ANÁLISE Aula 8: Completeza em R, Supremos e Ínfimos Prof. Mário Alves

ANÁLISE

Aula 8: Completeza em R, Supremos e ÍnfimosAula 8: Completeza em R, Supremos e Ínfimos

Prof. Mário AlvesProf. Mário Alves


FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA

Propriedade de Completeza; Supremo e Ínfimo; Máximo e Mínimo de um conjunto; e Propriedade Arquimediana



COTAS SUPERIORES E INFERIORES- Dado um subconjunto S de R. Um elemento u de R é

dito cota superior de S se , , isto é, se este elemento u de R for maior ou igual a qualquer elemento de S.

- Se um conjunto tem uma cota superior, então admite uma infinidade de cotas superiores.

Considere o conjunto :1)O elemento 4 é cota superior deste conjunto;2)O elemento 3 também é cota superior deste conjunto;3)Ainda, note que qualquer elemento maior que 3

também será cota superior deste conjunto.

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COTAS SUPERIORES E INFERIORES- Dado um subconjunto S de R. Um elemento é

dito uma cota inferior de S se , , isto é, se este elemento w, de R, for menor ou igual a qualquer elemento do subconjunto S.

Obs.: Nem sempre um subconjunto S de R possui cota superior.

Ex.:

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COTAS SUPERIORES E INFERIORES- Quando um conjunto possui cota inferior, dizemos

que este conjunto é cotado inferiormente;

- Quando um conjunto possui cota superior, dizemos que este conjunto é cotado superiormente; e

- Quando um conjunto possui cota superior e inferior, dizemos que ele é cotado.

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SUPREMOS E ÍNFIMOS- Se S for cotado superiormente, dizemos que uma

cota superior de S é o supremo de S se ela é menor do que qualquer outra cota superior de S.

- Ou ainda:

Um número é dito supremo de S se:1) , , ou seja u é uma cota superior; e2) Se , , então , ou seja, u é a menor das

cotas superiores Notação: sup S

.



SUPREMOS E ÍNFIMOS- Agora, considere o subconjunto S de R. Se S for cotado

inferiormente, dizemos que uma cota inferior de S é o ínfimo de S se ela é a maior do que qualquer outra cota inferior de S.

Notação: inf S

Exemplos: Observe os conjuntos:

- Tanto no conjunto M, como no T, podemos perceber que o ínfimo é 0 e o supremo é 3.

- Quando se diz que um conjunto tem supremo, nada se pode afirmar sobre o supremo pertencer ou não ao conjunto.

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SUPREMOS E ÍNFIMOSUnicidade do Supremo:

- Considere S um subconjunto de R. Só pode haver um único supremo para S.

Prova:- Propondo u e v supremos de s. Logo, ambos são

cotas superiores de S.- Como u é supremo e v é cota superior de S, temos u

v;- Como v é supremo e u é cota superior de S, temos v

u;- Portanto u = v.

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≤≤



SUPREMOS E ÍNFIMOSUnicidade do Ínfimo:

- Considere S um subconjunto de R. Só pode haver um único ínfimo para S.

Prova: Análoga. Deixamos como um exercício.

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SUPREMOS E ÍNFIMOSExercício: Determine o ínfimo e o supremo do conjunto

, sendo Y o conjunto das frações do tipo , .- Vamos ver quem são os elementos deste conjunto:

- Reparamos que o conjunto é decrescente, pois aumentamos o denominador. Logo, ½ é o supremo.

- Para o ínfimo, devemos utilizar a noção de limites:

.



PROPRIEDADE ARQUIMEDIANADado um número real x, existe um número natural n

que é maior que x.Prova: - Suponha ; - Suponha, por absurdo, que não existe um natural

maior que x. Assim, x é cota superior de N. Pela propriedade do supremo, N tem um supremo u.

- Como x é cota superior de N, então .

.



PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA- Como u-1 < u, temos que existe , tal que

.- Assim, mas, como , temos que o

que contradiz a hipótese de que u é cota superior de N, já que descobrimos alguém ( ) maior que u e que pertence a N.

- Com isso, podemos afirmar que a Propriedade Arquimediana nos diz que o conjunto dos Naturais não é cotado superiormente nos Reais.

.



EXISTÊNCIA DE RAIZ DE 2Teorema: Existe um número positivo x pertencente a R

tal que .Prova: - O conjunto é cotado

superiormente por 2.- Caso contrário, tal que , ou ainda, , isto

é, - Como , pela definição de S, e .- Absurdo!

- Logo, há esse número positivo!

.

22 x

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