1 Análise de Resposta em Freqüência 8.1. Introdução 8.2. Diagramas de Bode 8.3. Construção do Diagrama de Bode com o Matlab Prof. André Marcato Livro Texto:

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Análise de Resposta em Freqüência8.1. Introdução8.2. Diagramas de Bode8.3. Construção do Diagrama de Bode com o Matlab

Prof. André Marcato

Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

Aula 4

Introdução

Resposta em FreqüênciaResposta em Freqüência: Resposta em : Resposta em regime permanente de um sistema a uma regime permanente de um sistema a uma entrada senoidalentrada senoidal

Métodos de resposta em freqüênciaMétodos de resposta em freqüência: Varia-: Varia-se a freqüência do sinal de entrada dentro de se a freqüência do sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estuda-se a resposta um certo intervalo e estuda-se a resposta resultante.resultante.

Forma GráficaForma Gráfica:: Diagrama de Bode ou gráfico logarítmicoDiagrama de Bode ou gráfico logarítmico

Diagrama de Nyquist ou diagrama polarDiagrama de Nyquist ou diagrama polar

Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo de Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo de fase (carta de Nichols)fase (carta de Nichols)

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Obtenção das Respostas em Regime Permanente às Entradas Senoidais

A resposta em regime permanente da função de transferência de um sistema pode ser obtida diretamente a partir da função de transferência senoidaltransferência senoidal.

Função de transferência na qual s é substituído por jw,

onde w é a freqüência

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Sistema Estável, Linear, invariante no tempo

Se a entrada for um sinal senoidal, a saída em regime permanente também será um sinal senoidal com a mesma freqüência, mas possivelmente o módulo e o ângulo de fase serão diferentes.

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Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

ObjetivoObjetivo: Mostrar que após esperar até que as condições de regime permanente sejam alcançadas, a resposta em freqüência

pode ser calculada substituindo-se s por j na função de transferência. Será mostrado também que a resposta em regime

permanente é dada por:

Relação de amplitude entre a saída e a entrada

senoidal

Defasagem, ou diferença de fase,

entre a entrada senoidal e a saída

senoidal

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Multiplicando os dois lados da igualdade por e avaliando no ponto igual s = -j

Repetindo o mesmo procedimento para

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A amplitude do sinal de saída é dada pelo produto da amplitude do sinal de

entrada pelo módulo de G(j)

O ângulo de fase da saída, difere do ângulo de fase da entrada pelo valor de

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Exemplo 8.1.

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Exemplo 8.1.

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Exemplo 8.1.

ConclusõesConclusões:

Se for pequeno: a defasagem da saída será pequena e a amplitude de resposta de saída será K vezes a amplitude da entrada

Se for grande: a amplitude de resposta (saída) será pequena e quase inversamente proporcional a . A defasagem se aproxima de -90º à medida que tende a infinito.

Essa é uma rede de atraso de fase.

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Exemplo 8.2.

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Exemplo 8.2.

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Exemplo 8.2.

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Diagramas de Bode

Dois gráficos traçados em relação à freqüência Dois gráficos traçados em relação à freqüência em escala logarítmica:em escala logarítmica:

Gráfico do Módulo em dBGráfico do Módulo em dB

Gráfico do ângulo de faseGráfico do ângulo de fase

Representação padrão do logarítmo do módulo Representação padrão do logarítmo do módulo de G(jde G(j) – a base do logarítmo é 10:) – a base do logarítmo é 10:

A unidade da representação do módulo é o A unidade da representação do módulo é o decibel (db)decibel (db)

A multiplicação dos módulos pode ser convertida A multiplicação dos módulos pode ser convertida em soma.em soma.

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Fatores Básicos de G(j)H(j)

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Ganho KGanho K

Fatores integral e derivativo Fatores integral e derivativo (j(j))±1±1

Fatores de primeira ordem Fatores de primeira ordem (1+j(1+j))±1±1

Fatores quadrFatores quadráticos [1+2áticos [1+2(j(jnn)+(j)+(jnn))22]]±1±1

Uma vez familiarizados com a construção dos Uma vez familiarizados com a construção dos gráficos logarítmicos destes fatores básicos é gráficos logarítmicos destes fatores básicos é possível utilizá-los na construção de um gráfico possível utilizá-los na construção de um gráfico logarítmico composto por qualquer forma geral de logarítmico composto por qualquer forma geral de G(jG(j)H(j)H(j).).

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O Ganho K

Um número maior que uma unidade possui um valor Um número maior que uma unidade possui um valor positivo em decibéispositivo em decibéis

Um número menor que uma unidade tem valor negativoUm número menor que uma unidade tem valor negativo

A curva do módulo em dB de um ganho constante K é A curva do módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéisuma reta horizontal de valor 20 log K decibéis

O ângulo de fase do ganho K é zeroO ângulo de fase do ganho K é zero

O efeito da variação do ganho K na função de O efeito da variação do ganho K na função de transferência é o deslocar para cima ou para baixo a transferência é o deslocar para cima ou para baixo a curva de módulo em dB da função de transferência por curva de módulo em dB da função de transferência por um valor constante correspondente, sem nenhum efeito um valor constante correspondente, sem nenhum efeito na curva de ângulo.na curva de ângulo.

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Conversão de um Número de dB

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O Ganho K - Propriedades

Quando um número aumenta de um fator 10, o valor Quando um número aumenta de um fator 10, o valor correspondente em dB fica acrescido de 20correspondente em dB fica acrescido de 20

Estendendo a análise:Estendendo a análise:

O recíproco de um número difere apenas no sinal:O recíproco de um número difere apenas no sinal:

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Fatores integral e derivativo (j)±1

O valor de logarítmico de 1/jO valor de logarítmico de 1/j em decibéis é: em decibéis é:

O ângulo de fase de 1/jO ângulo de fase de 1/j decibéis é constante e igual a 90. decibéis é constante e igual a 90.

No diagrama de Bode as relações entreNo diagrama de Bode as relações entre as freqüências as freqüências são dadas em termos de oitavas e décadas:são dadas em termos de oitavas e décadas: Uma oitava é um intervalo compreendido entre Uma oitava é um intervalo compreendido entre 11 e 2 e 211, onde , onde 11

é é qualquer valor de freqüência.qualquer valor de freqüência.

Uma década é um intervalo compreendido entre Uma década é um intervalo compreendido entre 11 e 10 e 1011, onde , onde 11 é é

qualquer valor de freqüência.qualquer valor de freqüência.

Exemplo: a distância horizontal entre Exemplo: a distância horizontal entre =1 e =1 e =10 é igual a distância =10 é igual a distância horizontal entre horizontal entre =3 e =3 e =30.=30.

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Gráfico de -20log dB versus

Em escala logaritmica será uma retaEm escala logaritmica será uma reta

Localiza-se um ponto (0 dB, Localiza-se um ponto (0 dB, =1)=1)

Como Como

a inclinação da reta será -20dB/década (ou -a inclinação da reta será -20dB/década (ou -6db/Década)6db/Década)

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De forma análoga, o módulo de jDe forma análoga, o módulo de j em decibéis é: em decibéis é:

O ângulo de fase é 90O ângulo de fase é 90oo

A curva do logarítmo do módulo é uma reta com A curva do logarítmo do módulo é uma reta com inclinação de inclinação de 20db/década20db/década

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Diagrama de Bode de G(j) = 1/j e G(j) = j

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Se a função de transferência possuir o fator (1/jSe a função de transferência possuir o fator (1/j))nn ou ou (j(j))nn , as grandezas logaritmicas se tornarão , as grandezas logaritmicas se tornarão respectivamente:respectivamente:

Ou Ou

As inclinações passam a ser respectivamente -20n As inclinações passam a ser respectivamente -20n dB/década ou 20n db/décadadB/década ou 20n db/década

O ângulo de fase de (1/jO ângulo de fase de (1/j))nn é igual a -90.n em toda a é igual a -90.n em toda a faixa de freqüência, enquanto que o de (jfaixa de freqüência, enquanto que o de (j))nn é igual a é igual a 90.n em toda a faixa de freqüência.90.n em toda a faixa de freqüência.

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Fatores de primeira ordem (1+j)±1

O módulo em dB para o fator de primeira ordem O módulo em dB para o fator de primeira ordem 1/(1+j1/(1+jT) é:T) é:

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Para baixas freqüências,

como << 1/T

Para altas freqüências,

como >>1/T

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Para Para >>1/T, a curva de módulo em dB é então, uma >>1/T, a curva de módulo em dB é então, uma reta com inclinação de -20dB/década (ou -6db/oitava)reta com inclinação de -20dB/década (ou -6db/oitava)

A representação logaritmica da curva de resposta em A representação logaritmica da curva de resposta em freqüência pode ser aproximada por duas assíntotasfreqüência pode ser aproximada por duas assíntotas

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Freqüência de canto, ou

freqüência de quebra ou

mudança de inclinação

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A FT (1/(1+jT) tem as características de um filtro passa-baixas.

Para freqüências acima e 1/T, o módulo em dB cai rapidamente para o infinito

No filtro passa baixas, a saída pode seguir, com fidelidade, a entrada senoidal para baixas freqüências

Em altas freqüências, a amplitude tende a zero e o ângulo de fase de saída tende a -90º.

Se a entrada tem muitos harmônicos, os componentes de baixa freqüência são reproduzidos com fidelidade na saída, enquanto os componentes de alta freqüência são atenuados na amplitude ou defasados.

Um elemento de primeira ordem fornece uma duplicação na saída somente para fenômenos constantes ou lentamente variáveis.

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Fatores de primeira ordem (1+j)±n

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Fatores quadrFatores quadráticos [1+2áticos [1+2(j(jnn)+)+

(j(jnn))22]]±1±1

As aproximações assintóticas para as curvas de resposta em freqüência não são precisas para um fator com baixos valores de .

O módulo e a fase do fator quadrático dependem tanto da freqüência de canto como do coeficiente de amortecimento

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Para baixas freqüências, como << n

Para altas freqüências, como >>n

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Fatores quadrFatores quadráticos [1+2áticos [1+2(j(jnn)+)+

(j(jnn))22]]±1±1

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Freqüência de Ressonância Freqüência de Ressonância rr e Pico de Ressonância M e Pico de Ressonância Mrr

g()

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Procedimentos Geral para a Construção do Diagrama de Bode

Reescreve-se a função de transferência senoidal G(j)H(j) como produto de fatores básicos.

Identifica-se a freqüência de canto associada a estes fatores básicos

Traça-se as curvas assitóticas com módulo em dB com as inclinações apropriadas entre as freqüências de canto

A curva do ângulo de fase pode ser obtida adicionando-se as curvas de ângulo de fase dos fatores individuais

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Exemplo 8.3.

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Exemplo 8.3.

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Exemplo 8.3.

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Exemplo 8.3.

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Exemplo 8.3.

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Exemplo 8.3.

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Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

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Os valores dos ângulos de fase são menores para o sistema de fase

mínima (G1) para todas as freqüências

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Para sistemas de fase mínima, as características de módulo e de ângulo de fase estão relacionadas univocamente.

Se a curva de módulo de um sistema for especificada para toda a gama de valores de freqüência de zero a infinito, a curva de ângulo de fase será determinada de forma única e vice-versa

Isto não ocorre para sistemas de fase não-mínima.


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Para sistemas de fase mínima:

O ângulo de fase em =∞ torna-se -900(p-q), onde p e q são os graus dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência, respectivamente.

A inclinação da curva de módulo em dB em =∞ é igual a -20(p-q)/década (esta condição vale também para os sistemas de fase não-mínima).


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Retardo no Transporte

Tem comportamento de fase não-mínima e apresenta atraso excessivo, sem atenuação nas altas freqüências

Esses retardos de transporte normalmente ocorrem nos sistemas térmicos, hidráulicos e pneumáticos

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Exemplo 8.4.

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Exemplo 8.4.

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Exemplo 8.4.

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Relacionamento entre o Tipo de Sistema e a Curva do Módulo em dB

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Determinação do Erro Estático de Posição

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Determinação do Erro Estático de Velocidade

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Determinação da Constante do Erro Estático de Aceleração

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Construção do Diagrama de Bode com o Matlab

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Exemplo 8.5

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Exemplo 8.5.

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Exemplo 8.6

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Exemplo 8.6

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Exemplo 8.6.

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Exemplo 8.6.

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Exemplo 8.6.

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Exemplo 8.6.

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Exemplo 8.6.

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Exemplo 8.6.

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Exemplo 8.6.

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Obtenção dos Diagramas de Bode nos Sistemas Definidos no Espaço de Estados

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Exemplo 8.7.

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