Embed Size (px)
Citation preview
ISBN: 978-85-93416-00-2
ANÁLISE DE ERROS NO ENSINO DE MATEMÁTICA: UMA
PROPOSTA DE ENSINO E PESQUISA A PARTIR DAS
EXPERÊNCIAS DE ESTÁGIO
Educação
D;N;de Jesus1
M;G;N;Júnior2
Instituto Federal da Bahia Campus Eunápolis (IFBA)
RESUMO
Nesta pesquisa buscou-se analisar os erros cometidos por alunos de 9º ano na resolução
de duas questões sobre Potenciação com o objetivo de verificar as deficiências dos
estudantes neste tema. A metodologia usada se baseia na proposta de Bardin e os
resultados mostraram que os erros cometidos estão relacionados às operações
fundamentais, definição e propriedades da potenciação.
Palavras-chave: Extensão. Educação. Educação Matemática.
1. Introdução
Desde o início do século XX, a análise de erros em Educação Matemática tem se
estabelecido como em uma tendência/abordagem de ensino e de pesquisa, que
metodologicamente se baseia na análise dos conteúdos (Bardin, 1979). Porém, a prática
de investigação dos erros cometidos tem se concebido muitas vezes de maneira
tradicional, apenas no sentido de detectar e propor estratégias para eliminar os erros.
1Professor efetivo do Instituto Federal da Bahia campus Eunápolis, curso de Licenciatura em Matemática. 2 Acadêmico do Instituto Federal de Educação da Bahia, Campus de Eunápolis, curso de Licenciatura em
Matemática.
ISBN: 978-85-93416-00-2
Conforme salienta Cury (1995), a maioria dos professores ainda tendem a assumir uma
postura absolutista da Matemática, entendendo-a como o domínio de conhecimentos
incontestáveis e absolutos.
Nessa perspectiva, Borasi (1988, apud Cury, 1995), com base nas ideias apresentadas
por Kuhn, Lakatos, Piaget e Vergnaud, apresenta uma visão construtivista3 da
Matemática e destaca outras possibilidades para o trabalho como a análise de erros.
Segundo Borasi, ao investigar os erros cometidos pelos alunos, os professores têm como
objetivo um dos propósitos: extinguir ou explorar as potencialidades da natureza do
erro. Em qualquer um dos casos, o foco estará no conteúdo-técnico da Matemática,
natureza da Matemática, ou processo de aprendizagem da Matemática.
A análise da produção escrita de estudantes em qualquer nível é uma
possibilidade de trabalho que pode ser considerada sob o ponto de vista da investigação
ou do ensino (Cury et al.). Desta forma, a análise de erros no ensino de Matemática tem
se desenvolvido como uma importante abordagem metodológica de ensino e de
pesquisa em Educação Matemática (Vale et al).
Porém, em âmbitos gerais, os erros cometidos pelos alunos são vistos
frequentemente como uma falha, e algo que caracteriza um fracasso no processo
educativo. Este pensamento originou-se a partir de abordagens como o Behaviorismo4 e
tem se difundido ao longo dos anos, o que corrobora para que a maioria dos professores
de Matemática desempenhe suas atividades no sentido de eliminar os erros encontrados
sem uma reflexão sobre a origem dos mesmos (Cury, 1995).
Nesse sentido, é necessário salientar a importância das atividades desenvolvidas
em torno da formação de professores de Matemática, para que se estruturem numa
perspectiva que vise ressignificar este cenário, apontando outras possibilidades que
busquem, não somente eliminar os erros, mas utilizá-los como um recurso fundamental
a ser explorado durante a construção dos conhecimentos.
3 O Construtivismo é uma perspectiva que apresenta uma visão bem mais aberta que o Behaviorismo,
aceitando os erros cometidos pelos alunos, e até estimulando suas ocorrências. 4 O Behaviorismo – do termo inglês behaviour ou do americano behavior, significando conduta,
comportamento – é um conceito generalizado que engloba as mais paradoxais teorias sobre o
comportamento, dentro da Psicologia.
ISBN: 978-85-93416-00-2
Apresentamos neste trabalho uma parte da pesquisa sobre análise de erros no
ensino e aprendizagem de Matemática desenvolvida no ano de 2015/2016, durante a
realização do Estágio Curricular Supervisionado IV, componente curricular do 8º
semestre do curso de Licenciatura em Matemática, ofertado pelo Instituto Federal de
Educação Ciência, e Tecnologia da Bahia. Como atividade prática da disciplina, foi
ofertado um curso de extensão para (nove) professores que lecionam no Ensino Básico
da prefeitura municipal de Eunápolis-BA, sobre a utilização da análise de erros, com o
objetivo de fornecer a esses docentes formação continuada, apresentando, através de
pesquisa, uma metodologia de ensino de Matemática.
Antes da realização do curso, os alunos da disciplina de estágio realizaram
estudos teóricos fundamentados pelas produções de Cury, com base nas ideias de Borasi
(1988), Bardin (1979), Shulman (1986), entre outros, para compreender os diversos
enfoques das pesquisas em análise de erros e, posteriormente, durante a realização do
curso, essa mesma proposta de trabalho foi apresentada para os professores cursistas do
Ensino Básico para serem discutidas. Em seguida, foi produzido um instrumento de
coleta de dados por cada participante do curso e um aluno estagiário, dentro da proposta
teórica apresentada.
Metodologicamente, a proposta da pesquisa se estrutura na análise qualitativa
dos erros seguindo, em linhas gerais, os passos da análise de conteúdo, apresentadas por
Cury (2011) e estruturado conforme as três etapas indicadas por Bardin (1979): pré-
análise, exploração do material e tratamento dos resultados.
O trabalho de campo foi desenvolvido num período de duas semanas e tinha
como objetivo analisar o conhecimento dos alunos sobre potenciação e posteriormente
desenvolver uma proposta de intervenção, tendo como instrumento balizador os dados
coletados, de forma a aplicar as ideias apresentadas por Cury(2011). Os principais
resultados foram obtidos através da análise das soluções apresentadas por estudantes do
9º ano do Ensino Fundamental e, mostrou que os principais erros cometidos por eles
estão relacionados às operações fundamentais da Matemática e ao não domínio da
definição ou das propriedades de potenciação.
ISBN: 978-85-93416-00-2
2. Material e métodos
A escola pesquisada localiza-se em uma região periférica da cidade de
Eunápolis-BA e oferece seriação do Ensino Infantil I até o Ensino Fundamental II. A
turma de estágio selecionada foi do 9º ano do Ensino Fundamental, composta por 35
alunos, com idades entre 13 e 17 anos. No período de observação foi possível identificar
algumas dificuldades relacionadas ao conteúdo de potenciação, o que foi importante
para elaboração do instrumento de pesquisa.
O instrumento de coleta5 foi constituído por quatro questões que tinha como
propósito geral viabilizar a análise dos erros cometidos pelos alunos do ensino
fundamental referente ao conteúdo de potenciação. O quadro 1 apresenta o objetivo
específico de cada questão.
Quadro 1: Objetivos específicos das questões do instrumento de pesquisa
Desta forma, esperava-se que pudessem ser identificados os erros mais comuns
apresentados pelos alunos ao operar com expressões que compreendem potência e
verificar a grande dificuldade que geralmente são detectadas nestes discentes na
resolução de situações e problemas relacionados aos conceitos abordados.
5Disponibilizado em anexo.
Questão Objetivo específico
1
Verificar se os alunos sabem transcrever da linguagem natural para linguagem
de potência, se sabem identificar os elementos e calcular corretamente uma
potência.
2 Identificar se os alunos sabem fazer operações que envolvem expoentes e
aplicar corretamente as propriedades de potência.
3 Verificar se os estudantes sabem aplicar os conceitos de potência em situações
práticas.
4 Averiguar se os estudantes sabem resolver situações problemas envolvendo
potências e se conseguem generalizar conceitos a partir de casos particulares.
ISBN: 978-85-93416-00-2
Cury (2007) apresenta exemplos de classificação e análise de erros em uma
pesquisa realizada com calouros de cursos superiores, no qual dentre as questões
contidas no teste de pesquisa são escolhidas duas para serem analisadas: as que
apresentaram o maior número de acertos e as que compreenderam o maior número de
erros. A partir da proposta de Cury selecionamos as questões com maior e menor
quantidade de acertos para serem exploradas nesta pesquisa, que respectivamente foram
as seguintes:
Questão 2 - Simplifique as expressões abaixo:
a) 40 – [52 − ( (−2)³ − 5 )]
b) (−2
3)
2
+ (23 − 32)2
Questão 3 – Leia o enunciado a seguir e assinale a resposta correta justificando
sua resposta através dos cálculos.
Um homem tinha sete casas, cada casa tinha sete gatos, para cada gato havia sete
ratos, para cada rato havia sete espigas de milho, e cada espiga tinha sete grãos de
trigo. Quantas coisas ele possuía, Casas, gatos, ratos espigas e grãos de milho?
a) 35
b) 49
c) 2401
d) 16807
e) 70000
Para analisar os dados obtidos a partir das respostas dos alunos, foi utilizada a
metodologia utilizada por Cury (2011) com base no método de análise de erros
empregada por Bardin (1979, apud Cury, 2007), realizada em três etapas básicas: pré-
análise, exploração do material e tratamento dos resultados.
Na pré-analise, as soluções obtidas foram classificadas em corretas, incorretas e
em branco. Os testes respondidos foram identificados e digitalizados, para em seguida
serem extraídas as soluções válidas de cada questão (que não estavam em branco). Este
conjunto de questões formou o corpus, sobre o qual foi realizada a análise das respostas.
ISBN: 978-85-93416-00-2
Na segunda fase, o material foi explorado como maior ênfase. Nesta etapa as
respostas incorretas foram classificadas em categorias, com a finalidade de agrupar as
respostas semelhantes.
Já no tratamento dos resultados, foram elaborados os textos que sintetizaram os
dados característicos de cada classe, elucidando de modo geral os erros cometidos que
foram comuns com auxílio de exemplos extraídos do próprio corpus e também foram
determinados o número e a porcentagem de erros de cada categoria.
As categorias de análise da Questão 2 foram construídas fundamentado nos
estudos sobre analise de erros em questões de potenciação realizados por Paias (2009).
Tal pesquisa foi realizada com 30 alunos do 9º ano do Ensino Fundamental e consistiu
na aplicação de um teste diagnóstico contendo nove questões cujo objetivo principal foi
verificar se o aluno consegue resolver atividades sobre potenciação que necessitam de
conhecimento da definição, propriedades, representações e convenções deste objeto
matemático.
Assim, os erros encontrados na Questão 2 foram classificados nas seguintes
categorias:
a) Erros relacionados à da regra de sinais;
b) Erros relacionados à definição ou a propriedades de potenciação;
c) Erros relacionados às quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e
divisão);
d) Erros relacionados a operações envolvendo frações;
e) Erros relacionados à associação incorreta dos parênteses;
f) Erros em que o aluno apenas copiou o enunciado.
g) O aluno apenas copiou o enunciado.
As respostas incorretas originadas da Questão 3 foram classificadas nas
seguintes categorias:
a) O aluno compreende o enunciado, mas erra ao realizar as operações;
b) Associou o problema a uma multiplicação de 7 por 7;
c) Marca uma das alternativas, sem efetuar os cálculos;
ISBN: 978-85-93416-00-2
d) Associou o problema a somas, e não a multiplicações sucessivas;
e) Não é possível compreender o raciocínio utilizado.
3. Resultados e discussões
Como as duas questões utilizadas nesta pesquisa estão relacionadas a conceitos
de potenciação, que geralmente são abordados nas séries iniciais do Ensino fundamental
II, esperava-se que a maioria dos alunos resolvesse corretamente as perguntas, dado que
são pré-estudantes do Ensino Médio. Entretanto, os resultados quantitativos revelaram
que esses estudantes apresentam dificuldades em solucionar exercícios envolvendo
operações fundamentais de potências bem como expressões numéricas, conforme pode
ser verificado no Quadro 2 e na Figura 1.
Quadro 2: Análise quantitativa dos dados. Fonte Autor
Questão Nº de respostas
corretas %
Nº de respostas
incorretas %
Nº de respostas
em branco %
2 - a) 3 10,4 % 19 65,5 % 7 24,1 %
2 - b) 0 0 % 18 62 % 11 38 %
3 11 38 % 16 55,1 % 2 6,9 %
Figura 1: Dados quantitativos. Fonte: Autor.
ISBN: 978-85-93416-00-2
A Figura 2 a seguir, traz três soluções corretas da pergunta em que houve o maior
número de acertos (Questão 3), feita pelos alunos A3, A4, A24 que obtiveram como
resposta a alternativa b.
A seguir, são apresentados exemplos e descrições das categorias de erros da
Questão 3. Na categorização desta questão, a resposta de cada aluno foi identificada
numa única categoria.
a) O aluno compreende o enunciado, mas erra ao realizar as operações;
Compõe esta categoria (5 alunos) as respostas dos alunos que entenderam que
deveriam calcular 75 ou multiplicar 7 cinco vezes por ele mesmo, mas demonstram que
não compreendem o conceito de multiplicação. A Figura 3 traz como exemplos as
respostas dos alunos A10 e A11.
Figura 3: Resolução dos alunos A10 e A11.
Figura 2: Exemplo de resoluções corretas da Questão 3, feita pelos alunos A3, A4 e A24.
ISBN: 978-85-93416-00-2
b) Associou o problema a uma multiplicação de 𝟕 𝐱 𝟕;
Compreende nesta categoria (3 alunos) as respostas dos alunos que entenderam
que deveriam realizar uma multiplicação de 7 𝑥 7. A Figura 4mostra a resposta do
aluno A5.
c) Marca uma das alternativas, sem efetuar os cálculos;
Dos 6 alunos alocados nesta categoria, 4 assinalaram a resposta correta e 2
assinalaram uma das alternativas incorretas.
d) Associou o problema a somas, e não a multiplicações sucessivas;
Compreende nesta categoria (1 aluno) a resposta do aluno A1, Ele entendeu que
deve operar o sete por ele mesmo cinco vezes, entretanto efetua a adição e não a
multiplicação destes fatores.
e) Não é possível compreender o raciocínio utilizado.
Figura 4: Resolução do aluno A5
Figura 5: Resolução do aluno A1.
ISBN: 978-85-93416-00-2
Compõe nesta categoria (1 aluno) a solução do aluno
apresentados por ele foram de difícil identificação, não sendo possível compreender o
raciocínio utilizado. A Figura 6 mostra a resolução desenvolvida por este aluno.
A seguir, são exibidos os dados da pergunta em que houve o menor número de
acertos (Questão 2).
A Figura 7 mostra as três soluções corretas do item a da Questão 2, feita pelos
alunos A1, A25 e A26 , respectivamente.
No item b da Questão dois, não foram obtidas nenhuma solução correta.
Apresentamos abaixo a solução desse item:
(−2
3)
2
+ (23 − 32)2 =4
9+ (8 − 9)2 =
4
9+ (−1)2 =
4
9+ 1 =
4 + 9
9=
13
9∙
Figura 6: Resolução do aluno A7.
Figura 7: Exemplo de resoluções corretas do item a) da Questão 2, feita pelos
alunos A1, A25 e A26.
ISBN: 978-85-93416-00-2
Em seguida são apresentados exemplos e descrições das categorias de erros da
Questão dois. É importante ressaltar que para os erros identificados nos itens a e b desta
questão, foram identificadas as mesmas ocorrências e, portanto, serão dispostos nas
mesmas categorias e também que uma mesma resposta apresentada por um aluno pode
ter sido identificada em mais de uma categoria.
a) Erros relacionados à da regra de sinais;
Foram dispostos nesta categoria os alunos que utilizaram a regra de sinais
equivocadamente, confundiram a regra de sinais da adição e subtração com a da
multiplicação e divisão ou em algum momento desconsidera a existência do sinal. Um
exemplo é a solução do aluno A27 mostrada na Figura 8.
b) Erros relacionados à definição ou as propriedades de potenciação;
Nesta categoria foram classificados os alunos que mostraram não dominar a
definição ou as propriedades de potência, por exemplo, o aluno A14 tentou multiplicar a
base pelo expoente e o aluno A17 aplicou a propriedade de expoente de base fracionária
de maneira equivocada. Veja a figura 9 abaixo.
Figura 8: Resolução do aluno A27
Figura 9: Resolução dos alunos A14 e A17
ISBN: 978-85-93416-00-2
c) Erros relacionados às quatro operações fundamentais (adição, subtração,
multiplicação e divisão);
Um exemplo deste tipo de erro foi cometido pelo aluno A29, conforme pode ser
verificado na Figura 10.
d) Erros relacionados a operações envolvendo frações;
Um exemplo deste tipo de erro foi cometido pelo aluno A2, conforme ilustra a
Figura 11 a seguir.
e) Erros relacionados à associação incorreta dos parênteses;
Os alunos classificados nesta categoria em algum momento esquecerem ou utilizarem
os parênteses de maneira inadequada, como foi o caso do aluno A23, mostrado na figura
12.
Figura 11: Resolução do aluno A2
Figura 10: Resolução do aluno A29
ISBN: 978-85-93416-00-2
f) Erros de difícil identificação;
Compõe nesta categoria a solução dos alunos cujos erros cometidos foram de
difícil identificação, não sendo possível compreender o raciocínio utilizado. A Figura 13
mostra a resolução desenvolvida pelos alunos A12 e A28 .
g) O aluno apenas copiou o enunciado.
A figura 14, a seguir, mostra um dos alunos que apenas copiou o enunciado,
neste caso, o aluno o aluno 𝐴13 apenas reescreveu o enunciado do item b) da Questão 2.
Figura 12: Resolução do aluno A23
Figura 13: Resolução dos alunos A12 e A28.
ISBN: 978-85-93416-00-2
Feita essa categorização, ainda na fase de tratamento dos dados, foram determinados o
número e a porcentagem de ocorrências em cada classe de erro, para ambas as questões,
conforme é mostrado através dos Quadros 3 e 4 e das Figuras 15 e 16. Questão 3:
Quadro 3: Quantidade de ocorrências e porcentagem de cada categoria da questão 3.
Fonte: Autor.
Categoria Nº de
ocorrências Porcentagem (%)
a) 5 31,3 %
b) 3 18,8 %
c) 6 37,5 %
d) 1 6,2 %
e) 1 6,2 %
Figura 14: Resolução do aluno 𝐴13.
Figura 15: Porcentagem de ocorrências de cada categoria da Questão 3. Fonte: Autor.
ISBN: 978-85-93416-00-2
Quadro 4: Quantidade de ocorrências e porcentagem de cada categoria da questão dois.
Fonte: O Autor.
Categoria Nº de ocorrências Porcentagem (%)
a) 11 37,90%
b) 18 62,10%
c) 4 13,80%
d) 6 20,70%
e) 4 13,80%
f) 4 13,80%
g) 3 10,30%
4. Considerações finais
Nesta pesquisa, procurou-se utilizar a metodologia proposta por Borasi (1988),
centrando a atenção para o processo de aprendizagem da Matemática para explorar os
erros cometidos pelos alunos, considerando o aspecto quantitativo e qualitativo para a
análise dos dados obtidos através do instrumento de coleta. Assim, as soluções
incorretas tornaram-se um importante recurso para se compreender os processos
cognitivos dos estudantes e para apresentar possível diagnóstico para suas causas.
Figura 16: Número de ocorrências de cada categoria da Questão dois. Fonte:
Autor.
ISBN: 978-85-93416-00-2
A Questões 3, apesar de apresentar a maior quantidade de acertos, evidenciou
que muitos dos alunos confundem o conceito de potenciação com o de multiplicação, o
que ocasionou a maioria dos erros identificados.
Na Questão 2, os principais erros cometidos estão relacionados as operações
fundamentais e a falta de domínio da definição ou a propriedades de potenciação.
Observou-se que ocorreu uma grande quantidade de erros relacionados a potencias de
base negativa, sendo que por vezes eles desconsideram o sinal da base. Alguns alunos
realizaram o produto da base pelo expoente, e também houve grande índice de erros
relacionados a regra de sinais.
De modo Geral, as principais causas dos erros ocorreram pela não compreensão
do próprio conceito de potenciação ou confusão quanto a seus elementos, bem como a
falta de atenção do próprio aluno que por vezes montou corretamente a estrutura, mas se
atrapalhou com tarefas mais básicas como utilizar a operação errada ou confundir sinais.
Percebemos com este trabalho desenvolvido no curso de extensão e na disciplina
de estágio supervisionado, uma mudança de “olhar” os erros dos estudantes na
disciplina de Matemática, tanto dos professores cursistas, quanto dos alunos estagiários.
Ao considerar o erro como um potencial de aprendizagem, temos a oportunidade de
entender as deficiências de conhecimento dos alunos, e a partir daí propor estratégias
para corrigi-lo, e não apenas desconsiderá-lo como se não fizesse parte do processo de
ensino e aprendizagem.
ISBN: 978-85-93416-00-2
5. Referências
CURY, H. N. Retrospectiva histórica e perspectivas atuais da análise de erros em
Educação Matemática. Revista Zetetiké, 1995.
CURY, H. N.; SILVA, P. N. Análise de erros em resolução de problemas: uma
experiência de estágio em um curso de licenciatura em matemática. R.B.E.C.T., vol 1,
núm 1, jan./abr. 2008, p.85 - 97.
CURY, H. N.Análise de conteúdo das Respostas: uma visão da metodologia empregada.
In:______. Análise de Erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos.
Belo Horizonte: Autêntica, 2007, p. 61-78.
Cury, H. N.; Ribeiro, A. J.; Müller, T. J. (2011). Explorando erros na resolução de
equações: um caminho para a formação do professor de Matemática. Revista
Iberoamericana de Educación Matemática, nº 28, Dezembro de 2011, p. 143-157.
PAIAS, A. M. Diagnóstico dos erros sobre a Operação Potenciação aplicado a alunos
dos Ensinos Fundamental e Médio. São Paulo, 2009.
VALE, Luísa; FERREIRA, Rosa Antónia; SANTOS, Leonor. O erro como ponte para a
aprendizagem das equações: o caso da maria.
ISBN: 978-85-93416-00-2
ANEXO
INSTRUMENTO DE PESQUISA
Questão 1 - Represente na forma de potência, identifique a base e o expoente e
calcule o valor de cada item abaixo:
a) O quadrado de três;
b) O cubo de dois;
c) Quatro elevados a zero;
d) Cinco elevado a um;
e) Oito elevado a menos dois;
f) Três elevado a dois quintos.
Questão 2 - Simplifique ao máximo as expressões abaixo:
a) 40 – [52 − ( (−2)³ − 5 )]
b)(−2
3)
2
+ (23 − 32)2
Questão 3 - Leia o enunciado a seguir e assinale a resposta correta justificando sua
resposta através dos cálculos.
Um homem tinha sete casas, cada casa tinha sete gatos, para cada gato havia sete
ratos, para cada rato havia sete espigas de milho, e cada espiga tinha sete grãos de
trigo. Quantas coisas ele possuía, Casas, gatos, ratos espigas e grãos de milho?
a) 35
b) 49
c) 2401
d) 16807
e) 70000
Questão 4 - Na figura abaixo, a medida do lado do primeiro e menor quadrado é
igual a 𝟐 𝒄𝒎. A medida do lado do segundo quadrado foi obtida dobrando-se a
medida do lado do primeiro quadrado. A medida do lado do terceiro quadrado foi
encontrada dobrando-se a medida do lado segundo, e assim sucessivamente.
ISBN: 978-85-93416-00-2
a) Qual a medida do lado do quarto quadrado da figura?
b) Executando o mesmo procedimento, qual será a área do quinto quadrado?
c) Qual potência determina a medida do lado do 𝑛-ésimo quadrado?
d) Qual potência determina a área do lado do 𝑛-ésimo quadrado?
