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O critério de Nyquist
Critério de análise de estabilidade de sistemas
dinâmicos lineares com realimentação negativa.
• Usa a função de transferência em malha aberta
(antes da realimentação).
• É uma aplicação do princípio do argumento.
O princípio do argumento
Conceito:
Um ponto será chamado um ponto circundado
por um caminho fechado no plano complexo se
e só se o ponto estiver contido na região
interior ao caminho.
Teorema (Princípio do Argumento):
Seja F(s) uma função complexa de variável
complexa (isto é F: C → C) analítica sobre um
caminho fechado no plano complexo e dentro
da região por ele circundada (isto é na região
interior ao caminho), exceto em um número finito
de pontos no interior de . Então mapeado por
F(s) circundará a origem N vezes,
N = Z – P,
onde:
Teorema (Princípio do Argumento):
N = Z – P,
Z é o número de zeros de F(s) no interior de .
P é o número de polos de F(s) no interior de .
N é positivo se o circundamento da origem for
no mesmo sentido de .
N é negativo se o circundamento da origem for
em sentido contrário ao de .
Ilustração
O mapeamento direto é único.
O mapeamento inverso pode não ser.
0
s1
s2 s3
0
F(s1)
F(s2)
F ( s 3)
F ( s )
Exemplo:
Fase de F(s):
( )( )
( )( )
K s zF s
s b s a
0
z
a
b
( )F s
( ), ( ), ( )s z s b s a
-
-
-
• Após uma volta completa pelo caminho fechado , o
ângulo terá variado de 360º, pois o ponto z está no
interior do caminho.
• O mesmo teria acontecido para qualquer contribuição
de fase de outros zeros ou polos no interior de .
• Para os polos e zeros fora da região circundada por
a contribuição de fase não terá variado de 360º.
• No caso deste exemplo teremos:
Z = 1, P = 0 e N = Z – P = 1.
• Numa demonstração do princípio do argumento esse
arrazoado é formalizado.
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Contando o número de circundamentos
O critério de Nyquist
Aplicação do princípio do argumento para um
caminho fechado particular chamado curva de
Nyquist.
A curva de Nyquist engloba todo o semi-plano
complexo direito, percorrendo também o eixo
imaginário. No eixo imaginário a curva de Nyquist
contorna as singularidades (polos) da função
analisada (pontos onde a função não é analítica).
2 2
( )( ) , 0, 0, 0
( )( )
s aA s a b c
s s b s c
G(s)
O diagrama de Nyquist
• O diagrama de Nyquist é a representação gráfica
do mapeamento da curva de Nyquist através da
função em análise.
• No caso do exemplo, este diagrama seria o
mapeamento G(), sendo o caminho fechado
mostrado na figura anterior.
• Para a construção do diagrama de Nyquist, o
esboço prévio do diagrama de Bode da função
G(s) pode ser proveitoso.
• Não é necessário que o diagrama de Nyquist seja
muito preciso; muitas vezes um esboço é o
suficiente para a análise e pontos de interesse
podem ser calculados quando necessário.
Propriedade de simetria do diagrama
de Nyquist
Como para funções de transferência racionais com
coeficientes reais valem as propriedades
o diagrama de Nyquist de uma função de transferência
será sempre simétrico em relação ao eixo real.
| ( ) | | ( ) | e ( ) ( )G j G j G j G j
O critério
Teorema:
Um sistema com função de transferência de um dos tipos
(ou com denominador da forma Δ(s) = 1+kG(s))
é estável se e somente se o diagrama de Nyquist de G(s)
circundar o ponto –1/k no sentido contrário ao da curva de
Nyquist um número de vezes igual ao número de polos de
G(s) no semiplano complexo direito.
T(s) = _______
1+kG(s)
G(s) T(s) =
_______
1+kG(s)
1 T(s) =
_______
1+kG(s)
kG(s)
O critério
Teorema (enunciado alternativo):
Seja P o número de polos de uma função de transferência
G(s) no semiplano complexo direito. Então uma função de
transferência de um dos tipos
terá Z = N + P polos no semiplano complexo direito, onde
N é o número de voltas que o diagrama de Nyquist de
G(s) dá em torno do ponto –1/k no mesmo sentido da
curva de Nyquist, e P, como dito anteriormente, é o
número de polos de G(s) no semiplano complexo direito.
T(s) = _______
1+kG(s)
G(s) T(s) =
_______
1+kG(s)
1 T(s) =
_______
1+kG(s)
kG(s)
Entendendo o critério
F(s) = Δ(s) = 1+kG(s) = 1+k
Os polos de F(s) são as raízes de D(s) que são
também os polos de G(s) (polos de malha aberta).
Os zeros de F(s) são as raízes de D(s)+kN(s), que
nada mais são que os polos em malha fechada do
sistema.
Podemos então reescrever N = Z – P como
N = PolosMF – PolosMA
Ou
PolosMF = PolosMA + N
____
D(s)
N(s) =
___________
D(s)
D(s) + kN(s)
Onde N é o número de voltas que F() dá em torno
da origem no mesmo sentido da curva .
Que é o número de voltas que 1+kG() dá em torno
da origem.
Que, por sua vez é igual ao número de voltas que
kG() dá em torno de -1. (F(s) nada mais é que
kG(s) transladado).
E o número de voltas que kG() dá em torno de -1 é
igual ao número de voltas que G() dá em torno de
-1/k (basta escalonar o gráfico usando k como fator
de escala).
Conclusão:
PolosMF = PolosMA + N
O número de polos de MF no semiplano da direita
é igual ao número de polos de MA no spd mais o
número de voltas que o diagrama de Nyquist de
G(s) dá em torno de -1/k no mesmo sentido da
curva de Nyquist.
Ou seja, para que o sistema em malha fechada seja
estável o diagrama de Nyquist deve dar um número
de voltas em torno de -1/k no sentido contrário,
igual ao número de polos de malha aberta de G(s)
no semiplano da direita.
O diagrama de Nyquist de G(s) nada mais é
do que o diagrama polar de G(jω) e G(-jω)
percorrido em um determinado sentido.
A parte com “raio ∞” do contorno é
mapeada em um único ponto, normalmente
na origem.