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Álgebra Linear e
Geometria Analítica
10ª aula
Vectores no plano
Vectores no espaço
Vectores em n
(u1,u2)
(v1,v2)
(u1+v1, u2+v2)
(u1,u2)
(ku1,ku2)
ku
u
Produto interno
• u = (u1, u2); v = (v1,v2)
• u . v = u1v1 + u2 v2
Produto interno e norma
• u = (u1, u2); v = (v1,v2)
• u . v = u1v1 + u2 v2
22
21. uuuuu
Produto interno em n
• u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);
• v = (v1, v2, v3, v4 . . . , vn); • u . v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 + u4 v4 + . . .+ un vn
n
iiivuvu
1
.
Propriedades do produto interno
• u . v = v . u• u . (v + w) = u . v + u . w• ( u . v ) = ( u) . v = u . ( v)• u . u 0 • u . u = 0 u = 0
Produto interno e norma em n
• u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);
223
22
21. nuuuuuuu
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6•
222222 201061 u
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6•
4241361
201061 222222
u
Propriedades da norma
vuvu
vuvu
uu
uu
uu
.
00
00
Desigualdade triangular
Desigualdade Cauchy-Schwartz
B
A
B
A
||A||
||B||
||A+B||
Desigualdade triangular
A||A||
B
||B||||A+B||
A+B
A||A||
B
||B||||A+B||
A+B
Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:
A||A||
B
||B||||A+B||
A+B
Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:
222BABA
BABA
BABBAA
BBABBAAABABA
BA
.2
.2..
.....
22
2
Ortogonalidade:
• Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo
Ortogonalidade:
• Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo
• Exemplo:• u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1)• u . v = -4 -6 + 6 + 4 = 0
B
A
B
A
tB
B
A
tB
tB é a projecção do vector A sobre B
B
A
tB
C
B
A = tB + C
tB
C
B
A = tB + C
tB
C
A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B
B
A = tB + C
tB
C
A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B
2
.
.
.
B
BA
BB
BAt
B
A = tB + C
tB
C
B
A = tB + C
tB
C
A
Bt
A
tBcos
B
A = tB + C
tB
C
BA
BA
A
Bt
A
tB .cos
Definição de projecção de um vector sobre outro:Sejam u e v vectores de n
A projecção de u sobre v é o vector v sendo
vv
vu
.
.
Definição de ângulo de dois vectores:
Sejam u e v vectores não nulos de n
O ângulo entre os vectores u e v é tal que
vu
vu.cos
Definição de ângulo de dois vectores:
Sejam u e v vectores não nulos de n
O ângulo entre os vectores u e v é tal que
vu
vu.cos
vu
vu.arccos
Limites do valor de cos
vu
vu.cos
1.
. vu
vuvuvu
1.
1 vu
vu
Exemplo:
39243.
0,6,1,1,1
1,0,1,1,1
vuvu
v
u
Exemplo:
2
1
32
3cos
39243.
0,6,1,1,1
1,0,1,1,1
vuvu
v
u
Exemplo:
3
22
1
32
3cos
39243.
0,6,1,1,1
1,0,1,1,1
vuvu
v
u
Produto externo
• Só se define produto externo em 3
122131132332
321321
,,
,,,,
vuvuvuvuvuvuvu
vvvvuuuu
||u v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2
Produto externo
• Só se define produto externo em 3
122131132332
321321
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,,,,
vuvuvuvuvuvuvu
vvvvuuuu
213
132
321
321 1,0,00,1,00,0,1
eee
eee
eee
eee
Regra prática:
321
321
321
321
det""
1,0,00,1,00,0,1
vvv
uuu
eee
vu
eee
Regra prática:
654
321det""
6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
321
321
eee
vu
vu
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Regra prática:
321
321
321
54
21det
64
31det
65
32det
654
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6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
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vu
vu
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Regra prática:
1,0,030,1,0)6(0,0,13
54
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64
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65
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6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
321
321
321
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vu
vu
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Regra prática:
3,6,3
1,0,030,1,0)6(0,0,13
54
21det
64
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65
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654
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6,5,43,2,1
1,0,00,1,00,0,1
321
321
321
eee
eee
vu
vu
eee
Propriedades do produto externo:
• u v = - (v u)• u (v + w) = u v + u w• (u v) = ( u) v • u . (u v) = 0• v . (u v) = 0• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u v = 0 u e v linearmente dependentes
Propriedades do produto externo:
• O produto externo não é associativo!• Exemplo:
231211 eeeeee
Propriedades do produto externo:
• O produto externo não é associativo!• Exemplo:
00 2211
231211
eeee
eeeeee
Propriedades do produto externo:
• u e v linearmente independentes
• {u, v, uv} linearmente independente• Qualquer vector ortogonal a u e a v é múltiplo
de uv
Propriedades do produto externo:
• u e v linearmente independentes
• {u, v, uv} formam base de 3
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2)
Propriedades do produto externo:
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2)
• ||u v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2
B
A
||A||sen
B
A
||A||sen
Área do paralelogramo::||A B|| = ||A|| ||B|| sen
Produto misto
• O produto misto só se define em 3
• u, v, w 3 • O produto misto de u, v e w é:• u . (v w)
Regra prática para calcular o produto misto• u, v, w 3
321
321
321
det).(
www
vvv
uuu
wvu
Propriedades do produto misto
• u, v, w 3 • u . (v w) = 0 {u, v, w} linearmente
dependente• u . (v w) = (u v) . w• u . (v w) = v . (w u) • u . (v w) = - u . (w v) = - v . (u w)
Interpretação geométrica:
• (u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
Interpretação geométrica:
• (u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base
Interpretação geométrica:
• (u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base
• ||w||cos dá a altura, sendo o ângulo entre w e uv
Interpretação geométrica:
• (u v) . w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||uv || é a área da base
• ||w||cos dá a altura, sendo o ângulo entre w e uv
• Volume = ||uv || ||w||cos = (u v) . w
u
v
w
u
v
w
u
v
w
u v
u
v
w
u v
altura
u
v
w
u v
Altura = ||w|| cos
u
v
w
u v
Altura = ||w|| cos
Área da base = ||uv||
Bases ortonormadas
• Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se os vectores forem ortogonais dois a dois.• Um conjunto de vectores diz-se
ortonormado se for ortogonal e todos os vectores tiverem norma unitária
Bases ortonormadas
• Um vector que tiver norma igual a um diz-se unitário.• Dado um qualquer vector não nulo u,
é possível construir um vector unitário a partir de u fazendo:
uu
1
Como obter uma base ortogonal?
• Seja {u1, u2, . . . , un} uma base de um espaço vectorial de dimensão n.
• Obtém-se a partir daqui uma base ortogonal {v1, v2, . . . , vn} aplicando o chamado processo de ortogonalização de Gram-Schmidt que consiste em:
Ortogonalização de Gram-Schmidt
11 uv
Ortogonalização de Gram-Schmidt
12
1
1222
11
.v
v
vuuv
uv
Ortogonalização de Gram-Schmidt
22
2
2312
1
1333
12
1
1222
11
..
.
vv
vuv
v
vuuv
vv
vuuv
uv
Ortogonalização de Gram-Schmidt
j
n
jj
jnnn v
v
vuuv
vv
vuv
v
vuuv
vv
vuuv
uv
1
12
22
2
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1
1333
12
1
1222
11
.
..
.