1. Projeto de avanc¸o de fase usando diagramas de Bode 2 ...palhares/aula20_csl.pdf · Projeto de Avan¸co de Fase via Bode • O projeto do compensador em avanc¸o de fase consiste

Projeto de Sistemas de Controle Realimentados

1. Projeto de avanco de fase usando diagramas de Bode

2. Projeto de atraso de fase usando diagramas de Bode

c©Reinaldo M. Palharespag.1 Controle de Sistemas Lineares – Aula 20

Projeto de Avanco de Fase via Bode

• O projeto do compensador em avanco de fase consiste em se encontrar valores

para p e z tais que a resposta do sistema compensado seja moldada de forma

satisfatoria. Em particular, se a MF da malha aberta nao for suficiente (depois de

ajustado o ganho do sistema para atendimento da especificacao de erro em estado

estacionario), avanco de fase pode ser introduzido adicionando-se o compensador

na faixa de frequencia adequada (de forma que, em ω = ωm, o ganho do sistema

compensado seja 0dB)



• Inicialmente, o valor de α e determinado em funcao do aumento na MF

desejado a partir da expressao

α =1 + senφm

1 − senφm

• Como o aumento (total) no ganho devido ao compensador e de 20 log α e o

maximo avanco de fase ocorre a meio caminho (entre o zero e o polo na escala

logarıtmica de frequencia), ie, ωm =√

zp, espera-se que o ganho em ω = ωm

seja 10 log α



• Os passos a seguir sintetizam o projeto do compensador em avanco

1. Determina-se K de modo que o ganho de malha-aberta atenda a

especificacao de erro de regime estacionario

2. Usando o ganho K determinado no passo 1, obter o diagrama de Bode de

KG(s) para determinar a MF

3. Deixando uma pequena margem de seguranca, determina-se o angulo de

avanco de fase adicional, φm, tal que o sistema atinja a MF especificada

4. A partir desse valor de φm, calcula-se α

5. Determina-se a frequencia em que o ganho do sistema nao-compensado

corresponda a −10 log αdB (nessa frequencia, o ganho do sistema compensado

devera ser exatamente 0dB e ω = ωm)



6. Calcula-se o polo e o zero do compensador usando as relacoes p = ωm

√α e

z = p/α

7. Traca-se a resposta em frequencia do sistema compensado, checa-se a MF

resultante e, se necessario, repetem-se os passos anteriores

8. Finalmente, ajusta-se o ganho do sistema de forma a contrabalancar a

atenuacao do compensador (1/α), o que normalmente nao reduz

significativamente a MF pre-especificada. Caso a MF do sistema com o ganho

re-ajustado nao seja aceitavel, repete-se o procedimento para α de 10 a 20%

maior



Exemplo Para a FT

GH(s) =K

s(s + 2)

Objetivos ess ≤ 5% para entrada rampa e MF ≥ 450

De ess e necessario: Kv =A

ess

=A

0.05A= 20

Portanto, do 1o. e 2o. passos traca-se o diagrama de Bode da FT

nao-compensada

GH(jω) =Kv

jω(0.5jω + 1)=

20

jω(0.5jω + 1)



−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

Fas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/sec)

Frequencia (rad/sec)



B MF = 180 do sistema sem compensacao

O que fazer? Adicionar um controlador de avanco de fase para aumentar a

MF para 450 na nova frequencia de cruzamento (em 0dB)

Passo 3. Veja que φm = 450 − 180 = 270, mais um incremento de 10%, leva

ao incremento de fase φm = 270 + 30 = 300

Passo 4. Calcula-se α, α =1 + sen300

1 − sen300= 3

Passo 5. Veja que o maximo avanco de fase ocorre em ωm, no qual

10 log α = 10 log 3 = 4.8dB

B Avalia-se na magnitude de -4.8dB a frequencia de cruzamento compensada,

ie, ωm = ωc ≈ 8.4rad/s



Passo 6. Logo p = ωm

√α = 8.4

√3 = 14.55rad/s e z =

p

α= 4.85rad/s

Passos 7 e 8. Compensador

Gc(s) =1

3

(1 + s/4.85)

(1 + s/14.55)

B O ganho DC total deve ser aumentado por um fator de 3 (afim de levar em

conta o fator 1/3), tal que a FT da malha compensada e

GcGH(s) =20 (s/4.85 + 1)

s(0.5s + 1)(s/14.55 + 1)



−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

Pha

se (

deg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 43.8 deg (at 8.14 rad/sec)

Frequency (rad/sec)



−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

GcGH

GcGH

GH

GH



MF final? 43.80. Exigencia de MF ≥ 450...

O que fazer? Repetir os passos aumentado α, eg α = 3.5...

B Pode-se analisar o resultado usando a carta de Nichols, onde pode-se ler:

1. Sem compensacao, Mpω> 6dB, de fato ≈ 12dB

2. Com compensacao, Mpω≈ 3dB

3. Largura de Banda em -3dB, sem compensacao, 7.5rad/s

4. Largura de Banda em -3dB, com compensacao, 10.4rad/s



−180 −135 −90 −45 0−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

−20 dB

−12 dB

−6 dB

−3 dB

1 dB

3 dB

6 dB

−1 dB

Nichols Chart

Open−Loop Phase (deg)

Ope

n−Lo

op G

ain

(dB

)

GcGHGH

•• ω = 10.4

ω = 7.5


Projeto de Atraso de Fase via Bode

• Observando que o efeito util do compensador em atraso de fase e sua

atenuacao (de −20 log α), este e usado para reduzir a frequencia de cruzamento

da linha de 0dB, aumentando assim a MF do sistema

• Os passos a seguir sintetizam o projeto do compensador em atraso

1. Determina-se K de modo que o ganho de malha-aberta atenda a

especificacao de erro de regime estacionario

2. Usando o ganho K determinado no passo 1, obter o diagrama de Bode de

KG(s), sem compensacao, para determinar a MF. Se for insuficiente, prossiga



3. Determina-se a frequencia em que a MF especificada seja satisfeita

assumindo que o ganho do sistema compensado venha a cruzar a linha de 0dB

nessa frequencia, ω′

c(deixando uma folga de uns 50 para contabilizar a pequena

defasagem restante do compensador)

4. Aloca-se o zero do compensador uma decada abaixo da nova frequencia de

cruzamento, ω′

c, garantindo assim que apenas 50 de atraso de fase restara na

frequencia ω′

cdevido ao compensador

5. Mede-se a atenuacao necessaria em ω′

cde forma que a curva de ganho cruze

a linha de 0dB nessa frequencia

6. Calcula-se α usando a relacao −20 log α em ω′

c

7. O valor do polo e determinado fazendo p = 1/ατ = z/α



Exemplo Considerando o mesmo exemplo anterior com FT

GH(jω) =K

jω(jω + 2)=

Kv

jω(0.5jω + 1)

com Kv = K/2 e Kv = 20

Objetivos ess ≤ 5% para entrada rampa (ja garantida por Kv) e MF ≥ 450

B Para os passos 1 e 2 ja se sabe do exemplo anterior que, sem compensacao, a

MF = 180, conforma diagrama de Bode a seguir

Passo 3. Determina-se, em Bode, a frequencia (que deve ser a nova frequencia

de cruzamento) onde a MF especificada seja satisfeita, levando em conta um

atraso de 50, ie, para φ = −1300

B ω′

c≈ 1.5rad/s



−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

Fas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/sec)

Frequencia (rad/sec)



Passo 4. O zero esta uma decada abaixo de ω′

c, portanto

z = ω′

c/10 = 0.15rad/s

Passo 5. Nesta frequencia ω′

cpode-se ler 20dB, que seria a atenuacao

necessaria para que ω′

cseja a nova frequencia de cruzamento (ie, a curva de

magnitude passe a cruzar a linha de 0dB)

Passo 6. Calcula-se α fazendo 20 log α = 20dB, ie α = 10

Passo 7. O valor do polo e p = z/α = 0.015rad/s

Ganho de Malha do sistema compensado

Gc(jω)GH(jω) =20(6.66jω + 1)

jω(0.5jω + 1)(66.6jω + 1)


Verificacao: MF = 46.80 > 450 especificado

−100

−50

0

50

100

150

Mag

nitu

de (

dB)

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

Pha

se (

deg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 46.8 deg (at 1.58 rad/sec)

Frequency (rad/sec)



−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

Mag

nitu

de (

dB)

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

GcGH

GcGH

GH

GH


Carta de Nichols

−180 −135 −90 −45 0−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

−20 dB

−12 dB

−6 dB

−3 dB

0.5 dB

−40 dB

3 dB

−1 dB

0 dB

6 dB

1 dB

0.25 dB

−60 dB

Nichols Chart

Open−Loop Phase (deg)

Ope

n−Lo

op G

ain

(dB

)

GHGcGH


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