Aula 07 - Diagramas de Bode e Nyquist

Engenharia de ControleEngenharia de Controle

Diagramas de BodeDiagramas de Bode

IntroduçãoIntrodução Diagramas de Bode:Diagramas de Bode: Representações da resposta Representações da resposta

em freqüênciaem freqüência

Magnitude e fase em função da freqüênciaMagnitude e fase em função da freqüência

Escalas logarítmicas aplicadas aos eixos de Escalas logarítmicas aplicadas aos eixos de

freqüência e magnitudefreqüência e magnitude

Exemplo de construção:Exemplo de construção: Sistema de 2 Sistema de 2aa ordem ordem

21

3

21

3

111

111

sssK

sssK

sG

1i

i

:

freqüências de quebrafreqüências de quebra

IntroduçãoIntrodução

21

3

21

3

111

111

sssK

sssK

sG

1 1

1

21

3

jj

jKjG

Utilizando:Utilizando: dlogclogblogalogcdlogablogcdab

log

Definindo: Definindo: Decibel (dB) comoDecibel (dB) como alogdB 20 ganhoganho

3

1 2

20 20 20 1

20 1 20 1

dBj

G log G j log K log

j jlog log

IntroduçãoIntrodução Termo geral dependente da freqüência:Termo geral dependente da freqüência:

2

120 1 20

iii log

jlogdB

AproximaçõesAproximaçõesassintóticasassintóticas

A magnitude na freqüência de quebra é de A magnitude na freqüência de quebra é de 3dB 3dB

A magnitude na freqüência 10A magnitude na freqüência 10ii é de é de 20dB 20dB

IntroduçãoIntrodução

<< << i i :: 0120 logdB i

>> >> ii :: ii

i logloglogdB

2020 20

Intercepto na freqüência de quebraIntercepto na freqüência de quebraErro máximo deErro máximo de

3dB em 3dB em ii

2

120 1 20

iii log

jlogdB

AproximaçõesAproximações

assintóticasassintóticas

IntroduçãoIntroduçãoObservação:Observação: Caso o termo geral pertença ao Caso o termo geral pertença ao

denominador, sua contribuição para a magnitude denominador, sua contribuição para a magnitude da da

resposta será negativaresposta será negativa Fatores das funções de transferência:Fatores das funções de transferência:

Ganho constanteGanho constante

Pólos e zeros reais que ocorrem na origemPólos e zeros reais que ocorrem na origem

Pólos e zeros reais que não ocorrem na origemPólos e zeros reais que não ocorrem na origem

Pólos e zeros complexosPólos e zeros complexos

Atraso de transporte idealAtraso de transporte ideal Não abordado no cursoNão abordado no curso

Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüência

i)i) Ganho constante:Ganho constante: 20 KlogdB

ii)ii) Pólos e zeros que ocorrem na origem:Pólos e zeros que ocorrem na origem:

logjlogdB 20 20

A representação gráfica é uma linha reta com A representação gráfica é uma linha reta com inclinação de 20dB por década de freqüênciainclinação de 20dB por década de freqüência


Para um zero de ordem Para um zero de ordem N N na origem, a representação na origem, a representação gráfica é uma reta com inclinação de 20gráfica é uma reta com inclinação de 20NN dB por década dB por década

de freqüência. Para o caso de um pólo de ordem de freqüência. Para o caso de um pólo de ordem NN na na origem, a curva é simétrica à anterior.origem, a curva é simétrica à anterior.

Representação exata da resposta em freqüênciaRepresentação exata da resposta em freqüência

Zero na origemZero na origem

Pólo na origemPólo na origem

Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüênciaiii)iii) Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem:Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem:

ii

i

ii

loglog

logj

log

, 2020

, 0

120 1 202

Zero realZero real

Pólo realPólo real Termo de primeira ordem comTermo de primeira ordem com

multiplicidade multiplicidade NN

ZeroZero


Exemplo:Exemplo: 110

110

110

ss

ss

sG


Exemplo:Exemplo:

22 101

12

10

1200

s

s

s

ssG

Diagramas de FaseDiagramas de Fase

Zero na origem: 90Zero na origem: 90 90

jsjs

Pólo na origem: - 90Pólo na origem: - 90 90 11

1

js js

Zero real que não ocorre na origem:Zero real que não ocorre na origem:

iiijsi

arctgjs

, 11 12

Termo de ganho constante:Termo de ganho constante:Ganhos positivos: 0Ganhos positivos: 0

Ganhos negativos: 180Ganhos negativos: 180

Diagramas de FaseDiagramas de Fase

iiijsi

arctgjs

, 11 12

Freqüência de quebraFreqüência de quebra

As características de fase de um pólo real que não ocorre As características de fase de um pólo real que não ocorre na origem são simétricas àquelas apresentadas na figurana origem são simétricas àquelas apresentadas na figura

Diagramas de FaseDiagramas de FaseExemplo:Exemplo:

1101

ss

sG

Diagramas de Bode – MagnitudeDiagramas de Bode – Magnitude


1ss

sG

Diagramas de Bode – FaseDiagramas de Bode – Fase


1ss

sG

Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode

A margem de ganho ocorreA margem de ganho ocorre

na freqüência na freqüência 11 na qual o na qual o

ângulo de fase é -180ângulo de fase é -180. É. É

calculada como o recíproco calculada como o recíproco

da magnitude da magnitude de G( de G(jj11))

Expressando a margem de Expressando a margem de ganho em dB:ganho em dB:

dB log log 1

Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode

A margem de fase ocorreA margem de fase ocorre

na freqüência na freqüência 22 na qual a na qual a

magnitude do ganho de MA magnitude do ganho de MA

é unitário (0 dB)é unitário (0 dB)

É definida como a É definida como a

diferença entre o ângulo de diferença entre o ângulo de

fase de G(fase de G(jj22) e -180) e -180

Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode A aproximação assintótica utilizada na construção dos A aproximação assintótica utilizada na construção dos

diagramas de Bode é, geralmente, inadequada quando diagramas de Bode é, geralmente, inadequada quando

aplicada à determinação das margens de estabilidadeaplicada à determinação das margens de estabilidade

O diagrama de Bode deve ser construído com O diagrama de Bode deve ser construído com

auxílio de uma ferramenta computacionalauxílio de uma ferramenta computacional

Regra Prática:Regra Prática:Margem de ganho de 8 dBMargem de ganho de 8 dB

Margem de fase de 50Margem de fase de 50

Os erros cometidosOs erros cometidos

nas aproximações nas aproximações

assintóticas podemassintóticas podem

exceder estes valoresexceder estes valores

Diagramas de BodeDiagramas de BodeTermos Adicionais da Resposta em Freqüência:Termos Adicionais da Resposta em Freqüência:

Pólos e zeros complexos da formaPólos e zeros complexos da forma

10 , 2 22 nnss

A magnitude e a fase da resposta em A magnitude e a fase da resposta em freqüência dependem da relação de freqüência dependem da relação de

amortecimento amortecimento

Normalizando para ganho DC unitário:Normalizando para ganho DC unitário:2

21

nn

ss

AproximaçãoAproximação

Assintótica Assintótica = 1 = 1


O erro máximo cometido O erro máximo cometido

na magnitude ocorre nana magnitude ocorre na

freqüência de quebra efreqüência de quebra e

vale vale 6dB 6dB

= 1= 1

2

21

nn

ss

2

1

2

1 21

nnn

sss


As aproximações As aproximações

assintóticas se assintóticas se

mostram mostram

adequadas paraadequadas para

130 , Erros relativamenteErros relativamente

elevados para a faseelevados para a fase

O erro máximo O erro máximo cometidocometido

nestas aproximaçõesnestas aproximações

é de é de 6dB6dB para a para a

característica decaracterística de

magnitudemagnitude

Diagramas de BodeDiagramas de BodeQuando Quando < 0,3 as < 0,3 as

aproximaçõesaproximações

assintóticas não sãoassintóticas não são

adequadasadequadas

ErrosErros

elevadoselevados

Quando Quando = 0: = 0:

= = nn: Magnitude: Magnitude

tende a -tende a - dB dB

A fase apresenta A fase apresenta

descontinuidade de descontinuidade de

180180 em em = = nn


Neste sistema, Neste sistema, = 0,2 = 0,2

Espera-se que a Espera-se que a

aproximação aproximação

assintótica assintótica

apresente erroapresente erro

elevado nas elevado nas

vizinhançasvizinhanças

de de nn = 10 rad/s = 10 rad/s


12

1004

120022

s,s

s

ss

ssG

Erro máximo de Erro máximo de 8 dB 8 dB


12

1004

120022

s,s

s

ss

ssG


Erros elevadosErros elevados

cometidos nacometidos na

representação darepresentação da

fase do sistemafase do sistema

Critério de NyquistCritério de Nyquist Aplicável a sistemas em malha fechada com Aplicável a sistemas em malha fechada com

equação característica 1 + G(S)H(S) = 0equação característica 1 + G(S)H(S) = 0

O objetivo é analisar a estabilidade de um sistemaO objetivo é analisar a estabilidade de um sistema

em malha fechada a partir da resposta em freqüênciaem malha fechada a partir da resposta em freqüência

da função de malha aberta G(jda função de malha aberta G(j)H(j)H(j))

Fundamento matemático:Fundamento matemático:

Mapeamento de funções complexasMapeamento de funções complexas

MapeamentoMapeamento

no plano F(s)no plano F(s)

Critério de NyquistCritério de Nyquist

A curva A curva C C envolve o zero envolve o zero

de F(s) no sentido horáriode F(s) no sentido horário

A curva A curva envolve a origem envolve a origem

do plano F(s) no sentido horáriodo plano F(s) no sentido horário

Exemplo:Exemplo: Deseja-se mapear no planoDeseja-se mapear no plano

F(s) uma circunferência do F(s) uma circunferência do

plano plano ss com centro em com centro em ss00

0sssF


F(s) é o recíprocoF(s) é o recíproco

deste vetordeste vetor

Exemplo:Exemplo: Recíproca de Recíproca de 0

1ss

sF

0sssF

A curva A curva C C envolve o pólo envolve o pólo

de F(s) no sentido horáriode F(s) no sentido horárioA curva A curva envolve a origem envolve a origem

do plano F(s) no sentido anti-horáriodo plano F(s) no sentido anti-horário

A magnitude é recíproca de (b) e A magnitude é recíproca de (b) e a fase é o negativo de (b)a fase é o negativo de (b)

Critério de NyquistCritério de NyquistExemplo:Exemplo: 10 sssssF

O ângulo de cada vetor giraO ângulo de cada vetor gira

de - 360de - 360 à medida que o à medida que o

ponto ponto ss percorre a curva percorre a curva CC

A curva A curva C C envolve os zeros envolve os zeros

de F(s) no sentido horáriode F(s) no sentido horário

A fase de F(s) gira de - 720A fase de F(s) gira de - 720 e a curva e a curva

envolve a origem do plano F(s) envolve a origem do plano F(s)

duas vezes no sentido horárioduas vezes no sentido horário


A magnitude de F(s) será o recíproco do caso anterior. A fase será A magnitude de F(s) será o recíproco do caso anterior. A fase será

o oposto daquela encontrada anteriormente. Assim, a curva o oposto daquela encontrada anteriormente. Assim, a curva

envolverá a origem do plano F(s) duas vezes no sentido anti-envolverá a origem do plano F(s) duas vezes no sentido anti-

horáriohorário

Existe uma relação entre o número de pólos e Existe uma relação entre o número de pólos e zeros envolvidos por uma curva zeros envolvidos por uma curva CC no plano no plano s s e e a quantidade e o sentido dos envolvimentos da a quantidade e o sentido dos envolvimentos da

origem do plano F(s)origem do plano F(s)

Exemplo:Exemplo: 10

1ssss

sF

Recíproca de Recíproca de

10 sssssF

Princípio do argumento de CauchyPrincípio do argumento de Cauchy

Critério de NyquistCritério de NyquistTeorema: Teorema: Seja F(s) a razão de dois polinômios em Seja F(s) a razão de dois polinômios em ss

e a curva e a curva C C do plano do plano ss mapeada por F(s). Se F(s) for mapeada por F(s). Se F(s) for

analítica no interior e na borda de analítica no interior e na borda de CC, exceto em um, exceto em um

número finito de pólos, e se F(s) não possuir pólos enúmero finito de pólos, e se F(s) não possuir pólos e

zeros em zeros em CC, então , então N = Z – PN = Z – P..

Z Z é o número de zeros de F(s) em é o número de zeros de F(s) em CC, , PP é o é o

número de pólos de F(s) em número de pólos de F(s) em C C e e N N é o número deé o número de

envolvimentos da origem do plano envolvimentos da origem do plano ss

1F s G s H s


Z Z é o número de zeros da equação característica que ocorrem é o número de zeros da equação característica que ocorrem

no semi-plano direito no semi-plano direito Z = 0 para sistemas estáveis Z = 0 para sistemas estáveis

P P é o número de pólos da malha abertaé o número de pólos da malha aberta

G(s)H(s) no semi-plano direitoG(s)H(s) no semi-plano direito

N = 2 = Z – PN = 2 = Z – P

Z = 2 + P > 2Z = 2 + P > 2

SistemaSistema

InstávelInstável

Critério de NyquistCritério de NyquistModificação: Modificação: Utiliza-se G(s)H(s) ao invés de 1 + G(s)H(s)Utiliza-se G(s)H(s) ao invés de 1 + G(s)H(s)

O diagrama é deslocado de uma unidade para a esquerdaO diagrama é deslocado de uma unidade para a esquerda

Ao invés de contar os Ao invés de contar os envolvimentos da origem, envolvimentos da origem,

são contados os são contados os envolvimentos do ponto -1 envolvimentos do ponto -1 e a representação obtida é e a representação obtida é chamada de chamada de Diagrama de Diagrama de

NyquistNyquist


O percurso de Nyquist é mapeado por meio da funçãoO percurso de Nyquist é mapeado por meio da funçãode malha aberta G(s)H(s). Assim, de malha aberta G(s)H(s). Assim, ZZ = = NN + + P P ::

ZZ = n = noo de pólos de MF que ocorrem no semi-plano direito de pólos de MF que ocorrem no semi-plano direito

NN = n = noo de envolvimentos do ponto -1 no sentido horário de envolvimentos do ponto -1 no sentido horário

PP = n = noo de pólos de MA que ocorrem no semi-plano direito de pólos de MA que ocorrem no semi-plano direito

Exemplo:Exemplo: 3

5

1G s H s

s

35

1G j H j

j


(I): G(0)H(0) = 5(I): G(0)H(0) = 5

0slim G s H s

(III): G(s)H(s) = 0(III): G(s)H(s) = 0

O trecho (IV) é o O trecho (IV) é o

complexo complexo

conjugado do conjugado do

trecho (II)trecho (II)

ZZ = = NN + + PP = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = 0 Sistema em MF estável Sistema em MF estável

Resposta em freqüênciaResposta em freqüência

05133 23 Ksss

2051

58358

513

31

0

1

2

3

,KK

KK

K

s

s

s

s

Critério de NyquistCritério de Nyquist Verificando pelo critério de Routh-Hurwitz:Verificando pelo critério de Routh-Hurwitz:

Adição de um ganho Adição de um ganho KK na função de MA na função de MA

3 3 2

5 51 1 1 0

3 3 11

K KK G s H s

s s ss

KK = 1 (Nyquist) = 1 (Nyquist)

Sistema estávelSistema estável

Sistema em MF estável para:Sistema em MF estável para:

5820 K,


O sistema possui um pólo em O sistema possui um pólo em s s = = jj11 (marginalmente (marginalmente

estável) e oscila com freqüência estável) e oscila com freqüência 11, desde que os , desde que os

demais pólos localizem-se no semi-plano esquerdodemais pólos localizem-se no semi-plano esquerdo

Admitindo que o diagrama de Nyquist intercepta o Admitindo que o diagrama de Nyquist intercepta o

ponto -1 para algum valor ponto -1 para algum valor = = 11::

ouou 1 1 1G j H j 1 11 0G j H j

No exemplo anterior:No exemplo anterior: 3

5

1

KG s H s

s

O sistema é marginalmente estável para O sistema é marginalmente estável para KK = 8/5 = 8/5


Polinômio auxiliarPolinômio auxiliar

03393 513 22

58

2

ssKsK

Raízes puramente imaginárias:Raízes puramente imaginárias: 3js

85

60 2

5

31

5

33

j

jHjG

O diagrama de Nyquist intercepta o eixo real O diagrama de Nyquist intercepta o eixo real

negativo em -5/8negativo em -5/8

Linha nula paraLinha nula para K K = 8/5 = 8/5

K

K

K

s

s

s

s

51

358

513

31

0

1

2

3


Um aumento de 8/5 no ganho Um aumento de 8/5 no ganho K K fará com que o fará com que o

diagrama de Nyquist intercepte o ponto -1, o que diagrama de Nyquist intercepte o ponto -1, o que

torna o sistema marginalmente estáveltorna o sistema marginalmente estável

Conclusão:Conclusão:

Margem de ganho:Margem de ganho: fator pelo qual o ganho de fator pelo qual o ganho de malha aberta deve ser alterado de forma a malha aberta deve ser alterado de forma a

estabelecer um sistema marginalmente estávelestabelecer um sistema marginalmente estável

Medida da Medida da Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa do sistema do sistema

Margem de ganhoMargem de ganho

Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de Nyquist

Z Z : : Pólos de MF no semi-Pólos de MF no semi-

plano direito. Sistemas plano direito. Sistemas

estáveis em MF estáveis em MF Z = 0 Z = 0

PNZ

N N : : Envolvimentos do ponto -1 no sentido horárioEnvolvimentos do ponto -1 no sentido horário

N N < 0 para envolvimentos no sentido anti-horário< 0 para envolvimentos no sentido anti-horário

Sistema marginalmente estável para intercepto em -1Sistema marginalmente estável para intercepto em -1

P P : : Pólos de MA no semi-plano direitoPólos de MA no semi-plano direito

Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistExemplo:Exemplo:

101

502

ss

sG

2

501 1 0

1 10

KK G s

s s

050102112 23 Ksss

Onde ocorre o cruzamento?Onde ocorre o cruzamento?

Critério de Routh-Hurwitz:Critério de Routh-Hurwitz:

adicionar um ganho adicionar um ganho KK

na malha abertana malha aberta


101

502

ss

sG

Sistema em MF estávelSistema em MF estável

parapara 84420 ,K,

050102112 23 Ksss

205010

8441250242

501012

211

0

1

2

3

,KK

,KK-

K

s

s

s

s

Se Se K K = 4,84 o diagrama de Nyquist intercepta o ponto -1= 4,84 o diagrama de Nyquist intercepta o ponto -1

1844 1 jG, 2066084411 ,,jG


101

502

ss

sG

Não há envolvimentos do ponto -1 Não há envolvimentos do ponto -1 NN = 0 = 0

Daí Daí ZZ = = NN + + PP = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = 0 Sistema estável em Sistema estável em

MF (com MF (com K = K = 1)1)

2066084411 ,,jG

Se Se KK = 4,84 o sistema oscilará com a freqüência = 4,84 o sistema oscilará com a freqüência 11::

0211225212 501012 22

844

2

ssKs,K

Linha Linha ss22 do arranjo de Routh do arranjo de Routh

Raízes:Raízes: 1583421 j,jjs

Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistGenericamente:Genericamente:

A partir de 1 + A partir de 1 + KKG(s) = 0, aplica-se o critério de Routh-G(s) = 0, aplica-se o critério de Routh-

Hurwitz de forma a encontrar o valor Hurwitz de forma a encontrar o valor KK11 que torna o que torna o

sistema marginalmente estávelsistema marginalmente estável

Com base no arranjo de Routh, encontra-se a freqüênciaCom base no arranjo de Routh, encontra-se a freqüência

na qual o sistema irá oscilar caso o ganho seja ajustadona qual o sistema irá oscilar caso o ganho seja ajustado

para o valor para o valor KK11

Daí: Daí: 1 11 0K G j

E o diagrama de Nyquist cruza o eixo real E o diagrama de Nyquist cruza o eixo real

negativo no ponto negativo no ponto

11

1K

jG

Ocorrência de pólos na origemOcorrência de pólos na origem O princípio do argumento de Cauchy exige que a O princípio do argumento de Cauchy exige que a

função de malha aberta não possua pólos ou zerosfunção de malha aberta não possua pólos ou zeros

no percurso de Nyquistno percurso de Nyquist

Quando ocorrem pólos na origem, o percursoQuando ocorrem pólos na origem, o percurso

de Nyquist deve ser alteradode Nyquist deve ser alterado

0

com 90 90

js lim e

A magnitude de G(s) seráA magnitude de G(s) será

muito elevada nos pontosmuito elevada nos pontos

do desvio do desvio representação representação

sem escalassem escalas

Ocorrência de pólos na origemOcorrência de pólos na origemExemplo:Exemplo:

12

ss

KsG

Ocorrem dois envolvimentos do ponto -1 no sentido horárioOcorrem dois envolvimentos do ponto -1 no sentido horário

Logo: Logo: ZZ = = NN + + PP = 2 + 0 = 2 = 2 + 0 = 2 o sistema em malha fechada o sistema em malha fechada

é instável (ocorrem 2 pólos no semi-plano direito)é instável (ocorrem 2 pólos no semi-plano direito)

Representação semRepresentação sem

escalaescala

Contagem dos envolvimentosContagem dos envolvimentos

Procedimento prático:Procedimento prático:

Quantos envolvimentos doQuantos envolvimentos do

ponto -1 ocorrem no diagramaponto -1 ocorrem no diagrama

de Nyquist?de Nyquist?

Traçar uma linha partindo doTraçar uma linha partindo do

ponto -1 em qualquer direção ponto -1 em qualquer direção

convenienteconveniente

O nO noo de envolvimentos do ponto -1 no sentido horário é de envolvimentos do ponto -1 no sentido horário é

igual ao nigual ao noo de cruzamentos desta linha com o diagrama no de cruzamentos desta linha com o diagrama no

sentido horário menos o nsentido horário menos o noo de cruzamentos que ocorrem no de cruzamentos que ocorrem no

sentido anti-horáriosentido anti-horárioNN = = 1 1 – – 11 = 0 envolvimentos = 0 envolvimentos

Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa A A estabilidadeestabilidade não é a única preocupação presente no não é a única preocupação presente no

projeto de sistemas de controle:projeto de sistemas de controle:

Não é suficiente que um sistema seja estável. Deve-se Não é suficiente que um sistema seja estável. Deve-se garantir permanência da estabilidade por uma garantir permanência da estabilidade por uma

margem de segurançamargem de segurança

O sistema estável deve possuir uma resposta O sistema estável deve possuir uma resposta

transitória satisfatóriatransitória satisfatória

O modelo matemático utilizado na representação O modelo matemático utilizado na representação

do sistema do sistema nuncanunca é exato é exato

O modelo pode indicar estabilidade e oO modelo pode indicar estabilidade e o

sistema físico apresentar instabilidadesistema físico apresentar instabilidade

Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa Define-se a Define-se a estabilidade relativaestabilidade relativa de um sistema linear de um sistema linear

em termos da proximidade de seu Diagrama de Nyquist em termos da proximidade de seu Diagrama de Nyquist

em relação ao ponto -1 do plano complexoem relação ao ponto -1 do plano complexo

Margem de ganho:Margem de ganho:

Definida como o fatorDefinida como o fator

1/1/ pelo qual o ganho pelo qual o ganho

de MA deve serde MA deve ser

alterado de modo a alterado de modo a

tornar o sistema em tornar o sistema em

MF marginalmente MF marginalmente

estávelestávelA margem de ganho é geralmenteA margem de ganho é geralmente

expressa em dBexpressa em dB

Cruzamento em Cruzamento em

Estabilidade RelativaEstabilidade RelativaMargem de fase:Margem de fase:

É a magnitude do É a magnitude do

ângulo mínimo ângulo mínimo

segundo o qual o segundo o qual o

diagrama de Nyquistdiagrama de Nyquist

deve ser rotacionadodeve ser rotacionado

para que ocorra opara que ocorra o

cruzamento com ocruzamento com o

eixo real negativoeixo real negativo

no ponto -1no ponto -1

1 2 jG

Daí:Daí: 180 2 jGm

Exercícios:Exercícios:Exercício 1:Exercício 1: 1

100

1 3G s

s s

-5 0 5 10 15 20 25 30 35-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

1 1H s

Exercícios:Exercícios:Exercício 2:Exercício 2: 2 2

50

1G s

s s

2

4

3

sH s

s

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

x 104

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-6

-4

-2

0

2

4

6Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Exercícios:Exercícios:Exercício 3:Exercício 3: 3

20

1G s

s s

3

1

4H s

s

FIMFIM

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Aula 07 - Diagramas de Bode e Nyquist