PRODUTO MISTOPRODUTO MISTO

Definimos o produto misto de dois Definimos o produto misto de dois vetores e dados por vetores e dados poru

v

kfjeidfedv

kcjbiacbau

...),,(

...),,(

como :como :

) wx v.(uw , v , u

Pelo Produto Vetorial Pelo Produto Vetorial já estudado já estudado anteriormente , temos :anteriormente , temos :

Pelo Produto Vetorial Pelo Produto Vetorial já estudado já estudado anteriormente , temos :anteriormente , temos :

hg

fed

kji

w x v

Pela Regra de Sarrus , temos :Pela Regra de Sarrus , temos :Pela Regra de Sarrus , temos :Pela Regra de Sarrus , temos :

k.hg

edj.

g

fdi.

h

fe

hg

fed

kji

w x v

k.hg

edj.

g

fdi.

h

fe

hg

fed

kji

w x v

) wx v.(uw , v , u

hg

ed.c

g

fd.b

h

fe.a

hg

fed

kji

)w x v.(u

hg

ed.c

g

fd.b

h

fe.a

hg

fed

kji

)w x v.(u

hg

fed

cba

)w x v.(uw , v , u

Pelas Propriedades dos Pelas Propriedades dos Determinantes, temos :Determinantes, temos :Pelas Propriedades dos Pelas Propriedades dos Determinantes, temos :Determinantes, temos :

w. )vx u()w x v.(uw , v , u

) ux v .(w) vx u .(ww. )vx u(

cba

fed

hg

cba

fed

hg

hg

fed

cba

hg

fed

cba

).1).(1(

w. )vx u()w x v.(uw , v , u

Logo :Logo :

INTERPRETAÇÃO INTERPRETAÇÃO

GEOMÉTRICAGEOMÉTRICA

INTERPRETAÇÃO INTERPRETAÇÃO

GEOMÉTRICAGEOMÉTRICA

u

w

v

wx v

hh

cos.uh

wx vSb

Veja que :Veja que :

Lembre-se que todo paralelepípedo é Lembre-se que todo paralelepípedo é um prisma.um prisma.

cos.uh

wx vS ; b

cos.u.wx vh.SV b

w , v, uu). wx v(h.SV b

w , v, u V

V E T O R E S V E T O R E S C O P L A N A R E SC O P L A N A R E S

u

v

w

São vetores que estão contidos no São vetores que estão contidos no mesmo plano.mesmo plano.

uv

w

Repare que vetores que estão Repare que vetores que estão contidos no mesmo plano, não contidos no mesmo plano, não formam paralelepípedo.formam paralelepípedo.

Digamos então que o que seria um Digamos então que o que seria um paralelepípedo é um sólido de volume paralelepípedo é um sólido de volume igual a zero. Então :igual a zero. Então : 0w , v , u

VOLUME DO VOLUME DO TETRAEDROTETRAEDRO

u

w

v

wx v

hh

O Paralelepípedo pode O Paralelepípedo pode ser dividido em dois ser dividido em dois Prismas Triangulares Prismas Triangulares de mesmo volume.de mesmo volume.

Da Geometria Espacial, Da Geometria Espacial, temos que o volume de temos que o volume de uma Pirâmide, vale uma Pirâmide, vale 1/3 do volume do 1/3 do volume do Prisma. Prisma.

Assim, temos : Assim, temos :

.paral.tetr V.

2

1.

3

1V

w , v, u .6

1V