Análise Da Interação Solo-estrutura Aplicada a Riser Rígido Em Catenária Através Da Formulação Co-rotacional

7/17/2019 Análise Da Interação Solo-estrutura Aplicada a Riser Rígido Em Catenária Através Da Formulação Co-rotacional

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Leonardo Machado Antonio

Análise da Interação Solo-Estrutura

Aplicada a Riser Rígido em Catenária

Através da Formulação Co-Rotacional

.

Dissertação de mestrado acadêmico a-presentada à comissão de Pós Gradua-ção da Faculdade de Engenharia Me-cânica, como requisito para obtençãodo título de Mestre em EngenhariaMecânica.

Área de concentração:Mecânica dos Sólidos e ProjetoMecânico

Orientador:Prof. Dr. Renato Pavanello

Campinas

2011

i



.

ii





.

Dedico este trabalho a minha família que é a base da minha vida.

iv



Agradecimentos

Aos meus pais pelo apoio e carinho incondicionais.

À minha esposa Kelly pela compreensão nas horas difíceis e pelo companheirismo

sem tamanho que sempre me dá forças para prosseguir.

A todos os amigos sejam eles da infância, da faculdade ou do trabalho.

À Faculdade de Engenharia Mecânica que me formou não somente como profis-

sional, mas também como pessoa.

Ao orientador Renato Pavanello pelo apoio, orientação, compreensão e, principal-

mente, pela amizade.

Aos amigos do laboratório: Morini, Marcel, Ricardo, William, Lee, Alberto, An-

derson, Carlos, Renan, René, Bispo, Jaqueline, Renato, Pedro, Gustavo e Fabrí-

cio, pelas fantásticas e divertidas discussões.Ao professor Louie Yaw pelo apoio durante a implementação do elemento de pór-

tico co-rotacional.

Aos engenheiros da Eduardo Nicolosi e Antonio Sulino pelo conhecimento fornecido

acerca de linhas submarinas.

Aos funcionários da Secretaria de Pós-graduação, em especial para a Denise, pelo

apoio e compreensão que me auxiliaram na conclusão do trabalho.

Ao amigo Denis pelas discussões, sugestões e simulações que me guiaram para a

conclusão do trabalho.

Ao CNPq pelo apoio financeiro.

v



“A dúvida é o princípio da sabedoria.”

(Aristóteles)

vi



Resumo

A explotação de petróleo em ambientes off-shore possui inúmeras dificuldades, dentre as

quais lâminas d’águas cada vez mais profundas. Neste contexto, as linhas submarinas são

componentes de grande importância nesta atividade, pois estabelecem a comunicação entreas unidades de produção e os equipamentos submarinos. Este trabalho estuda a interação

solo-estrutura de risers rígidos em catenária utilizando a formulação co-rotacional através de

abordagens estática e dinâmica. A abordagem estática trata do equílibrio estático de estru-

turas não-lineares, no qual utiliza-se a estratégia de controle por carregamento;enquanto a

abordagem dinâmica utiliza a discretização temporal de Newmark para resolução do equílib-

rio dinâmico de estruturas não-lineares. Este estudo mostra a implementação de modelos

com um e dois parâmetros baseados das hipóteses de Winkler, Filonenko-Borodich e Paster-

nak no contexto interação da estrutura do riser com o leito marinho.

PalavrasChave: Elementos Finitos, Interação Solo-Estrutura, Formulação Co-rotacional, Es-

truturas Marítimas.

vii



Abstract

The petroleum explotation on off-shore enviorments has differents dificulties, for example

deeper water deths. In this context, the marine pipes are components of extreme importance,

since they are the comunication between the production units and the subsea equipaments.This work studies the soil-structure interaction of steel cathenary risers using corotational

formulation within static and dynamic approaches of structural calculation. The static ap-

proach focus on the non-linear static equilibrium of structures using the load control strategy.

On the other side, the dynamic approach uses the Newmark time discretization to solve the

non-linear dynamic equilibrium equation. This study shows the implementation of founda-

tion with one and two parameter based on hipotheses of Winkler, Filonenko-Borodich and

Pasternak in the riser structure and soil interaction context.

Key Words : Finite Elements, Soil-Structure Interaction, Corotational Formulation, Marine

Structures.

viii



LISTA DE ILUSTRAÇÕES

1.1 Distinção dos trechos de uma linha de produção que conecta o poço à unidade

de produção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Diagrama sobre algumas das áreas que compõem os fenômenos presentes na

mecânica dos risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1 Movimento de corpo rígido de C 0 até C j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Movimento deformacional de C 0 até C j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Forças internas presentes no elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.1 Modelo de Winkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.2 Fundação Winkler representada em molas nodais. . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.3 Modelo de fundação com dois parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.4 Viga sobre fundação de dois parâmetros e graus de liberdade afetados e seus

respectivos esforços internos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.5 Ilustração de um elemento de pórtico com dois nós e as coordenadas e deslo-

camento relativos ao efeito de contato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.6 Representação de interação solo-estrutura (a) com efeito de descolamento e

(b) sem efeito de descolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.1 Tubos rígidos para montagem do duto rígido:(a) Tubos rígidos sem camada

de isolamento. (b) Tudo rígido com camada de isolamento.(Fonte: Nicolosi &

Sulino (2009)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.2 Trecho emerso do riser rígido em catenária conectado à plataforma P-18 da

Petrobras.(Fonte: Nicolosi & Sulino (2009)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.1 Carregamento equivalente para peso submerso . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.2 Artifício de superposição para determinação da tração efetiva. . . . . . . . . 50

8.3 Representação para as forças equivalentes nodais. . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.4 Tensões normais em uma seção do riser : (a) Tensão normal linear ocasionada

por momento fletor. (b) Tensão normal uniforme por carregamento normal. . 53

ix



8.5 Ilustração da coordenada sobre a estrutura que representa abscissa dos gráficos

de saída do pós-processamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.6 Diagrama Simplificado do funcionamento do módulo estático do MARINE. . 59

8.7 Diagrama Simplificado do funcionamento do módulo dinâmico do MARINE. 60

9.1 Soluções lineares para viga com carregamento concentrado na extremidade. . 63

9.2 Comparação das soluções não-lineares de F ∗ em função de u∗ e v∗ para o

carregamento concentrado. Deslocamentos medidos na extremidade livre. . . 63

9.3 Configurações do pórtico solicitado por força concentrada para cada passo de

carga durante a simulação até a posição final. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.4 Pórtico com carregamento uniformemente distribuído. . . . . . . . . . . . . . 66

9.5 Soluções lineares para viga com carregamento uniformemente distribuído. . . 67

9.6 Comparação das soluções não-lineares de q ∗ em função de u∗ e v∗ para o

carregamento uniformemente distribuído. Deslocamentos medidos na extre-midade livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.7 Configurações do pórtico sob carga uniformemente distribuída para cada passo

de carga durante a simulação até a posição final. . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.8 Pórtico engastado com momento na extremidade . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.9 Comparação do modelo numérico com a solução analítica para três voltas. . 70

9.10 Erro numérico percentual para o caso de viga engastada com momento na

extremidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.11 Configurações do pórtico até uma volta completa. . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.12 Pulso retangular de força e resposta para o deslocamento v(L/2) para viga

bi-engastada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.13 F(t) e resposta do deslocamento v(L) para estrutura com engaste na extremidade. 73

9.14 Comparação entre as respostas amortecidas e não amortecidas para o desloca-

mento v(L) em função do tempo, para viga engastada com força concentrada

na extremidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.15 Configurações assumidas no tempo pela estrutura para momento na extremidade. 75

9.16 Comparação entre as respostas amortecidas e não amortecidas para o deslo-

camento v(L) em função do tempo para viga engastada com momento naextremidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9.17 Configurações da viga girando em torno de vínculo, modelado como apoio

simples nas direções transversais. Pulso de momento é aplicado junto ao vínculo. 77

9.18 Configurações do corpo para o tempo de 0 a 4,5 segundos. . . . . . . . . . . 78

9.19 Configurações do corpo para o tempo de 5 a 10 segundos. . . . . . . . . . . . 78

9.20 Exemplo de estudo de pórtico sobre fundação elástica. . . . . . . . . . . . . . 79

x



9.21 Comparação do resultado analítico com o numérico para o modelo de Winkler. 81

9.22 Erro percentual do deslocamento v para os modelos de fundação Winkler em

r elação à solução analít ica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.23 Comparação entre as respostas do modelo de fundação elástica de dois parâ-

metros e a solução analítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.24 Erro percentual do deslocamento v para os modelos de fundação Filonenko-

Borodich e Pasternak em relação à solução analítica. . . . . . . . . . . . . . 84

9.25 Comparação entre as curvas de catenária livre geradas no ANFLEX e MA-

RINE, no qual não se considera empuxo nem tração efetiva. . . . . . . . . . 88

9.26 Comparação de resultados para o deslocamento u em relação à coordenada s. 89

9.27 Comparação de resultados para os deslocamento v em relação à coordenada s. 89

9.28 Comparação resultados para o momento fletor M em relação à coordenada s. 90

9.29 Comparação entre as soluções obtidas para o deslocamento u em diferentes

malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.30 Distribuição dos deslocamentos u, v e θz na linha de 1200 metros. . . . . . . 93

9.31 Distribuição do Momento Fletor M , Esforço Cortante Q e Força Normal N

na linha de 1200 metros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.32 Distribuição da Tensão Normal σ no intradorso da linha de 1200 metros. . . 94

9.33 Comparação dos resultados do Momento Fletor na região do TDP para diver-

sos modelos de fundação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.34 Comparação entre as configurações iniciais e finais do riser apoiado pelas

extremidades resultantes do ANFLEX e MARINE. . . . . . . . . . . . . . . 989.35 Configurações do riser suspenso em catenária dupla de 0 a 5 segundos. . . . 99

9.36 Distribuição do momento fletor na linha em catenária dupla para 0, 1, 2, 3, 4

e 5 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.37 Distribuição do esforço normal na linha em catenária dupla para 0, 1, 2, 3, 4

e 5 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.38 Configurações do SCR de 400 metros para os tempos de 0 a 5 segundos. . . . 103

9.39 Distribuição do momento fletor no SCR de 400 metros para 0, 1, 2, 3, 4 e 5

segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.40 Distribuição do esforço normal no SCR de 400 metros para 0, 1, 2, 3, 4 e 5

segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.41 Distribuição da tensão normal ao longo no SCR de 400 metros para 0, 1, 2, 3,

4 e 5 segundos, no intradorso da estrutura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.42 Distribuição da tensão normal em torno do TDP no tempo. . . . . . . . . . . 107

9.43 Modelo de SCR para análise da ação do heave na estrutura. . . . . . . . . . 108

xi



9.44 Tensão normal σ no intradorso da seção do TDP em relação ao tempo para os

diversos modelos de fundação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.45 Módulo do momento fletor máximo para cada intervalo de tempo para os

diversos modelos de fundação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

xii



LISTA DE TABELAS

8.1 Parâmetros de entrada do pré-processamento do MARINE. . . . . . . . . . . 48

8.2 Funções cúbicas de Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.1 Soluções adimensionais não-lineares para viga com carregamento concentrado. 65

9.2 Soluções adimensionais não-lineares para viga com momento na extremidade. 71

9.3 Parâmetros para simulação de pórtico com deslocamento prescrito. . . . . . . 77

9.4 Parâmetros para simulação do pórtico apoiado sobre fundação elástica. . . . 809.5 Resultados numéricos para a fundação elástica de um parâmetro. . . . . . . 82

9.6 Resultados numéricos para a fundação elástica de dois parâmetros. . . . . . . 85

9.7 Parâmetros para simulação de SCR com 2067 metros sob ação do Peso Próprio. 87

9.8 Malhas utilizadas para estudo de refinamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.9 Parâmetros de simulação para estudo de malha e número de iterações. . . . . 91

9.10 Números de iterações por passo de carga para diferentes malhas. . . . . . . . 92

9.11 Parâmetros do exemplo de linha apoiada pelas extremidades. . . . . . . . . . 97

9.12 Parâmetros do SCR de 400 metros sob ação do peso submerso. . . . . . . . . 102

9.13 Parâmetros do SCR de 400 metros sob ação do heave . . . . . . . . . . . . . . 109

xiii



Lista de Abreviaturas e Siglas

Letras Latinas

A - Área transversal do corpo

Ai - Área transversal equivalente do corpo imerso em fluido

B - Matriz de transformação do referencial local para o global

C - Matriz de amortecimento

Cl - Matriz de rigidez material local pertencente ao termo da rigidez material

C j - Configuração do corpo atual para o passo de carga j

d ji - Vetor deslocamento do nó i, para configuração j com origem no dado por C 0

e - Erro percentual

E - Módulo de Elasticidade

gd - Vetor força de desequilíbrio dinâmicage - Vetor força de desequilíbrio estática

h - Amplitude de offset

hi - Função de interpolação de Hermite

hg - Amplitude do movimento de heave

h - Matriz das funções de forma do elemento

H 0 - Força horizontal sobre o elemento de catenária

I - Momento de inércia de área

K - Matriz tangente de rigidez global

K - Equivalente dinâmica da matriz tangente de rigidez global

KG - Termo geométrico da matriz tangente de rigidez

KM - Termo material da matriz tangente de rigidez

Ks - Matriz tangente de rigidez global do elemento de solo

k - Sobrescrito indicando número da iteração no algoritmo de Newmark

k1 - Primeiro parâmetro do solo

ks - Segundo parâmetro do solo

l - Comprimento do corpo medido em C j

l0 - Comprimento inicial do corpo medido em C 0

M - Matriz de massa

M i - Momento fletor no nó i do elemento

n - Sobrescrito indicando o número de iteração de método numérico

N - Esforço normal no elemento

N c - Número de passos de carga

O - Origem do referencial inercial xy

xiv



O - Origem do referencial local xy

p - Vetor de deslocamentos nodais global

p - Vetor de velocidades nodais global

p - Vetor de acelerações nodais global

pl - Vetor de deslocamentos nodais local px - Pressão de deslocamento imposta pela fundação à estrutura

q - Magnitude do carregamento uniformemente distribuído

qe - Vetor de esforços externos no corpo

qi - Vetor de esforços internos no corpo

qli - Vetor de esforços internos no corpo no referencial local

Q - Esforço cortante no elemento

r - Vetor de auxiliar para transformação de referenciais

s - Variável relativa ao domínio da estrutura em catenária

sl - Comprimento total linha

sr - Comprimento total do trecho riser

sf - Comprimento do trecho da linha em contato com o solo

t - Tempo

T g - Período do movimento do heave

ug - Deslocamento do nó imerso no solo medido a partir da cota ysuh - Deslocamento imposto pelo heave da UEP

ui - Deslocamento na direção x do nó i

ul - Deslocamento de translação localV - Trabalho Virtual

vi - Deslocamento na direção y do nó i

w - Peso linear do elemento de catenária

yi - Posição y do nó i do elemento

ys - Cota relativa a posição do solo

xi - Vetor de posição nodal global do nó i

xy - Eixos ortogonais que formam o referencial inercial global

xy - Eixos ortogonais que formam o referencial relativo

r - Vetor de auxiliar para transformação de referenciais

Letras Gregas

α - Ângulo formado entre o elemento em C j e entre o elemento em C 0

β - Ângulo formado entre o elemento em C j e o eixo x do referencial global ou constante

de Newmark

xv



β 0 - Ângulo formado entre o elemento em C 0 e o eixo x do referencial global

- Deformação transversal do elemento

ε - Tolerância numérica utilizada nos métodos iterativos

Φi - Coeficiente de proporcionalidade de Rayleigh

ς - Curvatura da vigaγ - Constante de Newmark

ω - Frequência angular do movimento de offset

Ω - Domínio do elemento de solo

ρ - Massa específica da linha rígida

ρl - Massa específica do fluido externo à estrutura

σN - Termo de tensão normal oriundo do esforço normal

σT - Termo de tensão normal oriundo do momento fletor

σ - Tensão normal total relativa aos efeitos axiais e de flexão

θi - Deslocamento de rotação no plano xy do nó i

θli - Deslocamento de rotação no referencial local para o nó i

θt - Ângulo de topo formado entre a flex joint

Símbolos para notações matemáticas

dx - diferencial de x

df (x)/dx - Derivada da função f (x) em função de x

δ v - Diferenciação virtual do vetor v

∆ - Intervalo ou diferença

g - Norma euclidiana do vetor g

AT - Matriz transposta de A

u∗ - Termo adimensional da variável u

Abreviações

ID - Diâmetro interno

LDA - Lâmina D’água

OD - Diâmetro externo

SCR - Steel Catenary Riser

TDP - Touchdown Point

UEP - Unidade Estacionária de Produção

VIV - Vibração Induzida por Vórtice

xvi



Sumário

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 Motivação e Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Contribuições e contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 REVISÃO DA LITERATURA 7

2.1 Dimensionamento e projeto de risers de produção . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Estudo dinâmico de risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Interação entre solo e estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Comentários a respeito da revisão bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 FORMULAÇÃO CO-ROTACIONAL PARA PÓRTICOS PLANOS 13

3.1 Formulação co-rotacional para elementos de pórtico plano . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Deslocamentos Virtuais Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.2 Trabalho Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.3 Determinação dos esforços internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.4 Matriz Tangente de Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 ESTUDO DA ESTÁTICA DE ESTRUTURAS GEOMETRICAMENTE

NÃO-LINEARES 23

4.1 Equilíbrio Estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.1 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.2 Método de controle por carregamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 ESTUDO DA DINÂMICA DE ESTRUTURAS GEOMETRICAMENTE

NÃO-LINEARES 27

5.1 Equilíbrio Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1.1 Algoritmo de Newmark implícito não-linear . . . . . . . . . . . . . . 27

xvii



6 DESCRIÇÃO DOS MODELOS DE FUNDAÇÃO 32

6.1 Modelo de fundação de um parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.1.1 Modelo de Winkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.2 Modelo de fundação com dois parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2.1 Modelo de fundação de Filonenko-Borodich . . . . . . . . . . . . . . . 376.2.2 Modelo de fundação de Pasternak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3 Modelagem do Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3.1 Método das penalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3.2 Considerações quanto ao efeito de descolamento . . . . . . . . . . . . 41

7 ESTUDO DO RISER RÍGIDO EM CATENÁRIA PARA PRODUÇÃO

DE PETRÓLEO 43

7.1 Estudo do riser r íg ido e m c a te ná ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8 DESENVOLVIMENTO COMPUTACIONAL 47

8.1 Módulo estático para análise estrutural de linhas de produção marítimas . . 47

8.1.1 Pré-processamento do módulo estático . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.1.2 Processamento do módulo estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.1.3 Pós-processamento do módulo estático . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8.2 Módulo dinâmico para análise estrutural de linhas de produção marítimas . . 53

8.2.1 Pré-processamento do módulo dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.2.2 Processamento do módulo dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.2.3 Pós-processamento do módulo dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9 RESULTADOS E DISCUSSÕES 61

9.1 Exemplos numéricos para pórtico plano com abordagem estática . . . . . . . 61

9.1.1 Pórtico engastado com carregamento concentrado na extremidade . . 62

9.1.2 Pórtico engastado com carregamento uniformemente distribuído . . . 64

9.1.3 Pórtico engastado com momento na extremidade . . . . . . . . . . . . 67

9.2 Exemplos numéricos para pórtico plano com abordagem dinâmica . . . . . . 69

9.2.1 Pórtico bi-engastado com força concentrada aplicada ao centro da es-

trutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.2.2 Pórtico engastado com força concentrada na extremidade . . . . . . . 72

9.2.3 Pórtico engastado com momento na extremidade . . . . . . . . . . . . 74

9.2.4 Pórtico com momento no vínculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.2.5 Pórtico com deslocamento imposto na extremidade . . . . . . . . . . 76

9.3 Estudo de pórticos planos sobre fundações elásticas . . . . . . . . . . . . . . 79

xviii



9.3.1 Estudo de fundações de um parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.3.2 Estudo de fundações de dois parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.4 Resultados do módulo estático do MARINE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.4.1 Validação da implementação do módulo estático do MARINE . . . . 86

9.4.2 Estudo da malha no módulo estático do MARINE . . . . . . . . . . . 889.4.3 Estudo dos modelos de fundação aplicados à estática de SCR . . . . . 94

9.5 Resultados do módulo dinâmico do MARINE . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.1 Riser apoiado pelas extremidades sem contato com o solo . . . . . . . 97

9.5.2 Riser rígido em catenária 400 metros sob ação do peso submerso . . . 101

9.5.3 Estudo da influência do heave na tensão normal no TDP . . . . . . . 106

10 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PRÓXIMOS TRABALHOS 113

10.1 Conclusões e comentários acerca do estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10.2 Sugestões para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

xix



1 INTRODUÇÃO

1.1 Motivação e Contexto

A exploração e explotação offshore no cenário brasileiro é responsável pela maior parteda produção atual no país. Isso se deve as descobertas nos últimos anos que transformaram a

exploração dos campos, que era inicialmente terrestre, para um cenário offshore em constante

expansão. Uma das características das novas descobertas de acumulação de hidrocarbonetos

é que sua localização situa-se em grandes profundidades no mar, o que projetou a indústria

brasileira como uma das pioneiras no desenvolvimento de novas tecnologias para produção

de petróleo nessa condição. Hoje, com as novas descobertas, em profundidades que ultrapas-

sam os 2000 metros, a indústria de petróleo depara-se com novos obstáculos tecnológicos que

devem ser vencidos para permitir que a produção seja feita de forma econômica e ecologica-

mente segura. Um dos grandes desafios é garantir uma boa comunicação dos equipamentos

submarinos com a unidade de produção na superfície de forma a extrair os fluidos produzidos,

mantendo a produção com a menor quantidade possível de intervenções. Essa comunicação

deve ser capaz de garantir o transporte dos fluidos produzidos e de suprir os controles e

necessidades operacionais dos equipamentos que antes, devido às baixas profundidades, eram

realizados na própria superfície.

Um elemento importante nessa comunicação são as linhas de produção, que são os du-

tos e cabos que permitem a realização das atividades operacionais. As funções da linha

concentram-se no transporte do fluido produzido do poço até a superfície, em prover trans-missão eletro-hidráulica para o funcionamento dos equipamentos submarinos e do poço, e na

injeção de fluidos para limpeza dos equipamentos e controle de poço.

A linha pode ser caracterizada como a união de dois trechos distintos:

• Riser ou duto ascendente : Extensão do duto que se encontra elevada em relação ao

leito marinho e está sujeita a carregamentos de natureza dinâmica;

• Flowline ou duto: Porção do duto que está em contato com o solo e apresenta-se isenta

de ou com pouca parcela de carga dinâmica.

A Figura 1.1 fornece a representação esquemática de uma linha de produção em catenária

que conecta o poço à unidade de produção, onde estão destacados os trechos riser e flowline .

As linhas de produção, usualmente, têm as seguintes classificações:

• Duto Rígido;

1



Figura 1.1: Distinção dos trechos de uma linha de produção que conecta o poço à unidadede produção.

• Duto Flexível.

Essa distinção diz respeito à forma estrutural interna a qual a linha foi fabricada. En-

quanto a rígida é constituída por um corpo cilindrico metálico revestido com uma camada

isolante, o que confere maior rigidez estrutural, a flexível é composta por uma série de ca-

madas poliméricas intercaladas com camadas metálicas, o que confere maior flexibilidade

estrutural.

O projeto de uma linha é multidisciplinar e de grande complexidade, devido à natureza

dos fenômenos envolvidos durante a operação de produção. A linha de produção deve ser

capaz de fornecer isolamento térmico adequado de forma a garantir o escoamento dos fluidos,

resistir às intempéries (água salgada), ao atrito com o solo, corrosão, permeação de gases, etc.

Do ponto de vista estrutural, deve resistir aos carregamentos ambientais, cargas dinâmicas

como arrasto da correnteza, indução de vibração por vórtices, movimentos impostos pela

embarcação ou plataforma flutuante, pressão interna e pressão externa sobre a estrutura etc.

A falha da linha por uma dessas razões além de proporcionar riscos ao meio ambientee à segurança da operação, pode provocar paradas de produção que implicam em grandes

prejuízos à atividade de explotação em função do custo de oportunidade gerado. A tendência

em perfurar poços e produzir petróleo em regiões marinhas cada vez mais profundas implica

em aumento na complexidade do projeto, pois as solicitações sobre a estrutura são agravadas

necessitando, assim, projetos mais robustos. É importante ressaltar que a profundidade

provoca limitações operacionais quanto ao número de linhas que podem ser ancoradas à

2



unidade produtiva, pois o carregamento transmitido devido ao peso das linhas torna-se muito

elevado.

Outro aspecto fundamental no projeto de riser em catenária para aplicação em águas

profundas e ultras-profundas refere-se à modelagem dos fenômenos de interação da linha com

o solo marinho na região do contato com o solo. Este problema é fortemente influenciadopelo comportamento mecânico do solo bem como por problemas de propagação de ondas

elásticas que se propagam na estrutura do riser . Faz-se necessária uma modelagem precisa

deste problema, uma vez que as maiores tensões de fadiga ocorrem nesta região.

Cria-se, assim, a necessidade de ferramentas de modelagem numéricas que possam au-

xiliar o dimensionamento e projeto destas estruturas, permitindo a instalação e operação,

em condições seguras, com o máximo de desempenho possível. A partir desse contexto,

esse trabalho pretende desenvolver um modelo a partir da formulação de elementos finitos

não-linear para simular o comportamento do trecho riser em projeto, tanto sob solicitações

estáticas como dinâmicas, incluindo a interação do solo com a linha.

1.2 Objetivos

Nesse trabalho procurou-se desenvolver uma ferramenta computacional para representar o

comportamento estático e dinâmico do trecho riser , considerando a interação Solo-Estrutura.

Assim, os objetivos propostos por este trabalho são apresentados, destacando os de maior

importância como segue:

• Implementar, de forma estruturada, elementos de pórticos bidimensionais considerando

efeitos da não-linearidade geométrica e grandes deslocamentos, através da formulação

co-rotacional;

• Implementar o algoritmo de controle por carregamento, em conjunto com o método

de Newton-Raphson, para resolução das equações não-lineares do equilíbrio estático de

estruturas;

• Implementar algoritmo de Newmark não-linear, para análise dinâmica de estruturas no

domínio do tempo;

• Estudar, implementar e testar as alternativas para modelagem do fenômeno da intera-

ção solo-estrutura, avaliando a possibilidade de modelagem de contato com o solo por

meio de impedâncias equivalentes.

Com relação ao estudo estático, pode se listar as seguintes metas:

3



• Implementação de algoritmo capaz de resolver problemas estáticos com não-lineariada-

de geométrica para grandes deslocamentos e pequenas deformações;

• Implementar como estratégia de resolução das equações estáticas não-lineares o método

de controle por carregamento.

A análise dinâmica através do algoritmo de Newmark tem as seguintes etapas:

• Implementação do algoritmo de Newmark em conjunto com o método de Newton-

Raphson para solução das equações dinâmicas não-lineares;

• Implementação de algoritmo para determinação da matriz de massa, de amortecimento

e do vetor de carregamento externo em função do tempo.

Para a interação solo-estrutura:

• Implementação do modelo de Winkler descrito como molas nodais;

• Implementação do modelo de Winkler modelado como leito contínuo;

• Implementação do modelo de Filonenko-Borodich;

• Implementação do modelo de Pasternak;

• Adequação desses elementos dentro do estudo estático e dinâmico.

1.3 Contribuições e contexto

A análise e projeto de um riser em catenária é de grande complexidade, pois envolve

um conjunto amplo de fenômenos que são estudados em diferentes áreas da engenharia. A

estrutura é constantemente solicitada pelas variações do meio marinho, como correnteza,

dinâmica das ondas na superfície, através do contato com o solo, movimento imposto pela

unidade produtiva, fluxo interno de fluidos durante as operações de produção, etc. Esses

tópicos são multi-disciplinares e possuem alta complexidade para modelagem dos fenômenos.

Nesse contexto, este trabalho faz parte de um projeto que visa construir um software

para análise de riser . O projeto tem como objetivo a implementação gradual, no pacote

computacional, da modelagem de cada fenômeno físico participante. Assim sendo, a con-

tribuição principal deste trabalho corresponde ao estudo estático e dinâmico do riser com

uma parcela da modelagem da interação solo-estrutura (vide destaque na Figura (1.2)). A

implementação do módulo de estudo estático e do estudo dinâmico são bastante importantes

4



dentro do software , pois constituem duas plataformas primitivas de análise. Ou seja, as de-

mais ramificações, para a aplicação da simulação, serão implementadas considerando essas

modalidades de estudo. Em resumo, as principais contribuições deste trabalho são:

• Implementação do módulo de estudo estático;

• Implementação do módulo de estudo dinâmico;

• Implementação de modelos básicos para representação do solo marinho.

Figura 1.2: Diagrama sobre algumas das áreas que compõem os fenômenos presentes na

mecânica dos risers

De forma atrelada, a implementação destes tópicos dependem de contribuições secundárias

deste projeto, que são listadas a seguir:

• Implementação de um gerador de malha para discretizar o domínio do corpo em catenária

na região do solo;

• Implementação do elemento de pórtico não-linear bidimensional através da formulaçãoco-rotacional;

• Implementação da metodologia de cálculo numérico para resolução das equações não-

lineares presentes tanto no caso dinâmico como estático;

• Implementação do algoritmo de integração de Newmark no tempo para o caso não-linear

bidimensional;

5



• Implementação de elementos para representação do solo.

O código computacional desenvolvido segue a estrutura clássica de um programa de e-

lementos finitos geral, permitindo que implementações futuras possam ser feitas com maior

simplicidade.

1.4 Organização do Trabalho

Esse texto está estruturado em capítulos, em que cada um trata de um tema específico

utilizado para o desenvolvimento do trabalho. O Capítulo 2 traz a revisão bibliográfica

sobre os temas tratados no estudo e que nortearam o desenvolvimento do trabalho em sua

etapa inicial. O Capítulo 3 trata da formulação co-rotacional aplicada aos elementos pórtico

bidimensional, no qual mostram-se os conceitos envolvidos nesta abordagem culminando na

equação que descreve a matriz tangente de rigidez e o vetor de esforços internos do elementono referencial global. No Capítulo 4 são descritos os conceitos envolvidos no estudo do

equilíbrio estático para não-linearidade geométrica. Comentam-se os métodos de controle por

carregamento e o algoritmo de Newton-Raphson para resolução das equações não-lineares. O

Capítulo 5 foca no estudo dinâmico não-linear de corpos não-rígidos utilizando a formulação

co-rotacional através do integrador implícito de Newmark no tempo. Numa primeira parte,

é apresentado a equação de equilíbrio dinâmico, passando pela explicação do procedimento

de Newmark e do algoritmo de Newton-Raphson para resolução das equações não-lineares

presentes no equilíbrio dinâmico. O Capítulo 6 traz a descrição acerca da modelagem de

diferentes fundações: fundação de Winkler modelada por molas nodal, fundação de Win-

kler modelada por leito, fundação de Filonenko-Borodich e fundação de Pasternak. No texto,

explicam-se as diferenças principais em cada uma assim como a determinção da matriz global

de rigidez e dos esforços internos. Ao final do capítulo, o texto comenta sobre a questão do

problema de contato e sua modelagem no contexto de elementos finitos. O Capítulo 7

comenta sobre as principais características de risers rígidos em catenária e algumas particu-

laridades da estrutura. O Capítulo 8 descreve o desenvolvimento computacional realizado

de forma a automatizar o cálculo estrutural de riser rígido em catenária e também indica

as implementações realizadas para o simulador. O Capítulo 9 reúne todos os resultadosobtidos neste estudo, no qual estão presentes validações com exemplos utilizados na literatu-

ra tanto para o estudo de pórticos planos em equilíbrio estático como dinâmico, como para

resultados relativos ao estudo estrutural do riser rígido em catenária. O Capítulo 10 traz os

comentários finais acerca do trabalho e traz as sugestões para os próximos passos do estudo.

6



2 REVISÃO DA LITERATURA

Neste capítulo, apresenta-se uma revisão bibliográfica sobre os assuntos abordados para

realização deste estudo, visando focar na problemática do estudo estático e dinâmico do

trecho riser das linhas de produção e no contato desta estrutura com o solo marinho. Dentre

os tópicos abordados, primeiramente é tratada a questão do dimensionamento e do projeto de

risers , na qual procurou-se destacar algumas referências que tratam o problema de uma forma

mais global, ou seja, observando as características comuns dentro da análise estrutural de

risers com algumas citações ao estudo hidrodinâmico. Outro tópico mencionado tem relação

com o estudo dinâmico do riser , no qual são citadas algumas metodologias de abordagem

do caráter dinâmico da estrutura como, por exemplo, os domínios de análise: tempo ou

freqüência. Por fim, é feita um breve revisão de trabalhos relativos à interação solo-estrutura,

na qual se observa algumas características de modelagem dos fenômenos mecânicos do solo.

2.1 Dimensionamento e projeto de risers de produção

O projeto do riser é de grande complexidade devido à quantidade de fenômenos físicos

presentes com grande interdisciplinaridade. Uma ampla revisão e reunião de assuntos rela-

cionados à pesquisa de riser de produção podem ser observadas no trabalho de Patel & Seyed

(1995), no qual fazem uma revisão sobre a modelagem do riser , em especial, o flexível. Abor-

dam aspectos de análise estática da estrutura explicitando o caráter não-linear do problema

e diversas configurações de linhas. Constata-se, a partir desta revisão, que vários trabalhosoptaram por utilizar o método dos elementos finitos como ferramenta numérica de simulação.

Na questão dinâmica, segregam o assunto em duas áreas distintas: solução no domínio da

freqüência e no tempo. Dentre estes tópicos, relatam que a solução no domínio da freqüência

proporciona grande economia de tempo, já que a análise se torna mais barata no aspecto com-

putacional. Contudo, devido à não-linearidade inerente ao problema, a solução requer técni-

cas de linearização. A solução do domínio do tempo, embora mais cara computacionalmente,

se ajusta bem à característica não-linear do problema. Dentre os integradores numéricos no

tempo, destacam-se o integrador de Newmark, em especial o tipo β , devido à sua estabilidade

incondicional, boa acurácia e sua relativa facilidade de implementação. Anteriormente a este

trabalho, Bernitsas & Kokarakis (1988) indicam a importância da consideração dos efeitos

não-lineares tanto na questão estrutural como de carregamento, ao comparar os resultados de

modelos lineares com não-lineares e observar que esta consideração tem impacto considerável

na resposta obtida. Essa conclusão é de grande importância e têm correspondência com o

trabalho de Patel & Seyed (1995), que aponta para uniformidade de opiniões no momento

7



de escolha dos modelos com relação à não-linearidade.

Mais relacionados ao aspecto de dimensionamento e projeto, Chaudhury et al. (1999)

elencam os principais tópicos para projeto, teste e instalação de risers em águas rasas con-

siderando, na análise, diversos fenômenos presentes no comportamento mecânico do riser

de produção. Como objeto de análise, levaram em conta a modelagem não-linear do leitomarinho e da junta de reforço ( flex-joint ), para conexão à unidade de produção, efeitos de vi-

bração induzida por vórtices (VIV) e os efeitos de fadiga nas juntas da estrutura. Comentam

que o modelo de solo empregado tem grande importância, pois sua escolha remete direta-

mente à viabilidade do projeto e sua economicidade. Em um escopo de análise paramétrica

para investigação de riser , Pereira et al. (2007) analisam alguns parâmetros de influência den-

tro do projeto de riser rígido em águas ultra-profundas, dentre os quais: o diâmetro externo,

espessura do duto, offset da plataforma, a profundidade de operação e parâmetros relativos

às naturezas da onda e corrente atuando sobre a estrutura. Dentre os pontos principais de

dimensionamento e projeto, consideraram o topo da estrutura e o ponto de contato com o solo

marinho, denominado de Touchdown Point (TDP). Segundo os autores, a criticidade destes

pontos relaciona-se à correspondência destes com as porções mais solicitadas da estrutura.

Dentre os resultados obtidos, verificaram que o ângulo de topo e a espessura da parede têm

grande contribuição para a redução da tensão no topo de estrutura, sendo que as flexjoints ,

nesse escopo, podem contribuir enormemente para o controle desta tensão. No estudo do

TDP, concluíram que o movimento provocado pela embarcação, em especial o movimento de

heave , pode causar grande esforço de compressão na estrutura. Assim, unidades de produção

com movimentos de baixa amplitude tornam-se mais adequadas para a operação deste tipode linha. O mesmo resultado foi verificado por Song et al. (2006), por meio de uma abor-

dagem numérica utilizando o método dos elementos finitos através do software comercial

ABAQUS. Os fenômenos incluídos na análise foram fadiga induzida pelos esforços gerados

pelo movimento da embarcação, vibração induzida por vórtice oriunda do movimento de

heave , entre outros. Os autores concluíram, também, que o problema de fadiga se torna

crítico na área do TDP, devido aos grandes esforços envolvidos nesta área, especialmente

para grandes diâmetros de duto.

Em um cenário de águas profundas, Andueza et al. (2001) estudaram o comportamento

de risers híbridos, que consiste na configuração em que um riser flexível em catenária, ligado

à unidade de produção, está em conjunto com um riser rígido vertical conectado ao poço. A

junção entre as distintas estruturas é feita através de um componente bóia, que auxilia na

sustentação do conjunto e, principalmente, do elemento vertical. A análise do modelo foi feita

através do uso de elementos finitos, considerando não-linearidades e grandes deslocamentos,

com o auxílio dos códigos computacionais MSC/Patran e ABAQUS. O modelo da configu-

8



ração em questão foi testado considerando efeitos de tração axial, momentos fletores e pressão

externa para as profundidades de 1800 e de 3000 metros. Dentre os resultados obtidos, este

modelo se mostrou como uma boa alternativa para a explotação em águas profundas, pois

não apresentou grandes variações de tensão com o movimento de heave e a intensidade da

tração no topo da estrutura capaz de ser suportada pela embarcação.Mais recentemente, Morini (2009), através uma abordagem estática, estudou a estrutura

de riser rígido em catenária, utilizando a formulação posicional proposta por Coda & Greco

(2004). Neste, o autor considerou carregamentos estáticos como o peso próprio e o empuxo,

assim como esforços ligados à estrutura devido ao contato com o solo. Como modelo de solo,

utilizou o conjunto de molas infinitas não-lineares, no qual não foram considerados os efeitos

horizontais. Os resultados de simulação foram comparados com os fornecidos pelo software

ANFLEX, obtendo boa proximidade de solução.

2.2 Estudo dinâmico de risers

Dentro do escopo da dinâmica de riser , Patel et al. (1984) fizeram um trabalho muito inte-

ressante, ao tratar os domínios do tempo e freqüência. Neste estudo, observam-se tendências

que ainda permanecem nas publicações recentes: o uso da ferramenta de elementos finitos em

conjunto com integrador de Newmark no domínio do tempo em um escopo não-linear para

riser vertical. Os autores analisaram os deslocamentos e tensões na estrutura resultantes

de carregamentos, oriundos de fatores como peso próprio, pressões internas e externas, em-

puxo, e forças ambientais derivadas de correntes marítimas e ondas. Larsen (1992) faz uma

comparação entre resultados fornecidos por onze dos principais softwares , na época, para

simulação estática e dinâmica de riser . Dentre as principais conclusões, observaram que,

para a análise estática, diferenças significativas são obtidas a partir das diversas formas de

modelar as forças de arrasto e a interação entre o solo-estrutura. Porém, de uma forma geral,

as incertezas presentes são aceitáveis, tornando a análise estática como uma metodologia con-

solidada. Na questão dinâmica, as soluções mostraram considerável variação entre os valores

de tensão, algo em torno de 10 a 15%, e apontam que tal variação tem origem nas diferentes

formas de modelar os carregamentos hidrodinâmicos e o amortecimento estrutural. É pos-

sível constatar que há uma tendência entre os softwares de utilizar o método dos elementosfinitos como ferramenta de discretização, enquanto faz-se uso do método de Newmark como

integrador numérico para o domínio no tempo. A respeito do estudo dinâmico de riser rígi-

dos em catenária (Steel Catenary Riser - SCR), Lane et al. (2001) comparam os métodos de

modelagem dinâmica no domínio do tempo e da freqüência para previsão do tempo de vida

em fadiga. Apresentam resultados, dentre os quais o fenômeno de interação solo-estrutura

9



é incluído, utilizando uma ferramenta avançada no domínio da freqüência e, também, com-

param com resultados de problemas análogos no domínio do tempo. Os autores concluem

que a análise de freqüências do riser traz algumas vantagens durante o desenvolvimento do

projeto, já que uma série de alternativas, passíveis de descarte, sejam desconsideradas na fase

inicial do mesmo. Dessa forma, elimina-se uma série de opções que não seriam possíveis deser implementadas, economizando tempo de simulação nas etapas mais avançadas do projeto.

Kubota (2003) analisou o comportamento de um riser rígido vertical solicitado através

de carregamentos hidrodinâmicos. O escopo do estudo norteou a análise estática e dinâmica

do riser , utilizando como ferramenta numérica o método dos elementos finitos novamente

e fazendo uso da formulação de Garlekin. Com relação ao estudo dinâmico, elegeu o inte-

grador de Newmark para solução das equações no domínio no tempo. O trabalho comparou

os resultados numéricos obtidos com procedimentos experimentais, de um corpo esbelto sobre

efeito de escoamento por corrente marítima, ondas e efeitos de VIV, obtendo razoável con-

cordância. Pesce & Martins (2004) e Pesce et al. (2006) analisaram a dinâmica no domínio

do tempo para a região do TDP de riser em catenária, obtendo a solução analítica para a

aproximação quase estática do problema. Os autores comentam que a solução quase estática

baseia-se na premissa de comportamento dinâmico de baixa velocidade do trecho suspenso,

o que é válido para solos com rigidez suficientemente alta e ausência de impacto da estrutura

contra a fundação. Os autores Yazdchi & Crisfield (2002) modelaram e implementaram a

inclusão de carregamentos hidrodinâmicos e hidrostáticos em problemas tridimensionais de

riser , ao abordar solução numérica para dinâmica no domínio do tempo através de formulação

co-rotacional para vigas Reissner-Simo. Em seu trabalho, simularam cenários clássicos daestática e dinâmica de riser . Os resultados obtidos durante a validação mostraram boa corres-

pondência com resultados presentes na literatura. Silveira & Martins (2003) fizeram análise

do comportamento dinâmico no domínio do tempo de linhas utilizando o integrador temporal

de Newmark. Neste último, os autores incluíram os efeitos não-lineares do amortecimento

viscoso, dado pela formulação de Morison, e o contato da estrutura com o solo marinho.

2.3 Interação entre solo e estrutura

A região de contato entre o solo e a estrutura é de grande importância, pois, em geral, nostrabalhos publicados, observa-se que esta região é responsável por picos de tensão. Esses pi-

cos de tensão, somados às características dinâmicas do sistema, tornam a resistência à fadiga

um assunto de notória relevância no dimensionamento da estrutura. Desta forma, a cons-

trução de um modelo bem caracterizado, assim como suas propriedades envolvidas, torna-se

imprescindível para previsão de falhas e tomadas de decisões quanto às estratégias necessárias

10



para interromper os mecanismos de falha. Silveira et al. (2000) e Silveira & Martins (2004)

construíram uma representação do contato entre o solo e a estrutura considerando-o como

um conjunto de molas e amortecedores verticais continuamente distribuídos. Desta maneira,

conseguiram implementar a rigidez e amortecimento do solo para deslocamentos no sentido

vertical através da introdução de coeficientes. No aspecto do projeto da linha de produção,analisando o fenômeno do contato com o solo, Leira et al. (2004) exploraram o tema discor-

rendo acerca de alguns modelos para a interação entre o solo e o riser . Comentam que a

resposta do modelo é diretamente ligada à forma de interação com o solo, ou seja, o resul-

tado do modelo está relacionado com as premissas de sua construção como, por exemplo: a

consideração ou não do efeito de sucção, a característica não-linear da modelagem do solo

(diferentes comportamentos para movimento ascendente ou descendente), entre outros. Desta

forma, concluem que a qualidade da resposta depende da escolha do modelo para o caso estu-

dado, o que terá grande impacto na previsão para falha por fadiga e, para modelos com maior

simplicidade, a correção através de coeficientes pode não ser suficiente para caracterizar bem

o modelo em relação à realidade. Um trabalho que tem o escopo semelhante foi realizado

por Bridge et al. (2004), no qual comentam também sobre a importância da caracterização

do modelo para análise do fenômeno de interação entre o solo e estrutura para garantir resul-

tados aceitáveis durante o dimensionamento da linha, especialmente para determinação da

falha por fadiga. Em especial, os autores discorrem sobre a mecânica vertical do contato com

o solo, descrevendo os diferentes comportamentos do fenômeno ao distinguir o movimento

descendente (relacionado ao enrijecimento do solo) do ascendente (efeito de sucção). Com

relação a modelos numéricos para contato entre o riser e o solo, Kordkheili & Bahai (2007)consideraram, além dos efeitos analisados por Yazdchi & Crisfield (2002), os efeitos de não-

linearidade da interação solo-estrutura através de uma abordagem numérica. Novamente,

percebe-se que a abordagem numérica escolhida foi o método dos elementos finitos, sendo

que a formulação proposta pelos autores baseou-se na formulação Lagrangeana. Para a simu-

lação, o elemento adotado foi um elemento de viga com quatro nós e vinte e quatro graus de

liberdade, no qual o componente não-linear da rigidez é de natureza puramente geométrica.

Mais recentemente, Barros et al. (2009) discutem o comportamento de três diferentes tipos

de modelos analíticos para interação solo-estrutura: Winkler, Pasternak e Kerr, apontando

as diferentes implicações no comportamento dos deslocamentos e a distribuição de tensão no

corpo. Os autores discorrem sobre as características de cada modelo quanto à caracterização

do solo e suas implicações dentro do contexto da interação entre o solo e a estrutura. As

soluções analíticas de cada modelo são comparadas com uma solução numérica feita através

de uma abordagem de elementos finitos, na qual o solo foi modelado como contínuo. Dentre

os resultados obtidos, o modelo de Winkler, em contrapartida aos demais modelos, apresen-

11



tou uma solução oscilatória e observou-se que a escolha do modelo implicou diretamente na

intensidade da tensão no corpo na região do TDP, fato que, para outros pontos do domínio

do corpo, os resultados não exibem diferença significativa. Com relação à comparação com

o modelo numérico contínuo, o modelo de Kerr mostrou soluções mais próximas.

2.4 Comentários a respeito da revisão bibliográfica

A partir dos trabalhos apresentados, observa-se uma freqüente utilização de ferramen-

tas computacionais para dimensionamento e análise de risers . Dentre as ferramentas mais

utilizadas para discretização, nota-se uma preferência patente pelo método dos elementos

finitos, o que, de uma forma não menos categórica, o coloca como umas da príncipais fer-

ramentas para discretização do espaço dentro deste assunto. Outra constatação, feita a

partir de vários trabalhos sobre o tema, é que a construção do modelo de simulação é feita

de forma a caracterizar os efeitos não-lineares da rigidez estrutural. Essa caracterização érealizada satisfatoriamente através de formulações de elementos finitos não-lineares, em es-

pecial, com relação à rigidez geométrica. Com respeito à análise dinâmica no domínio do

tempo, o método de discretização e integração temporal tem preferência pela utilização do

método de Newmark. Grande parte dos trabalhos relacionados nesta revisão apresentaram

esses dois caminhos, preferencialmente, como alternativa para solução do problema, o que

também é observado nos software comerciais específicos para o problema, como citado por

Larsen (1992). Com relação à análise do contato solo-estrutura, observa-se uma grande pre-

ocupação acerca do tema de fadiga, em virtude dos esforços gerados à estrutura nessa região

que têm grandes amplitudes de tensão e são de natureza cíclica. Nota-se que o tema ainda

é de grande discussão, pois existe uma grande variedade de modelos que visam cobrir os

fenômenos mecânicos presentes na interação. Essa discussão culmina na forma de utilização

e aplicação de cada modelo, já que tanto de uma óptica computacional como analítica, o que

se pode constatar é que há certa variabilidade de resultados a depender do modelo escolhido,

de forma que o resultado de melhor qualidade não está necessariamente ligado à complexi-

dade do modelo. Assim, a escolha do modelo é bastante crítica, porque, a depender de sua

escolha, as soluções obtidas podem ter impactado na análise do dimensionamento da linha

devido à distinção entre as soluções.

12



3 FORMULAÇÃO CO-ROTACIONAL PARA PÓRTICOS

PLANOS

Este capítulo trata do equacionamento da formulação co-rotacional para o elemento de

pórtico no plano em regime de grandes deslocamentos e pequenas deformações. Em todo o

texto, o termo pórtico denomina-se como o corpo esbelto com dimensões axiais predominantes

cujos graus de liberdade nodais são:

• deslocamentos de translação u e v, respectivamente nas direções x e y;

• rotação θ, em torno do eixo z .

Desta forma, o pórtico é a união dos modelos de barra e viga, no qual o primeiro trata

do comportamento de alongamento e contração e o segundo da flexão do corpo. O modelode viga adotado é o Euler-Bernoulli e utiliza suas hipóteses para construção da formulação.

A descrição de movimento co-rotacional tem origem no teorema de decomposição polar

(Lapeira, 2007), em que o deslocamento total pode ser decomposto no movimento do corpo

rígido mais deslocamento relativo. No contexto dos elementos finitos, consiste em fixar ao

elemento um sistema local de coordenadas que rotaciona e translada em conjunto com o corpo.

Assim, no referencial local, elimina-se a análise do movimento de corpo rígido concentrando-se

somente nos deslocamentos relativos, que para este sistema de coordenadas são considerados

pequenos. Essa premissa permite expressar os deslocamentos locais do elemento com baixa

ordem de não-linearidade (Battini, 2002). Essa baixa ordem de não-linearidade é apenas

aparente à medida em que a não-linearidade geométrica é incluída no movimento do sistema

local de coordenadas.

As primeiras contribuições utilizando a abordagem co-rotacional são oriundas de Be-

lytschko & Hsieh (1973), Oran (1973) e Oran & Kassimali (1976) em problemas transientes

para vigas, para análise de grandes deslocamentos e estabilidade em estruturas, respectiva-

mente. O termo co-rotacional foi inicialmente apresentado por Belytschko & Glaum (1979)

referindo-se ao sistema local de coordenadas ligado ao elemento.

Este capítulo concentra-se, primeiramente, na dedução das equações para os esforçosinternos e da matriz tangente de rigidez para o elemento de pórtico plano. A dedução é

baseada no texto de Crisfield (1991) e Battini (2002) e algumas alterações apresentadas por

Souza (2000) para adequação às grandes rotações.

13



3.1 Formulação co-rotacional para elementos de pórtico plano

É dado um corpo orientado em um referencial inercial xy com origem O em uma con-

figuração inicial C 0. Essa configuração é determinada pelos vetores posição x1 e x2, que

correspondem aos vetores formados pela origem O e os nós das extremidades do elemento,

como pode ser observado na Fig.(3.1). Com relação ao referencial inercial, define-se

p =

u1 v1 θ1 u2 v2 θ2

T

, (3.1)

como o vetor de deslocamentos nodais globais1, no qual ui corresponde aos deslocamentos na

direção x, vi aos deslocamentos na direção y e θi as rotações no plano xy.

Uma vez solicitado com um carregamento externo, o corpo sairá de sua configuração inicial

C 0 e atingirá uma nova denominada de C j. Assim sendo, definem-se como d j1 e d

j2 como os

vetores de deslocamento dos nós do elemento e têm origem nos nós na configuração inicial C 0e final nos nós da configuração final C j, como pode ser observado na Fig.(3.1). Dessa forma,

os vetores d ji podem ser explicitados em termos dos deslocamentos nodais globais como

d1 =

u1 v1

T

e d2 =

u2 v2

T

, (3.2)

em que o índice j da configuração foi negligenciado por simplificação textual.

Sobre o corpo, posiciona-se um referencial relativo2 xy de origem O coincidente como o

primeiro nó do elemento que rotaciona e translada em conjunto com o corpo conforme altera

sua configuração. Baseado nesse referencial móvel os únicos movimentos observados são asrotações nodais do corpo em relação ao plano xy e medidas em relação a x, representados

por θl1 e θl2, e o deslocamento transversal axial na direção x, definido como ul, como pode ser

observado na Fig.(3.2). Dessa forma, define-se o vetor de deslocamentos nodais local como

pl =

ul θl1 θl2

T

. (3.3)

Para relacionar o referencial local ao global é importante introduzir algumas relações

entre as grandezas globais e locais. Partindo da determinação do comprimento do elemento

na configuração inicial C 0, tem-se o seguinte resultado

l0 = x21 , (3.4)

em que x21 = x2 −x1. De forma análoga, o comprimento do elemento numa configuração C j

1O termo global remete às grandezas em relação ao referencial inercial2Aqui tratado como referencial local

14



é dado por

l = x21 + d21 , (3.5)

no qual d21 = d2−d1. Assim, o deslocamento nodal ul do referencial local é calculado através

da relação

ul = l − l0. (3.6)

Crisfield (1991) comenta que em geral a relação (3.6) não é bem condicionada matemati-

camente e sugere a seguinte transformação

ul = l − l0 = (l − l0)(l + l0)

l + l0=

l2 − l20

l + l0=

2

l + l0

x21 +

1

2d21

T

d21. (3.7)

Para determinar a transformação com relação aos deslocamentos nodais de rotação, da

Fig.(3.2), parte-se a seguinte relação entre ângulos

θl1 = θ1 − α e θl2 = θ2 − α. (3.8)

Através da Fig.(3.2), é possível construir a seguinte relação angular

α = β − β 0. (3.9)

Dessa forma (3.8) transforma-se em

θl1 = θ1 − (β − β 0) e θl2 = θ2 − (β − β 0). (3.10)

Utilizando relações trigonométricas a partir da equação de θl1 em (3.10) é possível escrever

sin θl1 = sin(θ1 − (β − β 0)) = cos β sin(θ1 + β 0) − sin β cos(θ1 + β 0) (3.11)

cos θl1 = cos(θ1 − (β − β 0)) = cos β cos(θ1 + β 0) + sin β sin(θ1 + β 0) (3.12)

Analogamente, para θl2 tem-se

sin θl2 = sin(θ2 − (β − β 0)) = cos β sin(θ2 + β 0) − sin β cos(θ2 + β 0) (3.13)

cos θl2 = cos(θ2 − (β − β 0)) = cos β cos(θ2 + β 0) + sin β sin(θ2 + β 0) (3.14)

15



As rotações θl1 e θl2 são determinadas por

θl1 = tan−1

cosβ sin(θ1 + β 0)− sin β cos(θ1 + β 0)

cosβ cos(θ1 + β 0) + sin β sin(θ1 + β 0)

(3.15)

θl2 = tan−1

cosβ sin(θ2 + β 0)−

sin β cos(θ2 + β 0)cosβ cos(θ2 + β 0) + sin β sin(θ2 + β 0)

(3.16)

Esse procedimento, diferentemente de Crisfield (1991), foi proposto por Souza (2000),

pois permite o cálculo para grandes rotações. Assume-se que θl1 e θl2, medidos em relação à

corda do elemento tem valores moderados, menores do que π/2. Com relação a essa premissa,

Aranha & Souza (2004) comentam que na prática isso não afeta o problema, já que à medida

em que os membros estruturais são divididos em elementos menores, as rotações relativas

locais tornam-se cada vez menores.

Figura 3.1: Movimento de corpo rígido de C 0 até C j .

3.1.1 Deslocamentos Virtuais Locais

O deslocamento virtual no referencial local é obtido a partir da primeira variação do vetor

local de deslocamentos, dado em (3.3), que resulta em

δ pl = δul δθl1 δθl2

T

. (3.17)

16



Figura 3.2: Movimento deformacional de C 0 até C j.

Dessa forma, da primeira variação de cada uma das componentes, δul, δθl1 e δθl2, é

possível explicitá-lo em função das variáveis globais. Para o primeiro termo, δul, a variação

fornece o seguinte resultado

δul = δl = cos β (δu2−

δu1) + sin β (δv2−

δv1) = −

c −

s 0 c s 0T

δ p, (3.18)

em que c e s correspondem a cos β e sin β , respectivamente, e δ p é o vetor de deslocamento

virtual no referencial global. Por conveniência, define-se

r = −c −s 0 c s 0

T

, (3.19)

obtendo a seguinte equação

δul = rδ p. (3.20)

Para as rotações locais, o deslocamento virtual é determinado através da diferenciação de

(3.10), resultando em

δθl1 = δθ1 − δβ e δθl2 = δθ2 − δβ. (3.21)

17



Uma vez que β 0 é constante, a determinação do termo δβ pode ser feita através da variação

de

sin β = y2 + v2 − y1 − v1

l , (3.22)

o que fornece o seguinte resultado

δβ = 1

cos βl2[(δv2 − δv1)l − (y2 + v2 − y1 − v1)δl], (3.23)

no qual δl = δul. Assim, tem-se:

δβ = 1

cos βl2

(δv2 − δv1) − cos β sin β (δu2 − δu1) − sin2 β (δv2 − δv1)

. (3.24)

Definindo um vetor z como

z =

s −c 0 −s c 0T

, (3.25)

a variação de (3.19) e (3.25) fornece as seguintes relações:

δ r = zδβ (3.26)

e

δ z =−rδβ . (3.27)

Transformando (3.24) com relação às variáveis globais, tem-se:

δβ = 1

l zδ p. (3.28)

Assim, as equações presentes em (3.21) modificam-se da seguinte maneira:

δθl1 =

0 0 1 0 0 0T

δ p + 1

l

zδ p (3.29)

δθl2 =

0 0 0 0 0 1T

δ p + 1

l zδ p (3.30)

Fazendo a correspondência de (3.18), (3.29) e (3.30), com (3.17), obtem-se a seguinte

relação de transformação:

δ pl = Bδ p, (3.31)

18



em que

B =

−c −s 0 c s 0

s/l −c/l 1 −s/l c/l 0

s/l −c/l 0 −s/l c/l 1

. (3.32)

Estabelecida a relação geométrica entre as variáveis do elemento, pode-se partir para a

formulação mecânica do problema.

3.1.2 Trabalho Virtual

O trabalho virtual V das forças internas no referencial global é dado por

V = δ pT qi, (3.33)

no qual δ pT corresponde ao deslocamento virtual do corpo e qi é o vetor de esforços internos.

No referencial local, o trabalho pode ser escrito como

V = δ pT

l qli. (3.34)

O termo qli corresponde aos esforços internos no elemento no referencial local e é repre-

sentado pela seguinte expressão:

qli =

N M 1 M 2T

, (3.35)

No qual o termo N corresponde ao esforço normal no elemento e M 1 e M 2 representam

os momentos fletores presentes na extremidade do elemento como pode ser observado na

Fig.(3.3). Igualando (3.33) a (3.34) e substituindo (3.31) em (3.34), obtem-se:

δ pT qi = δ pT BT qli

⇒ qi = BT qli. (3.36)

O que permite escrever uma transformação dos esforços internos do referencial local para

o referencial global da seguinte maneira:

qi = BT q

li = BT

N M 1 M 2

T

(3.37)

19



Figura 3.3: Forças internas presentes no elemento.

3.1.3 Determinação dos esforços internos

Uma vez determinada a relação de transformação dada por (3.37) é necessário calcu-

lar os termos presentes no vetor qli

. Sua determinação está intimamente ligada às hipóteses

assumidas com relação à lei constitutiva que rege o material. Este trabalho tratará a determi-

nação dos esforços internos com a mesma abordagem dada por Crisfield (1991). Entretanto,

Yshii (2002), em seu estudo, obtém os mesmos resultados através de uma abordagem maisgeneralista.

Assumindo o material como linear elástico, o esforço normal ao eixo transversal do corpo

(referencial local) é dado por:

N = EAl − l0

l0= EA

ul

l0. (3.38)

Os momentos fletores M 1 e M 2 são dados por (Harrison, 1973):

M 1

M 2

= 2EI

l0

2 1

1 2

θl1

θl2

(3.39)

20



3.1.4 Matriz Tangente de Rigidez

A primeira variação de (3.37) é

δ qi = BT δ qli

+ Nδ B1 + M 1δ B2 + M 2δ B3. (3.40)

no qual Bi corresponde a i-ésima coluna de BT escrito em (3.32). A partir da primeira

variação de qli, composta por (3.38) e (3.39), e arranjando matricialmente, tem-se:

δ qli =

δN

δM 1

δM 2

=

EA

l0

1 0 0

0 4I/A 2I/A

0 2I/A 4I/A

δ pl

= Clδ pl. (3.41)

O que permite escrever o termo BT δ qli como:

BT δ qli = BT ClBδ p. (3.42)

O termo δ B1 é equivalente à variação de (3.19), fornecendo:

δ B1 = δ r. (3.43)

Substituindo (3.26) e (3.28) na equação anterior, obtem-se:

δ B1 =

1

l zz

T

δ p. (3.44)

A variação de B2 fornece:

δ B2 = 1

l δ z +

1

l2zδul. (3.45)

Substituindo (3.20) e (3.26) em (3.45) leva a:

δ B2 = 1

l2

rzT + zrT

δ p. (3.46)

A variação de B3 é idêntica a B2 como é apresentado em (3.46). Assim, a equação

completa para a matriz tangente de rigidez é dada por:

K = BT ClB + N

l zzT

+ M 1 + M 2

l2

rzT + zrT

. (3.47)

21



A matriz de rigidez pode ser dividida em dois termos, o primeiro

KM = BT ClB, (3.48)

é denominado de rigidez do material e, nesse estudo, é considerado linear. O segundo termo,

KG =N

l zz

T +

M 1 +M 2

l2

rz

T + zr

T , (3.49)

corresponde à rigidez geométrica e, para o contexto desse trabalho, é onde se concentra a

não-linearidade do problema.

22



4 ESTUDO DA ESTÁTICA DE ESTRUTURAS

GEOMETRICAMENTE NÃO-LINEARES

Esse capítulo destina-se ao estudo do equilíbrio estático de estruturas admitindo não-

linearidade geométrica. Todo o contexto de formulação para elementos finitos é feito através

da abordagem co-rotacional deduzida anteriormente. O estudo estático baseia-se no equilíbrio

entre as forças internas e externas, no qual a equação resultante é de caracter geometricamente

não-linear e é resolvida através de método iterativo. O método iterativo admitido nesse estudo

é o Newton-Rapshon. Existem outros métodos de resolução mais robustos, tais como Newton

Modificado, Quasi-Newton, Secante Acelerada, Arc-lenght , entre outros, que são apresentados

em mais detalhes em Crisfield (1991). Como o estudo de métodos iterativos foge do escopo

do trabalho a opção pelo método de Newton-Rapshon se deve a sua implementação, mais

simples em relação métodos supracitados.Para o estudo estático tem-se como procedimento de resolução o controle por dois méto-

dos: por carregamento e por deslocamento. No primeiro, utilizado nesse estudo, o carrega-

mento é dividido em frações e o problema é resolvido de forma gradual adicionando estas

frações até que o total cumulativo de adições forneça o carregamento total (inicialmente

proposto). Dessa forma, a cada adição ou passo de carga (como será tratado no texto), o

sistema é solicitado até uma configuração de equilíbrio, sendo a última relativa ao último

passo de carga, ou seja, a configuração estática final do corpo. No segundo método, controle

por deslocamento, o raciocínio é análogo, porém o deslocamento é inicialmente determinado,

dividido em frações e depois gradualmente adicionado até que se obtenha o deslocamento

final desejado, sob o equilíbrio de forças.

Este capítulo é composto pela resolução da equação de equilíbrio estático e a dedução de

sua resolução através do método de Newton-Raphson, onde seu algoritmo é apresentado. Ao

final do capítulo, é apresentado o algoritmo do método de controle por carregamento para

resolução do problema estático não-linear.

4.1 Equilíbrio Estático

O equilíbrio estático se dá através da seguinte equação

ge = q

i− q

e = 0, (4.1)

em que qi corresponde aos esforços internos no corpo e q

e aos esforços externos ou à solicitação

à estrutura. Define-se como força de desequilíbrio a diferença entre as forças internas e

23



externas e é representada por ge. É importante ressaltar que a equação presente em (4.1) é

de caracter geometricamente não-linear devido à dependência não-linear de qi com relação

aos deslocamentos p. Sendo assim, sua resolução é de caráter iterativo e o algoritmo de

resolução escolhido foi o método Newton-Raphson.

4.1.1 Método de Newton-Raphson

Expandindo ge em série de Taylor, tem-se

gn+1

e ≈ gn

e +

∂ gn

e

∂ p δ p +

∂ 2gn

e

∂ p2 δ p2 + · · · (4.2)

O termo de primeira ordem, pode ser reescrito como

∂ gn

e

∂ p = K, (4.3)

no qual K é matriz tangente de rigidez determinada em (3.47). Esse termo é normalmente

tratado como matriz Hessiana, pois corresponde à segunda derivada da energia interna de

deformação, ou como no texto aqui presente, a primeira derivada dos esforços internos. Ne-

gligenciando os termos de alta ordem e assumindo gn+1e = 0, tem -se que:

δ pn = −K−1gn

e(pn) (4.4)

Assim, a nova estimativa para p é formada através da correção δ pn e assume a seguinteforma:

pn = p0 + δ pn. (4.5)

Observa-se que a continuidade desse procedimento incorre em um processo iterativo. Cabe

ressaltar que o termo qi, normalmente variante, é recalculado a cada interação.O termo q

e,

dos esforços externos, deve ser recalculado caso tenho dependência com a posição do corpo

no espaço.

O processo iterativo irá cessar quando o termo de forças de desequilíbrio ge for nulo,implicando assim na equivalência entre os esforços internos e externos. Do ponto de vista

computacional este representa o critério de parada, devendo-se assumir um valor representa-

tivamente pequeno, no caso representado como ε, de forma a obter a maior proximidade da

solução iterativa com a real.

O algoritmo de Newton-Raphson para resolução de (4.1) é dado a seguir, no qual assume-

se como entrada um deslocamento inicial p, qi e K são determinados respectivamente através

24



de (3.37) e (3.47) e o sobre-índice n representa o contador de iteração para o processo iterativo:

1. Inicialização

(a) Determinação da tolerância ε

(b) Assumir correção inicial δ p0 = 0

(c) Assumir p0 = p

(d) Calcular q0i = q

i(p0)

(e) Calcular g0e = q0

i − q

e

2. Processo Iterativo

(a) Calcular K(pn)

(b) Calcular a correção para p: δ pn+1 = δ p

n

− K−1

gn

e

(c) Calcular p corrigido: pn+1 = p + δ pn+1

(d) Calcular qn+1

i = q

i(pn+1)

(e) Calcular gn+1e

= qn+1

i − q

e

(f) Se gn+1e < ε então assumir convergência: p = pn+1

(g) Retornar ao item (a)

4.1.2 Método de controle por carregamento

O método de controle de carregamento consiste em dividir o esforço externo qe

em

frações e, assim, solicitar a estrutura através da adição gradual e cumulativa dessas frações.

Denomina-se passo de carga o valor das frações da solicitação externa e é representado por N c.

Durante o procedimento de controle de carregamento, para cada passo de carga, procura-se

o deslocamento p que garanta equilíbrio estático através do algoritmo de Newton-Raphson.

Assim, para uma determinada solicitação qe

o algoritmo de controle por carregamento é

dado por:

1. Inicialização

(a) Determinar o número de passos de carga N c

(b) Assumir p0 = 0

(c) Determinar o incremento gradual de carga ∆qe = (1/N c) q

e

2. Processo de incremento de carga: loop de 1 a N c

25



(a) Calcular K(pn)

(b) Calcular o incremento de deslocamento ∆p = K−1∆qe

(c) Calcular o deslocamento atual pn+1 = pn +∆p

(d) Calcular o carregamento atual qn+1

e = q

n

e + ∆qe

(e) Calcular o vetor de forças internas atual qi(pn+1)

(f) Processo de Newton-Raphson para determinar p ⇒ ge < ε

No qual K é matriz de rigidez determinada em (3.47), qi é o vetor de esforços internos

dado por (3.37) e os sobre-índice presentes nas variáveis indicam o número de passo de carga

dentro do looping .

26



5 ESTUDO DA DINÂMICA DE ESTRUTURAS

GEOMETRICAMENTE NÃO-LINEARES

Este capítulo consiste no estudo do equilíbrio dinâmico de estruturas não-lineares no

contexto da formulação co-rotacional. A primeira parte do texto trata do equilíbrio dinâmico

não-linear e contextualiza-o com relação à abordagem co-rotacional. A segunda parte diz

respeito ao procedimento de integração no tempo implícito não-linear de Newmark.

5.1 Equilíbrio Dinâmico

O equilíbrio dinâmico de uma estrutura é dado através da seguinte expressão

gd = q

i −qe + Mp + Cp = g

e + Mp + Cp = 0, (5.1)

em que qi corresponde ao vetor de forças internas dado por (3.37), qe é a solicitação externa

dependente do tempo, M e C são as matrizes de massa e de amortecimento da estrutura

(discutidas mais adiante) e os vetores p e p correspondem à velocidade e aceleração nodal

no referencial global, respectivamente.

Define-se como gd o vetor de desequilíbrio dinâmico. A equação de equilíbrio dinâmico

de estruturas é composta pelo termo estático ge, mostrado no capítulo anterior, mais os

termos Mp e Cp que correspondem às forças inerciais e de dissipação, respectivamente. A

resolução de (5.1) é de caracter não-linear em razão da dependência do termo ge com relaçãoao deslocamento p, como visto no capítulo anterior. O método de integração no tempo

utilizado para a resolução do problema é o de Newmark implícito.

5.1.1 Algoritmo de Newmark implícito não-linear

Dado um intervalo de tempo ∆t a predição para o valor subsequente n + 1 de p e p

através dos valores anteriores n, e pelo procedimento de integração no tempo de Newmark

(Newmark, 1959) é dado por

pn+1 = pn + ∆tpn + ∆t2

2 (1− 2β )pn + ∆t2β pn+1 (5.2)

e

pn+1 = pn + ∆t(1− γ )pn + ∆tγ pn+1, (5.3)

27



em que β e γ são as constantes de Newmark. Dependendo dos valores destas constantes o

método de integração pode ser considerado implícito ou explícito. Para β = 1/4 e γ = 1/2 o

método caracteriza-se como implícito. Segundo Géradin & Rixen (1997) a admissão desses

valores garante o melhor método incondicionalmente estável da família de integradores de

Newmark. A substituição destas constantes em (5.2) e (5.3) fornecem o seguinte resultado

pn+1 = pn + ∆tpn + ∆t2

4 (pn + pn+1) (5.4)

e

pn+1 = pn + ∆t

2 (pn + pn+1). (5.5)

A partir de (5.5), (5.4) pode ser reescrita como:

pn+1 = pn + ∆t2

2 (pn + pn+1). (5.6)

Com todas as informações necessárias no passo n, é possível utilizar (5.5) e (5.6) para

determinar pn+1 e pn+1 e substituir os valores em (5.1). Assim, é possível observar que a

equação de equilíbrio dinâmico torna-se não linear para pn+1 e pode ser resolvida através do

procedimento de Predição e Correção (Crisfield, 1997).

Expandindo qn+1

i em série de Taylor e truncando a série no primeiro termo, tem-se

qn+1i = qn

i + ∂ qn

i

∂ pn (pn+1−pn) = qn

i +Kn∆p, (5.7)

no qual Kn é a matriz tangente de rigidez determinada através de (3.47) calculada no passo

n. Para o passo n + 1 a equação de equilíbrio dinâmico é dada por

qn+1

i − qn+1

e +Mpn+1 + Cpn+1 = 0. (5.8)

Utilizando (5.5), (5.6) e (5.7) em (5.8), obtem-se a seguinte relação:

qni −

qn+1e

+ Kn∆p+ M

4∆t2

∆p−

4∆t2

pn

−pn

+C

2∆t

∆p−

pn

= 0. (5.9)

A equação (5.9) é equivalente a

∆qe = K

n

∆p, (5.10)

28



em que

∆qe = qn+1e − qn

i + M

4

∆t pn + pn

+ Cpn (5.11)

e

Kn

= Kn + 4

∆tM +

2

∆tC. (5.12)

A Eq. (5.10) fornece o passo de predição e utiliza a matriz tangente de rigidez equivalente

do caso dinâmico ( K) que leva em conta os termos de massa e amortecimento mostrado em

(5.12).

Dessa forma, o deslocamento para o passo n + 1 é dado por pn+1 = pn + ∆p e, através

de (5.5) e (5.6) , é possível obter pn+1 e pn+1, respectivamente. Porém, essa solução normal-

mente não garante a condição de equilíbrio gd = 0 e desta forma, como no caso estático, adeterminação de pn+1 que satisfaça a condição de equilíbrio é obtida a partir do algoritmo de

Newton-Raphson. Expandindo gn+1d em uma série de Taylor truncada no termo de primeira

ordem, onde os sobre-escritos n e k referem-se ao incremento de tempo e ao passo do processo

de expansão, respectivamente, tem-se:

gn+1,k+1d = g

n+1,kd +

∂ ge

∂ p δ pn+1 = g

n+1,kd + K

n+1δ pn+1

. (5.13)

Como no procedimento estático, assumindo gn+1,k+1

d = 0 o corretor δ pn+1 é dado por

δ pn+1 = −Kn+1

gn+1,kd . (5.14)

Para pn+1, pn+1 e pn+1, tem-se o seguinte algoritmo de Newton-Raphson para solução da

equação do equilíbrio dinâmico e determinação de pn+1,k+1, pn+1,k+1 e pn+1,k+1 correspon-

dente à solução:

1. Inicialização

(a) Determinação da tolerância ε

(b) Assumir p0 = pn+1

(c) Assumir p0 = pn+1

(d) Assumir p0 = pn+1

(e) Calcular q0i = qi(p0)

(f) Calcular g0d = qi − qe + Mp0 + Cp0

29



2. Processo Iterativo

(a) Calcular K(pk)

(b) Calcular a correção para p: δ pk+1 = −K−1

gkd

(c) Calcular a correção: pk+1 = pk + δ pk+1

(d) Calcular a correção: pk+1 = pk + (2/∆t)δ pk+1

(e) Calcular a correção: pk+1 = pk + (4/∆t2)δ pk+1

(f) Calcular qk+1i = qi(pk+1)

(g) Calcular gk+1d = qk+1

i − qe + Mpk+1 + Cpk+1

(h) Segk+1

d

<

qk+1

i + Cpk+1 ε então assumir convergência: pn+1 = pk+1, pn+1 =

pk+1 e pn+1 = pk+1

(i) Retornar ao item (a)

Cabe ressaltar que o sobre-índice k refere-se aos termos de contagem dentro do looping

no algoritmo de Newton-Raphson, enquanto que n refere-se ao incremento de tempo do

algoritmo de integração no tempo de Newmark.

O algoritmo implícito de integração no tempo de Newmark é mostrado a seguir:

1. Inicialização

(a) Determinar a matriz de massa M

(b) Determinar ti e tf

(c) Determinar ∆t

(d) Determinar p0

(e) Determinar p0

(f) Calcular q0e = qe(ti)

(g) Calcular q0i para p0

(h) Calcular C

(i) Calcular p0 = M−1(q0e − q0

i − Cp0)

2. Processo de incremento de tempo: Loop de ti até tf

(a) Deteminar tempo: tn+1 = tn + ∆t

(b) Calcular carga externa: qn+1e = qe(tn+1)

30



(c) Assumir pn+1= 0

(d) Calcular pn+1= pn

+ 1

2∆tpn

(e) Calcular pn+1 = pn + pn∆t + 1

4∆t

2pn

(f) Processo iterativo de Newton-Raphson para pn+1

, ˙p

n+1

e ˙p

n+1

⇒ gd=

0

Nos problemas que serão abordados pela análise transiente, considerou-se que os incre-

mentos de carga para cada intervalo de tempo são de pequena amplitude. Desta forma, não

foi necessário adotar o método por carregamento para cada caso dinâmico.

31



6 DESCRIÇÃO DOS MODELOS DE FUNDAÇÃO

Um aspecto importante na análise de linhas de produção é a descrição de sua interação

com o solo. A interação solo-estrutura é regida por complexos fenômenos que geram solici-

tações de magnitude considerável. No contexto de projetos de linhas submarinas, o trecho

suspenso, o riser , sofre grande esforço ao tocar o leito marinho e, caso o carregamento tenha

característica cíclica, poderá tornar crítico o fenômeno da fadiga. Devido a importância do

ponto de contato na estrutura, é usual denominá-lo, no jargão de projeto de risers , de TDP

- Touchdown Point e a região formada pelo conjunto de pontos que entram em contato com

o solo de TDZ - Touchdown Zone . Essa região tem grande importância na análise e projeto

de riser , pois normalmente implica em grandes magnitudes de tensão que podem ser críticas

ao fenômeno de fadiga (Bridge et al., 2004).

Para a descrição da interação do solo com a estrutura existem diversos modelos matemáti-cos que descrevem a fundação. Um modelo de fundação comumente utilizado é o modelo de

Winkler (Winkler, 1867, apud Barros et al., 2009) que consiste na representação do solo

por um conjunto de molas infinitezimalmente próximas e independentes umas das outras. A

rigidez do solo e seus efeitos perante a estrutura são representados a partir da rigidez das

molas e os efeitos que estas impõem sobre a estrutura. Como as propriedades do solo neste

modelo são descritas através de um parâmetro, no caso a rigidez, o modelo de fundação é

denominado de: modelo de fundação de um parâmetro. No entanto, existem outros modelos

mais complexos que incluem na descrição outros fenômenos e podem conter mais parâmetros

na sua formulação. Um exemplo seria a inclusão de uma membrana elástica, como um se-

gundo parâmetro cisalhante, para inclusão do fenômeno de interação entre molas adjacentes

(Filonenko-Borodich, 1940; Pasternak, 1954; Mourelatos & Parsons, 1985; Stephens, 1989;

Karadeniz, 1999; Teodoru et al., 2006; Dias, 2008; Teodoru, 2009; Akour, 2010), o que ca-

racteriza este modelo como: modelo de fundação de dois parâmetros. O trabalho buscou

estudar fundações de um e dois parâmetros e implementar suas discretizações no contexto

de elementos finitos. Desta forma, os modelos de fundação abordados dividem-se em:

• Modelo de fundação de um parâmetro

– Modelo de Winkler modelado como molas nodais

– Modelo de Winkler modelado como leito

• Modelo de fundação de dois parâmetros

– Modelo de Filonenko-Borodich

32



– Modelo de Pasternak

O primeiro grupo é baseado no modelo de Winkler, no qual o primeiro modelo é tratado

como uma mola discreta que atua diretamente no nó do elemento e no segundo as molas

são caracterizadas como um contínuo. O segundo grupo, com modelos de fundação de dois

parâmetros, o modelo inclui uma fina membrana elástica na fundação de forma a caracterizar

a interação entre o contínuo de molas adjacentes. Para descrever o modelo de fundação de

Pasternak, o estudo seguiu a implementação fornecida por (Teodoru et al., 2006).

Outros autores modelam a rigidez do solo com maiores detalhes (Bridge et al., 2004;

Leira et al., 2004; Clukey et al., 2007; You et al., 2008; Takafuji, 2010), descrevendo suas

variações com os movimentos descendente e ascendente de formas distintas, de forma que

são regidas por diferentes fenômenos. A resistência vertical oriunda do leito marinho pode

ser subdividida em resistência à penetração descendente e resistência ascendente. No ciclo

descendente, o solo apresenta comportamento elástico, enquanto que no ciclo ascendente, oriser pode ser submetido a forças de sucção. Com relação aos diferentes fenômenos presentes

na interação solo-estrutura, Takafuji (2010) estudou exemplos com aplicação de atrito e

presença de trincheira. Para o atual estudo, a rigidez segue uma curva linear e não foram

incluídos fenômenos como atrito e trincheira, sendo a fundação diferenciada pela quantidade

de parâmetros utilizados em sua descrição e modelagem.

6.1 Modelo de fundação de um parâmetro

6.1.1 Modelo de Winkler

O modelo Winkler assume que a superfície do solo está sujeita a deflexão em qualquer

ponto de contato e esta é linearmente proporcional ao carregamento imposto pela fundação.

O modelo não leva em conta a interação entre os pontos adjacentes da superfície considerando

a deflexão independente dos esforços de contato entre as partes adjacentes, como pode ser

observado na Figura (6.1). O modelo, assim, pode ser idealizado como um conjunto de molas

lineares mutuamente independentes, no qual a pressão de reação que a fundação impõe à

estrutura é dada por

ps(x) = k1v(x), (6.1)

em que k1 é a rigidez do solo.

A equação diferencial que descreve o comportamento estático de uma viga linear sobre

33



Figura 6.1: Modelo de Winkler

uma fundação Winkler é observada como

EI d4v

dx4 = q

(x

)− ps

(x

),

(6.2)

na qual sua expansão fornece o seguinte resultado

EI d4v(x)

dx4 + k1v(x) = q (x). (6.3)

Vale ressaltar, que as equações anteriores tratam apenas da influência da fundação sobre

a estrutura sob o aspecto da viga. A descrição dos esforços normais do corpo (tratada pelas

equações clássicas da resistência dos materiais de forma desacoplada da equação anterior),

ou seja, do comportamento de barra foi tomado como nulo. Desta forma, considerou-seque em todo o trabalho os modelos de fundação têm influência somente sobre os graus de

liberdade relativos ao comportamente enquanto viga da estrutura (deslocamento transversal

v, na direção y e rotação θ, em torno de z ).

Este estudo dividiu a discretização por elementos finitos em duas abordagens distintas:

1) Modelo de fundação Winkler com aproximação de molas nodais e 2) Modelo de fundação

Winkler como leito. O primeiro caso representa uma idealização, na qual a fundação é

representada por molas que atuam diretamente nos nós do elemento. Enquanto que no

segundo modelo, a atuação do solo é aproximada como um meio contínuo sob a estrutura.

Modelo de fundação Winkler como aproximação por molas nodais

O modelo de fundação como aproximação por molas nodais é caracterizado por um ele-

mento de mola discreta que atua diretamente no nó do elemento de viga, como ilustrado na

Fig. (6.2). O elemento de mola tem rigidez k1 e atua na direção y.

34



Figura 6.2: Fundação Winkler representada em molas nodais.

A matriz de rigidez do elemento de solo Ks para esse modelo é dada por

Ks = [k1] , (6.4)

O esforço interno transferido pela fundação à estrutura é dado por

qi = Ks

vi

T = k1vi, (6.5)

em que vi corresponde ao grau de liberdade vertical ligado ao nó de ação da fundação, e k1

é uma rigidez equivalente aproximada.

Modelo de fundação Winkler modelada como leito

Para o estudo do elemento feito através da abordagem de leito utiliza-se o método dos

resíduos ponderados, no qual a função de aproximação assumiu-se linear e é dada por

ve(x) =

1−

x

l0

v1 +

x

l0

v2. (6.6)

Aplicando o método de Garlekin, obtem-se a seguinte matriz de rigidez do sistema

Ks = k1l0

6

2 11 2

. (6.7)

Analogamente, o esforço interno imposto à estrutura é dado por

qi = Ks

v1 v2

T , (6.8)

35



Observa-se que este elemento considera a interação somente na direção vertical, o que se

traduz pelos graus de liberdade vi em que atua. Neste caso, k1 é uma rigidez por unidade de

comprimento da fundação.

6.2 Modelo de fundação com dois parâmetros

Diferentemente do modelo de Winkler, os modelos de dois parâmetros levam em conta a

interação entre as infinitas molas adjacentes, o que, usualmente, é feito através da inclusão de

uma fina membrana elástica. Comparando as Fig. (6.1) e (6.3) é possível verificar a diferença

entre os modelos de um e dois parâmetros. Neste caso, é possível observar a interação entre

as camadas adjacentes, o que é representada pela membrana superior sujeita a uma força

equivalente ks.

Figura 6.3: Modelo de fundação com dois parâmetros

Normalmente, os modelos de dois parâmetros definem a pressão de reação da fundação

como (Zhaohua & Cook, 1983)

ps(x) = k1v(x)− ks

d2v(x)

dx2 , (6.9)

em que k1 é o primeiro parâmetro de rigidez específica do solo e ks é o segundo parâmetro

(parâmetro de cisalhamento). Observa-se que, caso o segundo parâmetro tenda a zero, o

modelo tende ao modelo de Winkler.No campo de estudo de vigas lineares, a equação que descreve a interação estática com a

viga e a fundação é dada por

EI d4v(x)

dx4 = q (x)− ps(x), (6.10)

36



o que pode ser escrito como

EI d4v(x)

dx4 + k1v(x) − ks

d2v(x)

dx2 = q (x). (6.11)

A caracterização do elemento finito que representa esse o modelo de dois parâmetros nestetrabalho foi realizada através de dois modelos. Os modelos são matematicamente idênticos,

porém, no contexto da discretização por elementos finitos, diferem no número de graus de

liberdade. O primeiro modelo é relacionado a um modelo de dois parâmetros e dois graus de

liberdade baseado no estudo de Filonenko-Borodich (Filonenko-Borodich, 1940, apud Dias,

2008). O segundo, com quatro graus de liberdade, utilizam os trabalhos de Teodoru et al.

(2006) e Teodoru (2009), que se baseiam-se no modelo de Pasternak e partem das seguintes

premissas:

• Os elementos têm comprimento l0 e possuem dois nós;

• Os elementos conectam-se com os outros somente através dos nós;

• O carregamento no elemento ocorre somente através dos nós.

6.2.1 Modelo de fundação de Filonenko-Borodich

Neste modelo assume-se a função de aproximação dada por (6.6), a mesma utilizado no

modelo de Winkler modelado como leito. Desta forma, utilizando o método de resíduos

ponderados de Garlekin obtem-se a seguinte matriz de rigidez para este elemento

Ks = k1l0

6

2 1

1 2

+

ks

l0

1 −1

−1 1

. (6.12)

O esforço interno qi é análogo ao modelo de Winkler e é dado por (6.8).

6.2.2 Modelo de fundação de Pasternak

Este modelo de fundação é descrito por dois parâmetros e quatro graus de liberdade e

sua influência incide sobre os graus de liberdade verticais (na direção y) e rotacionais (emrelação ao eixo z ), como ilustrado na Fig. (6.4).

Assumindo uma aproximação cúbica para o deslocamento dada por

ve(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3, (6.13)

37



Figura 6.4: Viga sobre fundação de dois parâmetros e graus de liberdade afetados e seusrespectivos esforços internos.

e aplicando as condições de contorno para determinação das constantes

ve(0) = v1

ve(l) = v2dve(0)/dx = θ1

dve(l)/dx = θ2

, (6.14)

obtem-se a função de interpolação dada por

ve(x) = h1v1 + h2θ1 + h3v2 + h4θ2, (6.15)

em que hi são as funções de interpolação de Hermite dadas por

h1 = 1−

3x2/l20 + 2x3/l3

0

h2 = x − 2x2/l0 + x3/l20

h3 = 3x2/l20− 2x3/l3

0

h4 = −x2/l0 + x3/l20

(6.16)

Utilizando o método dos resíduos ponderados de Garlekin, no qual a função ponderadora

é dada pelas quatro funções hi, obtem-se a seguinte matriz de rigidez

Ks = k1l0420

156 22l0 54 −13l0

22l0 4l20 13l0 −

3l2054 13l0 156 −22l0

−13l0 −3l20 −22l0 4l2

0

+ks

30l0

36 3l0 −36 3l0

3l0 4l20 −

3l0 −

l20−36 −3l0 36 −3l0

3l0 −l20 −3l0 4l2

0

. (6.17)

Analogamente ao caso anterior, o esforço interno que o elemento introduz à estrutura é

38



dado por

qi = Ks

v1 θ1 v2 θ2

T . (6.18)

É importante observar que o modelo de Filonenko-Borodich é análogo ao modelo dePasternak, pois partem do mesmo equacionamento, diferindo apenas da aproximação de

elementos finitos adotada o que leva a um número de graus de liberdade diferente para cada

elemento. Caso o segundo parâmetro seja nulo, os modelos tornam-se equivalentes ao modelo

da fundação Winkler.

6.3 Modelagem do Contato

Dentro do campo do estudo estrutural de SCR, um ponto crítico a ser analisado é como

a estrutura interage com o solo. A configuração de catenária e os esforços solicitantes podeminduzir grandes deslocamentos na estrutura fazendo com que pontos inicialmente suspensos

entrem em contado com o solo. Este fenômeno dentro do contexto de elementos finitos é

denominado de estudo do contato e induz um efeito altamente não-linear na análise. Este

contato é um ponto crítico à estrutura devido aos esforços gerados nesta interação, como

explicado na introdução do capítulo.

Na literatura, constatou-se dois métodos principalmente utilizados para modelar este

problema:

• Método das penalidades;

• Método dos multiplicadores de Lagrange.

Tais métodos fazem parte do contexto de estudo da otimização de sistemas. Neste estudo,

como forma de modelagem, optou-se por utilizar o método das penalidades devido a sua

melhor facilidade de implementação e relação com o problema, como será visto adiante.

6.3.1 Método das penalidades

O método das penalidades considera que a força de contato é proporcional à distância

entre os dois corpos. No entanto, define-se que uma força de grande magnitude está associadacom a penetração dos corpos, que matematicamente pode ser explicitada como (Bodur, 2006)

Πc = 1

2ku2

d, (6.19)

em que Πc corresponde à energia de contato, k é o fator penalizador de grande magnitude e ud

a distância entre os corpos. É possível observar que esta descrição matemática da energia de

39



contato é análoga a de uma mola. O efeito de (6.19) pode ser concebido como, a ação de uma

mola de alta rigidez que atua em caso de contato. Para o caso de k tender ao infinito, implica

que não há penetração entre os corpos. No entanto, devido a questões computacionais, este

efeito não pode ser totalmente atingido. Bodur (2006) comenta que valores muito altos no

fator penalizador pode levar a problemas de condicionamento do sistema.Desta forma, a condição de restrição é explicitada como

yi ≤ ys, (6.20)

em que yi é a coordenada do nó i da estrutura, ys é a coordenada do solo. Uma vez que a

equação (6.20) seja satisfeita, inclui-se o fator de penalidade no problema, no qual adiciona-se

à rigidez da estrutura a penalização k. Essa penalização se traduz na adição de rigidez à

estrutura, que se dá nas entradas da matriz global de rigidez relativas aos graus de liberdades

contemplados pelo modelo. A mesma consideração é válida para a determinação do vetor deesforços internos qi que é dada da seguinte maneira:

q(s)i = kug, (6.21)

no qual o termo ug corresponde ao deslocamento computado a partir de ys, como ilustrado na

Fig. (6.5). Desta forma, adiciona-se o resultado obtido em (6.21) ao vetor global de esforços

internos qi.

Figura 6.5: Ilustração de um elemento de pórtico com dois nós e as coordenadas e desloca-mento relativos ao efeito de contato.

40



6.3.2 Considerações quanto ao efeito de descolamento

Para a implementação dos modelos de fundação e os fenômenos de interação neste tra-

balho, assumiu-se que há descolamento instantâneo do ponto do domínio da estrutura cuja

cota geométrica seja superior à cota do topo da fundação dada por ys. No contexto de

elementos finitos, esse efeito se traduz nos nós do elemento e, desta forma, quando

yi > ys, (6.22)

cessam imediatamente os efeitos da fundação sobre o nó i do elemento. Em resumo, se a

coordenada yi do nó i do elemento for menor do que ys, a cota representativa do solo, então a

fundação interage com a estrutura, caso contrário, seus efeitos são nulos. A Fig. (6.6) ilustra

o comportamento de um SCR em fundação com efeito de descolamento instantâneo e sem

descolamento após contato, em que F s é a força de reação da fundação sobre a estrutura e

yi é a coordenada de um ponto qualquer do domínio da estrutura.

Este é um modelo simplificado do comportamento de contato e deslocamento da estrutura.

Existem trabalhos que tratam com maiores detalhes os fenômenos de interação representando

de formas distintas a penetração e o descolamento da estrutura em relação à fundação, como

é o caso Bridge et al. (2004), Leira et al. (2004) e Takafuji (2010).

41



Figura 6.6: Representação de interação solo-estrutura (a) com efeito de descolamento e (b)

sem efeito de descolamento.

42



7 ESTUDO DO RISER RÍGIDO EM CATENÁRIA PARA

PRODUÇÃO DE PETRÓLEO

As linhas submarinas de produção tem um papel de grande importância dentro da estru-

tura de explotação offshore , pois são os elementos que permitem a comunicação entre o poço

e as unidades estacionárias de produção. As principais funções das linhas são:

• Transporte de fluidos produzidos: Transporte do óleo, gás e água produzidos até

a unidade estacionária para processamento ou armazenamento.

• Injeção de produtos químicos: Transporte de produtos químicos para tratamento

e manutenção do poço e formação rochosa canhoneada.

•

Injeção de água na rocha reservatório: Injeção de água como mecanismo demanutenção de pressão da rocha reservatório.

• Alimentação com potência elétrica e transporte de dados de aquisição do

poço: Alimentação elétrica de equipamentos submarinos e transporte dos dados de

aquisição de pressão e temperatura do poço.

• Injeção de gás na coluna de produção: Injeção de gás como mecanismo de elevação

artificial dos fluidos produzidos.

•

Controle das funções do poço: Controle hidráulico para o fechamento e aberturade válvulas de acesso ao poço.

Dentre as funções apresentadas, a linha de produção é responsável pelo transporte dos

fluidos em poços de produção de petróleo e poços de injeção de água. A injeção de produtos

químicos, alimentação elétrica e transporte de dados e controle hidráulico das válvulas do

poço é realizada por uma linha denominada umbilical, que tem a função de suporte para o

controle e manutenção do poço. Pode existir uma terceira linha para injeção de gás a depender

do método de elevação artificial escolhido para produção dos fluidos. Essas estruturas são

solicitadas de forma bastante similar, pois estão sujeitas às mesmas cargas ambientais, sejamelas de natureza fluido-dinâmica, como ação das ondas e correntes ou de natureza estática

como o peso próprio, por exemplo.

As linhas de produção e injeção são divididas em dois tipos: flexíveis e rígidas. As

linhas flexíveis são estruturas formadas pela junção de várias camadas metálicas e poliméricas

superpostas umas às outras de forma a prover resistência e estanqueidade. Os dutos rígidos

são uniões de tubos metálicos soldados transversalmente e revestidos externamente por um

43



conjunto de camadas poliméricas de menor espessura fornecendo resistência à degradação pelo

ambiente hostil e isolamento térmico do duto. Para casos no qual o gradiente térmico tem

bastante influência sobre o escoamento dos fluido internamente ao duto é usual revestí-lo com

uma camada espessa de poliuretano ou polipropileno de forma a garantir melhor isolamento

do conjunto. A Fig. (7.1a)1

mostra um conjunto de tubos revestidos com camada poliméricafina para garantir proteção à abrasão, corrosão e outros efeitos negativos ao transporte de

fluido, enquanto que a Fig. (7.1b) mostra um tubo rígido revestido com uma camada de

isolamento polimérica espessa para casos em que o gradiente térmico tem relevância. Ainda

nas figuras, observa-se uma parte não revestidas nos tubos. Essa parte que não é revestida

permite a operação de junção que é realizada através de solda. Após a união do trecho a parte

exposta é revestida com camadas poliméricas de forma a garantir a proteção do conjunto com

um todo.

(a) (b)

Figura 7.1: Tubos rígidos para montagem do duto rígido:(a) Tubos rígidos sem camada deisolamento. (b) Tudo rígido com camada de isolamento.(Fonte: Nicolosi & Sulino (2009)).

É usual dividir e discriminar, nas companhias de petróleo, a linha em catenária em duas

regiões distintas, a parte suspensa denominada de trecho riser e o trecho apoiado ao solo

denominado de trecho flowline . Basicamente, o trecho riser é mais solicitado por esforços

de natureza dinâmica, enquanto que a porção de flowline , por estar na região em contato

com o solo, sofre carregamentos de característica estática. Essa diferenciação, em função da

natureza dos carregamentos, é melhor verificada para porções próximas ao trecho suspenso epara porções do duto mais distantes do ponto de contato com o solo, ou seja, para as regiões

posicionadas na extremidade da estrutura.

1Imagens gentilmente cedidas pelos engenheiros da Petrobras Luiz Antonio Sulino e Eduardo RibeiroNicolosi.

44



Figura 7.2: Trecho emerso do riser rígido em catenária conectado à plataforma P-18 daPetrobras.(Fonte: Nicolosi & Sulino (2009)).

7.1 Estudo do riser rígido em catenária

A interligação entre o poço (elemento produtor) e a unidade de produção marítima (e-

lemento de processamento) é, como arranjo mais simples, dada por uma linha de produção

unida a estes dois pontos. A linha é conectada à plataforma e quando suspensa de forma

livre, até apoiar-se no solo marinho, assume uma configuração de catenária. Para dutosrígidos está configuração é denominada de SCR - Steel Catenary Riser , na qual sua conexão

com a plataforma é feita através de um elemento mecânico que fornece rigidez denominado

de Flex Joint , que pode ser observado nas Fig. (7.2). Nesta figura2 observa-se o trecho inicial

emerso do riser e o elemento Flex Joint conectados à unidade de produção.

Na outra extremidade, na interface entre linha e poço, há inúmeras formas de conexão que

dependerão do arranjo submarino escolhido no projeto de explotação do campo. Comumente,

para dutos rígidos, existe uma transição de trecho rígido para flexível, que se conecta ao poço.

Esta conexão é realizada no trecho flowline , no qual os esforços de natureza dinâmica são

menos críticos. Para este trabalho, a linha é considerada do tipo rígido de seção uniforme

em toda sua extensão.

O trecho suspenso, denominado riser , quando estaticamente equilibrado e livre, ou seja,

sem ação de forças externas oriundas de outros elementos estruturais de sustentação, assume

uma configuração próxima à curva catenária. Seyed & Patel (1992) fornecem as seguintes

2Imagem gentilmente cedida pelo engenheiro da Petrobras Luiz Antonio Sulino.

45



equações para as coordenadas x e y de uma curva catenária de comprimento s:

x(s) = H 0

w sinh−1

ws

H 0

(7.1)

e

y(x) = H 0

w

cosh

wx

H 0

− 1

, (7.2)

em que H 0 é força horizontal atuando no elemento de estrutura e w é o peso próprio do

elemento por comprimento. As equações de cada uma dessas grandezas são dadas por:

w = ρA (7.3)

e

H 0 = srw tan θt, (7.4)

no qual ρ é a massa específica da estrutura, A é a área transversal do duto, sr é o comprimento

total do riser e θt é o ângulo de topo formado entre a flex joint e a unidade de produção.

A rigor, as equações apresentadas anteriormente descrevem estruturas inextensíveis e

infinitamente flexíveis (hipóteses físicas para a dedução matemática), o que não ocorre na

prática. No entanto, adotou-se como terminologia tratar a configuração ilustrada na Fig.

(1.1) pelo termo catenária. Desta forma, a menção do termo catenária em todo texto destetrabalho remete à configuração estrutural da linha e não à descrição puramente matemática.

46



8 DESENVOLVIMENTO COMPUTACIONAL

A partir da contextualização do problema e da aplicação dos conceitos apresentados nos

capítulos anteriores construíu-se um programa para análise estrutural de riser rígido em

catenária. O programa dividi-se em dois módulos de cálculo estrutural: para análise estática e

dinâmica, no qual cada módulo tem estruturas de programação distintas. O desenvolvimento

computacional foi realizado utilizando-se o software MATLAB R e ao conjunto de programas

e rotinas foi dado o nome de MARINE.

O módulo estático tem como objetivo o auxílio à análise estrutural buscando o equilíbrio

estático entre os esforços internos e externos, em cada passo de carga, até a configuração final

da estrutura. O módulo dinâmico tem seu funcionamento baseado no equilíbrio dinâmico

entre as forças internas, externas, inerciais e dissipativas, na qual a solução é obtida para

cada intervalo de tempo.

8.1 Módulo estático para análise estrutural de linhas de produção marítimas

Este módulo faz uso dos conceitos apresentados nos capítulos referentes à formulação

co-rotacional para pórticos planos e do equilíbrio estático de estruturas não lineares. Em

conjunto ao elemento de pórtico co-rotacional, o programa faz uso dos elementos que des-

crevem a interação solo-estrutura. O programa é dividido em três etapas principais: pré-

processamento, processamento e pós-processamento.

8.1.1 Pré-processamento do módulo estático

O pré-processamento é responsável por reunir o conjunto de dados de entrada e montar

os dados necessários para alimentar as etapas de processamento e pós-processamento. Os

seguintes dados são necessário na entrada do pré-processamento:

• Parâmetros e propriedades do sistema: conjunto de dados que contém os pa-

râmetros geométricos da estrutura propriedades do material constituinte da linha e

propriedades do fluido no qual a linha está imersa (dados presentes na Tab.(8.1));

• Discretização da estrutura: descrição da quantidade de nós em que os trechos riser

e flowline serão discretizados, no que a distribuição é feita uniformemente, embora

possa ser distinta em cada trecho;

• Condição de Contorno: consiste na descrição dos apoios da estrutura que, para a a-

tual implementação, se traduz nos graus de liberdade que serão atríbuidos, inicialmente,

com deslocamento nulo.

47



Tabela 8.1: Parâmetros de entrada do pré-processamento do MARINE.Dado de Entrada Variável Descrição

Parâmetros Geométricos

θt Ângulo de TopoOD Diâmetro ExternoID Diâmetro Internosl Comprimento da Total Linhasf Comprimento do Trecho Flowline

Propriedade dos Materiais ρ Massa Específica do Duto

E Módulo de Elasticidade do Duto

Propriedade dos Fluidos ρl Massa Específica do Fluido Externo

Desta forma, a partir da discretização desejada e utilizando (7.1) e (7.2), o programa

gera a malha da estrutura e a conectividade dos nós, incluindo a descrição do solo. Uma

vez determinados os nós e os elementos, o programa calcula o carregamento solicitante à

estrutura, dado de entrada necessário para a etapa de processamento. A implementação

atual do programa contempla o carregamento devido ao peso submerso da estrutura, que é o

balanço entre o peso próprio e o empuxo. A determinação da magnitude do carregamento foi

realizada considerando o corpo com massa específica perfeitamente uniforme. Desta forma,

o peso próprio de um corpo horizontalmente posicionado pode ser modelado como um car-

regamento uniformemente distribuído em seu domínio. Similarmente, o efeito de empuxo

sobre o corpo, quando imerso em meio com massa específica considerável, como por exemplo

água salgada, tem o mesmo modelo de carregamento. O balanço entre estes dois esforços

é denominado de peso submerso, como pode ser observado na Fig.(8.1). Equacionando obalanço de forças, tem-se:

q = g(ρA− ρlAi), (8.1)

em que q a magnitude do carregamento devido ao peso submerso, g é aceleração gravitacional,

A é a área transversal do corpo e Ai corresponde à área transversal equivalente ao volume

de líquido deslocado pela introdução do corpo no meio fluido.

As áreas das seções transversais podem ser determinadas por:

A = 1

4π(OD2

− ID2) (8.2)

e

Ai = 1

4πOD2. (8.3)

48



Figura 8.1: Carregamento equivalente para peso submerso

Esta descrição para o peso submerso é uma aproximação, pois é válida somente para

corpos não vazados, o que não acontece com as linhas de produção por terem um geometria

tubular. Seyed & Patel (1992) e Pesce (1997) descrevem de forma mais criteriosa tal efeito

considerando ausência do campo de pressões externas nas extremidades livres através de um

artifício de superposição de efeitos hidrostáticos. Esse artifício de superposição é descrito

através das seguintes etapas: (i) Consideração do efeito da pressão externa em todo o corpo

imerso ao fluído; (ii) Inclusão de efeito de pressão externa contrária nas extremidades, anu-

lando o efeito de pressão externa nas extremidades vazadas. Assim, a composição dos esforços

normais ao corpo em conjunto ao efeito de pressão externa contrária incluída pelo artifício

de superposição é denominado de tração efetiva. Esse procedimento é ilustrado na na Fig.

(8.2), em que E corresponde ao empuxo, pext a pressão externa atuando sobre o corpo, N

o esforço normal, s a coordenada sobre o domínio do corpo e P o peso próprio do corpo.

Para todo o trabalho, por motivo de simplificação, considerou-se a aproximação dada pela

equação (8.1).Para o caso do riser rígido em catenária em regiões distantes do solo, em virtude da ori-

entação do elemento com relação à horizontal, o carregamento distribuído não será uniforme

e normal ao eixo do corpo. Ou seja, a função que descreve o carregamento não será constante

e assumirá uma forma linear. Neste trabalho, como aproximação e simplificação, adotou-se

que o carregamento é sempre uniformemente distribuído no elemento, independentemente da

49



Figura 8.2: Artifício de superposição para determinação da tração efetiva.

orientação do elemento em relação à horizontal.

No contexto da discretização por elementos finitos, o carregamento distribuído incidente

no elemento de pórtico deve ser transformado em esforços nodais equivalentes como mostrado

na Fig.(8.3) e este cálculo é realizado através de

Qeq =

Ω

q hdΩ, (8.4)

no qual Ω é o domínio do corpo e h é o vetor de funções de forma. Utilizando as aproximações

cúbicas de Hermite para o vetor de funções de forma dadas na Tab.(8.2), tem-se

Qeq =

qL

2

qL2

12

qL

2

qL2

12

T

, (8.5)

em que cada valor corresponde aos graus de liberdade v1, θ1, v2 e θ2, respectivamente.

Tabela 8.2: Funções cúbicas de Hermite.h Função

h1 1− 3x2

L2 +

2x3

L3

h2 x− 2x2

L +

x3

L2

h33x2

L2 −

2x3

L3

h4 −

x2

L +

x3

L2

Como o riser , inicialmente constituído pela união de tubos rigorosamente retos, deforma-

se enormemente em razão da configuração em catenária, a estrutura está sujeita a momento

fletor inicial além daqueles oriundas dos carregamentos externos. Este fenômeno é contem-

plado na implementação do programa durante o pré-processamento, sendo sua saída incluída,

posteriormente, no pós-processamento.

50



Figura 8.3: Representação para as forças equivalentes nodais.

Do cálculo diferencial é possível mostrar que a curvatura de um corpo esbelto é dada por

1

ζ =

d2v/dx2

[1 + (dv/dx)2]3/2, (8.6)

em que v representa o deslocamento vertical do corpo e x seu domínio. Das equações de

resistência dos materiais tem-se a seguinte relação de curvatura para a viga

1ζ = M EI , (8.7)

no qual M é o momento fletor, E o módulo de elasticidade do material do corpo e I o momento

de inércia de área do corpo. Para o caso do riser em catenária livre o deslocamento vertical

do corpo, v, é equivalente às coordenadas y da equação da catenária Assim, torna-se possível

utilizando (7.2), (8.6) e (8.7) determinar o momento fletor inicial na linha, M i, calculado no

trecho suspenso da estrutura, que é dado por

M i = EI (w/H 0)cosh(wx/H 0)

1 + sinh2(wx/H 0)3/2. (8.8)

8.1.2 Processamento do módulo estático

A etapa de processamento tem como objetivo, através da resolução da equação de equi-

líbrio estático dado em (4.1), fornecer o vetor de deslocamento e as forças internas finais

correspondentes à solicitação externa. Desta forma, nessa etapa é processado o algoritmo do

51



método de controle por carregamento e a resolução da equação de equilíbrio pelo método de

Newton-Rapshon, tópicos presentes no capítulo Estudo do Equilíbrio Estático de Estruturas

Não-Lineares.

8.1.3 Pós-processamento do módulo estático

O pós-processamento visa, a partir do vetor de deslocamentos e dos esforços internos de

resposta da estrutura, determinar os deslocamentos, esforços internos e a tensão normal no

domínio da estrutura. A implementação atual do programa calcula as tensões normais na

estrutura devido aos esforços de flexão e tração-compressão.

A tensão normal devido aos esforços de flexão tem distribuição linear na área transversal

de uma dada seção do corpo, como observado na Fig.(8.4a), e é determinada por

σT = −

y

M

I , (8.9)

em que y é a posição vertical do ponto em relação à posição da linha neutra. Desta forma,

a depender da porção vertical escolhida para o cálculo, o ponto pode estar em tração ou

compressão. Para este estudo adotou-se, arbitrariamente, para o cálculo da tensão, o ponto

extremo inferior vertical da seção transversal do corpo, o que transforma (8.9) em

σT =1

2OD

M

I . (8.10)

Como relatado no pré-processamento, ao termo M de (8.10), adiciona-se o termo inicialM i, calculado por (8.8) oriundo da deformação inicial do corpo em função da configuração

da catenária.

A tensão normal oriunda dos esforços de compressão-tração é uniforme na seção do corpo,

Fig. (8.4b), e é determinada por

σN =N

A, (8.11)

em que N é o esforço normal presente na seção e A é a área transversal do corpo na dada

seção.Assim, a tensão normal resultante na seção do corpo é dada pela adição destas duas

componentes e é dada por

σ = σT + σN . (8.12)

Uma vez calculadas as tensões na estrutura, o pós-processamento gera um conjunto de

52



(a) (b)

Figura 8.4: Tensões normais em uma seção do riser : (a) Tensão normal linear ocasionadapor momento fletor. (b) Tensão normal uniforme por carregamento normal.

gráficos, nos quais a ordenada corresponde às variáveis de saída, como deslocamentos nodais,

esforços internos e tensões normais. A abscissa indica o ponto sobre a estrutura, como

mostrado na Fig.(8.5), onde o início corresponde ao ponto de conexão à unidade de produçãoe o final ao poço de petróleo. Por fim, o programa disponibiliza a opção da construção de

um gráfico mostrando a estrutura deformada superposta à configuração inicial. A Fig.(8.6)

ilustra um diagrama simplificado do programa para o módulo estático de MARINE.

Figura 8.5: Ilustração da coordenada sobre a estrutura que representa abscissa dos gráficosde saída do pós-processamento.

8.2 Módulo dinâmico para análise estrutural de linhas de produção marítimas

O módulo dinâmico do MARINE, assim como o módulo estático, divide-se em três eta-

pas computacionais: pré-processamento, processamento e pós-processamento. Utilizam-se os

conceitos apresentados nos capítulos que tratam do elemento co-rotacional, descrição do solo

53



e do estudo do equilíbrio dinâmico de estruturas não-lineares. Embora a estrutura de pro-

gramação deste módulo seja similar ao estático, mostrando três macro-etapas, os algoritmos

de cada etapa são diferentes.

8.2.1 Pré-processamento do módulo dinâmico

O pré-processamento é responsável por, analogamente ao caso estático, receber os dados

de entrada (input ). Além das propriedades dos materiais e parâmetros descritos no mó-

dulo estático, determina-se o tempo inicial e final de simulação, assim como o incremento de

tempo. Essa etapa interage com o processamento na determinação de dois parâmetros prin-

cipais: Determinação das condições de contorno e no cálculo do carregamento. As condições

de contorno são inicializadas no pré-processamento e atualizadas a cada passo de tempo

durante o processamento. O cálculo do carregamento no pré-processamento é relativo às

cargas invariantes no tempo, deixando, desta forma, o processamento sujeito ao cálculo doscarregamentos variantes. Na atual implementação, contempla-se o cálculo do peso submerso,

que é modelado exatamente como no módulo estático, ou seja, através de um carregamento

uniformemente distribuído.

8.2.2 Processamento do módulo dinâmico

O processamento do módulo dinâmico é responsável por fazer o cálculo das variáveis

cinemáticas para cada passo de tempo, assim como a atualização das condições de contorno

e/ou carregamentos variantes no tempo. Todo o desenvolvimento da etapa de processamento

dinâmico é baseada no capítulo Estudo do Equilíbrio Dinâmico de Estruturas Não-Lineares,

no qual as equações são integradas e a solução que satisfaz o equilíbrio dinâmico é encontrada

a partir do Método de Newton Raphson.

O cálculo da matriz de massa implementada no MARINE segue a definição dada por

Cook (1995) e tem a seguinte forma:

M =

hT hρdV , (8.13)

em que h é o vetor contendo as funções de forma do elemento, ρ é a massa específica doelemento e V volume do elemento. Utilizando as funções de Hermite como função de forma

54



e integrando (8.13), obtem-se a seguinte matriz de massa para o elemento de pórtico

M = ρl0A420

140 0 0 70 0 0

0 156 22l0 0 54 −13l0

0 22l0 4l2

0 0 13l0 −

3l2

0

70 0 0 140 0 0

0 54 13l0 0 156 −22l0

0 −13l0 −3l20

0 −22l20

4l20

+ ρI 30l0

0 0 0 0 0 0

0 36 3l0 0 −36 3l0

0 3l0 4l2

0 0 −

3l0 −

l2

0

0 0 0 0 0 0

0 −36 −3l0 0 36 −3l0

0 3l0 −l20

0 −3l0 4l20

.

(8.14)

A transformação da matriz de massa para o referencial global é dada através da seguinte

operação tensorial

MG = TT

MT, (8.15)

em que

T =

cos β sin β 0 0 0 0

− sin β cos β 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos β sin β 0

0 0 0 − sin β cos β 0

0 0 0 0 0 1

. (8.16)

O termo de amortecimento, C é chamado de matriz de amortecimento e sua expressão é

dada por:

C =

chT hdV , (8.17)

Na prática, a determinação do coeficiente c em (8.17) é extremamente complicada ou até

mesmo inviável (Galvão, 2004). Com o intuito de contornar essa dificuldade, a matriz de

amortecimento é calculada através de

C = Φ1M + Φ2K. (8.18)

A equação (8.18) é conhecida como amortecimento proporcional ou de Rayleigh, em que

Φ1 e Φ2 são os coeficientes de proporcionalidade de Rayleigh e sua determinação é de certa

forma arbitrária. Maiores detalhes no procedimento de determinação destes coeficientes po-

55



dem ser vistos em Chopra (1995). É importante ressaltar que a determinação dos parâmetros

de amortecimento é realizada na etapa de pré-processamento.

Atualização do carregamento externo

Com relação à determinação do carregamento, diferentemente do módulo estático, a a-tualização é realizada também no processamento, pois os carregamentos variantes no tempo

são atualizados nesta etapa e somados aos carregamentos invariantes. Esta implementação

tem o intúito de reduzir o cálculo computacional durante os intervalos de tempo. Assim, o

carregamento externo total (qet) é dado da seguinte forma

qet = q

e(t) + qec, (8.19)

em que qe(t) corresponde à parcela variante no tempo e qec os carregamentos constantes.

Cálculo das condições de contorno variantes no tempo

A atualização das condições de contorno segue a metodologia descrita por Cook et al.

(2002), no qual modificam-se as matrizes de massa, amortecimento e rigidez e o vetor de

carregamento externo de forma a incluir o efeito de um grau de liberdade prescrito. Desta

forma, seguindo essa metodologia, para uma matriz de rigidez K originalmente escrita como

K =

k11 k12 · · · k1i · · · k1n

k21 k22 · · ·

k2i · · ·

k2n

... ...

. . . ...

. . . ...

ki1 ki2 · · · kii · · · kin

... ...

. . . ...

. . . ...

kn1 kn2 · · · kni · · · knn

(8.20)

e o vetor de força externa dado por

qe = q 1 q 2 . . . q i . . . q n T

, (8.21)

56



ao condicionar o grau de liberdade da estrutura ui a ter seu valor prescrito dado por u p(t),

tem-se que a matriz de rigidez transforma-se da seguinte maneira

K =

k11 k12 · · · 0 · · · k1n

k21 k22 · · ·

0 · · · k2

n... ...

. . . ...

. . . ...

0 0 · · · 1 · · · 0...

... . . .

... . . .

...

kn1 kn2 · · · 0 · · · knn

(8.22)

e o vetor de força é reescrito como

qe =

q 1 − u p(t)k1i q 2 − u p(t)k2i . . . u p(t) . . . q n − u p(t)kni

T . (8.23)

Observa-se então que a coluna removida de K é multiplicada por u p(t) e subtraída de qe.

Seguindo a abordagem de Rustad et al. (2008) e expandindo o conceito para as matrizes de

massa e amortecimento, chega-se no seguinte vetor de esforços internos, que leva em conta

todos os efeitos dinâmicos presentes no estudo:

qe =

q 1 − (u p(t)k1i + u p(t)c1i + u p(t)m1i)

q 2 − (u p(t)k2i + u p(t)c2i + u p(t)m2i)...

q n − (u p(t)kni + u p(t)cni + u p(t)mni)

. (8.24)

em que m ji e c ji são as entradas da coluna j relativas ao grau de liberdade prescrito das

matrizes de massa e amortecimento, respectivamente, e u p(t) e u p(t) correspondem à veloci-

dade e aceleração do grau de liberdade prescrito. Como implementado por Rustad et al.

(2008), por economia computacional, foram removidas do processo de montagem as linhas

e colunas relativas ao grau de liberdade prescrito das matrizes de massa, amortecimento e

rigidez, assim como sua entrada no vetor de força externa, respectivamente.

8.2.3 Pós-processamento do módulo dinâmico

O processamento do módulo dinâmico é responsável por receber resultados obtidos da

etapa de processamento e reprocessá-los de forma a fornecer resultados para análise. Dentre

os resultados fornecidos, pode-se citar:

• Variáveis cinemáticas em função do tempo;

57



• Esforços internos em relação ao domínio do corpo, para cada passo de tempo;

• Configurações do corpo no referencial x e y para cada etapa de tempo;

• Filme das configurações do corpo variando no tempo.

A Fig. (8.7) ilustra de forma simplificada o fluxograma do módulo dinâmico do MARINE.

Cálculo das variáveis cinemáticas no tempo

Como resposta fornecida no processamento, o MARINE fornece uma matriz com os re-

sultados de cada variável cinemática, como: deslocamento, velocidade e aceleração. Desta

forma, o pós-processamento possibilita selecionar o grau de liberdade desejado e construir o

gráfico das variáveis em função do tempo de simulação.

Cálculo dos esforços internos no tempo

Analogamente ao cálculo das variáveis cinemáticas, o cálculo dos esforços internos é feito

a partir dos dados do processamento que também é feito em forma de uma matriz, nos quais

os valores dos esforços internos do esforço normal, cortante e momento fletor são armazenados

para cada passo de tempo. Assim, o MARINE permite a construção do gráfico dos esforços

internos em função do domínio do corpo para qualquer passo de tempo desejado.

Construção das configurações e filme no tempo

A atual implementação do MARINE permite a construção de um gráfico com as configu-

rações do corpo em cada passo de tempo durante toda simulação e um filme da configurações

do corpo no tempo.

58



Figura 8.6: Diagrama Simplificado do funcionamento do módulo estático do MARINE.

59



Figura 8.7: Diagrama Simplificado do funcionamento do módulo dinâmico do MARINE.

60



9 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Este capítulo destina-se a mostrar os resultados e análises acerca dos tópicos abordados

nos capítulos anteriores deste trabalho. A estruturação da apresentação dos resultados segue

a seqüência dos capítulos, dividindo-se da seguinte forma:

• Resultados acerca do estudo de pórticos planos não-lineares com abordagem estática;

• Resultados da dinâmica não-linear de pórticos planos;

• Estudo da estática não-linear do SCR;

• Estudo dinâmico não-linear do SCR.

Os dois primeiros tópicos tem como objetivo principal a validação do elemento de pórticoplano não-linear co-rotacional para os estudos estático e dinâmico. Assim, a escolha dos

exemplos de estudo foi feita a partir de casos apresentados na literatura. Com relação ao

estudo do SCR, buscou-se inicialmente realizar a validação do código computacional, no qual

os resultados numéricos obtidos foram comparados com os resultados do software ANFLEX,

utilizado para cálculo estrutural de linhas submarinas pela empresa PETROBRAS. Além

dos exemplos de validação, buscou-se analisar os resultados para os deslocamentos, esforços

internos e tensão normal nos trechos riser e em contato com o solo.

9.1 Exemplos numéricos para pórtico plano com abordagem estática

Para a validação do elemento de pórtico co-rotacional com abordagem estática, foram

estudadas três estruturas clássicas:

• Pórtico engastado com carregamento concentrado na extremidade;

• Pórtico engastado com carregamento uniformemente distribuído;

• Pórtico engastado com momento na extremidade.

Para os dois primeiros exemplos, a validação se dá inicialmente no âmbito linear. A deter-

minação da ordem de grandeza dos carregamentos foram arbitrariamente escolhidas de forma

a garantir comportamento linear da estrutura. Os valores numéricos para as grandezas de es-

forço cortante, momento fletor, campo de rotações e campo de deslocamentos são comparados

com suas soluções analítico-lineares. Numa segunda etapa, os pórticos são solicitadas através

de um carregamento que induz comportamento não-linear. Nesse caso as respostas numéricas

61



são comparadas com soluções obtidas na literatura. O terceiro caso, pórtico engastado com

momento na extremidade, é um exemplo de comportamento fortemente não-linear e, como

modo de validação, sua solução numérica foi testada contra a analítica.

Na realização dos exemplos em todos os casos, sob comportamento linear, o corpo tem

comprimento de 5 metros, secção transversal quadrada de lado 0,1 metro e módulo de elas-ticidade E = 2, 1 × 1011 Pa. Os parâmetros1 para os estudo do comportamento não linear

são: comprimento de 100 polegadas, seção transversal quadrada com lado igual a 1 polegada,

módulo de elasticidade E = 30 psi.

9.1.1 Pórtico engastado com carregamento concentrado na extremidade

Neste caso, a estrutura estudada é representada por uma viga esbelta de comprimento L,

engastada em uma extremidade e solicitada através de um carregamento concentrado F , com

sentido negativo ao eixo vertical y, aplicada à outra extremidade. Para o comportamentolinear, as soluções analíticas deste problema para determinação do esforço cortante, momento

fletor, campo de rotações em z e campo de deslocamentos transversais, são dadas por:

V (x) = F, (9.1)

M (x) = F x− FL, (9.2)

θ(x) = 1

EI

1

2Fx2 − FLx

(9.3)

e

v(x) = 1

EI

1

6Fx3 −

1

2FLx2

, (9.4)

em que I é o momento de inércia da seção transversal do corpo e x é o domínio.

Para comparação, o carregamento F foi atribuído com módulo de 100N , ordem de

grandeza suficientemente pequena de forma a manter o corpo num regime de comporta-

mento de rigidez geometricamente linear. Para a simulação, o corpo foi discretizado em

10 elementos e o carregamento dividido em 10 passos de carga. Os resultados podem ser

observados na Fig.(9.1).

Este problema, para o caso de grandes deslocamentos, foi resolvido analiticamente por

Bissopp & Drucker (1945) utilizando o conceito de integrais elípticas. Mais tarde, Mattiasson

(1981) através de procedimento numérico expôs a solução analítica, antes em formato de in-

tegrais elípticas, em um conjunto de dados numéricos. Para a validação no regime não-linear,

1Os dados aqui não estão no SI para haver melhor concordância com a literatura.

62



0 1 2 3 4 50

50

100

150

200

x [m]

V

( x ) [ N ]

Numérica

Analítica

0 1 2 3 4 5−500

−400

−300

−200

−100

0

x [m]

M ( x ) [ N m ]

Numérica

Analítica

0 1 2 3 4 5−8

−6

−4

−2

0x 10

−4

x [m]

θ z

( x ) [ r a d ]

Numérica

Analítica

0 1 2 3 4 5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0x 10

−3

x [m]

v ( x ) [ m ]

Numérica

Analítica

Figura 9.1: Soluções lineares para viga com carregamento concentrado na extremidade.

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u*

F *

Numérico

Mattiasson

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

v*

F *

Numérico

Mattiasson

Figura 9.2: Comparação das soluções não-lineares de F ∗ em função de u∗ e v∗ para o car-

regamento concentrado. Deslocamentos medidos na extremidade livre.

63





Tabela 9.1: Soluções adimensionais não-lineares para viga com carregamento concentrado.Co-rotacional Mattiasson (1981)

Passo de Carga F ∗

u∗

v∗

F ∗

u∗

v∗

0 0 0 0 0 0 01 0.3846 0.0096 0.1261 0.2 0.00265 0.066362 0.7692 0.0356 0.241 0.4 0.01035 0.130983 1.1538 0.0717 0.3386 0.6 0.02249 0.192354 1.5385 0.112 0.4182 0.8 0.03817 0.249455 1.9231 0.1527 0.4823 1 0.05643 0.301726 2.3077 0.1948 0.5376 1.2 0.0764 0.349017 2.6923 0.2276 0.5755 1.4 0.09732 0.391478 3.0769 0.2633 0.6119 1.6 0.1186 0.429419 3.4615 0.291 0.6379 1.8 0.13981 0.46326

10 3.8462 0.3204 0.663 2 0.16064 0.4934611 4.2308 0.3437 0.6817 2.5 0.20996 0.55566

12 4.6154 0.3679 0.6998 3 0.25442 0.6032513 5 0.3876 0.7139 3.5 0.29394 0.6403914 5.3846 0.4077 0.7274 4 0.32894 0.6699615 5.7692 0.426 0.7392 4.5 0.35999 0.6939716 6.1538 0.441 0.7486 5 0.38763 0.7137917 6.5385 0.4566 0.758 5.5 0.41236 0.7304218 6.9231 0.471 0.7663 6 0.43459 0.7445719 7.3077 0.4842 0.7738 6.5 0.45468 0.7567620 7.6923 0.4964 0.7805 7 0.47293 0.7673721 8.0769 0.507 0.7863 7.5 0.48957 0.776722 8.4615 0.518 0.7921 8 0.50483 0.78498

23 8.8462 0.5282 0.7973 8.5 0.51886 0.7923924 9.2308 0.5377 0.8022 9 0.53182 0.7990625 9.6154 0.5467 0.8067 9.5 0.54383 0.805126 10 0.5552 0.8109 10 0.555 0.81061

garantir comportamento da estrutura em regime linear. A Fig.(9.5) mostra a comparação

dos resultados obtidos numericamente com o a solução linear analítica deste problema. É

importante observar que a resposta numérica para o esforço cortante mostra-se em patamares,

isso deve-se ao fato de que no modelo esta força é constante no elemento e o mesmo ocorre

para o esforço normal.Com relação ao estudo não linear deste problema, Rohde (1953) propôs uma aproximação

para a solução analítica do problema utilizando uma abordagem adimensional análoga ao caso

da viga com esforço concentrado na extremidade. Mais tarde, Urthaler & Reddy (2005) uti-

lizaram esses resultados como base comparativa para seus resultados numéricos. Seguindo a

mesma abordagem, os parâmetros adimensionais utilizados são os mesmos apresentados para

65



0 20 40 60 80 100−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

x [in]

y

[ i n ]

Figura 9.3: Configurações do pórtico solicitado por força concentrada para cada passo decarga durante a simulação até a posição final.

Figura 9.4: Pórtico com carregamento uniformemente distribuído.

os deslocamentos em (9.5) e (9.6). Para o carregamento distribuído o parâmetro adimensional

na carga é dado por

q ∗

= 10q 0L3

/EI. (9.12)

A Fig. (9.6) ilustra o comportamento, em base adimensional, dos deslocamentos em

função do carregamento. A Fig. (9.7) ilustra as configurações de equilibrio da estrutura para

cada passo de carga.

66



0 1 2 3 4 50

100

200

300

400

500

x [m]

V ( x

) [ N ]

Numérica

Analítica

0 1 2 3 4 5−1500

−1000

−500

0

x [m]

M ( x ) [ N m ]

Numérica

Analítica

0 1 2 3 4 5−1.5

−1

−0.5

0x 10

−3

x [m]

θ z (

x ) [ r a d ]

Numérica

Analítica

0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

−3

x [m]

v (

x ) [ m ]

Numérica

Analítica

Figura 9.5: Soluções lineares para viga com carregamento uniformemente distribuído.

9.1.3 Pórtico engastado com momento na extremidade

O próximo exemplo, trata de um pórtico de comprimento L engastado, solicitado através

de um carregamento representado por um binário de momento M aplicado à extremidade,

como mostrado na Fig.(9.8). Esse tipo de caso é usualmente utilizado para verificar a robustez

do modelo com relação às grandes rotações, assim como a validação, pois é um caso fortemente

não linear.

Monteiro (2004) e Yshii (2002) comparam em seus trabalhos a solução analítica deste pro-

blema com o resultados numéricos através da formulação co-rotacional. A solução analítica

para os deslocamentos é explicitada nas seguintes equações:

u(x) = x

sin θ(x)

θ(x) − 1

, (9.13)

v(x) = x

1 − cos θ(x)

θ(x)

, (9.14)

θ(x,M ) = Mx

EI . (9.15)

67



0.7 0.8 0.9 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1−u*

q *

Numérico

Urthaler

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

v*

q *

Numérico

Urthaler

Figura 9.6: Comparação das soluções não-lineares de q ∗ em função de u∗ e v∗ para o carrega-mento uniformemente distribuído. Deslocamentos medidos na extremidade livre.

Seguindo a abordagem adimensional, o carregamento adimensional neste caso é dado por

M ∗ = n ML

2πEI , (9.16)

em que n é o número de voltas e os deslocamentos são tratados analogamente aos do primeirocaso e são dados pelas equações (9.5) e (9.6).

A Fig.(9.9) mostra o resultado comparativo da solução analítica com a numérica utilizando

uma discretização de 32 elementos, 20 passos de carga e para três voltas completas. Os

resultados obtidos através das equações analíticas e a partir do modelo de elementos finitos

são expostos na Tab.(9.2).

Neste caso, como os dados seguem a mesma sequência, foi possível determinar o erro per-

centual, e, de cada variável, no qual comparam-se os resultados numéricos com os analíticos

da seguinte maneira

e = 100

u∗ − u∗

u∗

, (9.17)

em que u∗ representa a solução analítica e u∗ o resultado numérico. A Fig.(9.10) ilustra a

distribuição do erro de u∗ e v∗ em função dos passos de carga. Observa-se que os erros são

inferiores a 1, 5 %, o que poderia ser reduzido refinando-se a malha ou aumentando o número

68



0 20 40 60 80 100

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

x [in]

y

[ i n ]

Figura 9.7: Configurações do pórtico sob carga uniformemente distribuída para cada passode carga durante a simulação até a posição final.

Figura 9.8: Pórtico engastado com momento na extremidade

de passos de carga.

Analogamente aos casos anteriores, a Fig.(9.11) traz as configurações de equilíbrio estático

para cada passo de carga, no qual o carregamento imposto faz com que a estrutura adquira

uma forma circular.

9.2 Exemplos numéricos para pórtico plano com abordagem dinâmica

Para o estudo de pórticos planos com abordagem co-rotacional foram escolhidos alguns

exemplos presentes na literatura:

• Pórtico bi-engastado com força concentrada aplicado ao centro da estrutura;

69



0 0.5 1 1.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

|u*|

M *

Numérica

Analítica

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

v*

M *

Numérica

Analítica

Figura 9.9: Comparação do modelo numérico com a solução analítica para três voltas.

0 5 10 15 200

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Passo de Carga

E r r o u * [ % ]

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Passo de Carga

E r r o v * [ % ]

Figura 9.10: Erro numérico percentual para o caso de viga engastada com momento na

extremidade.

• Pórtico engastado com carregamento concentrado na extremidade;

• Pórtico engastado com momento na extremidade;

70



Tabela 9.2: Soluções adimensionais não-lineares para viga com momento na extremidade.Co-rotacional Analítico

Passo de Carga M ∗ |u∗| v∗ M ∗ |u∗| v∗

0 0 0 0 0 0 01 0.05 0.1415 0.4373 0.05 0.1416 0.4374

2 0.1 0.4953 0.6945 0.1 0.4954 0.69453 0.15 0.8906 0.6903 0.15 0.8907 0.694 0.2 1.156 0.4802 0.2 1.1559 0.47995 0.25 1.2124 0.2124 0.25 1.2122 0.21226 0.3 1.1041 0.0338 0.3 1.1039 0.03387 0.35 0.9531 0.0074 0.35 0.9532 0.00748 0.4 0.8736 0.0918 0.4 0.8739 0.09169 0.45 0.9043 0.1877 0.45 0.9046 0.1872

10 0.5 1 0.213 0.5 1 0.212211 0.55 1.0784 0.1538 0.55 1.078 0.1532

12 0.6 1.0845 0.0614 0.6 1.0841 0.061113 0.65 1.0254 0.004 0.65 1.0252 0.00414 0.7 0.9551 0.0146 0.7 0.9555 0.014515 0.75 0.9287 0.0713 0.75 0.9293 0.070716 0.8 0.9607 0.1211 0.8 0.961 0.1217 0.85 1.0195 0.1231 0.85 1.0193 0.121818 0.9 1.0567 0.0781 0.9 1.0561 0.077219 0.95 1.0458 0.0233 0.95 1.0452 0.02320 1 1 0 1 1 0

• Pórtico com momento no vínculo.

9.2.1 Pórtico bi-engastado com força concentrada aplicada ao centro da estru-

tura

A estrutura estudada neste exemplo é composta por um pórtico esbelto com engastamento

em ambas as extremidades e é solicitada com uma força concentrada variável no tempo F (t)

dada por um pulso retangular de curta duração (0,02 segundos). Este exemplo foi estudado

por Rice & Ting (1993) e Behdinan et al. (1998), no qual a solução para o deslocamento

v(L/2) foi obtida utilizando técnicas de simetria. A simulação foi realizada para o tempo

variando de 0 a 0,08 segundos, intervalo este dividido em 1000 incrementos. O comprimento

da estrutura, 240 polegadas, foi discretizado em 8 elementos. A massa específica do material

é de 4, 567×10−3 lbfs2/in4, o módulo de elasticidade 30×106 psi, área transversal e momento

de inércia de área dados por 21.9 in2 e 100 in4, respectivamente. As unidades foram assim

escolhidas para uma melhor comparação com a literatura. A Fig. (9.12) mostra o pulso

retangular utilizado no carregamento e o resultado obtido em comparação com (Rice & Ting,

71



−20 0 20 40 60 80 100−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

x [in]

y

[ i n ]

Figura 9.11: Configurações do pórtico até uma volta completa.

1993).

9.2.2 Pórtico engastado com força concentrada na extremidade

Este caso corresponde ao estudo de uma viga engastada em uma extremidade e solicitada

através de um esforço concentrado, que é função do tempo, na outra extremidade. Esta

estrutura foi estudada por Rice & Ting (1993) e Behdinan et al. (1998), no qual o esforço

concentrado varia linearmente até atingir a magnitude de 1 × 105 lbf , no qual permanece

constante. Para a simulação, o tempo total foi de 1 s dividido em 1000 intervalos de tempo

e o corpo foi discretizado em 4 elementos. O corpo possui comprimento de 120 polegadas,

massa específica 4, 567×

10−3

lbfs2

/in4

, módulo de elasticidade 30×

106

psi, área transversale momento de inércia de área dado por 21.9 in2 e 100 in4, respectivamente. A variação no

tempo do deslocamento transversal em y na extremidade do corpo, v(L), pode ser observado

na Fig. (9.13), no qual o resultado numérico é comparado com a solução obtida por Rice

& Ting (1993) e Behdinan et al. (1998). Para melhor visualização da comparação, alguns

pontos do resultado numérico obtido foram propositalmente negligenciados na construção do

gráfico.

72



0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

4

t [s]

F ( t ) [ l b f ]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

t [s]

v ( L / 2 , t )

[ i n

]

Rice e Ting

Numérico

Figura 9.12: Pulso retangular de força e resposta para o deslocamento v(L/2) para viga

bi-engastada.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−5

0

5

10

15x 10

4

t [s]

F ( t ) [ l b f ]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

t [s]

v ( L , t )

[ i n ]

Rice e Ting

Numérico

Figura 9.13: F(t) e resposta do deslocamento v(L) para estrutura com engaste na extremi-dade.

Com o intuito de averiguar o comportamento do sistema com a presença de amortecimento

estrutural foram escolhidos arbitrariamente os parâmetros de Raileigh, Φ1 e Φ2, como 0,010e 0,008, respectivamente. A solução comparativa entre o caso amortecido e não amortecido

são ilustradas na Fig. (9.14), no qual os parâmetros geométricos e materiais são os mesmos

do caso anterior. O carregamento é o mesmo da Fig. (9.13).

73



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

t [s]

v ( L ,

t ) [ i n ]

Sem Amortecimento

Com Amortecimento

Figura 9.14: Comparação entre as respostas amortecidas e não amortecidas para o desloca-mento v(L) em função do tempo, para viga engastada com força concentrada na extremidade.

9.2.3 Pórtico engastado com momento na extremidade

Este exemplo é análogo ao caso três do estudo estático, no qual a viga está engastada

em uma extremidade e é solicitada por um momento na outra extremidade. Estudado porRice & Ting (1993), este exemplo ilustra uma situação na qual a estrutura após a solicitação

obtém uma configuração circular. O momento máximo para que a estrutura obtenha uma

configuração circular é dado por

M = 2πEI

L . (9.18)

Para simulação, mantiveram-se as mesmas propriedades materiais e geométricas do caso

anterior; o tempo de simulação foi discretizado em 200 intervalos e o corpo foi modelado

com 32 elementos. O carregamento foi modelado com uma função linear que pode ser escritacomo

M (t) = 2πEI

L t. (9.19)

As configurações do corpo, no tempo, até que o valor máximo do carregamento seja atingido,

são ilustradas na Fig. (9.15). Neste caso, para melhor visualização da figura, algumas

74



−60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 120 140

−20

0

20

40

60

80

100

120

x [in]

y

[ i n ]

t = 0,2 s

t = 0,1 s

t = 0

t = 0,3 st = 0,4 s

t = 0,7 s

t = 0,6 s

t = 1 s

t = 0,9 s

t = 0,8 s

t = 0,5 s

Figura 9.15: Configurações assumidas no tempo pela estrutura para momento na extremi-dade.

configurações intermediárias foram excluídas do gráfico. Analogamente ao caso anterior, a

Fig. (9.16) ilustra a variação do deslocamento v(L) no tempo para a volta completa, no

qual comparam-se os casos com e sem amortecimento (mantendo os mesmos parâmetros de

amortecimento estrutural do caso anterior).

9.2.4 Pórtico com momento no vínculo

Este exemplo foi inicialmente idealizado por Simo & Vu-Quoc (1986), no qual uma viga

apoiada está fixada sobre um olhal que não oferece resistência à rotação. Desta forma, a

estrutura sofre solicitação por momento concentrado no vínculo variante no tempo sob a

forma de um pulso de curta duração regido pela seguite função (em N m)

M (t) = 70 se t ≤ 5s

M (t) = o se t > 5s(9.20)

75



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

t [s]

v ( L ,

t ) [ i n ]

Sem Amortecimento

Com Amortecimento

Figura 9.16: Comparação entre as respostas amortecidas e não amortecidas para o desloca-mento v(L) em função do tempo para viga engastada com momento na extremidade.

Após o cessar do carregamento a estrutura mantém-se girando por inércia. A Fig. (9.17)

ilustra as configurações do corpo durante alguns instantes de tempo, o que indicou bastante

proximidade ao resultado obtido por Simo & Vu-Quoc (1986).

9.2.5 Pórtico com deslocamento imposto na extremidade

Este exemplo, também apresentado por Simo & Vu-Quoc (1986), trata de um pórtico

apoiado em uma extremidade sobre vínculo que permite que o corpo rotacione livremente,

porém impede movimentos de translação na direção horizontal e vertical. A estrutura é

submetida a condição de deslocamento prescrito, na qual a rotação θ1 imposta na extremidade

vinculada obedece a seguinte função (em radianos):

θ1(t) = 0, 6t se t ≤ 2.5s

θ1(t) = 1, 5 se t > 2, 5s(9.21)

A primeira curva da função,crescimento linear da rotação até um valor próximo de π/2,

repercute na estrutura como um movimento de ascensão, no qual a viga, inicialmente em

76



x

y

t = 15.0

t = 3.0

Figura 9.17: Configurações da viga girando em torno de vínculo, modelado como apoiosimples nas direções transversais. Pulso de momento é aplicado junto ao vínculo.

configuração horizontal, passará a deslocar-se seguindo o crescimento da rotação imposta. A

partir de 2,5 segundos, como indicado pela figura, o ângulo θ1 mantem-se fixo e próximo de

π/2 radianos, fazendo com que a estrutura inicie um comportamento de vibração livre. Neste

exemplo, o corpo foi discretizado em 10 elementos e o tempo dividido em 5000 intervalos. Os

parâmetros e propriedades utilizados para a simulação constam na Tab.(9.3).

Tabela 9.3: Parâmetros para simulação de pórtico com deslocamento prescrito.Parâmetro Valor

L 10 mEI 1000 Nm2

EA 10000 N Aρ 1 kg/mIρ 10 kgm2

As Fig. (9.18) e (9.19) ilustram as configurações do corpo no tempo, no qual é possível

observar o movimento realizado pela estrutura em função do movimento prescrito de acordo

com a equação (9.21). A primeira figura indica o movimento inicial de ascensão do pórtico

77



durante o início da rotação, enquanto que a segunda ilustra o corpo em vibração livre,

correspondendo ao momento em que a rotação mantém-se fixa. Os resultados obtidos ficaram

muito próximos da resposta de Simo & Vu-Quoc (1986).

x

y

t = 1 s

t = 2 s

t = 3 st = 4 s

t = 1.5 s

t = 0.5 s

t = 2.5 s

t = 3.5 s

t = 4.5 s

Figura 9.18: Configurações do corpo para o tempo de 0 a 4,5 segundos.

x

yt = 5 s

t = 6 s

t = 6,5 s

t = 10 s

t = 7.5 st = 8 s

t = 8,5 s

t = 9 s

Figura 9.19: Configurações do corpo para o tempo de 5 a 10 segundos.

78



9.3 Estudo de pórticos planos sobre fundações elásticas

Nesta seção procurou-se avaliar os resultados utilizando os modelos de fundação abordados

no capítulo 6, de descrição do solo. O exemplo estudado corresponde ao de um pórtico bi-

engastado apoiado sobre uma fundação elástica, como pode ser observado na Fig. (9.20),

no qual foram comparadas as respostas analíticas dos modelos de Winkler e Pasternak em

relação às soluções numéricas obtidas através dos diversos modelos numéricos em elementos

finitos de fundação.

Figura 9.20: Exemplo de estudo de pórtico sobre fundação elástica.

Este estudo resume-se em duas análises, nas quais buscou-se verificar a qualidade dasrespostas numéricas para modelos de fundação de um e dois parâmetros. A primeira análise

corresponde ao estudo dos modelos de um parâmetro, no qual as soluções numéricas uti-

lizando modelos de Winkler em molas nodais e Winkler em leito são comparadas à solução

analítica de uma viga geométrica e materialmente linear sobre uma fundação Winkler. Na

segunda análise, as soluções dos modelos de dois parâmetros (Filonenko-Borodich e Paster-

nak) são comparadas com a solução analítica do problema de uma viga geometricamente

linear sobre fundação de Pasternak. Para garantir comportamento geometricamente linear

por parte da estrutura e possibilitar comparar as soluções analíticas às numéricas, arbitrou-

se carregamento distribuído de baixa magnitude (mesma estratégia utilizada para o estudo

do pórtico plano com abordagem estática). Para a simulação numérica foram utilizados 50

elementos de viga e os parâmetros estão contidos na Tab. (9.4).

79



Tabela 9.4: Parâmetros para simulação do pórtico apoiado sobre fundação elástica.Parâmetro Variável Valor

Comprimento do Pórtico L 5 mPropriedades Geométricas e Materiais do Pórtico EI 1.75× 106 Nm2

Primeiro Parâmetro do Solo k1 2× 107 N/m/m

Segundo Parâmetro do Solo ks 2× 107 N Intensidade do Carregamento Uniformemente Distribuído q 100 N/m

9.3.1 Estudo de fundações de um parâmetro

No caso do modelo de Winkler, a solução analítica geral da equação (6.3) é dada por

(Colajanni et al., 2009)

v(x) = ekx

C 1 cos kx + C 2 sin kx

+ e−kx

C 3 cos kx + C 4 sin kx

+

q

k1, (9.22)

em que C i são constantes que dependem das condições de contorno do problema e

k = 4

k14EI

. (9.23)

A Fig. (9.21) ilustra uma comparação da solução analítica com resultados numéricos

obtidos através do modelo de Winkler em leito. Em conjunto com a análise comparou-se

de forma qualitativa o modelo em molas nodais, em que adotou-se a rigidez equivalente

numericamente igual à rigidez do modelo em leito. Para este exemplo, usou-se o modelo

de Winkler em leito com dois graus de liberdade e em quatro graus de liberdade, no qualutilizou-se o modelo de dois parâmetros, tomando ks como nulo. Os modelos de Winkler em

leito mostraram respostas próximas à solução analítica, em que não se observou diferença

significativa para dois e quatro graus de liberdade, como pode ser ilustrado na Fig.(9.22),

que fornece o erro percentual das soluções numéricas em relação à analítica. É possível

observar através destes resultados que o modelo de Winkler por molas nodais aproximou-se

qualitativamente da solução analítica, para adoção de rigidez numericamente igual ao modelo

em leito. É importante ressaltar que o modelo em molas nodais foi atribuído neste contexto

com intuito qualitativo, em virtude do valor de rigidez adotado ser numericamente igual aodo modelo em leito e não equivalente.

80



0 1 2 3 4 5

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

−6

x [m]

v [ m ]

Analítico

Numérico Winkler 2 Graus de Liberdade

Numérico Winkler 4 Graus de Liberdade

Numérico Winkler Molas Nodais

Figura 9.21: Comparação do resultado analítico com o numérico para o modelo de Winkler.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

x[m]

E r r o v

* [ % ]

Molas Nodais

2 Graus de Liberdade

4 Graus de Liberdade

Figura 9.22: Erro percentual do deslocamento v para os modelos de fundação Winkler em

relação à solução analítica.

81



A Tab.(9.5) mostra os valores dos resultados obtidos através dos elementos de fundação

Winkler com relação aos analíticos (alguns valores foram negligenciados para melhor dis-

posição dos dados a estrutura do texto), em que GDL é uma abreviação para Grau de

Liberdade.

Tabela 9.5: Resultados numéricos para a fundação elástica de um parâmetro.Módulo do deslocamento transversal |v|× 10

−6 [m]x[m] Analítico Molas Nodais 2 GDL 4 GDL

0 0.000 0.000 0.000 0.0000.1 0.077 0.228 0.077 0.0770.2 0.283 0.777 0.283 0.2830.4 0.943 2.223 0.944 0.9440.6 1.761 3.544 1.761 1.7620.8 2.588 4.461 2.589 2.5901.0 3.338 4.969 3.340 3.341

1.2 3.968 5.179 3.970 3.9721.4 4.464 5.214 4.467 4.4691.6 4.835 5.169 4.838 4.8401.8 5.096 5.103 5.100 5.1022.0 5.270 5.046 5.273 5.2752.2 5.373 5.008 5.376 5.3782.4 5.421 4.990 5.424 5.4262.6 5.421 4.990 5.424 5.4262.8 5.373 5.008 5.376 5.3783.0 5.269 5.046 5.273 5.275

3.2 5.096 5.103 5.100 5.1023.4 4.835 5.169 4.838 4.8403.6 4.464 5.214 4.467 4.4693.8 3.967 5.179 3.970 3.9724.0 3.338 4.969 3.340 3.3414.2 2.588 4.461 2.589 2.5904.4 1.760 3.544 1.761 1.7624.6 0.943 2.223 0.944 0.9444.8 0.283 0.777 0.283 0.2835.0 0.000 0.000 0.000 0.000

9.3.2 Estudo de fundações de dois parâmetros

A solução analítica do modelo de dois parâmetros sob uma viga linear representada

matematicamente na equação (9.24) tem a seguinte forma (Barros et al., 2009):

82



v(x) = C 1eα1x + C 2e

α2x + C 3e−α1x + C 4e

α2x + q

k1, (9.24)

em que

α1 =

ks −

k2s − 4k1EI

2EI (9.25)

e

α2 =

ks +

k2s − 4k1EI

2EI . (9.26)

A Fig. (9.23) ilustra a comparação dos modelos numéricos a dois parâmetros em relação

à solução analítica do modelo de Pasternak. Como comentado anteriormente, os modelos de

Filonenko-Borodich e Pasternak são matemáticamente equivalente (Dias, 2008) diferindo na

quantidade de graus de liberdade que cada modelo contempla em função da aproximação de

elemento finito utilizada. Como ilustrado na Fig. (9.23), o resultado numérico de Filonenko-

Borodich apresentou maior proximidade com relação a solução analítica do que o modelo

de Pasternak. Para implementação do modelo de Pasternak em elementos finitos, seguiu-se

rigorosamente o trabalho de Teodoru et al. (2006). Dias (2008) utilizou a mesma formulação

obtendo matrizes de rigidez idênticas. Desta forma, a grande diferença obtida entre o modelo

numérico de Pasternak e sua solução analítica pode ser atribuído às hipóteses utilizadas para aconstrução da matriz de rigidez do modelo. Vale ressaltar que a não-conformidade concentra-

se no termo matricial do segundo parâmetro da equação (6.17), pois ao impor o segundo

parâmetro do solo como nulo, a solução tornou-se coerente com o modelo de Winkler, como

observado no exemplo anterior na Fig. (9.21), o que indica que sua aproximação numérica

está coerente para este termo. A diferença entre as repostas entre os modelos numéricos e

analíticos podem ser melhor observadas na Fig. (9.24) que ilustra o erro percentual de cada

resposta.

83



É possível observar na Fig. (9.23) a comparação entre a solução analítica e numérica para

o modelo de fundação a dois parâmetros.

0 1 2 3 4 5−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5x 10

−6

x[m]

v [ m ]

Analítico Pasternak

Numérico Filonenko−BorodichNumérico Pasternak

Figura 9.23: Comparação entre as respostas do modelo de fundação elástica de dois parâme-tros e a solução analítica.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

30

x [m]

E r r o v * [ % ]

Filonenko−Borodich

Pasternak

Figura 9.24: Erro percentual do deslocamento v para os modelos de fundação Filonenko-Borodich e Pasternak em relação à solução analítica.

84



A Tab. (9.6) ilustra os valores obtidos através das soluções analíticas e numéricas para

os modelos de solo de dois parâmetros.

Tabela 9.6: Resultados numéricos para a fundação elástica de dois parâmetros.Módulo do deslocamento transversal |v|× 10

−6 [m]x[m] Analítico Filonenko-Borodich Pasternak

0 0 0 00.1 0.071749372 0.072217092 0.0672164710.2 0.250462528 0.25198642 0.2284053780.4 0.772406937 0.776267527 0.6755060430.6 1.360720392 1.366232384 1.1567467510.8 1.921235607 1.92753171 1.6040017681 2.415465086 2.421887995 1.995361357

1.2 2.831969948 2.838123404 2.3267312291.4 3.171664144 3.177360516 2.600401611

1.6 3.440378778 3.445571737 2.8204927261.8 3.645182534 3.649912337 2.9911771662 3.792622619 3.79697853 3.116014904

2.2 3.887927921 3.89202486 3.1977260292.4 3.934677076 3.938642169 3.2381280792.6 3.934677076 3.938642169 3.2381280792.8 3.887927921 3.89202486 3.1977260293 3.792622619 3.79697853 3.116014904

3.2 3.645182534 3.649912337 2.9911771663.4 3.440378778 3.445571737 2.8204927263.6 3.171664144 3.177360516 2.6004016113.8 2.831969948 2.838123404 2.3267312294 2.415465086 2.421887995 1.995361357

4.2 1.921235607 1.92753171 1.6040017684.4 1.360720392 1.366232384 1.1567467514.6 0.772406937 0.776267527 0.6755060434.8 0.250462528 0.25198642 0.2284053785 0 0 0

85



9.4 Resultados do módulo estático do MARINE

Com relação ao estudo da estática de SCR o trabalho buscou avaliar a coerência da

implementação do módulo estático do MARINE, dividindo-se, em três seções:

• Validação da implementação computacional;

• Estudo da discretização da malha e resultados do pós-processamento;

• Influência das fundações no modelo de SCR.

Na primeira seção buscou-se comparar os resultados do módulo estático, seguindo a atual

implementação em relação a um software utilizado na indústria de petróleo para projeto de

linhas. A segunda seção tem com objetivo avaliar o impacto da discretização da malha na

solução do problema e expor os resultados da atual implementação do módulo estático resul-

tantes do pós-processamento do MARINE. A última seção compara as diferentes respostas

obtidas para o momento fletor em função dos diversos modelos de fundação apresentados no

trabalho, no contexto da estática do SCR. Em todos os exemplos, a configuração inicial da

estrutura é dada pela curva catenária descrita pelas equações (7.1) a (7.4) e então atinge

uma nova configuração a partir da inclusão do carregamento na simulação.

9.4.1 Validação da implementação do módulo estático do MARINE

Com o intuito de verificar o funcionamento da implementação do conjunto de diferentes

tipos de elementos que compõe o módulo estático do MARINE, utilizou-se como base compa-

rativa o software ANFLEX. Este software é utilizado no estudo de linhas offshore , auxiliando

o cálculo e análise estrutural, para os projetos da PETROBRAS. Seu desenvolvimento foi

realizado por iniciativa da empresa e parceiros, o que não o torna um software comercial

disponível no mercado.

A comparação de validação do caso estático foi realizada fazendo uso de algumas con-

siderações iniciais em ambos os programas, de forma a garantir as mesmas condições de

simulação, como:

• Como carregamento foi utilizado o peso próprio da estrutura desconsideranto o efeito

de empuxo;

• As condições de contorno consideradas foram:

– A conexão com a plataforma foi considerada rígida para movimentos transversais,

porém permitindo movimento de rotação;

86



– A conexão com o equipamento submarino foi considerada absolutamente rígida,

ou seja, o vínculo adotado foi o de engaste.

• O elemento de solo utilizado foi o de Winkler em molas nodais, no qual k1 foi determi-

nado como 2 × 107 N/m, modelo este utilizado pelo ANFLEX.

A estrutura no MARINE foi discretizada em 2299 elementos de pórtico para representar

o trecho suspenso e 700 elementos para trecho em contato com o solo e parte de uma configu-

ração em catenária e é “relaxada” a partir da aplicação do peso próprio, como carregamento.

Os parâmetros utilizados no pré-processamento e que descrevem o problema simulado para

comparação podem ser observados na Tab.(9.7). Vale ressaltar que os parâmetros escolhidos

para simulação não tiveram como objetivo representar um caso real de simulação, servindo

apenas como insumo aos simuladores para comparação dos resultados.

Tabela 9.7: Parâmetros para simulação de SCR com 2067 metros sob ação do Peso Próprio.Dado de Entrada Variável ValorÂngulo de Topo θt 20

Diâmetro Externo da Linha OD 0, 2731 mDiâmetro Interno da Linha ID 0.2312 m

Comprimento Total da Linha sl 2067 mComprimento do Trecho em Contato com o Solo sf 734 m

Massa Específica da Linha ρ 7850 kg/m3

Módulo de Elasticidade E 2, 08 × 1011 N/m2

Como verificação inicial, buscou-se comparar as malhas geradas para catenária livre em

ambos os programas, como ilustrado na Fig.(9.25), onde, para melhor visualização do grá-

fico, alguns pontos gerados no MARINE não foram incluídos na figura. Observa-se grande

proximidade das coordenadas iniciais da linha, o que indica que o gerador de malha para a

configuração em “catenária” está coerente.

As Fig.(9.26) e (9.27) ilustram a comparação dos resultados fornecidos pelo ANFLEX e

MARINE para os deslocamentos u e v, respectivamente, em função do comprimento de arco

medido ao longo da linha, s. Como descrito no capítulo de desenvolvimento computacional,

ilustrado na Fig.(8.5), a coordenada s corresponde à leitura realizada diretamente sobre alinha de produção, desta forma sua origem corresponde à flexjoint e seu final à conexão com

o poço de petróleo. Analogamente à Fig.(9.25), para melhor visualização da comparação

dos resultados, alguns pontos do resultado do MARINE foram omitidos. Pode-se observar

que a resposta para os deslocamentos está coerente, ou seja, as solução numéricas para o

módulo estático mostraram-se bastante próximas às soluções obtidas a partir do ANFLEX.

Observa-se que a resposta para o deslocamento v mostrou resposta mais fidedigna do que a

87



−800 −600 −400 −200 0 200 400 6000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

x [m]

y [ m ]

ANFLEX

MARINE

Figura 9.25: Comparação entre as curvas de catenária livre geradas no ANFLEX e MARINE,no qual não se considera empuxo nem tração efetiva.

obtida pelo deslocamento transversal u. Isso pode ser em razão da modelagem de contato

com o solo, no qual no modelo do MARINE não considera efeitos de atrito da linha.

A Fig.(9.28) ilustra a comparação entre os resultados do momento fletor atuante na estru-tura. É importante ressaltar que, assim como descrito no capítulo que trata da implementação

computacional, o cálculo deste resultado considerou o momento inicial resultante da confi-

guração de catenária, dado pela equação (8.8), além do gerado em função do alongamento

causado pelo peso próprio. Para ilustrar melhor o resultado, alguns pontos da resposta do

MARINE não foram incluídos no gráfico. Ainda com respeito a ilustração, pode-se observar

grande proximidade entre as soluções.

9.4.2 Estudo da malha no módulo estático do MARINE

Uma vez comparadas as principais soluções obtidas no processamento, foi realizado um

estudo de caso no módulo estático com o intuito de verificar a qualidade dos resultados em

função do refino da malha, ou seja, buscou-se avaliar a influência da escolha da malha na

análise. Além da avaliação da resposta, buscou-se analisar a influência da malha no processo

interativo, o que se traduz pelo número de interações necessárias para se obter convergência.

Desta forma, um mesmo caso foi simulado em seis diferentes malhas, que partem de um estado

88



0 500 1000 1500 2000

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

s [m]

u [ m ]

ANFLEX

MARINE

Figura 9.26: Comparação de resultados para o deslocamento u em relação à coordenada s.

0 500 1000 1500 2000

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

s [m]

v [ m ]

ANFLEX

MARINE

Figura 9.27: Comparação de resultados para os deslocamento v em relação à coordenada s.

com poucos elementos (malha grosseira) para uma malha com maior número de elementos

(malha refinada). As malhas foram arbitrariamente escolhidas e os valores para o número

de elementos e a quantidade de nós utilizados na estrutura e no solo são dados na Tab.(9.8).

Os parâmetros geométricos e as propriedades dos materiais e dos fluidos envolvidos no caso

89



0 500 1000 1500 2000−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

s [m]

M [ k

N m ]

ANFLEX

MARINE

Figura 9.28: Comparação resultados para o momento fletor M em relação à coordenada s.

estudado são dados na Tab.(9.9).

Tabela 9.8: Malhas utilizadas para estudo de refinamento.Número de Nós

Malha Número de Elementos Riser Flowline

1 104 100 52 131 125 73 166 167 104 269 250 205 539 500 406 1199 1000 200

A Fig. (9.29) mostra os resultados obtidos para o deslocamento u em razão das diferentes

discretizações propostas para malha da estrutura. A figura exibe um comportamento bastante

claro com relação à convergência das curvas para uma solução padrão, como observado a

partir das malhas 4,5 e 6. Ainda na figura é possível obsevar, para a malha mais grosseiracomo é o caso da malha 1, que a solução exibe um comportamento bastante irregular, como

é o caso da descontinuidade apresentada no inicio da curva (trecho entre 0 e 100 metros da

coordenada s).

Para o estudo do impacto da malha no número de interações dividiu-se o carregamento em

20 passos de carga. Assim, procurou-se avaliar o número de iterações necessárias durante o

processo iterativo de Newton-Raphson para cada malha e passo de carga, no qual os resultados

90



Tabela 9.9: Parâmetros de simulação para estudo de malha e número de iterações.Dado de Entrada Variável ValorÂngulo de Topo θt 20

Diâmetro Externo da Linha OD 0, 2731 mDiâmetro Interno da Linha ID 0.2312 m

Comprimento Total da Linha sl 1200 mComprimento do Trecho em Contato com o Solo sf 200 m

Massa Específica da Linha ρ 7850 kg/m3

Módulo de Elasticidade E 2, 08× 1011 N/m2

Massa Específica do Fluido Externo à Linha ρl 1050 kg/m3

0 200 400 600 800 1000 1200−0.18

−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

s [m]

u [ m ]

104 Elementos

131 Elementos

166 Elementos

269 Elementos

539 Elementos

1199 Elementos

Figura 9.29: Comparação entre as soluções obtidas para o deslocamento u em diferentesmalhas.

estão contidos na Tab.(9.10). É possível observar que, para malhas mais grosseiras, exige-se

um número maior de iterações para sua resolução, o que indica poder trazer dificuldades

numéricas durante a simulação. Observou-se, também, duas características neste resultado:

1) houve estabilização para três iterações por passo de carga para todas as malhas e 2) para

as malhas mais refinadas, ou seja, 5 e 6 os passos de carga se estabilizaram em três.

91



Tabela 9.10: Números de iterações por passo de carga para diferentes malhas.Número de Elementos

Passo de Carga 104 131 166 269 539 11991 6 5 5 4 3 32 4 4 4 3 3 3

3 4 3 3 3 3 34 4 3 3 3 3 35 4 3 3 3 3 36 4 3 3 3 3 37 3 3 3 3 3 38 3 3 3 3 3 39 3 3 3 3 3 3

10 3 3 3 3 3 311 3 3 3 3 3 312 3 3 3 3 3 3

13 3 3 3 3 3 314 3 3 3 3 3 315 3 3 3 3 3 316 3 3 3 3 3 317 3 3 3 3 3 318 3 3 3 3 3 319 3 3 3 3 3 320 3 3 3 3 3 3

Utilizando a malha 6, com 1199 elementos, e os mesmos parâmetros da Tab.(9.9) foi

realizado uma simulação utilizando o MARINE com o intuíto de ilustrar as respostas forneci-das pelo pós-processamento do módulo estático para os deslocamentos (u, v e θ), os esforços

internos (momento fletor M e esforço normal N ) e tensão normal (σ) no intradorso (ponto ex-

tremo superior da seção transversal da linha) na estrutura, o que são ilustrados nas Fig.(9.30),

(9.31) e (9.32). Ressalta-se que, para a realização desta simulação, foram considerados os

efeitos de carregamento por empuxo no corpo.

92



0 200 400 600 800 1000−0.1

−0.05

0

s [m]

u [ m ]

0 200 400 600 800 1000−0.2

−0.1

0

s [m]

v [ m ]

0 200 400 600 800 1000−2

0

2x 10

−3

s [m]

θ z

[ r a d ]

Figura 9.30: Distribuição dos deslocamentos u, v e θz na linha de 1200 metros.

0 200 400 600 800 1000−100

0

100

s [m]

M [

k N m ]

0 200 400 600 800 1000−2

0

2

s [m]

Q [

k N ]

0 200 400 600 800 10000

500

1000

s [m]

N

[ k N ]

Figura 9.31: Distribuição do Momento Fletor M , Esforço Cortante Q e Força Normal N na

linha de 1200 metros.

93



0 200 400 600 800 1000−80

−60

−40

−20

0

20

40

s [m]

σ N

[ M P a ]

Figura 9.32: Distribuição da Tensão Normal σ no intradorso da linha de 1200 metros.

9.4.3 Estudo dos modelos de fundação aplicados à estática de SCR

Em todos os exemplos anteriores de estudo do SCR foi utilizado o modelo de fundaçãoWinkler em molas nodais. Desta forma, com o intuito de avaliar o comportamento da resposta

para diferentes fundações, este exemplo simula o caso SCR em caso estático utilizando os

diversos modelos de fundação mencionados nos capítulos anteriores, tais como:

• Fundação de um parâmetro: Winkler em leito com dois e quatro graus de liberdade;

• Fundação de dois parâmetros: Filonenko-Borodich (dois graus de liberdade) e

Pasternak (quatro graus de liberdade).

Os parâmetros materiais, geométricos e de fluido são os mesmos já apresentados na Tab.(9.9), em que k1 e ks foram tomados como 2×10

7 N/m2 (2×107 N/m para o caso de Winkler

em molas nodais) e 2×107 N , respectivamente. Para a simulação, consideraram-se os efeitos

do peso próprio em conjunto com o empuxo (peso submerso) atuando na estrutura dividindo-

se em dois passos de carga para cada modelo de fundação. A estrutura foi discretizada de

forma a manter a taxa de um elemento por metro. Buscou-se avaliar o comportamento da

resposta do momento fletor em relação ao domínio do corpo para os diferentes modelos de

94



fundação, o que é ilustrado na Fig. (9.33). Com o intuito de se melhorar a visualização da

resposta, o resultado é exposto em duas figuras que cobrem o intervalo de 998 a 1015 metros

da linha. A figura à esquerda, que corresponde ao intervalo de 998 a 1000 metros, exibe

os resultados no trecho suspenso, antes do TDP, enquanto que a figura à direita, de 1000

a 1015 metros, indicam os resultados no trecho apoiado. No restante do domínio da linhaas respostas permanecem muito próximas não trazendo nenhuma informação relevante ao

estudo. Ainda na Fig. (9.33) é possível observar que a diferença entre os valores de momento

fletor imediatamente posterior e anterior ao TDP tem maior valor para o modelo de Winkler

em molas nodais e o menor para o modelo de Pasternak (dois parâmetros com quatro graus

de liberdade). Coincidentemente, conforme a complexidade do modelo aumenta a amplitude

do momento fletor diminui.

1000 1005 1010 1015−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

s[m]

M [ k N m ]

Winkler Molas Nodais

Winkler 2 GDL

Winkler 4 GDL

Pasternak 2 GDL

Pasternak 4 GDL

980 985 990 995 1000−77

−76.5

−76

−75.5

−75

−74.5

−74

−73.5

−73

−72.5

−72

s[m]

M [ k N m ]

Winkler Molas Nodais

Winkler 2 GDL

Winkler 4 GDL

Pasternak 2 GDL

Pasternak 4 GDL

Figura 9.33: Comparação dos resultados do Momento Fletor na região do TDP para diversosmodelos de fundação.

95



9.5 Resultados do módulo dinâmico do MARINE

Esta seção tem como intuito mostrar os resultados e análises realizados para o estudo da

dinâmica de risers rígidos em catenária buscando desta forma reunir os conceitos anterior-

mente apresentados para construir o modelo de simulação. Desta forma, utiliza os conceitos

e implementações abordadas nos capítulos de desenvolvimento do elemento de pórtico plano

não-linear, do estudo da dinâmica não-linear de estrutura e da descrição dos modelos de

fundação. Os exemplos desta seção têm como estratégia de estudo a seguinte sequência:

• Validação da dinâmica estrutural de SCR;

• Estudo de caso de SCR em contato com o solo;

• Avaliação do impacto do heave na estrutura.

A validação da dinâmica estrutural de SCR, analogamente ao estudo estático, foi realizada

utilizando os resultados obtidos pelo software ANFLEX em comparação com o resultado do

módulo dinâmico do MARINE.

O primeiro caso de estrutura escolhida para estudo foi a linha numa configuração em

catenária apoiada sobre às extremidades sem interação com o solo e sob solicitação do peso

próprio. Para este primeiro caso de simulação, não foram considerados os efeitos de empuxo

excluindo, desta forma, os fenômenos relativos da interação do fluido com a estrutura. Como

parâmetro de comparação, buscou-se averiguar a proximidade das respostas obtidas para as

configurações finais da estrutura para os diferentes programas. Ainda neste exemplo, é realizauma análise das soluções obtidas para a distribuição dos esforços internos da estrutura, no

caso para esforço normal e momento fletor, para alguns intervalos de tempo da simulação.

O segundo exemplo de estudo busca avaliar o comportamento do SCR e sua interação com

o solo marinho, no qual utilizou-se o modelo de molas nodais para representar a fundação.

Dentre os resultados avaliados, procurou-se observar a variação dos esforços internos na linha

(momento fletor e esforço normal) e o comportamento da tensão normal na região do TDP,

em que consideraram-se os efeitos estáticos iniciais na análise.

O último caso de análise teve como objetivo avaliar a variação da tensão no tempo oca-

sionada pela ação do heave da embarcação (movimento vertical ocasionado em função das

ondas marítimas) sobre o SCR. Ainda no exemplo, buscou-se avaliar o comportamento do

valor máximo do módulo dos esforços internos para cada intervalo de tempo da simulação.

Vale ressaltar que, assim como no estudo da estática de SCR, os parâmetros escolhidos para

os exemplos estudos não tiveram como objetivo simular um caso real, mas garantir a mesma

base de comparação, quando for o caso, e possibilitar análise direta de resultados.

96



9.5.1 Riser apoiado pelas extremidades sem contato com o solo

Com o intuito de verificar o funcionamento do módulo dinâmico, seguiu-se a mesma

estratégia da estática de SCR, ou seja, procurou-se comparar os resultados obtidos com

os do software ANFLEX. O exemplo escolhido para estudo foi o de uma linha totalmente

suspensa apoiada pelas extremidades sem contato com o solo. Esta configuração é comum emalgumas operações de conexão da linha com a UEP, pois durante o procedimento de conexão a

estrutura fica apoiada nas embarcações de apoio de forma semelhante. A divisão deste estudo

foi realizada em duas etapas, no qual a primeira é relativa aos resultados comparativos com

o software de análise estrutural e a segunda trata dos esforços internos na linha, respostas

estas resultantes do pós-processamento do MARINE.

As condições de contorno para este caso foram assumidas como vínculos que impõem

restrição aos deslocamentos transversais no sentido vertical, objetivando, desta forma, simular

o apoio das embarcações. A carga solicitante sobre a estrutura é devida somente ao pesopróprio, desconsiderando-se, desta forma, efeitos do empuxo. O tempo de simulação foi de 0

a 5 segundos divididos em 5000 intervalos e o corpo foi discretizado em 199 elementos. Os

parâmetros materiais e geométricos utilizados para esta simulação estão contidos na Tab.

(9.11).

Tabela 9.11: Parâmetros do exemplo de linha apoiada pelas extremidades.Dado de Entrada Variável ValorÂngulo de Topo θt 30

Diâmetro Externo OD 0

,2731

mDiâmetro Interno ID 0.2312 mComprimento da Linha sl 400 m

Massa Específica do Riser ρ 7850 kg/m3


A comparação entre os resultados das configurações no tempo 0 e 5 segundos da linha

apoiada pelas extremidades durante a simulação podem ser observadas na Fig. (9.34).

Observa-se, no gráfico, que a estrutura parte de uma mesma configuração no tempo 0 (as

curvas relativas ao ANFLEX e MARINE estão sobrepostas) e chega a configurações para otempo 5 segundos diferentes, no qual o MARINE mostrou como resultado uma configuração

tortuosa em relação à solução do ANFLEX.

As soluções, embora diferentes, mostraram comportamentos com relação ao deslocamento

de mesma natureza. Baseando-se nos resultados anteriores de validação da dinâmica es-

trutural para pórticos planos, que mostraram grande proximidade com a literatura, duas

observações podem ser feitas:

97



−200 −100 0 100 2000

50

100

150

200

250

300

350

400

x [m]

y [ m ]

ANFLEX

MARINE

Figura 9.34: Comparação entre as configurações iniciais e finais do riser apoiado pelas ex-tremidades resultantes do ANFLEX e MARINE.

1. A atual implementação do ANFLEX contempla uma gama de considerações que, no

caso dinâmico, culminam em soluções diferentes das obtidas pelo MARINE;

2. Embora condizentes com a literatura, as validações de dinâmica estrutural não-linear

deste trabalho, por serem configurações mais simples do que a de catenária, não exi-

biram problemas que podem ser de origem numérica, hipóteses de formulação e consi-

derações de implementação que, no caso dinâmico, manifestam-se trazendo resultados

incoerentes à análise estrutural de SCR.

Corroborando a segunda observação, a atual implementação do MARINE para cálculodo peso próprio, idealizado como carregamento uniformemente distribuído, não varia com

configuração do corpo/elemento no plano e no tempo. Como demonstrado no capítulo de

desenvolvimento computacional o cálculo dos esforços nodais equivalentes foram realizados

considerando somente os efeitos de viga, ou seja, os efeitos axiais oriundos do carregamento

distribuído não estão implementados. Desta forma, para elementos da estrutura em confi-

gurações mais próximas da vertical a distorção causada por este efeito é maior, pois nesta

98



região os efeitos axiais são majorados e o de flexão reduzidos. No estudo dinâmico a influência

torna-se mais perceptível, pois em geral a estrutura adquire grandes deslocamentos e rotações

durante o tempo de simulação.

−200 −100 0 100 2000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

x [m]

y [ m ]

Figura 9.35: Configurações do riser suspenso em catenária dupla de 0 a 5 segundos.

A segunda etapa deste exemplo visa ilustrar os resultados obtidos pelo MARINE com

relação às configurações e os esforços internos da estrutura. A Fig. (9.35) ilustra as configu-

rações do corpo desde a inicial até a final, no tempo 5 segundos. Este gráfico é resultado do

conjunto de outputs do pós-processamento do MARINE e para melhor visualição do resultado

algumas configurações intermediárias foram removidas.

A Fig. (9.36) ilustra a distribuição do momento fletor na linha em catenária dupla para 0,

1, 2, 3, 4 e 5 segundos. Para o tempo 0 a distribuição dos momentos fletores é devida somente

ao efeito da curvatura em catenária que induz momento inicial na análise da estrutura. O

momento fletor no centro da estrutura apresenta momento fletor com amplitude de aproxi-

madamente 2500 kNm. Esse resultado ilustra grande variação da distribuição do momento

fletor na linha num curto intervalo de tempo (cinco segundos), em especial, o ponto central

crítico da estrutura e, analizando-a somente através deste aspecto, mostrou-se mais passível

à falha devido a maior amplitude de momento fletor.

99



0 100 200 300 400−300

−200

−100

0

s [m]

M

[ k N m ]

t = 0 s

0 100 200 300 400−500

0

500t = 1 s

s [m]

M

[ k N m ]

0 100 200 300 400

−500

0

500

s [m]

M [ k

N m ]

t = 2 s

0 100 200 300 400

−1000

−500

0

500

s [m]

M [ k

N m ]

t = 3 s

0 100 200 300 400−500

0

500

1000

s [m]

M [ k

N m ]

t = 4 s

0 100 200 300 400−1000

0

1000

2000

s [m]

M [ k

N m ]

t = 5 s

Figura 9.36: Distribuição do momento fletor na linha em catenária dupla para 0, 1, 2, 3, 4 e5 segundos.

Analogamente, a distribuição dos esforços normais na estrutura para os tempos 0, 1, 2, 3, 4

e 5 segundos são ilustrados na Fig. (9.37). É possível observar que, diferentemente da análise

de momento fletor, que considera efeitos prévios da curvatura, não se considerou efeitos

iniciais na linha como observado no gráfico para o tempo 0. Desta forma, os resultados obtidos

para o esforço normal são relativos somente à ação do peso próprio a partir da configuração

curvada. Diferentemente do resultado do momento fletor, que leva em consideração os efeitosde curvatura, os pontos de maior solicitação situam-se nas extremidades da linha.

100



0 100 200 300 400−1

−0.5

0

0.5

1t = 0 s

s [m]

N

[ k N ]

0 100 200 300 40050

100

150

200t = 1 s

s [m]

N

[ k N ]

0 100 200 300 400

0

100

200

300

s [m]

N [ k

N ]

t = 2 s

0 100 200 300 400

0

100

200

300

s [m]

N [ k

N ]

t = 3 s

0 100 200 300 4000

100

200

300

s [m]

N [ k

N ]

t = 4 s

0 100 200 300 400−200

0

200

400

s [m]

N [ k

N ]

t = 5 s

Figura 9.37: Distribuição do esforço normal na linha em catenária dupla para 0, 1, 2, 3, 4 e5 segundos.

9.5.2 Riser rígido em catenária 400 metros sob ação do peso submerso

Esta caso tem como objetivo ilustrar as soluções advindas do MARINE para um SCR em

contato com o solo marinho. Os parâmetros do caso são fornecidos na Tab. (9.12), no qual

a linha está sujeita à solicitação do peso submerso. Com relação às condições de contorno

considerou-se que:

1. Na extremidade inferior, em contato com os equipamentos submarinos, o vínculo é

totalmente rígido, ou seja, a estrutura está engastada;

2. Na extremidade conectada à UEP, porção superior, a embarcação e a flexjoint propor-

cionam apoios absolutamente rígidos que se traduzem como vínculos que não permitem

deslocamento transversal na direção vertical e rotacional com relação ao eixo z . Desta

101



forma, a extremidade superior pode movimentar-se livremente na direção horizontal.

Tabela 9.12: Parâmetros do SCR de 400 metros sob ação do peso submerso.Dado de Entrada Variável Valor

Ângulo de Topo θt 15

Diâmetro Externo OD 0, 2731 mDiâmetro Interno ID 0.2312 m

Comprimento da Linha sl 400 mComprimento do trecho de flowline sf 200 m


Massa Especítica do Fluido ρl 1025 kg/m3


Rigidez do Solo k1 2× 107 N/m2

Este exemplo foi simulado em duas etapas, nas quais a primeira foi realizado uma si-

mulação estática sob solicitação do peso submerso, dividido em dois passos de carga e a

segunda uma simulação dinâmica durante 5 segundos divididos em 5000 intervalos de tempo,

também, sob solicitação do peso próprio. Para ambas simulações o corpo foi discretizado em

400 elementos uniformemente distribuídos.

Os resultados obtidos para o momento fletor e esforço normal foram somados aos mesmos

esforços internos obtidos no ensaio dinâmico. Desta forma, buscou-se considerar o efeito de

tração iniciais na linha, assim como os efeitos de curvatura e desta forma garantir que as

soluções para os esforços internos no tempo inicial não sejam nulas, como observado na Fig.(9.37). Vale ressaltar que o efeito de curvatura, induzindo momento fletor inicial, não foi

considerado durante a simulação dinâmica tendo em vista que este fenômeno é contemplado

durante a simulação estática realizada previamente. Desta forma, evita-se dupla consideração

do efeito sobre a estrutura. Com relação à fundação, o modelo utilizado para representar o

solo marinho foi Winkler em molas nodais, cuja rigidez considerada foi 2× 107 N/m.

A Fig. (9.38) ilustra as configurações sucessivas do SCR, do tempo inicial ao final, em

que algumas configurações intermediárias foram removidas para melhorar a visualização.

Observa-se que há grande deslocamento do trecho suspenso da estrutura em um curto espaçode tempo. No mesmo sentido há variação do TDP da linha, assim como aumento da curvatura

da parte suspensa no decorrer da análise.

Analogamente ao caso da linha em catenária dupla, a Fig. (9.39) ilustra a variação da

distribuição dos momentos fletores nos tempos de 0, 1, 2, 3, 4 e 5 segundos. É possível

observar que para o tempo inicial a resposta tem a mesma característica da resposta do

módulo estático, ou seja, para a parte suspensa da estrutura há uma variação maior do

102



−120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40

0

20

40

60

80

100

120

140

160

x [m]

y [ m ]

t = 5 st = 0

Figura 9.38: Configurações do SCR de 400 metros para os tempos de 0 a 5 segundos.

momento fletor até o módulo máximo, na região do TDP. Isso se deve à solução advinda da

simulação estática do riser , no qual os efeitos de curvatura predominam. Para os tempos

subseqüentes, observa-se que a região do TDP sempre ilustra os maiores módulos de momento

fletor e varia sua posição na linha conforme a simulação prossegue, o mesmo é observado na

Fig. (9.38). Ainda nos resultados, é possível observar que conforme a curvatura da parte

suspensa aumenta, modifica-se a distribuição dos momentos fletores de forma que a solicitação

nessa porção da análise passa a ser significativa.

A Fig. (9.40) ilustra a distribuição dos esforços normais na linha para 0, 1, 2, 3, 4 e 5

segundos. A inclusão dos efeitos da simulação estática inicial é bastante visível se comparado

com o caso em catenária dupla, no qual a distribuição inicial na simulação dinâmica era de

magnitude zero em toda extensão da linha. Com a inclusão dos efeitos iniciais tem-se uma

distribuição mais realista, no qual a porção próxima à plataforma mostrou maior magnitude.

103



0 100 200 300 400−1000

−500

0

500t = 0 s

s [m]

M

[ k N m ]

0 100 200 300 400−1000

−500

0

500t = 1 s

s [m]

M

[ k N m ]

0 100 200 300 400

−1000

−500

0

500

s [m]

M [ k

N m ]

t = 2 s

0 100 200 300 400

−1000

−500

0

500

s [m]

M [ k

N m ]

t = 3 s

0 100 200 300 400−1000

−500

0

500

s [m]

M [ k

N m ]

t = 4 s

0 100 200 300 400−1000

−500

0

500

s [m]

M [ k

N m ]

t = 5 s

Figura 9.39: Distribuição do momento fletor no SCR de 400 metros para 0, 1, 2, 3, 4 e 5segundos.

A distribuição da tensão normal ao longo da linha para os tempos 0, 1, 2, 3, 4 e 5

segundos pode ser observada na Fig. (9.41). Como citado nos casos anteriores, o cálculo da

tensão normal à área transversal é realizado considerando os efeitos conjugados de flexão e

tração. A partir da figura observa-se que, para o tempo inicial, este caso mostra que o efeito

do momento fletor tem predominância em relação ao esforço normal, na qual verificou-se

semelhança entre as curvas da tensão normal e a curva inicial de momento fletor em funçãoda curvatura. Nas curvas para os tempos subseqüentes, observou-se que o esforço normal

gerado na estrutura tem grande influência no cálculo na tensão, o que pode ser justificado

pelo aumento do esforço normal no decorrer da simulação.

Com o intuito de obter um melhor detalhamento da tensão próxima à região do TDP,

a Fig. (9.42) ilustra a variação da tensão normal em cinco pontos distintos da estrutura

104



0 100 200 300 4000

50

100

150t = 0 s

s [m]

N

[ k N ]

0 100 200 300 4000

100

200

300t = 1 s

s [m]

N

[ k N ]

0 100 200 300 4000

100

200

300

s [m]

N [ k

N ]

t = 2 s

0 100 200 300 4000

100

200

300

400

s [m]

N [ k

N ]

t = 3 s

0 100 200 300 4000

100

200

300

s [m]

N [ k

N ]

t = 4 s

0 100 200 300 400−100

0

100

200

s [m]

N [ k

N ]

t = 5 s

Figura 9.40: Distribuição do esforço normal no SCR de 400 metros para 0, 1, 2, 3, 4 e 5

segundos.

no tempo. Procurou-se verificar o comportamento da tensão normal com relação ao tempo

para o ponto do TDP inicial e para pontos a montante e jusante do ponto inicial. Desta

forma escolheram-se 4 pontos em relação ao TDP que distam 1 e 2 metros dispostos de

forma simetricamente oposta. Verificou-se que no decorrer da simulação houve diminuição

da magnitude de tensão nos três pontos iniciais, o que indica que a linha manteve contato como solo, transferindo o TDP para outro ponto. A porção a “jusante” do ponto do TDP inicial,

ao contrário, tem magnitude crescente durante a análise indicando que a tração aumenta no

tempo. Este fato justifica-se pelo engaste que prende esse trecho da linha e pelo movimento

induzido pela curvatura da porção suspensa que tende a puxar a linha, tracionando-a.

105



0 100 200 300 400−600

−400

−200

0

200t = 0 s

s [m]

σ N

[ M P a ]

0 100 200 300 400−500

0

500t = 1 s

s [m]

σ N

[ M P a ]

0 100 200 300 400−500

0

500

s [m]

σ N

[ M P a ]

t = 2 s

0 100 200 300 400−500

0

500

1000

s [m]

σ N

[ M P a ]

t = 3 s

0 100 200 300 400−1000

−500

0

500

1000

s [m]

σ N

[ M P a ]

t = 4 s

0 100 200 300 400−1000

−500

0

500

s [m]

σ N

[ M P a ]

t = 5 s

Figura 9.41: Distribuição da tensão normal ao longo no SCR de 400 metros para 0, 1, 2, 3,

4 e 5 segundos, no intradorso da estrutura.

9.5.3 Estudo da influência do heave na tensão normal no TDP

Este caso tem como objetivo fazer uma análise da variação da tensão no TDP em função

do movimento de heave da UEP, que se traduz pela imposição de um movimento harmônico

no nó da extremidade superior. O movimento de heave é ocasionado pela influência das ondas

marítimas sobre a unidade flutuante que se reflete na estrutura através de um movimento de

natureza oscilatório que, observando sob a óptica do TDP, torna crítico o efeito da fadiga.

Desta forma, este estudo tem como resultado principal a análise da variação da tensão normal

no TDP no intradorso da seção transversal resultante do movimento imposto no topo da

estrutura pelo heave . Como tentativa de avaliação dos diferentes modelos de formação,

o mesmo cenário foi simulado várias vezes de forma a contemplar os diversos modelos de

106



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1000

−500

0

t [s]

σ N

[ M P a ]

2 metros à esquerda do TDP inicial

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−600

−400

−200

t [s]

σ N

[ M P a ]

1 metro à esquerda do TDP inicial

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−600

−400

−200

t [s]

σ N

[ M P a ]

TDP inicial

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

200

400

t [s]

σ N

[ M P a ]

1 metro à direita do TDP inicial

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

200

400

t [s]

σ N

[ M P a ]

2 metro à direita do TDP inicial

Figura 9.42: Distribuição da tensão normal em torno do TDP no tempo.

fundação supracitados.

O modelo de simulação para este caso é ilustrado na Fig. (9.43), onde constam as seguintes

condições de contorno:

• Extremidade inferior em contato com os equipamentos submarinos: considerou-

se vínculo do tipo engaste absolutamente rígido;

• Extremidade superior em contato com a unidade de produção: considerou-se

vínculos na forma de apoio para os graus de liberdade horizontal e angular, no qual o

grau de liberdade vertical foi considerado como um deslocamento imposto dado por uh.

O modelo de movimento vertical do topo foi considerado como harmônico e é representado

107



Figura 9.43: Modelo de SCR para análise da ação do heave na estrutura.

pela seguinte equação

uh(t) = hg sin

2π

t

T g

, (9.27)

no qual, hg é a amplitude da onda e T g é o período. A velocidade e aceleração do ponto

em questão são obtidas a partir das derivadas primeira e segunda da expressão definida na

equação (9.27), representadas por

uh(t) = ug

2π

T g

cos

2π

t

T p

uh(t) = −ug

2π

T g

2

sin

2π

t

T p

(9.28)

A simulação foi realizada em duas etapas, em que a primeira é relativa ao estudo estático

da estrutura sob ação do peso submerso e a segunda é relativa ao movimento imposto de heave

propriamente dito. Para a simulação, a estrutura foi discretizada em aproximadamente 400

elementos e o tempo de simulação dividido em 5000 intervalos, o restante dos parâmetros

utilizados são dados na Tab. (9.13). Vale ressaltar que, na prática, para o o análise da

variação da tensão no tempo sob a óptica do estudo da fadiga da estrutura, é necessário um

intervalo de tempo mais representativo (alguns períodos de onda), no entanto, com o intuito

108



Tabela 9.13: Parâmetros do SCR de 400 metros sob ação do heave .Dado de Entrada Variável ValorÂngulo de Topo θt 15

Diâmetro Externo OD 0, 2731 mDiâmetro Interno ID 0.2312 m

Comprimento da Linha sl 400 mComprimento do trecho flowline sf 200 m


Massa Especítica do Fluido ρl 1025 kg/m3


Primeiro Parâmetro do Solo k1 2× 105 N/m2

Segundo Parâmetro do Solo ks 2× 105 N/m2

Amplitude da onda hg 4 mPeríodo da Onda T g 12 s

Tempo Inicial de Simulação ti 0 sTempo Final de Simulação tf 5 s

de diminuir o processamento, a quantidade e o gerenciamento dos dados processados, foi

escolhido o mesmo intervalo de tempo dos casos anteriores, que é próximo a meio período de

onda.

Com relação à utilização às fundações, o caso estudado foi simulado utilizando os mesmo

parâmetros utilizando os diferentes modelos de fundação. Desta forma, procurou-se avaliar o

comportamento da resposta no tempo da tensão normal no intradorso da área transversal daestrutura relativa ao TDP para cada modelo de fundação. A resposta da tensão normal em

MPa é ilustrada na Fig. (9.44), no qual as soluções estão presentes em uma linha contínua e,

para auxiliar a visualização das diferentes curvas, foram incluídos símbolos relativos a cada

modelo, como descrito na legenda.

Na figura é possível observar que não houve diferença significativa nas respostas para os

diversos modelos de fundação, no entanto, como observado nos símbolos relativos de cada

modelo, para pontos mais próximos do tempo final, houve maior dispersão dos resultados. Isto

dá indícios de que para análises práticas, ou seja, com tempo de simulação maior, os resultados

podem apresentar diferença de modelo para modelo. Analisando a resposta geral do problema(desconsiderando as diferenças entre as curvas), evidencia-se uma grande variação da tensão

no ponto de TDP inicial (curva resposta com com freqüência relativamente alta), que está

hora em compressão hora em tração. Esta característica da curva, como citado anteriormente,

corrobora a criticidade do fenômeno da fadiga e indica que o modelo de fundação, para este

exemplo, tem pouco influência em relação ao movimento do TDP. Vale ressaltar que o exemplo

109



não teve como objetivo avaliar um caso real, mas sim o comportamento das ferramentas

computacionais estudadas aplicadas ao contexto do riser . Assim, seria interessante avaliar

em trabalhos futuros o comportamento de casos reais e averiguar, por exemplo, a coerência

da frequência da curva resposta que mostrou-se elevada nestes resultados.

Com o intuito de averiguar a influência da escolha do modelo de fundação na respostadinâmica de SCR para os esforços internos na estrutura, procurou-se analisar o comporta-

mento dos valores máximos do módulo do momento fletor no tempo. Para cada intervalo

de tempo, guardou-se o valor máximo do módulo da distribuição dos esforços internos na

estrutura, o que é ilustrado na Fig. (9.45). Em outras palavras, o valor máximo do módulo

da distribuição do momento fletor (curva variante no tempo para o caso dinâmico), que pode

estar em qualquer ponto do domínio do corpo, foi obtido para cada intervalo de tempo. Esse

procedimento foi realizado para cada um dos modelos de fundação estudados neste trabalho.

Com relação ao momento fletor, a curva dos módulo máximo deste esforço interno é

ilustrada na Fig. (9.45), na qual cada modelo é representado por um linha contínua e, para

melhorar a visualização, por símbolos gráficos que foram incluídos no gráfico para certos

pontos da resposta. Observou-se que o módulo máximo do momento fletor no domínio da es-

trutura é crescente até um patarmar de 22 MNm. Com relação aos modelos de fundação, não

se observou diferença significativa para a ordem de grandeza apresentada, como constatado

através da superposição das curvas contínuas e dos símbolos gráficos.

Assim, não se observou diferença significativa entre os modelos de fundação para este

exemplo. No geral, a soluções apresentaram pouca diferenças, o que para o grau de grandeza

observado torna-se insiginificante. No âmbito computacional, as simulações para os mode-los de fundação apresentaram grande similaridade quanto ao tempo de processamento e na

quantidade de interações para resolução das equações não-lineares.

110



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

t [s]

σ N

a

Molas Nodais

Winkler 2 GDLWinkler 4 GDL

Filonenko−Borodich

Pasternak

F i g ur a 9 .4 4 : T

e n s ã on or m al σ

n oi n t r a d or s o

d a s e ç ã o d oTDP

e m

r e l a ç ã o

a o t e m p o p ar a o s

d i v e r s o s m o d e l o s d e f un d a ç ã o.

1 1 1



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

t [s]

M [ M

N m ]

Mola

Wink

Wink

Filon

Past

F i g ur a 9 .4 5 : M

ó d ul o d om om e n t ofl e t or m á xi m o p ar a c a d ai n t e r v al o d e t e m

p o p ar a o s d i v e r s o s

m o d e l o s d e f un d a ç ã o.

1 1 2





trabalho de Souza (2000), que propôs uma solução simples e barata, do ponto de vista com-

putacional, para o problema com grandes rotações. Os exemplos para o estudo estático de

pórticos bidimensionais mostraram resultados coerentes com a literatura, o que permite con-

siderar que se obteve êxito na implementação estática do elemento e seus resultados podem

ser considerados corretos.No âmbito da dinâmica no domínio do tempo de pórticos bidimensionais, as principais

dificuldades concentraram-se na própria implementação, que é mais complexa do que o caso

estático. Na questão computacional, há maior exigência quanto memória e tempo de pro-

cessamento, pois existe uma quantidade maior de variáveis para processar e armazenar. No

entanto, para os exemplos de vigas bidimensionais dinâmicas, este problema não foi tão

latente em virtude dos casos serem mais simples, repercutindo, desta forma, com maior

criticidade nos exemplos aplicados ao SCR. Com relação aos exemplos numéricos estuda-

dos, houve grande proximidade das soluções numéricas obtidas com as da literatura. Os

casos dinâmicos ilustrados exibiram soluções coerentes com a literatura o que permite que

o elemento de viga co-rotacional para dinâmica não-linear seja considerado validado e suas

respostas consideradas corretas.

No exemplo de estudo para fundações de um parâmetro constatou-se que os modelos da

formulação em leito apresentaram melhores resultados, mostrando um erro significativamente

menor do que o modelo de fundação Winkler modelado por molas nodais (elementos de molas

discretas interligados diretamente aos nós do elemento). Com relação ao modelo de dois

parâmetros o modelo de Filonenko-Borodich, com dois graus de liberdade por nó, mostrou-se

mais preciso em relação à resposta analítica. O modelo de fundação de Pasternak, ao contráriodo esperado, apresentou erro significativamente alto em relação à resposta analítica. Este

resultado foi contra a expectativa, pois esperava-se que, como os modelos partem da mesma

formulação, apresentassem respostas bastante próximas. Em razão do modelo de Pasternak

ser mais complexo, com maior número de graus de liberdade, e pela implementação do modelo

obedecer rigorosamente à formulação apresentada por Teodoru et al. (2006) esperava-se que

apresentasse erro menor em relação à resposta analítica. O problema da discrepância de

resultados, como comentado no exemplo, pode ter origem no segundo termo da matriz de

rigidez do elemento desta fundação. O fato que corrobora esta constatação está no estudo

do modelo de um parâmetro, no qual o modelo Winkler com quatro graus de liberdade, uma

simplificação do elemento de Pasternak (tornando nulo o segundo parâmetro de rigidez e,

conseqüentemente, o segundo termo da matriz de rigidez), mostrou-se coerente em relação à

solução analítica.

Com respeito à implementação computacional da estática de SCR, o código desenvolvido

mostrou resultados bastante próximos aos do ANFLEX, software escolhido como base de

114



comparação. O que permite considerar que, para as condições testadas e fenômenos imple-

mentados, o módulo estático está validado. Dentre as principais dificuldades encontradas para

construção e validação do módulo estático, pode-se citar a forte dependência da discretização

do domínio da estrutura que, para malhas grosseiras, mostram resultados discrepantes. Isto

pôde ser observado no estudo comparativo dos deslocamentos, em que, para o caso da malhamais grosseira, observou-se no início do gráfico descontinuidade que foge da natureza das

curvas de resposta. Assim, é possível concluir que, para análises estáticas de SCR, é impor-

tante realizar antecipadamente uma análise de refinamento de malha de forma a averiguar a

coerência da resposta. Com relação ao número de iterações, para as malhas mais grosseiras

não houve aumento expressivo no número de iterações, o que pode ser tratado como uma

diferença desprezível. Desta forma, observou-se que a convergência da resposta não depende

fortemente da discretização do domínio do corpo, o que remete que a influência no número

de iterações pode estar presente na ordem do elemento utilizada na formulação e no método

numérico escolhido para resolução das equações não-lineares.

A aplicação de diferentes modelos de fundação no contexto da estática de SCR mostrou

resultados com diferenças na curva de resposta da distribuição do momento fletor no domínio

do corpo. Em geral, a maior diferença concentrou-se na região do TDP, no qual a ampli-

tude de momento fletor para a região de contato reduziu-se gradualmente com o aumento da

complexidade de modelo, ou seja, o modelo de Winkler em molas nodais apresentou a maior

amplitude para momento fletor e o modelo de Pasternak a menor. No entanto, não se ob-

servou, para o cenário de simulação deste trabalho, diferença significativa entre os resultados

obtidos através dos modelos de fundação.Com relação à dinâmica de SCR, o estudo de validação do módulo dinâmico não obteve

resultados fidedignos aos do software ANFLEX, tais como observado no estudo da estática do

SCR. No entanto, devido aos estudos prévios de validação para pórtico co-rotacional e para os

modelos de fundação, considerou-se que a diferença observada entre os resultados foi devida

à questão de modelagem dos fenômenos que, no caso do ANFLEX, inclui outros efeitos, como

comentado no capítulo de resultados. Em outras palavras, por ser um software de código

fechado, é difícil garantir de forma criteriosa as mesmas considerações de simulação, o que

para o caso dinâmico pode ter impactado nos resultados fornecendo resultados distintos.

Fatos que corroboram com a diferença observada seriam, por exemplo: a fundação que não

considera efeitos de atrito no contato, a modelagem do peso próprio que não leva em conside-

ração a configuração do corpo no plano, entre outros. Ainda neste exemplo, observou-se uma

característica importante com relação à distribuição dos esforços internos na linha: a inclusão

de efeitos prévios à simulação que impactam no tempo inicial. Neste caso, a distribuição do

momento fletor no tempo zero deve-se unicamente à condição de solicitação imposta pela

115



curvatura, enquanto que o esforço normal é nulo em todo domínio da estrutura. Esta ca-

racterística foi corrigida nos exemplos subseqüentes, em que a inclusão de efeitos prévios à

simulação dinâmica devem-se à resposta estática da estrutura.

O segundo caso de estudo corresponde ao SCR de 400 metros em contato com o solo,

no qual observa-se o mesmo tipo de problema do riser em catenária dupla na curva deresposta da configuração final. Ou seja, a estrutura adquire uma configuração sinuosa na

porção superior do trecho suspenso ao invés de se obter uma curvatura contínua suave, sua

forma mais provável. Com relação às curvas de resposta para o esforços internos e tensões,

no geral observou-se um comportamento qualitativamente coerente. A questão da inclusão

dos efeitos prévios à simulação foi realizada levando em conta os efeitos iniciais obtidos a

partir da simulação estática e foram somados ao resultados obtidos para cada intervalo de

tempo. Desta forma, a curva da distribuição do esforço normal no tempo inicial não é nula

como observado no caso anterior, mas levam em conta a inclusão dos efeitos iniciais estáticos

em adição à resposta dinâmica em cada intervalo de tempo, melhorando os resultados para

análise da estrutura. Pela curva de distribuição da tensão normal, observou-se que a conexão

com plataforma também constitui um ponto crítico na estrutura, além do TDP. Isto se deve

ao fato da tensão normal ser calculada de forma conjugada em relação aos esforços internos,

ou seja, considerando ambos os efeitos, o momento fletor é responsável por tornar crítica a

região em contato com o solo e o esforço normal a conexão à plataforma.

O terceiro exemplo de dinâmica de SCR teve como objetivo averiguar o comportamento da

estrutura e das solicitações internas utilizando os diferentes tipos de fundação. A solicitação

escolhida para este caso foi o deslocamento imposto de forma a simular o movimento deheave da plataforma. Constatou-se que não houve variação significativa, em relação à ordem

de grandeza do problema, entre os diferentes modelos de fundação. Observou-se na curva

de tensão normal para o ponto inicial de TPD que, para intervalos de tempo próximos do

tempo final, houve uma pequena diferença entre os resultados obtidos com cada fundação.

Porém, para a análise da variação do valor máximo do módulo dos esforços internos, não

houve diferença significativa entre os diferentes tipos de modelo de função. O mesmo foi

constatado na análise do módulo do momento fletor máximo em cada intervalo de tempo. O

que indica que, para o exemplo estudado, o modelo de fundação não tem grande influência

na resposta. Analisando o gráfico da tensão normal, pode-se observar grande variação no

estado de solicitação do corpo (tração-compressão), o que leva a constatar, como relatado na

literatura, que este ponto é extremamente importante para a análise estrutural em função de

ser crítico com relação à fadiga.

No geral, o elemento de pórtico co-rotacional mostrou-se bastante adequado para aplicação

na análise estrutural de linhas submarinas em catenária. Embora o exemplo de validação

116



dinâmica tenha exibido algumas diferenças em relação aos resultados do software utilizado

como base de comparação, os resultados mostraram coerência quanto ao comportamento

global da estrutura, o que dá indício que a razão da diferença está contida nas considerações

dos fenômenos envolvidos. Com relação aos modelos de fundação, todos exibiram respostas

com comportamentos semelhantes indicando que não há grande impacto na escolha do mode-lo. No entanto, modelos da formulação em leito mostraram resultados melhores resultados no

estudo das fundações, o que os coloca em melhor posição no momento da escolha da fundação

para representação do solo marinho.

10.2 Sugestões para trabalhos futuros

Como listado no introdução do trabalho, o estudo estrutural de linhas submarinas é um

assunto multidisciplinar que envolve diversas áreas de conhecimento. Desta forma, muitos

fenômenos importante e indispensáveis não foram estudados e implementados na programaçãodo simulador até o atual momento, pois fugiriam da proposta inicial do trabalho.

Com relação à área de estudo estrutural relativa ao riser , seria interessante buscar a

implementação do elemento tridimensional, pois desta forma é possível analisar diferentes

fenômenos que não podem ser descritos em uma óptica puramente planar.

No aspecto material da estrutura, iniciar estudos com relação à rigidez não-linear mate-

rial, modelando comportamentos de tensão-deformação diferentes do regime elástico. Imple-

mentar novos tipos de elementos de riser capazes de representar diferentes revestimentos e

camadas constituídas de outros materiais.

Com relação à discretização do domínio do corpo, introduzir algoritmos capazes de cons-

truir malhas distintas e não homogêneas capazes de refinar regiões específicas da estrutura que

possuem maior peso na análise, como por exemplo o TDP e a conexão com a UEP. Construir

geradores de malha para outras configurações de linhas submarinas além da configuração em

catenária, como por exemplo:

• RHAS - Riser Híbrido Auto-Sustentável

• Steep Wave

• Steep S

• Lazy Wave

• Lazy S

Incluir nestas novas configurações elementos capazes de modelar junções de tubulações e

bóias.

117



Com relação a modelagem de carregamentos, seria importante incluir efeitos dos car-

regamentos hidrodinâmicos ocasionados pelo meio ambiente, como é o caso de forças de

correnteza e ondas, implementar os efeitos de forças de amortecimento viscoso no sistema

e incluir atualização da força nodal equivalente tanto no comportamento de barra quanto

de viga em função da posição geométrica do elemento no espaço. Incluir análise de VIV eoutros fenômenos ligados ao comportamento oscilatório seja ele de baixa ou alta amplitude

e freqüência.

No campo do processamento de cada módulo, implementar outros métodos de resolução

da equação não-linear de forma a buscar maior robustez e velocidade convergência do método,

assim como tornar o algoritmo mais barato computacionalmente. Implementar o código em

outra linguagem programação, de forma a obter maior ganho no tempo de simulação.

No aspecto da interação solo-estrutura, incluir o fenômeno do atrito e analisar melhor

cada modelo e adequá-lo a configuração tridimensional, de forma a incluir fenômenos em

diferentes direções e criando a possibilidade de criar solos com características anisotrópicas.

Implementar o modelo de Kerr para a fundação e verificar sua eficácia. Estudar com maior

profundidade o comportamento dos parâmetros de rigidez e como variam em relação ao

carregamento. Buscando, desta forma, modelar diferentes comportamentos para movimentos

descentes e ascendentes.

118



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Análise Da Interação Solo-estrutura Aplicada a Riser Rígido Em Catenária Através Da Formulação Co-rotacional