce, e anula-se no zero absoluto. Perto do zero absoluto a

capacidade térmica mássica Vc é proporcional a 3T . A explicação deste comportamento

é dada pela teoria quântica, por exemplo, pelos modelos de Einstein e Debye para a

capacidade térmica mássica (Omar, 1993).

Figura 3.1 Capacidade térmica mássica a volume constante, Vc , em função da temperatura. Vc tende para zero quando T tende para zero.

A determinação da capacidade térmica mássica de uma substância pode ser obtida

pelo método das misturas (ver anexo A4). No caso da determinação da capacidade

térmica de um sólido, recorre-se a um calorímetro de capacidade térmica conhecida, onde

se mistura uma dada quantidade de água, à temperatura águaq , com uma amostra do

9 Uma questão interessante a colocar aos alunos é: por que é que PC é maior que VC ?

3R

Vc

T / K 0


31

sólido, à temperatura sólidoq , obtendo-se a temperatura final da mistura no equilíbrio fq .

Usando o princípio da conservação da energia, a capacidade térmica mássica do sólido,

c , é dada pela expressão

( )( )( )

água f águaágua

sólido sólido f

m Ec c

mq q

q q+ -

=-

(3.8)

onde águam e sólidom são as massas da água e do sólido, respectivamente; águac é a

capacidade térmica mássica da água e E é a capacidade térmica do calorímetro expressa

em quantidade equivalente de água.

O equivalente em água do calorímetro, E , pode ser determinado misturando no

calorímetro quantidades de água a temperaturas diferentes e medindo o desvio da

temperatura final da mistura em relação ao valor esperado. O conhecimento deste valor é

importante para minimizar o erro experimental, e, para o calorímetro usado nesta

actividade, foi obtido um valor de 1,23 gE = .

Para um sólido teoricamente feito de aço, dos valores da Tabela 3.1, considerando 1 1

água 4,186J ºC gc - -= e 1,23 gE = e utilizando a expressão (3.8), obtivemos para a

capacidade térmica mássica do aço o valor de 1 10,46 kJ kg ºCc - -= .

Para calcularmos a incerteza do valor calculado, analisemos os erros dos termos da

equação (3.8). Os aparelhos usados nas medições eram digitais, pelo que tomamos a

incerteza no último algarismo do número lido. Assim, os erros relativos, rE , dos termos

da equação (3.8) são: ( )r f água 0,07E q qÈ ˘- =Î ˚ , ( ) 3r sólido f 1,7 10E q q -È ˘- = ¥Î ˚ ,

[ ] 4sólido 2,00 10rE m -= ¥ e ( ) 5

r água 4,85 10E m E -È ˘+ = ¥Î ˚ . O termo que tem maior

contribuição para o erro do resultado é ( )f águaq q- , cujo valor é de apenas 1,5 ºC. O erro

relativo total é 0,072, o que corresponde termos para valor da capacidade térmica mássica

do aço o valor de ( ) 1 10, 46 0,03 kJ kg ºCc - -= ± .

O valor tabelado é 1 10, 469 kJ kg ºCc - -= , que está dentro do intervalo de erro.


32

Determinação da capacidade térmica mássica do aço

águam açom águaq açoq fq

206,17 g 50,04 g 16,9 ºC 74,3 ºC 18,4 ºC

Tabela 3.1 Valores medidos das grandezas intervenientes na determinação experimental da capacidade térmica mássica do aço.

3.1.3 Capacidade térmica mássica da água; a caloria

Quando a calorimetria foi desenvolvida em meados do séc. XVIII, as medições

eram restritas à gama de temperaturas entre os pontos de fusão e ebulição da água. A

unidade de calor julgada mais conveniente foi chamada caloria (abreviadamente cal) e

foi definida como a energia por calor necessária para elevar a temperatura de 1 ºC de um

sistema constituído por 1 g de água. Para medir a energia por calor transferida da

vizinhança para a amostra da água, era apenas necessário fazer duas medições: a da

massa da água e a da variação de temperatura da água. Mais tarde, as medições

aperfeiçoaram-se, tornando-se mais precisas, e foram feitas correcções, verificando-se

que a energia por calor necessária para elevar 1 g de água de 0 a 1 ºC era diferente da

energia por calor necessária para elevar, por exemplo, de 30 a 31 ºC. A caloria foi

definida então como sendo a energia por calor necessária para elevar 1 g de água de 14,5

a 15,5 ºC.

A energia por trabalho que tem de ser dissipada na água, por unidade de massa,

para elevar a temperatura de 14,5 a 15,5 ºC foi chamada o equivalente mecânico do

calor, o qual foi medido como sendo 14,1860 J cal- . Nos anos 20 do séc. XX, foi

reconhecido que a medição do equivalente mecânico do calor era realmente uma medição

da capacidade térmica mássica da água, usando o joule como unidade de calor. Como o

calor é energia que se transfere e o joule é a unidade SI de energia, a caloria tornou-se

dispensável. Actualmente, entre os físicos e os químicos, a caloria não é usada, e todas as

quantidades térmicas são expressas em joule. Não há nenhum equivalente mecânico do

calor, mas sim capacidade térmica mássica da água, cuja variação com a temperatura de

0 a 100 ºC é mostrada na Figura 3.2.


33

Figura 3.2 Capacidade térmica mássica da água em função da temperatura

à pressão atmosférica normal (Zemansky et al, 1997).

3.1.4 Condutividade térmica

Como se refere na secção 3.2.4., a temperatura de um corpo está relacionada como

o estado de vibração das partículas que o constituem.

No processo de calor por condução, as partículas do sistema que está a uma maior

temperatura vibram com uma energia cinética média maior, relativamente ao sistema que

está a uma temperatura menor. Por contacto, as partículas do sistema a uma temperatura

menor, adquirem maior energia de vibração que se transmite às partículas adjacentes,

sendo este mecanismo um processo de transferência de energia por calor, designado por

condução.

O calor por condução, que é característico essencialmente dos sólidos, é um

fenómeno que ocorre sem transporte de matéria e que depende da diferença de

temperatura, das substâncias que constituem os sistemas e da área de contacto.

Os metais são bons condutores térmicos. Além disso, como sabemos, são também

bons condutores eléctricos, o que indicia que há um mecanismo subjacente comum aos

dois fenómenos. De facto, para além da transmissão de energia devido às vibrações dos

iões da rede, os metais têm electrões livres, os quais têm um papel preponderante no

calor por condução, permitindo uma transmissão rápida da energia de uns átomos para os

outros. Portanto, a condução térmica nos metais resulta da combinação dos efeitos da

vibração dos iões na rede cristalina e da energia transportada pelos electrões livres. Os

sólidos não metálicos são, geralmente, maus condutores térmicos, porque a transmissão

de energia se faz apenas entre átomos, moléculas ou iões.


34

Nos fluidos, que são os líquidos e os gases, o calor por condução também ocorre.

Neste caso, deve-se às colisões das moléculas durante o seu movimento aleatório. Nos

fluidos, contudo, o mecanismo do calor mais relevante é a convecção.

Consideremos uma porção de um material, na forma de um paralelepípedo, como se

mostra na Figura 3.3. A energia por calor cdQ por condução que atravessa a área A num

intervalo de tempo tD é dado por

cdQ TAt x

k D= -D D

(3.9)

onde 2 1T T TD = - , k é a condutividade térmica do material e xD é a espessura do

material.

A condutividade térmica, k , define-se como a energia transmitida por segundo

através de uma camada de material de 1 m2 de área e de 1 m de espessura, quando a

diferença de temperatura entre as duas superfícies é 1 K. A unidade SI da condutividade

térmica é 1 1W m K- - .

Figura 3.3 Fluxo de energia por calor através de uma camada de espessura

xD e área A, submetida a uma diferença de temperaturas 2 1T T TD = - .

Fazendo tender para zero a espessura e a área da camada, 0xD Æ e 0AÆ , a

equação (3.9) transforma-se na forma diferencial

cdQ dTdAdt dxd k= - (3.10)

Área A

Energia por calor

2T 1T

xD

x


35

A equação anterior é designada por Lei de Fourier da condução por calor. Fazendo

uma generalização para o caso tridimensional obtém-se a seguinte equação vectorial

(Feynman et al, 1975)

, ,dT dT dTJ Tdx dy dz

k kÊ ˆ= - = - —Á ˜Ë ¯

(3.11)

onde J é o vector densidade de fluxo de energia por calor, cujo módulo é dado por

cdJ Q dAdtd= . A constante de proporcionalidade κ é a condutividade térmica, e é uma

grandeza positiva pois o escoamento da corrente térmica dá-se no sentido contrário ao do

gradiente de temperatura.

Um dos vários métodos para medirmos a condutividade térmica de metais consiste

em utilizarmos os materiais em forma de barra, sendo uma das extremidades aquecida

electricamente (por exemplo) enquanto que a outra extremidade é mantida a uma

temperatura constante, por exemplo, utilizando gelo fundente (0ºC), conforme mostra a

Figura 3.5. A superfície da barra é isolada termicamente, e as perdas de energia através

do isolamento são calculadas subtraindo a taxa a que a energia entra na água da taxa a

que a energia eléctrica é fornecida. Em muitas situações, a perda de energia através da

superfície é muito pequena em comparação com a que flúi através da barra.

Quando a substância a investigar é um não-metal, usamos uma amostra em forma de

um disco fino, e o mesmo método geral é utilizado. O disco é colocado entre dois blocos

de cobre, um dos quais é aquecido electricamente e o outro arrefecido a uma determinada

temperatura usando água. Na maioria dos casos, a taxa a que a energia é fornecida é

praticamente igual à taxa a que entra na água, o que mostra que as perdas pelos bordos

são desprezáveis.

A condutividade térmica dos metais é bastante sensível às impurezas. A mudança de

estrutura devida a um aquecimento contínuo ou um aumento grande de pressão também

afecta o valor da condutividade térmica, k . Contudo, nos sólidos e nos líquidos o valor

de k não muda apreciavelmente com variações moderadas de pressão. A liquefacção

provoca sempre uma diminuição de k , e para um líquido k usualmente aumenta com o

aumento da temperatura. Os sólidos não-metálicos têm um comportamento idêntico ao

dos líquidos. À temperatura ambiente, estes são maus condutores térmicos. Em geral, a

condutividade térmica diminui à medida que a temperatura aumenta. Para temperatura

muito baixas, contudo, o comportamento é bastante diferente, como se vê na Figura 3.4.


36

Figura 3.4 Condutividade térmica em função da temperatura para algumas

substâncias (adaptado de Zemansky et al, 1997).

A condutividade térmica de alguns metais mantém-se aproximadamente constante

num grande intervalo de temperatura. Assim, a prata, o cobre, e o ouro, por exemplo, têm

elevadas condutividades térmicas de 100 a 1000 K. Como regra geral, a condutividade

térmica dos metais aumenta à medida que a temperatura diminui, até ser atingido um

máximo. A continuação da diminuição da temperatura origina uma diminuição da

condutividade térmica para zero.

Os gases são os piores condutores do calor. Para pressões acima de certo valor,

dependendo da natureza do gás e das dimensões do recipiente que o contém, a

condutividade térmica é independente da pressão. A condutividade térmica de um gás

aumenta sempre com o aumento da temperatura.

Seguindo um procedimento semelhante ao descrito anteriormente, determinou-se a

condutividade térmica de alguns condutores, utilizando a montagem da Figura 3.5 (ver

anexo A4). Apresenta-se os resultados obtidos para o cobre.

A barra de cobre utilizada tinha um diâmetro médio de 2,5 cm e estava furada para

que se pudesse medir a temperatura na direcção longitudinal, introduzindo-se nos

orifícios um termopar. A distância entre os furos era de 3,5 cm. Para se determinar a

1 1/ W m Kk - -

T / K


37

variação da temperatura ao longo da barra, uma das extremidades era aquecida com água

em ebulição e na outra extremidade era mantida à temperatura do gelo fundente.

Figura 3.5 Fotografia da montagem experimental para a determinação da

condutividade térmica de uma barra condutora.

Quando se atinge o regime estacionário, estabelece-se uma variação linear da

temperatura ao longo da barra, como se mostra na Figura 3.6. Podendo esta situação ser

tratada a uma dimensão, o declive do gráfico corresponde a dT dx- na equação (3.10).

Figura 3.6 Variação da temperatura ao longo da barra depois de atingido o

regime estacionário de propagação de energia por calor.


38

A área é obtida a partir do conhecimento do diâmetro da barra e o fluxo de energia

ao longo desta é determinado medindo o aumento de temperatura em função do tempo de

uma dada massa de água (a uma temperatura próxima de 0 ºC) em contacto com a

extremidade fria. O fluxo de energia ao longo da barra é, portanto, dado pelo produto do

declive do gráfico da Figura 3.7 pela capacidade térmica da água, C (C mc= , sendo

335gm = e )1 14,186 J ºC gc - -= .

Da lei de Fourier, expressa pela equação (3.10), obtivemos para a condutividade

térmica da barra (teoricamente feita de cobre) o valor de 1 1 14,9 J s cm ºCk - - -= .

Figura 3.7 Aumento da temperatura da água em função do tempo. O declive

é proporcional à taxa de propagação da energia por calor na barra.

O erro relativo do resultado é dado pela soma dos erros relativos dos termos da

equação (3.10). Os erros absolutos dos declives das rectas dos gráficos foram obtidos a

partir da aplicação Origin (da OriginLab Corporation): ( ) 11,154 0,023 K cmdT dx -= - ±

e ( ) 10,0200 0,0007 K sdT dt -= ± . As outras grandezas que contribuem para o erro final

têm os seguintes valores: diâmetro da barra ( )2,5 0,1 cm= ± e ( )335 1 gm = ± . Somando

os erros relativos correspondente aos termos da equação (3.10) obtemos para erro relativo

do resultado o valor 0,10.


39

Assim, o resultado final vem ( ) 1 1 14,9 0,5 J s cm ºCk - - -= ± . O valor tabelado para

o cobre é 1 1 13,851 J s cm ºCk - - -= , que não pertence ao intervalo de incertezas do valor

calculado. Uma explicação possível pode ser o facto de que a barra não ser de cobre puro

e, como se referiu anteriormente, a condutividade térmica dos metais é bastante sensível

às impurezas. Outro aspecto a considerar é o facto de que ao medirmos o fluxo de energia

por calor na barra, a extremidade à temperatura mais baixa não era exactamente 0 ºC

(gráfico da Figura 3.7).

3.2 Conceito de temperatura

Antes da compreensão do conceito científico de temperatura procurou-se dar um

carácter quantitativo à distinção subjectiva entre quente e frio, aprendendo a medir a

temperatura de um corpo muito antes de compreendermos a sua natureza física.

A temperatura pode ser vista como um indicador da energia cinética molecular

média de um corpo (Tipler, 1994). No entanto, só a energia cinética de translação

contribui para a grandeza temperatura, aspecto que por vezes não é referido.

3.2.1 Equilíbrio térmico

A abordagem do conceito de temperatura sem se recorrer ao de equilíbrio térmico e

à Lei Zero resulta em ideias confusas, reforçadas pela nossa intuição e percepções

sensoriais. Por isso, é importante introduzir e discutir a temperatura numa base

cientificamente correcta, pois tal atitude trará num médio prazo aos alunos uma

compreensão confortável, e menos conflituosa do ponto de vista conceptual.

O equilíbrio térmico é atingido por dois sistemas depois de estes estarem em

contacto através de uma parede diatérmica. No equilíbrio térmico as coordenadas

termodinâmicas de ambos os sistemas não podem ter valores quaisquer, pois a condição

de equilíbrio térmico impõe uma relação restritiva para os seus valores. O conceito de

equilíbrio térmico traduz uma relação de equivalência com as seguintes propriedades

(Güémez et al, 1998):

a) Reflexiva: todo o sistema está em equilíbrio térmico consigo próprio.

b) Simétrica: se um sistema A está em equilíbrio térmico com sistema B, então B

também está em equilíbrio térmico com A.


40

c) Transitiva: verifica-se experimentalmente que, se A está em equilíbrio térmico

com B, e se B está em equilíbrio térmico com C, então A está em equilíbrio térmico com

C (Lei Zero da Termodinâmica).

A Figura 3.8 ilustra a evolução da temperatura de dois sistemas constituídos por

água a diferentes temperaturas, colocados em contacto térmico dentro de um calorímetro.

Utilizou-se dois sensores de temperatura e um sistema automático de aquisição de dados,

verificando-se a evolução no sentido de uma temperatura de equilíbrio comum a ambos

os sistemas.

É importante que os alunos tomem contacto com diferentes tecnologias de

equipamentos laboratoriais, nomeadamente de aquisição automática de dados e diferentes

tipos de termómetros. A observação da necessidade de tempo para se atingir o equilíbrio

térmico é também importante para que compreendam a necessidade de levar em conta o

tempo de resposta de um termómetro.

Esta actividade foi realizada em contexto de aula e insere-se no currículo de Física

e Química A, componente de Física, do 10º ano de escolaridade.

Figura 3.8 Fotografias que ilustram a actividade experimental do estudo do equilíbrio térmico.

3.2.2 Lei zero da Termodinâmica

A última propriedade da relação de equivalência referida constitui a Lei Zero da

Termodinâmica e está na base do conceito de temperatura, na construção de termómetros

e escalas de temperatura.

A temperatura é pois definida como a propriedade que indica se um sistema está ou

não em equilíbrio térmico com outros sistemas. É uma grandeza escalar e intensiva. A


41

atribuição de um número à temperatura consiste na construção de um termómetro e no

estabelecimento de uma escala de temperatura.

3.2.3 Definição de temperatura

A Lei Zero implica a existência de uma função de estado, chamada temperatura.

Suponhamos dois sistemas, A e B, em equilíbrio térmico, e consideremos, por

simplicidade, que os estados de equilíbrio são determinados pelas variáveis X e Y.

Existe, portanto, uma função ( )AB A A B B, , , 0f X Y X Y = tal que a variável AY do

sistema A se pode escrever em função de AX , BX e BY ,

( )A AB A B B, ,Y h X X Y= (3.12)

Por outro lado, se os sistemas A e C estiverem também em equilíbrio térmico,

verifica-se a equação ( )AC A A C C, , , 0f X Y X Y = e, analogamente, podemos escrever

( )A AC A C C, ,Y h X X Y= (3.13)

Então, pela Lei Zero, B e C estão em equilíbrio térmico, e deve verificar-se a

equação ( )BC B B C C, , , 0f X Y X Y = (independentemente das propriedades de A), pelo que

AX não deve aparecer na equação

( ) ( )A AB A B B AC A C C, , , ,Y h X X Y h X X Y= = (3.14)

Existe, portanto, uma função, ( ) ( )B B B C C C, ,X Y X Yq q= , que depende apenas do

estado de cada sistema. Pelo mesmo raciocínio, mas agora partindo de B em equilíbrio

térmico com A e C, e considerando, pela Lei Zero, também A e C em equilíbrio térmico,

obtemos, quando os três sistemas se encontrarem em equilíbrio térmico,

( ) ( ) ( )A A A B B B C C C, , ,X Y X Y X Yq q q= = . (3.15)


42

Existem, assim, funções das coordenadas X e Y (funções do estado de cada

sistema), sendo estas funções todas iguais quando os sistemas estão em equilíbrio

térmico entre si.

A função q é a temperatura. A temperatura de um sistema é pois a propriedade

que indica se ele está ou não em equilíbrio térmico com outros sistemas. Tem um

carácter escalar, sendo indicada por um número. Como cada subsistema deve estar em

equilíbrio com os outros, uma consequência da propriedade reflexiva, a temperatura tem

de ser uma grandeza intensiva, tomando o mesmo valor em qualquer ponto do sistema. A

forma da função θ, e o número de variáveis necessárias para a especificar, dependem do

sistema termodinâmico em causa.

A Lei Zero da Termodinâmica pode enunciar-se, portanto, numa formulação mais

recente, do seguinte modo:

Existe uma grandeza escalar, chamada temperatura, que é uma propriedade

intensiva dos sistemas termodinâmicos em equilíbrio, tal que a igualdade de

temperatura é a condição necessária e suficiente de equilíbrio térmico. Nas classes de equivalência referidas anteriormente existe uma Relação de Ordem.

Uma classe de equivalência 1q , classifica-se como de ordem superior à classe 2q se,

colocando em contacto qualquer sistema da classe 2q com qualquer sistema da classe 1q ,

o primeiro ( 2q ) aumentar a sua temperatura e o segundo ( 1q ) a diminuir. Esta relação de

ordem satisfaz as seguintes propriedades: a) Antissimétrica: se o sistema A aumenta a sua temperatura em contacto com o

sistema B, B não a aumenta em contacto com A.

b) Transitiva: se o sistema A aumenta a sua temperatura em contacto com o

sistema B, e B aumenta a sua temperatura em contacto com o sistema C, então A

também aumenta a sua temperatura em contacto com C. As relações de equivalência e de ordem referidas estão na base da construção das

escalas termométricas.

3.2.3.1 Isotérmicas

Consideremos um sistema A, no estado 1 1,X Y , em equilíbrio térmico com outro

sistema B, no estado 1 1,X Y¢ ¢ . Se A é tirado do contacto de B e o seu estado é alterado, é

possível obter um segundo estado 2 2,X Y que esteja em equilíbrio térmico com o estado


43

original 1 1,X Y¢ ¢ do sistema B. A experiência mostra que há um conjunto de estados

1 1,X Y ; 2 2,X Y ; 3 3,X Y ; ... , cada um em equilíbrio térmico com o estado 1 1,X Y¢ ¢ de B, e

todos eles, pela Lei Zero, estão em equilíbrio uns com os outros. Todos esses estados,

quando representados num diagrama -Y X , pertencem a uma curva como a I representada

na Figura 3.9. Tal curva é chamada isotérmica. Uma isotérmica é o conjunto de todos os

pontos que representam estados de um sistema em equilíbrio térmico com um dado

estado de outro sistema.

Analogamente, em relação ao sistema B, encontramos um conjunto de estados –

1 1,X Y¢ ¢ ; 2 2,X Y¢ ¢ ; 3 3,X Y¢ ¢ ; ... – todos em equilíbrio térmico com um estado 1 1,X Y do

sistema A, e, portanto, em equilíbrio térmico uns com os outros. Estes estados,

representados no diagrama -Y X¢ ¢ da Figura 3.9, constituem a isotérmica I¢ . Pela Lei

Zero, todos os estados da isotérmica I do sistema A estão em equilíbrio térmico com

todos os estados da isotérmica I¢ do sistema B. I e I¢ são isotérmicas correspondentes

dos dois sistemas.

Figura 3.9 Isotérmicas correspondentes de dois sistemas termodinâmicos diferentes A e B (Anacleto, 2004).

Se a experiência fosse repetida com condições iniciais diferentes, outro conjunto de

estados do sistema A pertencentes à curva II podiam ser encontrados, cada um em

equilíbrio térmico com cada estado do sistema B pertencente à curva II¢ . Assim, a

família de isotérmicas I, II, III, ... , do sistema A e a família correspondente I¢ , II¢ , III¢ ,

... , do sistema B podem ser encontradas. Pela Lei Zero da Termodinâmica, podem ser

obtidas isotérmicas correspondentes em outros sistemas C, D, ... .

Notemos que a metrologia da temperatura através da utilização de um termómetro

é uma aplicação directa da Lei Zero e do conceito de equilíbrio térmico. Se o termómetro

Sistema A Sistema BIII¢ II¢

I¢ III

II

I

Y Y ¢

X X ¢

3 3,X Y¢ ¢

2 2,X Y¢ ¢

1 1,X Y¢ ¢

1 1,X Y 2 2,X Y

3 3,X Y


44

(sistema A) tiver estado em equilíbrio térmico com um padrão à temperatura 0T (sistema

B), e se agora está em contacto térmico com um sistema cuja temperatura queremos

medir (sistema C) e indica o valor 0T , então a temperatura a determinar é a mesma que a

temperatura do padrão, 0T , pois, pela Lei Zero, o sistema cuja temperatura queremos

medir está em equilíbrio térmico com o padrão, embora estes nunca tenham estado em

contacto térmico.

3.2.3.2 Equação de estado térmica

Para além do conceito de temperatura, a Lei Zero permite introduzir o conceito de

equação de estado ou equação de estado térmica, que relaciona, no equilíbrio, as

propriedades de um sistema termodinâmico.

Para o sistema A, a temperatura é dada por ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , ,X Y X Y X Yq q q= = , ou

seja, podemos escrever a seguinte relação

( ), , 0f X Y q = (3.16)

que é a equação de estado térmica. A existência de uma equação deste tipo é geral não se

limitando a sistemas termodinâmicos particulares, podendo envolver outras variáveis

para além das X e Y consideradas.

A Termodinâmica, através da Lei Zero, garante a existência de uma equação de

estado para todos os sistemas em equilíbrio, embora não especifique a sua forma. Esta

equação permite relacionar variações de grandezas termodinâmicas.

3.2.3.3 Pontos fixos

Uma questão diferente da definição conceptual de temperatura é a construção

efectiva de uma escala termométrica empírica, usando um termómetro particular. É

necessário encontrar um ou mais estados de referência e substâncias com propriedades

termométricas adequadas. Os estados escolhidos para referência são designados por

pontos fixos, e devem ter como principal característica a sua fácil reprodutibilidade.

Costumava tomar-se o gelo fundente e água em ebulição como pontos fixos, mas

actualmente toma-se só um ponto fixo como referência, o ponto triplo da água. Este

estado corresponde ao estado de equilíbrio entre as três fases da água, ou seja, o ponto

em que a água está em equilíbrio com o gelo e o seu vapor. Este estado termodinâmico é

realizado à pressão de 0,612 kPa e é-lhe atribuído a temperatura de 273,16 K (0,01 ºC).


45

Por outro lado, a propriedade da substância usada no termómetro deve variar muito

quando a temperatura varia pouco (elevada sensibilidade).

Convém chamar a atenção que se dois sistemas estão à mesma temperatura, isto

não significa necessariamente que se encontrem em equilíbrio termodinâmico completo.

Para que tal aconteça devem verificar-se mais duas condições: a de equilíbrio mecânico e

a de equilíbrio químico.

Na Figura 3.10 mostra-se os registos de um aluno e a montagem experimental para

a determinação dos pontos de fusão e de ebulição da água.

Partindo de uma mistura de água (líquida) e gelo, aqueceu-se até se obter o estado

de ebulição.

Figura 3.10 Fotografias de um caderno de um aluno (à esquerda) e da montagem experimental (à direita) relativas à actividade da determinação dos pontos de fusão e de ebulição da água.

Os resultados são os que se mostram no gráfico da Figura 3.11. Os pontos fixos

correspondentes ao gelo fundente e à água em ebulição correspondem aproximadamente

às temperaturas de 0 ºC e 100 ºC, respectivamente.


46

Figura 3.11 Gráfico da evolução da temperatura no aquecimento da água

desde o ponto de fusão até ao ponto de ebulição.

3.2.4 O ponto de vista microscópio

Notemos que o conceito de temperatura apresentado é muito abstracto, o que se

revela no facto de os alunos, sobretudo do ensino básico, sentirem muita dificuldade em

compreender este conceito desta forma. Mesmo insistindo exaustivamente nesta

abordagem do conceito de temperatura, os alunos pautam os seus raciocínios para

explicar certos fenómenos por ideias intuitivas e conceptuais alicerçadas nas suas

experiências vividas e na linguagem que usam de forma sistemática.

A abordagem da temperatura recorrendo-se a uma descrição microscópica é uma

tentativa para facilitar a compreensão do conceito, de uma forma menos abstracta, por

isso, mais intuitiva. Notemos contudo, que o conceito de temperatura é um conceito

macroscópico.

Experimentalmente, observa-se que desde que não haja transição de fase, quando

se fornece energia ao sistema a temperatura aumenta. A sua energia interna também

aumenta originando um aumento da energia das partículas constituintes do sistema.

A energia média de uma partícula, num sistema em equilíbrio estatístico, tem um

valor bem definido dado por:

1 1 2 2 3 3

1 2 3

n E n E n EEEN n n n

+ + += =

+ + + (3.17)

onde in é o número de partículas com energia iE , sendo in NÂ = o seu número total.


47

De acordo com a estatística de Maxwell-Boltzmann (ver secção 3.3.2), o número

de partículas correspondentes à energia iE na distribuição mais provável para a

temperatura T é dado pela expressão

iE kTin Ae-= (3.18)

onde k é a constante de Boltzmann, e A é uma constante que depende da temperatura,

do número total de partículas e de outras propriedades das partículas do sistema. O valor

de A é determinado impondo a condição de que o número total de partículas do sistema

seja N (conservação do número de partículas).

O valor da exponencial iE kTe- da eq. (3.18) aumenta (diminui) à medida que

iE kT diminui (aumenta). Podemos concluir que, à medida que iE kT aumenta

(diminui), a ocupação do estado com energia iE torna-se menor (maior).

Esta definição de temperatura pode harmonizar-se com a que está associada às

sensações de “calor” e de “frio”, uma vez que o nosso sistema nervoso é afectado pela

energia média das moléculas, o que origina diferentes sensações.

No entanto, relacionar a temperatura com as propriedades microscópicas não é

tarefa fácil, apesar de se aceitar que “a temperatura é uma medida da energia cinética

média das partículas que constituem o sistema”.

Da equação (3.18) e considerando uma distribuição contínua de energia ( N de

valor muito grande), obtemos a lei da distribuição das velocidades para a estatística de

Maxwell-Boltzmann (Deus et al, 2000),

( )3 2 2

24 exp2 2

N m mvn v vkT k Tp

Ê ˆÊ ˆ= -Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ (3.19)

onde m é a massa de cada partícula e ( )n v é o número de partículas com velocidades de

módulo compreendido entre v e v dv+ . Na Figura 3.12 apresenta-se o gráfico da

equação (3.19) para o Hélio em equilíbrio termodinâmico a três temperaturas diferentes.

Como se pode observar, à medida que aumenta a temperatura do equilíbrio, a velocidade

média também aumenta.


48

Figura 3.12 Distribuição das velocidades de Maxwell-Boltzmann para as

temperaturas de 300 K, 900 K e 1500 K.

A temperatura é um conceito macroscópico (uma partícula não tem temperatura10),

que se pode relacionar com propriedades médias microscópicas. É uma propriedade dos

sistemas termodinâmicos, portanto, propriedade macroscópica que não depende (embora

possa ser relacionada) com a estrutura microscópica da matéria.

Quando se pergunta, mesmo depois de se ter explicado o conceito de temperatura

com base no equilíbrio térmico, se a madeira e o metal (constituintes de dois corpos que

permanecem numa sala durante um longo período de tempo) têm ou não a mesma

temperatura, a resposta parece ser quase uma fatalidade: “o metal está a uma

temperatura inferior à da madeira”.

A medição de temperatura pode ser feita com termómetros de contacto, que

funcionam com base no facto de que dois corpos em contacto adquirem, após um certo

período de tempo, a mesma temperatura, isto é, ficam em equilíbrio térmico11. Há vários

tipos de termómetros que se baseiam no facto de poderem seleccionar numa propriedade

dos materiais que varia com a temperatura de uma forma previsível e reprodutível,

chamada propriedade termométrica.

10 No entanto o conceito de temperatura pode ser aplicado a certas propriedades das partículas. Por

exemplo, há estudos da medição da temperatura de núcleos atómicos em função da sua energia de excitação (Melby et al, 1999). Outro exemplo interessante, é atribuir uma temperatura aos electrões livres num metal a 0 K, cujo valor máximo é designada por temperatura de Fermi, que está associada à energia de Fermi, mas que não tem uma relação com a temperatura do metal como um todo (Omar, 1993).

11 Os pirómetros não são termómetros de contacto. Medem a temperatura com base na radiação emitida pelos corpos (ver secção 5.5).


49

3.3 Radiação térmica

Os corpos emitem radiação electromagnética pelo facto de estarem a uma dada

temperatura. Esta radiação é designada por radiação térmica. Por outro lado, os corpos

também absorvem radiação electromagnética. Em equilíbrio termodinâmico há um

balanço perfeito entre a energia emitida e a energia absorvida. Contudo, se um corpo está

inicialmente a uma temperatura superior à da sua vizinhança, irá arrefecer, pois a sua

taxa de emissão de radiação é maior do que a sua taxa de absorção. Se o corpo estiver

inicialmente a uma temperatura inferior à da sua vizinhança irá aquecer. Quando o corpo

e o meio ficam à mesma temperatura, é atingido o equilíbrio térmico e as taxas de

emissão e absorção são iguais.

A Figura 3.13 mostra a evolução temporal da temperatura do ar contido dentro de

latas pintadas (branca e preta), quando, nas mesmas condições, se fez incidir radiação

emitida por uma lâmpada, sobre cada uma delas. A montagem experimental é mostrada

na Figura 3.14 e a actividade insere-se no currículo de 10º ano da disciplina de Física e

Química A, componente da Física.

Figura 3.13 Evolução temporal da temperatura do ar no interior de duas latas

de cores diferentes, quando incide nelas radiação nas mesmas condições.

Analisando os resultados podemos concluir que o ar contido na lata recebe, através

desta, parte da energia emitida pela lâmpada, aumentando assim a sua temperatura. Essa

energia recebida depende da cor da superfície, já que estas têm a mesma área e a mesma

textura. Com o decorrer do tempo, o aumento de temperatura é cada vez menor, o que se

explica pelo facto de a lata também emitir radiação. A intensidade da energia emitida por


50

unidade de tempo e de área da superfície emissora é tanto maior quanto maior for a

temperatura a que o corpo se encontra. Assim a diferença entre a energia que a lata

absorve e a que ele emite é cada vez menor, num mesmo intervalo de tempo, até que essa

diferença se anula, quando é atingido o equilíbrio térmico. Neste estado, a rapidez com

que a energia é absorvida é igual àquela com que é emitida.

Figura 3.14 Fotografia da montagem experimental para a comparação do poder de absorção de radiação por diferentes superfícies.

A matéria na fase sólida ou líquida emite um espectro contínuo de radiação. O

perfil do espectro de radiação emitida depende fundamentalmente da sua temperatura,

sendo praticamente independente do material de que o corpo é composto. Para

temperaturas baixas a maioria dos corpos são visíveis, não pela radiação que emitem,

mas devido à luz que reflectem. Se não houver nenhuma luz a incidir sobre eles, não

podem ser vistos. Todavia, a temperaturas muito altas, os corpos têm luminosidade

própria. Podem ser vistos a brilhar num ambiente escuro, pois a radiação térmica por eles

emitida começa a ser significativa na região do espectro visível.

A radiação visível12, emitida por corpos mesmo a temperaturas de alguns milhares

de Kelvin, é menor que 10% da radiação total emitida, sendo esta fundamentalmente

radiação infravermelha. Podemos ilustrar este facto com uma actividade experimental

que consiste no aquecimento de água colocando uma lâmpada acesa no seu seio, cuja

montagem se mostra na Figura 3.15.

12 O olho humano é sensível ao espectro electromagnético na banda espectral de 400 nm a 700 nm.


51

Figura 3.15 Fotografias da montagem experimental para estudo do aquecimento da água com uma lâmpada.

A experiência foi repetida com a mesma lâmpada e nas mesmas condições de

alimentação, mas envolvida com folha de alumínio.

O gráfico da Figura 3.16 apresenta a evolução da temperatura da água em função

do tempo. O aquecimento é devido essencialmente à emissão na banda do infravermelho.

A diferença entre os declives corresponde à emissão no visível, que é pequena quando

comparada com a potência total emitida.

Figura 3.16 Gráfico comparativo do aquecimento da água com uma lâmpada

com e sem folha de alumínio.

O facto de existir uma relação entre temperatura e emissão de radiação não é em si

surpreendente. De acordo com a teoria corpuscular da matéria, a temperatura relaciona-se

com a agitação das partículas constituintes da matéria. Como estas têm carga eléctrica e

como uma carga em movimento acelerado emite radiação (Eisberg et al, 1979), o


52

fenómeno da emissão da radiação térmica é qualitativamente explicado pelas leis do

Electromagnetismo13. Porém, como veremos, esta teoria revela-se insuficiente para

explicar o espectro de emissão observado experimentalmente.

Em rigor, o perfil do espectro da radiação térmica emitida por um corpo quente,

depende de algum modo da composição desse corpo, em particular das características da

sua superfície. No entanto, podemos imaginar o caso ideal de corpos que emitem

espectros térmicos com características universais, independentes do material de que são

constituídos. Um corpo com essas propriedades é designado por corpo negro, e a sua

superfície absorve toda a radiação térmica incidente. O nome é sugerido pelo facto de tal

corpo não reflectir a luz, sendo percepcionado como sendo negro. Na natureza não se

conhece nenhum corpo perfeitamente negro, apenas existindo boas aproximações que nos

permitem estudar as suas propriedades. Uma boa aproximação a um corpo negro obtém-

-se cobrindo um objecto com uma camada de fuligem. Verifica-se que todos os corpos

negros à mesma temperatura emitem radiação térmica com o mesmo espectro.

A distribuição espectral da radiação do corpo negro é descrita pela radiância

espectral, ( )TR n . A radiância espectral é definida como a energia emitida por um corpo,

à temperatura T , com frequência compreendida entre n e dn n+ , por unidade de tempo

e por unidade de área. As primeiras medidas precisas desta grandeza foram feitas por

Lummer e Pringsheim em 1899 (Alonso et al, 1978).

Conforme se observa na Figura 3.17, ( )TR n depende da temperatura do corpo

emissor e da frequência da radiação. Além disso, vemos que a radiância espectral do

corpo negro tende para zero, tanto para frequências muito grandes como para frequências

muito pequenas, e exibe um máximo para uma certa frequência, cujo valor aumenta com

a temperatura.

A energia total emitida pelo corpo negro, RE , à temperatura T , por unidade de

tempo e de área, designa-se por radiância e é obtida integrando a função ( )TR n

( )0

R TE R dn n•

= Ú (3.20)

13 As leis do Electromagnetismo são unificadas pelas equações de Maxwell (Alonso et al, 1977).


53

Figura 3.17. Radiância espectral do corpo negro para quatro temperaturas

diferentes.

O valor de RE é proporcional à quarta potência da temperatura (Alonso et al, 1978).

Esta relação é chamada a lei de Stefan-Boltzmann, e foi enunciado pela primeira vez em

1879 sob a forma da seguinte equação empírica

4

RE Ts= (3.21)

onde s é a constante de Stefan-Boltzmann, cujo valor é 8 2 45,670 10 Wm K- - -¥ . Da

análise da Figura 3.17 também se pode concluir que o valor máximo do espectro se

desloca para maiores frequências à medida que a temperatura aumenta. Este resultado é

chamado lei do deslocamento de Wien e estabelece que a frequência correspondente ao

máximo de TR é proporcional à temperatura:

max Tn μ (3.22)

Como cln = , onde l é o comprimento de onda da radiação e c a velocidade de

propagação das ondas electromagnéticas no vazio, a lei de Wien pode ser escrita em

termos do comprimento de onda assumindo a forma

max constanteTl = (3.23)


54

onde maxl é o comprimento de onda correspondente ao máximo da radiância espectral, a

uma dada temperatura T . O valor determinado experimentalmente para a constante de

Wien é de 32,898 10 m K-¥ .

Uma excelente aproximação de um corpo negro, de grande importância no estudo

da teoria da radiação, pode ser obtida a partir de um objecto que contém uma cavidade

ligada ao exterior por um pequeno orifício, como se ilustra na Figura 3.18.

A radiação térmica que incide sobre o orifício, vinda do exterior, entra na cavidade e

é completamente absorvida por ela devido às sucessivas reflexões nas suas paredes

interiores. Se a área do orifício for muito pequena comparada com a área da superfície

interna da cavidade, apenas uma fracção desprezível da radiação incidente sobre o

orifício sai da cavidade e portanto o orifício deve ter propriedades da superfície de um

corpo negro.

Figura 3.18 Cavidade que com um orifício. A radiação que entra é totalmente absorvida devido às sucessivas reflexões no interior da cavidade, que se aproxima a um corpo negro.

Se as paredes da cavidade forem uniformemente aquecidas até atingirem uma dada

temperatura T , emitirão radiação térmica que vai encher a cavidade. Uma pequena

fracção dessa radiação, vinda do interior da cavidade incide sobre o orifício e vai

atravessá-lo. Portanto este actua como um emissor de radiação térmica. Como ele tem as

propriedades do corpo negro, a radiação emitida por ele deve ter um espectro de corpo

negro. Mas como o orifício está apenas a deixar passar para fora uma pequena amostra da

radiação do interior da cavidade, é natural que a radiação no seu interior também tenha o

espectro do corpo negro. De facto, ela terá um espectro de corpo negro característico da

T


55

temperatura T das suas paredes. O espectro de radiação emitido pelo orifício da cavidade

pode ser especificado em termos da função radiância espectral, ( )TR n . No entanto, é

mais útil especificar o espectro da radiação dentro da cavidade, chamada radiação de

cavidade, em termos de uma densidade de energia, ( )Tr n , que é definida como a energia

contida por unidade de volume da cavidade, à temperatura T , no intervalo de frequência

n e dn n+ . É evidente que as duas quantidades são proporcionais entre si, isto é,

( ) ( )T TRr n nμ (3.24)

Portanto, a radiação dentro da cavidade cujas paredes estão a uma temperatura T

tem as mesmas propriedades que a radiação emitida pela superfície de um corpo negro à

mesma temperatura.

3.3.1 A teoria clássica da radiação do corpo negro

No início do século XX, Rayleigh e Jeans fizeram o cálculo da densidade de

energia da radiação de uma cavidade (ou de um corpo negro), o que mostrou uma séria

discordância com os resultados experimentais. De facto, esta divergência pôs em causa a

teoria da Física Clássica e foi o início do desenvolvimento da Física Quântica.

Rayleigh e Jeans consideraram uma cavidade com paredes metálicas em equilíbrio

térmico à temperatura T . Nestas condições, as paredes emitem radiação térmica que

enche a cavidade, sendo o seu espectro o de um corpo negro à temperatura T . No regime

estacionário a radiação electromagnética dentro da cavidade deverá existir na forma de

ondas estacionárias com nós nas superfícies metálicas.

Admitamos que a cavidade cheia de radiação electromagnética tem a forma de um

cubo14 de lado igual a a , conforme se ilustra na Figura 3.19. A radiação reflectida de um

lado para o outro entre as paredes pode ser dividida em três componentes ao longo das

três direcções perpendiculares definidas pelas arestas da cavidade, que podem ser

tratadas separadamente. Se se considerar a componente segundo x e a parede metálica

em 0x = , toda a radiação que incide na parede é reflectida por esta e as ondas incidente

e reflectida combinam-se para formar uma onda estacionária.

14 A função densidade de energia dentro da cavidade deve ser independente da sua forma. A

escolha da forma cúbica deve-se a uma conveniência do ponto de vista matemático.


56

Figura 3.19 Uma cavidade cúbica, com aresta de comprimento a, preenchida por radiação electromagnética.

Mas como a radiação electromagnética é uma onda transversal com o vector campo

eléctrico E perpendicular à direcção de propagação, e como a direcção de propagação é

perpendicular à parede em questão, o seu vector campo eléctrico é paralelo à parede. Mas

uma parede metálica não pode suportar um campo eléctrico paralelo à sua superfície, já

que isso produzia uma corrente eléctrica no sentido de anular tal campo. A superfície de

um condutor em equilíbrio é uma superfície equipotencial e se existir campo eléctrico na

superfície terá que lhe ser perpendicular. Portanto, a conciliação do equilíbrio eléctrico

das paredes e a transversalidade da onda electromagnética exige que o vector campo

eléctrico seja nulo nas paredes. Assim, a onda estacionária associada à componente

segundo x deve ter um nó em 0x = e outro em x a= . Analogamente, as componentes

segundo y e z , têm nós em 0y = e y a= , e em 0z = e z a= , respectivamente.

Estas condições colocam limitações nos comprimentos de onda possíveis da

radiação contida na cavidade. Se a radiação de comprimento de onda l e frequência

cn l= se propagara na direcção definida pelos ângulos a , b e g , tal como mostra a

Figura 3.20, e for uma onda estacionária, então as suas componentes segundo x , y e z

também são ondas estacionárias. Na Figura 3.20 estão indicadas algumas localizações

dos nós fixos desta onda estacionária onde se fez passar em cada um deles um plano

perpendicular à direcção de propagação. A distância entre eles é de 2l , onde l é o

comprimento de onda.

x

y

z

x a=

y a=

z a=

0


57

Figura 3.20 Planos nodais de uma onde estacionária que se propaga numa dada direcção na cavidade cúbica.

Os nós das componentes segundo x , y e z podem ser dados por:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 cos

2 2 cos

2 2 cos

x

y

z

l l a

l l b

l l g

Ï =ÔÔ =ÌÔÔ =Ó

(3.25)

As componentes do campo eléctrico da onda estacionária segundo os três eixos são

dadas pelas expressões

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, sin 2 sin 2

, sin 2 sin 2

, sin 2 sin 2

x

y

z

E x t A x t

E y t B y t

E z t C z t

p l pn

p l pn

p l pn


(3.26)

A componente x é uma onda de amplitude variável, cujo valor máximo é A, com

variações espaciais dadas por ( )sin 2 xxp l e com frequência temporal n . Como

( )sin 2 xxp l se anula para 2 0, 1, 2, 3, ...xx l = , trata-se de uma onda estacionária cujo

comprimento de onda é xl , uma vez que tem nós separados por uma distância de

2xl

2xl

2zl

2zl y

z

x

2l

2yl

a

g b

Direcção de propagação


58

2xx lD = . As expressões correspondentes às componentes y e z representam ondas

estacionárias de amplitudes máximas B e C e comprimentos de onda yl e zl ,

respectivamente. É de notar que as equações (3.26) satisfazem as condições de que a

componente x tenha um nó em 0x = , a componente y em 0y = e a componente z em

0z = . No entanto, para que a componente x tenha um nó em x a= , a componente y

em y a= e a componente z em z a= , é necessário impor as seguintes condições

2

2

2

x x

y y

z z

a n

a n

a n

l

l

l


(3.27)

onde 0, 1, 2, 3, ...xn = ; 0, 1, 2, 3, ...yn = ; 0, 1, 2, 3, ...zn =

Resolvendo o sistema de equações (3.25) em ordem a xl , yl e zl e substituindo

os seus valores na equação (3.27), obtemos

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 cos

2 cos

2 cos

x

y

z

a n

a n

a n

l a

l b

l g


(3.28)

o que elevadas ao quadrado e somadas, resultam na seguinte equação

( )2

2 2 2 2 2 22 cos cos cos x y za n n na b gl

Ê ˆ + + = + +Á ˜Ë ¯ (3.29)

Mas os ângulos a , b e g satisfazem a relação 2 2 2cos cos cos 1a b g+ + = , o que

permite escrever

2 2 22x y z

a n n nl

= + + (3.30)

onde xn , yn e zn podem tomar qualquer valor inteiro. Esta equação descreve a restrição

a impor aos comprimentos de onda para a radiação electromagnética contida na cavidade.


59

Por conveniência continuamos a discussão em termos de frequências possíveis em

vez de comprimentos de onda.

2 2 2

2 x y zc c n n n

an

l= = + + (3.31)

Determinemos o número de frequências contidas num intervalo de n a dn n+ .

Para isso definimos uma grelha de forma cúbica desenhada no primeiro octante de um

sistema de coordenadas rectangular, de tal modo que as três coordenadas de cada ponto

da grelha correspondam a um possível valor para os três inteiros xn , yn e zn . Por

construção, cada ponto da grelha corresponde a uma frequência, portanto o número de

frequências possíveis entre n e dn n+ , ( )N dn n , é igual a ( )N r dr , que corresponde ao

número de pontos contidos entre volumes de forma esférica de raios r e r dr+ ,

respectivamente, onde

2 2 2x y zr n n n= + + ,

ou seja, usando a equação (3.31),

2arcn= (3.32)

Então ( )N r dr é igual ao produto do volume entre as esferas pela densidade de

pontos da grelha, que por construção é de um ponto por unidade de volume, ou seja, um

ponto por frequência de onda estacionária.

O elemento de volume em coordenadas cartesianas é dada por dV dx dy dz= , onde

dx , dy e dz são os deslocamentos elementares segundo x , y e z . Em coordenadas

esféricas ( ), ,r q f o elemento de volume é dado por

( )2 sindV r dr d df f q= (3.33)

Para calcular o volume elementar entre as duas esferas é necessário integrar a

expressão anterior no primeiro octante:


60

( ) ( )2 2

2

0 0

sinN r dr r d d dr

p p

f f q= Ú Ú

obtendo-se como resultado

( ) 2

2N r dr r drp= (3.34)

Da equação (3.32) temos ( )2dr a c dn= , obtendo-se a expressão final de ( )N dn n

( )3

22aN d dc

n n p n nÊ ˆ= Á ˜Ë ¯ (3.35)

Com isto fica concluído o cálculo do número de ondas estacionárias contidas numa

cavidade cúbica de aresta a . O resultado da equação (3.35) vem multiplicado por dois já

que, considerando uma radiação segundo o eixo dos xx , por exemplo, o seu vector

campo eléctrico, tendo uma direcção perpendicular, pode tomar qualquer direcção entre

os eixos yy e zz (dois modos de polarização). A amplitude da radiação pode ser escrita

da seguinte forma:

2 2y zA A A= +

Se for considerado que o número de radiações é suficientemente elevado, pode-se

dizer que em média y zA A= , o que faz que a amplitude média das radiações, A , possa

ser escrita por

2 yA A=

Sendo a energia de uma radiação dada pelo quadrado da sua amplitude, essa energia

será então de 22 yA , o que significa que se pode multiplicar o número de ondas por um

factor de dois e calcular de seguida o valor da energia média de cada componente da

radiação.


61

Sendo conhecido o número de ondas estacionárias contidas na cavidade, agora só é

necessário saber qual é a energia média de cada onda para que seja possível calcular a

densidade de energia, por unidade de volume, num certo intervalo de frequências.

Mas segundo a teoria cinética clássica, mais concretamente segundo a lei da

equipartição da energia, a energia cinética média de uma entidade em equilíbrio térmico

à temperatura T é de 2kT por grau de liberdade, onde 23 11,38065 10 J Kk - -= ¥ é a

constante de Boltzmann. Como cada uma das ondas estacionárias tem apenas um grau de

liberdade, a amplitude do seu campo eléctrico, a sua energia cinética média é de 2kT .

Facilmente se chega à conclusão que para um sistema oscilante com apenas um grau de

liberdade, a energia total é o dobro da energia cinética média. A energia total de cada

onda estacionária é dada por

kTe = (3.36)

Voltando à equação (3.35), que relaciona o número de frequências possíveis com o

volume da cavidade, e sabendo que em média a energia de uma radiação é dada pela lei

da equipartição da energia traduzida pela equação (3.36), a primeira ideia que surge é que

a densidade de energia por unidade de volume de uma cavidade à temperatura T será

dada pela multiplicação das duas expressões, a dividir pelo volume da cavidade ( )3a , ou

seja,

( )2

38

Tk Td d

cpnr n n n= (3.37)

Esta ideia surgiu pela primeira vez a Rayleigh e Jeans, e embora aparentemente

baseada em teorias sólidas, não coincide com os resultados experimentais. A Figura 3.21

faz a comparação entre as previsões da equação (3.37) e a experiência. Como se pode

observar da figura, a discrepância é enorme. A baixas frequências as duas curvas são

aproximadamente iguais, no entanto, à medida que a frequência cresce, a previsão teórica

aponta que a energia tende para infinito, enquanto que na prática todas as experiências

conduzem ao resultado de que essa energia tende para zero. A previsão da Física clássica

é conhecida por catástrofe do ultravioleta.


62

Figura 3.21 Comparação entre a previsão da Física clássica e os resultados

experimentais para a densidade de energia numa cavidade.

3.3.2 A distribuição de Boltzmann

A lei da equipartição da energia surge também no resultado de um cálculo bastante

credível da Mecânica Estatística designado por distribuição de Boltzmann e que é

considerado seguidamente.

Considere-se um sistema que contem um número elevado de entidades físicas do

mesmo tipo em equilíbrio térmico à temperatura T. Para estarem em equilíbrio

necessitam de trocar energia entre si. Nas trocas efectuadas, a energia de cada entidade

flutua em torno de um valor médio. Em cada instante algumas partículas têm mais

energia do que o valor médio e outras menos. Segundo a teoria clássica da mecânica

estatística essas energias, e , tomam valores de acordo com uma função de distribuição

de probabilidade, cuja forma depende da temperatura. O valor médio da energia, e , de

cada partícula é determinado pela distribuição de probabilidade e deverá ter um valor

definido para uma temperatura particular (Eisberg et al, 1979).

Consideremos um sistema de partículas do mesmo tipo às quais se pode associar

uma dada energia. Se o sistema for isolado do ambiente que o rodeia, a sua energia total

permanece constante, podendo apenas ocorrer trocas de energia entre as partículas. Para

simplificar os cálculos, admitamos que a energia de cada partícula toma valores discretos

e múltiplos de eD , ou seja, 0e = , eD , 2 eD , 3 eD , 4 eD , … . Nos resultados obtidos,

fazendo tender eD para zero obteremos os resultados correspondentes à possibilidade de

uma partícula poder ter um valor contínuo para a sua energia. Também para simplificar,

admitimos que o sistema é constituído por um número pequeno de partículas (quatro, por


63

exemplo) e que a sua energia total é 3 eD . Tem-se em mente a generalização posterior

para sistemas com grande número de partículas e para qualquer valor de energia total.

0e = e e= D 2e e= D 3e e= D 4e e= D Nº de possibilidades iP

1i = 3 1 4 4 20

2i = 2 1 1 12 12 20

3i = 1 3 4 4 20

( )n e¢ 40 20 24 20 12 20 4 20 0 20

Tabela 3.2 Cálculo da distribuição de Boltzmann.

Uma vez que as quatro partículas podem trocar energia entre si, todas as divisões

possíveis da energia 3 eD entre as quatro entidades podem ocorrer. Na Tabela 3.2

mostra-se todas as possibilidades de distribuição da energia total pelas quatro partículas,

identificadas pela letra i . Para 1i = , três partículas têm energia nula, tendo a quarta

energia igual a 3 eD , tendo o sistema a energia 3e e= D . Nesta situação podem existir

quatro possibilidades diferentes, uma vez que qualquer uma das quatro entidades pode

ser a que tem energia de 3 eD .

No caso de 2i = , duas partículas têm energia nula, a terceira e a quarta têm,

respectivamente, energias e e= D e 2e e= D . Nesta situação podem existir doze

possibilidades distintas de distribuição da energia (qualquer uma das quatro partículas

pode ter energia 2e e= D e qualquer uma das restantes três pode ter energia e e= D , ou

seja, 4 3 12¥ = possibilidades).

Para 3i = , existem quatro modos distintos de fazer uma partícula com energia

0e = e as restantes três partículas com energia e e= D .

A última hipótese a considerar é a de que todas as possibilidades de dividir a

energia pelas partículas ocorrem com igual probabilidade. Então a probabilidade de

ocorrerem as divisões de determinado tipo ( 1i = , 2 ou 3) é proporcional ao número de

divisões distintas desse mesmo tipo. A probabilidade relativa, iP , é então igual ao

número de divisões de determinado tipo a dividir pelo número total de divisões. As

probabilidades relativas estão calculadas na coluna da direita da Tabela 3.2.

O parâmetro que falta calcular é o número provável de entidades num dado estado

de energia e , ( )n e¢ . Para o nível de energia 0e = existem três entidades em divisões do


64

tipo 1i = , com uma probabilidade de ocorrência de 4/20, duas entidades do tipo 2i =

com probabilidade de 12 20 e uma entidade do tipo 3i = com probabilidade de 4 20 , o

que faz com que ( )n e¢ seja igual a 3 4 20 2 12 20¥ + ¥ + 1 4 20 40 20¥ = . Os restantes

valores de ( )n e¢ estão calculados na última linha da Tabela 3.2. É de notar que a soma

dos ( )n e¢ é quatro, já que existem quatro partículas no sistema. Na Figura 3.22 estão

marcados os valores de ( )n e¢ . A curva a cheio da mesma figura é a representação da

função exponencial negativa

( ) 0n Ae e ee -= (3.38)

onde A e 0e são constantes que foram calculadas de modo que a curva se ajuste o melhor

possível aos pontos calculados correspondentes a ( )n e¢ .

Figura 3.22 Comparação entre os resultados de um cálculo simples e a

distribuição de Boltzmann.

Diminuindo o intervalo eD , aumentando assim o número de estados possíveis, a

função ( )n e¢ fica definida para valores de e cada vez mais próximos e no limite quando

0eD Æ , a energia e de uma partícula fica uma variável contínua, como é suposto na

Física clássica e a distribuição ( )n e¢ torna-se uma função contínua. Se, finalmente, o


65

número de partículas do sistema for muito grande, chega-se à conclusão de que a função

que se encontraria para ( )n e¢ é idêntica à exponencial negativa da equação (3.38).

No exemplo apresentado anteriormente, outro método para se calcular a energia

total do sistema seria multiplicar cada nível de energia pelo número provável de

entidades com essa energia. No final, a energia total do sistema, se , é dada pela soma de

todas as multiplicações, ou seja, pode ser calculada pela expressão

( )

( )

s0

0 40 20 24 20 2 12 20 3 4 20 60 20 3

N

ne

e e e

e e e e e

D

= ¢

= ¥ + D ¥ + D ¥ + D ¥ = D = D

Â

A energia média de cada partícula também pode ser obtida dividindo o resultado

anterior pelo número total de entidades, que no exemplo apresentado são quatro. Portanto

a energia média de cada entidade será dada por

( )

( )0

0

N

N

n

n

e

e

e ee

e

D

D

¢=

¢

Â

Â (3.39)

que neste caso dá ( )3 4 eD . Com a generalização para 0eD Æ e um número de

partículas muito elevado, o valor da energia média de cada partícula será dado por

( )

( )0

0

n d

n d

e e ee

e e

•

•=Ú

Ú (3.40)

Substituindo ( )n e pelo valor da equação (3.38),

0

0

0

0

A e d

Ae d

e e

e e

e ee

e

•-

•-

=Ú

Ú (3.41)


66

Se se resolverem os integrais, chega-se à conclusão de que 0e e= , ou seja, a

constante 0e da exponencial negativa da equação (3.38) é igual à energia média de cada

entidade e não é necessário saber do valor de A.

Mas segundo a lei da equipartição da energia, o valor médio de energia de uma

partícula é proporcional à sua temperatura. Então como o parâmetro 0e tem o mesmo

valor que e , a equação (3.38) pode ser escrita da seguinte forma:

( ) kTn Ae ee -= (3.42)

A equação anterior é a famosa distribuição de Boltzmann. Como o valor de A não

é especificado, na realidade apenas sabemos que, à temperatura T , o número de

entidades com um determinado nível de energia, ( )n e , é proporcional a kTe e- .

Em termos de cálculo probabilístico, facilmente se chega à conclusão de que o

número provável de partículas com um determinado nível de energia é proporcional à

probabilidade de ser encontrada uma determinada partícula com esse mesmo nível de

energia, ou seja, ( ) ( ) P ne eμ e se ( ) kTn Ae ee -= , então ( ) kTP B e ee -= , desde que a

constante B seja escolhida apropriadamente. Para que B seja calculado basta resolver a

equação em que a soma de todas as probabilidades de algo acontecer é igual a 1, ou seja,

( )0 0

11 1kTP d B e BkT

ee e• •

-= ¤ = ¤ =Ú Ú (3.43)

e daqui se pode concluir que

( )kTeP

kT

ee

-

= (3.44)

3.3.3 A teoria de Planck da radiação do corpo negro

Para solucionar a discrepância entre a teoria e a experiência, Planck considerou a

hipótese de que a lei da equipartição da energia não estava correcta. Como a distribuição

de Boltzmann (que usa a dita lei) parece baseada em pressupostos bastante credíveis,

Planck partiu da equação (3.44) para estudar a discrepância entre a teoria e a prática.


67

A energia média de uma radiação pode ser dada por

( )

( )0

0

P d

P d

e e ee

e e

•

•=Ú

Ú (3.45)

Como o integral do denominador representa a probabilidade da energia ter qualquer

valor de zero a infinito, o seu resultado vai ser igual a um.

Se se resolver o integral do numerador, obtemos kTe = .

Observando o gráfico da Figura 3.21, chega-se à conclusão de que a lei clássica dá

resultados satisfatórios para baixas frequências: 0

lim k Tn

eÆ

= , isto é, a energia média de

uma radiação tende para kT quando a frequência tende para zero. Também se pode

observar a partir dos resultados experimentais que lim 0n

eÆ•

= .

Ao tentar encontrar uma solução para o problema, Planck supôs que a energia e

poderia ter apenas certos valores discretos, em vez de qualquer valor, e que esses valores

discretos eram múltiplos de um valor mínimo: 0e = , eD , 2 eD , 3 eD , 4 eD , … ,ou seja

ne e= D , nŒ .

Planck chegou à conclusão de que para a energia média dum sistema tender para

zero quando a frequência tende para infinito bastava fazer eD proporcional à frequência,

ou seja, he nD = e n he n= , nŒ , onde 346,626 10 Jsh -= ¥ é hoje conhecida como a

constante de Planck.

A equação (3.45) dará lugar a uma forma discreta em que os integrais darão lugar a

somatórios

( )

( )0 0

0 0

nh kT

n nnh kT

n n

eP n hkT

ePkT

n

n

e e ne

e

• • -

= =• • -

= =

= =Â Â

Â Â (3.46)


68

Depois de resolvidos os somatórios, é obtida uma expressão para a energia média

que é a seguinte (Alonso et al, 1978)

( )1h kT

he n

ne n =-

(3.47)

e a fórmula que se obtém para a densidade de energia da cavidade com o espectro de

corpo negro é:

( )3

38

1T h kThd d

c e np nr n n n=

- (3.48)

Esta fórmula, conhecida como lei de Planck está em excelente acordo com as

experiências feitas até ao momento.

Em grande parte da literatura a lei de Planck aparece como função do comprimento

de onda e não como função da frequência. Para se obter tal expressão basta saber que:

cnl

= e 2cd dn ll

= -

Então, temos

( ) 58

1T hc kThc dd

e lp lr l ll

=-

(3.49)

A lei de Stefan-Boltzmann, dada pela equação (3.21), traduz a radiação total

emitida por um corpo à temperatura T e é obtida a partir da lei de Planck integrando a

densidade de radiação para todas as frequências. Obtêm-se que a densidade de radiação é

proporcional à quarta potência da temperatura (Alonso et al, 1978). Do mesmo modo, a

lei do deslocamento de Wien, dada pela equação (3.22), é obtida igualando a primeira

derivada de ( )Tr n a zero. Obtêm-se assim que o máximo da curva é proporcional à

temperatura.

O conceito de corpo negro é uma idealização útil, mas os corpos reais afastam-se

do comportamento do corpo negro em maior ou menor grau. O comportamento real é

descrito introduzindo um coeficiente, designado por emissividade e denotado por e ,

obtendo-se a lei de Stefan-Boltzmann para corpos reais, onde 1e < ,

4

RE e Ts= (3.50)


69

Na Tabela 3.3 são apresentados os valores de emissividade para vários materiais,

no estado sólido e líquido, para um comprimento de onda de 0,65μm .

Tabela 3.3 Emissividade de alguns materiais a 0,65μml = .

71

4 Metrologia da temperatura

4.1 Introdução

Através dos sentidos o homem trava conhecimento com o mundo físico que o

rodeia. A primeira noção de temperatura de um sistema é estabelecida a partir da

sensação térmica que o tacto proporciona, sendo traduzida pelos termos frio, quente,

gelado, morno, etc.

No entanto, a nossa percepção de quente e frio é, por vezes, enganadora. Por

exemplo, sente-se a sensação de frio quando se mergulha uma mão em água morna

depois de a ter mergulhado durante algum tempo em água quente e sente-se a sensação

de quente quando se mergulha a mão na mesma água morna depois de a ter mergulhado

durante algum tempo em água fria.

Portanto o carácter “sensitivo” não pode, para fins científicos, ser utilizado como

um termómetro pois é um instrumento diferencial, pois só consegue distinguir entre

“mais frio” e “mais quente” em relação à sua própria temperatura. Além disso tem um

carácter relativo que depende da pessoa, da condição fisiológica em que se encontrava

anteriormente e da natureza dos objectos tocados. Por exemplo, uma maçaneta metálica

“parece mais fria” ao tacto do que a porta onde está colocada, apesar de estarem ambas à

mesma temperatura. A explicação tem a ver com os valores das suas condutividades e

capacidades térmicas.

Surge, portanto, a necessidade de se estabelecer um instrumento normalizado de

medição de temperatura que seja independente do operador – o termómetro. A

metrologia da temperatura antecede a compreensão do conceito científico de temperatura.

De entre todas as grandezas físicas, a temperatura é provavelmente aquela que é

medida com mais frequência, pois é relevante em muitas áreas científicas e tecnológicas.

Citam-se como exemplo de actividades onde é essencial a medição de temperatura, as

indústrias químicas, siderúrgicas, de plástico e de papel, alimentar, farmacêutica,

automóvel, aviação, entre outras. Também na meteorologia, na medicina e investigação

científica em geral.


72

Os termómetros baseiam-se na dependência com a temperatura de propriedades das

substâncias tais como volume, pressão, resistência eléctrica, variação de cor, etc.

Há vários tipos de termómetros, que diferem na exactidão, no método, na gama de

medição, etc. O tipo de termómetro a ser utilizado para a determinação da temperatura de

um sistema depende da aplicação particular pretendida.

4.2 Breve história da medição de temperatura

Esta secção baseou-se em algumas fontes, nomeadamente (Pires et al, 2006),

http://home.comcast.net/~igpl/Temperature.html, tendo alguma sobreposição com o texto

de Paulo Cabral “Breve História da Medição de Temperaturas”.

Primórdios (séculos XVI – XVIII) Os registos históricos existentes situam a primeira tentativa

de estabelecer uma “escala de temperaturas” por volta de 170 d.c.

O médico grego Claudius Galenus de Pergamum (129 – 201) terá

sugerido que as sensações de quente e de frio fossem medidas

com base numa escala com quatro divisões numeradas acima e

abaixo de um ponto neutro. A essa escala termométrica atribuiu a

temperatura de “4 graus de calor” à água a ferver, a temperatura

de “4 graus de frio” ao gelo e a temperatura de “neutra” à mistura de iguais quantidades

daquelas duas substâncias.

Não obstante a termometria anteceder a épocas tão remotas,

a invenção do primeiro termómetro é atribuída ao Físico italiano

Galileu Galilei (1564 – 1642). O equipamento consistia de um

recipiente aberto contendo água colorida e sobre a qual se inseria a

extremidade de um tubo fino de vidro suspenso, tendo na

extremidade superior uma esfera oca.

Pensa-se que Galileu tenha usado vinho ao invés de água.

Antes da imersão do tubo, de alguma forma, foi expelida uma

parte do ar contida no seu interior, criando naquela câmara uma pressão menor do que a

atmosférica, fazendo com que o líquido subisse dentro do tubo. Um aumento de

temperatura do ar no interior da esfera provocava uma expansão do ar e,

consequentemente uma movimentação no nível do líquido para baixo e, por outro lado,

uma queda de temperatura resultava no movimento do nível do líquido para cima. As

flutuações da temperatura da esfera podiam assim ser observadas, anotando a posição do

Claudius Galenus

Galileu Galilei


73

líquido dentro do tubo. Este primeiro instrumento foi designado por termoscópio

(instrumento que indica variações temperatura por mudança de volume).

Figura 4.1 Termómetro de

Galileu Galilei.

Em 1611, Bartolomeu Telioux, de Roma, desenhou um termoscópio dotado de uma

escala. Mas o verdadeiro “termómetro” foi inventado pelo médico Sanctorius Sanctorius,

que, cerca de 1612, desenvolveu um termómetro de ar equipado

com uma escala para leitura da temperatura.

Na segunda metade do século XVII o termómetro a ar era

já muito conhecido, embora a sua eficácia não fosse muito boa.

Em 1644, Evangelista Torricelli descobriu a variabilidade da

pressão do ar e, cerca de 1660, comprovou-se que o termómetro

a ar reagia não só à variação de temperatura mas também à

variação de pressão. A solução para esse problema (e também o

passo seguinte na medição de temperatura) fora dado em

1651 por Ferdinando II (1610 – 1670), Gran Duque da

Toscânia, que desenvolveu o primeiro termómetro que usava

líquido em vez de ar como meio termométrico. Selou um

tubo contendo álcool e tendo gravada uma escala arbitrária,

dividida em 50 graus. Não era referido nenhum ponto fixo

como sendo o zero da escala. Nascia assim o termómetro

Florentino.

Torricelli

Ferdinando II


74

Em 1664, Robert Hook (1635 – 1703), da London Royal

Society, usou tinta vermelha no álcool. A sua escala, em que os

graus representavam um incremento no volume equivalente a

cerca de 1/500 do volume total do líquido no termómetro,

necessitava apenas de um ponto fixo. O ponto fixo que ele

escolheu foi o ponto de solidificação da água. Hook reparou que

a mesma escala poderia ser usada por termómetros de vários

tamanhos.

Em 1702, o astrónomo Olef Roemer (1644 – 1710), oriundo de

Copenhaga, utilizou dois pontos fixos na sua escala (o ponto de

solidificação e o ponto de ebulição da água), dando início à criação

de escalas termométricas que se assemelham às que se conhecem

hoje em dia e à construção de termómetros muito próximos dos

modelos actuais.

Século XVIII: a profusão das escalas termométricas O uso sistemático de termómetros teve um início bastante difícil. Face a problemas

culturais, de comunicação, guerras, diferentes interpretações do fenómeno da temperatura

e diferentes maneiras de construir o instrumento, uma enorme quantidade de escalas

termométricas foram propostas ao longo do século XVIII, situação que dificultava

enormemente a comparação de resultados obtidos em diversos países. Há referência a 27

escalas em uso na Europa em 1778 (Pires et al, 2006). Três delas difundiram-se no meio

científico, sendo bastante usadas ao longo dos séculos XIX e XX.

A escala Réaumur (ºR), do francês René-Antoine F. de

Réaumur (1683 – 1757), apresentada em 1730, era baseada na

expansão térmica do álcool (etanol). Os pontos fixos eram o ponto

de congelamento da água (0 ºR), e o ponto de ebulição desta

(80 ºR). Como o álcool tem ponto de ebulição baixo (78,3 ºC),

tornava-se difícil medir altas temperaturas. Para resolver o

problema, os cientistas misturavam água ao álcool, mas tinha o

inconveniente de a dilatação não ser uniforme.

Robert Hooke

Olef Roemer

Réne Réamur


75

Cerca de 1714, Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 – 1736), um

fabricante holandês de instrumentos de precisão, fabricou um

termómetro de líquido em vidro, com mercúrio (em vez de álcool),

cuja repetibilidade era a principal qualidade. De considerar ainda

que o mercúrio não adere ao vidro, permanece líquido entre uma

vasta gama de temperaturas e a sua aparência prateada torna fácil a

leitura. Fahrenheit obteve o primeiro ponto da sua escala a partir de

uma mistura de água, gelo e sal (era a temperatura mais baixa que ele conseguia

produzir) e atribuiu-lhe o valor 0 ºF. O segundo ponto era obtido apenas com água e gelo

(30 ºF). E o terceiro ponto da escala era obtido colocando o reservatório do termómetro

na boca de um ser humano desejando-lhe medir a temperatura interna (96 ºF). Na sua

escala, Fahrenheit atribuiu o ponto de ebulição da água a 212 ºF. Mais tarde alterava o

ponto de solidificação da água para 32 ºF, de forma que o intervalo entre o ponto de

solidificação e o de ebulição da água fosse de 180 graus. A unidade atribuída a essa

escala é o grau Fahrenheit.

As pesquisas de Fahrenheit com termómetros confirmaram que cada líquido

possuía um ponto de ebulição fixo e que este variava com a pressão. A escala de

Fahrenheit ganhou popularidade, principalmente devido à reprodutibilidade e à qualidade

de construção dos termómetros por ele produzidos.

Cerca de 1742, Anders Celsius (1701 – 1744) propôs que o

ponto de fusão do gelo e o ponto de ebulição da água fossem

adoptados para definir uma escala de temperaturas. Curiosamente,

atribuiu zero graus ao ponto de ebulição da água e 100 graus ao

ponto de solidificação. Mais tarde Carolus Linnaeus (1707 – 1778)

de Upsula, Suécia, definiu a sua escala utilizando, também, o ponto

de fusão do gelo e o ponto de ebulição da água, sendo 0 e 100 graus,

respectivamente (oposta da de Celsius).

Em 1780, J. A. C. Charles, físico francês, verificou que para o

mesmo aumento de temperatura, todos os gases têm o mesmo

aumento de volume. Devido ao coeficiente de expansão dos gases

serem muito próximos, é possível estabelecer uma escala de temperatura baseada num

ponto fixo único ao invés de usar uma escala de dois pontos fixos. Isto traz de volta os

termómetros que usam um gás como meio termométrico.

Em 1794, definiu-se que o grau termométrico seria a centésima parte da distância

entre as marcas correspondentes ao ponto de fusão do gelo e ao ponto de ebulição da

Daniel Fahrenheit

Anders Celsius

Carl Linnaeus


76

água. Surgia assim a escala centígrada, a outra denominação da escala Celsius (até 1948,

quando a IX Conferência Internacional de Pesos e Medidas mudou o nome para grau

Celsius, ºC).

Século XIX: A consolidação da termometria e o zero absoluto A partir do momento em que a temperatura passou a ser determinada com precisão

satisfatória, várias grandezas ganharam um importante significado prático no

desenvolvimento da Física e da Química a partir do final do século XVIII. Conceitos

como capacidade térmica mássica, calores latentes de fusão e de vaporização,

condutividade térmica, etc., foram estabelecidos e ganharam metodologias práticas de

medição, inviáveis se a termometria não tivesse atingido o grau de desenvolvimento

verificado a partir da época de Fahrenheit (Pires et al, 2006). As experiências em que o

termómetro desempenhava papel primordial eram bastante numerosas.

Em 1821 Sir Humphrey Davy (1778 – 1829) descobriu que a resistividade dos

metais apresentava uma forte dependência da temperatura.

Em 1826 T. J. Seebeck (1770 – 1831) descobriu que a força

electromotriz gerada, quando dois fios de metais diferentes são

unidos em duas extremidades e um dos extremos é aquecido, pode

ser relacionada quantitativamente com a temperatura e o sistema

pode ser usado como termómetro – designado por termopar. Hoje

em dia o termopar é um importante sensor de temperatura para

aplicações industriais. Merece referência o termopar de platina com

10% de ródio/platina desenvolvido em 1886 por Le Chatelier que foi durante largos anos

usado em laboratórios primários como instrumento de interpolação de escalas

internacionais de temperatura, acima dos 630 ºC.

No início do século XIX, William Thomson (Lord Kelvin)

(1824 – 1907) desenvolveu uma escala termodinâmica universal

baseada no coeficiente de expansão de um gás ideal. Kelvin

verificou que a pressão de um gás diminuía de 1/273 do valor

inicial quando arrefecido a volume constante de 0 a 1ºC- .

Concluiu que a pressão seria nula quando o gás estivesse a

273ºC- e como consequência a temperatura também o seria, visto

não haver agitação das moléculas (à luz da Física Clássica). A escala criada por Kelvin

tem origem (zero) no zero absoluto e adopta como unidade o kelvin (K). A sua escala

veio a tornar-se a base da moderna termometria.

Thomas Seebeck

Lord Kelvin


77

Em 1859, William John Macquorn Rankine (1820 – 1872)

propôs outra escala de temperatura na qual especificava 0 para o

zero absoluto, mas usava como base a escala graus Fahrenheit.

Devido à escala de Rankine ter o mesmo tamanho da escala de

Fahrenheit, o ponto de congelamento da água (32 ºF) e o ponto

de ebulição da água (212 ºF) correspondem respectivamente a

491,67 °Ra e 671,67 °Ra. Esta escala foi mais tarde renomeada

Rankine e sua unidade designada graus Rankine (símbolo °Ra).

Em 1871 Sir William Siemens (1823 – 1883), propôs o uso

de termómetros de resistência de platina, com a qual a medição da

temperatura seria feita à custa da variação da resistência eléctrica

de um fio de platina com a temperatura. A escolha da platina

deveu-se ao facto de não oxidar a altas temperaturas e de ter uma

relação entre a resistência e a temperatura bastante uniforme

numa vasta gama de temperaturas. Os termómetros de resistência

de platina são termómetros que apresentam excelentes características metrológicas.

Século XX: Revisões e redefinições 1. Termómetro de gás a volume constante Baseado nos resultados dos estudos feitos por P. Chappuis, em 1887, dos

termómetros de gás com pressão constante ou com volume constante, usando hidrogénio,

azoto e dióxido de carbono como meio termométrico, o Comité Internacional de Pesos e

Medidas (CGPM) adoptou o termómetro de hidrogénio de volume constante (sendo a

propriedade termométrica a pressão) e uma escala baseada nos pontos de solidificação da

água (a 0 ºC) e de ebulição (a 100 ºC) como escala prática para a meteorologia.

As experiências com termómetros de gás mostraram que a diferença nas escalas

para diferentes gases é muito pequena. As experiências também mostraram que é

possível definir uma escala que é independente do gás, se este estiver a baixa pressão.

Neste caso, todos os gases se comportam como um gás ideal e tem uma relação muito

simples entre a sua pressão, P , o seu volume, V , e a sua temperatura, T ,

(constante) PV T= (4.1)

William Rankine

William Siemens


78

Esta é chamada de “temperatura termodinâmica” e é considerada como a medida

fundamental de temperatura. Com um ponto fixo na escala, necessitava-se de outro para

que toda a escala estivesse definida. Em 1933 o Comité Internacional de Pesos e Medidas

adoptou o ponto triplo da água como ponto fixo desta escala, o seu valor é 273,16 K,

sendo o kelvin (K) a unidade de temperatura desta escala.

2. Escala Prática Internacional de Temperatura Constatou-se a necessidade da existência de uma escala de temperaturas universal,

definida de tal modo que fosse precisa, reprodutível, simples de utilizar e que fornecesse

valores de temperatura tão próximos quanto possível da temperatura termodinâmica.

Foi em 1927 que o CGPM adoptou a primeira Escala Internacional de Temperatura

(ITS-27). Essa escala estendia-se desde os 190 ºC- até acima dos 1063ºC . Esta escala

foi revista em 1948, passando a ser designada por ITS-48, novamente alterada em 1960,

adoptando nesse ano a designação de IPTS-48; uma revisão mais profunda ocorreu em

1968, sendo adoptada a Escala Internacional Prática de Temperaturas (IPTS-68).

Pouco tempo após a sua adopção, constataram-se muitas limitações e deficiências,

sendo-lhe introduzidas não só algumas correcções, em 1975, como também lhe foi

acrescentada a Escala Provisória de Temperatura de 0,5 K a 30 K (EPT-76), em 1976.

Em 1987, a 18ª CGPM decidiu que fosse desenvolvida uma nova escala de

temperaturas, que viria a entrar oficialmente em vigor em 1 de Janeiro de 1990 sob a

designação de Escala Internacional de Temperatura de 1990 (ITS-90). Esta escala foi

definida com base em fenómenos determinísticos de temperatura, e redefiniu alguns

pontos fixos de temperatura. A Tabela 4.1 mostra algumas alterações introduzidas na

escala ITS-90 relativamente à IPTS-68.

Pontos fixos IPTS-68 ITS-90

Ebulição do oxigénio – 182,962 ºC – 182,954 ºC

Ponto triplo da água + 0,010 ºC + 0,010 ºC

Solidificação do estanho + 231,968 ºC + 231,928 ºC

Solidificação do zinco + 419,580 ºC +419,527 ºC

Solidificação da prata + 961,930 ºC + 961,780 ºC

Solidificação do ouro + 1064,430 ºC + 1064,180 ºC Tabela 4.1 Pontos fixos estabelecidos na ITS-90, comparados com os seus

valores na IPTS-68.


79

4.3 Termometria e escalas termométricas

4.3.1 Escalas de temperaturas e princípios gerais

Para estabelecer uma escala empírica de temperatura, seleccionamos um sistema

caracterizado pelas coordenadas X e Y como padrão, ao qual chamamos termómetro, e

adoptamos um conjunto de regras para atribuir um valor numérico à temperatura

associada a cada uma das suas isotérmicas. A cada sistema em equilíbrio térmico com o

termómetro, atribuímos o mesmo valor para a temperatura. O procedimento mais simples

é escolher qualquer caminho conveniente no plano -X Y , tal como é mostrado na Figura

4.2 pela linha a tracejado 1Y Y= , a qual intersecta as isotérmicas em pontos com a mesma

coordenada Y, mas a diferentes coordenadas X. A temperatura associada a cada

isotérmica é tomada como o valor, neste ponto de intersecção, de uma função

de X adequada.

Figura 4.2 Estabelecimento de uma escala de temperatura (Anacleto, 2004).

A coordenada X é chamada a propriedade termométrica, e a forma da função

termométrica ( )Xq determina a escala empírica de temperatura. Há muitos tipos de

termómetros diferentes, cada um com a sua propriedade termométrica específica.

Consideremos X uma propriedade termométrica e tomemos arbitrariamente uma

escala de temperatura empírica q directamente proporcional a X. Assim, a temperatura

comum ao termómetro e a todos os sistemas em equilíbrio térmico com ele pode ser dada

pela função termométrica

Isotérmica correspondente ao ponto triplo da água

1Y Y=

Y

PTX X


80

( ) ( constante)X a X Yq = , (4.2)

onde a é uma constante arbitrária. De notar que à medida que X se aproxima de zero, a

temperatura também tende para zero, porque não há nenhuma constante somada à

função. Deve ser notado, ainda, que quando esta relação arbitrária é aplicada a diferentes

tipos de termómetros se obtém escalas empíricas de temperatura diferentes. A equação

(4.2) aplica-se, em geral, a um termómetro posto em contacto com um sistema cuja

temperatura ( )Xq queremos medir. Portanto, aplica-se quando o termómetro é colocado

em contacto com um dado sistema padrão num estado reproduzível. Este estado do

sistema padrão, escolhido arbitrariamente, é designado por ponto fixo, isto é, tem uma

temperatura fixa. Os pontos fixos permitem temperaturas de referência para a construção

de escalas de temperatura.

Antes de 1954, a escala de temperatura internacional era a escala Celsius, a qual

era baseada no intervalo de temperatura entre dois pontos fixos: (1) a temperatura à qual

o gelo puro coexiste em equilíbrio, à pressão atmosférica normal15, com o ar saturado de

vapor de água (o ponto do gelo) – ao qual era atribuída a temperatura PG 0 Cq = ∞ ; e (2) a

temperatura de equilíbrio, à pressão atmosférica normal, entre a água pura e vapor puro

(o ponto de vapor) – ao qual era atribuída a temperatura PV 100 Cq = ∞ . Por esta razão esta

escala era também designada por escala centígrada de temperatura.

Em 1954, foi escolhido um outro ponto fixo de referência, como base de uma nova

escala de temperatura, baseada nas propriedades dos gases. Esse ponto corresponde à

temperatura do estado onde gelo, água líquida, e vapor de água coexistem em equilíbrio,

e é designado por ponto triplo (PT) da água.

Quando um gás é mantido a volume constante, a sua temperatura varia linearmente

com a pressão, se esta for suficientemente baixa. É esta propriedade que torna os gases

importantes em termometria. Utilizando gases diferentes, todos a uma pressão muito

baixa, obtém-se experimentalmente o gráfico da temperatura em função da pressão, para

cada gás, conforme se ilustra na Figura 4.3.

As rectas de ajuste dos valores experimentais intersectam-se no mesmo ponto do

eixo das temperaturas, obtendo-se a menor temperatura teórica possível, 273,15 Cq = - ∞ .

Considera-se então uma escala de temperatura (escala Kelvin) com a mesma amplitude

15 A pressão atmosférica normal tem o valor exacto de 51,01325 10 Pa¥ .


81

em termos de unidade, mas com a origem ( 0KT = ) em 273,15 C- ∞ . Assim, o valor da

temperatura do ponto triplo da água é, nesta nova escala, PT 273,16 KT = , o que

corresponde a 0,01 ºC. A temperatura do ponto triplo da água pode ser medida com

precisão e reproduzida facilmente. De notar ainda que a palavra “grau” foi suprimida da

escala Kelvin.

Figura 4.3 Gráfico de P em função de θ, obtido experimentalmente com o termómetro de gás a volume constante, utilizando quatro gases diferentes a baixas pressões (Anacleto, 2004).

Denotando por PTX é o valor da propriedade termométrica no ponto triplo, da

equação (4.2), obtemos

PT

273,16KaX

= (4.3)

e podemos escrever então a função termométrica como

( )PT

273,16K ( constante)XX YX

q = . (4.4)

A temperatura do PT da água é o ponto fixo padrão da termometria. Para obtermos

a temperatura correspondente ao ponto triplo da água, utilizamos uma célula, como se

mostra na Figura 4.4.

273,15- 0 PT 0,01q = PV 100q = θ / ºC

P

Gás A

Gás B

Gás C

Gás D

Extrapolação para 0P =


82

Figura 4.4 Célula de ponto-triplo da água (Anacleto, 2004).

A relação entre os valores numéricos da temperatura expressos em graus Celsius e

em Kelvin é dada por

( ) ( )ºC K 273,15T T= - (4.5)

A escala Fahrenheit, escala muito utilizada nos países de cultura anglo-saxónica,

em particular nos EUA, aparece com muita frequência nas especificações e

características de equipamentos, por isso é importante conhecê-la. A fixação da escala

Fahrenheit, em 1715, é anterior à definição da escala centígrada. É baseada nas mesmas

referências que a escala centígrada, apenas os valores numéricos atribuídos são

diferentes. Assim, a escala Fahrenheit atribui ao ponto de fusão do gelo o valor 32 ºF e ao

ponto de ebulição da água, a 1 atmosfera, o valor 212 ºF. A diferença entre estes dois

valores é de 180 ºF. A divisão da escala em 180 partes seguiu um critério análogo ao da

divisão da semicircunferência em graus. A relação entre os valores numéricos da

temperatura expressa em ºF e em ºC é dada por

( )5º Cº C º F 32º F9º F

Ê ˆ= ¥ -Á ˜Ë ¯ (4.6)

A Tabela 4.2 apresenta algumas conversões entre escalas de temperatura.

Termómetro

Vapor de água

Camada de água

Gelo

Água

Selado


83

Conversão de Para Equação

Celsius Fahrenheit ºF ºC 1,8 32= ¥ +

Celsius Kelvin K ºC 273,15= +

Celsius Rankine ºRa ºC 1,8 32 459,67= ¥ + +

Celsius Réaumur ºR ºC 0,8= ¥

Kelvin Fahrenheit ºF K 1,8 459,67= ¥ -

Kelvin Rankine ºRa K 1,8= ¥

Kelvin Réaumur ( )ºR K 273,15 0,8= - ¥

Tabela 4.2 Algumas conversões de unidades de temperatura.

4.3.2 Termómetro de gás a volume constante

É mostrado na Figura 4.5 um esquema simplificado de um termómetro de gás a

volume constante. Os materiais, a construção, e as dimensões variam de laboratório para

laboratório e dependem da natureza do gás e da gama de temperaturas para a qual o

termómetro é concebido.

Figura 4.5 Representação esquemática de um termómetro de gás a volume constante, sendo a propriedade termométrica a pressão (Anacleto, 2004).

Gás

M M ¢

Ponteiro

Tubo capilar

h

Reservatório de mercúrio


84

O gás está contido num reservatório que comunica com a coluna de mercúrio M

através dum tubo capilar. O volume do gás é mantido constante por ajustamento da

coluna de mercúrio M até tocar num pequeno ponteiro que se encontra no espaço acima

de M. A coluna M é ajustada elevando ou baixando o reservatório do mercúrio.

A pressão no sistema é igual à pressão atmosférica mais a que é devida à diferença

de altura entre M¢ e M, h, e é medida duas vezes: quando o gás está rodeado pelo

sistema cuja temperatura queremos medir, obtendo-se P, e quando está rodeado por água

no ponto triplo, obtendo-se PTP . A temperatura é, então, dada por

( )PT

273,16K ( constante)PP VP

q = . (4.7)

No séc. XIX, o termómetro mais preciso era o termómetro de gás. Foi oficialmente

adoptado pelo Comité Internacional de Pesos e Medidas em 1887 como o termómetro

padrão, substituindo o termómetro de mercúrio-num-tubo. A base teórica para o

termómetro de gás é a relação entre a pressão, volume, e temperatura expressa pela lei

dos gases ideais,

PV n RT= , (4.8)

onde P é a pressão, V é o volume, n é a quantidade de gás, e R a constante molar dos

gases. A temperatura T é a temperatura termodinâmica teórica.

Meçamos a temperatura absoluta, dada por um termómetro de gás ideal, no ponto

de ebulição normal (PEN) da água (o ponto de vapor). É introduzida uma quantidade de

gás no reservatório do termómetro de gás a volume constante, e medimos PTP quando o

reservatório do gás está inserido numa célula de ponto triplo. Suponhamos que PTP é

igual a 120 kPa. Mantendo o volume constante, seguimos os seguintes procedimentos:

1. Envolvemos o gás com vapor de água em ebulição, à pressão atmosférica

normal, medimos a pressão do gás PENP , e calculamos a temperatura empírica θ,

usando a equação (4.7),

( ) PENPEN 273,16 K

120P

Pq = .


85

2. Retiramos algum gás de tal maneira que PTP tenha um valor inferior, por

exemplo, 60 kPa. Medimos o novo valor de PENP e calculamos um novo valor

para θ,

( ) PENPEN 273,16 K

60P

Pq = .

3. Continuamos a reduzir a quantidade de gás no reservatório de tal forma que PTP

e PENP tenham cada vez valores menores, por exemplo, PTP tenha os valores

40 kPa, 20 kPa, etc. Para cada valor de PTP , calculamos o valor correspondente

da temperatura ( )PENPq .

4. Representamos graficamente ( )PENPq versus PTP e extrapolamos a curva

resultante para obtermos a intersecção no eixo onde PT 0P = , lendo do gráfico o

valor do ( )PT

PEN0lim

PPq

Æ.

Os resultados de uma série de testes desta natureza estão esboçados na Figura 4.6

para três gases diferentes com o objectivo de medir ( )Pq para o ponto de ebulição

normal da água. O gráfico indica que, embora as leituras do termómetro de gás a volume

constante dependam da natureza do gás a valores ordinários de PENP , todos os gases

indicam a mesma temperatura se PTP diminuir e tender para zero.

Figura 4.6 Temperatura do PEN da água dada por diferentes termómetros de gás, no limite quando PT 0P Æ (Anacleto, 2004).

/ Kq

373,60

373,50

373,40

373,30

373,20

373,10

PT / kPaP 0 20 40 60 120

N2

H2 He

T (vapor) = 373,124 K


86

Assim, definimos a temperatura absoluta, T, dada por um termómetro de gás

ideal, pela equação

PT 0 PT273,16 K lim ( constante)

P

PT VPÆ

Ê ˆ= Á ˜Ë ¯

(4.9)

Embora a escala de temperatura termodinâmica dada por um gás ideal seja

independente das propriedades de um gás particular, ela depende ainda das propriedades

dos gases em geral. O hélio é o gás mais indicado para termometria por duas razões. A

altas temperaturas o hélio não se difunde através da platina, ao contrário do hidrogénio.

O hélio torna-se líquido a uma temperatura menor que qualquer outro gás, e, por isso, o

termómetro de hélio pode ser usado para medir temperaturas menores do que as que são

possíveis com outro gás.

4.3.3 Calibração e padrões de medida

Entende-se por padrão de medida o instrumento de medição ou sistema de medição

destinado a definir ou materializar, conservar ou reproduzir uma unidade ou um ou

vários valores conhecidos de uma grandeza para as transmitir por comparação a outros

instrumentos de medição (VIM, 2005).

Consoante as suas características metrológicas um padrão pode ter várias

designações. Podemos classificá-los em:

• Padrão internacional: é um padrão reconhecido por um acordo internacional

para servir de base internacional à fixação dos valores de todos os outros padrões da

grandeza a que respeita.

• Padrão primário: é um padrão que apresenta as mais elevadas características

metrológicas num dado domínio.

• Padrão secundário: é um padrão cujo valor é fixado por comparação com um

padrão primário.

• Padrão de trabalho: é um padrão que, habitualmente calibrado por comparação

com um padrão de referência, sendo utilizado para calibrar ou verificar os instrumentos

de medida de utilização mais comum.


87

Vê-se assim que os diferentes padrões estão hierarquizados de acordo com as

qualidades metrológicas segundo uma escala decrescente dos primários para os de

trabalho, agrupando-se em uma das três categorias apresentadas. No que respeita aos

padrões internacionais não faz sentido, em geral, falar-se da sua exactidão, uma vez que

eles constituem a base de todas as comparações; exceptuam-se os casos em que é

possível reportar os seus valores directamente aos das unidades a que respeitam

realizando as chamadas medidas de acordo com a definição dessas unidades. Pode então

pôr-se a questão de saber qual o critério ou critérios que levam à escolha de um padrão

para padrão internacional. Se excluirmos critérios de escolha marginalmente importantes,

como por exemplo os da facilidade de realização ou praticabilidade de utilização, é óbvio

que a escolha terá a ver com dois aspectos: a exactidão desse padrão e a conformidade

entre as medições com ele obtidas e os valores previstos pelas teorias pertinentes na

análise de fenómenos em que intervém a grandeza em causa. Assim, quanto menor for o

desvio padrão experimental de um conjunto de intercomparações entre padrões iguais,

melhor será esse padrão do ponto de vista de constituir base para a fixação dos valores de

outros instrumentos de medida.

Em relação aos padrões primários, secundários e de trabalho o conceito de

exactidão é pertinente, uma vez que se pode tomar como base os padrões internacionais.

Deste modo, e uma vez que a qualidade metrológica mais importante de um padrão é a

sua exactidão, à hierarquia primário, secundário e de trabalho corresponde uma escala

crescente de imprecisões. A essa hierarquia corresponde também uma escala decrescente

de custos dos padrões; genericamente, e para uma mesma grandeza, um padrão de

trabalho é mais barato do que um secundário e este mais barato que um primário. Como

tal, e também porque as precisões exigidas não são as mesmas em todas as situações de

medida, os diferentes tipos de padrão encontram-se em diferentes tipos de laboratório:

um laboratório nacional de padrões disporá de padrões primários, laboratórios privados

ou industriais disporão de padrões secundários, os quais são utilizados como referência

para ajuste e calibração de padrões de trabalho. Este tipo de organização, que pode

revestir diferentes formas, deverá em qualquer caso permitir reportar o valor medido com

um padrão de trabalho a um padrão pelo menos primário mediante uma cadeia

ininterrupta de comparações que se designa por rastreabilidade. O National Institute of

Standards and Technology (NIST)16 tem uma organização hierárquica das referências

utilizadas nos Estados Unidos da América em três escalões como se segue:

16 http://www.nist.gov


88

Escalão I

1. Padrões internacionais.

2. Padrões primários (padrões nacionais).

3. Padrões secundários (padrões de referência do NIST).

4. Padrões de trabalho (utilizados pelo NIST para serviços de calibração).

Escalão II

1. Padrões de referência; padrões secundários mantidos por laboratórios

particulares e industriais.

2. Padrões de trabalho; padrões usados para calibrar e verificar aparelhos de

laboratório de uso geral.

Escalão III

Instrumentos de uso geral para produção, manutenção e ensaios externos.

A designação de padrão de referência diz respeito a um padrão, em geral da mais

elevada qualidade metrológica, disponível num dado local, do qual derivam as medições

efectuadas nesse local. Por vezes utiliza-se um conjunto de instrumentos de medição

idênticos, associados para desempenhar em conjunto o papel de padrão. Ao padrão assim

realizado chama-se padrão colectivo. Reserva-se a designação de colecção padrão para o

conjunto de padrões com valores escolhidos especialmente para reproduzir

individualmente, ou por combinação adequada, uma série de valores de uma grandeza

numa dada gama. As caixas de blocos padrão, usadas em metrologia dimensional,

constituem exemplo típico deste tipo de padrão.

A calibração é um conjunto de operações que estabelecem, em condições

especificadas, a relação entre os valores indicados por um instrumento de medição e os

correspondentes valores conhecidos da grandeza a medir. São utilizados dois tipos de

padrões: o padrão de transferência, utilizado como intermediário na comparação de

padrões ou instrumentos de medição entre si e o padrão itinerante, padrão, por vezes de

construção especial, previsto para ser transportado entre diferentes locais.

A conservação do padrão é o conjunto de todas as operações necessárias à

preservação das características metrológicas do padrão dentro de limites adequados.

Destaca-se a sua calibração, a qual é feita comparando esse padrão com um da mesma

unidade, mas de maior exactidão. A calibração deve ser periódica, dependendo do tipo,

utilização e tempo de vida os intervalos de tempo entre calibrações. Como valor típico,

um padrão de trabalho deve ser calibrado utilizando um secundário de 6 em 6 meses.


89

Além disso, deve ser dado especial cuidado aos aspectos de utilização e armazenamento

do padrão de modo a manter as suas qualidades metrológicas ao longo da sua vida útil.

4.3.4 Padrão de temperatura termodinâmica

Os padrões de temperatura são termómetros de diferentes tipos. Assim, o padrão

primário é constituído por um termómetro de resistência de platina de construção

especial de modo a que o fio não seja sujeito a esforços mecânicos. A escala deste

termómetro, usualmente graduada em ºC (escala prática), é estabelecida com base nos

seguintes valores (à pressão atmosférica normal, 51,01325 10 Pa¥ ):

• Fundamental: ponto triplo da água: 0,01ºC

• Primários: ponto de ebulição do oxigénio: 182,954 ºC-

ponto de ebulição do enxofre: 444,72 ºC

ponto de congelação da prata: 961,78ºC

ponto de congelação do ouro: 1064,18ºC

Os valores intermédios são calculados a partir de fórmulas de ajuste baseadas nas

propriedades do fio de resistência de platina.

4.4 A Escala Internacional de Temperatura (ITS-90)

A ITS-90 consiste num conjunto de pontos fixos medidos com o termómetro de gás

primário, e em procedimentos para interpolação entre os pontos fixos usando

termómetros secundários. Embora a ITS-90 não tencione suplantar a escala

termodinâmica Kelvin, é construída de forma a ser uma aproximação elevada daquela.

As diferenças entre a escala prática de temperatura 90T e a escala de temperatura

termodinâmica Kelvin T estão dentro dos limites de incerteza das medições em 1990. A

medição precisa de temperatura com um termómetro de gás requer anos de trabalho

laboratorial e de computação e, quando completo, torna-se um acontecimento

internacional. Foram medidas as temperaturas de estados de equilíbrio de vários

materiais, constituindo pontos fixos para a ITS-90.


90

O limite inferior da ITS-90 é 0,65 K. Abaixo desta temperatura, a escala é,

actualmente, indefinida em termos de um termómetro padrão. Vários intervalos de

temperatura na ITS-90 e termómetros secundários foram estabelecidos:

1. De 0,65 K a 5,0 K. Entre 0,65 K e 3,2 K, a ITS-90 é definida pelas relações

pressão de vapor - temperatura do 3He, e entre 1,25 K e 5,0 K pelas relações de

pressão de vapor - temperatura do 4He.

2. De 3,0 K a 24,5561 K, a ITS-90 é definida pelo termómetro de gás a volume

constante de 3He ou 4He.

3. De 13,8033 K a 1234,93 K (–259,3467 ºC a 961,78 ºC), a ITS-90 é definida pela

razão ( ) PTR T R do termómetro de resistência de platina, utilizando-se os

pontos fixos determinados pelo termómetro de gás a volume constante.

Acima de 1234,93 K (961,78 ºC), a ITS-90 é definida por um pirómetro óptico.

Podemos encontrar mais informações sobre a ITS-90 no endereço de Internet

http://www.its-90.com.

Os pontos fixos usados na ITS-90 são os que se apresentam na Tabela 4.3.


91

Temperatura

Nº T90/K t90/°C Substância Estadoa

1 3 a 5 – 270,15 a – 268,15 He V

2 13,8033 – 259,3467 e-H2 T

3 ~ 17 ~ – 256,15 e-H2 (ou He) V (ou G)

4 ~ 20,3 ~ – 252,85 e-H2 (ou He) V (ou G)

5 24,5561 – 248,5939 Ne T

6 54,3584 – 218,7916 O2 T

7 83,8058 – 189,3442 Ar T

8 234,3156 – 38,8344 Hg T

9 273,16 0,01 H20 T

10 302,9146 29,7646 Ga F

11 429,7485 156,5985 In S

12 505,078 231,928 Sn S

13 692,677 419,527 Zn S

14 933,473 660,323 Al S

15 1234,93 961,78 Ag S

16 1337,33 1064,18 Au S

17 1357,77 1084,62 Cu S a Os símbolos têm os seguintes significados:

V – ponto de pressão de vapor; T – ponto triplo (temperatura à qual as fases sólida, líquida e vapor coexistem em

equilíbrio); G – ponto do termómetro de gás; F, S – ponto de fusão, ponto de solidificação (temperatura, à pressão de 101 325 Pa, à qual

as fases sólida e líquida coexistem em equilíbrio). Tabela 4.3 Os pontos fixos usados na ITS-90 (www.its-90.com).

Consequências práticas da adopção da ITS-90 A introdução dessa nova escala de temperaturas trouxe como consequência a

modificação da quase totalidade dos valores numéricos de temperatura. Uma dada

temperatura expressa com base na ITS-90 tem um valor numérico diferente daquele que

tinha quando era expressa a partir da IPTS-68, excepto nos casos do zero absoluto (0 K),

da temperatura do ponto triplo da água e de alguns outros pontos. A título de exemplo, o

ponto de ebulição da água, à pressão atmosférica "normal" era de 100 ºC pela IPTS-68,

sendo agora 99,974 ºC. Outras grandezas muito utilizadas nos vários domínios técnicos e

científicos, que também são afectadas por estas alterações são, por exemplo, a capacidade

térmica mássica e a entropia.

93

5 Tipos mais usuais de termómetros e sua aplicação

Na medição de temperatura o termómetro, em muitas situações, está em contacto

físico com o sistema do qual se quer saber a temperatura, mas situações há em que isso

não é possível, por exemplo se o sistema estiver em movimento ou se a temperatura a

medir for muito elevada como nas siderurgias. Aos termómetros que não estão em

contacto físico com o sistema aquando da medição da temperatura chama-se pirómetros e

utilizam a radiação emitida pelos corpos para medir a temperatura.

Os termómetros de contacto podem ser de dois tipos: mecânico e eléctrico. Estes

termómetros requerem o equilíbrio térmico com o corpo cuja temperatura queremos

medir, equilíbrio esse que pode ser atingido mais ou menos rapidamente dependendo do

tempo de resposta do termómetro (capacidade térmica do sensor).

5.1 Termómetros de dilatação

Os materiais, sólidos e líquidos, de um modo geral, aumentam de volume com o

aumento da sua temperatura, pois aumenta a distância média entre as partículas

constituintes do material. Esta propriedade pode ser utilizada como propriedade

termométrica, principalmente para os materiais em que essa variação se faz de uma

forma uniforme, dentro de uma dada gama de temperaturas. De seguida veremos

exemplos de termómetros que se servem dessa propriedade.

5.1.1 Termómetro de dilatação de líquido

Princípio de funcionamento

Os termómetros de dilatação de líquidos, baseiam-se na lei de expansão

volumétrica de um líquido com a temperatura dentro de um recipiente fechado.

A equação que rege esta relação é:

( ) ( )2 30 1 2 31V Vq b q b q b qÈ ˘= + D + D + DÎ ˚


94

onde q é a temperatura do líquido em ºC; 0V é o volume do líquido à temperatura inicial

de referência 0q ; Vq é o volume do líquido à temperatura q ; 1b , 2b e 3b são os

coeficientes de expansão do líquido em 1ºC- , 2ºC- , e 3ºC- , respectivamente; e

0q q qD = - .

Teoricamente esta relação não é linear, porém como os termos de segunda e

terceira ordem são desprezíveis (Fialho, 2007), por serem relativamente pequenos, na

prática consideramos linear. Temos assim a equação

[ ]0 1V Vq b q= + D

Dependendo da sua construção podemos ter termómetros de dilatação de líquido

em recipiente de vidro transparente ou em recipiente metálico.

5.1.1.1 Termómetros de dilatação de líquido em recipiente de vidro

Os termómetros de dilatação de líquido em recipiente de vidro são constituídos por

um reservatório, cujo tamanho depende da sensibilidade desejada, soldada a um tubo

capilar (de secção o mais uniforme possível) fechado na parte superior. O reservatório e

parte do capilar são preenchidos com um líquido. Na parte superior do capilar existe um

alargamento que protege o termómetro no caso da temperatura ultrapassar seu limite

máximo. A Figura 5.1 mostra termómetros de dilatação de líquido em vidro.

Figura 5.1 Termómetros de dilatação em recipiente de vidro.

Após a calibração, a parede do tubo capilar é graduada em graus ou fracções deste.

A medição de temperatura faz-se pela leitura da escala no ponto em que se tem o topo da

coluna líquida.


95

Os líquidos mais usados são: Mercúrio, Álcool, Tolueno e Acetona. O álcool etílico

é usado para medições de temperaturas baixas (-38,9 ºC). Costumam-se adicionar

corantes para visualizar a leitura (Pires et al, 2006), visto que o álcool etílico é incolor.

Foi muito utilizado o mercúrio por possuir um coeficiente de expansão uniforme,

não molhar o vidro, purificar-se facilmente e tornar fácil a leitura (devido à sua aparência

metálica), mas o seu uso traz problemas ambientais, motivo pelo qual tem sido

substituído por outros.

O termómetro clínico de mercúrio, que foi muito utilizado, é um termómetro de

máxima. O tubo capilar apresenta nas proximidades do reservatório um estrangulamento.

Quando a temperatura aumenta, o mercúrio dilata-se, subindo na haste, mas, se a

temperatura diminuir, fica o mercúrio no tubo, devido ao estrangulamento, o que permite

determinar a maior temperatura atingida pelo corpo do paciente.

Termómetro de máxima e de mínima

A primeira concepção de um termómetro deste tipo parece ser devida a Robert

Hooke que procurou determinar a temperatura do fundo do mar (termómetro de mínima).

Contudo, o modelo de dupla marcação foi introduzido por Rutherford, combinando um

de mercúrio (temperatura máxima) e outro de álcool (temperatura mínima) (Pires et al,

2006).

Este termómetro dá as temperaturas máximas e mínimas ocorridas durante certo

período, por exemplo, durante um dia. O reservatório deste termómetro é alongado e o

seu tubo é recurvado em forma de U. Na curvatura inferior existe uma pequena porção de

mercúrio que é impelida pelo álcool para o tubo das temperaturas máximas, a

temperatura aumenta, ou para o das temperaturas mínimas, quando a temperatura

diminui. O mercúrio, por sua vez, impele dois índices, colocado cada um num ramo do

tubo. Estes índices deslocam-se, no interior do tubo, com leve atrito; e fixam-se na

posição em que o mercúrio os deixa, marcando deste modo as temperaturas máxima e

mínima. No início de um novo período de observação reconduzem-se os índices, que são

de ferro esmaltado, para junto do mercúrio, por meio de um pequeno íman.

Este tipo de termómetro, Figura 5.2, foi muito usado dentro do campo da

Meteorologia e no controle de processos químicos em escala piloto e industrial onde a

temperatura é um parâmetro crítico.


96

Figura 5.2 Termómetro de máxima e de mínima.

5.1.1.2 Termómetros de dilatação de líquido em recipiente metálico

No termómetro de dilatação de líquidos em recipiente metálico, Figura 5.3 A, o

líquido preenche todo o recipiente que sob o aumento de temperatura se dilata,

deformando um elemento extensível (sensor volumétrico).

O recipiente que contem o líquido varia de dimensão, de acordo com o tipo de

líquido e com a sensibilidade pretendida.

O tubo capilar deve ter o menor diâmetro interno possível a fim de evitar a

influência da temperatura ambiente, mas não deve oferecer resistência à passagem do

líquido quando este se está a expandir.

O elemento de medição utilizado é o Tubo de Bourdon, Figura 5.3 B, que pode ser

dos tipos: C, Helicoidal e Espiral.

Este tipo de termómetro é geralmente aplicado na indústria para indicação e

registo, pois permite leituras remotas e por ser o mais preciso dos sistemas mecânicos de

medição de temperatura (Fialho, 2007).


97

Figura 5.3 A – Termómetro de dilatação de líquido em recipiente metálico; B – Tubos de Bourdon utilizados como elementos de medição.

Como exemplo deste termómetro temos o termómetro registador, Figura 5.4.

Neste modelo, o termómetro registra as temperaturas durante todo um período, por

exemplo, uma semana. É muito usado nos observatórios de Meteorologia, mas também

encontra emprego industrial, no controlo de processos. Ele é provido de um cilindro

giratório. A agulha contendo a tinta é movida por um tubo metálico, flexível, recurvado e

cheio de petróleo. As dilatações do petróleo obrigam o tubo a distender-se, sendo os seus

movimentos transmitidos à agulha por um sistema de pequenas alavancas (Pires e tal,

2006).

Figura 5.4 Termómetro registador.

A B


98

5.1.2 Termómetros de dilatação de sólidos (termómetro bimetálico)

O termómetro bimetálico é constituído por duas ou mais lâminas com coeficientes

de dilatação diferentes, soldadas umas às outras, como se representa na Figura 5.6. Ao

dar-se uma variação na temperatura os metais dilatam-se de forma desigual, como se

pode observar na Figura 5.5, obrigando o conjunto a deformar-se e a actuar um contacto

eléctrico (termóstato) ou a posicionar um ponteiro indicador.

Figura 5.5 Flexão da lâmina bimetálica quando aquecida.

Figura 5.6 A - Termóstato; B - Termómetro bimetálico.

Na prática o par bimetálico é enrolado em forma de espiral ou hélice, o que

aumenta bastante a sensibilidade. A sua extremidade é fixa a um eixo o qual possui na

ponta um ponteiro que girará sobre uma escala de temperatura.

Qualquer deles tem grande difusão na indústria e em aplicações domésticas: citem-

se os termóstatos das máquinas de lavar roupa e louça, dos aquecedores e dos

frigoríficos.

A B


99

5.2 Termómetros baseados no efeito Seebeck

5.2.1 Constituição

Um termopar é um sensor de temperatura, constituído por dois materiais diferentes,

condutores ou semicondutores17, ligados entre si. As extremidades onde estão ligados

constituem as junções que vão ser submetidas a temperaturas diferentes, originando uma

força electromotriz. Uma das junções é designada por junção de teste e é submetida à

temperatura que se deseja medir, T . A outra é denominada junção de referência e é

mantida a uma temperatura de referência, RefT , normalmente um banho de gelo fundente

(Zemansky et al, 1997), conforme se ilustra na Figura 5.7.

Figura 5.7 Termopar constituído por duas junções dos metais A e B, a junção de medição e a junção de referência.

As junções podem ser feitas por vários métodos, sendo os mais importantes os

apertos dos materiais e as soldaduras. Embora se possa, em princípio, construir um

termopar com dois metais quaisquer, utilizam-se normalmente algumas combinações

normalizadas de metais, porque possuem tensões de saída previsíveis e suportam grandes

gamas de temperatura.

O termopar é um sensor activo, isto é, ele próprio gera uma força electromotriz18

(f.e.m.), não sendo portanto necessário alimentá-lo.

17 Os termopares com semicondutores têm um comportamento não linear, pelo que são pouco

utilizados na medição de temperatura. 18 Em rigor dever-se-ia dizer tensão electromotriz, em vez de força electromotriz, mas o seu uso

está generalizado.

Metal A

Se

RefTT

Metal B Metal B


100

5.2.2 Características gerais

Os termopares podem ser utilizados para medição de temperaturas desde cerca de

200 ºC- até temperaturas superiores a 1000 ºC . Para temperaturas muito elevadas são

utilizados termopares de platina e uma liga de platina e ródio.

As vantagens dos termopares como termómetros são várias, das quais se destacam:

• Curtos tempos de resposta (o equilíbrio térmico é atingido rapidamente).

• Elevadas gamas de temperatura.

• Construção compacta.

• Elevada resistência à vibração.

• Estabilidade duradoura.

• Elevada robustez.

5.2.3 Princípio de funcionamento

A termoelectricidade tem a sua origem em Alessandro Volta (1800), físico italiano.

Volta concluiu que a electricidade causadora dos espasmos nas pernas de sapo, estudadas

por Luigi Galvani (1780), era devida a um contacto entre dois metais diferentes. Essa

conclusão foi a precursora do princípio do termopar.

Após a descoberta de Volta, outros cientistas passaram a pesquisar os efeitos

termoeléctricos, dos quais podem ser destacados Thomas Seebeck19 (1821), Jean Peltier20

(1834) e William Thomson (Lorde Kelvin)21 (1848-1854), e que deram origem às

denominações dos três efeitos básicos da termometria termoeléctrica. Estes efeitos

podem ser relacionados entre si e são conhecidos como efeitos termoeléctricos porque

envolvem temperatura e electricidade.

Os três efeitos referidos são o efeito Seebeck, que é o relevante para os termopares,

e os efeitos Peltier e Thomson, que descrevem o transporte de energia por calor por

intermédio de uma corrente eléctrica. Os efeitos Peltier e Thomson não são importantes

na metrologia da temperatura e quando presentes originam erros na medição.

A força electromotriz que é gerada num termopar é função da diferença de

temperatura entre as junções de medição e de referência e é medida usando um

voltímetro, ligado convenientemente no circuito termoeléctrico. Em medições precisas de

19 Thomas Johann Seebeck foi um físico alemão (1770-1831). 20 Jean Peltier foi um físico francês (1785-1845). 21 William Thomson (Lord Kelvin) foi um físico britânico (1824-1907).


101

temperatura deve usar-se um bom voltímetro (com elevada resistência interna), para que

a corrente eléctrica no circuito seja suficientemente pequena para que os efeitos Peltier e

Thomson sejam desprezáveis.

Para que sejam evitados possíveis erros causados por efeitos decorrentes da lei das

temperaturas sucessivas ou intermédias (ver secção 5.2.8), convencionou-se que o ponto

de abertura do circuito seria a própria junção de referência, onde fios de cobre seriam

ligados para que esses pontos fossem ligados ao voltímetro, conforme se ilustra na Figura

5.8. Como é descrito pela lei dos metais homogéneos (ver secção 5.2.8), a presença

desses fios de cobre não altera a f.e.m. lida no voltímetro.

Figura 5.8 Termopar onde a junção dos fios A e B constitui a junção de teste

e a junção de referência consiste em duas junções com fios de cobre (Anacleto, 2004).

O termopar é, portanto, diferente da maioria dos sensores de temperatura uma vez

que a sua resposta está directamente relacionada com a diferença de temperatura entre as

junções de medição e de referência.

5.2.4 Efeito Seebeck

Thomas Seebeck descobriu a existência de correntes termoeléctricas enquanto

observava efeitos electromagnéticos associados a circuitos de bismuto/cobre e

bismuto/antimónio. As experiências feitas mostraram que, quando as junções de dois

metais distintos formavam um circuito fechado e são submetidas a temperaturas

diferentes, uma força electromotriz é gerada, originando o aparecimento de uma corrente

eléctrica contínua nessa malha.


102

Uma diferença de temperatura entre dois pontos de um condutor (ou semicondutor)

origina uma diferença de potencial eléctrico entre esses pontos. De outra forma, um

gradiente de temperatura num condutor origina um campo eléctrico. Este fenómeno é

designado por efeito Seebeck ou efeito termoeléctrico, e está ilustrado na Figura 5.9. O

princípio do termopar é baseado no efeito Seebeck.

Figura 5.9 O efeito Seebeck: um gradiente de temperatura origina uma diferença de potencial (em circuito aberto).

A tensão termoeléctrica por unidade de diferença de temperatura é o coeficiente de

Seebeck, e é definido de forma que o sinal representa o potencial eléctrico do lado frio

em relação ao lado quente,

ddTea = - (5.1)

Se os electrões se difundem do lado quente para o lado frio, então o coeficiente de

Seebeck é negativo. Se a difusão se der em sentido contrário, o coeficiente de Seebeck é

positivo. O coeficiente a é normalmente designado por potência termoeléctrica, o que é

uma designação incorrecta, pois este coeficiente refere-se a uma diferença de potencial e

não a uma potência. A designação mais apropriada é, portanto, coeficiente de Seebeck.

Este coeficiente, dado por (5.1) e com valores da ordem de alguns 1μV K- , é uma

propriedade do material e depende da temperatura.

Conhecendo o coeficiente de Seebeck ( )Ta para um material, a diferença de

potencial entre dois pontos a temperaturas 0T e T é dado por

Diferença de potencial eD

Diferença de temperatura TD

Quente Frio

E

1

FE

( )f E

E

1

FE

( )f E


103

0

T

TdTe aD = Ú (5.2)

A energia média por electrão, E , num metal no qual a densidade de estados de

energia é ( )g E Eμ é dada por (Kasap, 2002; Kittel, 1986)

22

FF

3 515 12

k TE EE

pÈ ˘Ê ˆÍ ˙= + Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚ (5.3)

onde FE é a energia de Fermi (definida a 0KT = ). Da equação (5.3) a energia média

por electrão no lado quente é maior que no lado frio e, como consequência, os electrões

mais energéticos no lado quente difundem-se para o lado frio até que a diferença de

potencial que se cria ponha fim ao processo de difusão. Notemos que a energia média por

electrão também depende do material através da energia de Fermi, FE . Mostra-se

(Kasap, 2002) que o coeficiente de Seebeck é dado aproximadamente por

2 2

F2k Te E

pa = (5.4)

Devemos referir que o raciocínio apresentado é baseado assumindo que os

electrões de condução num metal comportam-se como “electrões livres”. Esta

aproximação só se aplica satisfatoriamente a metais “normais”, como, por exemplo, ao

sódio, potássio e alumínio. A difusão dos electrões do lado quente apara o lado frio

pressupõe que na região quente os electrões têm velocidades maiores, de acordo com a

teoria dos electrões livres nos metais. Contudo, teremos que considerar as interacções dos

electrões de condução com os iões e as vibrações da rede para compreender alguns

resultados experimentais, como por exemplo, o facto de alguns metais apresentarem

coeficientes de Seebeck positivos.

5.2.5 O termopar

Consideremos uma barra de um metal A aquecido numa das extremidades e

arrefecido na outra. Se quisermos medir a diferença de potencial eD através da barra

usando ligações ao voltímetro feitas do mesmo metal, não o conseguiremos porque


104

aparece uma diferença de potencial simétrica nos fios de ligação ao voltímetro, conforme

se ilustra na Figura 5.10.

Figura 5.10 Para um termopar constituído por duas junções de um mesmo metal A não é possível medir a diferença de potencial.

É possível, contudo, medir uma diferença de potencial se ligarmos o voltímetro

utilizando fios de um metal diferente, mais propriamente, utilizando um metal com um

coeficiente de Seebeck diferente. O termopar usa precisamente, pelo menos, dois metais

A e B diferentes e duas junções, sendo uma mantida a uma temperatura de referência 0T

e a outra é usada para medir a temperatura T , conforme se ilustra na Figura 5.11.

Figura 5.11 Um termopar tem que ser constituído por duas junções de dois metais diferentes A e B.

A diferença de potencial em cada elemento metálico depende do seu coeficiente de

Seebeck e consequentemente a f.e.m. do termopar, AB A Be e e= - , depende da diferença

A Ba a- , e, pela equação (5.2), é dada por

( )0 0

AB A B AB

T T

T TdT dTe a a a= - =Ú Ú (5.5)

onde AB A Ba a a= - é definido como a potência termoeléctrica do termopar A-B.

Se considerarmos ABa aproximadamente constante, podemos escrever

Metal A

S 0e =

Frio Quente

Metal A Metal A

-

-

+

+

Metal A

S 0e π

Frio Quente

Metal B Metal B

-

-

+

+

-+ T

0 RefT T=


105

( )AB AB AB 0 AB BA 0T T T T Te a a a a= D = - = + (5.6)

Os dois termos da direita na equação anterior, ABTa e BA 0Ta , são as diferenças de

potencial geradas nas junções à temperatura T e 0T , respectivamente.

O valor de ABa pode ser obtido por duas formas: a) como a diferença entre os

coeficientes Seebeck dos dois metais relativos a um metal de referência R arbitrário, ARa

e BRa ; ou b) por diferenciação numérica de valores tabelados de Se versus T, para uma

determinada temperatura de referência, conforme a relação (5.5).

De qualquer forma, o coeficiente Seebeck representa, para uma determinada

combinação de materiais, a razão entre a variação na f.e.m. de uma malha e a variação na

temperatura, ou seja:

AB ABAB 0

limt

dT dTe ea

D Æ

D= =

D

Deste modo, se uma função 2AB aT bTe = + é obtida através de uma calibração,

temos AB AB 2d dT a bTa e= = + e podemos então afirmar que para uma determinada

combinação de metais, o coeficiente de Seebeck é função apenas da temperatura.

Uma consequência imediata do efeito Seebeck é o facto de que, conhecida a

temperatura de uma das junções pode-se, através da f.e.m. produzida, saber a temperatura

da outra junção. As medições de temperatura são, na realidade, a maior aplicação do

termopar, bastando conhecer a relação f.e.m. versus a variação de temperatura na junção

do termopar. Esta relação pode ser obtida por calibração, ou seja, uma comparação com

um padrão de temperatura.

Os outros dois efeitos termoeléctricos – os efeitos de Peltier e de Thomson – são

apresentados a seguir, apenas porque estão relacionados com o efeito Seebeck, pois não

têm grande importância para a medição de temperatura.

5.2.6 Efeito Peltier

Jean Peltier descobriu efeitos termoeléctricos interessantes quando introduziu

pequenas correntes eléctricas externas num termopar de bismuto-antimónio. As

experiências feitas mostraram que, quando uma pequena corrente eléctrica atravessa a


106

junção de dois metais diferentes numa direcção, a junção arrefece, absorvendo energia

por calor do meio em que se encontra. Quando a direcção da corrente é invertida, a

junção aquece, aquecendo o meio em que se encontra. Este efeito está presente quer a

corrente seja gerada pelo próprio termopar quer seja originada por uma fonte de tensão

externa. Por isso, na utilização de um termopar deve-se reduzir tanto quanto possível esta

corrente, utilizando voltímetros com elevada resistência interna.

A potência trocada por calor (libertada ou absorvida), PQ dtd , é proporcional à

intensidade de corrente eléctrica, I , no circuito

PAB

Q Idtd p= (5.7)

onde ABp é o coeficiente (ou tensão) de Peltier.

Podemos relacionar os coeficientes de Peltier e de Seebeck, tendo em conta que a

potência é dada pelo produto da diferença de potencial pela corrente. Para uma junção

com uma diferença de potencial de Seebeck Se e percorrida por uma corrente eléctrica I

temos, atendendo à equação (5.6),

PS AB

Q I T Idtd e a= = (5.8)

E pela equação (5.7) obtemos

AB AB Tp a= (5.9)

O significado físico do coeficiente ABp é a energia libertada ou absorvida por calor

pela junção por unidade de tempo e por unidade de corrente eléctrica. Tem as unidades

de uma tensão eléctrica. A polaridade e o valor da tensão Peltier, ABp , depende da

temperatura da junção e dos materiais usados na sua construção, sendo, no entanto,

independente da temperatura da outra junção.

Aquecimento ou arrefecimento exterior da junção provoca o efeito contrário ao

efeito Peltier. Mesmo na ausência de todos os outros efeitos termométricos, quando a

temperatura de uma junção (a junção de referência) é mantida constante e a temperatura

da outra junção é aumentada por calor externo, uma corrente eléctrica será induzida na


107

malha numa direcção. Se a temperatura desta última diminuir abaixo da primeira por

arrefecimento externo, o sentido da corrente eléctrica será invertido. Portanto, o efeito

Peltier está intimamente relacionado ao efeito Seebeck.

O efeito de Peltier aparece adicionado ao efeito de Joule, no qual a passagem de

uma corrente através de uma resistência, neste caso a junção, dá origem à produção de

uma libertação de energia por calor proporcional ao quadrado da corrente I. No caso dos

metais vulgares, e para as intensidades de corrente eléctrica normalmente usadas, a

potência trocada por calor devida ao efeito de Peltier, PQ dtd , é muito menor do que a

originada por efeito de Joule, JQ dtd . O mesmo já não se passa com a junção de

determinados materiais semicondutores, para os quais poderá ter-se P JQ dt Q dtd d .

O efeito de Peltier é utilizado em electrónica para o controlo de temperatura de

componentes de circuitos. Na indústria é utilizado em pequenos frigoríficos estáticos

(sem compressor).

5.2.7 Efeito de Thomson

William Thomson concluiu que os coeficientes ABa e ABp estão relacionados

através da temperatura absoluta. Thomson chegou à conclusão que uma corrente eléctrica

produz diferentes efeitos térmicos, dependendo da direcção de sua passagem do ponto

quente para o ponto frio ou do frio para o quente, num mesmo metal. Aplicando os

princípios da Termodinâmica aos termopares e desprezando o termo 2I R e outros

processos de troca de energia por calor, Thomson concluiu que, se uma corrente eléctrica

produz somente os efeitos Peltier de aquecimento, então a tensão Peltier na malha seria

igual à tensão Seebeck e seria proporcional à diferença de temperatura das junções do

termopar.

Este raciocínio conduz a um desacordo com os efeitos observados, isto é,

S constanted dTe π . Por essa razão, Thomson concluiu que a tensão Peltier na malha

não seria a única tensão gerada num circuito termopar, mas que um único condutor por si

só, quando exposto a um gradiente de temperatura longitudinal, seria também uma fonte

de tensão.

O efeito Thomson é a libertação ou a absorção de energia por calor que ocorre

quando uma corrente eléctrica atravessa um material condutor homogéneo, através do

qual um gradiente de temperatura é mantido, não importando se a corrente é introduzida

externamente ou induzida pelo próprio termopar.


108

A potência por calor libertada ou absorvida num condutor é proporcional à

diferença de temperatura, TD , e à corrente eléctrica no condutor, I , ou seja,

TQ I Tdtd s= D (5.10)

onde s é o coeficiente de Thomson.

Por analogia entre s e a usual capacidade térmica mássica, c , Thomson referiu-se

a s como o calor específico de electricidade. É importante realçar que s representa a

taxa de absorção ou emissão de energia como calor por unidade de gradiente de

temperatura e por unidade de corrente eléctrica; ao passo que c representa a energia

transferida como calor por unidade de gradiente de temperatura por unidade de massa. O

coeficiente Thomson é visto também como uma representação de f.e.m. por unidade de

diferença de temperatura. Portanto, a tensão Thomson total gerada num condutor pode

ser expressa como:

2

1T

T

TdTe s= Ú (5.11)

onde a sua polaridade e valor dependem do valor da temperatura, da diferença de

temperatura e do material. Deve-se notar que a tensão de Thompson não pode manter

uma corrente com apenas um condutor homogéneo formando um circuito fechado, pois

duas forças electromotrizes iguais e opostas serão geradas nos dois sentidos entre as

partes quente e fria.

Mais tarde Thomson conseguiu demonstrar indirectamente a existência da tensão

de Thomson. Ele aplicou uma corrente eléctrica externa num circuito fechado, formado

por um único condutor homogéneo, submetido a um gradiente de temperatura e percebeu

que o calor produzido por 2I R aumentava ou diminuía levemente por causa do calor

Thomson nos sentidos de quente para frio ou de frio para quente, dependendo do sentido

da corrente e do metal do condutor.

5.2.8 As leis do funcionamento dos termopares

O funcionamento dos termopares pode ser sistematizado pelo enunciado de

algumas leis, que se apresentam seguidamente e se ilustram na Figura 5.12.


109

• Dois metais e duas junções

Um circuito que utilize termopares deve conter pelo menos dois metais distintos e

pelo menos duas junções (Figura 5.12a).

• Independência da temperatura do percurso

A tensão de saída do termopar, 0e , depende apenas das temperaturas das junções,

1T e 2T , sendo independente da forma como a temperatura se distribui pelos condutores,

desde que não haja corrente eléctrica no circuito (Figura 5.12b).

• Lei dos metais intermédios 1

Se um terceiro metal homogéneo for inserido no condutor A ou no condutor B de

um circuito com termopares (Figura 5.12c), a tensão de saída 0e permanece inalterada,

desde que as novas junções estejam à mesma temperatura, i jT T= .

• Lei dos metais intermédios 2

A instalação de um material intermediário C numa junção AB (Figura 5.12d) não

modifica a tensão de saída 0e , desde que as novas junções criadas sejam mantidas à

temperatura 2T .

• Lei das temperaturas sucessivas

Um circuitos de termopares com temperaturas 1T e 2T (Figura 5.12e), origina uma

tensão de saída ( )12 1 2,f T Te = . O mesmo circuito submetido às temperaturas 2T e 3T

produz uma tensão ( )23 2 3,f T Te = . Se o circuito for submetido às temperaturas 1T e 3T a

tensão de saída é dada por

( )13 1 3 12 23,f T Te e e= = +

Essa lei permite que um termopar calibrado numa determinada referência de

temperatura, seja usado com qualquer outra referência de temperatura, aplicando-se a

correcção adequada.


110

Figura 5.12 Ilustração das leis de funcionamento dos termopares.

Uma outra consequência dessa lei é que fios ou cabos de extensão, que tenham as

mesmas características termoeléctricas dos fios do termopar, podem ser ligados a ele sem

que a f.e.m. térmica da malha seja modificada. Isso é aplicado principalmente em

termopares nobres, em virtude do custo dos termoelementos.

• Lei dos metais sucessivos

Um termopar constituído pelos materiais A e C e com as junções submetidas às

temperaturas 1T e 2T gera uma tensão ACe (Figura 5.12f). Um circuito semelhante

constituído por materiais C e B gera, submetido às mesmas temperaturas, uma tensão

A

B B 0e

1T 2T - +

A C

jT iT A

BB 0e

1T 2T

-+ 2T

A

B B12e

2 2T T+ -+

A

B B 23e

3T - +

A

B B 13e

1T 3 1T T= -+

A

C CACe

2 1T T+ -+

C

B B CBe

2T - +

A

B B ABe

1T 2 1T T= -+

A

B B0e

1T 2T -+

6T

3T

5T

4T A

B B 0e

1T 2T - +

a) b)

c) d)

e)

f)


111

CBe . Um termopar semelhante na configuração e constituído pelos materiais A e B, gera,

quando submetido ás mesma temperaturas, uma tensão dada por

AB AC CBe e e= +

5.2.9 Termopares mais usuais e suas características

Vários tipos de pares termoeléctricos foram estudados e, de acordo com a

aplicação, alguns foram normalizados. Os tipos mais comuns de termopares são

identificados através de letras (T, J, K, E, N, R, S, B), originalmente atribuídas pela

Instrument Society of America (ISA). A aplicação de cada um deles depende de vários

factores, sendo a atmosfera (ambiente) e a gama de temperatura, os principais. As

características de cada um deles são:

• O tipo T (Cu-Cu45%Ni) (Cobre-Constantan) é resistente à corrosão em ambientes

húmidos e é excelente para aplicações em temperaturas abaixo de 0°C. O seu limite

superior de temperatura é de 400°C e pode ser usado em vácuo ou atmosferas oxidante,

redutora ou inerte.

• O tipo J (Fe-Cu45%Ni) (Ferro-Constantan) é apropriado para uso em vácuo ou

atmosferas oxidante, redutora ou inerte até 760°C. A taxa de oxidação do termoelemento

Fe é alta acima de 530°C, portanto o uso de fios de maiores diâmetros é recomendado se

houver necessidade de uso prolongado em alta temperatura. Termopares tipo J de fio nu

não devem ser usados em ambientes sulfurosos acima de 530°C. Pode ser usado em

temperaturas abaixo de 0°C, mas a possibilidade de oxidação do fio de Fe sob essas

condições torna o seu uso menos interessante que o do tipo T em baixas temperaturas.

• O tipo K (Ni10%Cr-Ni5%Al,Si) (Cromel-Alumel) é recomendado para uso

contínuo em atmosferas oxidante e inerte até 1372°C. Em virtude da sua característica de

resistência à oxidação ser superior à dos outros termopares básicos, ele tem grande

aplicação em temperaturas acima de 530°C. O tipo K também pode ser usado em

temperatura negativa até -270°C, mas não pode ser aplicado em: a) atmosferas redutoras

ou que estejam alternando entre redução e oxidação, sem um tubo de protecção

apropriado; b) atmosferas sulfurosas, sem um tubo de protecção adequado; c) vácuo,

excepto por curto período de tempo, pois a vaporização preferencial do crómio irá alterar

a calibração; d) atmosferas que promovem a deterioração esverdeada do termoelemento


112

positivo. Essa corrosão ocorre devido à oxidação preferencial do crómio quando o

ambiente em torno do termopar tem baixa percentagem de oxigénio numa determinada

gama de temperatura. Normalmente é notada quando o termopar é usado em tubo de

protecção longo e de diâmetro reduzido.

• O tipo E (Ni10%Cr-Cu45%Ni) (Cromel-Constantan) é recomendado para

aplicações e uso na gama de -250°C a 870°C em atmosferas oxidante ou inerte. Em

atmosfera redutora, alternando-se entre redutora e oxidante, pouco oxidante ou vácuo, o

tipo E está sujeito às mesmas limitações do tipo K.

• O tipo N (Ni14%Cr1,5%Si-Ni4,5%Si0,1%Mg) (Nicrosil-Nisil) foi construído

como uma alternativa ao tipo K e sua gama de operação está entre –270°C e 1300°C. Em

comparação com o tipo K, possui uma menor potência termoeléctrica, um coeficiente de

Seebeck bastante semelhante, porém uma maior estabilidade no tempo durante do seu

uso. Assim como o tipo K, não deve ser usado em vácuo.

• O tipo R (Pt13%Rh-Pt) (Platina, Ródio-Platina) e o tipo S (Pt10%Rh-Pt) (Platina-

Rhodio) são recomendados para aplicações de uso contínuo em ambientes oxidante e

inerte, numa gama de temperatura de –50°C a 1768°C. Não devem ser usados em

atmosferas redutoras ou que contenham vapores metálicos ou não metálicos, a menos que

seja utilizado um tubo de protecção não metálico. Podem ser usados em vácuo por curto

período de tempo. O seu uso contínuo em alta temperatura provoca um excessivo

crescimento de grãos, que pode resultar na quebra do elemento platina.

• O tipo B (Pt30%Rh-Pt6%Rh) (Platina-Ródio) é recomendado para uso contínuo

em atmosferas oxidante e inerte em temperaturas até 1820°C. Pode ser usado em vácuo,

por curto período de tempo em alta temperatura, mas, assim como os tipos R e S, não

deve ser aplicado em atmosferas redutoras ou que contenham vapores metálicos ou não

metálicos, a menos que seja utilizado um tubo de protecção não metálico. Se for usado

um tubo de protecção metálico, esse termopar não deve ser inserido directamente nele.

Quando em alta temperatura, o tipo B apresenta menor crescimento de grãos que os tipos

R e S.

Dos termopares acima, os que são formados por platina, são conhecidos como

termopares nobres (R, S e B) e os demais são chamados de termopares básicos ou

termopares de metal comum. Outros tipos de termopares foram criados para aplicações

específicas, sendo chamados termopares especiais e não receberam denominação por

letras.


113

Um termopar é calibrado medindo a fem na junção de teste a várias temperaturas,

mantendo a junção de referência a 0 ºC. Os resultados de tais medições podem,

usualmente, ser representados por uma equação cúbica,

( ) 2 3

0 1 2 3c c c ce q q q q= + + + (5.12)

onde e é a f.e.m. térmica, e 0c , 1c , 2c , e 3c constantes (diferentes para cada termopar).

Sensibilidade

A sensibilidade de um termopar é dada por

TdSdTe= (5.13)

O índice T em TS indica que a sensibilidade, que é função da temperatura, é

referida à temperatura T . A Tabela 5.1 indica a sensibilidade de alguns materiais quando

usados com a platina, para uma temperatura de junção de 0 ºC. Note-se que existe uma

grande variação nas sensibilidades, consoante os materiais. Repare-se que as

sensibilidades são baixas, da ordem dos μV/ ºC. Observe-se ainda que para os

semicondutores (quatro últimos materiais da tabela) as sensibilidades são bastante

superiores às dos metais. Para que a sensibilidade de um termopar seja elevada, convirá

associar materiais com sensibilidades altas em relação à platina (em módulo), e de sinais

contrários. No entanto, para a construção de termopares há outros critérios a ter em

consideração. Assim, o par Bismuto/Cromel, que tem uma sensibilidade, a 0 ºC, de

72+25,8 = 97,8 μV/ºC, não se utiliza devido ao facto do Bismuto ser muito quebradiço e

ter um ponto de fusão baixo (271 ºC).

Dentro da gama de temperaturas desejadas, a selecção dos materiais a utilizar na

construção de um termopar deve ter em conta os seguintes critérios: sensibilidade

elevada, linearidade alta, estabilidade alta e custo baixo.

Para se aumentar a sensibilidade dos termopares, estes podem ser associados em

série, desde que se garanta a existência de N junções à temperatura de medida e outras

1N + à temperatura de referência.

Os termopares são utilizados em vários sectores da indústria (química,

petroquímica, farmacêutica, da energia eléctrica, de produtos alimentares e bebidas,

mineira, metalúrgica, siderúrgica, cerâmica, vidro, entre outros). São utilizados também


114

na Engenharia Mecânica, em diversos equipamentos laboratoriais e em muitos outros

equipamentos.

Material SensibilidadeµV/ºC

Material Sensibilidade µV/ºC

Bismuto -72 Cobre + 6,5 Constantan -35 Ouro + 6,5

Níquel -15 Tungsténio + 7,5 Alumel -13,6 Nicrosil + 15,4

Nisil -10,7 Ferro + 18,5 Platina 0 Cromel + 25,8

Mercúrio + 0,6 Germânio + 300 Carbono + 3 Silício + 440 Alumínio + 3,5 Telúrio + 500 Estanho + 4 Selénio + 900

Prata + 6,5 Tabela 5.1 Sensibilidade de alguns termopares à temperatura de referência

0 ºC, quando usados com a platina.

5.3 Termómetro de resistência

Termo-resistências ou termómetros de resistência, são nomes genéricos para

sensores que variam a resistência eléctrica com a temperatura. Os materiais utilizados

como elemento sensor destes termómetros são, normalmente, condutores e

semicondutores. Os metais condutores apareceram primeiro, e historicamente são os que,

em sentido estrito, são designados por termómetros de resistência ou termo-resistências.

Os semicondutores são mais recentes e chamam-se de termístores. A diferença

básica é a forma da variação da resistência eléctrica com a temperatura. Nos metais a

resistência aumenta quase linearmente com a temperatura enquanto nos semicondutores

ela varia de maneira não linear de forma positiva ou negativa (ver Figura 5.13). A

variação da resistência eléctrica em função da temperatura ( )dR dT é designada por

coeficiente de temperatura. O seu valor também é uma função da temperatura.


115

Figura 5.13 Gráfico ilustrativo da variação da resistência com a temperatura para alguns metais e para um semicondutor.

5.3.1 Termo-resistências metálicas

5.3.1.1 Constituição

Uma termo-resistência é constituída por um núcleo de cerâmica, de vidro ou de

outro material isolante em volta do qual se encontra depositada ou enrolada a resistência,

que, de acordo com a aplicação, pode ser constituída por um fio ou por um filme

metálico (para dimensões mais reduzidas e valores de resistência mais elevados).

Externamente, existe um revestimento com vista a proteger a resistência de cargas

mecânicas (pressão, fluidos) e da corrosão química (ver Figuras 5.14, 5.15 e 5.16).

Figura 5.14 Interior de uma termo-resistencia.

Figura 5.15 Aspecto exterior de uma termo-resistência.

–100 100 300 500 700 T / ºC

600

500

400

300

200

100

0

R / W

Pt

Cu

W

Ni Semicondutor

( )0 ºC 100R = W


116

Figura 5.16 Algumas termo-resistências.

5.3.1.2 Campos de aplicação

Os termómetros de resistência são aplicados na gama de temperatura de 220 ºC- a

600 ºC+ . As suas vantagens são inúmeras, das quais destacamos as seguintes: elevada

banda dinâmica de medida, resistência mecânica à vibração, elevada imunidade às

interferências eléctricas, estabilidade duradoura, elevada robustez, e elevada exactidão.

Estes termómetros são muito utilizados na indústria, nomeadamente, química,

petroquímica, farmacêutica, energia eléctrica, mecânica, de produtos alimentares e

bebidas, entre outras. São ainda utilizadas em laboratórios como padrões de temperatura.

5.3.1.3 Princípio de funcionamento

Em 1821 Sir Humphrey Davy descobriu que a resistividade dos metais apresentava

uma forte dependência da temperatura. Sir William Siemens propôs, por volta de 1861, o

uso de termómetros de resistência de platina com os quais a medição da temperatura seria

feita à custa da variação da resistência eléctrica de um fio de platina (Güths, 1998).

Actualmente, a medição de temperaturas por meio de termómetros de platina

assume grande importância em numerosos processos de controlo industrial; são também

usados termómetros de platina de construção especial como instrumentos metrológicos

de interpolação das escalas internacionais de temperatura, a nível primário. O termómetro

de resistência feito de platina opera na gama de temperatura de 253ºC- a 1200 ºC+ .

O termómetro de resistência metálico possui como propriedade termométrica a

resistência eléctrica que pode ser dada por uma função cúbica da temperatura, obtida por

calibração, e dada por (norma CEI 751)


117

( )2 20 1 100R R A B Cq q q q qÈ ˘= + + + -Î ˚ (5.14)

onde 0R é a resistência à temperatura de referência, A, B e C são constantes (ver

secção 6.1) e q é a temperatura empírica. Para valores positivos da temperatura é

suficiente uma aproximação quadrática, pelo que se toma 0C = , obtendo-se

2

0 1R R A Bq q qÈ ˘= + +Î ˚ (5.15)

A sensibilidade ( S ) de uma termo-resistência é a variação relativa da resistência

por unidade de variação de temperatura:

( )R RS

TD

=D

(5.16)

A sensibilidade é função da temperatura e a expressão anterior é definida

pontualmente para cada temperatura por

1 dRSR dT

= (5.17)

Na Tabela 5.2 estão indicadas algumas características para 4 termo-resistencias à

temperatura de 0 ºC.

Níquel Cobre Platina Tungsténio

Gama de medida em (ºC) 100- ; 500 100- ; 450 260- ; 800 70- ; 2700

Resistividade ( )mW 85,91 10-¥ 81,529 10-¥ 89,81 10-¥ 84,99 10-¥

Linearidade baixa alta alta média

Sensibilidade a 0ºC ( )1K- 0,0067 0,0042 0,003925 0,0045

Tabela 5.2 Algumas características para 4 termo-resistências, à temperatura de 0 ºC.


118

5.3.1.4 Métodos de medição

Para se poder ler, ou para transmitir à distância do valor da temperatura obtido na

utilização de uma termo-resistência, é necessário transformar o valor de R ou o de ΔR

numa corrente eléctrica, ou numa tensão eléctrica. Para este efeito utiliza-se um

condicionador de sinal.

Descrevem-se a seguir alguns dos condicionadores de sinal mais utilizados com as

termo-resistências, baseados no uso de uma fonte de corrente e na ponte de Wheatstone.

• Fonte de corrente

Este método exige uma fonte de corrente constante, e pode ter duas configurações

fundamentais: medição a dois fios, e a quatro fios22.

Medição a dois fios

Conhecendo o valor da intensidade da corrente que atravessa a termo-resistência, o

valor da sua resistência é obtido a partir da medida da queda de tensão, tal como indica a

Figura 5.17.

Figura 5.17 Método de medição a dois fios.

No método de medição a dois fios o sinal é influenciado pela resistência eléctrica

dos fios de ligação, e por variações desta, especialmente se estes forem longos e

estiverem sujeitos a variações de temperatura. A influência das resistências dos fios pode

ser compensada por uma resistência de compensação, sendo este o procedimento seguido

em instrumentação de regulação onde se exige relativa precisão de controlo.

22 Por vezes são utilizadas resistências com três fios. Em alguns casos, como na medição por ponte

de Wheatstone, isto trás vantagens evidentes sobre a montagem com dois fios, noutras situações aparece como compromisso entre a montagem com dois fios e quatro fios.

V Fonte de corrente

I

Termo-resistência

fioR

fioR

V 0I ª


119

Medição a quatro fios

Na medição a quatro fios, ilustrada na Figura 5.18, a intensidade de corrente que

atravessa a termo-resistência é, também, constante e a queda de tensão é medida junto

dos seus extremos. Como a corrente que circula pelo voltímetro é praticamente nula,

pode-se considerar a queda de tensão nos fios de ligação nula, eliminando assim a

influência da resistência e da variação de temperatura dos fios de ligação. A desvantagem

deste método é a necessidade de o cabo conter quatro fios, aumentando o custo.

Figura 5.18 Método de medição a quatro fios.

O auto-aquecimento é o problema mais grave das termo-resistências. A circulação

de uma corrente eléctrica pela resistência causa, por efeito Joule, um aumento da sua

temperatura, originando um erro de medição. O erro torna-se crítico quando se fazem

medições em gases, a baixas velocidades, podendo chegar a 2 ºC.

A forma de minimizar esse fenómeno é alimentar o sistema com corrente pulsada,

conforme se mostra na Figura 5.19. Como consequência essa forma de resolver o

problema necessita de um circuito electrónico mais sofisticado (Güths, 1988).

Figura 5.19 Minimização do efeito de auto-aquecimento usando uma corrente pulsada: a) corrente injectada; b) sinal em tensão detectado.

VFonte de corrente

I

Termo-resistência

fioR

fioR

fioR

fioR

V 0I ª

Tempo

Tens

ão

Tempo

Cor

rent

e

6 ms 0,2 ms

a)

b)


120

• Ponte de Wheatstone

A Ponte de Wheatstone é uma técnica muito utilizada pois necessita apenas de uma

fonte de tensão, que é mais simples que uma fonte de corrente. Consideremos o caso da

ligação em três pontos, conforme se ilustra na Figura 5.20. O efeito da variação da

resistência do cabo pode ser minimizado, com o custo do cabo adicional B.

A tensão de saída, V , da ponte depende da relação entres os valores das

resistências e da tensão de alimentação, e , e é dada por

1 2 3

1 11 1

VR R R R

eÊ ˆ

= -Á ˜+ +Ë ¯ (5.18)

Da expressão anterior podemos escrever

( )( )( )( )

3 3 1 2

1 2 1 2

11

R R V R RR

R R V R Ree

- +=

+ + (5.19)

Figura 5.20 Ponte de Wheatstone com resistência de três fios.

5.3.2 Termístores

5.3.2.1 Constituição

Como já foi dito os termístores são resistências sensíveis à temperatura, construídas

em material semicondutor. Como material semicondutor utilizam-se os óxidos de níquel,

de cobalto e de manganês, e sulfatos de ferro, de alumínio e de cobre, e ainda, para

aumentar a estabilidade, misturas de outros óxidos.

Fonte de tensão

Termo-resistência

1R

2R

3R

R

V e A B

C


121

Os primeiros termístores foram feitos de óxido de manganês, níquel e cobalto,

moídos e misturados em proporções apropriadas e prensados.

Figura 5.21 Exemplos de termístores.

5.3.2.2 Características

Existem basicamente dois tipos de termístores, os NTC (do inglês Negative

Temperature Coefficient), termístores cujo coeficiente de variação de resistência com a

temperatura é negativo: a resistência diminui com o aumento da temperatura de forma

exponencial. Os PTC (do inglês Positive Temperature Coefficient) são termístores cujo

coeficiente de variação de resistência com a temperatura é positivo: a resistência aumenta

com o aumento da temperatura.

A gama de medida de um termístor é mais reduzida do que a de uma termo-

resistência ( 100 ºC- a 300 ºC). Para um termístor a variação da resistência com a

temperatura é elevada, sendo a sua relação não linear.

A resistência em função da temperatura para um termístor NTC é dada por:

0

1 1

0T TR R e

bÊ ˆ

-Á ˜Ë ¯= (5.20)

onde : R - resistência do termístor à temperatura absoluta T (W ),

0R - resistência do termístor à temperatura de referência 0T (W ),

T e 0T - temperaturas absolutas ( K ),

b - parâmetro característico do termístor, dependente da sua composição ( K ).

O parâmetro b toma valores compreendidos entre 3000 K e 5000 K. Para gamas

de funcionamento restritas pode considerar-se constante. A temperatura de referência,

0T , é geralmente tomada a 298 K ( 25ºC ).


122

Uma aplicação corrente a nível industrial é a medição de temperatura (em motores,

por exemplo), pois podemos com o termístor obter uma variação da sua resistência

eléctrica em função da temperatura a que este se encontra.

Os termístores PTC são muito não-lineares e são usados apenas para protecção

contra sobreaquecimento, limitando a corrente eléctrica quando determinada temperatura

é ultrapassada.

A sensibilidade de um termístor é definida pela relação ente a variação relativa da

resistência e a correspondente variação de temperatura que lhe deu origem.

1 dRSR dT

= (5.21)

Efectuando este cálculo usando para ( )R T a função dada por (5.20) obtém-se

2STb= - (5.22)

A título de exemplo, para um termístor com β = 4000 K e para T = 300 K (~26 ºC)

a sensibilidade tem o valor 10,044K-- . Comparando este valor com a sensibilidade da

termo-resistência de platina constata-se que a sensibilidade de um termístor é, em valor

absoluto, cerca de 10 vezes maior do que a sensibilidade da termo-resistência. As

elevadas sensibilidades dos termístores permitem a detecção de variações de temperatura

da ordem de 0,0005 K.

A sensibilidade varia com a temperatura o que constitui um problema, para o

resolver associa-se uma associação de resistências em paralelo, o que lineariza a variação

da resistência com a temperatura.

5.4 Termómetros de pressão de gás

Fisicamente idêntico ao termómetro de dilatação de líquido. Contudo, neste

termómetro, o volume do conjunto é constante e preenchido com um gás. A variação de

temperatura implica uma variação de pressão de acordo com a lei dos gases ideais (ver

secção 4.3.2). Este termómetro, pelas suas características, não é usado no dia-a-dia.


123

5.5 Termómetro de radiação infravermelha e visível

Pirómetros são sensores de temperatura que utilizam a radiação térmica emitida por

um corpo cuja temperatura se quer medir, não necessitam de estar em contacto físico com

o corpo emissor, não interferindo, portanto com o meio e desse modo evitando

transferências de energia na medição de temperatura, obtendo-se a temperatura real.

Estes termómetros apresentam ainda as vantagens de não ser necessário esperar que

se atinja o equilíbrio térmico entre o corpo e o termómetro, suporta medições de

temperatura elevada, pode medir a temperatura de materiais corrosivos, bem como medir

a temperatura de um sistema móvel, visto que o pirómetro não está acoplado ao corpo.

Um outro sensor de temperatura que também utiliza a radiação térmica emitida por

um corpo cuja temperatura se quer medir é a termopilha.

5.5.1 Termopilha

Uma termopilha consiste em vários elementos térmicos (termopares) colocados em

série como ilustrado na Figura 5.22.

Figura 5.22 Esquema de uma termopilha.

Numa termopilha há dois lugares característicos onde são colocadas as junções dos

elementos, sendo que um é chamado de lugar das junções quentes e o outro de lugar das

junções frias. As junções quentes da termopilha estão no centro do transdutor abaixo de

uma membrana que irá receber a radiação. As junções frias vão estar protegidas da

radiação presas a um substrato que será utilizado como massa térmica.

Abertura

Bismuto

Prata

e


124

5.5.2 Pirómetro

Os pirómetros podem ser divididos em duas classes distintas: os pirómetros de

banda larga e os pirómetros de banda estreita. Os pirómetros de banda larga baseiam-se

na lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potencia total irradiada por um corpo, P ,

com a temperatura absoluta a que ele se encontra, T , a área da superfície de emissora,

A , e a sua emissividade, e . Como vimos no Capítulo 3, esta lei expressa-se por 4P e ATs= , onde s é a constante universal de Stefan-Boltmann, cujo valor é

8 2 45,6704 10 W m Ks - - -= ¥ . Pode portanto fazer-se medições de temperatura a partir

de medições de energia emitida pelo corpo.

Os pirómetros são calibrados em relação a um corpo negro, onde a energia

irradiada é máxima ( 1e = ). Quando a medição é realizada num corpo com emissividade

diferente da do corpo negro deve-se empregar um factor de correcção. Para isso deve-se

conhecer a emissividade do corpo cuja temperatura se quer medir, o que é um factor de

incerteza visto que depende por exemplo do estado da superfície e da temperatura entre

outros. Outro factor de incerteza diz respeito à influência dos corpos vizinhos, a radiação

emitida por um corpo vizinho pode vir a ser reflectida na superfície do corpo cuja

temperatura queremos medir e atingir o sensor, influenciando o resultado.

A Figura 5.23 refere-se à patente do primeiro pirómetro de banda estreita, atribuída

a Samuel Morse em 1899 (www.zytemp.com).

Figura 5.23 Ilustração do primeiro pirómetro patenteado.


125

5.5.2.1 Pirómetros ópticos (Banda estreita)

O pirómetro de banda estreita clássico é o chamado pirómetro óptico, ilustrado

esquematicamente na Figura 5.24 A, e é usado para medir temperaturas de 700 ºC a

4000 ºC, onde parte significativa da energia é radiada na zona visível do espectro

electromagnético. Usa um método comparativo. A energia emitida pelo corpo incide

numa lente objectiva e é focada no filamento de uma lâmpada de incandescência. Se a

temperatura do corpo exceder os 1300 ºC, é usado um filtro de absorção entre a lente

objectiva e a lâmpada. A energia radiante que provem do corpo e do filamento da

lâmpada passa por um filtro vermelho com uma frequência de corte de cerca de 12470 10 Hz¥ . A radiação transmitida através do filtro é captada por outra lente objectiva

e focada para ser vista pelo observador através de uma lente ocular (Fialho, 2007).

Figura 5.24 A – Esquema de um pirómetro óptico. B – Observação.

Se a corrente da lâmpada estiver desligada, o observador vai ver um filamento

negro num plano de fundo de cor clara. Ao aumentar a corrente da lâmpada, chega-se a

um ponto em que há a sensação de que o filamento desaparece, já que a radiação por ele

emitida na frequência do filtro vermelho tem a mesma intensidade da radiação emitida

pelo corpo. Ao aumentar ainda mais a corrente da lâmpada o filamento começa a adquirir

uma cor mais clara sobre um plano de fundo de cor mais escura, tal como mostra a

Figura 5.24 B.

Na condição em que o filamento deixa de ser visível, a corrente requerida para

produzir o seu brilho é medida e usada para estabelecer a temperatura do corpo quente.

B

A


126

Os principais problemas deste pirómetro são:

- Só funciona para temperaturas em que o corpo emite radiação considerável no

espectro visível.

- Só mede correctamente a temperatura de corpos negros, isto é, corpos cuja

superfície tenha emissividade igual a 1. Para todos os outros o aparelho necessita de

calibração. Como é sabido, a radiação emitida por um corpo é menor do que a que emite

um corpo negro à mesma temperatura.

Se for conhecida a energia radiada por um corpo e o valor da emissividade da sua

superfície, pode-se calcular a energia radiada por um corpo negro à mesma temperatura e

no mesmo comprimento de onda. Depois basta usar a lei de Planck que relaciona a

energia emitida por um corpo negro com o comprimento de onda e com a temperatura.

Caso não seja conhecida a emissividade da superfície do corpo, podem ser usados

alguns “truques” para se chegar ao valor da temperatura: Uma porção do corpo pode ser

pintada de negro ou coberta por uma cerâmica negra para que a sua emissividade seja

próxima de 1. Para temperaturas muito altas, em que não é possível pintar a superfície,

pode ser feito um furo com uma relação profundidade/diâmetro de seis ou mais. Este furo

liga o interior de uma cavidade com o exterior, portanto actua como corpo negro e se o

pirómetro óptico for focado no seu interior, a temperatura do corpo pode ser medida com

grande precisão.

Para resolver o problema da dependência da medição de temperatura de um corpo

com a sua emissividade, o pirómetro pode ser concebido como se ilustra na Figura 5.25.

Neste aparelho existem dois sensores que recebem radiação de diferentes

comprimentos de onda (de cor diferente, portanto). A radiação proveniente do corpo é

focada por uma lente objectiva, sendo depois dividida para os dois sensores por um

divisor de feixe dicróico. Este divisor de feixe (espelho quente/frio) reflecte/transmite a

radiação de comprimento de onda maior e transmite/reflecte a radiação de comprimento

de onda menor.

Figura 5.25 Esquema de um pirómetro independente da emissividade.

Sensor 1

Sensor 2 Lente

Divisor de feixe

Corpo


127

Supondo que o valor da emissividade do corpo é o mesmo para os dois

comprimentos de onda, o gráfico da radiância espectral do corpo negro (Figura 3.17),

mostra que os valores lidos pelos dois sensores vão ser os do gráfico multiplicados por

uma constante menor do que um (emissividade). A partir deste princípio, pelo valor

relativo medido pelos dois sensores é possível calcular a temperatura do corpo. Assim,

em termos qualitativos, olhando para a Figura 5.26 caso o valor medido pelo sensor 1

seja maior do que o valor medido pelo sensor 2, então a temperatura é baixa. Se a medida

dos dois sensores for igual, então a temperatura é média. Se a medida do sensor 2 for

maior do que a do sensor 1 então a temperatura é alta.

Figura 5.26 Frequências utilizadas pelo pirómetro de duas cores.

De certo modo, o efeito da emissividade é compensado, não totalmente já que,

como foi visto antes, a emissividade não é rigorosamente constante, mas dependente do

comprimento de onda.

A principal diferença em relação ao pirómetro clássico é que este usa, em vez do

valor absoluto da energia absorvida pelo sensor, a razão entre as energias recebidas pelos

dois sensores a comprimentos de onda diferentes.

5.5.2.2 Pirómetro de infravermelhos (Banda larga)

Para temperaturas abaixo dos 700 ºC, as radiações emitidas pelo corpo estão

concentradas na região do infravermelho e não são visíveis para o olho humano, não

sendo por isso possível usar o pirómetro óptico. Então neste caso usa-se o pirómetro de

Sensor 1Sensor 2


128

infravermelhos, que usa um sensor que mede a intensidade da radiação proveniente do

corpo.

A Figura 5.27 mostra o esquema de um pirómetro de infravermelhos. Uma lente

capta a radiação infravermelha emitida pela superfície incluída na sua área de focagem.

A radiação é depois reflectida pelo espelho parabólico e focada no sensor. Como sensor

pode ser usado uma termopilha, uma resistência de platina ou um sensor de efeito

fotoeléctrico. A tensão de saída do sensor é uma medida directa da radiação absorvida

por ele. Se se conhecer a quantidade de radiação absorvida pelo sensor, usando a lei de

Planck, pode-se calcular a temperatura da superfície do corpo.

Figura 5.27 Pirómetro de radiação infravermelha.

Para este pirómetro, as dimensões do corpo e a distância deste à lente são críticos.

O campo de visão do pirómetro de infravermelhos depende da distância focal e do

diâmetro da lente. O sistema óptico do aparelho capta toda a radiação proveniente dos

objectos que estão no seu campo de visão, e a medida dada por ele representa a média

das temperaturas desses mesmos objectos.

A maioria dos pirómetros tem uma lente de distância focal fixa que define o seu

campo de visão. Este campo de visão é expresso normalmente em termos de uma relação

d D em que d representa a distância da lente ao objecto e D o diâmetro do campo de

visão na posição d.

Os pirómetros de infravermelhos de uso geral usam lentes com distâncias focais

entre 0,5 m e 1,5 m. Também existem os instrumentos de foco curto que usam lentes com

distâncias focais entre 10 mm e 100 mm e os de foco longo que usam lentes com

distâncias focais de 10 m ou mais.


129

Outro problema do pirómetro de infravermelhos é que, tal como o pirómetro

óptico, a sua medida depende da emissividade da superfície do corpo sobre o qual a

temperatura é medida. Como as superfícies têm emissividade menor do que um, a

radiação emitida por elas é menor do que a prevista na lei de Planck e o instrumento vai

dar uma leitura menor do que a temperatura real da superfície. Os fabricantes deste tipo

de instrumentos corrigem o erro da emissividade instalando-lhes um compensador de

emissividade. O compensador de emissividade não é mais do que um ajuste de ganho do

amplificador que amplifica o sinal do sensor.

Este ajuste de ganho também pode ser usado para compensar perdas na transmissão

quando a radiação tem que atravessar vidros, plásticos, fumos, poeiras, vapores, etc.

Como alternativa ao compensador de emissividade, também se utiliza a divisão do

feixe em dois comprimentos de onda.

Tipicamente, estes aparelhos cobrem a gama de temperaturas de 20 ºC- a 1000 ºC,

a sua emissividade pode ser ajustada de 0,1 a 1 e conseguem ler até dez temperaturas por

segundo, no caso de o sensor ser do tipo termopilha (que é o mais comum).

O detector de radiação deve ser mantido a uma temperatura muito baixa, para que a

intensidade de radiação absorvida seja maior. Em casos especiais é necessário arrefecer o

detector com azoto líquido.

A Figura 5.28 mostra exemplos de alguns pirómetros comerciais de radiação

infravermelha.

Figura 5.28 Exemplos de pirómetros de radiação infravermelha.

5.6 Outros termómetros e algumas curiosidades

A temperatura relaciona-se com infindáveis fenómenos físicos que permitem

construir os mais variados termómetros, alguns deles constituem apenas curiosidades,

outros tem mesmo aplicações práticas no sentido de tornar a vida do dia-a-dia mais

expedita a ponto de o utilizador não se aperceber dos fenómenos e princípios subjacentes

pois a medição de temperatura torna-se algo bastante difundido.


130

Esta diversidade poderia constituir um estudo bastante alargado. Contudo apenas se

apresentam algumas formas de medir temperatura que não foram estudadas em detalhe e

que, pelos seus campos de aplicação, têm muita importância em diversas áreas.

Apresentam-se igualmente algumas curiosidades relacionadas com a medição de

temperatura.

5.6.1 Termómetros baseados em cristais líquidos

Os cristais líquidos proporcionam a criação de termómetros de fácil utilização

que se adaptam à medição de temperatura nas mais diversas situações do dia-a-dia

tornando-se não só práticos como lúdicos, sendo também atracções comerciais. São as

propriedades na sua fase colestérica que permitem o seu uso como termómetros. Nestes

cristais líquidos as moléculas estão dispostas em hélice (Figura 5.29) e a cor destes

depende de quão apertada ela está. A hélice fica mais apertada à medida que a

temperatura aumenta (Bechtold, 2005; Martins, 1991).

Figura 5.29 Moléculas de cristais líquidos dispostas em hélice.

Figura 5.30 Anéis de humor feitos de cristais líquidos.

As tiras da figura seguinte são fabricadas com cristal líquido que, calibrado a

diferentes temperaturas e impresso sobre papel auto-adesivo actua como um termómetro

convencional, a temperatura a medir aparece sobre tom verde sobre um fundo negro.


131

Figura 5.31 Tiras termométricas de cristais líquidos.

Em alguns utensílios de cozinha, como frigideiras e panelas incorporam um

indicador de temperatura sob a forma de um círculo que muda de cor indicando a

temperatura adequada de utilização.

As tintas termo-sensíveis têm também várias aplicações

termométricas sendo a sua principal característica a mudança de

cor quando sujeitas a variações de temperatura. Por exemplo,

são usadas em dispositivos de segurança (indicadores de

elevada temperatura), nas notas da lotaria, em artigos variados

comerciais, entre outros.

5.6.2 Termómetros baseados em díodos

A introdução de componentes electrónicos

permite concentrar o dispositivo sensor e a

electrónica de processamento num único circuito

integrado, possibilitando termómetros electrónicos

de baixo custo. São exemplos os integrados LM35 ( )10mV K e 590 KH ( )1μA K . De

entre os dispositivos sensores salienta-se os díodos que são elementos semicondutores

cujas características eléctricas dependem da temperatura, permitindo assim o seu uso

como sensor.


132

A variação da corrente do díodo semicondutor com a tensão aos seus terminais tem

uma forma aproximadamente exponencial: em boa aproximação a corrente I é dada por:

( )s 1TV VI I e= - com TV k T qh= (5.23)

onde k é a constante de Boltzmann, T a temperatura absoluta, q a carga do electrão, V a

tensão aos terminais do díodo, e h o factor de idealidade. sI é designada por corrente de

saturação (corrente máxima com polarização inversa). À temperatura ambiente (300 K)

25mVTV ª (w3.ualg.pt/~jmariano/introelec/iae_diodos.pdf).

Para utilização como termómetros, os díodos são polarizados directamente com

uma corrente constante, tipicamente da ordem de 10μA , sendo a queda de tensão nos

seus terminais função da temperatura, aumentando quando a temperatura baixa.

Figura 5.32 Tensão eléctrica nos terminais de um díodo de Silício polarizado directamente com uma corrente de 10 μA em função da temperatura (www.lakeshore.com/temp/sen/sd670_po.html).

Para utilização a baixas temperaturas na presença de campos magnéticos, surgiu

recentemente (www.lakeshore.com/temp/sen/sd670_po.html) uma alternativa aos díodos

através de termómetros baseados na resistência de cerâmicas especiais, como por

exemplo a CernoxTM.

Temperatura / K

Tens

ão /

V


133

5.6.3 Termómetro decorativo de Galileu

Outro termómetro interessante é o termómetro chamado de

Galileu, como se mostra na Figura ao lado. Tal termómetro consiste

num tubo de vidro selado, preenchido com água e várias bolhas

flutuantes. As bolhas são esferas de vidro onde se colocou uma

certa quantidade de uma mistura líquida colorida. A cada bolha foi

adicionado uma pequena etiqueta de metal onde está gravado um

número correspondente a uma temperatura. Essas etiquetas são

massas calibradas para que a densidade média das bolhas mais

massas difira ligeiramente uma das outras, sendo a densidade de

todas elas próxima da da água onde estão inseridas.

O princípio de funcionamento é o princípio de Arquimedes,

em que o sistema, bolha e massa marcada, está sujeito à acção de

duas forças: o peso e a impulsão da água. Variando a temperatura

da água dentro do termómetro varia a sua densidade, sendo esta a propriedade

termométrica. Assim cada sistema (bolha e massa marcada que lhe está associada) vai

ocupar níveis diferentes no seio da água. O sistema que estiver a um nível inferior

relativo indica a temperatura aproximada (http://ciencia.hsw.uol.com.br/questao663.htm).

5.6.4 Inferência de temperaturas atmosféricas passadas

Ilha Signy

Num tempo de alterações climáticas, há certos fenómenos geofísicos que nos

indicam as variações de temperatura que estão a ocorrer a nível global. A título de

exemplo, a Ilha Signy, próxima à Antártida, está a ser considerada um termómetro das

mudanças ambientais. As mudanças do clima são percebidas pelo derreter da fina calote

de gelo dos lagos. Nos últimos 20 anos, a temperatura média subiu 1,8 ºC.

Uvas pinot noir

Um outro caso interessante é a determinação indirecta da

temperatura usando o ciclo de vida das uvas pinot noir, constituindo

um termómetro para determinar as mudanças climáticas entre o fim

da Idade Média e o presente (Chuine et al, 2004). Foi possível

determinar como foi o verão em, por exemplo, 1500 sem dispor de

medidas directas das temperaturas da época.


134

As uvas pinot noir são plantadas na região de Borgonha, na França, desde a Idade

Média e a data exacta do início de sua colheita tem sido registada fielmente nas

municipalidades e igrejas. Em cada ano a colheita era determinada por decreto, de modo

a garantir que as uvas fossem colhidas apenas quando estavam prontas para a produção

de vinho. Usando as datas de início de colheita, os cientistas determinaram a temperatura

média dos verões entre 1370 e 2003. Para isso tiveram que entender a relação entre a

velocidade de amadurecimento das uvas e a temperatura. Usaram as temperaturas

fornecidas pelo serviço de meteorologia entre 1964 e 2001, correlacionando-as com as

datas em que a pinot noir floresce, amadurece e finalmente é colhida. Com os dados

recolhidos construíram uma equação que relaciona a temperatura média da primavera e

do verão com a data do início da colheita. Utilizando-a juntamente com a data da colheita

das uvas calculam a temperatura média de cada verão.

Anéis de árvores

Muitas árvores produzem um anel por

ano, devido ao rápido crescimento na Primavera

e no Verão e ao pouco crescimento no Outono e

no Inverno.

Um ano mais quente resulta em um anel

mais largo. Os padrões na largura, densidade da

madeira e composição isotópica do hidrogénio

e oxigénio dos anéis das árvores podem ser utilizados para estimar a temperatura

(www.seed.slb.com/pt/scictr/watch/climate_change/causes_co2.htm).

Corais

Os corais têm esqueletos de carbonato de cálcio

(CaCO3) duro. Alguns corais, à medida que crescem,

formam anéis anuais de carbonato de cálcio que podem

ser usados para estimar temperaturas. Quando a

temperatura do mar é quente, o coral crescerá mais

rápido que se a temperatura for fria, portanto, anos mais

quentes formarão anéis de crescimento mais largos e

anos mais frios criarão anéis mais finos. Isótopos de

oxigénio contidos no carbonato de cálcio também podem

ser usados para estimar a temperatura da água quando o

coral cresceu (www.seed.slb.com/pt/scictr/watch/climate_change/causes_co2.htm).


135

Núcleos de gelo

O gelo nos pólos foi acumulado durante centenas de

milhares de anos e contém informação sobre o clima e em

particular sobre a temperatura. Retirando núcleos de gelo a

elevadas profundidades podemos estudar certas

propriedades do passado. Na estação de Vostok na

Antárctica foi retirado um núcleo com 2083 metros de

comprimentos, trazido em partes de 1970 a 1974 e de 1982 a

1983. O gelo na parte inferior do núcleo tem quase 500 000

anos (www.seed.slb.com/pt/scictr/watch/climate_change/causes_co2.htm).

Observações durante períodos em que a temperatura também era conhecida

levaram a uma relação entre a concentração de deutério (isótopo do hidrogénio que

constitui a água) e a temperatura ambiente. Com base nessa relação, o estudo das

sucessivas camadas de gelo permite estimar a temperatura do passado.

O gelo também contém pó e ar antigos, que a sua análise permite inferir,

respectivamente, a existência de importantes erupções vulcânicas e as concentrações de

gases, tais como a de CO2.

Sedimentos de oceanos e lagos

Os rios retiram, continuamente, lama e areia da terra para lagos, mares e oceanos,

onde a lama pára para formar camadas de sedimentos. Os núcleos perfurados nesses

sedimentos podem revelar pequenos fósseis e produtos químicos que podem ajudar na

interpretação dos climas passados. Os grãos de pólen são muito duros e, portanto, são

geralmente bem preservados em camadas de sedimentos. Cada tipo de planta produz

grãos de pólen de diferentes formatos. Análises de grãos de pólen podem revelar quais

tipos de plantas que existiam na proximidade do local onde foi retirado o sedimento,

dando uma ideia de como seria o clima.

(www.seed.slb.com/pt/scictr/watch/climate_change/causes_co2.htm)


136

5.6.5 Determinação da temperatura do interior da Terra e de formação das rochas

Os Geofísicos Michael Gillan, Dario Alfé e Geoffrey

Pricein desenvolveram um método de cálculo computacional

para determinar a temperatura de ferro sujeito a uma pressão

muito elevada, tal como a que existe no centro da Terra. Com

essa simulação chegou-se ao valor de 6400 ºC para a

temperatura no núcleo da Terra se ele fosse composto apenas

por ferro. Contudo o núcleo contém cerca de 10% de materiais mais leves, pelo que a sua

temperatura será inferior ao determinado (Bukowinski, 1999).

Na Geologia estuda-se a temperatura de formação das rochas principalmente por

dois métodos, inclusões fluidas e da estequiometria de certos minerais existentes nas

rochas (Kornprobst, 1994).

5.6.6 Curiosidades

A primeira curiosidade está ilustrada no cartoon da figura: o ovo como termómetro

(http://oldmail.if.uff.br/ensino/Atividade%201_Temperatura.pdf).

Os grilos são um termómetro natural, pois permitem ter

uma ideia da temperatura ambiente. Ao fim de tarde, eles

cantam com uma frequência maior do que à noite, por esta ser

mais fresca, ou seja, o seu canto é muito mais lento. Esta

observação foi quantificada e publicada pela primeira vez em

1897 pelo inventor americano Amos Dolbear, num artigo

chamado “O grilo como termómetro”, que forneceu a fórmula

empírica ( )10 40 7Nq = + - , conhecida como lei de Dolbear (dá uma temperatura

aproximada da temperatura ambiente) (Dolbear, 1897).


137

Na fórmula, N é o número de vezes que os grilos cantam durante um minuto, q a

temperatura ambiente em graus Celsius. Por exemplo, se os grilos cantarem a uma taxa

de 110 vezes por minuto, a temperatura será de 20 ºC.

O maior termómetro do mundo com 134

pés (40,8 m) de altura situado em Baker na

Califórnia. O termómetro regista regularmente

temperaturas superiores a 100 graus Fahrenheit

no Verão. A sua altura está de acordo com o

facto de se observarem no local as temperaturas

mais elevadas nos Estados Unidos: 134 graus

Fahrenheit (57 ºC) em 1913 (www.roadtripamerica.com/roadside/Baker-Thermometer.htm).

139


6.1 Calibração de um TRP23 (Pt-100)24

6.1.1 Introdução

Uma das características fundamentais de qualquer instrumento de medição é a sua

rastreabilidade. Este conceito refere-se à possibilidade de seguir uma cadeia

metrológica, constituída por sucessivas calibrações, até chegarmos ao padrão primário

internacional que define directa ou indirectamente a grandeza a medir.

Como foi já referido, a calibração consiste na comparação de um instrumento com

outro de maior precisão tomado como padrão que por sua vez foi calibrado à custa de um

outro padrão de ordem superior e assim sucessivamente.

No contexto deste trabalho foi feita a calibração de um Pt-100 com o objectivo não

só de compreender a importância e a necessidade de calibração como elo de uma cadeia

metrológica como também de usar o Pt-100 calibrado num estudo de calibração e

comparação de diversos termómetros.

O processo de calibração exige um padrão rastreado e teve que ser feito num

laboratório de metrologia de temperaturas acreditado. O laboratório onde foi realizada a

calibração foi o Laboratório de Metrologia da Temperatura do Instituto Electrotécnico

Português (IEP). Para termos uma ideia dos laboratórios existentes em Portugal

competentes para realizarem calibrações de termómetros, apresentamos no Anexo A3 os

laboratórios nacionais acreditados.

23 TRP é a sigla para Termómetro de Resistência de Platina. Na língua inglesa a sigla é PRT

(Platinum Resistence Thermometer). 24 Pt-100 designa um TRP com uma resistência nominal de 100 Ω a 0 ºC.


140

6.1.2 Resultado da calibração

O termómetro que foi calibrado consistiu num Pt-100 associado a um multímetro

HP 34401A, nº US36017967, Ref. 020991.

A calibração, em cinco pontos, foi realizada segundo a norma CEI 751 com

0 100,046R = W e conforme o procedimento PC/061. O padrão utilizado foi um TRP

LMT/704, rastreado ao IPQ25. Foi emitido o certificado de calibração em 2007-03-14,

com o nº M-2007-0345, conforme se apresenta em Anexo A1.

Do certificado de calibração apresentamos os resultados na Tabela 6.1.

Multímetro HP 34401

Resistência medida em

W

Temperatura equivalente em º C

(CEI 751)

Temperatura lida no padrão em º C

(TRP LMT/704)

Incerteza em º C

Erro em

º C

87,961 -30,76 -30,86 ± 0,11 +0,10

100,046 0,00 0,00 ± 0,10 0,00

117,311 44,45 44,58 ± 0,10 -0,13

134,507 89,31 89,62 ± 0,11 -0,31

149,606 129,22 129,72 ± 0,11 -0,50 Tabela 6.1 Resultados da calibração do PRT Pt-100 (norma CEI 751).

Segundo a norma CEI 751, a relação entre a resistência do TRP com a temperatura

é estabelecida pela equação

( )2 2

0 1 100R R A B Cq q q q qÈ ˘= + + + -Î ˚ (6.1)

onde Rq é a resistência do termómetro à temperatura º Cq , 0R é a resistência do

termómetro a 0 º C e A , B e C são coeficientes determinados por calibração. Para o

intervalo de temperaturas 200 º C 0º Cq- < < os coeficientes são dados por

3 1

7 2

12 3

3,90830 10 ºC

200 º C 0º C 5,77500 10 ºC

4,18301 10 ºC

A

B

C

q

- -

- -

- -

Ï = ¥Ô

- < < = - ¥ÌÔ = - ¥ÔÓ

(6.2)

25 IPQ – Instituto Português da Qualidade


141

e no intervalo de temperaturas 0 º C 850 º Cq< < os coeficientes A , B são os mesmos

que anteriormente e C é zero,

3 1

7 2

3,90830 10 ºC

0º C 850 º C 5,77500 10 ºC0

A

BC

q

- -

- -

Ï = ¥Ô

< < = - ¥ÌÔ =ÔÓ

(6.3)

A norma estabelece também duas classes de precisão correspondentes a tolerâncias

aceitáveis. A classe A com tolerância ( )0,15 0,002q± + e a classe B com tolerância

( )0,3 0,005q± + . Da calibração, concluímos que o TRP em causa corresponde a um

termómetro classe B.

O TRP mais usado apresenta um valor nominal de 100W a 0 º C . Contudo existem

TRPs que apresentam a 0 º C resistências de 500W e 1000W , tendo como vantagem

principal a maior sensibilidade. Como comparação, apresentam-se na Tabela seguinte as

sensibilidades nominais dos TRP Pt-100, Pt-500 e Pt-1000.

Sensibilidade média dos diferentes TRP

Pt-100 10,385 K-W

Pt-500 11,925 K-W

Pt-1000 13,850 K-W

Tabela 6.2 Sensibilidades médias dos TRP: Pt-100, Pt-500 e Pt-1000

(www.loreme.fr).

6.1.3 Curvas de ajuste dos pontos de calibração

Com os pontos de calibração calculámos o ajuste quadrático e cúbico, ( )R q ,

conforme se apresenta na Figura 6.1.

Como se observa, a resistência de platina tem um excelente comportamento linear

com a temperatura. O ajuste cúbico permite, contudo, uma maior precisão na

determinação da temperatura. Para valores positivos de temperatura, segundo a norma

CEI 751 é suficiente um ajuste quadrático, que se apresenta na Figura 6.2.


142

Figura 6.1 Funções termométricas ( ) 0R Rq obtidas por ajuste quadrático e cúbico dos cinco pontos de calibração.

Figura 6.2 Função termométrica ( ) 0R Rq obtida por ajuste quadrático e cúbico dos quatro pontos de calibração correspondentes a temperaturas positivas (incluindo o zero).

Para efeitos de utilização do TRP Pt-100 calibrado como padrão na actividade de

comparação e calibração de diversos termómetros, é conveniente fazermos o ajuste

cúbico da função inversa de ( )R q , obtendo-se assim a função ( )Rq , conforme se

apresenta na Figura 6.3.


143

Figura 6.3 Temperatura em função da resistência, ( )Rq , para o TRP Pt-100 calibrado.

Os valores de temperatura dados pela função de ajuste ( )Rq , correspondentes aos

valores de resistência medidos, são os que vão ser utilizados no trabalho de

intercomparação e calibração dos vários termómetros.

6.2 Comparação e calibração de diversos termómetros

6.2.1 Equipamento experimental utilizado

6.2.1.1 Dispositivo construído

Foi construído na oficina do Departamento de Física da FCUP um dispositivo

constituído por um bloco em cobre onde são integrados diversos termómetros. A

variação de temperatura era produzida por um elemento peltier colocado na base do

bloco de cobre. A Figura 6.4 mostra duas fotografias da montagem experimental com o

referido dispositivo. O bloco é montado num dissipador de alumínio com uma ventoinha,

cujo efeito é garantir uma temperatura uniforme na base do elemento peltier. A parte

superior do bloco está protegida termicamente por uma placa de material acrílico.

Durante a actividade experimental todo o sistema é envolvido em algodão em rama para

o isolar termicamente do exterior.


144

Figura 6.4 Dispositivo constituído por um bloco de cobre e um elemento

peltier onde foram incorporados os diversos termómetros a comparar.

6.2.1.2 Termómetros e instrumentos de leitura

Procedeu-se à inter-comparação das medições de temperatura de sete termómetros:

um TRP Pt-100, dois termopares, dois termístores, um termómetro de mercúrio e uma

rede de Bragg em fibra óptica. Como o TRP Pt-100 foi previamente calibrado, este

termómetro serviu como padrão, permitindo a calibração dos restantes.

As referências e algumas características nominais dos termómetros utilizados, bem

como do equipamento de leitura, estão resumidas a seguir:

• Termómetro de mercúrio

Gama de temperaturas: de 20ºC- a 110ºC+

Resolução: escala graduada em 1ºC

• Termopar 1

Tipo K (Cromel/Alumel)

Medidor de temperatura Metrix TH3050

• Termopar 2

Tipo T (Cobre/Constantan)

Sensibilidade: 140μV ºC-

Microvoltímetro Thurlby 1905A, 200 mV, 5 1/2 dígitos


145

• Termopar 3

Tipo T (Cobre/Constantan)

Construído no Instituto de Física dos Materiais da Universidade do Porto (IFIMUP)

Microvoltímetro Thurlby 1905A, 200 mV, 5 1/2 dígitos

• Termístor 1

Código RS 151-221 com curva R-T ajustada com 5kW a 25ºC .

Gama de temperaturas: de 80ºC- a 150ºC+ ; 3914Kb =

Instrumento de leitura: Univolt DT-64, 2 kΩ e 20 kΩ

• Termístor 2

Código RS 256-045 (Ref. GM103) com resistência nominal de 10kW a 25ºC

Gama de temperaturas: de 10ºC+ a 100ºC+ ; 3555Kb =

Instrumento de leitura: Datron 1059, 100 kΩ

• TRP Pt-100 4 fios (calibrado) (Modelo da RS 158-985, Labfacility)

Instrumento de leitura: HP 34401A, medição em 4R

• Rede de Bragg

Fibra óptica SMF28

Rede de valor nominal de reflexão a 1535 nm.

Analisador de Espectros Óptico (OSA) da FiberSensing.

6.2.2 Procedimento experimental

Fez-se a montagem dos termómetros no bloco de cobre, tendo-se usado massa

térmica para estabelecer um bom contacto térmico entre cada termómetro e o bloco de

cobre. Ligou-se seguidamente os termómetros aos respectivos aparelhos de medição, que

foram ligados e deixados estabilizar electrónica e termicamente durante uma hora.

A variação da temperatura do bloco foi controlada através do elemento peltier de

forma muito lenta para garantir estabilidade na temperatura e o equilíbrio térmico entre

todos os termómetros. O dissipador e a ventoinha incluídas no dispositivo facilitam a

manutenção de uma temperatura estável na base do peltier por dissipação de energia (ou

fornecimento de energia) do ambiente. Como já foi referido, durante as medições todo o

sistema foi isolado termicamente com algodão em rama.

Esta actividade é bastante demorada, pois requer estabilidade na temperatura e

equilíbrio térmico aquando das leituras. Como critério para o equilíbrio térmico, as

leituras eram tomadas quando todos os instrumentos mantinham os mesmos valores


146

durante um certo intervalo de tempo, considerado adequado. O equilíbrio térmico, após

alguma prática, era obtido actuando na potência fornecida ao Peltier, induzindo

oscilações de temperatura, de amplitude sucessivamente menores, possibilitando uma

estabilização mais rápida.

6.2.3 Resultados da inter-comparação

Foram registados os valores lidos das grandezas termométricas para os diversos

termómetros, para equilíbrios térmicos diferentes, com vista à sua caracterização.

Relativamente à rede de Bragg, foi necessário repetir a experiência, apenas com a

rede de Bragg e o TRP Pt-100, na sua totalidade porque a fibra óptica se partiu (devido à

protecção exterior utilizada se ter dobrado).

6.2.4 Análise dos resultados

Tomando a temperatura do TRP Pt-100 como referência, determinou-se, para cada

termómetro, a função termométrica e os erros na temperatura por eles dada.

A temperatura de referência é determinada a partir do ajuste cúbico dos pontos de

calibração, que foi apresentado no gráfico da Figura 6.3, e é dado pela expressão

4 2 6 3

Pt Pt Pt248, 45686 2, 41822 4,88091 10 1,63458 10R R Rq - -= - + + ¥ + ¥ (6.4)

6.2.4.1 Caracterização e calibração dos termopares

O termopar 1 (tipo K) estava associado ao medidor de temperatura Metrix TH3050,

obtendo-se directamente uma leitura em ºC. Com o propósito de comparação, a função

( )termoparq versus ( )Pt-100q foi obtida por ajuste linear e cúbico, conforme se mostra

no gráfico da Figura 6.5.


147

Figura 6.5 Funções termométricas obtidas por ajuste linear e cúbico dos

pontos experimentais para o termopar 1.

Apesar do bom comportamento linear deste termopar, o ajuste cúbico apresenta um

melhor valor para o coeficiente de correlação e deverá ser usado para obtermos menores

incertezas nas medições.

Para avaliar a importância da calibração do termómetro e da escolha da curva de

ajuste mais adequada determinou-se os erros em relação à temperatura do Pt-100

considerando os valores lidos, sem qualquer ajuste, com um ajuste linear e com um ajuste

cúbico. Os ajustes fazem parte do processo de calibração.

Para calcular os erros, foi necessário obter os ajustes correspondentes às funções

inversas das apresentadas no gráfico da Figura 6.5, que são

90 tp10,95933 0,99475T q= + (6.5)

4 2 6 390 tp1 tp1 tp10,55149 1,01106 3,8191 10 6,11873 10T q q q- -= + + ¥ - ¥ (6.6)

sendo tp1q a temperatura lida directamente no aparelho de leitura ligado ao termopar 1 e

90T a temperatura correspondente na escala ITS-90.

Os erros determinados apresentam-se no gráfico da Figura 6.6. É de salientar que

considerando o ajuste cúbico na calibração deste termopar os valores dos erros na gama

de temperaturas considerada estão dentro do intervalo de 0,2 ºC- a 0,2 ºC+ , com a

excepção de um ponto. Comparando o ajuste linear com o ajuste cúbico, é claro que

apenas este último é adequado no processo de calibração, porque permite a utilização do


148

termopar com incertezas muito menores que as incertezas associadas ao termopar não

calibrado.

Figura 6.6 Erros na utilização do termopar 1 calibrado (ajustes linear e

cúbico) e não calibrado (pontos experimentais).

No caso do termopar 2, não obtemos directamente leituras em unidades de

temperatura, mas em tensão termoeléctrica. Este termopar é teoricamente do tipo T e

estava associado ao multímetro Thurlby 1905A, fazendo-se leituras em μV . A função

( )termopare versus ( )Pt-100q foi obtida por ajuste linear e cúbico, conforme se mostra

no gráfico da Figura 6.7.

Figura 6.7 Funções termométricas obtidas por ajuste linear e cúbico dos

pontos experimentais para o termopar 2


149

A sensibilidade de um termopar do tipo T (cobre/constantan) é indicado na

literatura como sendo cerca de 140μV ºC- a 25 ºC . Contudo dos valores experimentais

obtidos verifica-se que para este termopar esse valor é cerca de 136,7μV ºC- .

Para calcular os erros, foi necessário obter os ajustes correspondentes às funções

inversas das apresentadas no gráfico da Figura 6.7, que são

90 tp20,24973 0,02771T e= + (6.7)

7 2 10 390 tp2 tp2 tp20,9297 0,02962 1,80379 10 1,06899 10T e e e- -= - + - ¥ - ¥ (6.8)

sendo tp2e a tensão termoeléctrica em μV e 90T a temperatura correspondente na escala

ITS-90.

Considerando a calibração, vemos que apenas o ajuste cúbico permite reduzir

significativamente as incertezas nas medições de temperatura com este termopar,

conforme mostra o gráfico da Figura 6.8.

Figura 6.8 Erros na utilização do termopar 2 calibrado (ajustes linear e

cúbico).

O termopar 2 foi adquirido numa empresa de equipamento didáctico e é usado nos

laboratórios do departamento de Física.

O gráfico da Figura 6.11 mostra a comparação da curva de calibração normalizada

de um termopar tipo T, obtida do NIST (National Institute of Standards and Technology),


150

com o termopar 2 e um outro do mesmo tipo construído com fios de qualidade no

IFIMUP (termopar 3). Como se pode ver do gráfico da Figura 6.10, os erros do

termopar 2 para temperaturas próximas de 100 ºC excede 12 ºC, enquanto que para o

termopar 3 os erros são cerca de 2 ºC. Estas discrepâncias, em especial a do termopar 2,

mostram claramente a necessidade de calibração para se obter resultados confiáveis e

precisos.

Figura 6.9 Comparação dos termopares 2 e 3 com a curva teórica para o

termopar tipo T (srdata.nist.gov/its90/download/type_t.tab).

Figura 6.10 Erros dos termopares 2 e 3 relativamente à curva teórica e erros

após calibração do termopar 2.


151

6.2.5 Caracterização e calibração dos termístores

Conforme já foi referido anteriormente, um termístor NTC apresenta uma

resistência eléctrica, R , que varia com a temperatura em kelvin, T , de acordo com a

expressão

00

1 1expR RT T

bÈ ˘Ê ˆ

= -Í ˙Á ˜Ë ¯Î ˚ (6.9)

onde 0R é o valor da resistência à temperatura 0T e b é um parâmetro de ajuste.

Da expressão anterior podemos obter a função inversa, ( )T R , que é dada por

( ) ( )0 0lnT

R R Tb

b=

+ (6.10)

Normalmente o valor de 0R é dado à temperatura de 25 ºC . Os valores nominais

de 0R e b para o termístor 1 são 0 5kR = W (a 25 ºC ) e 3914Kb = .

No gráfico da Figura 6.11 apresenta-se os valores experimentais e o ajuste dos

mesmos à função dada pela equação (6.9), considerando 0 298,15KT = . Do ajuste

obtém-se os valores 0 5,11kR = W e 3810,6Kb = .

Figura 6.11 Ajuste dos valores experimentais à curva dada pela equação (6.9)

considerando 0 298,15KT = , para o termístor 1.


152

Tomando para 0R e b os valores nominais e os obtidos pelo ajuste experimental,

calculámos as temperaturas a partir da equação (6.10) e comparámo-las com as

temperaturas de referência dadas pelo TRP Pt-100. Os desvios resultantes são

apresentados no gráfico da Figura 6.12.

Verifica-se mais uma vez que a calibração reduz as incertezas consideravelmente,

sobretudo para as baixas temperaturas. Para temperaturas próximas de 100 ºC verifica-se

erros elevados, mesmo levando em conta a calibração. Isto deve-se ao facto da

sensibilidade do termístor tender para zero quando a temperatura tende para infinito.

Assim, para temperaturas elevadas as incertezas nos aparelhos de medida de resistência

são dominantes.

O termístor 2 é do mesmo tipo e os parâmetros 0R e b têm valores nominais de

0 10kR = W (a 25 ºC ) e 3555Kb = .

Figura 6.12 Erros na utilização do termístor 1 calibrado (ajuste dos pontos

experimentais à equação (6.9)) e não calibrado (valores nominais dos parâmetros 0R e b ).

No gráfico da Figura 6.13 apresenta-se os valores experimentais e o ajuste dos

mesmos à função dada pela equação (6.9), considerando 0 298,15KT = . Do ajuste

obtém-se os valores 0 10,73kR = W e 3401,3Kb = .

Tomando para 0R e b os valores nominais e os obtidos pelo ajuste experimental,

calculámos, tal como anteriormente, as temperaturas a partir da equação (6.10) e

comparámo-las com as temperaturas de referência dadas pelo TRP Pt-100. Os desvios

resultantes são apresentados no gráfico da Figura 6.14.


153


considerando 0 298,15KT = , para o termístor 2.

Figura 6.14 Erros na utilização do termístor 2 calibrado (ajuste dos pontos

experimentais à equação (6.9)) e não calibrado (valores nominais dos parâmetros 0R e b ).

Verifica-se também que a calibração reduz as incertezas consideravelmente,

sobretudo para as baixas temperaturas. Para temperaturas próximas de 100 ºC observa-se

incertezas elevadas, mesmo levando em conta a calibração. A razão é a mesma da

referida anteriormente.


154

6.2.6 Caracterização e calibração do termómetro de mercúrio

O termómetro de mercúrio apresenta uma excelente linearidade, conforme se

mostra no gráfico da Figura 6.15

Figura 6.15 Temperatura lida no termómetro de mercúrio versus temperatura

de referência (dada pelo TRP Pt-100).

Os erros são mostrados no gráfico da Figura 6.16. As incertezas mais baixas são

obtidas com um ajuste quadrático, sendo mais uma vez de salientar que a calibração é

essencial quando pretendemos fazer medições de temperatura fiáveis.

Figura 6.16 Erros na utilização do termómetro de mercúrio calibrado (ajustes

linear e quadrático) e não calibrado (pontos experimentais).


155

6.2.7 Caracterização e calibração de uma rede de Bragg em fibra óptica

6.2.7.1 Sensores de fibra óptica

Grande parte do sucesso das fibras ópticas de sílica reside nas suas propriedades de

reduzido volume e massa, flexibilidade, baixa reactividade química do material, longa

distância de transmissão, elevada largura de banda de transmissão, isolamento eléctrico e

imunidade electromagnética.

Umas das aplicações das fibras ópticas são como sensores de diversas grandezas

físicas (acústica, magnética, temperatura, rotação, deformação entre outras). Para além de

apresentarem uma sensibilidade semelhante à dos sensores convencionais, apresentam

vantagens específicas: têm geometria versátil, a sua natureza dieléctrica permite o seu

uso em alta tensão, a altas temperaturas, em ambientes electricamente ruidosos e

corrosivos, e em outras condições agressivas para sensores convencionais. Apresenta

ainda inerente compatibilidade com sistemas de telemetria através de fibra óptica e tem

custos potencialmente baixos (Giallorenzi et al. 1982). Além disso, devido à baixa

atenuação dos sinais ópticos transmitidos pela fibra os sensores de fibra óptica podem ser

utilizados a grandes distâncias.

Relativamente ao uso da fibra óptica como sensor de temperatura, trataremos aqui a

rede de Bragg e na secção 6.3 abordaremos o termómetro baseado no efeito de Brillouin.

6.2.7.2 Rede de Bragg e princípio de funcionamento

O surgimento das redes de Bragg nas fibras ópticas permitiu que elas fossem

usadas como sensores de grandezas físicas estáticas e dinâmicas tais como a temperatura,

a pressão e a deformação (Kersey et al, 1997). Estes sensores permitem efectuar medidas

com grande precisão e estabilidade, podendo ser usados em grande número na mesma

fibra, através de técnicas de multiplexagem. O principal desafio na utilização das redes

de Bragg como elementos sensores é determinar os menores deslocamentos possíveis no

comprimento de onda de Bragg.

Como a informação do sensor está codificada em comprimento de onda, o sensor

torna-se insensível das flutuações de potencia da fonte óptica e das perdas nas

interligações dos vários componentes do sistema e devidas a eventuais macro e micro

curvaturas a que a fibra fique sujeita (Keiser, 2000).


156

A natureza deste tipo de codificação facilita a multiplexagem por comprimento de

onda, já que cada sensor fica univocamente identificado por uma diferente porção do

espectro disponível da fonte óptica.

A reflexão no comprimento de onda de banda estreita possibilita a multiplexagem

de várias redes de Bragg ao longo da mesma fibra óptica. A resposta do sensor é linear

numa extensa banda dinâmica.

Uma rede de Bragg em fibra óptica (FBG) é uma modulação periódica do índice de

refracção do núcleo da fibra, ao longo da direcção longitudinal, como ilustrado na Figura

6.17. (Silva et al, 2003).

Ao propagar-se luz com espectro de banda larga numa fibra óptica que contém uma

rede de Bragg, ocorre a reflexão na rede através do efeito de espalhamento coerente e

sucessivo nas interfaces que separam as regiões com índices de refracção diferentes. O

comprimento de onda central do espectro de reflexão é designado por comprimento de

onda de Bragg da rede, Bl , e é dado por (Hill et al. 1997)

B eff2nl = L (6.11)

onde effn é o índice de refracção efectivo na fibra óptica e L é o período espacial da

modulação do índice de refracção.

Figura 6.17 Princípio de operação de uma rede de Bragg em fibra óptica.

Qualquer perturbação que altere o índice de refracção ou o período da FBG altera o

comprimento de onda de Bragg, e consequentemente, pode medir-se um determinado

parâmetro através da variação do pico espectral da luz reflectida pela rede de Bragg. O

Inte

nsid

ade

l

Luz incidente

Inte

nsid

ade

l

Luz transmitida

Inte

nsid

ade

l

Luz reflectida

Fibra óptica

Rede de Bragg - modulação do índice de refracção com período

espacial L


157

comprimento de onda de reflexão da FBG é dependente das características da rede. Ao

submete-la à variação de um dos parâmetros a serem medidos, obtém-se um desvio no

comprimento de onda de Bragg, proporcional à grandeza que se pretende medir.

Uma variação de temperatura na rede, TD , origina uma variação no comprimento

de onda de Bragg, ( )B TlD D , expresso por (Kersey et al. 1997)

( )B B Tl l a xD = + D

onde a é o coeficiente de expansão térmica do material da fibra, e x é o coeficiente

termo-óptico da fibra.

A propriedade termométrica de uma rede de Bragg, como sensor de temperatura, é,

portanto, o comprimento de onde de Bragg. Para uma fibra de sílica ( )2SiO , a

sensibilidade da rede é cerca de 113 pm ºC- , para uma radiação incidente de

comprimento de onda nominal de 1,55 μm (3ª janela óptica de comunicações).

Do ponto de vista da instrumentação, uma vantagem do uso da FBG como sensor é

o facto de que a informação sobre o agente que a perturba está codificada em

comprimento de onda (Hill et al, 1997). Isso permite determinar o valor do agente

perturbador da FBG sem um sistema de referência para a potência óptica, que

necessitaria calibração periódica. Outra vantagem é a possibilidade de multiplexar em

comprimento de onda um grande número de sensores, permitindo medições multi-

pontuais. A multiplexagem permite monitorizar estruturas com grandes dimensões como,

por exemplo, cabos de transmissão de energia eléctrica, oleodutos, cascos de navios,

entre outras.

6.2.7.3 Medição de temperatura com uma rede de Bragg

Apresentam-se a seguir os resultados da medição de temperatura usando uma rede

de Bragg em fibra óptica, de valor nominal de 1535 nm. A rede foi fabricada por

exposição UV ( )248nml = da fibra SMF28 através de uma máscara de fase com

período de 1062 nm estando a fibra sob tensão mecânica.


158

As leituras do comprimento de onda de Bragg foram feitas num Analisador de

Espectros Óptico (OSA) fabricado pela FiberSensing.

A rede foi montada no dispositivo da Figura 6.4 e foi um dos termómetros

envolvidos na actividade de intercomparação e calibração de termómetros. Durante a

actividade a fibra óptica partiu-se (devido à protecção exterior utilizada se ter dobrado

quando se atingiram temperaturas elevadas), tendo sido repetida a experiência apenas

com a rede de Bragg e o TRP Pt-100.

Nos gráficos das Figuras 6.18 e 6.19 apresentam-se a variação do comprimento de

onda de Bragg em função da temperatura.

Figura 6.18 Comprimento de onda de Bragg em função da temperatura da

rede medida com o TRP Pt-100 (antes da rotura).

A rede correspondente aos resultados da Figura 6.19 tem as características

nominais acima referidas. O ajuste linear dos pontos experimentais apresenta boa

correlação obtendo-se para a sensibilidade um valor de 112,99 pm ºC- , em excelente

concordância com o valor esperado teoricamente para uma fibra de sílica.


159

Figura 6.19 Comprimento de onda de Bragg em função da temperatura da

rede medida com o TRP Pt-100 (repetida).

Os desvios em temperatura dos pontos experimentais em relação à curva linear

obtida por calibração são mostrados no gráfico da Figura 6.20. Apesar do valor

sensibilidade associado às curva de ajuste, este termómetro apresenta erros que podem

atingir 3 ºC.

Figura 6.20 Erros na utilização da rede de Bragg em função da temperatura

medida com o TRP Pt-100 (para o ajuste linear).


160

6.3 Caracterização e calibração de um Termómetro de Brillouin

6.3.1 Princípio de funcionamento

O espalhamento estimulado de Brillouin (EEB) é um processo não-linear que pode

ocorrer nas fibras ópticas (Agrawal, 2001). Este fenómeno manifesta-se através da

geração de uma onda de Stokes em contra-propagação que transporta a maior parte da

energia incidente, logo que o limiar de Brillouin é atingido. O fenómeno do EEB foi

observado em 1964, sendo a frequência da onda de Stokes menor que a da onda

incidente. O valor do desvio na frequência é determinado pelo meio não-linear e é da

ordem de 10 GHz para uma fibra monomodal normalizada. A potência limiar para o EEB

depende da largura espectral associada à onda óptica incidente (bombagem) e do

comprimento da fibra (Marques et al, 2006). Pode ser da ordem de 1 mW para uma onda

de bombagem contínua ou para onda pulsadas cujos impulsos sejam relativamente largos

( )1μs> . Para impulsos muito curtos ( )10ns< o EEB não ocorre (Agrawal, 2001).

O processo do EEB pode ser descrito classicamente como uma interacção não-

linear entre o campo óptico de bombagem e os campos ópticos de Stokes através de uma

onda acústica. O campo óptico de bombagem origina uma onda acústica que modula o

índice de refracção do meio. Esta rede, induzida pelo campo óptico de bombagem,

espalha a radiação por difracção de Bragg. A radiação espalhada tem uma frequência

deslocada para baixo devido ao efeito do deslocamento Doppler associado à velocidade

da onda acústica Av . Como num processo de espalhamento a energia e o momento linear

devem ser conservados, as frequências e os vectores de onda das três ondas são

relacionados por

B p sw wW = - (6.12)

A p sk k k= - (6.13)

onde pw e sw são as frequências, e pk e sk são os vectores de onda do campo de

bombagem e das ondas de Stokes, respectivamente. A frequência BW e o vector de onda

Ak da onda acústica satisfazem a relação de dispersão usual (Agrawal, 2001)


161

( )B A A A p2 sin 2k kn n qW = ª (6.14)

onde q é o ângulo entre as direcções de propagação dos campos de bombagem e de

Stokes, tendo sido considerado p Ak kª na equação (6.13). A equação (6.14) mostra que

a deslocamento em frequência da onda de Stokes depende do ângulo de espalhamento.

Em particular, BW toma o valor máximo para a contra-propagação ( )q p= e anula-se

para a co-propagação ( )0q = . Numa fibra óptica monomodal, os campos ópticos

propagam-se apenas na direcção coincidente com o eixo da fibra e, consequentemente, o

EEB apenas ocorre na direcção de contra-propagação e o desvio de Brillouin é dado por

B B A p2 2nn p n l= W = (6.15)

onde a equação (6.14) foi usada com p p2k np l= e n o índice de refracção modal para

o comprimento de onda pl . Se considerarmos 1A 5,96 kmsn -= e 1,45n = como valores

típicos para uma fibra de sílica, obtemos B 11,1GHzn ª para p 1,55μml = .

O EEB pode ser usado para construir sensores de fibra óptica distribuídos capazes

de medir temperatura e tensões mecânicas em longas distâncias. A ideia básica

subjacente ao uso do EEB para aplicações em sensores de fibra óptica é simples e pode

ser compreendida através da equação (6.15). Como o deslocamento Brillouin em

frequência depende do índice de refracção efectivo do campo modal, ele muda sempre

que o índice de refracção da sílica se altera como resposta às variações locais do

ambiente. Quer a temperatura quer a tensão mecânica alteram o índice de refracção da

sílica. Monitorizando as variações no deslocamento Brillouin em frequência ao longo da

fibra, é possível obter a distribuição da temperatura ou das tensões mecânicas ao longo

de grandes distâncias.

6.3.2 Caracterização experimental

6.3.2.1 Equipamento e montagem

Usou-se uma fibra monomodal normalizada, de 50 km de comprimento, para medir

experimentalmente o desvio Brillouin em frequência para várias temperaturas da fibra.

A bobina de fibra foi colocada num forno com controlo de temperatura, tendo sido

utilizado o TRP calibrado para calibrar o controlador de temperatura.


162

A Figura 6.21 mostra a montagem experimental, tendo sido utilizado o seguinte

equipamento:

• Laser Santec TLS (Tunable Laser Source).

• EDFA (Erbium Doped Fiber Amplifier) Photonetics Fiberamp-BT 1400.

• FUT (Fiber under test) Fibra monomodal SMF IG09.

• Fotodetector HP 11982A.

• ESA (Electrical Spectrum Analyser) Tektronix 494P, 10 kHz – 21 GHz.

• Forno Heraeus com controlador de temperatura.

Figura 6.21 Esquema experimental para caracterização do termómetro de Brillouin.

6.3.2.2 Calibração do controlador de temperatura do forno

O gráfico da figura seguinte mostra a relação da temperatura seleccionada no forno

e o valor da temperatura do mesmo dada pelo TRP, depois de estabilizada a temperatura.

Figura 6.22 Calibração do controlador de temperatura do forno utilizado

para variar a temperatura da fibra óptica.

EDFA Circulador óptico

Laser

Fibra

Forno

FUT

ESA

Fotodetector

Cabo coaxial

Fibra

Fibra Fibra


163

Do gráfico e do ajuste linear efectuado concluímos que a linearidade do

controlador de temperatura do forno é excelente. Os erros na temperatura do forno em

relação à temperatura seleccionada são apresentados no gráfico da Figura 6.23. De

salientar um comportamento linear do erro e os seus valores muito baixos, sendo o valor

máximo obtido para o erro de cerca de 0,2 ºC .

Figura 6.23 Erros do controlador de temperatura do forno relativamente à

temperatura estabilizada obtida pelo TRP calibrado.

6.3.2.3 Resultados experimentais

O gráfico seguinte mostra os resultados obtidos para o desvio de Brillouin em

função da temperatura.

Figura 6.24 Desvio em frequência da radiação rectro-reflectida em função da

temperatura da fibra óptica.


164

Como foi referido, a fibra tinha 50 km de comprimento e encontrava-se enrolada

numa bobine, formando uma espessura de vidro com cerca de 3 cm, o que exige bastante

tempo até se atingir o equilíbrio térmico.

O desvio em frequência da onda rectro-reflectida é 10,7 GHz e está de acordo com

o previsto teoricamente para uma fibra de sílica. Do gráfico da Figura 6.24, obtemos para

a sensibilidade deste termómetro o valor de 10,77 MHz ºC- para a radiação utilizada

( )1550nml = .

6.4 Caracterização de uma termopilha usando uma lâmpada de filamento de tungsténio

Uma termopilha como sensor pode ser caracterizada usando uma lâmpada com

filamento de tungsténio. A Figura 6.25 apresenta um esquema da montagem

experimental utilizada.

Para diferentes valores de tensão e corrente na lâmpada (e e I ) registou-se a

tensão de saída da termopilha, a qual tem uma resposta em tensão de 22 mV mW .

Figura 6.25 Esquema da montagem experimental para o estudo da lei de Stefan-Boltzmann: V – voltímetro; A – amperímetro; e - fonte de tensão variável (0 – 12V); L – lâmpada com filamento de tungsténio.

A temperatura absoluta T do filamento de tungsténio de uma lâmpada pode ser

calculada pelas medidas da resistência R do filamento utilizado como termómetro. Para

a resistência de um filamento de tungsténio temos a seguinte relação

( ) ( )20 1R R a bq q q= + + (6.16)

A

V V

e L Termopilha

d


165

onde q é a temperatura em graus Celsius, 0R a resistência a 0 ºC , 3 14,82 10 ºCa - -= ¥ e

7 26,76 10 ºCb - -= ¥ (Cavalcante et al, 2005).

A resistência 0R pode ser calculada a partir da equação (6.16)

( )a0 2

a a1R

Ra b

qq q

=+ +

(6.17)

onde aq é o valor da temperatura ambiente em graus Celsius.

O valor de ( )aR q é obtido pela lei de Ohm, R Ie= , onde e é a diferença de

potencial nos terminais da lâmpada e I é a corrente no filamento. Devemos usar uma

corrente suficientemente pequena para que se possa desprezar o aquecimento devido ao

efeito de Joule, garantindo-se assim que o filamento se encontra à temperatura ambiente,

aq .

Resolvendo a equação (6.16) em ordem à temperatura q , a temperatura absoluta

do filamento vem dada por

2

0

1273,15 4 12

RT a b ab R

È ˘Ê ˆÍ ˙= + + - -Á ˜Ë ¯Í ˙Î ˚

(6.18)

onde o valor de R é obtido pela lei de Ohm, R Ie= , medindo a diferença de potencial

e a corrente no filamento.

No gráfico da Figura 6.26 apresenta-se a potência óptica medida no sensor em

função da quarta potência da temperatura da lâmpada. Verifica-se que a potência P

registada no sensor é proporcional a 4T , com uma boa correlação dos pontos

experimentais. A ordenada na origem do ajuste tem, contudo, o valor de 0,039mW- , o

que pode ter como explicação o facto de o vidro da lâmpada não ser transparente a toda a

radiação emitida por esta. Para 0T = teríamos um valor da potência próximo de zero,

mas o valor obtido pelo ajuste é negativo e significativo.

Podemos também representar graficamente o ( )10log P em função do ( )10log T e

obter o gráfico da Figura 6.27. A ordenada na origem corresponde a ( )10log As , onde A

e s são a área do sensor e a constante de Stefan-Boltzmann, respectivamente. O declive

corresponde à potência da temperatura (que teoricamente é 4). O valor obtido para a


166

potência da temperatura é 4,66, possivelmente explicado pela absorção do vidro

(sobretudo no infravermelho longo).

Figura 6.26 Potência na termopilha em função da quarta potência da

temperatura do filamento da lâmpada.

Figura 6.27 Logaritmo da potência na termopilha em função do logaritmo da

temperatura do filamento da lâmpada.

167

7 A Temperatura absoluta

Do ponto de vista conceptual é necessário definir uma temperatura independente

das propriedades termométricas de sistemas termodinâmicos particulares. Tal definição

permitirá obtermos o conceito de temperatura termodinâmica absoluta e terá de ser

obtida à custa das leis universais da Termodinâmica.

7.1 Definição de temperatura absoluta

A Lei Zero da Termodinâmica estabelece a base para a medição da temperatura,

mas uma escala empírica tem de ser definida em termos da propriedade termométrica de

uma substância específica e de um termómetro, tal como a escala de temperatura obtida

usando um termómetro de gás a volume constante.

Uma escala de temperatura que seja independente da natureza do sistema, é

chamada escala de temperatura termodinâmica absoluta.

A eficiência de um ciclo de Carnot26 é independente do sistema (máquina) que

opera o ciclo e depende apenas das temperaturas das fontes entre as quais opera. Esta

característica permite usar a máquina de Carnot para estabelecer a escala absoluta de

temperatura. Fazemos seguidamente o desenvolvimento de (Anacleto, 2004).

Uma máquina de Carnot absorve a energia 1Q por calor da fonte quente 1T e

rejeita a energia 2Q por calor para a fonte fria 2T , com uma eficiência que é

independente da natureza do sistema (Zemansky et al, 1997; Güémez et al, 1998). A

eficiência, dada por 2 11 Q Qh = - , depende apenas das temperaturas das fontes,

( )1 2,T Th f= , sendo f uma função desconhecida de 1T e 2T . Esta propriedade está na

base da definição de temperatura absoluta.

26 Um ciclo de Carnot é um processo cíclico reversível, realizado por um sistema arbitrário,

durante o qual o sistema só troca energia por calor com duas fontes. A fonte que se encontra a uma temperatura maior é designada por fonte quente e a outra fonte é designada por fonte fria. Num diagrama, o ciclo de Carnot é constituído por duas curvas adiabáticas e duas curvas isotérmicas. O teorema de Carnot diz que a eficiência duma máquina de Carnot é máxima, em relação a uma máquina qualquer que opere entre as mesmas fontes (Zemansky et al, 1997).


168

Podemos, portanto, escrever

( ) ( )11 2

2 1 2

1 ,1 ,

Qf T T

Q T Tf= =

- (7.1)

onde ( )1 2,f T T é também uma função desconhecida das duas temperaturas.

Consideremos três máquinas de Carnot, RA, RB e RC, que operam entre três fontes

cujas temperaturas satisfazem a relação 1 3 2T T T> > , conforme ilustrado na Figura 7.1.

Figura 7.1 Diagrama esquemático das máquinas de Carnot utilizadas para

estabelecer a escala termodinâmica absoluta de temperatura (Anacleto, 2004).

Façamos então o seguinte raciocínio tomando a figura como suporte. Para a

máquina de Carnot RA, podemos escrever a relação

( )11 2

2,

Qf T T

Q= (7.2)

1Q

BW

CW

3Q

3Q

2Q

1T

2T

3T AW RA

2Q

1Q RB

RC


169

A máquina RB é ajustada de forma a absorver uma energia por calor, da fonte 1T ,

igual à absorvida pela máquina RA, 1Q ; a energia por calor 3Q rejeitada é absorvida

pela máquina RC. Assim, tem-se para a máquina RB, ( )1 3 1 3,Q Q f T T= .

Pelo corolário de Carnot27, como a máquina RA rejeita para a fonte fria a energia

por calor 2Q , para que as máquinas RB e RC, operando em conjunto, sejam equivalentes

à máquina RA, RC deve também rejeitar para a fonte fria a energia por calor 2Q . Temos,

então, para a máquina RC, ( )3 2 3 2,Q Q f T T= .

Como 1 31

2 2 3

Q QQQ Q Q

= , temos que

( ) ( )( )

1 31 2

2 3

,,

,f T T

f T Tf T T

= (7.3)

A temperatura 3T pode ser escolhida arbitrariamente pois não aparece no primeiro

membro da equação (7.3), e temos, sendo ( )Ty uma função arbitrária,

( )( )

11

2 2

TQQ T

yy

= (7.4)

Escolhendo ( )T Ty = , a razão no primeiro membro da equação anterior é definida

como a razão de duas temperaturas termodinâmicas, 1 2T T , ou seja

1 1

2 2

Q TQ T

= (7.5)

Portanto, duas temperaturas na escala termodinâmica estão uma para a outra

como os respectivos valores absolutos das energias por calor absorvida e rejeitada, por

uma máquina de Carnot que opere entre fontes àquelas temperaturas.

27 O corolário de Carnot, obtido facilmente do teorema de Carnot, estabelece que todas as

máquinas de Carnot que operem entre as mesmas fontes têm a mesma eficiência.


170

A escala termodinâmica de temperatura tem de ser independente das características

específicas de qualquer sistema particular. Assim, a máquina de Carnot permite a

universalidade que não é conseguida pela escala baseada num gás ideal. As temperaturas

termodinâmicas são chamadas temperaturas absolutas, pois são independentes do

sistema. A equação (7.4) é uma relação fundamental baseada na Segunda Lei da

Termodinâmica e no ciclo de Carnot. É necessário apenas que a função arbitrária y seja

função da temperatura termodinâmica.

À primeira vista, pode parecer que a razão de duas temperaturas Kelvin seria

impossível de medir, pois uma máquina de Carnot é uma máquina ideal, bastante difícil

de construir. A situação, contudo, não é tão má como parece. A razão de duas

temperaturas Kelvin é a razão de dois calores transferidos durante dois processos

isotérmicos limitados por duas curvas adiabáticas. As duas fronteiras adiabáticas podem

ser localizadas experimentalmente, e os calores transferidos durante os dois processos

isotérmicos “aproximadamente reversíveis” podem ser medidos com precisão elevada.

De facto, este método é um dos métodos usados na medição de temperaturas abaixo de

1 K.

É necessário ainda completar a definição da escala absoluta de temperatura.

Considerando o ponto triplo da água, PTT , como a temperatura de referência e

atribuindo-lhe o valor de 273,16 K (tal como já havíamos feito), temos

PT 273,16 KT = (7.6)

Para uma máquina de Carnot que opera entre fontes a temperaturas T e PTT , temos

PT PT

Q TQ T

= (7.7)

o que permite finalmente escrever

PT273,16K

QT

Q= (7.8)

Comparando esta equação com a equação para a temperatura definida por um gás a

volume constante,


171

PT 0 PT273,16 K lim ( constante)

P

PT VPÆ

Ê ˆ= Á ˜Ë ¯

(7.9)

vemos que, na escala absoluta de temperatura, Q desempenha o papel de “propriedade

termométrica” para um ciclo de Carnot, tal como a pressão é a propriedade termométrica

para o termómetro de gás a volume constante. O calor não tem, contudo, a objecção

associada à coordenada termodinâmica pressão de um termómetro de gás, pois o

comportamento da máquina de Carnot é independente da natureza do sistema.

7.2 O zero absoluto e eficiência de Carnot

Da equação (7.8), vemos que quanto menor for o valor de Q , menor é o valor de T

correspondente. O menor valor possível de Q é zero, e o valor de T que lhe

corresponde é o zero absoluto. Portanto, se um sistema sofresse um processo isotérmico

reversível sem transferir energia por calor, a temperatura à qual este processo ocorreria

é chamado zero absoluto. Dito de outra forma, no zero absoluto uma isotérmica e uma

adiabática são idênticas28.

Notemos que a definição de zero absoluto é válida para todos os sistemas e é,

portanto, independente das propriedades específicas de qualquer sistema escolhido

arbitrariamente. Mais ainda, a definição é feita em termos de conceitos puramente

macroscópicos. Nenhuma referência é feita a átomos ou moléculas. Se o zero absoluto

pode ou não ser atingindo é uma questão deixada para a experimentação. Contudo, uma

máquina térmica que operasse com uma fonte fria à temperatura do zero absoluto violaria

a Segunda Lei, pois produziria trabalho negativo, 0W < , trocando energia por calor com

uma única fonte (a fonte quente)29.

Como uma máquina de Carnot que absorve energia por calor 1Q da fonte quente à

temperatura 1T e rejeita energia por calor 2Q para a fonte fria à temperatura 2T tem uma

eficiência dada por

28 Uma curva adiabática e uma curva isotérmica não se podem intersectar em mais que um ponto. 29 Esta hipótese violaria o Postulado de Kelvin-Planck da Segunda Lei da Termodinâmica.


172

2

11

QQ

h = - (7.10)

e como, pela definição de temperatura absoluta se tem

2 2

1 1

Q TQ T

= (7.11)

concluímos que a eficiência de uma máquina de Carnot pode ser expressa em termos das

temperaturas absolutas das duas fontes,

2

11 T

Th = - (eficiência de uma máquina de Carnot). (7.12)

Para um ciclo de Carnot ter uma eficiência de 100 % é necessário que 2T seja zero.

Apenas quando a fonte fria está à temperatura do zero absoluto é que toda a energia

absorvida por calor é convertida em trabalho. Como a natureza não nos proporciona uma

fonte à temperatura do zero absoluto, uma máquina térmica com 100 % de eficiência, o

que violaria a Segunda Lei, é uma impossibilidade prática e teórica.

7.3 A temperatura absoluta e a dada por um gás

A temperatura T dada por um termómetro de gás a volume constante foi definida

em termos da razão entre a pressão P, à temperatura T, e a pressão do sistema no ponto

triplo da água PTP , no limite das baixas pressões.

Demonstra-se que a temperatura dada por um termómetro de gás a volume

constante é equivalente à temperatura absoluta definida à custa de uma máquina de

Carnot (Zemansky et al, 1997).

Considerando que a temperatura do ponto triplo da água é a mesma para ambas as

definições de temperatura, PT 273,16KT = , temos

( ) ( )dada pelo termómetro de gás a constante absolutaT V T= (7.13)


173

A temperatura absoluta é, portanto, numericamente igual à temperatura dada por

um gás ideal e, numa gama adequada, pode ser medida com um termómetro de gás a

volume constante.

7.4 Temperatura termodinâmica e termómetros primários

A temperatura T que ocorre nas leis fundamentais da Física é a temperatura

termodinâmica. A escala termodinâmica de temperatura pode ser definida de várias

formas, todas necessariamente equivalentes. Algumas definições são bastante abstractas e

não úteis para medições de temperatura. Como exemplo é a definição dada através da

eficiência de uma máquina de Carnot. Uma definição mais compreensível é aquela

baseada na equação de estado de um gás ideal

PV N k T= (7.14)

onde P e V são a pressão e o volume do gás, respectivamente, N é o número de

partículas de gás (que é muito grande), e k é a constante de Boltzmann.

Esta temperatura é a que aparece noutras leis fundamentais tais como na lei de

radiação de Planck para o corpo negro, na fórmula de Nyquist para o ruído térmico ou na

expressão para o alargamento Doppler da linha espectral de emissão ou absorção de um

gás cujas partículas têm velocidades de acordo com a distribuição de Maxwell.

Estas leis servem como base para os termómetros primários que são capazes de

medir a temperatura termodinâmica. Um termómetro primário não precisa de ser referido

a outras medidas de temperatura (isto é, não precisa de calibração) mas obtêm a

temperatura de medições de outras grandezas tais como a pressão, a potência da radiação

ou a tensão de ruído. Portanto, podem ser usados para estabelecer a escala termodinâmica

de temperatura.

Por considerações termodinâmicas e pelas relações da Tabela 7.1 concluímos que

existe um zero absoluto para a temperatura para o qual, por exemplo, a pressão de um gás

ideal a volume constante, a emissão de radiação térmica, e a tensão de ruído térmico se

anulam.

A unidade de temperatura termodinâmica pode ser definida com a ajuda de uma

temperatura de um ponto fixo, à qual se atribui convencionalmente um valor, como foi

proposto por Kelvin em 1854. Um século mais tarde, a 10ª Conferência Geral de Pesos e

Medidas seguiu esta sugestão.


174

Termómetro primário

Lei fundamental subjacente Significado dos símbolos

Gás PV N k T= P – pressão

V – volume

N – número de partículas

k – constante de Boltzmann

Constante dieléctrica de um gás

0 0 N Ve e a= +

( )0 0P k T e e a= -

e – permitividade do gás

0e – permitividade do vazio

0a – polarizabilidade estática dipolar de um átomo

Acústico ( )2a P Vc c c k T m= m – massa da partícula

P Vc c – razão das capacidades térmicas molares

Ruído térmico

( )2 4U k T R nD = D

(válido para baixas frequências e no limite das altas temperaturas)

UD – ruído térmico da tensão eléctrica U na resistência eléctrica R que ocorre num banda estreita nD

Radiação espectral ( )

3

2

2exp 1

hRc h k Tn

nn

=È ˘ -Î ˚

Rn – radiância espectral do corpo negro h – constante de Planck c – velocidade da luz no vazio

Radiação total

( )( )

444

2 3

215

k TTRc h

psp

= = R – radiância total do corpo negro s – constante de Stefan-Boltzmann

Alargamento Doppler ( ) 1 22

D 02k T mcn nÈ ˘D = Î ˚ DnD - Largura Doppler em frequência da linha com frequência central 0n , emitida ou absorvida por um gás ideal à temperatura T

Tabela 7.1 Termómetros primários e leis fundamentais que lhes subjazem.

Foi escolhido então como ponto fixo o ponto triplo da água (PTA), o único ponto

no diagrama de fase onde vapor, água líquida e gelo coexistem, conforme se ilustra no

diagrama da Figura 7.2. A temperatura do ponto triplo PTT é, por convenção, 273,16 K,

de tal forma que a unidade de temperatura, o Kelvin, vem dada por


175

PT1K 273,16T= (7.15)

O valor numérico de 273,16 foi escolhido para que o kelvin estivesse tão próximo

quanto possível do grau Celsius usado anteriormente, que era definido como a centésima

parte da diferença de temperaturas entre o ponto de ebulição e o ponto de fusão da água à

pressão atmosférica normal (101,325 kPa).

Figura 7.2 Diagrama de fase para a água. O ponto triplo corresponde à

temperatura de 273,15 K e à pressão de 612 Pa.

A temperatura de fusão da água à pressão atmosférica normal é ligeiramente menor

que a temperatura do ponto triplo (a pressão do ponto triplo é de apenas 0,612 kPa). A

relação entre as temperatura em grau Celsius e em kelvin é, como vimos, dada por

( ) ( )ºC K 273,15T T= - (7.16)

A escala de temperatura Celsius é portanto uma escala de temperatura Kelvin com

o zero deslocado para 273,15 K. Portanto, uma diferença de temperaturas tem o mesmo

valor numérico nas duas escalas

( ) ( )ºC KT TD = D (7.17)


176

Notemos que o nome da unidade kelvin (K) não é acompanhada da palavra grau ou

do símbolo º, embora originalmente fosse designada por grau kelvin em 1954. Contudo,

essa designação foi modificada para kelvin pela Conferência Geral de Pesos e Medidas

(CGPM) em 1967.

A magnitude da unidade da temperatura termodinâmica não pode ser determinada

por considerações termodinâmicas. Isto acontece porque a temperatura T acorre sempre

na combinação kT em todas as leis físicas fundamentais, conforme se pode ver nos

exemplos dados na Tabela 7.1. Esta combinação é referida habitualmente por energia

térmica, pois é proporcional à energia cinética média, E , de uma partícula de um gás em

equilíbrio à temperatura T , 3 2E kT= .

Portanto, em rigor um termómetro primário não mede a temperatura T , mas a

energia térmica kT . Assim, podemos redimensionar T para aT , se esta transformação

for acompanhada e compensada pelo redimensionamento da constante de Boltzmann k

para k a , mantendo-se assim o valor de kT .

Essencialmente, há duas formas de extrair a temperatura T de uma medição da

energia térmica kT . A escolha de definir a temperatura do ponto triplo da água, PTT ,

como sendo exactamente 273,16 K corresponde à escolha de um valor particular do

“factor de escala” a e, portanto, implicitamente determina também o valor numérico da

constante de Boltzmann k , a qual tem de ser determinada experimentalmente e de

preferência à temperatura do ponto triplo da água. Esta forma é a escolhida actualmente

na definição SI de kelvin, e a constante de Boltzmann no actual SI é dada por30

23 11,3806504 10 J Kk - -= ¥ (7.18)

com uma incerteza absoluta de 23 10,0000024 10 J K- -¥ e uma incerteza relativa de

61,7 10-¥ .

Esta definição tem a vantagem do facto de que diferentes realizações experimentais

precisas da temperatura do ponto triplo da água mostraram concordância elevada entre si,

sendo as variações relativas menores que 73 10-¥ , que é cerca de uma ordem de

grandeza menor que a incerteza do valor medido da constante de Boltzmann. Como

desvantagem, há um aumento da incerteza na medição de temperatura particularmente a

30 Ver http://physics.nist.gov/cuu/Constants/


177

muito baixas e muito altas temperaturas, pois as medições de temperaturas têm de ser

rastreadas de alguma forma a uma medição feita à temperatura PTT .

Outra possibilidade de extrair T da energia térmica kT está presentemente em

discussão. Como alternativa à actual definição SI de kelvin através da temperatura do

ponto triplo da água, à constante de Boltzmann pode ser atribuída um valor por definição,

deixando de ter uma incerteza associada. Esta redefinição de kelvin teria a vantagem de

não favorecer um valor particular de temperatura ou um determinado método de

medição. Além disso, ligar a unidade de temperatura a uma constante fundamental

adequada será mais satisfatório conceptualmente do que ligá-la a uma propriedade de

uma material imperfeitamente conhecida, que não é certamente fundamental.

Partindo do seu valor experimental, podemos fixar o valor da constante de

Boltzmann em, por exemplo, 23 11,3806504 10 J Kk - -= ¥ , que ligaria o kelvin à unidade

de energia, o joule, da mesma forma que a unidade de comprimento, o metro, é

actualmente ligada com a unidade de tempo, o segundo, atribuindo o valor exacto de 1299792458msc -= à velocidade da luz no vazio.

179

8 Conclusão

Este trabalho tem várias contribuições, de diversas índoles, que em conjunto se

traduzem num enriquecimento aos níveis pessoal e profissional.

No que diz respeito à inserção curricular, o estudo foi muito relevante, já que os

assuntos tratados fazem parte dos currículos do ensino básico e secundário. É de salientar

a contribuição de natureza teórica para um aprofundamento de conceitos, em geral, e do

conceito de temperatura, em particular.

O trabalho desenvolvido mostrou que a temperatura não é um conceito fácil, quer

na sua compreensão ao nível fundamental, quer na sua medição. A temperatura aparece

ligada a uma enorme diversidade de fenómenos físicos e é uma variável especial em

Termodinâmica, uma área onde as subtilezas abundam.

Da contribuição de cariz prático é de sublinhar a realização de 10 experiências e

actividades laboratoriais que proporcionaram um contacto com instrumentação científica

diversificada e com novas tecnologias, podendo algumas actividades ser utilizadas ou

adaptadas nas aulas.

Especial ênfase deve ser dada à actividade de intercomparação e de calibração de

diversos termómetros, alguns deles baseados na tecnologia das fibras ópticas, não só pela

diversidade de instrumentação usada, como também porque se utilizou como referência

um termómetro de resistência de platina calibrado. A calibração do termómetro envolveu

um laboratório de metrologia de temperatura acreditado e o ajuste dos pontos de

calibração foi realizada por nós, seguindo uma norma específica. A importância da

Metrologia, nomeadamente da compreensão dos conceitos de calibração, de

rastreabilidade, de cadeia metrológica e de normalização, tornou-se evidente com o

trabalho realizado, de tal forma que somos levados a preconizar que tais conceitos devam

ser introduzidos nos programas do ensino pré-universitário.

O trabalho como um todo constitui um documento útil para ser usado por

professores e alunos, não só como recurso didáctico-científico, mas também como

elemento indutor e polarizador de novas sugestões de trabalhos práticos a realizar nas

aulas ou em estudos futuros.


180

Contudo, apesar de aliciante e motivador, o tema apresentou algumas dificuldades,

encaradas como fazendo parte da natureza das coisas. Uma das dificuldades foi a

abrangência do tema, que se foi revelando ao longo do estudo cada vez maior,

dificultando a organização do trabalho, pelo que se fez um corte, de forma significativa,

na parte teórica. Neste sentido, temos consciência que o produto final produzido constitui

apenas a ponta do iceberg.

Este trabalho permitiu uma consciencialização da problemática de calibração de

instrumentos e de utilização de padrões, e constitui uma contribuição para uma melhor

compreensão do conceito de temperatura e sua medição, nomeadamente aos docentes do

actual 10º ano de escolaridade.

181

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185

Índice de figuras

Figura 2.1 Sistema termodinâmico constituído pelos subsistemas A, B e C. A fronteira

separa o sistema do meio exterior, e a vizinhança é a parte do exterior que

interage com o sistema (Anacleto, 2004). 12

Figura 2.2 Representação, num diagrama das variáveis X e Y, de estados de equilíbrio e

de processos termodinâmicos. Os processos quase-estáticos podem ser

representados por linhas contínuas definidas; os processos não quase-estáticos

representamos por linhas a tracejado (Anacleto, 2004). 17

Figura 2.3 Um gás que sofre um processo não-adiabático. Há trocas de energia por calor

e por trabalho (Anacleto, 2004). 20

Figura 2.4 Representação esquemática da operação de: a) uma máquina térmica; e b) uma

máquina frigorífica (Anacleto, 2004). 23

Figura 2.5 Ciclo de Carnot representado num diagrama P-V (Anacleto, 2004). 25

Figura 3.1 Capacidade térmica mássica a volume constante, Vc , em função da

temperatura. Vc tende para zero quando T tende para zero. 30

Figura 3.2 Capacidade térmica mássica da água em função da temperatura à pressão

atmosférica normal (Zemansky et al, 1997). 33

Figura 3.3 Fluxo de energia por calor através de uma camada de espessura xD e área A,

submetida a uma diferença de temperaturas 2 1T T TD = - . 34

Figura 3.4 Condutividade térmica em função da temperatura para algumas substâncias

(adaptado de Zemansky et al, 1997). 36

Figura 3.5 Fotografia da montagem experimental para a determinação da condutividade

térmica de uma barra condutora. 37

Figura 3.6 Variação da temperatura ao longo da barra depois de atingido o regime

estacionário de propagação de energia por calor. 37

Figura 3.7 Aumento da temperatura da água em função do tempo. O declive é

proporcional à taxa de propagação da energia por calor na barra. 38

Figura 3.8 Fotografias que ilustram a actividade experimental do estudo do equilíbrio

térmico. 40

Figura 3.9 Isotérmicas correspondentes de dois sistemas termodinâmicos diferentes A e

B (Anacleto, 2004). 43

Figura 3.10 Fotografias de um caderno de um aluno (à esquerda) e da montagem

experimental (à direita) relativas à actividade da determinação dos pontos de

fusão e de ebulição da água. 45


186

Figura 3.11 Gráfico da evolução da temperatura no aquecimento da água desde o ponto de

fusão até ao ponto de ebulição. 46

Figura 3.12 Distribuição das velocidades de Maxwell-Boltzmann para as temperaturas de

300 K, 900 K e 1500 K. 48

Figura 3.13 Evolução temporal da temperatura do ar no interior de duas latas de cores

diferentes, quando incide nelas radiação nas mesmas condições. 49

Figura 3.14 Fotografia da montagem experimental para a comparação do poder de

absorção de radiação por diferentes superfícies. 50

Figura 3.15 Fotografias da montagem experimental para estudo do aquecimento da água

com uma lâmpada. 51

Figura 3.16 Gráfico comparativo do aquecimento da água com uma lâmpada com e sem

folha de alumínio. 51

Figura 3.17. Radiância espectral do corpo negro para quatro temperaturas diferentes. 53

Figura 3.18 Cavidade que com um orifício. A radiação que entra é totalmente absorvida

devido às sucessivas reflexões no interior da cavidade, que se aproxima a um

corpo negro. 54

Figura 3.19 Uma cavidade cúbica, com aresta de comprimento a, preenchida por radiação

electromagnética. 56

Figura 3.20 Planos nodais de uma onde estacionária que se propaga numa dada direcção

na cavidade cúbica. 57

Figura 3.21 Comparação entre a previsão da Física clássica e os resultados experimentais

para a densidade de energia numa cavidade. 62

Figura 3.22 Comparação entre os resultados de um cálculo simples e a distribuição de

Boltzmann. 64

Figura 4.1 Termómetro de Galileu Galilei. 73

Figura 4.2 Estabelecimento de uma escala de temperatura (Anacleto, 2004). 79

Figura 4.3 Gráfico de P em função de θ, obtido experimentalmente com o termómetro de

gás a volume constante, utilizando quatro gases diferentes a baixas pressões

(Anacleto, 2004). 81

Figura 4.4 Célula de ponto-triplo da água (Anacleto, 2004). 82

Figura 4.5 Representação esquemática de um termómetro de gás a volume constante,

sendo a propriedade termométrica a pressão (Anacleto, 2004). 83

Figura 4.6 Temperatura do PEN da água dada por diferentes termómetros de gás, no

limite quando PT 0P Æ (Anacleto, 2004). 85

Figura 5.1 Termómetros de dilatação em recipiente de vidro. 94

Figura 5.2 Termómetro de máxima e de mínima. 96

Figura 5.3 A – Termómetro de dilatação de líquido em recipiente metálico; B – Tubos de

Bourdon utilizados como elementos de medição. 97

Índice de figuras

187

Figura 5.4 Termómetro registador. 97

Figura 5.5 Flexão da lâmina bimetálica quando aquecida. 98

Figura 5.6 A - Termóstato; B - Termómetro bimetálico. 98

Figura 5.7 Termopar constituído por duas junções dos metais A e B, a junção de medição

e a junção de referência. 99

Figura 5.8 Termopar onde a junção dos fios A e B constitui a junção de teste e a junção

de referência consiste em duas junções com fios de cobre (Anacleto, 2004). 101

Figura 5.9 O efeito Seebeck: um gradiente de temperatura origina uma diferença de

potencial (em circuito aberto). 102

Figura 5.10 Para um termopar constituído por duas junções de um mesmo metal A não é

possível medir a diferença de potencial. 104

Figura 5.11 Um termopar tem que ser constituído por duas junções de dois metais

diferentes A e B. 104

Figura 5.12 Ilustração das leis de funcionamento dos termopares. 110

Figura 5.13 Gráfico ilustrativo da variação da resistência com a temperatura para alguns

metais e para um semicondutor. 115

Figura 5.14 Interior de uma termo-resistencia. 115

Figura 5.15 Aspecto exterior de uma termo-resistência. 115

Figura 5.16 Algumas termo-resistências. 116

Figura 5.17 Método de medição a dois fios. 118

Figura 5.18 Método de medição a quatro fios. 119

Figura 5.19 Minimização do efeito de auto-aquecimento usando uma corrente pulsada: a)

corrente injectada; b) sinal em tensão detectado. 119

Figura 5.20 Ponte de Wheatstone com resistência de três fios. 120

Figura 5.21 Exemplos de termístores. 121

Figura 5.22 Esquema de uma termopilha. 123

Figura 5.23 Ilustração do primeiro pirómetro patenteado. 124

Figura 5.24 A – Esquema de um pirómetro óptico. B – Observação. 125

Figura 5.25 Esquema de um pirómetro independente da emissividade. 126

Figura 5.26 Frequências utilizadas pelo pirómetro de duas cores. 127

Figura 5.27 Pirómetro de radiação infravermelha. 128

Figura 5.28 Exemplos de pirómetros de radiação infravermelha. 129

Figura 5.29 Moléculas de cristais líquidos dispostas em hélice. 130

Figura 5.30 Anéis de humor feitos de cristais líquidos. 130

Figura 5.31 Tiras termométricas de cristais líquidos. 131

Figura 5.32 Tensão eléctrica nos terminais de um díodo de Silício polarizado directamente

com uma corrente de 10 μA em função da temperatura

(www.lakeshore.com/temp/sen/sd670_po.html). 132


188

Figura 6.1 Funções termométricas ( ) 0R Rq obtidas por ajuste quadrático e cúbico dos

cinco pontos de calibração. 142

Figura 6.2 Função termométrica ( ) 0R Rq obtida por ajuste quadrático e cúbico dos

quatro pontos de calibração correspondentes a temperaturas positivas

(incluindo o zero). 142

Figura 6.3 Temperatura em função da resistência, ( )Rq , para o TRP Pt-100 calibrado. 143

Figura 6.4 Dispositivo constituído por um bloco de cobre e um elemento peltier onde

foram incorporados os diversos termómetros a comparar. 144

Figura 6.5 Funções termométricas obtidas por ajuste linear e cúbico dos pontos

experimentais para o termopar 1. 147

Figura 6.6 Erros na utilização do termopar 1 calibrado (ajustes linear e cúbico) e não

calibrado (pontos experimentais). 148

Figura 6.7 Funções termométricas obtidas por ajuste linear e cúbico dos pontos

experimentais para o termopar 2 148

Figura 6.8 Erros na utilização do termopar 2 calibrado (ajustes linear e cúbico). 149

Figura 6.9 Comparação dos termopares 2 e 3 com a curva teórica para o termopar tipo T

(srdata.nist.gov/its90/download/type_t.tab). 150

Figura 6.10 Erros dos termopares 2 e 3 relativamente à curva teórica e erros após

calibração do termopar 2. 150


considerando 0 298,15KT = , para o termístor 1. 151

Figura 6.12 Erros na utilização do termístor 1 calibrado (ajuste dos pontos experimentais à

equação (6.9)) e não calibrado (valores nominais dos parâmetros 0R e b ). 152


considerando 0 298,15KT = , para o termístor 2. 153

Figura 6.14 Erros na utilização do termístor 2 calibrado (ajuste dos pontos experimentais à

equação (6.9)) e não calibrado (valores nominais dos parâmetros 0R e b ). 153

Figura 6.15 Temperatura lida no termómetro de mercúrio versus temperatura de referência

(dada pelo TRP Pt-100). 154

Figura 6.16 Erros na utilização do termómetro de mercúrio calibrado (ajustes linear e

quadrático) e não calibrado (pontos experimentais). 154

Figura 6.17 Princípio de operação de uma rede de Bragg em fibra óptica. 156

Figura 6.18 Comprimento de onda de Bragg em função da temperatura da rede medida

com o TRP Pt-100 (antes da rotura). 158

Figura 6.19 Comprimento de onda de Bragg em função da temperatura da rede medida

com o TRP Pt-100 (repetida). 159

Índice de figuras

189

Figura 6.20 Erros na utilização da rede de Bragg em função da temperatura medida com o

TRP Pt-100 (para o ajuste linear). 159

Figura 6.21 Esquema experimental para caracterização do termómetro de Brillouin. 162

Figura 6.22 Calibração do controlador de temperatura do forno utilizado para variar a

temperatura da fibra óptica. 162

Figura 6.23 Erros do controlador de temperatura do forno relativamente à temperatura

estabilizada obtida pelo TRP calibrado. 163

Figura 6.24 Desvio em frequência da radiação rectro-reflectida em função da temperatura

da fibra óptica. 163

Figura 6.25 Esquema da montagem experimental para o estudo da lei de Stefan-

Boltzmann: V – voltímetro; A – amperímetro; e - fonte de tensão variável (0

– 12V); L – lâmpada com filamento de tungsténio. 164

Figura 6.26 Potência na termopilha em função da quarta potência da temperatura do

filamento da lâmpada. 166

Figura 6.27 Logaritmo da potência na termopilha em função do logaritmo da temperatura

do filamento da lâmpada. 166

Figura 7.1 Diagrama esquemático das máquinas de Carnot utilizadas para estabelecer a

escala termodinâmica absoluta de temperatura (Anacleto, 2004). 168

Figura 7.2 Diagrama de fase para a água. O ponto triplo corresponde à temperatura de

273,15 K e à pressão de 612 Pa. 175

191

A1 Certificado de calibração do Pt-100


192

Laboratório da Metrologia da Temperatura

Instituto Electrotécnico Português

http://www.iep.pt

193

A2 Laboratório de Temperatura – IPQ


194

Instituto Português da Qualidade

Laboratório de Temperatura

http://www.ipq.pt/backFiles/LTE.pdf

195

A3 Laboratórios de Temperatura acreditados

Instituto Português de Acreditação – IPAC

http://www.ipac.pt/pesquisa/acredita.asp

197

A4 Procedimento experimental

Apresenta-se neste anexo os materiais utilizados e os procedimentos nas

actividades experimentais de determinação da capacidade térmica mássica do aço e da

condutividade térmica do cobre.

1. Determinação da capacidade térmica do aço pelo método das misturas

Material

• Calorímetro (vaso calorimétrico + agitador + termómetro)

• Gobelé

• Disco eléctrico

• Peça de aço presa com um fio

• Água

• Vaso de Dewer (Garrafa termo)

• 2 Termómetros

• Balança

Procedimento

Deve seguir-se a sequência apresentada, visto o equilíbrio térmico demorar algum

tempo a atingir-se

1. Determinação da massa e da temperatura inicial da peça de aço

• Colocar água no gobelé, e aquecê-la no disco eléctrico

• Determinar a massa da peça de aço, e registar o seu valor maço

• Transferir a água quente para a garrafa termo

• Introduzir a peça de aço suspensa por um fio no interior da garrafa termo e

fechá-la

• Introduzir o termómetro na tampa de modo a que o sensor fique no seio da água

• Esperar que se atinja o equilíbrio térmico e registar o valor dessa temperatura

θaço


198

2. Determinação da capacidade térmica do calorímetro

• Pesar o calorímetro e registar o valor da massa

• Colocar água no calorímetro, pesar novamente e, por diferença, determinar a

massa da água introduzida m1

• Agitar a água e logo que seja atingido o equilíbrio térmico registar a

temperatura, θ1

• Colocar água no gobelé, aquecer a água, agitando-a até se atingir uma dada

temperatura, θ2

• Transferir a água quente para o calorímetro e tapar

• Agitar para uniformizar a mistura e seguir a evolução da temperatura, registar o

valor máximo atingido θmistura

• Medir a massa total (do calorímetro + água fria + água quente) e determinar a

massa da água quente lançada no calorímetro, m2

• Calcular a quantidade de energia transferida para o calorímetro mais água fria,

usando o princípio da conservação da energia.

• Determinar o valor da capacidade térmica do calorímetro e determinar a

quantidade equivalente de água.

3. Determinação da capacidade térmica do aço

• Determinar a massa do calorímetro limpo e seco

• Colocar água no calorímetro, de modo a que o corpo a introduzir fique

submerso; voltar a pesar e determinar, por diferença, a massa de água

introduzida, mágua

• Tapar, agitar a água, logo que seja atingido o equilíbrio térmico registar a

temperatura, θágua

• Retirar a peça da garrafa termo e introduzi-la no calorímetro, o mais

rapidamente possível.

• Agitar a água e seguir a evolução da temperatura

• Atingido o equilíbrio térmico, registar a temperatura, θf

Tabelas de registo

Determinação da capacidade térmica do calorímetro

m1 θ1 θ2 θmistura m2

A4 Procedimento experimental

199

Questões a discutir com os alunos, podendo conduzir a alterações no

procedimento ou a procedimentos diferentes com diferentes grupos para

comparações de resultados

• Na determinação da capacidade térmica do calorímetro a deve usar-se uma

quantidade de água tal que a energia cedida pela água quente não provoque uma

acentuada variação de temperatura do sistema. Porquê?

• Seria preferível partir de água quente no calorímetro e adicionar água fria?

• Na determinação da capacidade térmica do aço será indiferente introduzir a peça

quente na água fria do calorímetro ou a peça fria na água quente do calorímetro?

2. Determinação da condutividade térmica do cobre

Material

O material utilizado constitui um kit da Phywe

• Dois suportes universais

• Grarras e nós

• Barra de cobre com 10 cavidades para encaixes dos termómetros e isolada

lateralmente, excepto no extremo que encaixa no vaso calorimétrico

• Vaso calorimétrico, com encaixe na parte inferior para a barra

• Vaso calorimétrico

• Massa térmica

• Resistência eléctrica

• 2 termómetros

• Medidor digital de temperatura

• Balança, craveira, cronómetro

Determinação da capacidade térmica mássica do aço

mágua maço θágua θaço θf


200

Procedimento

• Fazer a montagem de acordo com a a fotografia da Figura 3.5

No contacto da barra de cobre com o vaso calorimétrico superior usar massa

térmica, a outra extremidade fica imersa na mistura de água e gelo fundente

• Determinar a massa do vaso calorimétrico inferior

1. Determinação do gradiente de temperatura ao longo da barra

• Medir o diâmetro da barra e a distância entre as cavidades

• Colocar água no vaso calorimétrico superior

• Colocar água e gelo fundente no vaso calorimétrico inferior

• Ligar a resistência eléctrica para aquecer a água até à ebulição e mantê-la

• Deixar que ao longo da barra se atinja um fluxo estacionário de energia, que é

observado pela constância da temperatura nas cavidades da barra.

• Medir a temperatura em cada cavidade ao longo da barra, em regime

estacionário

• Construir o gráfico da temperatura em função da posição da cavidade na barra

2. Determinação do fluxo de energia ao longo da barra

• Com a água do vaso calorimétrico inferior a uma temperatura o mais próximo

possível de 0 ºC iniciar a medição da elevação da temperatura da água ao longo

do tempo

• Determinar a massa do conjunto vaso calorimétrico inferior + água e calcular a

massa da água

• Construir o gráfico da temperatura da água em função do tempo

3. Determinar a condutividade térmica pela expressão (3.10)

Questões a discutir com os alunos

• Discutir as principais fontes de erro da experiência

• Por que é que na determinação do fluxo de energia a água no vaso inferior deve

estar o mais próximo possível de 0 ºC?

Documents

Alcinda Maria da Costa Anacleto - Faculdade de Ciê · PDF fileseguida os fundamentos de metrologia de temperatura. Estuda-se a problemática da medição de temperatura na exploração