Análise de lajes em balanço de pontes rodoviárias em concreto armado com aspectos de otimização de espessuras

Marlon Cavalcanti Reis1, Luiz Carlos Mendes2

1 Universidade Federal Fluminense; Aluno de Mestrado em Engenharia Civil; / marlon_crp@hotmail.com

2Universidade Federal Fluminense; Professor Titular; Pós-Graduação em Engenharia Civil; D.Sc.; e-mail: lcarlos@predialnet.com.br

Resumo

A parte da laje em balanço do tabuleiro é sempre projetada para momentos de cargas permanentes e acidentais para os estados limites de utilização e de serviço, em que os momentos são determinados pela teoria das faixas finitas de atuação. No entanto, o projeto da laje em balanço deve ser mais cuidadoso, uma vez que também deve se considerar uma carga excepcional de veículos a ser absorvida pelo sistema de gradeamento ou dos guarda corpos existentes. Os métodos estabelecidos são desenvolvidos considerando a suposição de material de laje como homogêneo e isotrópico. Está hipótese conduz a uma superestimação dos momentos transversais que surgem nesta região do tabuleiro da ponte. Momentos transversais devidos às cargas concentradas em lajes em balanço são maiores do que os momentos correspondentes na direção longitudinal. Isto resulta em fissuras mais orientadas longitudinalmente, do que transversalmente. A fissuração do concreto tende a reduzir a rigidez de flexão no plano perpendicular à abertura de fissura. Fissuras longitudinais reduzem a rigidez transversal do tabuleiro na direção de flexão da laje em balanço, deixando a rigidez na direção longitudinal, mais ou menos inalterada. O presente trabalho pretende apresentar métodos de análise de lajes em balanço levando em conta os comprimentos finitos e infinitos de laje, bem como o grau de rigidez da laje e da viga de bordo na sua extremidade. A metodologia inclui a determinação numérica dessas rigidezes de flexão se valendo da computação algébrica simbólica, o que leva a uma análise das espessuras recomendáveis em função do comprimento do balanço. No levantamento das cargas móveis serão empregados os trens-tipos rodoviários brasileiros. Gráficos dos resultados globais serão apresentados para se ter uma análise detalhada do comportamento mecânico das lajes e uma otimização das espessuras recomendáveis.

Palavras-chave

Pontes rodoviárias, lajes em balanço, mecânica estrutural, espessuras de lajes, métodos de análise.

Introdução

Geralmente, lajes em concreto são as mais frequentemente usadas em tabuleiros de pontes em aço e em concreto. Podem ser construídas com cast-in-place ou métodos de pré-moldados, e normalmente incluem reforços com armaduras leves nas direções longitudinais e transversais. Embora não sejam comuns para pontes de aço típicas os pavimentos de concreto, pode-se utilizar o aço com pós-tensionamento, além do reforço com uma armadura leve, para proporcionar uma durabilidade adicional (CUSENS e PAMA, 1975). Lajes com pavimentos de concreto devem ser projetadas para cargas permanentes e acidentais nos estados limites de serviço e de utilização. Há normas estrangeiras que exigem que o tabuleiro também seja projetado levando em conta uma colisão de veículos com um sistema de gradeamento nas extremidades limites dos guarda-rodas. O estado limite de fadiga não precisa ser investigado para lajes de concreto usadas em sistemas de vigas múltiplas. A dois métodos convencionais são utilizados para os projetos das lajes: o método de tradicional e o empírico. O método de concepção tradicional pode normalmente ser empregado em qualquer situação, enquanto o método de concepção empírica tem limitações com base na geometria do tabuleiro e o comportamento ponte. Além disso, o projetista pode especificar o método de cálculo a ser empregado.

Figura 1 - Ponte em concreto armado pré-moldado protendido em sistema de vigas múltiplas sobre o Rio Cuiabá, na rodovia MT-246, Mato Grosso, Brasil.

Figura 2 - Sistema componente de lajes em concreto e vigas principais.

O uso do termo “obras de arte” existe desde o início da construção de estruturas destinadas à transposição de obstáculos para dar continuidade a uma via. Este termo foi muito empregado no passado, pois, naquela época, estas construções eram realizadas com base no empirismo e criatividade de seus idealizadores, o que as levava às condições de obras de arte.

A partir do século XVII a engenharia foi se modernizando e se aprimorando e o empirismo foi aos poucos sendo substituído pelos métodos científicos. No entanto, esta expressão permanece até os dias atuais, se subdividindo em “obras de arte correntes” (OAC) e “obras de arte especiais” (OAE). O primeiro termo é assim chamado quando se trata de estruturas que possuem projeto padrão tais como, pontes com vãos de até 25 metros, pontilhões com vãos de até 12 metros, drenos superficiais ou profundos, bueiros com vãos ou diâmetros de até 5 metros, passagens inferiores e superiores com vãos de até 25 metros. O segundo é formado por obras de pontes, viadutos, aquedutos e passarelas. em que exista um projeto específico e detalhado para cada caso (LEONHARDT, 1982). A nomenclatura da direção da laje em balanço pode causar alguma confusão. As lajes em balanço tem o tratamento neste trabalho de isoladas. O comprimento (l) geralmente refere-se à distância entre o bordo da laje até a extremidade do balanço, representada na Figura 3. Contudo, na nomenclatura geral de toda ponte, a direção longitudinal é a direção do fluxo do tráfico.

Figura 3 – Lajes em balanço.

Os métodos simplificados a serem apresentados neste trabalho foram desenvolvidos em uma suposição de que o material de laje, seja em concreto armado ou concreto protendido, seja homogêneo e isotrópico (BAKHT, 1985). Momentos transversais devido a cargas concentradas em lajes em balanço são maiores do que os momentos correspondentes na direção longitudinal. Isto resulta em fissuras mais orientadas longitudinalmente, do que os transversais. Sabe-se que a fissuração do concreto armado tende a reduzir a rigidez flexional da laje no plano perpendicular à fissura. Fissuras longitudinais reduzem a rigidez transversal direção de flexão da laje em balanço, enquanto a rigidez na direção longitudinal, fica mais ou menos inalterada.

Os tais métodos simplificados se baseiam em análises que tratam a laje em balanço como sendo constituída por material isotrópico.

Laje em balanço infinita não enrijecida

Ao se colocar uma carga concentrada em uma laje em balanço, o seu efeito torna-se insignificante a partir de uma distância superior a “2a” na direção longitudinal da placa, sendo “a” igual à largura do balanço, como mostrados nas Figuras 4 e 5.

Figura 4 – Nomenclatura para lajes em balanço (BAKHT,1985).

Figura 5 – Vista do esquema da laje em balanço.

A parte da laje compreendida entre as porções extremas pode ser considerada e analisada com sendo parte de uma placa de comprimento infinito. As partes próximas ao bordo livre podem ser consideradas como partes de uma laje em balanço do tipo semi-infinita, ou seja, a laje possui extensão infinita em apenas uma direção (Figura 5). Os momentos transversais por unidade de comprimento Myc , devidos ao carregamento P em uma laje em balanço infinita, que varia de espessura linearmente na direção transversal, são obtidos pela expressão (1):

(1) A’ é um coeficiente que depende da carga, da localização do ponto de referência, e da relação da espessura da laje, que é a relação entre a espessura no engaste e aquela no bordo livre longitudinal. Os valores de A’ podem ser obtidos diretamente na Figura 6, onde se encontram relações de espessuras de t2/t1 iguais a 1, 2 e 3, e, estes, para valores intermediários, permitindo-se o uso da interpolação linear.

Figura 6 – Gráficos para determinação de A’ em lajes com balanço não enrijecida

(BAKHT,1985) São definidos também:

c = distância do ponto de aplicação da carga ao bordo engastado ; a = comprimento transversal da laje em balanço ; y = ponto de referência onde se deseja determinar o momento fletor Myc ; x = distância longitudinal do ponto de referência até o ponto de aplicação da carga P ; t1 = menor espessura da laje em balanço ; t2 = maior espessura da laje em balanço ;

A intensidade do momento Myc é máxima quando a carga concentrada está localizada o mais distante possível do engaste.

Laje em balanço semi-infinita e não enrijecida Este método se aplica para trechos da laje que se situam nas proximidades dos bordos transversais livres. Neste caso, são desconsiderados os trechos infinitos da laje em balanço infinita não enrijecida. O momento Myc despertado no engaste da laje em virtude da carga concentrada é definido por:

(2)

Os valores de K são definidos por:

(3) Os valores de A’ são obtidos dos gráficos da Figura 6 e os valores de B’ dos gráficos da Figura 8, para as mais variadas relações t2/t1 e y/a.

Figura 7 – Vista e esquema da laje em balanço.

São definidos na Figura 7: xa = distância do bordo transversal livre até o ponto de aplicação da carga P; x = distância do ponto de referência até o ponto de aplicação da carga P ; xb = distância do ponto de referência ao bordo transversal livre.

Figura 8 – Gráficos para determinação de B’ para lajes não enrijecidas (BAKHT,

1985).

São definidos na Figura 7: xa = distância do bordo transversal livre até o ponto de aplicação da carga P; x = distância do ponto de referência até o ponto de aplicação da carga P ; xb = distância do ponto de referência ao bordo transversal livre ;

Laje em balanço infinita de bordo enrijecido Podem haver vigas de bordos invertidas com o objetivo de enrijecer o bordo livre, e geralmente, são monolíticas com as lajes a que se ligam. Estas vigas melhoram consideravelmente a distribuição das cargas ao longo da laje. Esta viga aparente na extremidade não é considerada como viga de bordo neste método de análise, uma vez que elas não aumentam a rigidez flexional do bordo livre. O tratamento é quase similar ao das lajes não enrijecidas, porém a única diferença é o parâmetro A’ obtido dos gráficos da Figura 10, e depende da rigidez flexional da viga de bordo, da rigidez flexional da laje em balanço e as espessuras envolvidas. O valor de A’ agora também depende da razão entre a rigidez à flexão da viga de bordo para a rigidez total da laje em balanço em torno do seu próprio eixo neutro.

Figura 9 – Seção transversal da laje em balanço e a viga de bordo.

As rigidezes flexionais da laje Is e da viga Ib são definidas pelas expressões (4) e (5) respectivamente:

(4)

(5)

Is = momento de inércia da área da laje em balanço com variação de espessura em relação ao eixo médio da seção transversal; Ib = momento de inércia da área da viga de bordo em relação ao eixo médio da seção transversal; b = espessura da viga de bordo; h = altura da viga de bordo; t2 = maior espessura da laje em balanço; t1 = menor espessura da laje em balanço.

Figura 10 – Gráficos para determinação de A’ para lajes infinitas e enrijecidas

(BAKHT, 1985)

Laje em balanço semi-infinita de bordo enrijecido

A redução dos momentos provenientes das cargas concentradas ocorre devido ao fato de bordo enrijecido distribuir os efeitos da carga mais efetivamente na direção longitudinal da laje. Se a laje não for enrijecida, os momentos no bordo se tornam altamente concentrados e localizados. O projeto pode tomar um tratamento mais preciso quando se considera um comprimento “2a” da seção transversal da laje medido a partir de um bordo transversal livre como sendo um trecho semi-infinito, como mostrado na Figura 11. Quando a laje é enrijecida longitudinalmente, os efeitos locais são mais distribuídos na direção longitudinal. O método é similar à laje semi-infinita não enrijecida. A única diferença é que os coeficientes A’ e B’ vão depender das relações entre os momentos de inércia de viga e laje Ib/Is. Os valores de A’ são obtidos dos gráficos da Figura 10, e os B’ da Figura 11. As expressões empregadas para determinação do momento fletor na laje por carga concentrada são as mesmas das equações 2 e 3.

Figura 11 – Gráficos de B’ para o tratamento de lajes semi-infinita enrijecida

(BAKHT, 1985).

Os gráficos das Figuras 10 e 11 fornecem os coeficientes A’ e B’ para as mais variadas relações Ib/Is e posições de cargas. Mas, tal como no tratamento da laje não enrijecida os valores de Myc são obtidos apenas nos pontos do bordo engastado da laje em balanço.

Comportamento da laje em balanço infinita não enrijecida

A Figura 12 ilustra um gráfico que exibe o comportamento do momento fletor ao longo da ponte no sentido longitudinal, referente ao eixo x, para as três variações de espessuras analisadas, t1/t2 igual a 1, 2 e 3. O trem-tipo varia de posição e os momentos encontrados são referentes ao ponto inicial de referência.

Figura 12 – Momentos fletors (Myc) despertados no sentido longitudinal da laje com

carregamento a 1,5m do bordo engastado.

O valor do maior momento fletor se encontra no ponto de referência inicial. O trem-tipo está sendo colocado com as três cargas de eixos no sentido longitudinal, isto é, na posição x=0, x=1,5 e x=3m. Com os resultado obtidos da análise observa-se que quanto mais longe do ponto de referência inicial estiver o carregamento do eixo, o momento fletor longitudinal Myc se torna desprezível, para uma distância maior que 2a. Observa-se que na relação (t1/t2=1) um menor momento fletor é despertado na seção inicial de referência de aplicação do primeiro eixo do trem-tipo classe 45. Os momentos fletores apresentam uma menor taxa de variação para as demais relações de espessuras. Quando a distância do trem-tipo está a 2m, o momento fletor correspondente à relação (t1/t2=1) é maior que os das outras relações de espessuras.

Comportamento da laje em balanço semi-infinita e não enrijecida

Nesta análise o ponto de referência está 1,5 m da boda livre transversal, e 0,5 m do bordo longitudinal, distâncias estas empregadas nas equações (2) e (3). Foram calculados os momentos fletores para as relações de espessuras de laje t1/t2=1, t1/t2=2 e t1/t2=3, conforme indicados na Figura 13.

Figura 13 - Laje em balanço semi-infinita e não enrijecida

Para as demais análises de laje infinita de bordo enrijecido e semi-infinita de bordo enrijecido o comportamento e os resultados da análise numérica são similares, só diferindo na magnitude dos momentos fletores longitudinais e nas variações das relações entre espessuras, dessa vez levando em consideração as dimensões do bordo enrijecido. As vigas de bordo apenas contribuem para aumentar os valores em 10 a 20% dos momentos despertados no bordo engastado. Conclusões Quando se comparam lajes infinitas e semi-infinitas sem enrijecimento, observa-se que os valores dos momentos fletores despertados no bordo engastado das lajes infinitas são maiores aos das lajes semi-infinitas. A infinitude acarreta uma maior absorção dos carregamentos no bordo engastado elevando consideravelmente os valores de Myc. A pesquisa empresta valor nas investigações de outras posições de trem-tipo e outras relações de rijezas entre vigas e lajes. O aspecto amplo e diversificado pela imensa quantidade de parâmetros envolvidos emprestam uma investigação bem mais abrangente, permitindo uma análise mais detalhada e profunda para estes tipos de lajes, Referências BAKHT, B ; JAEGER, L. G. Bridge analysis simplified, New York. McGraw-Hill Book Company,

1985. CUSENS, A. R. ; PAMA, R. P. Bridge deck analysis. London. John Wiley & Sons, 1975. LEONHARDT, F. Brucken-Bridges. London. The Architetural Press, 1982. MENDES, L. C. Pontes. Niterói, Editora da Universidade Federal Fluminense, 2003. QUIROGA, A. F. S. Cálculo de Estructuras de Puentes de Hormigon, Madrid, Editorial Rueda, 1983. ROWE, R.E. Concrete bridge design. London, Science Publishers LTD, 1972.