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Objetivos do encontro:

• Provocar reflexão sobre o processo ensino e aprendizagem de números. • Ampliar a coletânea de jogos que exploram números. • Divulgar autores e livros que abordam a construção do número, para fomentar o

interesse pela pesquisa.

ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA / ENSINO FUNDAMENTAL

2º Encontro: 18/03

NÚMEROS

ATIVIDADE DESENVOLVIMENTO DURAÇÃO

1. Leitura em voz alta 5’

2. Pontos de observação

Elaborar uma tabela elencando o que conservar, o que transformar e o que criar na dinâmica de trabalho que explora números.

5’

3. Leitura compartilhada História dos números 15’

4. Refletindo juntos Concepção de ensino e aprendizagem 15’

5. Utilizar livro de literatura infantil, lenda, jogo, brincadeira, situação gerada na rotina da escola como geradores de situações-problema.

Em grupo elaborar problema desencadeador de situações de valor cultural capazes de dar significado ao aprendizado de Matemática.

15’

6. Oficina e registro reflexivo

O jogo como elemento desencadeador da aprendizagem:

• Regras • Contribuições • Avaliação

20´

7. Desafios Explorando situações-problema 10’

8. Tarefa complementar Leitura dos textos sugeridos e questões sobre o bloco de conteúdo: números.

1h30

9. Webfólio Apresentação e orientação da ferramenta. 1h

10. Avaliação Entrega dos pontos de observação. 5’

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HISTÓRIA DOS NÚMEROS

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

A linguagem dos números Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-

se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre

de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.

As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas. E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, tornou-se parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

O número sem contagem Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das

poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em

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atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.

A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

A ideia de correspondência A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder".

Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode

fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleção, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível exceção de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural

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Disponível em:< http://www.somatematica.com.br/numeros.php>. Acesso em 16/02/09.

Ao longo de toda a existência da humanidade os conceitos de números têm tido uma enorme influência na nossa cultura e na nossa linguagem. São milhares as palavras que estão claramente associadas a números. Alguns exemplos visíveis são: �Um monólogo - discurso feito por uma pessoa; �Um dueto - canção cantada por duas pessoas; �Um triatlo - competição com três provas desportivas; �Um quadrilátero - figura com quatro lados. Mas o que é que nos fez, criar tão importante conceito? A resposta repousa claramente aos nossos pés. Quais de nós não tem, desde que nasce, uma certa noção se uma porção de objetos foi aumentada ou diminuída? Por certo, foi essa capacidade que fez aparecer esse conceito tão importante que é o número. Esta e mais a necessidade que o homem tinha de contar foram os alicerces para que nós nos começássemos a convencer que precisávamos de algo mais concreto que nos pudesse ajudar a exprimir e a contar os objetos que nos pertenciam. Assim, foram criados diversos sistemas de representação dos números por todo o mundo ao longo dos tempos, sendo os mais antigos que se conheçam os que são oriundos do Egito, Suméria e Babilônia. No entanto, não são apenas estes os sistemas numéricos conhecidos. Outros que convém mencionar são também os sistemas Grego, o Romano, o Indiano e o nosso muito conhecido e também muito utilizado, sistema Árabe.

Se você acha que matemática é um bicho-de-sete-cabeças, imagine o que achavam os homens das cavernas! Eles conviviam com noções de matemática sem desconfiar que ela está em toda parte. Mesmo há muuuuiiiito tempo, na pré-história, nossos antepassados já tinham a noção dos números. Claro que eles não sabiam contar, mas percebiam que as coisas mudavam numericamente. Por exemplo, que os dias passavam e os filhos estavam aumentando. Começaram então a gravar em ossos essas noções de quantidade (já que devia ser difícil guardar tudo "de cabeça"). Esses ossos entalhados são os registros mais antigos que existem, de mais ou menos 20.000 anos atrás.

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Aos poucos, os povos primitivos aprenderam a usar os dedos das mãos e dos pés para "lembrar" pequenos números. E tem muita gente que faz isso até hoje... Também usavam as partes do corpo para medir as extensões e descobriram quais as formas geométricas mais adequadas para suas peças de cerâmica e

para as pontas das lanças. Assim, cada cultura foi desenvolvendo um método de conhecimento e progredindo nessa ciência tão importante. Por exemplo, você sabe como os egípcios contavam?

CADA UM DESCOBRE SEU JEITO O hábito de usar os dedos da mão para contar funcionava mesmo. Assim, as pessoas se acostumaram a contar de 5 em 5 ou de 10 em 10. Tanto é que funciona até hoje, não é? Acontece que, quando as quantidades eram muito grandes, não havia mão que chegasse, então cada cultura descobriu um jeito de representar as mãos cheias. Os egípcios usavam símbolos diferentes a cada nova mão cheia. Tinham símbolos para as unidades, dezenas, centenas, milhares, etc. Depois, era só colocar os grupos lado a lado e assim eles obtinham os valores. Até que tinham um certo charme aqueles simbolozinhos...

Símbolo egípcio

descrição nosso número

bastão 1

calcanhar 10

rolo de corda 100

flor de lótus 1000

dedo

apontando 10000

peixe 100000

homem 1000000

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Já os chineses usavam... palitos! Quer ver?

OS CHINESES Os chineses usavam palitos para fazer suas operações. No início, os palitos eram grandes, depois foram diminuindo, e eram usados como símbolos para representar os

números de 1 a 9. Cada número tinha um valor dependendo da sua posição no conjunto de palitos. Tirando o modo de representar os números, que eram símbolos um tanto estranhos, esse sistema é quase igual ao nosso. A única diferença é que não existia nenhum símbolo para o zero. Os chineses simplesmente deixavam o espaço em branco. Isso não causava nenhum problema para eles, porque não faziam seus cálculos em papel; eles usavam um tabuleiro parecido com o do jogo de xadrez, por exemplo. Os grupos de

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palitos eram colocados em casas que representavam unidades, dezenas, centenas, etc. O nome do tabuleiro era swan-pan, e os quadrados vazios significavam o zero.

E o zero? Onde ele entra em toda essa história?

UMA DESCOBERTA IMPORTANTE: O NADA O zero já era utilizado para fazer cálculos, mas na realidade ele ainda não tinha sido inventado. Não entendeu? Quer dizer, ele já era considerado nos espaços em branco dos tabuleiros dos chineses e nas pedrinhas dos ábacos que permaneciam abaixadas.

Portanto, ele era só um espaço vazio. Quem inventou um símbolo para o zero foram os indianos, que tinham um sistema numérico baseado no número 10. Esse sistema foi criado por volta de 200 a.C. (antes de Cristo), e a inclusão do zero só aconteceu há aproximadamente 1.300 anos. Isto é, o zero é um companheiro relativamente "novo" dos números. A maneira como representamos os números hoje em dia provavelmente teve origem nesse sistema numérico criado na Índia. Os árabes o levaram para a Europa no século 10. Por esse motivo, são chamados algarismos "indo-arábicos". Na maioria dos países do mundo é usada hoje

uma versão pouco modificada dos algarismos indo-arábicos. E agora, você já está pronto para descobrir o segredo dos números? Letras disfarçadas de números Para ler alguma coisa escrita em um língua, a gente tem que saber falar essa tal língua, não é? Mas você já reparou que uma coisa escrita em japonês parece muito mais difícil de entender do que uma outra escrita em inglês, ou francês? É que, no Japão, as pessoas não só falam uma língua diferente da nossa, como também usam um outro tipo de escrita! - Tudo bem mas...o que isso tem a ver com matemática? Bom, o "alfabeto" da matemática são os números, certo? E, assim como existem vários tipos de alfabetos, também existem vários sistemas de numeração! Um desses sistemas foi criado pelos romanos, um povo que foi muito importante

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durante a Idade Antiga, e que construiu um império enorme. Esse sistema foi chamado de sistema romano!

Olhando para o sistema romano, a gente nota logo de cara que ele tem uma coisa muito diferente do sistema de numeração com o qual a gente está acostumado. Ou melhor, ele não tem uma coisa: números!

Parece estranho, não? Afinal, como é que um sistema numérico pode não ter números? Bom, é que, na hora de escolher um jeito de representar quantidades, os romanos resolveram usar a letras do alfabeto deles.

É isso aí, nesse sistema, cada letra "vale" uma quantidade de números. Mas, como os números são infinitos e as letras, não, os romanos tiveram que rebolar para "encaixar" todas as quantidades possíveis em algumas letrinhas. E eles conseguiram fazer a coisa tão bem que nem precisaram usar todas as letras do alfabeto! Nesse sistema, as únicas letras usadas são I, V, X, L, C, D e M.

Cada uma delas tem um valor: o I vale 1, o V vale 5, o X vale 10, o L vale 50, o C vale 100, o D vale 500, e o M vale mil.

Mas...parece que está faltando número aí! E o 2, o 3, e o 4? Onde estão o 20, o 30, o 40, o 60...? Calminha, os romanos não eram nada bobos e deram um jeito de representar todos os números nessas 7 letrinhas...

Os romanos faziam XIXI? Soma: essa é a palavra-chave para entender o sistema de numeração romano.

Pense comigo: o que é o 2? Não é a soma de 1 e 1? Pois então, na hora de representar o dois, os romanos simplesmente colocavam duas vezes o número 1, ou melhor, a letra I! Dois, em "romano", é II. E três? É III. - Ah, então é claro que o quatro é IIII, certo?

Errado! Acontece que, uma das regrinhas que os romanos inventaram foi a de que cada letra só pode ser repetida três vezes. Por isso, em vez de IIII, o quatro romano é escrito assim: IV. Mas porque?

É que, nesse caso, a gente usa o contrário da soma, que é a subtração. O quatro não é igual a cinco menos um? Pois então,o jeito que os romanos descobriram de representar isso é colocar o um, ou melhor, o I, antes do cinco, quer dizer, do V. Daí, o quatro "virou" IV, ou seja, um antes do cinco, ou cinco menos um!

E o seis? É só somar o cinco e o um: VI. O sete é VII, o oito VIII e o nove...IX, ou seja, "um antes do dez"! Deu para entender que esse tal "um antes" é uma regrinha que vale sempre. O dezenove, por exemplo, é XIX, ou seja, X+ IX, que em bom português quer dizer 10 + 9 (ou dez mais "um antes do dez")

Resumindo essa regra: quando um número (ou mais de um) vem escrito à direita de um numeral maior do que ele, você soma o valor(ou os valores) do menor ao do maior. Se o número menor vem escrito à esquerda de um número maior, você subtrai o valor do menor.

Meio complicado, não é? E daqui para a frente só piora! Quanto maior o número, mais letras entram nele. Pense em um número bem difícil. Aposto que foi 3.729, adivinhei?

Pois então, em "romanês", esse número fica assim: M + M + M (três vezes mil) + D + C +C (quinhentos mais duas vezes cem) + X + X + IX (duas vezes dez mais nove) = MMMDCCXXIX. Ufa! Deu para sacar que o tal XIXI lá do título não existe de verdade, não é? Para escrever 22, que é o que ele vale, nós faríamos assim: XXII. O tracinho salvador e o problema da posição Mas...se a letra de valor mais alto que existe no sistema romano é o mil (o M) , e se cada letra só pode ser repetida 3 vezes, então o maior número possível nesse sistema é 3.999 ( que se escreve MMMCMXCIX)! Nada disso: é aí que entra o tracinho salvador. Os danados dos romanos inventaram que é só colocar um tracinho em cima de um número

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para multiplicá-lo por mil! Ou seja, colocando um traço em cima do V, ele vira num passe de mágica...5.000! Para multiplicar por um milhão, é só colocar dois tracinhos, e assim vai. Essa parte foi simples, não?

Então, para completar a história, só falta falar de uma outra diferença entre o sistema romano e o sistema decimal (o que a gente usa). Preste atenção nesse número: 173. Olhou bem? Então responda: quanto vale o 7 nesse numeral? Setenta! Aqui, o 1 vale cem, o 7 vale setenta e o 3 vale três mesmo. Somados, eles "viram" 173! Mas, se a gente mudar a ordem, mudam os valores: em 371, por exemplo, o 3 não vale mais três, não. Ele agora vale trezentos. E o 1, que antes valia 100, agora vale só 1.

Por causa disso, esse nosso sistema é chamado de posicional. Isso quer dizer que a posição de um número define o quanto ele vale.

E o sistema romano? Esse é aposicional. No número XXI, cada X vale 10 e o I vale I, somado 21. E se, em vez de 21, a gente der uma espiada no XIX? Aqui, a soma dos números é 19, mas cada X continua valendo 10, e o I ainda vale 1. Ou seja, a posição não "mexe" no valor de um número.

Disponível em<http://www.canalkids.com.br/cultura/matematica/vocesabia/02.htm>. Acesso em 16/02/09.

Concepção de ensino e aprendizagem de números

“ Considerar o número e o numeral como conceitos essenciais em iniciação matemática exige a busca de elementos que revelem o processo de construção destes conceitos, de modo a fornecer bases para a ação educativa que contemple a aquisição destes. E se considerarmos ainda que a construção de conceitos deva ser realizada com significado, as exigências se ampliam no sentido de buscarmos criar situações de ensino em que sejam relevados os processos de aquisição do conhecimento, o conteúdo a ser aprendido e as ações didáticas que possibilitem a formação do sujeito que aprende.” MOURA, Manoel Oriosvaldo de. A construção do signo em situação de ensino. São Paulo: Tese de Doutorado, USP, 1992.

Ao nos debruçarmos sobre o ensino e aprendizagem do bloco de conteúdo de números nos reportamos às contribuições da psicologia genética e, nesse sentido, as referências que fundamentam nossas ações estão relacionadas com a teoria construtivista. Sugerimos a leitura de Constance Kamii, Manoel Oriosvaldo de Moura, Terezinha Nunes Carraher, Cecília Parra, Delia Lerner e Oscar Guelli (História dos números). Segundo Moura (1992), a construção do conceito acontece na busca de solução de problemas gerados nas interações sociais, dessa forma investigou:

• A história do conceito como norteadora das ações educativas ao propiciar parâmetros para a organização do ensino em que se revele a sua complexidade e o valor cultural do conhecimento.

• O jogo como elemento desencadeador da aprendizagem, ao propiciar situações de controle de quantidades e a sua comunicação.

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• As situações de valor cultural capazes de dar significado ao aprendizado da Matemática. Quais são as situações de valor cultural que representam desafio, problematização

e são desencadeadores do pensamento matemático? Como potencializar o sujeito para o fortalecimento da sua sociedade e da sua individualidade? Como mediar essas situações no ambiente escolar? Qual a melhor forma de organização para o trabalho? De acordo com Ubiratan D´Ambrósio (1986) a Educação Matemática compreende que a matemática é uma atividade inerente ao ser humano, resultante de seu ambiente sócio-cultural. Orientado por essa visão ampla de sujeito cognoscente, Moura (1992) aponta que a matemática a ser desenvolvida na escola é aquela tida como importante para que o sujeito se construa enquanto indivíduo, conviva socialmente e promova o desenvolvimento social.

Sobre a construção de conceitos Moura (1992) sintetiza:

• o sujeito ao aprender não o faz como se absorvesse o novo conhecimento por justaposição, mas sim atribuindo significados num contexto de relações interpessoais;

• a educação escolar é responsável pela natureza construtiva e ativa dos processos de aprendizagem do sujeito;

• a construção do conhecimento tem por objetivo partilhar significados.

O mesmo autor destaca como elementos essenciais da Educação Matemática: • incluir a criança no processo de ensino por meio de situações-problema; • valorizar os elementos éticos e sócio-culturais da Matemática no ensino; • ter presente que o domínio dos conceitos científicos contribuem para o

desenvolvimento cognitivo; • colocar educador e educando na dinâmica de construção do processo

pedagógico ao considerar a história de vida deles. As pesquisas sobre atividades de diferentes povos apontam seis delas como

universais: contar, localizar, medir, desenhar, jogar e explicar (classificação, lógica...). De acordo com Bishop essas atividades podem servir de base para a reformulação curricular e Moura (1992) sugere a possibilidade de acrescentar a essa lista a atividade de comunicar. Pensamos em matemática como produto cultural e nesse sentido é necessário rever as atividades propostas, permitindo uma conexão com a linguagem e com a cultura. Como seria concebida a matemática vista dessa forma? De acordo com Moura (1992) a matemática é vista como apreensível e ainda como:

“uma função não somente utilitária de resolver problemas imediatos, mas como aquele conhecimento que encerra em si a arte e a cultura, e é linguagem e instrumento poderoso no domínio de novas tecnologias. A Matemática entendida como produto das necessidades humanas pode gerar uma nova relação entre quem ensina e quem aprende. Esta deve ser eminentemente de cumplicidade e de co-responsabilidade por preservar e fazer avançar o conhecimento indispensável ao homem.”

Elementos comuns entre alfabetização e aprendizagem da matemática

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Em documento da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, que trata do Ciclo Básico, a Equipe de Matemática se posiciona em relação à matemática dizendo que:

“...em termos curriculares, o papel desempenhado pela matemática se aproxima daquele desempenhado pela alfabetização, em sentido amplo, ou seja, o de tornar possível a compreensão de certos aspectos, sobretudo quantitativos, da realidade física e social e dos processos lógicos subjacentes a essa compreensão. Além disso, as mesmas operações mentais presentes na alfabetização em língua materna estão presentes nos primeiros passos rumo ao domínio do número e de sua representação: classificar, seriar, ordenar, fazer correspondência etc.” (São Paulo (Estado) Secretaria de Educação, 1986:45).

O número em construção na criança

A concepção de número em Piaget, de acordo com Kamii (1986), é o exemplo do

tipo de conhecimento que Piaget chama de lógico-matemático. Este se distingue de outros dois tipos de conhecimento: conhecimento físico e conhecimento social.

Kamii (1986) afirma que: “números são aprendidos não por abstração empírica de conjunto já feitos mas por abstração reflexiva à medida que a criança constrói relações”.

Assim, querer que a criança “aprenda” números mostrando-lhe um conjunto e associando a este um símbolo pode ser no mínimo inútil, se esta não tiver construído o número internamente por meio da abstração reflexiva, como resultado de dois tipos de relação entre os objetos: a ordem e a inclusão hierárquica. Segundo Kamii (1986), a noção de número só pode emergir a partir da atividade de colocar todos os tipos de coisas em todos os tipos de relações, daí decorre que o primeiro princípio de ensino é o de atribuir importância ao fato de encorajar as crianças a estarem alertas e colocarem todas as espécies de objetos, eventos e ações em todos os tipos de relações. De acordo com Moura ( 1983), as investigações didáticas sobre a construção do número são orientadas pelo modelo construtivista do conhecimento, assumindo que construir o signo numérico é o processo de criar o significado da representação do número. O aluno nessa perspectiva deve aprender os elementos essenciais definidores dos conceitos de número e de sua representação: a relação significante-significado e o aspecto ordinal e cardinal do número. O número em construção nas interações

O confronto de ideias na interação social ajuda na construção de outras mais avançadas pela criança (Kamii, 1986). Quando a criança defende seu ponto de vista, organiza as ideias e elabora a autonomia intelectual. Elas devem ser encorajadas a estabelecer comunicação nas atividades matemáticas. O trabalho coletivo em sala de aula por meio de pequenos grupos e intercâmbio entre os grupos é necessário e a ele é atribuído importante papel na aprendizagem. O

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intercâmbio pode acontecer por meio de registros escritos, desenhados, relatos ou argumentações orais. A construção do ensino

Cabe ao educador promover atividades que envolvam solução de situação-

problema, a inclusão de todas as crianças no processo de ensino e a consideração do papel lúdico nessa fase de aprendizagem.

O plano do professor deve conter quatro momentos fundamentais: a situação-problema, o processo de solução, a avaliação das soluções e a síntese do conceito discutido. A síntese permite que o aluno avance do conhecimento primeiro ao conhecimento elaborado. Esses quatro momentos acontecem tanto na conexão entre matemática e literatura infantil, como na hora da problemoteca ou na oficina de jogos.

Plano do educador Recurso utilizado/ conteúdo: lenda gaúcha Negrinho do Pastoreio / conceito de

signo numérico: a correspondência um a um. Situação-problema - É o momento de envolver a criança na atividade e trazê-la

para o trabalho coletivo, na busca do conhecimento. O roteiro do professor deve alertar para a questão central da situação-problema, formulando claramente a pergunta a ser discutida em sala de aula, ou a tarefa a ser cumprida em busca do conceito.

Realizar a leitura da lenda e depois lançar o desafio aos alunos da classe, que é o de ajudar o Negrinho a encontrar uma forma de conferir se a quantidade de cavalos que leva para o pasto não se altera ao buscá-los no final do dia. Isto é se não fugiu nenhum dos cavalos que leva para o pasto não se altera ao buscá-los. Como conferir sem utilizar os numerais indo-arábicos?

Processo de solução - Após a colocação do problema, cada aluno apresenta

suas hipóteses e tenta a solução. As hipóteses apresentadas são avaliadas por todos os alunos e professora.

O ambiente escolar deve propiciar busca cooperativa, momentos em que todas as hipóteses são respeitadas, consideradas e divulgadas e não só as corretas são expostas.

Avaliação Alunos e professora, em conjunto validam as possíveis respostas. O

critério de verdade é o consenso sobre a justeza da resposta. É a possibilidade de construir coletivamente a lógica. Devemos garantir a avaliação do aluno e também a do professor.

Síntese - É papel do professor, ao final da solução, explorar ao máximo o conceito

estudado.)

Plano do educador Recurso utilizado: (livro de literatura infantil)_______________________________ Situação-problema

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Processo de solução

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Avaliação ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Síntese

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O que matemática tem a ver com leitura?

Por que avaliar habilidades matemáticas em uma pesquisa sobre analfabetismos?

O que tem a ver Matemática com o letramento? Leituras Março de 2007 – Ano II – N.º 2 Ministério da Educação

As condições de letramento incorporam o que se tem chamado de condições de numeramento, que se volta para as práticas sociais que mobilizam conhecimentos associados aos números, às medidas, ao espaço e às formas, e às representações por meio de gráficos, tabelas ou diagramas.

O brasileiro é bom de matemática? Os resultados do Inaf (Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional),apontam

índices de “analfabetismo matemático” da população brasileira com idade entre 15 e 64 anos: % Resultados do Inaf (Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional) 2% São analfabetos matemáticos, não demonstram dominar sequer habilidades

matemáticas mais simples, como ler o preço de um produto numa propaganda ou anotar um número de telefone ditado por alguém.

29% Apresentam um nível de habilidade matemática bastante elementar: são capazes de ler números de uso freqüente em contextos específicos (preços, horários, números de telefone, instrumentos de medidas simples, calendários).

46% Demonstra dominar completamente a leitura dos números naturais, independente da ordem de grandeza, são capazes de ler e comparar números decimais que se referem a preços, contar dinheiro e fazer troco. Também são capazes de resolver situações-problema que envolvam uma única operação de adição, subtração, multiplicação ou divisão.

23% São capazes de adotar e controlar uma estratégia na resolução de um problema que envolva a execução de uma série de operações, inclusive cálculo proporcional. Apresentam familiaridade com medidas usuais de comprimento, área, massa e capacidade e com representações gráficas como mapas, tabelas e gráficos.

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A identificação das questões com os menores índices de acerto sugere, entretanto, não uma dificuldade para calcular, mas para se elaborarem estratégias e se organizar e controlar um plano de execução dos procedimentos para resolver os problemas. Configuram-se como desafios também as tarefas que supõem certa intimidade com modos de organizar e divulgar informações, hoje frequentemente utilizados nos meios de comunicação de massa, como gráficos, tabelas, índices e dados percentuais.

Essas dificuldades devem ser tomadas como alertas pela escola sobre a necessidade de se desviar o foco de uma abordagem ainda excessivamente preocupada com as técnicas de cálculo, para a construção de espaços de discussão de estratégias diversas de resolução de problemas que, contemplando questões do cotidiano – não como um reducionismo, mas justamente em sua complexidade e multiplicidade de fatores e de expressões envolvidas – possa revelar possibilidades, e também limites, dos instrumentos e dos critérios matemáticos para se compreender o mundo e transformá-lo.

ENCULTURAÇÃO E ACULTURAÇÃO MATEMÁTICA: INTERAÇÕES CULTURAIS E

REAÇÕES AFETIVAS DOS ALUNOS EM SALA DE AULA

Diogo Alves de Faria Reis Cristina de Castro Frade

Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG diogoalvesfaria@uol.com.br

cristinafrade@ufmg.br 1. INTRODUÇÃO Para alguns educadores matemáticos como, por exemplo, Clarkson, Fitzsimons, Seah (1999) e Bishop (1988, 1994, 1997, 2002), a maioria das pessoas tende a ver a Matemática como uma disciplina livre/independente da cultura e de valores. Estes autores dizem, ainda, que fracassos e dificuldades em relação à disciplina na escola são usualmente atribuídos, apenas, aos aspectos cognitivos dos estudantes, ou em função da qualidade do ensino recebido por eles. Com isso, aspectos afetivos e, principalmente, aspectos culturais, raramente, têm sido considerados no ensino-aprendizagem da Matemática. Articular afetividade com aspectos culturais, mais especialmente, os valores dos professores e dos alunos, tem sido interesse de alguns pesquisadores, como por exemplo, Bishop (1999, 2002). Baseando-se na literatura da antropologia, este autor propõe introduzir os conceitos de enculturação e aculturação em Educação Matemática argumentando que estes conceitos estão fortemente vinculados aos valores dos professores em relação à disciplina. Bishop (2002) sugere que estes valores podem caracterizar os processos de aprendizagem matemática dos alunos como sendo de enculturação ou de aculturação influenciando, assim, positiva ou negativamente a dimensão afetiva da aprendizagem. Wolcott (in Bishop 2002) descreve aculturação como sendo o processo de modificação de uma cultura através de contatos contínuos com outra cultura (dominante). Já a enculturação seria a indução, por parte de um grupo cultural, de pessoas jovens dentro de sua própria cultura. Segundo Cuche (1999) “... em ‘aculturação’ o prefixo ‘a’ não significa privação: ele vem etimologicamente do latim ‘ad’ e indica um movimento de aproximação.” (p. 114). Com base nisso, Bishop (2002) sugere que a batalha educacional pode estar pautada em experiências de enculturação ou de aculturação. Neste trabalho relatamos um estudo cujo objetivo é identificar o quanto a aprendizagem matemática escolar pode ser vista como um processo de enculturação ou como um processo de aculturação. Ao fazer isto, estaremos examinando o quanto o professor de matemática se aproxima de um “aculturador” ou de um “enculturador”, na

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visão de Bishop, em termos das interações culturais que ocorrem em sala de aula e das reações afetivas dos alunos resultantes destas interações. 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1 A Educação Matemática no Contexto Cultural Muito já foi discutido a respeito da ideia de que a Matemática possui uma história cultural e que histórias culturais diferentes podem produzir diferentes Matemáticas. Diante disso, a Matemática, segundo Bishop (1988), é um fenômeno “pan-humano” (pan no sentido de “universal”). Para Bishop (1988) existem seis atividades fundamentais que ele considera como sendo atividades matemáticas universais, isto é, atividades que parecem ser realizadas pelos diversos grupos culturais já estudados. São elas: contagem, localização, medição, desenho, jogo e explicação. A contagem é a primeira atividade em Matemática e mostra a preocupação com a pergunta “quantos?”. Isto fez com que diversas sociedades criassem seus próprios sistemas de numeração. A segunda atividade em Matemática, para Bishop, é denominada localização. Esta atividade trata da relação do homem com o mundo espacial estruturado de hoje. A medição é a atividade que se preocupa com a pergunta “o quanto?” que também é uma pergunta feita e respondida em cada sociedade. A quarta atividade trata do desenho. Bishop (1997) mostra que o interesse particular aqui está em como diferentes formas são construídas, em analisar suas várias propriedades e em investigar como elas se relacionam. O jogo é a quinta atividade que tem a ver com a Matemática. Bishop (1997) afirma que nem todo jogo é importante do ponto de vista matemático, mas os enigmas, os paradoxos lógicos, e alguns outros jogos envolvem a natureza matemática. Por fim, a sexta atividade é a explicação. Em Matemática existe uma necessidade de encontrar maneiras de esclarecer a existência de fenômenos para compreender o mundo. Estas seis noções básicas podem ter apoiado o desenvolvimento do conhecimento matemático “Ocidental”, como também evidenciado a existência de outras matemáticas desenvolvidas por outras culturas. 2.2 Enculturação e Aculturação Matemática Para Bishop (1999), a criança não “recebe” a cultura como uma entidade abstrata. Ele (p.118) afirma que “os valores e normas culturais são representados pelas pessoas, seja como indivíduos ou como produtos pessoais (escritos, artefatos, instituições, etc)”. Portanto, a aprendizagem cultural na escola não se trata de um simples processo unidirecional que vai do professor para o aluno. Segundo o autor, a enculturação matemática na sala de aula teria como alvo a iniciação dos alunos nas conceituações, simbolizações e nos valores da cultura matemática:

A enculturação não se faz de uma pessoa a outra: a cultura não é ‘algo’ que se transmite de uma pessoa para outra e nem o aluno é um mero receptor passivo da cultura procedente do enculturador. A enculturação é um processo interpessoal e, conseqüentemente, um processo interativo entre pessoas. Neste sentido, a Enculturação Matemática não é diferente de qualquer outra enculturação. (BISHOP, 1999, p. 160).

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Diante disso, a sala de aula de Matemática se tornaria um ambiente propício para a enculturação matemática. Contudo, já numa fase posterior, Bishop (1999 2002) reavalia suas ideias iniciais e reconhece que não podemos deixar de considerar a existência de conflitos culturais gerados neste ambiente provocando, também, o processo de aculturação matemática. Nesta fase de reavaliação de idéias, Bishop dedica estudos não no aprendiz1 individualmente, mas no processo de aculturação em si e no papel de todos aqueles que, segundo ele, poderíamos “definir” como sendo “aculturadores”. Ao fazer isto o autor observa os aprendizes através de suas experiências de conflitos culturais e explora como o processo de aculturação interage com as ações dos alunos visando co-construir a aprendizagem e a prática. Bishop (2002) parte, então, para o levantamento de uma hipótese mais radical: “toda Educação Matemática é um processo de aculturação, e todo estudante/aprendiz experiência conflito cultural nesse processo. Entretanto, conflito cultural não precisa ser conceptualizado exclusivamente de uma maneira negativa...” (p. 192) No que se refere ao papel do professor nas interações culturais em sala de aula, Bishop (2002) sugere que o professor seria o principal agente de aculturação na Educação Matemática. O autor estabelece dois parâmetros de análise para identificar um professor aculturador. O primeiro, diz respeito às matemáticas cotidiana e escolar enquanto o segundo, diz respeito ao poder institucionalizado do professor. O primeiro parâmetro considera a ligação entre a cultura matemática cotidiana e a cultura matemática escolar. Levando-se em conta estes dois tipos de cultura, Bishop sugere que um professor aculturador seria aquele que mantém esta exclusividade; que não faz referência a nenhum conhecimento matemático fora da escola, e não é capaz de fazer nada com este conhecimento ainda que os alunos o possuam. Usando-se o segundo parâmetro, um professor aculturador seria aquele que exerce de maneira “negativa” seu poder hierárquico sobre os alunos: imposição do que se quer através da posição privilegiada e de poder, legitimados pela instituição e pelo sistema educacional. Popkewitz (1999) oferece uma concepção de poder mais produtiva ao questionar o uso da palavra “poder” como “exercício de soberania”. Para ele, este uso cria mundos dicotômicos nos quais residem o opressor e o oprimido, produzindo assim um dualismo cujo efeito é definir grupos particulares como entidades não-unificadas. Este dualismo opressor/oprimido derruba as qualidades produtivas do poder, pois os sistemas de conhecimento são construídos através de ação e participação. Baseando-se nesta idéia, Bishop (2002) observa que os professores não precisam aceitar, sem reflexão, o sistema institucionalizado de regras e normas sobre a Educação Matemática que, de maneira geral, não reconhece a questão das diferenças culturais como sendo importantes. O professor tem a possibilidade de ser um mediador deste sistema por meio de seus próprios instrumentos didático-pedagógicos, não aceitando tudo pacificamente. Ao oferecer um “fechamento” para suas idéias sobre conflitos culturais e aculturação, Bishop (2002) propõe uma reconceptualização do ambiente de aprendizagem da Matemática. Esta reconceptualização é elaborada com base no construto teórico de Gee (1996) sobre “borderland discourses” – discursos de regiões fronteiriças (DRF). Tais discursos ocorrem em áreas ou zonas de fronteiras entre os chamados “discurso primário” e o “discurso secundário”. O discurso primário refere-se ao discurso aprendido e usado dentro da família, em casa e em grupos ao redor. O discurso secundário está relacionado a tradições passadas adiante por gerações através do

1 O termo aprendiz, neste caso, se encaixa melhor com está idéia, visto que não só os alunos na escola passam por esses

processos como também qualquer pessoa em vias de aprendizagem.

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tempo, visando ao aprendizado de comportamentos em ambientes externos a nosso redor. Neste sentido, o discurso secundário constitui-se de um discurso “mais” institucionalizado ou formal. Bishop interpreta, ainda, que esta área de fronteira é algo que está entre o mundo da família e o mundo dos matemáticos. Além disso, o discurso presente nesta área é um discurso particular, a saber, DRF que contem elementos dos discursos destes dois mundos. Discussões e argumentos sobre contratos didáticos, conversas sobre procedimentos de verificação de respostas, debates sobre a forma de organização de grupos de trabalho, avaliações de dever de casa, etc, são elementos que não constituem o foco de argumentos matemáticos e, portanto, não fariam parte do discurso matemático secundário. Contudo, estes elementos são partes do discurso matemático de sala de aula e, como tal, constituem parte do material do DRF. Bishop indica algumas implicações do construto “DRF” para o ensino, para os professores e para outras pessoas (como por exemplo, pais e colegas de sala) envolvidas no processo de aculturação. O autor propõe que a Educação Matemática de uma pessoa jovem deixe de ser uma “aculturação intencional” para se tornar uma “produção cultural”. Além disso, ele propõe que a escola deveria ser o lugar onde os discursos primários das famílias e das comunidades dos estudantes encontram com o discurso secundário da comunidade matemática; onde a co-construção de significados, valores e práticas culturais acontece; lugar onde o poder produtivo de Popkewitz pode ser desenvolvido, considerando as pessoas não como “donas” do poder, mas, sim, como mediadores dos sistemas de conhecimento e regras, dos quais o poder deriva. Bishop (2002) afirma que o processo de aculturação matemática, bem como a noção de conflito cultural estão impregnados de componentes afetivos, em particular, de valores e emoções. Diante disso, na seção seguinte, procuraremos articular este processo e esta noção discorrendo sobre a literatura sobre afetividade em Educação Matemática. 2.3 A Dimensão Afetiva na Educação Matemática Vários pesquisadores em Educação Matemática (McLeod, 1992; DeBellis & Goldin, 1997; Bishop, 1999; Hannula, Evans, Philippou, Zan, 2004) vêm mostrando que a afetividade tem uma função central no processo de ensino-aprendizagem em Matemática. Por exemplo, para Mandler (1984 in McLeod, 1992), existem três fatores principais relacionados à afetividade que devem ser aprofundados e discutidos na Educação Matemática: as crenças que os alunos possuem sobre a matemática, as emoções que ocasionam perturbações e bloqueios fazendo com que os alunos experimentem sentimentos positivos e negativos ao aprender matemática e, finalmente, as atitudes desenvolvidas pelos alunos diante da disciplina. As crenças, as emoções e as atitudes são discutidas em detalhe por McLeod (1992). DeBellis e Goldin (1997 in Hannula et. al, 2004) adicionam um quarto elemento na pesquisa sobre afetividade na Educação Matemática: os valores. Kroeber e Kluckhohn (1952, p.340 in Bishop, 1999) dizem que os valores constituem a única base inteligível para a compreensão da cultura “porque a verdadeira organização de todas as culturas se dá, fundamentalmente, em função de seus valores”. Por isso, se buscamos uma aprendizagem matemática mais significativa, devemos procurar compreender os valores tanto dos professores quanto dos alunos, em relação à disciplina. Dessa maneira, poderemos estar enculturando de forma saudável nossos alunos à cultura matemática escolar. No que se refere aos valores dos professores, Bishop (1999) propõe uma divisão em três categorias para o que ele considera como sendo os principais valores associados à Educação Matemática. São elas: valores ideológicos, valores sentimentais e valores

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sociológicos. Os valores ideológicos são divididos em dois: racionalismo e empirismo. Segundo o autor, o racionalismo se encontra no coração da matemática, onde a lógica e a razão possuem um vocabulário muito elaborado. É este valor que garante o poder e a autoridade da matemática. O empirismo tenta caracterizar uma visão de mundo dominada por imagens de objetos materiais. Aqui, Bishop faz o contraste do abstrato (racionalismo) com o concreto (empirismo) no sentido de que é preciso ligar a teoria ao objeto e levar isto para a sala de aula de matemática. Os valores sentimentais também são divididos em dois: controle e progresso. O controle se caracteriza como forma segura de entender a realidade. A matemática ao identificar um fenômeno prevê certo controle sobre ele. Já o progresso, representa um sentimento mais dinâmico que o anterior, ou seja, o controle que, com seu fundo de segurança, representa um conjunto de ações mais estáticas. Os valores sociológicos são divididos em: abertura e mistério. A abertura se caracteriza pelas idéias matemáticas que em geral estão sempre abertas ao exame de qualquer pessoa. O mistério está relacionado com as abstrações na matemática. Quanto mais abstratas são as idéias, menos contextualizadas estarão e, em conseqüência, também serão menos significativas para os alunos. Bishop destaca como este valor é amplamente difundido na Educação Matemática e sugere que esta deve priorizar o racionalismo sobre o empirismo, se preocupe mais com o progresso do que o controle e que desenvolva na sociedade mais abertura e menos mistério. Como vimos, os processos de enculturação e aculturação matemática estão atrelados ao conceito de conflito cultural que envolve valores tanto dos professores quanto dos alunos. Por isso, é de extrema importância que os valores dos alunos sejam considerados no estudo em questão. Contudo, Bishop e Clarke (2005) discutem a dificuldade de se estudar valores ensinados e aprendidos pelas crianças, em Educação Matemática, por estes serem muitas vezes valores implícitos. Vimos, também, que quando revelamos elementos de nosso sistema de crenças, fazemos escolhas. Estas escolhas reveladas, implícita ou explicitamente, constituem o que Bishop chama “valores”. Sendo assim, diz Bishop, poucas são as situações em sala de aula em que as crianças podem escolher e tomar decisões; os valores que predominam em sala de aula são os dos professores. 4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BISHOP, A. J. Mathematics education in its cultural context. Educational Studies in Mathematics, 19, 179-191, 1988 ______. Cultural conflicts in mathematics education: developing a research agenda. For the Learning of Mathematics Journal, v14 n2 p15-18, 1994 ______. The relationship between mathematics education and culture. Opening address delivered at the Iranian Mathematics Education Conference in Kermanshah, Iran, 1997 ______. Enculturación matemática: la educación matemática desde una perspectiva cultural. Buenos Aires: Paidós, 1999. ______. Mathematical Acculturation, cultural conflicts, and transition. In G. de Abreu, A. J. Bishop and N. C. Presmeg (Eds). Transitions between contexts of mathematical practices (pp.193-212). Dordrecht, Holland: Kluwer Academic Publishers Kluwer, 2002a. ______. “Research, Policy and Practice: The case of Values”. Paper presented at the Biennial International Conference on Mathematics Education and Society, 2002b. BISHOP, A. J, CLARKE, B. “Research, Values in maths and science – what can we learn from children’s drawings?”. Paper presented at the Annual Conference os the Mathematics Association of Victoria, December, 2005.

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BISHOP, A. J, FITZSIMONS, G.E., SEAH, W.T. & CLARKSON, P. C. “Values in Mathematics Education: Making Values Teaching Explicit in the Mathematics Classroom”, Paper presented at the Australian Association for Research in Education, Melbourne, 1999. CLARKSON, P. C. FITZSIMONS, G.E., SEAH, W.T. &, “Values Relevant to Mathematics? I’d like to See That! In. D. Tynam, N. Scott, K. Stacey, G. Asp, J. Dowsey, H. Hollingsworth & B. McCrae (Eds.), Mathematics: Across the ages. Melbourne: Mathematics Association of Victoria, 1999. CUCHE, D. A noção de cultura nas ciências sociais. Trad. Viviane Ribeiro. Bauru: EDUSC, 1999 DEBELLIS, V.A. & GOLDIN, G.A. The affective domain in mathematical problem-solving. In: Proceeding of the 21th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Vol. 2. Finland: University of Helsinki. 1997. HANNULA, M., EVANS, J., PHILIPPOU, G., ZAN, R. Affect in Mathematics Education – exploring theoretical frameworks. Proceedings of the 28th International Conference for the Psychology of Mathematics Education. Bergen – Noruega. 2004 KROEBER, A. L., KLUCKHOHN, D. Culture – a critical review of concepts and definitions. Vintage Books: NY, 1952. in BISHOP, A. J. Enculturación matemática: la educación matemática desde una perspectiva cultural. Buenos Aires: Paidós, 1999. MCLEOD, D. B. Research on affect in Mathematics education: a reconceptualization. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Nova York: Macmillan. 1992 MOSCOVICI, S. Social influence and social change. London: Academic Press, 1976. In G. de Abreu, A. J. Bishop and N. C. Presmeg (Eds). Transitions between contexts of mathematical practices (pp.193-212). Dordrecht, Holland: Kluwer Academic Publishers Kluwer, 2002. MANDLER, G. Mind and body: Psychology of emotion and science. Nova York: Norton. 1984 O’CONNOR, P. Workers’ cultures and learning: a spanner in the works. Critical Forum, 4, 2, 70-102, 1995. In G. de Abreu, A. J. Bishop and N. C. Presmeg (Eds). Transitions between contexts of mathematical practices (pp.193-212). Dordrecht, Holland: Kluwer Academic Publishers Kluwer, 2002. POPKEWITZ, T.S. Introduction: critical traditions, modernisms, and the 'posts'. In T.S. Popkewitz, & L. Fendler (Eds) Theories in education: changing terrains of knowledge and politics.(pp. 1-13) New York: Routledge, 1999. In G. de Abreu, A. J. Bishop and N. C. Presmeg (Eds). Transitions between contexts of mathematical practices (pp.193-212). Dordrecht, Holland: Kluwer Academic Publishers Kluwer, 2002. SIMON, H. A. Comments. In M. S. Clark & S. T. Fiske (Eds.). Affect and cognition. Hillsdale, NJ. Lawrence Erlbaum. 1982. WHITE, L. A. The evolution of culture. McGraw-Hill, New York, 1959. In BISHOP, A. J. Mathematics education in its cultural context. Educational Studies in Mathematics, 19, 179-191, 1988. WOLCOTT, H.F. The teacher as an enemy. In G.D.Spindler (Ed) Education and cultural process: towards an anthropology of education. (pp. 136-150) New York: Holt, Rinehart and Winston, 1974.

Disponível em: www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/PO01179289684T.doc.Acesso em 17/02/09.

Referências bibliográficas: D´Ambrósio, Ubiratan. Da realidade à ação. Reflexões sobre educação e matemática. São Paulo: Summus, 1986. KAMII, Constance. A criança e o número. Campinas: Papirus, (1986).

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Reflexão, roda de conversa e registro posterior à oficina de jogos

Você gostou dos jogos que conheceu? Quais são os jogos de que mais gostou? E do que menos gostou?

Depois de jogar várias partidas de um mesmo jogo, você passou a considerar-se melhor jogador do que na primeira partida?

Como pode conseguir melhor desempenho no jogo? O que aprendeu com os jogos? Participou dos jogos com atenção e concentração? Criou estratégias interessantes para vencer? Contribuiu com a organização do ambiente para a oficina de jogos? Qual a importância da oficina de jogos nas aulas de matemática? A comunicação durante o jogo é um fator importante para ampliar a visão do jogo? Você observa as jogadas e escuta os comentários dos seus colegas? O que é necessário para vencer os jogos? Faz perguntas quando não compreende algum jogo? Durante a partida do jogo, qual foi a sua atitude? Aceitou o desafio? Como se

sentiu? O que fez? O que propôs? Que atitudes ajudam e que atitudes atrapalham o seu desempenho na oficina de jogos?

O que você pode mudar para ser um parceiro melhor a partir de agora? Qual é a sua atitude quando o jogo está difícil? Como você pode contribuir para a organização dos jogos no encerramento da

oficina?

Avaliação dos pais Os filhos falam sobre as atividades desenvolvidas na oficina de jogos? O que comentam? Quais foram os resultados observados?

Retomando o tema Portfólio

Afinal de contas, avaliar para quê? Para quem? Depois da avaliação falamos do aluno ou com o aluno? Quanto vale? Vale nota? O que tem valor na escola? O que validamos como práticas eficientes, criativas, participativas e produtivas?

Sabemos que a confiabilidade de um processo de avaliação se estabelece a partir da presença da diversidade de informações e baseia-se no desempenho daquele que as realizou. O portfólio nos dá pistas de como avançamos e possibilita a análise de algumas fraquezas. Contribui para que alunos e professores possam replanejar as atividades de ensino e aprendizagem.

O portfólio que contém textos reflexivos no formato de bilhetes, lembretes, dúvidas, símbolos ( ? )organiza as ideias sobre a leitura e o estudo e orienta o que é necessário retomar, pesquisar, questionar, verificar, recriar ou conservar.

Cláudia Cavalcanti Pereira lista características do portfólio como avaliação: • Ser autêntica e válida. • Incluir o aluno em sua totalidade. • Compreender a observação de aspectos afetivos, sociais, cognitivos e culturais. • Ocorrer num período determinado de tempo.

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• Comportar diversos recursos para tomada de informação sobre o desempenho dos alunos.

• Contemplar a possibilidade de estabelecer um diálogo entre alunos e professores, entre os diversos professores de um mesmo aluno, entre professores e pais, e alunos e pais.

Katia Stocco Smole afirma que se desejamos que o aluno seja tutor de sua aprendizagem devemos partilhar com ele a responsabilidade por sua avaliação desde cedo. Para isso sugere que o instrumento de avaliação deve ensinar o aluno a ver e ver-se no processo de ensino e aprendizagem, a perceber seus avanços, suas necessidades, suas aprendizagens, suas dúvidas.

A diversidade de textos que o portfólio comporta, permite manifestações afetivas e cognitivas. Podemos compreender anseios, dificuldades, e satisfações de cada um. Dessa forma é necessário encorajar a comunicação por meio de registros pictóricos ou não, com um nível cada vez mais elevado de proficiência.

Falar sobre os medos, mitos, sustos, prazeres e relacionar os sentimentos com as possíveis ações em cada situação nos permite tomar consciência do processo de construção do conhecimento e da responsabilidade de cada indivíduo.

A prática da construção do portfólio é um exercício de autonomia, criticidade e engajamento, foca no ensino e na aprendizagem, além de romper amarras com avaliações não significativas.

O exercício do registro no portfólio pode ser comparado a uma análise de radiografia. Indica como estamos e permite escolhas preventivas ou curativas.

Sugestões de leitura: <www.mathema.com.br>.

Material dourado Histórico O Material Dourado é um dos muitos materiais idealizados pela médica e educadora Maria Montessori (1870 – 1952) para o trabalho com matemática. Embora especialmente elaborado para o trabalho com aritmética, a idealização desse material seguiu os mesmos princípios montessorianos para a criação de qualquer um dos seus materiais, seguindo de perto um dos mais fundamentais, que é o da educação sensorial:

• desenvolver na criança a independência, a confiança em si mesma, a concentração, a coordenação e a ordem;

• gerar e desenvolver experiências concretas estruturadas para conduzir, gradualmente, a abstrações cada vez maiores;

• fazer a criança, por ela mesma, perceber os possíveis erros que comete ao realizar uma determinada ação com o material;

• trabalhar com os sentidos da criança. Inicialmente o Material Dourado era conhecido como “Material das contas Douradas” e sua forma era a seguinte:

• Contas douradas soltas representavam as unidades (1). • 10 contas douradas colocadas numa haste de arame rígido formavam uma

barra de dez que representava uma dezena (10). • 10 barras ligadas entre si formavam o quadrado de dez que representava a

centena (100). • 10 quadrados de dez ligados entre si em um cubo de dez que representava a

unidade de milhar (1000).

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Apresentação e exploração do material dourado O Material Dourado Montessori

O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e dos métodos para efetuar as operações fundamentais (ou seja, os algoritmos).

No ensino tradicional, as crianças acabam "dominando" os algoritmos a partir de treinos cansativos, mas sem conseguirem compreender o que fazem. Com o Material Dourado a situação é outra: as relações numéricas abstratas passam a ter uma imagem concreta, facilitando a compreensão. Obtém-se, então, além da compreensão dos algoritmos, um notável desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado bem mais agradável.

Quem foi Maria Montessori Nos anos iniciais deste século, Maria Montessori dedicou-se à educação de

crianças excepcionais, que, graças à sua orientação, rivalizavam nos exames de fim de ano com as crianças normais das escolas públicas de Roma. Esse fato levou Maria Montessori a analisar os métodos de ensino da época e a propor mudanças compatíveis com sua filosofia de educação.

Segundo Maria Montessori, a criança tem necessidade de mover-se com liberdade dentro de certos limites, desenvolvendo sua criatividade no enfrentamento pessoal com experiências e materiais.

O "Material das Contas" Vamos conhecer o material das contas pelas palavras de Maria Montessori:

"Preparei também, para os maiores do curso elementar, um material destinado a representar os números sob forma geométrica. Trata-se do excelente material denominado material das contas. As unidades são representadas por pequenas contas amarelas; a dezena (ou número 10) é formada por uma barra de dez contas enfiadas num arame bem duro. Esta barra é repetida 10 vezes em dez outras barras ligadas entre si, formando um quadrado, "o quadrado de dez", somando o total de cem. Finalmente, dez quadrados sobrepostos e ligados formando um cubo, "o cubo de 10", isto é, 1000.

Aconteceu de crianças de quatro anos de idade ficarem atraídas por esses objetos brilhantes e facilmente manejáveis. Para surpresa nossa, puseram-se a combiná-los, imitando as crianças maiores. Surgiu assim um tal entusiasmo pelo trabalho com os números, particularmente com o sistema decimal, que se pôde afirmar que os exercícios de aritmética tinham se tornado apaixonantes.

As crianças foram compondo números até 1000. O desenvolvimento ulterior foi maravilhoso, a tal ponto que houve crianças de cinco anos que fizeram as quatro operações com números de milhares de unidades".

O material Dourado Montessori O material Dourado ou Montessori é constituído por cubinhos, barras, placas

e cubão, que representam:

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Observe que o cubo é formado por 10 placas, que a placa é formada por 10

barras e a barra é formada por 10 cubinhos. Este material baseia-se em regras do nosso sistema de numeração.

Veja como representamos, com ele, o número 265:

Este material pedagógico, confeccionado em madeira, costuma ser

comercializado com o nome de material dourado. Você pode construir um material semelhante, usando cartolina. Os cubinhos são substituídos por quadradinhos de lado igual a 2 cm, por exemplo. As barrinhas são substituídas por retângulos de 2 cm por 20 cm a as placas são substituídas por quadrados de lado igual a 20 cm.

Embora seja possível representar o milhar, vamos evitá-lo trabalhando com

números menores. Damos a seguir sugestões para o uso do Material Dourado Montessori. As atividades propostas foram testadas e mostraram-se eficazes desde a

primeira até a quinta série. Muitas delas foram concebidas pelos grupos de alunos, recomendando-se que os grupos não tenham mais do que 6 alunos.

O professor, com o conhecimento que tem de seus alunos, saberá em que série cada atividade poderá ser aplicada com melhor rendimento. Várias das atividades podem ser aplicadas em mais de uma série, bastando, para isso, pequenas modificações.

Utilizando o material, o professor notará em seus alunos um significativo avanço de aprendizagem. Em pouco tempo, estará enriquecendo nossas sugestões e criando novas atividades adequadas a seus alunos, explorando assim as inúmeras possibilidades deste notável recurso didático.

1. JOGOS LIVRES Objetivo: tomar contato com o material, de maneira livre, sem regras. Durante algum tempo, os alunos brincam com o material, fazendo

construções livres.

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O material dourado é construído de maneira a representar um sistema de agrupamento. Sendo assim, muitas vezes as crianças descobrem sozinhas relações entre as peças. Por exemplo, podemos encontrar alunos que concluem:

- Ah! A barra é formada por 10 cubinhos! - E a placa é formada por 10 barras! - Veja, o cubo é formado por 10 placas! 2. MONTAGEM

Objetivo: perceber as relações que há entre as peças. O professor sugere as seguintes montagens: - uma barra; - uma placa feita de barras; - uma placa feita de cubinhos; - um bloco feito de barras; - um bloco feito de placas; O professor estimula os alunos a obterem conclusões com perguntas como estas: - Quantos cubinhos vão formar uma barra? - E quantos formarão uma placa? - Quantas barras preciso para formar uma placa? Nesta atividade também é possível explorar conceitos geométricos, propondo

desafios como estes: - Vamos ver quem consegue montar um cubo com 8 cubinhos? É possível? - E com 27? É possível?

3. DITADO Objetivo: relacionar cada grupo de peças ao seu valor numérico.

O professor mostra, um de cada vez, cartões com números. As crianças devem mostrar as peças correspondentes, utilizando a menor quantidade delas.

Variação:

O professor mostra peças, uma de cada vez, e os alunos escrevem a quantidade correspondente. 4. FAZENDO TROCAS / NUNCA DEZ Objetivo: compreender as características do sistema decimal. - fazer agrupamentos de 10 em 10; - fazer reagrupamentos; - fazer trocas; - estimular o cálculo mental.

Para esta atividade, cada grupo deve ter um dado marcado de 4 a 9. Cada criança do grupo, na sua vez de jogar, lança o dado e retira para si a

quantidade de cubinhos correspondente ao número que sair no dado. Veja bem: o número que sai no dado dá direito a retirar somente cubinhos. Toda vez que uma criança juntar 10 cubinhos, ela deve trocar os 10 cubinhos por

uma barra. E aí ela tem direito de jogar novamente. Da mesma maneira, quando tiver 10 barrinhas, pode trocar as 10 barrinhas por uma

placa e então jogar novamente. O jogo termina, por exemplo, quando algum aluno consegue formar duas placas. O professor então pergunta:

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Quem ganhou o jogo? - Por quê? Se houver dúvida, fazer as "destrocas". O objetivo do jogo das trocas é a compreensão dos agrupamentos de dez em dez

(dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena, etc.), característicos do sistema decimal.

A compreensão dos agrupamentos na base 10 é muito importante para o real entendimento das técnicas operatórias das operações fundamentais.

O fato de a troca ser premiada com o direito de jogar novamente aumenta a atenção da criança no jogo. Ao mesmo tempo, estimula seu cálculo mental. Ela começa a calcular mentalmente quanto falta para juntar 10, ou seja, quanto falta para que ela consiga fazer uma nova troca.

• cada placa será destrocada por 10 barras; • cada barra será destrocada por 10 cubinhos.

Variações: Pode-se jogar com dois dados e o aluno pega tantos cubinhos quanto for a soma

dos números que tirar dos dados. Pode-se utilizar também uma roleta indicando de 1 a 9.

5. PREENCHENDO TABELAS Objetivo: os mesmos das atividades 3 e 4. - preencher tabelas respeitando o valor posicional; - fazer comparações de números; - fazer ordenação de números.

As regras são as mesmas da atividade 4. Na apuração, cada criança escreve em uma tabela a quantidade conseguida.

Olhando a tabela, devem responder perguntas como estas: - Quem conseguiu a peça de maior valor? - E de menor valor?- Quantas barras Lucilia tem a mais que Gláucia? Olhando a tabela à procura do vencedor, a criança compara os números e percebe

o valor posicional de cada algarismo. Por exemplo: na posição das dezenas, o 2 vale 20; na posição das centenas vale

200. Ao tentar determinar os demais colocados (segundo, terceiro e quarto lugares) a

criança começa a ordenar os números. 6. PARTINDO DE CUBINHOS Objetivo: os mesmos da atividade 3, 4 e 5.

Cada criança recebe um certo número de cubinhos para trocar por barras e depois por placas.

A seguir deve escrever na tabela os números correspondentes às quantidades de placas, barras e cubinhos obtidos após as trocas.

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Esta atividade torna-se interessante na medida em que se aumenta o número de cubinhos. 7. VAMOS FAZER UM TREM? Objetivo: compreender que o sucessor é o que tem "1 a mais" na seqüência numérica.

O professor combina com os alunos: - Vamos fazer um trem. O primeiro vagão é um cubinho. O vagão seguinte terá um cubinho a mais que o anterior e assim por diante. O último vagão será formado por duas barras.

Quando as crianças terminarem de montar o trem, recebem papeletas nas quais

devem escrever o código de cada vagão. Esta atividade leva à formação da idéia de sucessor. Fica claro para a criança

o"mais um", na seqüência dos números. Ela contribui também para a melhor compreensão do valor posicional dos algarismos na escrita dos números. 8. UM TREM ESPECIAL Objetivo: compreender que o antecessor é o que tem "1 a menos" na seqüência numérica.

O professor combina com os alunos: - Vamos fazer um trem especial. O primeiro vagão é formado por duas barras

(desenha as barras na lousa). O vagão seguinte tem um cubo a menos e assim por diante. O último vagão será um cubinho.

Quando as crianças terminam de montar o trem, recebem papeletas nas quais

devem escrever o código de cada vagão. Esta atividade trabalha a idéia de antecessor. Fica claro para a criança o "menos

um" na seqüência dos números. Ela contribui também para uma melhor compreensão do valor posicional dos algarismos na escrita dos números.

A CRIANÇA E O NÚMERO Adaptado de Constance Kamii, (2001)

De acordo com Piaget, o número é construído por cada criança a partir de todos os tipos de relações que ela cria mentalmente entre os objetos.

Números perceptuais são números pequenos, até quatro ou cinco, que podem ser distinguidos através da percepção, sem requerer uma estruturação lógico-matemática.

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Números elementares são números pequenos que são maiores do que quatro ou cinco.

Conhecimento físico é o conhecimento dos objetos da realidade externa. A cor e o peso de uma plaqueta são exemplos de propriedades físicas que estão nos objetos na realidade externa, e podem ser conhecidas pela observação. O conhecimento de que a plaqueta cairá quando a deixarmos solta no ar é também um exemplo de conhecimento físico. A fonte do conhecimento físico é externa ao indivíduo.

Conhecimento lógico matemático consiste na coordenação de relações. Ex: a diferença que notamos entre uma plaqueta azul e vermelha. A diferença é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo que relaciona os dois objetos. A diferença não está em uma plaqueta ou em outra. Se a pessoa não colocasse os objetos dentro desta relação, para ela não existiria diferença. Ao coordenar as relações de igual, diferente e mais, a criança se torna apta a deduzir que há mais animais do que vacas. Da mesma forma é coordenando a relação entre “dois” e “dois” que ela deduz que 2+2= 4, e que 2X2= 4. A fonte do conhecimento lógico-matemático é interna. A teoria de Piaget é contrária ao pressuposto comum de que os conceitos numéricos podem ser ensinados pela transmissão social, especialmente o ato de ensinar as crianças a contar. Para citar exemplos da natureza universal e não-arbitrária do conhecimento lógico-matemático, podemos dizer que há mais animais do que vacas em todas as culturas e que 2+3 dá o mesmo resultado em todas as culturas.

Conhecimentos sociais são os que se referem os fatos como de que o Natal sempre ocorra em 25 de dezembro, que uma árvore é chamada de árvore, algumas pessoas cumprimentam-se em certas circunstâncias, apertando as mãos. A origem fundamental do conhecimento social são as convenções construídas pelas pessoas. É a de que possui uma natureza amplamente arbitrária. Para que a criança adquira o conhecimento social é indispensável a interferência de outras pessoas.

Abstração empírica ou simples, tudo que a criança faz é focalizar uma certa propriedade do objeto e ignorar as outras.

Abstração reflexiva envolve a construção de relações entre os objetos. As relações, não têm existência na realidade externa. A diferença entre uma ficha e outra não existe em uma ficha ou outra, nem em nenhuma outra parte da realidade externa. A relação entre os objetos existe somente nas mentes daqueles que podem criá-la. A abstração reflexiva não pode acontecer independentemente da empírica.

O número, de acordo com Piaget, é uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objetos (por abstração reflexiva). Uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica.

Ordem necessidade lógica de colocar os objetos numa determinada ordem para assegurar-se de que não salta nenhum nem conta o mesmo objeto duas vezes. Contudo não é necessário que a criança coloque os objetos literalmente numa ordem espacial para arranjá-los numa relação organizada.

Depois de contar oito objetos arranjados numa relação ordenada, a criança geralmente diz que há oito. Se lhe pedirmos então que nos mostre os oito, as vezes ela aponta para o último (o oitavo objeto) Para quantificar os objetos como um grupo, a criança tem que colocá-los numa relação de inclusão hierárquica. Esta relação significa que a criança inclui mentalmente um em dois, dois em três, três em quatro, etc. Quando lhe apresentam os oito objetos, ela só consegue quantificar o conjunto numericamente se puder colocá-los todos numa única relação que sintetize ordem e inclusão hierárquica.

A inclusão de classes maneja com qualidades tais como as que caracterizam cachorros, gatos e animais. Na tarefa de inclusão de classes, por exemplo, a criança recebe seis cachorros em miniatura e dois gatos do mesmo tamanho. Em seguida faz-se a pergunta:

- O que você vê?

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- Cachorros e gatos -Mostre todos os animais, cachorros e gatos. Existem mais cachorros ou animais? Crianças de até quatro anos geralmente respondem que há mais cachorros. A

única coisa sobre as quais podem pensar são as duas partes. Reversibilidade se refere à habilidade de realizar mentalmente ações opostas

simultaneamente – neste caso, cortar o todo em duas partes e reunir as partes num todo. Na ação física material, não é possível fazer duas coisas opostas simultaneamente. Contudo, em nossas cabeças, isso é possível quando o pensamento se tornou bastante móvel para ser reversível. Somente quando as partes puderem ser reunidas em sua mente é que a criança poderá “ver” que há mais animais do que cachorros.

O fato de que as crianças pequenas não conservam o número antes dos cinco anos mostra que o número não é conhecido inatamente e leva muitos anos para ser construído. Se fosse passível de ser conhecido pela observação, seria suficiente para crianças de menos de cinco anos serem expostas à correspondência um a um entre duas fileiras, para saberem que os dois conjuntos têm a mesma quantidade.

OBJETIVOS PARA ENSINAR NÚMERO Piaget (1948, Cap.IV) declarou que a finalidade da educação deve ser a de

desenvolver a autonomia da criança, que é, indissociavelmente, social, moral e intelectual. Autonomia significa ser governado por si mesmo, habilidade de pensar autônoma e criticamente. A autonomia como finalidade da educação requer que as crianças não sejam levadas a dizer coisas nas quais não acreditem com sinceridade.

A tarefa do professor é a de encorajar o pensamento espontâneo da criança, o que é muito difícil porque a maioria de nós foi treinada para obter das crianças a produção de respostas “certas”.

PRINCÍPIOS DE ENSINO • Encorajar a criança a estar alerta e colocar todos os tipos de objetos, eventos e

ações em todas as espécies de relações. • Encorajar as crianças a pensarem sobre número e quantidades de objetos quando

estes sejam significativos para elas. • Encorajar a criança a quantificar objetos logicamente e a comparar conjuntos. • Encorajar a criança a fazer conjuntos com objetos móveis. • Encorajar a criança a trocar idéias com seus colegas. • Imaginar como é que a criança está pensando, e intervir de acordo com aquilo que

parece estar sucedendo em sua cabeça. • Encorajar a criança a estar alerta e colocar todos os tipos de objetos, eventos e

ações em todas as espécies de relações. Ideias relacionadas

A construção do número está relacionada com a ideia de adição e subtração. Nunes (2005) destaca que segundo Piaget, quando a criança compreende que as quantidades só se alteram por meio da adição e da subtração, ela chega, mais cedo ou mais tarde, à conclusão de que, se nada foi acrescentado e nada foi retirado das fileiras, as quantidades continuam iguais, embora a disposição espacial dos elementos nas fileiras tenha sido alterada.

Fontes de pesquisa O Guia de Planejamento e Orientações Didáticas para o Professor da Secretaria de

Educação da cidade de São Paulo e as publicações de Atividades Matemáticas da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo apresentam reflexões e propostas de atividades muito interessantes para as aulas de Matemática.

Realizamos uma pequena coletânea com a intenção de divulgar o material e fomentar a curiosidade, assim como contribuir para ampliar o repertório de propostas que estimulam o pensamento matemático e a solução de problemas.

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Disponível em: < http://arqs.portaleducacao.prefeitura.sp.gov.br/publicacoes/ciclo%20I/guia%202%20ano.pdf>. Acesso em 28/02/09.

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5º ano 1) Observe o quadro de números com atenção, pois em cada linha ou coluna obedecem a uma regra de formação ou regularidade. Em seguida, resolva as questões: 1.100 1.110 1.120 1.150 1.190 1.200 A 1.230 1.270 1.290

1.310 B 1.380 1.400 C 1.460

1.540 1.590 E

1.700 1.750 D 1.810 1.830

F 1.990

a) Complete a sequência de números da 1ª linha. O que eles têm em comum? b) Qual é a relação entre dois números consecutivos da 1ª coluna? c) Escreva os números correspondentes às letras A, B, C, D, E e F em ordem

crescente. d) Complete com números os quatro quadradinhos que estão pintados de cinza.

Escreva em ordem decrescente esses números. 2) Observe o quadro abaixo e responda às questões sabendo-se que em cada linha ou coluna os números obedecem a uma certa regra de formação ou regularidade:

a) Quais são os números correspondentes às letras G, H, J, K? b) O que acontece com os números em cada linha? E em cada coluna?

9.100 9.120 9.140 9.200 9.220 9.300 9.360 9.380 G 9.440 9.480

H 9.600 9.620 9.660 9.720 J K 9.880

9.900

3) O número 3.789, decomposto em suas ordens e classes, pode ser escrito: 3.789 = 3.000 + 700 + 80 + 9. Decomponha ou descubra os números abaixo, seguindo o exemplo dado.

a) 1854= b) _____57 ____ 9 = 10.000 + 5.000 + 700 + 50 + 9 c) ____9 ____ ____ = 7.000 + 900 + 5

4) Equivalências: a) 8.000 unidades equivalem a 8 milhares, a _____ centenas ou a _____ dezenas. b) 500 unidades equivalem a ____ centenas ou a _____ dezenas. c) 10.000 unidades equivalem a 10 milhares, a ____ centenas ou a 1000 dezenas.

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5) O primeiro quadro apresenta um segredo. Descubra-o e use este mesmo segredo para completar os quadros seguintes: a) b) 6) Leia com atenção os dados da tabela abaixo e responda: Capacidade do Estádio do Maracanã (pessoas). 101.623 Diâmetro aproximado da Terra (quilômetros). 12.756 Distância da Terra ao Sol (quilômetros). 149.597.870 População da Argentina (IBGE: 2007) 39.531.000 População do Estado de São Paulo (IBGE: 2005) 40.442.795 Produção brasileira de cana-de-açúcar (tonelada) (IBGE: safra 2006) 455.291.462 Produção brasileira de milho (grão) (tonelada) (IBGE: safra 2006) 42.631.977 Produção brasileira de soja (grão) (tonelada) (IBGE: safra 2006) 52.355.976

a) Qual é o maior número registrado na tabela? b) Onde a população é maior, Argentina (2007) ou São Paulo (2005)? c) Em relação a milho e soja, o que se produziu mais em 2006?

13.000 13.540 14.000

16.751

19.262

10.988

18.600 18.793 18.800

14.300 14.458 14.500

19.125

15.271