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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

CAPÍTULO 5

MATRIZ MUDANÇA DE BASE

Definição: Seja V um espaço vetorial e consideremos duas de suas bases }v,...,v,v{B n21= e

}u,...,u,u{C n21= . Podemos escrever os vetores da base C como combinação linear

da base B. Então existem escalares Ka ij ∈ , tais que:

+++=

+++=

+++=

nnn2n21n1n

n2n222112

n1n2211111

va...vavau

..................................

va...vavau

va...vavau

:S 2 . A matriz

=

nn2n1n

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

a...aa

P é

chamada de Matriz mudança da base B para C, e denotada por BC]M[P = .

OBS: Na matriz mudança de base

=

nn2n1n

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

a...aa

P , as colunas representam as

coordenadas de cada vetor da base C em relação a base B , ou seja,

=

=

=

nn

n2

n1

Bn

2n

22

12

B2

1n

21

11

B1

a

...

a

a

]u[,...,

a

...

a

a

]u[,

a

...

a

a

]u[ . A matriz mudança de base é sempre

inversível.

Exemplo (1): Sejam )}0,1(),1,1{(B = e )}3,4(),2,1{(C −−= duas bases do ℜ2. Determine a

matriz de mudança da base B para a base C.

Solução: Para determinar BC]M[P = , temos que escrever os vetores da base C como combinação

linear da base B. Então:

+=−−

+=

)0,1(d)1,1(c)3,4(

)0,1(b)1,1(a)2,1(:S . Vamos obter dois sistemas

43

lineares:

=

+=

a2

ba1 e

=−

+=−

c3

dc4 . Resolvendo os sistemas vamos obter

−−

−=

==

11

32

db

ca]M[P B

C . Note que, na combinação linear S os escalares

estão em linha e na matriz P eles estão em colunas.

Teorema (1): Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e P a matriz

de mudança da base B para C. Então:

a) BPC t ⋅=

b) C]P[B 1t ⋅= −

Teorema (2): Seja V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Seja BC]M[P = a matriz de

mudança da base B para C e CD]M[Q = a matriz de mudança da base C para D.

Então, a matriz de mudança de B para D é CD

BC ]M[]M[QP ⋅=⋅ .

Teorema (3): Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja BC]M[P = a matriz de

mudança da base B para C e .Vv ∈∀ Então:

a) B1

C ]v[P]v[ ⋅= −

b) CB ]v[P]v[ ⋅=

Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P2 ℜ e

=

10

22P a matriz mudança da

base B para a base C. Determine a base B.

Solução: Pelo teorema (1) temos que C]P[B 1t ⋅= − . Então,

−=−

11

0)P( 2

11t e escrevemos

os vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos polinômios e dispondo-os como

linhas de uma matriz. Assim:

=

⋅

−=

10

01

12

02

11

0B 2

1

, ou seja, a base B é a

base canônica de )(P2 ℜ , isto é, }t,1{B = .

44

É claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderíamos resolver este problema

usando a definição da matriz mudança da base de B para C , a qual é constituída dos

escalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinação linear dos vetores

da base B. Seja, então, a base }tbb,taa{B 1o1o ++= . Assim:

+++=+

+++=

)tbb(1)taa(2t2

)tbb(0)taa(22

1o1o

1o1o ⇒

+++=+

+=+

t)bta2()ba2(t12

ta2a2t02

11oo

1o ⇒

=⇒=

=⇒=

0aa20

1aa22

11

o0 e

=⇒+=

=⇒+=

1bba21

0bba22

111

oo0 . Portanto, a base }t,1{B = .

Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B −= uma base do 2ℜ e

=

35

31

32

31

P a matriz de mudança

da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a

base C.

Solução: Vamos aplicar o teorema (3), onde B1

C ]v[P]v[ ⋅= − . Primeiro determinamos as

coordenadas do vetor v em relação a base B. Então: )1,1(b)2,1(a)3,2( −+= ⇒

+=

−=

ba23

ba2 ⇒

−=

=

31

35

B b

a]v[ e

−

−=−

11

25P 1 . Assim:

−⋅

−

−=

31

35

C 11

25]v[ ⇒

−=

2

9]v[ C

Igualmente ao exemplo (2), poderíamos resolver este problema usando a definição da

matriz mudança da base de B para C e a definição de coordenadas de um vetor. Seja a

base )}d,c(),b,a{(C = . Então:

−=−+=

=−+=

)3,1()1,1()2,1()d,c(

)1,0()1,1()2,1()b,a(

35

32

31

31

. Assim,

)}3,1(),1,0{(C −= . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base

C, teremos: )3,1()1,0()3,2( −β+α= ⇒

β+α=

β−=

33

2 ⇒

−=

2

9]v[ C

45

Exercícios Propostos

1) Sejam )}1,1(),0,1{(B = , )}2,3(),1,2{(C −= e D, três base do ℜ2. Seja

−=

31

02Q a

matriz de mudança da base C para a base D. Determine a matriz de mudança da base B para a

base D. Quem é a base D?

Resp:

−=

64

35]M[ B

D e )}6,9(),4,1{(D −=

2) Determine a matriz mudança da base }t21,t3,2{B 2+−+−= para a base

}t3,tt2,t1{C 22 ++−+= . Resp:

−

−−

==

21

21

47

413

BC

0

021

1

]M[P

3) Sejam B a base canônica do espaço )(M 2x2 ℜ e

−=

85

32A . Sabendo que a matriz de

mudança da B para a base C é

−

−=

1100

0110

0012

0001

P , determine as coordenadas de A em

relação a base C. Quem é a base C?

Resp:

−

−

=

4

12

7

2

]A[ C e

−

−

=

10

00,

11

00,

01

10,

00

21C

4) No 3ℜ , consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B 321321 == relacionadas da seguinte

forma:

++=

++=

+=

3213

3212

311

ee2eg

eee2g

eeg

. Sabendo que

−

−

=

1

5

2

]v[ B são as coordenadas do vetor v em

relação a base B, determine C]v[ . Resp:

−

−

=

3

1

3

]v[ c

5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B =−= . Verifique que a matriz

de mudança da base B para a base C pode ser determinada por t1BC ]BC[]M[P −⋅== .