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8/8/2019 amostra analise

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Universidade Federal da Bahia - UFBAInstituto de Matem atica - IM

Curso de An alise Real Vol 1, Elon Lages Lima

Exerc cios Resolvidos

An alise Real

Belmiro Galo da Silva

Salvador-Bahia

Julho de 2010


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Captulo 1

Questao 1

Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades :1o X A e X B2o Se YA e YB ent ao YX.Prove que X = AB.Demonstra cao.

ABXSeja

A

B, temos que

A ou

BSe A, ent ao X pois AX pela 1

a propriedadeSe B, ent ao X pois BX pela 1

a propriedadeCom isso, conclumos que qualquer que seja AB, temos que XPortanto A BX

XABSeja Y = A

B, com isso, temos:AY, pois AABBY, pois B ABPortanto pela 2 a propriedade, temos que X YOu seja, XAB

De e de conclumos que X= A B.

Questao 3

Sejam A, BE. Prove que A B =se, e somente se, ABc. Prove tambemque AB= E se, e somente se, A

c

B.a ) A B = ABcb) AB = E A

c

BDemonstra cao.

a )

A B = AB cVamos supor que AB

c. Seja xA, por defenicao de complementar xAc.

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Pela suposi cao xBc e pela denicao de complementar xB.

Com isso, temos que xA e xB. Logo xA B .Conclumos que A B = A

B c

A B = Seja xA, temos que xB

c e por denicao de complementar x B, com isso xA exB.Logo, xAB.Como o x e arbritrario. A B = .

De e de conclumos queA B = AB c.

b) AB = E A

c

B

Vamos supor que Ac B. Seja xAc. Por deni cao de complementar xA.

Pela suposi cao xB, por denicao de complementar xBc .

Como, xA e xB, x nao pertence a uni ao dos conjuntos pois ele nao e elemento denenhum dos dois conjuntos, e portanto a uni ao e diferente de E, que e o espa co todo.

Com isso, AB = E .

Ac

B

A

B = E Vamos dividir essa implica cao em dois casos:(i) para AB E (ii) para AB E

(i) e trivial pois E e o espaco todo e portanto ele contem qualquer outro subconjunto.(ii) Vamos supor que E AB , existe x2E tal que x2AB , ou seja, x2A ex2

B.

Como x2A por denicao de complementar x2Ac

Conclumos que x2Ac e x2B . Logo A

c

B . Contadi cao.E AB .De (i) e (ii) conclumos que AcB AB = E.De

e de

conclumos que A

B = E se, e somente se, Ac

B .

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Questao 4

Dados A, B E. P rove que A B A B c = Demonstra cao.

A B c = ABV amos supor que AB . Tome xA tal que xB , temos que xA

c por denicao decomplementar. E temos tambem que se xB por denicao de complementar xB

c

Com isso, xA e xBc , logo xA B c

A B c = , Armacao verdadeira por contrapositiva.

AB A B c = Seja xA. Como AB, x BPor deni cao de complementar xA

c e x

B c

Com isso, xA e xBc. Logo X A B c

A B c = De e de conclumos que AB A B c = .

Questao 5

De exemplo de conjuntos A, B, C tais que:(AB ) C = A(B C )Constru c ao.

Um exemplo simples seria: A = 3 N, B = 4N, C = 2N, sendo N o conjunto dos naturais.Para melhor compreensao, temos um outro exemplo:Seja A =

{3,6,9,12

}; B =

{4,8,12,16

}; C =

{2,4,6,8,10,12,14,16

}(AB ) = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 16}, com isso, (AB ) C = {4, 6, 8, 12, 16}Por outro lado,(B C ) = {4, 8, 12, 16}, com isso, A(B C ) = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 16}

Mostramos acima, exemplos de que ( AB ) C = A(B C )4


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Questao 6

Se A, X E sao tais que A X = e AX = E . Prove que X = AcDemonstra cao.

X A

c

Vamos supor que X Ac . Logo existe 1X tal que 1A. Por deni cao de comple-

mentar 1A Logo, se 1X e 1A, 1A X Com isso, A X = . Contradi cao, pois A X = X A

c

X A

c

Vamos supor que AcX.Logo existe 2A

c tal que 2X .Por deni cao de complementar de A, 2A. Como 2X e 2AAX = E . Contradi cao, pois AX = E . X A

c

De e de conclumos que X = Ac

Questao 10

Seja A B = ( AB )(B A). Prove que A B = A C implica B = C . Examinea validez de um resultado analogo com,ou em vez de .Demonstra cao:

(A B )(B A) = ( A C )(C A)? B = C , ou seja,(i)(A

B )

(B

A) = ( A

C )

(C

A)

? B

C e(ii )(A B )(B A) = ( A C )(C A)? B C

(i ) Vamos supor que B C . Logo existe xB tal que xC .Caso 1 . (xA)Como xA e xB , x(A B ) e x(B A)Logo x(A B )(B A) (*)Como xA e xC , x(A C )Logo x

(A

C )

(C

A) (**)

De (*) e (**)(A B )(B A) = ( A C )(C A)

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d)AA , B B A B A B .Demonstra cao:

a)(AB ) C (A C )(B C )(?)Tome x(

A

B ) C , ou seja, x = ( a, c ) tal que a(AB ) e cC .Como a(AB ), aA ou aB .Temos que x = ( a, c ) com aA e cC , x(A C ) oux = ( a, c ) com aA e cC , x(A B )Conclumos que x(A C )(B C ) (AB ) C (A C )(B C )(AB ) C (A C )(B C )(?)Tome x(A C )(B C )x(

A C ) ou x(B C )Da, conclumos que x = ( a, c ) com aA e cC oux = ( a, c ) com aA e cC Como x pode ser:(a, c ) com aA, dizemostambem que aAB , cC (*), ou(b, c) com bB , dizemos tambem que bAB, cC (**)De (*) e (**) temos que x(AB ) C. (A

B )

C = ( A

C )

(B

C ).

b)(A B ) C (A C ) (B C )(?)Seja x(AB ) C .x = ( a, c ) com a(A B ) e cC .Se a(A B ), aA e aBComo aA e cC ent ao (a, c )A C e como aB e cC ent ao (a, c )B C ent ao x

(A

C )

(B

C ).

(A B ) C (A C ) (B C )(?)Tome x(A C ) (B C )x = ( d, c) tal que (d, c)A C e (d, c)B C Como (d, c)A C , dA e cC e como (d, c)B C , dB e cC .Assim, dA e dB , ou seja, dA BDa, x(A B ) C. (A

B )

C = ( A

C )

(B

C ).

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c)(A B ) C = ( A C ) (B C )(A B ) C (A C ) (B C )(?)Seja x(A B ) C x = ( h, c ) tal que h(

A B ) e cC Como h(A B ), hA e hBComo hA e cC , x(A C )Como hB e cC , x(B C )Se x(A C ) e x(B C ); x(A C ) (B C )(A B ) C (A C ) (B C )(?)Seja x(A C ) (B C )Ou seja, x(A C ) e x(B C )Podemos dizer que como x(

A C ), x = ( h, c ), hA e cC e como x(B C )hB pois cC .Da, hA e hB . h(A B ) e cC x(A B ) C .Com isso, conclumos que (A B ) C = ( A C ) (B C ).

d)AA , B B A B A B .Seja a

A e b

B .

Dado x = ( a, b)A B temos que aA e bB

Mas como AA , aA e como B B , bB .Logo (a, b)A B .Da, A B A B .

Questao 12

Dada a fun cao f : A B :a)Prove que se tem f (X Y )f (X ) f (Y ), sejam quais forem os subconjuntos X e Y de A;b) Mostre que se f for injetiva ent aof (X Y ) = f (X ) f (Y ) para quaisquer X, Y con-tidos em A.Demonstra cao:

a)f (X ) f (Y )f (X Y )tome wf (X ) f (Y ). Temos que wf (x) e wf (Y )Como w

f (x).x1

X tal que f (x1) = w e comowf (Y ).

x1Y [Pois se x1 fosse elemento de Y, f (x1) = w e wf (Y )]

Ent ao x1X Y pois x1X e x1Y . Logo f (x1)f (X Y )8


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wf (X Y ).b) Vamos mostrar de f (X Y ) = f (X ) f (Y ), valendo agora a injetividade. Poisa primeira inclus ao foi mostrada no item anterior.

f (X Y )f (X ) f (Y )(?)Seja w1f (X Y ). Logo! (pois e injetivo) x1X Y tal que f (x1) = w1Da, x1X e x1Y .f (x1)f (X ) e f (x1)f (Y )Como f e injetivo se f (x1) = f (x2)x1 = x2Como f (x1) = w. y1Y , f (y1) = w.Da, wf (X ) e wf (Y ) wf (X ) f (Y ).

Captulo 2

Questao 9a

Sejam X e Y conjuntos nitos. Prove que card (X Y ) + card (X Y ) =card (X ) + card (Y ).

Demonstra cao:Usaremos para indicar cardinalidade.Sabemos que X Y = X (Y X ) com isso, conclumos que (X Y ) = (X )+ (Y X )(*)Sabemos tambem que Y = ( X Y )(Y X )Com isso, conclumos que (Y ) = (X Y ) + (Y X )Obtemos, (Y X ) = (Y ) (X Y ) e substituindo em (*). Temos:(X Y ) = (X ) + (Y ) (X Y )

Da, (X Y ) + (X Y ) = (X ) + (Y ).

Captulo 4

Questao 1

Se limx n = a ent ao lim |x n | = |a|. De um contra-exemplo mostrando que arecproca e falsa, salvo quando a = 0.

Demonstra cao:Observe que: Se lim x n = a , temos que > 0, n 0

N tal que n > n 0 |xn a| < .Ora, xn = x n a + a |x n | |xn a|+ |a| |x n | |a| |xn a|

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Por outro lado, a = a x n + xn |a| |a xn |+ |xn | |a| |x n | |a xn |Portanto, ||x n | |a| | |x n a| < . Ou seja, lim |xn | = |a|Um Contra-exemplo e:

xn = ( 1)n . |xn | = 1 e lim |xn | = 1. Mas lim xn .

Questao 2

Seja lim xn = 0. Para cada n , ponha yn = min {|x1|, |x2|, ..., |xn |}. Prove queyn 0.Demonstra cao:

(yn ) e uma sequencia monotona. De fato:

y1 = |x1|,y2 = |x1| se |x1| |x2| ou y2 = |x2| se |x2| |x1|Assim y2 y1y3 = |x1| se |x1| |x3| ou y3 = |x2| se |x2| < |x1| e |x2| < |x3| ou y3 = |x3| se |x3| < |x1| e|x3| < |x2|Portanto, y3 < y 2 < y 1.Prosseguindo desta forma, ( yn ) sera uma sequencia ou decrescente, ou nao-crescente.Como lim x n = 0 > 0, n 0

N tal que n > n 0 |xn 0| < . Ouseja, |x n | < .Assim, os termos de (yn ) tambem tende a zero. Desta forma yn 0.

Questao 3

Se limx2n = a e lim x2n 1 = a , prove que lim xn = aDemonstra cao:

Como lim x2n = a e lim x2n 1 = a ent ao > 0, n 1, n 2N tal que n > max {n 1, n 2}

|x2n

a

|< 2 e

|x2n

1

a

|< 2

Portanto, pela desigualdade triangular:

|x2n a|+ |x2n 1 a| < |x2n + x2n 1 a| < |x2n a|+ |x2n 1 a| < |xn a| <

Questao 6

Se limx n = a e lim(xn yn ) = 0 ent ao lim yn e igual a a .Demonstra cao:Como lim x n = a temos que > 0,n 1

N tal que n > n 1 |x n a| < 210


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e como lim(xn yn ) = 0 temos que > 0, n 2N tal que n > n 2 |xn yn | < 2 .Tomando n 0 = max {n 1, n 2}. Como |yn a| = |yn a + xn xn | = |x n a (xn yn )| |xn a|+ |xn yn | < 2 + 2 = Com isso, |yn a| < , > 0, n > n 0. Ou seja, lim yn = a

Questao 7

Seja a = 0 . Se lim yna = 1 ent ao lim yn e igual a aDemonstra cao:

Como lim yna = 1. Temos que > 0, n 0N tal que n > n 0 |yna 1| < |a |

Mas, |yn

a 1| = |yn

a

a | =|yn a |

|a | com a = 0Portanto, |yna 1| = |yn a ||a |

< |a | |yn a| < , ou seja,lim yn = a .

Questao 10

Sejam kN e a > 0. Se a x n n k para todo n , ent ao lim nx n = 1

Demonstra cao:

a

x n

n k ,

n

Temos que, na nxn n

n klim na 1 e lim

nn k 1Pelo teorema do Sandwiche, lim nxn = 1

Questao 11a.

Sejam xn = (1 + 1n )n e yn = (1 1n +1 )n +1 . Mostre que lim xn .yn = 1 e deduza da

que lim(1 1n )

n= e1.

Demonstra cao:

xn .yn = (1 + 1n )n .(1 1n +1 )n +1 = (n +1)

n

n n .n n +1

(n +1) n +1 =n

n +1

lim xn .yn = 1Sabendo que lim

x+ (1 +

1n

)n = e e lim xn .yn = 1.Temos que, lim

x+ xn . lim

x+ yn = 1

Com isso, e. limx+

yn = 1

limx+

yn =1

e

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Questao 14

Seja a 0, b 0. Prove que limx+ na n + bn = max {a, b}.

Demonstra cao:

Em particular, a > b . Com isso, ba < 1(a n + bn )

1n = [a n .[1 + ( ba )

n ]]1n = a. [1 + ( ba )

n ]1n

como lim[1 + ( ba )n ]]

1n = 1. Temos que lim

x+ na n + bn = a

Questao 20

Seja x1 = 1 e ponha xn +1 = 1 + 1x n . Verique que |x n +2 xn +1 | 12 |xn +1 xn |.Conclua que existe a = lim x n e determine a .Demonstra cao:

(i) A priori vamos mostrar que xn .x n +1 2 para todo nN()x n temos que xn 1, pois temos para n = 1, xn = x1 = 1 e para n > 1 vamos terque xn = x1 com x n = 1 + 1x n 1 1Com isso, xn .x n +1 = xn .(1 + 1x n ) = x n + 1. De () temos que x n .x n +1 = xn + 1 2

(ii) Agora vamos mostrar que |x n +1 x n | 12 |xn x n 1||xn +1 xn | = |1 + 1x n 1 1x n 1 | = |x

n 1 x nx n .x n 1 | e como mostramos em (i) , xn .x n +1 2, logo|x

n 1 x nx n .x n 1 | 12 .|xn x n 1|

(iii) Por m, vamos concluir que a sequencia e convergente.(Dica: Lembre-se que o m oduloda soma de varios numeros reais e menor ou igual que a soma dos modulos desses numerose da mostramos que a sequencia e de Cauchy).

|xn +2 xn +1 | 12 .|xn +1 xn | ( 12 )2.|x n x n 1| ... ( 12 )n .|x2 x1|Vamos provar por inducao: para n = 1

|x3 x2| ? 12 .|x2 x1||x3 x2| = |32 2| = 12 , por outro lado, 12 .|x2 x1| = 12 |2 1| = 12Com isso, 12 12Assuimimos que e v alido para n . |x n +2 xn +1 | ( 12 )n .|x2 x1|.Vamos provar que vale para n + 1

|xn +3 xn +2 | = |1 + 1x n +2 1 1x n +1 | = |x n +1 x n +2x n +2 .x n +1 | 12 .|x n +2 xn +1 | ( 12 ).( 12 )n .|x2 x1| =( 12 )

n +1 .|x2 x1|Logo, pelo pricpio de indu cao a arma cao e valida.Se a sequencia e de Cauchy entao sabemos que ela converge.

|xn + k xn | = |x n + k x n + k1 + x n + k1 xn + k2 + ... xn +1 + x n +1 xn | 12


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|xn + k x n + k1|+ |xn + k1 xn + k2|+ ... + |x n +1 xn | [(12 )n + k + ( 12 )n + k1 + ... + ( 12 )n ].|x2 x1|

( 12 )n

112.|x2 x1| = ( 12 )n 1.|x2 x1| <

Agora, sabemos que a sequencia x n converge para um certo a , pois ela e de Cauchy.

Logo se a sequencia xn converge para a a sequencia xn +1 tambem converge para a .Com isso, xn +1 = 1 + 1x na = 1 + 1a =

a +1a . Logo, a

2 a 1 = 0= 1 + 4 = 5

a = 152 e como limxn = a > 0 entao a =1+ 5

2 .

Questao 42

Se a n converge e a n > 0 entao ( a n )2 converge.Demonstra cao:

Ou usar Dirichlet, ou a n < limx+ a n = 0n 0

N tal que a n < 1,n n 0Com isso, 0 < a n < 10 < (a n )

2 < a n < 1Pelo teste da comparacao a n converge.

Captulo 5

Questao 1

Um conjunto AR e aberto se, e somente se, cumpre a seguinte condicao:se

uma sequencia ( xn ) converge para um ponto aA ent ao xn A para todo n suciente-mente grande.Demonstra cao:

Suponha que ( x n ) converge para um ponto aA ent ao > 0, n 0N tal que

n > n 0.

|xn a| < , ou seja, x n (a , a + ). Como A e aberto entao existe um intervaloaberto ( a1, b1) tal que a(a 1, b1)A. Logo xn (a , a + )(a1, b1)An sucientemente grande. Suponha que xA qualquer. Entao a sequencia xn = x 1n tende a x para um nsucientemente grande. Logo

> 0, n 0N tal que

xn(

x , x + ), como xn Apela ida demonstrada acima temos que ( x , x + )A, ou seja, x(x , x + )A

x

A. Logo A e aberto.

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Questao 2

Tem-se lim x n = a se, e somente se, para todo aberto A contendo o ponto a ,existe n 0

N tal que n > n 0 implica xn A.Demonstra cao:

Se limx n = a A ent ao > 0, n 0 N tal que n > n 0 implica xn

(a , a + ). Como a A que e aberto. (a 1, b1) A tal que a (a 1, b1). to-mando = min (a a1, b a 1), x n (a , a + )A. Suponha que qualquer que sejao aberto A contendo o ponto a , existe n 0

N

tal que n > n 0 implica xn A. Em particular x n (

a , a + ), > 0 logoa < x n < a + |xn a| < .Portanto, segue que lim x n = a .

Questao 3

Seja B R aberto. Entao, para todo x

R, o conjunto x + B = {x + y; yB }eaberto. Analogamente, se x = 0, ent ao o conjunto x.B =

{x.y ; x

A, y

B

}sao abertos.

Demonstra cao:

Se x = 0 x + B = B que e aberto. Caso contrario, para cada a x + B temosque b

R tal que a = x + b como B e aberto entao existe um intervalo ( i, j ) tal queb(i, j ) B . Logo a (x + i, x + j ) x + B i , j

R. Portanto x + B e aberto.Analogamente, seja ax.B ent ao bB tal que a = x.b. Desta forma como bB quee aberto existe um intervalo ( i, j )B tal que b(i, j ), logo a(x i , x j )x + B .

Questao 4

Sejam A, B abertos. Entao os conjuntos A + B = {x + y; x A, y B }eA.B = {x.y ; xA, y B }sao abertos.Demonstra cao:

Seja aA + B qualquer, entao existe um xA e yB tal que a = x + y. Como A e Bsao abertos existem intervalos ( a 1, a 2)A e (b1, b2)B tal que x(a1, a 2) e y(b1, b2).Logo a (a1 + b1, a 2 + b2)A + B . Desta forma A + B e aberto. Analogamente, seja

a

A.B ent ao x

A e yB tal que a = x.y . Logo a(

a 1.b1, a 2.b2)A.B

A.B e aberto.

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Questao 5

Para quaisquer X, Y R, tem-se int (X Y ) = int (X ) int (Y ) e

int (X

Y )

int (X )

int (Y ). De um exemplo em que a inclus ao nao se reduza a umaigualdade.Demonstra cao:

(i) int (X Y )int (X ) int (Y )Seja x int (X Y ) existe um intervalo ( a, b) tal que x (a, b) X Y , ouseja, x (a, b) X e x (a, b) Y . Logo x int (X ) e x int (Y ). Com isso,xint (X ) int (Y ).(ii) int (X Y )int (X ) int (Y )Seja x

int (X )

int (Y )

existe um intervalo ( a, b) tal que x

(a, b)

X ex(a, b)Y . Com isso, x(a, b)X Y xint (X Y )De (i) e (ii) temos que int (X Y ) = int (X ) int (Y )

(iii) int (X Y )int (X )int (Y )Seja x int (X )int (Y )x int (X ) ou x int (Y ). Com isso um intervalo ( a, b)tal que x(a, b)X ou x(a, b)Y xint (X Y )

(iv) A outra inclus ao nao e valida, pois considere X = [1, 3] e Y = [3, 7], tomandox = 3int (X Y ), porem xint (X ) e xint (Y )

Questao 6

Se AR e aberto e aA ent ao A {a}e aberto.

Demonstra cao:

Seja xA {a}como A e aberto, existe um intervalo ( a1, b1) tal que x(a 1, b1)A,se a

(a1, b1) ent ao x

(a1, a )

(a, b1)

A

{a

}, logo x

(a 1, a ) ou x

(a, b1) amboscontidos em A {a}.Se a(a 1, b1) ent ao x(a 1, b1)A {a}. Qualquer que seja o caso A {a}e aberto.

Questao 11

Se X F e F e fechado ent ao X F .Demonstra cao:

Como F e fechado, por deni cao F = F . Como X F

X

F = F

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Questao 12

Se limx n = a e X = {x1, x 2,...,x n , ...}ent ao X = X {a}.Demonstra cao:

Como lim xn = aa e ponto de aderencia de um sequencia xn X . Logo aX . Destaforma X {a}X .Suponha que bX tal que bX {a}ent ao yn X tal que lim yn = b o que euma contradicao, pois se isso ocorresse nao existiria lim xn = a , pois teriamos uma sub-sequencia de x n tendendo para b, segundo a denicao do conjunto X . Logo X {a}= X .

Questao 14Sejam F, G conjuntos fechados distintos tais que F G seja um intervalo fechado

(limitado ou n ao). Ent ao F = ou G = .Demonstra cao:

Suponha que F = e G = e I = F G limitado (poderia nao ser)Seja c = inf( G), com isso, cGcG (pois G e fechado)Dado aF temos que a = c. Para qualquer xI tal que I 1 = {a < x < c }xF Mas, cI 1cF . Contradi cao. Logo F = ou G = OBS.: Se I n ao for limitado ent ao ou F ou G ter a limite inferior ou superior.

Questao 23

Um conjunto n ao-vazio X R e um intervalo se, e somente se, satisfaz a condi cao

seguinte: a, bX,a < x < b xX .Demonstra cao:

SejaX R um intervalo. Sem perda de generabilidade, suponha

X = [a, b], destaforma. xint (X )a < x < b . Com isso, xX .Suponha que, a, bX e a < x < b xX . Logo X = [a, b] que e um intervalo.De e de conclumos a equivalencia.

Questao 26

Se F e fechado e A e aberto entao F

A e fechado.

Demonstra cao:

Vamos mostrar que F A = F A16


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Sabemos que F AF A e trivial.Agora vamos mostrar que F AF ASuponha agora xF A logo x e ponto de aderencia de alguma sequencia ( xn F A.Ou seja, (x n )

F com (xn )A. Como F = F , x

F e xA. Logo x

F A.Portanto, F AF A.Desta forma F A e fechado.

Questao 32

Para todo X R, X e fechado.

Demonstra cao:Vamos mostrar que X = X Ora, X X Seja xX ent ao existe (xn )nN X tal que lim xn = xComo (xn )X n N, existe n k > n tal que (xn k , x n k + ) (X {x}) = > 0 e xn k xDesta forma xX .Logo, X X e portanto X e fechado.

Questao 34

(X Y ) = X Y .Demonstra cao:

Seja x(X Y ) ent ao > 0 (x , x + ) [(X Y ) {x}] = Ora, ( X Y ) {x}= ( X {x})(Y {x})Logo (x

, x + )

[(X

{x

})

(Y

{x

})] =

. Ent ao[(x , x + ) (X {x})][(x , x + ) (Y {x})] = . Com isso,(x , x + ) (X {x}) = ou x , x + ) (Y {x}) = Logo xX ou xY . Portanto xX Y .Seja agora xX Y ent ao xX ou xY Sem perda de generalidade suponha xX Logo, > 0 (x , x + ) (X {x}) = Como, (x , x + ) (X {x})X X Y x(X Y )Portanto, ( X

Y )

X

Y

De e de temos que (X Y ) = X Y

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Questao 35

Todo ponto de um conjunto aberto A e ponto de acumulacao de A.Demonstra cao:

Seja aA, com A aberto ent ao existe um intervalo aberto ( a1, b1) tal que a(a1, b1)A.Com isso, > 0, (a , a + ) (a 1, b1) = E observe que (a , a + ) (a 1, b1) = {a}se = 0Logo, > 0, (a , a + ) [(a1, b1) {a}] = Com isso, (a , a + ) [A {a}] = , pois (a 1, b1) {a}APortanto, aA

Questao 37

Seja X R tal que X X = . Mostre que existe, para cada x X , um

intervalo aberto I x , de centro x , tal que x = yI x I y = .Demonstra cao:

Como X X = xX temos que > 0 tal que (x , x + ) (X {x}) = Logo, para cada xX conseguimos I x = ( x , x + ) para um tal dado.Desta forma, se x = y temos que I x I y = .Pois, I x (X {x}) = .

Captulo 8

Questao 3

Seja p : R R um polinomio de grau mpar. Existe cR tal que p (c)=0.Demonstra cao:Seja p polinomio de grau mpar. p(x)= a n x n + ... + a2x2 + a1x + a0 com a n = 0 e (n mpar) p (x)= na n x n 1 + ... + 2 a 2x + a 1 com a n = 0 e (n-1 par) p (x)= n. (n 1)a n xn 2 + ... + 2 a 2 com a n = 0 e (n-2 mpar)Pelo teorema Fundamental da algebra, p tem n-2 razes. Como as razes complexas saoconjugadas, vai existir pelo menos um c tal que p (c)=0.

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