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Análise de um Modelo de Perda para o CálculoAerodinâmico da Turbina Eólica de Eixo HorizontalNREL/NWTC com o Método da Linha Sustentadora
João Mateus Rodrigues Caldeira
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Mecânica
Orientador: Prof. José Alberto Caiado Falcão de Campos
Júri
Presidente: Prof. Viriato Sérgio de Almeida SemiãoOrientador: Prof. José Alberto Caiado Falcão de CamposVogal: Prof. Luís Manuel de Carvalho Gato
Maio de 2014
ii
Resumo
O principal objectivo deste trabalho e modelar o regime de perda aerodinamica de uma turbina eolica
com o metodo da linha sustentadora. A inclusao de um modelo de perda permite modelar a separacao
do escoamento em torno das seccoes das pas, o que e essencial para a analise da turbina numa larga
gama de valores de velocidade periferica. Os resultados obtidos sao comparados com outros metodos
de calculo e com dados experimentais.
A turbina em analise foi desenvolvida pelo NREL (National Renewable Energy Laboratory ) e foi
intensamente estudada pela comunidade cientıfica, como tal, existem resultados obtidos por varios
metodos de calculo aerodinamico. Os dados de sustentacao e resistencia do perfil das pas da turbina
sao necessarios para obter os resultados do modelo de perda. Estes tem diversas origens e a sua
incerteza afecta os resultados do metodo implementado. Neste trabalho investiga-se a utilizacao de
dois modelos de esteira: esteira alinhada com o escoamento e um modelo de esteira helicoidal de
passo constante. Os resultados obtidos sao comparados com os obtidos pelo metodo painel e pelo
metodo de quantidade de movimento e elementos de pas.
Com o trabalho desenvolvido conclui-se que a teoria da linha sustentadora modela o comportamento
de uma turbina eolica quando esta entra em perda aerodinamica. E dependente de alguns parametros,
mas apresenta uma correlacao bastante elevada com os resultados experimentais.
Palavras-chave: Teoria da Linha Sustentadora, Modelo de Perda, Turbina NREL, Turbinas
Eolicas
iii
iv
Abstract
The purpose of this work is to model the wind turbine aerodynamics stall with the lifting line theory.
The inclusion of a stall model allows to model the flow separation around the blade sections, what is
essential to the turbine analyses on a larger scale of tip speed ratio values. The obtained results are
then compared with the ones obtained with other calculation methods, as well as experimental data.
The turbine in study was developed by the NREL (National Renewable Energy Laboratory) and has
been extensively studied by the scientific community, resulting in the existence of a vast amount of
results obtained by different aerodynamic methods. To obtain the stall model it is necessary to use the
blade airfoil lift and drag data, which have different origins and uncertainties that can affect the accuracy
of the results. In the present work, two wake models are studied: an aligned wake with the flow and
a helicoidal wake model with a constant pitch. The obtained results are then compared with the ones
obtained from the panel method and to the blade element momentum.
With the developed work, was concluded that the lifting line theory can model the turbine behaviour
in stall. It is dependent of some parameters, but presents a high correlation with the experimental data
obtained.
Keywords: Lifting Line Theory, Stall Model, NREL Turbine, Wind Turbine
v
vi
Indice
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
1 Introducao 1
1.1 A Energia do Vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Turbinas Eolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Ambito do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Objectivo e Organizacao da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Modelo Matematico 5
2.1 Formulacao da Teoria da Linha Sustentadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Modelo de Vortices para a Forca de Sustentacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Modelo de Fontes para a Forca de Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Efeito do Numero de Pas e Componentes da Velocidade . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Forcas Aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Teoria dos Elementos de Pa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Solucao do Problema de Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Modelo de malha de vortices e discretizacao da linha de fontes . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Modelo Computacional 13
4 Resultados 17
4.1 Analise de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.1 Numero de Iteracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.2 Numero de Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Influencia das Caracterısticas Aerodinamicas do Perfil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Efeito do Modelo de Esteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Resultados para diferentes valores de Velocidade Periferica . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Comparacao entre diferentes metodos de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Conclusao 41
vii
Referencias 44
A Implementacao de um Metodo Explıcito 45
B Dados de Sustentacao e Resistencia 46
B.1 Teoria Invıscida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
B.2 Dados DELFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
B.3 Dados NREL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
C Modelos de Esteiras 51
viii
Lista de Tabelas
4.1 Velocidade do Vento e Coeficientes de Velocidade Periferica estudados . . . . . . . . . . 18
4.2 Coeficiente de Forca Axial e Coeficiente de Potencia para diferentes valores de M . . . . 19
4.3 Coeficiente de Forca Axial e Coeficiente de Potencia para diferentes Tabelas CLCD . . . 25
4.4 Coeficiente de Forca Axial e Coeficiente de Potencia para TSR = 5, 42 . . . . . . . . . . 29
4.5 Coeficiente de Forca Axial e Coeficiente de Potencia para TSR = 1, 52 . . . . . . . . . . 29
ix
x
Lista de Figuras
1.1 Exemplos de Turbinas Eolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Sistemas de Eixos Coordenados da Turbina [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Linhas Sustentadoras e respectivas Folha de Vortices da Esteira [2] . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Triangulo de Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1 Algoritmo da Rotina Implementada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1 Evolucao do Erro Medio para os Diferentes Valores de TSR . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Variacao do Numero de Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Angulo de Ataque - Resultados para diferentes dados de CLCD . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Coeficiente de Sustentacao - Resultados para diferentes dados de CLCD . . . . . . . . . 21
4.5 Coeficiente de Resistencia - Resultados para diferentes dados de CLCD . . . . . . . . . 22
4.6 Numero de Reynolds - Resultados para diferentes dados de CLCD . . . . . . . . . . . . . 22
4.7 Velocidade Axial dos Vortices - Resultados para diferentes dados de CLCD . . . . . . . . 23
4.8 Velocidade Tangencial dos Vortices - Resultados para diferentes dados de CLCD . . . . 23
4.9 Velocidade Axial das Fontes - Resultados para diferentes dados de CLCD . . . . . . . . . 24
4.10 Velocidade Tangencial das Fontes - Resultados para diferentes dados de CLCD . . . . . 24
4.11 Angulo de Ataque - Analise do Modelo de Esteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.12 Coeficiente de Sustentacao - Analise do Modelo de Esteira . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.13 Coeficiente de Resistencia - Analise do Modelo de Esteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.14 Numero de Reynolds - Analise do Modelo de Esteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.15 Velocidade Axial dos Vortices - Analise do Modelo de Esteira . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.16 Velocidade Tangencial dos Vortices - Analise do Modelo de Esteira . . . . . . . . . . . . . 28
4.17 Velocidade Axial das Fontes - Analise do Modelo de Esteira . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.18 Velocidade Tangencial das Fontes - Analise do Modelo de Esteira . . . . . . . . . . . . . 28
4.19 Angulo de Ataque - Resultados para todos os valores de TSR . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.20 Coeficiente de Sustentacao - Resultados para todos os valores de TSR . . . . . . . . . . 30
4.21 Coeficiente de Resistencia - Resultados para todos os valores de TSR . . . . . . . . . . . 31
4.22 Numero de Reynolds - Resultados para todos os valores de TSR . . . . . . . . . . . . . . 31
4.23 Velocidade Axial dos Vortices - Resultados para todos os valores de TSR . . . . . . . . . 32
4.24 Velocidade Tangencial dos Vortices - Resultados para todos os valores de TSR . . . . . . 32
xi
4.25 Velocidade Axial das Fontes - Resultados para todos os valores de TSR . . . . . . . . . . 33
4.26 Velocidade Tangencial das Fontes - Resultados para todos os valores de TSR . . . . . . 33
4.27 Coeficiente de Potencia - Resultados para todos os valores de TSR . . . . . . . . . . . . 34
4.28 Coeficiente de Forca Axial - Resultados para todos os valores de TSR . . . . . . . . . . . 35
4.29 Angulo de Ataque - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora . . . . . . . . . . . . . 36
4.30 Coeficiente de Sustentacao - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora . . . . . . . 36
4.31 Coeficiente de Resistencia - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora . . . . . . . . 36
4.32 Numero de Reynolds - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora . . . . . . . . . . . 37
4.33 Velocidade Axial - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora . . . . . . . . . . . . . . 37
4.34 Velocidade Tangencial - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora . . . . . . . . . . 37
4.35 Coeficiente de Potencia - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora . . . . . . . . . . 38
4.36 Coeficiente de Forca Axial - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora . . . . . . . . 39
A.1 Algoritmo Explıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
B.1 Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela Invıscida . . . . . . . . . . . . . . 47
B.2 Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela DELFT - Re = 3.00× 105 . . . . . 47
B.3 Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela DELFT - Re = 1.00× 106 . . . . . 48
B.4 Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela DELFT - Re = 2.00× 106 . . . . . 48
B.5 Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela DELFT - Re = 3.00× 106 . . . . . 48
B.6 Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela NREL . . . . . . . . . . . . . . . 49
B.7 Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela NREL . . . . . . . . . . . . . . . 49
B.8 Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela NREL . . . . . . . . . . . . . . . 49
B.9 Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela NREL . . . . . . . . . . . . . . . 50
B.10 Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela NREL . . . . . . . . . . . . . . . 50
C.1 Vista lateral das diferentes Esteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
C.2 Vista das diferentes Esteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C.3 Angulo de Passo Induzido para TSR = 5, 42 - Comparacao entre diferentes modelos de
esteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C.4 Angulo de Passo Induzido para TSR = 1, 52 - Comparacao entre diferentes modelos de
esteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
xii
Capıtulo 1
Introducao
Actualmente a energia e um dos factores que mais influencia a vida da sociedade e muitos esforcos
tem sido feitos para se obter energia da forma mais sustentavel possıvel.
Ha cerca de 40 anos a producao energetica era totalmente dominada pelos combustıveis fosseis,
mas algumas previsoes da sua extincao bem como um aumento das preocupacoes climaticas iniciaram
uma busca por fontes de energia mais sustentaveis. Nessa busca surgem diferentes tipos de energia
renovavel que sao bastante diferentes das formas convencionais de obtencao de energia, mas que,
regral geral, sao muito menos poluentes e, como o nome indica, correspondem a fontes inesgotaveis
de energia.
Hoje em dia, o carvao, o petroleo e o gas natural continuam a ter um papel fundamental no mercado
energetico, mas o uso das energias renovaveis tem crescido significativamente. Muito gracas aos in-
centivos para o uso e exploracao destas novas tecnologias, a utilizacao e desenvolvimento de energias
renovaveis evoluiu muito nos anos mais recentes, combatendo a emissao de poluentes, o deposito de
resıduos e todos os outros impactos climatericos causados pelo uso dos combustıveis fosseis.
A investigacao em energias alternativas continua a ser um dos grandes topicos de estudo junto da
comunidade cientıfica de modo a tornar este modo de exploracao de energia cada vez mais competitivo.
1.1 A Energia do Vento
Uma das energias renovaveis utilizadas ha mais tempo e a energia do vento, em primeiro lugar
como propulsao de embarcacoes marıtimas, e mais tarde em moinhos eolicos fazendo a moagem dos
cereais ou a bombagem de agua. So recentemente comecou o seu aproveitamento para a geracao de
energia electrica.
O vento tem origem no aquecimento nao uniforme do ar que faz parte da atmosfera. Estas diferencas
de temperaturas criam diferencas de pressao e consequentemente deslocamentos de ar com o objec-
tivo de as igualar. Estes gradientes da temperatura terreste acontecem devido ao movimento de rotacao
da terra responsavel pela sequencia de dias e noites que sao caracterizados por terem temperaturas
distintas. A curvatura da terra tambem tem uma grande influencia na criacao de vento, uma vez que au-
1
menta a distancia a percorrer pelos raios solares provocando um aquecimento diferente em diferentes
zonas do globo. A densidade da atmosfera e o relevo da superficie tambem influenciam a geracao de
vento, assim como a presenca de zonas costeiras. Resumidamente o vento tem origem na radiacao so-
lar, mas apenas 2% da energia desta e efectivamente transformada em energia de vento. Parte dessa
quantidade e dissipada e mesmo considerando que os meios de exploracao nao sao muito eficientes, a
quantidade de energia restante e suficiente para satisfazer todas os requisitos energeticos no mundo.
1.2 Turbinas Eolicas
Um turbina eolica e um equipamento que permite converter a energia cinetica do vento em electri-
cidade. Sao constituıdas por um rotor ligado a um gerador electrico no topo de uma torre. Apareceram
pela primeira vez na Dinamarca nos anos 80 do seculo XIX e mais de um seculo de desenvolvimentos
permite que actualmente sejam produzidas em larga escala. Na Figura 1.1 sao apresentadas duas
imagens de turbinas eolicas, uma da primeira turbina operada automaticamente, em 1888 e outra de
desenvolvida pelo NREL e testada em 2001.
(a) Turbina de 1888 [3] (b) Turbina de 2001 [4]
Figura 1.1: Exemplos de Turbinas Eolicas
1.3 Ambito do Trabalho
A simulacao do comportamento aerodinamico de turbinas eolicas tem sido objecto de diferentes
estudos. Varios tipos de codigos computacionais foram utilizados e no evento Blind Comparision [5]
foram divididos nos seguintes grupos:
• Codigos de Desempenho
• Codigos Aeroelasticos
2
• Codigos Esteira de Vortices
• Computational Fluid Dynamics (CDF)
Os codigos de desempenho analisam o comportamento aerodinamico de uma turbina com recurso
a diversas teorias que sao uma aproximacao do problema. Alguns dos codigos mais utilizados sao o
Blade Element Momentum (BEM), teoria da linha sustentadora e da superfıcie sustentadora.
Os codigos aeroelasticos fazem o acoplamento entre um modelo aerodinamico nao estacionario
e um modelo estrutural com o objectivo de calcular as variacoes nos parametros aerodinamicos e as
defleccoes estruturais dos componentes da turbina.
Os codigos de esteira de vortices resolvem um problema de escoamento potencial onde e utilizada
como hipotese inicial uma esteira calculada empiricamente. Normalmente utilizam o IBEM (Integral
Boundary Element Method) como metodo de resolucao, isto e, um metodo integral de elementos de
fronteira, como por exemplo, o metodo painel.
Os codigos CFD baseiam-se no calculo de solucoes numericas das equacoes de Euler e Navier-
Stokes e sao capazes de fornecer simulacoes bastante realistas. Para o efeito de turbulencia os mo-
delos mais comuns sao o RANS (Reynolds-Average Navier-Stokes) e o LES (Large Eddy Simulation).
Os elevados custos computacionais sao a principal barreira para uma utilizacao mais frequente em
aplicacoes de turbinas eolicas.
1.4 Objectivo e Organizacao da Tese
O objectivo deste trabalho e modelar o regime de perda de uma turbina eolica de eixo horizontal
utilizando o metodo da linha sustentadora em regime permanente. Partindo de um codigo criado inici-
almente para propulsores marıtimos e posteriormente adaptado a turbinas eolicas e possıvel modelar o
efeito da sustentacao. Para o metodo considerar o efeito de perda e necessario modelar a forca de re-
sistencia e fazer o acoplamento entre os dois modelos. Alem de verificar qual a influencia dos diversos
parametros e decidir quais os que permitem obter uma melhor simulacao, o proposito desta tese passa
por comparar os resultados obtidos com os resultados experimentais divulgados no Blind Comparision
[5] e com os que foram conseguidos por outros metodos de calculo.
O documento esta organizado da seguinte forma:
No Capıtulo 2 sao deduzidas as equacoes que caracterizam a implementacao do metodo da linha
sustentadora, e dada uma especial enfase a modelacao da forca de resistencia uma vez que foi total-
mente programada no ambito deste trabalho. O Modelo Computacional e tratado no Capıtulo 3 e e mos-
trada a metodologia utilizada para implementar computacionalmente as equacoes deduzidas no Modelo
Matematico (Capıtulo 2). No Capıtulo 4 apresentam-se os resultados da modelacao, considerando os
efeitos dos dados de sustentacao e resistencia, do modelo de esteira e da variacao parametrica. O
capıtulo termina com a comparacao entre os resultado experimentais [5], o Blade Element Momentum
[6] e o metodo painel [7]. No capıtulo 5 apresentam-se as conclusoes do trabalho.
3
4
Capıtulo 2
Modelo Matematico
O metodo utilizado para a analise aerodinamica de uma turbina eolica foi o metodo da linha susten-
tadora.
2.1 Formulacao da Teoria da Linha Sustentadora
Considere-se um rotor de uma turbina horizontal com raio R e Z pas distribuidas simetricamente em
torno do cubo de raio rH . A turbina roda a velocidade contante ω em torno do seu eixo e esta sujeita a
um escoamento de velocidade uniforme U . O escoamento e considerado incompressıvel e de massa
especıfica ρ.
Define-se o sistema de coordenadas cartesiano fixo (x, y, z) em relacao a uma das pas da turbina.
O eixo dos xx esta alinhado com o eixo de rotacao da turbina, o eixo dos yy e solidario com uma
das pas da turbina, e o eixo dos zz completa o sistema de eixo ortogonal, onde os versores unitarios
sao definidos por (ex, ey, ez). Introduz-se um sistema de coordenadas cilindricas (x, r, θ), com vectores
unitarios (ex, er, eθ), onde r =√y2 + z2 e θ = tan−1
(zy
). A Figura 2.1 ilustra os sistemas apresentados.
Figura 2.1: Sistemas de Eixos Coordenados da Turbina [1]
5
2.1.1 Modelo de Vortices para a Forca de Sustentacao
A forca de sustentacao que se exerce em cada pa pode ser modelada atraves do sistema de vortices
de uma linha sustentadora. Assim, cada pa e representada por uma linha sustentadora com uma
distribuicao radial variavel de circulacao Γ(r). As linhas sustentadoras de cada pa sao definidas por [8]:
rH < r < R θk =2π(k − 1)
Z, (2.1)
onde k = 1, 2, ..., Z e o ındice que representa cada linha sustentadora.
No modelo da linha sustentadora, a folha de vortices criada corresponde a uma superfıcie alinhada
com o escoamento local e os vortices livres sao tangentes a esta. Na Figura 2.2 mostra-se o sistema
da linha sustentadora e respectivas folha de vortices livre para um rotor de duas pas.
Figura 2.2: Linhas Sustentadoras e respectivas Folha de Vortices da Esteira [2]
Sabendo que Sk e a folha de vortices referente a linha sustentadora k e ~γ o vector de vortices livres
referente a mesma folha de vortices, pela Lei de Biot-Savart e possıvel calcular a velocidade induzida
em cada ponto pela linha sustentadora k:
~vk(x, r, θ) =1
4π
∫ R
rH
~S1 × ~erkS3
1
Γ(r′)dr′ − 1
4π
∫∫Sk
~S × ~γ(x′, r′, θ′)
S3dA′, (2.2)
onde:
~erk = cos(θk)~ey + sin(θk)~ez, ~S1 = (x, y − y′k, z − z′k) e o vector raio desde o ponto de integracao sobre
a pa (0, y′k, z′k) ate ao ponto sobre a linha sustentadora (x, y, z). S1 e o modulo do vector ~S1, | ~S1|,
~S = (x − x′, y − y′k, z − z′k) e o vector raio desde o ponto de integracao sobre a linha de vortices livre
(x′, y′k, z′k) ate ao ponto sobre a folha de vortices (x, y, z). S e o modulo ~S, |~S| e ~γ = dΓ
dr ~et, onde ~et e um
vector tangente a folha de vortices com a direccao da velocidade do escoamento relativo.
6
2.1.2 Modelo de Fontes para a Forca de Resistencia
A semelhanca do que e feito para a sustentacao, a resistencia pode ser modelada atraves de uma
linha de fontes σ(r). As linhas de fonte sao definidas por [8]:
rH < r < R θk =2π(k − 1)
Z, (2.3)
onde k = 1, 2, ..., Z e o ındice que representa cada linha de fontes coincidente com a sustentadora.
Neste sentido, a linha de fontes sobre a linha sustentadora tem uma intensidade σ(r) que pode ser
definida por σ(r) = dmdr . Assim m e a intensidade de uma fonte pontual, sendo σ(r) uma intensidade por
unidade de comprimento. Todas as equacoes de escoamento potencial que modelam o comportamento
de uma linha de fontes [9] sao validas na resolucao deste problema.
A velocidade induzida num ponto pela linha de fontes da linha sustentadora pode ser calculada por
[10]:
~vk(x, y, z) = − 1
4π
∫ R
rH
σ(r′)∇(
1
S1
)dr′, (2.4)
ou
~vk(x, y, z) = − 1
4π
∫ R
rH
σ(r′)
(~S1
S31
)dr′, (2.5)
onde ~S1 = (x, y − y′k, z − z′k) e o vector raio definido da mesma forma que na Equacao 2.2.
No caso particular em que ~S1 e igual a 0, isto e, o ponto de integracao (x, y, z) esta sobre a linha de
fontes, a velocidade induzida e singular. Neste caso nao e possıvel aplicar a formulacao da Equacoes
2.4 e 2.5 e e necessario uma formulacao alternativa.
Quando o ponto de integracao (x, y, z) esta sobre a linha de fontes pode considerar-se uma pequena
area rectangular de largura δ e calcular o caudal que a atravessa [8]. Desta forma, a area funciona
como a seccao de um pequeno tubo de vortices cujo modulo da velocidade induzida no seu interior e
calculado por:
vk(x, y, z) =σ(r)
2δ. (2.6)
A pequena area definida acima e perpendicular ao escoamento, como tal, o caudal que a atravessa
tem a mesma direccao do escoamento relativo local.
Neste momento, e necessario quantificar a variavel δ, uma vez que e mais uma das incognitas do
problema. Esta formulacao para uma distribuicao de fontes so respeita a equacao da continuidade se o
caudal que passa no respectivo tubo de vortice for igual ao caudal emitido pela fonte. O caudal emitido
pela fonte e dado por:
φσ = ZρV δ, (2.7)
7
Admitindo que o caudal emitido e o caudal que atravessa a turbina, tem-se:
φσ = 2πrρVx = ZρV δ, (2.8)
ou seja
δ =2πr
Z
VxV. (2.9)
2.1.3 Efeito do Numero de Pas e Componentes da Velocidade
A contribuicao das Z pas da turbina para a velocidade induzida num ponto (x, y, z) e dada pela
combinacao linear da velocidade induzida de todas as pas. Este efeito e semelhante quando se trata
de uma fonte ou de um vortice, pois as velocidades sao independentes.
~v(x, y, z) =
Z∑k=1
~vk(x, y, z). (2.10)
As velocidade induzidas sobre a linha sustentadora sao divididas nas componentes axial (va), tan-
gencial (vt) e radial (vr).
2.1.4 Forcas Aplicadas
Na Figura 2.3 apresenta-se o triangulo de velocidades, onde se representam as velocidades na
turbina, relacionando-as com as forcas aplicadas na seccao das pas. Como explicado nas seccoes
anteriores, as velocidades induzidas tem duas origens diferentes, os vortices e as fontes, pelo que va e
vt sao a combinacao das velocidades induzidas pelos vortices Γ(r) e pelas fontes σ(r).
Figura 2.3: Triangulo de Velocidades
va = vΓa + vσa (2.11a)
vt = vΓt − vσt (2.11b)
8
em que va tem o sentido negativo do eixo dos x e as velocidades induzidas tem ambas o mesmo
sentido (negativo no eixo dos x). vt e negativo no sentido positivo do eixo dos θ, no entanto, as suas
componentes tem sentidos contrarios. vΓt tem o sentido negativo do eixo do θ e vσt e positivo.
A partir do teorema de Kutta-Joukowski relacionam-se as intensidades das fontes de dos vortices
com as forcas aplicadas na pa da turbina:
dD = −ρV σdr, (2.12a)
dL = −ρV Γdr, (2.12b)
onde V =√
(U − va)2 + (ωr + vt)2.
A forca axial dT e o binario dQ sao uma combinacao linear da forca de sustentacao e de resistencia,
logo de 2.12 obtem-se:
dT = ρ|V |Γ(r) cosβidr + ρ|V |σ(r) sinβidr, (2.13a)
dQ = ρ|V |Γ(r)r sinβidr − ρ|V |σ(r)r cosβidr. (2.13b)
A partir do triangulo de velocidades calcula-se o angulo de passo induzido:
tanβi =U − vaωr + vt
(2.14)
Tendo em conta que |V | sinβi = U−va e |V | cosβi = ωr+vt e integrando ao longo da pa, calcula-se
a forca axial e o binario. O efeito das Z pas da turbina e tido em conta multiplicando pelo numero de
pas Z e os efeitos de sustentacao e resistencia sao relacionados atraves do parametro ε = σΓ = dD
dL .
T = ρZ
∫ R
rH
(ωr + vt)Γ(r)(1 + ε tanβi)dr, (2.15a)
Q = ρZ
∫ R
rH
(U − va)Γ(r)(1− ε cotβi)rdr. (2.15b)
As Equacoes 2.16 calculam os coeficientes adimensionais que caracterizam a forca axial e a
potencia.
CT =T
12ρU
2πR2, (2.16a)
CP =ωQ
12ρU
3πR2. (2.16b)
Combinando as equacoes 2.15 e 2.16, e adimensionalizando as velocidades pela velocidade do
vento U e as distancias pelo raio da turbina R obtem-se a forma adimensionalizada dos coeficientes de
9
forca axial e de potencia:
CT =2Z
π
∫ 1
r∗H
(rλ+ v∗t )Γ∗(r)(1 + ε tan(βi))dr, (2.17a)
CP =2Zλ
π
∫ 1
r∗H
(1− v∗a)Γ∗(r)(1− ε cot(βi))rdr, (2.17b)
onde λ = ωRU e o coeficiente de velocidade periferica, ou tambem designado como tip speed ratio
(TSR). Os coeficientes adimensionais adicionados sao definidos como r∗H = rHR , v∗a = va
U , v∗t = vtU e
Γ∗ = ΓUR e como o problema e resolvido atraves de variaveis adimensionais, no restante documento as
variaveis sao apresentadas sem o sobrescrito, apesar de continuarem a ser uma variavel adimensional.
2.2 Teoria dos Elementos de Pa
Alem das relacoes apresentadas na Figura 2.3, as forcas exercidas no perfil sao relacionadas com as
dimensoes caracterısticas das pas da turbina atraves dos coeficientes de sustentacao e de resistencia:
CL =dLdr
12ρV
2c, (2.18a)
CD =dDdr
12ρV
2c, (2.18b)
onde V e a velocidade relativa local do escoamento (igual a que e apresentada na Figura 2.3), ρ e a
massa volumica e c a corda local da seccao.
Os dados de sustentacao e resistencia do perfil sao obtidos por metodos teoricos ou procedimentos
experimentais. Independentemente da proveniencia dos dados, admite-se que estes coeficientes sao
apenas funcao do angulo de ataque (α) e do numero de Reynolds (Re = V cν onde ν e a viscosidade
cinematica). CL = CL(α,Re) e CD = CD(α,Re).
Combinando as equacoes 2.18a e 2.18b com 2.13 obtem-se uma relacao entre os coeficientes de
sustentacao e resistencia e as intensidades das linhas de vortices e fontes:
CL =2Γ(r)
V c, (2.19a)
CD =2σ(r)
V c, (2.19b)
2.3 Solucao do Problema de Analise
A partir da formulacao descrita escreve-se um sistema de equacoes fechado que resolve todas
as incognitas do problema. Sabendo os dados geometricos da turbina, nomeadamente a corda e a
calagem da pa, o coeficiente de velocidade periferica e a distribuicao de sustentacao e resistencia,
pode criar-se o sistema de equacoes fechado recorrendo a algumas das relacoes ja apresentadas.
10
O angulo de ataque e definido por:
α = βi − ψ (2.20)
onde ψ e o angulo de passo geometrico e e calculado por ψ = ε− π2 , em que ε e o angulo de calagem
da pa.
A relacao entre σ e Γ e igual a verificada entre dD e dL, bem como entre CD e CL.
ε =σ
Γ=dD
dL=CDCL
(2.21)
As Equacoes 2.2, 2.5, 2.9, 2.14, 2.19a e 2.19b juntamente com as apresentadas nesta seccao
formam um sistema de equacoes que caracteriza a resolucao deste problema
2.4 Modelo de malha de vortices e discretizacao da linha de fon-
tes
Para o calculo numerico, a linha sustentadora pode ser discretizada em M elementos ao longo do
raio pelo metodo da malha de vortices. Como se pode ver em [2], uma distribuicao de cosenos permite
uma melhor convergencia.
ri =1
2(1 + rH)− 1
2(1− rH) cos
(i− 1)π
M, (2.22)
onde i = 1, ...,M,M + 1, Esta distribuicao concentra mais pontos junto ao cubo e junto a extremidade
da pa do que na zona central do perfil.
As velocidades induzidas sao calculadas nos pontos de controlo dados por:
ri =1
2(1 + rH)− 1
2(1− rH) cos
(i− 1/2)π
M, (2.23)
onde i = 1, ...,M − 1,M , e podem ser escritas na seguinte forma
vΓa,ti =
M+1∑j=1
vΓa,tγij
γj =
M∑j=1
vΓa,tijΓj (2.24)
vσa,ti =
M∑j=1
vσa,tijσj =
M∑j=1
vσa,tijεiΓj (2.25)
Discretizando a Equacao 2.14 obtem-se a relacao que e a base do sistema de equacoes a ser
resolvido:
(tanβi)i =1− vΓ
ai − vσai
λr + vΓti − v
σti
(2.26)
Substituindo as Equacoes 2.24 e 2.25 na relacao acima:
11
(tanβi)i =1−
∑Mj=1 v
ΓaijΓj −
∑Mj=1 v
σaijεiΓj
λr +∑Mj=1 v
ΓtijΓj −
∑Mj=1 v
σtijεiΓj
(2.27)
Ordenando os termos em ordem a Γj de modo a obter um sistema de equacoes discretizado:
M∑j=1
vΓaijΓj +
M∑j=1
vσaijεjΓj + (tanβi)i
M∑j=1
vΓtijΓj +
M∑j=1
vσtijεjΓj
= 1− (tanβi)iλri (2.28)
As equacoes apresentadas na Seccao 2.3 necessitam tambem de ser adaptadas para a discretizacao
descrita acima. Nas relacoes 2.2 e 2.5 e importante referir que os vortices e as fontes deixam de
ser uma distribuicao radial passando a ser pequenos elementos com intensidade constante. Esta
simplificacao permite que o metodo de resolucao das equacoes sejam tambem muito mais simples.
CT =2Z
π
M∑i=1
(riλ+ vti)Γi(1 + εi tan(βi)i)(ri+1 − ri) (2.29a)
CP =2Zλ
π
M∑i=1
(1− vai)Γi(1− εi cot(βi)i)ri(ri+1 − ri) (2.29b)
12
Capıtulo 3
Modelo Computacional
A analise da turbina pelo metodo da linha sustentadora e feita atraves de um processo iterativo de
forma a obter a convergencia de tanβi que serve de base para o calculo de todos os outros parametros.
Antes do inıcio da rotina iterativa algumas condicoes sao definidas, nomeadamente as condicoes
em que a turbina opera e as especificacoes geometricas: o coeficiente de velocidade periferica TSR,
a velocidade do vento, o diametro da turbina e do cubo, o numero de pas e as distribuicoes de corda e
passo geometrico ao longo da pa. As caracterısticas aerodinamicas do perfil e um modelo de esteira
de vortices tambem sao necessarios para o funcionamento da rotina. A esteira de vortices e gerada de
forma externa ao programa, utilizando o metodo painel [7] e posteriormente e adaptada ao metodo da
linha sustentadora [6] 1.
Na Figura 3.1 esta o esquema do algoritmo do processo iterativo. A rotina para o calculo do angulo
de passo induzido tanβi funciona da seguinte forma:
Em cada iteracao e conhecido o parametro tanβi pelo que o primeiro processo desta rotina passa
por calcular uma estimativa inicial que pode ser dada por [11]:
tanβinciali = const× 1
riλ(3.1)
O angulo de ataque, a velocidade absoluta do escoamento e o numero de Reynolds sao dados
directamente pelas equacoes 2.20 e V =√
(1− va)2 + (λr + vt)2 e Re = V cν .
Sabendo o angulo de ataque α e o numero de Reynolds Re e possıvel calcular o coeficiente de
sustentacao e de resistencia atraves de uma leitura directa dos dados aerodinamicos do perfil. Calcula-
se a razao ε, dada pela Equacao 2.21.
A partir deste momento, a rotina executa duas partes distintas em paralelo que permitem calcular
os coeficiente da matriz de velocidade induzidas.
1O metodo painel gera uma esteira com base na geometria da pa; no entanto a teoria da linha sustentadora assume que a pa erepresentada por uma linha de vortices e fontes, logo e necessario adaptar a esteira a nova geometria da pa. Esta transformacaoe feita com base numa interpolacao de todos os pontos ao longo da esteira.
13
Figura 3.1: Algoritmo da Rotina Implementada
As velocidades induzidas pelos vortices sao calculadas recorrendo a metodologia desenvolvida
por Kerwin [10] se for utilizada uma esteira alinhada, ou a metodologia desenvolvida por Morgan and
Wrench [12] se for utilizado o metodo dos factores induzidos. Apesar de serem rotinas diferentes, o seu
objectivo e o mesmo, resolver a Equacao 2.28. A preferencia de um modelo em relacao ao outro sera
estudada posteriormente. As velocidades induzidas pelas fontes sao calculadas apenas de uma forma,
recorrendo a implementacao das Equacoes 2.5 e 2.6. A Equacao 2.5 e resolvida pela metodologia
desenvolvida por Kerwin [10] e a Equacao 2.6 e aplicada directamente:
vai =σi2 δ
sin(βi)i (3.2a)
vti =σi2 δ
cos(βi)i (3.2b)
De seguida, as matrizes de coeficientes de velocidades induzidas sao articuladas atraves do parametro
ε de modo a que os sistemas possam ser resolvidos em simultaneo atraves do metodo de Gauss. A
variavel que resulta da resolucao do sistema de equacoes e a distribuicao de circulacao Γi ao longo
da pa e a intensidade das fontes pode ser obtida pela Equacao 2.21, uma vez que ε e conhecido. Os
coeficientes de sustentacao e resistencia sao calculado atraves das Equacoes 2.19a e 2.19b, respecti-
14
vamente.
Calculam-se as velocidades induzidas num ponto atraves das Equacoes 2.24 e 2.25 e a velocidade
total do escoamento e o numero de Reynolds sao actualizados utilizando as mesmas relacoes que
anteriormente.
Sabendo o numero de Reynolds e os coeficientes de sustentacao e resistencia consultam-se nova-
mente os dados de sustentacao e resistencia do perfil, mas desta vez no sentido inverso, uma vez que
se quer obter o angulo de ataque a que a seccao se encontra.
Como a variacao dos coeficientes nao e monotona com o angulo de ataque, e necessario proceder
a leitura com base no coeficiente de sustentacao e de resistencia de modo a deduzir qual o angulo de
ataque a que o perfil esta sujeito. Resumidamente, quando o perfil nao se encontra em perda2 usa-se o
coeficiente de sustentacao, uma vez que este tem uma evolucao linear e a correspondencia e feita com
uma precisao mais elevada. Quando o perfil entra em perda, o coeficiente de sustentacao decresce e
e utilizado o coeficiente de resistencia para o calculo do angulo de ataque, uma vez que este tem um
crescimento monotono.
Sabendo o angulo de ataque, o angulo de passo induzido e calculado novamente recorrendo a
Equacao 2.20. O sistema e consideravelmente instavel, pelo que e necessario aplicar uma sub-
relaxacao para que este seja convergente [13]. Entao:
tanβin+1 = fαtanβi
n+1+ (1− fα)tanβi
n (3.3)
onde tanβin+1 e o valor que sera utilizado na iteracao seguinte. tanβi
n e o valor que foi obtido na
iteracao anterior e tanβin+1
e o valor resultante da rotina no final da iteracao. Onde 0 ≤ fα ≤ 1.
Este processo iterativo decorre durante as iteracoes necessarias ate que a media da diferenca entre
duas iteracoes consecutivas seja menos que uma determinada tolerancia (ε )
1
M
M∑j=1
∣∣∣∣∣ (tanβi)(n)j − (tanβi)
(n+1)j
(tanβi)(n+1)j
∣∣∣∣∣ ≤ ε . (3.4)
Quando o erro chegar ao valor da tolerancia a rotina iterativa termina.
Apos a conclusao do processo iterativo, segue-se o pos processamento em que sao calculados os
parametros que dependem directamente da tanβi. Neste caso, trata-se do calculo dos coeficientes de
potencia e de forca axial que sao obtidos recorrendo as Equacoes 2.29a e 2.29b.
E de notar que este esquema e resolvido implicitamente, uma vez que recorre a resolucao de um
sistema de equacoes em vez de aplicar as mesmas relacoes directamente. Essa abordagem foi expe-
rimentada, no entanto, essa rotina nao consegue atingir a convergencia uma vez que este problema e
naturalmente bastante instavel. O esquema da rotina explıcita esta presente no Anexo A.
2Para angulos de ataque positivos considera-se que o perfil entra em perda quando a curva do coeficiente de sustentacaocom o angulo de ataque apresenta um valor negatido de dCL
dα
15
16
Capıtulo 4
Resultados
Neste capıtulo sao apresentados os resultados obtidos atraves da implementacao desenvolvida
no capıtulo anterior. Para os parametros geometricos foram utilizados os dados reais de uma turbina
testada experimentalmente e cujos resultados sao conhecidos [4]. A turbina foi desenvolvida pelo NREL
(National Renewable Energy Laboratory ), doravente designada por turbina NREL. O perfil utilizado nas
pas da turbina e o S809 que foi desenvolvido especificamente para aplicacoes em turbina eolicas de
eixo horizontal.
O objectivo final deste capıtulo e uma comparacao entre o metodo da linha sustentadora, o metodo
da quantidade de movimento e elementos de pas, o metodo painel e os resultados experimentais. Para
tal, existem algumas opcoes que convem investigar para o calculo pelo metodo da linha sustentadora.
As opcoes em questao sao os dados de sustentacao e de resistencia da pa e o modelo de esteira a
adoptar no calculo das velocidades induzidas.
Os dados de sustentacao e resistencia podem ter diversas origens e sao apresentados de diver-
sas formas. Neste caso especıfico sao utilizados tres tipos diferentes de dados baseados em resulta-
dos teoricos e experimentais. Os dados utilizadas sao apresentadas no Anexo B, bem como as suas
representacoes graficas.
Para concluir os calculos e preciso um modelo para a esteira, uma vez que a Equacao 2.2 calcula
a velocidade induzida por um vortice sobre a linha sustentadora e por um vortice que esteja sobre um
ponto na esteira das pas. Deste modo, o modelo de esteira tem uma influencia directa nas velocidades
induzidas pelos vortices. Sao testados dois modelos de esteira: uma esteira alinhada com o escoa-
mento e expansao radial e modelo de esteira helicoidal com passo constante. No segundo caso, o
efeito e calculado pelo metodo dos factores induzidos [12]. As definicoes e algumas representacoes
graficas estao no Anexo C.
Os resultados foram obtidos para diferentes valores de TSR, de modo a cobrir diferentes condicoes
de funcionamento da turbina. Os valores analisados sao apresentados na Tabela 4.1.
Para as analises seguintes sao apresentados os resultados para o TSR mais alto e mais baixo.
A apresentacao para estes dois valores limite permite mostrar o contraste entre duas condicoes de
operacao significativamente distintas, uma em que a turbina nao se encontra em perda (TSR = 5, 42) e
17
U(m/s) TSR7 5,4210 3,8013 2,9215 2,5320 1,9025 1,52
Tabela 4.1: Velocidade do Vento e Coeficientes de Velocidade Periferica estudados
outra em que a turbina se encontra em perda (TSR = 1, 52).
Com base nos parametros introduzidos anteriormente, sao feitas diferentes analises ao longo deste
capıtulo. Na seccao 4.2 e estudada a influencia dos dados de sustentacao e resistencia, isto e, a forma
como os diferentes dados de sustentacao e resistencia podem influenciar os resultados finais e qual a
importancia da sua escolha. Os modelos de esteira sao analisados na seccao 4.3 de forma a escolher
o modelo que permite obter melhores resultados e e utilizando nas restantes analises. A seccao 4.4
apresenta os resultados para todos os valores de TSR, mostrando a influencia deste parametro no
funcionamento da turbina. Por ultimo, na seccao 4.5, e feita a comparacao entre o metodo da linha
sustentadora, o metodo da quantidade de movimento e elementos de pas e o metodo painel.
Em cada uma das seccoes sao apresentadas as diversas variaveis que caracterizam o funciona-
mento da turbina. Todas as variaveis estao relacionadas entre si e estas relacoes permitem fazer a
verificacao do programa em simultaneo com a analise do desempenho da turbina. Em cada seccao
apresentam-se as distribuicoes radiais do angulo de ataque α, do coeficiente de sustentacao CL e
de resistencia CD. Estes estao sempre relacionados entre si atraves dos dados de sustentacao e re-
sistencia (variam com o numero de Reynolds). Apresentam-se as distribuicoes radiais do numero de
Reynolds Re e das velocidades induzidas na direccao axial e tangencial, quer pelos vortices, quer pelas
fontes, vΓa , vσa , vΓ
t e vσt . Em ultimo lugar sao apresentados os coeficientes de potencia CP e de forca
axial CT .
4.1 Analise de Convergencia
Da discretizacao da linha sustentadora surge outra variavel do problema, o numero de elementos
em que a linha e dividida. Antes de uma analise de convergencia variando o numero de elementos deve
ser feita uma analise iterativa ao problema.
4.1.1 Numero de Iteracoes
O processo iterativo foi descrito no Capıtulo 3 e e sabido que o criterio de paragem e dado pela
Relacao 3.4. O valor da tolerancia ε foi fixado em 5, 00 ×10−5 para todas as analise feitas neste projecto
e assim a dificuldade da convergencia pode ser caracterizada pelo numero de iteracoes necessarias e
pelo coeficiente de relaxacao de cada caso.
18
Quando o numero de elementos M e igual a 30 e o modelo de esteira e calculado pelo metodo dos
factores induzidos a convergencia e obtida para um factor de relaxacao de 0, 1. A Figura 4.1 mostra a
evolucao do erro ao longo do processo iterativo.
Figura 4.1: Evolucao do Erro Medio para os Diferentes Valores de TSR
4.1.2 Numero de Elementos
Tendo-se obtido convergencia iterativa, realiza-se o estudo da convergencia relativa ao numero de
elementos. Espera-se que o erro da solucao se reduza com o aumento do numero de elementos
utilizados. Assim, a partir de um certo nıvel de discretizacao a solucao sera independente deste (erro
desprezavel).
Para a analise do numero de elementos, a linha sustentadora foi dividida em 20, 30 e 40 elementos
de modo a estabelecer qual o numero de elementos que e suficiente.
A analise de convergencia e feita atraves do estudo da circulacao Γ, do coeficiente de forca axial
e de potencia. A circulacao e o resultado directo do processo iterativo e todas as restantes variaveis
dependem dele linearmente. O coeficiente de forca axial e de potencia mostram o efeito global sobre o
programa e e esperado que apresentem um resultado semelhante em todos os casos.
Numero de Elementos Coeficiente de Forca Axial Coeficiente de Potencia
20 Elementos 0.4207 0.2429
30 Elementos 0.4183 0.2403
40 Elementos 0.4206 0.2427
Tabela 4.2: Coeficiente de Forca Axial e Coeficiente de Potencia para diferentes valores de M
19
Figura 4.2: Variacao do Numero de Elementos
4.2 Influencia das Caracterısticas Aerodinamicas do Perfil
Nesta seccao e avaliada a influencia dos dados de sustentacao e resistencia atraves dos seus efei-
tos nos resultados. Sao utilizados tres conjuntos de dados: baseados no resultados experimentais de
Delft (Dados DELFT), baseados nos resultados do modelo do NREL (Dados NREL) e um modelo teorico
baseado na teoria invıscida (Teoria Invıscida). No Apendice B estao os diferentes dados utilizados.
Dois dos conjuntos de dados utilizados tem uma gama de angulos de ataque reduzida e para o
TSR mais baixo o angulo de ataque excede localmente a gama abrangida. Como tal, apenas sao
apresentados os resultados para o TSR = 5, 42.
Os dados de sustentacao e resistencia obtidos a partir da teoria invıscida nao incluem o efeito da
viscosidade. Como tal, o coeficiente de resistencia e as velocidades induzidas pelas fontes sao iguais
a zero. Nestas variaveis o estudo da influencia e feito apenas para os conjuntos de dados restantes.
De seguida sao apresentadas as distribuicoes radiais das diversas variaveis. Os resultados foram
obtidos recorrendo a uma esteira alinhada para a modelacao das velocidades induzidas pelos vortices.
20
(a) TSR=5,42
Figura 4.3: Angulo de Ataque - Resultados para diferentes dados de CLCD
(a) TSR=5,42
Figura 4.4: Coeficiente de Sustentacao - Resultados para diferentes dados de CLCD
21
(a) TSR=5,42
Figura 4.5: Coeficiente de Resistencia - Resultados para diferentes dados de CLCD
(a) TSR=5,42
Figura 4.6: Numero de Reynolds - Resultados para diferentes dados de CLCD
22
(a) TSR=5,42
Figura 4.7: Velocidade Axial dos Vortices - Resultados para diferentes dados de CLCD
(a) TSR=5,42
Figura 4.8: Velocidade Tangencial dos Vortices - Resultados para diferentes dados de CLCD
23
(a) TSR=5,42
Figura 4.9: Velocidade Axial das Fontes - Resultados para diferentes dados de CLCD
(a) TSR=5,42
Figura 4.10: Velocidade Tangencial das Fontes - Resultados para diferentes dados de CLCD
24
Os resultados obtidos devem ser analisados em conjunto com os graficos dos dados de sustentacao
e resistencia presentes no Apendice B. O angulo de ataque e os coeficientes de sustentacao e re-
sistencia sao relacionados pelos dados e essas relacoes confirmam-se nos graficos apresentados.
A distribuicao radial das velocidades induzidas esta sempre relacionada com o coeficiente que lhes
deu origem, o coeficiente de sustentacao no caso das velocidades induzidas pelos vortices e o coefi-
ciente de resistencia no caso das velocidades induzidas pelas fontes. Para as velocidades induzidas
pelos vortices verifica-se um efeito de simetria, isto e, quando o CL sobe as velocidade descem, e vice
versa. No caso da resistencia, as velocidades induzidas tem uma evolucao semelhante a do coeficiente
de resistencia.
O numero de Reynolds nao varia com o tipo de dados utilizado, isto deve-se aos valores bastante
baixos das velocidades induzidas que, em qualquer dos casos, sao apenas uma pequena parte da
velocidade local V .
A forma das curvas do angulo de ataque e do coeficiente de sustentacao sao semelhantes quando
se variam os dados utilizados. No entanto, a curva do coeficiente de resistencia varia. Isto mostra uma
dependencia dos dados de sustentacao e resistencia utilizados. Neste caso, para uma curva de angulo
de ataque semelhante, o coeficiente de sustentacao mantem a mesma semelhanca, mas o coeficiente
de resistencia nao.
De seguida sao apresentados os resultados do coeficiente de forca axial e de potencia. Os resul-
tados experimentais do coeficiente de potencia sao conhecidos, o que permite fazer uma comparacao
com o resultado esperado.
Dados CL − CD Coeficiente de Forca Axial Coeficiente de Potencia
Teoria Invıscida 0,5557 0,4187
Dados DELFT 0,5100 0,3660
Dados NREL 0,5288 0,3662
Resultado Experimental - 0,3574
Tabela 4.3: Coeficiente de Forca Axial e Coeficiente de Potencia para diferentes Tabelas CLCD
Os resultados obtidos mostram um grande afastamento (≈ 17%) entre os resultados experimentais
e o modelo quando sao utilizados os dados baseados na teoria invıscida. Este facto mostra que a
resistencia tem um papel fundamental na modelacao, mesmo quando a turbina nao esta no regime de
perda.
Com os dados de DELFT e do NREL obtem-se um valor do coeficiente de potencia muito proximo
(≈ 2%) do medido experimentalmente. Apesar de algumas diferencas verificadas nas distribuicoes
radiais das variaveis, estas nao afectam os resultados do coeficiente de potencia e forca axial.
Os dados de DELFT tem uma gama de angulos de ataque curta, razao pela qual apenas foram
apresentados resultados para TSR = 5, 42. Nesse sentido, a modelacao da perda aerodinamica da
turbina so e possıvel utilizando o conjunto de dados fornecido pelo NREL.
25
4.3 Efeito do Modelo de Esteira
O modelo de esteira afecta directamente o calculo das velocidades induzidas pelos vortices, mas
uma vez que a solucao e obtida iterativamente, todas as variaveis sao influenciadas.
Os dois modelos em analise nesta seccao sao um modelo de esteira alinhada com expansao radial
e um modelo de esteira helicoidal com passo constante calculado atraves do metodo dos factores
induzidos.
Ao contrario do que aconteceu na analise anterior, ambos os modelos sao independentes do coe-
ficiente de velocidade periferica e neste caso apresentam-se os resultados para TSR = 5, 42 e para
TSR = 1, 52.
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.11: Angulo de Ataque - Analise do Modelo de Esteira
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.12: Coeficiente de Sustentacao - Analise do Modelo de Esteira
26
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.13: Coeficiente de Resistencia - Analise do Modelo de Esteira
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.14: Numero de Reynolds - Analise do Modelo de Esteira
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.15: Velocidade Axial dos Vortices - Analise do Modelo de Esteira
27
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.16: Velocidade Tangencial dos Vortices - Analise do Modelo de Esteira
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.17: Velocidade Axial das Fontes - Analise do Modelo de Esteira
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.18: Velocidade Tangencial das Fontes - Analise do Modelo de Esteira
Para o valor de TSRmais elevado o angulo de ataque e o coeficiente de sustentacao tem distribuicoes
radiais semelhantes independentemente do modelo de esteira utilizado.
28
Pelo estudo das velocidades induzidas pelos vortices conclui-se que uma esteira alinhada induz
mais velocidade na componente tangencial do que na axial. Em contrapartida, quando calculado pelo
metodo dos factores induzidos, a componente axial tem uma velocidade mais elevada. As diferencas
nas velocidades induzidas sao devidas ao angulo de passo da esteira que provoca um maior alonga-
mento nesta. Neste caso as velocidades induzidas sao bastante reduzidas nao afectando de forma
significativa a velocidade total.
As velocidades induzidas pelas fontes nao sao directamente afectadas pelo modelo de esteira. Para
este valor de TSR, a turbina nao esta em perda e as velocidades induzidas pelas fontes tambem tem
valores baixos.
Quando o valor de TSR baixa, as curvas resultantes dos dois modelos de esteira aproximam-se.
Relativamente as velocidades induzidas pelos vortices as conclusoes mantem-se, quando a turbina
esta em perda o metodo dos factores induzidos continua a induzir uma velocidade maior na direccao
axial e o modelo com uma esteira alinhada induz uma maior velocidade tangencial.
De seguida apresentam-se os resultados obtidos para os coeficientes de forca axial e de potencia:
Modelo de Esteira Utilizado Coeficiente de Forca Axial Coeficiente de Potencia
Esteira Alinhada 0,5288 0,3662
Factores Induzidos 0,4183 0,2403
Resultado Experimental - 0,3574
Tabela 4.4: Coeficiente de Forca Axial e Coeficiente de Potencia para TSR = 5, 42
Modelo de Esteira Utilizado Coeficiente de Forca Axial Coeficiente de Potencia
Esteira Alinhada 0,1140 0,0105
Factores Induzidos 0,0991 0,0098
Resultado Experimental - 0,0144
Tabela 4.5: Coeficiente de Forca Axial e Coeficiente de Potencia para TSR = 1, 52
O coeficiente de potencia e de forca axial confirmam uma aproximacao dos dois modelos quando
o TSR baixa, para TSR = 5, 42 os valores obtidos estao muito distantes, mas esta distancia encurta
quando o TSR baixa para 1, 52.
O afastamento verificado e explicado pelos valores do angulo de passo geometrico (tanβi). A esteira
e alinhada com a velocidade local do escoamento e o passo constante da esteira helicoidal e calculado
com base no tanβi. Para TSR = 5, 42, em que se verifica um afastamento dos dois metodos, a
distribuicao de βi e igualmente distante. No caso contrario, para TSR = 1, 52, a variacao do angulo e
semelhante independentemente do metodo utilizado. Estes resultados estao no Anexo C.
Nas simulacoes seguintes e utilizado o modelo com a esteira alinhada por ter uma maior proximidade
com os resultados experimentais numa maior gama de velocidade periferica.
29
4.4 Resultados para diferentes valores de Velocidade Periferica
A velocidade constante, quando o TSR baixa a velocidade do vento aumenta, pelo que os resultados
mostram a evolucao das variaveis aerodinamicas desde uma situacao perto da potencia maxima ate
uma situacao em que todo o escoamento se encontra separado e consequentemente a turbina entra
em perda.
Figura 4.19: Angulo de Ataque - Resultados para todos os valores de TSR
Figura 4.20: Coeficiente de Sustentacao - Resultados para todos os valores de TSR
30
Figura 4.21: Coeficiente de Resistencia - Resultados para todos os valores de TSR
Figura 4.22: Numero de Reynolds - Resultados para todos os valores de TSR
31
Figura 4.23: Velocidade Axial dos Vortices - Resultados para todos os valores de TSR
Figura 4.24: Velocidade Tangencial dos Vortices - Resultados para todos os valores de TSR
32
Figura 4.25: Velocidade Axial das Fontes - Resultados para todos os valores de TSR
Figura 4.26: Velocidade Tangencial das Fontes - Resultados para todos os valores de TSR
Nos resultados acima, o angulo de ataque aumenta quando o TSR dimunui devido ao aumento da
velocidade do vento U . A evolucao e semelhante em todos os casos.
Como ja foi referido anteriormente, os coeficientes de sustentacao e resistencia variam em funcao
do angulo de ataque e dos dados de CLCD utilizados. No caso do CL nao se nota nenhuma tendencia
generalizada mas sao perceptıveis algumas inflexoes em determinados pontos ao longo da pa cau-
33
sadas pelo efeito de super sustentacao em determinadas seccoes da tabela CLCD. O coeficiente de
resistencia cresce com a velocidade do vento devido ao efeito da perda.
A semelhanca do coeficiente de sustentacao, as velocidades induzidas pelos vortices tambem nao
tem uma tendencia generalizada, no entanto nota-se uma aumento significativo junto do cubo e da
ponta da pa. Uma vez que e utilizada a esteira alinhada para calcular as velocidades induzidas, quando
o TSR aumenta as velocidades induzidas baixam porque a esteira se encontra muito mais alongada,
este facto e bastante mais notorio nas velocidades axiais do que nas tangenciais.
As velocidades induzidas pelas fontes apresentam o mesmo andamento que o coeficiente de re-
sistencia, como tal, crescem com a diminuicao do TSR. No entanto, o aumento da componente axial
e maior que na componente tangencial, uma vez que o angulo de passo induzido cresce e estas duas
componentes sao afectadas de forma diferente, isto e, a velocidade axial cresce com βi e a velocidade
tangencial decresce com βi.
Tal como em todas as outras seccoes, por fim apresentam-se os resultados do coeficiente de
potencia e de forca axial.
Figura 4.27: Coeficiente de Potencia - Resultados para todos os valores de TSR
34
Figura 4.28: Coeficiente de Forca Axial - Resultados para todos os valores de TSR
Como seria esperado, quando o coeficiente de velocidade periferica diminui, os coeficientes de
potencia e de forca axial baixam. Neste caso, os resultados obtido com o metodo da linha sustentadora
modelam os resultados experimentais de forma muito eficaz.
4.5 Comparacao entre diferentes metodos de calculo
Na ultima seccao e feita uma comparacao entre diferentes metodos de calculo aplicados a mesma
turbina e nas mesmas condicoes. Os metodos estudados sao o metodo da linha sustentadora desen-
volvido ao longo deste trabalho, o metodo da quantidade de movimento e elementos de pas (BEM) [6]
e o metodo painel [7].
Do metodo painel apenas sao conhecidos os resultados para o coeficiente de potencia e de forca
axial, como tal apenas sao comparados os coeficientes de potencia e de forca axial.
No metodo BEM pode ser aplicada uma correccao de velocidade de modo a corrigir os efeitos na
ponta da pa (Correccao de Prandtl). Ambas as aplicacoes sao comparadas com o metodo da linha
sustentadora.
35
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.29: Angulo de Ataque - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.30: Coeficiente de Sustentacao - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.31: Coeficiente de Resistencia - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora
36
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.32: Numero de Reynolds - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.33: Velocidade Axial - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora
(a) TSR=5,42 (b) TSR=1,52
Figura 4.34: Velocidade Tangencial - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora
O metodo da linha sustentadora e o metodo BEM (com e sem correccao de velocidade) tem variacoes
radiais muito semelhantes. Junto a ponta da pa e ao cubo, o angulo de ataque calculado pelo metodo
37
da linha sustentadora tende para 0, uma vez que a circulacao Γ tambem tende. No metodo BEM as
variaveis nao apresentam esta descida junto das extremidades. A correccao de Prandtl corrige esta
descida e a correlacao com o metodo da linha sustentadora aumenta com a inclusao da correccao.
Para as restantes variaveis do sistema, a tendencia mantem-se. Os metodos sao muito proximos
para os valores centrais na distribuicao radial, mas diverge junto as extremidades.
As velocidades induzidas seguem o mesmo princıpio, ambos os metodos sao bastante proximos na
zona central e divergem junto das extremidades. Neste caso, as velocidades induzidas pelas fontes sao
bastante baixas para o TSR mais alto. Quando a velocidade do vento sobe e a resistencia aumenta,
as velocidades induzidas pelas fontes passam a ter a mesma ordem de grandeza que as velocidades
induzidas pelos vortices e que as velocidades calculadas pelo metodo BEM.
Por fim, a melhor forma de avaliar qual dos metodos melhor correlaciona os resultados experimentais
verificado e feita a comparacao para o coeficiente de forca axial e de potencia:
Figura 4.35: Coeficiente de Potencia - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora
38
Figura 4.36: Coeficiente de Forca Axial - Comparacao entre BEM e Linha Sustentadora
Como se pode ver nos graficos acima, os efeitos verificados nas variaveis aerodinamicas nao afec-
tam o resultado global, pois o metodo da linha sustentadora e o metodo BEM apresentam resultados
muito proximos para ambos os coeficientes.
O metodo painel aqui introduzido, tem uma correlacao muito baixa com os resultados experimentais
e com os restantes metodos, o que pode ser explicado uma vez que este metodo nao inclui os efeitos
da viscosidade. Assim, e possıvel afirmar que os efeitos da viscosidade sao fundamentais para modelar
modelos de perda.
Tanto o metodo da linha sustentadora como o BEM apresentam resultados muito proximos dos que
foram medidos experimentalmente o que mostra o sucesso de ambas as teorias.
39
40
Capıtulo 5
Conclusao
Neste trabalho foi modelado o regime de perda da turbina eolica NREL utilizando o metodo da linha
sustentadora. Ao metodo foi introduzido um modelo da forca de resistencia que permitiu alargar o
metodo a uma maior gama de TSR, modelando a entrada em perda.
Em primeiro lugar, foi feito um estudo sobre a convergencia do sistema. O metodo e bastante
instavel e a convergencia apenas e atingida utilizando uma resolucao implıcita do sistema de equacoes
com recurso a coeficientes de relaxacao bastante baixos.
De seguida avaliou-se o efeito dos dados de sustentacao e resistencia e concluiu-se que existe uma
grande dependencia destes. Para modelar o efeito da perda sao necessarios dados com uma vasta
gama de angulos de ataque pois este cresce com a diminuicao do TSR. Os dados de sustentacao
e resistencia afectam de forma mais directa a variacao radial de cada variavel, no entanto, este efeito
nao se verifica nos coeficientes de forca axial e de potencia. Resumidamente, utilizando caracterısticas
aerodinamicas de diferentes fontes pode obter-se resultados dıspares nas distribuicoes radiais que
podem nao se verificar nos coeficientes de forca axial e potencia.
Tambem foi analisado o efeito do modelo esteira utilizado. Foram comparados dois modelos, uma
esteira helicoidal de passo constante na direccao axial e uma esteira alinhada com expansao radial.
Para TSR′s elevados, a esteira alinhada produz melhores resultados, no entanto, quando o TSR baixa
o metodo dos factores induzidos melhora e ambos os modelos apresentam resultados proximos dos
experimentais.
Os resultados obtidos pelo metodo desenvolvido mostraram-se muito proximos dos medidos ex-
perimentalmente. Quando o TSR baixa, verifica-se uma subida do coeficiente de resistencia e das
velocidades induzidas pelas fontes. Para TSR′s altos as velocidades induzidas pelas fontes sao pra-
ticamente desprezaveis, no entanto para um TSR mais baixo estas crescem para valores da mesma
ordem de grandeza que as velocidades induzidas pelos vortices. Quando a separacao do escoamento
ocorre a meio da pa a modelacao ocorre de forma deficiente, nao e possıvel obter uma transicao suave
entre os dois regimes e a convergencia torna-se mais difıcil. Quando comparado com o metodo pai-
nel, o metodo desenvolvido apresenta melhores resultados na modelacao do regime de perda, sendo
aproximadamente equivalentes para o TSR mais elevado. O metodo BEM apresenta resultados muito
41
semelhantes aos obtidos pelo metodo da linha sustentadora. Ambos se aproximam bastante dos dados
experimentais, mostrando que sao boas opcoes para o calculo aerodinamico de uma turbina eolica de
eixo horizontal.
No ambito deste trabalho alguns desenvolvimentos futuros sao pertinentes. Quando a transicao
para o regime de perda ocorre ao longo da pa sao verificadas algumas descontinuidades na evolucao
radial. Uma analise desde fenomeno devera ser feita com o objectivo da sua compreensao e posterior
minimizacao. De outra forma, a aplicacao do mesmo metodo a outra geometria permitira concluir sobre
quais os parametros que efectivamente influenciam o metodo da linha sustentadora.
Por ultimo, e importante salientar a relevancia do trabalho realizado. A modelacao da forca de
resistencia permitiu o alargarmento do calculo com o metodo da linha sustentadora a situacoes de
perda aerodinamica.
42
Referencias
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delo da linha sustentadora, Tese de Mestrado em Engenharia Mecanica, Instituto Superior Tecnico.
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turbine with lifting line theory. Em The Seventeenth International Offshore and Polar Engineering
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Rotor in the NASA-Ames 80 ft x 120 ft Wind Tunnel. Wind Energy, 5:151–169, 2002.
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delos Aerodinamicos, Tese de Mestrado em Engenharia Aeroespacial, Instituto Superior Tecnico.
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[7] Hogan, F.: Analise do Desempenho Aerodinamico da turbina Eolica NREL com um Metodo de
Elementos de Fronteira, Tese de Mestrado em Engenharia Mecanica, Instituto Superior Tecnico.
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[8] Sparenberg, J.A.: Hydrodynamic Propulsion and Its Optimization. Kluwer Academic Publishers,
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[10] Kerwin, J. e Lee, C.S.: Prediction of steady and unsteady marine propeller performance by nume-
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[11] Potra, J.: Projecto e analise aerodinamica do rotor de pequenas turbinas eolicas, Projecto de Ter-
modinamica Aplicada, Instituto Superior Tecnico. 2006.
43
[12] Morgan, W.B. e Wrench, J.W.: Some computational aspects of propeller design. Methods in Com-
putational Physics, 4:301–331, 1965.
[13] Hirsch, C.: Numerical computation of internal and external flows: the fundamentals of computational
fluid dynamics. Butterworth-Heinemann, 2007.
44
Apendice A
Implementacao de um Metodo
Explıcito
Figura A.1: Algoritmo Explıcito
45
Apendice B
Dados de Sustentacao e Resistencia
Como foi referido na Seccao 2.2 assume-se que os Coeficientes de Sustentacao e Resistencia em
cada seccao dependem apenas do angulo de ataque e do numero de Reynolds e podem ser obtidos
por metodos teoricos e por metodos experimentais. Neste anexo serao apresentados os dados de
Sustentacao e Resistencia que foram utilizados, sob a forma de tabela na rotina computacional, mas
em forma de grafico neste documento de forma a aumentar a clareza da sua apresentacao.
Foram utilizados tres tipos de dados distintos, com um diferente grau de complexidade e ate mesmo
objectivos variados. O primeiro foi baseado na Teoria Invıscida uma vez que se tratam de uns dados
muito simples que nao tem efeitos de viscosidade. Os segundos dados utilizados foram criados com
base em resultados experimentais em DELFT, e como tal, foram designaos por Dados DELFT. Estes
ja incluem efeitos de viscosidade, apresentam uma precisao muito maior que a anterior e ate mesmo
variacoes com o numero de Reynolds. O ultimo conjunto de dados que foi utilizado foi obtido directa-
mente do NREL, e naturalmente foi chamado de Dados NREL. Em relacao aos outros dados ja apre-
sentaoas estes tem uma gama de angulos de ataque muito maior, cobrindo todos os angulos possıveis
(de −180 ◦ a 180 ◦) e tem uma variacao muito mais segmentada com o raio da seccao, apresentando
resultados para nove valores distintos, ao contrario dos dois apresentados pelas tabelas anteriores.
46
B.1 Teoria Invıscida
(a) ri/R = 0, 200 (b) ri/R = 1, 000
Figura B.1: Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela Invıscida
B.2 Dados DELFT
(a) ri/R = 0, 200 (b) ri/R = 1, 000
Figura B.2: Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela DELFT - Re = 3.00× 105
47
(a) ri/R = 0, 200 (b) ri/R = 1, 000
Figura B.3: Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela DELFT - Re = 1.00× 106
(a) ri/R = 0, 200 (b) ri/R = 1, 000
Figura B.4: Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela DELFT - Re = 2.00× 106
(a) ri/R = 0, 200 (b) ri/R = 1, 000
Figura B.5: Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela DELFT - Re = 3.00× 106
48
B.3 Dados NREL
(a) ri/R = 0, 129 (b) ri/R = 0, 185
Figura B.6: Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela NREL
(a) ri/R = 0, 242 (b) ri/R = 0, 298
Figura B.7: Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela NREL
(a) ri/R = 0, 354 (b) ri/R = 0, 410
Figura B.8: Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela NREL
49
(a) ri/R = 0, 600 (b) ri/R = 0, 800
Figura B.9: Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela NREL
(a) ri/R = 1, 000
Figura B.10: Coeficiente de Sustentacao e de Resistencia na Tabela NREL
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Apendice C
Modelos de Esteiras
Figura C.1: Vista lateral das diferentes Esteiras
51
Figura C.2: Vista das diferentes Esteiras
Figura C.3: Angulo de Passo Induzido para TSR = 5, 42 - Comparacao entre diferentes modelos deesteira
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Figura C.4: Angulo de Passo Induzido para TSR = 1, 52 - Comparacao entre diferentes modelos deesteira
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