Analisando situações complexas através de simulação

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Analisando Situações Complexas através de Simulação

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 – [email protected] Pág. 1 de 13

1. Introdução

A maioria, senão todas as decisões de negócio, estão sujeitas a um certo grau de incerteza e subjetividade. Na tentativa de reduzir a incerteza a níveis toleráveis, e tornar o processo decisório tão objetivo quanto possível, é comum buscar‐se um modelo que permita de alguma forma quantificar a incerteza e tratá‐la matematicamente..

Um modelo é sempre uma aproximação da realidade e sua adequação é refletida por sua capacidade de fornecer predições corretas sobre os eventos futuros. Tendo em vista que somente o passado é conhecido, qualquer modelo se baseia em dados históricos e na presunção de que, se uma determinada combinação de fatores (ou entradas) no passado produziu um resultado (ou saída) X, esta mesma combinação de fatores produzirá no futuro um resultado X’ semelhante a X.

Em geral, não é razoável esperar que X’ seja igual a X porque (a) na prática é impossível considerar todos os fatores que influenciam X, e; (b) mesmo para os fatores conhecidos, é quase sempre impossivel reproduzir exatamente as mesmas condições que produziram X.

2. Incorporando a incerteza ao modelo

2.1 Introduzindo as variáveis aleatórias

Para que a incerteza inerente aos acontecimentos do dia a dia seja levada em conta no modelo, este deve ser formulado com base nos conceitos da Teoria das Probabilidades. Tanto as entradas como as saídas podem ser encaradas como variáveis aleatórias, possivelmente descritas por distribuições de probabilidades conhecidas, as quais, por sua vez, são também modelos matemáticos que procuram descrever a realidade.

Uma variável aleatória é definida nos seguintes termos:

Se E é um experimento cujos resultados possíveis estão contidos no espaço amostral S, e X uma função que associa um número real X(e) a cada resultado e S, então X(e) é denominada uma variável aleatória.

Por exemplo, num lançamento de duas moedas o espaço amostral é

S = {HH, HT, TH, TT}

onde H e T representam cara (“head”) e coroa (“tail”).

A função X = {número de coroas no lançamento de duas moedas} associa os números reais

• 0 ao evento HH => X(HH)=0 • 1 aos eventos HT e TH => X(HT) = X(TH) = 1 • 2 ao evento TT => X(TT)=1

Neste exemplo, a variável aleatória é discreta, visto que somente pode assumir determinados valores em seu intervalo de variação.

A variável aleatória X(e) assume os valores xi {0, 1, 2} com probabilidades p(xi) = {0,25; 0,50; 0,25}, respectivamente; p(xi) denomina‐se função probabilidade de xi e o conjunto de pares de valores {xi;p(xi)} caracteriza a distribuição de probabilidades de xi.

De maneira geral, se uma variável aleatória discreta xi pode assumir n valores, a função probabilidade p(xi) deve atender a duas condições:



2.2 Avaliando as probabilidades

No caso do lançamento das duas moedas a determinação das probabilidades de cada resultado é imediata, já que são conhecidos todos os eventos do espaço amostral e estes são equiprováveis (todos tem a mesma probabilidade de ocorrer).

Por conseguinte, torna‐se possível utilizar a definição clássica da probabilidade:

Sendo A um evento do espaço amostral S, constituído por N eventos equiprováveis, a probabilidade do evento A é dada por

onde um evento favorável é aquele no qual o evento A ocorre.

Por exemplo, no lançamento de um dado não‐viciado, o espaço amostral S consiste de 6 eventos elementares igualmente prováveis.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Considerando o evento A = {resultado par}, vê‐se que A ocorre quando o resultado é um dos três eventos elementares {2}, {4} ou {6}; logo P(A) = 3/6 = 0,5.

Nas situações da vida real, a menos que nossa ocupação seja lançar dados ou moedas, não se conhecem os resultados possíveis, e estes não são equiprováveis. Neste caso, é forçoso recorrer a uma definição de probabilidades conhecida como empírica ou frequentista:

Sendo A um evento do espaço amostral S de um experimento E, repetido n vezes, a probabilidade do evento A é dada por:

Assim, é de se supor que em n lançamentos de um dado não‐viciado ocorram aproximadamente n/2 resultados pares, sendo a aproximação cada vez melhor a medida que são feitos mais e mais lançamentos.

Por definição, a probabilidade empírica é baseada em dados históricos, portanto sua aplicação em situações de negócio exige a coleta e análise destes dados. Tanto a abordagem clássica como a empírica são consideradas objetivas, no sentido em que se baseiam em dados, fatos e formulações matemáticas.

Uma terceira abordagem seria a atribuição subjetiva de probabilidades aos eventos, tomando como base percepções, sentimentos, conhecimentos e experiência em situações similares. Julgamentos como “Creio que a chance de conquistarmos aquele cliente é de 80%”, “Há 60% de chances de que o time A vença o time B amanhã”, etc., expressam uma avaliação subjetiva de uma situação única.

A abordagem subjetiva pode ser a única alternativa, pois com frequência ocorrem situações novas, sobre as quais não se dispõe de dados históricos. É, no entanto, conveniente observar que a avaliação subjetiva padece de duas limitações:

• é dificil defendê‐la quando posta em questão, e; • é susceptível de ser influenciada por idéias pré‐concebidas, desejos, inclinações e interesses

pessoais.

2.3 Valor esperado e diagrama de árvore



O conceito de valor esperado pode ser muito útil para tomada de certas decisões. Se uma variável aleatória discreta x pode assumir n valores (x1, x2, ... xn), cada um deles com probabilidade pi, então o valor esperado da variável é

Por exemplo, no lançamento de um dado não viciado o valor esperado é:

É claro que nenhum lançamento do dado produzirá o resultado 3,5. Porém, se o dado for lançado um grande número de vezes, a média de todos os resultados será um valor próximo a 3,5. Portanto, o valor esperado pode ser entendido como a média de longo prazo do experimento.

O valor esperado pode também ser utilizado como uma das entradas no processo de tomada de decisões de negócio. Por exemplo, considere‐se a situação descrita no parágrafo a seguir.

Exemplo 1: Uma empresa deve adquirir um determinado equipamento, no valor de R$200.000,00 para habilitar‐se a participar de uma concorrência. Caso vença a concorrência, seu lucro será de R$600.000,00; entretanto, se vier a perdê‐la, o equipamento adquirido ficará sem uso e deverá ser revendido, acarretanto um prejuízo estimado de R$100.000,00. O gerente da empresa julga que a probabilidade de vencer a concorrência é de 75%. Qual o valor monetário esperado da decisão?

Solução: Há 75% de chances de obter um lucro de R$600.000,00 e 25% de chances de que ocorra um prejuízo de R$100.000,00. Logo, o valor monetário esperado da decisão é:

que favorece a decisão de investir no equipamento para entrar na concorrência.

Observe que rendimentos, lucros (e outras entradas monetárias) são representados por valores positivos, ao passo que despesas, prejuízos (e outras saídas monetárias) são representados por valores negativos.

Um outro tópico relevante para a discussão que se segue, é o diagrama de árvore ou árvore de decisão. Este diagrama é uma forma de apresentar as alternativas possíveis em uma dada situação. É constituído de nós (que são os pontos onde se originam as alternativas) e ramos (linhas que interligam os nós); é comum que sobre os ramos se anote a probabilidade associada àquela alternativa

Em geral, percorrer os nós da esquerda para a direita corresponde a acompanhar a sequência temporal dos eventos. O final da árvore tem tantos ramos quantos são os resultados possíveis e a probabilidade de cada resultado é o produto das probabilidades associadas aos ramos que levam até aquele resultado.

A Figura 1 mostra o diagrama de árvore que representa três lançamentos sucessivos de uma moeda; neste diagrama em cada nível os resultados são designados por HLi ou TLi , onde L representa o nível e i é um número sequencial.

O diagrama de árvore está baseado no chamado princípio da multiplicação, que estabelece que se uma escolha consiste de n passos, sendo possíveis k1 escolhas no primeiro passo, k2 escolhas no segundo passo, etc., então o número total de escolhas é



Root0

H11

H21H31

T31

T21H32

T32

T1

H22H33

T33

T22H34

T34

50%

50%50%

50%

50%50%

50%

50%

50%50%

50%

50%50%

50% Figura 1 ‐ Diagrama de árvore para 3 lançamentos de uma moeda

3. Exemplo de aplicação – árvore de decisão e método de Monte Carlo

Expostos estes conceitos, passa‐se a realizar a análise de uma situação de negócios, descrita no Exemplo 2.

Exemplo 2: Uma indústria possui três fornecedores para determinada peça, todos eles localizados no Exterior. A fábrica recebe um pedido urgente de um cliente e, para atender este pedido, necessita receber um lote desta peça em não mais que 15 dias. Procurando tomar a decisão com maiores chances de acerto, o comprador analisou o histórico destes fornecedores, e obteve o quadro mostrado na Tabela 1.

ANÁLISE DE ORDENS POR FORNECEDOR A B CEmbarcadas entre 3 e 6 dias após a colocação do pedido 75,00% 80,00% 87,50%Embarcadas entre 7 e 10 dias após a colocação do pedido 20,00% 16,00% 11,25%Embarcadas entre 11 e 30 dias após a colocação do pedido 5,00% 4,00% 1,25%Com tempo de trânsito entre 3 e 4 dias 93,33% 70,00% 50,00%Com tempo de trânsito entre 5 e 10 dias 5,00% 25,00% 45,00%Com tempo de trânsito entre 11 e 30 dias 1,67% 5,00% 5,00%Documentação OK – liberação alfandegária em 1 dia 96,67% 99,00% 100,00%Com problemas de documentação – liberação entre 5 e 30 dias 3,33% 1,00% 0,00%Lotes aceitos – 1 dia adicional 99,00% 99,60% 98,75%Lotes rejeitados ‐ substituição do lote em 15 a 30 dias 1,00% 0,40% 1,25%

Tabela 1‐ Desempenho dos fornecedores A, B e C

Para realizar esta análise têm‐se como certo que: (a) o histórico reflete com razoável fidelidade a situação corrente, e; (b) os eventos são independentes, ou seja, por exemplo, o tempo de trânsito não é influenciado pelo tempo de atendimento da ordem.

Ademais, um exame detalhado dos dados revelou que para cada evento o número de dias de duração se distribui de maneira uniforme, ou seja, por exemplo, se o evento pode durar de 5 a 10 dias, as probabilidades de que dure 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 dias são iguais.

Com base nestas informações, qual seria o fornecedor mais adequado para receber o pedido?



Solução: Para tomar uma decisão baseada nos dados disponíveis, o comprador poderia montar uma árvore de decisão e calcular, para cada fornecedor, a probabilidade de receber as peças no prazo. A seqüência de eventos pode ser melhor entendidas considerando o fluxo mostrado na Fig. 2.

Figura 2 – Fluxo do processo de suprimento da peça



Os tempos (OTS, TT, CC e LIR) são as variáveis aleatórias envolvidas e, baseado na Tabela 1, é possível descrevê‐las para o fornecedor A, por exemplo, conforme abaixo:

Calculando os valores esperados para as variáveis OTS, TT, CC e LIR para cada um dos fornecedores, e levando em conta que o tempo de entrega é a soma destas quatro variáveis, é possível determinar qual dos fornecedores apresenta o menor valor esperado para esta soma. Estes cálculos estão sumarizados na Tabela 2, na qual P(X=x) representa a probabilidade de que a variável aleatória assuma o valor x (1, 2, ..., 30); a linha E(x) contém os valores esperados para cada variável e, finalmente, a linha S[E(x)] mostra a soma dos quatro valores (OTS + TT + CC + LIR).

P(X=x)

x FORNECEDOR A FORNECEDOR B FORNECEDOR C

OTS(x) TT(x) CC(x) LIR(x) OTS(x) TT(x) CC(x) LIR(x) OTS(x) TT(x) CC(x) LIR(x)

1 0,0000 0,0000 0,9667 0,9900 0,0000 0,0000 0,9900 0,9960 0,0000 0,0000 1,0000 0,9875

2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,1875 0,4667 0,0000 0,0000 0,2000 0,3500 0,0000 0,0000 0,2188 0,2500 0,0000 0,0000

4 0,1875 0,4667 0,0000 0,0000 0,2000 0,3500 0,0000 0,0000 0,2188 0,2500 0,0000 0,0000

5 0,1875 0,0083 0,0013 0,0000 0,2000 0,0417 0,0004 0,0000 0,2188 0,0750 0,0000 0,0000

6 0,1875 0,0083 0,0013 0,0000 0,2000 0,0417 0,0004 0,0000 0,2188 0,0750 0,0000 0,0000

7 0,0500 0,0083 0,0013 0,0000 0,0400 0,0417 0,0004 0,0000 0,0281 0,0750 0,0000 0,0000

8 0,0500 0,0083 0,0013 0,0000 0,0400 0,0417 0,0004 0,0000 0,0281 0,0750 0,0000 0,0000

9 0,0500 0,0083 0,0013 0,0000 0,0400 0,0417 0,0004 0,0000 0,0281 0,0750 0,0000 0,0000

10 0,0500 0,0083 0,0013 0,0000 0,0400 0,0417 0,0004 0,0000 0,0281 0,0750 0,0000 0,0000

11 0,0025 0,0008 0,0013 0,0000 0,0020 0,0025 0,0004 0,0000 0,0006 0,0025 0,0000 0,0000

12 0,0025 0,0008 0,0013 0,0000 0,0020 0,0025 0,0004 0,0000 0,0006 0,0025 0,0000 0,0000

13 0,0025 0,0008 0,0013 0,0000 0,0020 0,0025 0,0004 0,0000 0,0006 0,0025 0,0000 0,0000

14 0,0025 0,0008 0,0013 0,0000 0,0020 0,0025 0,0004 0,0000 0,0006 0,0025 0,0000 0,0000

15 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

16 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008



P(X=x)

x FORNECEDOR A FORNECEDOR B FORNECEDOR C

17 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

18 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

19 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

20 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

21 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

22 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

23 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

24 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

25 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

26 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

27 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

28 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

29 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

30 0,0025 0,0008 0,0013 0,0006 0,0020 0,0025 0,0004 0,0003 0,0006 0,0025 0,0000 0,0008

E(x) 6,1000 3,9839 1,5495 1,2150 5,7800 5,3500 1,1650 1,0860 5,1500 6,1500 1,0000 1,2688

S[E(x)] 12,848350 13,381000 13,568750

Tabela 2 – Probabilidades dos tempos de duração para cada v.a.

A Tabela 2 mostra que a média do tempo de importação das peças é menor para o fornecedor A. Entretanto, apenas a média não é suficiente para uma decisão, pois é preciso saber também qual a dispersão da média ou, neste caso, qual a porcentagem de embarques recebidos em 15 dias ou menos, de cada um dos fornecedores. Para reforçar este ponto, vale o seguinte raciocínio. Se um fornecedor tivesse feito 100 embarques com prazo igual a 10 dias e 50 embarques com prazo de 16 dias, o prazo médio seria de 12 dias, com ⅓ dos prazos acima de 15 dias; da mesma forma, um outro fornecedor que tivesse feito 75 embarques com prazo de 13 dias e 75 embarques com prazo de 14 dias, teria um prazo médio de 13,5 dias, com 100% dos prazos abaixo de 15 dias. É claro que o desempenho do segundo fornecedor é, nesta situação, mais adequado que o do primeiro, mesmo sendo a média um pouco maior. Uma das formas de responder a questão colocada acima é traçar o diagrama de árvore para cada fornecedor, verificar os caminhos através do diagrama que conduzem a resultados menores ou iguais a 15 dias, e somar as probabilidades associadas a cada um destes resultados. Conforme dito anteriormente, ao construir o diagrama, é comum representar‐se os eventos por círculos e conectar cada evento ao que lhe segue por linhas, indicando em cada linha a condição que esta representa e sua probabilidade. Numa primeira aproximação, pode‐se considerar para cada um dos ramos o valor médio da v.a. naquela condição. A árvore de decisão para o Fornecedor A inicia‐se com OTS, que possui três alternativas: (a1) 3 ≤ OTS ≤ 6, valor médio 4,5, probabilidade 75,00%; (b1) 7 ≤ OTS ≤ 10, valor médio 8,5, probabilidade 20,00% e; (c1) 11 ≤ OTS ≤ 30, valor médio 20,5, probabilidade 5,00%. Cada uma das linhas leva ao evento TT, onde há novamente três alternativas: (a2) 3 ≤ TT ≤ 4, valor médio 3,5, probabilidade 0,9333; (b2) 5 ≤ TT ≤ 10, valor médio 7,5, probabilidade 0,0500 e; (c2) 11 ≤ TT ≤ 30, valor médio 20,5, probabilidade 0,0167.



Por sua vez, cada uma destas três linhas leva ao evento CC, onde há duas alternativas: (a3) CC=1, valor médio 1, probabilidade 0,9667 e; (b3) 5 ≤ CC ≤ 30, valor médio 17,5, probabilidade 0,0333. Finalmente, cada uma das duas linhas leva ao evento LIR, com duas alternativas: (a4) LIR=1, valor médio 1, probabilidade 0,9900 e; (b4) 15 ≤ LIR ≤ 30, valor médio 22,5, probabilidade 0,0100. Parte da árvore de decisão para o fornecedor A está mostrada na Figura 3. Trata‐se de um diagrama relativamente complexo, pois existem: 3 x 3 x 2 x 2 = 36 caminhos e resultados possíveis. No diagrama: (a) os valores indicados acima das linhas são os incrementos associados a cada caminho; (b) nos pontos finais há também um valor abaixo das linhas, que representa o resultado (total de dias) associado àquele caminho, e; (c) no ponto inicial há também um valor abaixo da linha, que representa o valor esperado para a variável aleatória.

Figura 3 – Parte do diagrama de árvore para o fornecedor A

Lembrando que a probabilidade de cada resultado é o produto das probabilidades associadas a cada um dos caminhos que leva até aquele resultado, têm‐se, por exemplo, para o resultado que segue o caminho OTS_A1 / TT_A11 / CC_A111 / LIR_A1111:

6699,09900,09667,09333,07500,0)1111_(*)111_(*)11_(*)1_()(

=×××=== ALIRPACSpATTpAOTSpxp

A Tabela 3 mostra as probabilidades de cada um dos 36 resultados para o fornecedor A.



Terminado em LIR_

RESULTADO (DIAS)

Probabilidade E(x) Terminado em LIR_

RESULTADO (DIAS)

Probabilidade E(x)

1 1 1 1 10,00 0,6699 6,70 2 2 2 1 34,50 0,0003 0,01 1 1 1 2 31,50 0,0068 0,21 2 2 2 2 56,00 0,0000 0,00 1 1 2 1 26,50 0,0231 0,61 2 3 1 1 31,00 0,0032 0,10 1 1 2 2 48,00 0,0002 0,01 2 3 1 2 52,50 0,0000 0,00 1 2 1 1 14,00 0,0359 0,50 2 3 2 1 47,50 0,0001 0,01 1 2 1 2 35,50 0,0004 0,01 2 3 2 2 69,00 0,0000 0,00 1 2 2 1 30,50 0,0012 0,04 3 1 1 1 26,00 0,0447 1,16 1 2 2 2 52,00 0,0000 0,00 3 1 1 2 47,50 0,0005 0,02 1 3 1 1 27,00 0,0120 0,32 3 1 2 1 42,50 0,0015 0,07 1 3 1 2 48,50 0,0001 0,01 3 1 2 2 64,00 0,0000 0,00 1 3 2 1 43,50 0,0004 0,02 3 2 1 1 30,00 0,0024 0,07 1 3 2 2 65,00 0,0000 0,00 3 2 1 2 51,50 0,0000 0,00 2 1 1 1 14,00 0,1786 2,50 3 2 2 1 46,50 0,0001 0,00 2 1 1 2 35,50 0,0018 0,06 3 2 2 2 68,00 0,0000 0,00 2 1 2 1 30,50 0,0062 0,19 3 3 1 1 43,00 0,0008 0,03 2 1 2 2 52,00 0,0001 0,00 3 3 1 2 64,50 0,0000 0,00 2 2 1 1 18,00 0,0096 0,17 3 3 2 1 59,50 0,0000 0,00 2 2 1 2 39,50 0,0001 0,00 3 3 2 2 81,00 0,0000 0,00

Tabela 3 ‐ Resumo da árvore de decisão para o fornecedor A

Observa‐se pela tabela que somente os caminhos terminados em LIR_1111, LIR_1211 e LIR_2111 resultam em tempo total médio menor ou igual a 15 dias. Analisando mais detidamente estes caminhos, em termos de tempos máximos e mínimos, encontra‐se o resultado mostrado na Tabela 4.

Caminho terminado em

OTS_A TT_A CC_A LIR_A TOTAL Min. Max Min. Max Min. Max Min. Max Min. Max

LIR_1111 3 6 3 4 1 1 1 1 8 12

LIR_1211 3 6 5 10 1 1 1 1 10 18

LIR_2111 7 10 3 4 1 1 1 1 12 16

Tabela 4 – Tempos máximos e mínimos para os caminhos considerados

Conclui‐se que algumas combinações de tempos nos caminhos terminados em LIR_1211 e LIR_2111 não conduzem ao resultado desejado, pois o total máximo excede 15. Uma quebra destes dois caminhos em todas as combinações posssíveis é mostrada na Tabela 5, onde se vê que das 24 combinações possíveis para LIR_1211 somente 18 (75%) resultam em valores menores ou iguais a 15. Nesta mesma tabela, verifica‐se que das 8 cobinações possíveis para LIR_2111 um total de 7 (87,5%) satisfazem a condição desejada.



OTS_A TT_A CC_A LIR_A TOTAL

LIR_

1211

3 5 1 1 10

3 6 1 1 11

3 7 1 1 12

3 8 1 1 13

3 9 1 1 14

3 10 1 1 15

4 5 1 1 11

4 6 1 1 12

4 7 1 1 13

4 8 1 1 14

4 9 1 1 15

4 10 1 1 16

5 5 1 1 12

5 6 1 1 13

5 7 1 1 14

5 8 1 1 15

5 9 1 1 16

5 10 1 1 17

6 5 1 1 13

6 6 1 1 14

6 7 1 1 15

6 8 1 1 16

6 9 1 1 17

6 10 1 1 18

LIR_

2111

7 3 1 1 12

7 4 1 1 13

8 3 1 1 13

8 4 1 1 14

9 3 1 1 14

9 4 1 1 15

10 3 1 1 15

10 4 1 1 16

Tabela 5 – Combinações de tempos nos caminhos terminados em LIR_1211 e LIR_2111

Dado que as probabilidades são uniformes para todas as variáveis aleatórias, é possível reduzir linearmente as probabilidades dos caminhos LIR_1211 e LIR_2111. Referindo‐se novamente à Tabela 3, e somando as probabilidades destes três caminhos, já aplicando os fatores de redução mencionados, obtêm‐se finalmente a probabilidade de que o Fornecedor A atenda o prazo requerido:



Uma análise idêntica pode ser feita para os fornecedores B e C; os resultados correspondentes estão mostrados na Tabela 6.

p(prazo ≤ 15 dias)Fornecedor A 0,8531Fornecedor B 0,7967Fornecedor C 0,7723

Tabela 6 – Resultados da análise para os fornecedores A, B e C

Assim, a opção mais adequada é colocar as ordens no Fornecedor A, pois historicamente é o que possui a maior probabilidade de enviar as peças no prazo de até 15 dias. O exemplo anterior ilustra de maneira realista como uma árvore de decisão pode ser usada para selecionar a melhor opção em um cenário no qual há fatores incertos. Muitas, se não a maioria, das situações de negócios tem esta característica e a aplicação de modelos probabilísticos, tais como o ilustrado no exemplo, pode ser muito útil no processo de tomada de decisões. Entretanto, mesmo neste exemplo relativamente simples, com apenas algumas poucas variáveis, todas consideradas como uniformes, fica evidente que a análise é trabalhosa. Conforme já mencionado, é claro que a utilidade de um modelo está diretamente relacionada com seu grau de aproximação com a realidade, e a realidade costuma ser bem mais complexa. Há programas que permitem construir modelos de grande complexidade e determinar o efeito das variáveis independentes sobre o resultado através de simulações, da seguinte forma: (a) são atribuídos valores a cada variável aleatória, de acordo com sua respectiva distribuição; (b) o resultado daquela combinação de valores para as variáveis é calculado e registrado; (c) o processo é repetido um grande número de vezes. Este processo é conhecido como simulação de Monte Carlo (nome do famoso cassino do Principado de Mônaco), e permite determinar como uma variável dependente varia em função das variáveis aleatórias independentes. Através de simulações deste tipo é possível tratar situações que envolvem a incerteza, sem necessidade de calcular diretamente as probabilidades de cada resultado. Técnicas de Monte Carlo tem sido usadas para estudar fenômenos tão distintos quanto o fluxo de trânsito na fase de projeto de uma auto‐estrada, a disseminação de doenças epidêmicas, o comportamento humano por ocasião de desastres naturais, o espalhamento de neutrons após uma colisão com outras partículas, etc. Em aplicações de negócios, estas técnicas tem sido utilizadas na solução de problemas de inventário, em programação da produção, na avaliação do efeito de campanhas publicitárias e em diversas situações que envolvem o planejamento em condições incertas. Utilizando um software aplicativo voltado para a criação de modelos de situações de negócio, foi feita uma simulação de Monte Carlo comparando os três fornecedores. As variáveis de entrada são OTS, TT, CC e LIR, que apresentam distribuições discretas uniformes; o número de repetições utilizado foi 1000. Através desta simulação, é possível determinar as distribuições de freqüência absoluta e acumulada para os tempos de entrega das peças por fornecedor, mostrados nas figuras a seguir.



Distribuição de frequências

Prazo de entrega (dias)

Prob

abili

dade

8 8 9 10 11 13 14 15 16 17 18 19 21 22 23 24 25 26 27 29 30 31 32 33 34 35 37 38 39 40 41 42 43 44 46 47 48 49 50 51 52 54 55 56 57 58 59 60 62 63 64 65 650.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

FORNECEDOR_A FORNECEDOR_B FORNECEDOR_C

Figura 4 – Histograma dos prazos por fornecedor (simulação de Monte Carlo)

Distribuição Acumulada

Prazo de entrega (dias)

Prob

abili

dade

0 10 20 30 40 50 600%

20%

40%

60%

80%

100%

FORNECEDOR_A FORNECEDOR_B FORNECEDOR_C

Figura 5 – Distribuição acumulada dos prazos por fornecedor (simulação de Monte Carlo)

A Figura 5 mostra que realmente a melhor escolha é o Fornecedor A, pois é aquele que apresenta a maior probabilidade acumulada para o prazo de entrega de 15 dias.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

FREUND, J. E., 1988. Modern Elementary Statistics, 7ª edição, Prentice‐Hall International, Englewood Cliffs; 1ª edição 1952, Prentice‐Hall, Englewood Cliffs.

HINES, W. W. & MONTGOMERY, D. C., 1980. Probability and Statistics in Engineering and Management Science, 2ª edição, John Wiley & Sons, New York; 1ª edição 1972, John Wiley & Sons, New York.

STEVENSON, W. J., 1981 (original 1978). Estatística Aplicada à Administração, 1ª edição, Editora Harper& Row do Brasil, Trad. Alfredo A. de Farias do original “Business Statistics: Concepts and Applications”,São Paulo.

Documents

Analisando situações complexas através de simulação