ALGUNS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA A …mreiss/Fotogrametria_I/2017-1/Material... · mÁrio luiz lopes reiss alguns fundamentos matemÁticos para a fotogrametria - revisÃo - porto

PORTO ALEGRE

2010

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUDO DE GEOCIÊNCIAS

CURSO DE ENGENHARIA CARTOGRÁFICA

MÁRIO LUIZ LOPES REISS PROFESSOR (ADJUNTO), DEPTO DE GEODÉSIA

ALGUNS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA A FOTOGRAMETRIA

MÁRIO LUIZ LOPES REISS

MÁRIO LUIZ LOPES REISS

ALGUNS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA A FOTOGRAMETRIA

- REVISÃO -

PORTO ALEGRE

2010

MATEMÁTICA PARA FOTOGRAMETRIA

iii Mário Luiz Lopes Reiss

CONTEÚDO

CONTEÚDO ___________________________________________________________________________iii

LISTA DE FIGURAS ____________________________________________________________________ v

CAPÍTULO I

1 INTRODUÇÃO ______________________________________________________________________ 1

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ________________________________________________________ 1

1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO ______________________________________________________ 2

CAPÍTULO II

2 SISTEMAS DE COORDENADAS _______________________________________________________ 3

2.1 SISTEMAS DE COORDENADAS BIDIMENSIONAIS ____________________________________ 3

2.2 SISTEMAS DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAIS ___________________________________ 4

CAPÍTULO III

3 ÁLGEBRA VETORIAL ________________________________________________________________ 6

3.1 INTRODUÇÃO ___________________________________________________________________ 6

3.2 OPERAÇÕES COM VETORES ______________________________________________________ 8

3.3 PRODUTOS DE VETORES ________________________________________________________ 10

3.3.1 PRODUTO PONTO OU PRODUTO ESCALAR ______________________________________ 10

3.3.2 PRODUTO CRUZ OU PRODUTO VETORIAL _______________________________________ 11

3.3.3 PRODUTO TRIPLO ESCALAR ___________________________________________________ 12

3.3.4 PLANOS E LINHAS ____________________________________________________________ 12

CAPÍTULO IV

4 ÁLGEBRA MATRICIAL ______________________________________________________________ 15

4.1 DEFINIÇÕES ___________________________________________________________________ 15

4.2 TIPOS DE MATRIZES ____________________________________________________________ 16

4.3 OPERAÇÕES BÁSICAS COM MATRIZES ____________________________________________ 19

4.4 MATRIZ INVERSA _______________________________________________________________ 24

4.5 MATRIZ INVERSA POR PARTICINAMENTO __________________________________________ 28

4.6 AUTOVALOR E AUTOVETOR _____________________________________________________ 30

4.7 FORMAS BILINEAR E QUADRÁTICAS ______________________________________________ 33


iv Mário Luiz Lopes Reiss

CAPÍTULO V

5 TRANSFORMAÇÕES LINEARES ______________________________________________________ 35

5.1 DEFINIÇÃO ____________________________________________________________________ 35

5.2 TRANSFORMAÇÃO LINEAR BIDIMENSIONAL _______________________________________ 35

5.2.1 TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES ____________________________________________ 36

5.2.1.1 TRANSLAÇÃO ____________________________________________________________ 36

5.2.1.2 ESCALA UNIFORME _______________________________________________________ 37

5.2.1.3 ROTAÇÃO _______________________________________________________________ 37

5.2.1.4 REFLEXÃO ______________________________________________________________ 39

5.2.1.5 FATOR DE ESCALA NÃO UNIFORME ________________________________________ 39

5.2.1.6 TORÇÃO ________________________________________________________________ 40

5.2.2 TRANSFORMAÇÃO DE QUATRO PARÂMETROS ___________________________________ 41

5.2.3 TRANSFORMAÇÃO DE SEIS PARÂMETROS ______________________________________ 42

5.3 TRANSFORMAÇÃO LINEAR TRIDIMENSIONAL ______________________________________ 42

5.3.1 ROTAÇÕES DE UM SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAIS ________________ 43

5.3.2 TRANSFORMAÇÃO DE SETE PARÂMETROS ______________________________________ 46

5.3.2.1 CONSTRUINDO M POR UMA ROTAÇÃO SOBRE UMA LINHA ___________________ 46

5.3.2.2 UMA DERIVAÇÃO DE M PURAMENTE ALGÉBRICA ___________________________ 46

CAPÍTULO VI

6 TRANSFORMAÇÕES NÃO-LINEARES _________________________________________________ 48

6.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS _______________________________________________________ 48

6.2 TRANSFORMAÇÃO DE OITO PARÂMETROS ________________________________________ 48

6.3 POLINOMIAIS GERAIS BIDIMENSIONAIS ___________________________________________ 48

6.4 POLINÔMIOS GERAIS TRIDIMENSIONAIS ___________________________________________ 49

CAPÍTULO VII

7 LINEARIZAÇÃO DE FUNÇÕES NÃO-LINEARES _________________________________________ 51

7.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS _______________________________________________________ 51

7.2 UMA FUNÇÃO PARA DUAS VARIÁVEIS ____________________________________________ 52

7.3 DUAS FUNÇÕES PARA UMA VARIÁVEL ____________________________________________ 53

7.4 DUAS FUNÇÕES PARA DUAS VARIÁVEIS __________________________________________ 54

7.5 CASO GERAL DE m FUNÇÕES PARA n VARIÁVEIS __________________________________ 54

7.6 DERIVAÇÃO DE UM DETERMINANTE ______________________________________________ 55

7.7 DERIVAÇÃO DE UM QUOCIENTE __________________________________________________ 56

BIBLIOGRAFIA _______________________________________________________________________ 57


v Mário Luiz Lopes Reiss

LISTA DE FIGURAS

Figura 2-1 – Coordenadas polares e Cartesianas bidimensionais ______________________________ 3

Figura 2-2 – Coordenadas polares e Cartesianas bidimensionais ______________________________ 4

Figura 3-1 – Vetores no plano ____________________________________________________________ 6

Figura 5-1 – Translação ________________________________________________________________ 36

Figura 5-2 – Escala Uniforme ___________________________________________________________ 37

Figura 5-3 – Rotação __________________________________________________________________ 38

Figura 5-4 – Reflexão __________________________________________________________________ 39

Figura 5-5 – Fator de Escala Não-Uniforme ________________________________________________ 40

Figura 5-6 – Torção ____________________________________________________________________ 41

Figura 5-7 – Rotações em um sistema Cartesiano __________________________________________ 44

Figura 7-1 – Linearização _______________________________________________________________ 51


1 Mário Luiz Lopes Reiss

CAPÍTULO I

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A Fotogrametria é definida como uma tecnologia de obtenção de medidas

confiáveis de corpos tridimensionais em um dado referencial, por meio da utilização de

fotografias tiradas desses corpos. Na Fotogrametria, a extração das medidas dos corpos

é feita indiretamente por meio de fotografias dos objetos e relações geométricas

estabelecidas entre o sistema de referência da(s) foto(s) e o espaço objeto.

Muitas das operações utilizadas na Fotogrametria são baseadas em conceitos

matemáticos básicos, cuja compreensão e estudo são fundamentais para o domínio,

entendimento e aplicação adequada das técnicas fotogramétricas.

Essa revisão foi baseada na tradução de parte do Apêndice A do livro Introduction

to Modern Photogrammetry de Edward M. Mickhail, James S. Bethel e J. Chris McGlone

publicado pela editora John Wiley & Sons, Inc em 2001 nos EUA.

Compreende-se que os tópicos abordados aqui são, dentre muitos, alguns dos

mais fundamentais utilizados na Fotogrametria, sendo eles: Sistemas de Coordenadas,

Álgebra Vetorial, Álgebra Matricial, Transformações Lineares, Transformações Não-

Lineares, e Linearização de Funções Não-Lineares.



1.2 ESTRUTURA

Esta revisão está dividida em sete capítulos. Dos quais, no primeiro, é dada a

introdução e considerações iniciais.

No capítulo seguinte é abordado o assunto Sistema de Coordenadas,

discorrendo-se sobre os sistemas bi e tridimensionais.

No terceiro capítulo, tem-se o assunto Álgebra Vetorial, com definições,

operações e produtos com vetores.

No capítulo seguinte, é trata sobre Álgebra Matricial, com definições e tipos de

matrizes, operações básicas, matriz inversa, autovalor e autovetor, e formas bilinear e

quadráticas.

O capítulo quinto aborda os principais conceitos envolvidos em transformações

lineares, sendo no capítulo seguinte abordadas as não-lineares.

No sétimo e último capítulo trata do assunto Linearização de Funções Não-

Lineares, preparando-se e auxiliando na compreensão dos processos de ajustamento.



CAPÍTULO II

2 SISTEMAS DE COORDENADAS

2.1 SISTEMAS DE COORDENADAS BIDIMENSIONAIS

Um sistema de referência de coordenadas em um plano é definido um conjunto

mínimo de requisitos, sendo eles dados por um terno de elementos, dois associados a um

ponto origem e um à uma direção. A unidade de medida, que representa a escala, pode

também ser incluída, assim compondo um conjunto total de quatro elementos.

x

y

O

P

r

X

Y

Figura 2-1 – Coordenadas polares e Cartesianas bidimensionais

Qualquer ponto pode ser localizado em um sistema de referência por duas

coordenadas. Na Figura 2.1 são representados dois sistemas de coordenadas muito

usados: polar e o Cartesiano ou retangular . Um ponto pode ser localizado

por um ângulo de , medido a partir da direção , e pela distância , medida a partir do



ponto de referência. De forma alternativa, a posição do ponto pode ser determinada

por suas duas distâncias a partir de dois eixos perpendiculares, e . Estas distâncias

são chamadas coordenadas Cartesianas de um ponto qualquer. As coordenadas

Cartesianas podem ser obtidas a partir de coordenadas polares por:

(2.1)

Inversamente, ,r pode ser derivada a partir de 21 , xx usando:

(2.2)

2.2 SISTEMAS DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAIS

Um sistema de coordenadas no espaço tridimensional requer seis elementos para

sua definição, três associados com um ponto de referência e três com a orientação. Se a

unidade linear de medida também for fixada, o número máximo de elementos necessários

torna-se sete.

Figura 2-2 – Coordenadas polares e Cartesianas tridimensionais

Z

P

r

r’

z

P’

OY

Xy

x



A Figura 2.2 mostra dois sistemas tridimensionais de coordenadas: esférico

e Cartesiano ou retangular . No sistema esférico, qualquer ponto é

posicionado por sua distância a partir da origem, o ângulo entre o eixo e (a

projeção de sobre o plano ), e o ângulo entre e . O sistema de coordenadas

Cartesianas é composto por três eixos mutuamente perpendiculares , e . Em geral,

qualquer ponto pode ser descrito no espaço por três coordenadas . As relações

entre os sistemas de coordenadas esféricas e o Cartesiano são as seguintes

:

(2.3)

r

zsen

x

y

zyxr

1

1

222

tan

(2.4)



CAPÍTULO III

3 ÁLGEBRA VETORIAL

3.1 INTRODUÇÃO

Um vetor é uma entidade que tem uma magnitude e uma direção. Em espaços bi

ou tridimensionais, ele é um segmento de linha direcionado partido de um ponto até outro.

Um vetor pode ser representado por uma única letra minúscula, por exemplo, a , ou por

PQ que representa o vetor partindo de um ponto P à um ponto Q . Um exemplo é

mostrado na Figura 3.1. A projeção de um vetor a nos eixos x e y são ax e ay ,

respectivamente, que são chamados de componentes do vetor. A representação das

componentes do vetor pode ser feita em uma matriz coluna:

a

a

y

xa

Y

ay

Xax

Qx

Qy

Px

Py

q

a

p

i

j

Q

P

O

Figura 3-1 – Vetores no plano



É evidente, pela representação da Figura 3.1, que PQa xxx e PQa yyy .

Portanto, as componentes de um vetor podem ser obtidas pela subtração das

coordenadas de seu ponto inicial P das coordenadas de seu ponto final Q . Assim os

vetores p e q na Figura 3.1 começam nas respectivas origens:

P

P

y

xp

e

Q

Q

y

xq

e o vetor a é dado por:

ou

pqa (3.1)

Expandindo para tridimensional, pode-se escrever:

a

a

a

z

y

x

a

O comprimento do vetor é designado por a e é dado por

222

aaa zyx a (3.2)

Uma direção do vetor é dada por qualquer ângulo formado entre ele com os eixos,

, e , ou por seus cossenos. Estes últimos são chamados cossenos diretores e são

dados por:

a

a

a

a

a

a

z

z

y

y

x

x coscoscos (3.3)

P

P

Q

Q

a

a

y

x

y

x

y

x



Desta forma, uma direção no espaço é completamente determinada por apenas

dois ângulos (na Figura 2.2, OP é obtido por e ), somente se os dois cossenos

diretores forem independentes. Conseqüentemente, os cossenos diretores são

relacionados pela seguinte equação:

1coscoscos 222 (3.4)

que pode ser prontamente provada por meio das Equações 3.2 e 3.3. Pode-se generalizar

agora um vetor para n dimensões, ou seja:

na

a

a

2

1

a

3.2 OPERAÇÕES COM VETORES

Dois vetores são iguais, ba , quando todos os componentes dos vetores são

iguais, nn bababa ,,, 2211 .

Vetores são adicionados ou subtraídos pela adição ou subtração de cada

componente individual. Desta forma, bac significa que

nnn bacbacbac ,,, 222111 .

A adição e a subtração de vetores são:

Comutativas:

abba ;

Associativa:

cbacba ;



Transitiva:

ba e ca cb .

As operações de adição e subtração somente podem ser realizadas com vetores

de mesmas dimensões.

Um escalar é uma quantidade que tem somente uma magnitude, mas nenhuma

direção, assim como massa, temperatura, tempo, etc., e geralmente é designado por uma

letra grega. Vetores de qualquer número de componentes podem ser multiplicados por um

escalar através da multiplicação do escalar por cada componente do vetor:

na

a

a

2

1

a

A multiplicação de vetores por escalares também tem as seguintes propriedades:

aa

baba

aaa

aaa

λλ

λλλ

μλμλ

λμμλμλ

(3.5)

Qualquer vetor a é reduzido a um vetor unitário 0a quando seus componentes

forem divididos por seu comprimento, que é um escalar:

a

aa 0 (3.6)

Os componentes de 0a são os cossenos diretores de a . Vetores unitários ao

longo dos eixos coordenados são chamados vetores base e são dados por:

1

0

0

0

1

0

0

0

1

kji (3.7)



(ver a representação para i e j na Figura 3.1). Qualquer vetor no espaço tridimensional

é unicamente expresso como:

kjia aaa zyx (3.8)

O sistema dextrógiro introduzido na Seção 2.2 pode ser generalizado para três

vetores ba, e c . Se eles forem não coplanares, e tiverem o mesmo ponto inicial, então

eles estarão na forma de um sistema dextrógiro se como algo semelhante a um parafuso

de rosca direita fosse rotado em um ângulo menor que 180º de a para b e avançasse na

direção c .

3.3 PRODUTOS DE VETORES

3.3.1 PRODUTO PONTO OU PRODUTO ESCALAR

O produto ponto ou produto escalar de dois vetores é

n

p

nnpp babababa1

2211 ba (3.9)

Ele é também chamado de produto interno. Ele é um escalar que tem as

seguintes propriedades:

0

1

ikkjji

kkjjii

babababa

cabacba

abba

(3.10)

O produto escalar de um vetor com ele mesmo é igual ao quadrado de sua

distância, ou seja:

222

2

2

1 aaa naaa (3.11)



Se é o ângulo entre dois vetores a e b (em um espaço bi ou tridimensional),

ele pode ser dado por:

cosbaba (3.12)

Se a e b forem perpendiculares, então 0ba .

ba

baarccos

3.3.2 PRODUTO CRUZ OU PRODUTO VETORIAL

O produto cruz ou produto vetorial de dois vetores, ba (lê-se “ a cruz b ”), é um

outro vetor c que é perpendicular a ambos os vetores a e b e em uma direção na qual

ba, e c (nesta ordem) formam um sistema dextrógiro. O comprimento de c é dado por:

senbabac (3.13)

onde é o ângulo entre a e b . Esta quantidade é a área do paralelogramo determinada

por a e b . Se kjia aaa zyx e kjib bbb zyx , então c é dado pelo

determinante:

abba

abba

abba

bbb

aaa

yxyx

xzxz

zyzy

zyx

zyx

kji

bac (3.14)

O produto vetorial tem as seguintes propriedades:

jiki,kjk,ji

0kkjjii

bababa

caa

cabacba

abba

2222

0 (3.15)



Para dois vetores não nulos, se 0ba , então a e b são paralelos.

3.3.3 PRODUTO TRIPLO ESCALAR

O produto triplo escalar de três vetores ba, e c é um escalar dado pelo

determinante

ccc

bbb

aaa

zyx

zyx

zyx

cba (3.16)

que é igual ao volume do paralelogramo determinado por ba, e c . Se o produto triplo

escalar é zero, então os três vetores são coplanares. Ele tem a seguintes propriedades:

cbacba

bacacbcba

(3.17)

3.3.4 PLANOS E LINHAS

Se n é um vetor não-nulo normal a um plano, e 0p é um vetor pertencente ao

plano; tomando outro ponto p pertencente ao plano, então a equação do plano tem a

seguinte forma:

0 npp 0 ou 0 npnp 0 (3.18)

Fazendo

kjin CBA , kjip 0000 ZYX , e kjip ZYX

então a Equação 3.18 torna-se

0000 YYCYYBXXA

ou



0 DZCYBXA (3.19)

onde 000 XCYBXAD .

p0

p

n

x

y

z

Figura 3-2 – Representação de um plano no espaço

Dois planos são paralelos quando eles têm um vetor normal comum n , e são

perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares, ou seja:

021 nn .

Se 0p representa um ponto dado em uma linha, p é qualquer ponto em uma

linha, e v é um dado vetor não-nulo e paralelo à linha, então

vpp 0 (3.20)

é uma equação da linha. Na forma componente, ela tem três equações descrevendo a

forma paramétrica ( é um parâmetro independente).



z

y

x

vZZ

vYY

vXX

0

0

0

(3.21)



CAPÍTULO IV

4 ÁLGEBRA MATRICIAL

4.1 DEFINIÇÕES

Uma matriz é um grupo de números ou funções escalares armazenadas em um

arranjo retangular bidimensional. Os exemplos seguintes são exemplos de matrizes:

dcba

dc

ba

397

5

1,

346

021

.

Toda matriz tem um número específico de linhas e colunas. Desta forma o

exemplo de matriz a tem 2 linhas e 3 colunas e é dito ser uma matriz 2 x 3 (lê-se “dois

por três”). De forma similar, b é uma matriz 2 x 1, c é uma matriz 1 x 3, e d é uma

matriz 2 x 2. Os dois números representando as linhas e as colunas são referenciados

como as dimensões da matriz.

Uma matriz é denotada por uma letra maiúscula. Assim uma matriz nm pode

ser simbolicamente escrita como:

mnmm

n

n

nm

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A .

Uma letra minúscula com dois números subscritos representa os elementos da matriz.

Assim ija representa um elemento típico da matriz A . O primeiro subscrito, i , refere-se

ao número da linha que contém ija , iniciando com 1 até na parte superior até o valor m

na parte inferior da matriz. O segundo subscrito, j , refere-se ao número da coluna que



contém ija , iniciando com 1 à direita até n à esquerda. Desta forma ija esta na

intersecção da ésimai linha com a ésimaj coluna. Por exemplo, a no exemplo anterior de

matriz a é 3, enquanto 12a na matriz c é 9. A menor matriz tem dimensão 1 x 1.

4.2 TIPOS DE MATRIZES

Uma matriz quadrada é uma matriz na qual o número de linhas é igual ao número

de colunas. Se A é uma matriz quadrada com m linhas e m colunas, A é de ordem m .

A diagonal principal de uma matriz quadrada é composta de todos os elementos ija nos

quais ji . As seguintes matrizes são exemplos de matrizes quadradas:

khg

fed

cba

BA ,43

21.

A diagonal principal de A é composta dos elementos 1 e 4; a diagonal principal

de B é composta dos elementos ea, e k .

Uma matriz linha é uma matriz composta de somente linhas. Sua notação é

realizada por uma letra minúscula. Os seguintes são exemplos de matrizes linhas:

421,31

211

da n

naaa .

Uma matriz coluna, ou vetor coluna, é uma matriz composta de somente uma

coluna. Por exemplo,

3

1,

12

2

1

1cb

m

m

b

b

b

.

Esta é a mesma definição dada para um vetor, introduzida na Seção 3.



Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos que não estão na

diagonal principal são zero. Por exemplo:

mmd

d

d

00

00

00

12

11

D

onde

0ijd para todo ji

0ijd para alguns ou todos ji

Os seguintes são exemplos de matrizes diagonais:

r

q

p

00

00

00

,

300

000

001

BA

Uma matriz escalar é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal

são todos iguais a um mesmo escalar. Por exemplo,

a

a

a

00

00

00

A ,

onde 0ija para todo ji e aaaij | para alguns ou todos ji , e

200

020

002

B

são matrizes escalares.

Uma matriz unidade ou matriz identidade é uma matriz diagonal cujos elementos

da diagonal principal são iguais a 1. Uma matriz unidade é referida por I . Assim,



100

010

001

I

na qual 0ija para todo ji e 1ija para alguns ou todos ji . Uma matriz nula ou

matriz zero é a matriz cujos elementos são todos zeros. Ela é denotada por 0 .

Uma matriz triangular é a matriz cujos elementos abaixo (ou acima), mas não

incluindo, da diagonal principal são todos nulos. Uma matriz triangular superior tem a

forma

mm

m

m

a

aa

aaa

00

0 212

11211

A

na qual 0ija para ji . A matriz

300

010

421

A

é um exemplo de uma matriz triangular superior de ordem 3. A matriz triangular inferior é

de forma

mmmm aaa

a

a

21

12

11

00

00

A

onde 0ija para ji . A matriz

112

018B



é um exemplo de matriz triangular inferior de ordem 2.

4.3 OPERAÇÕES BÁSICAS COM MATRIZES

Muitas operações com matrizes são similares ou equivalentes aos escalares:

igualdade, adição, subtração e multiplicação. Divisão não existe em álgebra matricial; no

entanto, uma outra operação, a inversão, a substitui. Operações adicionais são

específicas para as matrizes sem haver equivalência aos escalares: transposição,

multiplicação por um escalar, e traço.

Duas matrizes A e B são iguais se elas forem de mesma dimensão e cada

elemento ijij ba para todo i e j . Matrizes de dimensões diferentes não podem ser

iguais.

A soma de duas matrizes A e B é possível somente se elas forem de dimensões

iguais, e os elementos da matriz de resultado C são ijijij bac para todo i e j . As

seguintes relações são aplicáveis para a adição e subtração de matrizes:

0AA

CBACBACBA

ABBA

(4.1)

onde 0 é a matriz nula e A é a matriz composta de ija elementos. Por exemplo, se

wvu

zyxCBA ,

620

231,

640

021

e ABC , para computar os valores dos seis elementos vuzyx ,,,, e w de C , primeiro

computa-se AB :

020

210

640

021

620

231

e então forma-se:



020

210

wvu

zyxC .

Assim, ,2,0,2,1,0 vuzyx e 0w .

A multiplicação de uma matriz por um escalar resulta em uma outra matriz

AB cujos elementos são ijij ab para todo i e j . As seguintes relações são

aplicadas para a multiplicação por escalar ( e são escalares):

AAA

BABABA

AAA

BABA

(4.2)

A multiplicação de duas matrizes é outra matriz. As duas matrizes devem ser

compatíveis para serem multiplicadas, de forma que o número de colunas da primeira

matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Assim, se A é uma matriz

de dimensão qm e B é uma matriz de dimensão nq , o produto BA , nesta ordem, é

outra matriz C com m linhas e (como em A ) e n colunas (como em B ). Cada elemento

ijc em C é obtido pela multiplicação de cada um dos q elementos nas ésimasi linhas da

matriz A pelos elementos correspondentes nas ésimasj colunas de B e adição.

Algebricamente, esta operação é escrita como:

q

k

kiikqiiqjijiij babababac1

2211 (4.3)

Para ilustrar a multiplicação de matrizes:

7

7

305112

325011

3

5

1

012

201

133212BAC .

A multiplicação de matrizes não é comutativa. Em geral sempre FGGF se a

dimensão das matrizes permitir a multiplicação em ambas as direções, ou seja, se as



matrizes forem respectivamente de dimensões nm e mn , ou quando as matrizes

forem quadradas e de mesma ordem. Por exemplo:

010

623

05

21

20

43

2015

83

20

43

05

21FGGF .

as seguintes relações são presentes às multiplicações de matrizes:

vadistributilei

vadistributilei

aassociativlei

CBCACBA

CABACBA

CBACBACBA

ABBA

AAIIA

(4.4)

Uma importante propriedade da multiplicação de matrizes que se distingue da

multiplicação de escalares é que o produto matricial pode ser uma matriz nula ou zero

sem que qualquer matriz seja uma matriz nula, ou 0BA com 0B0,A , como por

exemplo:

00

00

32

32

00

11BA .

Também, CABA não implica que CB .

A transposta da matriz A de dimensão nm é uma matriz mn formada a partir

de A pelo intercâmbio das linhas e colunas de forma que as ésimasi linhas de A torna-se

as ésimasi colunas da matriz transposta. A notação da transposta de A é dada por T

A . Se

TAB , segue que jiij ab para todo i e j . Por exemplo, se

05

30

61

B , então

036

501T

B .

As seguintes relações são aplicadas à transposta de uma matriz:



TTT

TT

TT

TTT

A

ABBA

A

AA

BABA

(4.5)

Destaca-se a ordem inversa na relação de multiplicação.

Uma matriz quadrada é simétrica se ela é igual à sua transposta; A é simétrica

se AA T. Como a transposição de uma matriz quadrada não altera os elementos da

diagonal principal, os elementos acima dela são uma imagem espelho daqueles abaixo da

diagonal. Por exemplo:

461

602

123

e

cb

ba são matrizes simétricas.

As matrizes, diagonal, escalar e identidade são matrizes simétricas, tendo em

vista que elas são iguais às suas transpostas. Para uma matriz A (não necessariamente

quadrada), ambas T

AA e AA T são simétricas. Se B é uma matriz simétrica de

dimensão compatível, então para qualquer matriz A , ambos T

ABA e ABA T são

simétricas.

Se a é uma matriz colunas (ou um vetor), então aa T é um escalar positivo que é

igual à soma dos quadrados dos seus elementos, por exemplo

2

3

2

2

2

1

3

2

1

321 aaa

a

a

a

aaaT

aa

Isto é igual ao produto interno do vetor a com ele mesmo, que é igual ao quadrado de

seu comprimento.

Uma matriz quadrada é de torção simétrica se ela é igual ao negativo de sua

transposta, ou AA T e jiij aa para todo i e j . Os elementos da diagonal de uma



matriz de torção simétrica são todos zero, e eles única matriz que é ao mesmo tempo

simétrica e de torção simétrica é a matriz nula. Um exemplo de matriz de torção simétrica

é

063

601

310

.

Para qualquer matriz quadrada A , a matriz TAA é simétrica e T

AA é de torção

simétrica.

O traço de uma matriz quadrada é um escalar que é igual à soma dos elementos

de sua diagonal principal. Ele é denotado por Atr . Por exemplo, o traço de

963

852

741

A

é

15951tr A .

As seguintes são as propriedades do traço:

AFAF

BA

BABA

AA

AA

trtr

trtr

trtrtr

trtr

trtr

1

AB

T

(4.6)

onde F é uma matriz não singular.



4.4 MATRIZ INVERSA

Como aludido anteriormente, a divisão de matrizes não é definida, e CABA

não implica CB . Em substituição à divisão, é usado o conceito de matriz inversa. A

inversa de uma matriz quadrada A , se ela existir, é a única matriz 1A com a seguinte

propriedade:

IAAAA 11 (4.7)

onde I é a matriz identidade. Assim, para:

12

13A

a matriz

32

111

A

é a matriz inversa porque

10

01

32

11

12

13

e

10

01

12

13

32

11.

As propriedades da inversa são:

11

11

11

111

1

AA

AA

AA

ABBA

TT (4.8)



Destaca-se a reversão da ordem de distribuição sobre um produto, assim como para a

transposta. Uma matriz que tem uma inversa é chamada de não-singular. Uma matriz que

não tem inversa e chamada singular.

Mostrou-se anteriormente que BA pode ser igual a 0 sem, no entanto,

0B0A ou . Se, entretanto, BA ou for não singular, então a outra matriz deve ser uma

matriz nula. Conseqüentemente, o produto de duas matrizes não-singulares não pode ser

uma matriz nula.

Para apresentar um método de cálculo de uma matriz inversa o conceito de

determinante será inicialmente introduzido. Associado com cada matriz quadrada A tem-

se um único valor escalar chamado de determinante de A . Ele é denotado ou por Adet

ou por A . Assim, para:

12

13A

o determinante é expresso como

12

13A .

O determinante de ordem n (para uma matriz quadrada nn ) pode ser definido

recursivamente em termos de determinantes de ordem 1n . Para a aplicação deste

procedimento, o determinante de uma matriz 11 deve ser definido. Adequadamente,

para uma matriz que consiste de um único elemento, o determinante é definido como o

valor do elemento, que é, para 1111 det, aa AAA .

Se A é uma matriz nn , e uma linha e uma coluna de A são apagada, a matriz

resultante é uma sub-matriz 11 nn de A . O determinante dessa matriz é chamado

secundário de A , e ele é denotado por ijm , onde i e j correspondem às linhas e colunas

apagadas, respectivamente. Mais especificamente, ijm é conhecida como o secundária do

elemento ija em A . Por exemplo, considerando-se:



333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A .

Cada elemento de A tem uma secundária. A secundária de 11a , por exemplo, é obtida ao

apagar a primeira linha e primeira coluna de A e tomando o determinante da sub-matriz

22 que resta,

3332

2322

11aa

aam .

O cofator ijc de um elemento ija é definido como

ij

ji

ij mc

1 (4.9)

Obviamente, quando a soma do número da linha i e coluna j é par, ijij mc , e quando

ji é impar, ijij mc .

O determinante de uma matriz A nn é definido então como

nn cacaca 1112121111 A (4.10)

que estabelece que o determinante de A é a soma dos produtos dos elementos da

primeira linha de A e seus correspondentes cofatores. (É possível também definir A

baseado em uma outra linha ou coluna, mas para simplificação foi usada a primeira linha.)

Com base na definição, a matriz 22

2221

1211

aa

aaA

tem cofatores 222211 aac , e 121212 aac , o determinante de A é

2112221122221111 aaaacaca A .



Assim, por exemplo,

14214343

21

.

A matriz cofatora C de uma matriz A é a matriz quadrada de mesma ordem de

A na qual cada elemento ija é substituído por seus cofatores ijc . Por exemplo, a matriz

cofatora de

43

21A

é

12

34C .

A matriz adjunta de A , denotada por Aadj , é a transposta de sua matriz cofatora,

TCA adj (4.11)

Pode ser demonstrado que

I AAAAA adjadj (4.12)

A comparação das Equações 4.7 e 4.11 conduz diretamente a um procedimento

de determinação da inversa a partir da matriz adjunta, isto é,

A

AA

adj1 (4.13)

Por exemplo,

32

11adj,

31

21,1,

12

13ACAA

e a inversa de A é

32

11adj1

A

AA .



Se observa que para uma matriz 22 , a adjunta é simplesmente:

1121

1222

aa

aa.

Uma matriz é chamada ortogonal se sua inversa é igual à sua transposta, ou

TAA 1 . Assim, a matriz M é ortogonal quando:

ITT MMMM (4.14)

As colunas de uma matriz ortogonal são mutuamente vetores ortogonais de comprimento

unitário. Também, para uma matriz ortogonal,

1M (4.15)

Quando 1M , então M é chamada ortogonal própria; caso contrário ela é

denominada ortogonal imprópria. O produto de duas matrizes ortogonais é também uma

matriz ortogonal.

4.5 MATRIZ INVERSA POR PARTICINAMENTO

Sendo A uma matriz quadrada nn não-singular cuja inversa não pode ser

determinada, pode-se particionar A na forma:

m

s

ms

2221

1211

AA

AAA

onde 11A é ss , 12A é ms , 21A é sm , 22A é mm , e nsm . A inversa 1

A existe

(desde que A seja não-singular) e dever ser particionada na forma correspondente por

2221

12111

BB

BBBA .



Por meio da definição básica de uma inversa tem-se IBAAA 1 , ou na

forma particionada:

m

s

I0

0I

BB

BB

AA

AA

2221

1211

2221

1211

onde mII e s são matrizes identidade de ordem ms e , respectivamente. Isto leva a

mIBABA

0BABA

0BABA

IBABA s

22221221

21221121

22121211

21121111

(4.16)

A solução das Equações 4.16 quando 1

11

A existe é dada por

1

12

1

11212222

1

11212221

2212

1

1112

2112

1

11

1

1111

AAAAB

AABB

BAAB

BAAAB

(4.17)

De forma alternativa, quando 1

22

A existe, a solução é

1221

1

22

1

2222

1121

1

2221

1

22121112

1

21

1

22121111

BAAAB

BAAB

AABB

AAAAB

(4.18)

Se A é originalmente uma matriz simétrica, então T

1221 AA e, correspondentemente,

T

1221 BB .

Em inversão por partição computa-se diretamente a inversa de matrizes de uma

ordem menor que a matriz original. A inversão por partição pode ser realizada em mais de

um passo. Ela é geralmente usada quando uma as sub-matrizes de A tem estrutura que

pode ser facilmente invertida, assim como uma estrutura diagonal ou bloco-diagonal.



O ranque de uma matriz é a ordem do maior determinante não-zero que pode ser

formado a partir de elementos da matriz pela eliminação apropriada de linhas e colunas

(ou ambos). Desta forma a matriz é dita ser de ranque m se e somente se tiver pelo

menos uma sub-matriz não-singular de ordem m , e não tiver nenhuma sub-matriz de

ordem maior que m . A matriz não-singular de ordem n tem um ranque n . A matriz com

ranque zero tem elementos que devem ser todos nulos.

A inversa 1

A é definida somente para matrizes quadradas, e existe quando o

ranque de A é igual à sua ordem. A inversa mais geral pode ser definida para matrizes

com ranque arbitrário. Ela é chamada de inversa generalizada, com notação

A , e

satisfaz a relação,

AAAA (4.20)

Esta condição não é suficiente para definir uma única

A . Condições adicionais são

necessárias para

A , tais como:

AAAA

AAAA

AAAA

T

T (4.19)

Se impostas todas as quatro condições nas Equações 4.18 e 4.19, a inversa é chamada

uma pseudo-inversa e é denotada por

A .

4.6 AUTOVALOR E AUTOVETOR

Para uma matriz quadrada A de ordem n , busca-se um vetor não-nulo x e um

escalar de forma que,

xxA (4.20)

Isto é chamado de problema do autovalor. A solução 00 x e para este problema é

chamada autovalor (ou valor próprio ou valor característico) e o correspondente autovetor



(ou vetor próprio ou vetor característico) da matriz A . Um autovetor, se ele existe, pode

ser determinado somente se um múltiplo escalar se 00 x e satisfazem a Equação 4.20,

então 00 , x , onde é um escalar arbitrário, também irá satisfazer.

A Equação 4.20 pode ser reescrita como

0xIA (4.21)

que representa um conjunto de equações lineares homogêneas. Para uma solução não-

trivial para este conjunto de equações, a seguinte condição deve ser satisfeita:

0IA (4.22)

A equação 4.22 representa uma equação polinomial real de grau n :

0

0

1

1 bbbn

n

n

n (4.23)

onde:

AA

A

AA

de tedeterminan

de ordem de principais menores as todas de soma

de traço

0

1

22111 tr

1

b

rb

aaaab

b

rn

n

i

iinnn

n

(4.24)

A Equação 4.23 é chamada de equação característica de A , ou de equação de

autovalor. A matriz IA é chamada de matriz característica. Há n raízes para a

Equação 4.23, contando a multiplicidade. Estas são os n autovalores de A , n ,, 2 .

Para um autovalor i soluciona-se o conjunto de equações lineares (homogêneas)



0xIA para determinar os componentes de autovetor ix correspondente. Em

geral, i e ix são números e vetores ou reais ou complexos, respectivamente.

Se a matriz A é simétrica, então:

1. Os autovalores são reais;

2. Os autovetores são todos mutuamente ortogonais, isto é, 0 i

T

jj

T

i xxxx .

Como exemplo, a polinômio característico da matriz:

12

21A

é

2

12

21

do qual

13 e

são os autovalores. Nota-se que ambos os autovalores são reais. Para 3 , tem-se:

2

1

2

1

3

3

12

21

x

x

x

x

ou 111 ,x é um autovetor. Para 12 , tem-se:

2

1

2

1

12

21

x

x

x

x

ou 112 ,x é um autovetor. Testes dois vetores são ortogonais, se forma que

01121 xxT



4.7 FORMAS BILINEAR E QUADRÁTICAS

Se A é uma matriz quadra de ordem n e yx e são dois vetores ns-dimensionais

arbitrários, então o escalar:

yAx Tu (4.25)

é chamado de forma bilinear. Se, entretanto, a matriz A é também simétrica, então,

xAx Tv (2.26)

é chamado de forma quadrática como núcleo A .

A matriz A é chamada positiva definida se 0x todo para 0v , e escreve-se

0A . Se x todo para 0v e nele existe um vetor x para o qual é assegurada igualdade,

é dito que A é positiva semi-definida (ou definida não-negativa) e indica-se por 0A . Há

definições correspondentes para negativa definida e não-positiva definida. Se existem

vetores 21 xx e tais que 2211 0 xAxxAx TT e , diz-se que A é indefinida.

Para uma matriz positiva definida A é necessário e suficiente que

0,,0,02221

1211

11 Aaa

aaa (4.27)

Assim a matriz

411

131

123

B

é positiva definida, pois 03 e

054932

23

e



0105192113 B .

A forma quadrática representa, em geral, uma seção cônica de algum tipo.

Considerando o caso bi-dimensional por simplicidade, tem-se xAx T com A simétrica,

ou

bxaxxaxa 2

2222112

2

111 2

que é a equação de uma elipse.



CAPÍTULO V

5 TRANSFORMAÇÕES LINEARES

5.1 DEFINIÇÃO

Uma transformação linear geral de um vetor x para um outro vetor x tem a

forma:

txMx . (5.1)

Cada elemento do vetor x é uma combinação linear dos elementos de x mais uma

translação representada por um elemento do vetor t . A matriz M é chamada de matriz

de transformação, que em geral é retangular, e t é chamado vetor de translação. Por

simplificação, a matriz M será restrita como sendo quadrada e não singular, sendo que,

desta forma, existe relação inversa, ou seja,

txMx 1 (5.2)

Neste caso, é chamada transformação afim. Embora ambas as Equações 5.1 e 5.2 serem

aplicadas para vetores de grandes dimensões, neste texto a discussão será limitada, sem

deixar a generalidade, para os casos mais práticos de espaços bi e tridimensionais onde

os elementos da transformação podem ser descritos geometricamente.

5.2 TRANSFORMAÇÃO LINEAR BIDIMENSIONAL

Há seis transformações elementares, cada uma representado um simples efeito,

que são geometricamente representados nas Figuras 5.1-6. Inicialmente, quatro vetores

representando os cantos de um quadrado são referenciados pelo sistema de coordenadas

yx, (linhas sólidas nas Figuras 5.1-6). Todas as seis transformações elementares são

realizadas sobre o quadrado e as coordenadas resultantes yx , são desenhadas para

mostrar o efeito de cada transformação na posição, orientação, tamanho e forma do



quadrado (linhas pontilhadas nas Figuras 5.1-6). Os efeitos da transformação podem ser

observados ou pela visualização da nova figura no mesmo sistema de coordenadas, ou

pelo movimento do sistema de coordenadas.

5.2.1 TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES

5.2.1.1 TRANSLAÇÃO

IMtxMx (5.3)

O quadrado é transladado na direção x e na direção y , como mostrado na Figura

5.1. De outra forma, o quadrado sólido permanece e os eixos coordenados são

transladados na direção positiva, como mostrado pelos eixos pontilhados na Figura 5.1.

y y’,

x x’,

Figura 5-1 – Translação



5.2.1.2 ESCALA UNIFORME

IuUMxMx

u

u

0

0 (5.4)

O quadrado é ampliado por uma escala uniforme u , cujo resultado de todos os

quatro pontos coordenados são multiplicados por u . De outra forma, o quadrado sólido é

referenciado a um sistema de coordenadas escalado na mesma posição, com as

unidades ao longo dos eixos u1 da unidade original.

y y’,

x x’,

Figura 5-2 – Escala Uniforme

5.2.1.3 ROTAÇÃO

cos

cos

sen

senRMxMx (5.5)

O quadrado mantém sua forma, mas é rotado por sobre a origem do sistema de

coordenadas. Na Figura 5.3, o sistema de coordenadas também é rotado por para

coincidir com os eixos originais. Os eixos pontilhados na Figura 5.3 mostram os eixos



transformados que se refere ao quadrado sólido original. Os elementos de R são

derivados da figura inserida no canto superior direito da Figura 5.3 como segue:

senrsenrsenry

sensenrrrx

coscos

coscoscos

y y’,

x x’,45º

P

y’y

x

x

y’

y

x

x’

r

Figura 5-3 – Rotação

ou

cos

cos

ysenxy

senyxx

ou

y

x

sen

sen

y

x

cos

cos

A matriz R é ortogonal própria, 1 e 1 RRR

T. Matrizes de rotação não

alteram o comprimento do vetor, assim yx . Considerando quadrado do comprimento

do vetor

xxxMMxxMxMxxTT TTT



ou

0IMMxTT

que para uma solução não trivial significa que IMMT , assim mostrando que M é

uma matriz ortogonal.

5.2.1.4 REFLEXÃO

10

01FMxMx (5.6)

A Figura 5.4 mostra a reflexão do eixo x (isto é, sobre o exio y ). F é ortogonal

imprópria, 11 FFF e .

y y’,

x x’,

Figura 5-4 – Reflexão

5.2.1.5 FATOR DE ESCALA NÃO UNIFORME

2

1

0

0

s

sSMxMx (5.7)



O quadrado é transformado em um retângulo como mostrado na Figura 5.5.

y y’,

x x’,

Figura 5-5 – Fator de Escala Não-Uniforme

5.2.1.6 TORÇÃO

0

1 KMxMx (5.8)

O quadrado é transformado em um paralelogramo, como mostrado na Figura 5.6.



y y’,

x x’,

Figura 5-6 – Torção

5.2.2 TRANSFORMAÇÃO DE QUATRO PARÂMETROS

y

x

t

t

y

x

sen

sen

u

u

y

x

cos

cos

0

0 (5.9)

ou

y

x

tyuxsenuy

tysenuxux

cos

cos (5.10)

ou

y

x

t

t

y

x

ab

ba

y

x (5.11)

A transformação inversa é dada por:

y

x

ty

tx

sen

sen

uy

x

cos

cos1 (5.12)

ou



y

x

ty

tx

ab

ba

bay

x22

1 (5.13)

Esta transformação tem quatro parâmetros: uma escala uniforme, uma rotação e duas

translações.

5.2.3 TRANSFORMAÇÃO DE SEIS PARÂMETROS

y

x

y

x

t

t

y

x

sen

senk

s

s

y

x

cos

cos

10

1

0

0 (5.14)

y

x

yy

xx

t

t

y

x

ssens

ksks

y

x

cos

cossinsincos

ou

y

x

t

t

y

x

dc

ba

y

x (5.15)

Os seis parâmetros desta transformação são: duas escalas, um fator de torção

(afinidade), uma rotação, e duas translações. A transformação inversa é dada por

2

11

ty

tx

ac

bd

cbday

x (5.16)

5.3 TRANSFORMAÇÃO LINEAR TRIDIMENSIONAL

Similar ao caso bidimensional, a transformação afim em três dimensões pode ser

dividida em várias transformações elementares: translação, escala uniforme, rotação,

reflexão, escala não uniforme, etc. A abordagem será limitada, entretanto, à

transformação de sete parâmetros, que é amplamente empregada na Fotogrametria. Ela

é composta de uma mudança de escala uniforme, três translações e três rotações. Serão

abordadas primeiramente as rotações em um espaço tridimensional.



5.3.1 ROTAÇÕES DE UM SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAIS

Existem três rotações elementares, uma sobre cada um dos três eixos

coordenados. Elas são freqüentemente executadas em seqüência, um após a outra. Um

conjunto de três destas seqüências de rotações é mostrada na Figura 5.7, onde x é o

sistema original, x é o sistema rotacionado uma vez e x é o sistema rotacionado duas

vazes. A convenção é a seguinte:

111... x sobre o eixo x , rotação positiva avançando de zy para ;

222... y sobre o eixo y , rotação positiva avançando de xz para ;

333... z sobre o eixo z , rotação positiva avançando de yx para .



Figura 5-7 – Rotações em um sistema Cartesiano

Cada uma das rotações elementares é representada na forma matricial como segue:

z

y

x

z

y

x

z

y

x

x

xx

xx

M

cossin0

sincos0

001

(5.17)



onde zyx e , são as coordenadas anteriores à rotação, e zyx e , são as coordenadas

após a rotação. De forma similar, a rotação de y sobre o eixo y e z sobre o eixo

z são dadas por:

z

y

x

z

y

x

sen

sen

z

y

x

y

yy

yy

M

cos0

010

0cos

(5.18)

z

y

x

z

y

x

sen

sen

z

y

x

z

y

x

z

zz

zz

M

cos0

cos0

001

(5.19)

As três rotações das Equações 5.17-19 são geralmente referidas com rotações

elementares. Elas podem ser usadas para construir qualquer conjunto de seqüência

rotações. A matriz total de rotação é obtida pela substituição sucessiva:

xMxMMMx XYZ (5.20)

na qual M é uma função de três ângulos de rotação ZYX e , . O conjunto de rotações

mais comumente usado é dado pelos símbolos e , onde ZYX ,, .

Neste caso, a matriz M , cujas rotações do sistema de coordenadas do espaço objeto

ZYX ,, paralelo ao sistema de coordenadas da foto zyx ,, é dado por:

coscoscos

coscoscoscoscos

coscoscoscoscoscos

sensen

sensensensensensensen

sensensensensensen

Rk (5.21)

na qual é a rotação sobre o eixo X , é a rotação sobre o eixo Y e é a rotação

sobre o eixo Z . A matriz M é ortogonal, uma vez que MMM e , são todas

ortogonais.



5.3.2 TRANSFORMAÇÃO DE SETE PARÂMETROS

Esta transformação contém sete parâmetros: um mudança de escala uniforme,

três rotações e , , e três translações 321, ttt e . Ela tem a forma geral

txMx (5.22)

A matriz ortogonal M é uma função de somente três parâmetros independentes,

no caso, os ângulos ZYX e , . Esta transformação é útil para diferentes aplicações

como, orientação absoluta, conexão de modelos, etc. A matriz ortogonal M pode ser

construída por outros métodos além das rotações seqüências. Dois destes métodos são

abordados a seguir.

5.3.2.1 CONSTRUINDO M POR UMA ROTAÇÃO SOBRE UMA LINHA

Esse método é também denominado de rotação de corpo sólido. Dado um objeto

tridimensional em duas orientações diferentes, há uma linha no espaço sobre a qual o

objeto pode ser rotacionado por um ângulo finito para mudá-lo de uma orientação para

outra. Se essa linha tem cossenos diretores e e o ângulo de rotação , a matriz de

rotação é dada por:

coscos1sencossencos

sencoscoscos1sencos

sencossencoscoscos1

M (5.23)

5.3.2.2 UMA DERIVAÇÃO DE M PURAMENTE ALGÉBRICA

Os métodos de obtenção de M envolvem funções trigonométricas de ângulos

que podem ser incômodos por não serem lineares. O método seguinte evita essa



desvantagem e permite a construção de M pela computação de seus elementos como

funções racionais de três parâmetros independentes. A seguinte matriz de torção

simétrica contém somente três parâmetros, cba e ,, :

0

0

0

ab

ac

bc

S (5.24)

Uma matriz ortogonal M pode ser obtida a partir de S usando:

SISISISIM 11

(5.25)

na qual I é a matriz independente. Pode-se provar que M é ortogonal mostrando que

IMM T. Usando o método da adjunta, 1

SI é calculado como

2

2

2

222

1

1

1

1

1

1

cacbbca

acbbcba

bcacbaa

cbaSI (5.26)

e então

222

222

222

222

1

12

212

221

1

1

cbaacbbca

acbcbacba

bcacbacba

cbaSISIM (5.27)



CAPÍTULO VI

6 TRANSFORMAÇÕES NÃO-LINEARES


Além das transformações lineares discutidas anteriormente, na Fotogrametria são

utilizadas transformações não lineares, em ambos os casos de bi e tridimensionais. Em

suas dimensões são usadas: a transformação de oito parâmetros e a transformação

polinomial.

6.2 TRANSFORMAÇÃO DE OITO PARÂMETROS

11 00

222

00

111

ybxa

cybxay

ybxa

cybxax (6.1)

Esta transformação projetiva do sistema de coordenadas x para o x tem os oito

parâmetros de transformação 2100 ,,,, caba . Sua inversa é dada por:

10222010

12202210

102222010

102201

bxbayabybaxa

xcayaycaxay

bxbayabybaxa

bxbycbybxcx

(6.2)

6.3 POLINOMIAIS GERAIS BIDIMENSIONAIS

2

5

2

43210

2

5

2

43210

ybxbyxbybxbby

yaxayxayaxaax

(6.3)



Estas polinomiais podem ser estendidas para potências superiores em yx e . Um

caso especial disto é a forma conforme.

A propriedade conforme preserva ângulos entre interseção de linhas após a

transformação. Se for imposto as duas condições

x

y

y

x

y

y

x

x

e (6.4)

nas equações polinomiais gerais, têm-se

yxAyxAyAxABy

yxAyxAyAxAAx

2

2

3

22

4120

4

22

3210 (6.5)

Nota-se que os primeiros três termos depois do sinal de igual são os similares aos quatro

parâmetros da transformação dada nas Equações 5.9-13.

6.4 POLINÔMIOS GERAIS TRIDIMENSIONAIS

zxczycyxcycxczcycxccz

zxbzybyxbybxbzbybxbby

zxazyayxayaxazayaxaax

876

2

5

2

43210

876

2

5

2

43210

876

2

5

2

43210

(6.6)

Podem-se estender estes polinômios para ordens superiores. De forma contrária

ao caso bidimensional, a transformação conforme não existe em três dimensões além da

primeira ordem (ou linear) que é o caso da transformação de sete parâmetros, Equação

5.22. Uma aproximação que só existe para termos de segundo-grau é obtida impondo

condições semelhantes àquelas na Equação 6.4 em todo par de coordenadas na

Equação 6.6. Isto faz com que a projeção do espaço tridimensional em cada um dos três

planos seja conforme. Impondo



x

z

z

x

y

z

z

y

x

y

y

x

z

z

y

y

x

x

e ,

(6.8)

nos polinômios gerais da Equação 6.7 tem-se

022

202

220

222

0

222

0

222

0

xzEzyFzyxGzAyDxCCz

yxEzyGzyxFzDyAxBBy

yxFxzGzyxEzCyBxAAx

(6.9)



CAPÍTULO VII

7 LINEARIZAÇÃO DE FUNÇÕES NÃO-LINEARES


As equações que expressam as condições geométrica e física da um problema de

fotogrametria são freqüentemente não lineares, tornando sua solução direta difícil e

onerosa. Estas equações são linearizadas usando expansão de séries, usualmente séries

de Taylor, que em geral é dada como segue:

n

x

n

n

xx

xdx

yd

nx

dx

ydx

dx

dfxfxf

000 !

1

!2

1 2

2

20

(7.1)

Isto dá o valor de y em xx 0 dando o valor da função 0xf em 0x . A

Equação 7.1 inclui ainda termos de ordem superior, e por esta razão costuma-se eliminar

0

y

x

a

b

c

x

f x + x( )

0

0 ( )y +j x

y

0x

y=f x( )

y=y +j x0

Figura 7-1 – Linearização



os termos superiores a segunda ordem usando-se a aproximação com correspondência

nos termos.

xjyxdx

dfxfxf

x

00

0

(7.2)

A técnica de linearização é demonstrada na Figura 7.1. A curva representa a

função não linear original xf , considerando que a linha reta representa a forma

linearizada dada pela Equação 7.2. A linha é tangente à curva num dado ponto a ,

00 , yx . Quando x é dada (ou calculado), o valor da função pode ser aproximado pele

ponto b , cuja ordenada é xjy 0 , e o valor exato da função não linear é o ponto c ,

com ordenada xxf 0 . O erro que surge ao se usar a forma linear é o segmento de

linha bc .

7.2 UMA FUNÇÃO PARA DUAS VARIÁVEIS

A expansão da série de Taylor de uma função de duas variáveis é:

21

,2,1

2

2

,

2

2

22

1

,

2

1

2

2

,2

1

,1

0

2

0

12102

01

02

01

02

01

02

01

02

01

02

01

!2

1

!2

1,, xx

x

y

x

yx

x

yx

x

yx

x

yx

x

yxxfxxfy

xxxxxxxxxxxx

(7.3)

Pela forma linearizada da Equação 7.3 é truncada em

2211

0 xjxjyy (7.4)

onde

02

01

02

01

,2

2

,1

1

0

2

0

1

0 ,

xx

xx

x

yj

x

yj

xxfy



A Equação 7.4 pode ser reescrita na forma matricial como

2

1

21

0

x

xjjyy

ou

xJ yxyy 0 (7.5)

onde

21 x

y

x

yyyx

xJ

é a Jacobiana de y com respeito à x .

7.3 DUAS FUNÇÕES PARA UMA VARIÁVEL

A primeira ordem das aproximações das séries de Taylor para duas funções de x

são dadas por

xjyxfy

xjyxfy

2

0

222

1

0

111 (7.6)

ou

xyx Jyy0

onde

0

0

2

1

2

1

0

2

0

2

0

1

0

1

x

xyx

dx

dy

dx

dy

j

j

xfy

xfy

J



7.4 DUAS FUNÇÕES PARA DUAS VARIÁVEIS

Duas funções para duas variáveis podem ser linearizadas por

222121

0

22122

212111

0

12111

,

,

xx

xx

jjyxxfy

jjyxxfy (7.7)

ou

2

1

2221

1211

0

2

0

1

2

1

x

x

jj

jj

y

y

y

y (7.8)

ou

xyx Jyy0

(7.9)

onde

02

01

02

01

02

01

02

01

,2

2

,1

2

,2

1

,1

1

0

2

0

12

0

2

0

11

0

2

0

10

,

,

xxxx

xxxx

yx

x

y

x

y

x

y

x

y

xxf

xxf

y

y

x

yJ

y

7.5 CASO GERAL DE m FUNÇÕES PARA n VARIÁVEIS

As linearizações apresentadas previamente podem ser generalizadas para m

funções de n variáveis por

nn

n

n

xxxfy

xxxfy

xxxfy

,,,

,,,

,,,

212

2122

2111

(7.10)



A forma generalizada da Equação 7.10 torna-se

xJyy yx

0 (7.11)

onde

n

n

mmm

n

yx

nm

n

n

m

x

x

x

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

xxxf

xxxf

xxxf

y

y

y

2

1

21

1

2

1

1

1

00

2

0

1

00

2

0

12

00

2

0

11

0

0

2

0

1

0

000

000

,,,

,,,

,,,

x

x

yJ

y

xxx

xxx

A Equação 7.11 representa a forma geral com 0, yy sendo vetores 1m , J uma

matriz Jacobiana nm , e x um vetor 1n . As Equações 7.2, 7.5 e 7.7-9 são casos

especiais da Equação 7.11.

7.6 DERIVAÇÃO DE UM DETERMINANTE

Algumas condições fotogramétricas ou estão na forma de um determinante, ou

contém determinantes. A derivada parcial de um determinante pp em relação a um

escalar é composta da soma de p determinantes, cada um tendo os elementos de

somente um linha ou uma coluna substituídos por suas derivadas. Assim, dado o

determinante pd DDD 21 no qual pii ,,2,1, D , representam suas p colunas,

então



xxxx

d p

pp

DDDD

DDDD

D 21

212

1 (7.12)

Uma expressão similar à Equação 7.12 pode ser escrita na qual são derivadas

parcialmente as linhas ao invés das colunas de d .

7.7 DERIVAÇÃO DE UM QUOCIENTE

Um quociente de uma função assim como WUg / aplica-se em muitas

equações de condição fotogramétricas. A derivada parcial de g com relação à uma

variável x é dada por

x

W

W

U

x

U

Wx

g 1 (7.13)

Ambos, WU e podem ser funções gerais, incluindo determinantes, de várias variáveis.



BIBLIOGRAFIA

JACKOWSKI, A. J.; SBREGA, J. B.; Fundamenals of Modern Matematics. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1970.

KARLSON, P.; A Magia dos Número. Tradução de Henrique Carlos Pfeifer, Eugênio Brito e Frederico Porta, Editora Globo, Rio de Janeiro, 1961.

LIPSCHUTZ, S.; Álgebra Linear. Departamento de Matemática, Temple University, Traduzido por Ribeiro Baldino, Instituto de Matemática da Universidade do Rio Grande do Sul, Editora McGraw-Hill do Brasil, LTDA, São Paulo, 1974.

MIKHAIL, E. M.; BETHEL, J. S.; MCCLONE, J. C.; Introduction to Modern Photogrammetry. John Wiley & Sons, Inc. New York, 2001

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