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UNIVATES - Centro Universit´ario Centro III Curso de Engenharia de Automa¸c˜ ao e Controle Curso de Engenharia Sanit´aria e Ambiental Curso de Engenharia da Computa¸c˜ ao Curso de Engenharia de Produ¸c˜ ao ´ Algebra Linear e Geometria Anal itica por Prof.Dr. Claus Haetinger e-mail: [email protected] URL http://ensino.univates.br/˜chaet e Prof a .Drnd a . M. Madalena Dullius e-mail: [email protected] Lajeado, 24 de Julho de 2006

Algebra Linear e Geometria Analitica¶ · Algebra Linear ´ e Geometria ... 13.1.1 Equa¸c˜ao Reduzida da Elipse com Centro na Origem e Focos sobre os Eixos Coordenados . . .

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UNIVATES - Centro UniversitarioCentro III

Curso de Engenharia de Automacao e ControleCurso de Engenharia Sanitaria e Ambiental

Curso de Engenharia da ComputacaoCurso de Engenharia de Producao

Algebra Lineare

Geometria Anal’itica

porProf.Dr. Claus Haetinger – e-mail: [email protected]

URL http://ensino.univates.br/˜chaet

eProfa.Drnda. M. Madalena Dullius – e-mail: [email protected]

Lajeado, 24 de Julho de 2006

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Sumario

1 Introducao 1

2 O Plano 5

3 O Espaco 19

4 Curvas Planas, Equacoes Parametricas e Coordenadas Po-lares 27

5 Matrizes 585.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 Tipos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.4 Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4.1 Adicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4.2 Subtracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4.3 Multiplicacao por um Numero Real . . . . . . . . . . . 665.4.4 Multiplicacao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4.5 Transposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5 Exercıcios de Fixacao e Problemas de Aplicacao . . . . . . . 755.6 Respostas dos Principais Exercıcios do Capıtulo . . . . . . . . 83

6 Sistemas Lineares 876.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3 Forma Escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3.1 Operacoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3.2 Procedimento para a Reducao de uma Matriz a Forma

Escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4 Sistema Linear Escalonado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4.1 Resolucao de um Sistema Linear Escalonado . . . . . 946.4.2 Escalonamento de um Sistema Linear . . . . . . . . . 94

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UNIVATES – Centro Universitario ii

6.4.3 Algoritmo que Reduz uma Matriz a Forma EscalonadaReduzida por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.5 Solucoes de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.6 Exercıcios de Fixacao e Problemas de Aplicacao . . . . . . . 976.7 Respostas dos Principais Exercıcios do Capıtulo . . . . . . . . 101

7 Determinante e Matriz Inversa 1047.1 Breve Relato Historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.3.1 Desenvolvimento de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 1087.4 Matriz Adjunta – Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.5 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.6 Metodo Pratico para Encontrar A−1 . . . . . . . . . . . . . . 1157.7 Exercıcios de Fixacao e Problemas de Aplicacao . . . . . . . 1167.8 Respostas dos Principais Exercıcios do Capıtulo . . . . . . . . 117

8 Introducao as Transformacoes Lineares 118

9 Espacos Vetoriais 1319.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.2 Vetores no Plano e no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.2.1 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.2.2 Vetores no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.3 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.4 Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.4.2 Contra-Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.4.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.4.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.4.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.5 Combinacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.6 Dependencia e Independencia Linear . . . . . . . . . . . . . . 1439.6.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.7 Base de Um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.7.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.7.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.8 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.8.1 A Inversa da Matriz de Mudanca de Base . . . . . . . 1499.8.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.9 Exercıcios de Fixacao e Problemas de Aplicacao . . . . . . . 1519.10 Respostas dos Principais Exercıcios do Capıtulo . . . . . . . . 155

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10 Aprofundamento Sobre Transformacoes Lineares 15610.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.3 Transformacoes do Plano no Plano . . . . . . . . . . . . . . . 158

10.3.1 Expansao (ou Contracao) Uniforme . . . . . . . . . . 15810.3.2 Reflexao em Torno do Eixo ~OX . . . . . . . . . . . . . 15910.3.3 Reflexao pela Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.3.4 Rotacao de um angulo θ . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.3.5 Cisalhamento Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.3.6 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.4 Conceitos e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.5 Transformacoes Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 16410.6 Aplicacoes a Optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11 Desigualdades Lineares 174

12 Variedades Lineares, Conjuntos Convexos e ProgramacaoLinear 18012.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18112.3 Topicos da Programacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212.4 Metodologia de Resolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212.5 Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.5.2 Caracterizacao Geometrica dos Vertices . . . . . . . . 188

12.6 Introducao a Programacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.6.1 Topicos sobre Produto Interno . . . . . . . . . . . . . 18912.6.2 Metodo Geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.6.3 Teorema Fundamental da PL . . . . . . . . . . . . . . 19312.6.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

12.7 Exercıcios de Fixacao e Problemas de Aplicacao . . . . . . . 19412.8 Respostas dos Principais Exercıcios do Capıtulo . . . . . . . . 199

13 Curvas Conicas 20113.1 A Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

13.1.1 Equacao Reduzida da Elipse com Centro na Origem eFocos sobre os Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . 202

13.1.2 Equacao da Elipse Cujos Eixos sao Paralelos aos EixosCoordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

13.1.3 Posicao Relativa entre Reta e Elipse . . . . . . . . . . 20413.2 A Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

13.2.1 Equacao Reduzida da Parabola com Vertice na Ori-gem e Foco sobre um dos Eixos Coordenados . . . . . 205

13.2.2 Equacao Reduzida da Parabola Cujo Eixo de Simetriae Paralelo a um dos Eixos Coordenados . . . . . . . . 207

13.2.3 Posicao Relativa entre Reta e Parabola . . . . . . . . 20713.3 A Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

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13.3.1 Equacao Reduzida da Hiperbole com Centro na Ori-gem e Focos sobre os Eixos . . . . . . . . . . . . . . . 209

13.3.2 Equacao Reduzida da Hiperbole Cujos Eixos sao Pa-ralelos aos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . 209

13.3.3 Posicao Relativa entre Reta e Hiperbole . . . . . . . . 21013.4 Equacoes de Conicas com Eixo(s) Nao Paralelo(s) aos Eixos

Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21013.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

13.5 Aplicacao das Translacoes e Rotacoes ao Estudo da EquacaoGeral do Segundo Grau a Duas Variaveis . . . . . . . . . . . 21213.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

13.6 A Equacao Geral do Segundo Grau a Duas Variaveis e asConicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21513.6.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

13.7 Respostas dos Principais Exercıcios do Capıtulo . . . . . . . . 216

A Artigos para Aprofundamento 217A.1 Comparacao dos Procedimentos para Resolver Sistemas Li-

neares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.2 Algebra de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.3 Correlacion de Pares de Imagenes para Medicion de Solidos

por Fenomenos Estereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.4 Introducao a Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . . . . . 217A.5 Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.6 Espacos Vetoriais – Introducao: Quadrados Magicos . . . . . 217A.7 Compressao de Imagem Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . 217A.8 Investigacao: Azulejos, Reticulados e a Restricao Crista-

lografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.9 Investigacao: A Fatoracao LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.10 Codigos Corretores de Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.11 Grafos e Dıgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.12 Investigacao: Pivotamento Parcial e Contagem de Operacoes

- Uma Introducao a Analise de Algoritmos . . . . . . . . . . . 218A.13 Analise de Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.14 Simulador de Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.15 Vetores de Codigo e Aritmetica Modular . . . . . . . . . . . . 218A.16 Diagonalizacao de Formas Quadraticas: Secoes Conicas . . . 218A.17 A Rampa de Skate do Tempo Mınimo . . . . . . . . . . . . . 218A.18 Por Que as Antenas Sao Parabolicas . . . . . . . . . . . . . . 219A.19 A Hiperbole e os Telescopios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219A.20 A Sombra do Meu Abajur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219A.21 A Matematica do GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219A.22 Montando uma Dieta Alimentar com Sistemas Lineares . . . 219A.23 Resumo Sobre Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219A.24 Um Brinquedo Chamado Espirografo . . . . . . . . . . . . . . 219

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B Autovalores e Vetores Proprios, Diagonalizacao de Opera-dores Lineares 220B.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220B.2 Sistemas Lineares da Forma Ax = λx . . . . . . . . . . . . . . 221B.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222B.4 Diagonalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

B.4.1 Um Procedimento para Diagonalizar uma Matriz . . . 227B.4.2 Multiplicidades Geometrica e Algebrica . . . . . . . . 229

B.5 Diagonalizacao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231B.5.1 Matrizes Ortogonais: Mudanca de Bases . . . . . . . . 231B.5.2 Diagonalizacao de Matrizes Simetricas . . . . . . . . . 233

C Produto Escalar 235C.1 Angulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor . . . . . 237C.2 Projecao de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

D Processos Aleatorios: Cadeias de Markov 239D.1 Ideia Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239D.2 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242D.3 Previsoes a Longo Prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

D.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244D.4 Previsoes em Genetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

E Somatorios 251E.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251E.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252E.3 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253E.4 Respostas dos Principais Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . 254

F Topicos sobre Retas e suas Equacoes 255F.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255F.2 Coeficiente Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257F.3 Coeficiente Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

F.3.1 Um Caso a Parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262F.4 As Retas que Passam por um Ponto Dado . . . . . . . . . . . 268F.5 Paralelismo de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272F.6 Interseccao de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273F.7 Perpendicularismo de duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . 274

F.7.1 Projecao (Ortogonal) de um Ponto sobre uma Reta . . 275F.8 Equacao Geral e Equacao Reduzida . . . . . . . . . . . . . . 277

F.8.1 Equacao Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . 277F.8.2 Equacao Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . 277

F.9 Distancia entre Ponto e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278F.10 Respostas dos Principais Exercıcios do Capıtulo . . . . . . . . 281

Bibliografia 303

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Capıtulo 1

Introducao

Iniciamos este polıgrafo apresentando alguns exemplos de algumasdas inumeras aplicacoes da Algebra Linear. E claro que neste curso naoconseguiremos aborda-las todas. Contudo, o leitor interessando em maisdetalhes sobre os mesmos pode consultar [1].

Exemplo 1.0.1 (Jogos de estrategia)No jogo de roleta o jogador da seu lance com uma aposta e o cassino

responde com o giro da roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino edeterminado a partir destes dois movimentos.

Estes sao os ingredientes basicos de uma variedade de jogos que contemelementos tanto de estrategia quanto de acaso. Os metodos matriciais podemser usados para desenvolver estrategias otimizadas para os jogadores.

Exemplo 1.0.2 (Administracao de florestas)O administrador de uma plantacao de arvores de Natal quer plantar e

cortar as arvores de uma maneira tal que a configuracao da floresta per-maneca inalterada de um ano para outro. O administrador tambem procuramaximizar os rendimentos, que dependem do numero e do tamanho dasarvores cortadas.

Tecnicas matriciais podem quantificar este problema e auxiliar o admi-nistrador a escolher uma programacao sustentavel de corte.

Exemplo 1.0.3 (Computacao grafica) Uma das aplicacoes maisuteis da computacao grafica e a do simulador de voo.

As matrizes fornecem uma maneira conveniente de lidar com a enormequantidade de dados necessarios para construir e animar os objetos tridi-mensionais usados por simuladores de voo para representar um cenario emmovimento.

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Exemplo 1.0.4 (Redes eletricas)Circuitos eletricos que contenham somente resistencias e geradores de

energia podem ser analisados usando sistemas lineares derivados das leisbasicas da teoria de circuitos.

Exemplo 1.0.5 (Distribuicao de temperatura de equilıbrio)Uma tarefa basica da ciencia e da engenharia, que pode ser reduzida

a resolver um sistema de equacoes lineares atraves de tecnicas matriciaisiterativas, e determinar a distribuicao de temperatura de objetos tais comoa do aco saindo da fornalha.

Exemplo 1.0.6 (Cadeias de Markov)Os registros meteorologicos de uma localidade especıfica podem ser usados

para estimar a probabilidade de que va chover em um certo dia a partir dainformacao de que choveu ou nao no dia anterior.

A teoria das cadeias de Markov pode utilizar tais dados para prever, commuita antecedencia, a probabilidade de um dia chuvoso na localidade.

Exemplo 1.0.7 (Genetica)Os mandatarios do Egito antigo recorriam a casamentos entre irmaos

para manter a pureza da linhagem real. Este costume propagou e acentuoucertos tracos geneticos atraves de muitas geracoes.

A teoria das matrizes fornece um referencial matematico para examinaro problema geral da propagacao de tracos geneticos.

Exemplo 1.0.8 (Crescimento populacional por faixa etaria)A configuracao populacional futura pode ser projetada aplicando algebra

matricial as taxas, especificadas por faixas etarias, de nascimento e mor-talidade da populacao. A evolucao a longo prazo da populacao dependedas caracterısticas matematicas de uma matriz de projecao que contem osparametros demograficos da populacao.

Exemplo 1.0.9 (Colheita de populacoes animais)A colheita sustentada de uma criacao de animais requer o conhecimento

da demografia da populacao animal. Para maximizar o lucro de uma colheitaperiodica, podem ser comparadas diversas estrategias de colheita sustentadautilizando tecnicas matriciais que descrevem a dinamica do crescimento po-pulacional.

Exemplo 1.0.10 (Criptografia)Durante a Segunda Guerra Mundial, os decodificadores norte-americanos

e britanicos tiveram exito em quebrar o codigo militar inimigo usandotecnicas matematicas e maquinas sofisticadas.

Hoje em dia, o principal impulso para o desenvolvimento de codigosseguros e dado pelas comunicacoes confidenciais entre computadores e emtelecomunicacoes.

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Exemplo 1.0.11 (Construcao de curvas e superfıcies por pontosespecificados)

Em seu trabalho “Principia Mathematica” (Os Princıpios Matematicosda Filosofia Natural), I. Newton abordou o problema da construcao de umaelipse por cinco pontos dados. Isto ilustraria como encontrar a orbita de umcometa ou de um planeta atraves da analise de cinco observacoes.

Ao inves de utilizarmos o procedimento geometrico de Newton, podemosutilizar os determinantes para resolver o problema analiticamente.

Exemplo 1.0.12 (Programacao linear geometrica)Um problema usual tratado na area de programacao linear e o da deter-

minacao de proporcoes dos ingredientes em uma mistura com o objetivo deminimizar seu custo quando as proporcoes variam dentro de certos limites.Um tempo enorme do uso de computadores na administracao e na industriae dedicado a problemas de programacao linear.

Exemplo 1.0.13 (O problema da alocacao de tarefas)Um problema importante na industria e o do deslocamento de pessoal e

de recursos de uma maneira eficiente quanto ao custo.Por exemplo, uma construtora pode querer escolher rotas para movimen-

tar equipamento pesado de seus depositos para os locais de construcao demaneira a minimizar a distancia total percorrida.

Exemplo 1.0.14 (Modelos economicos de Leontief)Num sistema economico simplificado, uma mina de carvao, uma ferrovia

e uma usina de energia necessitam cada uma de uma parte da producaodas outras para sua manutencao e para suprir outros consumidores de seuproduto.

Os modelos de producao de Leontief podem ser usados para determinaro nıvel de producao necessario as tres industrias para manter o sistemaeconomico.

Exemplo 1.0.15 (Interpolacao “spline” cubica)As fontes tipograficas PostScriptTM e TrueTypeTM usadas em telas de

monitores e por impressorar sao definidas por curvas polinomiais por partesdenominadas “splines”.

Os parametros que os determinam estao armazenados na memoria docomputador, um conjunto de parametros para cada um dos caracteres deuma particular fonte.

Exemplo 1.0.16 (Teoria de grafos)A classificacao social num grupo de animais e uma relacao que pode ser

descrita e analisada com a teoria de grafos.Esta teoria tambem tem aplicacoes a problemas tao distintos como a de-

terminacao de rotas de companhias aereas e a analise de padroes de votacao.

Exemplo 1.0.17 (Tomografia computadorizada)Um dos principais avancos no diagnostico medico e o desenvolvimento

de metodos nao invasivos para obter imagens de secoes transversais do corpohumano, como a tomografia computadorizada e a ressonancia magnetica.

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UNIVATES – Centro Universitario 4

Os metodos da Algebra Linear podem ser usados para reconstruir imagensa partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada.

Exemplo 1.0.18 (Conjuntos fractais)Conjuntos que podem ser repartidos em versoes congruentes proporcio-

nalmente reduzidas do conjunto original sao denominadas fractais. Os frac-tais sao atualmente aplicados a compactacao de dados computacionais.

Os metodos da Algebra Linear podem ser usados para construir e classi-ficar fractais.

Exemplo 1.0.19 (Teoria do Caos)Os “pixels” que constituem uma imagem matricial podem ser embara-

lhados repetidamente de uma mesma maneira, na tentativa de torna-losaleatorios. Contudo, padroes indesejados podem continuar aparecendo noprocesso.

A aplicacao matricial que descreve o processo de embaralhar ilustra tantoa ordem quanto a desordem que caracterizam estes processos caoticos.

Exemplo 1.0.20 (Um modelo de mınimos quadrados para aaudicao humana)

O ouvido interno contem uma estrutura com milhares de receptores sen-soriais ciliares. Estes receptores, movidos pelas vibracoes do tımpano, res-pondem a frequencias diferentes de acordo com sua localizacao e produzemimpulsos eletricos que viajam ate o cerebro atraves do nervo auditivo. Destamaneira, o ouvido interno age como um processador de sinais que decompoeuma onda sonora complexa em um espectro de frequencias distintas.

Exemplo 1.0.21 (Deformacoes e morfismos)Voce ja deve ter visto em programas de televisao ou clipes musicais ima-

gens mostrando rapidamente o envelhecimento de uma mulher ao longo dotempo, ou a transformacao de um rosto de mulher no de uma pantera, aprevisao de como seria hoje o rosto de uma crianca desaparecida ha 15 anosatras, etc.

Estes processos sao feitos a partir de algumas poucas fotos. A ideiade continuidade, de evolucao do processo, e feito atraves do computador.Este processo de deformacao e chamado de morfismo, que se caracteriza pormisturas de fotografias reais com fotografias modificadas pelo computador.

Tais tecnicas de manipulacao de imagens tem encontrado aplicacoes naindustria medica, cientıfica e de entretenimento.

CHAETINGER

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Capıtulo 2

O Plano

Refere-se ao Capıtulo 2 de [30], paginas 16 a 39.

CHAETINGER

5

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Capıtulo 3

O Espaco

Refere-se ao Capıtulo 4 de [30], paginas 90 a 103.

CHAETINGER

19

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Capıtulo 4

Curvas Planas, EquacoesParametricas e CoordenadasPolares

Refere-se ao Capıtulo 12 de Larson, R.E.; Hostetter, R.P. e Edwards,B.H. ([12]), paginas 743 a 801.

CHAETINGER

27

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Capıtulo 5

Matrizes

5.1 Introducao

Neste capıtulo, apresentamos os conceitos basicos sobre matrizes, osquais surgem de forma natural na resolucao de problemas, porque “ordename simplificam” os mesmos, bem como fornecem novos metodos de resolucao.

Adotaremos a abordagem logico-dedutiva, pois os alunos que, ao con-cluırem o Ensino Medio, pretendem se dedicar de forma especializada asEngenharias, a Quımica Industrial, a Matematica ou a Informatica, ingres-sando nestas areas na universidade, deparam-se com frequencia com ra-ciocınios logico-dedutivos e convem terem visto algo neste sentido ja desdeo inıcio do curso.

5.2 Conceito

Exemplo 5.2.1 Uma industria tem quatro fabricas A, B, C, D, cadauma das quais produz tres produtos 1, 2, 3. A tabela mostra a producao daindustria durante uma semana.

Fabrica A Fabrica B Fabrica C Fabrica DProduto 1 560 360 380 0Produto 2 340 450 420 80Produto 3 280 270 210 380

Tabela 5.1: Producao da industria por fabrica

Quantas unidades do produto 2 foram fabricadas pela fabrica C?

58

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UNIVATES – Centro Universitario 59

Exemplo 5.2.2 Ao recolhermos os dados referentes a altura, peso eidade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispo-los na tabela abaixo:

Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)Pessoa 1 1,70 70 23Pessoa 2 1,75 60 45Pessoa 3 1,60 52 25Pessoa 4 1,81 72 30

Tabela 5.2: Altura, peso e idade por pessoa

Ao abstrairmos os significados das linhas e das colunas, temos a matriz:

1, 70 70 231, 75 60 451, 60 52 251, 81 72 30

Quando o numero de variaveis e de observacoes e muito grande, esta dis-posicao ordenada de dados e indispensavel.

Definicao 5.2.3 Sejam 1 ≤ m,n ∈ N; chama-se matriz m×n (leia-se:m por n) a uma tabela constituıda por mn elementos, dispostos em m linhas(horizontais) e n colunas (verticais).

Notacao: Seja Am×n e sejam i, j ∈ N tais que: 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n;indicaremos com aij o elemento de A que ocupa a linha i e a coluna j; Asera indicada por:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · ·· · · ·· · · ·

am1 am2 · · · amn

ou de forma mais sintetica: A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.Usaremos sempre letras maiusculas para denotar matrizes.Tambem sao utilizadas outras notacoes para matriz, alem de colchetes,

como parenteses ou duas barras. Por exemplo:(

2 −10 4

)e

2 −10 4

Observacao 5.2.4 Os elementos de uma matriz podem ser numeros re-ais, numeros complexos, polinomios, funcoes, etc.; aqui, entretanto, traba-lharemos apenas com matrizes constituıdas por numeros reais.

Definicao 5.2.5 Sejam as matrizes A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e1 ≤ j ≤ n e B = (bij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Dizemos que A

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UNIVATES – Centro Universitario 60

e IGUAL a B, e indicamos com A = B, se aij = bij para 1 ≤ i ≤ m e1 ≤ j ≤ n, ou seja, duas matrizes m×n sao iguais se possuem os elementosde mesma posicao iguais; se isto nao acontecer, elas se dizem DIFERENTESe indicamos com A 6= B.

Exemplo 5.2.6

1.

3 24 75 3

=

3 24 75 3

2.(

2 48 −1

)6=

(2 48 1

)

3.(

1 2 3) 6= (

3 2 1)

4.(

32 1 log 12 22 5

)=

(9 sin 90o 02 4 5

)

Podemos tambem construir matrizes que possuam uma relacao entre seuselementos, a partir de uma lei de formacao:

Exemplo 5.2.7 Representar explicitamente a matriz A = (aij), com1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 2, tal que aij = 3i− 2j + 4.

Resolucao

• i = 1 e j = 1 ⇒ a11 = 3 · 1− 2 · 1 + 4 = 5;

• i = 1 e j = 2 ⇒ a12 = 3 · 1− 2 · 2 + 4 = 3;

• i = 2 e j = 1 ⇒ a21 = 3 · 2− 2 · 1 + 4 = 8;

• i = 2 e j = 2 ⇒ a22 = 3 · 2− 2 · 2 + 4 = 6;

• i = 3 e j = 1 ⇒ a31 = 3 · 3− 2 · 1 + 4 = 11;

• i = 3 e j = 2 ⇒ a32 = 3 · 3− 2 · 2 + 4 = 9.

Logo: A =

5 38 611 9

. X

Exercıcio 5.2.8 Representar explicitamente a matriz quadrada de or-dem 2, cujo elemento generico e: aij = 2i− 3j + 5.

Exemplo 5.2.9 Representar explicitamente a matriz A = (aij), com

1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3, tal que{

aij = 1 para i 6= jaij = 0, para i = j.

Resolucao

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UNIVATES – Centro Universitario 61

O enunciado permite escrever:{

a12 = a13 = a21 = a23 = a31 = a32 = 1a11 = a22 = a33 = 0

. Logo:

0 1 11 0 11 1 0

. X

Exercıcio 5.2.10 Representar explicitamente a matriz A = (aij), com

1 ≤ i ≤ 4 e 1 ≤ j ≤ 4, tal que{

aij = 0 para i 6= jaij = 1, para i = j.

Exemplo 5.2.11

1. Matriz A = (aij)3×3, tal que aij = j2 − i2 ⇒ matriz quadrada;

2. Matriz B = (bij)1×3, tal que bij = j − 2i ⇒ matriz linha;

3. Matriz C = (cij)4×1, tal que cij = 2i2 − 3j ⇒ matriz coluna;

4. Matriz D = (dij)1×2, tal que dij = 0 ⇒ matriz nula;

5. Matriz E = (eij)2×2, tal que

eij ={

0, se i 6= ji + j, se i = j

⇒ matriz diagonal;

6. Matriz F = (fij)3×3, tal que

fij ={

1, se i = j0, se i 6= j

⇒ matriz identidade.

5.3 Tipos Especiais

Consideraremos agora alguns casos particulares de matrizes m× n:

Definicao 5.3.1 Matriz Quadrada e aquela cujo numero de linhas eigual ao numero de colunas (m = n). Nestes casos, costuma-se dizer que amatriz e de ordem n.

Definicao 5.3.2 Matriz Nula e aquela em que aij = 0, para todo i ej. E denotada por Om×n.

Definicao 5.3.3 Matriz-Coluna e aquela que possui uma unica coluna(n = 1).

Definicao 5.3.4 Matriz-Linha e aquela onde m = 1.

Definicao 5.3.5 Seja An×n uma matriz quadrada de ordem n; os ele-mentos aij, para os quais i = j (a11, a22, . . . , ann), sao ditos elementos dadiagonal principal da matriz. Por outro lado, os elementos para os quaisi + j = n + 1 (a1n, a2 n−1, . . . , an 1), formam a diagonal secundaria damatriz.

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UNIVATES – Centro Universitario 62

Definicao 5.3.6 Matriz Diagonal e uma matriz quadrada (m = n)onde aij = 0, para i 6= j, isto e, os elementos que nao estao na diagonalprincipal sao nulos.

Definicao 5.3.7 Matriz Identidade ou Unidade e uma matriz qua-drada de ordem n em que aii = 1 e aij = 0, para i 6= j. E denotada porIn. Muitas vezes, ela aparece escrita da seguinte forma: In = (δij), com1 ≤ i, j ≤ n, onde:

δij ={

1, quando i = j0, quando i 6= j.

Definicao 5.3.8 Matriz Triangular Superior e uma matriz qua-drada onde todos os elementos abaixo da diagonal sao nulos, isto e, m = ne aij = 0, para i > j.

Definicao 5.3.9 Matriz Triangular Inferior e aquela em que m = ne aij = 0, para i < j.

Definicao 5.3.10 Matriz Simetrica e aquela onde m = n e aij = aji.Observe que isto equivale a dizer que a parte superior e uma reflexao axialda parte inferior, em relacao a diagonal.

5.3.1 Exemplos

Exemplo 5.3.11 Sao exemplos de matrizes diagonais:

A =

1 0 00 2 00 0 3

, B =

(1 00 1

), C =

(3

), D =

0 0 00 0 00 0 0

.

Exemplo 5.3.12

2 −1 00 −1 40 0 3

e

(a b0 c

)sao matrizes triangulares

superiores.

Exemplo 5.3.13

2 0 0 01 −1 0 01 2 2 01 0 5 4

e

5 0 07 0 02 1 3

sao matrizes tri-

angulares inferiores.

Exemplo 5.3.14

a b c db e f gc f h id g i k

e

4 3 −13 2 0−1 0 5

sao matrizes

simetricas.

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5.4 Operacoes

Exercıcio 5.4.1 Consideremos as tabelas de producao de calcados noprimeiro trimestre de 2001.

Janeiro Fabrica A Fabrica BModelo 1 9667 307Modelo 2 11545 7848Modelo 3 0 3577

Fevereiro Fabrica A Fabrica BModelo 1 2387 1265Modelo 2 20178 5382Modelo 3 0 1341

Marco Fabrica A Fabrica BModelo 1 8234 1149Modelo 2 13705 2971Modelo 3 0 1804

Tabela 5.3: Producao de calcados no primeiro trimestre

1. Quantos calcados de cada modelo cada fabrica produziu nos meses dejaneiro e fevereiro juntos?

2. Quantos calcados de cada modelo cada fabrica produziu no trimestre?

3. Considerando que a previsao para a producao de abril sera o dobro dade fevereiro, determine a estimativa para abril.

4. De quantos pares a producao (de cada modelo para cada fabrica) au-mentou ou diminuiu no perıodo de janeiro para fevereiro?

Exemplo 5.4.2 Consideremos as tabelas que descrevem a producao degraos em dois anos consecutivos.

Ano 1 soja feijao arroz milhoRegiao A 3000 200 400 600Regiao B 700 350 700 100Regiao C 1000 100 500 800

Ano 2 soja feijao arroz milhoRegiao A 5000 50 200 0Regiao B 2000 100 300 300Regiao C 2000 100 600 600

Tabela 5.4: Producao de graos (em milhares de toneladas) durante dois anosconsecutivos

Se quisermos montar uma tabela que de a producao por produto e porregiao nos dois anos conjuntamente, teremos que somar os elementos cor-respondentes das duas tabelas acima):

3000 200 400 600700 350 700 100

1000 100 500 800

+

5000 50 200 02000 100 300 3002000 100 600 600

=

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8000 250 600 6002700 450 1000 4003000 200 1100 1400

.

Ou seja:

soja feijao arroz milhoRegiao A 8000 250 600 600Regiao B 2700 450 1000 400Regiao C 3000 200 1100 1400

Tabela 5.5: Producao total de graos (em milhares de toneladas) durante osdois anos

5.4.1 Adicao

Definicao 5.4.3 Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes , com 1 ≤ i ≤ me 1 ≤ j ≤ n. Chamamos de SOMA da matriz A com a matriz B a matrizC = (cij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que cij = aij + bij, para 1 ≤ i ≤ me 1 ≤ j ≤ n, ou seja, soma de duas matrizes m×n e a matriz que se obtemdas matrizes dadas, somando-se os elementos de mesma posicao. Para dizerque C e soma de A com B, indica-la-emos com A + B.

Exemplo 5.4.4

1 −14 02 5

+

0 4−2 51 0

=

1 32 53 5

.

Observacao 5.4.5 So definimos soma de matrizes quando elas tem en-tre si o mesmo numero de linhas e tambem o mesmo numero de colunas.

Observacao 5.4.6 Pela forma com que foi definida, a adicao de ma-trizes tem as mesmas propriedades que a adicao de numeros reais.

Definicao 5.4.7 Seja a matriz A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.Chamamos de matriz OPOSTA de A a matriz B = (bij), com 1 ≤ i ≤ m e1 ≤ j ≤ n tal que: bij = −aij, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, matrizoposta de A e a matriz que se obtem de A trocando-se o sinal de cada umdos seus elementos. Para dizer que B e oposta de A, indica-la-emos com−A.

Exemplo 5.4.8 A =[

1 2 −10 −2 3

]⇒ −A =

[ −1 −2 10 2 −3

]. X

Propriedades

Propriedade 5.4.9 Dadas as matrizes A, B e C, todas m× n, temos:

i. A + B = B + A (comutativa)

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ii. (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)

iii. A + Om×n = Om×n + A = A (elemento neutro)

iv. A + (−A) = (−A) + A = Om×n (elemento oposto)

prova: exercıcio. P5.4.2 Subtracao

Definicao 5.4.10 Sejam A e B duas matrizes m × n; chama-seDIFERENCA entre A e B a soma de A com a oposta de B; a diferencaentre A e B sera indicada por A − B. Entao, pela definicao dada, temos:A−B = A + (−B).

Exemplo 5.4.11

3 −14 21 0

4 32 −20 −1

=

3 −14 21 0

+

−4 −3−2 20 1

=

−1 −42 41 1

X

Exercıcio 5.4.12 Sendo A =(

8 72 3

), B =

(0 −14 2

)e

C =(

3 71 −2

), obtenha A + (B + C).

Exercıcio 5.4.13 Sendo A =( −1 2−1 0

), B =

(3 24 1

)e

C =(

5 21 3

), obtenha (A−B)− C.

Exercıcio 5.4.14 Sendo A =(

1 22 −1

), B =

(0 30 2

)e

C =( −1 −1−2 0

), obtenha A− (B − C).

Exemplo 5.4.15 Sendo A =(

1 22 −1

), B =

(0 30 2

)e

C =( −1 −1−2 0

), obtenha A−B + C.

Solucao

A−B + C = (A−B) + C =[

0 −20 −3

]X

Exemplo 5.4.16 Sendo A =(

2 31 0

), B =

( −1 02 −3

)e

C =(

0 31 −4

), obtenha a matriz X tal que A + X = B + C.

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Resolucao

Vamos acrescentar pela esquerda, a ambos os membros da igualdadedada, a oposta de A; temos: −A + (A + X) = −A + (B + C), isto e,(−A + A) + X = −A + (B + C) ⇒ X = −A + (B + C). Portanto,

X =[ −2 −3−1 0

]+

[ −1 02 −3

]+

[0 31 −4

]=

[ −3 02 −7

]. X

Exercıcio 5.4.17 Sendo A =(

12 −23 −5

), B =

(7 21 8

)e

C =(

0 35 7

), obtenha a matriz Y tal que (A + Y )− C = A + B.

5.4.3 Multiplicacao por um Numero Real

Exemplo 5.4.18 (Baseado nos dados do exemplo 5.4.2) Existem mui-tos incentivos para se incrementar a producao (condicoes climaticas fa-voraveis, etc.), de tal forma que a previsao para a safra do terceiro anosera o triplo da producao do primeiro. Assim, a matriz de estimativa deproducao deste ultimo sera:

3 ·

3000 200 400 600700 350 700 100

1000 100 500 800

=

9000 600 1200 18002100 1050 2100 3003000 300 1500 2400

. X

Definicao 5.4.19 Sejam α ∈ R e A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e1 ≤ j ≤ n. Chamaremos de produto do numero real α pela matrizA a matriz B = (bij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que: bij = α · aij para1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, o produto do numero real α pela matriz A ea matriz que se obtem de A multiplicando cada um dos seus elementos porα.

Notacao αA

Exemplo 5.4.20

A =[

1 2 03 −1 2

]⇒ −1

2A =

[ −12 −1 0

−32

12 −1

]X

Propriedades

Propriedade 5.4.21 Sejam os numeros reais α e β e as matrizes A eB, ambas m× n. Temos:

i. α(βA) = (αβ)A

ii. (α + β)A = αA + βA

iii. α(A + B) = αA + αB

iv. 1 ·A = A

v. (−1)A = −A

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vi. 0 ·A = Om×n

vii. α ·Om×n = Om×n

Convidamos voce a demonstrar estas propriedades (em momentos deextremo tedio, e claro).

Exemplo 5.4.22 Sendo A =(

2 65 −3

), obtenha a matriz X tal que

3(X − 3A) = 5X − 13A.

Resolucao

5X − 13A = 3(X − 3A) = 3X − 9A ⇒5X − 3X = −9A + 13A ⇒

2X = 4A ⇒X = 2A

Portanto, X = 2(

2 65 −3

)=

(4 1210 −6

). X

Exercıcio 5.4.23 Sendo A =(

3 2 51 0 3

)e B =

(3 0 −12 4 2

), ob-

tenha as matrizes X e Y tais que:{

2X + Y = 4A + BX − 2Y = −3A + 3B.

Exercıcio 5.4.24 Refaca o exercıcio 5.4.1 usando a notacao matricial.

5.4.4 Multiplicacao de Matrizes

Exercıcio 5.4.25 Uma industria fabrica certo aparelho em 2 modelos Pe Q. Na montagem do aparelho P , sao utilizados 6 transistores, 9 capacitorese 11 resistores; no modelo Q, sao 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores.Uma industria recebeu a seguinte encomenda para os meses de janeiro efevereiro:

Janeiro: 8 aparelhos do modelo P e 12 aparelhos do modelo Q.Fevereiro: 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q.Calcular a quantidade de transistores, capacitores e resistores necessarios

para atender as encomendas de cada mes.

Antes de definir a multiplicacao entre matrizes, vejamos um exemplo doque pode ocorrer na pratica:

Exemplo 5.4.26 Suponhamos que a seguinte tabela forneca as quanti-dades das vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I eII.

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A B C

Alimento I 4 3 0Alimento II 5 0 1

Tabela 5.6: Quantidades de vitaminas por alimento

Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II,quanto consumiremos de cada tipo de vitamina?

Resolucao

Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pelamatriz “consumo”:

[5 2].

A operacao que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitaminae o “produto”:

[5 2] ·[

4 3 05 0 1

]=

= [ 5 · 4 + 2 · 5 5 · 3 + 2 · 0 5 · 0 + 2 · 1 ] == [30 15 2] (5.1)

Isto e, serao ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15 de B e 2 de C. XOutro problema que poderemos considerar em relacao aos dados do

exemplo 5.4.26 e o seguinte:

Exemplo 5.4.27 Se o custo dos alimentos depender somente do seuconteudo vitamınico e soubermos que os precos por unidade de vitaminaA, B e C sao, respectivamente, $1, 50u.m., $3, 00u.m. e $5, 00u.m., quantopagarıamos pela porcao de alimentos indicada no exemplo 5.4.26?

Resolucao

[30 15 2] ·

1, 503, 005, 00

=

= [30(1, 50) + 15(3) + 2(5)] == [100]

(5.2)

Ou seja, pagarıamos $100, 00u.m.. XObservamos que nos “produtos” de matrizes efetuados em 5.1 e 5.2,

cada um dos elementos da matriz-resultado e obtido a partir de uma linhada primeira e uma coluna da segunda. Alem disso, com relacao as ordensdas matrizes envolvidas, temos:Em 5.1: [ ]1×2 · [ ]2×3 = [ ]1×3Em 5.2: [ ]1×3 · [ ]3×1 = [ ]1×1.

O exemplo acima esboca uma definicao de multiplicacao de matrizes Ae B, quando A e uma matriz-linha. Esta ideia pode ser generalizada:

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Definicao 5.4.28 Sejam as matrizes A = (aik), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ pe B = (bkj), 1 ≤ k ≤ p e 1 ≤ j ≤ n. Chamamos de PRODUTO da matrizA pela matriz B a matriz C = (cij), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que:

cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj =p∑

k=1aikbkj ,

onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Para dizer que a matriz C e o produto de A por B, indica-la-emos comAB.

Observacao 5.4.29 So tem sentido definirmos o produto AB de duasmatrizes quando o no de colunas de A for igual ao no de linhas de B; alemdisso, o produto AB possui o no de linhas de A e o no de colunas de B;esquematicamente, temos:

Am×p ·Bp×n︸ ︷︷ ︸ = Cm× n︸ ︷︷ ︸

Exemplo 5.4.30 Determinar o produto

1 23 40 5

︸ ︷︷ ︸A

[7 12 4

]

︸ ︷︷ ︸B

.

Resolucao

Como a matriz A e uma matriz 3× 2 e B e 2× 2, o no de colunas de Ae igual ao no de linhas de B e , entao, o produto AB esta definido e e umamatriz 3× 2.

O elemento c11, que pertence a 1a linha e a 1a coluna de AB, e calcu-lado multiplicando-se ordenadamente os elementos da 1a linha de A peloselementos da 1a coluna de B, e somando-se os produtos assim obtidos (pro-cure perceber que isto e verdade a partir da definicao de cij, quando i = 1 ej = 1); portanto:

1 23 40 5

·

[7 12 4

]=

1 · 7 + 2 · 2 · · ·· · · · · ·· · · · · ·

O elemento c12, que pertence a 1a linha e a 2a coluna de AB, e calcu-lado multiplicando-se ordenadamente os elementos da 1a linha de A peloselementos da 2a coluna de B, e somando-se os produtos assim obtidos;portanto:

1 23 40 5

·

[7 12 4

]=

· · · 1 · 1 + 2 · 4· · · · · ·· · · · · ·

Da mesma forma teremos: c21

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UNIVATES – Centro Universitario 70

1 23 40 5

·

[7 12 4

]=

· · · · · ·3 · 7 + 4 · 2 · · ·

· · · · · ·

. . .Logo, AB =

1 · 7 + 2 · 2 1 · 1 + 2 · 43 · 7 + 4 · 2 3 · 1 + 4 · 40 · 7 + 5 · 2 0 · 1 + 5 · 4

=

11 929 1910 20

. X

Exercıcios

Exercıcio 5.4.31 Determine o produto

2 0 10 −1 24 1 3

·

1 −12 13 0

.

Exercıcio 5.4.32 Determine o produto(

1 −2 4) ·

3 −21 42 1

.

Exercıcio 5.4.33 Obtenha o produto(

1 −5 30 1 3

3 12 31 2

.

Exercıcio 5.4.34 Obtenha o produto(

2 23 3

)·(

1 2 3 −12 1 2 0

).

Exercıcio 5.4.35 Obtenha o produto(

2 −33 −2

)·(

2 −33 −2

).

Exercıcio 5.4.36 Obtenha o produto

1 2 34 5 67 8 9

·

1 00 1−2 3

.

Exercıcio 5.4.37 Obtenha o produto

6 0 1−3 1 42 2 1

·

1 0 00 1 00 0 1

.

Exemplo 5.4.38 Obter AB e BA, caso existam: A =

1 23 41 −2

e

B =(

1 1 12 1 2

).

Solucao

AB =

1 23 41 −2

·

(1 1 12 1 2

)=

5 3 511 7 11−3 −1 −3

.

BA =(

1 1 12 1 2

1 23 41 −2

=

(5 47 4

). X

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Exemplo 5.4.39 Obter AB e BA, caso existam: A =(

1 −23 −1

)e

B =( −1 1−1 0

).

Solucao

AB =(

1 −23 −1

)·( −1 1−1 0

)=

(1 1−2 3

).

BA =( −1 1−1 0

)·(

1 −23 −1

)=

(2 1−1 2

). X

Exemplo 5.4.40 Obter AB e BA, caso existam: A =(

1 21 2

)e

B =(

1 1 12 0 2

).

Solucao

AB =(

1 21 2

)·(

1 1 12 0 2

)=

(5 1 55 1 5

).

BA nao existe, pois o no de colunas de B e diferente do no de linhasde A. X

Exemplo 5.4.41 Obter AB e BA, caso existam: A =

1 5 72 3 10 5 2

e

B =(

3 21 8

).

Solucao

AB nao existe, pois o numero de colunas de A e diferente do numero delinhas de B.

BA nao existe, pois o numero de colunas de B e diferente do numero delinhas de A. X

Exemplo 5.4.42 Obter AB e BA, caso existam: A =(

2 34 5

)e

B =(

5 34 8

).

Solucao

AB =(

2 34 5

)·(

5 34 8

)=

(22 3040 52

).

BA =(

5 34 8

)·(

2 34 5

)=

(22 3040 52

). X

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Exemplo 5.4.43 Obter AB e BA, caso existam: A =

−1−2−3−4

e

B =(

1 2 3 4).

Solucao

AB =

−1 −2 −3 −4−2 −4 −6 −8−3 −6 −9 −12−4 −8 −12 −16

, BA = (−30) X

Exemplo 5.4.44 Obter AB e BA, caso existam: A =(

5 110 2

)e

B =(

3 −2−15 10

).

Solucao

AB =(

0 00 0

)= O2×2, BA =

( −5 −125 5

). X

Observacao 5.4.45

1. Num produto de matrizes A e B, a ordem em que aparecem os fatorese importante: pode acontecer que

(a) 6 ∃AB e 6 ∃BA (ver 5.4.41)

(b) ∃AB e 6 ∃BA (ver 5.4.40)

(c) 6 ∃AB e ∃BA

(d) ∃AB, ∃BA, mas sao matrizes de dimensoes diferentes (ver5.4.43)

(e) ∃AB, ∃BA, de mesmas dimensoes, mas AB 6= BA (ver 5.4.44)

(f) ∃AB, ∃BA, e AB = BA (ver 5.4.42).

2. O produto de duas matrizes nao-nulas pode resultar numa matriz nula(ver 5.4.44).

Propriedades

Propriedade 5.4.46 Quaisquer que sejam as matrizes A(m× n), B eC (convenientes) e qualquer que seja o numero real α, tem-se:

i. (AB)C = A(BC) (associativa)

ii. C(A + B) = CA + CB (distributiva a esquerda)

iii. (A + B)C = AC + BC (distributiva a direita)

iv. AIn = ImA = A (elemento neutro)

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UNIVATES – Centro Universitario 73

v. (αA)B = A(αB) = α(AB)

vi. A ·On×p = Om×p e Op×m ·A = Op×n.

prova: i. Sejam:

• A = (aij), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n;

• B = (bjk), 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ k ≤ p;

• C = (ckl), 1 ≤ k ≤ p e 1 ≤ l ≤ q;

• AB = (dik), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ p;

• BC = (ejl), 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ l ≤ q;

• AB(C) = (fil), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ l ≤ q;

• A(BC) = (gil), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ l ≤ q.

Teremos:fil =

∑pk=1 dik · ckl =

=∑p

k=1(∑n

j=1 aij · bjk · ckl) ==

∑pk=1(

∑nj=1 aij · bjk · ckl) =

=∑n

j=1 (∑p

k=1 aij · bjk · ckl) ==

∑nj=1 aij · (

∑pk=1 bjk · ckl) =

=∑n

j=1 aij · ejl == gil

As demais ficam para momentos de solidao!

Exercıcios

Exercıcio 5.4.47 Dadas as matrizes A =(

1 2−3 4

), B =

(1 52 3

)

e C =(

2 −10 4

), calcule: A(BC), (AB)C, (A + B)C, e AC + BC.

Exercıcio 5.4.48 Dadas as matrizes A =(

1 2−1 3

)e

B =(

1 −11 0

), calcule: (A + B)2, e A2 + 2(AB) + B2.

Dica: Use que (A + B)2 = (A + B)(A + B).

Observacao 5.4.49 Note que, no exemplo 5.4.48, temos que

(A + B)2 6= A2 + 2(AB) + B2.

Exercıcio 5.4.50 (Desafio) Sejam A e B duas matrizes quadradasde ordem n. Qual e a condicao necessaria e suficiente para que tenhamos aigualdade (A + B)2 = A2 + 2(AB) + B2?

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Exercıcio 5.4.51 E valida a igualdade (A + B)(A − B) = A2 − B2

quando A =(

2 35 4

)e B =

(1 2−1 −2

)?

Definicao 5.4.52 Seja A uma matriz quadrada de ordem qualquer. De-finimos a n-esima POTENCIA de A do seguinte modo:

A1 = A

An = A ·An−1, onde n e um inteiro ≥ 2.

Exercıcio 5.4.53 Assumindo a definicao 5.4.52, determine A3, sendo

A =(

1 −11 0

).

5.4.5 Transposicao

Definicao 5.4.54 Considere uma matriz A, m × n; chama-se matrizTRANSPOSTA de A, e se indica com At, a matriz n×m que se obtem damatriz A trocando, ordenadamente, as suas linhas pelas suas colunas.

Exemplo 5.4.55

1. A =(

2 3 45 7 1

)⇒ At =

2 53 74 1

2. B =(

1 35 2

)⇒ Bt =

(1 53 2

)

3. C =

3105

⇒ Ct =

(3 1 0 5

)

Observacao 5.4.56

i. no de linhas de A = no de colunas de At

ii. no de colunas de A = no de linhas de At

iii. o elemento que, em A, ocupa a linha i e a coluna j, em At ocupa alinha j e a coluna i.

Propriedade 5.4.57 Quaisquer que sejam as matrizes A e B, ambasm× n, a matriz C, n× p, e o numero real α, temos:

i. (At)t = A

ii. (A + B)t = At + Bt

iii. (αA)t = αAt

iv. (AC)t = CtAt E CUIDADO! L

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Observacao 5.4.58 A = (aij), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n ⇒ At = (aji),1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ i ≤ m.

Exercıcio 5.4.59 Sendo A =(

2 13 1

)e B =

(2 52 −6

), calcule:

ABt, BAt, (AB)t, AtBt, BtAt, e BA.

Exercıcio 5.4.60 Sendo A =( −2 3 −1

1 0 2

), obtenha A ·At.

Observacao 5.4.61 Uma matriz e simetrica se, e somente se, ela eigual a sua transposta, isto e, se, e somente se, A = At (ver definicao5.3.10).

5.5 Exercıcios de Fixacao e Problemas deAplicacao

Exercıcio 5.5.1 Escrever a matriz A = (aij) nos seguintes casos:(a) i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2};(b) A e do tipo 3× 2, com aij = 5 para i 6= j e aij = 3 para i = j;(c) A e de 3a ordem, com aij = 1 para i = j e aij = 0 para i 6= j;(d) A e uma matriz do tipo 2×3, com aij = 4 para i > j, aij = 5 para i < je aij = 8 para i = j.

Exercıcio 5.5.2 Determinar os valores de x, y, z e v para que as ma-trizes sejam iguais.(

2x 836 v − 4

v

)=

(10 y − 2z2 3

).

Exercıcio 5.5.3 Determinar os valores de x e y para que as matrizessejam iguais.(

3x 2x + 3y−20 1

y

)=

(14 + x 21

x2 − 9x 3

).

Exercıcio 5.5.4 Dadas as seguintes matrizes A=(

3, 5√

814 −7

)e

B=(

2, 4√

235 −2

), calcular:

(a) A + B;(b) A−B;

(c) Determinar o triplo da matriz A=(

4 −312 1, 4

);

(d) Dadas as matrizes: A=(

3 5−2 4

)e b=

( −1 −36 7

), determinar X,

tal que X = 2A− 4B.Observacao: A matriz X, assim obtida, e uma combinacao linear de A eB atraves dos coeficientes 2 e −4.

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Exercıcio 5.5.5 Pulverizam-se pesticidas sobre plantas para eliminarinsetos daninhos. No entanto, parte do pesticida e absorvida pela planta. Ospesticidas sao absorvidos por herbıvoros quando eles comem as plantas queforam pulverizadas. Suponha que temos tres pesticidas e quatro plantas, e aquantidade de pesticida (em miligramas) que foi absorvido por cada plantaesta representado na tabela abaixo:

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 42 3 4 33 2 2 54 1 6 4

Tabela 5.7: Quantidade de pesticida absorvido por planta

Suponha agora que temos tres herbıvoros e o numero de plantas que cadaherbıvoro come por mes esta representado na tabela seguinte:

Herbıvoro 1 Herbıvoro 2 Herbıvoro 320 12 828 15 1530 12 1040 16 20

Tabela 5.8: Quantidade de plantas ingeridas por herbıvoro

Determinar a quantidade de cada tipo de pesticida absorvido por cadaherbıvoro.

Exercıcio 5.5.6 Durante a campanha eleitoral, o prefeito eleito prome-teu a construcao de casas populares. (Prometeu, tem que cumprir!) O povosugeriu a construcao de dois tipos de casas: media e grande. As casas dotipo media tem 5 portas, 6 janelas e 6 caixas de luz. As casas do tipo grandetem 8 portas, 9 janelas e 10 caixas de luz. Numa primeira etapa deveraoser construıdas 500 casas do tipo media e 200 do tipo grande; numa segundaetapa, 600 do tipo media e 400 do tipo grande. Quanto de cada materialsera necessario em cada etapa?

Exercıcio 5.5.7 Uma industria automobilıstica produz X e Y nasversoes standard, luxo e superluxo. Pecas A, B e C sao utilizadas na mon-tagem desses carros. Para um certo plano de montagem, e dada a seguinteinformacao:

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UNIVATES – Centro Universitario 77

Carro X Carro Y

Peca A 4 3Peca B 3 5Peca C 6 2

Standard Luxo SuperluxoCarro X 2 4 3Carro Y 3 2 5

Tabela 5.9: Plano de montagem de automoveis

Quantas pecas de cada modelo, cada versao vai precisar?

Exercıcio 5.5.8 Imagine um laboratorio que fabrica, dentre outros, osremedios A, B, C. Para a producao de uma unidade do remedio A saonecessarios 3g do ingrediente x, 7g do ingrediente y e 10g do ingrediente z.Com relacao ao remedio B sao necessarios 2g de x, 4g de y e 5g de z. Epara o remedio C precisamos de 5g de x, 1g de y e 6g de z. Admitamos queo consumo dos tres remedios, nos meses de agosto e setembro seja:

Agosto: 80 unidades de A, 100 de B e 150 de C;Setembro: 50 unidades de A, 120 de B e 90 de C.Determine a quantidade de cada ingrediente necessaria em cada mes.

Exercıcio 5.5.9 Uma pequena loja de roupas organizou seu estoque decamisetas em duas prateleiras de acordo com os modelos A e B. Em janeiroo estoque foi distribuıdos do seguinte modo:

Prateleira A: 13 camisetas P , 15 camisetas M e 27 camisetas G;Prateleira B: 18 camisetas P , 19 camisetas M e 24 camisetas G.O preco das camisetas era o mesmo para os dois modelos e esta repre-

sentado na tabela abaixo:

Tamanho Preco (em R$)P 13, 50M 15, 50G 16, 50

Tabela 5.10: Preco das camisetas por tamanho

Qual o valor total que a loja possuıa em camisetas?

Exercıcio 5.5.10 Consideremos uma companhia que fabrica carros dostipos A, B e C em duas fabricas F1 e F2, e cuja producao mensal estarepresentada na tabela abaixo:

A B C

F1 40 10 36F2 15 60 20

Tabela 5.11: Producao mensal de automoveis por modelo e por fabrica

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O carro tipo A usa 50 parafusos para a sua montagem, o carro tipo Busa 80 parafusos e o carro tipo C usa 70 parafusos. Calcular o total deparafusos que cada fabrica usa mensalmente.

Exercıcio 5.5.11 Joao, Paulo e Pedro vao construir, cada um, umbrinquedo composto por 3 tipos de pecas. O brinquedo pode ser montadocom quantas pecas quisermos. Os meninos fizeram as seguintes escolhas donumero de pecas:

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3Joao 4 2 3Paulo 3 4 2Pedro 2 3 4

Tabela 5.12: Numero de pecas por brinquedo e por usuario

Duas lojas vendem as pecas pelos seguintes precos (em reais):

Loja 1 Loja 2Tipo 1 3, 00 2, 50Tipo 2 6, 00 7, 00Tipo 3 5, 00 4, 50

Tabela 5.13: Precos dos brinquedos por loja

Descubra o preco que cada um pagaria na Loja 1 e na Loja 2.

Exercıcio 5.5.12 Uma doceira produz dois tipos de doces, A e B. Paraa producao desses doces sao utilizados os ingredientes X, Y , Z, conformeindica a tabela:

A BX 5 8Y 3 2Z 4 7

Tabela 5.14: Producao de doces

Suponha que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B,por dia. Determine a quantidade de ingredientes X, Y , Z utilizados por dia.

Exercıcio 5.5.13 Um empresario oferece mensalmente alimentos a doisorfanatos. Para o orfanato 1 sao doados 25Kg de arroz, 20Kg de feijao,30Kg de carne e 32 Kg de batata. Para o orfanato 2 sao doados 28Kg dearroz, 24Kg de feijao, 35Kg de carne e 38Kg de batata. O empresario faza cotacao de precos em dois mercados. Veja a cotacao atual, em reais:

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Produto (1Kg) Mercado 1 (R$) Mercado 2 (R$)Arroz 1,00 1,00Feijao 1,50 1,20Carne 6,00 7,00Batata 0,80 0,60

Tabela 5.15: Cotacao de precos dos alimentos

Determine o gasto mensal desse empresario, por orfanato, supondo quetodos os produtos sejam adquiridos no mesmo estabelecimento e que esterepresente a melhor opcao de compra.

Exercıcio 5.5.14 Uma industria produz dois tipos de produtos, P e Q,em duas fabricas X e Y . Ao fazer estes produtos, sao gerados os poluentesdioxido de enxofre, oxido nıtrico e partıculas. As quantidades de poluentesgerados sao dadas (em quilos) pela tabela abaixo:

Dioxido de enxofre Oxido nıtrico PartıculasProduto P 300 100 150Produto Q 200 250 400

Tabela 5.16: Quantidade de poluentes em quilos

Leis e regulamentos federais e estaduais exigem que estes poluentes sejameliminados. O custo diario de remover cada quilo de poluente e dado pelatabela seguinte:

Fabrica X Fabrica YDioxido de enxofre 8 12

Oxido nıtrico 7 9Partıculas 15 10

Tabela 5.17: Preco para remover cada quilo de poluente

Que informacoes os coeficientes do produto das matrizes acima fornecemao fabricante? Calcule-os.

Exercıcio 5.5.15 Um projeto de pesquisa sobre dietas consiste em adul-tos e criancas de ambos os sexos. A composicao dos participantes no projetoe dada pela tabela a seguir:

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UNIVATES – Centro Universitario 80

Adultos CriancasMasculino 80 120Feminino 100 200

Tabela 5.18: Participantes do projeto por faixa etaria e sexo

O numero de gramas diarios de proteınas, gorduras e carboidratos con-sumidos por cada crianca e adulto e dado pela tabela abaixo:

Proteınas Gorduras CarboidratosAdultos 20 20 20Criancas 10 20 30

Tabela 5.19: Quantidade diaria de nutrientes consumidos

1. Quantos gramas de proteınas sao consumidos diariamente pelos ho-mens no projeto?

2. Quantos gramas de gordura sao consumidos diariamente pelas mulhe-res no projeto?

Exercıcio 5.5.16 Um fabricante de moveis produz cadeiras e mesas,cada uma das quais deve passar por um processo de montagem e por umprocesso de acabamento. Os tempos exigidos por estes processos sao dados(em horas) pela tabela abaixo:

Montagem AcabamentoCadeira 2 2Mesa 3 4

Tabela 5.20: Tempo de fabricacao de moveis

O fabricante tem uma fabrica em Sao Paulo e outra em Santa Catarina.Os precos por hora de cada um dos processos sao dados pela tabela a seguir:

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Sao Paulo Santa CatarinaMontagem 9 10

Acabamento 10 12

Tabela 5.21: Preco por hora dos estagios de fabricacao

O que os coeficientes do produto das matrizes acima representam para ofabricante? Calcule-os.

Exercıcio 5.5.17 Uma industria fabrica tres modelos diferentes de te-levisores. A tabela mostra o numero de teclas e alto-falantes usados em cadaaparelho A, B e C.

Componentes Aparelho A Aparelho B Aparelho CTeclas 10 12 15

Alto-falantes 2 2 4

Tabela 5.22: Quantidade teclas e alto-falantes por televisor

A tabela seguinte mostra a estimativa de producao da fabrica os proximosdois meses.

Modelo Mes 1 Mes 2A 800 2000B 1000 1500C 500 1000

Tabela 5.23: Estimativa de producao de televisores para dois meses

Quantas teclas e quantos alto-falantes serao necessarios para a producaodos dois meses?

Exercıcio 5.5.18 Uma industria de calcados esta pretendendo introdu-zir tres novos modelos de sapatos em sua producao. Para isso, vai utilizardois tipos de acessorios, conforme especificado na tabela abaixo:

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Acessorio Modelo A Modelo B Modelo CX 3 5 2Y 8 10 5

Tabela 5.24: Quantidade de acessorios utilizados na fabricacao de calcados

A producao dos tres tipos de calcados deve seguir a tabela abaixo nosmeses de teste da aceitacao dos novos modelos no mercado:

Modelo Mes 1 Mes 2 Mes3A 1000 1200 2000B 1200 1500 2000C 2000 2000 2500

Tabela 5.25: Producao de calcados no perıodo de aceitacao de novos modelos

Quantos acessorios X e quantos Y serao utilizados nessa producao ex-perimental?

Exercıcio 5.5.19 Um fast food de sanduıches naturais vende dois ti-pos de sanduıches, A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, rosbife,salada) nas seguintes quantidades (em gramas) por sanduıche:

Sanduıche A Sanduıche Bqueijo 18 10salada 26 33rosbife 23 12atum 0 16

Tabela 5.26: Quantidade em gramas de cada ingrediente por sanduıche

Durante um almoco foram vendidos 6 sanduıches do tipo A e 10sanduıches do tipo B. Qual foi a quantidade necessaria de cada ingredientepara a preparacao desses 16 sanduıches? Represente na forma de produtode matrizes.

Exercıcio 5.5.20 (Desafio) Uma rede de comunicacao tem cinco lo-cais com transmissores de potencias distintas. Estabelecemos que aij = 1,na matriz abaixo, significa que a estacao i pode transmitir diretamente paraa estacao j, aij = 0 significa que a transmissao da estacao i nao alcancaa estacao j. Observe que a diagonal principal e nula significando que umaestacao nao transmite diretamente para si mesma.

A =

0 1 1 1 11 0 1 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 0 0 1 0

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Qual seria o significado da matriz A2 = A ·A?Seja A2 = [cij ]. Calculemos o elemento

c42 =5∑

k=1a4kak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.

Note que a unica parcela nao nula veio de a43 · a32 = 1 · 1. Isto significa quea estacao 4 transmite para a estacao 2 atraves de uma retransmissao pelaestacao 3, embora nao exista uma transmissao direta de 4 para 2.

1. Calcule A2

2. Qual o significado de c13 = 2?

3. Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 demodo a justificar a afirmacao: “A matriz A2 representa o numero decaminhos disponıveis para se ir de uma estacao a outra com uma unicaretransmissao”.

4. Qual o significado das matrizes A + A2, A3 e A + A2 + A3?

5. Se A fosse simetrica, o que significaria?

5.6 Respostas dos Principais Exercıcios doCapıtulo

5.2.8(

4 16 3

)

5.2.10

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= I4

5.4.1 1.

12054 157231723 13230

0 4918

2.

20288 272145428 16201

0 6722

3.

4774 253040356 10764

0 2682

4.

−7280 9588633 −2466

0 −2236

5.4.12(

11 137 3

)

5.4.13( −9 −2−6 −4

)

5.4.14(

0 −20 −3

)

5.4.17 Y = B + C =(

7 56 15

)

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5.4.23 X = A + B =(

6 2 43 4 5

), Y = 2A−B =

(3 4 110 −4 4

)

5.4.25

Janeiro FevereiroTransistores 96 84Capacitores 156 132Resistores 208 170

5.4.31

5 −24 −115 −3

5.4.32(

9 −6)

5.4.33( −4 −8

5 9

)

5.4.34(

6 6 10 −29 9 15 −3

)

5.4.35( −5 0

0 −5

)= −5I2

5.4.36

−5 11−8 23−11 35

5.4.37

6 0 1−3 1 42 2 1

5.4.47 A(BC) = (AB)C =(

10 3910 −17

),

(A + B)C = AC + BC =(

4 26−2 29

)

5.4.51 Nao, pois AB 6= BA

5.4.53( −1 0

0 −1

)= −I2

5.4.59 ABt =(

9 −211 0

), BAt =

(9 11−2 0

), (AB)t =

(6 84 9

),

AtBt =(

19 −147 −4

), BtAt = (AB)t, BA =

(19 7−14 −4

)

5.4.60(

14 −4−4 5

)

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5.5.1 (a) A=

a11 a12a21 a22a31 a32

; (b) A=

3 55 35 5

;

(c) I3 =

1 0 00 1 00 0 1

; (d) A=

(8 5 54 8 5

)

5.5.2 x = 5, y = 10, z = ±6, v1 = 4, v2 = −1

5.5.3 Impossıvel

5.5.4 (a) A+B=(

5, 9 3√

21720 −9

); (b) A-B=

(1, 1

√2

− 720 −5

);

(c) 3A=(

12 −932 4, 2

); (d) X=

(10 22

−28 −20

)

5.5.5

364 165 161376 170 174448 199 187

5.5.6

4100 62004800 72005000 7600

5.5.7

17 22 2721 22 3418 28 28

5.5.8

1190 8401110 9202200 1640

5.5.9 R$1787, 00

5.5.10[

53206950

]

5.5.11

39 37, 543 44, 544 44

5.5.12

410190340

5.5.13[

260, 60 278, 20304, 40 324, 60

]

5.5.14[

5350 60009350 8650

]Os coeficientes fornecem o custo diario para remover

o total de poluentes de cada produto em cada fabrica.

5.5.15 (1). 2800 g; (2). 6000 g

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5.5.16[

38 4467 78

]Os coeficientes fornecem o custo de fabricacao de uma

mesa e de uma cadeira numa mesma fabrica.

5.5.17[

27500 530005600 11000

]

5.5.18

Mes 1 Mes 2 Mes 3Acessorio X 13000 15100 21000Acessorio Y 30000 34600 48500

5.5.19

208486258160

CHAETINGER

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Capıtulo 6

Sistemas Lineares

6.1 Introducao

Na natureza, as coisas estao em constante transformacao, e o Ho-mem precisa dominar estes processos de mudanca para sobreviver e melho-rar sua existencia. Uma das maneiras mais elementares de descricao destastransformacoes e a de procurar nestas o que permanece constante durantea mudanca.

Exemplo 6.1.1 Sabemos que reagindo hidrogenio (H2) com oxigenio(O2), produz-se agua (H2O). Mas, quanto de H2 e de O2 precisamos?

Solucao

Esta mudanca pode ser descrita do seguinte modo esquematico:

xH2 + yO2 −→ zH2O.

O que permanece constante nesta mudanca? Os atomos nao sao modifi-cados, portanto devemos ter o mesmo numero de atomos de cada elementono inıcio e no final da reacao. Logo, as incognitas x, y e z devem satisfazer:

{2x− 2z = 02y − z = 0

Descobrindo quais os valores das incognitas acima que satisfazem si-multaneamente as equacoes, teremos aprendido um pouco mais sobre ocomportamento da natureza (bonito isto. . . ).

Em muitos casos, como neste exemplo, o problema nos leva a um sistemade equacoes lineares. Como voce ja possui alguma experiencia na resolucaodeste tipo de sistema, nao tiraremos o seu prazer em resolve-lo. X

87

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Entretanto, existem sistemas que, embora lineares, podem se tornarmuito grandes, ou podemos ter menos equacoes do que incognitas (o proprioexemplo 6.1.1). Isto pode dar origem a muitas duvidas, ate mesmo sobre aexistencia ou nao de solucao para o sistema.

Por outro lado, em sistemas com mais de uma solucao, e preciso expressartodas elas de uma forma clara. No exemplo 6.1.1, pode-se encontrar duassolucoes distintas (x, y, z) (faca isto!). Mas, o problema so estara resolvidose conseguirmos expressar todas as solucoes.

Exemplo 6.1.2 Um sitiante dividira uma area de 28 hectares em duaspartes: numa plantara soja e na outra milho. Que area podera destinar acada uma destas plantacoes?

SolucaoDenotando por x a quantidade de hectares de soja, e por y a quantidade

de hectares de milho, temos a relacao x + y = 28. Esta equacao admiteinfinitas solucoes reais. No entanto, para o nosso sitiante interessam somenteaquelas em que 0 ≤ x, y ≤ 28. Note que atribuindo a x qualquer valor entre0 e 28, podemos imediatamente determinar o valor correspondente para y,atraves da relacao y = 28 − x. Sendo assim, tambem neste caso teremosinfinitas possibilidades de resposta. X

Por outro lado, se modificarmos um pouco o exemplo anterior, podere-mos ter a sua solucao profundamente modificada:

Exemplo 6.1.3 Um sitiante dividira uma area de 28 hectares em duaspartes: numa plantara soja e na outra milho. Ele espera vender a producaode cada hectare de soja por $400, 00u.m. e, de milho, por $300, 00u.m.. Porprecaucao, o sitiante deseja que os valores das vendas totais da soja e domilho sejam iguais entre si. Que area devera destinar a cada uma destasplantacoes?

SolucaoMantendo as mesmas notacoes do exemplo 6.1.2, podemos representar a

situacao do problema do seguinte modo:{

x + y = 28400x = 300y

Existem varios metodos para resolver estas equacoes, mas todas elas nosdarao como unica solucao os valores de x = 12 e y = 16 (resta observar queestes valores de fato sao possıveis, pois nao podemos equecer da condicaoextra 0 ≤ x, y ≤ 28). X

Neste capıtulo, veremos uma tecnica de resolucao para sistemas linearesem geral. Sua maior aplicacao e para sistemas “grandes”. O metodo consisteem substituir convenientemente o sistema original por sistemas cada vezmais simples, sempre “equivalentes” a ele.

6.2 Conceitos

Definicao 6.2.1 Um sistema de equacoes lineares com m equacoes e nincognitas e um conjunto de equacoes do tipo:

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a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

... +... + · · · +

... =...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(6.1)

com aij ∈ {R,C}, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Definicao 6.2.2 Uma solucao do sistema 6.1 e uma n-upla denumeros (x1, x2, . . . , xn) que satisfaz simultaneamente as m equacoes.

Definicao 6.2.3 Dois sistemas de equacoes lineares sao equivalentesse, e somente se, toda solucao de qualquer um dos sistemas tambem e solucaodo outro.

Notacao: Podemos escrever o sistema 6.1 na forma matricial:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

·

x1x2...

xn

=

b1b2...

bm

ou A · x = b onde

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

e a matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema,

x =

x1x2...

xn

a matriz das incognitas e

b =

b1b2...

bm

a matriz dos termos independentes.

Definicao 6.2.4 Uma outra matriz que podemos associar ao sistema6.1 e

A =

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

......

...am1 am2 · · · amn bm

que chamamos matriz ampliada do sistema.

Observacao 6.2.5 Cada linha da matriz de 6.2.4 e simplesmente umarepresentacao abreviada da equacao correspondente no sistema.

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6.3 Forma Escalonada

Definicao 6.3.1 Uma matriz m × n esta na forma escalonada (ouescada), se:

(i). o 1o elemento nao nulo de toda linha nao nula e 1;

(ii). cada coluna que contem o 1o elemento nao nulo de uma linha tem oselementos abaixo deste iguais a zero (escalonada reduzida⇒ abaixo eacima);

(iii). toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nao nulas (isto e,daquelas que possuem pelo menos um elemento nao nulo);

(iv). o 1o elemento nao nulo de uma linha aparece a direita do 1o elementonao nulo da linha anterior (isto e, se as linhas 1, . . . , r sao as linhas naonulas, e se o primeiro elemento nao nulo da linha i ocorre na colunaki, entao k1 < k2 < . . . < kr).

Observacao 6.3.2 A ultima condicao da definicao 6.3.1 impoe formaescada a matriz:

Figura 6.1: Matriz na forma escada

Isto e, o numero de zeros precedendo o primeiro elemento nao nulo de umalinha aumenta a cada linha, ate que sobrem somente linhas nulas, se ashouver.

Exemplo 6.3.3 A =

1 −1 0 −1 20 1 0 3 50 0 0 1 70 0 0 0 1

e uma matriz na forma

escalonada; B =

0 2 11 0 −30 0 0

nao e; C =

1 0 0 00 1 −1 00 0 1 0

esta na

forma escalonada; D =

0 1 −3 0 10 0 0 0 00 0 0 −1 2

nao esta.

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6.3.1 Operacoes Elementares

Definicao 6.3.4 Duas matrizes de mesma ordem A e B sao equiva-lentes por linhas (A ∼ B) se B pode ser obtida de A pela aplicacao deuma sequencia finita de operacoes elementares sobre as linhas de A, que sao:

• permutacoes de duas linhas: (li ↔ lj);

• multiplicacao de uma linha por um escalar real nao nulo: (li → kli);

• substituicao de uma linha por ela somada com uma outra linha multi-plicada por um numero real nao nulo: (li → li + klj).

Exemplo 6.3.5 L2 ↔ L3:

1 04 −1−3 4

←→

1 0−3 44 −1

Exemplo 6.3.6 L2 → −3L2:

1 04 −1−3 4

−→

1 0−12 3−3 4

Exemplo 6.3.7 L3 → L3 + 2L1:

1 04 −1−3 4

−→

1 04 −1−1 4

Exemplo 6.3.8 A =

1 2 42 1 31 −1 2

e equivalente por linhas a

B =

2 4 81 −1 24 −1 7

(Faca l2 → l2 + 2l3, depois l2 ↔ l3 e, por fim, l1 → 2l1) X

Teorema 6.3.9 Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equiva-lentes sao equivalentes.

prova: ver [4], pag. 85, teorema 3.8.5.

Teorema 6.3.10 Toda matriz nao nula e equivalente por linhas a umaunica matriz na forma escalonada (ou escalonada reduzida), a menos deforma equivalente.

prova: ver [4], pag. 60, demonstracao 2.7.1; ou uma prova simples em[38].

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Observacao 6.3.11 Valem como desafios, computados a nota, as ex-posicoes orais a turma das provas dos teoremas 6.3.9 e 6.3.10.

Definicao 6.3.12 Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz escalo-nada equivalente a A. O posto de A, denotado por p, e o numero de linhasnao nulas de B. A nulidade e a diferenca entre colunas de A e o posto,isto e, n− p.

Observacao 6.3.13 Observe que para encontrar o posto de uma matrizA qualquer, e preciso primeiro escrever a matriz na forma escalonada e,depois, contar suas linhas nao nulas.

6.3.2 Procedimento para a Reducao de uma Matriz a FormaEscalonada

1. Procure da esquerda para a direita a 1a coluna nao nula;

2. Procure de cima para baixo o 1o elemento nao nulo: pivo;

3. Se o pivo nao estiver na 1a linha, troque a 1a linha pela linha do pivo;

4. Se o pivo for diferente de 1, divida a 1a linha por ele;

5. Utilizando o pivo, elimine os elementos abaixo dele (e tambem acimadele na forma escalonada reduzida), utilizando somente operacoes ele-mentares;

.

.

.

E assim sucessivamente para as outras linhas fazendo o papel da 1a

linha.

Observacao 6.3.14 O procedimento que reduz a matriz a sua formaescalonada e chamado de eliminacao gaussiana; ja o que deixa a matrizna sua forma escalonada reduzida e dito eliminacao de Gauss-Jordan.

Exemplo 6.3.15 Forma escalonada:

0 2 3 −4 10 0 2 3 42 2 −5 2 42 0 −6 9 7

l1 ↔ l3

2 6= 1 2 −5 2 40 0 2 3 40 2 3 −4 12 0 −6 9 7

l1 → 12 l1

1 1 −52 1 2

0 0 2 3 40 2 3 −4 12 0 −6 9 7

l4 → l4 − 2l1

1 1 −52 1 2

0 0 2 3 40 2 3 −4 10 −2 −1 7 3

l2 ↔ l3

1 1 −52 1 2

0 2 3 −4 10 0 2 3 40 −2 −1 7 3

l2 → 1

2 l2

1 1 −52 1 2

0 1 32 −2 1

20 0 2 3 40 −2 −1 7 3

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l4 → l4 + 2l2

1 1 −52 1 2

0 1 32 −2 1

20 0 2 3 40 0 2 3 4

l3 → 1

2 l3

1 1 −52 1 2

0 1 32 −2 1

20 0 1 3

2 20 0 2 3 4

l4 → l4 − 2l3

1 1 −52 1 2

0 1 32 −2 1

20 0 1 3

2 20 0 0 0 0

Portanto, posto de A = p = 3 e nulidade de A = n− p = 5− 3 = 2. X

Exemplo 6.3.16 Forma escalonada reduzida:

1 2 1 0−1 0 3 51 −2 1 1

l2 → l2 + l1

1 2 1 00 2 4 51 −2 1 1

l3 → l3 − l1

1 2 1 00 2 4 50 −4 0 1

l2 → 1

2 l2

1 2 1 00 1 2 5

20 −4 0 1

l3 → l3 + 4l2

1 2 1 00 1 2 5

20 0 8 11

l1 → l1 − 2l2

1 0 −3 −50 1 2 5

20 0 8 11

l3 → 18 l3

1 0 −3 −50 1 2 5

20 0 1 11

8

l2 → l2 − 2l3

1 0 −3 −50 1 0 −1

40 0 1 11

8

l1 → l1 + 3l3

1 0 0 −78

0 1 0 −14

0 0 1 118

Portanto, posto de A = p = 3 e nulidade de A = n− p = 4− 3 = 1. X

Observacao 6.3.17 Interpretando a matriz A acima como a matrizampliada de um sistema:

x1 + 2x2 + x3 = 0−x1 + 0x2 + 3x3 = 5

x1 − 2x2 + x3 = 1, a matriz escada e equivalente por linhas a ma-

triz A. Assim, o sistema que ela representa:

1x1 + 0x2 + 0x3 = −78

0x1 + 1x2 + 0x3 = −14

0x1 + 0x2 + 1x3 = 118

e equivalente ao inicial, possuindo a mesma solucao que este.

6.4 Sistema Linear Escalonado

Resolver um sistema linear significa obter o conjunto S, denominadoconjunto solucao do sistema, cujos elementos sao todas as solucoes dosistema. Estudaremos agora um metodo para a resolucao de um sistemalinear: o metodo do escalonamento.

Definicao 6.4.1 Um sistema linear e dito escalonado se, e somente se:

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• todas as equacoes apresentam as incognitas numa mesma ordem;

• a matriz incompleta do sistema esta na forma escalonada (conformedefinicao 6.3.1).

6.4.1 Resolucao de um Sistema Linear Escalonado

Exemplo 6.4.2 Numero de equacoes igual ao numero de ingognitas:

x + 23y + z = 1y − 2

5z = 15

z = 2

e um sistema linear escalonado com 3 equacoes e 3 incognitas, cuja solucaoe S = {(−5

3 , 1, 2)}.Exemplo 6.4.3 Numero de equacoes menor que o numero de

ingognitas: {x + 2y − 3z = 1

y + 5z = 3

e um sistema linear escalonado com 2 equacoes e 3 incognitas.

Este tipo de sistema admite pelo menos uma variavel denominadavariavel livre ou variavel arbitraria do sistema. E variavel livre aquelaque nao aparece no inıcio de nenhuma equacao do sistema escalonado.No exemplo 6.4.3, temos z como variavel livre.

A variavel livre, como o nome ja diz, pode assumir qualquer valor real.Para cada valor assumido por ela, obtem-se uma nova solucao para o sistema.

Assim, o conjunto solucao do sistema 6.4.3 e:

S = {(13α− 5, 3− 5α, α), α ∈ R}.Observacao 6.4.4 Chama-se grau de indeterminacao ou grau de

liberdade de um sistema escalonado o numero de variaveis livres do sis-tema.

No exemplo 6.4.3 o grau de liberdade e 1.

Observacao 6.4.5 A escolha de variavel livre como “toda aquela quenao inicia nenhuma equacao do sistema” e puramente convencional. Naverdade, no sistema do exemplo anterior poderıamos ter escolhido y como avariavel livre; ou ainda, x.

6.4.2 Escalonamento de um Sistema Linear

Vamos estudar uma tecnica para transformar um sistema linear numoutro equivalente na forma escalonada.

Basta escrever a matriz incompleta A do sistema linear e acoplar a co-luna dos termos independentes b, formando uma matriz [A|b]. Pois bem,agora utilize as operacoes elementares permitidas (isto e, o algoritmo paratransformar esta nova matriz na forma escalonada) ate chegar a forma es-calonada. Entao faca a analise da solucao.

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6.4.3 Algoritmo que Reduz uma Matriz a Forma EscalonadaReduzida por Linhas

(i). Se ai1 = 0, ∀1 ≤ i ≤ m, va para (v).;

(ii). Tome ai1 6= 0 com menor i e li ↔ l1;

(iii). l1 ↔ 1a11

l1;

(iv). li ← li − ai1l1, ∀2 ≤ i ≤ m para qualquer ai1 6= 0;

(v). Se ai2 = 0, ∀2 ≤ i ≤ m, va para (ix).;

(vi). Tome ai2 6= 0 com menor i e li ↔ l2;

(vii). l2 ← 1a22

l2;

(viii). li ← li − ai2l2, ∀i 6= 2 para qualquer ai2 6= 0;

6.5 Solucoes de um Sistema Linear

O objetivo desta secao e estudar detalhadamente todas as situacoes quepodem ocorrer na resolucao de um sistema linear.

Observacao 6.5.1 Dado um sistema de uma equacao e uma incognitaax = b, existirao tres possibilidades:

(i) a 6= 0. Neste caso a equacao tem uma unica solucao x = ba

(ii) a = 0 e b = 0. Entao temos 0x = 0 e qualquer numero real serasolucao da equacao.

(iii) a = 0 e b 6= 0. Temos 0x = b. Nao existe solucao para esta equacao.

Proposicao 6.5.2 Consideremos um sistema de m equacoes linearescom n incognitas x1, . . . , xn.

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

... +... + · · · +

... =...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(6.2)

cujos coeficientes aij e termos independentes bi sao numeros reais ou com-plexos. Este sistema podera ter

(i) uma unica solucao:

x1 = k1x2 = k2...

...xn = kn

(ii) infinitas solucoes

(iii) nenhuma solucao.

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prova: analise geometricamente o caso 2 × 2 e depois utilize inducaomatematica.

Definicao 6.5.3 Em relacao a proposicao 6.5.2, definimos:

• No caso (i), o sistema e possıvel (compatıvel) e determinado(SPD).

• No caso (ii), o sistema e possıvel e indeterminado (SPI).

• No caso (iii), o sistema e impossıvel (incompatıvel) (SI).

Seja a matriz ampliada de 6.2 e tomemos a sua matriz reduzida a formaescada associada:

a11 · · · a1n b1...

......

am1 · · · amn bm

m×(n+1)

c1...ck

0 0 · · · 0 ck+1...

......

...0 0 · · · 0 cm

m×(n+1)

(6.3)

Notacao: Denotaremos por pa o posto da matriz ampliada de um sis-tema linear m × n, e por pc o posto da matriz dos coeficientes. Quandoambos forem iguais, denotaremos apenas por p.

Teorema 6.5.4

(i) Um sistema m× n admite solucao ⇔ pa = pc.

(ii) Se p(= pa = pc) = n, a solucao sera unica (SPD).

(iii) Se p(= pa = pc) < n, podemos esolher n− p incognitas, e as outras pincognitas serao dadas em funcao destas. Isto e, o grau de liberdadedo sistema e n− p.

prova: Procure entender e demonstrar cada uma das afirmacoes acima.Leia com atencao e volte aos exemplos trabalhados caso julgue conveniente.Visualize o problema pela equacao 6.3. Para uma prova formal, veja [4],demonstracao 2.7.2 da pagina 61. (Vale como desafio!) P

Observacao 6.5.5 Esquematicamente, o teorema 6.5.4, diz:

• pc < pa ⇒ SI

• pc = pa = n ⇒ SPD

• pc = pa < n ⇒ SPI com grau de liberdade n− p.

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6.5.1 Exemplos

Exemplo 6.5.6 Em

1 0 0 30 1 0 −20 0 1 2

, temos pc = pa = 3. Entao

m = 3, n = 3 e p = 3 ∴ SPD com solucao x1 = 3, x2 = −2 e x3 = 2. X

Exemplo 6.5.7 Em(

1 0 7 −100 1 5 −6

), temos pc = pa = 2. Entao

m = 2, n = 3 e p = 2 ∴ SPI com grau de liberdade 1 e solucaox1 = −10− 7x3, x2 = −6− 5x3. X

Exemplo 6.5.8 Para

1 0 7 −100 1 5 −60 0 0 2

: pc = 2, pa = 3, m = 3 e

n = 3 ∴ SI. X

Exemplo 6.5.9 Em

1 0 −10 −2 −100 1 7 1 40 0 0 0 0

, temos p = 2, m = 3

e n = 4 ∴ SPI com grau de liberdade 2 e solucao x1 = −10 + 10x3 + 2x4 ex2 = 4− 7x3 − x4. X

Observacao 6.5.10 Pelos exemplos, pode-se dizer que o posto de umamatriz e o numero de linhas “independentes” desta. Uma linha sera “de-pendente” de outras (i.e., sera igual a zero no final do escalonamento) se elapuder ser escrita como soma de produtos destas outras linhas por constantes.Tecnicamente, diz-se que esta linha e combinacao linear das outras.

Observacao 6.5.11 Vimos, portanto, que o pa do sistema nos da onumero de equacoes independentes e que a nulidade nos da o grau de liber-dade do sistema.

Observacao 6.5.12 Os recursos computacionais muitas vezes detectamsistemas lineares impossıveis corretamente, mas podem, as vezes, ser enga-nados e concluir que um sistema possıvel e impossıvel ou vice-versa. Istoocorre tipicamente quando alguns dos numeros que aparecem nas contas saotao pequenos que os erros de arredondamento tornam difıcil para o softwaredeterminar se eles sao zero ou nao.

Na disciplina de Metodos Numericos abordaremos questoes como esta ecomo resolve-las.

6.6 Exercıcios de Fixacao e Problemas deAplicacao

Exercıcio 6.6.1 Classificar e resolver:

x + 12y − 1

4z = 14

y + 3z = 8z = 1.

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Exercıcio 6.6.2 Classificar e resolver o sistema linear{a + 2b− c + d = 1

b + c− d = 2.

Exercıcio 6.6.3 Determinar as solucoes (α, β, γ) do sistema{x + y + 2z = 1

y − z = 5tais que βγ = 14.

Exercıcio 6.6.4 Torne a resolver o exemplo 6.1.1.

Exercıcio 6.6.5 Escalonar, classificar e dar o conjunto solucao do sis-

tema

x + y + 2z = 44x− 2y + z = 85x− y + 2z = 10.

Exercıcio 6.6.6 Escalonar, classificar e dar o conjunto solucao do sis-

tema

2x + 3y + z = 2x + y + 2z = 1

4x + 5y + 5z = 6.

Exercıcio 6.6.7 Escalonar, classificar e dar o conjunto solucao do sis-

tema

3x + 4y + 5z = 12x + 3y + 3z = 05x + 7y + 8z = 1.

Exercıcio 6.6.8 Escalonar, classificar e dar o conjunto solucao do sis-

tema

x + 2y = 13x + 7y = 52x + y = −4.

Exercıcio 6.6.9 Um laticınio vai misturar dois tipos de leite: um quetem 1% de gordura e outro que tem 6%. Quantos litros de cada tipo deveraoser misturados para que se obtenham 1.000 litros de leite com 3% de gordura?

Exercıcio 6.6.10 Um comerciante possui duas lojas de calcados. Numasexta-feira as duas lojas venderam um total de 500 pares. No sabado, umadas lojas vendeu 10% a mais do que vendera na sexta-feira; a outra lojavendeu 20% a mais do que havia vendido na sexta-feira. Se no sabado asduas lojas venderam um total de 570 pares, quantos pares cada loja vendeuna sexta-feira? E no sabado?

Exercıcio 6.6.11 Um combustıvel para automoveis tem 10% de alcoole o restante de gasolina. Outro combustıvel tem 4% de alcool e o restante degasolina. Quanto devemos juntar de cada um desses combustıveis para obter90 litros de combustıvel que tenha 6% de alcool e o restante de gasolina?

Exercıcio 6.6.12 Um revendedor tem em sua loja cem automoveis detres tipos: simples de luxo e executivo. A soma do numero de carros de luxocom o dobro do numero de carros executivos e 40; o triplo do numero decarros executivos da 30. Quantos carros ha de cada tipo?

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Exercıcio 6.6.13 As moedas de um determinado paıs sao de tres tipos:de 3g, que vale $10 u.m; de 5g, que vale $20, 00 u.m.; e de 9g, que vale$50, 00 u.m.. Uma pessoa tem cem moedas, num total de 600g, somando$2800, 00 u.m.. Quantas moedas ela tem de cada tipo?

Exercıcio 6.6.14 Certa quantidade de sacos precisa ser transportadae para isso dispoe-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada ju-mento, sobram 13 sacos; se colocarmos 3 sacos em cada jumento, sobram 3jumentos. Quantos sao os sacos? Quantos sao os jumentos?

Exercıcio 6.6.15 Maria resolve organizar uma festa de aniversariopara seu filho e encomenda: 107 refrigerantes, 95 sanduıches e 151 doces.Servira a cada homem 3 refrigerantes, 3 sanduıches e 3 doces; a cada mulher2 refrigerantes, 2 sanduıches e 4 doces e a cada crianca 2 refrigerantes, 1sanduıches e 4 doces. Qual o numero de pessoas convidadas, sabendo quenao sobrou nem faltou nada?

Exercıcio 6.6.16 Um litro de alcool custa R$1, 20 e um litro de gasolinacusta R$1, 60. Se o litro de uma mistura de alcool e gasolina custa R$1, 50,quanto de alcool e de gasolina contem um litro dessa mistura?

Exercıcio 6.6.17 Suponha que voce va fazer um lanche, constando deiogurte, pastel e chocolate e que disponha de R$1, 80. Segundo os nutricio-nistas, um lanche deve conter 1350 calorias e 66 gramas de proteınas. Paracada 100g dos alimentos acima temos:

100 g calorias proteınas (g) custo (R$)Iogurte 50 4 0,20

Chocolate 600 24 0,60Pastel 200 28 0,80

Tabela 6.1: Nutrientes em 100 g de lanche

Quais as quantidades de cada alimento satisfazem exatamente ascondicoes acima?

Exercıcio 6.6.18 Uma loja vende certo componente eletronico, que efabricado por tres marcas diferentes: A, B e C. Um levantamento sobre asvendas desse componente, realizado durante tres dias consecutivos, revelouque: no primeiro dia, foram vendidos dois componentes da marca A, umda marca B e um da marca C, resultando num total de vendas igual aR$150, 00; no segundo dia, foram vendidos quatro componentes da marcaA, tres da marca B e nenhum da marca C, num total de R$240, 00; noultimo dia, nao houve vendas da marca A, mas foram vendidos cinco damarca B e tres da marca C, totalizando R$350, 00.

Qual e o preco do componente fabricado por A? E por B? E por C?

Exercıcio 6.6.19 Seu Mathias, acompanhado do filho Bolao, estacio-nou o carro numa parada obrigatoria de um posto de fiscalizacao. Alem

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deles, estavam no carro o cachorro Dogao e o gato Teco. Bem em frenteao local onde seria feita a vistoria havia uma balanca. Bolao desceu. Ocachorro e o gato o seguiram. O menino queria saber quantos quilos tinhaseu gato, seu cachorro e ele proprio. O guarda sorriu com a pretensao dogaroto, tendo em vista que a sensibilidade daquela balanca so era confiavelpara cargas com mais de 50Kg, e nem Bolao pesava isto, muito menos ogato e o cachorro. Entao o guarda resolveu dar uma ajuda e, sob sua ori-entacao, o menino fez o seguinte: subiu na balanca com o cachorro, sem ogato - ela registrou 95Kg; subiu, em seguida, com o gato, sem o cachorro- a balanca acusou 54Kg; por ultimo, ele colocou o cachorro e o gato nabalanca - ela marcou 51Kg.

Exercıcio 6.6.20 Os alunos do Ensino Medio de uma escola do inte-rior organizaram uma festa junina no patio da escola. Havia varias opcoesde divertimento: quadrilhas, bingo, gincanas, etc. Tres barracas, A, B eC, distribuıdas no patio, ofereciam exatamente as mesmas opcoes de ali-mentacao: churrasco, quentao e pastel: cada uma das tres opcoes tinha omesmo preco nas tres barracas. Ao final da noite, encerrada a festa, fez-se um balanco sobre o consumo nas barracas e verificou-se que: na barracaA foram consumidos 28 churrascos, 42 quentoes e 48 pasteis, arrecadandoum total de R$102, 00; na barraca B foram consumidos 23 churrascos, 50quentoes e 45 pasteis, arrecadando um total de R$95, 00; na barraca C foramconsumidos 30 churrascos, 45 quentoes e 60 pasteis, arrecadando um totalde R$117, 00.

Qual e o preco de um churrasco? E de um quentao? E de um pastel?

Exercıcio 6.6.21 Na feira, uma das barracas de frutas estava vendendoembalagens com 10 peras, 5 macas e 4 mangas por 11 reais; outra barracavendia um pacote contendo 8 peras, 6 macas e 4 mangas por 10 reais euma terceira vendia 6 peras e 12 macas por 9 reais. Na verdade, so haviamudanca na quantidade de cada pacote porque o preco de cada especie defruta era o mesmo nas tres barracas. Qual o preco a se pagar por 3 peras,2 macas e 2 mangas em qualquer dessas barracas?

Exercıcio 6.6.22 Um agricultor dispoe de 12 hectares para o plantiode arroz, milho e batata. O investimento para o arroz e de R$200, 00 porhectare; para o milho R$100, 00 por hectare e para a batata R$300, 00 porhectare. O rendimento para o arroz e de R$300, 00 por hectare; para o milhoR$200, 00 por hectare e para a batata R$400, 00 por hectare. O agricultorquer investir R$2000, 00 e obter um rendimento de R$3200, 00 por hectare.

Quantos hectares devera plantar de milho, de arroz e de batata?

Exercıcio 6.6.23 Observe a tabelaUm avicultor que preparar racao com os alimentos A, B e C de tal

forma que o preco da unidade de racao seja R$14, 00; que a quantidade deproteınas da unidade de racao seja 4, 1 kg e que a quantidade de vitaminasseja 20 kg. Calcular a quantidade de alimentos A, B e C que o avicultordeve preparar.

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Alimento Preco/Kg Proteına/Kg Unid. Vitamina/KgA 2 0,5 1B 3 0,6 2C 1 0,4 3

Tabela 6.2: Composicao de racao para aves

Exercıcio 6.6.24 Numa lanchonete, Marcio come tres pasteis e tomaum refrigerante, e sua amiga Marta come dois pasteis e toma dois refrige-rantes. Cada um paga a sua despesa. Ele paga R$3, 60, e ela R$4, 00. Namesa ao lado, um grupo de estudantes come 15 pasteis e toma 8 refrigeran-tes. Qual o valor desta despesa?

Exercıcio 6.6.25 Durante uma semana o Shopping Ubirama reservouuma area para as criancas brincarem sobre rodas e colocou a disposicaobicicletas (2 rodas), triciclos (3 rodas) e carrinhos (4 rodas). Ao final dapromocao, devido ao desgaste, tiveram que trocar todos os pneus. Entrebicicletas e triciclos foram trocados 90 pneus; entre bicicletas e carrinhos,130; e entre triciclos e carrinhos, 160. Quantas eram as bicicletas queestiveram a disposicao das criancas?

Exercıcio 6.6.26 Uma fabrica de refrigerante possui 270 litros de umxarope x e 180 litros de um xarope y. Cada unidade de um refrigerante Acontem 500 ml de x e 200 ml de y e cada unidade de um refrigerante Bcontem 300 ml de x e 300 ml de y. Quantas unidades de A e B podem serproduzidas se for usado todo o estoque dos xaropes x e y?

Exercıcio 6.6.27 Dona Elza deu R$13, 50 para sua filha comprar tantossabonetes e tantas pastas dentais. Nem precisou falar de que marca, pois issoa menina ja sabia. So recomendou que ela nao se esquecesse de pegar o troco.No supermercado, a menina pegou 4 sabonetes e 6 pastas. Quando a mocado caixa avisou que faltavam R$0, 30, ela pensou: “Se o dinheiro nao deupara comprar 4 sabonetes e 6 pastas, entao minha mae deve ter pedido 6sabonetes e 4 pastas”. E fez a troca. Voltando ao caixa, recebeu R$0, 30 detroco.

Qual era o preco de cada sabonete comprado?

Exercıcio 6.6.28 Examinando os anuncios abaixo, conclua o preco decada faca, garfo e colher, onde 1 faca + 2 colheres + 3 garfos custamR$23, 50; 2 facas + 5 colheres + 6 garfos custam R$50, 00; 2 facas + 3colheres + 4 garfos custam R$36, 00.

6.7 Respostas dos Principais Exercıcios doCapıtulo

6.6.1 SPD e S = {(−2, 5, 1)}6.6.2 SPI e S = {(3c− 3d− 3, 2− c + d, c, d), c, d ∈ R}

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6.6.3 S = {(−10, 7, 2)} e S = {(17,−2,−7)}6.6.5 S = {(1,−1, 2)}6.6.6 S = ∅6.6.7 S = {(3− 3z, z − 2, z), z ∈ R}6.6.8 S = {(−3, 2)}

6.6.9{

x + y = 10000, 01x + 0, 06y = 0, 03 · 1000

, donde resultam 600 ml de um

tipo de leite e 400 ml do outro tipo

6.6.10 Sexta-feira uma loja vendeu 300 pares e a outra 200 pares; no sabadouma vendeu 330 pares e a outra 240 pares

6.6.11 30 litros de combustıvel e 60 litros de outro: x = Tipo 1, y = Tipo

2, entao{

0, 1x + 0, 004y = 0, 06 · 90x + y = 90

6.6.12 Simples= 70; Luxo= 20; Executivo= 10

6.6.13 10 moedas de $10, 00 u.m.; 60 moedas de $20, 00 u.m.; 30 moedas de$50, 00 u.m.

6.6.14 57 sacos e 22 jumentos:{

2j + 13 = s3(j − 3) = s

6.6.15 21 homens, 10 mulheres e 12 criancas, num total de 43 convidados

6.6.16 14 l de alcool e 3

4 l de gasolina

6.6.17

50x + 600y + 200z = 13504x + 24y + 28z = 66

0, 20x + 0, 60y + 0, 80z = 1, 80, donde resultam 100 g de io-

gurte, 200 g de chocolate e 50 g de pastel

6.6.18 A = 30, B = 40, C = 50

6.6.19 Menino=49Kg; Cachorro=46Kg; Gato=5Kg.

6.6.20 Churrasco custa R$1, 50; Quentao custa R$0, 40; Pastel custa R$0, 90

6.6.21 O preco sera de R$3, 90.

6.6.22 Indeterminado: S = {(8 − 2α, 4 + α, α) | α ∈ R}, mas como preci-samos tambem que 0 < 8 − 2α < 12, 0 < 4 + α < 12 e 0 < α < 12,resulta que 0 < α < 4

6.6.23 A = 3; B = 1; C = 5

6.6.24 O valor da despesa sera R$21, 60

6.6.25 15 bicicletas

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6.6.26{

5A + 3B = 27002A + 3B = 1800

, donde resultam: Refrigerante A = 300 uni-

dades; Refrigerante B = 400 unidades

6.6.27 O preco de cada sabonete era R$1, 20

6.6.28 Faca=R$5, 50; Colher=R$3, 00; Garfo=R$4, 00

CHAETINGER

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Capıtulo 7

Determinante e MatrizInversa

7.1 Breve Relato Historico

Ja em 250 a.C. havia exemplos da utilizacao de matrizes na resolucaode sistemas lineares (ver livro Nove Capıtulos sobre a Arte Matematica, deautor desconhecido). Na China antiga, ja eram conhecidas algumas nocoesligadas a determinantes.

No ocidente, o assunto determinantes so comecou a ser tratado, de formaesporadica, a partir do seculo XVII, com os trabalhos de G.W. Leibniz(1646-1716), de G. Cramer (1704-1752), de C. Maclaurin (1698-1746) e deJ.L. Lagrange (1736-1813).

So no seculo XIX passou-se a estudar determinantes com maior enfase,iniciando com um longo tratado de A.L. Cauchy (1789-1857) em 1812, comsequencia nos trabalhos de C.G. Jacobi (1804-1851).

A partir de entao, o uso de determinantes difundiu-se muito e este con-ceito de um numero associado a uma matriz quadrada tornou-se muito utilpara caracterizar situacoes como a de saber se uma matriz e invertıvel, ouse um sistema admite ou nao solucao.

7.2 Conceitos

Consideremos o sistema ax = b, com a 6= 0. A solucao deste sistema ex = b

a . Note que o denominador esta associado a matriz dos coeficientes dosistema, ou seja, [a].

Num sistema 2×2:{

a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2

, em que e possıvel resolver

104

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UNIVATES – Centro Universitario 105

as operacoes elementares (i.e., a11a22 − a12a21 6= 0), encontramos

x1 =b1a22 − b2a12

a11a22 − a12a21e x2 =

b2a11 − b1a21a11a22 − a12a21

.

Os denominadores sao iguais e estao associados a matriz dos coeficientes(a11 a12a21 a22

).

Num sistema 3×3:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

, em que e possıvel

resolver as operacoes elementares, ao procurarmos os valores de x1, x2 e x3,vemos que eles tem o mesmo denominador

a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31,

que tambem esta associado a matriz dos coeficientes do sistema

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

Os numeros que aparecem nos denominadores associados as matrizes(quadradas) sao casos particulares do que chamamos de determinante deuma matriz quadrada.

7.3 Determinante

Quando nos referirmos ao determinante, isto e, ao numero associado auma matriz quadrada A = [aij ], usaremos a seguinte

Notacao: detA ou |A| ou det[aij ].

Exemplo 7.3.1

1. det[a] = a

2. det(

a11 a12a21 a22

)=

a11 a12a21 a22

= a11a22 − a12a21

3. det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33++a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31

Definicao 7.3.2 Dados n objetos distintos a1, . . . , an, uma per-mutacao destes n objetos consiste em dispo-los em uma determinada or-dem.

Exemplo 7.3.3 Algumas permutacoes dos numeros 1, 2 e 3 sao:(1 2 3) e (2 1 3).

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Notacao: A quantidade de permutacoes de n objetos e dada por

n! = n(n− 1)(n− 2) · . . . · 2 · 1, se n > 0.

Definicao 7.3.4 O sımbolo acima e lido n fatorial ou fatorial de n.Define-se ainda 0! = 1.

Definicao 7.3.5 Dada uma permutacao dos inteiros 1, 2,. . . , n, existeuma inversao quando um inteiro precede outro menor do que ele.

Exemplo 7.3.6 Sejam as permutacoes dos inteiros 1, 2,. . . , n. Veja-mos em cada uma delas o numeros de inversoes.

Permutacao Numero de Inversoes(1 2 3) 0(1 3 2) 1(2 1 3) 1(2 3 1) 2(3 1 2) 2(3 2 1) 3

Tabela 7.1: Numero de inversoes por permutacao

Exercıcio 7.3.7 Determine as inversoes das permutacoes dos numeros1, 2, 3 e 4. U

Observacao 7.3.8 Observe que no exemplo 7.3.1, item 3, aparecem to-dos os produtos a1j1a2j2a3j3, onde (j1 j2 j3) sao as permutacoes de 1, 2 e3. Ademais, o sinal do termo e negativo, se a permutacao tiver um numeroımpar de inversoes (ver tabela 7.3).

Definicao 7.3.9 Dada uma matriz A = [aij ]n×n, definimos o determi-nante de A como

det[aij ] =∑

σ

(−1)Ja1j1a2j2 · · · anjn

onde J = J(j1, . . . , jn) e o numero de inversoes da permutacao (j1 j2 . . . jn)e σ indica que a soma e estendida a todas as n! permutacoes de (1 2 . . . n).

Observacao 7.3.10 Em relacao a definicao 7.3.9, pode-se dizer que:

R Se a permutacao (j1 j2 . . . jn) tem um numero par de inversoes, ocoeficiente (−1)J tera sinal positivo; caso contrario, negativo

R Em cada parcela do somatorio, existe um e somente um elemento decada linha, e um e somente um elemento de cada coluna da matriz

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R Reordenando convenientemente os termos, e possıvel mostrar que po-demos definir determinante por det[aij ] =

∑σ

(−1)Jaj11aj22 · · · ajnn, va-

riando os primeiros ındices e deixando fixos os segundos.

Propriedade 7.3.11

1. Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz A saonulos, entao det A = 0

2. det A = detAt

3. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determi-nante fica multiplicado por esta constante

4. Uma vez trocada a posicao de duas linhas, o determinante troca desinal

5. O determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais ezero

6. O determinante nao se altera se somarmos a uma linha outra linhamultiplicada por uma constante

7. det(A ·B) = detA · detB

8. det(A + B) 6= detA + det B, isto e, o determinante de uma somade duas matrizes nao e igual a soma dos determinantes das matri-zes. No entanto, se efetuarmos a soma numa linha apenas, vale apropriedade seguinte:

a11 . . . a1n...

. . ....

bi1 + ci1 . . . bin + cin...

. . ....

an1 . . . ann

=

a11 . . . a1n...

. . ....

bi1 . . . bin...

. . ....

an1 . . . ann

+

a11 . . . a1n...

. . ....

ci1 . . . cin...

. . ....

an1 . . . ann

prova: ver [9], ou [4]. Tente demonstra-las voce mesmo usando a ob-servacao 7.3.10 ou, pelo menos, imaginar a demonstracao.

Exemplo 7.3.123 −2 12 5 02 4 −2

=3 −2 12 5 08 0 0

. Somamos a terceira li-

nha, a primeira linha multiplicada por 2. X

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7.3.1 Desenvolvimento de Laplace

Sabemos que

|A| =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33++a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 =

= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31) =

= a11a22 a23a32 a33

− a12a21 a23a31 a33

+ a13a21 a22a31 a32

.

Note que o determinante da matriz inicial 3 × 3 pode ser expresso emfuncao dos determinantes das submatrizes 2× 2, i.e.,

detA = a11|A11| − a12|A12|+ a13|A13|,

onde Aij e a submatriz da inicial, retirando-se a i-esima linha e a j-esimacoluna. Ademais, denotando por ∆ij = (−1)i+j |Aij |, obtemos a expressao

det A = a11∆11 + a12∆12 + a13∆13.

Proposicao 7.3.13 Seja An×n matriz. Entao podemos expressar o seudeterminante por

detA = ai1∆i1 + . . . + ain∆in =n∑

j=1aij(−1)i+j detAij =

=n∑

J=1aij∆ij .

prova: ver [18].

Definicao 7.3.14 O numero ∆ij (que e o determinante afetado pelosinal (−1)i+j da submatriz Aij , obtida de A retirando-se a i-esima linha ea j-esima coluna) e chamado cofator do elemento aij ou complementoalgebrico de aij.

Observacao 7.3.15 A formula da proposicao 7.3.13 foi desenvolvidapela i-esima linha da matriz A. Pode-se fazer o mesmo atraves de umacoluna qualquer.

Definicao 7.3.16 O processo utilizado na proposicao 7.3.13 e chamadode desenvolvimento de Laplace. Trata-se de uma formula de recorrenciaque permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, a partir dosdeterminantes das submatrizes de ordem n − 1. Isto muitas vezes permitereduzir bastante os calculos, principalmente se combinarmos ainda as pro-priedades de determinantes desenvolvidas em 7.3.11.

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Exemplos

Exemplo 7.3.17 |A| =1 −2 32 1 −1−2 −1 2

= (−2)∆12 + 1∆22 + (−1)∆32

onde

∆12 = (−1)1+2 2 −1−2 2

= −2

∆22 = (−1)2+2 1 3−2 2

= 8

∆32 = (−1)3+2 1 32 −1

= 7

∴ |A| = (−2)(−2) + 1 · 8 + (−1)7 = 5. XExemplo 7.3.18

1 −2 32 1 −1−2 −1 2

= (fazendo l3 → l2 + l3) =1 −2 32 1 −10 0 1

=

= 1 · (−1)3+3 1 −22 1

= 1 · (1 + 4) = 5. X

Exercıcio 7.3.19 Calcule

−1 2 3 44 2 0 0−1 2 −3 02 5 3 1

, utilizando 7.3.11.

7.4 Matriz Adjunta – Matriz Inversa

Dada uma matriz A, ja vimos que a cada elemento aij esta associadoum cofator ∆ij .

Definicao 7.4.1 Chama-se matriz dos cofatores de A, e denota-sepor A, a matriz

A = [∆ij ].

Exemplo 7.4.2 Seja A =

2 1 0−3 1 4

1 6 5

. Entao temos que

∆11 = (−1)1+1 1 46 5

= −19

∆12 = (−1)1+2 −3 41 5

= 19

...

∴ A =

−19 19 −19−5 10 −11

4 −8 5

. X

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Definicao 7.4.3 Dada uma matriz quadrada A, chama-se matriz ad-junta de A a transposta da matriz dos cofatores de A.

Notacao: adj A = At

Exemplo 7.4.4 Em relacao ao exemplo 7.4.2, temos que:

adj A = At =

−19 −5 4

19 10 −8−19 −11 5

. X

Proposicao 7.4.5 Seja An×n uma matriz. Entao

A ·At = A · (adj A) = (detA) · In.

prova: exercıcio. (Sugestao: procure demonstrar o caso 3 × 3, utili-zando a propriedade segundo a qual o determinante de uma matriz que temduas linhas (colunas) iguais e igual a zero, e o desenvolvimento de Laplace.A demonstracao para o caso n× n e analoga.) P

Definicao 7.4.6 Uma matriz An×n e invertıvel (ou nao singular) seexiste uma matriz Bn×n tal que AB = BA = In. B e chamada de umainversa de A.

Notacao: B = A−1

Definicao 7.4.7 Se 6 ∃A−1 dizemos que A e singular (ou nao in-vertıvel).

Exemplo 7.4.8 Seja A =(

2 31 4

). Entao A−1 =

( 45

−35−1

525

), pois

A ·A−1 = I2 e A−1 ·A = I2. (Verifique!) X

Exemplo 7.4.9 Seja A =(

6 211 4

). Procure sua inversa.

Resolucao

Queremos encontrar uma matriz B =(

a bc d

)tal que A · B = I2 e

B ·A = I2.(6 211 4

)

︸ ︷︷ ︸A

·(

a bc d

)

︸ ︷︷ ︸B

=(

1 00 1

)

︸ ︷︷ ︸I2

(6a + 2c 6b + 2d11a + 4c 11b + 4d

)=

(1 00 1

)

Portanto,{6a + 2c = 1

11a + 4c = 0e

{6b + 2d = 0

11b + 4d = 1. Resolvendo os sistemas, temos

a = 2, b = −1, c = −112 e d = 3. Logo, A−1 =

(2 −1−112 3

). X

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UNIVATES – Centro Universitario 111

Teorema 7.4.10 A inversa de uma matriz A, se existir, e unica.

prova: exercıcio. PObservacao 7.4.11

R Se AB = In, entao BA = In, ou seja, B = A−1.

R Se BA = In, entao AB = In, ou seja, A = B−1.

Proposicao 7.4.12 Sejam A e B matrizes quadradas invertıveis e demesma ordem. Entao (AB)−1 = B−1 ·A−1.

prova: exercıcio. PTeorema 7.4.13 Uma matriz quadrada A e invertıvel ⇔ detA 6= 0.

Neste caso:A−1 =

1detA

(adj A).

prova: (⇐) Suponhamos que A seja invertıvel. Entao existe A−1 tal queA·A−1 = In. Usando determinantes, temos: detA·detA−1 = det(A·A−1) =det In = 1. Desse produto, conclui-se que detA 6= 0 e que detA−1 = 1

det A .(⇒) Ja vimos que A · (adj A) = (detA) · In (ver proposicao 7.4.5). Se

detA 6= 0, entao A · 1det A · (adj A) = In e, como a inversa e unica (teorema

7.4.10), A−1 = 1det A(adj A).

Observacao 7.4.14 O teorema 7.4.13 nos da um novo metodo de cal-cular a inversa.

Exemplo 7.4.15 Voltemos ao exemplo 7.4.9: seja A =(

6 211 4

).

Temos que det A = 2 6= 0 e, portanto, A e invertıvel: A =(

4 −11−2 6

)e

adj A =(

4 −2−11 6

). Entao A−1 = 1

det A(adj A) = 12

(4 −2−11 6

)=

(2 −1

−11/2 3

). X

7.5 Regra de Cramer

O processo para o calculo da inversa de uma matriz desenvolvido naseccao anterior, permite um outro metodo de resolucao de sistemas lineares.Convem chamar a atencao que este so se aplica para sistemas lineares emque o numero de equacoes e igual ao numero de incognitas.

Consideremos a forma matricial de um sistema linear n× n:

a11 . . . a1n...

. . ....

an1 . . . ann

·

x1...

xn

=

b1...

bn

ou A · x = b. (7.1)

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Suponhamos que detA 6= 0. Portanto, existe A−1.Entao: A·x = b ⇒ A−1(Ax) = A−1b ⇒ (A−1A)x = A−1b ∴ Inx = A−1b.Matricialmente,

x1...

xn

=

a11 . . . a1n...

. . ....

an1 . . . ann

−1

·

b1...

bn

=

1detA

∆11 . . . ∆1n...

. . ....

∆n1 . . . ∆nn

.

Entao x1 = b1∆11+...+bn∆n1

detA .Note que o numerador desta fracao e igual ao determinante da matriz

que obtemos de A, substituindo a primeira coluna pela matriz dos termosindependentes. De fato, usando o desenvolvimento de Laplace, obtemos:

b1 a12 . . . a1n...

.... . .

...bn an2 . . . ann

= b1∆11 + . . . + bn∆n1

Ou seja,

x1 =

b1 a12 . . . a1n...

.... . .

...bn an2 . . . ann

a11 a12 . . . a1n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

Fazendo deducoes analogas, obtemos:

xi =

a11 . . . b1 . . . a1n...

. . ....

. . ....

an1 . . . bn . . . ann

a11 . . . a1n...

. . ....

an1 . . . ann

para i = 1, 2, . . . , n. (7.2)

Observacao 7.5.1 Em relacao a equacao 7.2:

R No denominador temos o determinante da matriz dos coeficientes(det A);

R No numerador aparece o determinante da matriz obtida de A, substi-tuindo a i-esima coluna pela coluna dos termos independentes;

R Este metodo so pode ser aplicado quando o determinante da matriz doscoeficientes for nao nulo.

Definicao 7.5.2 O metodo desenvolvido acima, para resolucao de sis-temas lineares n× n, e chamado Regra de Cramer.

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UNIVATES – Centro Universitario 113

Exemplo 7.5.3 Resolver o sistema

2x− 3y + 7z = 1x + 3z = 52y − z = 0

, usando a

Regra de Cramer.

Resolucao

Temos det

2 −3 71 0 30 2 −1

= −1 6= 0. Portanto, podemos utilizar a

Regra de Cramer. Entao: x =

1 −3 75 0 30 2 −1

−1 = −49, y =

2 1 71 5 30 0 −1

−1 = 9,

e z =

2 −3 11 0 50 2 0

−1 = 18. X

Observacao 7.5.4 Embora muito difundida nos livros, a Regra de Cra-mer nao e muito util na pratica. Acontece que ela consome muitas operacoespara efetuar os calculos de sistemas grandes, isto e, seu custo computa-cional e muito grande.

R No calculo do determinante de uma matriz de ordem n, temos que cal-cular n! produtos de n fatores, e depois soma-los. Efetuaremos entaon!(n− 1) + (n!− 1) = n!n− 1 operacoes1. Desconsiderando as somas(seu custo para o computador e irrisorio em termos de tempo), isto eaproximadamente igual a n!(e − 1) multiplicacoes, onde e = 2, 71828(numero de Euler).

R Ora, para resolver um sistema n×n pela Regra de Cramer, precisamoscalcular n+1 determinantes de ordem n. Assim, o no de operacoes seelevaria a (n + 1)(n!n− 1) calculos 2, que e maior que n2n!. Ou, emtermos de multiplicacoes, aproximadamente (n + 1)!(n− 1) + n.

Muitos problemas de Engenharia, Economia, Biologia, etc., costumam en-volver sistemas de ordem 100 ou 1000, por exemplo. Entao nos meioscomputacionais prefere-se utilizar metodos numericos iterativos, como o deGauss-Seidel (ver [36]), que e estudado em disciplinas de Calculo Numerico.

Exemplo 7.5.5 Para exemplificar a observacao 7.5.4, imaginemos umcomputador capaz de efetuar um milhao de multiplicacoes ou divisoes porsegundo (1 megaflop).

R por escalonamento, um sistema 10 × 10 levaria 0, 8 milesimos de se-gundo para ser resolvido; ja, por Cramer, 1 minuto e 8 segundos.

1De fato, sao n! termos vezes n − 1 multiplicacoes; alem disso, por serem n! termos,temos n!− 1 somas a serem feitas.

2Precisamos calcular n+1 determinantes, cada um consumindo n!n−1 operacao (comovimos acima); temos ainda n divisoes.

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R por escalonamento, um sistema 15 × 15 levaria 2, 5 milesimos de se-gundo para ser resolvido; ja, por Cramer, 1 ano, 1 mes e 16 dias.

R por escalonamento, um sistema 20×20 levaria 6 milesimos de segundopara ser resolvido; ja, por Cramer, 2 milhoes, 754 mil e 140 anos.

R Para um sistema mil por mil, o escalonamento levaria 11 minutos pararesolve-lo.Imagine o tempo necessario para resolver este sistema pelaRegra de Cramer.

R Para maiores detalhes sobre custo computacional, consultar [14], [17],[29] ou [36].

Observacao 7.5.6 Em aplicacoes da Algebra Linear nao e incomumencontrar sistemas lineares que precisam ser resolvidos por computador. Amaioria dos algoritmos computacionais para resolver estes sistemas sao ba-seados na eliminacao gaussiana ou na eliminacao de Gauss-Jordan, mas osprocedimentos basicos sao muitas vezes modificados para comportar proble-mas tais como

• Reducao de erros de arredondamento

• Minimizacao do uso de espaco de memoria do computador

• Resolucao do sistema com rapidez maxima

Fazendo os calculos a mao, as fracoes constituem um aborrecimento quemuitas vezes nao pode ser evitado. Contudo, em alguns casos e possıvelevitar as fracoes variando as operacoes elementares sobre linhas de maneiracorreta.

Como a eliminacao de Gauss-Jordan evita o uso de substituicao inversa,poderia parecer que este metodo e o mais eficiente dos dois metodos quenos consideramos. Pode ser argumentado que esta afirmacao e verdadeiraquando resolvemos manualmente sistemas pequenos, pois a eliminacao deGauss-Jordan na verdade envolve escrever menos. Entretanto, foi mostradoque para sistemas grandes de equacoes, o metodo de eliminacao de Gauss-Jordan requer cerca de 50% mais operacoes que a eliminacao gaussiana.Esta e uma consideracao importante quando trabalhamos com computadores.

Na disciplina de Metodos Numericos estudaremos questoes como esta,bem como outros metodos de resolucao de sistemas lineares.

Observacao 7.5.7 Na prova da Regra de Cramer, denotando por Do determinante a matriz A dos coeficientes e por Ns o determinante damatriz que se obtem de A trocando a coluna s de A pela coluna dos termosindependentes, chega-se a Dxs = Ns, ∀1 ≤ s ≤ n, i.e.,

Dx1 = N1Dx2 = N2

...Dxn = Nn.

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UNIVATES – Centro Universitario 115

A Regra de Cramer so se aplica quando a matriz A dos coeficientes dossistema tem determinante diferente de zero (D 6= 0).

Tentar utiliza-la fora desse caso pode conduzir a erros.Um desses erros e o seguinte: quando D = 0 e Ns = 0, ∀1 ≤ s ≤ n,

poderıamos pensar que ela forneceria x1 = 00 , x2 = 0

0 , . . ., xn = 00 e concluir

que o sistema e indeterminado, isto e, possui infinitas solucoes. Mas, naoe bem assim.

Suponhamos, por exemplo, que n = 3 e que os tres vetores-coluna a, b,c sejam multiplos um do outro, mas que o vetor d (dos termos independen-tes) nao seja multiplo deles. Entao os quatro determinantes sao nulos. Noentanto, nao existem numeros x, y, z tais que ax + by + cz = d. Ou seja, osistema nao tem solucao.

O proximo exemplo caracteriza a situacao acima descrita.

Exemplo 7.5.8 Consideremos o sistema

x + y + z = 12x + 2y + 2z = 23x + 3y + 3z = 4

.

E claro que este sistema nao tem solucao, pois se x + y + z = 1 entaox + 3y + 3z deve ser igual a 3 e nao a 4. Apesar disso, a Regra de Cramer(usada incorretamente) nos levaria as “expressoes indeterminadas” x = 0

0 ,y = 0

0 , z = 00 e a falsa conclusao de que o sistema e indeterminado.

Observacao 7.5.9 Resulta da formula det[d, b, c] = x ·det[a, b, c] e suasanalogas para y e z que, se det[a, b, c] = 0 e algum dos determinantesdet[d, b, c], det[a, d, c] ou det[a, b, d] for diferente de 0, entao o sistema eimpossıvel.

Podemos apenas concluir que

detA 6= 0 ⇔ SPDSPI ⇒ detA = 0 e

detA1 = detA2 = . . . = detAn = 0detA = 0 e detAs 6= 0, ⇒ SIpara algum 1 ≤ s ≤ n

Tabela 7.2: Calssificacao de um sistema linear via determinantes

7.6 Metodo Pratico para Encontrar A−1

1. Forme a matriz n× 2n [A|In] obtida colocando a matriz In ao lado damatriz A;

2. Leve a matriz A a forma escalonada reduzida via operacoes elemen-tares. Todas as operacoes feitas sobre uma linha de A devem ser feitassobre a linha correspondente de In;

3. Supondo que na etapa anterior obtivemos a matriz [C|D], temos:

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UNIVATES – Centro Universitario 116

(a) Se C = In, entao D = A−1;

(b) Se C 6= In, entao C tem uma linha de zeros e A e singular, istoe, 6 ∃A−1.

Antes de iniciarmos os exercıcios, gostarıamos de indicar o leitura dolivro de H. Anton ([1]), pgs. 321-326, disponıvel no setor de reprografia.

7.7 Exercıcios de Fixacao e Problemas deAplicacao

Exercıcio 7.7.1 Calcule, se existir, a inversa da matriz

A =

1 1 10 2 35 5 1

.

Exercıcio 7.7.2 Calcule, se existir, a inversa da matriz

A =

1 2 −31 −2 15 −2 −3

.

Exercıcio 7.7.3 Uma maneira de enviar uma mensagem em codigo (co-dificar) consiste em utilizar a multiplicacao de matrizes da seguinte maneira:a cada letra do alfabeto associa-se um numero:

A B C D E F G H I J L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V X Z13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Tabela 7.3: Tabela de correspondencia numerica para criptografia

Suponhamos que queiramos enviar, em codigo, a mensagem BOA

SORTE. Para isto formarmos a matriz

B O A− S 0R T E

, que utilizando a

correspondencia numerica torna-se M =

2 14 10 18 1417 19 5

. Multiplica-se

a matriz mensagem M por uma matriz-chave C, que apenas os usuarios

do codigo conhecem. Supondo C =

2 1 −10 2 15 2 −3

, multiplica-se M por

C obtendo-se a matriz MC =

9 32 970 64 −2459 65 −13

(mensagem codificada).

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UNIVATES – Centro Universitario 117

Transmite-se esta nova matriz (na pratica envia-se a sequencia de numeros(9, 32, 9, 70, 64,−24, 59, 65,−13)).

A pessoa que recebe a mensagem (receptor) decodifica-a (traduz) atravesda multiplicacao da matriz MC pela inversa da matriz C, obtendo a matrizmensagem M : (MC)C−1 = M . Apos, o receptor troca os numeros pelasletras correspondentes obtendo a mensagem, que no caso e BOA SORTE).

Voce recebeu a mensagem: (91, 65,−40, 27, 25,−9, 24, 12,−12). Utili-zando a matriz-chave C acima, traduza (decodifique) a mensagem.

7.8 Respostas dos Principais Exercıcios doCapıtulo

7.3.19 −252

7.7.1 [In|A−1] =

1 0 0| 138 −1

2 −18

0 1 0| −158

12

38

0 0 1| 54 0 −1

4

7.7.2

1 0 −1| 12

12 0

0 1 −1| 14 −1

4 00 0 0| −2 −3 1

, logo 6 ∃A−1.

7.7.3

3 14 171 7 512 0 0

, donde a mensagem e CORAGEM.

CHAETINGER

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Capıtulo 8

Introducao asTransformacoes Lineares

Utilizaremos o livro de H. Anton ([1]), paginas 137 a 148; 295 a 299;e 302 a 305.

Para os estudantes de Matematica e para todos aqueles que se interessampela Matematica, inseriremos dois capıtulos na sequencia: um referente aespacos vetoriais, e outro referente a transformacoes lineares.

CHAETINGER

118

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Capıtulo 9

Espacos Vetoriais

9.1 Introducao

Em varias partes da Matematica, defrontamo-nos com um conjunto talque e, ao mesmo tempo, significativo e interessante lidar com “combinacoeslineares” dos objetos daquele conjunto.

Exemplo 9.1.1

R equacoes lineares ←→ linhas de uma matriz

R equacoes diferenciais ←→ funcoes

R espaco 3-dimensional ←→ vetores

A grosso modo, a Algebra Linear e o ramo da Matematica que tratadas propriedades comuns a sistemas algebricos constituıdos por umconjunto mais uma nocao razoavel de uma “combinacao linear” de elemen-tos do conjunto.

9.2 Vetores no Plano e no Espaco

Neste capıtulo, desenvolveremos o conceito de vetor de uma forma maisampla, de modo que, por exemplo, solucoes de sistemas de equacoes linearesou de equacoes diferenciais tambem possam ser representadas por vetores.

Inicialmente, vamos recordar alguns topicos sobre vetores no plano e noespaco.

131

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UNIVATES – Centro Universitario 132

9.2.1 Vetores no Plano

Consideremos o plano cartesiano que consiste de um sistema de co-ordenadas dado por um par de retas orientadas ortogonais. Fixada umaunidade de comprimento, um ponto P do plano pode ser identificado com opar (a, b) de numeros reais, que sao suas coordenadas.

-

6

bP

a

Figura 9.1: Plano cartesiano

Dados dois pontos P e Q do plano, podemos considerar o segmentoorientado ~PQ, com ponto inicial P e ponto final Q.

Observacao 9.2.1 Embora como conjunto de pontos os segmentos ~PQe ~QP sejam iguais, como segmentos orientados eles sao distintos. Diremosque eles sao opostos.

Definicao 9.2.2 Diremos que dois segmentos orientados sao equiva-lentes, se tiverem o mesmo comprimento, direcao e sentido.

-

6

µ

µµ

R

ªP

Q

K

L

R

S

T

W

Z

Figura 9.2: Segmentos orientados

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UNIVATES – Centro Universitario 133

Exemplo 9.2.3 Em relacao a figura 9.2.1, ~PQ, ~KL e ~RS tem a mesmadirecao e sentido; ~RT e ~KL tem o mesmo comprimento; ~PQ, ~RS e ~ZW temo mesmo comprimento e direcao, mas os unicos segmentos com orientacoesequivalentes sao ~PQ e ~RS.

Observacao 9.2.4 Para qualquer segmento orientado no plano existeoutro equivalente a este cujo ponto inicial e a origem.

Definicao 9.2.5 Passaremos agora a considerar apenas os segmentosorientados com ponto inicial na origem. Estes serao chamados de vetoresno plano.

Observacao 9.2.6 A cada ponto do plano P (a, b), esta associado umunico vetor v = ~OP , e vice-versa. Assim podemos imaginar o plano R2 comoum conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Isto e, a correspondenciaentre pontos do plano e vetores e biunıvoca.

Notacao: Usando a correspondencia definida em 9.2.6, representaremosum vetor v = ~OP pelas coordenadas do seu ponto final P (a, b). Usamos a

notacao da matriz-coluna v =(

ab

), ou mesmo a identificacao v = (a, b).

Definicao 9.2.7 Pela notacao acima, a origem ficara associado um ve-tor que tem os pontos final e inicial coincidentes. Denominaremos tal vetor(que e so um ponto) de vetor nulo, e o representaremos por (0, 0).

Definicao 9.2.8 O oposto de um vetor v = ~OP e o vetor w = ~OQ,que tem o mesmo comprimento e direcao, e sentido oposto. Em termos decoordenadas, se v = (a, b), entao w = (−a,−b). Por esta razao, o denotamospor w = −v.

Operacoes

Multiplicacao de um vetor por um escalar: multiplicar um vetor v porum escalar k > 0 e considerar um novo vetor w = kv, que possui a mesmadirecao de v e tem como comprimento k vezes o comprimento de v, e cujosentido depende do sinal de k.

Se k < 0, o vetor w = kv sera igual ao oposto do vetor |k| · v.Se k = 0, w = kv sera o vetor nulo.

Observacao 9.2.9 Esta operacao corresponde a multiplicacao damatriz-linha (ou coluna) por esse numero. Se v = (a, b) e w = kv, entaow = (ka, kb).

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UNIVATES – Centro Universitario 134

-

6

µ

µ

ª

w = 1, 5v

v

u = −12v

Figura 9.3: Multiplicacao de um vetor por um escalar

Adicao de dois vetores: a ideia de soma de vetores origina-se na somade forcas em Fısica. Dados dois vetores F1 e F2, chamamos a forca resultantede soma de F1 com F2 e denotamos R = F1 + F2.

±:

*

F1

F2

R

Figura 9.4: Resultante de dois vetores

Em termos de coordenadas, se F1 = (a, b) e F2 = (c, d), quais sao ascoordenadas de R?

Usando congruencia de triangulos, e facil concluir que as coordenadas deR sao (a + c, b + d).

Definicao 9.2.10 Sejam v = (a, b) e w = (c, d) dois vetores no plano.Definimos o vetor soma de v e w como o vetor v + w = (a + c, b + d).

Observacao 9.2.11 Somar dois vetores corresponde a somar as matri-zes que os representam. As operacoes de vetores herdam, portanto, todas aspropriedades das operacoes correspondentes para matrizes.

Observacao 9.2.12 A soma de um vetor v = (a, b) com o seu opostow = −v = (−a,−b) e o vetor nulo, isto e,

v + w = v + (−v) = (a− a, b− b) = (0, 0).

Diferenca entre dois vetores: dados dois vetores v e w, entendemosa soma do primeiro com o oposto do segundo como o vetor diferenca entrev e w, isto e,

v − w = v + (−w).

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UNIVATES – Centro Universitario 135

-

6

¸

®

:

z

w

v

−w

v − w

Figura 9.5: Subtracao de vetores

9.2.2 Vetores no Espaco

Podemos agir da mesma forma que em relacao ao plano. Temos agoraum sistema de coordenadas dado por tres retas orientadas, perpendicularesduas a duas e, uma vez fixada uma unidade de comprimento, cada ponto Pdo espaco estara identificado com uma terna de numeros reais (x, y, z), queda suas coordenadas.

-

°

6

X

Y

Z

P (x, y, z)

x

y

z

Figura 9.6: Espaco tri-dimensional

No espaco, os vetores tambem sao dados por segmentos orientados, componto inicial na origem, e existe uma correspondencia biunıvoca entre osvetores e pontos do espaco que a cada vetor ~OP associa seu ponto finalP (a, b, c).

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UNIVATES – Centro Universitario 136

Notacao: O vetor v = ~OP e denotado pelas coordenadas de P .

v =

abc

ou v = (a, b, c).

Observacao 9.2.13 Se chamarmos V o conjunto de vetores no espaco,podemos identificar

V = {(x1, x2, x3); xi ∈ R} = R× R× R = R3.

Operacoes

Sao inteiramente analogas as operacoes de vetores no plano, apenastrabalhando-se com as tres componentes dos vetores.

Definicao 9.2.14 Sejam u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3) dois vetoresno espaco e k um escalar. Definimos:

u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) e ku = (kx1, kx2, kx3).

Propriedade 9.2.15 Sejam u, v, w ∈ V e a, b ∈ R. Valem as seguintespropriedades:

1. (u + v) + w = u + (v + w);

2. u + v = v + u;

3. ∃ 0 ∈ V tal que u + 0 = u (0 e chamado vetor nulo);

4. ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0;

5. a(u + v) = au + av;

6. (a + b)v = av + bv;

7. 1u = u.

Para maiores detalhes, ver [14] e [15].Estas propriedades serao uteis na caracterizacao dos espacos vetoriais

que veremos a seguir.

9.3 Espacos Vetoriais

Definicao 9.3.1 Um espaco vetorial (ou linear) consiste do se-guinte:

1. um corpo F de escalares;

2. um corpo V de objetos, denominados vetores;

3. uma regra (operacao), dita adicao de vetores, tal que, ∀α, β, γ ∈ V:

(a) α + β = β + α (comutativa);

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(b) α + (β + γ) = (α + β) + γ (associativa);

(c) ∃! 0 ∈ V tal que α + 0 = α (existencia de zero);

(d) ∀α ∈ V, ∃!− α ∈ V tal que α + (−α) = 0 (simetrico);

4. uma regra multiplicacao por escalar tal que ∀c, c1, c2 ∈ F, ∀α,β ∈ V:

(a) 1 · α = α;

(b) (c1c2)α = c1(c2α);

(c) c(α + β) = cα + cβ;

(d) (c1 + c2)α = c1α + c2α.

9.3.1 Exemplos

Exemplo 9.3.2 O conjunto dos vetores do espaco

V = R3 = {(x1, x2, x3) : xi ∈ R} (espaco vetorial real).

Exemplo 9.3.3 n-uplas de numeros reais

V = Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R}.

Exemplo 9.3.4 V = MR(m,n), o conjunto das matrizes reais m × ncom a soma e o produto por escalar usuais. Note que V = MR(1, n) = Rn.

Exemplo 9.3.5 V = Pn, o conjunto dos polinomios com coeficientesreais, de grau menor ou igual a n (incluindo o zero).

Exemplo 9.3.6 V = MC(2, 2) (espaco vetorial complexo)

Observacao 9.3.7

R Os espacos vetoriais complexos aparecem, por exemplo, no estudo desistemas de equacoes diferenciais.

R Salvo mencao em contrario, trabalharemos com espacos vetoriais (e.v.)REAIS.

9.4 Subespacos Vetoriais

As vezes, e necessario detectar, dentro de um espaco vetorial V, subcon-juntos W que sejam eles proprios espacos vetoriais “menores”.

Definicao 9.4.1 Dado um espaco vetorial V, um subconjunto W, nao-vazio, sera um subespaco vetorial de V se:

1. para quaisquer u, v ∈W tivermos u + v ∈W;

2. para quaisquer a ∈ R, u ∈W tivermos au ∈W.

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Observacao 9.4.2

R W e um espaco vetorial;

R Qualquer subespaco W ⊂ V contem o vetor nulo;

R Todo espaco vetorial admite pelo menos 2 subespacos (triviais): 0 e oespaco todo.

9.4.1 Exemplos

Exemplo 9.4.3 V = R3 e W ⊂ V, um plano pela origem.

Observacao 9.4.4

R Note que, no exemplo 9.4.3, se W nao passasse pela origem, nao seriaum subespaco.

R Observe que os unicos subespacos de R3 sao a origem, as retas eplanos pela origem, e o proprio R3.

Exemplo 9.4.5 V = R5 e W = {(0, x2, x3, x4, x5) : xi ∈ R}.

Exemplo 9.4.6 V = MR(n, n) e W e o subconjunto das matrizes tri-angulares superiores.

Exemplo 9.4.7 Dado o sistema linear homogeneo:

2x + 4y + z = 0x + y + 2z = 0x + 3y − z = 0

Ã

2 4 11 1 21 3 −1

·

xyz

=

000

,

queremos saber se o conjunto dos vetores-solucao e um subespaco deMR(3, 1).

Exemplo 9.4.8 O conjunto-solucao de um sistema linear homogeneo den incognitas e um subespaco de MR(n, 1).

9.4.2 Contra-Exemplos

Contra-Exemplo 9.4.9 V = R2, W e uma reta deste plano que naopassa pela origem.

Note que, se 0 6∈W, entao W nao e subespaco vetorial.

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-

6

º*

W

vu

Figura 9.7: Reta que nao passa pela origem

Contra-Exemplo 9.4.10 Podemos ter 0 ∈ W e W nao ser subespacovetorial. De fato, considere V = R2, W = {(x, x2) : x ∈ R}.

Temos que (0, 0) ∈ W, u = (1, 1) ∈ W, v = (2, 4) ∈ W. Mas, por outrolado, u + v = (1, 1) + (2, 4) = (3, 5) 6∈W.

0102030405060708090

100

-10 -5 0 5 10

x**2

Figura 9.8: Grafico de y = x2

Contra-Exemplo 9.4.11 V = MR(n, n) e W e o subconjunto de todasas matrizes em que a11 ≤ 0.

Contra-Exemplo 9.4.12 Se um sistema linear nao for homogeneo, oque acontece com o seu conjunto-solucao?

Agora veremos as principais propriedades dos subespacos.

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9.4.3 Propriedades

Teorema 9.4.13 (Interseccao de Subespacos)Se W1 e W2 sao subespacos de um espaco vetorial V, entao W1 ∩W2

ainda e um subespaco de V.Note que W1 ∩W2 6= ∅.

prova: exercıcio.

9.4.4 Exemplos

Exemplo 9.4.14 Seja V = R3, entao W1 ∩ W2 e a interseccao dosplanos W1 e W2.

6

1

s

W1 ∩W2 W1 W2

Figura 9.9: Interseccao de subespacos vetoriais

Exemplo 9.4.15 Seja V = MR(n, n), onde

W1 = {matrizes triangulares superiores} eW2 = {matrizes triangulares inferiores}.

Entao W1 ∩W2 = {matrizes diagonais}.

Observacao 9.4.16 Se W1 e W2 sao subespacos de um espaco vetorialV, nao podemos afirmar que W1 ∪W2 seja um subespaco.

Contra-Exemplo 9.4.17 Sejam V = R3, e W1 e W2 vetores sobre oseixos coordenados.

Assim, W1 ∪W2 nao e subespaco de V. Entretanto, podemos construirum conjunto W, que contem W1 e W2 e e subespaco de V.

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UNIVATES – Centro Universitario 141

6

6

*

*

j

7

W2

v

W1

u

u + v

Figura 9.10: Uniao de subespacos vetoriais

Teorema 9.4.18 (Soma de Subespacos)Sejam W1 e W2 subespacos de um e.v. V. Entao o conjunto

W1 +W2 = {v ∈ V; v = w1 + w2, w1 ∈W1, w2 ∈W2}

e um subespaco de V.

prova: exercıcio.

9.4.5 Exemplos

Exemplo 9.4.19 No exemplo 9.4.17, W = W1 + W2 e o plano quecontem as duas retas.

Exemplo 9.4.20 Se W1 ⊂ R3 e um plano e W2 e uma reta contidaneste plano, ambos passando pela origem, entao W1 +W2 = W1.

Exemplo 9.4.21 W1 ={(

a b0 0

)}e W2 =

{(0 0c d

)}, onde a,

b, c, d ∈ R. Entao

W1 +W2 ={(

a bc d

)}= MR(2, 2).

Definicao 9.4.22 Quando W1 ∩W2 = {0}, entao W1 +W2 e chamadosoma direta de W1 com W2, denotado por

W1 ⊕W2.

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9.5 Combinacao Linear

Uma das caracterısticas mais importantes de um espaco vetorial e aobtencao de novos vetores a partir de vetores dados.

Definicao 9.5.1 Sejam V um espaco vetorial, v1,. . . , vn ∈ V e a1,. . . ,an ∈ F. Entao o vetor

v = a1v1 + . . . + anvn =n∑

i=1

aivi

e um elemento de V chamado combinacao linear de v1,. . . , vn.

Observacao 9.5.2 Fixados v1,. . . , vn ∈ V, o conjunto W de todos osvetores de V que sao combinacao linear destes, e um subespaco vetorial(s.v.). W e chamado subespaco gerado por v1,. . . , vn.

Notacao: W = [v1, . . . , vn]Note que W e o menor subespaco de V que contem {v1, . . . , vn}.

9.5.1 Exemplos

Exemplo 9.5.3 V = R3, v ∈ V, v 6= 0. Entao [v] = {av : a ∈ R}, istoe, e a reta que contem o vetor v.

Exemplo 9.5.4 Se v1, v2 ∈ R3 sao tais que αv1 6= v2, ∀α ∈ R, entao[v1, v2] sera o plano que passa pela origem e contem v1 e v2.

µ

j

-

6

®

v1

v2

Figura 9.11: Subespaco gerado por dois vetores

Exemplo 9.5.5 V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1). Logo V = [v1, v2], pois∀ v = (x, y) ∈ V, temos (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), ou seja, v = xv1 + yv2.

Exemplo 9.5.6 Sejam v1 =(

1 00 0

), v2 =

(0 10 0

). Entao

[v1, v2] ={(

a b0 0

): a, b ∈ R

}.

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9.6 Dependencia e Independencia Linear

Dados os vetores v1, . . . , vn, queremos saber se nao existem vetores“superfluos”, isto e, se algum deles nao e uma combinacao linear dos outros.

Definicao 9.6.1 Sejam V um e.v. e v1, . . . , vn ∈ V. Dizemos queo conjunto {v1, . . . , vn} e linearmente independente (l.i.), ou que osvetores v1, . . . , vn sao l.i., se a equacao

a1v1 + . . . + anvn = 0

implica que a1 = a2 = . . . = an = 0. No caso em que exista algum ai 6= 0dizemos que {v1, . . . , vn} e linearmente dependente (l.d.), ou que osvetores v1,. . . , vn sao l.d..

Teorema 9.6.2 {v1, . . . , vn} e l.d. se, e somente se, um destes vetoresfor uma combinacao linear dos outros.

prova: exercıcio.

9.6.1 Exercıcios

Exemplo 9.6.3 V = R3. Sejam v1, v2 ∈ V.{v1, v2} e l.d. ⇔ v1 e v2 estiverem na mesma reta, que passa pela origem(v1 = λv2).

Exemplo 9.6.4 V = R3. Sejam v1, v2, v3 ∈ V.{v1, v2, v3} e l.d. se os tres vetores estiverem no mesmo plano, que passapela origem.

Exemplo 9.6.5 V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). Entao e1 e e2 saol.i., pois

a1e1 + a2e2 = 0 ⇒ a1 = 0 e a2 = 0.

Exemplo 9.6.6 V = R2. {(1,−1), (1, 0), (1, 1)} e l.d., pois

12(1,−1)− 1(1, 0) +

12(1, 1) = (0, 0).

9.7 Base de Um Espaco Vetorial

Queremos determinar um conjunto de vetores que gere V e tal que todosos elementos sejam realmente necessarios.

Definicao 9.7.1 Um conjunto {v1, . . . , vn} de vetores de V sera umabase de V se:

1. {v1, . . . , vn} e l.i.;

2. [v1, . . . , vn] = V.

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UNIVATES – Centro Universitario 144

9.7.1 Exemplos

Exemplo 9.7.2 V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) (base canonica).Tambem e base do plano: {(1, 1), (0, 1)}, pois se (0, 0) = a(1, 1)+b(0, 1),

entao a = b = 0 (l.i.). Ademais, dado v = (x, y) ∈ V, temos que(x, y) = x(1, 1)+(y−x)(0, 1). Logo, todo vetor do plano e combinacao linearde e1 e e2. X

Exemplo 9.7.3 V = R3, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e base.

Exemplo 9.7.4 V = MR(2, 2),{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}.

Contra-Exemplo 9.7.5 {(0, 1), (0, 2)} nao e base de R2, pois l.d.:

(0, 0) = a(0, 1) + b(0, 2) ⇒ a = −2b. X

Contra-Exemplo 9.7.6 {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} nao e base de R3. E l.i.,mas nao gera todo R3, isto e, [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] 6= R3. X

Observacao 9.7.7

R Nem sempre e possıvel encontrar uma base finita para um espaco ve-torial. Nestes casos, precisaremos de combinacoes lineares finitas deum conjunto infinito de geradores. E o que acontece com espacos defuncoes.

R Somente trabalharemos com e.v. que tenham base finita.

Vejamos algumas propriedades das bases de um espaco vetorial

Teorema 9.7.8 Sejam v1, . . . , vn vetores nao-nulos que gerem umespaco vetorial V. Entao, dentre eles podemos extrair uma base de V.

prova: Se v1, . . . , vn l.i., ok!Se nao, v1, . . . , vn sao l.d. e ∃ combinacao linear x1v1 + . . . + xnvn = 0 comalgum xi 6= 0. Sem perda de generalidade, suponhamos que xn 6= 0. Entao

vn =−x1xn

v1 +−x2xn

v2 + . . . +−xn−1

xnvn−1 e,

portanto, v1, . . . , vn−1 ainda geram V. Se l.i., ok! Se nao, continuo oprocesso um numero finito de vezes.

Teorema 9.7.9 Seja V um espaco vetorial gerado por um numero finitode vetores v1, . . . , vn. Entao, qualquer conjunto com mais de n vetores enecessariamente l.d. (e, portanto, qualquer conjunto l.i. tem no maximo nvetores).

prova: ver [4], [9] ou [13].

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UNIVATES – Centro Universitario 145

Corolario 9.7.10 Qualquer base de um espaco vetorial tem sempre omesmo numero de elementos.

Este numero e chamado dimensao de V, e denotado por dim V.

prova: Sejam {v1, . . . , vn} e {w1, . . . , wm} bases de V. Como v1, . . . , vn

geram V e w1, . . . , wm sao l.i., segue que m ≤ n.Por outro lado, como w1, . . . , wm geram V e v1, . . . , vn sao l.i., segue

que n ≤ m ∴ m = n.

9.7.2 Exemplos

Exemplo 9.7.11 V = R2, {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} sao bases deV. Entao dim V = 2.

Exemplo 9.7.12 dimR3 = 3.

Exemplo 9.7.13 E espaco vetorial V = MR(2, 2) tem base com 4 ele-mentos. Entao dimV = 4.

Definicao 9.7.14 Quando um e.v. V admite uma base finita, dizemosque V e de dimensao finita.

Teorema 9.7.15 Qualquer conjunto de vetores l.i. de um e.v. V dedimensao finita pode ser completado de modo a formar uma base de V.

prova: exercıcio.

Corolario 9.7.16 Se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores l.i.formara uma base de V.

prova: exercıcio.

Teorema 9.7.17 Se U e W sao subespacos de um espaco vetorial V dedimensao finita, entao dimU ≤ dimV e dimW ≤ dimV. Ademais,

dim(U+W) = dimU+ dimV− dim(U ∩W).

prova: ver [4].

Teorema 9.7.18 Dada uma base β = {v1, . . . , vn} de V, cada vetor deV e escrito de maneira unica como combinacao linear de v1, . . . , vn.

prova: exercıcio.

Definicao 9.7.19 Sejam β = {v1, . . . , vn} base de V e v ∈ V ondev = a1v1 + . . . + anvn. Chamamos os numeros a1, . . . ,an de coordenadasde v em relacao a base β e denotaremos por

[v]β =

a1...

an

.

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UNIVATES – Centro Universitario 146

Exemplo 9.7.20 V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)}.

(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1) ⇒ [(4, 3)]β =(

43

).

Se β′ = {(1, 1), (0, 1)}, entao (4, 3) = x(1, 1) + y(0, 1) ⇒ x = 4, y = −1.

Entao, [(4, 3)]β′ =(

4−1

).

Observacao 9.7.21 A ordem dos elementos de uma base influi namatriz das coordenadas.

Ao considerarmos uma base β = {v1, . . . , vn}, estaremos subentendendoa base ordenada na ordem em que aparecem.

Exemplo 9.7.22 Sejam

V = {(x, y, z); x + y − z = 0} e W = {(x, y, z); x = y}.V+W =?

Resolucao

6

-

®

V

W

Figura 9.12: Base de um subespaco vetorial

Temos V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)], W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)].Entao V+W = [(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)]. Como (x, y, z) ∈ R3 podeser escrito como

(x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(0, 1, 1) + γ(1, 1, 0) + δ(0, 0, 1),

com α = x, β = y, γ = 0, δ = z − x− y, temos V+W = R3.Assim, dimR3 = dimV+ dimW−dim(V∩W) ⇒ dim(V∩W) = 1, onde

V ∩W = {(x, y, z); x + y − z = 0 e x = y} == {(x, y, z); x = y = z

2} = [(1, 1, 12)]. X

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UNIVATES – Centro Universitario 147

9.8 Mudanca de Base

Voce ja deve ter visto situacoes em que a resolucao de um problema deFısica1 torna-se muito mais simples se escolhermos um referencial conve-niente para descrever o movimento. Vejamos um exemplo:

Exemplo 9.8.1 Um Fiat Palio Weekend se move no plano XY comtrajetoria elıptica de equacao x2 + xy + y2 − 3 = 0 (ver figura abaixo). Adescricao do movimento torna-se muito mais simplificada se ao inves detrabalharmos com os eixos ~OX e ~OY (isto e, o referencial determinado pelabase canonica), utilizarmos um referencial que se apoia nos eixos princi-pais da elipse.

¾

½

»

¼

¾

½

»

¼-

~

X

Y

X1

X2

Incline o pescoco ±40o para a direita!

Figura 9.13: Trajetoria elıptica

Neste novo referencial, a equacao da trajetoria sera mais simples2:

3x21 + 2y2

1 = 6.

Observacao 9.8.2 Numa situacao como esta do exemplo 9.8.1, temosduas questoes a saber:

R Como escolher o novo referencial?

R Uma vez escolhido, qual a relacao entre as coordenadas de um pontono antigo referencial e suas coordenadas no novo?

A primeira questao e mais delicada e nao sera contemplada neste curso (oaluno interessado pode consultar [4], capıtulo 11, nao sem antes realizarum bom curso de Geometria Analıtica segundo [11] ou [34]). A segunda,passaremos a estudar agora, mas logo num contexto mais amplo.

1Cinematica ou Estatica, por exemplo.2Para maiores detalhes, ver [11], ou [34].

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UNIVATES – Centro Universitario 148

Sejam β = {u1, . . . , un} e β′ = {w1, . . . , wn} duas bases de um mesmoe.v. V. Dado v ∈ V, temos:

v = x1u1 + . . . + xnun ev = y1w1 + . . . + ynwn, donde

(9.1)

[v]tβ = [x1 . . . xn], [v]tβ′ = [y1 . . . yn].

Como {u1, . . . , un} e base de V, podemos escrever

w1 = a11u1 + a21u2 + . . . + an1un

w2 = a12u1 + a22u2 + . . . + an2un... =

...wn = a1nu1 + a2nu2 + . . . + annun

(9.2)

Substituindo em 9.1 e reordenando, temos:

v = y1w1 + . . . + ynwn =...= (a11y1 + ... + a1nyn)u1 + . . . + (an1y1 + ... + annyn)un

Mas, v = x1u1 + . . . + xnun. Pela unicidade das coordenadas:

x1...

xn

=

a11 . . . a1n...

. . ....

an1 . . . ann

·

y1...

yn

.

Denotando,

[I]β′

β =

a11 . . . a1n...

. . ....

an1 . . . ann

, temos

[v]β = [I]β′

β · [v]β′ .

Definicao 9.8.3 A matriz [I]β′

β acima e a matriz de mudanca dabase β′ para a base β.

Exemplo 9.8.4 β = {(2,−1), (3, 4)}, β′ = {(1, 0), (0, 1)} bases de R2.

[I]β′

β =?

Resolucao

w1 = (1, 0) = a11(2,−1) + a21(3, 4) ⇒ a11 = 4/11, a21 = 1/11

w2 = (0, 1) = a12(2,−1) + a22(3, 4) ⇒ a12 = −3/11, a22 = 2/11.

Portanto,

[I]β′

β =(

4/11 −3/111/11 2/11

)

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UNIVATES – Centro Universitario 149

Para v = (5,−8), na base β temos:

[(5,−8)]β = [I]β′

β · [(5,−8)]β′ =

=(

4/11 −3/111/11 2/11

)·(

5−8

)=

=(

4−1

),

isto e, (5,−8) = 4(2,−1)− 1(3, 4). X

Observacao 9.8.5

R Note que, no exemplo 9.8.4, se quisessemos apenas encontrar as co-ordenadas de (5,−8) em relacao a base β, poderıamos simplesmenteresolver o sistema

(5,−8) = a(2,−1) + b(3, 4).

R O calculo feito atraves da matriz de mudanca de base e operacional-mente vantajoso quando trabalhamos com mais vetores, pois neste casonao teremos que resolver um sistema de equacoes para cada vetor.Para maiores detalhes, ver [9], [13], [36] ou [34].

9.8.1 A Inversa da Matriz de Mudanca de Base

Se em 9.2 tivessemos escrito os ui em funcao dos wj , terıamos:

[v]β′ = [I]ββ′ · [v]β.

Como as matrizes [I]ββ′ e [I]β′

β sao inversıveis (verifique!), basta observarque (

[I]β′

β

)−1= [I]ββ′ . (9.3)

9.8.2 Exemplos

Exemplo 9.8.6 No exemplo 9.8.4, obter [I]β′

β a partir de [I]ββ′.

Resolucao

Ora, β′ e a base canonica, logo

[I]ββ′ =(

2 3−1 4

).

Entao,

[I]β′

β =(

2 3−1 4

)−1=

(4/11 −3/111/11 2/11

). X

Exemplo 9.8.7 V = R2, β = {e1, e2} e β′ = {f1, f2} obtida da basecanonica β pela rotacao de um angulo θ. Dado um vetor v ∈ R2 de coorde-

nadas [v]β =(

x1x2

), quais sao as coordenadas [v]β′ =

(y1y2

)?

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UNIVATES – Centro Universitario 150

Resolucao

Temos entao v = x1e1 + x2e2 = y1f1 + y2f2.Procuramos [v]β′ = [I]ββ′ · [v]β.

- -

6

6

7

I

±v

f1

f2 e2

e1

θ

Figura 9.14: Mudanca de base

Precisamos escrever e1 e e2 em funcao de f1 e f2 (ver figura no final daresolucao):

e1 = cos θf1 − sin θf2e2 = sin θf1 + cos θf2

.

Portanto, [I]ββ′ =(

cos θ sin θ− sin θ cos θ

), donde

(y1y2

)=

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)·(

x1x2

),

ou seja,y1 = x1 cos θ + x2 sin θy2 = −x1 sin θ + x2 cos θ

. X

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-

6

µ

I

-

6

e1

f1

f2e2

±

°

− sin θ

cos θ

-

6

6

µ

I

9:

f1e2

f2

cos θ

sin θ

Figura 9.15: Rotacao de vetores

9.9 Exercıcios de Fixacao e Problemas deAplicacao

Exercıcio 9.9.1 Responda se os subconjuntos abaixo sao subespacos deMR(2, 2). Em caso afirmativo, exiba geradores:

1. V ={(

a bc d

)com a, b, c, d ∈ R e b = c

}

2. W ={(

a bc d

)com a, b, c, d ∈ R e b = c + 1

}.

Exercıcio 9.9.2 Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Sead− bc = 0, mostre que eles sao linearmente dependentes. Se ad − bc 6= 0,mostre que eles sao linearmente independentes.

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UNIVATES – Centro Universitario 152

Exercıcio 9.9.3 Verifique se os conjuntos abaixo sao espacos vetoriaisreais, com operacoes usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e de adimensao:

1. Matrizes diagonais n× n

2. Matrizes escalares n× n

3.{(

a a + ba b

): a, b ∈ R

}

4. V = {(a, a, . . . , a) ∈ Rn; a ∈ R}5. {(1, a, b) : a, b ∈ R}6. A reta {(x, x + 3) : x ∈ R}7. {(a, 2a, 3a) : a ∈ R}.

Exercıcio 9.9.4 Considere o subespaco de R4

S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)] :

1. O vetor (23 , 1,−1, 2) pertence a S?

2. O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?

Exercıcio 9.9.5 Seja W o subespaco de MR(2, 2) definido por

W ={(

2a a + 2b0 a− b

): com a, b ∈ R

}.

1.(

0 −20 1

)∈W?

2.(

0 23 1

)∈W?

Exercıcio 9.9.6 Seja W o subespaco de MR(3, 2) gerado por

0 01 10 0

,

0 10 −11 0

e

0 10 00 0

.

O vetor

0 23 45 0

pertence a W?

Exercıcio 9.9.7 Mostre que{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}

e base de MR(2, 2).

Exercıcio 9.9.8 Escreva uma base para o e.v. das matrizes n×n. Quala dimensao deste espaco?

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UNIVATES – Centro Universitario 153

Exercıcio 9.9.9 Quais sao as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relacaoa base

β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}?

Exercıcio 9.9.10 Seja Pn o espaco vetorial formado por todos os po-linomios com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n, incluindo o zero(ver 9.3.5). Qual a dimensao deste espaco vetorial?

Exercıcio 9.9.11 Mostre que os polinomios 1 − t3, (1 − t)2, 1 − t e 1geram P3.

Exercıcio 9.9.12 Seja P o conjunto de todos os polinomios (de grauqualquer) com coeficientes reais. Existe uma base finita para este espaco?Encontre uma “base”para P e justifique por que P e conhecido como umespaco de dimensao infinita.

Exercıcio 9.9.13 Sejam U o subespaco de R3, gerado por (1, 0, 0) e Wo subespaco de R3, gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre que R3 = U⊕W.

Exercıcio 9.9.14 SejamW1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y = 0 e z − t = 0}e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x− y − z + t = 0} dois dos subespacos de R4.

1. Determine W1 ∩W2.

2. Exiba uma base para W1 ∩W2.

3. Determine W1 +W2.

4. W1 +W2 e soma direta? Justifique.

5. W1 +W2 = R4?

Exercıcio 9.9.15 Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)},β2 = {(√3, 1), (

√3,−1)} e β3 = {(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de R2.

1. Ache as matrizes de mudanca de base:

(a) [I]β1

β ;

(b) [I]ββ1;

(c) [I]ββ2;

(d) [I]β3

β .

2. Quais sao as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relacao a base:

(a) β;

(b) β1;

(c) β2;

(d) β3?

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UNIVATES – Centro Universitario 154

3. As coordenadas de um vetor v em relacao a base β1 sao dadas por

[v]β1 =(

40

).

Quais sao as coordenadas de v em relacao a base:

(a) β;

(b) β2;(c) β3.

Exercıcio 9.9.16 Se [I]α′

α =

1 1 00 −1 11 0 −1

, ache:

1. [v]α onde [v]α′ =

−123

;

2. [v]α′ onde [v]α =

−123

.

Exercıcio 9.9.17 Se β′ e obtida de β, a base canonica de R2, pelarotacao por um angulo −π

3 , ache:

1. [I]β′

β ;

2. [I]ββ′.

Exercıcio 9.9.18 Sejam β1 = {(1, 0), (0, 2)}, β2 = {(−1, 0), (1, 1)} eβ3 = {(−1,−1), (0,−1)} tres bases ordenadas de R2.

1. Ache:

(a) [I]β2

β1;

(b) [I]β3

β2;

(c) [I]β3

β1;

(d) [I]β2

β1· [I]β3

β2.

2. Se for possıvel, de uma relacao entre estas matrizes de mudanca debase.

Exercıcio 9.9.19 Seja V o e.v. de matrizes 2× 2 triangulares superio-res. Sejam

β ={(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 00 1

)}e

β1 ={(

1 00 0

),

(1 10 0

),

(1 10 1

)}

duas bases de V. Ache [I]β1

β .

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UNIVATES – Centro Universitario 155

Exercıcio 9.9.20 Volte a 9.3 e mostre efetivamente que

([I]β′

β )−1 = [I]ββ′ .

Exercıcio 9.9.21 Se α e base de um espaco vetorial, qual e a matriz demudanca de base [I]αα?

9.10 Respostas dos Principais Exercıcios doCapıtulo

9.9.4 1. Pertence: v = 0v1 + 53v2 − 1

6v3; 2. Nao pertence

9.9.5 1. Pertence; 2. Nao pertence

9.9.6 Nao pertence

9.9.9 [x]β =[1

3 − 13

13]

9.9.15 1. a.[ −1 1

1 1

]; b.

[ −12

121

212

]; c.

[ √36

12√3

6 −12

]; d.

[2 00 2

];

2. a. [3 − 2]; b.[−5

212]; c.

[3√3−6

63√3+6

6]; d.

[32 − 1

];

3. a. [−4 4]; b.[

6−2√33

−6−2√33

]; c. [−2 2];

9.9.16 1. [v]α = (1, 1,−4)t; 2. [v]α′ = (4, 4,−3)t

9.9.18 1. a.( −1 1

0 12

); b.

(0 −1−1 −1

); c.

( −1 0−1

212

); d. idem c.

9.9.19

1 1 10 1 10 0 1

;

9.9.21 In.

Nao apresentaremos as respostas dos demais exercıcios deste capıtulopara nao tirarmos o seu prazer de resolve-los.

CHAETINGER

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Capıtulo 10

Aprofundamento SobreTransformacoes Lineares

10.1 Introducao

Funcoes lineares descrevem o tipo mais simples de dependencia entrevariaveis.

Exemplo 10.1.1 Se de 1kg de soja sao extraıdos 0, 2 litros de oleo, deuma producao de x kg de soja seriam extraıdos 0, 2 · x litros de oleo.

Escrevendo na forma de funcao: Q(S) = 0, 2 · S, onde Q = quantidadeem litros de oleo de soja e S = quantidade em kg de soja.

-

6 Q

S

Q = 0, 2 · S

Figura 10.1: Extracao de oleo de soja por kg

Vejamos duas caracterısticas deste exemplo:

1. Q(S1 + S2) = 0, 2 · (S1 + S2) = 0, 2 · S1 + 0, 2 · S2 = Q(S1) + Q(S2),S1, S2 ∈ R;

156

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UNIVATES – Centro Universitario 157

2. Q(k · S) = 0, 2 · (kS) = k · (0, 2 · S) = k ·Q(S), k ∈ R.

Estas duas propriedades servirao para caracterizar “transformacao li-near”.

Definicao 10.1.2 Sejam V e W dois espacos vetoriais. Uma trans-formacao linear (aplicacao linear) e uma funcao de V em W , F : V → W ,satisfazendo, ∀u, v ∈ V , ∀k ∈ R:

1. F (u + v) = F (u) + F (v);

2. F (k · v) = k · F (v).

Notacao: por brevidade, denotaremos por TL qualquer transformacaolinear.

10.2 Exemplos

Exemplo 10.2.1 V = W = R e Q : R → Rx à 0, 2 · x.

Exemplo 10.2.2 V = W = R e F : R → Ru à F (u) = α · u

,

onde α ∈ R.Toda transformacao linear de R em R so pode ser deste tipo. De fato,

F (x) = F (x · 1) e como F e uma TL e x e um escalar, F (x · 1) = x · F (1).Chamando F (1) = α, temos que F (x) = α · x.

O nome transformacao linear certamente foi inspirado neste caso emque V = W = R, pois o grafico de F (x) = α · x e uma reta passando pelaorigem.

Contra-Exemplo 10.2.3 A aplicacao F : R → Ru à F (u) = u2

nao e

uma TL, pois seu grafico nao e uma reta.Ademais, F (u+ v) = (u+ v)2 = u2 +2uv + v2 6= u2 + v2 = F (u)+F (v).

Exemplo 10.2.4 F : R2 → R3

(x, y) Ã (2x, 0, x + y).

Observacao 10.2.5 Se T : V → W e uma TL, entao T (0V ) = 0W , istoe, se 0 ∈ V entao T (0) = 0 ∈ W . De fato, como T e uma TL, temos queT (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) ⇒ T (0) = 0.

Portanto, se T (0) 6= 0, entao T nao e uma transformacao linear. Mas,cuidado, T (0) = 0 nao e suficiente para que T seja linear (veja o contra-exemplo 10.2.3).

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UNIVATES – Centro Universitario 158

O proximo exemplo e muito importante. Ele mostra que a toda matrizm×n esta associada uma transformacao linear de Rn em Rm (note a troca daordem de m e n), isto e, toda matriz produz uma TL. A recıproca tambeme verdadeira, ou seja, uma TL de Rn em Rm pode ser representada por umamatriz m× n (isto mostraremos mais adiante).

Exemplo 10.2.6 V = Rn e W = Rm. Seja A ∈ Mm×n(R). Definimos

LA : Rn → Rm

v à A · v, onde v =

x1...

xn

e um vetor coluna e

LA(v) = A ·

x1...

xn

=

y1...

ym

. Tal aplicacao e uma TL.

O exemplo 10.2.4 acima e um caso particular:

LA : R2 → R3[

x1x2

2 00 01 1

·

[x1x2

]=

2x10

x1 + x2

.

Exemplo 10.2.7 V = W = Pn (polinomios de grau ≤ n).

D : Pn → Pn

f à f ′, a aplicacao derivada.

10.3 Transformacoes do Plano no Plano

10.3.1 Expansao (ou Contracao) Uniforme

Uma expansao (contracao) uniforme e toda aplicacao do tipo

T : R2 → R2

v Ã α · v, com α ∈ R.

Exemplo 10.3.1 Seja T : R2 → R2

v à 2 · v, ou T (x, y) = 2 · (x, y). Esta

funcao leva cada vetor do plano num vetor de mesma direcao e sentido dev, mas de modulo 2 vezes maior.

[xy

]Ã 2 ·

[xy

]ou

[xy

[2 00 2

]·[

xy

].

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-

6 6

-

Figura 10.2: Expansao ou contracao uniforme

Se tomassemos F : R2 → R2 tal que F (x, y) = 12 · (x, y), F seria uma

contracao.

10.3.2 Reflexao em Torno do Eixo ~OXA reflexao em torno do eixo ~OX e dada pela aplicacao

F : R2 → R2

(x, y) Ã (x,−y).Matricialmente, podemos descrever a aplicacoes do seguinte modo:

[xy

[x−y

]ou

[xy

[1 00 −1

]·[

xy

].

-

6

-

?

Figura 10.3: Reflexao em torno do eixo horizontal

10.3.3 Reflexao pela Origem

A reflexao pela origem e dada pela aplicacao T : R2 → R2

v à −v, ou seja,

T (x, y) = (−x,−y).Matricialmente, podemos descrever a aplicacoes do seguinte modo:

[xy

[ −x−y

]ou

[xy

[ −1 00 −1

]·[

xy

].

Fisicamente, esta reflexao corresponde a rotacao de 180o em torno daorigem.

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UNIVATES – Centro Universitario 160

-

6

?

¾

Figura 10.4: Reflexao pela origem

10.3.4 Rotacao de um angulo θA rotacao de um angulo θ (no sentido anti-horario) e descrita pelasseguintes relacoes:

x′ = r · cos(α + θ) = r · cosα · cos θ − r · sinα · sin θ.

Mas, r · cosα = x e r · sinα = y. Entao x′ = x · cos θ − y · sin θ.Analogamente,

y′ = r · sin(α + θ) = r · (sinα · cos θ + cosα · sin θ) = y · cos θ + x · sin θ.

- -

6 6

»»»»»»:¤¤¤¤¤¤º

»»»»»»:

x

y

x′

y′

α αθ

Figura 10.5: Rotacao de um angulo dado

Assim, Rθ(x, y) = (x · cos θ − y · sin θ, y · cos θ + x · sin θ), ou na formamatricial,

[xy

[x · cos θ − y · sin θy · cos θ + x · sin θ

]=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]

︸ ︷︷ ︸Rθ(x,y)

·[

xy

].

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UNIVATES – Centro Universitario 161

10.3.5 Cisalhamento Horizontal

O cisalhamento horizontal e dado pela relacao

T (x, y) = (x + αy, y), α ∈ R.

Ele consiste na modificacao da primeira coordenada do vetor (x, y),substituindo-a por uma combinacao linear especıfica de x e y, a saber:x à x + αy, α ∈ R.

-

6

-

6

Figura 10.6: Cisalhamento horizontal

10.3.6 Translacao

Note que a translacao segundo um vetor (a, b) 6= (0, 0), embora sejauma transformacao do plano no plano, nao e linear (pois nao leva o zerono zero). O unico caso em que a translacao e linear e quando a = b = 0.

Ela e dada pela relacao T (x, y) = (x + a, y + b), ou matricialmente por[

xy

[1 00 1

]·[

xy

]+

[ab

].

10.4 Conceitos e Teoremas

As TL sao perfeitamente determinadas conhecendo-se seu valor nos ele-mentos de uma base.

Teorema 10.4.1 Sejam V e W espacos vetoriais reais e {v1, . . . , vn}uma base de V . Sejam w1, . . . , wn ∈ W . Entao existe uma unica aplicacaolinear T : V → W tal que T (v1) = w1, . . . , T (vn) = wn.

prova: Seja v = a1v1 + . . . anvn um vetor de V . Entao

T (v) = a1T (v1) + . . . + anT (vn) = a1w1 + . . . + anwn.

Note que T e linear e e unica nas condicoes acima.

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Exemplo 10.4.2 Qual e a transformacao linear T : R2 → R3 tal queT (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1)?

SolucaoOs vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) formam uma base de R2. Sejam

w1 = (2,−1, 0) e w2 = (0, 0, 1). Dado v = (x1, x2), temos que v = x1e1+x2e2e T (v) = x1T (e1) + x2T (e2) = x1(2,−1, 0) + x2(0, 0, 1) = (2x1,−x1, x2). X

Definicao 10.4.3 Seja T : V → W uma aplicacao linear. A imagemde T e o conjunto dos vetores w ∈ W tais que existe um vetor v ∈ V , quesatisfaz T (v) = w. Ou seja,

Im(T ) = {w ∈ W | T (v) = w para algum v ∈ V }.

Note que Im(T ) ⊆ W e, alem disso, e um subespaco vetorial de W . Asvezes Im(T ) e escrito como T (V ).

Definicao 10.4.4 Seja T : V → W uma transformacao linear. O con-junto de todos os vetores v ∈ V tais que T (v) = 0 e chamado nucleo (oukernel) de T , denotado por ker(T ). Isto e,

ker(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0}.

Note que ker(T ) ⊆ V e e um subespaco vetorial de V .

ker(T )0

Im(T )0

'

&

$

%

-T

'

&

$

%

V W

Figura 10.7: Diagrama de nucleo e imagem de uma TL

Exemplo 10.4.5 Seja T : R2 → R com T (x, y) = x + y. Entaoker(T ) = {(x, y) ∈ R2 | x + y = 0} e a reta y = −x, ou ainda,ker(T ) = {(x,−x) | x ∈ R} = [(1,−1)]. E Im(T ) = R, pois para todow ∈ R, w = T (w, 0).

Exemplo 10.4.6 Seja T : R3 → R3 com T (x, y, z) = (x, 2y, 0). Entao

Im(T ) = {(x, 2y, 0) ∈ R3 | x, y ∈ R} == {x(1, 0, 0) + y(0, 2, 0) | x, y ∈ R} = [(1, 0, 0), (0, 2, 0)].

Note que dim Im(T ) = 2.Ademais, ker(T ) = {(x, y, z) | (x, 2y, 0) = (0, 0, 0)} = [(0, 0, 1)], onde

dim ker(T ) = 1. X

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Definicao 10.4.7 Uma aplicacao T : V → W e injetora se T (u) = vimplicar que u = v, para quaisquer u, v ∈ V . Equivalentemente, T e injetorase dados u, v ∈ V com u 6= v, entao T (u) 6= T (v).

Em outras palavras, T e injetora se as imagens de vetores distintos saodistintas.

Definicao 10.4.8 A aplicacao T : V → W e sobrejetora se a imagemde T coincidir com W , ou seja, T (V ) = W .

Em outras palavras, T e sobrejetora se dado w ∈ W , existir v ∈ V talque T (v) = w.

O proximo teorema afirma que uma TL injetora so tem o vetor nulo noseu nucleo. E, por outro lado, se uma TL tiver somente 0 no seu nucleo,entao quaisquer dois vetores distintos devem ter imagens distintas tambem.

Teorema 10.4.9 Seja T : V → W uma aplicacao linear. Entao

ker(T ) = {0} ⇔ T e injetora.

Corolario 10.4.10 Seja T : V → W uma aplicacao linear injetora.Entao T leva vetores linearmente independentes em vetores linearmente in-dependentes.

Teorema 10.4.11 Seja T : V → W uma aplicacao linear. Entaodim ker(T ) + dim Im(T ) = dim V .

prova: Seja {v1, . . . , vn} base de ker(T ) ⊆ V . Como ker(T ) e um su-bespaco de V , podemos completar este conjunto de modo a obter uma basede V . Seja entao {v1, . . . , vn, . . . , w1, . . . , wm} a base de V .

Afirmacao: {T (w1), . . . , T (wm)} e base de Im(T ).Provemos, inicialmente, que [T (w1), . . . , T (wm)] = Im(T ).Dado w ∈ Im(T ), ∃u ∈ V tal que T (u) = w. Como u ∈ V , temos que

u = a1v1 + . . . + anvn + b1w1 + . . . + bmwm. Mas,

w = T (u) = T (a1v1 + . . . + anvn + b1w1 + . . . + bmwm) == b1T (w1) + . . . + bmT (wm),

pois v1, . . . , vn ∈ ker(T ). Logo Im(T ) = [T (w1), . . . , T (wm)].Mostraremos agora que {T (w1), . . . , T (wm)} e linearmente independente.

De fato, suponhamos que a1T (w1) + a2T (w2) + . . . + amT (wm) = 0.Como T e linear, segue que T (a1w1 + a2w2 + . . . + amwm) = 0, donde

a1w1 + . . . + amwm ∈ ker(T ). Entao a1w1 + . . . + amwm pode ser escritocomo combinacao linear da base {v1, . . . , vn} de ker(T ). Isto e , ∃b1, . . . , bn

tais que a1w1 + . . . + amwm = b1v1 + . . . + bnvn, ou ainda,

a1w1 + . . . + amwm − b1v1 − . . .− bnvn = 0.

Mas, {v1, . . . , vn, w1, . . . , wm} e base de V , e entao segue quea1 = a2 = . . . = am = b1 = . . . = bn = 0.

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UNIVATES – Centro Universitario 164

Corolario 10.4.12 Se dim V = dim W , entao T linear e injetora se,e somente se, T e sobrejetora.

Corolario 10.4.13 Seja T : V → W uma TL linear injetora. Sedim V = dim W , entao T leva base em base.

prova: (sketch) {v1, . . . , vn} base de V .W ⊇ {T (v1), . . . , T (vn)} e LI, pois k1T (v1) + . . . + knT (vn) = 0 implica

que T (k1v1+. . .+knvn) = 0. Como T e injetora, entao k1v1+. . .+knvn = 0.Mas, {v1, . . . , vn} e base, logo ki = 0 para todo 1 ≤ i ≤ n.

Visto que dim V = dim W = n, {T (v1), . . . , T (vn)} e base de W .Quando uma transformacao linear T : V → W for injetora e sobrejetora

ao mesmo tempo, da-se o nome de isomorfismo. Sob o ponto de vista daAlgebra Linear, espacos vetoriais isomorfos sao, por assim dizer, identicos.Pelo que ja provamos, espacos isomorfos devem ter a mesma dimensao. Logo,um isomorfismo leva base em base. Alem disso, um isomorfismo T : V → Wtem uma aplicacao inversa T−1: W → V que e linear e e tambem umisomorfismo.

Exercıcio 10.4.14 Seja T : R3 → R3 a transformacao linear dada porT (x, y, z) = (x− 2y, z, x + y). Mostre que T e isomorfismo e obtenha T−1.

(Dica): Mostre que ker(T ) = {0} e calcule T ({e1, e2, e3}). X

10.5 Transformacoes Lineares e Matrizes

Ja vimos que toda matriz m × n esta associada a uma transformacaolinear T : Rn → Rm. Vamos generalizar este resultado para espacos vetoriaisV e W e tambem estabelecer o seu recıproco, isto e, uma vez fixadas as bases,a toda transformacao linear T : V → W esta associada uma unica matriz.

Inicialmente veremos como, dados dois espacos vetoriais V e W combases β e β′ e uma matriz A, podemos obter uma TL.

Consideremos R2 e as bases β = {(1, 0), (0, 1)} e β′ = {(1, 1), (−1, 1)}e a matriz A =

(2 00 1

). Queremos associar a esta matriz A uma TL

que depende de A e das bases β e β′ dadas, isto e, TA: R2 → R2 comT (v) = TA(v).

Sejam v = (x, y) e X = [v]β =[

xy

]. Entao

AX =[

2 00 1

]·[

xy

]=

[2xy

]= [TA(v)]β′ .

Logo TA(v) = 2x(1, 1) + y(−1, 1) = (2x− y, 2x + y).De um modo geral, fixadas as bases β = {v1, . . . , vn} e

β′ = {w1, . . . , wm}, a matriz A =

a11 . . . a1m...

...am1 . . . amn

podemos associar a

aplicacao TA: Rn → Rm (v à TA(v)).

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UNIVATES – Centro Universitario 165

Seja X = [v]β =

x1...

xn

. Entao

A ·X =

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

·

x1...

xn

=

y1...

ym

.

Portanto, TA(v) = y1w1 + . . . + ymwm, onde yi = Ai ·X e Ai e a i-esimalinha de A.

Em geral, uma matriz Am×n e vista como uma transformacao linearTA: Rn → Rm em relacao as bases canonicas de Rn e Rm.

Exemplo 10.5.1 Sejam A =(

1 −3 52 4 −1

), β = {(1, 0), (0, 1)} e

β′ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Considere TA: R3 → R2. Seja

X =

xyz

. Entao

A ·X =[

1 −3 52 4 −1

xyz

=

[x− 3y + 5z2x + 4y − z

].

Portanto,

TA(x, y, z) = (x− 3y + 5z)(1, 0) + (2x + 4y − z)(0, 1) == (x− 3y + 5z, 2x + 4y − z). X

Agora iremos encontrar a matriz associada a uma TL.Sejam T : V → W linear, β = {v1, . . . , vn} base de V e β′ = {w1, . . . , wm}

base de W . Entao T (v1), . . . , T (vn) sao vetores de W e portanto

T (v1) = a11w1 + . . . + aimwm...

...T (vn) = an1w1 + . . . + anmwm.

A transposta da matriz de coeficientes deste sistema, denotada por [T ]ββ′e chamada matriz de T em relacao as bases β e β′.

[T ]ββ′ =

a11 . . . an1...

...a1m . . . an,m

m×n

= A.

Observe que T passa a ser a aplicacao linear associada a matriz A e basesβ e β′, isto e, T = TA.

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UNIVATES – Centro Universitario 166

Exemplo 10.5.2 Seja T : R3 → R2 a transformacao linear dada porT (x, y, z) = (2x+y−z, 3x−2y+4z). Sejam β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}e β′ = {(1, 3), (1, 4)}. Procuremos [T ]ββ′. Temos:

T (1, 1, 1) = (2, 5) = 3(1, 3)− 1(1, 4)T (1, 1, 0) = (3, 1) = 11(1, 3)− 8(1, 4)T (1, 0, 0) = (2, 3) = 5(1, 3)− 3(1, 4).

Entao [T ]ββ′ =[

3 11 5−1 −8 −3

]. X

Observe que se fixarmos outras bases β e β′, teremos outra matriz paraa transformacao T .

Exemplo 10.5.3 Para uma aplicacao linear T como acima, sejamβ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e β′ = {(1, 0), (0, 1)}. Calculemos [T ]ββ′:

T (1, 0, 0) = (2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1)T (0, 1, 0) = (1,−2) = 1(1, 0)− 2(0, 1)T (0, 0, 1) = (−1, 4) = −1(1, 0) + 4(0, 1).

Entao [T ]ββ′ =[

2 1 −13 −2 4

]. X

Observacao 10.5.4 Denota-se por [T ] a matriz de uma transformacaolinear T : Rm → Rn em relacao as bases canonicas.

Notacao: Tv = T (v)

Exemplo 10.5.5 Seja T : V → V dada por T (v) = v a aplicacao iden-tidade. Sejam β = {v1, . . . , vn} e β′ = {v′1, . . . , v′n} bases de V . Entao

[T ]ββ′ =

a11 . . . an1...

...a1n . . . ann

= [I]ββ′ .

Esta e a matriz da aplicacao identidade da base β na base β′. X

Exemplo 10.5.6 Dadas as bases β = {(1, 1), (0, 1)} de R2 eβ′ = {(0, 3, 0), (−1, 0, 0), (0, 1, 1)} de R3, encontremos a transformacao li-

near T : R2 → R3 cuja matriz e [T ]ββ′ =

0 2−1 0−1 3

. Temos:

T (1, 1) = 0(0, 3, 0)− 1(−1, 0, 0)− 1(0, 1, 1) = (1,−1,−1)T (0, 1) = 2(0, 3, 0) + 0(−1, 0, 0) + 3(0, 1, 1) = (0, 9, 3).

Note que os coeficientes acima sao as colunas de [T ]ββ′.Devemos encontrar T (x, y). Para isto escrevemos (x, y) em relacao a

base β: (x, y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1).Aplicando T e usando a linearidade:

T (x, y) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = x(1,−1,−1) + (y − x)(0, 9, 3) == (x, 9y − 10x, 3y − 4x). X

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UNIVATES – Centro Universitario 167

O resultado a seguir da o significado da matriz de uma TL.

Teorema 10.5.7 Sejam V , W espacos vetoriais, α base de V , β basede W e T : V → W uma transformacao linear. Entao, para todo v ∈ V ,vale:

[T (v)]β = [T ]αβ · [v]α.

prova: Faremos a prova no caso dim V = 2 e dim W = 3. O caso gerale inteiramente analogo.

Sejam α = {v1, v2} base de V , β = {w1, w2, w3} base de W e

[T ]αβ =

a11 a12a21 a22a31 a32

. Sejam ainda v ∈ V e [v]α =

[x1x2

]e [Tv]β =

y1y2y3

.

Da matriz [T ]αβ sabemos que

Tv1 = a11w1 + a21w2 + a31w3Tv2 = a12w1 + a22w2 + a32w3.

Alem disso, v = x1v1 + x2v2 e, como T e linear,

Tv = x1Tv1+x2Tv2 = (a11x1+a12x2)w1+(a21x1+a22x2)w2+(a31x1+a32x2)w3.

Mas, Tv = y1w1 + y2w2 + y3w3 e, pela unicidade:

y1 = a11x1 + a12x2y2 = a21x1 + a22x2y3 = a31x1 + a32x2,

ou seja,

y1y2y3

=

a11 a12a21 a22a31 a32

·

[x1x2

]. Isto e, [Tv]β = [T ]αβ · [v]α.

Atraves deste teorema, o estudo de TL entre espacos vetoriais de di-mensao finita e reduzido ao estudo de matrizes.

Exemplo 10.5.8 Seja a transformacao linear T : R2 → R3 dada por

[T ]αβ =

1 −10 1−2 3

, onde α = {(1, 0), (0, 1)} e base de R2,

β = {(1, 0, 1), (−2, 0, 1), (0, 1, 0} e base de R3.

Qual e a imagem de v = (2,−3) pela aplicacao T? Ora, [v]α =[

2−3

].

Portanto, [Tv]β = [T ]αβ · [v]α =

1 −10 1−2 3

·

[2−3

]=

5−3−13

, ou seja,

Tv = 5(1, 0, 1)− 3(−2, 0, 1)− 13(0, 1, 0) = (11,−13, 2). X

Teorema 10.5.9 Seja T : V → W uma TL e sejam α e β bases de V eW , respectivamente. Entao

dim Im(T ) = posto de [T ]αβ , e

dim ker(T ) = nulidade de [T ]αβ = no colunas− posto de [T ]αβ .

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UNIVATES – Centro Universitario 168

Teorema 10.5.10 Sejam T1: V → W e T2: W → U transformacoeslineares e α, β, γ bases de V , W e U , respectivamente. Entao a composta deT1 com T2, T2 ◦ T1: V → U , e linear e

[T2 ◦ T1]αγ = [T2]βγ · [T1]αβ .

prova: Basta analisar o que ocorre nas bases.

Exemplo 10.5.11 Consideremos uma expansao do plano R2 dada porT1(x, y) = 2(x, y), e um cisalhamento dado por T2(x, y) = (x + 2y, y), apli-cados nesta ordem. As matrizes (em relacao a base canonica ξ, do R2) das

TL sao [T1]ξξ =

[2 00 2

]e [T2]

ξξ =

[1 20 1

]. Entao a matriz (em relacao a

base canonica do R2) que representa a expansao seguida do cisalhamento e

[T2 ◦ T1] =[

1 20 1

]·[

2 00 2

]=

[2 40 2

]. X

Exemplo 10.5.12 Sejam T1, T2 transformacoes lineares, T1: R2 → R3,

T2: R3 → R2 dadas por: [T1]αβ =

1 01 −10 1

e [T2]

βγ =

[0 1 −10 0 0

], em

relacao as bases α = {(1, 0), (0, 2)}, β = {(13 , 0,−3), (1, 1, 15), (2, 0, 5)} e

γ = {(2, 0), (1, 1)}.Qual e a TL composta T2 ◦ T1: R2 → R2, ou seja, (T2 ◦ T1)(x, y)?

Solucao:

Ora, [T2 ◦T1]αγ = [T2]βγ · [T1]αβ =

[0 1 −10 0 0

1 01 −10 1

=

[1 −20 0

].

Escrevemos agora as coordenadas do vetor (x, y) em relacao a base α:

[(x, y)]α =[

xy2

]. Assim,

[(T2 ◦ T1)(x, y)]γ = [T2 ◦ T1]αγ · [(x, y)]α =[

1 −20 0

]·[

xy2

]=

[x− y

0

].

Portanto, (T2 ◦ T1)(x, y) = (x− y)(2, 0) + 0(1, 1) = (2x− 2y, 0). X

Corolario 10.5.13 Se T : V → W e uma TL invertıvel (T e um iso-morfismo) e α e β sao as bases de V e W , entao T−1: W → V e umoperador linear e

[T−1]βα = ([T ]αβ)−1.

prova: Ora, [I]αα = [T−1 ◦ T ]αα = [T−1]βα · [T ]αβ .

Corolario 10.5.14 Sejam T : V → W uma TL e α e β bases de V eW . Entao T e invertıvel se, e somente se, det[T ]αβ 6= 0.

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UNIVATES – Centro Universitario 169

Exemplo 10.5.15 Seja T : R2 → R2 uma TL dada por [T ]ξξ =[3 42 3

], onde ξ e a base canonica de R2. Como det[T ]ξξ = 1 6= 0, o Co-

rolario 10.5.14 afirma que T e invertıvel. Pelo Corolario 10.5.13, sabemosque

[T−1]ξξ = ([T ]ξξ)−1 =

([3 42 3

])−1=

[3 −4−2 3

]. Entao

[T−1(x, y)]ξ = [T−1]ξξ) ·[

xy

]

ξ

=[

3 −4−2 3

]·[

xy

]=

[3x− 4y−2x + 3y

], ou

seja, T−1(x, y) = (3x− 4y,−2x + 3y). X

Se T : V → W e uma TL, α, α′ sao bases de V e β, β′ sao bases de W ,entao podemos relacionar as matrizes [T ]αβ e [T ]α

′β′ :

Corolario 10.5.16 [T ]α′

β′ = [I ◦ T ◦ I]α′

β′ = [I]ββ′ · [T ]αβ · [I]α′

α .

Caso particular: se T : V → V e uma TL e α e β sao bases de V , entao[T ]ββ = [I ◦ T ◦ I]ββ = [I]αβ · [T ]αα · [I]βα. Lembrando que [I]βα = ([I]αβ)−1 e

chamando [I]αβ = A, vem que [T ]ββ = A · [T ]αα ·A−1. Dizemos neste caso que

[T ]αα e [T ]ββ sao semelhantes.Pelo corolario anterior, observamos atraves de mudancas convenientes

de bases qual a modificacao que a matriz de uma TL sofre.

Exemplo 10.5.17 Seja a transformacao linear T :R3 → R3 cuja matriz

em relacao a base canonica e [T ]ξξ =

−2 4 −41 −2 13 −6 5

. Calculemos a matriz

desta TL em relacao a base β = {(0, 1, 1), (−1, 0, 1), (1, 1, 1)}.

Ora, [T ]ββ = [I]ξβ · [T ]ξξ · [I]βξ , onde [I]βξ =

0 −1 11 0 11 1 1

e

[I]ξβ =

−1 2 −10 −1 11 −1 1

. Entao [T ]ββ =

−1 0 00 2 20 0 0

. X

Questao: Dada uma TL, ha algum procedimento pratico para se calcu-lar uma base em que a matriz desta TL seja a “mais simples possıvel”?

Nao percam a resposta, nos proximos capıtulos!!!

10.6 Aplicacoes a Optica

Consideremos aqui o caso de um feixe de luz de raios paralelos (cujadirecao pode, portanto, ser dada por um vetor) que se reflete em espelhosplanos.

Analisemos inicialmente a propagacao no R2, como o espelho colocadono eixo horizontal.

Dado um raio de luz incidente na direcao do vetor (a, b), perguntamos:em que direcao (c, d) estara o raio refletido?

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UNIVATES – Centro Universitario 170

-

6

ZZ

ZZ

ZZ~½½

½½

½½>

ZZ

ZZ

ZZ~

(a, b)

(c, d)

Figura 10.8: Reflexao de um raio de luz em espelho plano horizontal

Recordemos nossas aulas de Fısica:

R O raio de luz incidente, a normal ao espelho no ponto de incidencia eo raio refletido estao no mesmo plano;

R O angulo entre o raio incidente e a normal ao espelho e o mesmo queo angulo entre a normal e o raio refletido;

R Supondo que o espelho e perfeito, i.e., nao ha absorcao de luz, a luzse reflete com a mesma intensidade que tinha na incidencia.

Neste 1o caso, as propagacoes ja se dao no mesmo plano. Se o com-primento do vetor indicar a intensidade da luz, o 3o item acima indica queo vetor refletido tera o mesmo tamanho que o incidente. Estes resultados,junto com o 2o item acima, implicam que c = a e d = −b ou, em forma de

matriz,[

cd

]=

[1 00 −1

]·[

ab

]. Podemos concluir, portanto, que um

espelho atua sobre os raios luminosos como uma transformacao linear E (jahavıamos visto isto anteriormente).

Passemos agora a estudar qual e a matriz associada a um espelho numaposicao formando um angulo θ com a horizontal.

Podemos fazer este caso cair na situacao anterior considerando uma mu-danca de base.

Tomamos a base β = {e1, e2} onde e1 = (cos θ, sin θ) esta na direcao dex′ (espelho) e e2 = (cos(π

2 + θ), sin(π2 + θ)) = (− sin θ, cos θ) esta na direcao

normal ao espelho.

Em relacao a esta base, [E]ββ =[

1 00 −1

]. Portanto, em relacao a base

canonica temos (verifique, calculando [I]βcan, [I]canβ ):

[E]cancan = [I]βcan · [E]ββ · [I]can

β =[

cos 2θ sin 2θsin 2θ − cos 2θ

]e, portanto,

[cd

]=

[cos 2θ sin 2θsin 2θ − cos 2θ

]·[

ab

].

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UNIVATES – Centro Universitario 171

-

6

ZZ

ZZ

ZZ~Z

ZZ

ZZZ~

(a, b)

x

y

½½

½½

½½

½½

½½

½½

½½> x′

SS

SS

SS

SS

SS

SS

SSoy′

BB

BB

BBBM

(c, d)

θ

incidente

espelho

refletido

Figura 10.9: Reflexao de um raio de luz em espelho plano com inclinacao

A matriz [E]cancan poderia ser obtida diretamente simplesmente observando

o que a TL (espelho) faz nos vetores da base canonica (raios luminosos nadirecao do eixo ~OX e do eixo ~OY .

Note que ao colocarmos as componentes dos vetores refletidos em colunaobteremos a mesma matriz que antes (ver mais detalhes em [4]).

Como podemos tratar o problema em que hajam varios espelhos e, con-sequentemente, reflexoes sucessivas?

Simplesmente pela composicao das TL associadas a cada espelho na or-dem em que ocorrem as reflexoes.

Exemplo 10.6.1 Considere um feixe de luz se propagando na direcaodo vetor (1,−1) e refletindo nos espelhos da figura abaixo.

-

6

@@

@R­­

­­Á©©©¼(1,−1)

π6

5π6

(c, d)

espelho 1

espelho 2

Figura 10.10: Reflexao de um raio de luz em dois espelhos planos

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Em que direcao estara o feixe apos as reflexoes?Solucao

Basta utilizar a matriz obtida acima com θ = π6 para a 1a reflexao e

θ = 5π6 para a 2a reflexao. Temos entao (verifique!):

[cd

]=

[12 −

√32

−√32 −1

2

]·[

12

√32√3

2 −12

]·[

1−1

]=

[−

(1+√3

2)

1−√32

].

Concluımos, entao, que o feixe estara na direcao de(−1−√3

2 , 1−√32

). X

O mesmo raciocınio podera ser feito quando estamos com espelhos planosno espaco.

Se tivermos 3 espelhos colocados 2 a 2 perpendiculares (como no cantode uma sala e no piso, ou no teto...), qualquer feixe de luz de raios paralelosque incide sobre o conjunto saira paralelo a direcao de incidencia apos asreflexoes.

De fato, as matrizes associadas a cada espelho podem ser obtidas obser-vando o que ele faz com cada um dos vetores da base canonica.

»»»»»9´

´´

´´+

?»»»»»:

(a, b, c)

(d, e, f)

III

III

Figura 10.11: Reflexao de um raio de luz em tres espelhos planos no espaco

Obtemos, entao:

M1 =

−1 0 00 1 00 0 1

, M2 =

1 0 00 −1 00 0 1

e M3 =

1 0 00 1 00 0 −1

para os espelhos I, II e III, respectivamente.Se o feixe de luz incidente esta na direcao (a, b, c), entao a direcao do

feixe refletido pelo conjunto sera

def

= M3 ·M2 ·M1 ·

abc

=

−a−b−c

= −

abc

.

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UNIVATES – Centro Universitario 173

O mesmo resultado sera obtido se as reflexoes forem em outra ordem(M2M3M1,M1M2M3, etc.). Concluımos que a direcao de saıda e paralela econtraria a de entrada.

A reflexao da luz (ou som) feita em espelhos nao planos nao e descritapor TL. Aguarde, nos proximos capıtulos, exemplos de espelhos nao planos.

CHAETINGER

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Capıtulo 11

Desigualdades Lineares

Refere-se ao Capıtulo 11 de [16], paginas 63 a 70.

CHAETINGER

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Capıtulo 12

Variedades Lineares,Conjuntos Convexos eProgramacao Linear

12.1 Introducao

Um problema de otimizacao envolve maximizar ou minimizaruma funcao restrita a certas condicoes. Estamos sempre interessados emminimizar custos, maximizar lucro, rendimento, etc. A programacao li-near permite a resolucao destes problemas no caso especıfico em que asfuncoes a serem analisadas sao funcoes afins e as restricoes sao dadas pordesigualdades lineares (regioes poliedrais convexas) .

Trabalharemos aqui de uma maneira mais conceitual e geometrica. Parauma analise mais algorıtmica e programavel, ver [4].

Os resultados de conjuntos convexos e programacao linear comecaram aser organizados no final do seculo passado e inıcio deste seculo, a partir dostrabalhos de matematicos como H. Minkowski, A. Haar, H. Weyl. A partirdos anos 40 houve um rapido desenvolvimento dessa area, principalmenteem relacao aos algoritmos para programar e resolver problemas aplicadoscom muitas variaveis.

A programacao linear difundiu-se muito nos ultimos anos, por se tratarde uma tecnica simples e, embora referindo-se a problemas especıficos, mui-tos problemas do cotidiano podem ser resolvidos segundo esta linguagem.

Costuma-se dizer, tambem, que a programacao linear e um topico da Pes-quisa Operacional, a qual contem outros subtopicos como a Teoria das Filas,a Simulacao, a Teoria dos Jogos, a Programacao Dinamica, o PERT/COM,etc. Estudos estatısticos tem mostrado que a programacao linear e hojeuma das tecnicas mais utilizadas da Pesquisa Operacional. E comum ver-mos aplicacoes de programacao linear fazendo parte de rotinas diarias de

180

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UNIVATES – Centro Universitario 181

planejamento das mais variadas empresas, tanto nas que possuem uma so-fisticada equipe de planejamento como nas que simplesmente adquiriram um“software” para alguma funcao de planejamento.

Podemos conceituar a programacao linear do seguinte modo:R E uma tecnica de otimizacao

R E uma ferramenta utilizada para encontrar o lucro maximo ou customınimo em situacoes nas quais temos diversas alternativas de escolhasujeitas a algum tipo de restricao ou regulamentacao.

12.2 Aplicacoes

Na pratica a programacao linear tem sido aplicada em areas tao diversascomo mostram os exemplos seguintes:

• Alimentacao: que alimentos as pessoas (ou animais) devem utilizar,de modo que o custo seja mınimo e os mesmos possuam os nutrientesnas quantidades adequadas, e que tambem atendem a outros requisi-tos, tais como variedades entre as refeicoes, aspecto, gosto, etc.?

• Rotas de Transportes: qual deve ser o roteiro de transporte deveıculos de carga de modo que entreguem toda a carga no menor tempoe no menor custo total?

• Manufaturas: qual deve ser a composicao de produtos a serem fa-bricados por uma empresa de modo que se atinja o lucro maximo,sendo respeitadas as limitacoes ou exigencias do mercado compradore a capacidade de producao da fabrica?

• Siderurgia: quais minerios devem ser carregados no alto-forno demodo a se produzir, ao menor custo, uma liga de aco dentro de deter-minadas especializacoes de elementos quımicos?

• Petroleo: qual deve ser a mistura de petroleo a ser enviada para umatorre de craqueamento para produzir seus derivados (gasolina, oleo,etc.) a um custo mınimo? Os petroleos sao de diversas procedenciase possuem composicoes diferentes.

• Agricultura: que alimentos devem ser plantados de modo que o lucroseja maximo e sejam respeitadas as caracterısticas do solo, do mercadocomprador e dos equipamentos disponıveis?

• Carteira de Investimentos: quais as acoes devem compor uma car-teira de investimentos de modo que o lucro seja maximo e sejam res-peitadas as previsoes de lucratividade e as restricoes governamentais?

• Mineracao: em que sequencia deve-se lavrar blocos de minerio abaixodo solo, dados sua composicao, posicionamento e custos de extracao?

• Localizacao Industrial: onde devem ser localizadas as fabricas eos depositos de um novo empreendimento industrial de modo que oscustos de entrega do produto aos varejistas sejam minimizados?

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UNIVATES – Centro Universitario 182

12.3 Topicos da Programacao Linear

Na Programacao Linear, tanto a funcao objetivo como as restricoes saoequacoes/inequacoes lineares (de primeiro grau) e os resultados para asvariaveis do modelo sao valores reais (contınuos). A Programacao Linearpode ser dividida nos seguintes topicos:

• Programacao Contınua: quando os resultados para as variaveis domodelo sao valores reais (contınuos);

• Programacao Estruturada: o modelo unitario (uma fabrica, ou umproduto, ou uma unidade de tempo) se replica (multi-fabricas, multi-produtos, ou multi-perıodos);

• Programacao Inteira (PI): as variaveis somente admitem solucoesinteiras;

• Programacao Inteira Mista (PIM): podemos ter tanto variaveisde solucoes inteiras como contınuas.

Dentre os topicos acima, a Programacao Contınua e a que historicamentetem sido mais intensamente utilizada. Modelos recentes, todavia, tem ex-plorado bastante os outros topicos, o que tem ocasionado um reaquecimentodo uso da Programacao Linear nas empresas.

12.4 Metodologia de Resolucao

Diante de um problema de Programacao Linear, consideramos as seguin-tes orientacoes para resolve-lo:

1. Estabelecemos a funcao objetivo, isto e, a funcao que queremos maxi-mizar ou minimizar;

2. Transformamos as restricoes impostas no problema num sistema deinequacoes lineares;

3. Tracamos o grafico do polıgono convexo correspondente a essas res-tricoes, determinando as coordenadas dos vertices;

4. Calculamos os valores da funcao objetivo em cada um dos vertices;

5. O maior desses valores e o maximo e o menor e o mınimo da funcaoobjetivo;

6. Voltamos ao problema e damos a sua solucao.

12.5 Conjuntos Convexos

As nocoes abordadas a seguir caracterizam regioes convexas especiais. Oconceito de variedade linear de um espaco vetorial e algo que abrange seussubespacos e as translacoes destes.

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UNIVATES – Centro Universitario 183

Definicao 12.5.1 Um subconjunto A de um e.v. V e uma variedadelinear de V se existe um subespaco W de V e um vetor v0 de V, tal que:

A = {v ∈ V; v = v0 + w para w ∈W}.Notacao: A = v0 +W

Observacao 12.5.2 Se v0 6= 0, entao A nao e um subespaco.

Definicao 12.5.3 Definimos dimensao de A, e denotamos dimA, adimensao de W.

12.5.1 Exemplos

Exemplo 12.5.4 Uma reta (passando pela origem ou nao) e uma vari-edade linear de dimensao 1 no R2.

-

6

µ

q

-

A

W v0

w ∈W

v ∈ A

Figura 12.1: Variedade linear

Exemplo 12.5.5 Um ponto do plano e uma variedade linear de di-mensao zero. X

Exemplo 12.5.6 Todo subespaco e, em particular, uma variedade li-near (v0 = 0). X

Exemplo 12.5.7 Se um sistema de equacoes lineares e possıvel, seuconjunto-solucao e uma variedade linear de dimensao igual ao grau de liber-dade do sistema (verifique!).

Vamos agora apresentar um problema que nos guiara nos itens a seguir.

Exemplo 12.5.8 Suponhamos que um agricultor queira adubar a suaplantacao e disponha de dois tipos de adubo. O primeiro contem 3g de fosforo(P), 1g de nitrogenio (N) e 8g de potassio (K), e custa $10, 00u.m./kg. Osegundo tipo contem 2g de fosforo, 3g de nitrogenio e 2g de potassio, ecusta $8, 00u.m./kg. Sabemos que 1 quilograma de adubo da para 10m2 deterra, e que o solo em que estao suas plantacoes necessita de pelo menos3g de fosforo, 1, 5g de nitrogenio e 4g de potassio a cada 10m2. Quanto oagricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10m2 de terra, de modoa conseguir ter o mınimo custo?

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UNIVATES – Centro Universitario 184

Resolucao

Tipo A Tipo B Necessidades mınimas(x) (y) de adubo

P 3 2 3N 1 3 1, 5K 8 2 4

Custo Custo10u.m. 8u.m.

Tabela 12.1: Quantidades de nutrientes por tipo de adubo

Sejam x e y as quantidades de kg de adubo dos tipos A e B, respectiva-mente. Obviamente, x e y nao podem assumir qualquer valor, uma vez quedevemos ter x ≥ 0 e y ≥ 0. Ademais, x kg do tipo A fornece 3x g de P ,enquanto que y kg do tipo B fornece 2y g de P . Entao, se usarmos x kgde A e y kg de B, estaremos adicionando 3x + 2y gramas e, pela exigenciamınima do solo, devemos ter 3x + 2y ≥ 3.Analogamente, para o nitrogenio e o potassio deveremos ter x + 3y ≥ 1, 5 e8x + 2y ≥ 4. Entao os valores de x e y devem satisfazer simultaneamente:

x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 2y ≥ 3, x + 3y ≥ 1, 5, 8x + 2y ≥ 4.

Facamos o grafico das quantidades x (como abscissa) e y (como orde-nada):

-

6

w

y

w x

P1

P2

P3P4

Figura 12.2: Quantidades de adubo em funcao dos nutrientes

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UNIVATES – Centro Universitario 185

(Obtemos P1(0, 2), P2(1

5 , 65), P3

(67 , 3

14), P4

(32 , 0

).) Isto e, para que os

valores de x e y satisfacam simultaneamente todas as desigualdades, o ponto(x, y) deve estar na regiao hachurada da figura 12.5.1.

Alem disso, queremos que o custo dado pela funcao

f(x, y) = 10x + 8y

seja mınimo, isto e, estamos procurando na regiao hachurada qual e o ponto(x, y) no qual f(x, y) tem o menor valor. Temos C = 10x + 8y, ou seja,y = −5

4x− C8 . Isto da uma famılia de retas. Tracamos entao retas paralelas

e vemos qual a que intersecciona algum vertice ideal. O ponto ideal e P3.Substituımos em f e calculamos C = 144

14 .Para resolver isto, precisamos estudar um pouco mais as propriedades

de conjuntos como a regiao hachurada acima, e das funcoes do tipo f(x, y).Neste nıvel, vamos apenas testar os vertices na funcao objetivo para

verificar qual e o ideal.

Definicao 12.5.9 Sejam A e B dois pontos do Rn. O segmento deextremos A e B e o conjunto AB de pontos Rn, dado por:

AB = {(1− t)A + tB; 0 ≤ t ≤ 1}.

Observacao 12.5.10 Em relacao a definicao 12.5.9, temos:

R Para t = 0 corresponde o ponto A;

R Para t = 1 corresponde o ponto B;

R Para qualquer ponto P do segmento AB, existe t1 ∈ R tal que0 ≤ t1 ≤ 1 e P = (1− t1)A + t1B.

Exemplo 12.5.11 Sejam A = (1, 2) e B = (3,−1) em R2. Dado oponto P = (7

3 , 0) sobre o segmento, podemos escrever

(73, 0) = (1− 2

3)(1, 2) +

23(3,−1),

ou seja, ∃t = 23 tal que 0 ≤ t ≤ 1, de modo que P = (1−t)A+tB. Por outro

lado, se tomarmos t1, tal que 0 ≤ t1 ≤ 1, por exemplo t1 = 12 , e fizermos

P1 = (1− t1)A + t1B = (2,−1),

verificamos (faca isto!) facilmente que P1 esta sobre o segmento AB. X

Definicao 12.5.12 Um subconjunto S do Rn e chamado convexo separa quaisquer dois pontos A e B de S o segmento AB esta inteiramentecontido em S.

A figura seguinte exemplifica um caso particular de conjunto convexo ede conjunto nao convexo.

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UNIVATES – Centro Universitario 186

-

6

~e convexo

6

-

nao e convexo

Figura 12.3: Conjuntos convexos e nao convexos

Teorema 12.5.13 A interseccao de conjuntos convexos e um conjuntoconvexo.

prova: Sejam S1 e S2 dois conjuntos convexos. Precisamos mostrar quese A e B sao dois pontos quaisquer de S1 ∩ S2, entao AB ⊂ S1 ∩ S2. Mas,se A, B ∈ S1 ∩ S2, entao A, B ∈ S1 e como S1 e convexo, AB ⊂ S1. Analo-gamente, mostra-se que AB ⊂ S2. Como AB esta contido simultaneamenteem S1 e em S2, segue que AB ⊂ S1 ∩ S2. Portanto S1 ∩ S2 e convexo.

Definicao 12.5.14 Uma regiao poliedral convexa fechada em Rn

e uma interseccao de uma quantidade finita de semi-espacos fechados 1 doRn.

Observacao 12.5.15 Toda regiao poliedral convexa e um conjunto con-vexo. u

Definicao 12.5.16 Um conjunto A ⊂ Rn e dito limitado se existi-rem constantes ki, i = 1, . . . , n tais que, se (x1, . . . , xn) ∈ A entao xi ≤ ki,i = 1, . . . , n.

1Nao entraremos em detalhes sobre semi-espacos fechados, nem tampouco hiperplanos.Apenas vale lembrar um resultado que diz que um semi-espaco fechado e convexo. O alunointeressado pode pesquisar em [4] ou [13].

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UNIVATES – Centro Universitario 187

-

6

6

-

e limitada

e nao limitada

Figura 12.4: Conjuntos limitados e nao limitados

Observacao 12.5.17

R Numa regiao poliedral convexa, procuramos pontos especiais – osvertices. Na regiao poliedral convexa do exemplo 12.5.8, eles saoos pontos (verifique na figura 12.5.1!)

P1 = (0, 2), P2 = (15,65), P3 = (

67,

314

), e P4 = (32, 0).

R Note que estes pontos sao dados por interseccao de duas retas quedefinem os semi-espacos. Assim, o ponto P2 e dado pela solucao dosistema {

3x + 2y − 3 = 08x + 2y − 4 = 0.

R Note, porem, que o ponto (0, 32) que e solucao do sistema

{3x + 2y − 3 = 0

x = 0

nao pertence a regiao hachurada.

Este comentario nos leva a:

Definicao 12.5.18 Dada uma regiao poliedral convexa fechada do Rn

(determinada por um sistema de inequacoes lineares), os vertices dessaregiao sao os pontos da regiao que satisfazem um dos possıveis sistemas den equacoes lineares independentes, obtidas substituindo-se as desigualdadespor igualdades.

Observacao 12.5.19 Depois de resolver um sistema, a fim de verifi-car se o ponto esta na regiao, testamos para ver se ele satisfaz todas asdesigualdades.

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12.5.2 Caracterizacao Geometrica dos Vertices

Os vertices definidos “algebricamente”em 12.5.18 sao os pontos extre-mos da regiao poliedral convexa. Isto significa que eles sao os pontos daregiao que nao estao contidos no “interior”de nenhum segmento contido naregiao. Formalmente:

Proposicao 12.5.20 P e vertice de uma regiao poliedral convexa R se,e somente se, P esta num segmento AB ⊂ R entao P = A ou P = B.

prova: exercıcio (ver [4]).

Exemplo 12.5.21 A regiao hachurada do exemplo 12.5.8 e descrita pe-las desigualdades

x ≥ 0y ≥ 0

3x + 2y ≥ 3x + 3y ≥ 1, 5

8x + 2y ≥ 4.

Ao substituirmos por igualdades a tomarmos os sistemas de duasequacoes (por serem duas variaveis), obtemos 10 = C5,2 = 5!

2!3! sistemas.Dentre estes, determinaremos os vertices, verificando quais satisfazem ossistemas de inequacoes que definem a regiao. Neste caso, teremos apenas ospontos P1, P2, P3 e P4 nestas condicoes (Verifique!). X

Exemplo 12.5.22 Consideremos a regiao poliedral convexa fechada deR3, dada pelo sistema de inequacoes lineares:

x + y + z ≤ 3y − z ≤ 2

x− 2y ≤ 1x ≥ 0.

Entao os possıveis vertices sao dados pelos sistemas de tres equacoes (porserem tres variaveis)

x + y + z = 3y − z = 2

x− 2y = 1⇒ (3, 1,−1) (esta na regiao, pois satisfaz todas

as inequacoes )

y − z = 2x− 2y = 1

x = 0⇒ (0, −1

2 , −52 ) (esta na regiao)

x + y + z = 3y − z = 2

x = 0⇒ (0, 5

2 , 12) (esta na regiao)

x + y + z = 3x− 2y = 1

x = 0⇒ (0, −1

2 , 72) (esta na regiao).

Agora, em momentos de solidao, faca o desenho da regiao. X

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12.6 Introducao a Programacao Linear

A programacao linear (PL) trata do problema especıfico de: maximi-zar ou minimizar uma funcao do tipo

f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b,

restrita a um subconjunto A poliedral convexo de Rn.

Observacao 12.6.1 Note que f : Rn −→ R e uma transformacaoafim, isto e, f(x) = L(x) + b onde L e uma transformacao linear , b ∈ R.Para maiores detalhes, ver [9] ou [13].

Definicao 12.6.2 Na linguagem de programacao linear (PL), a funcaof da observacao 12.6.1 e chamada funcao objetivo (f.o.) e A e denomi-nada regiao factıvel.

Exemplo 12.6.3 No exemplo 12.5.8, a f.o. e dada porf(x, y) = 10x + 8y e a regiao factıvel e a regiao hachurada A descritapor ∇f =

(∂f∂x , ∂f

∂y

)= (10, 8):

x ≥ 0y ≥ 0

3x + 2y ≥ 3x + 3y ≥ 1, 5

8x + 2y ≥ 4.

Nosso problema e minimizar f restrita a A.

12.6.1 Topicos sobre Produto Interno

Apresentaremos aqui apenas alguns conceitos basicos sobre produtointerno, fundamentais para a compreensao da proxima subseccao. Umestudo aprofundado pode ser feito atraves de [9] ou [13].

Definicao 12.6.4 Seja V um espaco vetorial real. Um produto in-terno sobre V e uma funcao que a cada par de vetores, v1 e v2, associa umnumero real, denotado < v1, v2 >, satisfazendo as propriedades:

1. < v, v > ≥ 0 para todo vetor v, e< v, v > = 0 se, e somente se, v = 0;

2. < αv1, v2 > = α < v1, v2 > para todo real α;

3. < v1 + v2, v3 > = < v1, v3 > + < v2, v3 >;

4. < v1, v2 > = < v2, v1 >.

Exemplo 12.6.5 O produto escalar usual de vetores de R3. Parav = (x1, x2, x3) e w = (y1, y2, y3):

< v, w >= x1y1 + x2y2 + . . . + x3y3.

De modo analogo, pode-se definir o produto interno usual para o Rn.

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O produto interno e usado para caracterizar a nocao de perpendicula-rismo ou ortogonalidade de vetores.

Definicao 12.6.6 Seja V um e.v. com produto interno <, >. Diz-se quedois vetores v e w ∈ V sao ortogonais (em relacao a este produto interno)se < v, w >= 0. Neste caso, escrevemos v ⊥ w.

Propriedade 12.6.7

1. 0 ⊥ v para todo v ∈ V;

2. v ⊥ w ⇒ w ⊥ v;

3. Se v ⊥ w para todo w ∈ V, entao v = 0;

4. Se v1 ⊥ w e v2 ⊥ w, entao v1 + v2 ⊥ w;

5. Se v ⊥ w e λ e um escalar, λv ⊥ w.

prova: ver [4].

12.6.2 Metodo Geometrico

Voltemos ao exemplo 12.5.8. O procedimento que utilizaremos e cha-mado metodo geometrico de resolucao em PL.

Vamos reescrever a f.o. acima, utilizando o produto interno usual do R2.f(x, y) =< (10, 8), (x, y) >, c = (10, 8) e denominado vetor gradiente

e x = (x, y).

Observacao 12.6.8 f e constante nas retas perpendiculares ao vetorc = (10, 8).

De fato: uma reta perpendicular a c pode ser escrita na forma pa-rametrica2 do seguinte modo:

(x, y) = (x?, y?) + λ(−8, 10),

ou seja, x = x? + λc⊥, onde x? = (x?, y?) e o vetor deslocamento que pode-mos tomar na direcao de c. Portanto,

f(x, y) = < c, x > == < c,x? + λc⊥ > == < c,x? > == c · x? cosα e,

neste caso, cosα = 1.

Observacao 12.6.9 Da observacao 12.6.8 pode-se notar que f sera taomenor quanto menor for o deslocamento x?, ou seja, f(x, y) assume seumınimo no ponto (ou pontos) da regiao factıvel que estiver na reta per-pendicular a c, mais proximo da origem. No nosso exemplo, o ponto e(67 , 3

14) = P3 que e um vertice da regiao factıvel.

2Para maiores detalhes sobre parametrizacao de retas, ver [11].

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Exemplo 12.6.10 Uma fabrica produz dois tipos de geradores, tipo A etipo B, e cada um deles deve passar por duas maquinas, C e D. Para fazerum gerador do tipo A, a maquina C deve trabalhar 2 horas e a maquina Ddeve trabalhar 4 horas. Para fazer uma unidade do tipo B, as maquinas C eD devem trabalhar respectivamente, 4 e 2 horas. As maquinas podem traba-lhar 24 horas por dia. Sabe-se que a fabrica tem um lucro de $3000, 00u.m.por um gerador do tipo A e um lucro de $5000, 00u.m. por um do tipo B.Alem disso, ela vende toda a sua producao. Sendo assim, perguntamos:quantos geradores de cada tipo a fabrica deve produzir, para que seu lucroseja maximo?

Resolucao

Chamemos x a quantidade do tipo A e y do tipo B. Se sao fabricados xgeradores do tipo A, o tempo gasto pela maquina C e 2x, e se sao fabricadosy geradores do tipo B, o tempo gasto pela maquina C e 4y, ou seja, o tempototal usado pela maquina C e 2x + 4y, que deve ser menor que 24 horas.Analogamente, temos uma restricao para a maquina D. Entao:

x ≥ 0y ≥ 0

2x + 4y ≤ 244x + 2y ≤ 24

que nos fornece a figura abaixo.

-

6

(4, 4)

4x + 2y = 24

2x + 4y = 24

Figura 12.5: Regiao factıvel

Os vertices sao (0, 0), (6, 0), (4, 4) e (0, 6). A funcao que queremos ma-ximizar e a funcao lucro:

f(x, y) = 3000x + 5000y.

Use o metodo geometrico descrito no exemplo anterior para determinar omaximo de f , observando que, para obter o maximo, voce deve “caminhar”

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na regiao por retas perpendiculares ao vetor gradiente da f.o. e no mesmosentido dele. X

Tipos de Solucao

Baseado no metodo geometrico, ja e possıvel intuir varios tipos desolucao de problemas de programacao linear de duas variaveis.

Vamos considerar todos os tipos possıveis de regioes poliedrais con-vexas no R2 e pesquisar os maximos e mınimos de uma funcaof(x, y) = ax + by + c.

R Regioes ilimitadas sem vertices (tipo 1);

R Regioes ilimitadas com vertices (tipo 2);

R Regiao limitada (portanto, com pelo menos tres vertices) (tipo 3);

R Casos degenerados (reta, semi-reta, segmento, ponto) (tipo 4).

-

6

-

6

- -

6 6

R1 R2

R3

R4

6

-

R5

C

B

A

A

B

Figura 12.6: Classificacao de regioes factıveis

Podemos observar que a funcao f definida acima pode:

R Assumir mınimo em toda reta e nao assumir maximo (R1), ou naoassumir maximo nem mınimo (R2) em regioes do tipo 1;

R Nao assumir nem maximo nem mınimo (R3), ou assumir mınimo nosvertices A e B, portanto assumir mınimo em todo o segmento AB enao assumir maximo (R4), em regioes do tipo 2;

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R Assumir mınimo no vertice A e maximo no vertice C, em regioes dotipo 3 (R5);R Nao assumir nem maximo nem mınimo (reta), assumir maximo novertice e nao assumir mınimo (semi-reta), assumi mınimo num verticee maximo no outro (segmento), ou ter o valor maximo igual ao valormınimo e igual a f(A) (ponto), em regioes do tipo 4.

Resolucao de Problemas para n-Variaveis

Na pratica, e difıcil trabalhar com o procedimento geometrico para qua-tro ou mais variaveis. Mas esta nocao de procurar maximo e mınimos dafuncao objetivo por uma varredura de hiperplanos perpendiculares ao gra-diente nos permite intuit dois fatos cruciais na programacao linear.

Observacao 12.6.11R A funcao objetivo assume necessariamente um valor maximo e umvalor mınimo quando a regiao convexa (factıvel) for limitada;R Os vertices desempenham um papel fundamental na procura demaximos e mınimos para a funcao objetivo.

12.6.3 Teorema Fundamental da PL

Lema 12.6.12 Sejam f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b e P umponto interior a um segmento AB do Rn, isto e, P = λA + (1− λ)B,0 < λ < 1. Entao teremos f(A) ≤ f(P ) ≤ f(B) ou f(B) ≤ f(P ) ≤ f(A).

prova: ver [4], pag. 368.

Observacao 12.6.13 O lema 12.6.12 nos diz que os valores extremosde uma funcao afim sao assumidos nos pontos extremos dos segmentos.

Lema 12.6.14 Seja f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b. Se dentreos valores que f assumir num segmento AB do Rn, o valor maximo(mınimo) for assumido num ponto P do interior deste segmento, entao fsera constante em AB.

prova: exercıcio.

Teorema 12.6.15 (Teorema Fundamental da Programacao Li-near)

Seja f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b definida numa regiao polie-dral convexa A do Rn. Suponha que f assuma um valor maximo (mınimo)nesta regiao. Entao, se A possui vertice(s), este valor maximo (mınimo)sera assumido num vertice.

prova: ver [4], paginas 369, 370.

Observacao 12.6.16 O teorema 12.6.15 permite, nos casos em que,pela natureza da funccao, ja sabemos que ela assume maximo (mınimo)encontra-lo apenas determinando seus valores nos vertices da regiao poliedralconvexa.

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Regioes Limitadas

Quando a regiao A for limitada, teremos necessariamente maximo emınimo, para qualquer funcao objetivo. Para mostrar este fato, recorre-mos a solucao geometrica dos problemas de PL. Note que, ao varrermos oRn por hiperplanos perpendiculares ao vetor gradiente da f.o., sempre to-caremos a regiao A uma primeira e uma ultima vez. Ademais, uma regiaopoliedral convexa limitada claramente possui vertices (por que?). Isto nospermite reescrever o teorema fundamental da PL para este caso:

Teorema 12.6.17 Seja f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b definidanuma regiao poliedral convexa limitada A. Entao f assume seus valoresmaximo e mınimo nos vertices de A.

12.6.4 Conclusao

Tanto a determinacao de vertices (resolucao de sistema lineares) quantoo calculo da f.o. nestes sao possıveis atraves de algoritmos e de programacaopara calculadoras, microcomputadores e computadores. O mais conhecidoe o metodo simplex. O aluno interessado pode pesquisar mais sobre estemetodo em [4] ou [20]. E possıvel que estes assuntos sejam novamente abor-dados num curso de Calculo Numerico. Ate la!

12.7 Exercıcios de Fixacao e Problemas deAplicacao

Exercıcio 12.7.1 (Um problema de dieta) Para manter a suasaude, uma pessoa necessita preencher certos requisitos mınimos de con-sumo diario de diversos tipos de nutrientes. Suponhamos, por simplicidade,que apenas tres tipos de nutrientes sejam necessarios: calcio, proteına e ca-lorias. Alem disso, suponhamos tambem que a dieta da pessoa em questaoconsista em apenas dois alimentos, I e II, cujos precos e conteudos nu-tritivos sao mostrados na tabela abaixo, onde tambem listamos o requisitomınimo diario de cada nutriente.

Alimento I (por Kg) Alimento II (por Kg) Requisito mınimoPreco R$0, 60 R$1, 00 diarioCalcio 10 4 20

Proteına 5 5 20Calorias 2 6 12

Qual a combinacao dos dois alimentos que satisfaz o requisito diario egera o custo mınimo?

Exercıcio 12.7.2 (Problema de producao) Uma firma produz duaslinhas de produtos, I e II, com uma planta que contem tres departamentosde producao: corte, mistura e embalagem.

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O equipamento em cada departamento pode ser operado 8 horas por dia;portanto, podemos considerar as 8 horas como a capacidade diaria de cadadepartamento.

O processo de producao pode ser resumido da seguinte maneira: O pro-duto I e primeiro cortado, e entao embalado. Cada tonelada desse produtoconsome 1

2 hora da capacidade de corte e 13 de hora da capacidade de embala-

gem. O produto II e primeiro misturado e, entao, embalado. Cada toneladadeste produto consome 1 hora da capacidade de mistura e 2

3 de hora dacapacidade de embalagem. Os produtos I e II sao vendidos aos precos deR$80, 00 e R$60, 00 por tonelada, respectivamente. Mas, deduzindo os cus-tos variaveis, eles geram R$40, 00 e R$30, 00 lıquidos por tonelada. Estesultimos valores podem ser considerados como receitas lıquidas (deduzidos oscustos variaveis) ou lucros brutos (incluıdos os custos fixos). Para simplifi-car, referir-nos-emos a eles como “lucros por tonelada”.

Que combinacao de nıveis de producao a firma deve escolher para maxi-mizar o lucro total?

Exercıcio 12.7.3 Dois produtos P e Q contem as vitaminas A, B e Cem quantidades indicadas na tabela. A ultima coluna indica a quantidademınima necessaria de cada vitamina para uma alimentacao sadia, e a ultimafila indica o preco de cada produto por unidade.

P Q –A 3 1 12B 3 4 30C 2 7 28

3 2 –

Que quantidade de cada produto deve conter uma dieta para que propor-cione uma alimentacao sadia com o mınimo de custo?

Exercıcio 12.7.4 Um comerciante vende dois tipos de artigos, A e B.Na venda do artigo A tem um lucro de 20 u.m por unidade e na venda doartigo B, um lucro de 30 u.m.. Em seu deposito so cabem 100 artigos esabe-se que por compromissos ja assumidos vendera pelo menos 15 artigosdo tipo A e 25 do tipo B. O distribuidor pode entregar ao comerciante, nomaximo, 60 artigos A e 50 artigos B.

Quantos artigos de cada tipo devera o comerciante encomendar ao dis-tribuidor para que, supondo que os venda todos, obtenha o lucro maximo?

Exercıcio 12.7.5 (Problema de transporte) Uma firma comercialtem 40 unidades de mercadoria no deposito I e 50 unidades no depositoII. Deve enviar 30 unidades ao cliente A e 40 ao cliente B. Os gastos detransporte, por unidade de mercadoria, estao indicados no esquema a seguir.

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40I

50II

&%

'$

&%

'$

A

B

30

40

-

-

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ~

½½

½½

½½

½½

½½

½½

½½

½½>

10

15

12

14

De que maneira deve enviar estas mercadorias para que o gasto com otransporte seja mınimo?

Exercıcio 12.7.6 Uma companhia dispoe de um maximo de2400, 00 u.m. para fazer propaganda de seus produtos atraves da tele-visao ou de um jornal diario. Cada hora da televisao custa 400, 00 u.m. ecada pagina do jornal custa 300, 00 u.m.. A audicao de televisao alcanca120000 pessoas e a pagina do jornal e lida por 80000 pessoas. Os diretoresda companhia exigem que se utilizem pelo menos 2 horas de televisao e 1pagina do jornal.

Como deve distribuir a companhia o resto do dinheiro dedicado a propa-ganda para atingir o numero maximo de pessoas?

Exercıcio 12.7.7 Uma fabrica manufatura dois produtos, cada um re-querendo o uso de 3 maquinas. A primeira maquina pode ser usada nomaximo 70 horas; a segunda maquina, no maximo 40 horas; e a terceiramaquina, no maximo 90 horas. O primeiro produto requer 2 horas namaquina I, 1 hora na maquina II e 1 hora na maquina III. O segundo pro-duto requer 1 hora em cada uma das maquinas I e II e 3 horas na maquinaIII. Se o lucro e de 40, 00 u.m. para o primeiro produto e 60, 00 u.m. parao segundo produto, quantas unidades de cada produto deveriam ser manufa-turadas para tornar o lucro maximo?

Exercıcio 12.7.8 Suponhamos que uma pessoa necessite, no mınimo,de 60 unidades de carboidratos, 40 unidades de proteına e 35 unidades degordura por mes. O alimento A contem 5, 3 e 5 unidades de carboidratos,proteınas e gordura, respectivamente, por quilo. O alimento B contem 2, 2e 1 unidade de carboidratos, proteınas e gordura, respectivamente, por quilo.Se A custa 1, 50 u.m. por quilo e B custa 0, 70 u.m. por quilo, quantos quilosde cada alimento deveriam ser comprados por mes para minimizar o custo,atendendo as necessidades mınimas?

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Exercıcio 12.7.9 Uma fabrica de computadores produz dois modelos decomputador: A e B. O modelo A fornece um lucro de R$180, 00 e B deR$300, 00. O modelo A requer, na sua producao, um gabinete pequeno euma unidade de disco. O modelo B, requer um gabinete grande e duasunidades de disco. Existem no estoque 60 unidades do gabinete pequeno, 50do gabinete grande e 120 unidades de disco. Qual deve ser a producao quemaximiza o lucro?

Exercıcio 12.7.10 Um fazendeiro esta estudando a divisao de sua pro-priedade nas seguintes atividades produtivas:

A (Arrendamento) - destinar certa quantidade de alqueires para aplantacao de cana-de-acucar a uma usina local que se encarrega da ativi-dade, e paga pelo aluguel da terra R$300, 00 por alqueire por ano;

P (Pecuaria) - usar outra parte para a criacao de gado de corte. A re-cuperacao das pastagens requer adubacao (100 Kg por alqueire) e irrigacao(100.000 litros de agua por alqueire) por ano. O lucro estimado nessa ativi-dade e de R$400, 00 por alqueire por ano;

S (Plantio de soja) - usar uma terceira parte para o plantio de soja.Essa cultura requer 200 Kg por alqueire de adubos e 200.000 litros de aguapor alqueire para irrigacao por ano. O lucro estimado nesta atividade e deR$500, 00 por alqueire no ano.

Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 litros de agua,14.000 Kg de adubo e 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deveradestinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?

Exercıcio 12.7.11 Uma refinaria de petroleo deseja encontrar a ma-neira otima de cumprir um contrato de fornecimento de gasolina de aviacaoe gasolina comum. Segundo este contrato, deve-se fornecer diariamente ummınimo de 1000 barris de gasolina de aviacao e 2000 barris de gasolina co-mum. A unidade que se responsabilizara pela entrega tem uma capacidademaxima de producao de 10000 barris por dia, indistintamente. As gasolinasdevem ser transportadas ate seus depositos, cujas distancias da unidade sao10 km e 30 km, respectivamente. A capacidade maxima de transporte darefinaria e de 186.000 barris por quilometro. Sabendo-se que a gasolina deaviacao da um lucro de R$1, 00 e a comum R$2, 00, pede-se o esquema deproducao que maximiza o lucro da refinaria com relacao ao citado contrato.

Exercıcio 12.7.12 Um sapateiro faz 6 sapatos por hora (se fizer so-mente sapatos), e 5 cintos por hora (se fizer somente cintos). Ele gasta 2unidades de couro para fabricar uma unidade de sapato e uma unidade decouro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponıvelde couro e de 6 unidades e que o lucro unitario por sapato e de 5 u.m. e o docinto e de 2 u.m., pede-se: o modelo do sistema de producao do sapateiro,se o objetivo e maximizar seu lucro por hora.

Exercıcio 12.7.13 Certa empresa fabrica 2 produtos A e B. O lucropor unidade de A e de 100 u.m. e o lucro unitario de B e de 150 u.m..A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de A e 3 horaspara fabricar uma unidade de B. O tempo mensal disponıvel para essas

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atividades e de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtoslevaram a empresa a decidir que os montantes produzidos por A e B naodevem ultrapassar 40 unidades de A e 30 unidades de B por mes. Construao modelo do sistema de producao mensal com o objetivo de maximizar olucro da empresa.

Exercıcio 12.7.14 Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixasde frutas para a sua regiao de vendas. Ele necessita transportar 200 caixasde laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pessegos a10 u.m. de lucro por caixa, e no maximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m.de lucro por caixa. De que forma devera ele carregar o caminhao para obtero lucro maximo?

Exercıcio 12.7.15 Uma rede de televisao local tem o seguinte problema:foi descoberto que o programa A com 20 minutos de musica e 1 minuto depropaganda chama a atencao de 30000 telespestadores, enquanto o programaB, com 10 minutos de musica e 1 minuto de propaganda chama a atencao de10000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insisteno uso de, no mınimo, 5 minutos para sua propaganda e que nao ha verbapara mais de 80 minutos de musica.

Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar paraatingir o numero maximo de telespectadores?

Exercıcio 12.7.16 Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro.O modelo I, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricacao emrelacao ao modelo II. Se todos os cintos fossem do modelo II, a empresapoderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permitefabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelasdiferentes, cuja disponibilidade diaria e de 400 para o modelo I e 700 parao modelo II. Os lucros unitarios sao de R$4, 00 para o modelo I e R$3, 00para o II.

Qual o programa otimo de producao que maximiza o lucro total diarioda empresa?

Exercıcio 12.7.17 Um fabricante de joias fabrica apenas brincos e co-lares. Ele tem um lucro de R$45, 00 em cada brinco e R$80, 00 em cada colarvendido. Supoe-se que devido a forte demanda destes itens consiga-se vendertoda a producao da fabrica. Mas, a producao da firma e limitada por doisaspectos: em cada brinco utiliza-se 5 unidades de ouro. Da mesma forma,cada colar produzido utiliza 20 unidades de ouro. Dispomos um total de 400unidades de ouro. Cada brinco produzido gasta 10 homens-hora e cada colargasta 15 homens-hora. Dispomos de um total de 450 homens-hora. O obje-tivo do fabricante e descobrir qual a quantidade otima de brincos e colaresa serem fabricados, de tal modo que o lucro total seja o maior possıvel.

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UNIVATES – Centro Universitario 199

12.8 Respostas dos Principais Exercıcios doCapıtulo

12.7.1 (3, 1): C = 0, 6x + 1y, 10x + 4y ≥ 20, 5x + 5y ≥ 20, 2x + 6y ≥ 12;fomin(3, 1) = 2, 80

12.7.2 (16, 4): sao C5,2 = 10 sistemas com 2 equacoes cada. TemosC M E

I 1/2 0 1/3II 0 1 2/3

, I ≥ 0, II ≥ 0, 13I + 2

3II ≤ 8 (embalagem),

II ≤ 8 (mistura), 12I ≤ 8 (corte), L(I, II) = 40I + 30II. Apenas 5

pontos estao na regiao

12.7.3 (2, 6): C(P, Q) = 3P + 2Q. Apenas 4 pontos estao na regiao,C(2, 6) = 18

12.7.4 (50, 50): x unidades de A, y unidades de B, L(x, y) = 20x + 30y,x + y ≤ 100, x ≤ 60, y ≤ 50, x ≥ 15, y ≥ 25. Apenas 5 pontos estaona regiao

12.7.5 O gasto mınimo se obtera enviando 30 unidades de mercadoria de Ia A, 10 de I a B, 30 de II a B e nenhuma de II a A. De fato, por I:x + y ≤ 40, por II: z + w ≤ 50, por A: x + z = 30 donde z = 30− x,por B: y+w = 40 donde w = 40−y. Entao simplificando: x+y ≤ 40,(30− x) + (40− y) ≤ 50 (i.e., x + y ≥ 20), x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, w ≥ 0.O gasto e G(x, y, z, w) = 10x + 14y + 12z + 15w ou, simplificando,G(x, y) = 960− 2x− y. Ha somente 5 pontos na regiao

12.7.6(21

4 , 1): T ≥ 2, J ≥ 1, 400T + 300J ≤ 2400, N = 12000T + 8000J

12.7.7 (15, 25): L = 40A + 60B,

produto A BM1 2 1 ≤ 70M2 1 1 ≤ 40M3 1 3 ≤ 90

12.7.8 (10, 5): C = 1, 5x + 0, 70y,

A Bcarboidratos 5 2 ≥ 60

proteınas 3 2 ≥ 40gorduras 5 1 ≥ 35

12.7.9 L(60, 30) = 19800: L = 180A + 300B

12.7.10 LT = 300x+400y+500z, y+2z ≤ 140, 10y+20z ≤ 1275, x+y+z ≤100, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

12.7.11 L = 1av + 2com, av ≥ 1000, com ≥ 2000, av + com ≤ 10000,10av + 30com ≤ 186000

12.7.12 O sapateiro faz 1 calcado em 10 minutos, e 1 cinto em 12 minutos.sapato cinto

rendimento 10 12 ≤ 60couro 2 1 ≤ 6

, L = 5x + 2y

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UNIVATES – Centro Universitario 200

12.7.13 (15, 30): L = 100x + 150y

12.7.14 (400, 200): L = 20 l︸︷︷︸=200

+10p + 30t = 4000 + 10p + 30t, p ≥ 100,

t ≤ 200, p + t ≤ 600

12.7.15 (3, 2): 30000x + 10000y

12.7.16 (200, 600): L = 4x+3y, 2x+y ≤ 1000, x+y ≤ 800, x ≤ 400, y ≤ 700

12.7.17 (24, 14): sejam x =brinco e y =colar, L = 45x+80y, 5x+20y ≤ 400,10x + 15y ≤ 450

CHAETINGER

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Capıtulo 13

Curvas Conicas

As curvas conicas sao obtidas atraves da intersecao de um plano eum cone de revolucao. Dependendo da maneira com ocorre esta intersecao,podemos obter as seguintes curvas: elipse, parabola, hiperbole ou um simplesponto.

13.1 A Elipse

Definicao 13.1.1 Elipse e uma curva plana descrita por um ponto Pque se desloca de modo que a soma de suas distancias a dois pontosfixos F1 e F2 permanece constante igual a 2a, onde

a > c =dist(F1, F2)

2: || ~PF1||+ || ~PF2|| = 2a .

Elementos da elipse:

• F1, F2: focos

• || ~F1F2|| = 2c: distancia focal

• ~B1B2, tal que B1B2 ⊥ A1A2 no ponto medio: eixo menor

|| ~B1B2|| = 2b

• O = A1A2 ∩B1B2: centro

• A1, A2, B1, B2: vertices

• ~A1A2: eixo maior (contem os focos)

|| ~A1A2|| = 2a

201

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UNIVATES – Centro Universitario 202

• 0 < e = ca < 1: excentricidade

Observe que, como a e a metade do eixo maior, b e a metade do eixomenor, e c e a metade da distancia focal, segue que a2 = b2 + c2. Logo

e =√

a2 − b2

a.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-6 -4 -2 0 2 4 6

A1 A2

B1

B2

F1A1 A2

B1

B2

F1 F2

b

cA1 A2

B1

B2

F1 F2

b

c--

6

--

6

--

6

13.1.1 Equacao Reduzida da Elipse com Centro na Origeme Focos sobre os Eixos Coordenados

a) Focos sobre o Eixo ~OX: F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0), A1 = (−a, 0),A2 = (a, 0), B1 = (0, b), B2 = (0,−b)

Seja P = (x, y) ∈ R2. Entao P e ponto da elipse⇔ || ~PF1||+ || ~PF2|| = 2a ⇔⇔

√(−c− x)2 + (−y)2 +

√(c− x)2 + (−y)2 = 2a ⇔

⇔√

(−c− x)2 + (−y)2 = 2a−√

(c− x)2 + (−y)2 ⇔⇔ c2 + 2cx + x2 + y2 = 4a2 − 4a

√(c− x)2 + y2 + c2 − 2cx + x2 + y2 ⇔

⇔ 4a√

(c− x)2 + y2 = 4a2 − 4cx ⇔⇔ a2(c2 − 2cx + x2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2 ⇔⇔ a2x2 − c2x2 + a2y2 = a4 − a2c2 ⇔⇔ (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2) ⇔

(como a > c e a2 = b2 + c2)⇔ b2x2 + a2y2 = a2b2 ⇔ x2

a2 + y2

b2= 1.

Sendo assim, a equacao reduzida da elipse com centro na origem esemi-eixos a (semi-eixo maior) e b e dada por:

x2

a2 + y2

b2= 1 .

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UNIVATES – Centro Universitario 203

b) Focos sobre o Eixo ~OY : F1 = (0,−c), F2 = (0, c), A1 = (0,−a),A2 = (0, a), B1 = (−b, 0), B2 = (b, 0)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-10 -5 0 5 10

A2

A1

B1 B2

F2

F1

x

A2

A1

B1 B2

F2

F1

xy’

yx’

-¾ -¾

6

Considere a seguinte mudanca de variavel nos eixos coordenados: se-jam x′ = y e y′ = −x. Entao em relacao ao sistema de eixos co-ordenados x′y′ a elipse tem seu eixo maior em OX ′, e seu eixo me-nor em ~OY ′. Pelo item anterior, a equacao da elipse e dada por:(x′)2a2 + (y′)2

b2= 1. Substituindo as variaveis e efetuando os calculos,

obtemos que a equacao reduzida da elipse com centro na origem esemi-eixos a e b e dada por:

x2

b2+ y2

a2 = 1 .

Exercıcio 13.1.2 Determine a equacao da elipse de centro na origem,sabendo que:

1. O eixo maior mede 8 cm e os focos sao F = (3, 0) e F ′ = (−3, 0);

2. O eixo maior mede 20 cm, o comprimento do eixo menor e igual adistancia focal e os focos estao sobre o eixo ~OY ;

3. Passa pelos pontos(√2

2 , 1),(−√32 ,

√22

).

13.1.2 Equacao da Elipse Cujos Eixos sao Paralelos aos EixosCoordenados

a) Eixo Maior Paralelo ao Eixo ~OX: o centro da elipse e dado porO′ = (h, k). Efetuando a mudanca de variavel nos eixos coordenados(translacao de eixos) x′ = x − h, y′ = y − k, obtemos a equacao(x′)2a2 + (y′)2

b2= 1. Substituindo x′ e y′ obtemos a equacao reduzida da

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UNIVATES – Centro Universitario 204

elipse com centro no ponto O′ = (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo~OX:

(x−h)2a2 + (y−k)2

b2= 1.

b) Eixo Maior Paralelo ao Eixo ~OY : analogamente, temos que(x′)2b2

+ (y′)2a2 = 1. Portanto, a equacao reduzida em questao e dada por:

(x−h)2b2

+ (y−k)2a2 = 1.

Exercıcio 13.1.3 Determine a equacao da elipse tal que:

1. Os focos sao os pontos F1 = (−1, 3) e F2 = (5, 3), e o eixo maior mede10 cm;

2. O eixo maior tem extremos A1 = (2,−3) e A2 = (2, 5), e a excentrici-dade e 3

4 .

Exercıcio 13.1.4 Determine as coordenadas do centro e dos focos daelipse de equacao 4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0.

13.1.3 Posicao Relativa entre Reta e Elipse

Existem tres posicoes relativas entre uma reta r e uma elipse, a saber:

1. r e exterior a elipse: r ∩ elipse = ∅;2. r e tangente a elipse: r ∩ elipse = {0};3. r e secante a elipse: r ∩ elipse = {P,Q}

Exemplo 13.1.5 Determine a equacao da elipse tangente a reta r dadapor r: x+4y− 10 = 0 e que passa pelo ponto A = (4,−1), sabendo que seuseixos estao contidos nos eixos coordenados.

SolucaoA equacao da elipse e dada por x2

a2 + y2

b2= 1. Como A ∈ elipse, segue

que 16a2 + 1

b2= 1. Donde 16b2 + a2 = a2b2.

Por outro lado, r: x = 10−4y. Sendo assim, r∩ elipse: (10−4y)2a2 + y2

b2= 1.

O que implica em b2(100−80y+16y2)+a2y2 = a2b2. Ou seja, (16b2+a2)y2−80b2y +(100b2−a2b2) = 0. Vimos acima que a2b2 = 16b2 +a2. Entao temosque a2y2 − 80y + (100− a2) = 0.

Como r e tangente a elipse, devemos ter ∆ = 0 na equacao acima, i.e.,a4 − 100a2 + 1600 = 0, donde a2 = 80 ou a2 = 20. Portanto, b2 = 5

4 oub2 = 5.

Finalmente, as equacoes das elipses sao x2

80 + y2

54

= 1 ou x2

20 + y2

5 = 1. X

Observacao 13.1.6 A circunferencia e uma elipse em que os focos coin-cidem com o centro e a excentricidade e nula.

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UNIVATES – Centro Universitario 205

Exemplo 13.1.7 Dada a circunferencia de equacao x2 + y2 = 9, po-demos escrever a equacao reduzida da elipse como x2

9 + y2

9 = 1. Logo,a2 = b2 = 9; a = b = 3. Segue que c2 = a2− b2 = 0, donde c = 0. Assim, osfocos sao F1 = F2 = 0, e a excentrididade e dada por e = c

a = 03 = 0. X

13.2 A Parabola

Definicao 13.2.1 Parabola e o lugar geometrico dos pontos do planoque sao equidistantes de um ponto F e de uma reta d, i.e. P = (x, y) e umponto da parabola se, e somente se, d(P, F ) = d(P, d).

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-10 -5 0 5 10

d

F

Os elementos da parabola sao os seguintes:

• F : foco;

• d: diretriz;

• r ⊥ d, F ∈ r: eixo de simetria;

• V ∈ r, d(V, d) = d(V, F ): vertice;

• d(F, d) = p: parametro

13.2.1 Equacao Reduzida da Parabola com Vertice na Ori-gem e Foco sobre um dos Eixos Coordenados

1. Foco sobre o Eixo ~OX:

(a) Equacao Reduzida da Parabola com Vertice na Origeme Foco sobre o Eixo ~OX, x > 0: F =

(p2 , 0

), d: x = −p

2 . SejaP = (x, y) ∈ R2 e seja M =

(−p2 , y

) ∈ d (note que yd = yP ).

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UNIVATES – Centro Universitario 206

Entao P e um ponto da parabola se, e somente se,d(P, F ) = d(P, d) ⇔ || ~PF || = || ~PM || ⇔

⇔√(p

2 − x)2 + y2 =

√(−p2 − x

)2 + 02 ⇔⇔ p2

4 − px + x2 + y2 = p2

4 + px + x2 ⇔⇔ y2 = 2px .

(b) Equacao Reduzida da Parabola com Vertice na Origeme Foco sobre o Eixo ~OX, x < 0: F =

(−p2 , 0

), d: x = p

2 ,M =

(p2 , y

). Facamos a mudanca de variavel nos eixos coordena-

dos: x′ = −x, y′ = y. Entao em relacao ao sistema x′y′ a equacaoda parabola e dada por (y′)2 = 2px′. Donde y2 = −2px .

2. Foco sobre o Eixo ~OY :

(a) Equacao Reduzida da Parabola com Vertice na Origeme Foco sobre o Eixo ~OY , y > 0: F =

(0, p

2), d: y = −p

2 ,M =

(x,−p

2). Facamos a mudanca de variavel nos eixos coorde-

nados: x′ = y, y′ = −x. Entao (y′)2 = 2px′, donde x2 = 2py .

(b) Equacao Reduzida da Parabola com Vertice na Origeme Foco sobre o Eixo ~OY , y < 0: F =

(0,−p

2), d: y = p

2 ,M =

(x, p

2). Facamos a mudanca de variavel nos eixos coordena-

dos: x′ = y, y′ = −x. Entao (y′)2 = −2px′, donde x2 = −2py .

Entao:

-100

-50

0

50

100

-10 -5 0 5 10

Exercıcio 13.2.2 Determine a equacao da parabola com vertice na ori-gem, sabendo que:

1. O foco e o ponto F = (0,−3);

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UNIVATES – Centro Universitario 207

2. A diretriz e a reta d: 2x− 3 = 0;

3. O eixo de simetria e o eixo ~OY e ela contem o ponto P = (−2, 3).

13.2.2 Equacao Reduzida da Parabola Cujo Eixo de Simetriae Paralelo a um dos Eixos Coordenados

1. Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo ~OX: facamos a mudanca devariavel nos eixos coordenados: x′ = x−h, y′ = y−k, onde V ′ = (h, k)e o vertice da parabola. Entao temos que

(a) Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo ~OX, x > h:(y′)2 = 2px′, donde (y − k)2 = 2p(x− h) .

(b) Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo ~OX, x < h:(y′)2 = −2px′, donde (y − k)2 = −2p(x− h) .

2. Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo ~OY : facamos a mudanca devariavel nos eixos coordenados: x′ = x−h, y′ = y−k, onde V ′ = (h, k)e o vertice da parabola. Entao temos que

(a) Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo ~OY , y > k: (x′)2 = 2py′,donde (x− h)2 = 2p(y − k) .

(b) Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo ~OY , y < k: (x′)2 = −2py′,donde (x− h)2 = −2p(y − k) .

Exercıcio 13.2.3 Determine a equacao da parabola cujo eixo de sime-tria e paralelo a um dos eixos coordenados e:

1. O foco e o ponto F = (4, 2) e o vertice e V = (−2, 2);

2. O foco e o ponto F = (1, 3) e a diretriz e a reta d: x− 7 = 0.

Exercıcio 13.2.4 Determine as coordenadas do vertice e o parametrodas parabolas:

1. y2 − 6y − 12x− 15 = 0;

2. x2 − 2x− y − 3 = 0.

13.2.3 Posicao Relativa entre Reta e Parabola

Existem tres posicoes relativas entre uma reta r e uma parabola, a saber:

• A reta r e secante a parabola;

• A reta r e tangente a parabola;

• A reta r e exterior a parabola.

Exemplo 13.2.5 Verifique se a reta r: 5x − y − 15 = 0 e tangente aparabola y2 = −5x.

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UNIVATES – Centro Universitario 208

Solucao

Basta resolver o sistema{

y2 = −5x5x− y = 15

. Por substituicao, e facil

obtermos 5x2 − 29x + 45 = 0. Calculando ∆ desta equacao, resulta que∆ = 225− 900 < 0. Logo a reta e exterior a parabola. X

13.3 A Hiperbole

Definicao 13.3.1 Hiperbole e o lugar geometrico dos pontos do planocujo modulo da diferenca entre as distancias a dois pontos fixos F1e F2 e constante igual a 2a, onde a < c = dist(F1,F2)

2 . Ou seja,∣∣∣|| ~PF1|| − || ~PF2||∣∣∣ = 2a.

-15

-10

-5

0

5

10

15

-10 -5 0 5 10

A1 A2

B1

B2

F1 F2

r

s

Elementos:

• F1, F2: focos;

• || ~F1F2|| = 2c: distancia focal;

• O = F1+F22 : centro;

• A1, A2: vertices;

• A1A2: eixo transverso (|| ~A1A2|| = 2a);

• B1B2: eixo conjugado (|| ~B1B2|| = 2b, b =√

c2 − a2, define-se b demodo que c2 = a2 + b2);

• r, s: assıntotas: y = ba , y = − b

ax;

• e = ca > 1: excentricidade

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UNIVATES – Centro Universitario 209

13.3.1 Equacao Reduzida da Hiperbole com Centro na Ori-gem e Focos sobre os Eixos

1. Focos sobre o Eixo ~OX: F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0), A1 = (−a, 0),A2 = (a, 0), B1 = (0, b), B2 = (0,−b). Seja P = (x, y) ∈ R2. EntaoP e um ponto da hiperbole se, e somente se,

∣∣∣|| ~PF1|| − || ~PF2||∣∣∣ = 2a ⇔

⇔ || ~PF1|| − || ~PF2|| = ±2a ⇔⇔

√(−c− x)2 + (0− y)2 −

√(c− x)2 + (0− y)2 = ±2a ⇔

⇔√

(−c− x)2 + y2 = ±2a +√

(c− x)2 + y2 ⇔⇔ c2 + 2cx + x2 + y2 = 4a2 ± 4a

√(c− x)2 + y2 + c2 − 2cx + x2 + y2 ⇔

⇔ 4cx− 4a2 = ±4a√

(c− x)2 + y2 ⇔⇔ cx− a2 = ±a

√(c− x)2 + y2 ⇔

⇔ c2x2 − 2a2cx + a4 = a2(c2 − 2cx + x2 + y2) ⇔⇔ (c2 − a2)x2 − a2y2 = a2c2 − a4 − 2a2cx + 2a2cx ⇔

(como c2 = a2 + b2)⇔ b2x2 − a2y2 = a2(c2 − a2) ⇔⇔ b2x2 − a2y2 = a2b2 ⇔⇔ x2

a2 − y2

b2= 1 .

2. Focos sobre o Eixo ~OY : F1 = (0, c), F2 = (0,−c), A1 = (0, a),A2 = (0,−a), B1 = (b, 0), B2 = (−b, 0). Facamos a seguinte mudancade variaveis nos eixos coordenados: x′ = y, y′ = x. Entao, em relacaoao sistema x′y′, a equacao da hiperbole e dada por (x′)2

a2 − (y′)2b2

= 1.

Efetuando os calculos, obtemos: y2

a2 − x2

b2= 1 .

13.3.2 Equacao Reduzida da Hiperbole Cujos Eixos sao Pa-ralelos aos Eixos Coordenados

1. Eixo Transverso Paralelo ao Eixo ~OX: seja O′ = (h, k) o centroda hiperbole. Entao fazendo a mudanca de variavel nos eixos coorde-nados: x′ = x−h, y′ = y−k, obtemos a equacao x′2

a2 − y′2b2

= 1. Donde

a equacao da hiperbole e dada por: (x−h)2a2 − (y−k)2

b2= 1 . Note que,

neste caso, F1 = (−c + h, k), F2 = (c + h, k).

2. Eixo Transverso Paralelo ao Eixo ~OY : seja O′ = (h, k) o centroda hiperbole. Entao fazendo a mudanca de variavel nos eixos coorde-nados: x′ = x−h, y′ = y−k, obtemos a equacao y′2

a2 − x′2b2

= 1. Donde

a equacao da hiperbole e dada por: (y−k)2a2 − (x−h)2

b2= 1 . Note que,

neste caso, F1 = (h, c + k), F2 = (h,−c + k).

Exercıcio 13.3.2 Determine a equacao da hiperbole cujos focos sao ospontos F1 = (−4, 0) e F2 = (4, 0), sabendo que o eixo conjugado mede 4 cm.

Exercıcio 13.3.3 Determine a equacao da hiperbole cujos focos sao ospontos F1 = (2,−3) e F2 = (2, 5), e a excentricidade e 2.

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UNIVATES – Centro Universitario 210

Exercıcio 13.3.4 Determine as coordenadas do centro e dos focos, e amedida dos semi-eixos das hiperboles:

1. 9y2 − 4x2 = 36;

2. 9x2 − 16y2 − 54x− 32y − 79 = 0.

Observacao 13.3.5 Existe um tipo especial de hiperbole, chamadahiperbole equilatera. Trata-se do caso particular em que a = b. Nestecaso, e = c

a =√

a2+b2

a =√

2a2

a = a√2a =

√2.

13.3.3 Posicao Relativa entre Reta e Hiperbole

Sejam r uma reta e H uma hiperbole. Existem tres posicoes relativasentre r e H:

• A reta e externa a hiperbole: r ∩H = ∅;• A reta e tangente a hiperbole: r ∩H = {T};• A reta e secante a hiperbole: r ∩H = {P, Q}.

Exemplo 13.3.6 Verifique a posicao relativa entre a reta r: x−y+3 = 0e a hiperbole de equacao x2

12 − y2

3 = 1.

SolucaoDe r: y = x + 3, obtemos x2

12 − (x+3)23 = 1. Donde x2 + 8x + 16 = 0.

Como ∆ = 64− 64 = 0, segue que a reta r e tangente a hiperbole.Agora e facil ver que o ponto de tangencia e T = (−4,−1). X

13.4 Equacoes de Conicas com Eixo(s) Nao Para-lelo(s) aos Eixos Coordenados

Quando o(s) eixo(s) nao e(sao) paralelo(s) aos eixos coordenados, houveuma rotacao de eixos:

Seja P um ponto do plano. Em relacao ao sistema canonico de coorde-nadas XOY , o ponto e dado por P = (x, y). Por outro lado, considerandoum novo sistema de coordenadas X ′OY ′, rodado de um angulo α no sentidoanti-horario, as coordenadas de P sao dadas por P = (x′, y′). Em relacao aeste sistema de eixos, podemos identificar o ponto P atraves de r e θ, onder = OP e θ e o angulo ∠POX ′. Sendo assim, e facil mostrar que x′ = r cos θ,y′ = r sin θ. Portanto,

x = r cos(θ + α) = r cos θ cosα− r sin θ sinα = x′ cosα− y′ sinα,

y = r sin(θ + α) = r sin θ cosα + r sinα cos θ = y′ cosα + x′ sinα.

Como havıamos visto em capıtulos anteriores, a equacao da rotacao deum angulo −α e dada por: x = x′ cosα − y′ sinα, y = x′ sinα + y′ cosα(note que estamos considerando a rotacao do sistema X ′OY ′ para o sistemaXOY ).

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UNIVATES – Centro Universitario 211

-

6

X

Y

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡µ

@@

@@

@@I

X ′

Y ′P

r

α

θ

Da mesma forma, a rotacao do sistema XOY para o sistema X ′OY ′

(rotacao de um angulo α) e dada por: x′ = x cosα+ y sinα, y′ = −x sinα+y cosα.

Matricialmente:[

xy

]=

[cosα − sinαsinα cosα

]

︸ ︷︷ ︸R(−α)

[x′

y′

]e

[x′

y′

]=

[cosα sinα− sinα cosα

]

︸ ︷︷ ︸Rα

[xy

].

13.4.1 Exemplos

Exemplo 13.4.1 Encontre a equacao da elipse cujos semi-eixos medem5 cm e 4 cm, em relacao ao sistema de coordenadas cartesianas ortogonaistal que:

1. A origem e o centro da elipse e o semi-eixo positivo das abscissasforma um angulo de π

4 radianos com a reta focal;

2. O centro da elipse e o ponto O′ = (6, 8) e a reta focal forma um angulode π

6 radianos com o semi-eixo positivo das abscissas.

Solucao

1. a = 5, b = 4, (x′)225 + (y′)2

16 = 1[

x′

y′

]= Rπ

4

[xy

]=

[ √22 (x + y)√22 (y − x)

].

Entao segue a equacao

�√2

2(x+y)

�2

25 +

�√2

2(y−x)

�2

16 = 1, donde(x+y)2

50 + (y−x)232 = 1, ou seja, 41x2 + 41y2 − 18xy − 3200 = 0.

2. Analogamente, usando Rπ6, obtemos:

[x′

y′

]= Rπ

6

[x′′

y′′

]=

[ 12(√

3x′′ + y′′)12(√

3y′′ − x′′)

].

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UNIVATES – Centro Universitario 212

Entao segue a equacao14(√3x′′+y′′)2

25 +14(√3y′′−x′′)2

16 = 1 donde, fa-zendo a mudanca de variavel x′′ = x − 6, y′′ = y − 8, obtemos(√3(x−6)+(y−8))2

100 + (√3(y−8)−(x−6))264 = 1. X

Exemplo 13.4.2 Determine a equacao de uma hiperbole cujo eixotransverso forma um angulo de π

3 radianos com o semi-eixo positivo dasabscissas, o semi-eixo transverso mede 5 cm, a distancia focal e 14 cm e ocentro e o ponto O′ = (3, 4).

SolucaoSejam x′′ = x− 3, y′′ = y − 4. Como a = 5 e 2c = 14, segue que c = 7 e

b2 = c2 − a2 = 24. A equacao e dada por (x′)225 − (y′)2

24 = 1. Entao

[x′

y′

]= Rπ

3

[x′′

y′′

]=

[ 12(x′′ +

√3y′′)

12(y′′ −√3x′′)

].

Entao segue a equacao (x′′+√3y′′)2100 − (y′′−√3x′′)2

96 = 1, donde obtemos((x−3)+√3(y−4))2

100 − ((y−4)−√3(x−3))2

96 = 1. X

Exemplo 13.4.3 Determine a equacao da parabola cujo parametro e 8,o vertice e o ponto V = (3, 2), a diretriz forma um angulo de π

3 radianoscom o semi0eixo positivo das abscissas e ela (a parabola) nao interseccionao eixo das ordenadas

Solucao[

x′

y′

]= Rπ

3

[x′′

y′′

]=

[ 12(x′′ +

√3y′′)

12(y′′ −√3x′′)

].

Sejam x′′ = x − 3, y′′ = y − 2. Entao (x′)2 = −2py′ = −16y′, donde14(x′′ +

√3y′′)2 = −8(y′′ − √

3x′′), ou seja, 14((x− 3) +

√3(y − 2)

)2=

−8((y − 2)−√3(x− 3)

)2. Finalmente, a equacao desejada e

(x +√

3y − 3− 2√

3)2 = −32(y −√

3x + 3√

3− 2). X

13.5 Aplicacao das Translacoes e Rotacoes ao Es-tudo da Equacao Geral do Segundo Grau aDuas Variaveis

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, A2 + B2 + C2 6= 0 (13.1)

Objetivo: Reconhecer a conica e esbocar seu grafico.

Observacao 13.5.1 Observe que se B = 0, entao “completa-se quadra-dos”; se B 6= 0, entao “volta-se na rotacao”.

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UNIVATES – Centro Universitario 213

-

6

X

Y

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡µ

@@

@@

@@I

X ′

Y ′

α

Precisamos descobrir um angulo α tal que apos a rotacao a equacao(13.1) fique na forma

A′(x′)2 + C ′(y′)2 + D′x′ + E′y′ + F ′ = 0.

Temos que[

xy

]= R(−α)

[x′

y′

]=

[x′ cosα− y′ sinαx′ sinα + y′ cosα

]. Substituindo

em (13.1), obtemos uma equacao

A′(x′)2 + B′(x′y′) + C ′(y′)2 + D′x′ + E′y′ + F ′ = 0,

onde

A′ = A cos2 α + B sinα cosα + C sin2 α;

B′ = −2A sinα cosα + B(cos2 α− sin2 α) + 2C sinα cosα;

C ′ = A sin2 α−B sinα cosα + C cos2 α;

D′ = D cosα + E sinα;

E′ = −D sinα + E cosα;

F ′ = F (“o termo independente e invariante por rotacoes”).

Queremos que B′ = 0. Ora,

B′ = 0 ⇔ −2A sinα cosα + B (cos2 α− sin2 α)︸ ︷︷ ︸cos 2α

+2C sinα cosα = 0 ⇔

⇔ B cos 2α− (A− C) 2 sinα cosα︸ ︷︷ ︸sin 2α

= 0 ⇔

⇔ B cos 2α− (A− C) sin 2α = 0 ⇔⇔ (A− C) sin 2α = B cos 2α.

Agora temos duas possibilidades para a afirmacao acima:

Se A 6= C: entao B′ = 0 ⇔ tan 2α = BA−C ;

Se A = C: entao B cos 2α = 0. Como B 6= 0 no termo em xy, segueque cos 2α = 0, donde α = π

4 .

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UNIVATES – Centro Universitario 214

Lembremos que tan 2α = 2 tan α1−tan2 α

.

Observacao 13.5.2 Para qualquer α ∈ R, B2 − 4AC = (B′)2 − 4A′C ′,A + C = A′ + C ′ sao invariantes por rotacoes.

13.5.1 Exemplos

Exemplo 13.5.3 Determine o menor angulo positivo segundo oqual devemos girar os eixos para que a nova equacao da conica5x2 + 4xy + 8y2 − 36 = 0 nao contenha termo misto. Determine a equacaoreduzida da conica.

SolucaoA = 5, C = 8 e A 6= C. Entao tan 2α = 2 tan α

1−tan2 α= B

A−C = −43 . Segue

que 4 − 4 tan2 α + 6 tanα = 0, ou seja, tanα = 2 (e α = arctan 2) outanα = −1

2 (negativo).Para determinar a equacao reduzida da conica, considere[

xy

]= R(−α)

[x′

y′

]=

[x′ cosα− y′ sinαx′ sinα + y′ cosα

]. Como tanα = 2, segue que

sec2 α = 1+tan2 α = 5, donde cosα =√55 e sinα = 2√5

5 . Substituindo estesvalores na expressao matricial acima, e depois substituindo x e y na equacaoda conica, obtemos (x′)2

4 + (y′)29 = 1, que e a equacao de uma elipse. X

Exemplo 13.5.4 Desenhe a conica 16x2 +24xy +9y2 +60x− 80y = 0.

SolucaoA = 16, B = 9 e A 6= B. Entao procedendo como antes, obtemos

tanα = 34 ou tanα = −4

3 . Para nos interessa o primeiro valor, dondeα = arctan 3

4 . Segue que cosα = 45 e sin α = 3

5 . Agora basta substituir naequacao matricial.

Outro modo que pode ser pratico e simplesmente calcular diretamenteos valores de A′, . . . , F ′ segundo as expressoes vistas anteriormente.

De qualquer modo, obtemos (x′)2 = 4y′, que e a equacao de umaparabola. Deixamos ao leitor efetuar o desenho desta conica. X

Exemplo 13.5.5 Determine os semi-eixos da conica xy −√2y = 2.

SolucaoComo A = C = 0, entao α = π

4 . Agora basta utilizar a equacao matricialpara obter (x′−1)2−(y′+1)2 = 4. Pelas mudancas de variaveis: x′′ = x′−1,y′′ = y′ + 1, obtemos (x′′)2 − (y′′)2 = 4, ou seja, (x′′)2

4 − (y′′)24 = 1, que e a

equacao de uma hiperbole equilatera de semi-eixos a = b = 2.Vamos agora determinar o centro O′: ora, x′′ = 0, y′′ = 0 implicam em

x′ = 1, y′ = −1, donde x =√

2, y = 0. Logo O′ = (√

2, 0). Deixamos maisuma vez o desenho a cargo do leitor. X

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UNIVATES – Centro Universitario 215

13.6 A Equacao Geral do Segundo Grau a DuasVariaveis e as Conicas

A equacao do 2o grau a duas variaveis Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0(A2 + B2 + C2 6= 0) representa uma conica.

Podemos fazer uma rotacao de modo que a equacao nao contenha termomisto, obtendo a equacao A′(x′)2 + B′x′y′ + C ′(y′)2 + D′x′ + E′y′ + F ′ = 0,onde B′ = 0.

Por consequencia da observacao 13.5.2, B′ = 0 → B2 − 4AC = −4A′C ′,logo:

1. B2−4AC < 0 ⇒ −4A′C ′ < 0 ⇒ A′C ′ > 0: elipse ou elipse degenerada(ponto ou ∅) – “equacao do tipo elıptico”;

2. B2 − 4AC = 0 ⇒ −4A′C ′ = 0 ⇒ A′C ′ = 0: parabola ou paraboladegenerada (2 retas paralelas, 1 reta ou ∅) – “equacao do tipo pa-rabolico”;

3. B2 − 4AC > 0 ⇒ −4A′C ′ > 0 ⇒ A′C ′ < 0: hiperbole ou hiperboledegenerada (2 retas concorrentes) – “equacao do tipo hiperbolico”.

13.6.1 Exemplos

Exemplo 13.6.1 x2

a2 + y2

b2= 0: pode ser escrita como b2x2 + a2y2 = 0,

cuja solucao e x = y = 0. Logo trata-se de um ponto (0, 0).Como B2 − 4AC = 0− 4b2a2 < 0, e do tipo elıptico. X

Exemplo 13.6.2 x2

a2 + y2

b2= −1: esta equacao pode ser escrita como

b2x2 + a2y2 + a2b2 = 0, cuja solucao e S = ∅.Como B2 − 4AC = 0− 4b2a2 < 0, e do tipo elıptico. X

Exemplo 13.6.3 y2 − 4 = 0: B2 − 4AC = 0 − 4 · 0 · 1 = 0. Logo e dotipo parabolico. Como a solucao da equacao e y = ±2, tratam-se de 2 retasparalelas. X

Exemplo 13.6.4 x2 = 0: tem por solucao x = 0 (1 reta).Como B2 − 4AC = 0, e do tipo parabolico. X

Exemplo 13.6.5 3x2 + 1 = 0: solucao S = ∅ e B2 − 4AC = 0. Logo edo tipo parabolico. X

Exemplo 13.6.6 x2 − y2 = 0: solucao y = ±x (2 retas concorrentes),B2 − 4AC = 0− 4 · 1 · (−1) = 4 > 0. Logo e do tipo hiperbolico. X

Exercıcio 13.6.7 Classifique as conicas:

1. 4x2 − 4xy + 7y2 + 12x + 6y − 9 = 0;

2. x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 12y + 8 = 0.

Exercıcio 13.6.8 Mostre que as equacoes definem conicas degeneradas:

1. 9x2 + 4y2 − 18x + 8y + 13 = 0;

2. x2 − 4xy + 3y2 = 0

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UNIVATES – Centro Universitario 216

13.7 Respostas dos Principais Exercıcios doCapıtulo

13.1.2 1). x2

16 + y2

7 = 1; 2). x2

50 + y2

100 = 1; 3). x2

1 + y2

2 = 1

13.1.3 1). (x−2)225 + (y−3)2

16 = 1; 2). (x−2)27 + (y−1)2

16 = 1

13.1.4 O′ = (1, 2), F1 = (1−√5, 2), F2 = (1 +√

5, 2)

13.2.2 1). x2 = −12y; 2). y2 = −6x; 3). x2 = 43y

13.2.3 1). (y − 2)2 = 24(x + 2); 2). (y − 3)2 = −12(x− 4)

13.2.4 1). V = (−2, 3), p = 6; 2). V = (1,−4), p = 12

13.3.2 x2

12 − y2

4 = 1, assıntotas r: y = 2√12x e s: y = − 2√12x

13.6.7 1). (x′)28 + (y′)2

3 = 1: elipse; 2). y′ = ± 1√5 : sao 2 retas paralelas

13.6.8 1). 9(x− 1)2 + 4(y + 1)2 = 0 e o ponto (1,−1);

2). Como (x− a)(x− b) = x2 − (a + b)x + ab, e facil ver que a conicaem questao tem equacao (x − y)(x − 3y) = 0, done y = x ou y = x

3 ,que sao duas retas concorrentes.

CHAETINGER

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Apendice A

Artigos paraAprofundamento

A.1 Comparacao dos Procedimentos para Resol-ver Sistemas Lineares

Baseia-se em H. Anton ([1]), pp. 321-326.

A.2 Algebra de Matrizes

Baseia-se em S.C. Bloch ([3]), paginas 80-89.

A.3 Correlacion de Pares de Imagenes para Me-dicion de Solidos por Fenomenos Estereo

Artigo de J, Sanches ([31]), paginas 59-58.

A.4 Introducao a Pesquisa Operacional

Trata-se do Capıtulo 1 de C. Perin ([26]), paginas 1 a 11.

A.5 Modelos

E o Capıtulo 2 de C. Perin ([26]), paginas 13 a 44.

A.6 Espacos Vetoriais – Introducao: QuadradosMagicos

Baseia-se no livro de D. Poole ([27]), paginas 385-387.

A.7 Compressao de Imagem Digital

D. Poole ([27]), paginas 555-557.217

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UNIVATES – Centro Universitario 218

A.8 Investigacao: Azulejos, Reticulados e a Res-tricao Cristalografica

D. Poole ([27]), paginas 465-467.

A.9 Investigacao: A Fatoracao LU

D. Poole ([27]), paginas 225-229.

A.10 Codigos Corretores de Erros

D. Poole ([27]), paginas 215-224.

A.11 Grafos e Dıgrafos

D. Poole ([27]), paginas 210-214.

A.12 Investigacao: Pivotamento Parcial e Con-tagem de Operacoes - Uma Introducao aAnalise de Algoritmos

D. Poole ([27]), paginas 82-85.

A.13 Analise de Redes

D. Poole ([27]), paginas 100-113.

A.14 Simulador de Circuitos

Correspondencia eletronica enviada pelo Prof.Ms. R. Schaeffer.

A.15 Vetores de Codigo e Aritmetica Modular

D. Poole ([27]), paginas 47-54.

A.16 Diagonalizacao de Formas Quadraticas:Secoes Conicas

H. Anton ([1]), paginas 313-321.

A.17 A Rampa de Skate do Tempo Mınimo

J.L.P. Mello, Sao Paulo, Revista do Professor de Matematica (RPM) 59,(2006), paginas 9-15.

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UNIVATES – Centro Universitario 219

A.18 Por Que as Antenas Sao Parabolicas

E. Wagner, Sao Paulo, Revista do Professor de Matematica (RPM) 33,(1997), paginas 10-15.

A.19 A Hiperbole e os Telescopios

G. Avila, Sao Paulo, Revista do Professor de Matematica (RPM) 34,(1997), paginas 22-27.

A.20 A Sombra do Meu Abajur

J.P. Carneiro, Sao Paulo, Revista do Professor de Matematica (RPM)59, (2006), paginas 1-6.

A.21 A Matematica do GPS

S. Alves, Sao Paulo, Revista do Professor de Matematica (RPM) 59,(2006), paginas 17-26.

A.22 Montando uma Dieta Alimentar com Siste-mas Lineares

A.A.Dornelles Filho, Sao Paulo, Revista do Professor de Matematica(RPM) 59, (2006), paginas 27-29.

A.23 Resumo Sobre Conicas

Este material e oriundo de uma montagem de textos de varios autores,elaborado por M. Madalena Dullius

A.24 Um Brinquedo Chamado Espirografo

L.N. de Andrade, Sao Paulo, Revista do Professor de Matemtica (RPM)60, (2006), paginas 24-29.

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Apendice B

Autovalores e VetoresProprios, Diagonalizacao deOperadores Lineares

B.1 Introducao

Dada uma transformacao linear de um espaco vetorial nele mesmo,T : V → V , que vetores sao levados neles mesmos via T? Isto e, dada T :V → V , quais sao os vetores v ∈ V tais que T (v) = v? (O vetor v, nestecaso, e chamado de vetor fixo).

Se A e uma matriz n × n e x e um vetor do Rn, entao Ax tambem eum vetor no Rn, mas em geral nao ha nenhuma relacao geometrica simplesentre x e Ax. No entanto, esta relacao existe no caso especial em que x e umvetor nao-nulo e Ax e um multiplo escalar de x. Por exemplo, se A e umamatriz 2 × 2 e se x e um vetor nao-nulo tal que Ax e um multiplo escalarde x, digamos, Ax = λx, entao cada vetor na reta pela origem determinadapor x e levado de volta a mesma reta quando multiplicado por A.

Vetores nao-nulos que sao levados em multiplos escalares deles mesmospor um operador linear aparecem naturalmente no estudo de vibracoes e dadinamica populacional, na genetica, na mecanica quantica e na economia,bem como na geometria. Neste capıtulo estudaremos tais vetores e suasaplicacoes.

Exemplo B.1.1 Considere a aplicacao identidade I: R2 → R2, ondeI(x, y) = (x, y). Entao e facil ver que todo o espaco R2 e fixo. X

Exemplo B.1.2 Seja rx: R2 → R2 dada por rx(x, y) = (x,−y) a re-flexao no eixo ~OX. Matricialmente esta aplicacao pode ser representada por[

xy

[1 00 −1

]·[

xy

].

220

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UNIVATES – Centro Universitario 221

Percebe-se que todo vetor pertencente ao eixo ~OX e fixo por rx. De fato:[1 00 −1

]·[

x0

]=

[x0

], ou seja, rx(x, 0) = (x, 0).

Ademais, sao os unicos vetores fixos, pois se[

xy

]e um vetor do R2

tal que[

1 00 −1

]·[

xy

]=

[xy

], caımos no sistema

{x + 0y = x0x− y = y

ou{

x = x−y = y

, cuja unica solucao e (x, 0) com x ∈ R. X

Exemplo B.1.3 Seja N : R2 → R2 dada por N(x, y) = (0, 0) aaplicacao nula. Entao o unico vetor fixo e o vetor nulo: N(0, 0) = (0, 0). X

B.2 Sistemas Lineares da Forma Ax = λxMuitas aplicacoes da Algebra Linear envolvem sistemas de n equacoes

lineares em n incognitas que aparecem no formato

Ax = λx, (B.1)

onde λ e um escalar. Tais sistemas sao, realmente, sistemas homogeneosdisfarcados, pois (B.1) podem ser reescritos como λx−Ax = 0 ou, inserindouma matriz identidade e fatorando, como

(λI −A)x = 0. (B.2)

Exemplo B.2.1 O sistema linear{

x1 + 3x2 = λx14x1 + 2x2 = λx2

pode ser es-

crito em formato matricial como[

1 34 2

]·[

x1x2

]= λ ·

[x1x2

]que e do

formato de (B.1).Este sistema pode ser reescrito como

λ ·[

x1x2

]−

[1 34 2

] [x1x2

]=

[00

]ou

λ ·[

1 00 1

]·[

x1x2

]−

[1 34 2

] [x1x2

]=

[00

]ou ainda

[λ− 1 −3−4 λ− 2

]·[

x1x2

]=

[00

], que e do formato (B.2).

O problema primordial que nos interessa em relacao aos sistemas noformato (B.2) e determinar para quais valores de λ o sistema tem umasolucao nao-trival; um tal valor de λ e chamado autovalor de A, ou valorproprio ou, as vezes, valor caracterıstico de A. Se λ e um autovalor de A,entao cada solucao nao-trivial de (B.2) e chamada autovetor de A associadoao autovalor λ.

Segue do Teorema 7.4.13 que o sistema (λI −A)x = 0 tem solucao nao-trivial se, e somente se, det(λI −A) = 0.

Esta equacao e chamada equacao caracterıstica de A; os autovalores deA podem ser encontrados resolvendo esta equacao em λ.

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UNIVATES – Centro Universitario 222

Exemplo B.2.2 Encontre os autovalores e correspondentes autovetoresda matriz A do exemplo B.2.1.

Solucao

A equacao caracterıstica de A e det(λI − A) =∣∣∣∣

λ− 1 −3−4 λ− 2

∣∣∣∣ = 0 ou

λ2 − 3λ− 10 = 0.A forma fatorada desta equacao e (λ + 2)(λ − 5) = 0, de modo que os

autovalores de A sao λ = −2 e λ = 5.Por definicao, x e um autovetor de A se, e somente se, x e uma solucao

nao-trivial de (λI −A)x = 0; ou seja,[

λ− 1 −3−4 λ− 2

]·[

x1x2

]=

[00

].

Se λ = −2, entao a equacao acima e dada por[ −3 −3−4 −4

]·[

x1x2

]=

[00

].

Resolvendo este sistema obtemos x1 = −t, x2 = t, de modo que os autove-tores associados a λ = −2 sao as solucoes nao-nulas na forma

x =[

x1x2

]=

[ −tt

].

Analogamente, os autovetores correspondentes ao autovalor λ = 5 sao

as solucoes nao-nulas da forma x =[

x1x2

]=

[ 34 tt

]. X

B.3 Autovalores e Autovetores

Definicao B.3.1 Se A e uma matriz n×n, entao um vetor nao-nulo xem Rn e chamado um autovetor de A se Ax e um multiplo escalar de x, ouseja, Ax = λx, para algum escalar λ. O escalar λ e chamado um autovalorde A e dizemos que x e um autovetor associado a λ.

Em R2 e R3, a multiplicacao por A manda cada autovetor x de A (sehouver) sobre a mesma reta pela origem que x. Dependendo do sinal eda magnitude do autovalor λ associado a x, o operador linear Ax = λxcomprime ou estica x por um fator λ, invertendo o sentido no caso de λnegativo.

Exemplo B.3.2 O vetor x =[

12

]e um autovetor da matriz

A =[

3 08 −1

]correspondendo ao autovalor λ = 3, pois

Ax =[

3 08 −1

]·[

12

]=

[36

]= 3x. X

Para encontrar os autovalores de uma matriz A de tamanho n × n nosreescrevemos Ax = λx como Ax = λIx ou, equivalentemente, (λI−A)x = 0.

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UNIVATES – Centro Universitario 223

Para λ ser um autovalor, precisa haver uma solucao nao-nula destaequacao. No entanto, pelo Teorema 7.4.13, a equacao (B.2) tem solucaose, e somente se,

det(λI −A) = 0. (B.3)

Esta equacao e a equacao caracterıstica de A; os escalares que satisfazemesta equacao sao os autovalores de A. Quando expandido, o determinantedet(λI−A) e um polinomio p em λ, que e chamado o polinomio caracterısticode A.

Pode ser mostrado (desafio!) que se A e uma matriz n × n, entao opolinomio caracterıstico de A tem grau n e o coeficiente de λn e 1, ou seja,o polinomio caracterıstico p(λ) de uma matriz n× n e da forma

p(λ) = det(λI −A) = λn + c1λn−1 + . . . + cn.

Pelo Teorema Fundamental da Algebra segue que a equacao caracterısticaλn + c1λn−1 + . . . + cn = 0 tem, no maximo, n solucoes distintas, de modoque uma matriz n× n tem, no maximo, n autovalores distintos.

Exemplo B.3.3 Encontre os autovalores de A =

0 1 00 0 14 −17 8

.

SolucaoO polinomio caracterıstico de A e

det(λI −A) =

∣∣∣∣∣∣

λ −1 00 λ −1−4 17 λ− 8

∣∣∣∣∣∣= λ3 − 8λ2 + 17λ− 4.

Os autovalores de A, portanto, satisfazem a equacao cubica acima:λ3 − 8λ2 + 17λ − 4 = 0. Para resolver esta equacao, nos comecamos pro-curando solucoes inteiras. Esta tarefa pode ser enormemente simplificadase lembrarmos o seguinte fato: todas as solucoes inteiras (se houver) deuma equacao polinomial λn + c1λn−1 + . . . + cn = 0 com coeficientes in-teiros sao divisores do termo constante cn. Assim, no nosso exemplo, asunicas possıveis solucoes inteiras da equacao cubica acima sao os diviso-res de −4, ou seja, ±1, ±2 e ±4. Substituindo sucessivamente cada umdestes valores na equacao cubica segue que λ = 4 e uma solucao inteira.Consequentemente, λ − 4 deve ser um fator do lado esquerdo da referidaequacao. Dividindo λ3−8λ2 +17λ−4 por λ−4, podemos reescreve-la como(λ−4)(λ2−4λ+1) = 0. Assim, as demais solucoes desta equacao satisfazema equacao quadratica λ2 − 4λ + 1 = 0 que pode ser resolvida facilmente.

Logo, os autovalores de A sao λ = 4, λ = 2 +√

3 e λ = 2−√3. X

Exemplo B.3.4 (autovalores de uma matriz triangular supe-

rior) Encontre os autovalores da matriz A =

a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

.

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UNIVATES – Centro Universitario 224

SolucaoLembrando que o determinante de uma matriz triangular e o produto das

entradas na diagonal principal (desafio!), obtemos o polinomio caracterıstico

det(λI −A) = (λ− a11)(λ− a22)(λ− a33)(λ− a44).

Assim, a equacao caracterıstica e dada por

det(λI −A) = (λ− a11)(λ− a22)(λ− a33)(λ− a44) = 0

e os autovalores sao λ = a11, λ = a22, λ = a33 e λ = a44, que sao precisa-mente as entradas na diagonal principal de A. X

Teorema B.3.5 Se A e uma matriz n × n triangular (superior, infe-rior ou diagonal), entao os autovalores de A sao as entradas na diagonalprincipal de A.

prova: desafio!

Observacao B.3.6 Muitas vezes, em problemas aplicados, a matriz Ae tao grande que nao e pratico calcular a equacao caracterıstica. Neste caso,existem muitos metodos de aproximacao que podem ser utilizados para obteros autovalores.

Observacao B.3.7 E possıvel que a equacao caracterıstica de uma ma-triz com entradas reais tenha solucoes complexas. Assim, mesmo para ma-trizes reais, somos forcados a considerar autovalores complexos. Por suavez, isto nos leva a considerar a possibilidade de espacos vetoriais comple-xos (com escalares em C). Neste curso, contudo, nossa discussao ficaralimitada a matrizes com autovalores reais.

O seguinte teorema resume o que vimos ate aqui

Teorema B.3.8 Se A e uma matriz n×n e λ e um numero real, entaoas seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. λ e um autovalor de A;

2. O sistema (λI −A)x = 0 tem solucoes nao-triviais;

3. Existe um vetor nao-nulo x tal que Ax = λx;

4. λ e uma solucao da equacao caracterıstica det(λI −A) = 0.

Agora que nos sabemos encontrar autovalores, passamos ao problemade encontrar autovetores. Os autovetores de A associados a um autovalorλ sao os vetores nao-nulos x que satisfazem Ax = λx. Equivalentemente,os autovetores associados a λ sao os vetores nao-nulos no espaco-solucao de(λI −A)x = 0. Nos chamamos este espaco de auto-espaco de A associado aλ.

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UNIVATES – Centro Universitario 225

Exemplo B.3.9 Encontre bases para os auto-espacos da matriz

A =

0 0 −21 2 11 0 3

.

SolucaoA equacao caracterıstica da matriz A e λ3 − 5λ2 + 8λ − 4 = 0 ou, na

forma fatorada, (λ− 1)(λ− 2)2 = 0; assim, os autovalores de A sao λ = 1 eλ = 2. Portanto, temos dois auto-espacos de A.

Por definicao, x = (x1, x2, x3)t e um autovetor de A associado a λ se, esomente se, x e uma solucao nao-trivial de (λI −A)x = 0, ou seja, se λ = 2,entao o sistema e dado por

2 0 2−1 0 −1−1 0 −1

·

x1x2x3

=

000

.

Resolvendo este sistema, obtemos (verifique!) x1 = −s, x2 = t, x3 = s.Assim, os autovetores de A associados a λ = 2 sao os vetores nao-nulos daforma

x =

−sts

=

−s0s

+

0t0

= s

−101

+ t

010

.

Como

−101

e

010

sao linearmente independentes, estes vetores formam

uma base do auto-espaco associado a λ = 2.Se λ = 1, entao o sistema e dado por

1 0 2−1 −1 −1−1 0 −2

·

x1x2x3

=

000

.

Resolvendo este sistema, obtemos x1 = −2s, x2 = s, x3 = s.Assim, os autovetores associados a λ = 1 sao os vetores nao-nulos da

forma

−2sss

= s

−211

e portanto

−211

e uma base do auto-espaco

associado a λ = 1. X

Observacao B.3.10 Uma vez obtidos os autovalores e autovetores deuma matriz A, e uma questao simples obter os autovalores e os autovetoresde qualquer potencia inteira positiva de A; por exemplo, se λ e um autovalorde A e se x e um autovetor correspondente, entao

A2x = A(Ax) = A(λx) = λ(Ax) = λ(λx) = λ2x,

o que mostra que λ2 e um autovalor de A2 com autovetor associado x.Em geral, temos o seguinte resultado.

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UNIVATES – Centro Universitario 226

Teorema B.3.11 Se k e um inteiro positivo, λ e um autovalor de umamatriz A e x e um autovetor associado, entao λk e um autovalor de Ak e xe um autovetor associado.

O proximo teorema estabelece uma relacao entre os autovalores e a in-vertibilidade de uma matriz.

Teorema B.3.12 Uma matriz quadrada A e invertıvel se, e somentese, λ = 0 nao e um autovalor de A.

prova: Suponhamos que A seja uma matriz n×n. E facil ver que λ = 0e uma solucao da equacao caracterıstica λn + c1λn−1 + . . . + cn = 0 se, esomente se, o termo constante cn = 0. Portanto, basta mostrar que cn 6= 0.Mas, det(λI − A) = λn + c1λn−1 + . . . + cn e, por conseguinte, tomandoλ = 0, det(−A) = cn ou (−1)n det(A) = cn.

Segue da ultima equacao que det(A) = 0 se, e somente se, cn = 0. Logo,A e invertıvel se, e somente se, cn 6= 0.

B.4 Diagonalizacao

Nesta secao abordaremos o problema de encontrar uma base do Rn queconsista de autovetores de uma dada matriz A (n×n). Estas bases podem serusadas para estudar problemas geometricos de A e para simplificar muitascontas envolvendo A. Elas tambem tem significado fısico em uma grandevariedade de aplicacoes, algumas das quais serao consideradas ainda nestecurso.

Nosso primeiro objetivo e mostrar que os dois problemas a seguir, emboraaparentemente sejam bastante diferentes, na realidade sao equivalentes.

O Problema dos Autovetores: dada uma matriz A de tamanho n×n,existe uma base do Rn consistindo de autovetores de A?

O Problema da Diagonalizacao (Versao Matricial): dada umamatriz A de tamanho n× n, existe uma matriz invertıvel P tal que P−1APe uma matriz diagonal?

Este ultimo problema sugere a seguinte terminologia.

Definicao B.4.1 Uma matriz quadrada A e dita diagonalizavel se exis-tir uma matriz invertıvel P tal que P−1AP e uma matriz diagonal; dizemos,entao, que a matriz P diagonaliza A.

O seguinte teorema mostra que o problema do autovetor e o problemade diagonalizacao sao equivalentes.

Teorema B.4.2 Se A e uma matriz n × n, entao sao equivalentes asseguintes afirmacoes:

1. A e diagonalizavel;

2. A tem n autovetores linearmente independentes.

prova: exercıcio (ver [1], Teorema 7.2.1).

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UNIVATES – Centro Universitario 227

B.4.1 Um Procedimento para Diagonalizar uma Matriz

O Teorema B.4.2 garante que uma matriz A de tamanho n × n com nautovetores linearmente independentes e diagonalizavel e a prova fornece oseguinte metodo para diagonalizar A.

Passo 1: encontre n autovetores linearmente independentes de A,digamos p1, p2, . . ., pn;

Passo 2: forme a matriz P com os vetores-coluna p1, p2, . . ., pn;

Passo 3: a matriz P−1AP sera, entao, diagonal com entradas λ1, λ2,. . ., λn na diagonal principal, onde λi e o autovalor associado a pi,para i = 1, 2, . . . , n.

Para executar o Passo 1 deste procedimento precisamos, inicialmente,de uma maneira de determinar se uma matriz n × n A tem n autoveto-res linearmente independentes e, em seguida, de um metodo para encontrarestes autovetores. Ambos estes problemas podem ser atacados simultanea-mente encontrando bases para os auto-espacos de A. Adiante nesta secaonos mostraremos que, como um so conjunto combinado, os vetores destasbases sao linearmente independentes, de modo que se houver n destes auto-vetores entao A sera diagonalizavel e os n vetores de bases podem ser usadoscomo vetores-coluna da matriz diagonalizante P . Se houver menos do quen vetores de base, entao A nao sera diagonalizavel.

Exemplo B.4.3 Encontre a matriz P que diagonaliza a matriz

A =

0 0 −21 2 11 0 3

.

SolucaoNo exemplo B.3.9 verificamos que (λ − 1)(λ − 2)2 = 0 e a equacao

caracterıstica de A e encontramos as seguintes bases de auto-espacos:

λ = 2: p1 =

−101

, p2 =

010

; λ = 1: p3 =

−211

.

Ha tres vetores de base no total, portanto a matriz A e diagonalizavel e

P =

−1 0 −20 1 11 0 1

diagonaliza A.

Para conferir, o leitor deveria verificar que

P−1AP =

1 0 21 1 1−1 0 −1

0 0 −21 2 11 0 3

−1 0 −20 1 11 0 1

=

2 0 00 2 00 0 1

. X

Nao existe uma ordem preferencial para as colunas de P . Como a i-esimaentrada diagonal de P−1AP e um autovalor para o i-esimo vetor-coluna deP , mudando a ordem das colunas de P so muda a ordem dos autovalores na

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UNIVATES – Centro Universitario 228

diagonal de P−1AP . Assim, se tivessemos escrito P =

−1 −2 00 1 11 1 0

no

exemplo B.4.3, nos terıamos obtido P−1AP =

2 0 00 1 00 0 2

.

Exemplo B.4.4 Encontre a matriz P que diagonaliza a matriz

A =

1 0 01 2 0−3 5 2

.

SolucaoO polinomio caracterıstico de A e

det(λI −A) =

∣∣∣∣∣∣

λ− 1 0 0−1 λ− 2 03 −5 λ− 2

∣∣∣∣∣∣= (λ− 1)(λ− 2)2,

de modo que a equacao caracterıstica e (λ − 1)(λ − 2)2 = 0. Assim, osautovalores de A sao λ = 1 e λ = 2. Efetuando os calculos, mostra-se queas bases dos auto-espacos sao

λ = 1: p1 =

18−1

81

; λ = 2: p2 =

001

.

Como A e 3 × 3 e so existem dois vetores de base no total, A nao ediagonalizavel. X

Solucao AlternativaSe nos nao estivermos interessados em encontrar a matriz diagonalizante

P , mas so em determinar se uma dada matriz e ou nao diagonalizavel, entaonao e necessario calcular bases para os auto-espacos, bastando encontraras dimensoes dos auto-espacos. Neste exemplo, o auto-espaco associado a

λ = 1 e o espaco-solucao do sistema

0 0 0−1 −1 03 −5 −1

x1x2x3

=

000

.

A matriz dos coeficientes tem posto 2 (verifique!). Portanto, pela de-finicao 6.3.12, a nulidade desta matriz e 1 e entao o espaco-solucao e unidi-mensional (Teorema 6.5.4).

O auto-espaco associado a λ = 2 e o espaco solucao do sistema

1 0 0−1 0 03 −5 0

x1x2x3

=

000

.

Esta matriz de coeficientes tambem tem posto 2 e nulidade 1 (verifique!),de modo que o espaco-solucao associado a λ = 2 tambem e unidimensional.Como os auto-espacos produzem um total de dois vetores de base, a matrizA nao e diagonalizavel. X

No exemplo B.4.3 supusemos que os vetores-coluna de P , que consistemde vetores de bases dos varios auto-espacos de A, sao linearmente indepen-dentes. O proximo teorema trata desta suposicao.

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UNIVATES – Centro Universitario 229

Teorema B.4.5 Se v1, v2, . . . , vk sao autovetores de A associados a au-tovalores distintos λ1, λ2, . . . , λk, entao {v1, v2, . . . , vk} e um conjunto line-armente independente.

prova: exercıcio (ver [1], Teorema 7.2.2).

Observacao B.4.6 O Teorema B.4.5 e um caso especial de um resul-tado mais geral: suponha que λ1, λ2, . . . , λk sao autovalores distintos e queescolhemos um conjunto linearmente independente em cada auto-espaco cor-respondente. Se nos juntarmos todos estes vetores num unico conjunto, oresultado e um conjunto que ainda e linearmente independente.

Corolario B.4.7 Se uma matriz A de tamanho n×n tem n autovaloresdistintos, entao A e diagonalizavel.

prova: Se v1, v2, . . . , vn sao autovetores associados aos autovalores dis-tintos λ1, λ2, . . . , λn entao, pelo Teorema B.4.5, v1, v2, . . . , vn sao linearmenteindependentes. Assim, A e diagonalizavel pelo Teorema B.4.2.

Exemplo B.4.8 Pelo Teorema B.3.5, os autovalores de uma matriz tri-angular sao as entradas na diagonal principal. Assim, uma matriz triangularcom entradas distintas na diagonal e diagonalizavel.

B.4.2 Multiplicidades Geometrica e Algebrica

O Teorema B.4.7 nao resolve totalmente o problema da diagonalizacao,pois e possıvel para uma matriz A de tamanho n × n ser diagonalizavelsem que tenha n autovalores distintos. Nos vimos no exemplo B.4.3, ondea dada matriz 3 × 3 tinha somente dois autovalores distintos e no entantoera diagonalizavel. O que realmente importa para a diagonalizacao saoas dimensoes dos auto-espacos – a soma destas dimensoes deve totalizar npara que a matriz n × n seja diagonalizavel. Os exemplos B.4.3 e B.4.4ilustram isto: as matrizes daqueles exemplos tinham as mesmas equacoescaracterısticas e os mesmos autovalores, mas a matriz do exemplo B.4.3e diagonalizavel porque as dimensoes dos auto-espacos somam 3 enquantoque a matriz do exemplo B.4.4 nao e diagonalizavel porque as dimensoes dosauto-espacos somam somente 2.

Agora abordaremos superficialmente um topico que e importante paraum melhor entendimento da diagonalizabilidade. Pode ser provado que seλ0 e um autovalor de A, entao a dimensao do auto-espaco associado a λ0nao pode exceder o numero de vezes que λ− λ0 aparece como um fator dopolinomio caracterıstico de A.

Por exemplo, nos exemplos B.4.3 e B.4.4 o polinomio caracterıstico e(λ − 1)(λ − 2)2. Assim, o auto-espaco associado a λ = 1 e no maximo (e,portanto, exatamente) unidimensional e o auto-espaco associado a λ = 2e no maximo bidimensional. No exemplo B.4.3, o auto-espaco associadoa λ = 2 de fato tem dimensao 2, resultando em diagonalizabilidade, masno exemplo B.4.4, este auto-espaco tem dimensao somente 1, resultando nanao-diagonalizabilidade.

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UNIVATES – Centro Universitario 230

Existe alguma terminologia relacionada com este assunto.Se λ0 e um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n, entao a di-

mensao do auto-espaco associado a λ0 e chamada multiplicidade geometricade λ0 e o numero de vezes que λ− λ0 aparece como um fator do polinomiocaracterıstico de A e chamado multiplicidade algebrica de λ0.

O teorema a seguir resume esta discussao.

Teorema B.4.9 Se A e uma matriz quadrada, entao:

1. Para cada autovalor de A, a multiplicidade geometrica e menor do queou igual a multiplicidade algebrica;

2. A e diagonalizavel se, e somente se, para cada autovalor, a multiplici-dade geometrica e igual a multiplicidade algebrica.

prova: desafio! (ver [9]).Existem inumero problemas de matematica aplicada que requerem cal-

cular potencias elevadas de uma matriz quadrada. Nos concluiremos estasecao mostrando como a diagonalizacao pode ser usada para simplificar taiscalculos para matrizes diagonalizaveis.

Se A e uma matriz n× n e P e uma matriz invertıvel, entao

(P−1AP )2 = P−1APP−1AP = P−1AIAP = P−1A2P.

Mais geralmente, para qualquer inteiro positivo k,

(P−1AP )k = P−1AkP.

Segue desta equacao que se A for diagonalizavel e se P−1AP = D e umamatriz diagonal, entao

P−1AkP = (P−1AP )k = Dk.

Resolvendo esta equacao em Ak, obtemos

Ak = PDkP−1.

Esta ultima equacao expressa a k-esima potencia de A em termos da k-esimapotencia da matriz diagonal D. Mas Dk e facil de calcular; por exemplo, se

D =

d1 0 . . . 00 d2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . dn

, entao Dk =

dk1 0 . . . 00 dk

2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . dk

n

.

Exemplo B.4.10 Calcule A13, onde A =

0 0 −21 2 11 0 3

.

Solucao

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UNIVATES – Centro Universitario 231

Mostramos no exemplo B.4.3 que a matriz A e diagonalizavel e que

D = P−1AP =

2 0 00 2 00 0 1

. Assim,

A13 = PD13P =

−8190 0 −163828191 8192 81918191 0 16383

. X

Observacao B.4.11 A maior parte do trabalho no metodo do exemploacima e diagonalizar A. Uma vez concluıdo este trabalho, podemos calcularqualquer potencia de A. Assim, para calcular A1000 nos so precisamos trocaros expoentes 13 para 1000 no calculo acima.

B.5 Diagonalizacao Ortogonal

Analisaremos o problema de encontrar uma base ortonormal do Rn como produto interno euclidiano que consista de autovetores de uma dada matrizA de tamanho n× n.

B.5.1 Matrizes Ortogonais: Mudanca de Bases

Uma base que e conveniente para um problema pode nao o ser para outro,de modo que a mudanca de uma base para outra e um processo comum noestudo de espacos vetoriais. Como uma base e uma generalizacao de umsistema de coordenadas para espacos vetoriais, mudar de bases e parecidocom mudar de eixos coordenados em R2 ou R3.

Nesta subsecao iremos desenvolver algumas propriedades de matrizesquadradas com vetores-coluna ortogonais. Estas matrizes surgem em varioscontextos, incluindo problemas envolvendo a mudanca de base ortonormalpara outra.

Matrizes cujas inversas podem ser obtidas por transposicao sao suficien-temente importantes para possuir alguma terminologia associada.

Definicao B.5.1 Uma matriz ortogonal e uma matriz quadrada A coma propriedade A−1 = At.

Decorre desta definicao que uma matriz quadrada A e ortogonal se, esomente se, AAt = AtA = I.

Exemplo B.5.2 A matriz canonica para rotacao anti-horaria do R2 por

um angulo θ,[

cos θ − sin θsin θ cos θ

], e ortogonal para todas as escolhas de θ

(verifique!).

De fato, e simples verificar que todas as “matrizes de reflexao”, e todasas “matrizes de rotacao ” sao matrizes ortogonais.

Os proximos dois teoremas serao apresentados sem demonstracao. Oleitor interessado pode consultar ([1], Teoremas 6.5.1 e 6.5.2).

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UNIVATES – Centro Universitario 232

Teorema B.5.3 As seguintes afirmacoes sao equivalentes para uma ma-triz A de tamanho n× n:

1. A e ortogonal;

2. Os vetores-linha de A formam um conjunto ortonormal do Rn emrelacao ao produto interno euclidiano;

3. Os vetores-coluna de A formam um conjunto ortonormal do Rn emrelacao ao produto interno euclidiano.

Teorema B.5.4

1. A inversa de uma matriz ortogonal e ortogonal;

2. Um produto de matrizes ortogonais e ortogonal;

3. Se A e ortogonal, entao det(A) = 1 ou det(A) = −1.

Ja observamos que as matrizes canonicas para operadores basicos dereflexao e rotacao do R2 e R3 sao ortogonais. O proximo teorema ajuda aexplicar porque isto e assim.

Teorema B.5.5 Se A e uma matriz n× n, as seguintes afirmacoes saoequivalentes:

1. A e ortogonal;

2. ||Ax|| = ||x|| para qualquer x ∈ Rn, onde || || indica a norma segundoo produto escalar euclidiano;

3. Ax ·Ay = x · y para quaisquer x, y ∈ Rn.

prova: desafio! (ver [1], Teorema 6.5.3)Se T : Rn → Rn e a multiplicacao por uma matriz ortogonal A, entao T

e chamado operador ortogonal do Rn. Pelas partes (1). e (2). do teoremaprecedente, decorre que os operadores ortogonais do Rn sao precisamente osoperadores que mantem inalterados os comprimentos de todos os vetores.Como as reflexoes e as rotacoes do R2 e do R3 tem esta propriedade, istoexplica nossa obesrvacao anterior que as matrizes canonicas para as reflexoese rotacoes basicas no R2 e no R3 sao ortogonais.

Voltemos aos problemas de diagonalizacao. Como na secao anterior,comecamos enunciando dois problemas. Nosso objetivo e mostrar que osdois sao equivalentes.

O Problema dos Autovetores Ortonormais: dada uma matriz Ade tamanho n×n, existe uma base ortonormal do Rn com o produto internoeuclidiano consistindo de autovetores da matriz A?

O Problema da Diagonalizacao Ortogonal (Versao Matricial):dada uma matriz A de tamanho n × n, existe uma matriz ortogonal P talque a matriz P−1AP = P tAP e uma matriz diagonal? Se existir uma talmatriz, dizemos que A e ortogonalmente diagonalizavel e que P diagonalizaA ortogonalmente.

Para o ultimo problema, temos duas questoes a considerar:

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UNIVATES – Centro Universitario 233

R Quais matrizes sao ortogonalmente diagonalizaveis?

R Como encontrar uma matriz ortogonal que efetue a diagonalizacao?

Com relacao a 1a questao, nao existe esperanca de diagonalizar A or-togonalmente a menos que A seja simetrica (ou seja, A = At). De fato,se P tAP = D, onde P e uma matriz ortogonal e D e diagonal, temos quePP t = P tP = I e, portanto, A = PDP t. Como D e uma matriz diagonal,temos D = Dt. Transpondo ambos os lados da equacao anterior, obtemosAt = (PDP t)t = (P t)tDtP t = PDP t = A, donde A e simetrica.

O proximo teorema mostra que qualquer matriz simetrica e, de fato,ortogonalmente diagonalizavel. Neste teorema, e no restante desta secao,ortogonal significa ortogonal em relacao ao produto interno euclidiano doRn.

Teorema B.5.6 Se A e uma matriz n×n, entao as seguintes afirmacoessao equivalentes:

1. A e ortogonalmente diagonalizavel;

2. A tem um conjunto ortonormal de n autovetores;

3. A e simetrica.

prova: exercıcio (ver [1], Teorema 7.3.1).Nosso proximo objetivo e construir um procedimento para diagonalizar

ortogonalmente uma matriz simetrica, mas antes de poder fazer isto, preci-samos de um resultado essencial sobre autovalores e autovetores de matrizessimetricas.

Teorema B.5.7 Se A e uma matriz simetrica, entao:

1. Os autovalores de A sao reais;

2. Autovetores de auto-espacos diferentes sao ortogonais.

prova: ver ([1], Teorema 7.3.2).

Observacao B.5.8 Mostra-se que a primeira afirmacao do teoremaacima e falsa para matrizes com entradas complexas.

B.5.2 Diagonalizacao de Matrizes Simetricas

Como uma consequencia do Teorema B.5.7, obtemos o seguinte procedi-mento para diagonalizar ortogonalmente uma matriz simetrica.

Passo 1: encontre uma base para cada auto-espaco de A;

Passo 2: aplique o processo de Gram-Schmidt a cada uma destasbases para obter uma base ortonormal de cada auto-espaco;

Passo 3: forme a matriz P cujas colunas sao os vetores de base cons-truıdos no Passo 2; esta matriz diagonaliza A ortogonalmente.

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UNIVATES – Centro Universitario 234

A justificativa para este procedimento deveria ser clara. O Teorema B.5.7garante que autovetores de auto-espacos diferentes sao ortogonais, enquantoa aplicacao do processo de Gram-Schmidt garante que os autovetores obti-dos dentro de um mesmo auto-espaco sao ortonormais. Desta maneira, oconjunto inteiro de autovetores obtidos por este procedimento e ortonormal.

Exemplo B.5.9 Encontre uma matriz ortogonal P que diagonaliza a

matriz A =

4 2 22 4 22 2 4

.

SolucaoA equacao caracterıstica de A e det(λI−A) = (λ−2)2(λ−8) = 0. Assim,

os autovalores de A sao λ = 2 e λ = 8. Pelo metodo usado no exemplo B.3.9,pode ser mostrado que u1 = (−1, 1, 0)t e u2 = (−1, 0, 1)t formam uma basedo auto-espaco correspondente a λ = 2. Aplicando o processo de Gram-Schmidt a {u1, u2} obtemos os seguintes vetores ortonormais:

v1 =(− 1√

2,

1√2, 0

)t

e v2 =(− 1√

6,− 1√

6,

2√6

)t

.

O auto-espaco associado a λ = 8 tem uma base formada pelo vetoru3 = (1, 1, 1)t. Aplicando o processo de Gram-Schmidt a {u3} obtemos

v3 =(

1√3 , 1√3 , 1√3

)t.

Finalmente, usando v1, v2 e v3 como vetores-coluna, obtemos

P =

− 1√2 − 1√6

1√31√2 − 1√61√3

0 2√61√3

que diagonaliza A ortogonalmente (Para con-

ferir, o leitor interessado pode querer verificar que P tAP e uma matrizdiagonal). X

A esta altura, sugerimos fortemente ao leitor a resolucao dos exercıcioscomputacionais de [1], pgs. 255-256.

CHAETINGER

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Apendice C

Produto Escalar

Este capıtulo ira abordar alguns topicos sobre o produto escalar. Oleitor interessado deve aprofundar o estudo em [4], [9], [33] ou [35].

Definicao C.0.10 Chama-se produto escalar (ou produto interno eu-clidiano) de dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2), denotado ~u ·~v, aonumero real

~u · ~v = x1x2 + y1y2 + z1z2 = 〈~u,~v〉,que se le “~u escalar ~v”.

Observacao C.0.11 Em R2: dados os vetores ~u = (x1, y1) e~v = (x2, y2), temos que ~u · ~v = x1x2 + y1y2.

Exemplo C.0.12 Sejam ~u = (3,−2, 4) e ~v = (2, 1,−4) vetores do R3.Entao ~u · ~v = 6− 2− 16 = −12. X

Observacao C.0.13 ~u · ~u = ||~u||2, logo ||~u|| =√

~u · ~u.

Propriedade C.0.14 Sao propriedades do produto escalar, para todo~u,~v, ~w ∈ R3, e para todo k ∈ R:

1. ~u · ~u ≥ 0 e ~u · ~u = 0 ⇔ ~u = 0;

2. ~u · ~v = ~v · ~u;

3. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w;

4. k(~u · ~v) = (k~u) · ~v = ~u · (k~v).

Teorema C.0.15 Para quaisquer vetores ~u 6= 0 e ~v 6= 0,

~u · ~v = ||~u|| · ||~v|| · cos θ,

onde θ = ∠(~u,~v).235

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UNIVATES – Centro Universitario 236

Observacao C.0.16 Pelo teorema acima, temos que:

1. Se ~u · ~v > 0, entao cos θ > 0 e 0 ≤ θ < 90. Portanto o angulo e agudoou nulo;

2. Se ~u · ~v < 0, entao cos θ < 0 e 90 < θ ≤ 180. Portanto o angulo eobtuso;

3. ~u · ~v = 0 ⇔ ~u ⊥ ~v: de fato, se ~u = 0 ou ~v = 0, ok! Por outro lado, se~u 6= 0 e ~v 6= 0, entao

~u · ~v = 0 ⇔ cos θ = 0 ⇔ θ = 90 ⇔ ~u ⊥ ~v.

Vejamos agora algumas consequencias imediatas:

1. Angulo entre Dois Vetores: (0 ≤ θ ≤ π). Sejam ~u 6= 0 e ~v 6= 0vetores, e θ = ∠(~u,~v). Entao

θ = arccos(

~u · ~v||~u|| · ||~v||

).

2. Desigualdade de Schwartz: para todo ~u e ~v vetores, temos

||~u · ~v|| ≤ ||~u|| · ||~v||.

3. Desigualdade Triangular: para todo ~u e ~v vetores, temos

||~u + ~v|| ≤ ||~u||+ ||~v||.

Observacao C.0.17 E facil ver que:

1. ||~u + ~v||2 = ||~u||2 + 2~u · ~v + ||~v||2;2. ||~u− ~v||2 = ||~u||2 − 2~u · ~v + ||~v||2;3. (~u + ~v) · (~u− ~v) = ||~u||2 − ||~v||2.

Exemplo C.0.18 Determine os vetores unitarios simultaneamente or-togonais a ~u = (1, 1, 1) e ~v = (1, 2, 3).

Solucao

Seja ~w = (x, y, z) tal que

~w · ~u = ~0~w · ~v = ~0||~w|| = 1

, isto e,

x + y + z = 0x + 2y + 3z = 0x2 + y2 + z2 = 1

. Entao e facil ver que os vetores-solucao sao

~w1 =(√6

6 ,−√63 ,

√66

)e ~w2 =

(−√66 ,

√63 ,−

√66

). X

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UNIVATES – Centro Universitario 237

Exemplo C.0.19 Prove que as diagonais de um quadrado sao perpen-diculares.

SolucaoOra, sendo ~u e ~v os lados de um retangulo, temos que suas diagonais sao

dadas por ~u + ~v e ~u− ~v. No caso particular do quadrado, usando a relacao(~u + ~v) · (~u− ~v) = . . . = ||~u||2 − ||~v||2 = 0, o resultado e imediato.

Exemplo C.0.20 Calcule o angulo entre os vetores ~u = (1, 1, 4) e~v = (−1, 2, 2).

SolucaoBasta usar cos θ = ~u·~v

||~u||·||~v|| =√22 . Logo θ = π

4 . X

Observacao C.0.21 Se ~u = (a, b) e ~v = (c, d) sao vetores nao-nulos,podemos escrever cos θ = ~u·~v

||~u||·||~v|| , onde θ = ∠(~u,~v). Substituindo, obtemos

cos θ =a√

a2 + b2 ·c√

c2 + d2 +b√

a2 + b2 ·d√

c2 + d2 . (C.1)

Se chamarmos de α e β os angulos que ~u e ~v formam com o eixo ~OX,respectivamente, temos que θ = α − β, cosα = a√

a2+b2, sinα = b√

a2+b2,

cosβ = c√c2+d2

, sinβ = d√c2+d2

. E, por (C.1),

cos(α− β) = cos α · cosβ + sin α · sinβ.

C.1 Angulos Diretores e Cossenos Diretores deum Vetor

Definicao C.1.1 Seja ~v = (x, y, z) 6= ~0. Angulos diretores de ~v saoos angulos α, β e γ que ~v forma com os vetores ~ı, ~ e ~k, respectivamente.Cossenos diretores de ~v sao os cossenos de seus angulos diretores.

E facil ver entao que as componentes do versos de ~v sao os seus cossenosdiretores. De fato, cosα = x

||~v|| , cos β = y||~v|| , cos γ = z

||~v|| , donde

(cosα, cosβ, cos γ) =(

x

||~v|| ,y

||~v|| ,z

||~v||)

=1||~v||(x, y, z) =

~v

||~v|| .

Portanto, ||(cosα, cosβ, cos γ)|| = 1 ⇒ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.Tambem observa-se que: ~v = ||~v|| · ~v

||~v|| = ||~v|| · (cosα, cosβ, cos γ).

Observacao C.1.2 Seja ~v = (x, y, z) um vetor qualquer do espaco. Po-demos reescreve-lo como ~v = x~ı + y~ + z~k. Entao todo vetor do espaco podeser representado por

~v = ||~v|| · (cosα, cosβ, cos γ).

Da mesma forma no plano: seja ~v = (x, y). Entao ~v||~v|| = (cos α, sinα).

Donde ~v = ||~v||(cosα, sinα) = ||~v||(cos α~ı+ sin α~)(forma polar). Logo, todovetor ~u = (x, y) no plano pode ser escrito como

~u = ||~v||(cosα, sinα).

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UNIVATES – Centro Universitario 238

Exemplo C.1.3 Os angulos diretores de um vetor sao α = 45o, β = 60o

e γ. Determine o valor de γ. Encontre o versos do vetor que possui angulosdiretores α, β e γ.

Solucaocos2 γ = 1− cos2 α− cos2 β = 1

4 . Entao γ = 60o ou γ = 120o.

Logo ~v||~v|| =

(√22 , 1

2 , 12)

ou ~v||~v|| =

(√22 , 1

2 ,−12). X

Exemplo C.1.4 De as componentes do vetor ~v de comprimento 7 cm,tal que o angulo formado entre ~ı e ~v seja π

4 radianos. R : ~v =(

7√22 , 7√2

2)

X

C.2 Projecao de um Vetor

Definicao C.2.1 Sejam ~u e ~v vetores nao-nulos, e seja θ = ∠(~u,~v).Definimos o vetor projecao de ~u na direcao de ~v por:

proj~v~u =(

~u · ~v||~v||

)· ~v

||~v|| =(

~u · ~v||~v||2

)· ~v.

Exemplo C.2.2 Determine a projecao de ~u = 6~ı−7~ sobre ~v = −3~ı+2~.

Solucaoproj~v~u = (−18−14)

(√9+4)2 · (−3, 2) =(96

13 ,−6413

). X

CHAETINGER

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Apendice D

Processos Aleatorios:Cadeias de Markov

D.1 Ideia Intuitiva

Para compreender o capıtulo, exige-se um conhecimento mınimo sobreprobabilidades.

Pode-se considerar (numa primeira aproximacao), em muitos processosda natureza ou da sociedade, que um fenomeno passe, a partir de um estadoinicial, por uma sequencia de estados, de modo que a transicao de cada umpara o seguinte ocorra segundo uma certa probabilidade.

Definicao D.1.1 Um processo em que a probabilidade de transicao dofenomeno depende apenas do estado em que ele se encontra e do estado aseguir e dito processo de Markov, e uma sequencia de estados seguindoeste processo e denominada cadeia de Markov.

Observacao D.1.2 Esta simplificacao do processo talvez seja demasi-ada, tendo em vista que as probabilidades podem se modificar com o tempo.Nao obstante, este modelo ja serve de auxılio para a previsao do comporta-mento de certos fenomenos.

Exemplo D.1.3 Numa determinada regiao, observa-se que se um anofor chuvoso, a probabilidade de o ano seguinte seja igualmente chuvoso e 1

4 ,e a probabilidade de que haja estiagem e 3

4 . Ainda, em ocorrendo estiagemnum ano, a probabilidade de que tambem ocorra no seguinte e a mesma deque seja um ano chuvoso, isto e, 1

2 . Suponhamos (para termos um indicadorde situacao), que as probabilidades nao mudem com o decorrer do tempo1.Os estados possıveis para este processo sao, pois: chuva e estiagem.Queremos saber em que estado estara esta regiao apos um longo tempo (pla-nejamento estrategico).

1Obviamente, isto nao ocorre assim na pratica239

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UNIVATES – Centro Universitario 240

Resolucao

Com os dados acima, podemos construir a arvore de probabilidades in-dicativa da sequencia dos acontecimentos (ver figura D.1).

1o ano 2o ano 3o ano . . . 1/4 C↗

↘Â 1/4 C↑ ↪→ 3/4 E↗

↘# p

(1)C C

↑ ↓ Â 1/2 C↗↘

↑ ↪→ 3/4 E↑ ↪→ 1/2 E↗

↘Referencial

↓ Â 1/4 C↗↘

↓ Â 1/2 C↓ ↑ ↪→ 3/4 E↗

↘↪→ p

(1)E E

↓ Â 1/2 C↗↘

↪→ 1/2 E↪→ 1/2 E↗

Figura D.1: Probabilidades de transicao do fenomeno

Assim, supondo que no primeiro ano houve estiagem, a probabilidade deque o terceiro ano seja chuvoso e

12· 14

+12· 12

=38.

Conforme o tempo passa, os calculos se tornam mais trabalhosos. Por-tanto, para previsoes a longo prazo, precisaremos de outro procedimento.Pode-se, neste momento, introduzir a nocao de matriz das probabilida-des de transicao, e a de vetor de probabilidades. A matriz T das pro-babilidades de transicao e obtida da tabela de probabilidades D.1, onde o ele-mento na i-esima linha e j-esima coluna indica a probabilidade de transicaodo j-esimo para o i-esimo estado.

C EC 1/4 1/2

E 3/4 1/2

Tabela D.1: Probabilidades de transicao

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UNIVATES – Centro Universitario 241

T =

1/4 1/2

3/4 1/2

Figura D.2: Matriz de transicao

O vetor de probabilidades e a matriz cuja primeira linha da a probabili-dade de que haja chuva no n-esimo ano e a segunda da a probabilidade deque ocorra estiagem no n-esimo ano.

p(n)C

p(n)E

,

Figura D.3: Vetor de probabilidades

Pela arvore de probabilidades (tabela D.1), temos que

p(2)C = 1

4p(1)C + 1

2p(1)E

p(2)E = 3

4p(1)C + 1

2p(1)E

Observamos que

T ·

p(1)C

p(1)E

=

14

12

34

12

·

p(1)C

p(1)E

=

14p

(1)C + 1

2p(1)E

34p

(1)C + 1

2p(1)E

.

Portanto,

p(2)C

p(2)E

= T ·

p(1)C

p(1)E

.

O mesmo ocorre do segundo para o terceiro ano, deste para o quarto,etc. Temos, pois, a sequencia:

1oano︷ ︸︸ ︷

p(1)C

p(1)E

Ã

2oano︷ ︸︸ ︷

p(2)C

p(2)E

= T ·

p(1)C

p(1)E

Ã

Ã

3oano︷ ︸︸ ︷

p(3)C

p(3)E

= T ·

p(2)C

p(2)E

= T 2 ·

p(1)C

p(1)E

Ã

...

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UNIVATES – Centro Universitario 242

...

Ã

n−esimo ano︷ ︸︸ ︷

p(n)C

p(n)E

= Tn−1 ·

p(1)C

p(1)E

Deste modo, o comportamento do clima da regiao a longo prazo (quandon aumenta) podera ser previsto2 se soubermos que os elementos das matrizesTn, n = 1, 2, . . . se aproximam dos elementos de uma matriz fixa P pois,neste caso, p

(n)C → p1 e p

(n)E → p2 quando n →∞ com

p1

p2

= P ·

p(1)C

p(1)E

(D.1)

Se Tn nao se aproxima de uma matriz P , entao nao poderemos fazernenhuma previsao a longo prazo, pois o processo se modificara bastante acada passo.

Assim, um dos problemas que devemos resolver e quais sao as condicoessobre a matriz T das probabilidades de transicao, para que suas potenciasse aproximem de uma determinada matriz.

Isto sera respondido na proxima seccao, junto com o termino da resolucaodo exemplo D.1.3.

D.2 Conceito

Definicao D.2.1 Um processo aleatorio de Markov (ver definicaoD.1.1) e um processo que pode assumir estados a1, a2, . . . , ar, de tal modoque a probabilidade de transicao de um estado aj para um estado ai seja pij

(um numero que so depende de aj e ai).

Definicao D.2.2 A matriz das probabilidades de transicao (oumatriz estocastica) e dada por:

T =

p11 p12 · · · p1r

p21 p22 · · · p2r...

.... . .

...pr1 pr2 · · · prr

(Observe que pij ≥ 0, e que a soma de cada coluna deve ser 1).

Definicao D.2.3 O vetor de probabilidades e aquele cuja i-esimalinha da a probabilidade de ocorrencia do estado ai apos n transicoes:

p(n)1...

p(n)r

2Tal previsao e importante, pois se chegarmos, por exemplo, a conclusao de quep(n)E → 1 quando n →∞, a longo prazo a regiao se ternara um deserto.

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UNIVATES – Centro Universitario 243

Seguindo o raciocınio de exemplo D.1.3, apos n passos, teremos:

p(n)1...

p(n)r

= Tn−1 ·

p(1)1...

p(1)r

.

D.3 Previsoes a Longo Prazo

Para podermos fazer previsoes a longo prazo, a matriz T deve cumprircertas condicoes que veremos a seguir:

Definicao D.3.1 Uma matriz de probabilidades de transicao e regularse alguma de suas potencias tem todos os elementos nao nulos.

Teorema D.3.2 Seja Tr×r a matriz das probabilidades de transicao deum certo evento.Se T e regular, entao:

(i) As potencias Tn aproximam-se de uma matriz P , no sentido de quecada elemento de Tn aproxima-se do elemento correspondente em P .

(ii) Todas as colunas de P sao iguais, sendo dadas por um vetor-coluna

V =

p1...pr

,

com p1 > 0, p2 > 0,. . . , pr > 0.

(iii) Para qualquer vetor de probabilidades inicial

V1 =

p(1)1...

p(1)r

,

o vetor de probabilidades TnV1 aproxima-se de V (dado no item ante-rior).

(iv) O vetor V e o unico vetor que satisfaz V = TV .

prova: Ainda nao e o momento oportuno. dObservacao D.3.3 O teorema D.3.2 informa que se a matriz de

transicao e regular, entao e possıvel fazer uma previsao a longo prazo, pre-visao esta independente das probabilidades iniciais V1. Ademais, o item (iv)indica como achar esta probabilidade.

Observacao D.3.4 Em linguagem tecnica, o processo utilizado no item(iv) do teorema D.3.2 para encontrar o vetor “final” de probabilidades, cor-responde a procura de um autovetor associado ao autovalor 1 da matrizT .

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UNIVATES – Centro Universitario 244

D.3.1 Exemplos

Exemplo D.3.5 Voltando ao exemplo D.1.3, temos que a matriz de

transicao T =

1/4 1/2

3/4 1/2

e regular, pois ela mesma (potencia 1) ja tem

todos os elementos positivos. Logo, pelo item (iv) do teorema D.3.2, quais-quer que sejam as probabilidades iniciais teremos, a longo prazo,

pC

pE

=

1/4 1/2

3/4 1/2

pC

pE

ou

pC = 14pC + 1

2pE

pE = 34pC + 1

2pE

ou

2pE = 3pC

⇒ pE = 32pC

2pE = 3pC

.

Como devemos ter pC + pS = 1 (probabilidade total), temos pC + 32pC = 1

e, portanto, pC = 25 e pE = 3

5 . Desta feita, a longo prazo a regiao tendera auma ligeira aridez. X

Exemplo D.3.6 Suponhamos que em uma determinada regiao, a cadaano 3% da populacao rural migra para as cidades, enquanto que apenas 1%da populacao urbana migra para o meio rural. Se todas as demais condicoespermanecerem estaveis, as condicoes polıticas nao mudarem, e estas porcen-tagens de migracao continuarem as mesmas, qual deve ser a relacao entreas populacoes urbana e rural desta regiao a longo prazo?

Resolucao

Se a probabilidade de a populacao rural migrar para a cidade e 0, 03,a probabilidade de nao migracao e 0, 97. Se a probabilidade da populacaourbana migrar para o meio rural e 0, 01, a probabilidade de nao migracao e0, 99. Denotando por U o meio urbano e por R o meio rural, a matriz dasprobabilidades de transicao e dada por

R U

R 0,97 0,01U 0,03 0,99

A matriz e regular, logo, a longo prazo, as probabilidades pR e pU deviver no meio rural e urbano, respectivamente, satisfazem

[0, 97 0, 010, 03 0, 99

]·[

pR

pU

]=

[pR

pU

]

donde pU = 3pR e, como devemos ter pU + pR = 1, segue que pR = 0, 25 epU = 0, 75.

Assim, a longo prazo, teremos 25% da populacao no meio rural e 75%no meio urbano. X

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UNIVATES – Centro Universitario 245

Exemplo D.3.7 Observa-se empiricamente que, em condicoes naturaise sem ser submetida a pesca industrial, a quantidade de uma certa especiede peixes varia da seguinte forma: se em um determinado ano a populacaodiminuiu, a probabilidade de que diminua ainda mais no ano seguinte e 0, 6e, se em um determinado ano a populacao aumenta, a probabilidade de quediminua no ano seguinte e apenas 0, 3. Entretanto, observa-se que sendosubmetida a pesca industrial, quando a populacao aumenta num determi-nado ano, a probabilidade de que diminua no ano seguinte se altera para0, 5, enquanto que se a populacao diminui num ano, a probabilidade de quediminua no ano seguinte continua sendo 0, 6. Deseja-se saber como, a longoprazo, a pesca industrial estara afetando os peixes dessa especie, para ver see necessario diminuir a intensidade de pesca ou se, ao contrario, e possıvelaumenta-la.

Resolucao

Os estados deste processo sao: diminuicao da populacao (D) e aumentoda populacao (A). Entao, sem haver pesca industrial, a matriz de probabi-lidades de transicao e, pois:

D A

D 0,6 0,3A 0,4 0,7

Como a matriz e regular, as probabilidades pD e pA da populacao dimi-nuir ou aumentar a longo prazo, respectivamente, sao:

[0, 6 0, 30, 4 0, 7

]·[

pD

pA

]=

[pD

pA

]

Lembrando que pD + pA = 1, segue que pD = 37 e pA = 4

7 . Portanto, emcondicoes naturais, a especie tem sobrevivencia razoavelmente garantida.

Com a pesca industrial, a matriz se altera para

D A

D 0,6 0,5A 0,4 0,5

Como a matriz e regular, a longo prazo pD e pA sao dadas por[

0, 6 0, 50, 4 0, 5

]·[

pD

pA

]=

[pD

pA

]

Assim, pD = 59 e pA = 4

9 . Portanto, se submetida a pesca industrial,a sobrevivencia da especie estara comprometida. Logo, deve-se diminuir apesca. X

Exemplo D.3.8 Duas substancias distintas estao em contato a trocamıons de sodio entre si. Por deducao teorica ou empırica, sabe-se que um ıonde sodio do meio (1) abaixo tem probabilidade 0, 7 de passar ao meio (2),enquanto que um ıon de sodio do meio (2) tem probabilidade 0, 1 de passarpara o meio (1) (ver figura D.3.1). Colocando-se 2 mois de sodio no meio(1), quais serao as concentracoes de sodio em cada um dos meios, apos umlongo perıodo de tempo?

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UNIVATES – Centro Universitario 246

← Na+Na+ →

meio (1) meio (2)

Figura D.4: Distribuicao de ıons de sodio em dois meios

Resolucao

Os estados deste processo sao: o ıon esta no meio (1) e o ıon esta nomeio (2). A matriz de transicao e:

meio (1) meio (2)meio (1) 0,3 0,1meio (2) 0,7 0,9

Sejam p1 e p2 as respectivas probabilidades de estar no meio (1) ou (2).No instante inicial, todo o sodio foi colocado no meio (1), entao p

(1)1 = 1

e p(1)2 = 0. A matriz e regular, logo a longo prazo as probabilidades nao

dependem das probabilidades iniciais, e devem satisfazer[

0, 3 0, 10, 7 0, 9

]·[

p1p2

]=

[p1p2

]

Temos p1 + p2 = 1 ∴ p1 = 18 e p2 = 7

8 . Logo, as concentracoes finais desodio em cada meio sao 1

8 · 2 = 0, 25 mois no meio (1) e 78 · 2 = 1, 75 mois

no meio (2). X

D.4 Previsoes em Genetica

Fazendo algumas pequenas modificacoes nas ideias que utilizamos nosprocessos de Markov, e possıvel estudar varios problemas geneticos.

O tipo mais simples de transmissao de heranca genetica e efetuadoatraves de pares de genes, podendo estes ser ambos dominantes, recessi-vos, ou um dominante e outro recessivo. Chamemos G o gene dominante eg o recessivo . Um indivıduo sera chamado dominante se tiver genes GG,hıbrido se tiver genes Gg, e recessivo, caso os genes sejam gg. Um in-divıduo herda seus genes ao acaso, um deles de seu pai e o outro de suamae. Assim, nos varios tipos de cruzamento, temos probabilidades distintasde transmissao de heranca genetica.

Exemplo D.4.1 No caso de cruzamento entre dominantes, teremos so-mente filhos dominantes.

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UNIVATES – Centro Universitario 247

↗ GG com probabilidade 1GG cruzado com GG → Gg com probabilidade 0

↘ gg com probabilidade 0

Tabela D.2: Cruzamento entre indivıduos dominantes

Exemplo D.4.2 Cruzando indivıduos recessivos, teremos:

↗ GG com probabilidade 0gg cruzado com gg → Gg com probabilidade 0

↘ gg com probabilidade 1

Tabela D.3: Cruzamento entre indivıduos recessivos

Exemplo D.4.3 Cruzando um dominante com um recessivo, temos:

↗ GG com probabilidade 0GG cruzado com gg → Gg com probabilidade 1

↘ gg com probabilidade 0

Tabela D.4: Cruzamento entre um indivıduo dominante e um recessivo

Exemplo D.4.4 No cruzamento de um indivıduo dominante (GG) comum hıbrido (Gg), temos como resultado indivıduos GG com probabilidade0, 5; indivıduos Gg com probabilidade 0, 5, e nao teremos indivıduos gg, i.e.,a probabilidade de gg e 0.

Exemplo D.4.5 No caso de cruzarmos um indivıduo recessivo (gg) comum hıbrido (Gg), teremos probabilidade 0 para GG, probabilidade 0, 5 paraGg, e probabilidade 0, 5 para gg.

Exemplo D.4.6 E, finalmente, no caso de dois indivıduos hıbridos(Gg), temos: indivıduos GG com probabilidade 0, 25; indivıduos Gg comprobabilidade 0, 5; e indivıduos gg com probabilidade 0, 25.

Notacao: usaremos d para indicar qualquer caracterıstica dominante,r para caracterısticas recessivas, e h para indivıduos hıbridos; alem disso,usaremos d × d, d × r, etc., para os representar os diversos cruzamentospossıveis.

Colocando as probabilidades em colunas, podemos montar a seguintematriz T :

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UNIVATES – Centro Universitario 248

d× d r × r d× r d× h r × h h× h

d 1 0 0 0,5 0 0,25h 0 0 1 0,5 0,5 0,5r 0 1 0 0 0,5 0,25

Tabela D.5: Cruzamento entre indivıduos

Observacao D.4.7 Numa populacao numerosa composta por uma por-centagem p

(1)d de indivıduos dominantes, p

(1)h de indivıduos hıbridos e p

(1)r

de indivıduos recessivos, a probabilidade de cruzamento de genes de um in-divıduo dominante com outro dominante e p

(1)d · p(1)

d . Se quisermos calculara probabilidade de um cruzamento entre um dominante e um hıbrido, temosque somar p

(1)d · p(1)

h (considerando o caso em que o primeiro e dominante eo segundo e hıbrido) a p

(1)h · p(1)

d . Assim, a probabilidade e de 2p(1)d · p(1)

h . Osoutros casos seguem o mesmo raciocınio3.

Cruzamento Probabilidaded× d p

(1)d · p(1)

d

r × r p(1)r · p(1)

r

d× r 2p(1)d · p(1)

r

d× h 2p(1)d · p(1)

h

r × h 2p(1)r · p(1)

h

h× h p(1)h · p(1)

h

Tabela D.6: Probabilidades dos diversos cruzamentos possıveis

E possıvel obter as porcentagens p(2)d , p

(2)h e p

(2)r da segunda geracao de

cruzamentos dos respectivos indivıduos:

p(2)d

p(2)h

p(2)r

=

1 0 0 1/2 0 1/40 0 1 1/2 1/2 1/20 1 0 0 1/2 1/4

·

p(1)d · p(1)

d

p(1)r · p(1)

r

2p(1)d · p(1)

r

2p(1)d · p(1)

h

2p(1)r · p(1)

h

p(1)h · p(1)

h

Supondo que nao haja novo cruzamento de indivıduos da primeirageracao 4 e uma vez obtidas as porcentagens de indivıduos da segundageracao, podemos obter as porcentagens da terceira geracao, e assim su-cessivamente.

3Estamos supondo que a caracterıstica genetica analisada seja tal que nao interfira nocruzamento natural

4O que, em geral, ocorre com populacoes de insetos, etc.

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UNIVATES – Centro Universitario 249

Observacao D.4.8 Desta forma, podemos obter o perfil genetico dequalquer geracao, ainda que os calculos sejam cada vez mais demorados.Este tipo de analise, embora simples, e de suma importancia em muitoscampos. Em particular, na Agricultura, para se ter uma ideia da propagacaoda resistencia genetica a certos tipos de doencas, da resistencia de insetos atipos de inseticidas, etc.

Exemplo D.4.9 Para se combater uma determinada especie de insetos,aplica-se um certo tipo de inseticida numa plantacao. Apos a aplicacaoverifica-se que, dos poucos insetos sobreviventes, 60% eram resistentes aoinseticida e os outros 40% nao o eram (e haviam sobrevivido por razoescasuais). Sabe-se que o ciclo de vida desses insetos e de um ano e que elesse cruzam apenas uma vez em cada geracao. Ademais, ficou comprovado quea resistencia ao inseticida e uma caracterıstica dominante e que o inseticidanao foi aplicado novamente. Qual e a porcentagem de insetos resistentes aoinseticida apos dois anos?

Solucao

Por ser uma caracterıstica dominante, os insetos resistentes podem ser degenotipo GG ou Gg na relacao de 1 : 2 e, assim, 20% dos insetos resistentessao dominantes e 40% sao hıbridos. Temos, portanto, p

(1)d = 0, 2, p

(1)h = 0, 4

e p(1)r = 0, 4 e assim, a distribuicao da porcentagem dos insetos apos um ano

e dada por

p(2)d

p(2)h

p(2)r

=

1 0 0 1/2 0 1/40 0 1 1/2 1/2 1/20 1 0 0 1/2 1/4

·

(0, 2) · (0, 2)(0, 4) · (0, 4)2(0, 2) · (0, 4)2(0, 2) · (0, 4)2(0, 4) · (0, 4)(0, 4) · (0, 4)

ou seja, p(2)d = 0, 16, p

(2)h = 0, 48 e p

(2)r = 0, 36. Apos mais um ano, a

distribuicao de insetos sera dada por

p(3)d

p(3)h

p(3)r

=

1 0 0 1/2 0 1/40 0 1 1/2 1/2 1/20 1 0 0 1/2 1/4

·

(0, 16) · (0, 16)(0, 36) · (0, 36)2(0, 16) · (0, 36)2(0, 16) · (0, 48)2(0, 36) · (0, 48)(0, 48) · (0, 48)

ou seja, p(3)d = 0, 16, p

(3)h = 0, 48 e p

(3)r = 0, 36.

Assim, apos dois anos, a porcentagem dos insetos resistentes ao inseticidasera de p

(3)d + p

(3)h = 0, 16 + 0, 48 = 0, 64, ou seja, 64% da populacao e

resistente. Dessa forma, se for necessaria uma nova aplicacao de inseticida,nao sera conveniente aplicar o mesmo tipo, pois ele matara no maximo 36%dos insetos.

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UNIVATES – Centro Universitario 250

Observacao D.4.10 Observe que a distribuicao dos insetos quantoao genotipo GG, Gg ou gg permaneceu a mesma nas segunda e terceirageracoes.

Exercıcio D.4.11 Calcule as probabilidades para a quarta geracao deinsetos (depois de tres anos) para o problema D.4.9.

Observacao D.4.12 O resultado que voce obteve no exercıcio D.4.11nao e uma casualidade. Existe uma “lei genetica” que estabelece, sobcondicoes ideais, que depois da segunda geracao a distribuicao entre osgenotipos permanece a mesma. Assim, se partirmos de uma populacao ondea formacao inicial e dada por frequencias p

(1)d = u, p

(1)h = v e p

(1)r = w,

temos:

Genotipo Geracao inicial Geracoes seguintesGG u (u + v

2 )2

Gg v 2(u + v2 )(w + v

2 )gg w (w + v

2 )2

Pode-se demostrar esta relacao atraves do produto de matrizes (em momen-tos de solidao).

Observacao D.4.13 No modelo genetico considerado nesta secao,assume-se uma situacao-padrao: nao existe migracao, os encontros sao aoacaso, nao ocorrem mutacoes nem selecao, os dois sexos aparecem sempreem quantidades iguais.

Observacao D.4.14 Esta relacao de estabilidade genetica foi apresen-tada independentemente, pelo matematico G.H. Hardy e o genetico W.Weinberg em 1908.

CHAETINGER

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Apendice E

Somatorios

Vamos agora apresentar a voce um sımbolo que sera bastante utilpara os itens que ainda desenvolveremos neste curso; e o faremos atraves deum exemplo: imagine que queiramos representar a soma dos dez primeirostermos de uma progressao:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10;

no sentido de sintetizar esta soma, usaremos o sımbolo10∑i=1

ai que deve ser

lido: “somatorio de ai, com i variando de um ate dez”.Note que o ındice i pode ser substituıdo por qualquer outra letra; de

fato, a mesma soma apresentada anteriormente poderia tambem ser escrita

como:10∑

j=1aj ou

10∑n=1

an ou10∑

s=1as. Muitas vezes aparecem tambem somatorios

duplos, triplos, etc., onde trabalhamos com dois, tres, etc. ındices.

E.1 Exemplos

Exemplo E.1.1 O somatorio duplo2∑

i,j=1aij representa:

a11 + a12 + a21 + a22, ou seja, a soma dos termos da matriz quadrada(a11 a12a21 a22

).

Exemplo E.1.2 O somatorio triplo2∑

i,j,k=1aijk representa:

a111 + a112 + a121 + a122 + a211 + a212 + a221 + a222.

251

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UNIVATES – Centro Universitario 252

E.2 Exercıcios

Exercıcio E.2.1 Desenvolver o somatorion∑

i=1i.

Exercıcio E.2.2 Desenvolver o somatorio7∑

i=31i .

Exercıcio E.2.3 Desenvolver o somatorio6∑

i=1i

i+1 .

Exercıcio E.2.4 Quantas parcelas ha no somatorio121∑i=53

ai?

Exercıcio E.2.5 Desenvolver o somatorion∑

i=0aibn−i.

Exercıcio E.2.6 Desenvolver o somatorion∑

i=0(−1)nai, nos casos:

1. n e par.

2. n e ımpar.

Exercıcio E.2.7 Escrever sob a forma de somatorio:

a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + . . . + an−1x + an.

Exercıcio E.2.8 Escrever sob a forma de somatorio:

1− a + a2 − a3 + . . . + a100 − a101.

Exercıcio E.2.9 Escrever sob a forma de somatorio:

−1 + a− a2 + a3 − . . .− a100 + a101.

Exercıcio E.2.10 Escrever sob a forma de somatorio: (x + a)n.

Dica: Use o binomio de Newton.

Exercıcio E.2.11 Calcular o somatorio5∑

i=0

(5i

).

Exercıcio E.2.12 Calcular o somatorio70∑

i=232.

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UNIVATES – Centro Universitario 253

E.3 Algumas Propriedades

Propriedade E.3.1 αn∑

i=1ai =

n∑i=1

(αai)

prova:

αn∑

i=1ai = α(a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an) =

= αa1 + αa2 + · · ·+ αan−1 + αan =

=n∑

i=1(αai)

Propriedade E.3.2n∑

i=1(ai + bi) =

n∑i=1

ai +n∑

i=1bi

prova: exercıcio. PPropriedade E.3.3 (

n∑i=1

ai)(m∑

j=1bj) =

n∑i=1

m∑j=i

aibj

prova: Seja B =m∑

j=1bj ; entao:

(n∑

i=1ai)(

m∑j=1

bj) = (n∑

i=1ai) ·B =

=n∑

i=1(aiB) =

=n∑

i=1(ai

m∑j=1

bj) =

=n∑

i=1

m∑j=1

aibj

Note que nesta demonstracao utilizamos duas vezes a propriedade 1.

Propriedade E.3.4n∑

i=1

m∑j=1

aibj =m∑

j=1

n∑i=1

aibj

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UNIVATES – Centro Universitario 254

prova:

n∑i=1

m∑j=1

aibj =n∑

i=1(aib1 + aib2 + · · ·+ aibm) =

= a1b1 + a1b2 + · · ·+ a1bm−1 + a1bm++a2b1 + a2b2 + · · ·+ a2bm−1 + a2bm+

···

+an−1b1 + an−1b2 + · · ·+ an−1bm−1 + an−1bm++anb1 + anb2 + · · ·+ anbm−1 + anbm =

= (n∑

i=1ai)b1 + (

n∑i=1

ai)b2 + · · ·+ (n∑

i=1ai)bm−1 + (

n∑i=1

ai)bm =

=m∑

j=1(

n∑i=1

ai)bj =

=m∑

j=1

n∑i=1

aibj

E.4 Respostas dos Principais Exercıcios

E.2.1 n·(n+1)2

E.2.2 153140

E.2.3 617140

E.2.4 121− 53 + 1 = 69

E.2.7n∑

i=0aix

n−i

E.2.8101∑i=0

(−1)iai

E.2.9101∑i=0

(−1)i+1ai

E.2.10n∑

i=0

(ni

)xn−iai

E.2.11 25 = 32

E.2.12 96

CHAETINGER

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Apendice F

Topicos sobre Retas e suasEquacoes

F.1 Introducao

Ja estudamos alguns topicos de Geometria Analıtica. Assim, dadosdois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), sabemos que

dist(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2.

Alem disso, o ponto medio de um segmento AB e M(

xA+xB2 , yA+yB

2).

Sabemos que uma equacao do tipo y = mx + n, com m e n constantes,representa uma reta e que a equacao da circunferencia de centro C(xC , yC)e raio r e (x− xC)2 + (y − yC)2 = r2.

Aqui, dedicar-nos-emos ao estudo analıtico (algebrico) das retas.

Propriedade F.1.1 Numa reta nao vertical, aos sucessivos aumentosiguais nas abscissas (coordenadas X) de seus pontos, correspondem sucessi-vos aumentos iguais (entre si) nas ordenadas dos mesmos.

Exercıcio F.1.2 Considere a reta de equacao y = 3x− 5. Seus pontosde abscissas 2, 3, 4 e 5 possuem ordenadas respectivamente iguais a:

Exercıcio F.1.3 Os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) pertencem a retay = 7x + 4. Sendo ∆x = xB − xA e ∆y = yB − yA:

1. Se ∆x = 1 entao ∆y = ;

2. Se ∆x = 2 entao ∆y = ;

3. Se ∆x = 6 entao ∆y = .

255

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UNIVATES – Centro Universitario 256

6

-

6

-

6

-

Figura F.1: Representacao geometrica da propriedade construtiva de umareta

Exercıcio F.1.4 Os pontos A, B e C pertencem a reta y = 5x − 1.Se suas abscissas constituem uma P.A. de razao 1, entao suas ordenadasconstituem uma de razao . Este fato nos mostra que o graficode y = 5x − 1, enquanto avanca uma unidade apenas para a direita, sobe

unidades.

Exercıcio F.1.5 Comparando as declividades (inclinacoes) das retasdadas por y = 2x + 13 e por y = 4x − 11, pode-se afirmar que a de maiordeclividade e , pois ela, ao avancar uma unidade para a direita, sobe

unidades, enquanto a outra sobe apenas unidades.

Exercıcio F.1.6 Os pontos A, B, C, e D pertencem a reta y = −6x+5.Se suas abscissas constituem uma P.A. de razao 1, entao suas ordenadasconstituem uma de razao . Este fato nos mostra que o grafico dey = −6x+5, enquanto avanca uma unidade para a direita, unidades.

Exercıcio F.1.7 Comparando as inclinacoes das retas y = −17x + 31e y = −9x + 57; aquela que mais se aproxima de uma posicao vertical e

, pois ela, ao avancar uma unidade para a direita,unidades, enquanto a outra apenasunidades.

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UNIVATES – Centro Universitario 257

Exercıcio F.1.8 Os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) pertencem a retay = 10x.

1. Se ∆x = 3, entao ∆y = ;

2. Se ∆x = , entao ∆y = 4.

Exercıcio F.1.9 Os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), distintos, perten-cem a reta y = 2x + 3. Entao, temos: ∆y = ∆x, ou seja, ∆y

∆x = .

F.2 Coeficiente Angular

Os exercıcios acima indicam que a inclinacao da reta r dada pory = mx + n e sempre regulada pelo coeficiente m. Estudaremos isto maisdetalhadamente.

Suponhamos r nao-horizontal, e seja A = r∩ ~OX formando α = ∠(r, ~OX)no sentido anti-horario. Calculemos tanα.

Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) ∈ r. Entao, yA = mxA +n e yB = mxB +n.1o caso: 0 < α < 90:

α

xA xB

α

A

C

B

yA

yB

Figura F.2: Coeficiente angular onde 0 < α < 90

Neste caso, 0 < α < 90, tem-se:

tanα =BC

AC=

yB − yA

xB − xA=

(mxB + n)− (mxA + n)xB − xA

= m(xB − xA)xB − xA

= m.

Antes de prosseguir, vale lembrar que se α e obtuso, entao:

tan(180− α) = − tanα.

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UNIVATES – Centro Universitario 258

2o caso: 90 < α < 180:Neste caso, 90 < α < 180, tem-se:

tan α = − tan(180− α) = −BC

AC= − yB − yA

xA − xB=

yB − yA

xB − xA.

Entao

tanα =(mxB + n)− (mxA + n)

xB − xA= m

(xB − xA)xB − xA

= m.

yB B

yAC

xB xA

A

180− α

α

Figura F.3: Coeficiente angular onde 90 < α < 180

Finalmente, conclui-se que:Coeficiente angular: m = tanα

Por isso, na reta dada por y = mx + n, chamaremos m de coeficienteangular da reta.

Observacao F.2.1 Os casos em que a reta e horizontal ou vertical seraoanalisados mais tarde.

F.3 Coeficiente Linear

Na reta r de equacao y = mx+n, o ponto de abscissa x = 0 tem ordenaday = n. Portanto, (0, n) e o ponto de interseccao de r com o eixo ~OY . Nareta dada por y = mx+n, o coeficiente n sera chamado de coeficiente linerarda reta.

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(0, n)

y = mx + n

0Figura F.4: Coeficiente linear da reta

Exemplo F.3.1 Obtenha a equacao da reta r indicada na figura abaixo.

45o

0

(0, 3)

r

Resolucao

A equacao da reta r e y = mx + n, onde m = tan 45 = 1 e n = 3. Logo,a equacao pedida e y = x + 3. X

Exercıcio F.3.2 Qual e o coeficiente angular da reta y = −5x + 7?

Exercıcio F.3.3 Obtenha os coeficientes angular e linear da reta deequacao 3x + 2y − 8 = 0.

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UNIVATES – Centro Universitario 260

Exercıcio F.3.4 Nos itens abaixo, obtenha a equacao da reta:

a.

60o

(0, 5)

b.

45o

(0,−2)

c.

30o

(0, 1)

d.

135o

(0,−3)

e.

60o

f.

150o

(0,−3)

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UNIVATES – Centro Universitario 261

Exercıcio F.3.5 Na figura abaixo, OAB e um triangulo equilatero delado 3. Obtenha a equacao da reta que os pontos A e B determinam.

O

A

B

Exercıcio F.3.6 Na figura abaixo, MNOP e um quadrado de lado 2.Obtenha a equacao da reta suporte da diagonal NP .

O

N M

P

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UNIVATES – Centro Universitario 262

Exercıcio F.3.7 Na figura abaixo, ABCD e um quadrado de lado 2√

2.Qual e a equacao da reta que os pontos B e C determinam?

A

B

C

D

O

F.3.1 Um Caso a Parte

1o caso: A reta r e horizontal.Todos os pontos de r tem ordenadas iguais a n. Portanto, y=n .Note que se enquadra na formula y = mx+n (α = 0) e continua valendo

m = tanα = ∆y∆x .

0

n

r

Figura F.5: Reta horizontal

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UNIVATES – Centro Universitario 263

2o caso: A reta r e vertical.Neste caso a equacao de r e: x=d , que nao se enquadra no caso

“geral”y = mx + n.Aqui tem-se α = 90 e, como nao se define tan 90, tambem nao se definira

coeficiente angular para as retas verticais.

r

0 (d, 0)

Figura F.6: Reta vertical

Portanto: a reta vertical constitui uma excecao, e deve ser analisadasempre a parte do caso “geral”y = mx + n.

Exercıcio F.3.8 O triangulo OAB e equilatero de lado 10. Obtenha asequacoes das retas suportes das alturas do triangulo relativas aos lados OBe OA.

0

A

B

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UNIVATES – Centro Universitario 264

Exercıcio F.3.9 Nos itens abaixo, obtenha a equacao da reta r:

a.

rP (3, 2)

b.

r

0

P (4,−3)

c.

0

P (2, 1)r

d.

0

r

Exercıcio F.3.10 Em cada caso, obtenha o coeficiente angular da retadada:

1. x5 + y

3 = 1

2. y = 2

3. y − 2 = 3(x + 5)

4. x = 6

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UNIVATES – Centro Universitario 265

Exercıcio F.3.11 Na figura abaixo, OABC e um quadrado de diagonal6. Qual e a equacao da reta que passa por A e C? E por A e B?

O

A

B

C

Exemplo F.3.12 Qual e o coeficiente angular da reta determinada pe-los pontos A(−1, 2) e B(2, 11)?

Resolucao

m =∆y

∆x=

11− 22− (−1)

=93

= 3

O coeficiente angular e m = 3. X

Exercıcio F.3.13 Em cada caso, obtenha o coeficiente angular da retadefinida pelos pontos A e B:

1. A(3, 4) e B(7, 8)

2. A(−1, 2) e B(5,−6)

3. A(−2,−3) e B(−3, 2)

4. A(10, 8) e B(7, 8)

5. A(2, 7) e B(2, 13).

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UNIVATES – Centro Universitario 266

Exemplo F.3.14 Na figura abaixo, OABC e um quadrado de lado 2;M e N sao pontos medios dos lados. Quais sao as equacoes das retas r, se t?

t s

rO

C B

A

M

N

Resolucao

As tres retas tem o mesmo coeficiente linear: n = 2.

mr =yM − yC

xM − xC=

1− 22− 0

= −12

ms = tan 135 = −1,

mt =yN − yC

xN − xC=

0− 21− 0

= −2

Entao as equacoes sao:(r): y = −1

2x + 2;(s): y = −x + 2;(t): y = −2x + 2. X

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UNIVATES – Centro Universitario 267

Exercıcio F.3.15 Na figura abaixo, OABC e um quadrado de lado 2;M , N e P sao pontos medios dos lados. Quais sao as equacoes das retas r,s e t?

r

M

s

N

t

AO

P

C B

Exercıcio F.3.16 Na figura abaixo, OABC e um quadrado de lado 2 eCDE e um triangulo equilatero de lado 2. Quais sao as equacoes das retasr, s e t?

t

AO

C

E

D

rB

s

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UNIVATES – Centro Universitario 268

F.4 As Retas que Passam por um Ponto Dado

Dado um ponto P (xP , yP ), ha infinitas retas do plano cartesiano quepassam por P .

P (xP , yP )

1o caso: A reta r nao e vertical.Sendo m o coeficiente angular da reta, para qualquer ponto (x, y) ∈ r,

distinto de P (xP , yP ), tem-se:

m =∆y

∆x=

y − yP

x− xP.

Entao: y − yP = m(x− xP ) .Note que o proprio ponto P (xP , yP ) satisfaz a equacao:

(x, y)

P (xP , yP )

r

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2o caso: A reta r e vertical.Neste caso, a equacao da reta r e: x = xP .

r

P (xP , yP )

Conclusao: As retas que passam por P (xP , yP ) tem suas equacoes da-das por: y − yP = m(x− xP ) ou x = xP .

Exemplo F.4.1 Obtenha a equacao das retas r, s, t e u.

r

t

150o

u

s

P (5, 3)

45o 120o

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UNIVATES – Centro Universitario 270

Resolucao

• A reta r nao e vertical e passa por P (5, 3); logo y− yP = mr(x− xP ),o que implica que y − 3 = mr(x − 5). Mas, mr = tan 45 = 1. Donde(r): y − 3 = x− 5 ou y = x− 2;

• A reta s e vertical: (s): x = 5;

• A reta t nao e vertical, logo y − 3 = mt(x − 5). Mas, sabemos quemt = tan 120 = −√3. Donde (t): y − 3 = −√3(x − 5) ou ainday = −√3x + (3 + 5

√3);

• A reta u nao e vertical e mu = tan 150 = −√33 . A equacao da reta e

dada por (u): y − 3 = −√33 (x− 5) ou ainda y = −

√33 x + (3 + 5√3

3 ).X

Exercıcio F.4.2 Em cada caso, obtenha a equacao da reta que passapelo ponto P e tem coeficiente angular m:

1. P (2, 1) e m = 2;

2. P (−1, 3) e m = −1;

3. P (0, 5) e m = 3;

4. P (0, 0) e m = 1.

Exercıcio F.4.3 De a equacao da reta r, em cada caso:

P (4, 2)

45o

a.

30o

(−1, 4)b.

45o

(7,−1)c.

d.

60o

(−√3,−2)

e.

(2,−1)

f.

60o

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UNIVATES – Centro Universitario 271

Exemplo F.4.4 Qual e a equacao da reta que passa por A(1, 1) eB(3, 11)?

ResolucaoA reta nao e vertical e passa por A(1, 1); logo: y − 1 = m(x− 1). Mas,

m =∆y

∆x=

yB − yA

xB − xA=

11− 13− 1

= 5.

Entao, y − 1 = 5(x− 1) ou ainda y = 5x− 4. X

Exercıcio F.4.5 Em cada caso, escreva a equacao da reta definida pelospontos A e B:

1. A(1, 5) e B(5, 13);

2. A(1, 2) e B(3,−4);

3. A(−3,−10) e B(5,−2);

4. A(−3,−1) e B(0, 1);

5. A(−8, 12) e B(3, 12);

6. A(2, 2) e B(1, 5);

7. A(0, 0) e B(5, 7);

8. A(−1,−5) e B(−1, 8).

Exercıcio F.4.6 Determine o valor de a para que os pontos A(3, 5),B(−3, 8) e C(4, a) estejam alinhados.

Exercıcio F.4.7 Determine o ponto P , pertencente ao eixo das abscis-sas, que esta alinhado com os pontos A(−1, 2) e B(3, 1).

Exercıcio F.4.8 Na figura abaixo, OAP e um triangulo equilatero delado 8 e ABCD e um quadrado de lado 8. Obtenha as equacoes das retas r,s e t.

t

s

r

A B

CD

P

O

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F.5 Paralelismo de duas retas

Proposicao F.5.1 Se duas retas r e s sao paralelas entre si, entao elaspossuem coeficientes angulares iguais, com excecao do caso em que ambassao verticais.

prova: De fato, se r ‖ s, entao αr = αs.(i). Se αr = αs 6= 90o, entao tanαr = tanαs ⇒ mr = ms.(ii). Se αr = αs = 90o, entao r e s sao ambas verticais.

Exemplo F.5.2 Obtenha a equacao da reta r que passa por P (−2, 3) ee paralela a reta s: 5x + 7y + 8 = 0.

Resolucao(s): 5x + 7y + 8 = 0 ⇒ y = −5

7x − 87 ⇒ ms = −5

7 . Mas, r ‖ s; logo:mr = ms = −5

7 .Como a reta r passa por P (−2, 3), sua equacao e: y− 3 = −5

7(x + 2) ouy = −5

7x + 117 ou ainda 5x + 7y − 11 = 0. X

Exercıcio F.5.3 Em cada caso escreva a equacao da reta que passa peloponto P e e paralela a reta (r) dada:

1. P (−1, 2) e (r): 2x− 5y + 7 = 0;

2. P (−3,−5) e (r): y = 8x− 1;

3. P (4, 5) e (r): y = 1;

4. P (1, 8) e (r): x2 + y

3 = 1;

5. P (7,−4) e (r): y − 2 = 5(x + 3);

6. P (−2, 3) e (r): x− 3 = 0.

Exercıcio F.5.4 Escreva a equacao da reta que passa por P e e paralelaa reta determinada pelos pontos A e B:

1. P (2, 3), A(1,−7) e B(4, 8);

2. P (3,−5), A(4, 7) e B(6, 3).

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UNIVATES – Centro Universitario 273

Exercıcio F.5.5 Na figura, ABCD e um paralelogramo. Obtenha aequacao da reta suporte do lado CD, sabendo que A(2, 4), B(1, 1) e C(5, 2).

BC

A

Exercıcio F.5.6 Determine o valor da constante k tal que as retas da-das por x− 3y + 2 = 0 e 5x + ky − 1 = 0 sejam paralelas.

F.6 Interseccao de Duas Retas

O ponto de interseccao de duas retas pertence a ambas, isto e, deve sa-tisfazer as equacoes dessas duas retas. Portanto, para obter o ponto comuma duas retas concorrentes, basta resolver o sistema formado pelas equacoesdessas duas retas.

Exemplo F.6.1 Obter o ponto de interseccao da reta (r): 5x+4y+2 =0 com a reta (s): 3x− 4y − 18 = 0.

SolucaoSeja o sistema {

5x + 4y + 2 = 03x− 4y − 18 = 0.

Somando-se as duas equacoes, segue que 8x− 16 = 0.Logo, x = 2 e y = −3. Portanto, o ponto de interseccao de r com s e

P (2,−3). X

Exercıcio F.6.2 Determine o ponto de interseccao das retas r e s nosseguintes casos:

1. (r): y = 2x + 7; (s): y = x + 3;

2. (r): 2x + 3y + 1 = 0; (s): x + 2y = 0;

3. (r): y = 3x− 7; (s): y = 8;

4. (r): y = 3x + 6y + 1 = 0; (s): x + 2y − 5 = 0.

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UNIVATES – Centro Universitario 274

Exercıcio F.6.3 Quais os vertices do triangulo determinado pelas retas(r): y = 5x− 4, (s): y = 2x− 1 e (t): x = 5?

Exercıcio F.6.4 No paralelogramo ABCD, os lados AB e AD estaocontidos respectivamente nas retas (r): y = 7

3x − 23 e (s): y = −3

2x + 7.Dado C(7, 8), determine BD.

A

D

C

B

s

r

Exercıcio F.6.5 A parabola e a reta de equacoes y = x2

9 + 3x + 6 ey = 4

3x cortam-se em dois pontos A e B. Determine o comprimento dosegmento AB.

F.7 Perpendicularismo de duas Retas

Uma primeira situacao de perpendicularismo ocorre quando uma dasretas e horizontal e a outra vertical.

Excetuando-se este caso:Se r e s sao perpendiculares, tem-se: αr = 90o + αs (confira!)

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UNIVATES – Centro Universitario 275

γ

β

αr

αs

De fato,{

αs + β = 90o

γ + β = 90o . Logo, γ = αs.

Assim, tanαr = tan(90 + αs). Donde,

tan(αr) =sin(90 + αs)cos(90 + αs)

=cosαs

− sinαs= − 1

tanαs.

Entao, mr = − 1ms

.Conclusao: Se duas retas r e s sao perpendiculares, tem-se: mr = − 1

ms

ou entao uma das retas e horizontal e a outra, vertical.

Exemplo F.7.1 Obter a equacao da reta r que passa por P (3, 5) e eperpendicular a reta s, dada por 4x− 7y + 1 = 0.

Solucao(s): 4x − 7y + 1 = 0 ⇒ y = 4

7x + 17 . Entao ms = 4

7 . Mas r ⊥ s, logomr = −7

4 . Como P ∈ r, segue que (r): y − 5 = −74(x− 3). X

Exercıcio F.7.2 Em cada caso escreva a equacao da reta que passa peloponto P e e perpendicular a reta r dada:

1. P (2,−1) e (r): 2x− y + 4 = 0;

2. P (−8, 3) e (r): 5x + 2y − 9 = 0;

3. P (4,−6) e (r): x− 3 = 0.

F.7.1 Projecao (Ortogonal) de um Ponto sobre uma Reta

Considere, num plano, um ponto P e uma reta r. Chama-se projecao(ortogonal) de P sobre r ao ponto de interseccao de r com a reta que lhe eperpendicular, passando por P .

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UNIVATES – Centro Universitario 276

P

Q

r

Exercıcio F.7.3 Obter a projecao do ponto P sobre a reta r nos se-guintes casos:

1. P (3,−1) e (r): x + 2y − 6 = 0;

2. P (2, 1) e (r): x + 3y − 6 = 0.

Exercıcio F.7.4 Dentre os pontos da reta 2x− y− 1 = 0, qual e aquelecuja distancia ao ponto P (2, 8) e mınima?

Exercıcio F.7.5 Para qual valor do coeficiente k as retas dadas por3x + y − 15 = 0 e 4x + ky + 1 = 0 sao perpendiculares entre si?

Exemplo F.7.6 O ponto P (6, 4) pertence a uma circunferencia de cen-tro C(4, 3). Obtenha a equacao da reta t que passa por P (6, 4) e tangenciaesta circunferencia.

&%

'$

t

P

ResolucaoO raio da circunferencia CP e a reta t sao perpendiculares entre si. Como

mCP = yP−yCxP−xC

= 4−36−4 = 1

2 , tem-se mt = − 1mCP

= −2. A reta t passa porP (6, 4) e mt = −2, logo a equacao e: y− 4 = −2(x− 6) ou y = −2x + 16.X

Exemplo F.7.7 Obtenha o ponto T , simetrico de P (4, 1), em relacao areta (r): x + 3y + 3 = 0. (Q e a projecao de P sobre r; T e o simetrico deP em relacao a r (PQ = QT )).

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r

P

T

Q

ResolucaoSeja s a reta que passa por P e e perpendicular a r. Entao mr = −1

3 ,donde ms = − 1

mr= 3. A equacao de s e: y − 1 = 3(x− 4) ou y = 3x− 11.

Obtemos {Q} = r ∩ s, resolvendo o sistema das equacoes r e s. Assim,Q = (3,−2). Como Q e o ponto medio de TP , temos que xQ = xP +xT

2 ,donde xT = 2. Da mesma forma, yQ = yP +yQ

2 , donde yT = −5. Logo,T (2,−5). X

F.8 Equacao Geral e Equacao Reduzida

Toda reta, mesmo que vertical, tem uma equacao que pode ser apresen-tada na forma ax + by + c = 0, onde a, b, c sao constantes, com a e b naosimultaneamente nulos.

Por exemplo, a reta (r): y = −23x + 7 pode ser dada pela equacao

(r): 2x + 3y − 7 = 0, e a reta (s): x = 5 pode ser apresentada na forma(s): 1x + 0y − 5 = 0.

F.8.1 Equacao Geral da Reta

Chamaremos equacao geral da reta a equacao da reta dada na forma:ax + by + c = 0 (a e b nao simultaneamente nulos).

Toda reta nao vertical tem uma equacao que pode ser apresentada naforma y = mx + n, onde m e n sao constantes chamadas, respectivamente,de coeficiente angular e coeficiente linear.

F.8.2 Equacao Reduzida da Reta

Chamaremos de equacao reduzida da reta a equacao da reta dada naforma: y = mx + n (m e o coeficiente angular; n e o coeficiente linear).

Exercıcio F.8.1 Apresente a equacao da reta (r): 3x − 2y + 5 = 0 nasua forma reduzida.

Exemplo F.8.2 Qual e a distancia entre o ponto P (7, 11) e a reta(r): 3x + 4y − 15 = 0?

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UNIVATES – Centro Universitario 278

r

Q

P

ResolucaoSeja (s) a reta que passa por P e e perpendicular a r. Entao mr = −3

4 ,donde ms = − 1

mr= 4

3 . A reta s passa por P (7, 11) e ms = 43 ; logo, sua

equacao e: y − 11 = 43(x− 7) ou y = 4

3x + 53 .

Obteremos o ponto Q, projecao de P sobre r, resolvendo o sistema:{3x + 4y − 15 = 0

y = 43x + 5

3, donde Q(1, 3).

A distancia entre P e r e a distancia entre os pontos P e Q:

dP,r = dP,Q =√

(xp − xQ)2 + (yP − yQ)2 ==

√(7− 1)2 + (11− 3)2 = 10.

Portanto, a distancia de P a reta r e 10u.c.. X

F.9 Distancia entre Ponto e Reta

Basta considerar um ponto generico P (xP , yP ) e uma reta de equacaogeral ax + by + c = 0 e proceder de maneira analoga a efetuada no exemploF.8.2.

Devido a sua longa e enfadonha prova, nao apresentaremos aqui o seudesenvolvimento, limitando-nos a fornecer o resultado encontrado. O leitorinteressado podera desenvolver sozinho a prova do mesmo, em momentos deextremo tedio. Vetorialmente, a prova e bem mais simples: pode-se utilizaro produto escalar para provar facilmente esta questao.

A distancia entre P (xP , yP ) e (r): ax + by + c = 0 e dada por:

dP,r = |axP +byP +c|√a2+b2

.

Observacao F.9.1 A formula anterior utiliza-se da equacao geral dareta r.

Exemplo F.9.2 Calcule a distancia entre P (−2, 1) e (r): y = 125 x + 3

5 .

ResolucaoEquacao geral: 12x− 5y + 3 = 0.

dP,r =|12 · (−2) + (−5) · 1 + 3|√

122 + (−5)2=| − 26|

13= 2. X

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UNIVATES – Centro Universitario 279

Exercıcio F.9.3 Calcule a distancia entre o ponto P e a reta r, nosseguintes casos:

1. P (1, 2) e (r): 12x− 9y − 4 = 0

2. P (5,−7) e (r): y = 2x + 3

3. P (3, 5) e (r): x− y − 1 = 0

4. P (2,−3) e (r): y = −2x + 1

5. P (5, 3) e (r): x− 2 = 0.

Exercıcio F.9.4 Dado o triangulo de vertices A(2, 3) e B(5,−1) eC(−4, 7), determine o comprimento da altura relativa ao lado AB.

Exercıcio F.9.5 Qual e a area do triangulo ABC do exercıcio F.9.4?

Exemplo F.9.6 Determine os pontos P do eixo das ordenadas tais quea distancia de P a reta (r):

√3x− y + 12 = 0 seja igual a 2.

ResolucaoSeja P (0, yP ) o ponto procurado. Tem-se que:

dP,r2 ⇒⇒ |√3·0−yP +12|√

(√3)2+(−1)2= 2 ⇒

⇒ |12−yP |2 = 2 ⇒

⇒ 12− yP = ±4

De 12− yP = 4 decorre yP = 8; de 12− yP = −4 decorre yP = 16.Portanto, ha dois pontos do eixo das ordenadas com dP,r = 2, quais

sejam: P1(0, 8) e P2(0, 16). X

Exercıcio F.9.7 Determine os pontos da reta y = 2x tais que adistancia de cada um deles a reta 12x− 5y − 3 = 0 seja igual a 3.

Exercıcio F.9.8 Determine a distancia entre a reta y = x + 5 e a retay = x + 8.

Exemplo F.9.9 Determine o par de bissetrizes dos angulos formadospelas retas (r): 3x + 4y − 2 = 0 e (s): 4x + 3y + 12 = 0. (Qualquer pontodas bissetrizes do angulo equidista de seus lados)

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UNIVATES – Centro Universitario 280

r

sResolucao

Os pontos P (x, y) do par de bissetrizes equidistam de r e s, isto e,satisfazem dP,r = dP,s. Entao:

|3x + 4y − 2|√32 + 42 =

|4x + 3y + 12|√42 + 32 ,

donde 3x + 4y − 2 = ±(4x + 3y + 12).De 3x + 4y − 2 = 4x + 3y + 12 decorre que x − y + 14 = 0; por outro

lado, de 3x + 4y− 2 = −(4x + 3y + 12) decorre que 7x + 7y + 10 = 0. Entaoos pontos das bissetrizes satisfazem a x− y + 14 = 0 ou a 7x + 7y + 10 = 0,que sao, portanto, as suas equacoes. X

Exercıcio F.9.10 Na figura, ABCD e CDEF sao quadrados de lado2; O e a origem do sistema de eixos e centro da circunferencia inscrita emABCD. Obtenha a medida da corda PQ.

Dica: usar o triangulo retangulo OMQ, com M ponto medio de PQ.

&%

'$B C F

G

EDA

PQ

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F.10 Respostas dos Principais Exercıcios doCapıtulo

F.3.2 −5

F.3.3 m = −32 , n = 4

F.3.4 Subdividindo:

1. y =√

3x + 5

2. y = x− 2

3. y = −√33 x + 1

4. y = −x− 3

5. y =√

3x

6. y =√33 x− 3

F.3.5 y =√33 x + 3

F.3.6 y = −x + 2

F.3.7 y = x + 2

F.3.8 y = −5 (rel. a OB); y =√

3x− 10 (rel. a OA)

F.3.9 a. y = 2; b. y = −3; c. y = 1; d. x = 0

F.3.10 1. −35 ; 2. 0; 3. 3; 4. nao se define

F.3.11 x = −3 (por A e C); y = x + 6 (por A e B)

F.3.13 a. 1; b. −43 ; c. −5; d. 0; e. nao se define

F.3.15 (r): y = x + 1; (s): y = 1; (t): y = −x2 + 1

F.3.16 (r): y = −√33 x + 4; (s): y = −x + 4; (t): y = −2x + 4

F.4.5 E esta a pergunta!

F.4.6 a = 92 ;

F.4.7 P (7, 0);

F.4.8 (r): y = −√3x + 8√

3; (s): y = (2−√3)x + (8√

3− 8);(t): y = 2−√3

3 x + 16√3−83

F.6.3 (1, 1), (5, 9) e (5, 21)

F.6.4√

101

F.6.5 5

F.9.4 125

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F.9.5 6

F.9.7 P1(21, 42) e P2(−18,−36)

F.9.8 3√

2/2

F.9.10 4√3417

CHAETINGER

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