ALGEBRALINEARIIDANILO FELIZARDO BARBOZAWILBERCLAY GONC ALVES MELOCurso: Licenciatura em MatematicaAracaju,Agostode2011Sumario1 ProdutoInternoeNormadeumVetor 11.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 DenicaodeProdutoInternoeExemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 PropriedadesdoProdutoInterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 NormadeumVetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Denic aodeNorma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 OrtogonalidadeeProcessodeGram-Schmidt 162.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2AnguloentreVetoreseOrtogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Denic aodeVetoresOrtogonaiseExemplos . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 PropriedadesdaOrtogonalidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 ConjuntosOrtonormais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Denic aoeExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 ProcessodeGram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22ii2.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 ComplementoeProjecaoOrtogonal 303.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 ComplementoOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.1 Denic aoeExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 ResultadoImportante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3 Projec aoOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 AAdjuntadeumOperadorLinear 394.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 AdjuntadeumOperadorLinear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.1 Denic aoeExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.2 ExistenciaeUnicidadedaAdjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.3 PropriedadesdaAdjunta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.4 MatrizdaAdjuntaemRelac aoaumaBaseOrtonormal. . . . . . . . 484.3 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 OperadoresAuto-adjuntos 525.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52iii5.2 OperadoresAuto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.1 Denic aoeExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.2 ResultadosImportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.3 MatrizesdeOperadoresAuto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.4 TeoremaEspectralparaOperadoresAuto-adjuntos . . . . . . . . . . 565.3 OperadoresDenidosPositivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.1 Denic aoeExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4 RaizQuadradadeOperadoresLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4.1 Denic aoeExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4.2 ResultadosImportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.5 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.6 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 OperadoresOrtogonais 766.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.2 OperadoresOrtogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.1 Denic aoeExemplosdeIsometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.2 OperadoresLineareseIsometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.3 Denic aoeExemplosdeOperadoresOrtogonais . . . . . . . . . . . . 796.2.4 AlgunsResultadossobreOperadoresOrtogonais . . . . . . . . . . . . 796.2.5 MatrizesdeOperadoresOrtogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84iv7 OperadoresNormais 877.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2 OperadoresNormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2.1 Denic aoeExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2.2 ResultadosImportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2.3 MatrizesdeOperadoresNormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.3 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.4 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 FormasBilineares 958.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.2 FormasBilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.2.1 Denic aoeExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.2.2 FormasBilinearesSimetricaeAnti-simetrica. . . . . . . . . . . . . . 998.2.3 ResultadosImportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.2.4 MatrizesdeFormasBilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.3 FormasQuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.3.1 ResultadosImportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.5 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119 PolinomioMnimoeOperadoresNilpotentes 1149.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.2 PolinomioMnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115v9.2.1 Denic aoeExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.3 OperadoresNilpotentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.3.1 Denic aoeExemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.3.2 ResultadosImportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.3.3 MatrizesdeOperadoresNilpotentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.5 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13310TeoremadaDecomposicaoPrimariaeFormaCanonicadeJordan 13610.1 Introduc ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.2 TeoremadaDecomposic aoPrimaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.2.1 Aplicac aodoTeoremadaDecomposicaoPrimaria . . . . . . . . . . . 13810.3 FormaCanonicadeJordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.3.1 Denic aodeFormaCanonicadeJordaneExemplos . . . . . . . . . 14210.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.5 ExercciosPropostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147viCaptulo1ProdutoInternoeNormadeumVetorCurso: LicenciaturaemMatematicaProfessor-autor: DaniloFelizardoBarbozaWilberclayGoncalvesMeloDisciplina:AlgebraLinearIIUnidadeIIAula1: ProdutoInternoeNormadeumVetorMetaEstenderosconceitosdeprodutoescalarecomprimentodevetoresparaespacosvetoriaisarbitrarios.1ObjetivosAonaldestaaula,oalunodever asercapazdecalcularoprodutointernoentreelementosdeumespacovetorialbemcomodeterminarsuanorma.Pre-requisitosAlgebraLinearI.1.1 IntroducaoCaroaluno, nocursodeVetoreseGeometriaAnaltica, voceestudouumprodutoespecialentredoisvetoresde R2(oude R3),denominadoprodutoescalar,quepermitiaintroduziraideiadedistancia, comprimentodeumvetoreanguloentredoisvetores. Nestadisciplinaestenderemosestanocoesparaumespacovetorialarbitrario,obtendoassimumaestruturamais rica, denominada espaco vetorial com produto interno. Em todo o curso trabalharemosapenassobreocorpodosn umerosreais,fazendoalgumasobservac oesnocasocomplexo.1.2 DenicaodeProdutoInternoeExemplosDenicao1.1. SejaV umespacovetorial sobreR. Dizemos queumaaplicac ao , ) :V V R, que associa dois vetores u, v Va um unico n umero u, v) real, e um produtointernosobreV ,seestasatisfazasseguintescondicoes:i) (Distributividade) u + w, v) = u, v) +w, v),paratodosu, v, w V ;ii) u, v) = u, v),paratodosu, v V etodo R;iii) (Comutatividade) u, v) = v, u),paratodosu, v V ;iv) (Positividade) v, v) 0,paratodov V ;v) v, v) = 0se,esomentese,v= 0.2Quandomunimosoespacovetorial V deumprodutointerno , ), dizemosqueV eumespacovetorialcomprodutointerno , )ouqueVeumespacoEuclidiano.Obs1.1(ProdutoInternosobre C). Poderamosterdenidoprodutointernonumespacovetorial Vsobre C (conjunto dos n umeros complexos), chamado produto interno Hermitiano,comosendoumaaplicacao , ) : V V Cquevericaositensi),ii),iv)ev),masaoinvesdoitemiii),obtemosaveracidadedeiii) u, v) =v, u), paratodos u, vV , onde v, u) signicaoconjugadodon umerocomplexo v, u).Exemplo1.1. SejaV = R2oespacovetorialcomaadicaodevetoresemultiplicacaoporescalarusuais, ouseja, (x1, x2) + (y1, y2)=(x1 + y1, x2 + y2)e(x1, x2)=(x1, x2), paratodo R. Dena , ) : R2 R2 Rpor (x1, x2), (y1, y2)) := x1y1 + x2y2. Armamosque , ) e um produto interno sobre R2(dito produto interno canonico de R2). Com efeito,sejamu = (x1, x2),v= (y1, y2),w = (z1, z2) R2e R,ent aoi) u + w, v) = (x1, x2) + (z1, z2), (y1, y2))= (x1 + z1, x2 + z2), (y1, y2)) (denicaodeadicao)= (x1 +z1)y1 + (x2 + z2)y2(denicaodeprodutointerno)= x1y1 + z1y1 + x2y2 + z2y2(distributividadeem R)= (x1y1 + x2y2) + (z1y1 + +z2y2) (associatividadedaadicaoemR)= (x1, x2), (y1, y2)) +(z1, z2), (y1, y2)) (denic aodeprodutointerno)= u, v) +w, v).Navericac aodasdemaispropriedadesquecompoemadenic aodeprodutointernojusti-quecadapassagem,conformeitemanterior.ii) u, v) = (x1, x2), (y1, y2))= (x1, x2), (y1, y2))= (x1)y1 + (x2)y2= (x1y1 + x2y2)= (x1, x2), (y1, y2))= u, v),3iii) u, v) = (x1, x2), (y1, y2))= x1y1 + x2y2= y1x1 +y2x2= (y1, y2), (x1, x2))= v, u),iv) v, v) = (y1, y2), (y1, y2))= y1y1 + y2y2= y21 + y22 0v) v, v) = 0 y21 +y22= 0 y1, y2= 0 v= (y1, y2) = (0, 0) = 0.Emparticular, (1, 0), (1, 1)) = 11 + 0(1) = 1e (1, 0), (0, 1)) = 10 + 01 = 0.Exemplo1.2. PodemosgeneralizaroresultadoanteriorparaoespacovetorialV= Rn= (x1, x2, ..., xn) : xi R, i = 1,, ncomadicaodevetoresemultiplicac aoporescalarusuais,isto e,(x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn +yn)e(x1, x2, ..., xn) = (x1, x2, ..., xn),paratodo R. Dena , ) : RnRnRpor(x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn)) = x1y1 +x2y2 + ... + xnyn.Seguindo os mesmos passos do Exemplo 1.1 e possvel provar que , ) e um produto internosobre Rn(chamadoprodutointernocanonicode Rn). Emparticular,(1, 0, ..., 0, 2), (1, 0, ..., 0, 1)) = 11 + 00 + ...0 + +2(1) = 1.4Exemplo1.3. Seja V= C([a, b]) o espaco vetorial das func oes reais contnuas em [a, b] comasoperac oesdeadic aodevetoresemultiplicac aoporescalarusuais,ouseja,(f+ g)(t) = f(t) + g(t)e(f)(t) = f(t),paratodot [a, b]e R. Denaaseguinteaplicacaof, g) =_baf(t)g(t)dt,ondef, g V(este eoprodutointernocanonicodeC([a, b])). Vamosprovarque , ) eumprodutointerno. Defato,sef, g, h C([a, b])e R,ent aoi) f+ g, h) =_ba[f+g](t)h(t)dt=_ba[f(t) + g(t)]h(t)dt=_ba[f(t)h(t) + g(t)h(t)]dt=_baf(t)h(t)dt +_bag(t)h(t)dt= f, h) +g, h).ii) f, h) :=_ba(f)(t)h(t)dt =_baf(t)h(t)dt = _baf(t)h(t)dt =: f, h).iii) f, h) :=_baf(t)h(t)dt =_bah(t)f(t)dt =: h, f).iv) f, f) :=_baf(t)f(t)dt =_baf(t)2dt 0.v) f, f)=0se, esomentese,_baf(t)2dt =0. Masistoimplicaquef(t)=0, paratodot [a, b]. Logo, f 0. (veritemiv))Aqui utilizamososeguinteresultadoparaintegrais:Se e uma funcao contnua com (t) 0, para todo t [a, b] e_ba(t)dt = 0, entao 0.Emparticular,sef(t) = teg(t) = 1,paratodot [0, 1],ent aof, g) :=_10f(t)g(t)dt =_10t1dt =_10tdt =t2210=12.5Obs 1.2. Quando nada for dito sobre o produto interno, estaremos usando o produto internocanonicodosespacosvetoriaisexemplicadosacima.Exemplo1.4. SejaV =M(22, R)oespacovetorial dasmatrizes22comentradasreais. EntaodenimossobreVumprodutointernoporA, B) = tr(BtA),ondeA, B V . RecordequeotracodeumamatrizquadradaM,denotadoportr(M),easoma dos elementos da diagonal principal da matriz M. Convidamos o aluno a vericar que,defato,estafuncaosatisfazadenic aodeprodutointerno.Exemplo1.5. SejaV = R2oespacovetorial comadic aodevetoresemultiplicac aoporescalarusuais. Dena , ): R2 R2 Rpor (x1, x2), (y1, y2))= 2x1y1 + x2y2. Ar-mamosque , )naoeumprodutointernosobre R2. Comefeito,parav= (1, 0) R2,temos que v, v) = (1, 0), (1, 0)) := (2)11 +00 = 2 < 0, e isto contradiz o item iv) daDenic ao1.1.Obs1.3. Podemos denir varios produtos internos sobre um espaco vetorial. Por exemplo,sobre R2poderamosdenir (a, b), (b, c)) = ac + bc + ad + 3bd. Verique!1.2.1 PropriedadesdoProdutoInternoVejamos algumas propriedades do produto interno que decorremimediatamente de suadenic ao.Proposicao1.1. SejaV umespacovetorial sobre Rcomprodutointerno , ). Entaoasseguintesarmacoessaoverdadeiras:i) u, v) = u, v),paratodosu, v V etodo R;ii) 0, v) = v, 0) = 0,paratodov V ;iii) u, v +w) = u, v) +v, w),paratodosu, v, w V ;iv) Se u, v) = 0,paratodov V ,entaou = 0.6Demonstracao. Sejamu, v V . Entao u, v)= v, u)=v, u)=u, v), ondenestasigualdadesutilizamosositensiii), ii), iii), daDenicao1.1, respectivamente. Istoprovaoitemi). Agora, mostremosqueoitemii)everdadeiro. Defato, usandooitemi)eacomutatividade da Denic ao 1.1, obtemos 0, v) = v, 0) = v, 0 0) = 0v, 0) = 0, para todov V,onde0 R eon umerozeroe0 VeovetornulodeV .Vejamosademonstrac aodoitemiii). Sejamu, v, w V ,ent aou, v + w) = v + w, u) = v, u) +w, u) = u, v) +u, w),aqui usamosositensiii), i), iii), daDenic ao1.1, respectivamente. Porm, veriquemosoitemiv). Se u, v) =0, paratodov V , ent ao u, u) =0(bastaconsiderar v=u).UtilizandoaDenic ao1.1,itemv),obtemosqueu = 0.Istoconcluiademonstrac ao.Obs1.4(Propriedadesem C). Ositensii), iii)eiv)daProposic ao1.1continuamsendovalidos em espacos vetoriais com produto interno sobre C, mas o item i) tem uma signicantemodicacao:u, v) = u, v),paratodosu, v V etodo C.Pensenisso!!!ExercciosdeFixacao1. Considerandooespacovetorial R3,calcular u, v)nosseguintescasosi) u = (12, 2, 1)ev= (4, 1, 3);ii) u = (2, 1, 0)ev= (4, 0, 2);iii) u = (1, 1, 1)ev= (2, 1, 5).2. Usando o produto interno canonico de C([0, 1]) no espaco vetorial formado por polinomiosdegraumenorqueouiguala2.Determineoprodutoescalarde:i) f(t) = teg(t) = 1 t2;ii) f(t) = t 12eg(t) =12 _t 12_.3. SejaV umespacovetorialedena u, v) = 0,paratodosu, v V.Proveque , )eumprodutointernoemV .74. SejaV = R2. Sendou=(1, 2)ev=(1, 1) R2, determineumvetorwdesteespacotalque u, w) = 1e v, w) = 3.5. Sendou = (x1, x2)ev= (y1, y2) R2,denamosu, v) :=x1y1a2+x2y2b2,coma, b Rxosenao-nulos. Proveque , ) eumprodutointerno.6. Sejamu=(x1, x2)ev=(y1, y2) R2. Paraquaisvaloresdet Rafuncaodadaporu, v) := x1y1 + tx2y2eumprodutointernoem R2.7. Sejamf(t)=a0 + a1t + a2t2+ ... + antneg(t)=b0 + b1t + b2t2+ ... + bntnpolinomios.Dena f, g) = a0b0 + a1b1 + ... +anbn. , ). Isto eumprodutointerno?8. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ). Entao(u, v):=u, v), Reu, v V , eumprodutointernosobreV ?1.3 NormadeumVetorAgora, estenderemos o conceito de comprimento de um vetor, como visto no curso de VetoreseGeometriaAnalticapara R2e R3,paraumespacovetorialabstrato.1.3.1 DenicaodeNormaDenicao1.2(Norma). SejaV umespacovetorial. Umaaplicac ao ||: VRquesatisfazi) |v| 0,paratodov V e |v| = 0se,esomentese,v= 0;ii) |v| = [[|v|,paratodov V etodo R;iii) (DesigualdadeTriangular) |u + v| |u| +|v|,paratodosu, v V ,e chamada norma sobre V . Quando munimos um espaco vetorial Vde uma norma, dizemosqueVeumespaconormado.8Proposicao1.2(NormasobreumEspacoEuclidiano). SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ). Entaoaaplicacao || : V R,denidapor |v| :=_v, v),eumanormasobreV.Nestecaso,dizemosqueanorma ||provemdoprodutointerno , ).Demonstracao. Vericaremosascondic oesestabelecidasDenic ao1.2.i)Sejav ,= 0. Ent ao, v, v) > 0,pelaDenic ao1.1. Logo, |v| =_v, v) > 0.ii)Sejamv V e R. Entao,utilizamosaDenic ao1.1paraconclurmosque|v| =_v, v) =_2v, v) =2_v, v) = [[_v, v) = [[|v|.iii)Vamosprovaradesigualdadetriangular. Noteque|u + v|2= u + v, u + v)= u, u) + 2u, v) +v, v)= |u|2+ 2u, v) +|v|2 |u|2+ 2[u, v)[ +|v|2 |u|2+ 2|u||v| +|v|2= (|u| +|v|)2,onde na ultima desigualdade usamos o Teorema 1.1. Logo, pelo item i), |u+v| |u|+|v|,paratodou, v V.Emparticular,temososseguintesexemplosdeespacosnormados.Exemplo 1.6 (Norma sobre R2).Seja V= R2conforme o exemplo 1.1. Assim, || : R2R,dadapor |(x, y)| =_(x, y), (x, y)) =_x2+ y2eumanorma.Exemplo1.7(Normaem Rn). SejaV= Rnconformeexemplo1.2. Assim, || : RnR,denidapor|(x1, x2, ..., xn)| =_(x1, x2, ..., xn), (x1, x2, ..., xn)) =_x21 +x22 + ... + x2n.eumanormaExemplo1.8(Normadefunc oescontnuas). SejaV =C([a, b])conformeoexemplo1.3.Logo, || : C([a, b]) R,dadapor |f| =_f, f) =__ba[f(t)]2dt_1/2, eumanorma.9Exemplo1.9(Nao-Norma). SejaV = R2. Dena ||: R2 Rpor |(x, y)|=x2+ y2.Ent ao ||naoeumanorma. Bastaobservarque |2(1, 0)| = |(2, 0)| = 22+ 02= 4e,poroutro lado, [2[|(1, 0)| = 2|(1, 0)| = 2(12+02) = 2, de forma que |2(1, 0)| ,= [2[|(1, 0)|. Istocontradizoitemii)daDenic ao1.2.Denicao 1.3 (Vetor Unitario).Seja Vum espaco vetorial normado. Dizemos que um vetorv Veunitariose |v| = 1.Podemos transformar qualquer vetor nao-nulo vV emumvetor unitario. Bastaescolher u =v|v|. Para vericar a veracidade deste fato, basta utilizar o item ii) da Denicao1.2e obter |u| =___vv___=1v |v| =1v|v| =1. Emparticular, temos os seguintesexemplos.Exemplo1.10. Desdeque |(1, 0)|=12+ 02=1e |(1, 1)|=12+ 12=2, temosque(1, 0) eumvetorunitarioe(1, 1)nao. Paratransformar(1, 1)emvetorunitario,bastarealizaroseguinteprocesso(1,1)(1,1)=(1,1)2=_12,12_.Exemplo1.11. SejaV= C([0, 1])esejamf(t) = 1eg(t) = t. Desdeque|f| =__10[f(t)]2dt_1/2=__101dt_1/2= 1e|g| =__10[g(t)]2dt_1/2=__10t2dt_1/2=13,seguequef eumvetor unitarioeg nao. Usandoaobservac aoacima, obtemos ovetorunitariog|g|=t13=3t.Teorema1.1(DesigualdadedeCauchy-Schwarz). SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ).Entao [u, v)[ |u||v|,paratodosu, v V ,onde |u| :=_u, u).Demonstracao. Utilizaremosnademonstrac aodesteTeoremaumaferramentaauxiliar. De-naf : R Rporf(x)= |u xv|2. Observequef(x) 0. Poroutrolado, usandoadenic aodaaplicac ao ||,obtemosf(x) = |uxv|2= uxv, uxv) = u, u) 2xu, v) +x2|v|2= |u|22xu, v) +x2|v|2.10Logo, |u|2 2xu, v) + x2|v|20. Notequeogracodefeumaparabola, aqual estaacima do eixo das abscissas (o vertice desta parabola pode tocar tal eixo). Portanto, impomosque=4u, v)2 4|u|2|v|20(discriminante). Ouseja, u, v)2 |u|2|v|2. Porm,[u, v)[ |u||v|(aquiusamosa2= [a[). OTeoremaestaprovado.Obs1.5. AdesigualdadedeCauchy-SchwarzevalidaparaespacosvetoriaiscomprodutointernoHermitiano. Vocealunoestaconvidadoaprovar estaarmac ao. Sugestao: Usey= xu, v)nolugardex.Exemplo1.12. SejaV =C([0, 1])comoprodutointernocanonico, denidonoexemplo1.3. Podemosmostrarque__10f(t)g(t)dt_2__10[f(t)]2dt___10[g(t)]2dt_.Comefeito,peladesigualdadedeCauchy-Schwarz, temosque [f, g)[ |f||g|, paratodosf, g V .Comisso, f, g)2 |f|2|g|2. Usandoasdenicoesde , )e ||,encontramosoresultadodesejado.ExercciosdeFixacao1. Sejamu, v V , ondeV eumespacovetorial comprodutointerno. Se |v|, |u|=1, e|u v| = 2,determine u, v),onde || eanormaqueprovemdoprodutointerno.2. SejaV umespacovetorial formadopelos polinomios degraumenor queouigual a2comoprodutointernointernocanonicoparaC([0, 1]). Calcular |f(t)|(|| eanormaqueprovemdoprodutointerno)nosseguintescasos:i) f(t) = t;ii) f(t) = t2+ 1.3. Numespacovetorialcomprodutointernoprovarquei) |u| = |v| u + v, u v) = 0;ii) |u + v|2= |u|2+|v|2se,esomentese, u, v) = 0.4. Sejamu = (x1, x2)ev= (y1, y2) R2.i) Mostrarque u, v) := x1y12x1y22x2y1 + 5x2y2deneumprodutointernosobre R2;ii) Determinaranormadeu=(1, 2)emrelac aoaoprodutointernousual etambememrelacaoaoprodutodenidoemi).115. Considere o espaco R3. Determinar a R de maneira que |u| =41, onde u = (6, a, 1)e || eanormaqueprovemdoprodutointernocanonico.6. ProvequeaigualdadenaDesigualdadedeCauchy-Schwarz evalidase,esomentese,osvetoreslinearmentedependentes.7. Sejamu = (1, 1, 0) ev= (0, 1, 2) R3.Determinar osvetoresw R3tais que |w| = 1eu, w) = v, w) = 0.8. Sejamu=(1, 2, 0, 1) ev =(3, 1, 4, 2) R4. Determinar u, v), |u|e |v|, onde ||provemdoprodutointernocanonicode R4.9. Sabendoque |u| = 3, |v| = 5,comuevelementosdeumespacovetorialcomprodutointerno,determinet Rdemaneiraque u + tv, u tv) = 0.1.4 ConclusaoConclumos que num espaco vetorial com produto interno ha modos ecientes de manipularseuselementosepossibilitandodenircomprimentosedistancias.1.5 ExercciosPropostos1. Encontreumprodutointernosobre R2talque (1, 0), (0, 1)) = 2.2. Dena (x1, y1), (x2, y2))=2x1x2 x1y2 x2y1 + 2y1y2. Mostrequeesteeumprodutointernosobre R2.3. SejaV umespacovetorial sobre R. Sejam , )1, , )2doisprodutosinternossobreV.Dena , )3= , )1+ , )2e , )4=, )1, onde>0. Proveque , )3e , )4saoprodutos internos sobre V. Agora, , )5= , )1, )2dene um produto interno sobre V ?4. Seja , )oprodutointernocanonicode R2.i) Sejam u = (1, 2) e v= (1, 1). Se w e um vetor tal que u, w) = 1 e v, w) = 3, encontrew;ii) Mostrequeparaqualquervetorv R2,temosv= v, (1, 0))(1, 0) +v, (0, 1))(0, 1).5. Seja , ) o produto interno canonico de R2e seja T: R2R2dado por T(x, y) = (y, x).Mostreque (x, y), T(x, y)) = 0,paratodo(x, y) R2.Encontretodososprodutosinternossobre R2quesatisfazemestamesmapropriedade.126. SejaAumamatriz22comentradasreais. ParaX, Y matrizes21denaafuncaoX, Y )A:=YtAX, ondeYteatranspostadeY. Mostreque , )Aeumprodutointernosobreoespacodas matrizes 21se, esomentese, A=At, A11, A22, det(A) >0, ondeA = (Aij).7. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ). ConsideresobreV anormaqueprovemdoprodutointerno. Proveaseguinteidentidadedepolarizac ao:u, v) =14|u + v|214|u v|2,paratodou, v V.8. SejaV umespacocomprodutointerno , ). AdistanciaentreosvetoresuevemVedadapord(u, v) := |u v|.Mostreque:i) d(u, v) 0;ii) d(u, v) = 0se,esomentese,u = v;iii) d(u, v) = d(v, u);iv) d(u, v) d(u, w) + d(w, v).9. SejaV umespacovetorialcomprodutointerno , ). Sejamu, v V . Mostrequeu = vse,esomentese, u, w) = v, w),paratodow V.10. SejaV umespacovetorialcomprodutointerno , ). SejaUumespacovetorial. SejaT: U V umatransformac aolinearinjetora. Mostreque x, y)U:= T(x), T(y))VeumprodutointernosobreU. Concluaquequalquerespacovetorialcomdimensaonitapossuium produto interno. Sugestao: Crie um isomorsmo entre um espaco vetorial de dimensaone Rn.11. SejaV umespacovetorialcomdimensaonita. Seja= v1, v2, ..., vn. Seja , )umprodutointernosobreV. Sejam1, 2, ..., n R. Mostrequeexisteexatamenteumvetorv V talque v, vi) = i,paratodoi = 1, 2, ..., n.12. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ). ConsideresobreV anormaqueprovemdoprodutointerno. Proveaseguinteleidoparalelogramo|u + v|2+|u v|2= 2(|u|2+|v|2),paratodou, v V.1313. Use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz em R3para mostrar que, dados os n umeros reaisestritamentepositivosx1, x2, x3,valeadesigualdade:(x1 + x2 + x3) _1x1+1x2+1x3_ 9.ProximaAulaNa sequencia ampliaremos a nocao de angulo entre vetores e a importancia de se ter conjuntosnosquaisseuselementossaodoisadoisperpendiculares. Utilizaremosumprocessoparaconstruirtaisconjuntos.14ReferenciasBibliogracas[1] BUENO, H. P.,Algebra Linear - Um Segundo Curso, Primeira Edicao, Rio de Janeiro,SBM,2006.[2] CALLIOLI, C. A., DOMINGUES, H. H.,COSTA, R. C. F.Algebra Linear eAplicacoes,SextaEdicao,SaoPaulo,EditoraAtual,1995.[3] COELHO, F. O., LOURENC O, M. L., UmCursodeAlgebraLinear, Edic ao2001,SaoPaulo,EdusP,2004.[4] HOFFMAN,K.,KUNZE,R.,LinearAlgebra,SecondEdition,NewJersey,Prentice-Hall,Inc.,EnglewoodClis,1971.[5] LANG,S.,AlgebraLinear,PrimeiraEdicao,NewYork,Ed.cienciaModerna,2003.[6] LIPSCHUTZ,S.,AlgebraLinear,TerceiraEdicao,SaoPaulo,SchaumMcGraw-HillMakronBooks,1994.[7] SILVA, A., Introducao `aAlgebra, Primeira Edicao, Editora Universitaria UFPB, JoaoPessoa,2007.ProfessorRevisorProfessorPaulodeSouzaRabelo.15Captulo2OrtogonalidadeeProcessodeGram-SchmidtMetaMostrar paraoalunoumalgoritmoquefornecebases ortonormais apartir debases ar-bitrarias.ObjetivosAonal destaaula, oalunodeverasercapazdevericaraortogonalidadeentreelementosdeumaespacovetorialbemcomotransformarumabasequalquerdesteespaconumabaseortonormal.Pre-requisitosAlgebraLinearI.162.1 IntroducaoO fato de dotarmos um espaco vetorial com um produto interno permite-nos denir a estru-tura deumconjunto ortogonaletodasuaimportancia nasimplicac ao darepresentacao deum elemento deste espaco bem como na representac ao de transformacoes lineares sobre esteespacoatravesdousodebasesortonormais. Nesseintuito,apresentamosumprocessoparaconstruirbasesortonormais.2.2AnguloentreVetoreseOrtogonalidadePrezadoaluno,nestasecao,mostraremoscomoestenderaideiadevetoresortogonais,vistano curso de Vetores e Geometria Analtica para espacos vetoriais mais gerais. A DesigualdadedeCauchy-Schwarznospermitedeniranguloentredoisvetoresquaisqueremumespacovetorialcomprodutointernosobre R , ). Comefeito,seuevsaoelementosnao-nulosdeV ,ent ao [u, v)[ |u||v|eassim|u||v| u, v) |u||v| 1 u, v)|u||v| 1. (2.1)Consequentemente, existe [0, ] tal que cos =u, v)|u||v|. Estabelecemos entao a seguintedenic ao.Denicao2.1(Angulo entre vetores).Seja Vum espaco vetorial com produto interno , ).Sejamu, v V vetoresnao-nulos. Denimosoanguloentreuevpor = arccos_ u, v)|u||v|_.Obs 2.1. Encontrar =arccos_u,vuv_e equivalente aencontrar on umero tal quecos() =u, v)|u||v|.Obs2.2. QuandoV eumespacovetorial comprodutointernoHermitiano, omodulodeu, v)(encontradonoTeorema1.1)naopodesertratadocomoem(2.1),poisnesteespaco,[u, v)[signicaomodulodon umerocomplexo u, v). Pensenisso!!!17Exemplo2.1. SejaV =R2e sejamu=(1, 0) e v =(1, 1) vetores emV. Desde queu, v) = (1, 0), (1, 1)) = 1, |u| =_(1, 0), (1, 0)) = 1e |v| =_(1, 1), (1, 1)) =2,seguequecos()=u, v)|u||v|=11 2=22. Logo, =4. Agora, paraw=(0, 1), temosqueu, w) = (1, 0), (0, 1)) = 0e |w| =_(0, 1), (0, 1)) = 1.Consequentemente, =2poiscos() =u, w)|u||w|=011= 0.Exemplo2.2. SejamV =C([0, 1])ef(t)=t, g(t)=1 V .Epossvelcalcularoanguloentre fe g. Como visto no Exemplo, |f| =13e |g| = 1, e desde que f, g) =_10tdt =12,segueque = arccos_ f, g)|f||g|_= arccos_12131_= arccos_32_=6.2.2.1 DenicaodeVetoresOrtogonaiseExemplosAgora, estamos prontos para denir quando dois vetores em um espaco vetorial com produtointernoformamumangulode 90oou2radianos. UsandoaDenic ao2.1e ofatoque [0, ],temosque =2 cos() =u, v)|u||v|= 0 u, v) = 0.Maisprecisamente,podemosadicionaraoconte udoaseguinteDenicao2.2(Vetores Ortogonais). Sejam u, v V . Dizemos que u e vsao ortogonais (ouperpendiculares)se u, v) = 0.Denotamosestefatoporu v.Obs 2.3 (Ortogonalidade emC).Se Ve um espaco vetorial com produto interno Hermitiano,naopodemosdeniranguloentredoisvetorescomonaDenicao2.1(verobservac ao2.2).Porem,podemosdenirvetoresortogonais,nesteespaco,comonaDenic ao2.2.Teorema2.1(TeoremadePitagoras). SejaV umespacocomprodutointerno , )real.Entao u, v) = 0se,esomentese, |u + v|2= |u|2+|v|2,onde |u| :=_u, u).Demonstracao. Suponhamos que u, v) =0. SeguedaDenic ao1.1, itens i) eiii), que|u+v|2= u+v, u+v) = u, u)+u, v)+v, u)+v, v) = |u|2+2u, v)+|v|2= |u|2+|v|2,ondena ultimaigualdadeusamosahipotesedoTeorema.18Reciprocamente,consideremosque |u + v|2= |u|2+|v|2. Vimosacimaque,|u +v|2= |u|2+ 2u, v) +|v|2.Portanto, dasduas ultimasigualdades, inferimosque |u|2+ |v|2= |u|2+ 2u, v) + |v|2.Cancelando os termos iguais desta igualdade, obtemos 2u, v) = 0. Por m, u, v) = 0, comoqueramosdemonstrar.Obs2.4. A recproca do Teorema de Pitagoras, isto e, u, v) = 0 |u +v|2= |u|2+|v|2nao everdadeiranocasodoprodutointernoserHermitiano. Tentejusticaroporque!!!Exemplo2.3. SejaV = R2econsideremososvetoresu=(1, 1), v=(1, 0)ew=(0, 1).Ent ao |u|2= (1, 1), (1, 1)) =2, |v|2= (1, 0), (1, 0)) =1e |w|2= (0, 1), (0, 1)) =1.Assimsendo, |u|2= |v|2+|w|2ecomou = v + w,seguepeloTeoremadePitagoras(verTeorema2.1)que v, w) = 0.Exemplo2.4. SejaV =C([1, 1])econsideremososelementosf(t)=teg(t)=1emV . Desdeque |f|2= f, f)=_11t2dt=t3311=23, |g|2= g, g)=_111dt=t[11=2ef, g) =_11tdt =t2211= 0,seguepeloTeoremadePitagoras(ver2.1)que|f+ g|2= |f|2+|g|2=23+ 2 =83.2.2.2 PropriedadesdaOrtogonalidadeVejamosalgumaspropriedadesherdadasdadenicaodeortogonalidadeProposicao2.1. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ). Entaosaovalidasasseguintesarmacoes:i) 0 v,paratodov V ;ii) Seu v,entaov u;iii) Seu v, paratodov V , entaou=0, empalavras, o unicovetorqueeortogonal atodososvetoresdeV eovetornulo;iv) Seu wev w,entao(u + v) w;19v) Seu v,entao(u) v,paratodo R.Demonstracao. Ositensi)eiii)eumareformula caodositensii)eiv)daProposic ao1.1,repectivamente. Verique! Vamosmostrarosdemaisitens.ii)Seu v,ent ao u, v) = 0e,consequentemente, v, u) = u, v) = 0.Nestapen ultimaigualdadeusamosacomutatividadedaDenic ao1.1. Comisso,v u.iv)Seu wev w, ent ao u, w)=0e v, w)=0. Portanto, utilizandoaDenic ao1.1(qualitem?),obtemos (u + v), w) = u, w) +v, w) = 0 + 0 = 0.Assim,(u + v) w.v)Seu v, ent ao, u, v)=0. Logo, u, v)=u, v)=0=0, novamentepelaDenic ao1.1. Ouseja,(u) v,paratodo R.ExercciosdeFixacao1. Acharoanguloentreosseguintesparesdevetoresdo R3:i) u = (1, 1, 1)ev= (12, 1,12);ii) u = (1, 1, 0)ev= (2, 1, 2).2. Acharocossenodoanguloentreuevnosseguintescasos:i) u = (1, 1, 1, 1)ev= (0, 0, 1, 1)comoprodutointernocanonicaem R4;ii) f(t) = 1 + t t2eg(t) = 3t2,comoprodutointernocanonicoparaC([0, 1]);iii) A =_1 10 0_eB=_0 11 0_comoprodutointernodenidopor A, B) = tr(AtB),ondetr(X) = X11 + X22eAteamatriztranspostadeA.3. Seja Vum espaco vetorial com produto interno , ). Dados u, v V(v ,= 0) e = u, v)|v|2,mostrarque(u v) v.4. Determinarm Ramdequesejamortogonaisosvetoresu=(1, m + 1, m)ev=(m1, m, m + 1)do R3.5. Mostrarqueseuevsaotaisque |u + v| = |u v|,ent aou v.6. Em R3denaoprodutointerno u, v):=x1y1 + 2x2y2,ondeu=(x1, x2)ev=(y1, y2).Vericarseu v,emrelacaoaesseproduto,nosseguintescasos:20i) u = (1, 1)ev= (2, 1);ii) u = (2, 1)ev= (1, 1);iii) u = (3, 2)ev= (2, 1).7. ConsideremosemV espacoformadopelospolinomiosdegraumenorouigual a2comoprodutointernocanonicodeC([0, 1]). Nessas condic oes, paraquevalor m Rtemos(f(t) = mt21) (g(t) = t)?8. Determinartodososvetoresdo R3denormaiguala2quesejamortogonaissimultanea-mentea(2, 1, 2)e(1, 3, 4).2.3 ConjuntosOrtonormaisPrezados alunos, nestasec ao, trabalharemos paraque umabase qualquer de umespacovetorial com produto interno seja transformada em outra base, onde os respectivos vetores saodoisadoisortogonaisecadavetor,isoladamente,sejaunitario. Estanovabasefacilita,emmuitos casos, as demonstrac oes dos resultados que estao por vir e os calculos que apareceraoemvariosexercciosdestematerial.2.3.1 DenicaoeExemplosDenicao2.3. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ). Dizemos queumsubconjuntoX Veortonormalsei) u v,paratodosu, v Xdistintos;ii) todovetordeX eunitario,isto e, |v| = 1,paratodov X.Obs2.5(ConjuntoOrtogonal). QuandoumsubconjuntoXsatisfazoitemi)dizemosqueXeumconjuntoortogonal.Obs2.6. NotequeXnaDenicao2.3naoprecisasersubespacodeV .Exemplo2.5. Abasecanonicade R2,X= (1, 0), (0, 1), eumconjuntoortonormal,pois(1, 0), (0, 1)) = 0, |(1, 0)| = |(0, 1)| = 1. OsubconjuntoY= (1, 1), (1, 1) eortogonal,masnao eortonormal. Defato, (1, 1), (1, 1)) = 1 1 = 0e |(1, 1)| =2 ,= 1.21Exemplo2.6. OsubconjuntoX= 1, 3t21 eumconjuntoortogonal,masnaoortonor-mal,pois 1, 3t21) =_10[3t21]dt = 0,porem|3t21| =__10(3t21)2dt_1/2=__10(9t46t2+ 1)dt_1/2=95 1 ,= 1.Exemplo 2.7.Seja Rn. A base canonica de Rn, X= (1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 1),eumconjuntoortonormal de Rn. Paravericarestaarmacaosigaosmesmospassosdoexemplo2.5.Denicao2.4(BaseOrtonormal). SejaV umespacovetorial comprodutointernoedi-mensaonita. UmabasedeV editaortonormal seestaforumconjuntoortonormal. Ouequivalentemente,se v1, v2, ..., vn ebasedeV ,ent aovi, vj) =_1, sei = j;0, sei ,= j.Exemplo2.8(BaseOrtonormalde R2). Vimosnoexemplo2.5queabasecanonicade R2eumabaseortonormal.Exemplo 2.9 (Base Ortonormal em Rn).O conjunto Xdo exemplo 2.7 e uma base ortonor-malde Rn.Exemplo2.10(BaseNao-ortonormal). OconjuntoY doexemplo2.5eumabase. Poremnao eortonormal.2.3.2 ProcessodeGram-SchmidtA pergunta que surge, neste momento, e: sempre existe uma base ortonormal para qualquerespacovetorialcomprodutointernoedimensaonita?Aresposta earmativa. Oproximoresultado garante esta resposta ao armar que qualquer base de um espaco vetorial pode serconvertidanumabaseortogonal. Normalizandoosvetoresdessanovabase, obtemosumabaseortonormal.Teorema2.2(Teorema de Gram-Schmidt).Seja Vum espaco vetorial com produto interno, )edimensaonitan > 0. Seja= v1, v2, ..., vnumabasedeV.Entaoexisteumabase22ortogonal = u1, u2, ..., undeV ,ondeu1= v1euj= vjj1

i=1vj, ui)|ui|2ui(2.2)paratodoj= 2,, n.Demonstracao. Faremosaprovaporinduc aosobren. Sen=1, entaotomamossimples-menteu1= v1. Considereagoran > 1esuponhamosquetodoespacovetorialdedimensaon 1possuiumabaseortogonalnosmoldesdoteorema. Assim,se v1, v2, ..., vn ebasedeV entao u1, u2, ..., un1satisfazaexpressao2.2enosrestavericarqueun= vnn1

i=1vn, ui)|ui|2ui(2.3)e nao-nulo e ortogonal aos demais elementos u1, u2, ..., un1. Ora, se un= 0, ent ao a expressao2.3 implica que os elementos v1, v2, ..., vn sao linearmente dependentes, o que e impossvel,poisesteconjunto eumabasedeV . Logo,un ,= 0.Agora,comoun, uj) =_vnn1

i=1vn, ui)|ui|2ui, uj_= vn, uj) _n1

i=1vn, ui)|ui|2ui, uj_= vn, uj) n1

i=1vn, ui)|ui|2ui, uj)= vn, uj) vn, uj)= 0,paratodoj =1, ..., n 1,, segue que unuj, paratodoj =1, 2, ..., n 1. Nante-pen ultimaigualdadeusamosofatoque u1, u2, ..., un1eumconjuntoortogonal. Logo,= u1, u2, ..., un eumabaseortogonaldeV eistoconcluiaprova.Caroaluno,vejamos,emexemplos,comoaplicaroProcessodeGram-Schmidt.23Exemplo2.11. SejaV= R3econsideremosabase= v1= (1, 1, 0), v2= (2, 0, 1), v3= (2, 2, 1)(realmenteebase? Verique!). Ent aoseguindooProcessodeGram-Schmidt temos queu1= v1= (1, 1, 0)eu2= v2 v2, u1)|u1|2u1= (2, 0, 1) 22(1, 1, 0)= (1, 1, 1).Finalmente,u3= v3 v3, u1)|u1|2u1 v3, u2)|u2|2u2= (2, 2, 1) 42(1, 1, 0) 13(1, 1, 1)=_11, 13, 23_.Logo, =_u1= (1, 1, 0), u2= (1, 1, 1), u3=_11, 13, 23__eumabaseortogonal deR3obtidaapartir dabase . Se quisessemos umabase ortonormal, multiplicaramos cadaelementodabasepeloinversodesuarespectivanorma. Assim,=_12(1, 1, 0),13(1, 1, 1),_23_11, 13, 23__Exemplo2.12. SejaV = T2(R)= a0+ a1x + a2x2: a0, a1, a2 Roespacovetorialdos polinomios comcoecientes reais degraumenor queouigual a2, etomemos sobreeleoprodutointernodoexemplo1.3paraoespacoC([0, 1]). Seja= 1, x, x2abasecanonicadeP2(R)(Veriquequeebase!). VamosortonormalizaratravesdoProcessodeGram-Schmidt. Sejamv1= 1,v2= xev3= x2. Assim,u1= 1,u2= v2 v2, u1)|u1|2u1= x x, 1)1124= x 12eu3= v3 v3, u1)|u1|2u1 v3, u2)|u2|2u2= x2 x2, 1)11 x2, x 12)x 12, x 12)_x 12_= x213 _x 12_= x2x +16.Logo,= u1= 1, u2= x 12, u3= x2x +16 eumabaseortogonalde T2(R). Completeascontasparadeterminarumabaseortonormal.Obs2.7(Comunicado). Dedicadosalunos,oProcessodeGram-Schmidtedegrandevaliapara o nosso curso. Portanto, sugiro que voces pratiquem bastante como encontrar uma baseortonormalatravesdeste.Aproposicaoabaixomostraumoutrocaminhodevericarseumconjuntonitoelin-earmenteindependente. Maisprecisamente,Proposicao2.2.Seja Vum espaco vetorial com produto interno , ). Entao todo conjuntoortogonal X V tal que0 , Xelinearmenteindependente.Demonstracao. Sejamv1, v2, ..., vmvetoresemXeconsideremosacombina caolinearnula1v1+ 2v2+ ... + mvm=0. Devemosmostrarquea unicasoluc aoparaessaequacaoe1=2=... =m=0. Ent ao 1v1 + 2v2 + ... + mvm, v1)= 0, v1)=0, nesta ultimadesigualdade usamos a Proposicao 1.1. Como Xe um conjunto ortogonal, ent ao vi, vj) = 0sempre que i ,= j(ver observac ao 2.5). Atraves das propriedades da Proposicao 1.2, obtemos0 = 1v1, v1) + 2v2, v1) + ... +mvm, v1) = 1v1, v1). (2.4)Mas v1, v1) > 0,pois0 , X(verDenicao1.1). Portanto,de(2.4),conclumosque1= 0.Analogamente,prova-seque2, 3, ..., m= 0.IstogarantequeXel.i..Obs2.8. Se Xe um conjunto ortogonal de Vcom n vetores, onde dimV= n (dimensao deV ),ent aopelaProposic ao2.2temosqueXeumabasedeV (pois,Xel.i.).25Exemplo2.13. OconjuntoX= (1, 1), (1, 1)el.i., poisXeortogonal (verexemplo2.5). Usandoaobservac ao2.8,Xeumabasede R2,jaquedimR2= 2.ExercciosdeFixacao1. Ortonormalizar a base (1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 1)doR3, pelo Processo de Gram-Schmidt.2. SejaW= (x, y, z) : x 2y= 0. DeterminarumabaseortonormaldeW.3. Seja Vo espaco formado pelos polinomios de grau menor ou igual a 2 munido pelo produtointerno canonico de C([0, 1]). Ortonormalizar utilizando o Processo de Gram-Schmidt a basecanonica 1, t, t2.4. Determinarumabaseortonormaldecadaumdosseguintessubespacosdo R4utilizandooProcessodeGram-Schmidt:i) W= [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)];ii) W= [(2, 0, 0, 0), (1, 3, 3, 0), (3, 3, 3, 0)].5. DeterminarumabaseortonormaldosubespacoW= (x, y, z, t) : x y z= 0ez 2t = 0.6. Determinarumabaseortonormal dosubespacoW=[(1, 1, 1), (1, 2, 3)] emrelac aoaoprodutointernodadopor u, v) := x1y1 + 2x2y2 + x3y3, u = (x1, x2, x3)ev= (y1, y2, y3).2.4 ConclusaoA denicao de angulo entre elementos de um espaco vetorial arbitrario atraves de um produtointerno permite trabalharmos com conjuntos ortonormais e, mais especicamente, com basesortonormais,simplicandoaformaderepresentaroselementosdesteespaco.262.5 ExercciosPropostos1. Considereagoraoespacovetorial C([, ])comoprodutointernocanonico. Mostreque 1, sent, cos t, sen2t, cos 2t, ... eumconjuntoortogonal. Esteconjunto eortonormal?2. SejamV umespacovetorial comprodutointerno , )e= v1, v2, ..., vnumabaseortonormaldeV . Sejamu, v V taisqueu = x1v1 + x2v2 +... + xnvnev= 1v1 + 2v2 + ... + nvn.Mostrequei) v= v, v1)v1 +v, v2)v2 + ... +v, vn)vn.;ii) u, v) = u, v1)v, v1) +u, v2)v, v2) + ... +u, vn)v, vn);iii) |u|2= u, v1)2+u, v2)2+ ... +u, vn)2.3. Seja R4com o produto interno canonico. Seja Wo subespaco de R4consistindo de todososvetoresquesaoortogonaisaosvetoresu = (1, 0, 1, 1)ev= (2, 3, 1, 2).EncontreumabaseortonormalparaW.4. UseoProcessodeGram-Schmidtaosvetoresu = (1, 0, 1),v= (1, 0, 1)ew= (0, 3, 4),paraobterumabaseortonormalde R3.5. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ). SejaWumsubespacodeV. Sejav1, v2, ..., vnumabaseortonormal deW. Mostreque v V , valeadesigualdadedeBesseln

j=1v, vj)2 |v|2.6. SejaT : V V umoperador linear sobreumespacovetorial V dedimensaonitacomprodutointerno , ). Ent aose [T]=(Aij) comrelac aoaumabase ortonormal= v1, v2, ..., vn,provequeAij= Tvj, vi).7. DeterminarumabaseortonormaldosubespacoWde R3dadoporW= (x, y, z) : x y= 0.8. Seja v1, v2, v3baseortonormalde R3,denem-seoscossenosdiretoresdeuemrelac ao`abasedadaporcos = u, v1)|u|,cos = u, v2)|u|ecos = u, v3)|u|.Provarque:i) u = |u|((cos )v1 + (cos )v2 + (cos )v3);27ii) cos2 + cos2 + cos2= 1.ProximaAulaAseguirmostraremoscomodecomporumespacovetorial numasomadiretadedoissub-espacos.28ReferenciasBibliogracas[1] BUENO, H. P.,Algebra Linear - Um Segundo Curso, Primeira Edicao, Rio de Janeiro,SBM,2006.[2] CALLIOLI, C. A., DOMINGUES, H. H.,COSTA, R. C. F.Algebra Linear eAplicacoes,SextaEdicao,SaoPaulo,EditoraAtual,1995.[3] COELHO, F. O., LOURENC O, M. L., UmCursodeAlgebraLinear, Edic ao2001,SaoPaulo,EdusP,2004.[4] HOFFMAN,K.,KUNZE,R.,LinearAlgebra,SecondEdition,NewJersey,Prentice-Hall,Inc.,EnglewoodClis,1971.[5] LANG,S.,AlgebraLinear,PrimeiraEdicao,NewYork,Ed.cienciaModerna,2003.[6] LIPSCHUTZ,S.,AlgebraLinear,TerceiraEdicao,SaoPaulo,SchaumMcGraw-HillMakronBooks,1994.[7] SILVA, A., Introducao `aAlgebra, Primeira Edicao, Editora Universitaria UFPB, JoaoPessoa,2007.ProfessorRevisorProfessorPaulodeSouzaRabelo.29Captulo3ComplementoeProjecaoOrtogonalMetaMostrarparaoalunoqueanocaodeortogonalidadepossibilitadecomporoespacovetorialnumasomadedoissubespacos.ObjetivosAonaldestaaula,oalunodever asercapazdecomporumespacovetorialdeformaconve-nientecomosomadiretaentreumsubespacoeseucomplemento.Pre-requisitosAlgebraLinearI303.1 IntroducaoAnocaodecomplementoortogonaldeumsubconjuntodeumespacovetorialcomprodutointerno, permitedecomporesteespacocomosomadiretaentreumsubespacoeseucom-plementoortogonal. Estefatopossibilitaumamelhorcompreensaodaestruturadeespacosvetoriaiscomprodutointerno.3.2 ComplementoOrtogonalCaro aluno,nesta secao, discutiremos uma forma conveniente de decompor um espaco veto-rialemsomadiretadedoissubespacos.3.2.1 DenicaoeExemplosDenicao3.1. Seja Vum espaco vetorial com produto interno , ). Seja U Vum sub-conjuntoqualquer. DenimosocomplementoortogonaldeUemV comosendooconjuntoU= v V: v, u) = 0,paratodou U.Exemplo3.1. Vamosencontrarocomplementoortogonal doconjuntoU= (1, 1)emR2. Sejav= (x, y) Uqualquer. Ent ao v, (1, 1)) = 0implicaque (x, y), (1, 1)) = 0,eda x y=0. Dessaformav=(x, y) =(y, y) =y(1, 1) eU= v=(x, y) R2:(x, y), (1, 1))=0= y(1, 1): y R=[(1, 1)]. Portanto, U=[(1, 1)], onde[(1, 1)]signicaoespacogeradopelosubconjunto (1,1).Exemplo 3.2. SejaU = (x, y, 0) : x, yR. Paradeterminarmos Utomemos umelemento arbitrario v= (a, b, c) U. Ent ao de v, (x, y, 0)) = 0 (ver exemplo 1.2), podemosconcluirque (a, b, c), (x, y, 0))=0, paratodox, y R. Ouseja, ax + by=0, paratodox, y R. Emparticular, fazendox=1ey=0, temosquea=0, eparax=0ey=1,obtemosb = 0. Dessaforma,v= (a, b, c) = (0, 0, c) = c(0, 0, 1). Portanto,U= [(0, 0, 1)].NotequeUnao, necessariamente, eumsubespacodeV , masoquepodemosarmarsobreU? Nos exemplos 3.1e3.2, encontramos umsubespacoparaoconjuntoU. Aperguntaquesurge e: isto esempreverdade?Aresposta earmativa.31Proposicao3.1. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ). EntaoUeumsubespacodeV .Demonstracao. Comefeito, primeiramente, noteque0 U, pois 0, u) =0, paratodou U(verProposic ao1.1). Emseguida, sejamv, w Ue R. Logo, v, u)=0ew, u) = 0,paratodou U.Consequentemente,v + w, u) = v, u) + w, u) = 0 + 0 = 0,para todo u U, ver Denic ao 1.1. Ou seja, v+w U. Isto prova que U e um subespacodeV.3.2.2 ResultadoImportantePrezadoaluno, nocasoemqueUeumsubespacodedimensaonita, oTeoremaaseguirnospermitedenirprojec aoortogonal.Teorema3.1. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , )esejaUumsubespacodedimensaonitadeV . EntaoV= U U, istoe, V= U+ UeU U= 0.Demonstracao. Inicialmente, provemos queU U= 0. Ora, sev U U, ent aov Uev U. UsandoaDenic ao3.1, temosque v, u)=0, paratodou U. Comov U, entao, emparticular, v, v)=0. UsandoaDenicao1.1, concluimosquev=0.Logo, U U=0. Agora, vericaremos que V =U+U. ComodimUe nita,segue doTeorema2.2que existe umabase ortonormal = u1, u2, ..., umde U. Sejav V umvetorqualquer. ProvaremosqueveasomadeumvetordeUcomumvetordeU. Paraisso, escolhau=m

i=1v, ui)ui U. VimosnademonstracaodoTeorema2.2que,v u, uj) = 0,paratodoj= 1, 2, ..., m.Paracomodidadedoleitor,faremosaprovadestaarmac aonovamente.v u, uj) = v, uj) u, uj)= v, uj) _m

i=1v, ui)ui, uj_32= v, uj) m

i=1v, ui)ui, uj)= v, uj) v, uj) = 0,poiseortonormal. Consequentemente,v u U. Mas,v= u + (v u),ondeu Uev u U.IstoprovaqueV= U+U.Portanto,V= U U.Obs 3.1. Sobas hipoteses doTeorema3.1, temos que dimV =dimU+dimU, poisV= U U.Exemplo 3.3.No exemplo 3.2, vimos que para o subespaco U= (x, y, 0) : x, y R temosU= [(0, 0, 1)].OTeorema3.1,nosgaranteque R3= (x, y, 0) : x, y R [(0, 0, 1)].3.2.3 ProjecaoOrtogonalDenicao3.2. Sejav V =U U. Denimos, aprojec aoortogonal devemUcomosendoovetorutalquev= u + u,comu U, u U.DenotamosistoporPU(v) = u.Obs3.2. QuandonaohouverpossibilidadedeconfusaocomosubespacoU,escreveremos,simplesmente,P(v) = PU(v).Obs3.3(ComoEncontrarP(v)). VimosnademonstracaodoTeorema3.1quePU(v) = u =m

i=1v, ui)ui= v, u1)u1 +v, u2)u2 + ... +v, um)um,onde u1, u2, ..., um euma(naoimportaqual)baseortonormaldeU.Exemplo3.4. SejaU= (x, y, 0): x, y R. Vamosencontraraprojec aoortogonal de(1, 1, 1)emU. DesdequeU = (x, 0, 0) + (0, y, 0) : x, y R= x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) : x, y R= [(1, 0, 0), (0, 1, 0)],seguequeUesubespacode R3edimU=2. Alemdisso, u1=(1, 0, 0), u2=(0, 1, 0)eumabaseortonormaldeU.Logo,usandoaobservac ao3.3,obtemosP(1, 1, 1) = (1, 1, 1), u1)u1 +(1, 1, 1), u2)u233= (1, 1, 1), (1, 0, 0))(1, 0, 0) +(1, 1, 1), (0, 1, 0))(0, 1, 0)= (1, 1, 0).Obs3.4. No exemplo 3.4, a base encontrada para Ue ortonormal. Nem sempre isso ocorre!Quandoencontrarmosumabase,aqualnao eortonormal,devemos,primeiramente,aplicaroProcessodeGram-Schmidtparaortonormaliza-lae, depoisdoprocessorealizado, procu-rarmosaprojecaoortogonalusandoaobservac ao3.3. Vejaoexemploaseguir.Exemplo3.5. SejamV= R2eU= [(1, 1), (0, 1)]umsubespaco. Entao= (1, 1), (0, 1)eumabasedenaoortonormal deU. VamosencontrarP(1, 2). Paraisso, precisamosdeuma base ortonormal de U. Convidamos o leitor a utilizar o processo de Gram-Schmidt paravericarque=_u1=_12,12_, u2=_22,22__eumabaseortonormal deU. Logo,pelaobservacao3.3,P(1, 2) = (1, 2), u1)u1 +(1, 2), u2)u2=_(1, 2),_12,12___12,12_+_(1, 2),_22,22___22,22_= (1, 2).Denicao3.3(AplicacaoProjec aoOrtogonal). SobasmesmashipotesesdoTeorema3.1denimosaprojec aoortogonal deV emUcomosendoafunc aoP: VUqueassociacadav V aovetorPU(v)(projec aodevemU).Proposicao3.2(LinearidadedaProjecaoOrtogonal). Considerequeestamossobasmes-mas hipoteses doTeorema3.1. Entaoaprojecaoortogonal deV emUeumaaplicacaolinear.Demonstracao. Sejamv1, v2 V . ComoV =U U, entaoexistem unicosu1, u2 Ueu1 , u2 Utaisquev1= u1 + u1ev2= u2 + u2 . Portanto,para R,temosquev1 +v2= (u1 + u2) + (u1+ u2 ),ondeu1 + u2 Ueu1+ u2(estaea unicamaneiradeescreverv1 + v2, verTeorema3.1),poisUeUsaosubespacosdeV (verTeorema3.1eProposic ao3.1). Comisso,P(v1) = u1, P(v2) = u2eP(v1 + v2) = u1 + u2.34Dessaforma,P(v1 + v2) = u1 +u2= P(v1) + P(v2),isto e,P(v1 + v2) = P(v1) + P(v2),ouseja,Pelinear.Exemplo3.6. SejaU= (x, y, 0) : x, y R. Vamos encontrar aprojec aoortogonalde R3emU. Vimosnoexemplo3.4queU=[(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e u1=(1, 0, 0), u2=(0, 1, 0)eumabaseortonormaldeU.Logo,usandoaobservac ao3.3,obtemosP(x, y, z) = (x, y, z), u1)u1 +(x, y, z), u2)u2= (x, y, z), (1, 0, 0))(1, 0, 0) +(x, y, z), (0, 1, 0))(0, 1, 0)= x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0)= (x, y, 0).Logo,P(x, y, z) = (x, y, 0)deneaprojec aoortogonalde R3emUExercciosdeFixacao1. AcharumabasedosubespacoV, ondeV =[(1, 0, 1, 1), (1, 1, 2, 0)].Ortonormalizeestabase.2. Determinaraprojec aoortogonaldeu = (1, 1)nosubespacoU= [(1, 3)].3. Acharaprojecaoortogonalde(1, 1, 1, 1)nosubespacoU= [(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)].4. Determinaraprojec aoortogonal def(t)=2t 1nosubespacoU=[t], emrelac aoaoprodutointernocanonicodeC([0, 1]).5. Determinar uma base ortonormal de U, onde U= (x, y, z, t) : x +y= 0 e 2x +z= y.6. Seja Vo espaco formado pelos polinomios de grau menor que ou igual a 2 com o produtointernocanonicodeC([0, 1]).i) Ortonormalize 1, 1 + t, 2t2;ii) AcharocomplementoortogonaldosubespacoU= [5, 1 + t].7. Mostrequeaprojec aoortogonal,P: V U,deV emUsatisfaz:i) P2:= P P= P;ii) ker(P) = U(n ucleodeP)eIm(P) = U;35iii) V= ker(P) Im(P).8. Sejau = (1, 1, 1, 1). Encontre u.Determineumabaseortonormalpara u.3.3 ConclusaoNestaaulaconclumos queesemprepossvel decompor umespacovetorial comprodutointernoe dimensaonitanumasomade dois subespacos, e assimdenir umaprojec aoortogonalsobreesteespaco.3.4 ExercciosPropostos1. Seja Vo espaco vetorial formado pelos polinomios com grau 3. Equipe Vcom o produtointerno f, g) =_10f(t)g(t)dt.i) Encontreocomplementoortogonaldosubespacoformadopelospolinomiosconstantes;ii) ApliqueoprocessodeGram-Schmidt`abase 1, x, x2, x3.2. SejaV oespacovetorial detoadsasmatrizesnncomentradasreais. VeriquequeA, B) = tr(ABt),ondetr(X) = X11 + X22 + ... + Xnn(tracodeX), eumprodutointernosobre V . Encontre o complemento ortogonal do subespaco formado pelas matrizes diagonais.3. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ). SejaWumsubespacodeV comdimensao nita. Seja Pa projec ao ortogonal de Vem W. Mostre que P(u), v) = u, P(v)),paratodosu, v V .4. ConsideremosoespacovetorialC([1, 1])munidocomoprodutointernocanonico. SejaP C([1, 1]) o subespaco formado por todas as func oes pares e I C([1, 1]) o subespacoformadopelasfunc oes mpares. MostrequeP= I.5. MostrequeseUforumsubespacodedimensaoinnitadeumespacovetorial V comprodutointerno , ), ent aonaoeverdade, emgeral, queV =U U. Portanto, sereti-rarmos a hipotese de dimensao nita do subespaco, no Teorema 3.1, o Teorema deixa de serverdadeiro.Sugestao: ConsiderequeV =l2(R)=_(xn) R :

n=1x2n< _comoprodutointerno36(xn), (yn)):=

n=1xnyn(verique!). SejaU=[(1, 0, ...), (0, 1, 0, ...), ..., (0, 0, ..., 1, 0, ...), ...].ProvequeU= (0, 0, ...). Paraconcluir,mostrequeV ,= U.6. SejaW=[(3, 4)]. Seja , ) oprodutointernocanonicodeR2. Encontre aprojec aoortogonal P deR2emW, amatriz de P (emrelacao`abase canonica), W, umabaseortonormaltalque[P]=_1 00 0_.7. SejamU1, U2subespacosdedimensaonitadeumespacovetorial comprodutointerno, ). Mostreque(U1 + U2)= U1 U2e(U1 U2)= U1+ U2.8. SejaVumespacovetorialcomprodutointerno , ). SejaUumsubespacodedimensaonitadeV.Entao,paracadav V ,tem-se|v P(v)| |v u|,paratodou U,empalavras,P(v) eovetordemenordistanciaav.9. Seja Vum espaco vetorial com produto interno , ). Seja U V. Mostre que [U] U,onde[U] eosubespacogeradoporUeU= (U). ProvequeseV temdimensaonta,ent ao[U] =U. Concluaque se V temdimensaontae Ue subespacode V , entaoU= U.ProximaAulaNa aula seguinte mostramos que todo funcional linear pode ser representado por um produtointerno e, a partir da, construiremos um operador linear importante, dito operador adjunto.37ReferenciasBibliogracas[1] BUENO, H. P.,Algebra Linear - Um Segundo Curso, Primeira Edicao, Rio de Janeiro,SBM,2006.[2] CALLIOLI, C. A., DOMINGUES, H. H.,COSTA, R. C. F.Algebra Linear eAplicacoes,SextaEdicao,SaoPaulo,EditoraAtual,1995.[3] COELHO, F. O., LOURENC O, M. L., UmCursodeAlgebraLinear, Edic ao2001,SaoPaulo,EdusP,2004.[4] HOFFMAN,K.,KUNZE,R.,LinearAlgebra,SecondEdition,NewJersey,Prentice-Hall,Inc.,EnglewoodClis,1971.[5] LANG,S.,AlgebraLinear,PrimeiraEdicao,NewYork,Ed.cienciaModerna,2003.[6] LIPSCHUTZ,S.,AlgebraLinear,TerceiraEdicao,SaoPaulo,SchaumMcGraw-HillMakronBooks,1994.[7] SILVA, A., Introducao `aAlgebra, Primeira Edicao, Editora Universitaria UFPB, JoaoPessoa,2007.ProfessorRevisorProfessorPaulodeSouzaRabelo.38Captulo4AAdjuntadeumOperadorLinearMetaMostrar para o aluno a construc ao de uma aplicacao linear importante, chamada de aplicac aoadjunta.ObjetivosAonaldaaula,oalunodevesercapazderepresentarumfuncionallinearnaformadeumprodutointernoecalcularaadjuntadeumaaplicac aolinear.Pre-requisitosAlgebraLinearI394.1 IntroducaoAdenicaodeoperadorlinearadjuntopermitira, adiante, umaclassicacaodeoperadoreslineares. Aconstruc aodaadjuntadeumatransformac aolinear ebaseadanofatoqueparacadafuncional linearestaassociadoaumelementodoespacovetorial, deformaqueestefuncional erepresentadoporumprodutointerno.4.2 AdjuntadeumOperadorLinearCaroaluno, nestaaula, mostraremoscomo, emalgunscasos, epossvel obter, apartirdeum operador linear, uma aplicac ao linear chamada Adjunta. Veremos que propriedades estenovooperadorsatisfaz. AadjuntaseraresponsavelpeladenicaodeoperadoresdegranderelevanciaparaaAlgebraLinear.4.2.1 DenicaoeExemplosOTeoremaaseguircaracterizatodososfuncionaislinearesreaissobreumespacovetorialcom produto interno e dimensao nita. Antes de enunci a-lo relembre a denic ao de funcionallinearreal.Denicao4.1(FuncionalLinear). SejaV umespacovetorial. Dizemosqueumaaplicac aof:V Reumfuncionallinearsef(u + v)=f(u) + f(v), paratodosu, v V etodo R. O conjunto V= f: V R : felinear e um espaco vetorial chamado espaco dualdeV.Exemplo4.1. Aaplicac aof : R2R, dadapor f(x, y) =2x + y, eumexemplodefuncionallinear.SejaV umespacocomprodutointernoesejaw V . Afunc aog: V Rdenidaporg(v) = v, w),para todov V , e linear (justique!). O proximo resultado expressara o fatoqueseVeumespacodedimensaonita,ent aotodofuncionallinearseradestaforma.Teorema 4.1 (Teorema da Representa cao de Riesz).Seja Vum espaco vetorial com produtointerno , )edimensaonita. Dadoumfuncionallinearf: V R,existe unicov V talquef(u) = u, v),paratodou V.40Demonstracao. PeloTeorema2.2,sabemosqueexisteumabaseortonormaldeV . Digamosque v1, v2, ..., vn eestabase. Dadou V ,peladenicaodebase,temosqueu = 1v1 + 2v2 + ... +nvn.Notequeu, v1) = 1v1 + 2v2 + ... + nvn, v1).Portanto,pelaDenc ao2.4,u, v1) = 1v1, v1) + 2v2, v1) + ... + nvn, v1) = 1.Analogamente,prova-sequei= u, vi),paratodoi = 1, 2, ..., n.Assimsendo,u = u, v1)v1 +u, v2)v2 + ... +u, vn)vn.Consequentemente,usandoaDenic ao4.1,f(u) = f(u, v1)v1 +u, v2)v2 + ... +u, vn)vn)= u, v1)f(v1) +u, v2)f(v2) + ... +u, vn)f(vn)= u, f(v1)v1) +u, f(v2)v2) +... +u, f(vn)vn)= u, f(v1)v1 + f(v2)v2 + ... +f(vn)vn).Dena v= f(v1)v1+f(v2)v2+... +f(vn)vn. Portanto, f(u) = u, v), para todo u V. Agora,vamosprovaraunicidadedev V.Suponhaqueexistew V talquef(u) = u, w),paratodou V. Comisso, u, w)=f(u)= u, v), paratodou V . Da, u, w v)=0, paratodou V . Usandooitemiv)daProposicao1.1, chegamosaw v=0. Logo, w=v.Istoporvaaunicidade.Exemplo4.2. Sejaf(x, y) =2x + yofuncional vistonoexemplo4.1. Ent aopodemosescreverf(x, y)= (x, y), (2, 1)), paratodo(x, y) R2. Logo, v=(2, 1)eovetorrelatadonoTeorema4.1.Corolario4.2(Isomorsmo entre Ve V). SejaV umespacovetorialcomprodutointerno, ).edimensaonita. EntaoVeisomorfoaV .Demonstracao. DenaT : V V porT(f)=v, ondef(u)= u, v), paratodou V(verTeorema4.1). ComodimV= dimV ,entao,peloTeoremadon ucleoeimagem,basta41provarqueTelineareinjetora, ouseja, queTelineareker(T)= 0, paraprovarqueT e umisomorsmo. Primeiramente, vamos provar que T e linear. Comefeito, sejamf, g Ve R.Ent ao,peloTeorema4.1,existem unicosv, w V taisquef(u) = u, v)eg(u) = u, w),paratodou V.Portanto,(f+g)(u) = f(u) + g(u) = u, v) +u, w) = u, v + w),paratodou V. Ouseja, T(f+ g)=v+ w(verunicidadenoTeorema4.1). Conse-quentemente,T(f+ g) = v + w = T(f) + T(g).Assim, Te linear. Agora, considere que f ker(T), ou seja, T(f) = 0. Logo, v= T(f) = 0.Por m, f(u) = u, v) = 0, para todo u V. Isto e, f= 0. Isto mostra que ker(T) = 0.Denicao4.2(Adjunta). SejaT : UV umatransformacaolinear, ondeUeV saoespacosvetoriaiscomprodutosinternos , )Ue , )V,respectivamente. Dizemosqueumaaplicac aoT: V UeaadjuntadeTseestasatisfazv, T(u))V= T(v), u)U,paratodou U, v V.Obs4.1. Quandonaohouverpossibilidadedeconfusaoescreveremos, simplesmente, , )pararepresentar , )Ue , )V,masdeveestarclaroqueestesprodutosestaosobreUeV ,respectivamente.Exemplo4.3. SejaV oespacodospolinomiossobre RcomoprodutointernocanonicodeC([0, 1])(verexemplo1.3). Fixeg V. DenaT:VV pondoT(f)=fg, paratodof V.VamosprocuraraadjuntadeT(casoestaexista). Observequef, T(h)) = f, hg) =_10f(t)[h(t)g(t)]dt =_10[f(t)g(t)]h(t)dt = fg, h) = T(f), h),paratodosf, h V.Portanto,T(f) = T(f)paratodof V.Ouseja,T= T.424.2.2 ExistenciaeUnicidadedaAdjuntaAsperguntasquesurgemnoexemplo4.3sao: aadjuntasempreexiste? Eseexiste, estae unica? Arespostaparaaprimeiraperguntaenegativa, veremosumexemplonalistadeexercciospropostos. Arespostaparaasegundaperguntaestanaseguinteproposicao.Proposicao4.1(Unicidade da Adjunta). SejaT: U V umatransformacaolinear,ondeUeV saoespacosvetoriaiscomprodutosinternos , )Ue , )V, respectivamente. CasoexistaT,estae unica.Demonstracao. SuponhaqueexisteS: V Utalquev, T(u))V= S(v), u)U,paratodou Uev V.Entao,T(v), u)U= v, T(u))V= S(v), u)U,paratodou Uev V.Ouseja,T(v) S(v), u)U= 0,para todou Ue v V.Assim,isto e,T(v) S(v) = 0,para todov V(ver itemiv) daProposicao1.1)e,portanto,S= T.IstogaranteaunicidadedeT.Noteque, noexemplo4.3vimosqueT=T, ent aocomoTelinearpodemosconcluirqueTelinear. Istosempreocorre? Ouseja, quandoaadjuntaexiste, alemdeser unica,esta eumatransformac aolinear?Conraarespostanasequencia.Proposicao4.2. SejaT : UV umatransformacaolinear, ondeUeV saoespacosvetoriais comprodutos internos , )Ue , )V, respectivamente. CasoexistaT, estaelinear.Demonstracao. Sejamv, w V e R.Ent ao,usandoaProposicao1.1,obtemosT(v + w), u)U= v + w, T(u))V= v + w, T(u))V= v, T(u))V+w, T(u))V= T(v), u)V+T(w), u)V= T(v) + T(w), u)V,43paratodou U. Ouseja,T(v +w), u)U= T(v) + T(w), u)V,paratodou U.Portanto,T(v + w) (T(v) + T(w)), u)U= 0,paratodou U.Utilizandooitemiv)daProposicao1.1,concluimosqueT(v + w) (T(v) + T(w)) = 0,Ou,equivalentemente,T(v + w) = T(v) + T(w).IstonosdizqueTelinear.Prezadoaluno,seraqueexistealgumacondic aoqueestabeleceaexistenciadaadjunta?Teorema4.3(Existencia e Unicidade da Adjunta). SejaT: U Vumatransformacaoli-near, onde Ue Vsao espacos vetoriais com produtos internos , )Ue , )V, respectivamente,ededimensoesnitas. EntaoTexiste,e unicaelinear.Demonstracao. Dena, paracadav V , f(u) = v, T(u))V, paratodou U. Notequef:U Reumfuncional linear. Defato, atravesdalinearidadedeTedadenic ao1.1,obtemosf(u + w) = v, T(u + w))V= v, T(u))V+v, T(w))V= v, T(u))V+v, T(w))V= f(u) + f(w),paratodou, w U. Ouseja, f(u + w)=f(u) + f(w), paratodou, w U. Istonosdizquefelinear. PeloTeoremadeRepresentac aodeRiesz4.1,existeum unicow Utalquef(u) = u, w)U= w, u)U,paratodou U.Da,v, T(u))V= f(u) = w, u)U,paratodou U.Porisso,denaT(v) = w.Logo,v, T(u))V= T(v), u)U,44paratodou Uev V. TeadjuntadeT. AunicidadeestagarantidapelaProposicao4.1ealinearidadeatravesdaProposic ao4.2.Exemplo4.4.Seja T: R2R3dado por T(x, y) = (x, 2x+y, y). Sabemos que a adjuntadeTexiste,peloTeorema4.3.Ent aovamosdetermina-la. Usandoadenic ao4.2,obtemos(a, b, c), T(x, y)) = (a, b, c), (x, 2x +y, y))= ax + b(2x + y) cy= (a + 2b)x + (b c)y= (a + 2b, b c), (x, y)).Logo,T(a, b, c) = (a + 2b, b c),paratodo(a, b, c) R3,deneaadjuntadeT.Exemplo4.5. DenaT: R2R2porT(x, y) = (y, x).Da,(a, b), T(x, y)) = (a, b), (y, x)) = ay + bx = bx + (a)y= (b, a), (x, y)).Logo,T(a, b) = (b, a), (a, b) R2,deneaadjuntadeT. Nestecaso,T= T.Exemplo4.6. SejaT: R2R2dadaporT(x, y) = (y, x). Noteque(a, b), T(x, y)) = (a, b), (y, x)) = ay + bx = bx + ay= (b, a), (x, y)),paratodo(x, y), (a, b) R2.Ent aoT(a, b) = (b, a). Logo,T= T.4.2.3 PropriedadesdaAdjuntaCarosalunos, sabemosqueasomadeduastransformacoeslineareseumatransformac aolinear. Fazsentido, entao, perguntarseexisteligacaoentreaadjuntadeumasomaeasadjuntasdecadaumadasparcelas. Omesmopodeserindagadosobrecomposic ao, multi-plicac aoporescalarenvolvendotransformacoeslineares. Oproximoresultadoestabeleceaspropriedadesdaadjunta.Proposicao4.3. SejamT, S: U V eP: V Wtransformacoeslineares,ondeU, V eWsaoespacosvetoriaiscomprodutointernoedimensaonita. Seja R. Entao:i) I= I,ondeIeatransformacaolinearidentidade,istoe,I(v) = v,paratodov;45ii) (T+ S)= T + S,empalavras,aadjuntadeumasomaeasomadasadjuntas;iii) (T)= T,em palavras,a adjunta de uma multiplicacao por escalar e a multiplicacaoporescalarcomaadjunta;iv) (P T)= T P,empalavras,aadjuntadeumacomposta eacompostadasadjuntascomosfatorescomutados;v) T:=(T)=T, empalavras, aadjuntadaadjuntadeumatransformacaolineareapropriatransformacao.Demonstracao. AexistenciaeaunicidadedestasadjuntasestaogarantidaspeloTeorema4.3. EssaspropriedadesdecorremimediatamentedaDenicao4.2. Defato,i)I= Iseguediretamentedofatoquev, I(u))V= v, u)U= I(v), u)U,paratodou, v.ii)(T+ S)= T + Seumaconsequenciadofatoquev, (T+ S)(u)) = v, T(u) + S(u))= v, T(u)) +v, S(u))= T(v), u) +S(v), u)= T(v) + S(v), u),paratodou Uev V .iii)DaDenic ao4.2,tambemconclumosquev, (T)(u)) = v, T(u)) = v, T(u)) = T(v), u) = T(v), u),paratodou Uev V . Assim,(T)= T.iv)NovamentepelaDenicao4.2,encontramosw, (P T)(u)) = w, P(T(u)))= P(w), T(u))= T(P(w)), u)= (T P)(w), u),46paratodou Uew W. Portanto,(P T)= T P.v)Porm,T= Tseguedofatoquev, T(u)) = T(v), u),paratodou Uev V .Exemplo4.7. SejaS:R2R3, denidoporS(x, y)=(2x, 4x + 2y, 2y). DesejamosencontraraadjuntadeS. ObservequeS=2T, ondeT(x, y)=(x, 2x + y, y). Vimosnoexemplo 4.4 que T(a, b, c) = (a +2b, b c). Logo, pelo item iii) da Proposic ao 4.3, obtemosS(a, b, c) = (2T)(a, b, c) = 2T(a, b, c) = 2(a + 2b, b c) = (2a + 4b, 2b 2c).Exemplo4.8. SejaS: R2R2dadoporS(x, y) = (x y, x + y).Noteque,S(x, y) = (x y, x + y) = (x, y) + (y, x) = I(x, y) + T(x, y) = (I + T)(x, y),paratodo(x, y) R2,ondeTestadenidanoexemplo4.5eIeaidentidadede R2.VimosqueT(a, b) = (b, a).Portanto,usandoositensi)eii)daProposicao4.3,encontramosS(a, b) = (I +T)(a, b) = (I+T)(a, b) = I(a, b)+T(a, b) = (a, b)+(b, a) = (a+b, ba).Veremos que a inversa da adjunta de umisomorsmoe a adjunta da inversa destaaplicac ao.Proposicao4.4(AdjuntadaInversa). SejaT : VV umisomorsmo, ondeV eumespaco vetorial comproduto interno. Entao T(caso exista) tambemoe. Neste caso,[T]1= [T1].Demonstracao. Como Te um isomorsmo, existe aplicac ao linear T1: V VsatisfazendoT T1=T1T =I, onde I : V V e aidentidade de V . Portanto, utilizandoos itens i) e iv) daProposicao4.3, obtemos [T T1]=[T1T]=I. Comisso,[T1] T= T [T1]= I.IstonosdizqueTeinversvel,ouseja,Teumisomorsmo(verProposicao4.2). Alemdisso,[T]1= [T1].Exemplo4.9. Seja T(x, y) = (y, x). Vamos mostrar que [T1]= T1. Vimos no exem-47plo4.5,queT= T.Logo,pelaProposicao4.4,[T1]= [T]1= [T]1= T1.PorqueTeinversvel?Proposicao4.5. SejaT: VV umoperadorlinear, ondeV eumespacovetorial comprodutointerno , ). SejaUumsubespacoT-invariante, istoe, T(U) U. SuponhaqueT: V V existe,entaoUeT-invariante,ouseja,T(U) U.Demonstracao. Sejau T(U), ent aoexistev Utal queu=T(v). Dadow U,temosque u, w) = T(v), w) = v, T(w)). Comow U,ent aoT(w) U,poisT(U) U.Por conseguinte, u, w) = v, T(w)) = 0, pois v Ue T(w) U. Assim sendo, u U. Ouseja,T(U) U.Exemplo4.10. SejaT: VV umatransformac aolineartal queT=T(casoexista),ondeVeumespacovetorialcomprodutointerno , ). SejaUumsubespacoT-invariante,ent aoUeumsubespacoT-invariante(verProposicao4.5).4.2.4 MatrizdaAdjuntaemRelacaoaumaBaseOrtonormalCaros alunos, seraqueexisteumarelac aoentreamatrizdeumatransformac aolinear eamatrizdesuaadjunta? Emgeral arespostaenegativa, mas seabasefor ortonormalobtemososeguinteresultado.Teorema4.4. SejaT: VV umatransformacaolinear, ondeV eumespacovetorialcomprodutointerno , )edimensaonita. Seja= v1, v2, ..., vnumabaseortonormaldeV.Entao[T]= [T]t.Demonstracao. Seja[T]=(Aij). NotequeT(vj) =A1jv1+ A2jv2+ ... + Anjvn. Conse-quentemente,T(vj), vi) = A1jv1 + A2jv2 + ... + Anjvn, vi) = A1jv1, vi) + A2jv2, vi) +... + Anjvn, vi).Comoeumabaseortonormal, ent ao T(vj), vi)=Aijvi, vi)=Aij(verDenicao2.4).Logo, T(vj), vi) = Aij,paratodoi, j= 1, 2, ..., n.Seja[T]= (Bij). Analogamenteaoque48foifeitonestademonstracao,temosqueBij= T(vj), vi) = vj, T(vi)) = T(vi), vj) = Aji,paratodoi, j= 1, 2, ..., n.Istonosdizque[T]= [T]t.Exemplo4.11. SejaT(x, y) =(y, x). Ent ao[T]c=_0 11 0_eamatrizdeT emrelac ao `a base canonica de R2. Como esta base e ortonormal, em relacao ao produto internocanonicode R2, usamosoTeorema4.4paraconcluirmosque[T]c=[T]tc=_0 11 0_.Portanto,T(a, b) = (b, a).ExercciosdeFixacao1. SejaT: R2R2dadoporT(x, y) = (10x y, y). EncontreT.2. SejaT: R2R2dadoporT(x, y) = (3x, x 4y). EncontreT.3. SejaT: R3R3dadoporT(x, y, z) = (x y, z, y + z). EncontreT.4. SejaT: R3R3dadoporT(x, y, z) = (0, 0, z). EncontreT.5. Em R3veriqueque (x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = 2x1y1 + 3x2y2 + 4x3y3deneumprodutointerno. EncontreaadjuntadaaplicacaolinearTdadaporT___xyz___=___1 0 12 1 33 1 4______xyz___comrelacaoaesseprodutointerno.6. SejaT: VV umoperadorlinearsobreumespacovetorial V comprodutointerno.SuponhaqueexisteTequeT(v) = veT(w) = w,com ,= .Mostreque v, w) = 0.7. SejamU, V espacosvetoriaiscomprodutointernoedimensaonitaeT: U V linear.Mostrequei) Teinjetorase,esomentese,Tesobrejetora;ii) Tesobrejetorase,esomentese,Teinjetora.498. SejaV umespacovetorial comprodutointernoeu, v V vetoresxados. MostrequeT(x) = x, u)vdeneumaaplicacaolinear. MostrequeTexisteeobtenhasuaexpressao.9. Seja T: U Vuma transformac ao linear entre espacos vetoriais de dimensao nita comprodutointerno. SedimU< dimV ,provequeooperadorT T: V V nao einvertvel.Masseker T= 0,provequeT T: U Ueinvertvel.4.3 ConclusaoConclumosnestasec aoqueacadaoperadorlinearsobreumespacovetorial dedimensaonita esta associado um operador linear adjunto que relaciona elementos do espaco dual comelementosdoespacovetorial.4.4 ExercciosPropostos1. SejamU, V espacosvetoriaiscomprodutointernoedimensaonita. SejaT: U Vlinear. Mostre que T T: U Ue T T: V Vtem o mesmo posto de T. Lembre queposto(T) = dimIm(T).2. SejamU, V espacos vetoriais comprodutointerno. Mostre que U V e umespacovetorialcomprodutointernosedenirmos (x1, y1), (x2, y2)) := x1, x2)U +y1, y2)V.DenaT: U V V UporT(x, y) = (y, x).MostrequeTexisteeobtenhasuaexpressao.3. SejaV umespacovetorial comprodutointernoedimensaonita. Paracadau, v VdenaTu,v(x) = x, v)u. MostrequeTu,v= Tv,u.ProximaAulaNasequenciafaremosumestudodaclassedeoperadoresditoauto-adjuntos.50ReferenciasBibliogracas[1] BUENO, H. P.,Algebra Linear - Um Segundo Curso, Primeira Edicao, Rio de Janeiro,SBM,2006.[2] CALLIOLI, C. A., DOMINGUES, H. H.,COSTA, R. C. F.Algebra Linear eAplicacoes,SextaEdicao,SaoPaulo,EditoraAtual,1995.[3] COELHO, F. O., LOURENC O, M. L., UmCursodeAlgebraLinear, Edic ao2001,SaoPaulo,EdusP,2004.[4] HOFFMAN,K.,KUNZE,R.,LinearAlgebra,SecondEdition,NewJersey,Prentice-Hall,Inc.,EnglewoodClis,1971.[5] LANG,S.,AlgebraLinear,PrimeiraEdicao,NewYork,Ed.cienciaModerna,2003.[6] LIPSCHUTZ,S.,AlgebraLinear,TerceiraEdicao,SaoPaulo,SchaumMcGraw-HillMakronBooks,1994.[7] SILVA, A., Introducao `aAlgebra, Primeira Edicao, Editora Universitaria UFPB, JoaoPessoa,2007.ProfessorRevisorProfessorPaulodeSouzaRabelo.51Captulo5OperadoresAuto-adjuntosMetaApresentaraoalunoadenicaoeprincipaispropriedadesdeoperadoresauto-adjuntos.ObjetivosAo nal desta aula, o aluno devera ser capaz de identicar um operador auto-adjunto e sabersuasprincipaispropriedades.Pre-requisitosAlgebraLinearI.5.1 IntroducaoOperadores auto-adjuntos sao extremamente importantes em mecanica quantica. Por seremdiagonalizaveis, temseuespectrototalmente determinado. Atraves de operadores auto-52adjuntospositivospodemosdenirumprodutointernosobreoespacovetorial.5.2 OperadoresAuto-adjuntosCaro aluno, nesta aula, trabalharemos com operadores denominados auto-adjuntos. Mostrare-mos a estreita relacao existente entre o estudo dos autovetores, realizado emAlgebra LinearI,comtaisoperadores.5.2.1 DenicaoeExemplosPrezadoaluno, nossoprincipal interessenoestudodeoperadoresauto-adjuntoseestabele-cereaplicaroTeoremaEspectral parataisoperadores. Paraistoprecisamospercorreroprazerosocaminhoquedescreveestateoria.Denicao5.1. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ). Dizemos queumoperadorlinearT: V Veauto-adjuntoseT= T.Exemplo5.1. SejaT: R2 R2, dadaporT(x, y)=(y, x). Vimos, noexemplo4.6, queT= T.Logo,Teumoperadorauto-adjunto.Exemplo 5.2 (Operador Nao-auto-adjunto).Seja T: R2R2, dada por T(x, y) = (y, x).Vimos,noexemplo4.5,queT(a, b) = (b, a). Emparticular,T(1, 1) = (1, 1)eT(1, 1) = (1, 1).Ouseja,T ,= T.IstonosdizqueTnao eauto-adjunto(verdenicao5.1).Exemplo5.3. SejaV oespacodospolinomiossobre RcomoprodutointernocanonicodeC([0, 1])(verexemplo1.3). Fixeg V. DenaT:VV pondoT(f)=fg, paratodof V.Vimos,noexemplo4.3,queT= T.Comisso,Teauto-adjunto(verdenic ao5.1).Exemplo5.4. SejaV umespacovetorialcomprodutointerno , ).Sejav V umvetorxo. SejaT: V V denidaporT(u) = v, u)v,paratodou V . VamosmostrarqueTeauto-adjunto. Defato,v, T(u)) = v, v, u)v) = v, u)v, v) = v, v)v, u) = T(v), u),53ouseja,T= T.IstonosdizqueTeauto-adjunto(verdenicao5.1).5.2.2 ResultadosImportantesVejamosalgunsresultadosparaoperadoresauto-adjuntos.Proposicao 5.1.Seja Vespaco vetorial com produto interno e seja T: V Vum operadorauto-adjuntoeumisomorsmo. EntaoT1tambemoe.Demonstracao. A Proposicao 4.4 nos diz que (T1)= (T)1= T1, pois T= T. Ou seja,T1eauto-adjunto.Exemplo5.5. SejaT(x, y) = (x + y, x y).EntaoTeauto-adjunto. Defato,(a, b), T(x, y)) = (a, b), (x + y, x y))= a(x + y) + b(x y)= x(a + b) + y(a b)= (a + b, a b), (x, y))implica que T(a, b) = (a+b, ab), e isso mostra que T= T. Convidamos o aluno a mostrarqueT1(a, b) =_a + b2, a b2_eainversadeT. PeloTeorema5.1,T1eauto-adjunto.5.2.3 MatrizesdeOperadoresAuto-adjuntosCaroaluno,epossvelvericarmosseumoperador eauto-adjuntoatravesdamatrizdeste,emrelacaoaumabaseortonormal. Vejamosaprovadestaarmac ao.Teorema5.1(Caracterizac aodeOperadoresAuto-adjuntos). SejaV umespacovetorialcomprodutointerno , )edimensaonita. SejaT: V V umoperadorlinear. EntaoTeauto-adjuntose, esomentese, [T]esimetrica, ondeebaseortonormal deV. LembrequeumamatrizAesimetricaseA = At.Demonstracao. SuponhaqueTeauto-adjunto. Sejabaseortonormal deV . VimosnoTeorema4.4que[T]=[T]t. ComoTeauto-adjunto, ent aoT=T(verDenic ao5.1).Logo,[T]= [T]= [T]t.Istonosdizque[T]esimetrica.54Reciprocamente,suponhaque[T]= [T]t,onde= v1, v2, ..., vn eumabaseortonor-maldeV. Consequentemente, T(vi), vj)= T(vj), vi), paratodoi, j, estassaoasentradasdas matrizes [T]e [T]t, respectivamente. Se u, vV , entao, peladenicaode base,u =

ixiviev=

jyjvj. Portanto,u, T(v)) =_

ixivi, T_

jyjvj__=

ixi

jyjvi, T(vj))=

ixi

jyjT(vj), vi)=

ixi

jyjT(vi), vj),na ultimaigualdadeusamosque T(vi), vj) = vi, T(vj)). Porm,u, T(v)) =_

ixiT(vi),

jyjvj_=_T_

ixivi_,

jyjvj_= T(u), v).Logo, usando a Proposicao 1.1, temos que, T= T. Pela Denic ao 5.1, Te auto-adjunto.Ahipotesedeortonormalidadedabasenaopodeserdesconsiderada. Vejaoexemploaseguir.Exemplo5.6. SejaT(x, y, z) = (2x + 2z, x +z, x +z)operadorlinearsobreV= R3eseja= (1, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1) uma base de V(esta base nao e ortonormal, verique!). Noteque[T]=___1 1 11 1 11 1 1___.Assimsendo,[T]esimetrica,masTnao eauto-adjunto. Comefeito,T(1, 0, 0), (0, 1, 0)) = (2, 1, 1), (0, 1, 0)) = 1e (1, 0, 0), T(0, 1, 0)) = (1, 0, 0), (0, 0, 0)) = 0.Logo, T(1, 0, 0), (0, 1, 0)) ,= (1, 0, 0), T(0, 1, 0)).55Exemplo5.7. SejaT: R2R2dadoporT(x, y) = (y, x). Noteque,[T]c=_0 11 0_,ondec eabasecanonicade R2(aqual eortonormal,verexemplo2.8). Vejaque[T]cnao esimetrica,logo,Tnao eauto-adjunto,peloTeorema5.1.Exemplo5.8. SejaT: R2R2dadoporT(x, y) = (y, x). Vejaque[T]c=_0 11 0_eumamatrizsimetrica,ondec eabasecanonicade R2. Dessaforma,peloTeorema5.1,Teauto-adjunto.5.2.4 TeoremaEspectralparaOperadoresAuto-adjuntosPrezados alunos, mostraremos nestasecaoque paraoperadores auto-adjuntos sobre umespacovetorial V existeumabaseortonormal desseespacoformadaporautovetores. Istogarantequearepresentac aomatricial dooperadoreumamatrizdiagonal. Tal resultadoeconhecidocomoTeoremaEspectralparaoperadoresauto-adjuntos. Parachegarmosatetalteorema,precisamosdealgunsresultadospreliminares.Lema5.1. SejaTumoperadorlinearauto-adjuntosobreumespacovetorial comprodutointernoV . Entaoautovetoresassociadosaautovaloresdistintossaoortogonais.Demonstracao. Sejamv, w V autovetores associados aautovalores distintos e, re-spectivamente. Ouseja, Tv=veTw=w. Entao, porserTauto-adjunto, seguequev, Tw) = Tv, w). Assim,v, w) = v, w). Consequentemente, v, w) =v, w) e( )v, w)=0.Como ,=, temosque v, w)=0.UsandoaDenic ao2.2, concluimosquev w.Lema5.2. SejaTumoperadorauto-adjuntosobreumespacovetorialcomprodutointernoV . SeUeumsubespacoT-invariante,entaoUtambemoe(verProposicao4.5).Demonstracao. EsteLema esoumareformulacaodoexemplo4.10.56Lema5.3. SejaT: V V umoperadorlinearauto-adjuntosobreumespacovetorial comprodutointernoedimensaonitaV . EntaooconjuntodeautovaloresdeTenao-vazioeestaconstitudoporn umerosreais.Demonstracao. Sejauma base ortonormaldeV(existe pelo Teorema 2.2). Considere quedimV= n > 0. Entao, pelo Teorema 5.1, [T]= A = (Aij) e simetrica, pois Te um operadorauto-adjunto. ConsidereopolinomiocaractersticodeT, pA(x)=det(xI A), ondeIeamatriz identidade nn. Entao e autovalor de Tse, e somente se, pA() = det(I A) = 0.Noteque,peloTeoremaFundamentaldaAlgebra,estepolinomiotempelomenosumaraizcomplexa.Vamosmostrarque R.Comodet(I A) =0,seguequeosistemalinearAX= Xpossui innita soluc oes nao-nulas para X(matriz n1 com entradas complexas).DigamosqueY=______y1y2...yn______e uma solucao nao-nula de AX= X. Ou seja, AY= Ye Y ,= 0. Escrevendo esta equac aomatricialcomosistemalinear,obtemosasequacoesn

j=1Aijyj= yi, (i = 1, 2, ..., n).Comisso, multiplicandoporyi, encontramosn

j=1Aijyjyi=yiyi, (i=1, 2, ..., n). Somandoestesresultados,obtemosn

i,j=1Aijyjyi= n

i=1yiyi= n

i=1[yi[2. (5.1)(estemoduloeomodulodeumn umerocomplexo). Observequeesta ultimasomaresultaemumn umeroreal. Vamos,agora,vericarquen

i,j=1Aijyjyi R. Ouseja,n

i,j=1Aijyjyi=n

i,j=1Aijyjyi.57Defato,n

i,j=1Aijyjyi=n

i,j=1Aijyjyi=n

i,j=1Aijyjyi,na ultimaigualdadeusamosofatoqueA eumamatrizreal. ComoA esimetrica,ent aon

i,j=1Aijyjyi=n

i,j=1Ajiyjyi=n

i,j=1Aijyiyj=n

i,j=1Aijyjyi,napen ultimaigualdadezemos umamudancadendices dei por j. Consequentemente,n

i,j=1Aijyjyi R. Mas,n

i=1[yi[2 R. Pelasigualdadesem5.1,conclumosque R. Dessaforma, eumautovalorrealdeT.Teorema5.2(TeoremaEspectral paraOperadoresAuto-adjuntos). SejaT umoperadorlinearsobreumespacovetorial comprodutointernoedimensaonitaV . EntaoTeauto-adjuntose, e somente se, existe umabase ortonormal de V formadapor autovetores deT.Demonstracao. Seja dimV= n. Faremos a prova por inducao sobre n. Se n = 1 e v e umabasedeV ,segueque_v|v|_eumabaseortonormaldeV formadaporumautovetor,poisnesse caso, todo elemento nao-nulo de Ve autovetor ja que T(v) Vimplica, pela denicaodebase,queT(v) = v,paraalgum R.Agoraconsideren>1esuponhaqueoTeoremasejavalidoparatodosubespacodeVcomdimensaomenorquen. Comon>1, seguedoLema5.3queexistev1 V autovetorunitario de Tassociado a um autovalor . Seja U= [v1]. Assim, pela Observa cao 3.1, temosquedimU=dimV dimU=n 1 0,se T(v), v) > 0,paratodov V ,comv ,= 0.Obs5.1. Deformasemelhante, denimosoperadoresdenidonao-negativo, negativo, naopositivo (usando os sinais , 0e T(v), v) < 0eExemplo5.11. SejaI(x, y)=(x, y)ooperadoridentidadede R2. Vimos, naProposic ao4.3,queIeauto-adjunto. Alemdisso,I(x, y), (x, y)) = (x, y), (x, y)) = x2+ y2 0.Mas,x2+y2= 0se,esomentese,x = y= 0.Assim,I(x, y), (x, y)) = x2+y2> 0, (x, y) ,= (0, 0).Dessaforma,pelaDenicao5.2,I> 0.66Exemplo5.12. SejaT(x, y)=(y, x), paratodo(x, y) R2. VimosqueTeauto-adjunto(verexemplo4.6). Alemdisso,T(x, y), (x, y)) = (y, x), (x, y)) = yx + xy= 2xy.LogoTeumoperadorindenido,poisT(1, 1), (1, 1)) = 2 < 0e T(1, 1), (1, 1)) = 2 > 0.Obs5.2. Poderamosdeniroperadoresnegativos,nao-negativos,nao-positivos...Exemplo5.13(Operador Nao-negativo em R2).Seja T(x, y) = (x+y, x+y), (x, y) R2.Como[T]c=_1 11 1_esimetrica,entaopeloTeorema5.1,Teauto-adjunto. Alemdisso,T(x, y), (x, y)) = (x +y, x + y), (x, y)) = (x + y)x + (x +y)y= (x + y)2 0.Istonos dizqueT0(ver Denicao5.2). Porem, T(1, 1), (1, 1)) =(1 1)2=0.Portanto,pelaDenic ao5.2,Tnao epositivo.Exemplo5.14(OperadorNegativoem R2). SejaT(x, y) = (x, y). NotequeTeauto-adjunto,poissuamatriz,emrelac ao`abasecanonicac, edadapor[T]c=_ 1 00 1_esimetrica(verTeorema5.1). Alemdisso,T(x, y), (x, y)) = (x, y), (x, y)) = x2y2 0.Mas, x2y2= 0 x = y= 0.Assim,T(x, y), (x, y)) = x2y2< 0, (x, y) ,= (0, 0).Dessaforma,pelaDenicao5.2,T< 0.Exemplo 5.15 (Operador Nao-positivo emR2).Seja T(x, y) = (x, y). Vimos no exemplo675.14queT(x, y), (x, y)) 0, (x, y) R2.Logo,T 0.ExercciosdeFixacao1. Seja Vum espaco vetorial com dimensao nita e produto interno. Seja = v1, v2, ..., vnumabasedeV . Denagij= vi, vj). Seu=n

i=1xiviev =n

i=1yivi, mostrequevaleu, v) =

ni,j=1gijxiyj. Verique que G=(gij) e umamatriz simetricae positiva, istoe, [u]tG[u], u ,=0emV. Reciprocamente, mostrequeseGfor umamatrizsimetricapositiva, ent ao , )deneumprodutointernoemV . AmatrizGechamadamatrizdeGramdosvetoresv1, v2, ..., vn.2. Entreasmatrizesabaixo,determinequaissaopositivas.___9 3 63 9 66 6 9___,___1 2 33 2 22 3 5___e___1 0 00 1 20 2 1___.3. MostrequeumoperadorTepositivose,esomentese,Tenao-negativoeinvertvel.5.4 RaizQuadradadeOperadoresLineares5.4.1 DenicaoeExemplosDenicao5.3. SejaV umespacovetorial. SejaS:VV umoperadorlinear. DizemosqueumoperadorlinearT: V VeraizquadradadeSseT2= S,isto e,T T= S.Notacao: T=S.Exemplo5.16. SejaT(x, y) = (y, x). NotequeT2(x, y) = T T(x, y) = T(y, x) = (x, y) = I(x, y),paratodo(x, y) R2.Logo,T2= I. Comisso,T=I.68Exemplo5.17. SejaS(x, y)=(x y, x y). SuponhaqueexisteT: R2 R2raizquadradadeS. Assim,T2= S,ouseja,T2(x, y) = S(x, y) = (x y, x y).Logo,T2(1, 0) = (1, 1)eT2(0, 1) = (1, 1).Aplicando o Teorema 4.1 aos funcionais T1(x, y) e T2(x, y), onde T(x, y) = (T1(x, y), T2(x, y)).Conclumos queT(x, y) =(ax + by, cx + dy), ondea, b, c, d R. Da, T(1, 0) =(a, c) eT(0, 1) = (b, d). Portanto,(1, 1) = T2(1, 0) = T(a, c) = (a2+ bc, ca + dc)e(1, 1) = T2(0, 1) = T(b, d) = (ab + bd, cb + d2).Consequentemente,___b(a + d) = 1;c(a + d) = 1;a2+ bc = 1.Portanto, b =c (ver as duas primeiras equacoes dosistemaacima). Substituindoesteresultadonaterceiraequacao, obtemos0 a2+ b2= 1. Istoeumabsurdo. Portanto, Snaopossuiraizquadrada.5.4.2 ResultadosImportantesPrezadosalunos, vejamosquecondicoesdevemoscolocaremumoperadorparagarantiraexistencia e unicidade de uma raiz quadrada deste. Alem disso, iremos responder `a seguintepergunta: que condic oes esta raiz deve satisfazer?Para responder esta indagacao,primeira-menteiremosestabelecerumanovadenicaoparaoperadoresdenidos.Lema5.4. SejaV umespacovetorial comprodutointerno , ) edimensaonita. SejaT: V V umoperadorauto-adjunto. EntaoTepositivose,esomentese,osautovaloresdeTsaopositivos.69Demonstracao. SuponhaqueT>0(verDenicao5.2). Ent ao T(v), v)>0, parataodov V, comv ,=0. SejaautovalordeT. Logo, existev ,=0tal queT(v)=v. Assimsendo,0 < T(v), v) = v, v) = v, v).Como v, v) > 0(verDenic ao1.2),entao > 0.Reciprocamente, considere que os autovalores de Tsao positivos. Como Te auto-adjunto,ent ao, peloTeorema5.2, existeumabaseortonormal v1, v2, ..., vndeV formadaporau-tovetoresdeT, digamosT(vi)=ivi, paratodoi=1, 2, ..., n. Sabemosquei>0, paratodoi=1, 2, ..., n. Sejav ,=0talquev=n

i=1xivi(nomnimoumdestesxisenao-nulo).Vamosmotrarque T(v), v) > 0.Comefeito,T(v), v) =_T_n

i=1xivi_,n

j=1xjvj_=n

i,j=1xixjT (vi) , vj)=n

i,j=1xixjivi, vj)=n

i,j=1ixixjvi, vj)=n

i=1ix2i> 0,onde na ultima igualdade usamos a Denic ao 2.4 e na desigualdade acima usamos o fato quev ,= 0. Com isso, T(v), v) > 0, para todo v V , com v ,= 0. Portanto, T> 0 (ver Denicao5.2).Obs5.3. NotequeoLema5.4nosdiz,implicitamente,queTeindenidose,esomentesepossuiautovalorespositivoenegativosimultaneamente(sedimV> 1).Exemplo5.18. SejaT(x, y) = (x +y, x +y).SabemosqueT 0 (ver exemplo5.13). PeloLema5.4,osautovaloresdeTsaonao-negativos. Defato,amatrizdeTemrelacao`abase70canonicac(verexemplo2.8) edadapor[T]c=_1 11 1_.NotequeopolinomiocaractersticodeTedadoporpT(x) = det_x 1 11 x 1_= (x 1)21 = x(x 2).LogoosautovaloresdeTsao0e2,ouseja,n umerosnao-negativos.Exemplo5.19. SejaT(x, y) =(2y, 2x). VeriquequeTeauto-adjunto. Alemdisso, amatrizdeTemrelac ao`abasecanonicac(verexemplo2.8) edadapor[T]c=_0 22 0_.Logo,opolinomiocaractersticodeTedadoporpT(x) = det_x 22 x= x24 = (x + 2)(x 2).Logo os autovalores de Tsao 2 e 2. Assim, Tpossui autovalor positivo e negativo. UsandooLema5.4,temosqueTeindenido.Teorema5.4(ExistenciaeUnicidadedaRaizQuadrada). SejaV umespacovetorial comprodutointerno , )edimensaonita. SejaS:V V umoperadornao-negativo. Entaoexisteuma( unica)raizquadradanao-negativadeT.Demonstracao. Como S 0, entao S e auto-adjunto (ver Denicao 5.2). Usando o Teorema5.2, encontramosumabaseortonormal v1, v2, ..., vndeV formadaporautovetoresdeS,digamos S(vi) = ivi, para todo i = 1, 2, ..., n (isto e, os is sao os autovalores de S). ComoS 0, entao, pelo Lema 5.4, i 0, para todo i = 1, 2, ..., n. Dena, para cada v=n

i=1xivi,ooperadorT(v) =n

i=1_ixivi.71Verique que Te linear. Vamos mostrar que Te auto-adjunto. Com efeito, para u =n

i=1yivi,temosqueu, T(v)) =_n

i=1yivi,n

j=1_jxjvj_=n

i,j=1_jxjyivi, vj) =n

i=1_ixiyi,verDenicao2.4. Poroutrolado,T(u), v) =_n

i=1_iyivi,n

j=1xjvj_=n

i,j=1_ixjyivi, vj) =n

i=1_ixiyi,verDenicao2.4. Comisso,T(u), v) = u, T(v)), paratodou, v V.PelaDenicao5.1, temosqueTeauto-adjunto. Alemdisso, T(vi)=ivi, i = 1, 2, ..., n.Ouseja,osautovaloresdeT,saon umerosnao-negativos(i 0).UsandooLema5.4, conclumosqueTenao-negativo. Porm, utilizandoasdenicoesdeTeSacima,obtemosT2(u) = T[T(u)] = T_n

i=1_iyivi_=n

i=1_iyiT(vi) =n

i=1_iyi_ivi=n

i=1yi(ivi)=n

i=1yiS(vi) = S_n

i=1yivi_= S(u).Dessaforma,T2= S,ouseja,T=S.Obs5.4. AunicidadedaraizquadradanaofoiprovadanoTeoremaacima,pormotivosdesimplicac oesnademonstrac ao. Paraveraprovadesteresultadoconsulte[4]. Alemdisso,notequenademonstrac aodoTeorema5.4,descrevemoscomoencontrarestaraizquadrada(verdenicaodeT).Exemplo5.20. Seja S(x, y) = (x+y, x+y) um operador linear denido em R2. O exemplo5.13 nos diz que S 0. Pelo Teorema 5.4, existe uma unica raiz quadrada para este operador.Vamos encontr a-la. Primeiramente, precisamos dos autovalores de S. Vimos no exemplo 5.19que1= 0e2= 2saoosautovaloresdeT. VeriquequeS_12,12_= (0, 0)eS_12,12_= 2_12,12_,72onde__12,12_,_12,12__eumabaseortonormal de R2formadaporautovetoresdeS(utilize o metodo expostono Corolario5.3para encontrar tais vetores). Seja T araizquadradadeS. VimosnademonstracaodoTeorema5.4queT(x, y) =2(y x)20_12,12_+2(x + y)22_12,12_=22(x + y, x +y),onde(x, y) =2(y x)2_12,12_+2(x + y)2_12,12_.VeriquequeT=S.ExercciosdeFixacao1. Mostre que sao equivalentes as seguintes condic oes sobre um operador linear T: V V .i) T= P2,paraalgumP: V V auto-adjunto;ii) T= S S,paraalgumS: V V auto-adjunto;iii) T 0.5.5 ConclusaoConclumosqueoperadoresauto-adjuntossaooperadoreslinearesdiagonalizaveiscomes-pectroreal.5.6 ExercciosPropostos1. SejaAumamatrizsimetrica. SejaoautovalordeTdemenormodulo. MostrequeAeinvertvelse,esomentese, ,= 0.2. Sejam S, T: V Voperadores auto-adjuntos no espaco vetorial Vcom produto internoedimensaonita. MostrequeS Teauto-adjunto S T= T S.3. SejaT: V V umoperadorauto-adjunto. ProvequeTn(v) = 0, paraalgumn N T(v) = 0.734. Provequeosoperadoresauto-adjuntosS, T: V V saoiguais S(v), v) = T(v), v),v V.ProximaAulaNasequenciaseraapresentadoosoperadoresortogonaisesuaspropriedades.74ReferenciasBibliogracas[1] BUENO, H. P.,Algebra Linear - Um Segundo Curso, Primeira Edicao, Rio de Janeiro,SBM,2006.[2] CALLIOLI, C. A., DOMINGUES, H. H.,COSTA, R. C. F.Algebra Linear eAplicacoes,SextaEdicao,SaoPaulo,EditoraAtual,1995.[3] COELHO, F. O., LOURENC O, M. L., UmCursodeAlgebraLinear, Edic ao2001,SaoPaulo,EdusP,2004.[4] HOFFMAN,K.,KUNZE,R.,LinearAlgebra,SecondEdition,NewJersey,Prentice-Hall,Inc.,EnglewoodClis,1971.[5] LANG,S.,AlgebraLinear,PrimeiraEdicao,NewYork,Ed.cienciaModerna,2003.[6] LIPSCHUTZ,S.,AlgebraLinear,TerceiraEdicao,SaoPaulo,SchaumMcGraw-HillMakronBooks,1994.[7] SILVA, A., Introducao `aAlgebra, Primeira Edicao, Editora Universitaria UFPB, JoaoPessoa,2007.ProfessorRevisorProfessorPaulodeSouzaRabelo.75Captulo6OperadoresOrtogonaisMetaApresentaraoalunoadenicaoediversaspropriedadesdosoperadoresortogonais.ObjetivosAo nal desta aula, o aluno dever a ser capaz de identicar um operador ortogonal e conhecersuasprincipaispropriedades.Pre-requisitosAlgebraLinearI.6.1 IntroducaoOsoperadoresortogonaistemcomoprincipalcaractersticaapreserva caodecomprimentose, consequentemente, transformabases ortonormais embases ortonormais. Diantedisto,76vericamosqueseusautovalores, casoexistam, saosomente1ou-1. Transformacoescomorotac oessaoexemplosdeoperadoresortogonais.6.2 OperadoresOrtogonaisVamosutilizar,inicialmente,adenic aodeisometriaparaestabelecerquaiscondic oesdevesatisfazerumoperadorortogonal.6.2.1 DenicaoeExemplosdeIsometriasDenicao6.1. Seja T: U Vuma aplicacao linear, onde Ue Vsao espacos vetoriais comrespectivosprodutosinternos , )U, , )V.DizemosqueTeumaisometriase|T(u) T(v)|V= |u v|U,paratodou, v U.Aqui ||U=_, )Ue ||V=_, )V.Obs6.1. Quandonaohouverpossibilidadedeconfusaodenotaremospor , )osprodutos, )Ue , )Vepor ||asnormas ||Ue ||V.Exemplo6.1(Translac aoeIsometria). SejaV umespacovetorial comprodutointerno.Seja T: V Vuma translac ao, isto e, T(v) = v +w, onde w Vesta xo. Armamos queTeumaisometria. Comefeito,|T(u) T(v)| = |u + w (v + w)| = |u + w v w| = |u v|,paratodou, v V.Exemplo6.2. SejaT: R2R2dadaporT(x, y) = (y, x).Assimsendo,|T(x, y) T(a, b)|2= |(y, x) (b, a)|2= (y b)2+ (x a)2= (x a)2+ (y b)2= |(x, y) (a, b)|2.77Logo,|T(x, y) T(a, b)| = |(x, y) (a, b)|,paratodo(x, y), (a, b) R2.Da,Teumaisometria.Exemplo6.3. SejaT: R2R2dadaporT(x, y) = (1, y).Assimsendo,|T(1, 1) T(0, 1)| = |(1, 1) (1, 1)| = 0.Poroutrolado, |(1, 1) (0, 1)|= |(1, 0)|=1.Da, |T(1, 1) T(0, 1)| ,= |(1, 1) (0, 1)|.Logo,Tnao eumaisometria.6.2.2 OperadoresLineareseIsometriasPrezadoaluno, quandoumaaplicac aoT : UV elinear, epossvel caracterizar umaisometriadaseguinteforma:Proposicao6.1(CaracterizacaoIsometriaLinear). SejaT: U V umaaplicac aolinear,ondeU, V saoespacosvetoriaiscomosrespectivosprodutosinternos , )U, , )V.Ent aoTeumaisometriase,esomentese, |T(u)|V= |u|U, u U,isto e,Tpreservanorma.Demonstracao. )SuponhaqueTeumaisometria. ComoTelinear, ent aoT(0) =0.Consequentemente,|T(u)|V= |T(u 0)|V= |T(u) T(0)|V= |u 0|U= |u|U, u U,naterceiraigualdadeusamosaDenic ao6.1.) Reciprocamente, suponha que |T(u)|V=|u|U, uU. Portanto, utilizando adenic aodeaplicac aolinear,obtemos|T(u) T(v)|V= |T(u v)|V= |u v|U, u, v U.Portanto,Teumaisometria(verDenicao6.1).Exemplo 6.4 (Isometria Linear em R2).Vejamos outra maneira de vericar que a aplicacao78T(x, y) = (y, x) eumaisometria. NotequeTelinear(verique!). Alemdisso,|T(x, y)| = |(y, x)| =_y2+ x2=_x2+ y2= |(x, y)|, (x, y) R2.Assim,pelaProposicao6.1,Teumaisometria.6.2.3 DenicaoeExemplosdeOperadoresOrtogonaisDenicao6.2. SejaT : VV umoperadorlinear, ondeV eumespacovetorial comprodutointerno. DizemosqueTeumoperadorortogonalseTeumaisometria.Obs6.2. AProposicao6.1nosdizqueumoperadorlinearT: VV eortogonal se, esomentese, |T(u)| = |u|,paratodou V.Exemplo6.5. Noexemplo6.4,vimosqueT(x, y) = (y, x) eumoperadorortogonal.Exemplo6.6. OoperadorT(x, y) = (x +y, y)nao eortogonal. Comefeito,|T(1, 1)| = |(2, 1)| =5e |(1, 1)| =2.Logo, |T(1, 1)| ,= |(1, 1)|. Usando a Proposicao 6.1, conclumos que Tnao e ortogonal (verDenic ao6.2).6.2.4 AlgunsResultadossobreOperadoresOrtogonaisCaro aluno, agora vamos mostrar outras maneiras de denir operador ortogonal sobre espacosvetoriaiscomprodutointerno.Teorema6.1. SejaT : V V umoperador linear, ondeV eumespacovetorial comprodutointerno , ). Entaosaoequivalentesosseguintesitens:i) Teumoperadorortogonal;ii) u, v) = T(u), T(v)),paratodou, v V,istoe,Tpreservaprodutointerno;iii) T T= I,casoexistaT(aquiIeooperadoridentidade).79Demonstracao. Vamosprovarasimplicacoesi) ii) iii) i).Comecemos comaimplicacaoi) ii). Se T e umoperador ortogonal, entaopelaProposicao6.1, |T(u)| = |u|,paratodou V.Assim,usandoaidentidadedepolarizac ao(verexercciosdaaula01),obtemosu, v)2=14|u +v|214|u v|2=14|T(u + v)|214|T(u v)|2=14|T(u) + T(v)|214|T(u) T(v)|2= T(u), T(v))2,paratodou, v V.Logo, u, v) = T(u), T(v)),paratodou, v V.ii) iii) Se u, v) = T(u), T(v)), para todo u, v V, entao, pela Denic ao 4.2, obtemosu, v) = T(u), T(v)) = u, T T(v)),paratodou, v V, ouseja, u, T T(v) v)=0, paratodou, v V, Dessaforma, pelaProposicao1.1,conclumosT T(v) = v,paratodov V.Comisso,T T= I.iii)i) Considere que T T =I. Note que, pelaDenicao4.2, encontramos asigualdades|T(u)|2= T(u), T(u)) = u, T T(u)) = u, I(u)) = u, u) = |u|2,paratodou V.Portanto,pelaProposic ao6.1,temosqueTeumoperadorortogonal.Exemplo6.7. Sabemosqueaidentidade,I: V V ,satisfazI= I(verProposicao4.3).Alemdisso, I1=I(verique!). Comisso, I1=I. Portanto, peloitemiii)doTeorema6.1,temosqueIeortogonal. OutramaneiradevericarqueIeortogonal eutilizaroitemii)doTeorema6.1. Defato,u, v) = I(u), I(v)),paratodou, v V.Corolario6.2. SejaT : VV umoperadorlinear, ondeV eumespacovetorial comprodutointerno , )edimensaonita. EnaoTeortogonal se,esomentese,Ttambemoe.80Demonstracao. SeTeortogonal, ent aoT1=T. UsandooTeorema4.4eaProposic ao4.3,temosque(T)1= (T1)= T.Peloitemiii)doTeorema6.1,Teortogonal.Reciprocamente, seTeumaisometria, ent ao(T)1=T=T(verProposic ao4.3).Comisso, T1=[(T)1]1=T, ouseja, Teumaisometria(veritemiii)doTeorema6.1).Exemplo6.8. SejaT: R2 R2dadoporT(x, y) = (y, x). VeriquequeTeortogonal.VimosqueT= T(verexemplo4.5). Logo, T, denidopor T(x, y)=(y, x),eumoperadorortogonal,peloCorolario6.2.Corolario6.3. SejaT: V V umoperadorortogonal,ondeV eumespacovetorial comproduto interno , ). Entao Ttransforma conjuntos ortonormais em conjuntos ortonormais,istoe,se v1, v2, ..., vmeortonormal entao T(v1), T(v2), ..., T(vm)tambemoe.Demonstracao. Seja v1, v2, ..., vmumconjuntoortonormal deV . UtilizandooTeorema6.1,obtemosT(vi), T(vj)) = vi, vj) =_1, sei = j;0, sei ,= j,para todo i, j= 1, 2, ..., m (ver Denic ao 2.4). Logo, T(v1), T(v2), ..., T(vm) e um conjuntoortonormal(verDenic ao2.4).Exemplo6.9. SejaT: R2 R2dadoporT(x, y)=(y, x). Teumoperadorortogonal(verique!). Sabemosque (1, 0), (0, 1)eumabaseortonormal de R2(verexemplo2.8).Portanto, pelo Corolario 6.3, T(1, 0), T(0, 1) = (0, 1), (1, 0) e um conjunto ortonormal.Proposicao6.2. Seja T: V Vum operador ortogonal,onde Ve um espaco vetorial comprodutointerno , ). EntaoospossveisautovaloresdeTsao1e 1.Demonstracao. SejavumautovetordeT, ouseja, sejav ,=0tal queT(v)=v. Vamosprovarque=1ou= 1. Comefeito, sabemosque |T(v)|= |v|(verDenic ao6.2).Comisso,pelaDenicao1.1,[[|v| = |v| = |T(v)| = |v|.Assim,([[ 1)|v| = 0. Como |v| > 0,entao [[ = 1. Porm, = 1.81Exemplo6.10. SejaT: R2R2dadoporT(x, y) = (y, 2x). Noteque[T]c=_0 12 0_,ondec eabasecanonicade R2(verexemplo2.8). Portanto,pT(x) = det_x 12 x_= x22 = (x 2)(x +2).Comisso,osautovaloresdeTsao 2. PelaProposic ao7.1,Tnao eortogonal.6.2.5 MatrizesdeOperadoresOrtogonaisPrezadoaluno,vejamoscomodeniroperadorortogonalatravesdamatrizdesteoperador,emrelacaoaumabaseortonormal.Teorema6.4. SejaT : V V umoperador linear, ondeV eumespacovetorial comprodutointerno , )edimensaonita. EntaoTeortogonal se, esomentese, [T]eumamatrizortogonal,ondeebaseortonormal deV. LembrequeumamatrizAeortogonal seAAt= AtA = I.Demonstracao. Suponha que Te ortogonal. Seja base ortonormal de V . Vimos no Teorema4.4que[T]=[T]t. ComoTeortogonal, seguequeT T=T T=I, (verDenicao6.2)atravesdoTeoremadoN ucleoeImagem. Logo,[T]