Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática · (6) onde, é o fluxo concatenado . é a relutância . é o comprimento do percurso magnético . é a área da seção transversal

MODELAGEM DE TRANSFORMADOR MONOFÁSICO SATURÁVEL BASEADO EM UM MODELO ALGÉBRICO DE

HISTERESE

ROMMEL P. FRANÇA, NIRALDO R. FERREIRA*, LUIZ A. L. DE ALMEIDAᵼ

*Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia

Rua Caetano Moura, Federação, BA, Brasil

E-mails: [email protected],[email protected],

ᵼUniversidade Federal do ABC - UFABC

Santo André, SP, Brasil

E-mail: [email protected]

Abstract This paper presents a core-type single-phase voltage transformer model considering the non-linearity of the magnetic

core using an algebraic model of hysteresis (L²P) as alternative to representation of circuits containing saturable inductors and saturable ferromagnetic cores. The models are implemented in Matlab/Simulink® and are used for analysis of inrush currents and

secondary voltages.

Keywords L²P algebraic hysteresis model, ferromagnetic core, single-phase transformer modelling.

Resumo Este trabalho apresenta um modelo de transformador monofásico do tipo núcleo envolvido considerando as não linea-

ridades do núcleo magnético utilizando um modelo algébrico de histerese (L²P) como alternativa para representação de circuitos

contendo indutores e núcleos ferromagnéticos saturáveis. Os modelos são implementados em Matlab/Simulink® e são utilizados para analise das correntes de partida e das tensões secundárias.

Palavras-chave Modelo algébrico de histerese L²P, núcleo ferromagnético, modelagem de transformador monofásico.

1 Introdução

Os sistemas elétricos e eletrônicos possuem com-

ponentes ou equipamentos que podem conter induto-

res e núcleos magnéticos. Esse componentes, quando

energizados, produzem uma resposta dinâmica com

características transitórias que podem ser danosas ao

sistema ou simplesmente causar distúrbios no circuito

elétrico e na rede em que estão inseridos. A predição

do comportamento dinâmico desses elementos não

lineares através de modelos matemáticos permite,

portanto, prever situações reais e contribui para o

desenvolvimento de técnicas que minimizem a ocor-

rência de distúrbios provocados pelas não linearidades

desses elementos.

Os indutores associados a núcleos magnéticos a-

presentam o fenômeno físico da histerese magnética e

perdas por corrente no núcleo. Diversos estudos con-

sideram modelos de histerese baseados nas teorias de

(Preisach, 1935) e (Jiles-Atherton, 1983), que utilizam

equações integrais ou diferenciais. O modelo de histe-

rese L²P (de Almeida et al., 2003) possui característi-

ca fenomenológica e é descrito por equações algébri-

cas, que demandam menor custo computacional quan-

do comparados com os modelos tradicionais.

2 Modelo de transformador monofásico

Um transformador monofásico do tipo núcleo en-

volvido baseado em (Theocharis et al., 2005) pode ser

representado pelo circuito elétrico da Figura 1, em que

, , , , representam a resistência, a indutân-

cia, o número de espiras, a corrente e a tensão primá-

rias, respectivamente, e , , , , as grandezas

secundárias. A resistência de valor conhecido é

utilizada para medição da corrente primária. O fluxo

magnético é obtido considerando-se as não lineari-

dades do núcleo magnético. As equações do circuito

elétrico podem ser escritas na forma matricial con-

forme a Eq. (1).

r1 r2L1 L2

N1 N2V1 V2

Φ

R

i1 i2

Vr

Figura 1. Transformador monofásico.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

931

(6)

onde,

é o fluxo concatenado

é a relutância

é o comprimento do percurso magnético

é a área da seção transversal do núcleo magnético

é a relutância dinâmica

a permeabilidade magnética dinâmica

O modelo do transformador monofásico da Figu-

ra 1 será utilizado para a simulação do transformador

da Tabela 1, aplicando-se tensão primária 110V em

uma bobina (V) e considerando-se como secundário

outra bobina (V) do lado oposto, conforme Figura 2.

Tabela 1. Dados do transformador.

Fabricante Equacional Elétrica e Mecânica LTDA

Potência 1kVA

Tensão nominal primária 110 / 220 V

Tensão nominal secundária 110 / 220 /

330 / 440 V

Corrente nominal primária 9,1 / 4,6 A

Corrente nominal secundária 2,3 A (em 440V)

Resistência por bobina 1,9 Ω

Reatância por bobina 8,4 Ω

Perda aproximada no ferro 40 W

Perda aproximada no cobre 80 W

Material do núcleo Aço-silício

Tabela 2. Grandezas medidas ou calculadas.

Indutância primária (L1) 0,0233 H

Indutância secundária (L2) 0,0233 H

Número de espiras da bobina

primária (N1) 126

Número de espiras da bobina

secundária (N2) 126

Área da seção transversal do

núcleo magnético (Ac) 0,004 m²

Resistência para medição da

corrente primária (R)

10 Ω

(a) Vista frontal.

(b) Vista superior.

Figura 2. Dimensões do transformador monofásico utilizado.

3 Modelo de histerese

3.1 Modelo L²P

O modelo de proximidade ao laço principal (L²P)

possui apenas quatro parâmetros, complexidade ma-

temática reduzida e baixo custo computacional, que

possibilita uma rápida implementação numérica e um

simples procedimento para estimação dos parâmetros:

(7)

sendo a magnetização de saturação, o campo

magnético, o campo coercitivo, uma constante

dependente do material e .

A Eq. (7) representa o laço principal da histerese.

Para considerar os laços menores e a acomodação, a

equação geral do modelo é dada por

(8)

em que é o campo de proximidade, é o campo

de proximidade em um ponto de reversão e

é uma função de proximidade definida por:

(9)

onde é uma constante arbitrária. Um procedimento

para estimação dos parâmetros deste modelo pode ser

visto em (de Almeida et al., 2003). A constante é

obtida pela minimização da função objetivo, erro

médio quadrático, da Eq. (10).

(10)

Resultados da aplicação do Modelo L²P

A Eq. (7) é utilizada para ajustar os dados expe-

rimentais ao laço principal da histerese. As figuras 3 e

4 mostram resultados diferentes baseando-se na alte-


932

ração do parâmetro , que representa a magnetiza-

ção de saturação. Ainda na Eq. (7), os parâmetros e

podem ser substituídos pelas variáveis e ,

respectivamente. Os resultados preliminares indica-

ram que o modelo L²P não se ajusta completamente

aos dados experimentais, de forma que para uma in-

clinação definida, o ajuste do parâmetro mini-

miza erros mas mantém uma divergência durante a

região de transição para a saturação. As figuras 3 e 4

mostram que há uma pequena inclinação na região de

saturação dos dados experimentais, dificultando o

ajuste pelo modelo L²P. Isso ocorre devido ao método

utilizado para a aquisição dos dados, em que a corren-

te primária incorpora as correntes parasitas, e não

apenas a corrente de magnetização. Este artigo não

considera as perdas no núcleo por correntes parasitas.

Nesse caso, um melhor ajuste do modelo de histerese

aos dados experimentais obtidos implica otimizar o

modelo, sem, no entanto, acrescentar um modelo

específico para representação das correntes parasitas.

Para o núcleo ferromagnético analisado, ensaios

mostraram que quando se obtinha parâmetros ótimos

para o L2P de forma a produzir uma boa descrição na

região central do laço da histerese, o modelo divergia

na região de saturação. Já quando a histerese era bem

descrita na região de saturação, o modelo deixava de

representar este fenômeno com precisão na região em

torno da origem e na região de "joelho".

Figura 3. Ajuste ao laço principal de histerese pelo modelo L²P.

Parâmetros: ; ; ; .

Figura 4. Ajuste ao laço principal de histerese pelo modelo L²P.

Parâmetros: ; ; ; .

Uma forma de reduzir essas discrepâncias é adi-

cionar outros parâmetros ao modelo L2P original, a

fim de considerar a componente reversível da histere-

se magnética. Uma alternativa é considerar a magneti-

zação total como a soma de suas componentes rever-

sível e irreversível.

Baseado nessas condições, este artigo propõe a

modificação da equação do modelo L²P, de forma que

o ajuste seja corrigido.

3.2 Modelo L²P - expansão para L²Pα

A seção anterior apresentou um problema de ajus-

te do modelo L²P aos dados experimentais, decorrente

da utilização da corrente primária total, desconside-

rando-se um modelo independente para as correntes

parasitas. Além disso, o modelo L²P considera apenas

a componente irreversível da magnetização. Nesta

seção, propõe-se acrescentar a magnetização reversí-

vel ao modelo de histerese L²P. Para isso, será consi-

derado o modelo de histerese de Duhem definido na

forma (Visitin, 1994):

(11)

cujas funções e são arbitrárias, e

(12)

(13)

A equação (11) é também chamada de equação

independente da taxa. A estrutura de modelo da equa-

ção (13) produz duas situações possíveis:

(14)

(15)

Uma representação alternativa para (11) pode ser

obtida fazendo-se

) (16)

sendo . O operador de histerese definido

por (11), e colocado na forma (16), é chamado de

operador de Duhem, denotado por

(17)

O operador de Duhem é apresentado na forma de

uma estrutura matemática geral, que define uma classe

de modelos. Entretanto, não há metodologia disponí-

vel que permita determinar as funções e

para um fenômeno de histerese específico.

Isto se deve ao fato de que cada aplicação requer uma

estrutura de modelo bastante peculiar, e a proposta

original de Duhem não estabelece métodos para o

desenvolvimento destas estruturas. Em (Jiles-

Atherton, 1983) foi proposto um modelo para a histe-

rese ferromagnética em que o campo externo provoca

o crescimento de um certo domínio em detrimento de


933

outros. Jiles postulou que o processo de magnetização

é o resultado médio destas interações, conectando as

irregularidades do movimento de domínios com a

perda de energia no processo de magnetização. O

modelo é baseado na hipótese de que a magnetização

é formada de uma componente irreversível e

uma componente reversível , diretamente rela-

cionada com a curva de Langevin

(18)

sendo a magnetização de saturação, e cons-

tantes que dependem do material e o campo magné-

tico aplicado. Jiles considerou que a proporção entre

e é constante para qualquer valor no plano

de fase , e a magnetização total é dada por

(19)

cuja proporção dependente do material pertence ao

intervalo . No modelo de Jiles a componen-

te irreversível é definida através de um operador

de histerese do tipo Duhem denotado por , que resulta em uma magnetização total dada

por:

(20)

De maneira similar ao modelo de Jiles, o modelo

L²P pode ser também classificado como um operador

de histerese do tipo Duhem, denotado de . Dessa forma, objetiva-se uma estrutura diferente da

proposta por Jiles para a representação das componen-

tes de magnetização. Neste caso, propõe-se que a

componente reversível da magnetização seja , e a magnetização total definida como

(21)

Essa é uma estrutura mais simples que a proposta

por Jiles, acrescentando-se apenas o parâmetro adi-

cional em relação ao modelo original L²P.

Sendo assim, o modelo L²Pα pode ser definido

por:

(22)

A incorporação da magnetização reversível ao

modelo, através da inclusão de mais uma variável,

melhora consideravelmente o ajuste do modelo aos

dados experimentais, porém sem um aumento expres-

sivo da carga computacional. A estimação do novo

parâmetro é feita de forma semelhante seguindo um

problema de minimização do erro médio quadrático

( ), de acordo com a Eq. (10).

4 Resultados de simulação e discussão

A seção 3.1 apresentou o modelo de histerese L²P

e os resultados obtidos para a sua aplicação ao ajuste

dos dados experimentais do transformador da Tabela

1. Os novos resultados obtidos aplicando-se o modelo

de histerese L²Pα mostram que o erro é reduzido qua-

se que pela metade quando comparado com o modelo

L²P original, conforme observado nas Figuras 4 e 5,

demonstrando a eficácia do modelo proposto. A Eq.

(22), portanto, mostra-se mais eficiente para represen-

tar o comportamento da histerese magnética do ele-

mento não linear em estudo.

A Figura 6 mostra o processo de acomodação do

laço de histerese que ocorre no instante da energiza-

ção do transformador com o secundário em aberto. O

modelo L²Pα é capaz de reproduzir este efeito. A

tensão secundária e a corrente primária total são obti-

das em simulação e comparadas com os dados expe-

rimentais.

Observa-se na Figuras 7 e 8 que o modelo L²Pα

possui um bom potencial para representação das não

linearidades de transformadores monofásicos de nú-

cleo envolvido, constituindo uma alternativa simples e

de fácil implementação para a analise de circuitos

contendo indutores e núcleos ferromagnéticos. Não

obstante, este modelo pode ser utilizado também em

transformadores a núcleo envolvente, ou ainda em

transformadores trifásicos e de grande porte, tais quais

os utilizados nos sistemas de distribuição. Para isso,

deve-se reconsiderar a geometria e outros aspectos

(Theocharis et al., 2009).

Figura 5. Ajuste ao laço principal de histerese pelo modelo L²Pα.

Parâmetros: ; ; ; ;

.

Figura 6. Relação B(H) com processo de acomodação. Tensão máxima aplicada 138V, fase 0º. Parâmetros do modelo L²Pα:

; ; ; .


934

Figura 7. Tensão secundária, com transformador a vazio. Tensão

máxima aplicada 138V, fase 0º. Parâmetros do modelo L²Pα:

; ; ; .

Figura 8. Corrente de partida com secundário em aberto. Tensão

máxima aplicada 138V, fase 0º. Parâmetros do modelo L²Pα:

; ; ; .

5 Conclusão

Este trabalho apresentou um modelo de transfor-

mador monofásico simplificado, do tipo núcleo en-

volvido, utilizando um modelo algébrico de histerese

para representação das não linearidades do núcleo

ferromagnético saturável. Optou-se pela utilização do

modelo de histerese L²P devido este não possuir equa-

ções diferenciais. A analise dos resultados prelimina-

res mostrou que o modelo L²P não produzia um bom

ajuste na transição para a saturação da curva de histe-

rese. Para otimizar o modelo, foi proposta uma altera-

ção à equação do L²P para que fosse incorporada a

magnetização reversível, atribuindo-se o nome L²Pα

para diferenciá-lo do modelo original. Ao final, são

analisadas as correntes e tensões geradas pela simula-

ção da energização do transformador a vazio, compa-

rando-se os resultados obtidos pelos modelos e pelos

dados experimentais, evidenciando o aumento de

eficiência obtido pelo modelo L²Pα.

Agradecimentos

À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Ba-

hia e à Universidade Federal da Bahia, pela aquisição

de equipamentos utilizados nesta investigação.

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