Aula Teórica 1: Resposta de Frequência

Conteúdo•Diagrama de Bode. •Estabilidade Relativa

Geralmente

Diagramas de bode Diagramas polares

A RESPOSTA DE FREQUÊNCIA

DESENHA-HE

MAGNITUDE(db) VS LOG(W)

FASE VS LOG(W)

MAGNITUDE E FASECOM A FREQÜÊNCIAVARIANDO ENTRE ZEROE INFINITO

DOIS

UM

Já aprendemos a obtê-lo semestre passado Vamos aprendemos hoje

ESTE É O AMBIENTEONDE SE DESENHA

OBSERVAR:

Escala linear para a Magnitude(db)

Escala logarítmica para a frequência

O primeiro assunto que trataremos na aula de hoje é como obter o diagrama de Bode

Recordar que:

1. A função de transferência deve ficar na forma:

1...........11

...........11)(

22

2

ssTsTesTsTKs

sGnn

s

sTba

n

2. substitui-se s por j:

1...........11

...........11)(2

2

2

jjTjTejTjTKjjG

nn

j

Tjba

n

3. constrói-se o gráfico de amplitude:

1log20-

... 1log20

1log20log20...

1log201log20

log20log20)(log20

22

j

jT

jTe

jTjT

jnKjG

nn

j

Tj

ba

e o de fase:

22

11

1

11

1tan.....tan

tan)3,57(.....

tantan90)(

n

nT

TT

TTnjG bao

O QUE PODEMOS CONCLUIR DAS DUAS ULTIMAS EXPRESSÕES?

Para traçar o diagrama de bode de uma função de transferência se pode traçar primeiro o diagrama de bode de cada término e depois somá-los

SEMPRE SE FAZ ASSIM?

NÃO

Na actualidade ninguém traça diagramas de bode à mão, usam-se os comandos do MATLAB que veremos o final

Diagrama de Bode dois diferentes términos

elementares:

• Ganho K

db

K=1

K<1

K>1

0 0

por que?

• Elementos integrais e derivativos (j)±n

00

db

1

n90

-n90

Pendente: ±n20db/dec

log20log20)(log20 njjG n

n

nn

n

KKjK

jKjG

11

)(

:db 0 en

n K

db

0

JUNTOS OS DOIS PRIMEIROS

•Elementos de Primeira Ordem

nTjwjwG

)1(1)(

1log201log20)( 22 TnTjnjGdb

db 3)(

log20)(

0)( :para

1

1

1

njG

TnjG

jG

T

T

T

TnjG 1tan)(

db

-n3

T1

T2

T21

-n45

-n90

0

0

-n20 db/dec

Se fossem elementos de primeira ordem no numerador?

Elementos quadráticos (pólos complexos conjugados)

n

nn

nn

jGjG

jjG

jjG

nn

j

j

log40)( 0)( Si

1

1log20)(

1

1)(

22

22

22

1

1tan)(

n

njG

db

n

1

3 2

2

3

1

0

0

-90

-180

1< 2< 3

pico de ressonância Mr

wrFreqüência de ressonância

707,00 para 21 2 nr2212

1

rM

Exemplo: Para fazê-lo com o MATLAB

G=tf(5, conv(conv([1 0],[0.2 1]),[0.2 1])); define2)12.0(

5SSbode(G) faz o diagrama de bode azul da figura

o diagrama rosado o fiz eu

Já aprendemos a obter la estabilidade a partir de diagrama Polar Encontramos se o sistema é ou não estável com o critério do Nyquist

ou

Isto é estabilidade absoluta,

o sistema é estável não é estável

Necessitamos algo que nos indique quão estável é o sistema

Isto é estabilidade relativa

A estabilidade relativa dá a idéia de quão perto ou longe está o sistema do limite de estabilidade

Costuma-se expressá-la em Margem de Ganho e Margem de Fase.

Margem de Ganho:

A

-1

AGHMG

w

11

1

É o valor pelo que terei que multiplicar o ganho que tem o sistema quando = -180o para que a mesma se faça igual a 1.

Se o sistema é estável, MG > 1.

freqüência a qual a fase vale -180

Margem de Fase:

M

É a quantidade de graus sexagésimas de fase negativa que pode adicionar-se ao sistema para que seja –180º quando a amplitude é unitária.

Se se pode aumentar fase negativa, o M é positivo.

Se terá que diminuir fase negativa, o M é negativo.

Se o sistema é estável, M > 0.

wcM 180frequência a qual a magnitude vale 1

No Diagrama de Bode:

MG

M

MG em db.MG + , estávelMG - , instável

M em o.M + , estávelM - , instável

Exemplo:

Do sistema seguinte:

12,01s

)15,0)(1( ssK

+_

r(t) e(t) c(t)

• Determine o ganho para que o eee a um passo unitário de entrada seja igual ou menor que 0,091

• Analise a estabilidade relativa do sistema com o ganho calculado anteriormente.

a) O sistema é Tipo 0 (não tem pólo na origem em seu ftla), portanto:

10989,91091,0111

11

eepp

peep

eK

Ke

12,015,0110)(

jjjjGH

b) Agora

Zoom

Do gráfico se obtén:

MG = 2 dbM = 7o

Segundo o que estabelecemos este sistema é instavel

GH=tf(10,conv(conv([1 1],[0.5 1]),[0.2 1]))margin(GH)

Quão estável é?

Se você aumentar o ganho o equivalente aos 2 db,o sistema se faz exactamente instável, com oscilações sustentadas

2735.110 10/1.2

Influência do ganho sobre a estabilidade

Aumentando K

-1

Aumentando K

O aumento do ganho pode levar o sistema ao ponto crítico de estabilidade.

Em desenho de sistemas de controle se traça que:

oo M

MG

6030

db 6

Portanto dizemos

Se o sistema tem uma margem de ganho maior que 6 db e uma margem de fase entre 30o e 60o tem boa estabilidade relativa

Se o sistema tiver uma margem de ganho e uma margem de fase maiores que 0 é estável

Nota: