Análise da resposta em freqüênciaFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

bode(50,[1 9 30 40])

50 ------------------------------ s3 + 9 s2 + 30 s + 40

s3 + 9 s2 + 30 s + 40 =(s + 4) (s2 + 5s+10)

Margem de Ganho e de FaseFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

Margem de Ganho (MG): definida como a variação no ganho de malha aberta necessária para o sistema em malha fechada tornar-se instável.

Margem de Fase (MF): definida como a variação na fase do sistema em malha aberta necessária para tornar o sistema em malha fechada instável.

cg: Freqüência de cruzamento de ganho (em rad/s)cf: Freqüência de cruzamento de fase (em rad/s)

Margem de Ganho e de FaseFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

A margem de fase também é uma medida da tolerância do sistema a um atraso no tempo.

Se houver um atraso maior do que 180/cf na malha, o sistema ficará instável em malha fechada.

Pode-se interpretar o atraso no tempo como um bloco extra na malha direta do diagrama de blocos que adiciona fase ao sistema mas não afeta o ganho (ou seja, um bloco de magnitude 1 e fase = rd/s atraso (s) (em rad).

wcf

wcg

Gc(s) G(s) Atr(s) = Gc(s)G(s) + Atr(s)

Margem de Ganho e de FaseFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

bode(50,[1 9 30 40])

O que muda se bode(100*50,[1 9 30 40]) ?

MF = ?

≈ 100º

Margem de Ganho e de FaseFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

bode(100*50,[1 9 30 40])

MF = ?

≈ 60º

Margem de Ganho e de FaseFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

margin(50,[1 9 30 40])

Freqüência da Largura de BandaFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

A largura de banda é definida como a freqüência em que a resposta em magnitude de malha fechada do sistema é igual a - 3dB.

No entanto, ao realizar-se um projeto via resposta em freqüência, deseja-se prever o comportamento do sistema em malha fechada a partir da resposta em malha aberta.

Portanto, utilizando-se a aproximação para um sistema de segunda ordem, a largura de banda é aproximadamente igual à freqüência em que a resposta em magnitude de malha aberta está entre -6 e -7.5 dB, assumindo que a resposta em fase de malha aberta encontra-se entre 135º e 225º . (Vide dedução no Ogata e no Nise.)

Há também relações entre a largura de banda , a freqüência natural n

e a taxa ou razão de amortecimento com o tempo de acomodação Ts e o tempo de subida Tr .

Tempo de acomodação TS e BW, n e FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/wbw.html

Tempo de subida TR e BW, n e FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/wbw.html

Largura de Banda e FTMFFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

bode (1, [1 0.5 1 ])

1 ------------------- s^2 + 0.5 s + 1

- Considere a função de transferência de malha fechada de um sistema com realimentação unitária:

BW = ?

≈ 1,4 rd/s

Dos gráficos de Bode da FTMF, também pode-se verificar que:

- Para um sinal de entrada senoidal com uma freqüência = 0,3 rad/s, o sinal senoidal de saída deve ter uma magnitude de aproximadamente 1 e uma fase de poucos graus (em atraso).

- Para um sinal de entrada senoidal com uma freqüência = 3 rad/s, o sinal senoidal de saída deve ter uma magnitude de aproximadamente -20 dB (ou 0,1 = 1/10 da amplitude do sinal de entrada) e a fase deve ser de aproximadamente 180º (quase exatamente fora de fase).

Largura de Banda e FTMFFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

Veja a resposta no tempo, em regime permanente senoidal, deste sistema para uma entrada senoidal com freqüência = 0,3 rd/s < BW :

- Entrada: roxo- Saída: azul (ligeiramente atrasado em relação ao sinal de entrada).

Largura de Banda e FTMFFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

Veja a resposta no tempo, em regime permanente senoidal, deste sistema para uma entrada senoidal com freqüência = 3 rd/s > BW :

- Entrada: roxo-Saída: azul (praticamente fora de fase em relação à entrada e com amplitude 1/10 do sinal de entrada).

Largura de Banda e FTMFFONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

De modo a prever o desempenho do sistema em malha fechada a partir da resposta em freqüência em malha aberta, observe os conceitos a seguir:

O sistema deve ser estável em malha aberta para que se possa realizar o projeto via diagrama de Bode;

A partir do diagrama de Bode em malha aberta, se a freqüência de cruzamento de ganho cg for menor do que a freqüência de cruzamento de fase cf (cg < cf), o sistema em malha fechada será estável;

Para um sistema de segunda ordem, a taxa ou razão de amortecimento ≈ MF/100, para 0 < MF < 60º .

Para sistemas de segunda ordem, a relação entre taxa ou razão de amortecimento , largura de banda BW e tempo de acomodação TS é dada pela equação anteriormente vista;

Uma estimativa grosseira : BW ≈ n.

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta

FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

Considere, por exemplo, o sistema acima, com G(s) =

Deseja-se projetar um compensador Gc(s) de modo que o sistema em malha fechada possua as seguintes especificações de desempenho:

Erro em regime estacionário nulo para uma entrada degrau;

Sobressinal máximo menor do que 40%;

Tempo de subida Tr < 2 seg. Como se pode proceder para analisar o sistema G(s) e depois como proceder para projetar Gc(s) a partir do diagrama de Bode?

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta

FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

10 ------------- 1.25s + 1

G(s) =

Pode-se resolver o problema graficamente ou numericamente. Vejamos a resolução gráfica. Em primeiro lugar, trace os diagramas de Bode de magnitude e fase do sistema G(s) em malha aberta.

Que características do sistema em malha fechada podem ser previstas a partir da análise do diagrama de Bode de malha aberta?

Vamos procurar estimar o tempo de subida, a taxa ou razão de amortecimento (e, portanto, o sobressinal máximo) e o erro em regime para uma entrada degrau unitário.

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta

FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

10 ------------- 1.25s + 1

G(s) =

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta

FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html10

------------- 1.25s + 1

- Em primeiro lugar, a largura de banda BW ≈ 10 rd/s (por que?).

- Como BW ≈ n, tem-se que o tempo de subida Tr ≈ 1,8/BW = 0,18 s. Como se trata de uma aproximação grosseira, con-sidere Tr ≈ 0,2 s.

- MF ≈ 95º ≈ 0,95 (por que?). Portanto, o sistema está quase sobreamortecido.

- E qual é o erro em regime para uma entrada degrau?

G(s) =

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta

FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html10

------------- 1.25s + 1

Lembre-se que:

ess = 1 / (1+kp) para uma entrada degrau unitário.

Observe que este sistema é do tipo 0 (por que?). Portanto, kp = 20 dB = 10 ess = 0,091.

O valor em regime da saída possui um erro ao degrau de 0,091, ou possui magnitude 1 - ess = 1 - 0,091 = 0,91.

)()(lim)()(lim00

jHjGsHsGks

p

Plotando a resposta no tempo deste sistema a uma entrada degrau unitário:

Previsão do desempenho em malha fechada a partir do diagrama de Bode em malha aberta

FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

Como deseja-se zerar o erro em regime a uma entrada degrau, é necessário aumentar o tipo do sistema. Portanto, Gc(s) deve possuir um pólo em s = 0.

Guiados por este fato, vamos tentar projetar um compensador PI para este sistema, ou seja:

O zero em s = a permite uma maior flexibilidade ao projeto.

Primeiro passo: encontrar correspondendo a Mp = 40% ≈ 0,28.

Como MF ≈ 100 MF ≈ 30º.

A partir do gráfico Tr*BW Tr*BW ≈ 21. Como a especificação diz que deve-se ter Tr < 2 s BW > 21/Tr . Escolhendo-se Tr < 1,75 s BW ≥ 12 rd/s (correspondendo a um ganho de, aprox, 7dB).

Projeto do compensador Gc(s)FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

K*(s+a) ------------

s Gc(s) =

Diagramas de Bode de G(s) / s (para ver a influência do termo integral apenas):

Projeto do compensador Gc(s)FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

Observe que MF e BW são muito pequenos.

A adição do termo no numerador de Gc(s) proposto, K*(s+a), vai adicionar um ganho e uma fase.

Vamos aleatoriamente fazer a = 1 e o ganho K unitário somente para procurar entender a influência do zero nos diagramas de Bode de G(s) / s:

G(s) * (s + 1) / s

Projeto do compensador Gc(s)FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

MF > 60º (fornecendo, portanto, um maior e, conseqüentemente, um sobre-sinal Mp menor do que o especificado).

BW ≈ 11 rd/s A espeficicação no tempo de subida Tr deve ser satisfeita.

Para tentar aumentar ainda mais BW para diminuir o tempo de subida, vamos fazer K = 5 para ver sua influência na resposta do sistema.

G(s) * 5 * (s + 1) / s

Projeto do compensador Gc(s)FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

Conforme esperado, o diagrama de Bode de fase manteve-se inalterado, e o diagrama de Bode de magnitude subiu 20logK = 20log5 em todos os pontos (por que?).

Observe que BW está maior, pois o ganho correspondente a aproxima-damente – 7dB ocorre a uma freqüência maior do que no último gráfico.

Gc(s) = 5 * (s + 1) / s

G(s)*Gc(s) = G(s) * 5 * (s + 1) / s

Projeto do compensador Gc(s)FONTE: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/freq/freq.html

Observe a resposta ao degrau para:

Gc(s) = 5 * (s + 1)/s

Especificações atendidas!