Alfacon Kelton Curso de Matematica e Suas Tecnologias Pre Enem Matematica e Suas Tecnologias Varios Professores 1o Enc 20140619153102

8/21/2019 Alfacon Kelton Curso de Matematica e Suas Tecnologias Pre Enem Matematica e Suas Tecnologias Varios Professor

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Curso Pr-ENEM Matemtica

Tema

Conhecendo e representando a realidade

Tpico de estudoBases de Numerao

Entendendo a competnciaCompetncia 1 (Construir significados para os nmeros naturais, inteiros, racionais e reais).

Refere-se capacidade de perceber a importncia dos nmeros como forma de linguagem e como representao da

realidade. Saber o que motivou a criao dos nmeros, suas utilidades nos processos sociais e a evoluo de suas

representaes constituem o primeiro passo no caminho de uma aprendizagem prazerosa da Matemtica.

Desvendando a habilidadeHabilidade 1 (Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representaes dos nmeros e operaes

naturais, inteiros, racionais ou reais).

Significa saber interpretar as diversas formas de representao dos nmeros, que variam de acordo com a realidade

e a necessidade de cada sociedade. Babilnios, egpcios, maias, romanos, cada povo criou uma forma diferentede representar os nmeros, cada um com uma lgica particular; at em reas do nosso cotidiano podemos ver os

nmeros representados de maneiras diferentes: nas escalas musicais, na base binria de numerao usada em

computao e em relgios de luz. Ter esta percepo ver e compreender o mundo atravs dos nmeros.

Situaes-problema e conceitos bsicosE se todos ns tivssemos 8 dedos nas mos?

O sistema de numerao que utilizamos atualmente o Sistema Decimal, o que significa dizer que cada unidadeem uma casa corresponde a 10 unidades da casa imediatamente direita. um sistema em que o valor do algarismoutilizado, que pode variar de 0 a 9, dependendo da posio em que se situa no nmero. Por exemplo, no nmero2.384, os algarismos 2, 3, 8 e 4 representam, respectivamente, 2.000, 300, 80 e 4 unidades. Desse modo, podemos

escrever:2.384 2.000 300 80 4 2 1033 1028 1014 100

No nmero 4.238, cada algarismo tem um significado diferente do exemplo anterior: 4, 2, 3 e 8 representam,agora 4.000, 200, 30 e 8 unidades, respectivamente, de modo que podemos escrever

4.238 4.000 200 30 8 4 1032 1023 1018 100

Muitos acreditam que esse sistema foi adotado pelo homem devido ao fato de termos 10 dedos nas mos, queeram usados na tarefa de contagem de diversas coisas. E se tivssemos 8 dedos nas mos? Como seria nossomodo de contar?

Muito provavelmente contaramos em outro sistema, trocando a base 10 pela base 8. Os algarismos seriamapenas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 e nossa contagem seria:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 74, 75, 76, 77, 100, 101, ...

Estranho, no mesmo?

Ficha de EstudoFi h e Estu o 311


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E como podemos fazer a relao entre os sistemas mencionados? Como escrever um nmero, inicialmenterepresentado na base 8, no sistema de base 10? E o processo inverso?

Mudana da base 8 para a base 10:

(2.316)82 833 821 816 801.024 192 8 6 1.230 (base 10)

Mudana da base 10 para a base 8:

Para escrever, por exemplo, o nmero 1.230, que est na base 10, na base 8, devemos fazer divises sucessivaspor 8, at que esta operao no seja mais possvel.

1.230 8 6 153 8 1 19 8 3 2

A partir da, o nmero, na base 8, ser obtido escrevendo, da esquerda para a direita, o ltimo quociente e osrestos das divises (na ordem indicada pela seta).

1.230 (2.316)8

Estes processos podem ser usados para mudana entre o sistema decimal e um outro sistema de numerao.Como exemplo de sistema de numerao muito utilizado, podemos citar o sistema binrio (base 2), que apre-senta somente os algarismos 0 e 1, muito aplicado na rea de computao.


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Ficha de EstudoFi ha de Estudo 22

Tema

Conhecendo e representando a realidade

Tpico de estudoAnlise Combinatria e Sequncias Numricas

Entendendo a competncia

Competncia 1 (Construir significados para os nmeros naturais, inteiros, racionais e reais).Refere-se capacidade de perceber a importncia dos nmeros como forma de linguagem e como representao da



Desvendando a habilidadeHabilidade 2 (Identificar padres numricos ou princpios de contagem).

Significa saber perceber as caractersticas de uma sequncia de nmeros, identificando seu padro de construo.

Alm disso, refere-se capacidade de estruturar mtodos de contagem para a determinao do nmero de possibi-

lidades de realizao de um evento.

Situaes-problema e conceitos bsicosA evoluo das Bicicletas

Voc j andou em uma bicicleta de marchas? Sabe como o sistema funciona? O que significa dizer que umabicicleta tem 24 marchas? Este meio de transporte to utilizado, seja para ir ao trabalho, escola ou para diverso,

foi inventado com um mecanismo de uma nica marcha, como representado abaixo:

Bicicleta de uma marcha

Neste sistema, existe uma engrenagem acoplada ao pedal e uma na roda traseira, enquanto uma corrente responsvel pela transmisso do movimento gerado pela pedalada do ciclista da engrenagem da frente para ade trs, fazendo a roda girar.

No processo de evoluo, surgiu o sistema de marchas para a bicicleta. So dois conjuntos de engrenagens,

sendo um acoplado ao pedal (coroa) e outro roda traseira (pinho). Uma corrente responsvel pela ligao

B

IRF

Esquema de Funcionamento


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entre uma engrenagem da coroa e uma do pinho, selecionadas pelo ciclista atravs de um mecanismo de seleoque fica, em muitas bicicletas, no guido.

Bicicleta de 21 marchas Engrenagens do pinho

No caso da bicicleta acima, temos 3 engrenagens na coroa e 7 engrenagens no pinho, de modo que podemoster as seguintes ligaes:

Engrenagens da Coroa Engrenagens do Pinho

1 1

2

3

4

5

6

7

2

3

Como cada engrenagem da coroa pode ser ligada a cada uma das sete engrenagens do pinho, temos que onmero de marchas (ligao entre duas engrenagens pela corrente) igual a:

N 3 7 21 marchas

As marchas so escolhidas pelo ciclista de acordo com a necessidade de maior ou menor velocidade duranteo percurso.

No clculo acima, utilizamos o Princpio Fundamental da Contagem (ou Princpio Multiplicativo), quediz que o nmero de maneiras de se realizar um processo composto por etapas (escolhas) sucessivas igual aoproduto dos nmeros de possibilidades de realizao de cada uma de suas etapas.

Nmero de jogos da Mega Sena

Quando entramos em uma casa lotrica e pegamos um carto de Mega Sena, nos deparamos com um conjunto

de 60 nmeros, dos quais, em um jogo simples, devemos escolher 6.

B

IRF

B

IRF


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O nmero de maneiras de fazermos esta escolha chamado de nmero de combinaes simples de 60elementos tomados 6 a 6, simbolizado por C660. So 50.063.860 possibilidades de escolhermos um conjunto de6 nmeros, como por exemplo:

{10, 20, 30, 40, 50, 60} ; { 12, 17, 21, 34, 43, 49} ; {01, 02, 03, 04, 05, 06}

Este clculo feito atravs da expresso:

Cpnn!

p! (n p)!

onde n!n (n1) (n2) ... 1 (denominado fatorial de n), ou seja, o produto dos naturais no nulos de 1 a n.Nos casos em que, alm de escolhermos os elementos, tivermos que contabilizar todas as possveis ordenaesentre eles, calculamos o nmero de arranjos simples. Em uma competio de atletismo, por exemplo, onde 8corredores disputam uma prova de 100 m, o nmero de possibilidades para o pdio (com os 3 primeiros coloca-dos) ser dado pelo nmero de arranjos simples de 8 elementos tomados 3 a 3, que pode ser calculado atravs daexpresso:

Apnn!

(n p)!

de modo que teremos:

A388!

(8 3)!

8!5!

8 7 6 5 4 3 2 15 4 3 2 1

8 7 6 336 possibilidades.

Voc consegue somar rapidamente os nmeros naturais de1 a 100?

Nascido em 30 de abril de 1777, O matemtico Carl FriedrichGauss, quando tinha por volta de 10 anos de idade, estava na salade aula e seu professor, como forma de castigo aos alunos por maucomportamento, os fez calcular a soma dos nmeros naturais de1 a 100. Para surpresa do professor, Gauss realizou a tarefa muitorapidamente, pois percebeu que as somas

1 100 ; 2 99 ; 3 98 ; ...

de termos equidistantes aos extremos da sequncia crescente for-mada por estes nmeros eram todas iguais. Sendo assim, escreveu:

S 1 2 3 ... 98 99 100

S 100 99 98 ... 3 2 1

2S 101 101 101 ... 101,

onde a parcela 101 aparece 100 vezes. Desta forma, obteve:

2S 100 101 10.100S 5.050

Esse problema envolve o conceito de Progresses Aritmticas,

que so sequncias numricas cuja principal caracterstica adiferena constante (chamada de razo da progresso) entre doistermos consecutivos, caso da sequncia (1, 2, 3, 4, ..., 100), onde a diferena entre um termo e seu antecessor sempre igual a 1. So expresses importantes das Progresses Aritmticas:

Termo Geral: ana1(n 1) r ( r razo da P.A.)

Soma dos Termos:Sn

(a1an) n

2

Carl Friedrich Gauss

G

au-GesellschaftGttingene.V.


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Ficha de EstudoFi h de Estudo 3

Tema

Analisando e tratando as informaes

Tpico de estudoMnimo Mltiplo Comum e Mximo Divisor Comum


Refere-se capacidade de entender a importncia dos nmeros como forma de linguagem e como representao da



Desvendando a habilidadeHabilidade 3 (Resolver problema envolvendo conhecimentos numricos).

Significa saber utilizar as operaes numricas na soluo de problemas do cotidiano. Vrias situaes em nosso dia

a dia podem ser solucionadas com um pouco de conhecimento da Teoria dos Nmeros, como clculo de m.m.c. e

m.d.c., operaes com fraes e porcentagem, critrios de divisibilidade, dentre outros tpicos.

Situaes-problema e conceitos bsicosA Conta da Solidariedade

B

IRF


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Uma ONG arrecadou, em uma campanha de doao de roupas, 1.260 camisas, 1.680 calas, 2.100 casacos e2.520 pares de meia. A organizao decidiu separar estas peas em kits, todos com a mesma composio (cadatipo de pea distribudo igualmente por todos os kits). Qual a quantidade mxima de kits que esta ONG podemontar para a campanha?

A Sintonia dos Sinais de Trnsito

Em uma avenida, dois sinais de trnsito, separados por uma quadra, abrem juntosem um determinado momento. Um deles permanece 40 segundos aberto e 20 segun-dos fechado, enquanto o outro permanece 35 segundos aberto e 15 segundos fechado.Depois de quanto tempo estes dois sinais voltaro a abrir no mesmo instante?

Estas duas situaes-problema apresentadas podem ser resolvidas usando os con-ceitos de MNIMO MLTIPLO COMUM e MXIMO DIVISOR COMUM entre dois n-meros naturais, que resumimos a seguir.

MNIMOMLTIPLO COMUM (M.M.C.): o menor mltiplo comum positivo entre doisnmeros.

EXEMPLO:Calcular o m.m.c. entre 12 e 18.

Mltiplos de 12 {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ...}

Mltiplos de 18 {0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 ...}Mltiplos comuns entre 12 e 18 {0, 36, 72, 108, ...}

m.m.c. (12, 18) 36

No caso de nmeros maiores, fazer a enumerao dos mltiplos para a determi-nao do m.m.c. pode no ser tarefa fcil. Mostramos a seguir alguns mtodos paradeterminar o mnimo mltiplo comum entre dois nmeros.

MTODODAFATORAOSIMULTNEA:

EXEMPLO:Determinar o m.m.c. entre 30 e 54.

30 , 54 215 , 27 3 5 , 9 3 5 , 3 3 5 , 1 5 1 , 1

m.m.c.(30, 54) 2 335 270

MTODODAFATORAOISOLADA:Aps fatorar cada um dos nmeros, o mnimo mltiplo comum entre eles sercomposto pelos fatores primos comuns e no comuns elevados aos maiores expoentes.

EXEMPLO: Determinar o m.m.c. entre 120 e 252.

120 233151 ; 252 223271m.m.c.(120, 252) 233251712520

MXIMODIVISORCOMUM(M.D.C.): o maior divisor comum positivo entre dois nmeros.

EXEMPLO:Calcular o m.d.c. entre 12 e 18.

Divisores de 12 {1, 2, 3, 4, 6, 12}Divisores de 18 {1, 2, 3, 6, 9, 18}Divisores comuns entre 12 e 18 {1, 2, 3, 6}

m.d.c.(12, 18) 6

No caso de nmeros maiores, fazer a enumerao dos divisores para a determinao do m.d.c. pode no sertarefa fcil. Mostramos a seguir alguns mtodos para determinar o mximo divisor comum entre dois nmeros.

MTODODAFATORAOSIMULTNEA:Fatora-se simultaneamente os nmeros at que no exista mais fator primocomum.

B

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EXEMPLO:Determinar o m.d.c. entre 120 e 168.

120 , 168 2 60 , 84 2 30 , 42 215 , 21 3 5 , 7

m.d.c.(120, 168) 233 24

MTODODAFATORAO ISOLADA: Aps fatorar cada um dos nmeros, o mximo divisor comum entre eles sercomposto pelos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes.


120 233151 ; 252 2232 71m.d.c.(120, 252) 223112

MTODODASDIVISESSUCESSIVAS: Divide-se o maior dos nmeros pelo menor e, a partir da, divide-se, sucessiva-mente, o divisor pelo resto at encontrarmos resto zero. O ltimo divisor ser o m.d.c. procurado.


490 84 84 70 70 1470 5 14 1 0 5

m.d.c.(490, 84) 14

Vamos resolver os problemas propostos no incio desta aula. No caso da campanha de roupas, se as 1.260 ca-misas sero divididas igualmente entre os kits, a quantidade de kits dever ser um divisor natural de 1.260. Ana-logamente, esta mesma quantidade dever ser divisor natural de 1.680, 2.100 e 2.520. O maior nmero possvel dekits ser, ento, o mximo divisor comum entre 1.260, 1.680, 2.100 e 2.520:

1.260 22325171 ; 1.680 24315171 ; 2.100 22315271 ; 2.520 23325171

m.d.c.(1.260, 1.680, 2.100, 2.520) 22315171420

Conclumos, ento, que a quantidade mxima de kits que esta ONG pode montar para a campanha igual a 420.

Quanto aos sinais de trnsito, temos que um deles abre de 40 20 60 em 60 s, enquanto o outro abre de35 1550 em 50 s. Dessa forma, o primeiro abre nos instantes que so mltiplos de 60 s, enquanto o outro abrenos instantes que so mltiplos de 50 s. Eles abriro juntos pela primeira vez no instante equivalente ao menormltiplo comum entre 60 e 50:

60 223 5 ; 50 2152m.m.c.(60, 50) 223 52300

Conclumos, ento, que os dois sinais voltaro a abrir no mesmo instante pela primeira vez aps

300 s 5 min.


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Ficha de EstudoFi h de Estudo 344

TemaAnalisando e tratando as informaes

Tpico de estudoTeoria dos Conjuntos


Refere-se capacidade de entender a importncia dos nmeros como forma de linguagem e como representao da



Desvendando a habilidadeHabilidade 4 (Avaliar a razoabilidade de um resultado numrico na construo de argumentos sobre afirmaes

quantitativas).

Significa saber analisar um conjunto de dados numricos, perceber se esto representando de forma correta uma re-

alidade apresentada e, a partir da, elaborar argumentos que sirvam para justificar uma ao, opinio ou julgamento

de carter quantitativo.

Situaes-problema e conceitos bsicos Possvel?

Pedro, Paulo e Luiz estavam comparando suas alturas, quando declararam:

Pedro: Tenho 1,70 m.Paulo: Tenho 1,72 m. Sou mais alto que voc, Pedro.Luiz: Mas sou mais alto que os dois. Tenho 3 m de altura.Pedro e Paulo: Como?!

B

IRF


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Eis uma boa pergunta. Como Luiz pode dizer que sua altura tem medida representada por um nmero irracio-nal (dzima inexata)? possvel medir este valor de comprimento?

Antes de responder a esta pergunta, vamos fazer uma reviso dos principais conjuntos numricos.

CONJUNTOS NUMRICOS:a)Naturais:{0, 1, 2, 3, 4, ...}b)Inteiros:{..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}c) Racionais: x a

b a b *

So racionais:

Inteiros

Decimais Exatos Exemplo: 1,23 123100Dzimas Peridicas Exemplo: 0,3333... 13

Observao: Dzima um decimal inexato.

d) Irracionais ():Nmeros que no podem ser escritos em forma de frao. So as dzimas no peridicas.

EXEMPLO: 2 , 3 ,, ...

e) Reais (): a unio dos conjuntos e .

f ) Complexos ():Conjunto composto pelos nmeros reais e pelos nmeros imaginrios.

O diagrama a seguir ilustra a relao de incluso entre estes conjuntos:

Voltando altura de Luiz, como ele conseguiu obter 3 m? Numa fita mtrica, no temos como precisar estamedida, j que seu valor inexato ( 3 1,732050...). O que seus amigos no sabiam que Luiz um apaixonadopela Geometria e fez o seguinte desenho no cho de sua varanda:

Desenhou um segmento de medida 1 m; Traou outro segmento, a partir de uma das extremidades do segmento anterior, de medida 1 m, perpendi-

cular ao primeiro. Uniu as extremidade livres dos segmentos, obtendo um outro de medida 2 m.

JUSTIFICATIVA: Pelo Teorema de Pitgoras, temos: x212122 x 2


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Traou outro segmento de medida 1 m, perpendicular ao de 2 m, e uniu as extremidades deles. O segmento obtido tem medida 3 m.

JUSTIFICATIVA: Pelo Teorema de Pitgoras, temos: d212( 2 )23 d 3

Ao deitar no cho sobre o ltimo segmento obtido,

Luiz teve a surpresa: era exatamente do seu tamanho!!!

De olho na Notcia

Em um jornal de grande circulao de certa cidade, foi publicada uma matria sobre as audincias de doisprogramas de televiso: a novelaHaja Coraoe o seriado O Fugitivo. Os dados da reportagem mostravam que,dentre a parcela da populao que tem como hbito assistir televiso, 60% assistiam novela, 75% assistiam aoseriado e 25% se divertiam com as duas atraes. Ser que esses dados so consistentes?

muito comum representarmos conjuntos atravs de diagramas, como fizemos anteriormente com os con-juntos numricos. Dados dois conjuntos A e B contidos em um universo U, podemos represent-los usando oesquema a seguir:

B

IRF


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Para representarmos trs conjuntos A, B e C, subconjuntos de um universo U, podemos usar o diagrama:

Neste tipo de diagrama, podemos representar alguns resultados de operaes entre conjuntos:

Representando a situao descrita na matria do jornal, podemos montar o seguinte diagrama:

HajaCorao

Mas, ao somarmos os percentuais 35%, 25% e 50%, encontramos um resultado superior a 100% (mais que ouniverso de pessoas que assistem televiso!!!), o que demonstra a inconsistncia da matria.


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Ficha de EstudoFi Estu 355

Tema

Atuando no dia a dia da Sociedade

Tpico de estudoRegras de Trs Simples e Composta

Entendendo a competnciaCompetncia 1

(Construir significados para os nmeros naturais, inteiros, racionais e reais).Refere-se capacidade de entender a importncia dos nmeros como forma de linguagem e como representao da


representaes constitui o primeiro passo no caminho de uma aprendizagem prazerosa da Matemtica.

Desvendando a habilidadeHabilidade 5 (Avaliar propostas de interveno na realidade utilizando conhecimentos numricos).

Significa saber usar essa maravilhosa inveno do ser humano, o nmero, e suas operaes na definio da melhor

forma de agir sobre a realidade, ou seja, do processo de soluo mais eficiente de uma situao problema.

Situao-problema e conceitos bsicosCorrida Contra o Tempo

O departamento responsvel pela digitao domaterial didtico utilizado em uma escola foi aciona-do, no incio de maro, para realizar uma tarefa: ato fim de outubro, seus funcionrios deveriam digitartodas as apostilas que seriam usadas no ano seguinte,para que o trabalho de reviso e impresso pudesseser finalizado at o incio das aulas, no ms de feve-reiro.

Para realizar esta tarefa, o diretor do departa-mento selecionou 6 funcionrios que, trabalhando

8 horas por dia, de segunda a sexta, conseguiriamcumprir a tarefa exatamente no prazo estipulado. No

fim de maio, o diretor de ensino antecipou o prazode entrega para o fim de agosto, pois os professoresresponsveis pelo material teriam que fazer a revi-so at fim de outubro, j que, em novembro e de-zembro, eles estariam ocupados com um curso de atualizao promovido pela prpria escola. Com o objetivode cumprir esse novo prazo, o responsvel pelo trabalho decidiu escalar mais dois funcionrios, com a mesmaeficincia dos outros 6, para o servio, alm de aumentar em uma hora a carga horria de trabalho de todos.Ser que esta proposta realmente ter xito?

Uma forma de resolver esse problema pode ser o uso da Regra de Trs. Voc conhece essa ferramenta daMatemtica?

Antes de analisarmos a proposta do diretor do departamento de digitao, vamos rever o conceito de Regrasde Trs.

B

IRF


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REGRADETRSSIMPLESDIRETA:Envolve duas grandezas diretamente proporcionais.

Grandeza X Grandeza Y

X1 Y1

X2 Y2

X1X2

Y1Y2

REGRADETRSSIMPLESINVERSA:Envolve duas grandezas inversamente proporcionais.

Grandeza X Grandeza Y

X1 Y1

X2 Y2

X1

X2

Y2

Y1

REGRADETRSCOMPOSTA:Envolve mais de duas grandezas. Para resolv-las, primeiramente devemos estabelecera relao de proporcionalidade entre as grandezas envolvidas. Supondo que uma grandeza X diretamente pro-porcional grandeza Y e inversamente proporcional grandeza Z, temos:

Grandeza X Grandeza Y Grandeza Z

X1 Y1 Z1

X2 Y2 Z2

X1

X2

Y1

Y2

Z2

Z1

Na situao do departamento de digitao, que estamos analisando, vamos denominar de V o volume total dematerial a ser digitado. Sendo assim, temos:

ATFIMDEMAIO:

Quantidade de meses Volume de trabalho

8 V

3 x 83

Vx

x 3V8

Falta executar58

da tarefa

Sendo y o tempo, em meses, necessrio para que a nova equipe (8 digitadores) termine o trabalho, com a nova

carga horria, temos:

Quantidade de Meses Horas Trabalhadas por Dia Nmero de Digitadores Volume de Material

y 9 8 58

V

8 8 6 V

As setas indicam a relao de proporcionalidade entre a grandeza Quantidade de Meses e as demais (setasno mesmo sentido: diretamente proporcionais; setas em sentidos opostos: inversamente proporcionais). Pode-mos, assim, montar a equao:

y8

89

68

5

8

V

V y

103 meses

3 meses e 10 dias


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Como eles s tm mais 3 meses (junho, julho e agosto), a proposta do diretor do departamento no satisfa-tria. Ou desloca mais funcionrios para a tarefa ou aumenta um pouco mais a carga horria dos envolvidos noservio. Que dureza, hein?!

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