Algumas Implicações de uma Transição de Fase Cosmológica

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Algumas Implicações de uma Transição de Fase Cosmológica

T. W. B. Kibble

1. Introdução

Um dos desenvolvimentos recentes mais intrigantes em física de partículas é a sua interação

com a cosmologia, e essa, por sua vez, tem contribuído ao estabelecer limites rigorosos em alguns dos

parâmetros da física de partículas.

Muitos eventos do Universo primordial tem análogos em física da matéria condensada. Seria

interessantes se físicos da matéria condensada tivessem mais curiosidade sobre o que foi, afinal, o

maior sistema de matéria condensada de todos!

Vamos assumir que a que a teoria do big bang (quente) está correta. A pergunta é: Porquê o big

bang? Que permanece sem resposta. Além disso, não temos uma real explicação do estado inicial. A

suposição mais simples, é que logo após o tempo de Planck ( t = 10-44 s) o universo estava num estado

de equilíbrio térmico a uma temperatura não muito abaixo da massa de Planck (10 28 eV). Traçar a

evolução do universo desde o princípio é tarefa audaciosa, ir além disso, atualmente, é imposível, pois

além da massa de Planck os efeitos de gravidade quântica dominam e não temos ainda um bom

entendimento desse ambiente.

Se temos o estado inicial, entretanto, podemos dizer alguma coisa. Existe hoje em dia pelomenos uma explicação plausível para a geração do número bariônico [1], levando a uma estimativa

numérica para a razão do número de bárions/número de fótons que está em acordo com o valor

experimental 10-9±1.

Prosseguindo para um estágio bem mais posterior no história evolucionária, temos um bom

entendimento da nucleosíntese e, em particular, da razão hélio/hidrogênio [2]. A exigência de que uma

teoria fundamental não deve prejudicar esse acordo leva a limites severos para o número total de

partículas de vários tipos que, por sua vez, limita a teoria fundamental.

Similarmente, a isotropia observada da radiação de fundo de 3K [3] gera fortes restrições em

qualquer mecanismo que indica inomogeneidades no universo primordial. Algumas inomogeneidades

são, apesar disso, um mal necessário, para que possamos explicar a formação de galáxias que

presumivelmente evoluíram por condensação gravitacional de um estado anterior quase homogêneo

[4].

Num primeiro momento, pode parecer que discussões sobre o estado do universo em densidades



muito maiores que as nucleares envolve uma extrapolação muito grande de nossas teorias que não se

pode ter muita confiança nos resultados. Isso pode ser verdade, mas existe também razões para

afirmarmos que é exatamente nessas situações que nossas teorias são mais confiáveis. Se acreditamos

na liberdade assintótica – e evitamos uma teoria com muitos férmions – então nas temperaturas

envolvidas, todas as interações deveriam ser fracas, tal que a teoria de perturbação de baixa ordem deveser um guia confiável. Além disso, em contraste com a cromodinâmica quântica nas energias do

laboratório, nossa teoria não tem nenhuma das complexidades de confinamento. Em tais densidades os

quárks não podem ficar longe o bastante para formar hádrons individuais.

Nas seções 2 e 3 encontra-se uma revisão das teorias de gauge de quebra espontânea e a história

primordial do universo. Assim, na seção 4, existe uma tentativa de explicação para o porquê das

transições de fase terem ocorrido e o quê acontece em tais transições. Em particular, estamos

interessados em singularidades topológicas de vários tipos – domínios de parede, cordas ou monopólos.

Sua classificação será discutida na seção 5. Cordas, e como elas evoluem no tempo são o assunto da

seção 6. Em particular, examinamos sua possível relevância para o problema da formação de galáxias.

A seção 7 vai lidar com monopólos, especialmente caminhos possíveis de evitar o desastre de sua

super-população. Uma possibilidade específica envolve a suposição de que as transições de fase podem

ser fortemente de primeira ordem. Finalmente, na seção 8, algumas implicações do termo cosmológico

efetivo induzido por restauração de simetria.

2. Teorias de Gauge de Quebra Espontânea

Existe, atualmente, uma razão muito boa para crer que partículas elementares e suas interações

são descritas por uma quebra espontânea da teoria de gauge. A hipótese de que as interações fraca,

eletromagnética e forte estejam unidas em energias extremamente altas na grande teoria unificada [5,

6], descrita por um grupo tal como SU (5). Então existe pelo menos dois estágios distintos na quebra

espontânea de simetria. Na massa da grande unificação, em torno de 10 15 GeV, temos

SU (5) → SU (3) x SU (2) x U (1)1 (Weinberg-Salam)

Enquanto que, numa escala muito mais baixa de 102 GeV, a simetria de Weinberg-Salam é quebrada:

SU (3) x SU (2) x U (1) → SU (3) x U (1)

1 SU (3) = Interação Nuclear Forte, SU (2) = Interação Nuclear Fraca, U (1) = Interação Eletromagnética.



Esse é somente o mais simples dos possíveis cenários. Qual que a natureza escolhe, não sabemos, mas

a idéia geral está provavelmente correta.

A massa da grande unificação é obtida a partir de um cálculo de renormalização de grupo que

mostra que todas as três constantes de acoplamento, associadas com os três grupos de simetriaseparados SU (3), SU (2) e U (1) se agrupam nessa massa com um valor de cerca de [6]

(1)

Suponhamos que o mecanismo de quebra de espontânea de simetria se dá via a aquisição de um

valor esperado de vácuo por um campo escalar de Higgs. Entretanto, essa é uma suposição não

essencial. E faria pouca diferença aos nossos argumentos se esse campo escalar fosse trocado por uma

estrutura composta, como um par de Cooper [7].

Além disso, vamos desprezar os férmions completamente. Tendo que o número de espécies é

razoavelmente pequeno, eles tem pequeno efeito no comportamento qualitativo do universo em

estágios anteriores. Muitos férmions, entretanto, devem prejudicar a liberdade assintótica, mudando o

sinal da função do grupo de renormalização β(g) tal que g → ∞ ao invés de tender a zero em altas

energias [8]. Vamos assumir que tal catástrofe não ocorre. (Se ela ocorre, não podemos calcular nada

sobre o universo primordial.)

Vamos considerar uma teoria de gauge típica, descrita pela densidade da Lagrangiana

(2)

Aqui φ pertence a uma representação do grupo de gauge G com geradores reais anti-simétricos T a

satisfazendo

A derivada covariante de φ é



onde A µ = Aa µ T a, e g é a constante de acoplamento de gauge. Também

Finalmente, U (φ ) é um polinômio em φ de grau 4 (para assegurar a renormalizabilidade) que éassumido invariante sob G.

Um exemplo conveniente, embora fisicamente não-real, é obtido considerando que φ pertença a

uma representação vetorial N -dimensional de O( N ), com

(3)

onde h

2

é a constante de acoplamento de Higgs [9].Por causa da forma desse potencial, com um máximo em φ = 0, φ tende a adquirir um valor

esperado de vácuo diferente de zero <φ >. Isso pode ser calculado minimizando o potencial efetivo

V (φ ), que é simplesmente a densidade de energia livre mínima para os estados nos quais < φ > tem um

valor igual ao argumento de V . Temos, numa escolha adequada de gauge,

tal que na aproximação clássica

Essa equação não fixa a direção de <φ >, somente sua magnitude. Nós temos, de fato, um conjunto

degenerados de estados do vácuo classificados por N -1 ângulos variáveis.

No caso geral, o conjunto dos vácuos degenerados forma um espaço quociente M . Se H é o

subgrupo de G que deixa um particular <φ > inalterado, então M = G/ H , é o conjunto de todos os co-

cojuntos de H em G. No nosso exemplo, H é o O( N -1) e

M = O( N )/O( N -1) = S N -1,

é a esfera ( N -1)-dimensional (no espaço N -dimensional.)



A magnitude de <φ > fixa a massa de várias partículas na teoria. Para visualizar isso, no exemplo

nós temos uma partícula de Higgs com massa mS = hη e ( N -1) vetores massivos com mV = gη , junto

com ½( N -1)( N -2) vetores sem massa, e os bósons de gauge associados com o subgrupo de simetria

não-quebrada H [9, 10].

Note que no caso em que N = 2, esse é o modelo de Landau-Ginzburg [11]. O comprimento decorrelação, que é o principal determinante do tamanho das flutuações na magnitude de φ , é ξ = 1/mS,

enquanto que a profundidade de penetração é λ = 1/mV . O modelo vai corresponder a um supercondutor

tipo 1 se h < g ou mS < mV , e tipo 2 no caso contrário. É interessante notar que algumas teorias

superssimétricas tem h = g e, então, caem exatamente na fronteira entre os dois.

Para estudar o comportamento dessas teorias em altas temperaturas, precisamos calcular a

correção de um ciclo para o potencial efetivo. Os principais termos em alta T são [12]

(4)

onde Θ é o número total de estados de helicidade distintos de partículas de pouca massa (isto é, aquelas

com m << T ), contando os férmions com um fator 7/8, enquanto Π2 é a soma dos quadrados das massas

dos estados de helicidade do bóson mais a metade das dos férmions. Embora Θ é uma constante, Π2

depende do valor esperado de vácuo φ porquê a massa também depende. Por exemplo

Desde que Π2 geralmente contém um termo positivo em φ 2 existirá uma temperatura crítica T c acima da

qual φ = 0 é um mínimo de V . No exemplo

e mais geralmente encontramos (como uma estimativa aproximada da ordem de magnitude)



Então, para T < T c, nós temos a fase ordenada com

(5)

enquanto que para T > T c, <φ > = 0, e estamos na fase simétrica.

É possível, quando existem várias constantes de acoplamento para arranjar a matéria, que

existam várias transições de fase, algumas vezes indo pelo caminho “errado” [13] – mais simetria em

temperaturas mais baixas – mas a situação descrita acima pode ser considerada com modelo.

3. O Universo Primordial

Seja R(t ) o raio de um volume esférico se expandindo com o universo (uma esfera “comóvel”.)

Assumindo a isotropia e homogeneidade do universo, isto é, o modelo padrão de Friedman-Robertson-

Walker, seu desenvolvimento no tempo é governado pela equação de Einstein [14],

(6)

onde ρ é a densidade de energia e K e Λ são constantes. Para o momento, vamos considerar a constante

cosmológica Λ igual a zero, que é, de fato, o valor experimental com uma boa aproximação, pelo

menos na atual fase do universo [15].

É interessante reescrever a (6) na forma de uma equação de conservação de energia para uma

partícula na superfície de nossa esfera [14]:

(7)

Vemos, então, que K > 0 corresponde a uma órbita ligada. Esse é o caso de um universo fechado, o qualirá eventualmente reverter sua expansão e se contrair para uma nova singularidade. Similarmente, o

caso não-ligado K ≤ 0 corresponde a um universo aberto que irá se expandir para sempre.

Em qualquer caso, em tempos primordiais, ρ aumenta conforme R → 0 como R-4, tal que K se

torna relativamente sem importância. De fato, embora esse termo de curvatura na (6) aumenta

conforme R → 0, isso se dá mais lentamente do que o termo de densidade, tal que um espaço plano se



torna uma melhor aproximação.

Vamos assumir também que, bem nos primórdios do universo, temos um equilíbrio térmico

numa temperatura T muito maior do que todas as massas das partículas. Sob essas condições a matéria

pode ser tratada como um gás relativístico ideal submetido a uma expansão adiabática. A densidade é,

então, dada por

tal que, de (7)

É útil introduzir a massa de Planck

em termos da qual a relação tempo-temperatura pode ser escrita

(8)

O número Θ é da ordem de 102. Na teoria da grande unificação mais simples SU (5), Θ = 160.75.

Para cada estado de helicidade de cada espécie bosônica, a densidade numérica é a mesma,

(Para férmions temos um fator extra ¾.) Assim, em qualquer tempo, uma esfera que tem como raio o

comprimento de onda térmico 1/T deveria conter aproximadamente uma partícula de cada espécie.

Desde que todas as seções cruzadas tenham um valor similar,

onde α é dado por (1), o caminho livre médio λ é



Mas Θα ² ≈ 1/15, então λ é grande comparado com o comprimento de onda térmico, e maior ainda em

relação ao espaçamento médio interpartículas. Isso, é claro, ajuda a justificar a aproximação do gás

ideal.Pode ser útil fornecer uma tabela dos eventos mais significantes na história primordial do

universo, iniciando no tempo de Planck. Para o propósito de construir a tabela, que também lista os

valores de Θ em diferentes épocas, assumimos o modelo da grande unificação mais simples possível.

As duas transições de fase estão marcadas por asteriscos. Antes da primeira, em T = T GU ~ 1015 GeV,

todos os estados das partículas contribuem para Θ. Abaixo dela, devemos excluir aquelas partículas que

adquirem massas da ordem de T GU . De fato, é o decaimento de algumas dessas partículas que é o

suspeito de ser a causa para a produção da assimetria no número bariônico [1].

Depois da transição de Weinberg-Salam em T = T WS ~ 10² GeV, Θ diminui mais uma vez: ele

agora contém só os quarks e glúons associados a SU (3), os léptons e os fótons. A era hadrônica

subsequente é, de certa forma, uma das que sabemos menos. Durante ela, o mecanismo de

confinamento deve entrar em cena, conforme vamos passando da sopa de quarks-glúons para um

sistema de hádrons separados. Como a temperatura diminui abaixo de 1 GeV (quando o universo tem

aproximadamente densidade nuclear), os pares núcleons se aniquilam, deixando somente o pequeno

excesso de bárions. Quando atingimos 100 MeV, as únicas partículas que contribuem para Θ são os

léptons e fótons. Finalmente, quando os pares de múons e elétrons desaparecem, ficamos só com osfótons e neutrinos, resultando em Θ = 7.25. (Efetivamente, entretanto, deveria ser menos que isso,

porque os neutrinos saem do equilíbrio antes que os fótons e terminam com temperatura mais baixa

[17].)

O número de neutrinos é muito importante para determinar a taxa de expansão nessa época [18],

o que afeta a temperatura T na qual a razão nêutron/próton “congela” - em um valor exp(-Δm/T ) de

cerca de 1/3. Um número maio de neutrinos significa uma expansão mais rápida, e então, mais nêutrons

sobrevivem, que por sua vez significa maior abundância de hélio. Aproximadamente, cada espécie de

neutrino extra deveria adicionar 1% para a abundância de hélio que é cerca de 25%. Os astrofísicos tem

confiança suficiente na validade do cenário de produção de hélio para afirmarem que podem existir, no

geral, não mais do que quatro ou cinco espécies de neutrinos de baixa massa. Existe, entretanto,

algumas possíveis, embora não muito atrativas, saídas: por exemplo, mais neutrinos poderiam ser

acomodados se existisse uma grande assimetria entre neutrinos e antineutrinos [19, 2].



Tabela 1

t (s) T (eV) R/ Rnow Θ

10-44 1028 10-32 Tempo de Planck

160.7510-37 1024 10-28 ****** GU

106.75*

10-11 1011 10-15 ****** WS

96.75

10-7 109 10-13 →? Pares N ↓

14.25

10-4 108 10-12 --------- μ±↓

10.751 106 10-10 --------- e±↓

7.25

1013 1 10-3 (efeito ~5) Recombinação

1018 3 K 1 Presente

A última época importante na história cósmica é a escala de recombinação do hidrogênio, quando o

universo tinha cerca de um milhão de anos. É somente depois desse ponto que as galáxias podem

começar a se formar.

4. Estrutura nas Transições de Fase

Vamos assumir agora, em conformidade com a teoria da seção 2, que as transições de fase são

de segunda ordem. Como T diminui e passa por T c, φ tenderá a adquirir um valor esperado diferente de

zero. Mas (5) fixa somente a magnitude de <φ >, sua direção é arbitrária. A situação é análoga àquela de

um ferroímã perfeitamente isotrópico resfriado até seu ponto de Curie. Ele deve adquirir umamagnetização diferente de zero, mas a direção dela é arbitrária, determinada, na prática, por qualquer

campo externo pequeno ou, na ausência de tais campos por flutuações aleatórias.

Da mesma forma, o universo deve escolher uma direção para <φ >, isto é, um ponto na

variedade de vácuo M equivalente. A escolha é aleatória, e pode ser diferente em diferentes regiões do

espaço. De fato, certamente não pode haver nenhuma correlação se extendendo além do atual



“horizonte”, a uma distância ct . Partes mais remotas do universo podem não ter contato casual prévio, a

qualquer taxa na figura convencional. Em qualquer evento, a faixa esperada de correlações é mais curta

do que essa, por razões que tentaremos explicar [20].

Logo abaixo da temperatura crítica, o sistema está ainda sujeito a grandes flutuações, grandes o

bastante para trazer ele de volta a <φ > = 0. Tais flutuações são prováveis enquanto

(9)

onde ξ é o comprimento de correlação e Δf a diferença na densidade de energia livre entre as duas

fases. (Aqui e posteriormente, geralmente ignoramos todos os fatores de ordem unitária.) A temperatura

na qual a igualdade é válida em (9) é a temperatura de Ginzburg T G, dada aproximadamente por [21]

Para o acoplamento fraco, portanto, T G não está muito abaixo de T c.

A escala da estrutura inicial formada por variações espaciais em <φ > é, então, o comprimento

de correlação ξG na temperatura de Ginzburg, que é aproximadamente [20]

(10)

É claro, muito dessa estrutura vai rapidamente desaparecer. Por razões energéticas, <φ > vai tender em

direção a uniformidade espacial a menos que seja impedido por singularidades presas de algum tipo.

Assim, a escala na qual <φ > varia certamente crescerá, enquanto que o comprimento de correlação ξ

diminui para seu valor de temperatura zero ξ 0 ≈ 1/mS. Antes de proceder, é bom notar que esse

argumento poderia estar errado para transições de fase em temperaturas muito altas, perto da massa de

Planck [22]. Formalmente, o comprimento de correlação ξ deveria se tornar infinito em T c, mas isso, é

claro, deveria significar que ele está crescendo mais rápido que a velocidade da luz. Como o universo

passa pela transição a uma taxa finita, ele não pode, na verdade, atingir um comprimento de correlação

infinito. Em vez disso, seu crescimento é efetivamente cortado no ponto, digamos ξ ' G, onde dξ /dt = 1.

Posteriormente, ele pode continuar a crescer não muito mais rápido que isso até que intercepte a curva

de decaimento de ξ depois da transição, mas esse crescimento adicional é, de fato, desprezível. Um

cálculo direto do ponto de corte leva a



o que poderia, em princípio, ser menor do que ξ G, mas somente se m p/T c fosse próximo de 1. Então,

para o atual propósito, parece adequado tomar ξ G como a quantidade que define a escala inicial daestrutura em < >.

Como observado acima, muito dessa estrutura irá rapidamente desaparecer, com <φ > tendendo à

1 exceto onde as singularidades estão presas. Os tipos possíveis de singularidades são governados pela

topologia da variedade do vácuo degenerado M .

Primeiramente, se M contém dois ou mais pedaços desconectados, correspondendo a uma

quebra espontânea de uma simetria discreta, devemos ter domínios de parede [23]. Um exemplo de um

modelo com esse comportamento é o modelo da seção 2 com N = 1 (e nenhum campo de gauge) noqual existem dois estados de vácuo com <φ > = ±η (em T = 0). Nesse caso (uma vez que T diminui para

bem abaixo de T c) deveria existir paredes separando as regiões com <φ > = η das com <φ > = -η . A

parede fina onde <φ > ~ 0 não pode ser eliminada. Sua largura é da ordem de ξ 0 tal que a massa por

unidade de área da parede é, aproximadamente,

(11)

Como apontado por Zel'dovich Kobzarev e Okun [23], a existência de tais paredes pode facilmente ser

eliminada. Elas são tão massivas – mesmo para ~ 100GeV – que só uma parede esticada pelo

universo deveria ter mais que 108 vezes a massa de toda a matéria conhecida. Seu efeito gravitacional

deveria introduzir uma anisotropia impossivelmente grande na radiação de corpo negro de 3K.

Podemos, portanto, excluir qualquer modelo que exibe quebra espontânea de uma simetria discreta, a

não ser se acompanhada por uma quebra explícita que deveria preferencialmente selecionar um tipo de

domínio em vez de outro.

Essa é uma notável restrição na nossa liberdade para construir teorias de partículas

fundamentais. Isso deveria excluir, por exemplo, uma explicação de quebra espontânea de simetria para

a violação CP. Isso é interessante porque temos outras razões para fazer isso. O mecanismo da geração

do número bariônico, como é entendido atualmente, exige que a CP deve já ser violada na transição de

fase da grande unificação [24].

Domínios de parede, então, podem ser eliminados, assim vamos passar para possibilidade mais



interessantes fisicamente de singularidades de dimensão mais baixa.

Singularidades lineares, ou cordas, podem aparecer se M contém curvas que não se contraem.

Um exemplo familiar é o caso N = 2, o modelo de Landau-Ginzburg. Aqui, se o ângulo de <φ > muda

por um múltiplo diferente de zero de 2π conforme circula em torno de uma corda, ela não pode ser

eliminada: um tubo fino com <φ > ~ 0 está preso com a fase ordenada. Se assumimos que o raio é

aproximadamente o comprimento de correlação à temperatura zero ξ 0, podemos estimar a massa por

unidade de comprimento (que nessa situação relativística é a mesma coisa que a tensão) como sendo

(12)

Quando h << g é mais seguro tomar o raio como sendo a largura de penetração m-1V , mas o resultado µ

~ η ² ainda vale. Mais precisamente, (12) deveria conter um fator f (h/g) de ordem unitária.

Se compararmos a massa de uma simples corda esticada no universo, quando sua idade ou

distância do horizonte é t , para a massa total, obtemos a razão

que mesmo para cordas que aparecem na transição da grande unificação, está na faixa entre 10-8 a 10-10.

Números siginificantes de cordas poderiam, então, ser acomodados sem introduzir efeitosgravitacionais inaceitáveis.

Finalmente, se M contém superfícies bidimensionais fechadas que não podem se contrair em um

ponto (dentro de M ), então monopólos podem existir. Sua massa, seguindo o mesmo procedimento que

levou a (11) e (12), deve ser estimada como mmon ~ ξ 0³∆f ~ η /h. Nesse caso, portanto, uma melhor

estimativa é [25]

(13)

embora deveria existir também um fator f (h/g) de ordem unitária.

5. Classificação das Singularidades

Em cada caso, a existência de estruturas singulares exige que um dos grupos de homotopia de



M seja não-trivial e os elementos desse grupo, então, servem para classificar as possíveis singularidades

[26]. Cordas, por exemplo, são classificadas pelos elementos de π 1( M ), isto é, a equivalência de classes

de curvas em M . As possibilidades estão resumidas na Tabela 2. Texturas são estruturas

topológicamente estáveis envolvendo nenhuma singularidade [27]. Embora elas sejam de interesse, não

vamos discutí-las aqui.

Tabela 2

Estrutura Dimensão da singularidade Classificada por

Domínios de parede 2 π 0( M )

Cordas 1 π 1( M )

Monopólos 0 π 2( M )

Texturas - π 3( M )

Uma das virtudes da Tabela 2 é que os grupos de homotopia de espaços relevantes são bem

conhecidos.

Desde que não estamos interessados numa quebra de simetria discreta, podemos assumir que o

grupo de simetria de gauge G está conectado (isto é, π 0(G), que conta o número de pedaços

desconectados, é trivial, π 0(G) = 1.) Além disso, podemos sempre escolher ele como sendo

simplesmente conectado (π 1(G) = 1), através do trabalho com o grupo de cobertura – por exemplo, não

usando SO( N ), mas seu grupo de cobertura dupla

Finalmente, vamos assumir que G é um grupo simples. Existem isomorfismos entre os grupos de

homotopia relevantes da variedade dos estados de vácuo M = G/ H e o subgrupo de simetria não

quebrada H , a saber

(14)



Para a classificação dos monopólos, (14) dá

onde k é o número de fatores U (1) em H , Z representa o grupo dos inteiros, e K é um grupo finito.(Tipicamente, K pode ser o grupo dos inteiros módulo 2, ou uma potência disso: seus elementos

classificam os monopólos mod-2 que podem aparecer em certos casos. Não devemos discutir eles.) A

coisa importante sobre esse resultado é que monopólos devem aparecer se H contém pelo menos um

fator U (1). Qualquer que seja a teoria de grande unificação que adotarmos, sabemos que a última e a

penúltima fases tem grupos de simetria contendo um fator U (1), Então, isso certamente é alguma

transição de fase, acima da de Weinberg-Salam, na qual os monopólos fazem uma aparição. Os

problemas que isso gera iremos comentar mais tarde.

Agora vamos considerar a classificação das cordas. Aqui, o modelo de Landau-Ginzburg é um

caso especial no qual o grupo de simetria U (1) é não-simples. Para esse caso, π 1( M ) = Z , então as

cordas são classificadas por um inteiro. Quando G é simples, portanto, π 1( M ) é geralmente um grupo

finito. Vamos ver dois exemplos, nos quais φ é escolhido como sendo um tensor simétrico de 5

dimensões representando SO(3), e G = SO(3). Primeiro, se o potencial é escolhido tal que um valor

típico do valor esperado de vácuo seja

(15)

então H é isomórfico a O(2). Desde que esse grupo tem dois pedaços disjuntos, π 1( M ) = Z 2. Esse

modelo contêm “cordas mod-2”.

O segundo caso ilustra uma intrigante possibilidade gerada no contexto da física da matéria

condensada, por Toulose e Poénaru [28], a saber, a existência de cordas não-comutantes. Suponhe que

no lugar de (15), <φ > toma a forma



Então encontramos que o grupo H é um grupo não-abeliano de ordem 8, isomórfico ao grupo

“quaternion” Q. Aqui, temos π 1( M ) ≅ H ≅ Q. Assim, existem diferentes tipos de cordas, as quais não

podem, em geral, passar através de uma outra. Essas cordas podem ter junções, vértices onde três

diferentes tipos se juntam. Modelos com essa característica não aparecem muito naturalmente na físicade partículas, embora eles podem certamente ser construídos [29].

6. Evolução das Cordas

Nessa seção, vamos discutir o sistema de cordas que, uma vez formado, vai evoluir no tempo.

Considere primeiro, uma seção de cordas se movendo com velocidade v (assumida << 1)

através de um meio de partículas relativísticas ou radiação. Assumindo que as cordas apresentam uma

seção cruzada efetiva ξ 0 por unidade de comprimento, ela vai sentir uma força retardadora da ordem de

ξ 0 ρ v. Assim, o tempo de amortecimento efetivo para a velocidade da corda é [20]

(16)

Suponha que, inicialmente, essa seção de cordas está em repouso com um raio de curvatura r.

Ela vai sentir uma aceleração inicial ~ µ / µ r = 1/r. Se o meio é denso,, tal que t d << r (uma suposição a

ser verificada mais tarde), então as cordas vão adquirir uma velocidade limite ~ t d/r e, então, a torção

será endireitada em um tempo da ordem de r²/t d.

Vamos supor que, inicialmente, temos um emaranhado aleatório de cordas. Dos argumentos na

seção 4, esperamos que a escala de comprimento L seja inicialmente da ordem de

(17)

A tensão na corda vai causar pequenas torções para endireitá-la. De tempo em tempo, esse processo

levará ao cruzamento das cordas, quando (no caso comutativo pelo menos) elas podem trocar parceiros,

assim produzindo novas pequenas torções que as endireitam por sua vez. Ocasionalmente, pequenas

curvas podem se contrair em um ponto e desaparecer. Em geral, temos uma diminuição no

comprimento total da corda, o que significa um aumento na escala de comprimento.

(Aproximadamente, o comprimento da corda por unidade de volume é L-2.)



Das (16) e (17), vemos que, inicialmente, t d << L, assim validando a suposição feita

anteriormente. Parece razoável assumir que a escala de tempo para o crescimento de L é L²/t d, isto é

(18)

Inicialmente, portanto, L cresce com t 1/2, rapidamente aumentando a razão L/t d. Por um longo período

de tempo, entretanto, (16) mostra que t d ∝ t ², daí (18) leva a L ∝ t 3/2. Eventualmente, portanto, t d irá

alcançar L. Não é difícil checar que isso acontece quando ambos t d e L são da mesma ordem da idade

do universo t ; de fato quando [20]

(19)

digamos.

Para cordas aparecendo na transição da grande unificação, temos que t * ≅ 10-27s, tal que esse

estágio é atingido bem antes da transição Weinberg-Salam. Entretanto, t * depende sensitivamente de η .

Para η ~ 100 GeV, consequiríamos t * ≅ 107s. A transição de Weinberg-Salam por ela mesma

presumivelmente não gera cordas, mas se existe uma transição intermediária não muito acima dela,

podemos conseguir cordas duradouras em números razoáveis para um estágio relativamente tardio. Isso

pode ser relevante para teorias de formação de galáxias.

Vimos, então, que o que acontece é que o tamanho da escala L do emaranhado de cordas cresce

até que ele seja da mesma ordem de magnitude que a distância t para o horizonte causal. No entanto, L

não pode crescer mais rápido do que t , mas t d continua a crescer, tal que as cordas se movem com um

pequeno “amortecimento” e presumivelmente aquirem velocidades relativísticas.

Uma questão interessante que parece bastante difícil de responder é se o tipo de “espaguete

laçado” que deveria ser gerado devido a existência de cordas não-comutantes deveria evoluir da mesma

maneira, ou substancialmente mais vagarosamente.

A possibilidade mais intrigante gerada por essa idéia é que ela deve oferecer a base para uma

teoria de formação das galáxias. Isso é, na verdade, um dos maiores problemas não-resolvidos na

cosmologia. Vamos revisar revisar algumas características do problema.

O mecanismo básico da condensação gravitacional foi discutido por Jeans que mostrou que, em

um sistema gravitando, existe uma escala de comprimento mínima para a densidade de perturbação

crescer [30]. Esse é o comprimento de Jeans



onde cs é a velocidade do som. Na era primordial dominada por radiação e antes do tempo da

recombinação elétron-próton, cs vale 1/3

1/2

, tal que cst é uma fração substancial do raio do universo.Assim, somente perturbações de escalas muito grandes poderiam começar a crescer em amplitude. Elas

podem crescer essencialmente linearmente antes de abranger o horizonte causal, mas continuarão a

crescer por somente um curto tempo depois disso, até que o comprimento de Jeans se torne muito

grande.

Depois da era de recombinação, cs diminui subitamente para o valor

típico do gás hidrogênio quente. A partir de então, as massas maiores do que 10 5 massas solares podem

iniciar uma contração.

O que é necessário para engatilhar o processo de formação das galáxias são as perturbações

iniciais com δ ρ / ρ ~ 10-2, presente na era da recombinação [4]. O problema é encontrar um mecanismo

que gerará tais peturbações iniciais – é claro, sem afetar a isotropia da radiação de fundo 3K, que

mostra que nessa época as flutuações na temperatura eram limitadas a δT /T ≤ 10-3.

Em um aspecto, isso pode não ser tão difícil quanto parece. Durante a era do plasma, que dura

cerca de t ~ 1s até 1013s, o espalhamento de fótons mantém as condições isotérmicas. A parte

“adiabática” de qualquer perturbação inicial em uma escala galática ou inferior irá rapidamente

extinguir-se, mas qualquer parte “isotérmica” - uma flutuação de densidade pura – vai permanecer. Não

existe mecanismo de amortecimento para tais flutuações que opera em uma escala de tempo curta o

bastante para ser relevante [31].

O tempo possível mais primordial no qual uma perturbação inicial pode ser criada por qualquer

mecanismo local (em vez de, simplesmente, ser inserido nas condições iniciais) é o tempo no qual amassa relevante vem junto com o horizonte causal. Isso é cerca de 1 ano para uma massa galática e 10s

para um grupo estelar. Entretanto mecanismos não-locais podem existir. Uma possibilidade muito

interessante foi sugerida por Press [38].

É certamente possível que cordas devem oferecer o mecanismo essencial para gerar essas

perturbações iniciais. A dificuldade é fazer suas interações suficientemente efetivas. As cordas pesadas



típicas da transição da grande unificação deveriam, nesse tempo, estar interagindo fracamente;

considerando que cordas geradas mais tarde podem ser muito leves. Entretanto, pode ser que essas

conclusões deveriam ser mudadas por um entendimento melhor das interações tipo cordas.

7. Monopólos

A massa de um monopólo gerado na transição da grande unificação é mais do que 10 15 GeV. A

densidade inicial dos monopólos pode ser estimada como sendo aproximadamente da ordem de

(20)

correspondendo ao mesmo tamanho de escala inicial como no caso das cordas.

A evolução subsequente, entretanto, é muito diferente. Os monopólos (pelo menos os mais

leves) são estáveis (partículas) que podem ser removidas somente por aniquilação. Desde que

monopólos e anti-monopólos se atraem fortemente, qualquer um deles que estiveram perto deveria

rapidamente se aniquilar. A aniquilação posterior depende, entretanto, da difusão dos monopólos para

anti-monopólos através do meio ao redor. Esse é um processo lento. É difícil evitar a conclusão que, em

um tempo relevante para a síntese do hélio, a densidade de massa total dos monopólos deveria exceder

a das outras matérias por muitas ordens de magnitude [32]. Isso é um desastre porque deveria destruir

completamente o acordo entre abundâncias observadas e calculadas para o hélio e outros elementosleves. (Isto é. talvez, também enigmático que nenhuma evidência dos monopólos tem sido vista se eles

são, de fato, tão comuns, mas pode muito ser possível mostrar que eles deveriam preferencialmente

reunir nos núcleos estelares onde eles poderiam dificilmente serem vistos. Esse não é, portanto, um

argumento muito forte.) Uma possível resposta para esse problema é fazer a transição de fase

fortemente de primeira ordem [33], Isso pode ser feito de pelo menos dois modos.

Primeiro, se as constantes de acoplamento são de magnitudes muito diferentes, correções

radiativas podem fazer o esse trabalho. Por exemplo, se h ~ g², então a única contribuição do vetor

curva, de ordem g4, deveria ser incluída junto com termos de ordem h². Essa contribuição é da forma

[34]

(21)

onde µ é um ponto de renormalização. É facilmente visto que tal termo levará a um potencial efetivo



típico de uma transição de primeira ordem, com dois mínimos separados por uma barreira.

Segundo, podemos considerar modelos com um termo φ 3 explícito. Considere, por exemplo,

uma teoria SU (5) com φ na representação adjunta de 24 dimensões. Aqui

(22)

Esse modelo (com d < 0) pode gerar duas transições de fase distintas [35, 6, 33] desde que b > 0 e a >

-b/5. Na transição de fase mais alta, SU (5) é quebrada para

enquanto que, na segunda, H 1 muda para

Note que H 2 não é um subgrupo de H 1. Essa situação é curiosa porquê ambas a segunda e terceira fases

tem monopólos, mas de diferentes tipos, com diferentes expressões para a carga do monopólo.

Uma coisa que não está imediatamente clara é se monopólos do primeiro tipo, que

necessariamente desaparecem na segunda transição, tendem, ao fazer isso, a gerar monopólos do

segundo tipo. Se isso acontece, então ter duas transições de fase distintas não ajuda muito. Por outro

lado, o caráter de primeira ordem da transição pode ajudar, atrasando o tempo de transição.

Essa é, na verdade, um tipo bastante incomum de transição de primeira ordem. Como sempre,

existem 3 temperaturas relevantes. A mais alta é a T b na qual um primeiro mínimo assimétricoo aparece

no potencial efeitvo. Na verdadeira temperatura crítica T c, esse mínimo diminui para o nível do mínimo

central. Finalmente, em T a, o próprio mínimo central desaparece.

Conforme o universo resfria, nada acontece até que ele passe T c. Mesmo assim, nenhuma das

novas fases aparecerão até que elas podem ser nucleadas. Entretanto, a probabilidade de tunelamentoatravés da barreira, que depende da exponencial da ação integrada ao longo de um “caminho mais

provável de escape” [36], é excessivamente pequeno até que estejamos quase em T a. De fato, há uma

probabilidade essencialmente zero de gerar uma bolha da fase ordenada por tunelamento. O sistema em

efeito atinge T a em um estado de extremo superresfriamento. Em T a existe uma transição súbita, quase

simultaneamente em todas as partes do universo, uma transição que libera um enorme calor latente,



reaquecendo o universo, talvez quase até T c. Parece ser difícil, nessa situação, estimar a escala de

comprimento da estrutura resultante e, portanto, a densidade de monopólos. Assim, não está claro se tal

mecanismo pode nos permitir escapar do problema da superprodução de monopólos.

Note também, que tal transição fortemente de primeira ordem gera uma quantidade de entropia,

que poderia drasticamente mudar a razão computada fóton/bárion (ou entropia/bárion.)Existe, ainda, outro efeito relacionado ao termo cosmológico induzido, o qual veremos adiante.

8. Termo Cosmológico

Observações na atual taxa de recessão das galáxias colocam limites bastante rigorosos [15] na

magnitude da constante cosmológica Λ aparecendo em (6). Desde que a constante adicionada ao

potencial U (φ ) deveria efetivamente contribuir para Λ, devemos assumir que o valor mínimo de U é, de

fato, perto de zero. Parece razoável supor que, em T = 0, o valor mínimo do potencial efetivo (isto é, a

densidade de energia do vácuo) deveria ser precisamente zero. Isso, então, fixa a constante em U para

ter o valor escolhido em (3).

Entretanto, está claro que com essa escolha, existe na fase de alta temperatura um termo

constante diferente de zero em U , a saber h²η 4/8. Esse termo contribui uma constante para a densidade

de energia livre f , ou a densidade de energia ρ . A invariância de Lorentz do vácuo sugere que tal termo

deve representar parte de uma contribuição para o tensor momentum-energia T µν que é proporcional a

g µν . Isso significa, em particular, uma contribuição negativa para a pressão. Tal termo deveria ser

indistinguível nesses efeitos de um termo cosmológico Λ.

É fácil verificar que tal termo está presente. Se calcularmos as densidades de energia livre f - e f +

das fases mais baixa e mais alta (isto é, os valores mínimos de V ) para o modelo na seção 2, obtemos

expressões da forma

(23)

(24)

onde a = h²η 4/8. Correspondentemente a densidade de energia na fase mais alta é

(25)



Lembrando que a pressão é simplesmente p = -f , vemos que a, de fato, produz uma contribuição

proporcional a +ag µν , isto é, em efeito um termo cosmológico.

Não há objeção para tal termo. A evidência observacional exige que Λ seja zero ou quase zero

na atual fase do universo, mas não há razão para excluir um grande termo cosmológico nas fasesanteriores. Entretanto, Bludman [37] apontou um efeito diinâmico interessante que tal termo possa ter,

no caso onde a transição relevante é fortemente de primeira ordem.

Suponha que seguimos R de volta no tempo. Uma vez que atingimos a era dominada por

radiação, mas ainda abaixo da temperatura crítica, (6) nos leva à

O primeiro termo domina cada vez mais conforme R diminui. Se K é positivo (isto é, para um universo

fechado), existe um tempo, ainda longe no futuro, no qual d R/dt se anula, mas conforme voltamos no

tempo ele aumente monotonicamente.

Agora considere o que acontece quando passamos por uma transição de fase de primeira ordem,

em R = Rc. Correspondente a uma rápida mudança da (23) para (24) nós encontramos que a equação

para d R/dt muda para

(26)

onde α e γ vem respectivamente de a e c na (25). (Nós ignoramos por simplicidade o efeito da mudança

de b' para b no coeficiente de T ².) Por conservação de energia temos

A coisa intrigante é que se γ é pequeno o bastante, então o lado direito da (26) pode sumir para algum

R < Rc. Isso deveria significar que, conforme voltamos com R de volta no tempo nunca atingimos R =

0. Em vez disso, em algum valor mínimo, o universo “pula”.

Essa probabilidade deveria somente ser realizada para valores extremos dos parâmetros.

Primeiramente precisamos de K > 0, o que significa que a densidade no universo agora deve exceder a

densidade crítica necessária para o fecho. Os limites observacionais atuais não favorecem tal universo



vom alta densidade. Além disso, precisamos de uma transição de fase de primeira ordem muito forte,

causada, por exemplo, por aclopamentos muito desiguais, correspondentes ao caso onde as partículas

de Higgs são muito mais leves do que as partículas de gauge. Contudo, a possibilidade claramente

merece um estudo adicional.

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Algumas Implicações de uma Transição de Fase Cosmológica