Álgebra Linear

Matrizes

Matrizes

1

2

3

7654321

4

5

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

7 0 0 0 3 6

-10 76 6532 54 89

1

2

3

7654321

0

10

89

0 9

-1 65 32 12 0

0 276 4

4

5

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

7 0 0 0 3 6

-10 76 6532 54 89

1

2

3

7654321

0

10

89

0 9

-1 65 32 12 0

0 276 4

4

5

Esta matriz tem 5 linhas e 7 colunasDiz-se que tem dimensão 57

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

7 0 0 0 3 6

-10 76 6532 54 89

1

2

3

7654321

0

10

89

0 9

-1 65 32 12 0

0 276 4

4

5

Para localizar um elemento temos que saber em que linha e coluna está.

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

7 0 0 0 3 6

-10 76 6532 54 89

1

2

3

7654321

0

10

89

0 9

-1 65 32 12 0

0 276 4

4

5

Este elemento está na linha 3 e coluna 5.Diz-se que está na posição (3,5)

1234

010103

106734

A

1234

010103

106734

A

A tem dimensão 34A tem dimensão 34

1234

010103

106734

A

13a13

1234

010103

106734

A

13 1a 13

1234

010103

106734

A

21a 21a

1234

010103

106734

A

321 a 321 a

Uma matriz A com m linhas e n colunasdiz-se que tem dimensão mne representa-se por e representa-se por

[aij] i =1,…,m; j=1,…,n

Matrizes especiais:

• Matrizes nulasOmn

Matriz com m linhas e n colunas e entradas todas nulastodas nulas

• O23=

000

000

Matrizes especiais:

• Matrizes quadradasAnn

Matriz com n linhas e n colunas

• A33=

365

435

874

Matrizes especiais:

• Matriz triangular superiorAnn

aij = 0 se i > j

• A33=

100

120

013

Matrizes especiais:

• Matriz triangular inferiorAnn

aij = 0 se i < j

• A33=

151

024

003

Matrizes especiais:

• Matriz diagonalAnn

aij = 0 se i j

• A33=

100

020

003

Matrizes especiais:

• Matrizes colunaAn1

Matriz com n linhas e 1 coluna

• A51=

2

0

1

5

4

Matrizes especiais:

• Matrizes linhaA1n

Matriz com 1 linha e n colunas

• A15= 53210

Matrizes especiais:

• Matrizes identidadeInn

Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a 1.todas as entradas principais iguais a 1.

• I33=

100

010

001

Matrizes especiais:

• Matrizes escalaresAnn

Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a .todas as entradas principais iguais a .

• A33=

4.300

04.30

004.3

Matriz simétrica de outra:

• A matriz B diz-se simétrica da matriz A se asentradas de B forem os simétricos dasentradas correspondentes de A.

• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)

A= B =

B = - A

560

142

203

560

142

203

Matriz transposta doutra:

• A matriz B diz-se transposta da matriz A se asentradas de B foram tais que bik = aki.

• Escreve-se B = AT

A= B = AT =

b12 = a21 = 2

252

141

21

54

21

Multiplicar uma matriz por um escalar:

• Todas as entradas da matriz são multiplicadaspelo mesmo valor .

• B= A• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)

A= B =3 A =

560

142

203

15180

3126

609

Somar matrizes

• Só se podem somar matrizes da mesmadimensão.

• C = A + B• Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição• Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição

de A e de B

A= B =

A + B =

014

233

102

125

112

118

Multiplicar Matrizes CASO 1

• Multiplicar uma matriz linha por uma matrizcoluna

Só se podem multiplicar estas matrizes se tiverem o mesmonúmero de elementos.número de elementos.

C = A BA= B = 2101

5

1

4

0

Multiplicar Matrizes CASO 1

• Multiplicar uma matriz linha por uma matrizcolunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas deA for igual ao número de linhas de B.C = A BC = A B

A= B = 2101

5

1

4

0

Multiplicar Matrizes CASO 1

• Multiplicar uma matriz linha por uma matrizcolunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas deA for igual ao número de linhas de B.

C = A B 0C = A BA= B =

A B = [10 + 04 + (-1)(-1) + 25] = [11]

2101

5

1

4

0

Multiplicar Matrizes CASO 2

• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matrizcolunaFaz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna.Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matrizfor igual ao número de elementos da coluna.

C = A B

A= B =

5

1

4

0

1321

0201

Multiplicar Matrizes CASO 2

• Multiplicar uma matriz com n linhas por umamatriz colunaC = A B

0

A= B =

5

1

4

0

1321

0201

Multiplicar Matrizes CASO 2

• Multiplicar uma matriz com n linhas por umamatriz colunaC = A B

A= B =

4

0

0201

A= B =

C = =

5

1

1321

0201

51)1(34201

50)1(24001

10

2

Multiplicar Matrizes CASO GERAL

• Multiplicar uma matriz Anp

por uma matriz BpmC = A BC = A BCada coluna de C é o produto da matriz A pela coluna respectiva da matriz BEntão Cnm

4215

6226

2417

0213

2011

12

13

21

ABC

32 24 3424 34

4215

6226

2417

0213

2011

12

13

21

ABC

32 24 3424 34

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

O produto de matrizes não é comutativo.

Pode ser possível efectuar AB e não ser possível efectuar BA.

Mesmo quando ambos os produtos são Mesmo quando ambos os produtos são possíveis o resultado não é em geral o mesmo.

Matriz Inversa:

• Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que AB = BA = I, então diz-se que A é invertível e escreve-se B = A-1 2121B = A-1

10

21

10

21BA

10

01

10

21

10

21

10

01

10

21

10

21

Propriedades das operações com matrizes

• A + B = B + A (comutativa)• (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)• A + O = A (elemento neutro)• A + (-A) = O (simétricos)• A + (-A) = O (simétricos)• (A + B) = A + B• ( + ) A = A + A• ( A )= ( ) A

Propriedades das operações com matrizes

• 1 A = A• O = O• (AT)T = A• ( A + B) T = AT + BT• ( A + B) T = AT + BT

• ( A) T = AT

• A (B + C) = AB + AC (distributiva)• (B + C) A = BA + CA• (AB)C = A(BC)

Propriedades das operações com matrizes

• (AB) = ( A)B = A( B)• ( A B) T = BT AT

• ( A) T = AT

• (A-1)-1 = A• (A-1)-1 = A• (AB) -1 = B-1 A-1

• (AT ) -1 = (A -1) T

• ( A) -1 = -1 A -1