1

Traçado do Diagrama de Bode

2

Formas de gerar o diagrama de Bode

Excitação direta do processo com entrada senoidal/cosenoidal.

Substituindo s=jem G(s)

3

Diagrama de Bode pela Função de Transferência

)()(tan)(

)()()(

)()(

1

22

RI

IRiG

IjRiG

4

Gráfico de Bode para Sistema de Primeira Ordem

)(tan)(

11)(

11)(

imaginária parteda real parte Separando1

)(1

)(

1

2222

2222

2222

pKKKG

KiKiG

jKjG

sKsG

5

Diagrama de Bode de sistemas de ordem grande

Propriedades Básicas

)()()()()(

)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln

ou)()()()(

)(

)()()()(

)(:Considere

jGjGjGjG

jGjGjGjGjG

sGsGsGsG

sG

sGsGsGsG

sG

dcba

dcba

dc

ba

dc

ba

6

Escreva a função de transferência em um produto de funções de transferência simples.

Diagrama de Bode de sistemas de ordem grande

77

Diagrama de Bode dos fatores basicos8.1 Ganho K

KL log20)(

0)(

101 1000.1

dB

(rad/s)

20 log | K |

88

8.2 Fatores integral e derivativo 1j

jjG 1)(

)(log201log20)( dBj

L

90)(

)(log20log20)( dBjL

jjG )( 90)(

nj )/1(

nj )(

)(log20)(

1log20)( dBnj

L n

n 90)(

)(log20)(log20)( dBnjL n

n90)(

Ponto da reta 1,0 dBdeclive

Sinais contrarios

99

1010

8.3 Fatores de primeira ordem 1)1( Tj

termo1)1( Tj

)(])(1[log201

1log20)( 2 dBTTj

L

)()( Tarctg

Baixas freq TT 1,1 )(01log20])(1[log20)( 2 dBTL

Declive de 0 dB/dec

TT 1,1 )(log20])(1[log20)( 2 dBTTL Altas freq

Declive de -20dB/dec

modulo

fase

1111

wT

1212

1313

8.4 fator quadratico 2)()(21

1

nnjj

222

2

2)2()1(log20

)()(21

1log20)(nn

nnjj

L

Baixas freq n

n

dBnn

log40log20 2

2

-20log1=0dB

Altas freq

Declive de -40 dB/dec

Declive de 0 dB/dec

22 )(

1

)(

1)(

nnj

jG

1)( jG

1414

Para Para n

1515

ExemploExemplo::

esboçar os Diagramas de Bode do esboçar os Diagramas de Bode do sistema cuja Função de Transferência é:sistema cuja Função de Transferência é:

G s

ss s

100 101002

1616

Em primeiro lugar, reescrevemos Em primeiro lugar, reescrevemos G(s)G(s) como: como:

G s

ss s

10 01 1

0 01 1.

.

Substituindo s por jw:

G jj

j j

10 01 10 01 1..

1717

Observamos que, neste caso, há Observamos que, neste caso, há quatro tipo de termos:quatro tipo de termos:

ganho ganho KK = 10; = 10; um pólo na origem;um pólo na origem; um pólo real em -100;um pólo real em -100; um zero real em -10.um zero real em -10.

1818

10-1

100

101

102

103

104

40

20

0

-20

-40

K = 10

pólo naorigem

pólo realem -100

zero realem -10

soma dasassíntotas

traçadoreal

(rad/s)

dB

1919

10-1

100

101

102

103

104

90o

45o

0o

-45o

-90o

K = 10

pólo naorigem

pólo realem -100

zero realem -10

soma dasassíntotas

traçadoreal

(rad/s)

2020

RessonânciaRessonância Se |G(jw)| um valor de pico para alguma Se |G(jw)| um valor de pico para alguma

frequência wr, wr é denominada frequência wr, wr é denominada frequência de resssonância.frequência de resssonância.

2121

222

2

)2()1(

1)(

nn

jG

222

2

)2()1()(nn

g

)1(4

)21()( 22

2

2

222

n

ng

707.0220

12

12

rM

ressonância

ressonância

para 707.0 Não ocorre ressonância

221 nr

rM cresce diminui Note que

ocorre ressonância na freq que maximiza

2222

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

5

10

15

Pico de ressonância rM x Coeficiente de

amortecimento

rM /dB

2323

Ressonância_ExemploRessonância_Exemplo

Tacoma11.gifPonte de TacomaNos Estados Unidos, em julho de 1940, a Ponte de Tacoma, no Estado de Washington, rompeu-se ao entrar em ressonância com rajadas do vento que sopravam periodicamente na região.

Um som muito intenso pode quebrar vidros, mas isso não é ressonância. Uma taça de vidro que quebra por estar tocando um violino próximo é ressonância.

2424

Nuns casos, como na vibração dos edifícios, das Nuns casos, como na vibração dos edifícios, das hélices ou dos motores, pretende-se construí-los de hélices ou dos motores, pretende-se construí-los de forma a minimizar a amplitude desses movimentos. forma a minimizar a amplitude desses movimentos. Noutros, como no caso do circuito de uma antena, Noutros, como no caso do circuito de uma antena, interessa obter grandes amplitudes de oscilação para interessa obter grandes amplitudes de oscilação para emitir ou captar ondas de uma certa freqüência.emitir ou captar ondas de uma certa freqüência.

tacnarr.mpeg

a radiação eletromagnética do "microondas" tem uma freqüênciaque é a freqüência própria da água.

http://www.feiradeciencias.com.br/sala10/10_T03.asp

2525

SintonizarSintonizar uma emissora significa fazer seu uma emissora significa fazer seu receptor de rádio ou TV entrar receptor de rádio ou TV entrar em em ressonânciaressonância com a onda da emissora. com a onda da emissora. Girando, ou apertando, o botão você modifica, Girando, ou apertando, o botão você modifica, de algum modo, a freqüência natural de de algum modo, a freqüência natural de vibração do circuito eletrônico de seu receptor. vibração do circuito eletrônico de seu receptor. Na ressonância, o receptor "capta" energia da Na ressonância, o receptor "capta" energia da onda de rádio ou TV com eficiência máxima e o onda de rádio ou TV com eficiência máxima e o sinalsinal da emissora é reproduzido pelo receptor. da emissora é reproduzido pelo receptor. As ondas das outras emissoras, com As ondas das outras emissoras, com freqüências diferentes, não estão em freqüências diferentes, não estão em ressonância com o receptor e passam batidas, ressonância com o receptor e passam batidas, sem interagir com ele. sem interagir com ele.

Ressonância_ExemploRessonância_Exemplo

2626

ressonância magnéticaressonância magnética : os núcleos do : os núcleos do átomos de átomos de hidrogêniohidrogênio presentes no corpo presentes no corpo humano que estão sendo alinhados por um humano que estão sendo alinhados por um forte campo magnétido e localizados por uma forte campo magnétido e localizados por uma antena de rádio devidamente sintonizada na antena de rádio devidamente sintonizada na frequência de oscilação destes.frequência de oscilação destes.

2727

Sistemas de fase mínima e de fase não mínima

11 1

1)(

TjTj

jG

1

12 0,

11)( TT

TjTjjG

j¦Ø

¦Ò

T1

1

1T

1

1T

j¦Ø

¦Ò

T1

2828

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg)

Mag

nitu

de (d

B)

-20

-15

-10

-5

0

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Fase não mínima

Sistema de fase mínima

ganho

111

TjTj

111

TjTj

e

2929

Atraso de transporte ou tempo morto

)()(1)( trttc sesRsCsG )()()( jejG )(

1sincos)( jjG

Ângulo de fase

(deg)3.57)()( rade jw

0dB

3030

10-1

100

101

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

图 5-20 传递延迟的相角特性曲线

3131

Example of a Bode Plot of Example of a Bode Plot of a Complex Transfer a Complex Transfer

FunctionFunction

221

222222

22

12

tan

2112

23601

1112

)(

p

p

pp

pr

pp

p

rs

Ic

pp

sp

p

KA

ssK

Ae

sK

sseK

sG

3232

Example ContinuedExample Continued

Ip

p

Ipp

cpr

IIcr

Ic

KKA

KAs

K

1tan1

2tan

2360

1121

:processoverallFor

1tan1111

122

1

222222

122

3333

n

mni i

mj jsT

nn

nn

mm

mmsT

abK

ps

zseK

asasabsbsbepF

d

d

;)(

)(

......)(

1

1

01

1

01

1

Frequency response chart from the system transfer function:

3434

0.1q 10|q||q|

180°

90°

0°

q<0

20

10

0

20log|G(j)|

20dB/dec

argG(j)|

0.1n nn

180°

0°

-180°

argG(j)|

20log(q) 20log(n2)

a>0

||5125ωω 21 aan

|)a|a/(n 5125ωω 22

20log|G(j)|

0.1q 10|q||q| 0.1n nn

40dB/dec

q>0a<0

±45°/dec

40

20

0

3535

e-Td s = e-jTd s

Re

Im

-d

36360.1 0.1 1 -90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

00.1/Td = -5.7deg

1/Td = -57deg

/(2Td) = -90deg

0.1/Td = -18deg

G = 0dB

Td

e-Td s

3737

Padé:

!2384038448821

!2384038448821

!1

2

!1

25432

5432

0

0

2

2

nssssssnssssss

is

is

e

ee

n

nn

n

i

ii

i

s

s

s

0.5 1 1.5 20-1

-0.5

0

0.5

1Step Response of 1'st order Pade

Time (Td)

0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1

1.5Step Response of 2'nd order Pade

Time (Td)

3838

0.01 0.1 1 10-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

020log|G|=0dB

n=1

n=2

n

de

g

Td

3939

Example of a Pulse TestExample of a Pulse Test

ys

c

Time

4040

Developing a Process Developing a Process Transfer Function from a Transfer Function from a

Pulse TestPulse Test

)()(tan)(

)()()(

)()()()()()()(

)()()()()()()(

sin)()(cos)()(

sin)()(cos)()(

1

22

22

22

00

00

RI

IRA

DCCBDAI

DCDBCAR

dtttcDdtttcC

dtttyBdtttyA

r

ss

4141

Limitations of Transfer Limitations of Transfer Functions Developed from Functions Developed from

Pulse TestsPulse Tests They require an open loop time They require an open loop time

constant to complete.constant to complete. Disturbances can corrupt the Disturbances can corrupt the

results.results. Bode plots developed from pulse Bode plots developed from pulse

tests tend to be noisy near the tests tend to be noisy near the crossover frequency which affects crossover frequency which affects GM and PM calculations.GM and PM calculations.

4242

OverviewOverview Understanding how the frequency of Understanding how the frequency of

inputs affects control performance inputs affects control performance and control loop stability is and control loop stability is important.important.

The analytical aspects of frequency The analytical aspects of frequency response analysis are rarely used response analysis are rarely used industrially.industrially.

4343

Did you try the last two problems Did you try the last two problems in the notes?in the notes?

Can you guess the transfer function for this Bode plot?

)12.0(10)( 2

sssssG

~40dB / decade dropresonant peak

phase advance ~ 90phase lag at resonant peak ~ 180

4444

Did you try the last two problems Did you try the last two problems in the notes?in the notes?

Can you guess the transfer function for this Bode plot?

ses

sG 5

11)(

/180/10110 sradsT don the basis of

-3dB drop~20dB / decade drop