Análise de domínio de validade e sensitividade de modelos

ANALISE DE DOMINIO DE VALIDADE E SENSITIVIDADE DE MODELOS

MECANICISTAS DE ESCOAMENTO EM GOLFADAS

Gabriel Farah Noroes Goncalves

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso de

Engenharia Mecanica da Escola Politecnica, da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Engenheiro.

Orientador: Atila Pantaleao Silva Freire

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2015

Farah Noroes Goncalves, Gabriel

Analise de domınio de validade e sensitividade de modelos

mecanicistas de escoamento em golfadas/Gabriel Farah

Noroes Goncalves. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola

Politecnica, 2015.

XII, 36 p.: il.; 29, 7cm.


Projeto de Graduacao – UFRJ/Escola Politecnica/Curso

de Engenharia Mecanica, 2015.

Referencias Bibliograficas: p. 34 – 36.

1. escoamento em golfadas. 2. modelo de celula unitaria.

3. domınio fısico. 4. sensibilidade. I. Pantaleao Silva

Freire, Atila. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

Escola Politecnica, Curso de Engenharia Mecanica. III.

Tıtulo.

iii

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico.

ANALISE DE DOMINIO DE VALIDADE E SENSITIVIDADE DE MODELOS

MECANICISTAS DE ESCOAMENTO EM GOLFADAS


Fevereiro/2015


Curso: Engenharia Mecanica

Nesse trabalho sao avaliados dois modelos mecanicistas de escoamentos em

golfadas. Os modelos de DUKLER e HUBBARD (1975) e COOK e BEHNIA (2000b)

tem seus resultados comparados com os dados experimentais de UJANG et al. (2006).

Tambem sao analisados o domınio fısico-matematico e sensitividade de parametros

do modelo de celula unitaria.

iv

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Engineer.

ANALYSIS OF FEASIBLE DOMAIN AND SENSITIVITY OF MECHANISTIC

MODELS FOR SLUG FLOW


February/2015

Advisor: Atila Pantaleao Silva Freire

Department: Mechanical Engineering

In this work two mechanistic models of slug flow are evaluated. The models of

DUKLER e HUBBARD (1975) and COOK e BEHNIA (2000b) have their results com-

pared to the experimental data ofUJANG et al. (2006). The physical-mathematical

domain and parameter sensitivity of the unit cell model are also analysed.

v

Sumario

Lista de Figuras viii

Lista de Tabelas x

1 Introducao 1

1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Revisao bibliografica 3

2.1 Conceitos de escoamento multifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Padroes de escoamento bifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Mapas de padroes de escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Modelos de celula unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Modelos de slug tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Modelos de slug capturing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7 Distribuicoes de comprimento de pistao e intervalo de chegada . . . . 8

2.8 Modelos para frequencia de golfadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Modelagem teorica 11

3.1 Modelo de escoamento em golfadas de Dukler e Hubbard . . . . . . . 11

3.2 Modelo de comprimento de pistao de Cook e Behnia . . . . . . . . . . 14

3.2.1 Formulacao da perda de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Resultados e discussoes 17

4.1 Domınio fısico do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Comparacao dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Modelo evolutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3.1 Evolucao dos parametros estatısticos . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3.2 Analise das distribuicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4 Modelo de celula unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4.1 Analise das distribuicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Ajustes de distribuicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

vi

4.6 Sensitividade das distribuicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Consideracoes finais 32

5.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Referencias Bibliograficas 34

vii

Lista de Figuras

2.1 Padrao de escoamento de bolhas dispersas. . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Padrao de escoamento estratificado liso. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Padrao de escoamento estratificado ondulado. . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Padrao de escoamento pistonado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Padrao de escoamento de golfadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.6 Padrao de escoamento anular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.7 Comparacao de mapas de padroes de escoamento horizontal para ar e

agua, com D=0.05m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1 Esquema da celula unitaria e perfil de pressao. Retirado de DUKLER

e HUBBARD (1975). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Definicao do angulo θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Modelo cinematico para o avanco dos pistoes. Retirado de BARNEA

e TAITEL (1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1 Comparacao do domınio fısico do modelo com mapa de padroes de

escoamento para a correlacao de Heywood e Richardson. . . . . . . . 18


escoamento para a correlacao de Manolis et al. . . . . . . . . . . . . . 18


escoamento para a correlacao de Zabaras. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 Regiao de invalidade do modelo para a correlacao de Zabaras, de

acordo com as categorias citadas. +: Nao e possıvel achar raiz da

equacao 3.13. ◦: ls ≤ 0. �: lm > ls. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.5 Comportamento da funcao F(θfe) nos casos onde ha raiz (a) ou nao

(b, c, d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.6 Evolucao dos parametros estatısticos ao longo da tubulacao. ◦: expe-

rimental. +: numerico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

viii

4.7 Resultados de ls/D e T do modelo de COOK e BEHNIA (2000b).

A linha tracejada representa um parametro de entrada baseado nos

dados experimentais e a linha contınua, o resultado experimental de

referencia. Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m . . . . . . . . . . . 23

4.8 Resultados de ∆P e ∆P/lu do modelo de COOK e BEHNIA (2000b).

Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.9 Resultados de ls/D e T do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975).

A linha tracejada representa um parametro de entrada baseado nos

dados experimentais e a linha contınua, o resultado experimental de

referencia. Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m . . . . . . . . . . . 27

4.10 Resultados de ∆P e ∆P/lu do modelo de DUKLER e HUBBARD

(1975). Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m . . . . . . . . . . . . . 28

4.11 Coeficiente de variacao da perda de carga em funcao do coeficiente de

variacao da frequencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.12 Coeficiente de variacao do comprimento de pistao em funcao do

coeficiente de variacao da frequencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

ix

Lista de Tabelas

2.1 Distribuicoes utilizadas para comprimento de pistao. . . . . . . . . . 9

4.1 Caracterısticas estatısticas das distribuicoes de propriedades para o

modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=0m. . . . . . . . . . . 24


modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=30.1m. . . . . . . . . . 25


modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=0m. . . . . . . . . 26


modelo de DUKLER e HUBBARD (1975),para x=30.1m. . . . . . . . 26

4.5 Valores do parametro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distri-

buicoes do modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=0m. . . . . 29


buicoes do modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=30.1m. . . 29


buicoes do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=0m. . . 29


buicoes do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=30.1m. 30

x

Nomenclatura

∆P Perda de carga

A Area transversal

CDH Razao entre vazao de lıquido do filme para o pistao e vazao no pistao

D Diametro

F Posicao da frente do pistao

f Fator de atrito

Fr Numero de Froude do pistao

g Aceleracao da gravidadea

h Altura do filme

l Comprimento

R Fracao de lıquido na secao

Re Numero de Reynolds

T Intervalo de tempo entre pistoes

V Velocidade

Vd Velocidade de drift

VS Velocidade superficial

Vt Velocidade de translacao

W Vazao massica

x Vazao de lıquido do filme para o pistao

Y Posicao da cauda do pistao

xi

Letras gregas

α Fracao volumetrica

β Inclinacao da tubulacao

µ Viscosidade dinamica

νs Frequencia de passagem de pistoes

ρ Massa especıfica

θ Angulo entre o centro da tubulacao e a interface

Subscritos

a Aceleracao

B Bolha

f Filme

fe Final do filme

G Gas

L Lıquido

m Mistura

s Pistao

u Celula unitaria

xii

Capıtulo 1

Introducao

O escoamento em golfadas esta presente em diversas situacoes de interesse pratico,

como na producao e transporte de hidrocarbonetos, na producao de vapor e agua em

plantas geotermicas, nos processos de ebulicao e condensacao em usinas termeletricas,

resfriamento emergencial de reatores nucleares e transferencia de calor e massa em

reatores quımicos (FABRE e LINE, 1992). Ele e caracterizado pela sua natureza

intermitente e pseudo-aleatoria, o que dificulta sua modelagem.

A determinacao precisa de caracterısticas como perda de carga, fracao de vazio,

frequencia e comprimento de pistoes e muito importante no projeto de especificacao

de bombas, tubulacoes, separadores e medidores. A perda de carga no escoamento

multifasico intermitente pode ser muitas vezes superior a do monofasico e as flutuacoes

do campo de pressao podem gerar vibracao e dano a equipamentos.

Os modelos fısicos disponıveis na literatura se baseiam em uma serie de suposicoes

e correlacoes para as quais os intervalos de validade nem sempre sao bem definidos.

Fora da regiao de validade, as equacoes podem se comportar de maneira inesperada,

apresentando resultados multiplos ou nao-existentes ou fora dos domınios matematico

e fısico supostos pelo modelo.

Esse trabalho sera dividido em duas partes: em um primeiro momento, sera

avaliado o domınio fısico-matematico de um modelo classico de escoamento em

golfadas. Serao avaliados e comparados com dados experimentais um modelo de

celula unitaria e um modelo evolutivo, adaptado para fornecer resultados de pressao.

1.1 Objetivo

Como resultado final desse trabalho, pretende-se fornecer um simulador completo

de escoamento em golfadas, combinando um modelo evolutivo para geracao de

distribuicoes de frequencia e comprimento de pistoes e um modelo mecanicista para

calculo da perda de carga.

1

1.2 Motivacao

Os escoamentos multifasicos, ainda que sejam objeto de estudo da comunidade

cientıfica ha muitos anos, ainda apresentam diversos problemas complexos em aberto.

E possıvel que nunca se alcance uma resposta definitiva, uma teoria geral capaz

de descrever completamente todos os fenomenos. A despeito disso, os problemas

de engenharia precisam ser resolvidos da melhor maneira possıvel. A existencia de

ferramentas capazes de gerar bons resultados de forma robusta e rapida e essencial

para a realizacao de projetos eficientes e seguros.

2

Capıtulo 2

Revisao bibliografica

2.1 Conceitos de escoamento multifasico

Fracao volumetrica

A fracao volumetrica de uma fase I pode ser definida por:

αI = limδV→V 0

δVIδV

(2.1)

onde δVI e o volume ocupado pela fase no volume total δV . O volume V 0 e o

volume limite para obter um valor representativo do ponto.

No caso do escoamento bifasico gas-lıquido, obtemos por definicao a seguinte

identidade:

αG + αL = 1 (2.2)

Para escoamento em tubulacao, pode-se definir uma fracao volumetrica media de

lıquido na secao transversal:

R =ALA

(2.3)

onde AL e a area transversal ocupada pela fase lıquida.

Velocidade superficial

A velocidade superficial de uma fase I e a velocidade media que a fase teria caso

ocupasse toda a secao transversal da tubulacao.

VIS =WI

ρIA(2.4)

3

Velocidade de mistura

A velocidade de mistura e a velocidade media de toda a mistura multifasica.

Vm = VGS + VLS =1

A

(WL

ρL+WG

ρG

)(2.5)

2.2 Padroes de escoamento bifasico

Nao existe teoria ou correlacao unica capaz de prever com precisao adequada as

propriedades - perda de carga, fracao de vazio - de qualquer escoamento bifasico.

A configuracao geometrica das fases na tubulacao sofre mudancas significativas de

acordo com vazao massica e propriedades fısicas das fases e diametro e inclinacao da

tubulacao. E necessario modelar cada regime de forma especıfica, levando em conta

os fenomenos relevantes em cada caso.

As classificacoes de padrao de escoamento variam muito de autor para autor.

De forma geral, para escoamento horizontal, os principais regimes identificados na

literatura sao:

Bolhas dispersas A fase lıquida ocupa toda a tubulacao, e pequenas bolhas de gas

de tamanho variado se encontram dispersas em toda a secao transversal (figura

2.1).

Figura 2.1: Padrao de escoamento de bolhas dispersas.

Estratificado liso A fase lıquida ocupa a parte inferior da tubulacao e a fase gasosa

a superior. A interface se mantem lisa (figura 2.2).

Figura 2.2: Padrao de escoamento estratificado liso.

Estratificado ondulado Semelhante ao padrao estratificado liso, porem a interface

apresenta perturbacoes. Tambem ocorre maior entranhamento de gas na

interface (figura 2.3).

4

Figura 2.3: Padrao de escoamento estratificado ondulado.

Pistonado Caracterizado pela alternancia entre pistoes de lıquido nao aerados e

bolhas longas ocupando a parte superior da tubulacao (figura 2.4).

Figura 2.4: Padrao de escoamento pistonado.

Golfadas Semelhante ao padrao pistonado, apresenta bolhas dispersas no pistao,

especialmente na regiao proxima a cauda na bolha longa (figura 2.5).

Figura 2.5: Padrao de escoamento de golfadas.

Anular A fase gasosa ocupa a regiao central da tubulacao, enquanto o lıquido forma

um filme fino junto a parede. O nucleo de gas pode conter gotıculas dispersas.

Ocorre para altas vazoes da fase gasosa (figura 2.6).

Figura 2.6: Padrao de escoamento anular.

2.3 Mapas de padroes de escoamento

As transicoes entre padroes normalmente sao descritas por mapas de padroes de

escoamento. Estes podem ser construıdos puramente atraves de correlacoes com

5

dados experimentais ou podem utilizar modelos mecanicos para a formacao das

estruturas caracterısticas a partir de instabilidades.

Os parametros escolhidos para os eixos do mapa variam de autor para autor.

Alem disso, algumas formulacoes incluem correcoes para efeitos de diametro ou

propriedades dos fluidos.

O primeiro mapa de padroes para escoamento horizontal foi proposto por BAKER

(1954). Ele utilizava dois parametros para correcao das propriedades dos fluidos.

O mapa de padroes de escoamento gas-lıquido horizontal mais aceito na literatura

e o de MANDHANE et al. (1974). Ele foi desenvolvido a partir de um banco de

dados com 5935 pontos experimentais, sendo 1178 para sistema ar-agua. Como

ordenadas, sao utilizadas as velocidades superficiais de cada fase. As fronteiras sao

corrigidas pelas propriedades fısicas dos fluidos atraves de dois parametros empıricos.

TAITEL e DUKLER (1976) propuseram um modelo teorico para criacao de

mapas de padroes para escoamentos horizontais ou quase horizontais. Eles utilizaram

a teoria de estabilidade de Kelvin-Helmholtz para analizar a evolucao das ondas

geradas na interface.

SPEDDING e NGUYEN (1980) utilizaram dados de escoamento ar-agua para

desenvolver mapas de padroes para diversas inclinacoes. Eles escolheram como

parametros a razao entre vazoes volumetricas do lıquido e do gas e o numero de

Froude.

Figura 2.7: Comparacao de mapas de padroes de escoamento horizontal para ar eagua, com D=0.05m.

6

E importante destacar que as fronteiras delimitadas pelos mapas sao difusas,

e nao linhas bem definidas. Existe uma faixa de transicao, na qual o escoamento

apresenta caracterısticas nao bem definidas.

2.4 Modelos de celula unitaria

Nos modelos de celula unitaria, considera-se que o escoamento e composto de celulas

identicas, compostas por pistao e bolha, que se repetem de maneira periodica.

Escolhe-se um sistema de referencia que acompanha o movimento das celulas, o que

permite uma modelagem de estado permanente.

O conceito de celula unitaria foi idealizado pela primeira vez por WALLIS (1968).

DUKLER e HUBBARD (1975) desenvolveram um modelo de escoamento em

golfadas que permite calcular diversas propriedades das celulas unitarias. A perda

de carga e dividida em um termo de atrito na regiao do pistao lıquido e um termo

de mistura ligado a aceleracao do lıquido no filme para o pistao. A perda na propria

regiao da bolha e desprezada.

NICHOLSON et al. (1978) fizeram modificacoes no modelo, adicionando cor-

relacoes empıricas para a fracao volumetrica de lıquido e comprimento de pistao.

TAITEL e BARNEA (1990) propuseram um modelo baseado no balanco de forcas

global na celula unitaria, dividindo a perda de carga em um termo de atrito e um

termo gravitacional. Foram comparadas diversas possıveis simplificacoes para a

perda na regiao do filme.

O modelo de ORELL (2005) e baseado em um dos submodelos apresentados por

esses autores. Alem disso, o autor acrescenta um termo de perda de carga devido

ao aumento da viscosidade do pistao devido as bolhas, conforme COOK e BEHNIA

(2000a).

2.5 Modelos de slug tracking

Nos modelos de slug tracking, equacoes de balanco de massa e quantidade de mo-

vimento sao formuladas para a frente e a cauda do pistao. Com isso, e possıvel

acompanhar o deslocamento e evolucao de cada celula ao longo de seu percurso,

de forma lagrangeana. Equacoes empıricas sao usadas para obter fechamento do

modelo.

O simulador comercial OLGA utiliza esse metodo para calculo do escoamento

(BENDIKSEN e MAINES, 1991).

7

2.6 Modelos de slug capturing

Nesse tipo de modelo, os escoamentos em golfadas, estratificado e transicional sao

modelados com o mesmo conjunto de equacoes e leis de fechamento. Desse modo,

se torna dispensavel o uso de mapas de padroes de escoamento. Os unicos dados

empıricos necessarios sao as relacoes para forcas cisalhantes entre cada fluido e a

parede, e na interface. A altura de lıquido pode atingir o diametro completo da

tubulacao, formando um pistao naturalmente a partir da solucao das equacoes.

ISSA e KEMPF (2003) utilizou essa formulacao com sucesso para predicao

da evolucao das instabilidades no escoamento estratificado e caracterısticas do

escoamento pistonado.

NIECKELE et al. (2013) compararam resultados de perda de carga e fracao de

vazio com dados experimentais, obtendo boa concordancia. Alem disso, o modelo

pode prever a forma das distribuicoes de comprimento de bolha e pistao.

2.7 Distribuicoes de comprimento de pistao e in-

tervalo de chegada

Dados experimentais indicam que o comprimento medio de pistao e pouco sensıvel as

velocidades superficiais de lıquido e gas (TAITEL e BARNEA, 1990). No escoamento

horizontal o comprimento medio de pistao e de 12-40D (FABRE e LINE, 1992).

NICHOLSON et al. (1978) sugere um valor de 30D. No escoamento vertical ele varia

de 8 a 25D.

A distribuicao de comprimentos de pistao e assimetrica, apresentando uma cauda

longa. Na literatura, normalmente e considerada log-normal (ALSAFRAN et al.,

2005; HOUT et al., 2001; NYDAL et al., 1992). No entanto, alguns autores tambem

consideram a distribuicao gama ou gaussiana inversa.

A distribuicao de intervalo de tempo entre celulas tem forma semelhante a de

comprimento, podendo ser descrita pelas mesmas distribuicoes.

Considerando que pistoes nao sejam correlacionados, o numero de celulas por

unidade de tempo pode ser modelado como uma variavel aleatoria de um processo

de Poisson (AL-SAFRAN, 2012). Dessa forma, o intervalo de tempo entre celulas

seguiria uma distribuicao exponencial. UJANG et al. (2006) verificou que esse

comportamento realmente pode ser observado proximo a entrada da tubulacao, mas

nao uma vez que o escoamento se encontre desenvolvido.

8

Tabela 2.1: Distribuicoes utilizadas para comprimento de pistao.

Referencias

Log-normal BRILL et al. (1981); HOUT et al. (2003); NYDAL et al. (1992)Gama NIECKELE et al. (2013)Gaussiana inv. ALSAFRAN et al. (2005); DHULESIA et al. (1991)

2.8 Modelos para frequencia de golfadas

A previsao correta da frequencia de passagem de golfadas e extremamente importante

no projeto de tubulacoes e equipamentos para escoamento multifasico. Esse parametro

tem grande influencia no fenomeno de corrosao, na integridade estrutural da instalacao

e em flutuacoes de pressao (AL-SAFRAN, 2009). Alem disso, frequentemente e

utilizado como dado de entrada em modelos mecanicistas.

Os valores previstos pelas correlacoes disponıveis na literatura apresentam grande

dispersao entre si e entre dados experimentais, quando diferentes daqueles usados

para o proprio ajuste. AL-SAFRAN (2009) testou varias correlacoes classicas,

bem como sua propria, contra uma base de dados independente, encontrando erros

absolutos medios de 31 a 190%. RODRIGUES e MORALES (2007), em analise

similar, observaram erros de 26.62 a 270.32%

Gregory e Scott (1969)

GREGORY e SCOTT (1969) realizaram experimentos com tubulacao de 19mm de

diametro interno. Os fluidos utilizados foram dioxido de carbono e agua. Observou-se

que a frequencia poderia ser correlacionada com o numero de Froude baseado na

velocidade superficial do lıquido.

νt = 0.0226

(VSLgD

)1.2

(2.6)

Taitel e Dukler (1977)

TAITEL e DUKLER (1977) desenvolveram um modelo teorico para predicao da

frequencia de golfadas com base no mecanismo hidrodinamico de formacao e cresci-

mento de ondas. Eles consideram que o intervalo de tempo entre golfadas, o inverso

da frequencia, e o tempo necessario para que a altura de lıquido alcance o nıvel de

equilıbrio a partir do nıvel mais baixo.

Heywood e Richardson (1979)

HEYWOOD e RICHARDSON (1979) desenvolveram uma correlacao baseada nos

9

resultados experimentais para escoamento de ar e agua, em tubulacao de diametro

42mm.

νt = 0.0364VSLVm

(2.02

D+V 2m

gD

)1.06

(2.7)

Manolis et al (1995)

MANOLIS et al. (1995) modificaram a correlacao de Gregory e Scott com base em

dados de escoamento em golfadas em alta pressao. Eles observaram diferencas entre

os valores previstos e calculados para baixas frequencias. A equacao resultante, com

Vm,min = 5m/s, foi:

νt = 0.0037VLgD

(V 2m,min + V 2

m

Vm

)1.8

(2.8)

Zabaras (2000)

ZABARAS (2000) fez uma modificacao na equacao de Gregory e Scott para levar

em conta o angulo de inclinacao.

νt = 0.0226

(VSLgD

)1.2 [19.75

Vm+ Vm

]1.2

[0.836 + 2.75 sin0.25(β)] (2.9)

10

Capıtulo 3

Modelagem teorica

3.1 Modelo de escoamento em golfadas de Dukler

e Hubbard

O modelo de DUKLER e HUBBARD (1975) permite a previsao da perda de carga no

escoamento em golfadas. Ele exige como parametros as vazoes massicas e propriedades

fısicas - massa especıfica e viscosidade - das duas fases, o diametro da tubulacao, a

frequencia de passagem de celulas e a fracao volumetrica de lıquido no pistao.

O modelo da celula unitaria e demonstrado na figura 3.1. A celula e dividida em

duas regioes principais: a regiao de filme e a regiao de pistao. O filme apresenta

espessura variavel, diminuindo suavemente conforme se afasta do fim do pistao. No

final do filme, ha uma transicao rapida para a fracao volumetrica do pistao. Essa

mudanca de fracao volumetrica e, consequentemente, da velocidade da fase lıquida

gera uma zona de mistura logo apos a bolha, contribuindo para aumentar a perda de

carga.

Figura 3.1: Esquema da celula unitaria e perfil de pressao. Retirado de DUKLER eHUBBARD (1975).

11

A velocidade do pistao e considerada igual a velocidade media da mistura.

Vs = Vm =1

A

(WL

ρL+WG

ρG

)(3.1)

Dessa maneira, pode-se calcular o numero de Reynolds do pistao, considerando

as propriedades fısicas como medias ponderadas das propriedades dos dois fluidos.

Res = DVsρLRs + ρG(1−Rs)

µLRs + µG(1−Rs)(3.2)

E possıvel definir um parametro CDH como sendo a razao entre a vazao de lıquido

do filme para o pistao e a vazao no pistao. A partir de uma integracao do perfil de

velocidade para escoamento turbulento em tubulacao, pode-se obter uma relacao

para CDH em funcao de Res. Para 30.000 < Res < 400.000, pode ser utilizada a

seguinte relacao aproximada:

CDH = 0.021 lnRes + 0.022 (3.3)

A velocidade de translacao da frente do pistao e composta da velocidade media

do pistao mais um termo de velocidade aparente devido ao lıquido adicionado pelo

filme.

Vt = (1 + CDH)Vs (3.4)

A hidrodinamica do filme permite escrever o seguinte sistema de equacoes:∫ Rs

Rfe

W (Rf )dRf =lfD

(3.5)

Vtνs− lf =

Vsνs(Rs −Rfe)

[WL

ρLAVs−Rfe + CDH(Rs −Rfe)

](3.6)

onde o autor define (apos correcao de erro tipografico registrada por NICHOLSON

et al. (1978)):

W (Rf ) =

C2DHR

2s

R2f

+ 1Fr

(π2Rf sin θ

2+sin2 θ

2cos θ

2

1−cos θ− 1

2cos θ

2

)ffB2 θ

π+

RfFr

sin β(3.7)

B = 1− CDH(Rs −Rf

Rf

)(3.8)

Rf =θ − sin θ

2π(3.9)

12

Fr =V 2s

gD(3.10)

Ref =2πBRf

θRes (3.11)

ff = 0.0791Re−0.25f (3.12)

A definicao do angulo θ e mostrada na figura 3.2.

Figura 3.2: Definicao do angulo θ.

Os autores sugerem que se utilize como estimativa inicial Rfe = Rs, e que se

subtraia um ∆R ate que a equacao 3.7 seja satisfeita.

As equacoes podem ser combinadas em uma equacao unica para θfe.

F(θfe) =

∫ θS

θfe

W ?(θ)dθ − G(θfe) = 0 (3.13)

W ?(θ) =

C2DHR

2s

( θ−sin θ2π )

2 + 1Fr

(π2 ( θ−sin θ

2π ) sin θ2

+sin2 θ2

cos θ2

1−cos θ− 1

2cos θ

2

)0.0791

(B(θ−sin θ)

θRes

)−0.25

B2 θπ

+( θ−sin θ

2π )Fr

sin β(3.14)

G(θfe) =Vs

νsD[Rs −

(θfe−sin θfe

2π

)]{

WL

ρLAVs−(θfe − sin θfe

2π

)+ CDH

[Rs −

(θfe − sin θfe

2π

)]}− VtνsD

(3.15)

Conhecido Rfe, pode-se determinar Vfe por:

Vfe = Vs

[1− CDH

(Rs −Rfe

Rfe

)](3.16)

A taxa de transferencia de lıquido do filme para o pistao e dada por:

x = CDHρLARfe(Vt − Vfe) (3.17)

13

ls =Vtνs− lf (3.18)

lm =0.3(Vs − Vfe)2

2g(3.19)

Por fim, a perda de carga total e composta dos termos de aceleracao do lıquido

do filme para o pistao e de atrito com a parede na regiao do pistao.

∆Ps = ∆Pa + ∆Pf (3.20)

∆Pa =x

A(Vs − Vfe) (3.21)

∆Pf =fs[ρLRs + ρG(1−Rs)]V

2s (ls − lm)

2D(3.22)

3.2 Modelo de comprimento de pistao de Cook e

Behnia

O modelo de COOK e BEHNIA (2000b) permite acompanhar a evolucao da distri-

buicao de comprimentos de pistao lıquido ao longo da tubulacao. Ele e baseado no

trabalho de BARNEA e TAITEL (1993).

Figura 3.3: Modelo cinematico para o avanco dos pistoes. Retirado de BARNEA eTAITEL (1993).

A velocidade de translacao do nariz da bolha e correlacionada com o comprimento

do pistao a sua frente por:

VBVt

= 1.0 + 0.56 exp

(−0.46

lsD

)(3.23)

14

A velocidade de translacao de uma bolha atras de um pistao longo, Vt, e dada

pela expressao sugerida por NICKLIN et al. (1962):

Vt = CVm + Vd (3.24)

Onde a velocidade de drift Vd, no escoamento horizontal, e dada por:

Vd = 0.54√gD (3.25)

O comprimento aproximado do filme pode ser determinado por um balanco de

massa para uma celula unitaria completamente desenvolvida, supondo Rs ≈ 1.

lf =VSGls

(1−Rf )Vt − VSG(3.26)

Para bolhas longas, observa-se que:

Vlfe ≈ 0 (3.27)

De modo que, atraves de um balanco de massa da fase lıquida:

Rfe ≈(Vt − Vm)

Vt(3.28)

Os dados experimentais sugerem que:

Rf ≈ 1.4Rfe (3.29)

A cada passo de tempo, as novas posicoes da frente e da traseira de cada pistao

sao calculados com as equacoes 3.30 e 3.31. Quando as posicoes dos dois extremos

sao as mesmas, aquele pistao e eliminado e a sua respectiva bolha se junta a anterior.

Y t+∆ti = Y t

i + VBi∆t (3.30)

F t+∆ti = F t

i + VFi∆t e VFi = VB(i−1). (3.31)

De acordo com os autores, a distribuicao de comprimentos de pistao apos uma

distancia grande o suficiente e insensıvel a distribuicao na entrada.

3.2.1 Formulacao da perda de carga

TAITEL e BARNEA (1990) demonstraram por um balanco de quantidade de movi-

mento que a perda de carga na celula unitaria e dada por:

15

∆Pu = ρsg sin βls +τsπD

A+ ∆Pmix (3.32)

Onde o primeiro termo se refere ao componente gravitacional, o segundo, ao

atrito no pistao lıquido, e o terceiro, a perda na esteira da bolha.

A perda na mistura, por sua vez, tem dois componentes, um devido a mudanca

de velocidade e um devido a variacao de altura de lıquido entre o inıcio e o fim do

filme.

∆Pmix = ρlRs(Vt − Vs)(Vfi − Vfe) + ρLg cos β

∫ hfe

hfi

Rf dhf (3.33)

Supondo escoamento horizontal e Rs ≈ 1, o termo gravitacional desaparece, e a

equacao se reduz a:

∆Pu =τsπD

A+ ρl(Vt − Vs)(Vs − Vfe) + ρLg

∫ hfe

D

Rf dhf (3.34)

Onde Vfe, conforme comentado anteriormente, e aproximadamente zero para

bolhas longas.

A altura de lıquido na secao pode ser relacionada com a fracao volumetrica de

lıquido por geometria.

R = 1− 1

π

arccos

(2h

D− 1

)+

(2h

D− 1

)√1−

(2h

D− 1

)2 (3.35)

Com as equacoes 3.28 e 3.35 e possıvel determinar hfe e calcular o termo de perda

por mistura.

16

Capıtulo 4

Resultados e discussoes

4.1 Domınio fısico do modelo

O modelo mecanicista de golfadas foi avaliado para uma matriz de 20x16 valores

de velocidade superficial de gas e lıquido, respectivamente. Os fluidos utilizados

foram ar e agua. Considerou-se o diametro da tubulacao igual a 19mm e a fracao

volumetrica de lıquido no pistao igual a 0.99.

Foram incorporados ao algoritmo testes para operacoes ou resultados matema-

ticamente invalidos em varios pontos. Alem disso, foram adicionados testes de

validade das grandezas fısicas: todos os comprimentos, velocidades e perdas de carga

encontrados devem ser positivos e as fracoes volumetricas devem ficar entre 0 e 1.

As figura 4.1, 4.2, 4.3 mostram o domınio de validade fısico-matematico do modelo

para tres formulacoes de frequencia.

A zona de resultados validos utilizando as tres correlacoes e muito semelhante.

Elas conseguem cobrir a regiao de bolhas alongadas e a maior parte da regiao

de golfadas. Tambem observa-se que o modelo gera resultados fısicos, ainda que

nao representativos da realidade, em casos de escoamento em bolhas dispersas ou

estratificado. No entanto, o modelo falha para velocidades de gas superiores a

aproximadamente 10m/s, independente da correlacao utilizada.

Observou-se que os casos de resultados invalidos se dividiam em tres categorias:

1. Impossibilidade de localizar raiz da equacao 3.13

2. Comprimento de pistao nulo ou negativo: ls ≤ 0

3. Comprimento da zona de mistura maior do que o comprimento total do pistao:

lm > ls

A figura 4.4 mostra a razao da invalidade dos resultados em cada posicao, quando

utilizada a correlacao de Zabaras.

17

Figura 4.1: Comparacao do domınio fısico do modelo com mapa de padroes deescoamento para a correlacao de Heywood e Richardson.

Figura 4.2: Comparacao do domınio fısico do modelo com mapa de padroes deescoamento para a correlacao de Manolis et al.

Pode-se observar tres regioes onde o modelo nao pode ser realizado matemati-

camente: a primeira para baixas vazoes de lıquido e gas, a segunda para baixas

vazoes de gas e altas de lıquido e a terceira para vazoes de lıquido baixas e de

gas intermediarias. A figura 4.5 mostra como a funcao da equacao 3.13 pode ter

18

Figura 4.3: Comparacao do domınio fısico do modelo com mapa de padroes deescoamento para a correlacao de Zabaras.

Figura 4.4: Regiao de invalidade do modelo para a correlacao de Zabaras, de acordocom as categorias citadas. +: Nao e possıvel achar raiz da equacao 3.13. ◦: ls ≤ 0.�: lm > ls.

comportamento diferente do esperado nessas regioes.

Conforme a velocidade de gas aumenta, o comprimento de pistao diminui, criando

primeiro uma estreita faixa onde ele fica menor que o comprimento de mistura e em

19

seguida uma regiao onde a solucao do sistema fornece um numero negativo. Essa

situacao cobre a maior parte da regiao de escoamento anular e os casos de maior

velocidade dos escoamentos em bolhas dispersas e golfadas.

(a) VSL = 1m/s, VSG = 1m/s (b) VSL = 0.01m/s, VSG = 0.05m/s

(c) VSL = 10m/s, VSG = 0.01m/s (d) VSL = 0.001m/s, VSG = 10m/s

Figura 4.5: Comportamento da funcao F(θfe) nos casos onde ha raiz (a) ou nao (b,c, d).

4.2 Comparacao dos modelos

Para verificacao dos modelos de escoamento em golfadas, foram utilizados os dados

experimentais de UJANG et al. (2006), para escoamento de ar e agua em tubulacao

horizontal de 0.078m de diametro interno. A condicao experimental escolhida foi de

VSL = 0.61 m/s e VSG = 2.55 m/s.

20

4.3 Modelo evolutivo

Um ajuste da distribuicao log-normal de comprimentos de pistao observada perto

da entrada da tubulacao foi utilizado como condicao de entrada para o modelo de

desenvolvimento. Testes preliminares mostraram que a distribuicao de intervalos

de tempo dos dois primeiros pontos experimentais geraria valores nao fısicos para o

modelo de Dukler e Hubbard. Desse modo, utilizou-se como condicao de entrada a

distribuicao em x = 5.01m. Ainda assim se observou que alguns valores extremos de

frequencia gerariam resultados nao fısicos; nesse caso, os valores foram eliminados,

sem prejuızo significativo ao resultado final.

Foram inseridas 10000 celulas na tubulacao. Para a discretizacao temporal,

utilizou-se um passo de tempo de 0.005s. Testes de convergencia (nao mostrados

aqui) demonstraram que o aumento do numero de celulas ou diminuicao do passo de

tempo produziriam variacoes inferiores a 1% no comprimento medio de pistao.

4.3.1 Evolucao dos parametros estatısticos

A media e variancia experimentais foram determinadas a partir dos parametros

da distribuicao log-normal. A media e variancia podem ser relacionadas com os

parametros µLN e σLN da distribuicao log-normal por:

µ = exp

(µLN +

σ2LN

2

)(4.1)

σ =√

exp (2µLN + σ2LN)[exp(σ2

LN)− 1] (4.2)

Tambem foram obtidas as medias e desvios padroes das distribuicoes geradas pelo

modelo evolutivo. Podemos definir a media, desvio padrao e coeficiente de variacao

de uma amostra por:

x =1

N

N∑i=1

xi (4.3)

sN =

√√√√ 1

N

N∑i=1

(xi − x)2 (4.4)

cv =sNx

(4.5)

A figura 4.6 mostra a comparacao entre o tamanho medio e o desvio padrao do

ajuste dos dados experimentais com o modelo teorico.

No modelo teorico, o desvio padrao da distribuicao de comprimentos aumenta

21

ate aproximadamente 4.2D, conforme sao formados pistoes maiores, e depois comeca

a diminuir, quando os pistoes grandes ja estao bastante estaveis e os pequenos vao

sendo eliminados. A media aumenta de forma assintotica para um valor proximo a

15D.

Os resultados experimentais indicam que a media e o desvio padrao seguem

aumentando a uma taxa quase constante mesmo proximo do final da tubulacao,

atingindo cerca de 2 e 3 vezes, respectivamente, os valores calculados.

A media do intervalo de tempo apresentou boa concordancia qualitativa entre

o modelo e o experimento. O desvio padrao foi descrito corretamente no final da

tubulacao, mas nao no inıcio.

Figura 4.6: Evolucao dos parametros estatısticos ao longo da tubulacao. ◦: experi-mental. +: numerico.

4.3.2 Analise das distribuicoes

As figuras 4.7 e 4.8 apresentam os resultados do modelo. Quando aplicavel, tambem

sao mostrados os resultados experimentais. As tabelas 4.1 e 4.2 contem as medias,

22

desvios padroes e coeficientes de variacao das distribuicoes em cada posicao.

Figura 4.7: Resultados de ls/D e T do modelo de COOK e BEHNIA (2000b). A linhatracejada representa um parametro de entrada baseado nos dados experimentais e alinha contınua, o resultado experimental de referencia. Esquerda: x = 0m. Direita:x = 30.1m

O modelo consegue prever razoavelmente bem as distribuicoes de frequencia

nos dois pontos. No entanto, o comprimento de pistao na posicao final e muito

subestimado, como comentado anteriormente.

As distribuicoes de perda de carga apresentam grande dispersao e valores muito

altos quando comparados com o outro modelo. Provavelmente, a suposicao de

velocidade nula na saıda do filme e muito conservadora.

23

Figura 4.8: Resultados de ∆P e ∆P/lu do modelo de COOK e BEHNIA (2000b).Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m

Tabela 4.1: Caracterısticas estatısticas das distribuicoes de propriedades para omodelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=0m.

Media Desvio padrao Coef. de variacao

1/T [s−1] 0.58 0.15 27%ls/D 7.58 2.69 35%∆P [Pa] 4024.36 189.54 4.7%∆P/lu [Pa/m] 636.20 197.76 31%

24

Tabela 4.2: Caracterısticas estatısticas das distribuicoes de propriedades para omodelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=30.1m.


1/T [s−1] 0.26 0.13 50%ls/D 14.16 3.77 27%∆P [Pa] 4488.86 265.98 5.9%∆P/lu [Pa/m] 323.07 132.79 41%

25

4.4 Modelo de celula unitaria

O modelo de celula unitaria foi avaliado na primeira e ultima posicoes. Foram

utilizados 10000 valores de frequencia, obtidos a partir das distribuicoes experimentais

de intervalos de tempo de passagem no inıcio e no final. Foi considerada a seguinte

relacao para obter os valores de frequencia:

νT =1

T(4.6)

4.4.1 Analise das distribuicoes

As simulacoes que geraram valores nao-fısicos foram descartadas. Os histogramas

resultantes das simulacoes e os ajustes experimentais sao comparados na figura 4.9.

O resultado de perda de carga e apresentado na figura 4.10, e as tabelas 4.3 e 4.4

mostram um resumo das estatısticas.

Tabela 4.3: Caracterısticas estatısticas das distribuicoes de propriedades para omodelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=0m.


ls/D 13.68 15.81 115%∆P [Pa] 2633.09 1326.86 50%∆P/lu [Pa/m] 263.58 22.26 8%

Tabela 4.4: Caracterısticas estatısticas das distribuicoes de propriedades para omodelo de DUKLER e HUBBARD (1975),para x=30.1m.


ls/D 27.50 19.83 72%∆P [Pa] 3830.72 1584.93 41%∆P/lu [Pa/m] 242.75 18.42 7%

O modelo nao preve bem o comportamento da distribuicao de comprimentos na

entrada, superestimando o numero de pistoes pequenos e o tamanho da cauda da

distribuicao. Na posicao a jusante, a distribuicao de comprimentos e prevista bem.

A distribuicao de perda por comprimento e muito estreita, e varia pouco de um

caso para o outro. A media no primeiro ponto e cerca de 10% maior que no segundo.

26

Figura 4.9: Resultados de ls/D e T do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975). Alinha tracejada representa um parametro de entrada baseado nos dados experimentaise a linha contınua, o resultado experimental de referencia. Esquerda: x = 0m. Direita:x = 30.1m

27

Figura 4.10: Resultados de ∆P e ∆P/lu do modelo de DUKLER e HUBBARD(1975). Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m

28

4.5 Ajustes de distribuicoes

O teste de Kolmogorov-Smirnov pode ser utilizado para comparar uma amostra com

uma distribuicao de referencia. A estatıstica de teste e dada por supx|Fn(x)−F0(x)|,onde Fn(x) e a distribuicao cumulativa de probabilidade das amostras e F0(x) a da

referencia avaliada. A estatıstica e comparada com um parametro padrao Dφ dado

por C(φ)/√n. Se a estatıstica de teste e superior a Dφ, a hipotese de que a amostra

tenha vindo da distribuicao escolhida e rejeitada. Quanto maior o valor de φ, mais

significativa e a diferenca entre as distribuicoes.

Um subconjunto de 500 celulas foi utilizado na avaliacao dos ajustes de distri-

buicoes. Considerando φ = 5%, temos que Dφ = 1.36/√

500 = 0.061. As tabelas

4.5,4.6,4.7 e 4.8 apresentam os valores do parametro de Kolmogoroc-Smirnov para o

melhor ajuste de cada variavel com cada distribuicao. Em negrito estao destacados

os valores que passam no teste.

Tabela 4.5: Valores do parametro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuicoesdo modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=0m.

Log-normal Normal Gamma Gaussiana Inversaν 0.032 0.097 0.056 0.031∆P 0.070 0.080 0.074 0.071∆P/lu 0.026 0.077 0.041 0.026

Tabela 4.6: Valores do parametro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuicoesdo modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=30.1m.

Log-normal Normal Gamma Gaussiana Inversals/D 0.128 0.118 0.118 0.148ν 0.059 0.151 0.090 0.064∆P 0.112 0.118 0.117 0.112∆P/lu 0.075 0.153 0.102 0.080

Tabela 4.7: Valores do parametro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuicoesdo modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=0m.

Log-normal Normal Gamma Gaussiana Inversals/D 0.098 0.207 0.035 0.307∆P 0.075 0.168 0.152 0.080∆P/lu 0.054 0.042 0.049 0.054

No modelo de COOK e BEHNIA (2000b), a distribuicao de comprimentos no

formato de log-normal gera distribuicoes de frequencia e perda de carga tambem

semelhantes a log-normal. Na posicao a jusante, a distribuicao de comprimentos ja

29

Tabela 4.8: Valores do parametro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuicoesdo modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=30.1m.

Log-normal Normal Gamma Gaussiana Inversals/D 0.083 0.095 0.034 0.171∆P 0.031 0.081 0.037 0.030∆P/lu 0.048 0.060 0.050 0.048

nao possui mais a forma original, mas a distribuicao de frequencias ainda passa no

teste.

Nos resultados do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), percebe-se que a

distribuicao log-normal usada para o parametro de entrada gera distribuicoes com o

mesmo formato para a perda de carga. Alem disso, os comprimentos de pistao sao

bem descritos pela distribuicao Gamma, com a estatıstica de teste muito inferior as

outras.

4.6 Sensitividade das distribuicoes

O modelo de celula unitaria foi avaliado em relacao a propagacao da dispersao da

distribuicao de entrada. Foram realizadas 1000 simulacoes para quatro distribuicoes

de intervalo de tempo com a mesma media e desvios padroes diferentes.

A figura 4.11 apresenta a relacao entre os coeficientes de variacao do parametro

de entrada, a frequencia, e o resultado de perda de carga. Tambem e exibido o

resultado de uma regressao linear.

Observa-se claramente uma relacao linear entre as grandezas analisadas. Alem

disso, a dispersao da distribuicao de saıda e muito menor que a de entrada. Para um

desvio padrao de 60% da media na frequencia, o efeito e um desvio padrao de 11%

da media na queda de pressao por comprimento.

Na figura 4.12 e exibida a variacao da dispersao do comprimento de pistao. O

comportamento ainda e descrito razoavelmente bem por uma reta. No entanto, a

inclinacao nesse caso e bastante superior, de modo que a distribuicao de saıda pode

ter o coeficiente amplificado por mais de duas vezes. O maior desvio padrao da

distribuicao de comprimentos pode chegar a 130% da media.

30

Figura 4.11: Coeficiente de variacao da perda de carga em funcao do coeficiente devariacao da frequencia.

Figura 4.12: Coeficiente de variacao do comprimento de pistao em funcao do coefici-ente de variacao da frequencia.

31

Capıtulo 5

Consideracoes finais

5.1 Conclusoes

Foram analisados dois modelos para escoamento em golfadas, um baseado no con-

ceito de celula unitaria e um modelo evolutivo para previsao de distribuicoes de

comprimento de pistao.

Foram apresentados mapas de domınio de validade para o modelo de celula

unitaria, onde verificou-se que o modelo pode fornecer resultados validos, ainda que

equivocados, em uma grande regiao fora das condicoes de ocorrencia de golfadas.

Alem disso, o modelo nao conseguiu cobrir casos de golfadas com maior velocidade

superficial de gas.

Ambos os modelos foram comparados aos dados experimentais, apresentando

uma concordancia razoavel. O modelo evolutivo, no entanto, falhou em prever o

comprimento dos pistoes no final da tubulacao, subestimando significativamente a

taxa de crescimento. Apesar disso, a evolucao da frequencia de passagem de pistoes

foi bem determinada.

O teste de Kolmogorov-Smirnov foi aplicado as distribuicoes estatısticas resultan-

tes dos modelos e observou-se que para uma distribuicao do parametro de entrada

log-normal a distribuicao de perda de carga tambem se assemelha a uma log-normal.

No modelo de evolucao, a distribuicao log-normal de comprimentos no inıcio da

tubulacao nao resultou em distribuicao semelhante no final.

Por fim, uma analise de sensitividade do modelo de celula unitaria mostrou que a

dispersao dos resultados de perda de carga e pouco sensıvel a dispersao da frequencia,

e possui uma relacao aproximadamente linear para os valores testados.

Os modelos utilizados podem ser facilmente combinados em um simulador, a

fim de gerar resultados completos de caracterısticas do escoamento. O modelo

evolutivo pode prever as distribuicoes de frequencia ao longo da tubulacao, e o

resultado pode ser passado para o modelo de celula unitaria para calculo da perda de

32

carga. O simulador se encontra disponıvel na pagina do Laboratorio de Escoamentos

Multifasicos: www.escoamentosmultifasicos.coppe.ufrj.br/simuladores.

5.2 Trabalhos futuros

Todos os modelos de golfadas existentes atualmente sao fortemente dependentes

das equacoes de fechamento, obtidas de dados experimentais. Para um trabalho

futuro, devem ser realizados experimentos para levantamento de dados completos e

confiaveis de distribuicoes estatısticas para aprimoramento das correlacoes presentes

nos modelos.

33

www.escoamentosmultifasicos.coppe.ufrj.br/simuladores

Referencias Bibliograficas

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Análise de domínio de validade e sensitividade de modelos